Matematica- Clasele 1-4 - Culegere si metode de rezolvare Clasele 1-4 Culegere... · 2.1 Probleme...
Transcript of Matematica- Clasele 1-4 - Culegere si metode de rezolvare Clasele 1-4 Culegere... · 2.1 Probleme...
ilAMANA sC}INEIDER
GHEORGHE-AI}AI"BERT Sff $.I EII}ER
METODE DE REZOLVARE
A PROBLEMELORDE ARITMETICA
pentru''clasele l - lV
EDITURA HYPERION CRAIOVA
CUPRINS
Enun{uri1. Metoda graficl
l.I Probleme rezclvate ....i+........1.2 Probleme propuse
2. Metoda falsei ipoteze2.1 Probleme rezslvate2.2 Probleme propuse
3. Metoda comparafiei ............3.1 Probleme rezolvate3.2 Problerne propuse
4. Metoda drumului invers4.1 Probleme rerolvate4.2 Probleme propu$e
Indicafii, r[spunsuri, rezolvlril. Metoda graficf,
1.2 Probleme propuse2 Metoda falsei ipoteze
2,2 Probleme propuse .......,.......3 Metoda compara{iei .........'..
3.2 Probleme propuse4 Metoda drumului lnvers
4.2 Probleme propuse
5
6
15
4747
505757
60
65
66
68
79
97
97
103
r03
105
105
79
't9
115
1. METODA GRAFICA
Metoda grafici constiruie principala metodd de rezolvare
a problemelor de aritrnetic[. Ea sebazearhin principal pe:
a) reprezentarea prin cite un segment a m6rimilor de bazit
care ipar in cadrul problemei { mtrrimi de baz[ sunt acelea in
funcf,e de care se pot reprezenta alte m6rimi);
Exemple:1. Dacd in problemi se consider6 doul numere, unul cu 5 mai
mare decit iel5lalt, atunci ca num[r debazh se ia numlrul mai
mic:2. Dachin problemd se consider[ 3 numere, al doilea de 2 ori
mai mare dec6t piimul qi al treilea de 3 ori mai mare dec6t al
doilea, atunci ca numlr de baz6 se ia primul numir;b) stabilirea corelajiilor care existl intre marimile componente
ale problemei eti reprezentarea prin segmente a acestora;
f,xemPle:l Daci in problem6 se dau douS numere, unul cu 3 mai mare
deoflt ce16la1t, atunci reprezentErn:
I---------l primul numlrI---------I-LI-I al doilea numdr
2. DacE in problemi se dau doud mfrrimi, una de 3 ori mai
mare dec6t a doua, atunci reprezentim:
L--------I mlrirnea mai mic6
I---------I--------I-----*I mirimea de 3 ori mai mare
c) urmarirea logicii problemei qi determinarea marimilor care
se cer in erunful Problemei'Exemplu:Daci un numir este cu 2 mai mare decdt altul, iar suma
celor doui numere este 10, atunci reprezentlm:
r--------II---------I-I-I
primul numlral doilea num6r
I---------I--------I-I-I sumacelordoui numere
Cum suma celor doui numere este 10, rezult6 cE primul
numireste (1.0 * 2):Z = 8:2 = 4, iar al doilea 4 * 2 = 6'
1.1 Probleme rezolvate
1. Doi &a!i au primit de la parinfii lor l0 banane pe care
le-au impl(it in mod egal. Cdte banane a primit fiecare?
Rezolvare. Ca mlrime debazd lulm numlru] de banane
pe care le-a primit fiecare din cei doi frali qi reprezent6m:
I----------I numdrul de banane primite de fiecare din
cei doi frafiI----------I----------I numirul de banane primite de cei doi frali
imPreunlCum cei doi frali au prirnit impreuni 10 banane, atunci
fiecare din ei a primit 10:2 = 5 banane'
2. Ionel gi Maria al impreuntr 8 caiete- Maria are cu 2
caiete mai mult dec6t lonel. SI se determine cite caiete are
Ionel qi c6te caiete are Maria.Rezolvare. Ca mSrime de baz5lu[m numirul de caiete pe
care ll are lonel gi reprezentim:I--------*I numErul de caiete pe care-l are Ionel
I----------I-I-I num6rul de caiete pe care-l are MariaL---------I----------I-I-I nurn6rul de caiete pe care-l au
impreun5 Maria qi lonelCum Maria gi Ionel au lmpreunl 8 caiete, ahrnci Ionel are
un numlr de caiete egal cu (S - Z): 2 = 6:2 = 3, iar Maria are
un numir de caiete egal cu 3 * 2 = 5.
3. Surna a doui numere este 7. Unul din ntrrnere este cu 3
mai mic decit celdlatt. Sb se deterrnine cele doul numere'
Rezolvare. Ca mhrime debazd luBm numirul mai mic qi
reprezent[m:I----------lr--------*I-I-I-I
numErul mai micnumirul mai mare
I----------I---*-----I-I-I-I suma celor dou6 numere
Cum stuna celor doui numere este 7, rezult5 cE num[rul
mai mic este egal cu: (7 - 3):2 = 4:2 - Z, lar numIrul mai
mareeste2*3=5.
4. Mama impreun6 cu fiul au 30 de ani- Marna are vArsta
de patru ori rnai mare dec$t a fiului. Sd se determine virsta
mamei.Rezolvare. Ca mlrime de baz[ luf,rn virsta fiului qi
reprezentim:I----I virsta fiuluiI----I----I----I----I vdrsta mamei
I---I----I----I--I.--I vAmta marnei impreun6 cu vdrsta fiului
Cum mama impreunl cu fiul au 30 de ani, care sunt repre-
zentali de suma a 5 segmente egale, ahrnci varsta fiului este
egald cu: 30:5 = 6 ani, iar vfirsta mamei este egal[ cu
6 +6+6+ 6=24atti-
5. Mama are de 5 ori vSrsta fiului qi cu 20 de ani mai mult'
Sd se determine vdrsta mamei"
Rezolvare. Ca mirime de baz| lu6m vfusta fiului qi
reprezentirn:I----I 20 ani I vflrsta fiuluiI----I----I----I----l----I v6rstamanrei
Rezultd c6 surna a 4 segmente reprezint[ 20 ani' Atunci un
s€gment reprezint6 5 ani qi virsta fiului este egali cu 5 ani'
Virsta mamei este egall cu 5 ani + 20 ani :25 ani'
6. Daci impdrlim un num6r ta 3 oblinem acelaqi rezultat
ca atunci c6nd -am
scadea 40 din numdr. s6 se determine
num5rul.Rezolvare. Ca mirime de baz6 luIm numdrul imparlit la 3
qi reprezent6m:I----------I----------I----------I nurnf,rul
I----------I numirul impir"tit la 3
L------40----------ISuma a doui segmente egale este 40, deci un segment este
egal cu 20. Numirul este egal cu 20 * 20 + 20 = 60'
7. M[rind cu 6 dublul unui num[r natural oblinem un
numlr cu 18 mai mare decat nurnirul initial. s6 se determine
numlrul resPectiv'
7
Rezolvare. Ca mirime de baz6 luim numlru] Ei repre'
zentSm:I-----------*-*-----*--- I
I------Ir-,----I-IT------I-I-I
prirnul numdral doilea nurn[ral treilea nurnlr
numlrulI-----*-*---------------I- -----'--I-I-I-I-I-I-I dublul
numlrului adunat cu 6
I-------------------------I-I-I-I-I-I-I-t-I-I-I-I-I-I-LI-I-I-I numlruIadunat cu 18
Comparind ultimele dou[ reprezentli, rezultf, ch un
segment este egal cu 18 - 6 = 12, deci numIrul este 12.
8. Un automobil parcurge o treinre din drum qi se g6segte
la 300 km de destina{ie. SE se determine lungimea drumului'
Rezolvare. Ca mirime de baz* lu1m o treime din drum Ei
reprezent[m:I------I------I------I drumulI------I o treime dir drum
I-------------I 300kmSe observi c[ dou[ segments egale fac impreuni 300 km'
Atunci un segurent are lungimea de 150 km, iar drurnul are
luagimea de 150 + 150 + 150 = 450 km.
9. Suma a trei nurnere naturale consecutive este 213. S[ se
deterrnine cele trei numere.Rezotvare. Ca mirime de bazE luim prknul num6r qi
reprezentlln:
I------ I------ I*---- I-I-I-I suma celor trei numere
Cum surna celor trei numere este 213, rezultl ci suma a
trei segmente egale este ?13 * 3 = Zl0, iar un segment este
egal cu 70. Cele trei numere sunt: 70,7A + L = 7t,70 * 2 =7?.
10. Mama, tata qi fiul au impreunE I50 de ani. $tiind cE
marna qi tata au aceeaqi v6rst6, egal6 cu de 2 ori v6rsta fiului, sIse determine vArsta pentru fiecare rnembru al familiei-
Rezolvare. Ca mirime de baz6ludm vdrsta fiului gi repre-
I------I------I------ I------I------I suma vtrstelor mamei, tatllui 9ifiului
Cum mama, tata gi fiul au impreunl 150 de ani, rezultd ci suma
a 5 segmente egale reprezintd 150 de ani. Atunci un segment
reprezintl 30 de ani. Mama Si tata au 30 * 30 = 60 de ani, iar
fiul are 30 de ani^
11. Tatil are de 2 ori vSrsta iiului gi I Ain varsta bunicului
sau. $tiind c[ impreunS, cei trei au 180 de ani, s[ se afle v0rsta
fieclruia.Rezolvare. Bunicul are de 3 ori vdrsta tatllui qi de 6 ori
v6rsta fiuhli. Ca rnlrime de bazi luim virsta fiului qi
reprezentlm:
zenfj;tn:I------II------I------lr------t-----l
T_-.II---I----l
I.-.II----I----I
v0rsta fiuluiv'6rsta mameivirsta tatSlui
L---l----l----l----l----I----I virsta buniculuiSuma v6rstelor celor trei este 180 de ani qi se reprezintS:
I--- I----l----I----L---I----I----1-.--I----I.Deci surna a 9 segrnente egale reprezintn 180 de ani' Atunci un
segment reprezintl 20 de ani qi cei trei au urmitoarele virste:
Fiul are 20 de ani, tatal are 20 * 20 = 40 de ani, iar bunicul
are 40 + 40 + 40 = 120 de ani.
12. SE se determine un num6r de trei cifre astfel incdt
prima cifri sh fie de 3 ori mai mare decit a doua ciftl qi de 6
ori mai mare decit a treia cifr6-
Rezolvare" Evident a doua cifr6 este de 2 ori mai mare
decit a treia cifrl. Ca m5rime de bazl luf,m cifra a treia a
numdrului pi rePrezentim :
virsta fiuluivdrsta tatAlui
a treia cifrla doua cifr5
9
I*--l---'l----l----I----I----l prima cifr6Cum fiecare cifri a nurnSrului ia valoarea cel mult egal6 cu
9, rczultl ci un segment al primei cifre ia valoarea 1. Atuncicifra a rrei este l, cifra a doua este 1 * l" = 2, iar cifra a treiaeste L * L + L + 1 + 1 + I * 6,iarnurn[ru]este621.
13 Suma a doud numere naturale este 25, iar diferen{a loreste 15. Si se determine cele doui numere.
Rezolvare. Deoarece diferenfa celor doul nllmere este 15,
rezultb cd un numdr este cu 15 mai mare decAt cel[lalt. Camirime debazd lu6m numirul mai mic Ai reprezentim:I----l num6rul mai micI----i-I-I-I-I-I-LI-I-I-I-I-I-I-I-I num[rulmai mareI----I----I-I-I-I-I-I-I-I-I-l-I-l-I-I-l-t suma uurnerelorCum suma numerelor este egali cu 25, rezult[ ci surna a doudsegxnente egale este 25 * 15 = 10 $i ahinci un seglnent esteegal cu 5. Primul numlr este 5 qi al doilea numir 5 * 15 = 20.
14. Un biciclist pornepte dint-un oraq qi dupl 60 de kmconstatd cI mai are de parcurs un sfert din drum. Sh sedetermine lungirnea drumului dinhe cele douf, ora$e.
Rezolvare. Ca mlrime de bazl lu[m un sfe* din drum sireprezentf,m:I------I lungimea unui sfert din drurnI------I------I------I-----I lungimea drumuluiI--------------------I 60km
Din reprez.entare avem c[ suma a trei segmente egalereprezintd 60 km. Atunci un segmetrt reprezint[ 20 km, iardrumul are lungimea egal[ cu 20. 4 km = 80 km,
15. Dach adhug[m 6 la un num[r, oblinem acelaqi rezultat
ca atunci c6nd il inmultim .* I. ,U se determine num1rul.,4Rezolvare. Ca m[rime de bazd tu[m * diu nurnhr qi
reprezentim:
l0
1.2 Probleme propuse
l. Doi &a{i au impreuni 10 portocale. Este posibil ca unuldin fra1i s[ aibi cu 3 portocale mai mult dec6t cel[lalt?
2. Maria gi Simona au impreun[ 15 manuale qcolare'
Maria are cu 5 manuale mai mult decit Simona. C0te manuale
are fiecare fat5?
3. Trei copii au primit 6 porf.,ocale pe care le impart in mod
egal. CSte portocale a primit prinrul copil?
4. Este posibil s[ irnpdrlim 17 mere in mod egal la doi
copii? Dar la frei copii?
5. Tat6l a doi copii cumplri 15 ciocolate, din care 5 le disoliei sale, iar restul le irnparte in mod egal celor doi copii.
Cire ciocolate a primit liecare copil?
6. Suma a dou6 numore naturale consecutive este 41. SE se
deterrnine cele doui numere.
7. Suma a doui numere pare consecutive este 42. Si se
determine cele doul numere.
8. Suma a doui numere impare consecutive este 64. S[ se
determine cele doul numere.
9. Suma a trei numere pare consecutive este 66' SE se
determine cele hei numere.
10. Suma a trei numere impare consecutive este 51. S[ se
determine c.ele trei numere.
Ll. Surna a trei numere este 18. Primul numir este 5, iar al
doilea num[r este cu 1 mai mare decit al teilea numdr' Sl se
detbnnine al treilea num[r.
15