Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a XII-a

I.S se calculeze integralele:

(4p) 1) b ( cde@

cde cde ( 6 , $ f0,g4h

(5p) 2) b ::@

:@ 6 , $ %

I.V. Maftei

II. (3p) a) S se determine toate numerele naturale + & 2 cu proprietatea c funcia W: >9 X >9 , W este bijectiv. (3p) b) S se determine toate numerele naturale + & 2 cu proprietatea c ' $ O0i, 1iS, j $ >9 (3p) c) Fie $ 9> i ) $ 15) & 2 fixat. Dac det este prim cu m atunci exist n $ 15 cu proprietatea c matricea o 9 are elementele divizibile cu m.

Costel Chite

III. Fie A o submulime nevid de numere reale. Vom spune c A are proprietatea p dac oricare ar fi $ avem 9 $ pentru orice + $ 15. Vom spune c A are proprietatea p dac pentru orice , " $ avem " $ . (3p) 1) S se determine toate intervalele cu cel puin dou puncte care sunt incluse n

0, , care au proprietatea p. (2p) 2) S se gseasc toate mulimile finite care au proprietatea p . (2p) 3) S se gseasc toate mulimile finite care au proprietatea p . (2p) 4) S se dea exemplu de mulime A care are proprietatea p dar nu are proprietatea p . IV. (9p) Fie + $ 15 i W: % X % o funcie care admite primitive . S notm W9 W Z W Z Z Wqrrrsrrrt

9 uvw. Dac sunt satisfcute urmtoarele condiii:

1) W9 este strict descresctoare 2) W9 este mrginit inferior 3) lim{X W9

Atunci lim{X W Sorin Rdulescu

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:3 ore.