Masura unghiurilor

8/3/2019 Masura unghiurilor

1/9

E:5756* - G.M.1/1977

Fie ABCD un romb. Prin vrful A ducem o dreapt arbitrar care intersecteaz pe BC n E ,pe DCn F i diagonala BD n G . S se arate c dreapta GC este tangent n C cercului

circumscris triunghiului ECF . Dumitru Acu, Baia Mare

Soluie.

Este suficient s artm cn nGCE EFC .

Triunghiurile ABG i CBG au : [ ] [ ] AB CB ,n n ABG CBG (diagonala [BD fiind bisectoarea

nABC) i [ ]BG latur comun, deci ( )L.U.L. ABG CBG n nGAB GCB .

ns n n AB DC GAB EFC & (alterne interne, secanta AF ) n nGCE EFC , q.e.d.


2/9

14532 G.M. 10/1974

Diagonalele MP i NQ ale rombului MNPQ se ntlnesc n O . Cercul de diametru

[ ]MN taie pe MQ n A , iar cercul de diametru [ ]PQ taie pe NPn B . S se arate c

punctele , , A O B sunt coliniare.tefanifui, Ceahlu

Soluie.

Unghiurile nMAN i nPBQ sunt drepte, fiind nscrise n semicercuri. ntruct AN MQ i

MQ NP& , rezult AN NP , deci AN BQ& . Patrulaterul ANBQ format este dreptunghi,

deci diagonala[ ]AB trece prin mijlocul O al diagonalei

[ ]QN ; punctele , , A O B sunt a

adar

coliniare.


3/9

E:5757 G.M. 1/1977

n cercul de centru O se duc diametrele perpendiculare [ ]AC i [ ]BD . Pe arcul de cerc ntins

de unghiulnAOB se ia un punct oarecare M . Notm{ } { }

,F AB CM E AM CB= = . S

se arate c :a) Patrulaterul MEBF este inscriptibil;b) Triunghiul EBFeste isoscel;c) EF AC .d) Notaiile rmnnd neschimbate, s se studieze problema cnd punctul M descrie arcul

de cerc qADCB .Laureniu N. Gaiu, Bucureti

Soluie.

a) Unghiurile nAMC i nABC sunt drepte, fiind nscrise n semicercul qADC. PatrulaterulMEBF are unghiurile opuse din M i B drepte, deci este inscriptibil.

b) n patrulaterul inscriptibil MEBF avem n( ) n( ) p( )1

452

m BEF m BMF m BC = = = .

Triunghiul dreptunghic EBFeste prin urmare i isoscel.

c) CM i AB sunt dou dintre nlimile triunghiului ACE, deci { }F CM AB= este

ortocentrul acestui triunghi. Rezult c EF este de asemenea nlime n ACE , adic EF AC .

d) ABCD este ptrat nscris n cercul ( )O , deci AD CB& i AB CD& . Dac M D= ,

punctele E i F sunt aruncate la infinit. Pentru M D , proprietile stabilite lapunctele a) c) se pstreaz, cu mici modificri ale demonstraiei. Exemplificm n cazul

p M CD .


4/9

Patrulaterul convex format este MEFB i este inscriptibil deoarece

n

( )n

( )90m FME m FBE = = . Deducem c n

( )n

( )p

( )

145

2

m BEF m BMF m BC = = = , deci

EBF este dreptunghic isoscel. n fine, FM i EB sunt nlimi n AEF , deci

{ }C FM EB= este ortocentrul acestui triunghi. Cea de-a treia nlime este aadar AC ,

deci AC EF , q.e.d.


5/9

E: 5785 G.M. 2/1977

n cercul (O) ducem diametrul [ ]AB i fie M i N dou puncte mobile situate pe diametru i

respectiv pe cerc (diferite de A i B ). Perpendiculara n N pe MN taie tangentele duse n A i

B la cerc n P , respectiv Q . Notm { }F PM AN = i { } E NB MQ= . Artai c

EF AB& .Emanoil Grama, Constana

Soluie.

Patrulaterele MNPA i MNQB sunt inscriptibile, avnd :

n( ) n( ) 90 90 180m MNP m MAP+ = + = , respectivn

( )n

( ) 90 90 180m MNQ m MBQ+ = + = Rezult c n( ) n( )m AMP m ANP= i n( ) n( )m BMQ m BNQ=

UnghiulnANB este drept, fiind nscris ntr-un semicerc. n jurul punctului N , calculm suma

n( ) n( ) n( )180 90m ANP m BNQ m ANB+ = = . Rezult c i suman( ) n( ) 90m AMP m BMQ+ = . n jurul punctului M , deducem cn( ) n( ) n( )( )180 180 90 90m PMQ m AMP m BMQ= + = =

Patrulaterul EMFNeste prin urmare inscriptibil, avnd dou unghiuri opuse drepte. Rezult cn( ) n( )m NFE m NME = . Din triunghiurile dreptunghice MNQ i PMQ , avem :n( ) n( ) n( )90 90m MQN m NME m NFE = = n( ) n( ) n( )90m NPM m MQN m NFE = =

Patrulaterul AMNP fiind inscriptibil, avem n( ) n( ) n( )m NAM m NPM m NFE = = . Cumn n NAM NFE , deducem c EF AB& , deoarece formeaz cu secanta AN unghiuricorespondente congruente.


6/9

17131* G.M. 4/1978

Bisectoarea AD intersecteaz cercul circumscris triunghiului ABCn M . Perpendiculareledin M pe laturile AB i AC intersecteaz cercul n Ei F , iar BF intersecteaz pe ACn I .

S se arate c :a) Triunghiul FCI este isoscel;b) Triunghiul AEF este isoscel; n ce caz este echilateral ?c) BF CE & ;

d) AM BF .Laura Constantinescu, profesoar, Sibiu

Soluie.

Fie { } { }, B MF AC C ME AB = = .

a) Avem n( ) q( )n

( )12m IFB m BM m BAM = =

n( ) q( ) n( )1

2m CFB m CM m CAM = =

ns n( ) n( )m BAM m CAM = , [AM fiind bisectoarea unghiului lA . Rezultn n IFB CFB , deci [ ]FB este bisectoare i nlime n triunghiul FCI FCI

isoscel (cu [ ] [ ]FC FI ).

b) Triunghiurile dreptunghice MC A i MB A au :

[ ] [ ]n n

AM AM

C AM B AM

-

, deci ( ) [ ] [ ]I.U. MC A MB A AC AB

Unghiul nAEC este exterior patrulaterului inscriptibil AEMF , deci n n AEC AFB .Triunghiurile dreptunghice AC E i AB F sunt congruente (cazul C.U.), deci

[ ] [ ] AE AF AEF isoscel.

Din congruena AC E AB F rezult n( ) n( )m C AE m B AF = .


7/9

ns n( ) n( ) n( ) n( ) l( )m EAF m BAC m C AE m B AF m A = + = . Condiia ca triunghiul

isoscel AEF s fie echilateral este deci ca l( ) 60m A = .

c) Din egalitatea n( ) n( )m C AE m B AF = , demonstrat la punctul b), rezultp( ) p( ) p pm BE m CF BE CF BF CE = & .

d) Se calculeaz n( ) p( ) p( )( ) p( ) p( )( ) p( )1 1 1

2 2 2m AIB m AB m CF m AB m BE m AE = + = + = .

Dar[ ] [ ] p( ) p( ) n( ) p( ) n( )1

2 AE AF m AE m AF m AIB m AF m ABI = = = .

Triunghiul ABI este aadar isoscel, deci bisectoarea [AM este perpendicular pe

BI AM BF , q.e.d.


8/9

O.G. 9 G.M. 10/1985

Fie un triunghi ABC i , BB CC bisectoarele sale. S se calculeze unghiurile triunghiului,

dac n

( )50m AB C = i n

( )70m AC B = .

Laureniu Panaitopol

Soluie.

Din triunghiul AB C , rezult imediat l( ) n( ) n( )( )180 60m A m AB C m AC B = + = . Fie

{ } I BB CC = . n triunghiul BIC , avem n( ) n( ) n( )( )180m BIC m IBC m ICB= + =

l( ) l( )( ) l( )( ) l( )1 1 1

180 180 180 90 1202 2 2

m B m C m A m A= + = = + = .

Patrulaterul AB IC este deci inscriptibil, deoarece l( ) n( ) 180m A m B IC + = . Rezult

n( ) n( )m IC B m IAB = , dar n( ) l( ) [1

30,

2

m IAB m A AI = = fiind bisectoarea unghiului lA .

Calculm n( ) n( ) n( ) 70 30 100m AC C m AC B m IC B = + = + = . n triunghiul ACC rezultn( ) n( ) l( )( )180 180 160 20m ACC m AC C m A = + = = .

n concluzie, l( ) n( )2 40m C m ACC = = , iar l( ) l( ) l( )( )180 80m B m A m C = + = .

l( ) l( ) l( )60, 80, 40m A m B m C = = =


9/9

21161 G.M. 7-8/1987

Fie ,P R i Q punctele de tangen ale cercului nscris triunghiului ABC cu laturile

, BC ABi respectiv AC. Prin A ducem paralela d la BC i notm { }PR d E = i

{ }PQ d F = . S se arate c FR i EQ se taie pe cercul circumscris triunghiului PRQ .Bogdan Suceavi Radu Gramatovici, elevi, Bucureti

Soluie.

Fie { } H FR EQ= . Avem [ ] [ ] BP BR , ca tangente duse din B la cerc, deci triunghiul

BPR este isoscel n n BPR BRP . ns n n BPR AER (alterne interne formate de dreptele

paralele BCi dcu secanta PR ) i n n BRP ARE (opuse la vrf) n n AER ARE triunghiul

AER este isoscel [ ] [ ] AE AR .

Analog se arat c [ ] [ ] AF AQ . Dar [ ] [ ] AQ AR , ca tangente duse din A la cerc

[ ] [ ] [ ] AE AF AQ

n triunghiul FQE, mediana [ ]QA are lungimea egal cujumtatea laturii [ ]EF , pe care cade. Rezult c triunghiul FQE este dreptunghic n

Q EQ FP . Analog, se arat c FR EP ; punctul { } H FR EQ= este ortocentrul

triunghiului EFP .

Cum n( ) n( ) 90 90 180m HQP m HRP+ = + = , patrulaterul PQHR este inscriptibil, deci Hestesituat pe cercul circumscris triunghiului PRQ (cercul nscris n triunghiul ABC), q.e.d.

Masura unghiurilor

Documents

Transcript of Masura unghiurilor