0rEp!10$u0c - 0002 0tEut

P-llln e Prlrpe

E-ll E BouB[

E-lllll E EsBlc

0ulOlll000

Plm0pPCllBltl0lBlu

tpd' OZOZ- 6 LOZ- Zd- Sesp lr-ar ept losuor-ar en I e^aoln e-ap-a1sag-r 11n los/ppol ultnop

/or' gte la I pr ed e.r n1r pe'nnanm/7 :sdpq

:esaJpP e; alelnsuor r;1odaJenle^eolne ap rola$al a;rrin;o5

YllUDlN PlrPfl|vIUDI N uotuv

'q1t:l-.: '. ,

.CI]BUIO]BIII

e-rS elseecy 'BrugruoU urp ecrleru:

rorsruro3 elrJppu€ruooer rS edngL

'o-ilIrl D outlc n4uad atooEu u; I

,t0ltsl.alu)natd luotugiq'-L: T v',

! iiilil.*i' ii!!+ii ri:iir riF rri: ':;'

rrosNoc sc suviv Nr

ICuprins

,tr,cnnnnCapitolul I. Func{ii.......

GEOMETRIE

Capitolul I. Prisme arap-l. Prisma patrulater6 rcgsld L2. Cubul......3. Prisma triunghiulare reguld-Probleme de matematicn ryhcdRecapitulare gi sistematizare prilTest de autoevaluqre

Capitolul II. Piramida regulati -Probleme de matematicd aplicatE

Recapitulare qi sistematizare prirTest de autoevaluare ............ -....-

Capitolul III. Trunehiul de piramirRecapitulare gi sistematizare prirTest de autoeyaluare

Capitolul IV. Corpuri rotunde.......l. Cilindrul circular drept...........2. Conul circular drept................Test de autoevaluare ..................3. Trunchiul de con circular drepTest de autoevaluare ..................Recapitulare qi sistematizare pril4. Sfera

Modele de teze semestrialeTEZE DE TIP A .................TEZE DE TIP B ..................

Recapitulare gi evaluare finaIl.......

Exerci{ii gi probleme recapitulatir r

ALGEBRAGEOMETRIE ....................

Modele de teste pentru evaluarea fModele de teste pentru Evaluarea l

Capitolul III. Sisteme de ecue'ii-- 351. Ecuafii de gradul I cu dd moscute .............................352. Sisteme de douii ecualii & gr.ful I cu dou[ necunoscute .......................363. Tipuri deosebite de sire- .........................41

Capitolul IV. Probleme rdl-o ejutorul ecuafiilor gi al sistemelor de ecuafii...........43Probleme de matemati(aTlicd in viala cotidian5..... .....,.....46Recapitulare gi sistmizzcpin teste ..........-....47Test de autoevaluqz .......................49

Capitolul V. Rezolvru G-tri de gradul al doilea ..................51Probleme de matmli Tlbte in viala cotidian[..... ...........56Test de autoevaltue .......................57

Recapitulare gi siqeilEizE prin teste ...............63Test de autoevalwc .......................65

Capitolul YIL Tm;=r rccepitularea finalI ........................671. Numere natrale- hrri cu exponent num6r natural. Divizibilitate.................. ".........672. Rapoarte. Prqc1i. hoporlionalitate ............ .....................693. Procente.. ...............704. Numere rEale ------ ..................715. Calculdgehb ........726. Problmderimiice se pot rezolva cu ajutorul ecualiilor gi al sistemelor de

ecualii......-.- .............737. Ecuafii &graful loonecunoscut5.......... .........................748, Funclii .....................759. Inecuafii.. .................77Recapitulare gi sisternmiae gin teste ...............78Test de autoevaluare I .-..........-..... ......................81Test de autoevaluare 2 .........-....... .......................83

€8r """"" " """"""'runsNrldsYu rs rr.iyf,raNr

8sI"""""""' """""""pI3uoIiBN Bersnlsag uluad alsal ep elepohtr

tsl""""'-"" glBuu BarBnIBAe nrlued elsol ap alapotr{

1Vr""""""" YUSEC.IVLttgleuu uarunlBAo nJluad e,,\llulnllduJa.r aualqord rS rrircraxg

"""'v dlr gc IIZaJ,€I""""""""""'alulrlsauas azol 0p olapotr^tr

9€I "" """"" """" ErsJS ''StI """"""" elsel uud e-rezrleurelsrs rS erelnlrdecea

€tI.............. ....... alDnlotaolno ap lsal

62I""""""" ' "" ldorp rBlnJJtJ uoc ap InlqouruI'[L2I.....,........

.......z"onlD^aoln0 ap lsalt21""""""" ""'lderp relnorlc InuoJ 'Z

rcy""""""" lderp relncrc ITpUIIIJ 'IIZI""""apunloJ grndro3'r11 p1o1gdu3

6l I """"""" """' a.DnlD^aolnD ap lsalL11""""""' "'else] urrd e'tuzrleurelsrs rS erelnldeceA

CII"""""""' """""'p1u1n8ar qpluurld ep Inrqeunrl'y11 1nyo1rdu3

I I I.'............ .. atDnloiaotno ap tsal

80I""""""" """'alsel urtdetezqeruelsrs rS erelnldeceA

tgl """"""" ' " "luelpnoc ejet,t u1 plucrlde pcll€tuoleru ep euelqordI0I"""""""' pluln8ar Eplurerld'11 1n1o1rdu3

66,............... ,, ajDltlDlaolnD ap lsal

L6"""""""" rlsrl utrd alEZlleLUelsIS rS ereFgrdeces

96"""""""" luEipuor cier r ur gte rrldu qJttetueletu op euelqoJd

26"""""""" g1e1n3er grelnrq8unrrl eusrrd 'g

06"""""""" Inqnt'z98"""""""" crq8unlderp lnpadrdrleleru4 'gldeerp gleln8er grele1ru1ed BUSrrd 'I

plduarp Erusgd '1 1n1o1rdu3

gIUIgINOgS

!8'18'

8L'LL'9L'IL

cl'ap Joleuelsrs 1e tS roprience I

21""""""""I 1 """"""""'0t""""""""69""""""""19"""""""" oIBIIIIqIZ^I(IL9

ILr-C

aruJ!Ihto!Ic

=o+o3a+6' o(c)o(noo

HHHI

o

'JoleueJSerp IruolnlB nc elrJsep :-: -. - ' 'letitugap ep Inlueuop ulp ,' .--: - '--

-ued (r)/'eereole.r. gzeazrtetd es eJBc uud alnurro; roun 1n-rolnle no oLIJSJp JJEtrr- -- -

ierirurlep ep Inru.--.roleluetuolc a;uollzundseroc ,rolrJolBA. e lequl un-IuI BeJecIput uud euudxe eJBod :. .

:llnpou ellruu retu ul qlep g eluod IIicurU raun u giuepuodseroc ep ca;-:

'gfuepuodse;oc ap ee8al:lnruelrr0poJ

ierirugap ep Inruetuop:eluauodtuoc rerl uud orJcsep es ericung 6 giuapuodsaJoJ op a8al elSeunu es g urp (.\. ) -

areoiEzundseJoc elIJol€A t{y = x elelueruole a:lut etilun3 olSepqels o eJec edernlq8el'r ur rericurg €eJeolel else g lJ uraunds :q = (o)teucs cs 'Er

= q Inlueuela

ppundseroc \-ps v l D rnlnluoruele eJ oJE-l p.: grEf[ 'g <- v:/ eriounl o p]ep old

IuoA 68r uarulilnrurytpca{ BJ ruaJur

ulp ]uauala tnEutsaJgJaJEo naparo.rd

'g el v q ep alicuny o lpgop ruu pc aunds,rz ppundsaJof, l-ps y zarulilnur urp luerueleun-rlugrd pcuq lutlilnlrr Rnop g. IS Z eI.{

ldaunfI Inlolldpc

"' 'q '3 ,/ nc ractqo ep Pzeelou es eltticung '..€r ul IJolu .

nc V ed gyagep f' urltll'g. <- y : l grctou g E^ g eerutiymu uJ Irol€A tc y edpt1uuep

/ ericury o '1e:eue8 uI 'rJolu,\ er erirurg arEJ uI ueutilnu n€s Inluauopoo elSeutnues g eeurilnlu r€r 'rlricurg 1e arirugap ap nluetuop elSeurnu es y eeru{p141

gueld ar,-aLr,:=: -r-, Lunriou roun e a:ryer8 upluazardai uttd eareuudxl

erolsa)e rrpzrlalf,ere: ;ndors u1 ttitunl.roun e ne: i a.-;cuodsaror roun E unpou asleArp u1 ea.reluazarda;

!liEn)au I

Joun e ri uien:a ror: ?arp,\lozar u1 rrfcun, roun roluolel earezrpltl

1|b"nr t-:i'r: 3.rPl aiuapuodsarof, loun eatal$eounroX

Fiind dati o funclie/: A -> B, mullimea de puncte din plan avAnd coordonatele 1"t, -1'),

unde x este un element oarecare din A, iar y =.f (x), va fi irumitd graficul lunc(iei. /rceastlmullime se scrie Q= {@, y) y = "f (x), x e A} .

Egalitatea y = -f (x), adevdrat[ pentru fiecare element r din .4, va fi numitii ecua(ia

graficului funcliei/. Se obignuiegte sd se noteze funcfia in f'clul utrrrdtor:1,'=.1 (-t), .r e .'lFie f : A -> -B o func(ie. Imaginea (sau mullimea valorilor) luncfier / cste mullirnea

lmf= {f(x)lx e A}.inmodevident,Imf c-8.Se mai poate scrie gi astfel:

lm.f=1, e Bl(l)re ..lasttel incatr =l(r)1.O funcfie al carei domeniu de definitie,si codon.icnirr sunt suL.rt't'r-Lltirri alc lui lR (rnr.rl-

timi de numere) se numegte functie numericiDouifuncliif :A-+ B qig: C --+ D sunt egaledaca.4 -C,B=D;i./(r) = q(r). oticare

ar fr x e l. Se noteazdr.f = S.

ingeneral, ofunc1ie.l': i -+ R.descrisideformula/(x)=o."r lt (undeaqi 6 sunt

numere reale) se nume$te func(ie liniarl. Reprezentarea geometrica a mul{imii grafict

pentru o funclie liniar6 este o dreaptd.Pentru a trasa graficul unei funclii liniare, este suficient sb dam variabilei -r doua valori

distincte.

oPentru/: R. -+ lR,/(x) = ox r b, dacd a + 0 qib = 0, se oblinc functia liliari./'(-r) -

= ax, al cdrei grafic conline originea axelor de coordonate.

Pentru/: IR -+ R, .f(x) = ax t b, dacd a= 0 $i D + 0, se obtin funcliiic liniarc de

forma/(r) = b,ale clror grafice sunt drepte paralele cu axa Or. Funcliile cle acest fel suntnumite func1ii constante nenule.

Pentru/: JR -+ lR,/(r) = ar : 6. daca ct = b =0. obtinem o functiel(r) = 0, aI carei

grafic coincide ct axa Ox.

Uneori, pentru trasarea graficului este mai comod si se stabilcasci punctclc irr carc

graficul intersecteazd axele de coordonate.( lt \

Gln Oy = A0:f $)\ e G1r , Oy - A(0: b): G, .: O,r = B[ :,

, )

2.Explicitali domeniul de d

f : A-->R-

Solufie: Cumx +0 = A: I3.Fietuncliaf:A-+Wfb

a e Zpentnt care punctul B(l:Solu{ie: A = {2, -1, l, 2} - l

= -1, a: -3.

O O O octivitdti

Care dintre diagramele c: -'

Diagrama alaturata desc:..codonteniul lui/ Deternrin":

Descrieli printr-o diagrlr,a) f : {0,1,2} --> {0.:.: -

b) g: {-2.-1.0. 1.:l *. Care dintre tabelele de n:.

a) -t

"f (x) 33

r. Explicitafi domeniul de c.r^

= ,'l x' -4x + 4 , unde,4 -

este probabilitatea ca, alesa:: :

./'(n) <o?. Care dintre urmitoarele :; '

a)f : {-1,0,7,2\ + ltr

b) g: {0, 1,2,3\ -+ )i. ..- :

c) ft : IR -+ IR., /z(x) = 2

.r

a)

c)

f, f!@ 1. Nofiunea de func[ie. Funclii definite pe mulfimiI finite

Exemp!e:l.Descrieli printr-o diagramd, apoi printr-un tabel funclia urmdtoare:

f : {-r;0;1} -+ {2;3;4},f (x)=x+3.Solu(ie:/(-1) =-1 + 3 : 2,f(0)= 0 * 3 =3,f (l) : I + 3 = 4.

oovto()xi.9+oEq)

o

=

h.n"t"t"r"* .

.r l-l 2 I1@l 0 4 6

x.-=(irl.g <- 6 : 17 (cZ

irr = (43 'N <- { E 'Z'l 'O\ : 3 (q,

:-r: (r)/'{1 'O\ <- {Z'l'O'l-\ :{(eeelicurg o quzardar nu r{e1er oIeJBolEIrun e4ulp oJBC'9

ro > (u)tureuriqo ps /rericurg 1e erirugep ep 1nruaruA urp ,( Irupumu pugSele 'ecealelryqeqord else

en3 i{r€ticrnu rolrrole^ eeunipu srs:, arpJ-{g > l"l lZ = x}: f epun ' V+xV- zxl\ =

= (x)_/'U <- V :leficury nuuad arr(xlse ap ueEsl rS erirugep ep 1nluetuop tieltcqdxg'g

uaricuny o arJcsep sofreru ep aleloqe1 oJlurp eJeJ

_t= (r)8,{l,t,Z.l,0} <_ {Z.l,0,1_,2_} i B (q,

iZ+ xZ=@)"{'{g'r'Z'O} <- {Z'I'O} :I @: : .. -- .:.::1f uIU 'laqet un-.Ilul-td tode 'pure:3etp o-:1ut-td tieucseq

'(t)/-tS (7)/ fieulluuteleq /lnl Inrueuopoc.s lnrueuop Iilllqels /eticun; elrcsep glernlplu eruur8urq

tI

lsricurg o erJcsep sofreur ap eyeurur3erp e4ulp

o o o aJDIP^uJ aP !lP+!^!+rD o o o'f- = 0'1-:

- Z -t o + Z + n - t l' - -:l .- = ( I)/€ /g = 0- i1)g pceq' t Z' I' l-'Z-| = y :aJinlog

::urunJ rnlncger8 euri-rede (t-:t)S lntcund erccn4uedV = o

rnlBerBolEArieururalaq ; ; ; . I = r) :VIS Z !xD =(r)-/'U <- y :/ericurg arg

' {Z' l' l-} = y € 0 + r runJ :arinlog

'{€," > t- ==.t} = Vrf :=@)!'N<-Y:! L

ertcurg ru1ued erirugep ep Inlueruop rielcrldxg

r-=o+o3oLoo(c)olaoo

HHHIo

'l=E-'€+r

:ereo1gum eli

ere

EE

t : -- - . r.r)/!r.urilnl'U ed a1tur1;

(Lt'lo'-- s- \ q)

eJeJ ur elelcund BJSEoIrqeis .1\ I

IaJ[J le '6 - (r)./rri.runJ o rLr)Ll:.

luns [eJ ]sece ap epr]cung ',r17 trep erBrrrri epricunl urfqo as 'p =

- (r\/ prBturl BriJuru eurjqo r.

rJole^ Pnop r relrqBrJe^ urEp ps tt

cgur8 rrulrililu e Ecr4eruoe8 e:

luns q rS r epun) Q + xo = (x)J

erecrro '(x)3: (x)tt{ CI = {') =

rnur) N rnr ep,-,fiT8)IT,

eeurilnur else rf rericurg (roluoyr'V

= x !(x) {= / :rolprurn plag u

u{unra Ellunu 11 et 'V qp r I

plsuecv lericunl poger8 girum!'(,{'r) eloleuopJooo pue\E urr-i :

n /

I-I 0 I-z-l r(pVZI-(c

E E rl(r)"/z t oTr tu

+

oI

HHH

(,otno())o.9+oEc)+o=

I

7. Fie funclia "f : {-1, -1, 0, 1, 2} -+ 1R, f (x) = x + 3. Stabilili care dintre punctele

urmltoare aparlin graficului tuncliei: AQ;1); B(-1;3); C(0; 3); D(1; 5); nQ;6).8. Determinali Im/(mulfimea valorilor funcliei) in fiecare dintre cantri.le urmdtoare:

a) f : {_l; 0; l;2) -+ IR,/(x) = x2 + t;

b) f : {2; 1; 0; l; 2} -+ IR,/(x) :2x + 3;

c)f : {1;-2;-l;0; 1} -+ R,"f(r) =-x+29. Pentru funcliile de mai jos, stabilili codomeniul cu num5rul minirn de elemente, gtiind c5:

a)f : {);-1;0; 1;2;3} -+ B,wdef (x):x+3,b) f : {_3; 2; _l; l;2;3; 4} -+ B,unde/(-r) : x2;

c)f : {-2;-1;0; 1; 2;3;4} -+ B,undef (x):2x+ l.{ O. Pentru funcfiile de mai jos, stabilili domeniul de defini}ie, gtiind c5 fiecare element al

codomeniului este imaginea unui element din domeniu:

a) f : A -+ {-7 ;-5; -1; l; 4}, f (x) = 2x - 3;

b) f : A -+ {4; 3; 2; 1; 0; -l},f (*) = -x -r 1;

c)f :A-+ {0;4;9;16),f(fl:f .

'f {. Determinali a e IR., gtiind c6:

a)f : {); l;2;3} -+ IR,/(x) : cLx -2 qiA(l; -3) e G1

b)f : {);-l:' l;2} -+ JR,/(x) =3x + a qiA(l; l) e Gy,

c)f : {-3;-l;1;2) + IR.,/(x) - ax-5 qiA(2;-l) e Gy.

12. Care dintre perechile de funclii reprezintd funclii egale?

a)f : {-2;-1; 0; 1;2} + N;/(x) =12 Si g: {-2;-1; 0; 1;2} -+ N,

sU): lvl;

b)f : {1;2;3} -+ {-1;0; l\;f (*):x-2 $ig(-r) reprezentatd aldturat.

trPentru func{iile de rnai jos, stabili{i hn /'si reprez:ntati grafic mullimea intr-un sistem

de axe:

a)f: {-2; 0; t;2} -+ {-1; t;2;3; 4; 5; 61. / (r ) -,. - 3:

b) t: i 3;);1;3; 4} --> 1R,/(r) =lr2;

c)f:t 2; l;0; 1; 2|-+2,/(x)=2x+1Pentru funcliile de mai jos, scrie{i multinr.'a grahc Ai reprezentali-o intr-un sistem de

axe de coordonate:

a) f: { l; 0: l; 2;31 >]R,/(r) =-2.r - 3:

dacl r < -1dacd r> 1 '

I x+2.--> R, /(x):l n_.'

l-Lt,

c) f : {1; 2; -l; 0; l; 2; 3\'

{ 5. Reprezenta}i grafic func$ile

a)f : {);-1;0; 1; 2;3) +l

Qf : {a;4;-2;-1;0; l;21

c)f : A -+ R,/(r) :-x*2,1{6. Reprezentali grafic funcFik

a)f : A -+ 1R.,/(x) :2x-3,u

b)f : A-+ IR,/(x): -]r*r2

c) f : {-3; -2; -r; 0; t; 2; 3l

{7. Se considerd fancliaf : l-2

numerele reale a, b, c qi 4 Snaparlin graficul ui fu ncfiei.

{ 8. Reprezentali grafrc funqiif

a)f : {-2;-l,r;2} -+R-/(,t

b)/: {-3, -l;0;3} -+ R,/0

c)f : {-2; -r; t;4) -+ R,,fQ

{9. Se considerd fimcfia/: t-:gtiind c[ punctele A(-2; -Al :funclia.

20. Demonstrali c6 nu exisui c

s[ avem:/(x) + f (2-x) : x - I

2{. Considerdm func}ia/: N-'-

a) Calcdatjf (2),f (4),f (8L

b) Caracteizali numerele -r;

22. Se considerd func[iaf : -1 -

a) Determinali elementele nb) Reprezentali grafic funqic) Calculali suma elementel

Eo-+ofoLoO(

C)o(aoo

HHHI

o

/'q rrunipu Jolelueruele uruns rie1nc1e3 1c'ericrng crset? tleluazerdell (q

/ut tS I ropulilnur eleluetuele lieurrureteq (e

'14: @)!'{. t l#l lr=.' :=

FaPm'z <- Y : lelicuryPreprsuoc as zz

'g= (x)letec n-qued elec ed rode 'i = {r)-/'aJBc n4ued r eleJerrmu rleztrclcem3 (

'oil l' Gd l' G) l' (il {' (7) I ryPcP3 P'utttltoluozrlrp IruBrmu ere rr|/epun'*N € -N :/eticurut uEJepISuoJ '1,2

'I +x=(*-d{+ (r)rt:ule,re ps

,xleetJqrunu ecrro ru1ued'lgcu1 1a3rse 1I e U :{efictm1 o ?lsrxe nu pc tiurlsuoluoq 'OZ'e4curu

cger8 rieluezerdeg 'rericurg mp.rr.rerii- mirede (V :dS tS (S- i7-)y eppund gc putqS

'U = q 'otleututnla1,'Q * rrr- rrrt { <- {Z:tig:7-:g-} :le$cry Ereplsuoc eS'6}

E'l{-: (r)"/'U <- {V:t:y-:7-} :t@

:lrl= (r)/'6 <- {g:O :1-:g-) :l(qx

: - = (x) /'NI <- {Zit :1-:7-} :l(uv

:epricuql crletB fieluezerdea 'gg'rericury rnlncgerS uliueda

@g :)O lS (t - r :llf 19 :t-)S '@ iZ-)V elelcund pc pur4S 'p IS c'q'o eleet elererunu

. Qqrg:rp'-r;' rleuruueracl : !f -(r)-/ 'u <- {g:t :g:1-:7-}:{efictml Preplsuoc es'z}0>-rE*P -I-r.:

'Z-lxl= (r)-/'N +- {t:Z !1 !g l1-:7-:g-} :t@

"I'* >z- lz- x|:vapan't**1-:(r)/'u <-v:!@

:{Z>lt-xl lZ > r}: Vepul'E-xZ=(r)-/'U <-7:t@: eyuicurg ctletB r1e1uezerde11' g 1

'{S r l"l I Z = *} - U epun'Z + x-: (x)-/'U <- V :t@

: I- < x grep .'z

* *\ = (x)!'u <- {z i 1 t6 i1- :z- iE :t-} :

! (qI->.rEc?p'l+x-J

iE -t zx-: (")-/'U <- {t:Z i1 ig i 1- :7-\ : t @

:epricury crlet? qeluezerdel .g 1

. [-<rI_>I !

ep tuelsrs un-JluJ o-rfuluezr.rci:,

ruelsrs un-Jlur eau{1nu crlu,ri :

'wrnryvgwu

'N <- {z:lLi

lu luatuale eJeceg gc puutS 'at: .

:pc purrlS 'alueurele ep uJrutLu i:-_

:eJ€olPuun elunzBJ a-BrrrP i

'G:Os:(s :r)ar :(€ :0)

elelcrmd arlurp erec lllllquts -t

[ < \ uJEp 'z -rrlll :0; r .\'Ercp '1 r r'f - (.r)./ 'U <- [g :; :1

I- > .\ "rp

-7 - 17)

*** plueuuo;rad ;S arePunlordY

23. Fie fimcliaf : N -+ N,/(x) = ultima cifrd a num6rului nattral*.a) DeterminaliImf.b) Calculali/(0) +/(l) +f (2) + ... +f (21).

24. Fie func,tia/: N -+ N,/(r) = ultima cifrd a numdrului natrral3'.a) Determinafi Imlb) Calculali/(0) +/(1) +.f (2)+ ... +f (32).

@ 2. Func[ia liniari

Determina(i func{ia liniar[ al cirei grafic trece prin punctele .a(1;7) qi B(l: -3).Solufie: Fie/: R -+ R,/(r) = erx 1- b. Daca .a( l; l) e G1=./(-1) = -7 9i/(-1) =

:-a ! b=-a 1- b=-J.DacdB(l; 3) e G1=,/(1)= 3 qi/(l) = a t b ) a * h=-3.AdunAndcele doudrelalii, se obline 26= 10, de unde b =-5 9i apoia=2=J@)=2x-3.

Se consideri func{iile.l: IR -+R,-f(x) = +2x - 1 9i g(r) :2x + 3. Determinalipunctul de intersectie al graficelor celor doud func{ii.

Solu{ie: G1 n G* -- lv[(r;.v) =.f (x):l Si S(x) = y = f(x) = g(x) + 2x I = -2x+ 3 =+ 4x= 4 = r - 1 =r = I = M\1; 1).

O O O octivitdti de ?nvdtore O C O

Reprezentali grafi c funcpiile:

a)/: lR + IR,/(x) =2x* l; b)/: R -+R,f (x):/6'c)/: R. -+ R,/(x) = l' d)/: R --+ R,/(r) = -1;e)/: R -+ R.,/(-r) = 0,2x -3; 0,f: R -+ R ,f(r) =Jix-y.Reprezentaji grafic funcfia/: IR -+ IR in fiecare dintne sinnfile:

a)f (x) = jx-t 2;

d)f (t) = 0,5x-r 0,2;

a)f (x) =2x * I 9i g(.r) = x -21c)f (x):3x- I 9ig(r) =4x-3;

c)f(x) - 4x;

Df@)= "13* -2.

b)f (x) = 4x t2 Si S@) =2x -3;d)f (*)=x!5 Sig(r) =2x-r7.

b).f : (- u:.: 2) + R,/(x) : x + 3;

d)/ : (<::31 -.> IR,/(x) =**,'J

e)f : ll;+co) -+ IR,/(x):].r

Fie tunclial: IR -+ re,ff.l:a) are abscisa egal[ cu -l:c) are coordonatele egale;

Fie tuncfia/: IR. + 1R, /(.t) =a) ordonata egald at 4;c) abscisa egald cu-2;e) ordonata egald cu dublul al

8. Fie fiirrcliaf : JR. -+ lR.. /1.r1 ,

graficului tuncliei: A(-l; -l).49. Fie func[iaf : JR -> IR., f(x)=

a) Determinali a e R pentru r

b) Trasali graficul funcgiei in{ 0. Se considerd funclia/: 3 -

a) Determina{i a e IR. penEu r

b) Pentru valoarea lui a deter

{ L Fie fiinc\iaf : R. -+ IR, /(-r)a) Determinali b e IR pentnr

b) Pentru valoarea lui D detn

12. Fie fanclia f : R. -+ R./(rlacesteia in fiecare dintre cazuril

13. Fie tuncfia/: R. -+ IR,/(racesteia in fiecare dintre cazuril

14. Fiefitncliaf : IR -+ IR.,/(r)'

a) Determinali valoarea lui rb) Pentru m:3, trasali grafr

{5. Determinali valorile parm

graficul funcliei/: IR. -+ lR, defi

a)f (x)=-2x+ 5;

7.

C'IH

a{l{

oov,o6

ro.9oEq)

o

to

b) f(,i) = !,e)f(x)--r-1-3;

Reprezentafi grafic in acelagi sistem de axe funcliilel g : ? - : in t-recare dintre cazurile:

Se consider[ funcliile/: JR. -+ R,/(x) = 3r + I qi g: f- -+ :-. g(r) = 3r - 2. Trasa{i inacelaqi sistem de axe de coordonate graficele celor dou6 funclii Ce observati?

Reprezentali grafi c funcliile:a).f : [-3;2) -+ R,/(-r) = --r + 5;

c)f : [);3] -+ R,/(x) =Zr -3;

****

tr *

TI19 + rZ = (r)/ (tt

:uud plrugep 'U <- U :/rericrm; trncger8

ed alSespE es (I- lzyg Fqcurd erec nauad -E ) ut mlruleurured ellJol€,^. rieuurueleq '91're{cury lncgerS yiuse4 'g : ea n4ue4 (q

{D = (V- i1-}5 amc n-4ued U > Lu Inl eeruole.t {euuueleq (u

'ur. - 9 + x(E - w) = @) {'W <- y :/uricutg e}C 't }

1aqe1 uJ eleluezatdelr;rlzec e4ulp eJ€ceg uI Blelsece

1ncgz.6 1lezr1eu rS rarieunl urc; rieuruuep1'q + m '(r)-/'U <- g :/ericulg olC 'tl

'lequl uI eleluezatdayunzel equlp eJ€ceg ul €Ielsece

pcgu.6 ftzgeal $ F{ry uu.roy riuuruue}eq 'g | )co = (*)-/'U <- 6 :/ericunJ old 'Z}dnJ ;acgBf riese4 'rorrelue plsuluue1ep g Inl €ereol€,t n4ue4 (q

'p$rqg 1uqdJ# c (g- !1-)yppmd eruc ru1ued 6 = g rieuruueleq (e

'q + xE: @)l 'U <- U : le\cury old 'l !

.ft Jncgs.6 riesz4'touelue E1€tmrrrelep D Inl eeJ€olu,r ru1ue4 (q

{C = (g i1)71n1cund erec n-r}ued U =

D liuunureleg (e

'Z + m = (x)l 'U <- N :leficury preplsuoc eS '0 !:uqrooJ ep ex" ep uelsrs un-4ul lefcuq lncgerS {eserl (q

{C = (t- i7-)V emc n4ued g = rz {euruueleq (e

'o + xE: @)l 'U <- U :lerlcury el.{ '6{Z b)g '(S:Z\O 'G.:iC 'G,:Z-)g 'fi- :t-)V :rericurg rnlncger8

urirede pze€,uun m rymd r!4p a.wo pr-11qe]S'I + xZ = @)l'U <- U :{efiom.l eld'8'resrcsq€ Flqnp nc gye8e uleuopro (e

irestcsqe usndo nc glde urmopro (plep8a slareuop:oor (q

'asndo eJetunu elol€uopJtrra-' :-r riy nc gp?e eleuopio ;-. , r

'r: (r)/'6 <- (*+ it ) :/ r-+

i7- nc qle8e csrosqr: (c

ly nc glu8e eluuop-ro (u

lclu8e aleleuop.rooc ele (oi1 nc gle8e Esrcsqu eJe (E

t :t+-=(.\')/';+ riflr=(t'lJ'-a*

lriuruasqo eJ tri.1

u! tieserl'Z- xt - 1r;3': <--L+xZ=(x)ErSe

it- xZ- = (x)B 15 7 -:elrJrzBc e4urp eJBceu uI u <-

'Z- xt = (x)-/G

'.xy- = (x)t@

:alniung

'1-xzy=(x)t,

ix- = (x)t',

:xZ = (x)f ",

oa

€ t+ xZ-=I -rZ€ (r)3:G

riuunureleq 't + xZ- = (4S IS't-T(,=(x)te7=orcdeA5

'e-=Q+D€q+D-(t)"/tS= (I-)-/ts 1- = fi-)l etg =

'(S- :t)g rS (1 i1-)y eyelcun

=A+o3oLoF(c)oIAoo

r{HHIo

:eJ? ec cgerE ed ap yururd rieuruueleq'l - xt = @) {'U <- U : teficury elg "Z

:erec cgur8 ed ep ppund riernu.relsq'Z - xt = @) I'UI <- UI : leticunl old'9

:Z ,!= (41'U e (*+:El :/(e

Z(r) /cQ )/

Lq

t-0n

(q(E

ft)./I\t )J

cq

IZo

l(q(E

Se considerf, funclia/: IR. -+ R. ,"f @) = (2m - 3)x r 7.

a) Determinali rz e IR. pentru care punctul M(2; 7) e G1

b) Pentru m: 2, trasafi graficul funcliei.Se considerd funcfia/: R --> IR ,J'@) - (a + l)r + 2ct + 4.

a) Detemfna{i valoarea lui a e IR. pentru care graficul func{iei contine origirtea siste-mului de axe cie coordonate.

b) Pentru a = 2, reprezentati grafic func{ia.

Dt:tenr-rinati ralorile lui .r = 'pentm

care punctul A(a;2') e G1 tnde/: R -+ lR este

dehniti pnn:

a),f(r)= ;1+31 c)f (x) = -73x + 71.

F'ie func{ia/: 1R -+lR qi/(x) : ax + b. Determina\t ct, h e ?. pentru care graficulfuncliei este dreapta,4B, in fiecare dintre cazurile:

c)f(x)=2012x+2011;e),/(r)=(m-4)x+3;g)f(x):mx 2m 1;

a') t[(-l; 7) qi B(l; l);c) A(-1; 7) 9i B(l; 3);

d)f(x)=mx 2;

11.f1x1:n* 3m-5;h)/(r) = mx -- 5m + 3.

a)f(x)="r*4;1

dl/'ttt= lr;-3:c)1'@) - -2x 4:

-t+lt)/ (r)= . .

26. Fie tunc1ia/: R --+R=_f(.r)=

a) Determinati valoarea reali

graficul funcliei.b) Pentru m: -2, reprezenta

27.Fief : JR -+ JR,/(x) : (m -)a) Determina{i ru e IR. Pentru

b) Pentru m =4, rePrezentagi

28" Se consider[ func]ia/: R.

valoarea lui z pentru care Puncl

29. Determinali a e Z" pertrut

f (*): (a -2)x + a-r 3.

3O. Fie func\iaf : R -+ IR.,/(.r

cate reprezentarea graficd a fun

3{. Determinali funcliile liniara) A(t; -1) ei B(1; 3),

c) A(-2;1) qi B(2; -1);32. Stabilili dacb urmbtoarele ;

a) A();0); B(2; a) qi C(s; ic) A(-t;7); B(2;2) si C(3:

33. Fie funclia/: IR + IR.,/(:

Alm; n) qi B(c; d) apa(in gndistanla de la originea axelor la

34. Se consider[ functia/: R'

a) Trasaji graficul fimcti€icoordonate.

b) Calculali distanta de hP

35. Se considerd firnctia/: B

a) Trasali graficul functiei

coordonate.b) Calculali distanla de la I

36. Se consider[ func1ia/: R.

a) Trasali graficul functi{icoordonate.

b) Calculali distanta de h Ic) Calculali suma S = /l I )

Determina(i punctul de intersectie al graficelor funcliilor./: lR + lR. gi g: 1R -> IR, infiecare dintre cazurile:

a)/(r)=.r' 3: g(r) = 2r- l:c),f(x) = 2x + 3: g(v) = l-1 1;

Se considerd functia./: f. -+ R ,./("r) = x + 2.

a) Determinati numerele reale a qi b. gtiind cd punctele A(A; a) li B(b; 0) apar{ingraficulni functiei.

b) Trasali graficul func{iei.Se considerd funcfia/: lR -+ lR. ,,f(r) = r 6.

a) Detenninali numerele reale q gi b, gtiind cE punctele .1(0: a) qi B(b; 0) apa(ingraficului funcliei.

b) Trasali graficul funcliei g;i calculali aria triunghiilri,4OB.Deternrina{i aria triunghitlur AOB, unde I qii B sunt punctele de intersectie ale

graficului ftrnctiei /: R + IR cu axele de coordonate, in fiecare dintre oazurile:

b)f(r)= lx + r;

b)/ (r) = 2x - 5;

e).f (.x) = ^,12, + t;

b)f(x)=lv 2;

b) A( 2; -7) qi B(2; 1);

d) A();10) qi B(2; -2).

b)f(x):Lu 3;s(x)=a+ l;d) /(r) : 3;r'f 1;g(x) =; 5.

(,I

HHH

oovlq()to.9+oEq)+o=

t2

Determinalivalorile luia e IR*pentrucarepunctul M\a;2a+ 1) e G7, undel:R-+JR.

este definita prin;I

a)/(t) = -x +2'.J

Fie func{ia/: lR. -+ R,/(.r)= 3.r- ,i

a) Trasafi graficul func{iei intr-un sisten.r de are de coordonate.b) Deteminali a e IR pentru care puncrul,4(2a; Jq + 13) e. G1.

c)f(x)=x-3.

exersare **

EI

=o-+(!3foo(

-(Aoo

HHHI

o

'G) ! + "' + (d I +(f)"/: S eurns rie1ncle3 (c

.leprurg Fr-rgE G 9r ardar ac eldeerp eI 6 :O7{ Itlcund e1 ep eiueisrp riepcle3 (q

'el€uopJooc

ep els\? nr mprgu-6 e eticesrelul ep rolelcuncl 1n-rolnfe nc tericurgi pcgur8 rieserl (e

'g + xt = (r)-/'N <- g :./ericutg: Preplsuoc eS '98,.rrlirurg pcgerfi 11u1zetdu ec eldeerp el (O:qW Flcund ei ep uiuelsrp riepcle3 (q

'elBuopJooc

ep elsxB nc mlncgerS u ericesrelur ep rolepund 1ruo1nlu nc re{cury lncgarS riuserl (a

E + .+ = (r)./'u <- 6 :/ericurg preplsuoc eS '9t'rericurg pcger8 q (O lZ)W lnlcund u1 ep uiuelsrp {u1nc1e3 (q

'eleuopJooc

ep elexe nc rnpcger8 e ericesrelur ep rolelcund 1ruo1nfe nc te{cutg lncger8 rieserl (u

€V * *;- = (r)-/'U +- g :/ericutg Preplsuoc eS '?g

'ggy ;mplrqflrml4 ulr€ lS umcerd 'gyeldeetp 3l rolexe eaut8Fo e1 ep uiuelsry

riuunurelap rS ericury cgerS rieluezardell 'rericrng rnlncger8 uli'ede @ :c)S tS (u iru)y

eletcund qc pur4S 'rericury eu:o; rieunu:eleq 'g - )D - (.1'U- ' I <- 5 :/ ericurg eld 'E€:(l-:s)-f $ (z-:ds:(1:1-)Y (c

:(t :sD ls (v:Os:@:7-)v @

{c = (et'ermoF

't - x: (x){(t

U <- U:/epun {C = 0 +t7'-o)

c

=- = (4lG

I+x:V - xZ-= @)l@

:e[Jnzex e.qurp aJEle1e ericesrelur ep elepund pn

'got

Wpede (O :ilg rS (zz !g)y a1+

urfueda (O :q)s rS (n :911 -.,..-

-9_x: (r)B:t +.'.I +*=(xF:t-.

uI'U <- 6 :3 rS 6 <- 6 :/rop

'(z-:ds t* (:(1 :7)grs (

pcger8 erec n-4ued UI ) g 'rz I.IL+XEL-:@)T@

olse NI <- g:/eprm {C > (Zr)

-e1srs eeur8rro euriuoc rericurg 1'91

'tg

'e +u-c - xig-rug-t

:z-r:

- : .' .,l!uLnr gcep rirlqrlg:q :Z)s Is (t:Z-)y (c

:(I :Ils F (t :t jr (q :(s : t)g 1s (1- :1-)7 (e

:qwrd n$m acguf ro4s {e arelu11 e111iculg rieurrureleq '19'(g- :t-Df 3FTrlO 'tdD.rF asa ndcurg e gctleta eamluezetdet etec

n-4ued g 15 rz p1 ele eleer eluole $Eryr{.(I 'q + xr, = (r)-/'U <- 6:/ericuq el.rl'OE't+0 +42-r)=(x)t

'NI <- NI :-/lepcurg pcger8 ed erSasEB s (5 Z)y pumrd arm n-4ued nZ =

o rieuruueleq '57{D = A-uE- ,ur itu\t1plcund erec n-r}ued rum\eeraole^

rieunrueleq'*dl = al eptm', -uS +fltE-- (t-)-/'U <- 6:/ericunJ pJeplsuoc eS'82?1icu!J tlet? fieluezetdet'y = zz ru1ue4 (q

.rericuq; lncgerS ed elsespS es (g :1-yg pcund arec n-rlued ul =

Lu rieuruueleq (e

' L - ut + x(Z - ar) : (x)-/'U <- 6 :/etg '47

'edcuru tgefr qelaezetdet'7-: au n4ue4 (q'rericu'q pcger8

ed elsespS es (t - r,u- iw7\,u Inpund erec n-4uad u \r\2 gleer eeJfldolel riuumueleq (e

g + uE- xV - (r)-/'U <- 6 :/ericutg eld 'gZ

9vI9p

ZIZ0)I9-I-0u

cz- LIcru

(p(c(q(E

qI

l{Hl{

oov,C'U)qi(,

oEq){-g

t4

Fie funcfiile/: JR.-+R, /(x) =ext b 9ig(x) = bx+ a,g:IR -+JR.. Trasa{igraficul

funcliei g(x), gtiind cI punctele A(-l; -5) St B(2; 1) se gisesc pe graficul funcliei /(x).Fie funclia/: lR. -+ R, -f (r) = (m - 3)x + 2n +1. Determina{i valorile lui z gi z pentru

care graficul func{iei con{ine punctele A(-1;2) ti B(2; 5).Fie funclia/: IR -+ IR, "f(r)

: r + 3.

a)Dacd A(0; a) 9i B(b;0) sunt puncte pe graficul func1iei. determinaji numerele reale a gi b.b) Reprezentali grafic funclia.c) Dacd C este simetricul lui B fatl de axa ordonatelor, ardta\i cd distanla de la C la

graficul funcliei este segmentul lC'A).Se considerd funcfiile/: R -+ l-. / (,r) =,r - I ii g . :- -->!., g(r) =2x -t 3.

a) Trasali graficele celor doud tunctii in acela;r sistem de axe de coordonate gi afla{icoordonatele puncfului de intersectie dintre cele dou6 grafice.

b) Calculali sumaS-g(1)-g(2) -... +g(s0) -f (1)-"f (2) ,r(50)Fie tunctiile.l-: l-); -1) -+ R ,"f (*):-x+3 9ig: (-3;31--1 R,8(.x) =,r- 1.

a) Trasati sraficele celor doud ftrncfii in acelagi sistem de axe de coordonate.b) Determinali coordonatele punctului de interseclie a celor doul grafice.Determina{i a, b, qtiind c[ punctul M(2; 5) este punctul de intersec{ie a graficelor

funcliilor/: R. -+ R gi g : IR. -+ R. in fiecare dintre cazurile:a)f(x) - qx- I 9i g(x) = x + b;

b)f(*) = 0)c t a- I 9i g(r) = (b - 2)x + b;c)f(*) - ex - (a - 1) si s(x) = (b + 4)x + b.

Stabilili dacd existd a e lR., astfel incdt punctul A(-3; -7) reprezintd interseclia grati-

celor funcliilor/: 1R + lR qi g : R. -+ lR in fiecare dintre cazurile:

a) "f (x) : (a - 1lr I qi g(-r) = ctt i 2;b) f(x)= (a + 3).x + a qi g(-r) = (a + 5).r + 5:

c)-f(x) = (2a - l\r + aqi g(x) = (3a 2)r + 5.

Determinali numerele reale a qi 6 pentru care punctul de interseclie a graficelorfuncliilor/: IR. -+ IR. 9i g : lR. -+ IR este M(a + l; 2b - 3) in fiecare dintre cazurile:

a) f (x)= r t 5 Si g(x) : 2x + 1;

b)f (x)=-2x+ 3 9ig(x) =-3x+ 4;

c)f (x) = x t'7 9i g(,r) = -3x - l.Determina{i numerele reale m qi n pentru care f : R. -+ lR gi g: IR -+ R sunt func{ii

egale in fiecare dintre cazurile:a) "f (x)= -3x * 7 qi g(_r) = (2 - m)x + n + 4;b) f(*) = -2x + 2n + f si s6) = (3m + 4)x + 5;c) "f (x) : (m + l\r + (2n + 1 ) qi g(x) = (4m - 2)x + 3n - t.Determina(i valorile reale ale lui rl gi n pentru care reprezentdrile grafice ale funcliilor

/: IR -+ IR 9i g : IR. + lR au cel putin doud puncte distincte comune in fiecare dintre cazurile:

a) f(x)= 5x - 7 9i g(r) = (2m + 1).r - (2r + 1);

b)f(x)=(2m- l)r+3qig(x)= 5r+1n 5:

c)f(x) = (3m + 2)x + 3n- 7 9i g(x) = (4nt + 3)x r 4n - 9;d) f (x) : (2n + m)x + 2m + 3 $i s(-r) = (r - 1 )_r + (2m - 3n).

47. Se dau tuncliile/: IR' -+ l"a) Determinati a e IR Pentr

tunclii.b) Reprezentali grafic in aceli

48. Se considerd funclia/: I't' -a) Trasali graficul funcliei cu

coordonate.

b) Ardtali c6, pentru oricare d

c) Determinali Punclul de Pe

49" Fie funcliaf :IR -+ IR',/(ra) Trasali graficul funcliei.

b) Arata{i c6. pentru oricare -r

5O. Se d[ func]ia/: lR + R'.

a) Determinali coordonatelenate gi trasali graficul funcfiei.

b) Calculali aria triunghiuluic) Ar[tali cd.f (x1) af @),F

5{. Verificali dac[ rePrezentir

concurente:a)f (x)=x-3,9@)=-Zr-:b)f (*):2x -3, g(x) =2r -c) "f (x) : 3x - 5, s@) : Lr - id) f (x) = -3x t 1, g(r) = l-1 -

52. Demonstrali cd tePrezentAr

drepte pelpendiculare:

a) f (x) : I + 2 Si g(x) = -.r -

c).f (x):5x -2 ei g(x) : f

Indicafii: a) Gr o Gr: M(l:1exemplu, AQ; \ e G1 1i tr

(*r-*r)' +(yr- yr)' , se cal

mei lui Pitagora: MA2 - Ilreprezentdrile grafrce ale celor

Exemple:

1. Se consider[ funclia/: R

:"f (" - s).

Solutie: Cumr -+x- 5 ;i.fl2. Se considerd funclia/: R

Determinali funcfia.