UNIVERSITATEA SPIRU HARET CONSTANTA FACULTATEA MANAGEMENT FINANCIAR CONTABIL MATEMATICI APLICATE N ECONOMIE - GRILE Specializarile: CIG, FB Lect. univ. drd. Antoneta Jeflea 1. Spatiile vectoriale sunt cazuri particulare de: a) multimi de functii b) grupuri abeliene c) multimi de izomorfisme 2. Spatiile vectoriale au: a) aceeasi dimensiune b) acelasi numar de elemente c) aceleasi tipuri de subspatii 3. Valorile proprii ale unui operator sunt solutii: a) ale ecuatiei det[(A -.I)] = 0 b) ale unei ecuatii de gradul 2 c) ale unei ecuatii diferentiale 4. La o PPL conditiile de pozitivitate sunt valabile pentru: a) o parte din necunoscute b) nici o necunoscuta c) toate necunoscutele 5. Un sir de numere este: a) o multime ordonata natural b) un spatiu bidimensional c) o functie 6. Limita unei functii ntr-un punct se calculeaza daca punctul este: a) din afara domeniului de definitie b) punct de acumulare al domeniului de definitie c) punct aderent al domeniului de definitie 7. n R3 se considera o baza: B ={e1 = (1,1,0),e2 = (1,1,0),e3 = (1,2,3)}.Scrieti matricea de trecere de la baza canonica a spatiului R3 la aceasta baza B. .100. . . a) C = M[E, B] =.123. .. 111 . .

.101. .. b) C= M[E, B] =.102. .. 11 3 .. .111. .. c) C = M[E, B] =.102. .. 003 .. 8. Precizati daca urmatoarea definitie: Un sistem de vectori B ={bi }i.I formeaza o baza a spatiului vectorial V daca: i) B este sistem de vectori liniar dependenti ii) B este sistem de generatori pentru V este: a) corecta b) incorecta c) incompleta 9. Sa se determine vectorul normat din R4 ortogonal vectorilor: v1 = (1,1,1,1),v2 = (1,-1,-1,1),v3 = (2,1,1,3) 11 a) v= (0, ,

,0) 2

2 11 , ,0) 2 b) v = (0, 2 11 ,-

,0) 2 c) v = (0,2 10. Criteriul general al lui Cauchy an este convergenta dacasi numai daca n=1 (.)e> 0(.)ne. N astfel nct n 1 + a + ... + an >e (.)n = ne (.) p . N este: a + n+2 + p

Seria S8

a) corect b) incomplet c) incorect 11. Seria . 1 a este convergenta dacasi numai daca: n n=1 a) a< 1 b) a> 1 c) a= 1 an 12. Criteriul raportului al lui D Alembert: an ;an = 0 si fie l = lim n.8 a n=1 n+1 Daca l < 1 . seria este convergenta Daca l > 1 . seria este divergenta Fie seria S8

Daca l = 1 . nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu este: a) incorect b) corect c) incomplet 13. Operatorul a) operator de b) operator de c) operator de 2x+ y Laplace este: derivate partiale de ordin I derivate partiale de ordin II derivate partiale de ordin III

14. Diferentiala functiei f (x, y) = e este: 2x+ y 2 x+ y a) df = e dx + e dy 2x+ y 2 x+ y b) df = 2e dx + e dy 2 x+ y 2 x+ y c) df = 2e dx +

2e dy 15. Care este valoarea integralei Euler 8 .e-x2 dx ? 0 8 a) =. 2 dxe xp 0 8 b) = p. 2 dxe x0 c) 0 2 =. 8 dxe x 2 p 8 -132 n 16. Sa se studieze natura seriei: . 2n+1 n=13 a) Seria este divergenta b) Seria este convergenta c) Seria este absolut convergenta 1 17. Sa se calculeze integrala: I = x x2dx . 0 p a) I = 8 Poisson

p b) I = 4 p c) I = 2

2pa 18. Sa se calculeze integrala dubla: I = dx ydy .. 0 a sin x pa a) I = 2 pa3 b) I = 2 pa2 c) I = 2 19. Sa se integreze ecuatia diferentiala: dydx += 0 1+ y21+ x2 a) arctgy +arctgx = C b) 2arctgy + arctgx = C c) arctgy + 2arctgx = C

20. Sa se calculeze suma seriei de termen general: 1 un= , n = 1 (3n 2)(3n +1) 5 a) S = 3 1 b) S = 3 2 c) S = 3 21. Un sistem de vectori care contine vectorul nul: a) este sistem de generatori b) este baza c) nu este liniar independent 22. Orice spatiu metric este: a) spatiu compact b) spatiu normat c) spatiu Euclidian 23. n metoda Gauss Jordan pivotul se alege: a) un element pozitiv b) un element nenul c) un element negativ 24. Unei valori proprii i corespunde:

a) un unic vector propriu b) exact trei vectori proprii c) o infinitate de vectori proprii 25. Criteriul de convergenta al functiilor rationale se refera la: a) rapoarte de numere rationale b) raport de polinoame c) raport de functii trigonometrice 26. n programul optim necunoscutele secundare se completeaza cu: a) elemente negative b) zerouri c) elemente pozitive 27. n spatiul Euclidian (R3,),unde este produsul scalar usual, se considera vectorii v1 = (1,-2,3),v2 = (0,3,2).Care din afirmatiile de mai jos este adevarata? a) vectorii sunt ortogonali b) vectorii nu sunt ortogonali c) vectorii sunt ortonormati . x1 . 33 .. 28. Fie operatorul liniar T : R . RT (x) =. x1 + x2 + x3 . . Sa se calculeze T (u) unde .. x . 1 . u = (1,2,3) a) T (u) = (1,0,1) b) T (u) = (1,3,1) c) T (u) = (1,6,1) 29.Un punct interior lui A, f :A

. R2 . R n care f (x,y) este diferentiabila, iar diferentiala sa este nula se numeste: a) punct de maxim local b) punct de extrem local c) punct stationar 30. Stabiliti care afirmatie este adevarata: a) O serie convergenta este ntotdeauna absolut convergenta b) O serie convergenta nu este ntotdeauna absolut convergenta c) O serie absolut convergenta nu este ntotdeauna convergenta 2 n 31. Sa se stabileasca natura seriei de termen general: un = n , n = 1 . 1 . .3 +. . n .

a) Seria este divergenta b) Seria este convergenta c) Seria este absolut convergenta 32. Se considera operatorii: .2x1 + x2 . .. 4 . x . x1 . 2 21 . U : R . R ,U (x) = unde x = R . . .. .. . 3x xx 12 . 2 . .. .. x + 4x . 12 . . x2 + 2x .. x

. 2212 12 T : R . R ,T (x) = .. .. unde x =.. .. . R . x1 x2 .. x2 . Care din urmatoarele afirmatii este adevarata? a) U este operator liniar si T nu este operator liniar b) ambii operatori sunt liniari c) U nu este operator liniar si T este operator liniar 8 n an 33. Criteriul radacinii al lui Cauchy Fie seria an ;a = 0 si fie l = lim . nn.8 n=1 Daca l > 1 . seria este convergenta Daca l < 1 . seria este divergenta Daca l = 1 . nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu

este:

a) incomplet b) corect c) incorect 34. Matricea hessiana pentru o functie reala de n variabile reale contine deriva te partiale: a) de ordinul unu b) de ordinul doi c) de ordinul n 2n -1 35. Sa se calculeze suma seriei de termen general u = , n = 1n2n a) S = 4 b) S = 3 c) S = 7 36. Sa se integreze ecuatia diferentiala y' = xy, y(0) = 1 1 a) y=

x3 +1 3 31 b) y = x +1 3

1 c) y =

x +1 3 a 37. Sa se calculeze integrala . x2 a2 x2 dx 0 pa4 a) 16 3pa4 b) 16 7pa4 c) 16 38. Relatia de recurenta a functiei G este: a) G( p2 +1) = p2 G( p) b) G( p +1) = p G( p) c) G( p2 +1) = p G( p2) 39. Diferentiala de ordinul II pentru functia f (x, y, z) = xyz este:

a) d 2 f =2xdxdy + 2ydydz + 2zdxdz b) d 2 f =2ydxdy + 2zdydz + 2xdxdz c) d 2 f = 2zdxdy + 2xdydz + 2ydxdz 40. Sa se calculeze: ..(x + 2y)dxdy unde D =[1,4][2,5] D 171 a) 2 91 b) 2 47 c) 2 41. n forma standard a unei PPL sistemul de restrictii este format: a) din ecuatii b) din inecuatii c) si din ecuatii si din inecuatii Jordan elementele de pe linia pivotului se: 42. n metoda Gauss a) nmultesc cu pivotul

b) se impart la pivot c) se aduna cu pivotul

43. Spectrul unui operator este: a) o multime de functii b) multimea valorilor proprii ale operatorului c) multime de inegrale nedefinite 8. an+1 . 44. Criteriul lui Raabe ;a > 0 si fie l = lim n -1 . nn n.8.. .. a n=1 . n . Daca l > 1 . seria este convergenta Daca l < 1 . seria este divergenta Daca l = 1 . nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu a) incorect b) corect c) incomplet .(min) f = 4x1 + 5x2. ..2x1 + 6x2 = 10 .. 45. Duala problemei de programare liniara ..3x1 + Duhamel este: Fie seria a

9x2 = 12 este: .. .7x1 +15x2 = 34 . .x = 0 . 1,2 .(max)g = 2y1 + 3y2 + 7 y3 . ..10y1 +12y2 + 34y3 = 4a) .. ..6y1 + 9 y2 +15y3 = 5 . .yi = 0,i = 1,3 .(max)g = 6y1 + 9y2 +15y3 . ..2y1 + 3y2 + 7 y3 = 4b) .. ..10y1 +12y2 + 34y3 = 5 . .yi =

0,i = 1,3 .(max)g = 10y +12y + 34y 12 3 . ..2y + 3y + 7 y = 4 12 3 c) .. ..6y1 + 9y2 +15y3 = 5 . .yi = 0,i = 1,3 46. Criteriul de intrare n baza de la algoritmul Simplex este dat de: a) metoda Gauss Jordan b) semnul diferentelor . j c) vectorul cu zj negative

47. Punctele lui A care nu sunt puncte de acumulare pentru multimea A se numesc: a) punct aderent al multimii A b) punct interior multimii A c) punct izolat al lui A 2 . R 3 are matricea corespunzatoare bazelor unitare UR 48. Operatorul : . . ... 216 5 . . .. . . . .. . . . .. . A =

. Sa se calculeze U (v) unde v = 0 31 4 .17 26 10 10 . . . . a) U (v) . . . . = . . . . . .

... = b) U (v) 17 26 . . . 10 . . . . ... = c) U (v) 17 26 . . 5

4 1 . . .. . . . ... . . ... , . . ... . . . .. . v1,v { 2 } baza n R2 49. Fie B = unde: v 1 = Exprimati vectorul n v

v = = 2 1 1 2 aceasta baza. 7 . . .. . . . .. . a) vB = 9 . . .. -. . 7 =

9 . . .. . b) vB 7 . . .. . c) vB . ... = 9 50. Limita unei functii se calculeaza ntr-un punct care este: a) din domeniul de definitie b) punct de acumulare al domeniului de definitie c) punct aderent al domeniului de definitie 51. Diferentiala de ordinul I pentru functia f (x, y, z) = ln( ax + by +

cz ) este: b a c a) df = dx + dy + dz by by by ax + + + + cz ax +

+ cz cz ax . . .. .

2a 2b 2c b) df = dx + dy + dz ax +by +cz ax +by +cz ax +by +cz axby cz c) df = dx + dy + dz ax +by +cz ax +by +cz ax +by +cz 8 33 3 . .1 +2 +... +n nn 52. Sa se studieze natura seriei S. -. .3 . n=1 . n

4 . a) Seria este absolut convergenta b) Seria este divergenta c) Seria este convergenta 53. n algoritmul Simplex, programul optim se afla din: a) produsul scalar dintre coeficientii bazici si solutia de baza b) mpartind coloanele la linii c) nmultind coloanele cu liniile 54. Criteriul necesar de convergenta: Daca S8 an este o serie convergenta, atunci n=1 lim an =8 este: n.8 a) corect b) incorect c) incomplet 55. Formula complementelor este: a) G() ( G1p pp)= sin( p p) sinp b) G() ( G1+ pp)= sin( p p) c) G() ( G1p2 pp)=

sin( p p) n 56. Criteriul lui Leibnitz: (-1) an , an >0 . Dacasirul(an ) este sir n=1 Fie seria S8

descrescator convergent catre zero, atunci seia este convergenta a) corect b) incorect c) incomplet

este:

' y2 + x2 57. Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena: y= , y(1) = 0 xy y2 x a) 2 =2ln 2x y2 x 2x2 b) =4ln y2 x 2x2 c) = ln 12 x 58. Sa se studieze convergenta integralei: . dx -8 x3 8 a) Integrala este convergenta b) Integrala este divergenta c) Integrala este absolut convergenta 59. Forma generala a ecuatiilor liniare de ordinul nti este: a) A(x)y' + B(x)y + C(x) = 0 b) A(x)y2 + B(x) y + C(x) =

0 c) A(x) y " + B(x) y ' + C(x) = 0 60. Functia beta are proprietatea: pq a) B( p +1, q +1) = B( p, q) ( p + q -1)( p q) pq b) B( p +1, q +1) = B( p, q) ( p + q -1)( p + q) pq c) B( p +1, q +1) = B( p, q) ( p + q +1)( p + q) 61. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange se aplica functiilor reale de mai mult e variabile reale pentru determinarea: a) punctelor de extrem liber b) punctelor de extrem conditionat c) punctelor stationare 62. Criteriul de iesire din baza n algoritmul Simplex este dat de: a) minimul rapoartelor componentelor solutiei de bazasi ale vectorului care intra

b) metoda Gauss-Jordan c) lema substitutiei

63. Spatiile vectoriale au: a) acelasi numar de elemente b) aceleasi tipuri de subspatii c) aceeasi dimensiune 64. Se numeste functie gama integrala: . . 8 p-1 -x a) G( p) = x edx 0 . . 8 p+1 -x b) G( p) = x edx 0 . . 8 p-1 x c) G( p) = x edx 0 65. Vectorii x si y se numesc ortogonali daca: a) < x, y>. 0 b) < x, y>= 0 c) < x, y >= 1 66. O functie T

:X . Y se numeste operator liniar daca: (.)x, y . X ,a, . KT (ax +y) =aT (x) +T ( y) a) Definitia este corecta b) Definitia este incorecta c) Definitia este incompleta 67. Fie n Rn vectorii x, y, z liniar independenti. Care este natura sistemului de vectori {3x + y + 2z, x + y, x y}? a) Vectorii sunt ortogonali b) Vectorii sunt liniar independenti c) Vectorii sunt liniar dependenti 8 n-1 68. Sa se studieze natura seriei . 2 p n=1 n a) Seria este convergenta b) Seria este absolut convergenta c) Seria este divergenta 22 .f .f .f 69. Fie f

(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x1 x2 x3.Sa se calculeze: ; ; .x1 .x2 .x3 .f .f .f a) = 2x + xx ; = 2x + xx ; = xx 123 213 12 .x1 .x2 .x3

.f .f .f b) = 2x + xx ; = xx ; = xx 2 13 12 13 .x .x .x 1 23 .f .f .f c) = 2x + xx ; = xx ; = 2x + xx 3 12 13 123 .x .x .x 1 23 70. Functia :V V . R se numeste produs scalar pe multimea V daca: 1) < x,y >=< y, x >

(.)x, y .V 2) < x + x ', y >=< x, y >+< x ', y > (.)x, y .V Definitia este: a) incorecta b) incompleta c) corecta 71. Sa se determine valorile proprii associate aplicatiei liniare T : R2 . R2 cu T (v ,v ) = (v + 2v ,2v + v ).Valorile proprii sunt: 12 1212 a) .1 =-1;.2 =-3 b) .1 = 1;.2 =-3 c) .1 =-1;.2 = 3 72. Daca sistemul de vectori S ={v1,...,vn }este liniar independent, atunci orice subsistem al sau este: a) liniar dependent b) liniar independent c) sistem de generatori 73. Algoritmul de rezolvare a problemelor de transport are: a) doua etape b) trei etape c) patru etape 74. Ecuatiile diferentiale cu variabile separabile sunt de forma:

a) y ' = f (x) + g( y) cu g( y) .0 ' f (x) b) y = cu g( y) .0 g( y) c) y ' =f (x) g( y) cu g( y) . 0 75. Unei variabile nenegative din modelul primal i va corespunde n modelul dua l: a) restrictie egalitate b) restrictie concordanta c) restrictie neconcordanta

n 1 76. Seria armonica alternata S8 (-1) este: n n=1 a) convergenta b) absolut convergenta c) divergenta 77. Sa se dezvolte n serie Mac-Laurin functia: f (x)= ex , x . R 2 n xx x a) f (x) = 1++ + ... ++ ... 12 n xx2 nxn b) f (x) = 1++ ... + (-1) + ... 1! 2! n! 2 n xx x c) f (x) = 1++ + ... ++ ...

1! 2! n! 78. Diferentiala de ordinul II pentru functia f (x) = xyz este: a) d 2 f =2xdxdy + 2ydydz + 2zdxdz b) d 2 f =2zdxdy + 2xdydz + 2ydxdz c) d 2 f = 2ydxdy + 2zdydz + 2xdxdz . 2 y . 79. Sa se calculeze: ..xdxdy pentru D= .(x, y). R /1 = xy = 2,1 == 2. D .x . 4 2 -5 a) 3 5 2 -6 b) 3 6

2 5 c) 3 80. Sa se integreze ecuatia: (1+y2)dx = (1+ y2 cos y xy)dy a) x 1+ y2sin y = C b) x 1+ y2+ sin y = C c) y 1+ x2 sin y = C 81. n forma canonica a unei probleme de maximizare restrictiile sunt: a) egalitati b) inegalitati cu semnul = c) inegalitati cu semnul =

82. Stabiliti care afirmatie este falsa: a) Daca ntr-o serie se schimba ordinea unui numar finit de termeni atunci nu es te influentata nici natura seriei si nici suma seriei n caz de convergenta b) Daca ntr-o serie se nlatura un numar finit de termeni atunci natura seriei nu se modifica, ci doar suma ei n caz de convergenta c) Daca ntr-o serie se nlatura un numar finit de termini atunci natura seriei nu se modificasi nici suma ei n caz de convergenta 83. Functia C.Cobb a) Y =A La Kb b) Y =A Lb Ka -a -b c) Y = A L K 84. Se numeste spatiu Euclidian un spatiu pe care s-a definit: a) o distanta b) o norma c) un produs scalar 85. Scalarii .ij din procedeul de ortogonalizare Gramm Schmidt se determina cu formula: < bj , aj > a) .ij = < ai , ai > < b , a P.Douglas se defineste prin:

> b) .ij = ii < a , a > j j < bi , aj > c) .ij = < a , a > j j 86. Modelarea unei probleme cu continut economic care implica optimizare liniara necesita parcurgerea a: a) 5 etape b) 6 etape c) 3 etape 87. O baza B care verifica relatia: B-1 b = 0 se numeste: a) baza primal admisibila b) baza canonica c) baza ortogonala an 88. Criteriul II al comparatiei: Fie S8 an si S8 bnserii cu termini pozitivi si l = lim . n.8 n=1 n=1 bn

Atunci: 1) Daca 0 < l = 4 b) < v1,v2 >= 2 c) < v1,v2 >= 3 109. Seria Riemann S8 1 a este: n n=1 a) pentru a> 1serie convergentasi pentru a= 1serie divergenta b) pentru a= 1serie convergentasi pentru a> 1serie divergenta c) pentru a> 1serie convergentasi pentru a= 1serie divergenta 110. Functia lui Lagrange este:

a) L(x , x2,..., xp ) =..1(x , x ,..., x ) + ... +.q. (x , x ,..., xp ) 1 112 pq 12 b) L(x1, x2,..., xp ) =f (x1, x2 ,..., xp ) -.1.1(x1, x2,..., xp ) + ... +.q.q (x1, x2 ,..., xp ) c) L(x1, x2,..., xp ) = f (x1, x2,..., xp ) +.1.1(x1, x2,..., xp ) + ... +.q.q (x1, x2,..., xp ) +8 111. Sa se studieze convergenta integralei . xe-x2 dx -8 a) Integrala este divergenta

b) Integrala este convergentasi egala cu 0 c) Integrala este absolut convergenta 112. Determinati valorile proprii ale operatorului liniar reprezentat de matrice a: .523. .. .2 -10. .. 301 .. a) Valorile proprii sunt: .= 0,. =-2,.= 2 12 3 b) Valorile proprii sunt: .= 0,. =-2,.= 0 12 3 c) Valorile proprii sunt: .= 0,. =-2,.= 7 12 3 (n!)2 113. Scrieti primii cinci termini ai seriei cu termenul general: a= n (2n)! 1111 1 a) a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = 2 6 20 170 252 1111 1 b) a1 =

, , , ,

a2 a3 a4 a5

= = = =

3 5 17 139 231 1111 1 c) a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = 4 7 32 112 275 114. Calculati derivata partiala de ordinul I pentru functia: f (x, y) =x2 sin y ' 2' 22 a) fx (x, y) = 4xsin y ; fy (x, y) =x cos y ' 2'2 b) fx (x, y) = 2xsin y ; fy (x, y) =x sin 2y ' 2'2 c) fx (x, y) = x cos y ; fy (x, y) = 2x sin 2y . 2x1 . .. 2x

x 34 . 12 . 115. Fie T : R . R ,T (x) = . Matricea atasata operatorului este: .. x2 + 3x3 .. .. 2x . 1 . . 2 00. .. . 2 -10. a) A = .. 0 13 .. .. 200 ..

. 2 00. .. . 2 -10. b) A = .. 1 13 .. .. 200 .. . 2 00. .. . 2 10. c) A = .. 0 -13 .. .. 200 .. 116. ntr-un sistem de n vectori liniari independenti conditia de a fi sistem de generatori este nlocuita de relatia: a) 2n = dim X

b) n = dim X c) n3 = dim X 117. Sa se integreze ecuatia diferentiala: (1+ y2)dx = (1+ y2 cos y xy)dy a) x 1+ y2 + sin y = C b) x 1+ y2 cos y = C c) x 1+ y2 sin y = C 118. Diferentiala de ordinul I a functiei de productie este: ab a) dY = YdL + YdK L2 K ab b) dY = YdL + YdK L2 K

2 ab c) dY = YdL + YdK LK . a 119. Sa se calculeze integrala: x2 a2 x2 dx 0 pa4 a) 16 pa2 b) 16 pa c) 16

120. Precizati care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata: a) Daca vectorii {v ,v ,...,v }sunt liniar independenti, iar {v ,v ,...,v 1}sunt liniar 12 n 12 n+ dependenti, atunci v este o combinatie liniara a vectorilor {v ,v ,...,v }. n+1 12 n b) Daca vectorii {v1,v2,...,vn }sunt liniar dependenti, iar {v1,v2 ,...,vn+1}sunt liniar independenti, atunci v este o combinatie liniara a vectorilor {v ,v ,...,v }. n+1 12 n c) Daca vectorii {v ,v ,...,v }sunt liniar independenti, iar {v ,v ,...,v 1}sunt tot 12 n 12 n+ liniar independenti, atunci v este o combinatie liniara a vectorilor{v ,v ,...,v }. n+1 12 n .:V . R cu x

=

< x,x > se numeste: 121. Functia: a) norma a spatiului Euclidian b) produs scalar a spatiului Euclidian c) distanta a spatiului Euclidian nn-1 122. Daca seria convergenta S8 anx are suma S(x) si seria derivatelor S8 nanx are n=0 n=0 suma P(x) , atunci: a) 2P(x) =S(x) b) P(x) =2S(x) c) P(x) = S(x) 123. Limita unei functii ntr-un punct exista daca: a) functia este continua b) functia este derivabila c) limitele laterale sunt egale 124. Precizati relatia adevarata: a) G(n +1) = (n +1)!, n . N b) G(n +1) = n!, n . N c) G(n +1) = (2n)!, n . N 125. Norma are urmatoarea proprietate: a) ax =

a x (.)a. R, x .V b) ax = a x (.)a. R, x .V c) ax =a x (.)a. R, x .V f (a1,..., ak-1, xk , ak +1,..., an ) f (a1,..., an ) .f

(a) 126. Limita lim = se numeste: xk .a a k x .x kk k a) diferentiala de ordinul I a functiei f n raport cu xk

b) diferentiala de ordinul n a functiei f n raport cu xk c) derivata partiala a functiei f n raport cu xk 11 127. Sa se calculeze produsul scalar al vectorilor : x = (2,1, 12), x = ( ,2,) n R3 1 23 3 15 a) < x1, x2 >= 6 23 b) < x1, x2 >= 6 19 c) < x1, x2 >= 6 128. Din trei feluri de materie prima Mi (i = 1,3) disponibile n cantitatile de 28,21 respectiv 10 unitati se preconizeaza a se realiza doua tipuri de produse P1, P2 care necesita consumuri specifice de 1,3 respectiv 1unitate pentru P1 si 4,1 respecti v 1unitate pentru P2 si care aduc un beneficiu pe unitatea de produs de 3 respectiv 4 unita ti. Sa se determine planul de productie care conduce la un beneficiu total maxim. Modelul matematic al problemei este: .max(3x1 + 4x2)

. x + 4x = 28 . 12 . a) .3x1 + x2 = 21 . x + x = 10 . 12 .x = 0, x = 0 . 12 .max(3x1 + 4x2) . x + 4x = 28 . 12 . b) .3x1 + x2 = 21 .

x1 + x2 = 10 . .x = 0, x = 0 . 12 .max(3x1 + 4x2) . x1 + 4x2 = 28 . . c) .3x1 + x2 = 21 . x + x = 10 . 12 .. x1 = 0, x2 = 0 129. Sa se studieze natura seriei: S8 1 =0 n! a) Seria este absolut convergenta n

b) Seria este convergenta c) Seria este divergenta .1..3. 130. Fie B ={v1,v2 } baza n R2 unde v1 =. . .. .. ,v2 =. . .. .. . Sa se exprime vectorii 24 .. .. .3. .-1. a =. . .. .. ,b =. . .. .. n aceasta baza. 11 .. .. .9 .. 7 . . 2 .. 2 . a) a= ,b = B . 5 . B

.3 . . 2 .. 2 . . 9 . .7 . . 2 .. 2. b) aB = ,bB = .5 . .3 . . 2 .. 2 . .9 . .7 . . 2 .. 2 . c) a = ,b = B .5 . B .3 .

. 2 .. 2 . ax+by 131. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I pentru functia f (x,y) = e ' ax+by ' ax+by a) fx = axe ,fy = bye ' ax+by ' ax+by b) fx = xe ,fy = ye ' ax+by ' ax+by c) fx = ae , fy = be 8 an 132. Criteriul raportului al lui D Alembert: ;an = 0 si fie l = lim n.8 a n=1 n+1 Fie seria San

Daca l < 1 . seria este convergenta Daca l > 1 . seria este divergenta Daca l = 1 . nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu este: a) incorect b) corect c) incomplet 133. Operatorul Laplace a) operator de derivate b) operator de derivate c) operator de derivate 2x+ y este: partiale de ordin I partiale de ordin II partiale de ordin III

134. Diferentiala functiei f (x, y) = e este: 2x+ y 2 x+ y a) df = e dx + e dy 2 x+ y 2x+ y b) df = 2e dx + e dy

2 x+ y 2x+ y c) df = 2e dx + 2e dy

8 135. Care este valoarea integralei Euler ? 0 8 a) .e-x2 dx =p 0 8 b) e-x2 dx =p . 0 -p x c) 8 . 0 e 2 dx = 2 8 3n-1 136. Sa se studieze natura seriei: . 2 2n+1 n=13 a) Seria este divergenta b) Seria este convergenta c) Seria este absolut convergenta a 137. Sa se calculeze integrala . x2 a2 x2 dx Poisson .e-x2 dx

0 pa4 a) 16 3pa4 b) 16 7pa4 c) 16 138. Relatia de recurenta a functiei G este: a) G( p2 +1) = p2 G( p) b) G( p +1) = p G( p) c) G( p2 +1) = p G( p2) 139. Diferentiala de ordinul II pentru functia f (x, y, z) = xyz este: a) d 2 f =2xdxdy + 2ydydz + 2zdxdz b) d 2 f =2ydxdy + 2zdydz + 2xdxdz c) d 2 f = 2zdxdy + 2xdydz + 2ydxdz

140. Sa se calculeze: ..(x + 2 y)dxdy unde D =[1,4][2,5] D 171 a) 2 91 b) 2 47 c) 2 141.Fie f : A . Rn . R si a = (a1,..., an ) . A . Punctul a este un punct de maxim local daca f (x) = f (a)(.)x .Va ,Va . A . Definitia este: a) corecta b) incorecta c) incompleta 142. Norma are urmatoarea proprietate: a) x

+ y = x + y (.)x, y .V b) x + y = x + y (.)x, y .V c) x y = x y

(.)x, y .V 143. O solutie de baza a unei probleme de transport are un numar de componente n enule egale cel mult cu: a) mn +1 b) m+ n +1 c) m + n -1 n 144. Fie seria S8 anx convergenta cu C = (-., .) atunci seria integralelor termenilor n=0 a nn+1 S8 x este o serie: n=0 n +1 a) convergenta pe C = (-., .) b) absolut convergenta pe C = (-., .) c) divergenta pe C = (-., .) 145. Stabiliti care afirmatie este adevarata: a) Orice punct stationar este punct de extrem pentru functie b) Nu orice punct stationar este punct de extrem pentru functie c) Orice punct stationar este punct de minim pentru functie 146. Unei restrictii neconcordante din modelul primal i corespunde n modelul d ual: a) variabila nenegativa b) variabila nepozitiva

c) variabila libera 8. 6n2 + 7n + 5 .n 147. Sa se studieze natura seriei S.. .. n=1 . 2n2 + 5n + 9 . a) Seria este divergenta b) Seria este absolut convergenta c) Seria este convergenta .f .f 148. Se considera functia: f (x, y) = ln(x2 + y2).Se cere sa se calculeze: ; .x .y .fx2 .fy2 a) = ; = 22 22 .xx + y .yx + y .f 2x .f 2y b) = ; = 22 22

.xx + y .yx + y .fx .fy c) = ; = 22 22 .xx + y .yx + y 149. Fie U : R2 . R2 un operator liniar care are matricea corespunzatoare bazelor .2 -1. canonice A =. . .. .. .Sa se determine valorile proprii ale lui U. 03 .. a) .1 = 2;.2 = 3 b) .1 =-2;.2 =-3 c) .1 =-2;.2 = 3 150. Orice problema de transport are ntotdeauna o solutie admisibila de forma: mn a + b a) xij =ij ,i = 1, m, j

= 1, n unde Sai =Sbj = T Ti=1j=1 mn a b b) xij =ij ,i = 1, m, j = 1, n unde Sai =Sbj = T Ti=1j=1 mn aibj c) xij =,i = 1, m, j = 1, n unde Sai =Sbj = T Ti=1 j=1 151. O baza care conduce la un program optim se numeste: a) baza admisibila b) baza ortogonala c) baza ortonormala 8 152. Fie seria San , an > 0.Dacasirul sumelor partiale (Sn )n.N este:

n=1 a) un sir monoton b) un sir monoton si marginit

c) un sir marginit atunci seria este convergenta. 153. Sa se (x, y) =x3 y3 3xy a) M1(0,0) 2 (1,1) nu b) M1(0,0) c) M1(0,0) 8 dx determine punctele de extrem ale functiei: f + este punct de este punct de este punct de nu este punct minim si M extrem minim si M2 (1,1) este punct de maxim de extrem si M2 (1,1) punct de minim

154. Sa se calculeze integrala: I= . 2 -81+ x a) I =p b) I =p 2 c) I = 2p 155. Produsul scalar este: a) o functionala biliniara pozitiv definita b) o functionala biliniara negativ definita c) o functionala biliniara semipozitiv definita 156. n orice spatiu Euclidian n - dimensional peste corpul K exista cel putin o baza ortogonala ce se poate determina: a) cu procedeul Gramm Schmidt b) cu procedeul Gauss Jordan c) cu criteriul Raabe Duhamel 157. Fie . . . -= 1 2 A 1 0 2 1 . . . 0 1

si fie 1,4,i =ai vectorii coloana din A. Care afirmatie este . . 3 1 2 .. 2 adevarata? a) {a , a , a , a4 }formeaza baza n R3 123 b) {a2, a3, a4 }nu formeaza baza n R3 c) {a1, a3, a4 } formeaza baza n R3 12 x 158. Sa se studieze convergenta integralei: . dx -8 x3 8 a) Integrala este convergenta b) Integrala este divergenta c) Integrala este absolut convergenta

159. Forma generala a ecuatiilor liniare de ordinul nti este: a) A(x) y' + B(x) y + C(x) = 0 b) A(x)y2 + B(x) y + C(x) = 0 c) A(x) y " + B(x) y ' + C(x) = 0 160. Functia beta are proprietatea: pq a) B( p +1, q +1) = B( p, q) ( p + q -1)( p q) pq b) B( p +1, q +1) = B( p, q) ( p + q -1)( p + q) pq c) B( p +1, q +1) = B( p, q) ( p + q +1)( p +

q) 161. n programul optim necunoscutele secundare se completeaza cu: a) elemente negative b) zerouri c) elemente positive 162. Valorile proprii ale unui operator sunt solutii: a) ale unei ecuatii de gr.2 b) ale unei ecuatii diferentiale c) ale ecuatiei det[(A -.I)] = 0 163. Criteriul II al comparatiei este: Fie S8 an si S8 bnserii cu termeni pozitivi si n=1 n=1 a l = lim n . Atunci: n.8 b n I. Daca 0 < l