SUPORT DE CURS

Prof. SANDU MARIA-CRISTINA

Liceul Tehn. I. C. Petrescu, Stâlpeni

Măsuri și unități de măsură

MATEMATICA ANUL II

FORME

2

Cuprins

1. Timpul ................................................................................................................................3

2. Masa....................................................................................................................................5

3. Lungimea ............................................................................................................................8

4. Măsurarea unghiului .........................................................................................................12

Acest capitol adună la un loc cele mai importante cunoștințe despre măsuri și unitățile

de măsura folosite în calculele matematice uzuale.

Activități propuse:

Identificarea și exersarea unităților de măsură

Efectuare de măsurători

Utilizarea transformărilor

Aplicarea celor exersate în diferite context

Materiale:

Tabele și organizatori

Instrumente de măsură și de desen

Imagini și texte diferite

Prezentări Power Point

3

1. Timpul

DESPRE CE VA FI VORBA?

Una dintre cele mai vechi problem ale omenirii este măsurarea timpului. Alternanța zi-

noapte, succesiunea anotimpurilor sau îmbătrânirea au determinat omul să măsoare și să

înregistreze timpul.

Definiţia timpului este una dintre cele mai dificile, nu numai din punct de vedere

filozofic sau psihologic, dar şi fizic. Timpul este una dintre dimensiunile Universului, diferită

de dimensiunea spaţială prin aceea că timpul ordonează evenimentele într-o succesiune

ireversibilă.

REȚINEM

• Timpul trece ireversibil și într-un singur sens, dinspre trecut spre viitor.

• Unitatea principală pentru măsurarea timpului este SECUNDA (s).

• Pentru măsurarea timpului se utilizează și multiplii secundei: minutul(min), ora(h),

ziua, saptămâna, luna, anul.

• Pe cadranului unui ceas se pot vedea ora, minutele și secundele momentului în care se

face citirea.

Transformări

• 1 min=60s

• 1h=60min

• 1zi=24 h

• 1saptamână=7 zile

• 1lună are 29, 30 sau 31 de zile, iar în februarie 28 zile; din 4 în 4 ani februarie are 29

de zile. Anul în care februarie are 29 de zile se numește an bisect.

• 1an=12 luni=365(sau 366) de zile

• 1deceniu=10 ani

• 1secol=100 ani

• 1mileniu=1000 ani

• Deceniul, secolul, mileniul măsoară timpul la scară istorică.

4

ȘTIAȚI CĂ?

• Momentul inițial în lumea creștină este anul nașterii lui Hristos. Momentul 0 desparte

era noastră (d. Hr)de perioada numita inaintea erei noastre (î. Hr)

• Avem intervale de timp extrem de mici, dar și extrem de mari. De exemplu, timpul în

care lumina străbate un atom este de aproximativ 10 la puterea -24, ceea ce este

inimaginabil de puțin. Se presupune că vârsta Universului este de 15 miliarde de ani.

• Determinarea exactă a timpului este esențială în multe situații. De exemplu în marină

sau în aviație unde între determinarea poziției și cunoașterea timului exacte este o

legătură exacta. In astronomie de exemplu se poate preciza eclipsele de luna sau de

solare.

• Ora de vara este o decalare de o ora a timpului pentru lunile de vara. Avantajul sau

consta in mai buna utilizare a luminei zilei in orele de seara. In majoritatea statelor

central-europene este valabila, din aprilie pana in septembrie, ora de vara central-

europeana(CEST).

CUM?

- Ce este ora de vară?

- Timpul este ireversibil, ce fenomene ireversibile cunoașteți?Dar reversibile?

- Care este legătura dintre luna calendaristică și satelitul natural?

- Ce eveniment sportiv are loc odata la 4 ani?

- Ce este fusul orar?

- Discutați despre diferitele ere geologice, istorice.

- Ce este timpul biologic?

- Discutați despre măsurarea timpului în sport.

Încercăm?

1. Câte ore sunt într-o săptămână?

2. Transformați 4 minute în secunde.

3. Calculați în minute:

4. Transformați în secunde 0,45 h.

5. Dovediți că dintr-un grup de 8 copii, există cel

putin doi născuți în aceeași zi.

6. Un bicilist a pornit la orele 12 și 40 minute și

ajunge la destinație la 21 și 15 minute. Cât a durat

călătoria? 14

oră o-dintr 6

5 oră o-dintr

3

2

5

2. Masa

Obiective:

Descrierea conceptului de masă

Recunoașterea unităților de măsurare pentru masă

Transformarea diferitelor unități între ele

DESPRE CE VA FI VORBA?

Masa este o altă însușire a corpurilor. Masa se măsoară cu cântarul sau se calculează

cu anumite formule care se studiaza treptat. Măsurarea maselor, cântărirea, este o activitate pe

care o facem, poate, zilnic cu ajutorul a diferite instrumente: cîntarul de baie, cantarul de la

magazine, cantar de macara, balante.

Masa corpurilor este măsura inerției lor, adică a faptului că ele își păstrază starea de

repaus sau de mișcare rectilinie și uniform, atâta timp cât nu sunt supuse unor forțe exterioare.

Un corp de masă mai mare are și inerție mai mare decât unul de masă mai mică.

REȚINEM

Unitatea principală pentru măsurarea masei este gramul(g), dar se utilizează și

submultipli si multipli gramului. Aceștia sunt:

1 kilogram(kg)= 1000 g 1 decigram(dg)=0,1 g

1 hectogram(hg)=100 g 1 centigram(cg)=0,01 g

1 decagram(dag)=10g 1 miligram(mg)=0,001 g

Multipli kilogramului sunt: 1 quintal(q)=100kg=105g și 1 tona(t)=1000kg.

TRANSFORMAREA unei unități de măsură mai mare într-o unitate de măsură mai mică se

face prin înmulțirea cu 10n, iar de la o unitate mai mică într-o unitate mai mare se face prin

împărțirea cu 10n, unde n este numărul de segmente dintre cele două unițăți.

6

ȘTIAȚI CĂ?

De multe ori se confundă masa cu greutatea, deși este vorba de două noțiuni diferite.

Greutatea unui corp exprimă forța cu care Pământul îl atrage, forta care depinde și de masa

respectivului corp. Dacă spunem că “Am o greutate de 85 de Kg”, nu ne-am exprima corect,

cu toate că în limbajul cotidian se înțelege ce am vrut să zicem și este acceptată această

variantă, afirmația corecta ar fi “Am o masa de 85 de Kg”.

În natură găsim valori extreme de mici sau mari pentru mase. Astfel un elefant african

poate cântări pana la 6 t și are nevoie zilnic de peste 200kg de hrana.

Determinarea masei este foarte importanta în viata de zi cu zi precum in cantarirea

oamenilor, in respectarea unor retete etc.

Masa și volumul corpurilor sunt caracteristici strâns legate între ele.

7

CUM?

- Ce este inerția? Discutați despre poza alăturată.

- Caută exemple de situații în care sunt folosite unitățile de măsură pentru masă.

Precizați care unitate este mai adecvată pentru situația respectivă.

- Dați exemple de situații extreme: mase foarte mari și mase foarte mici.

- Discutați despre masele corpurilor pe diferite planete.

Încercăm

1. Reprezentați unitățile de măsură de mai sus în diverse forme: în tabele, în scară sau în

alt mod graficic. Lucrați în echipă!

2. Transformați 7 kg în: a) hg b) g c)q.

3. Caută o rețetă de bucătărie si transformă toate unitățile în grame.

4. Calculați, exprimând rezultatul în grame: 24,6dg+0.0174hg

5. Avem 9 bile care arată exact la fel, dar una este mai grea decât celelalte 8. Vei putea

afla care este bila folosind doar o balanța simpla în 2 mutări?

8

3. Lungimea

Obiective:

Descrierea conceptului de lungime

Recunoașterea unităților de măsurare pentru lungime

Transformarea diferitelor unități între ele

DESPRE CE VA FI VORBA?

Explicaţii teoretice şi exemplificări

Mihai şi bunicul său au măsurat lungimea terenului din faţa blocului, cu pasul.Rezultatul

măsurătorii a fost următorul: Mihai 22 paşi, bunicul 10 paşi.

Întrebare:

De ce crezi că s-a obţinut un rezultat diferit al măsurării?

Pentru că lungimea paşilor celor doi a fost diferită.

Concluzie:

Pentru ca măsurarea unei mărimi să nu aibă rezultate diferite oamenii au inventat unităţi de

măsură care se folosesc în lumea întreagă.

Lungimile și calculele care implică lungimile sunt nelipsite din geometrie

9

REȚINEM

Unitatea principala este metrul (m),

dar se utilizeaza si

-multiplii: decametrul (dam),

hectometrul (hm),

kilometrul (km)

respectiv

-submultiplii :

decimetrul (dm),

centimetrul (cm),

milimetrul (mm)

TRANSFORMAREA unei unități de măsură mai mare într-o unitate de măsură mai mică se

face prin înmulțirea cu 10n, iar de la o unitate mai mică într-o unitate mai mare se face prin

împărțirea cu 10n, unde n este numărul de segmente dintre cele două unițăți.

ȘTIAȚI CĂ?

10

CUM?

-Discutați în clasă despre transformările unităților de lungime, încercând să înțelegi când

înmulțim și când împărțim, si cu cât?

-Exemplificați situații din viața cotidiană când măsurăm lungimi și caută unitățile de măsură

cele mai adecvate respectivelor situații.

- Dați exemple de situații extreme: lungimi foarte mari și lungimi foarte mici.

-Reprezentați unitățile de măsură de mai sus în diferite forme: în scară sau în alt mod grafic. -

Discutati despre unitatile de masura pentru lungimi folosite in tarile anglo-saxone (in paralel

cu cele din SI). „Lupii alergară în ziua aceea un mare număr de mile fără să-și strice, în astfel

de incidente, formațiunea lor strânsă.” ( Jack London-”Colț Alb”)

-Discutați despre importanța preciziei măsurării lungimei în diferite compeții sportive.

11

Încercăm

Desenează o dreaptă d și trei puncte situate pe această dreaptă: A, B, C. Măsoară

distanțele dintre ele cu ajutorul liniarului. Are sens să aduni, respective să scazi

lungimile segmentelor formate? În ce caz?

Caută într-o revistă planul unei case. Studiază dimensiunile puse pe desen și încearcă

să calculezi câteva costuri, presupunând că se cunosc prețurile unor material de

costuri. Formulați probleme de acest tip.

Lumina Soarelui are nevoie de 8 min și 20s ca să ajungă pe Pământ. La ce distanță se

afla Soarele față de noi, dacă viteză luminii este de 300.000 km/s? Privind spre Soare,

vedem trecutul sau prezentul stelei?

Nu uita!

· în kilometri se măsoară distanţele dintre localităţi;

· în hectometri şi decametri , dimensiuni ale unor loturi de pământ, în agricultură;

· în decimetri, dimensiuni ale construcţiilor utilitare din gospodărie;

· în centimetri, lungimi din construcţii sau ale obiectelor din gospodărie, lungimi ale părţilor

corpului uman;

· în milimetri, dimensiuni ale unor obiecte de precizie ( lungimi şi diametre de şuruburi, de

plăci,... etc.)

12

4. Măsurarea unghiului

Obiective:

Folosirea raportorului pentru măsurarea de ungiuri

Recunoașterea unităților de măsurare pentru unghiuri

Transformarea diferitelor unități între ele și efectuarea de calcule

DESPRE CE VA FI VORBA?

Dezvoltarea cunoștințelor despre măsurarea si măsura unghiurilor:

măsurarea unghiurilor;

unitățile de măsura pentru unghiuri;

calcule cu măsuri de unghiuri;

clasificarea unghiurilor în funcție de măsura acestora;

unghiuri complementare și unghiuri suplementare;

unghiuri opuse la vârf;

unghiuri formate în jurul unui punct;

unghiuri formate de două drepte paralele și o secantă.

REȚINEM

Instrumentul folosit pentru

masurarea unghiurilor este raportorul.

Măsurarea unghiurilor cu

raportorul mecanic simplu

La mijlocul muchiei diametrale este marcat centrul “0” al cercului iar la periferia

semicercului este trasata o scara gradata de 180 diviziuni, valoarea unei diviziuni fiind de 1

grad. Pentru masurare se suprapune centrul 0 pe varful unghiului de masurat si muchia

diametrala pe una din laturi apoi se citeste valoare unghiului pe scara gradata in dreptul

celeilalte.

13

Unitatea de masură pentru unghiul plan in SI este radianul

Se mai utilizeaza :

- gradul sexagesimal si

- gradul centesimal

Submultiplii gradului sunt minutul si secunda.

- "" 3600601

- Se noteaza 1’ si se citeste “ un minut”.

- Se noteaza 1’’ si se citeste “o secunda”.

- Unitatile acestea de masura se numesc grade sexagesimale.

Calcule cu măsuri de unghiuri

1'=60

", 1

o=60

'=3600

".

Adunarea mãsurilor unor unghiuri se face adunând gradele cu gradele , minutele cu

minutele și secundele cu secundele. Dacã la secunde sau minute apar valori mai mari de 60,

folosind relațiile de mai sus, facem tranformãrile în unitatea imediat superioarã. Astfel,

unghiul de 72o87

'89

==(din cele 89

" luãm 60

" și facem 1

')=72

o88

'29

==(din cele 88

' luãm 60

' și

facem 1o)=73

o28

'29

Scãderea se efectueazã ca și adunarea, scãzând grade din grade etc. Dacã o scãdere nu

poate fi efectuatã (la minute sau secunde), se transformã o unitate din mãrimea mai

mare în unitãți mai mici: 1'=60

", 1

o=60

', dupã care scãderile sunt posibile (am presupus

cã mãsurile inițiale erau date în forma "redusã", adicã aveam cel mult 59 minute,

respectiv secunde). Astfel 125o14

'23

"-24

o32

'45

"=(luãm 1

o și-l transformãm în 60

', deoarece

operația de scãdere la minute nu se putea face vom avea 60+14=74'. Cum nici scãderea

secundelor nu este posibilã, din cele 74' luãm 1

' pe care-l transformãm în secunde obținând

60+23=83", adicã avem)= 124

o73

'83

"-24

o32

'45

"=100

o41

'38

".

Înmulțirea mãsurii unui unghi cu un numãr natural (pentru a afla masura unui unghi

de "n" ori mai mare ca un unghi dat), se efectueazã înmulțind gradele, minutele și

secundele cu numãrul dat și "reducând" rezultatul obþinut, adicã transformând în

14

unitãți mai mari ceea ce depășește 60 (la minute și/sau secunde). De exemplu:

23o45

'56

"x5=115

o225

'280

"=(acum facem "reducerile" pentru a avea numãrul de minute și

secunde mai mic de 60: din 280" putem lua 240

" care înseamnã 4

'; rãmânem cu 40

" iar

numãrul minutelor se mãrește cu 4, deci)=115o229

'40

"=(din 229

' putem lua 180

', adicã 3

o,

rãmânând cu 49' și numãrul gradelor majorându-se cu 3, deci)=118

o49

'40

".

Împărțirea mãsurii unui unghi la un numãr natural, se efectueazã împățind gradele,

minutele și secundele la numãrul dat.

Exemplu

82o55'8":4=20o43'47"

Clasificarea unghiurilor în funcție de măsura acestora

După măsură, unghiurile se clasifică astfel:

Unghiurile de 0 grade (cu laturile una peste alta) se numesc unghiuri nule.

Unghiurile cu o măsură între 0 și 90 de grade se numesc unghiuri ascuțite.

Unghiurile de 90 de grade (ale căror laturi sunt perpendiculare) se numesc drepte.

Unghiurile cu o măsură între 90 și 180 de grade se numesc unghiuri obtuze.

Unghiurile de 180 de grade (ale căror laturi sunt una în prelungirea celeilalte) se

numesc alungite.

Unghiurile cu mai mult de 180 de grade se numesc unghiuri reflexe.

Unghiuri complementare și unghiuri suplementare

Douã unghiuri adiacente cu laturile necomune perpendiculare se numesc unghiuri

adiacente complementare.Unghiurile cu suma măsurilor 90° se numesc complementare.

15

Două unghiuri ascuţite sunt congruente dacă şi numai dacă au acelaşi complement.

Două unghiuri adiacente cu laturile necomune perpendiculare se numesc unghiuri

adiacente suplementare.Unghiurile cu suma măsurilor 180° se numesc suplementare.

Două unghiuri ascuţite sunt congruente dacă şi numai dacă au acelaşi suplement.

Unghiuri opuse la vârf

Unghiuri formate în jurul unui punct

Trei sau mai multe unghiuri cu vârful comun, interioarele disjuncte oricare două, astfel

încât reuniunea lor şi a interioarelor lor să fie tot planul se numesc unghiuri formate în

jurul unui punct.

Unghiuri formate de două drepte paralele și o secantă

Unghiurile determinate de doua drepte paralele cu o secanta se denumesc astfel:

unghiuri alterne externe: 1 si 7 sau 2 si 8

unghiuri alterne interne: 4 si 6 sau 3 si 5

unghiuri corespondente: 2 si 6 sau 3 si 7

sau 1 si 5 sau 4 si 8

unghiuri externe de aceiasi parte a secantei d:

1 si 8 sau 2 si 7

unghiuri interne de aceiasi parte a secantei d:

3 si 6 sau 4 si 5

16

ȘTIAȚI CĂ?

CUM?

Discutati si exemplificati unghirile din viata reale, rolul acestora in diferite domenii.

Încercăm