Matematica.clasa12.Arhimede.2014.11 29

Concursul Na Concursul Na Concursul Na Concursul NaŃional de Matematic ional de Matematic ional de Matematic ional de Matematică “Arhimede” “Arhimede” “Arhimede” “Arhimede” Edi Edi Edi EdiŃia a XII ia a XII ia a XII ia a XII-a, Etapa I a, Etapa I a, Etapa I a, Etapa I, , , , 29 noiembrie 29 noiembrie 29 noiembrie 29 noiembrie 201 201 201 2014 Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XII XII XII XII-a I. Să se calculeze următoarele integrale nedefinite: (4p) a) ∫ + + x x dx 1 , ) , 0 [ ∞ ∈ x (5p) b) ∫ + + + + + 3 2 3 2 3 2 1 2 x x x x x dx , R x ∈ II. Să se calculeze: (3p) a) ( ) 100 7 ˆ în 8 Z ; (3p) b) ( ) 100 7 ˆ în 9 Z ; (3p) c) ( ) ( ) 100 2 7 ˆ ... 7 ˆ 7 ˆ 1 ˆ + + + + în 8 Z . III. (9p) Să se determine toate funcŃiile R R f → : care admit primitive şi care verifică relaŃia ) ( 8 ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( y f x f y x f y x f + = − + + , R y x ∈ , Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu IV. (9p) Fie 2 ≥ n un număr natural care nu este multiplu de 5. Să se demonstreze că: a) 1 ˆ 10 = x , pentru orice } 0 ˆ { \ 11 Z x ∈ b) Dacă 11 , Z y x ∈ şi n n y x = atunci 2 2 y x = . prof. Gheorghe Stoica Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.

Upload
dragomir-radu
Category

Documents
view
212
download
0

Embed Size (px):

description

Fise matematica

Transcript of Matematica.clasa12.Arhimede.2014.11 29

Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul Naional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematic ArhimedeArhimedeArhimedeArhimede

EdiEdiEdiEdiia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa Ia, Etapa Ia, Etapa Ia, Etapa I, , , , 29 noiembrie29 noiembrie29 noiembrie29 noiembrie 2012012012014444

Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XIIXIIXIIXII----aaaa

I. S se calculeze urmtoarele integrale nedefinite:

(4p) a) ++ xxdx

1, ),0[ x

(5p) b) +++++ 3 23 23 2 12 xxxxx

dx, Rx

II. S se calculeze:

(3p) a) ( )1007 n 8Z ;

(3p) b) ( )1007 n 9Z ;

(3p) c) ( ) ( )1002 7...771 ++++ n 8Z .

III. (9p) S se determine toate funciile RRf : care admit primitive i care verific relaia

)(8)(2)2()2( yfxfyxfyxf +=++ , Ryx ,

Sorin Rdulescu, Marius Rdulescu

IV. (9p) Fie 2n un numr natural care nu este multiplu de 5. S se demonstreze c:

a) 110 =x , pentru orice }0{\11Zx

b) Dac 11, Zyx i nn yx = atunci 22 yx = .

prof. Gheorghe Stoica

Not. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se noteaz de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acord 1p din

oficiu. Punctajul maxim la o problem se acord pentru rezolvare corect, complet i cu explicaii clare.

Timp de lucru: 3 ore.