MEDIANA

Definitie. Numim mediana ıntr-un triunghi segmentul care uneste un varf al triunghiului

cu mijlocul laturii opuse acelui varf.

In figura 1, este reprezentata mediana rAM s corespunzatoare laturii rBCs.

Figura 1 Figura 2

Observatie. Orice triunghi are trei mediane.(figura 2)

Teorema. (Concurenta medianelor.) Medianele triunghiului sunt concurente.

Demonstratie. Fie triunghiul ABC si punctele M si P mijloacele laturilor rBCs si re-

spectiv rABs. De asemenea, fie D, G P rAM s astfel ıncat rADs ” rDGs ” rGM s si F P rCGs

astfel ıncat rCF s ” rFGs ca ın figura 3.

Trebuie sa aratam ca punctele C, G, P sunt coliniare.

Figura 3

In 4AGB, rDP s este linie mijlocie, deci

DP ‖ GB si DP “GB

2. (1)

La fel, ın 4CGB, rFM s este linie mijlocie, deci

FM ‖ GB si FM “GB

2. (2)

Din (1) si (2) rezulta ca

DP ‖ FM si DP “ FM. (3)

Din (3) deducem ca ?PDG ” ?FMG (alterne interne) si cum DP “ FM si DG “ GM,

obtinem 4DPG ” 4MFG (U.L.U.). Aceasta conduce la ?DGP ” ?MGF ceea ce asigura

coliniaritatea punctelor C, G, P.

Fise cu teorie pentru gimnaziuMediana

´1´ Profesor Marius Damian, Braila

Am demonstrat astfel ca mediana din C trece prin punctul G.

In mod asemanator, se arata ca si mediana din B trece prin punctul G. �

Observatie. (Vezi figura 4.) Punctul de intersectie a medianelor triunghiului se numeste

centru de greutate si se noteaza, de obicei, cu G. Din teorema precedenta, reiese ca centrul de

greutate se afla pe fiecare mediana la 23

de varf si 13

de mijlocul laturii opuse acelui varf.

Astfel, putem scrieGM

AM“

GN

BN“

GP

CP“

1

3

sauAG

AM“

BG

BN“

CG

CP“

2

3.

Figura 4

Fise cu teorie pentru gimnaziuMediana

´2´ Profesor Marius Damian, Braila