Anton NECRILAMaria NEcRILA

Soluliile testelor de autoevaluarepot fi consultate la adresa:

http://www.editu raparalela4 5.ro Idown load/sol utii_teste_de_autoeval uare

_consol ida re_ clasaT _p1 _20 1 8. pdf

matG 2000-cG.ililare

algGIrigG0mGuiG

Gla$a a UFA

[anGa Ieditia a Vl-a

Cuprins

RECArTTULARE $I EVALUAnT rNrlrar,ATeste cu exercilii gi probleme recapitulative pentru pregdtirea testdrii ini1iale.................5

ALGEBRiCapitolul I. Numere rationale

1. Mullimea numerelor ralionale (Q). Reprezentarea pe axi a numerelor ralionale,

opusul unui numlr ralional. Incluziunile N c Z c Q............. ................14

2.Yaloarea absolut[ a unui numdr ralional (modulul).Ordonarea numerelor ralionale .......................1g

Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .......................21Test de autoevaluare .......................233. Adunarea numerelor rafionale. Propriet5li ......254. Scdderea numerelor ralionale ......295. inmullirea numerelor ralionale. Proprietdli .........................326. Impdrfirea numerelor rafionale. Proprietdli .........................357. Puterea unui numrr ralional cu exponent num6r intreg. calcul cu puteri ...................398. Ordinea efectuirii operaliilor gi folosirea parantezelor .......43Test de autoevaluare .......................459.Ecualiideforma ax+b:0;a,6. Q; a+0............ ...........47

Test de autoevaluare .......................5310. Probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul ecualiilor..... ........................5511. Media aritmeticl gi media aritmeticd ponderat6.... ............5912. Probleme de matematicd aplicata in viala cotidiand..... .........................61Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .......................62

Capitolul II. Numere realeRidlcina pdtratd....... ....................651 . Rlddcina pdtratl a unui numdr natural pitrat perfect .................. ............65Test de autoevaluare .......................692. Rdddcina pdtratd a unui numlr ralional nenegativ ..............71Test de autoevaluare .......................i7Mul{imea numerelor rea1e........... .....................7gl. Modulul unui numdr real. Reprezentarea pe ax6 a numerelor reale.

Aproximdri qi rotunjiri. Ordonbri...... ..............19Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .......................g42. Reguli de calcul cu radicali .........g43. Operalii cu numere rea1e........... ......................g9Test de autoevaluare .................. .........................954. Ralionalizarea numitorului unei frac!ii........... .....................g75. Formule de calcul prescurtat .....105

6. Media geometricd a doul numere reale nenegative..""""""' """"""""1097. Probleme de matematicd aplicatd in viala cotidian6."" ""' l1lRecapitulare qi sistematizut" ptin teste ............ """"""""""' 112

Testie autoevaluare """"""""""'115

GEOMETRIE

Capitolul I. Patrulatere1. Patrulatere convexe """""""""'1172.Paralelogramul ........... """""""' 1 19

Test de auievaluare """"""""""'1233. Dreptunghiul............... """""-"'125Test di auioevaluare """""""""-'-1274. Rombul... ...............129

Test de autoevaluare """"""""""'1315. patratul ..................133

Test de autoevaluare .................. """""""""""' 135

Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ """"""""""' 137

6. Centrul de simetrie qi axe de simetrie pentru poligoanele studiate......................'."' 138

1.Trapeni.. """""""'140Test ie autoevaluare """"""""""'1438. Aria triunghiului gi aria patru1aterului....".. """""""""""'145Test de autoivaluare """"""""""'1499. Probleme de matemati cd aplicatdin viafa cotidian6""' ""'151Recapitulare gi sistematizare prin teste ..........'. """".'"""""' 152

Capitolul II. Asemlnarea triunghiurilor1'. Raportul a doud segmente. Tiorema lui Thales """""""" 153

Test ie qutoevaluare """"""""""'1592.Liniamijlocie in triunghi... """" 161

3. Linia mijlocie in trapez """"""' 163

4. Teorema fundamenLl[ a asemlnlrii. Criterii de asemlnare a dou[ triunghiuri.......l65

Test de autoevaluqre """"""""""'1695. Probleme de matematic[ aplicatii in viaF cotidianl--.-- ""'174Recapitulare qi sistematizu." pti, teste --.---..---. """''""""""' 175

Capitotul III. Rela{ii metrice in triunghiul dr€ptunghicl'. Teorema in61limii """""""""""1772. Teorema catetei ""'180Test de autoevaluare """"""""""'183Recapitulare gi sistematizare prin teste -.-.--...--. """"""""""'185

Modele de teste pentru evaluarea linall ......... ...........'.""""' 187

Modele de teze semestriale """"""' 189

Probleme pentru pregltirea olimpiadei 9i a concursurilor gcolare ........191

Indica{ii gi r1spunsuri.................. '...................... 193

Afrgebr&

Gapitolul IHumere rationa$e

Cr"

Cs.

Ca"

oI

HH

o(,raoUlo.9IEq)+-o

=t4

* Un numlr ra{ional se poate exprima fie printr-un c6t neefectuat, m : n,

fracjie ordinarS, L, fr" printr-o liac{ie zecimalb finit6 sau periodic5 (cAtuln

numerelor intrrgi m Si n, n + 0).o Mulfimea numerelor rationale se noteaz[ cu Q.

r'Q: {r lcxista a eZsi b e Z' astlel incat r :+l: I b)

o Uultimea numerelor rationale pozitive se noteazd cu Q*.(m)

Q*:]xlexistdrn e N"gi re \'astlel inc6t y=L\t nl'

fie printr-o

efectuat al

@ Competen[e specifice

ldentificarea caracteristicilor numerelor ralionale gi a formelor descriere a acestora in contexte variate

Aplicarea regulilor de calcul cu numere ralionale, a estimlrilor gi

a aproximdrilor pentru rezolvarea unor ecuatii

Utilizarea propriet5lilor operaliilor in efectuarea calculelor cu numerera[ionale

Caracterizarea mullimilor de numere gi a relaliilor dintre acestea,utilizAnd lirnbajul logicii matematice gi teoria mullimilor

Determinarea regulilor eficiente de calcul in efectuarea operati i lorcu numere ralionale

Interpretarea matematici a unor probleme practice prin utilizareaoperaliilor cu numere ralionale gi a ordinii efectulrii operafiilor

"1. Mullimea numerelor rafionale (Q). Reprezentarea pe

axi a nurnerelor rationale, opusul unui numir rafional.

lncluziunile N c.Z c.Q

o MuUimea numerelor rationale negative se noteazd cu Q-.

a:Q u{0}uQ*

o Dacd a e Z, aamci 9= a. Deci 4 € Q, atunci Z c Q.I

Deoarece N c Z SiZ cQ, avem cd N c Z cQ..o Numim axa numerelor o dreaptd pe care fixdm un puncq armit origine, o unitate de

misur[ gi un sens pozitiv, indicat de sdgeatS.

-.-, 0lo Fiecirui numlr ralional ii corespunde un unic punct pe axa numerelor.o Doud numere ralionale sunt opuse dac6 ele sunt coordonatele a doud puncte de pe axi"simetrice fa!5 de O, originea axei. Opusul lui 0 este 0.

Formulele de transformare a frac{iilor zecimale in frac{ii ordinare:a) transformarea fracliilor zecimale in fraclii ordinare:

0.4^.--an Qoq|a2.'.clnao,ata2..nn = ao

lO,"=-,,-.

Exemple: 2,54: 2y=?; g.o=,6^; 1,432=t#1=ry.100 100 l0 1000 1000

b) transformarea frac,tiilor zecimale periodice simple in fraclii ordinare:

%l"rrr*)=qffi.;*-

Exemple: o.fol: i; t,(2lo: rff: 3,(4se) :3#c) transformarea fracliilor zecimale periodice mixte in fraclii ordinare:

a.a^a....ct h.h-h....bq - ctp2e3...aao, q ta2a3...a p(bp24...b,t) = ao #

2e?...e909...04 cifie p cifie

Exemple:0.08(3)- 83-8 = " , 1.4(12\- 1412-4 =1408900 900 990 990

trl. Stabitlli valoarea de adevdr a propoziliilor:

(,IHHoouoo

rci.9.FoEot-o

=

O O O octivitdti de ?nv6!ore O O O

a)-6 e Q;

e) -3,(2) e Q;

b) -0,762 e Q;

0 +ls0 e e;

c) {,84 e Q;

g) -3,8(4) e Q;

d)0eQ;

h)-1 eQ.8-

15

2. Fie mullimea:

, : {-*, I,

-!n,- 0,8; o,(6); - e; fr; #, -+,+,(-r),}

Calculafi: a)l n N; b) A aZ; c) A o (Q \ Z).

3. Fie mullimea:

^:l-r,-+, -*, o,(r2); -f; o; -0,08(3); #' -i, #]t8

Copiali diagrama din dreapta gi reprezentali pe ea elementele mul{imii l.4. Fie mullimea:

u:{q3 " e ro 3 rr.!,-!.!,-1,!,L

,,4,r'-4, 2,i,- 4,,t 3, ll, 11, u 3

Determinali mulfimile: A : {x e M I x e N};,8 : {xeM I xeZ}; C :D: {x e Mlx.Z-\;E: tx e Mlx e Q-h F: {x e Mlx e Q*}.

5. Fie mulfimile: A : t-2, 3, 5 ) 9i B : {1, 1}. Determina{i mullimea:

2t)_TI

{r. MlxeZ+\;

(,IHHoovto\):<i.9{-oEql{-o

=16

C: {-lx=l,oeA,beB).L' b' )

6,Fiel: {-f, r, -' ? 7 2 I

| 2' t: |; -i -t'7; l'(35); 0'1345; -s;' -2'2(13)l'

Scriefi mullimea B : {x | .r este opusul luri y, y e A}.

7.Fie A: {:r ?,1,4,1,1,9} . r.,..,nina!i mulfimite:l.s 3 4't4'18 20 22)

B : {x I x e A,x este reprezentat in scriere zecimald prin fractie zecimald finitii};C: U ly e A,y este reprezentat in scriere zecimald prin fracfie periodicd simpl6);O : {z I z e A, z este reprezentat in scriere zecimald prin fracfie periodic[ mixt6].8. Reprezentali urm6toarele numere ralionale sub form6 de fraclie zecimald:

1 - 19 35 ..308 ,91 ^683a)e; u)rs; c)M; d)A; e)o; t)*;102 - 55 .. 104 .. 17 .. 169 ., 73*);; h);: i);; I *; k) , ; r)

rs'9. Reprezentafi sub formd de fraclie ordinar6 fiecare dintre numerele urmdtoare:

a)0,24; b)2,8; c)24,192; d) 31,48; e)52,012;f) 192,8; g) 4,204; h) 0,0024; i) 0,002004; j) 3,576.

lO. Reprezentali sub formd de fraclie ordinari fiecare dintre urm6toarele numere:

a) 0,(6); b) 10,(8); c)3,(24); d)72,(603); e) 54,(81);f) 12,(7); e) 0,(09); h) 0,(0036); i) 4,(72); j) 2,(432).

{ l. Reprezentali sub forml de fracfie ordinar[ fiecare dintre urmStoarele numere:

a) 0,0(6); b) 2,3(21); c) 4,1(24\; d) I ,16(8);e)32,8(204); 0 3,2(36); g) 1,28(568); h) 3,45(495\.

@12. Av6nd in vedere descompunerea in factori primi a numitorului, stabilili in ce tip de fracfiezecimald(finitii, periodici simpld sau mixtE) se transformi umritoarele fracfii ireductibile:

16a) i; ul?' "r*,r,r*, irf,; :t);

.8a)

-.' 49'

d)4: .r?1, n!, nr9.' 36' 45 t4 "'tzs25

k) _.' 426'rrf' 32

m) _.'62s-.25

n) _.- 108

{3. Av6nd in vedere descompunerea in factori primi a numitorului, stabili,ti in ce tip de fractie

zecimald(finitii, periodicd simpl5 sau mixti) se transformd urmitoarele fractii iredrtibile:

b) !!2' .) E, dl 1:'32' 66' '98

t4 ^ 435e) -. t)

-:' 4s' 14

2 7 ..4 .. 1001 8 ..25d *; h) rr; n %t; j) u*; k) 62s; D s+.

14. Determinali valorile intregi ale lui n pentru care relaliile de mai jos reprezintii prupozilii adevdrate:

a)9.N; u;A.*, c)jLeN; illlez;n 'n+2--' '3n+l 2n+l

.r 17 .z; fl9n+16.2, n\7'-3.v,, h\13n-9.2.-' 2n-l - -' -' 3n+2 "' 2n+1 5n+7

15, Dafi douS exemple de numere naturale n pentrucare fraclia Jf este:n+2

a) supraunitari; b) ireductibild; c) subunitari;d) zecimal6 finiti; e) periodicd simpld; f) periodicd mixtd.

I 6. Se consideri numerele a : 12,128; b : 32,(85) 9i c : 4,1 (l 89).

a) Determinali a treia cifrd dupl virguld a fiec6rui num6r scris mai sus.

b) Determinali a35-a cifr6 dupd virguli a fiecdrui numdr scris mai sus.

c) Determinafi suma primelor 125 de zecimale ale fiecdrui numdr scris mai sus.

I 7. Determina[i a 72-a gi a 95-a cifrd dupi virguld a numSrului 5,24351(9654).

E16. a) Determinali cifrax, gtiind cI O-.A4):Z

165

b) Determinali cifrele r gi y pentru care are loc egalitatea : Z;1+ry =Y .' tOr

c) Determinafi cifrele x, y, z pentrucare are loc egalitatea : O,*4(y6r) = yl. .

I 8s0{9. Ardta}i cE urm[toarele fracfii sunt ireductibile, pentru orice n e N:

,3r+8 ..4n+5 ,4n-5 ..4n+j' 5n+13' ' 7n+9' -' 6n-7 ' -' 9n+16'

2O. a) Ar6tali cd fracfia ?:: este reductibild 9i determinafi forma generald a lui r pen-5n+4

tru care fractia este reductibild.

(,Il{HoC'vlc,6

lci.9FoEq){-oat7

b) Calculali suma celor mai mici 100 de numere naturale nenule r pentru care fracliade mai sus este reductibilS.2l- Ardtali c5 urmdtoarele perechi de numere naturale nenule a gi b sunt prime intre ele,

pentruoricen e N:

a =3n +8a):' b=2n+5'Ora=5n+7- b=7n+10

. a=4n*5 a=7n+12b):c)"'b=5n+6' -'b=3n+5 '

o,b(c) + b,c(a) + c,a(b) : 1 3,(3).

23. Calculali suma s: Odbc)- +o,[ca)+o,4at), gtiind cd media aritmeticd a numere-

lor a, b qi c este egal6 cu 6.

24- Aflali cifrele x gi y din egalitatea o, r(yU + o, x0g)- : 0,7( l0).(-,- r l

25. Determinafi card A,undeA: latc l0,a+0,(6) +c,a(b)=, *].

26. Trei numere naturale a, b, cse numesc pseudopitagoreice oaca ] =l*\. Ardtalia' b' c'

cd exist6 o infinitate de astfel de triplete. SGM 5l20ll

GEtr 2. Valoarea absoluti a unui numer ra[ional (modulul).Ordonarea numerelor rationale

o Pentru orice numlr rafional r, modulul sau valoarea absoluti a lui x, notati lxl, este

egal6 cu:

r.r :{t,

":lfii:lll Exempre: l.*l=*,1*l=-(-*)=}; lol=o

[-x, pentru x negativ.

c Dintre doud numere rafionale diferite, mai mare este cel care, pe o axd a numerelor, este

reprezentat la dreapta celuilalt.

@22- Determinali cifrele a, b, c astfel incit q * c:56 qi are loc egalitatea:

b> asaua<bab

o Dintre doud numere ralionale negative, mai mare este cel care are modulul mai mic.. Proprietii{ile modulului unui numlr rafional:

oI

l{l{

oolao\):ci.9{-oEq).F(,

=

1. lrl : 0 dac[ qi numai dac6 r : 0;

3. lxl : l-rl, pentru orice.r e Q;

2.lxl>- 0, pentru orice x e Q;

4.lryl: lxl-lyl, pentru orice x e Q;

5. llxl- Lyll< h +yl < lxl+ [yl, pentru oricex,y e Q.o Partea intreagi qi partea frac{ionari a unui numir realPartea intreag[ a unui numlr ralional x, notatd [r], este cel mai mare numdr intreg maimic sau egal cu r. Numirul {r} : x - [x] se numegte parte fraclionar6 a num5rului ralional x.Exemple: $ 1,621 : l, deoarec e I < 1,62 < 2 qi {1,621 : 1,62 - 11,62) : 1,62 - 1 : 0,62.

18