Manualul Inginerului Geodez Vol I

COLECTiVUL DE AUTORI AI MANUALULUI

Coordonat or : Prof. dr. ing. Nicolae Oprescu

1 . Ing. Albot Mihai 2. Ing. Atu1lorei Mircea 3. Ing. Balea Victor 4. Ing. Bcrevoianu Ioan 5. Prof. dr. doc. Botez lt:ihai 6. Ing. Buracu tc(an 7. Conf. ing. Calistru Virgil 8. Ing. C:lman1 Ioan H. Ing. Coehin Nicolae

10. In::;. Coreodel Gheorghe 11. Ing. Diaconescu Teodor 12. Dr. ing. Dlncscu Alexandru 13. Ing. Oragomlr Vasile 1 ~. ing. l)rftghici Nicolae 15. Ing. l

Sec\.iunea Seciunea Seciunea

CUlJUXSUL VOLUMULUI 1

1. Mat.emalici gcncr01le i sp rc h1 le pLntru gL'OLkzi .... Il. Fizica . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Teoria erorilor 111sur:1lorilor ~i nw loda celor mai mici ptrate .......... .

IV. Tehnica calculului In geodezic . . . . .

Pai

7 191

285 431

SECIUNEA I

IIATEMATICI GENERALE SI SPECIALE PENTRU GEODEZI

Prof. dr. ing. Nieolne OJ~rescu Ing. Dan Rocule Ing. Lucian Turdenllll

CUPRINS

Notaii matematice i constante uzuale A. Notaii matematice adoptate ..... B. Valorile unor constante uzuale . . . .

1. Aritmetic i algebr (Ing. Lucian Turdeanu) 1.1. Mulimi 1.2. Numere . . . . . 1.3. iruri de numere 1.4. Serii numerice. . 1.5. Polinoame 1.6. Ecuaii algebrice

2. Calculul matricea! (Prof. dr. ing. Nicolae Oprescu i ing. Lucian Turdeanu) 2.1. Definiii. Matrice particulare. Proprieti generale 2.2. Operaii cu matrice . . . . . . . . . . . 2.3. Expresia matriceal a produsului vectorial 2.4. Inversa unei matrice 2.5. Matrice ortogonale . . . . . . . . . . . 2.6. Derivata unei matrice . . . . . . . . . . 2. 7. Transform[ni elementare. l\Iatricc cchivalcnlc 2.8. Ecuaia caracteristic 2.9. 1-- matrice 2.10. Sisteme de ecuaii . 2.11. Determinani

3. Calculul diferenia! i integral (Ing. Lucian Turdeanu) . 3.1. Funcii . . . . . . . 3.2. Derivate. Difereniale . 3.3. Calculul integral

4. Calculul vectorial (Ing. Lucian Tmdeanu) 4.1. Definiii . . . . . . . . . . . . 4.2. Produsul unui vector cu un scalar . 4.3. Adunarea i scderea vectorilor 4.4. Vectori liniar dependeni i liniar independeni 4.5. Proiecia unui vector pe o ax 4.6. Vectorul de poziie . . 4. 7. Produsul a doi vectori

10 10 12

13 13 15 20 24 26 27

29 29 31 32 33 33 34 34 34 35 35 36

39 39 50 59

81 81 82 82 83 84 85 86

CUPRINS

4.8. Produsul a trei sau a mai multor vectori 4.9. Rotaia sistemului de coordonate

5. Geometrie elementar - plan i In spaiu (Ing. Lucian Turdcanu) 5.1. Geometrie plan 5.2. Geometrie tn spaiu

6. Trigonometrie plan i sferic (Ing. Lucian Turdeanu) 6.1. Trigonometrie plan 6.2. Trigonometrie sferic. . . .

7. Geometrie analitic - plan i in spaiu (Ing. Lucian Turdeanu) 7.1. Sisteme de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Transformri de coordonate prin schimbarea sistemului de referin . 7.3. Distana dintre dou puncte . . . . . . . . . . . . . 7.4. Suprafaa unui poligon plan i volumul unui poliedru 7.5. Imprirea unui segment de dreapt intr-un rnport dnt 7.6. Planul . . . 7.7. Dreapta 7.8. Curbe plane 7.9. Suprafee

8. Geometrie diferenial (Ing. Lucian Turdeanu) 8.1. Curbe plane 8.2. Curbe tn spaiu 8.3. Suprafee

9. E lemente de teoria probabilitilor i statistic matematic . (Ing. Dan Rocule) ..... .

9.1. Teoria probabilitilor 9.2. Statistic matematic

10. Noiuni de programare liniar (Ing. Dan Rocule) . . . . . . . . 10.1. Definiii, forme de scriere a problemelor de programare liniar~t 10.2. Noiuni cu privire la rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare . . 10.3. Metoda simplex de rezolvare a problemelor de programare liniar 10.4. Dualitatea in problemele de programnre liniar. . . . . . . . . 10.5. Problema transportmilor . . . . . . . . . . .

B ibliografie . , . . . . . .

9

89 90

91 91 97

100 100 114

118 118 120 122 122 123 123 127 133 138

142 142 144 147

153 153 166

175 175 177 181 186 187

188

NOTAII MATEMATICE l CONSTANTE UZUALE

Simboluri Modul de citire

A. Notaii mntematlce adoptate

M,{a,b,c, ... } 0 E E$ c ct. :::> 1J u n =>

~ V 1\ a, b, c x, y, z A, B, C cx, ~. y +

X

a" ..1.

n .!. Va- a"

Mulime Mulimea vid Aparine lui . Nu aparine lm Inclus tn Nu este inclus ln Include pe Nu include pe Reunit cu Intersectat cu

Implic Echivalent

Exist Oricare Sau i . Valori algcbnce Necunoscute Puncte geometr ice Unghiur i Plus Minus Plus sau minus Produs vec to rial

mprire a la puterea n

Radical din a

li '1 ,,

\ 1

ji li \1 1'

! '

1

1 1 1 Rdcin de ordinuln ;\

din a \\

Simboluri

* < >

~ ~ < :;".. ( ) [ l { } (a, b) ((/ , bj (a, bj

[a, b)

C, const 'P

1: n=l

'P

Il n= l 00

Modul de oitire

Egal J dentic egal Diferit de Aproximativ egal Strict mai mic Strict mai mare Mult mai mic Mult mai mare Mai mic sau tgal Mai mare sau .:gal

Parantez rotundct Parantez dreapli't Acoladft Interval deschis Interva l nchis Interval deschis la st'n - ~

ga, inchis la dreapt:. Interval Inchis la stn-

ga, deschis la dreapta Modul (valoare absolu-

t) a divide pc b

Constant

Sum de p elemente

Produs de p elemente

Infinit

-

n i P ,. A~

o~

S i mboluri

A = (a 0;) (i = 1, 2, ... ,m; j = 1, 2, . . . , n) D = lai; \ (i,j = 1, . . . ,n ) i = V-1 He z Jm z iz 1

arg z Iim Iim Iim

a f(x) f'(x), f "(x) , .. . ,

r'(x) (., (x, y, ... ), rll., (x, y , .. ), ...

lllv

NOTAII MATEMA T ICE I CONST ANTE UZUALE 11

Modul de c itire

Il Factorial de n Permutri de n obiecte 1 Aranjamente dr n obiecte!

luate cit e p Combinri uc Il obiec- ~

te luat e cite p Matrice cu m linii i n coloane i

Det erminant de ordinul n\ Un ilal e imagi na r:! Pa rtea rcal:i a lui z Par tea imagitt:!r:i a lui Mouu l el

12 NOTAII MATEMATICE I CON STANTE UZUALE

Simbolur i Modul de citi:e Slmbohui Modul de citire

1

ch th

Cosinus hipcrb olic arg th Tangent hiperbolic

Cotangent hipcrbolic arg coth Secant hiperbolic

1

Argument tangent hi-perbolic

coth scch cosech arg sh

arg ch

Cosecant h_iperbolic li arg sech Argument smus

1 hiperbolic 'i arg cosech

1

Argument cosinus hiperbolic

Argument cotangent hiperbolic

Argument secant hi-perbolic

Argument cosecant hiperbolic

B. Valorile unor constante uzuale

Raportul dintre lungimea circumferin-ei i diametru : Coeficicnii de transformare ai valor ilor unghiular e sexagesimalc in radiani :

Coeficicn tii de tra nsformare a i valorilor un ghiul~rc ccntesimale in radiani:

Baza logaritmilor naturali:

Modulul logaritmilor zecimali:

7t = 3,1415926536

{ p0 = 57.2!)57795131 p' = 3437,74677078 p" = 206264,806247

{ pir = 63,6619772368 o o o oc = 6366,19772368 .. . pCC = 636619,772368 .. . e = 2, 7182818285 . . .

1!- = 0,4342944819

. 1. ARITl\fETIC I .ALGEBR

1.1. :MULIMI

1.1.1. Deflniil. O mulime este un ansamblu de obiecte, acestea formind elemen-tele mulimii respective. Mulimea M format din elementele a, b, c, .. . se noteaz 111 = {a, b, c, ... }. Mulimea ale crei elemente x au proprietatea p, se noteaz {x fp}.

Relaia de echivalen intre dou elemente a, b E M se no teaz a ~ b i a re propr ie-t il e :

a ~ b => b ~ a (simetrie) { a ~a (rcflexi vitate)

a ~ b 11 b ~ c = ) a ~ c (tra nzitivila t e) Submul im ea elementelor echivalente cu un clement dat formeaz o clas de echi-va le n.

Relaia de incluziune : Ac B dac fiecare clement al mulimii A este i element al mulimi i B , iar A se numete submulim e a lui B . Relaia de incluziune este reflexiv (A C A) i tranzitiv (A C B 11 B C C =) A C C).

Dou mulimi sint egale A = B, dac se includ una p e alta (A C B 11 B c A). Relaia de egalitat e este reflexiv (A = A), simetric (A = B => B = A) i tranzitiv (A = = B 11 B = C =) A = C).

Complementara lui A fa de B {dac A C B) se noteaz CBA sau CA (CA = B - A), iar C (CA) = A.

Mulimea uid 0 este mulimea care nu are nici un element. 1.1.2. Operail cu mulimi. Se consider mulimile A1 , A2, , A,,. Reuniunea lor se noteaz:

" A 1 U A 2 U A 3 U ... U A" = U Ai

i~l

i reprezint mulimea elementelor care aparin cel puin uneia din mulimile compo-nente. R euniunea are urmtoarele proprieti :

(

A UA=A (A U B) U C = A U (B U C) A UB=BUA AU 0 =A A U M = M {dac ACM)

14 MATEM ATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

Intersectia nllllimilor considerate anterior se noteaz: ,,

A1nA2 nAan .. . nA ,.= nA ; i~l

i r cprczinUt mulimea elementelor comune tuturor mul.imilor considerate. Intersecia are urmtoarele proprieti :

(

AnA=A (A n B) n C = A n (B n C) AnB=BnA An0=0 An M =A (AC M) Dac A n B = 0, mulimile A i B se numesc disjuncte. Considerind incluziunea, r euniunea i intersecia, se mai pot scrie urmtoarele pro-pri eti :

A c AnB A n B e A A u CA= M An CA= 0 A C BA U B = B A C BAnB = A A C B=) A U C C B U C A c J:J => A n c c n n c

A U (.B n C) = (A U B) n (A U C) A n (B U C) = (A n B) U (A n C) A C C 11 B C C =) A U B C C C C A 11 C C B =) C C A n B c (A u B) = -

m 11

1.2.2 . . 'umere ntre!Ji. Mulimea numerelor Intregi este format din mul imea nume-relor nat ur ale U zero U mulimea n umerelor intregi negative.

1'aloarea absolut sau modulul unui numr m se de f i n ete astfel:

lm 1 = O dac m = O { 111 dac m > O

i a rc proprietil e :

m = O lm 1 = O 1- ml = Jm J

-m dac m < 0

1111 ni ~ 1 m i + JnJ lm ni :::;o.IJmJ- 1111 Imn!= Imi lnl

{

Im i :;;.. O, v m

lm 1 ~ c - c ~ m ~ c j;l='l,::

16 MATEMATICI GENER:.I\.LE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

Numrul m este diuizibil prin n , dac exist un numr q astfel ca m = nq i se noteaz;i n lm, avnd proprietil e:

{ 1 im m im m ln=)mp lnp

m In 1\ nlp =) mlp ~In 1\ mlp =)mi (ocn + [3p)

Orice numr ntreg m =!=O admite o descompuner.e unic m = p1p~ .. p, In r factori primi.

Pentru dou numere ntregi m, n=/=0 exist i sint unic determinate alte dou numere intregi q i r, astfel incit m = nq + r (O~r < In 1).

Cel mai mare divizor comun a dou numere intregi m i n este un numr intreg po-ziliv q, astfel incit q lm; q In i din r lm i r In s rezulte r lq i se noteaz q = (m, n). Dou numere intregi m i n sint prime ntre ele, dac (m, n) = 1. Practic, c.m.m.d.c. se determin prin algoritmul lui Euclid constnd in aplicarea repetat a mpririi cu rest:

n = r 1q2 + r 2 cu O ~ r1 < 1 nl O~ r 2 < r 1

(

m = nq1 + r 1 cu

rn - 1 =r,.q,.+1 -l r,d1 cu O ~ r,.+ 1 < rn =(m, n) Cel mai mic mulliplu comun a dou numere Intregi m i n este un numr Intreg po-

zitiv p, astfel incit mlp, n lp i din m ls i n ls s rezulte p js i se noteaz p = {m, n }. Dac m i n sint prime Intre ele, {m, n} = mn. ntre c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. exist relaia: (m, n) {m, n} = mn. 1.2.3. Numere rationale. Acest ea se pot scrie sub form de fra cie 1!!: (m i n fiind

. n

numere Intregi, n =/= 0). Numerele raionale pot J'i reprezentate i sub form de fracie zeci mal [t : a0 , a1 a2 a,. care poate fi finit sau infinit. Numerele care au partea ze-

cimal infinit i neperiodic se numesc numere iraionale. Numerele iraionale care nu reprezint rdcina nici unei ecuaii algebrice se numesc numere transcendente (de exem-plu e i 1t).

1.2.3.1. Proporii:~=~(=!> ad = bc. Se p ot scri e totodat rela\ iile : b d

(/ b d c b d c (1

Proprietti/i :

a b= cd b d a c c- d

1.2.4 . Numere reale. Numerele raionale i inrponale formcazii impreun[t mulimea numerelor rcctle.

Se consider un numur r eal a i m, n - intregi poztivi. Produsul a n factor se nume t e puterea a n-a a lui a (a 8 J.

ARITMETICA I ALGEBRA

1.2.4.1. Operaii cu puteri :

am . an= a1n+n am: an= am-n am . bfll = (ab)m

am: bm = (~r

a2 _ b2 = (a + b) (a- b) a3 bs = (a b) (a2 =f ab + b2 )

a" - b" = (a - b) (a"-l + a"- 2 b + + + ab"-2 + b"-1)

17

1 : am = (~ r = a-m a 2"+1 + b2"+1 = (a+ b) (a2n _ a 2"-1 b + ... + b2" ). a2" _ b2" = (a + b) (a2"-l-a2"-2 b + ... _ b2"-1) (a b)2 = a2 2 ab + b2 (am)" = am" = (a")m

( - 1)" = 1 (n-par, impar) ao = 1

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

O" = O (a b)~ = a~ 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca n (n - 1) a"-2b2 n -(n - 1) (n - 2) a"-3 b3 + ... +

12 1 23

+ ( 1)" b" =(In C~ a"- l b + c! a R-Z b2 c~ a"-3 b3 + + ( 1)"b" (n-intreg, poziti\) , (binomul lui Newton)

+ c~- 1 ab"-1+ (!.4)

In particular, p entrtt a = 1, b = x, - 1 < x < 1 exist relaiile:

11 (n _ 1) 2 n(n - 1) (n -2) ... (n - k+ 1) xk + (1 :r) 11 = 1+ n x + x + + kl T 21

(ll:)-1 = 1 =f x + x2 =f x3 + x' =f ... + (=f1)" x" + ...

3 5 t + ( ::r:1)" (n + 1) x" + (1 x)-2 = 1 =f 2x + 3x =f 4x + x =f .. -, 1 1 1 1 5 7 . _21 :x;6 ...!..

-:;- - :x;3 - --X~ - .1:" - ' (1 x) - = 1 2x - jf x- 16 128 256 1024 -

(lx)

Dac x est e mic, se pot scrie formulele aproximative:

n x (1 x)" ~ 1 nx; (l:t:) ~1 -;

n

- c. 2Q"!

(1 x)

1 '1 X

~1 =f- n

18 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZ[

1.2.4.2. Radicali: '" Va= b b > c) Va= va-= v;; 1.2.4-.3. Logaritmi. Considerind dou numere pozitive a i b, ecuaia a"' = b are o soluie real, care se numete logaritmul lui b In baza a:

aa: = b ; x = log" b; aloe a b = b. Numai numerele b > Proprieti :

O au logaritmi, iar baza a > 1.

log.. a = 1

loga 1 = O

log. ab = b log1, (b c) = log. b + log.. c

loga (~)=log. b- loga c

Ioga bn = n Iogab (n real) " 1 log,. Vb =;;log. b (n real)

= log" b logb c (formula de schimbare a bazei; a, b > O, a, b =/= 1)

log. b Iogb a = 1

ARITMETICA I ALGEBRA 19

ntre logaritmul zecimal al unui numr b- lg b i logaritmul natural (n eperian) -In b exist relaiile :

{ In b = In 10 lg b = 2,302585 lg b lg b = lg e In b = 0,434294 In b

~ i de asemenea: In 10 Ig e = 1 Yaloarea !L = 0,434294 se numete modulul logaritmilor naturali.

(I.5) (1.6)

1.2.5. Numere eomplexP. Un numr complex este o pereche ordonat de numere . rrall' (a, b), satisfcnd regulile:

n particular, numerel e de forma (a, O) = a sint realE'. Notind i = (0, 1) rezult i 2 = - 1, aclicft i = V - 1. Astfel, orice numr complex se va putea scrie sub forma :

(a, b) = a + bi = c, unele a = Re c i b = Im c.

Dou numere de forma c = a + bi, c = a - bi se nume c complexe conjugate. n a far de forma algebric (a + bi) un numr complex poate fi scris sub form tri-gonom etric = r ccos6 + i sin6), unde p = Va2 + b2 este modulul, iar 6 (tg6 =~) ts te a rgumentul numrului complex.

1. 2.5. 1. Prowielli{i:

(/ f- bi = o =) (1 = o 1\ b = o ul + l>li = a2 bzi =) a, = a2 1\ bl = b2 cos 6 i sin 0 = e =;6 (Eulcr) 1,: (cos 6 + i sin 0) = cos o - i sin 6 (cos el i sin 61) (cos 6z ::::: i sin 62) = cos (61 + 62) ::::: i sin (61 + 62) (cos el i sin 61): (cos 02 :::: i sin 62) = cos (61 - 6z) ::::: i sin (61 - 62) ,. 2k:-t

V- 2kr: 1 = cos --+ Il

2kr: -n- i i &in --=e (k = O, 1, 2, . .. , n - 1)

l 'j'/- (2k - 1);-: - 1 = cos ___ .:.._ Il n

(21.:+llr:. sin (2k ...!.. l)rr = e--"- (k =O, 1,2, .. . , n-1)

h

(I.7)

20 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

1.2.5.2. Operaii cu numere complexe : - sub form algebric :

J

(u1 + b1i) (a2 + b~i) = (a1 a2) + (b1 bJi (a1 + b1 i) (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i

a1 + b1 i a1a2 -/-b1b2 + a2b1 - a1b2 = 1

a2 + b2 i aE + b~ a~ + b ~

1 (a + bi)" = (a" - c! a"-2 b2 + c! a"- 4 b4 - ) + ce! a"- 1 b- c! a"-3b a + ... )i

Va bi =V~ (Va2 + b~ + u) i V~ (lfa2 +;;_a) - sub form trigonomelric :

(cos e i si n e)n = cos ne i sin ne (formula lui Moivre) i ca o co n secin, formul ele trigonom etrice:

sin ne = C~cosn-1 e sine- C~ cos"-a e sin3 e + c! cos"- e sin5 0- ... cos nO = cos" e - c! cos "-2 e sin2 e + c! cos"-4 6 sin4 6 - . tg ne c~ tg e - c! tgae + ...

1.3. IRURI DE NUlliERE

(1. 8)

1.3.1. Definitii O mulime liniar (ale crei elemente pot fi puse n coresponden biunivoc cu punctele unei axe) i numrabil (elementele ei se pot pune in corespon-den biunivoc cu mulimea numerelor naturale), formeaz un ir de numere :

a,. se numete termenul general i definete irul respectiv. Conform teoremei lui Weierslrass-Bolzano, o mulime liniar infinit i mrginit are

cel puin un punct de acumulare. Dac irul are un singur punct de acumulare situat 1 a distan finit, el este convergent i n acest caz limita superioar se confund cu limita inferioar a irului. Un ir a 11 este convergent avnd limita a, dac unui numr e: > O li putem face s-i corespund un rang N (e:) astfel incit pentru orice n > N sii rezulte: la,.- a 1 < e:. Atunci se poate scrie: Iim an= a.

ts-+-


Un sir divergent nu are limit finit : Iim a ,. = oo. . -~

C diia necesar i suficient ca un ir a,. s fi e convergent eslc ca unui numr e: > gns putem face s-i corespundrt un numr N, astfel Incit pentru orice n > N s rezulte:

Vp.

Orice ir monoton (cresctor sau descresctor) i mrginit (superior, r espectiv in-fe rior) este convergent. _ . .

Orice ir convergent este margm1t. '1,3.2. l'roprietile irurilor convergente

Iim (a" b,.) = Iim a,. lim b,. lim (an + c) = c + lim a,. (c fix) n-+oo n~oo n_..oo n-+oo n-+oo

Iim (a,.bn) = Iim a,. -Iim b,. n--+oo n-+oao n......,.oo

lim (ca,.) = c Iim a,. n-+oo n--+ao

(c fix)

Iim a,. Iim~=~

n-+~ b,. Iim bn t!-l-00

(Iim b,. =f=. O) ...... ~ {~ pentru O < a < 1 pentru a = 1 pentru a> 1

Iim a! = (Iim a,.)k (le raional) n-+ oc n-+oo

..

lim lfn = 1 ,._..oor "

lim (1 + -1-)"= e tt-+oa n

k " Iim lln v- -n-~oaoV a,.= hma,. .. .... ~

Iim la,.l = !Iim Un 1 n...,..oo n-+oo

lim (1 + _:_)" = e" n-+oc n

Iim a,. bn llm (1 + a,.)b" = e ,._..oo (cind Iim a,.= O, Iim b,. = oo) Il-+ 00 n--+oo n-+co

(a,.:;;>-. O)

- dac Iim b,. = oo i raportul n-+oo

lln+1 - a,. (bn + 1 =f=. bn) are o limit, atunci f bn +1- b,.

raportul a,. are aceeai limit pentru n->-ex> (teorema lui Cesaro); b,. dac irul convergent a,. are toi termenii pozitivi, atunci :

"----lim Va1a2 an =Iim n-+oo n-+oo

al + Uz + + a,, = Iim a,. (ai > O); n

. . a1 a 3 an+t - dac flrul amahar-, - , . , --- , ... (a.i > O) are o limitil, atunci irul:

a1 a~ a,. 8 V;, V a1 , , ya; are aceeai limit ;

22 MATEMATICI GENERA LE I SPECIALE PENTR U G EODEZI

- dac a,. :;;;,.o, atunci Iim a" :;;;,.o, iar dac a,.~O, atunci Iim an ~O; - dac de la un anumit rang a,. ~ b,., atunci Iim a,. ~Iim bn.

n-;.ao n-+ao

1.3.3. Simbolul . Acesta are semnificaia limitei irului numerelor naturale i se pot efectua urmtoarele operaii :

- suma : a +


113+2' +3s++ (n-1)3 + n3= t k3= (n(n+1))2

- k=l 2 13 3 . n-1 . + 3 + 53 + .. . + (2n- 3)3 + (2n- 1) 3 = :E (2k + 1)8 = n2(2n2 -1)

k=O ..

+ (2n - 2)3 + (2n)3 = :E (2k)3 = 2n2(n + 1)2 k=l

..

14 +24 +34+ ... +(n-1)4 +n4= n(ri+ 1) (2n+ 1)(3n2 + 3n-1) 30

1 2 3 -+ - + - +-- - + 2 22 23

Il

,, ~ 1 - (n + l)x" + nx11 +1 LJ kxl,-1 =

il= l (1 - x)2 l + 2x + 3x2 + + nx''- 1 = (x =f= 1)

1.-1. SEilli XUMERJCE

1.-1.~: ~efiniJii. Se consider iru l infinit de numere a, a2 , , a,., . .. Cu termemt lm se poate forma un alt i1: 1

00

Dac ir ul sn tinde ctre o limil:t s (cind n ->-co), s = :E a,. va fi suma seriei cu ter-mcnul general a11 , iar simbolul de forma :

n= l

0 1 + a2 + .... + a,. + ... se va numi scrie. Dac s are o valoare finit, seria este convergcnt iar 1 t _ dtvergent. , n caz con rar

Condiia necesar ca o serie s fie convergentii este ca Iim a,. = o. 00

Condi!.ia necesar i suficient ca seria :E a,. s fie convergent este ca pentru orice 11= 1

~:- O s se poat determina un rang 1\"(t), astfel incit pentru orice n> N i p Intreg pozitiv sa rezulte 1 sn + p - Sn 1 < & (criteriul general de convergen Cauchy).

1.4.2. Serii cu termeni pozitivi. Pentru acest tip de serii exist urmtoarele criterii de convergen :


condiia necesar i suficient ca o serie cu termeni pozitivi s fie convergent este ca irul 511 (care In acest caz este strict cresctor) s fie mrginit superior.

Criteriul comparaiei: fiind date dou serii :E a,. i :E bn cu a,. < b,. (de la un n=l n=l

00

rang oarecare), dac seria :E b11 este convergent, atunci i seria :E a., este con-n=l n-1

vergent;

- sub forma limit: dac Iim a,. = k (O < k < co) seriile sint amndou conver-.,_.oo b,.

genle sau divergente ;

- sub form de raport: dac Cln+t ~ bn+l i a11 b,.

00

atunci i :E a,. este convergent. n-1

"" soc ia :E b,. este convergent,

n=l

Cr i teriul lui D 'Alarnbert: dac nceplnd de la un anumit rang (D,.=) Cln+t ~q 1 scria este divergent, n4oo an

iar clnd D=1 criteriul nu se poate aplica. n

Criteriul lui Cauchy: daC:t incepind de la un anumit rang (C,.=) Y a,. < q < 1, seria este convergent, iar in caz contrar divergent sau, sub forma limit :

fi

dac (C =) Iim lf a,. < 1, seria este convergent, dac C > 1 seria este divergent, ..... 00

iar clnd C = 1 criteriul nu se poate aplica.

Criteriul lui Raabe-Duhamel: dac Incepind de la un anumit rang

(R.,= ) n (~- 1) > q> 1 seria este convergent, iar ln caz contrar - divergent, a,.+l

sau , sub forma limit: dac (R=)lim n (~ -1) > 1 seria este convergcnt~. dac n-+oo Un+l

R < 1 seria este divergent, iar cind R=1 criteriul nu se poate aplica.

MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

. _1:4.3. Serii cu te_rmeni _o~recare . Seriile __ care au o infinitate de termeni pozitivi i o 111f1mtatc de termem negativi se numesc seru cu termeni oarecare.

~ ~

O serie ~ a,, (cu termeni oarecare) este absolut convergenl, dac seria ~ 1 a,. 1 ?1=1 n-1

este convergcnt. Cu privire la aceste serii se dau urmtoarele teoreme: - dac o serie cu termeni oarecare este absolut convergent ea este cu atit mai mult convergent ; ' - intr-o serie absolut convergent se poate schimba ordinea termenilor fr ca suma

seriei s se schimbe. ' Un caz particular de serii cu termeni oarecare sint seriile alte~natc (cu termeni alter-

"" nativ pozitivi i negativi) de forma: ~ (- 1)"- 1 a,,. Pentru aceste serii (care nu sint

?1= 1 absolut convergente) se d urmtorul criteriu :

- dac 1 a,. +1 1 < 1 a,. 1 i Iim 1 a,. 1 = 0, scria este convergent (teorema lui Leibniz). n.-+oo

~ 00

1.4.'1. O(lCntf.ii cu seri i. Fiind date dou serii convergente ~ a,. i ~ bn avnd n= 1 n- 1

ca sum s i respectiv s' , suma celor dou scrii va f1. scr1"a 't"' ( + b ) .l.J a,. 11 , care are ca

lt= l sum s + s' .

~ ~

Produsul a dou serii ~ a,. i ~ b" este o serie ~ p,. cu p,.=a1b.,._ 1 +a2bn_ 2 + n=l n-1 1t.= l

+ aa b .. - 3 + .. .. Dac cele dou serii sint convergente cel puin una fii nd a!Jsolu t convergent, suma seriei produs es te s s'. '

1 . .5. l'OLlNOAlm

1.5.1.1pl'iinipi. Se nu~n~tc monom de gradul k. In raport cu variabila x, o expresie de

forma ax , unde a - coeflclCntul monomului - es te uu numr real diferit de zero iar k. un numr natural. '

Un polinom n x este o sum de astfel de monoamc:

P (x)=a0x + a1xn- 1 + a2x"-2 + .... + a" _1 x + a,.. Gradul polinomului este dat de gradul cel mai mare al monoamelor care 11 alctuiesc Co~~!ia necesar i ~u~icient_ ca un polinom s fie identic nul P(x)= O este ca toi coefici- en11 a0 , a1 , ... , a 11 sa f1e egah cu zero .

1.5.2. Operaii eu polinoame: . Sum_? a dou polino~me 1-(x) i B(x) v~ fi un polinom S(x) = A(x) + B(x), care se ob-me pnn adunarea termem lor de accla grad. Adunarea polinoamelor este asocia-tiv i comutativ .

_ Di{eren,ld po~inoamclor D(x) = A(x)-B(x) este de asemenea un polinom ce se obtine sc~z~nd tcrmemi de acelai grad. Dac A(x) - B(x)=O, polinoamele sint identic eg'ale ad1ca A(x)=B(x). '


p rodusul a dou polinoame A(x) i B(x) este un polinom P(x) = A(x) B(x) care repre-zint suma t ermenilor obinui prin nmulirea fiecrui termen al lui A(x) cu termenii lui B(.t:), iar gradul su va fi egal cu suma gradelor lui A(x) i B(x). P rodusul este asociativ i comutativ. .

Dac produsul este identic nul, unul dintre polinoame trebuie s fie identic nuL ln ceea ce privete diviziunea polinoamelor A(x) i B(x), se caut un polinom Q(x),

A(x) astfel incit -- = Q(x), sau A(x) = B(x) Q(x).

B(x) Este necesar ins ca gradul lui A(x) s fie mai mare sau cel puin egal cu gradul l ui

B(:r:). In general ns, in locul identitii apare egalitatea A(x)=B(x)Q(x) + R(x), unde Q(x) este citul diviziunii, iar R(x) - restuL

l.G. ECliATH ALGEDUH;E

1.6.1. Dt'liniii. O ecuaie algebric de gradul n es te de forma:

P(x) = a0x" + a1xn-l + ... . + an_1x + a,. = O, sau:

unde a0 , a1 , ... ,a,. snt coeficienii ccuaiei, iar xv x 2 , , Xn snt rdcinile ci, gradul fiind dat de gradul polinomului P(x).

O r[t clein x1 este multip l de ordinul p, dac ecua ia se poal e scrie sub forma:

P (x) = (x - x1) l>Q(x) = O (Q(x1) =/= 0). Ecuaiile care admit acel ea i rdcini se numesc echivalente. Pentru a grtsi rdcinile co mune a dou ecuaii P(x)=O i Q(x) = O, se imparte P(x)

- presupunnd c a rc gradul mai mare - la Q(x), apoi Q(x) la R1(x) - (restul obinut anterior) etc. pinii se aj unge la un rest constant. Dac aceast~t constant este zero, penulti-mul res L anulat d rdcinile comune ale celor dou ecuaii.

1.6.2. Relaji i ntre r;iditl'ini i col'!ic icnji (relaiile lui Viete):

n a,. -=( - 1) -

a o

(1.13)


Se observrt cCt In partea s tug a relaiilor figureaz combinrile rdcinilor x1,x2, ,x11 luate cite 1,2, ... , n.

1.6.3. Rezolvarea eeuaiilor. Aceasta se bazeazCt pe urmtoarele proprieti : - dac se adun sau se scade ambelor pri ale unei ecuaii aceeai cantitate, se obine

o ecuaie echivalent ; - dac se nmulesc sau se mpart ambele pri ale unei ecuaii cu o cantitate care nu

e nul, infinit sau coninnd o necunoscut, se obine o ecuaie echivalent cu cea dat. O ecuaie de gradul 1 arc forma general ax + b = O (a ==1= 0), rdcina fiind:

b X= --

a (!.14)

Forma general a ecuaiei de gradul II este ax2 + bx + c = O (a ==1= O), avnd rdcinile:

- b Vb2 - 4ac 2a (1.15)

Dup cum discriminantul ~ = b2 -4ac este pozitiv, nul , sau negativ, rdcinile slnt reale distincte, reale confundate sau complexe conjugate.

Ecuaia de gradul 111 are fonua general axa + bxz + cx + d = O.

b Fcnd substituia x = y - -, se reduce la forma canonic: 3a

C b2 y3 + py + q = o, unde: p =- - -; a 3a2

d bc 2b3 q= - - - +- a 3a2 27aa

Dac se noteaz :

rdcinile ecuaiei sint date de formulele:

YI = p + Q; P+Q Yz.a=- - --2

P- Q- i --V3

2 (metoda lui Cardan).

O ecuaie de gradul III cu coeficieni reali are ntotdeauna o rdcin real, celelalte dou fiind reale, complexe conjugate sau confundate, dup cum discriminantul

" = (P3 )a +(zq)z "' este pozitiv, negativ sau nul.

CALCULUL MATRICEAL

O ecuaie de gradul IV are forma general: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = O.

b . Se poate reduce la forma canonic prin substituia x = y - ~:

y4 + pyz + qy + r = O, c unde: p = -a

e bd b2c 3b4 f =- - - +-----a 4a2 16a3 256a4

d bc ba . q=-- - +-. a 2a2 8a3

29

Se consider ecuaia auxiliar .:3 + .!!_ z2 + 2 (~ - .!._) z - :r_ = O avnd rd-16 1 64

cinile z1 , z2 , z3 Dac se noteaz cu u10 112 , u3 cte una dintre rdcinile ecua.iilor u1= Z1 ,

ug = z3 alese astfel ca u1u2u3 = - .!!.... , atunci rdcinile ccuaiei dale vor fi : 8

{ xl = 111 + llz + ua ; . Xa - - ul + uz -ua,

(metoda lui Hudde). In general, o ecuaie de grad impar are cel puin o rdcin real, numrul lor fiind

impar, iar o ecuaie de grad p :u arc un numr par de rdcini reale, sau niciuna.

2. CALCULUL M.ATRICEAIJ

2.1. DEFINIil. MATRICE PARTICULARE. PROPRlET1\:p GENEUALE

M.atricea este un tablou dreptunghiular cu m linii i n coloane :

Numerele a0; (reale sau complexe) se numesc elemenlele matricei. Simbolul (m, n) reprezint ordinul matricei.

D MATEMATICI GEr-.'ERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

Rangul matricei este dat de ordinul cel mai mare al unui determinant nenul ce se poate mna din matricea respectiv. Matricele de tipul (1, n) i (m, 1) se numesc vectori linie i lSpectiv vectori coloan. O matrice avind toate elementele nule, se numete matrice nul (O)

Matricea (n, n) se numete matrice ptrat de ordinul n. Cu elementele unei matrice. trate se poate forma un determinant laii 1 = 1 M 1. Exist urmtoarele cazuri particulare e matrice ptrate :

Matricea Condiii Forma

1 o o o o o

{ 1 pentru i = j o 1 o o o o Unitate a;; = ?i;; = 1 = o pentru i =f= j ......... 1 o o o o o 1

au o o o o o

o a~2 o. o o Diagonal a;;= O prmtru i=f=j D =

o o i o o ... a,.m 1

' au a12 o o o al,.

Simetric s al: a2z o a2n

Oij =aii = . . . . . . . . . . . . .

al,. a2n o o. Gnn

o ai2 o o. a\n

{ o pentru i = j -a13 O o Uzn Antisimelric a;; = A = 1 - aii pentru i =f= j ..............

1

-al,.-a2,. o o o o 1

Transpusa unei matrice M avind ordinul (m, n) este o matrice 1\1' format din aceleai elemente, liniile fiind schimbate ins cu coloanele i avnd deci ordinul (n, m).

O n:tatricc nu arc valoare numeric. Nu trebuie confundat o matrice ptralil cu determmantul format din aceleai elemente.

CALCULUL MATRICEAL 31

Matricea poate fi considerat ca un operator, care definete o anumit lege de cores-ponden, permiind - de exemplu - trecerea de la un vec~or u la un vector v (pr~supuntnd coordonatele lui v ca funcii liniare de coordonatele lm u) :

( ~~) = ( ~~~ ~~~ ~~: ) { ~~ ) sau r> = llf u. z>3 a31 a32 a33 \ lla ln plus, mat1 ina tste un operator liniar, avln


1n particular, 111111' = S i MD111' = S (D fiind matricea diagonal, iar S-matricea simetric). Produsul dintre un vector linie (1, n) i un vector coloan (n, 1) este un scalar. Proprietile nmulirii matriccale slnt: - nmulirea matriceal este asociativ: (AB)C = A (BC); - nmulirea matriceal - in general - nu este comutativii : AB=f=BA, iar cnd

es te comutativ, matriccle se numesc permutabile; - nmulirea matrkeal este distributiv in raport cu adunarea i scderea :

(A B) C = AC BC, A (B C) = AB AC; - existena elementului neutru (matricea unitate): AI = IA = A; - ln ceea ce privete existena elementului invers A - 1, aceast problem se trateaz sepa rat. In general, dac produsul a dou matrice este egal cu matricea nul AB = (O), nu

e deduce neaprat c unul din factori trebuie S[t fie nul, dar cel puin una din matrice este singular (avind determinantul nul). n particular: (O)A = A(O) = (0). Produsul unei matrice A cu un scalar este o matrice de acelai ordin, definit

astfel : AA = A (aii) = (Aa,i) i avnd proprietile: :A (fLA) = (l,fl) A; (A + fl)A = ).A + flA; ), (A + B) = 1.A + ),B; A (A B) = ( AA)B.

1n particular; OA = (O). Dac A este o matrice ptrat, se poate scrie de asemenea : AA = A

2

; A0

= /;fU =1; AmA"=Am+"; (A"')" = Amn (m, Il fiindlutregipozitivi). Fa de operaia transpunerii, exist urmtoarele proprieti: (A+ B)' =A'+ B'; (AB)' = B'A'; (J.A)' = I.A'; IA' /= IA/.

2.3. EX!RESIA MATRICEAL A PRODUSULUI \TECTORIAL Se consider doi vectori coloan~'i u i v i vectorii transpui corespunztori :

u' = (u" u11 u.), v' = (v" v11 v,). Produsul scalar este un numr dat de : u' v = v' u = u"v" + u11v11 + u.v.

Produsul veclorial este un vector w = u x v, avind componentele:

w" = u11v, - u,v11 ; Wv = u,11" - u.,vz; w. = u ,,uv - ur/'z ,.

Se consider matricele antisimetrice:

( O - u, u11 ) Au = u, O - u.,

-u11 u" O Cu ajutorul lor, produsul vectorial u x

{ w = Auv ; w'= u'A 11 ;

i A. = ( ~. - g - ~=) , - v11 11., O

v se poate exprima sub forma : w = A.u

- w' = elA"

ULUL MATRICEAL CALC

' \l'l \[ \THl k~l produselor elemcn-. este 1 hu su ma lementclor fiedtret coloane ,

ndiert su ma palrntclor c l o t gal - ln va-tciOJ: ornologe a douit coloane es e . t al unei matrice ortogonalc es e e

dic orice elemen ~ 4) a;; = Mii a . 1 . .- . Jatrice ortogonah' I oan~ absoluti't - cu mmoru sau. 1 de acelai ordin cslc tol o n

trice ortogona e ' 1 ii) Produsul a doua ma CC' = (AB) (AB) = . care apare ln cazul adic: . . F este matricea de rotaie R , , Un exemplu de matrice ortogona a - x + Rx'. transformrilor de coordonate : x - . 0 3 - c. 292

34 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU G E OD EZI

2.6. DEll.IVATA Ui\'EI JUATIUCE

O m atrice M = (a;;) ale crei elemente (sa u o parte din ele) sint func(ii de una sau mai multe variabile: a;; = a;; (x, y, z, .. . ) se numete funcie nwtri ccalit M = = M (x, y, z, ... ). Presupunnd c elementele snt funcii de o singurii variabil x , funcia M = Jlf(x) este derivabil dac elementele ci snt derivabile, derivata calcu-lindu-se dup regula :

dM dx =(:a;;)

D erivatele pariale ale unei func ii matriceale de mai mulle variabile . e defin esc asemn tor.

2. 7. THANSFORi\I.i\m ELEJ\IENT;\RE. l\IATRICE ECill\'ALENTE

Prin transform ri elem entare ale un ei ma lrice se n~el cg urmtoarele ope ra ii: - schimbarea a dou linii sau coloane, intre ele; - nmulirea elementelor unei linii sau coloane cu un scalar A; - adunarea la o linie (sa u o coloan) a unei alte linii sau coloa ne nmulite cu un

scala r A. Dou i't matrice A i B se numesc echivalente (A~B), dac una se poa lc deduce din

alla prin tra nsformri elementare. Orice matrice poate fi adus - prin transformri elementare - la o matrice diago-nal de acelai ordin, numil forma diagonal sau forma canonic a m atricei. P entru aceasta, se procedeaz astfel : presupunnd cit a11 =1= O (in caz contrar schimbm prima coloan cu alta, avnd elementul din prima linie nenul), nmulim pc rind elementele primei coloane cu - a12 ; - a13 ; ... , - 01" i o adunm la coloana a doua, a

au 0 n au

treia, . . . i apoi a 11-a, rezultnd a1; = O (j=/=1) ; asemntor se obine pentru prima coloan ah = O (i =/=1). Considerndu-se a22=/=0 (In matricea transformat) se procedeaz la fel, rezultnd n final matricea diagonal corespunztoare.

Dou matrice ptrate de acelai ordin, echivalente, se numesc asemenea dac ntre ele putem stabili o l egtur de forma: A = N-1BN, N fiind o matrice ptrat nesingular .

2 .8. ECUAIA CARACTERISTIC.:\

Polinomul caracteristic al unei matrice ptrate A = (a;;) este:

J>(A) = 1 A - Al i (I.18)

a,,2 a",. - A

CALCULUL MATRIClc AL 35

.. , A = 0 rep rezint ecuai~ ei ca:~c.teristic: Rdcinile acestei ecuaii se numesc 1 ~1 .P.< ) ac teristicc sau valon proprll, Iar mul.unca acestor rdcini se numete spec-r adacm1 car iru l m atricei. Suma clemcnlclor diagonale ale unei matrice (a11 + a22 + ... + a" 11 ) se numete urma matricei.

2 . 9. ;._. ;\1.\THIC E

0 matrice a le ci'trci clemen.te snt polinoamc in raport .cu o variabil~ ), se numete ) - atrice. Gradul unei ;A.-matnce este dat de gradul celma1 mare al polmoamelor com-

111cnte. o ).-ma trice se poate reduce prin transformri elementare la forma diagonal ~~:~mal , tn care polinoamel~ ~11(A), . :, Onn(A) au coc~icicnii ten!l~nilor de gradul cel

mai mare egali cu unitatea J fiecare dmtre aceste IJOlmoame se dJvJcle cu precedentul. Condi i a neccsari't i suficient ca o A-matrice s fie invcrsabilit este ca dctcrminan-

Lul ci si't ri c !' fl:l l cu o constant diferit ele zero.

2.10. SISTE.\IE DE ECUAII

Se cons i de r un sistem de m ecuaii cu n necunoscute :

I 0u ~'J + 0 J2 .1'2 + (/21 X1 - 0 " 2x2 +

l Dac se noteaz cu A = (aii) matricea coeficienilor (cu m linii i n coloane)

X = (x; ) vectorul coloan corespunztor necunoscutelor (j = 1, 2, ... , n) i B = (b.i), vec-toru l coloan ii conspunzlor t ermenilor liberi (i = 1, 2, ... , m), sistemul se poate scrie sub for ma mal riceali't :

AX=B.

Dac 1 A l::f=O, sistemul admite soluia unic X = A - 1J.J (cind A este malrice plrat) .

Dou sist eme care au aceleai soluii se numesc cchiYalente. D O metod de rezolvare o constituie regula lui Cramer : x; = _.2. , unde D; este l AI

dcterm inantul ca re se obine din A, inlocuind coloana i cu termenii liberi. O alt metod se bazeaz pe determinarea matricei inverse A -1 care Jnmulil la

dreapt a cu B n e va da soluia X . Pentru aceasta, se considcri't matricea A i matri-cea unita te /, aezate a stfel :

(/11 ((1:! ... aH~ 1 o o

a21 0 22 02n o 1 o

a,n a,l2 Onn o o ... 1


Presupunnd a11=f:O (n caz contrar se schimb prima coloan cu alta , a vind ele-m entul din prima linie nenul, dar fcnd aceeai schimbare i n matricea din dreapta),

1 se nmul ete prima linie (corespunztoare lui A i lui J) cu - i se adun la

an linia a doua, a treia , . .. , a n-a dup ce s-a nmulit In prealabil respectiv cu - a21 ;

a 31 ; ; - Gn l" P resupunind acum b22=f:O (in caz contrar se procedeaz ca la a11) , se !nmulelc

1 li nia a rloua cu --i cu ajutorul acestei linii se poate face ca toate elementele coloanei bzz

a doua (sub linia a doua) s fie nule. Se procedeaz astfel, pn cind toate elementele de sub diagonala matricei din stinga snt nule.

Pornind acum de jos n sus i cu ajutorul liniei a n-a se face ca elementele ultimei coloane (In afar de ultimul) s fi e nule. Cu p enultima linie se procedeaz analog ele., p in cind in sln ga r ('z ult matricea unitate. In acest moment, matricea din dreapta va Ji A. - 1 .

Conform t eoremei lui R ou chc, condiia necesar i suficient ca un sist em de m ecua ii cu n necunoscute s fi e compatibil (s a dmit solui i) cst r ca matricea ; l i ma tricea extins A (forma ti't din clemenlclr matricei A la care se a tl

38 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZf

ionalc sau dac elementele unei linii (sau coloane) se exprim liniar cu ajutorul a p linii (respectiv coloane), adic :

Dac elementele unei linii (sau coloane) au un factor comun, acesta se poate scoate In faa determinantului.

Dac elementele unei linii (sau coloane) sint sume de p termeni, determinantul se poate descompune Intr-o sum de p determinani :

lan p b bl ; . . . fl1n 1 i = 1 1 j )

! (121 ... L b'J.i O~n P 1 Ou . . . bl i . . . aln i~ 1 ~121. : b2.' . ." a!n

i = l

1 nt bn i Onn J)

(' u t L bui 0 un i = 1

Produsul a doi dcterminani !oul i jb;;l este un determinant lc1;l, ale crui ele; mente se calculeaz dup regula :

n

c;; = L a;kbkj = a,1b1; + a;2b2; + ... + C1 ;nbli k = 1

Deriva la unui determinant D = 1 a;; 1 ale crui elemente sint funcii derivabil- Y. Mulimea X formeaz domeniul de definiie al funciei, iar Y reprezint mulimea valorilor funciei. Dou func-

ii care au acelai domeniu de definiie i . stabilesc aceeai coresponden sint egale. Un clement XE X se numete argumentul funciei, iar un elemeitt bE Y, b=f(a) se numete imaginea lui a prin funcia f.

o funcie f: X ->- y se numete biunivoc dac (V) Xr=/=-X2 din X=) ((xr) =/=- f(x2) In Y, adic Ia dou elemente distincte ale lui X corespund dou elemente distincte ale lui Y.

Dac intre mulimile X i Y s-a stabilit o coresponden! prin funcia y = f(x), iar Intre mulimile Y i z o coresponden prin funcia z = g(y), atunci funcia g(((x)) sau !J f(x) se numete funcie compus . . Func(ia invers a unei funcii f, este funcia f-1, prin care fiecrui element yE Y

h ~orespunde un anumit clement xEX, pentru care f(x)=y. O aplicaie biunivoc ad-mite intotdeauna o funcie invers.

40 MATEiV1ATJCI GENERALE I SPECIALE PENTRU GE_O_D_ E_z_r _____ _

Dou mul.imi care pol Ii pu se in corcspondcnl.:l biuniyoc


3.1.2 .5. Funcia exponenial (fig. 1.7, 1.8, 1.9) . Aceasta cslc de. forma ((x) = a~ (a > O, a=/=-1).

Pentru a = O i a = 1 se obin funciile constante {(x) == O i (( x)=:l. Domeniul de definiie al funciei exponeniale poate fi toat dreapta real, iar valorile ei sint po-zitiYC pentru V x. Pentru a < 1 funcpa este strict descresctoare, iar pcnlru a > 1 este strict cresctoare. Cazul cel mai important ll constituie funciile y = e" i 1/=e-"'.

!1

)(

Fig. J.'i. Funcia {(x) = a"'; (a > 1).

!1

1( Fig. I.8. Funcia {(x) = a"; (O 1 este strict cresc:itoare.

)(

Fig. 1.10. Funqia {(:t:) = log"x; (a > 1). Fig. 1.11. Funcpa f( x) = log.. x; (O < a < 1).

CALCULUL DIFERENL

14

Fig. I.15. Funcia {(x ) = colg x.

X

Fig. 1.16. Funcia f(:r) = arcsin x. X

Fig. I.17 . Funcia {(x) = arcco1 x.

CALCULUL DIFERENIAL I INTEGRAL 45

F unctia {(x) = orcsin x (fig. 1.16) este o funcie strict cresctoare, definit pc [ _ 1, 7 1j i fiind funcie mulliform (unei valori x ii corespunde o infinitate de vulori y), pentru mulimea valorilor vom considera determinarea principal [ - ~ , ~ J .

Funcia {(x) = arccos x (fig. 1.17) este o funcpe strict descresctoare definit pe [ _ 1. 1 1 .. cu valori In (0, 7t] (determinarea ~rincipal).

Funr! w {(.r) = arclg x (ftg.l.11l) csle slnct crescatoare, definit p e (- oo, + oo) i cu , .do ri in ( .-: , ~) - (


~ltim_a fu1;cie -~sle mai puin folosit. Primele 3 funcii sint fu net ii c r Intel' al. l uncule sh x I th x sint funcii impare, iar ch x este p~r. on mue n or ice

F ig. 1.20. Fu ncpi!c hiperl>olice. X

_ 3~1.2. ~O. l!'uncfii fliperbolice inverse. Accslea sint {( x) = ar sh x fi - a:gch x (fig. !.22), f(x)=arglh :r (fig I 23) {(x)- g ti gcr . ( g. !.21), f( .r) = ma1 puin folosit. ' - ::u co 1 x, lg. 1.2!), ullima fiind

Funciile argsh x i argth x si t r Funcia argch x este multifo;m . n ~~~~ orme I _de fu.Ji t e pentru orice valoare a lui x. tru y i es le definit d . a, ~vin ~Jentn~ flc.cm e va~oare a !tu :t: dou valori p en-

oaJ pentru x:;;;,. 1. 1 unculc s111L contmue n orice interval.

o,.,tll x=.L In 1 X z 1-x

X

l: ig. I.21. Fu ne( ia {(x) = arg h x.

Fi g. 1. 22. Functia f'(x) = argch .{.

Fig. l.2:l. Funcia /'(.r) = arglh .1'.

Fig. 1. 2-L Functi a f'(. r) = argcolh .r. \

X

orgcl! x-~ ln(x~V x2-f}

-1 D


3.1. 3. Operajii cu Iuncii _ suma a dou funcii {( x) i g(x} definite p e mulimile A i resp ectiv B este

s(x} = ((x} + g(x} p entru xEAn /3; _ diferena est e d(x) = ((x) - g(x) pentru xEAnn; - produsu l este p(x)= {(x} g(x} pentru XE An fl; n parlicular h(x) = CI {( x) pen-

LrU :rE A, ct fiind un num

48 I SPECIALE PENTRU GEODEZI -~MA~T~E:_=MJA._:_T~I:_:C:_:I:__:G_:E:_N_E_R_A_L_E __ _

1 Iim ({(J:))"' = (Iim ((x))"

\

_,. -t " "' -t "' o

Iim O(X) . ~.: -+ .eo Iim aYfxl u

x --t .'o

3 _1. 4 .3 _ J.imilc , le fun c iilor d~tll cntare :

J'olinooml' : Iim P (x) = P(:to ) .r -t 1'o

1 i 111 .c --t :1 ex>

Func{ii r c{iunale: Iim :-;-t a'l)

P(x) Q(x)

(Iim ((:~.) =f= O i ':/_ > O) x --t :~:o

(x0 finit);

[Q(xo)=f'=O i x0 finil];

o

a,.

b",

a,, (co)" b".

lHnlru n < m

p entru n = m

"' p entru n> m

. 1 e poate awa: sau P(xo) -=/=0 i Dac x rstc un punct in care se anuleaz nlllmloru ' o ( ) o c re . P(x) . r limite laterale infinite; sau P(xo) = O J Q ~-o = m a Q(l:o) = O ~ ~atunci --. a1 c 111 o . . .

Q(x) . Q( ) ( . X ) Q (x) : -tO

Iim (l + ((.l:)] f ix) =e [dac x-ta:o

e'" Iim .t:n =CO : X-t 00

In x Iim ~=0.

:>: -t 00

3.1.5. Con tinuilnte

sin x Iim --x--- = 1 ; x -tO

1 (1 + x) ~ e

'

Iim ((x) =t'= O]

Iim :>: -tO

sin etx CtX = 1 (et ::'::O)

1 ) .

:U.5.1. Definitii. O functi e y = {(x) , definit:! Intr-un interval (a,b) este continu Intr-un punc t l'o (din aces t interval), dac unui num:1r e > O ti corespunde un numr 1), astfel ca pentru Loatc Yalorilc lui x care satisfac inegalitatea lx-x

01< 1) s rezulte:

f(.r) - {(.ro) l . Se CJnsider o funcpe ((x) conlinu inlr-un interval Inchis [a,b] i x- un punct din

acest interval. Dac:t pentru un numr arbitrar e > O se poate determina un numr 1)() Independent de x, astfel ca p entru orice h cu proprietatea lh 1 < 1) s rezulte f(.r + h)- f( :t) 1 < e, funcia este uniform continu tn intervalul (a, b J. . Intr-un punct ele continuitate avem f(x0 - 0) = ((x0 + 0) = ((x 0 ) i de asemenea: 11111 f(x) = f(~0) = f(lim x). :r-+-."~'-o x -t x ' . 1Jac:1 intr-u n punct

0x0 funcia nu este continu, x0 se numete punct ele cliscontiTiitilate, Jar funcia - el isconlinu.

Punctu l de discontinuitate este de prima spe dac ((x0 - 0) i {(x0 1 O) exist i slnl finite_ i este regulat flac ;(xo) ((xo - 0) + ((xo+O).

2

- c. 292

50 MATEJVlATICI GENER.,\.l.E I SPECIALE PENTR U GEODEZl

Punctul Llc discontinuitate cs lc de spca a doua, cind cel puin una din expresi ile f(x

0- 0), f(~0 +0) este infinit sau nu existi't. In cazul unei funcii de dou>i va riabile {( x, y) tl c[ init Intr-un domeniu D, dac (x0 , y0)

este un punct interior acestui domeniu , se spune cit funcia este continu i't n acest punct dac lim f(.r . y) = {(xo , Yo):

O f uncie continu de doui't var iabile este continu tn raport cu fiecare variabil In parte. 3.1 .5.2. Proprielfile funciilor continue. O constant este o funcie conlinu tn orice interval. Suma unui numi'tr finit de funcii conlinue c>le o funcie continu n intervalul co mun de continuitate a func.iilor date. Produsul unui numr finit de func\ ii continue este o func i e contim1i't in intervalul comun de continuitate a funciilor dale. Citul a dou funcii continue este o funcie continu in intcnalulln care ambele funcii snt continue i car e nu conine nici o valoare a lui x cnrc anuleaz numitorul i nu anu-lcazi't numrtorul.

3.2. DEIUV.\.TE. DJFEllEXTJ.\.LE

3 .2 .1. Derinttc. Se considcrft y = f(x) (fig. I. 25) o funcie continu intr-un interval (a, b) i un punct x

0 din acest interval. Se numete derivata funciei In x0 , limita rapor-

tului dintre creterea funciei i creterea variabilei, cnd aceasta din urm tind-e ctre zero, adic!t :

= (d!i) -d:r

o

!1

t.y Iim -= ~z -tO tox

lim h-tO

f(x0 + il) - f (:r0) /1

Fig. 1.25. Reprezentarea geometric a deriva lei.

X x, Daci\ aceast limit exist, se spune c [unc\ia f(x) este d.crivabil in punctul Xo

O Iunc.ie dcrivabil In toate punctele unui interval este derivabil In acel interval. Considerind graficul funciei y= f(x), derivata intr-un punct al ei teprezint coefici-

entul unghiular al tangentei la curb In acel punct. Dac ntr-un punct, limita la stinga difer de limita la dreapta, rezult corespunztor derivat la stinga i derivat la dreapta.

-~~---------------=C~AL~C~U~L~U~L~D~I~F:E~R~E~N~T~~IA:~~~~~~~~-----------------~ I INTEGRAL 51 3 2 2. Dl'rinltelc runetiilor el

ementarc :

(' (x) r (x) -

o 1

c.(const) 11 1 cos X

X 1 tg X

r (x)

- sin x

1 -----

cos2 x

r (x)

arccolg .t

sh x

2

1 (' (x) i

1 + x

ch x

nxfl- J. cotg x 1

- - ---

1 ch x 1 " X sh x si n2 x

a:t ln a sec x sin X -- th X cos2 X

1 a"'

1

COS X 1 ----- colh x

sin2 x ----

sh2 X e"' e>: cosec a;

1 1 1 --

V1-x2 argsh x ----

V 1 + x2 log

1 a X - loga e arcs in

:1: X

1 1 ----

V1-x2 argch x

V x2-1

1 In x arccos x X

1 --- arglh x

1 1 +X~ ----1 -x2

sin x COS X arctg x

Derivata f , . . unctiCl compuse f( ) !unc . . 1 x = tp[u(x) ] este f'(x)=tp' (u(x)] u'(x), iar derivata ICI mverse tp(y) 1

= - este tp'(y) = _ (f . f( x ) f'(x) stnct monoton , dcrivabil i f'(x) =f= 0).


3 .2 .3. 0)Jerapi cu lun~!ii tlerhabile: [f(x) g( :r)]' = ('( x ) g'(~"). [(1(.r)+f2(x)+ .. . + fn(x)]' = (~(x)+ (~(x) + ... + r:. ( :r ) [((x) g(x)]' = ('(x) g(x) + f(x)g'(.r) . [c ((x)]' = c('(x),

" rr1 u :r) .. . r,.cx>r = "L r~ cx) rz p dc ri\'alcle sint nule)

iar in ceea c(JHi\' t le operaiile c u funcii dcrivabilc (de ordinul n) :

(

[((x ) + g(x) j(") = ( ( fl ) ( x ) + g

5-1 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

i - In parlicular - pentru uk depinzind de o singur :\ variabil :

df fJ{ du1 D{ du.,. - = - -+ ' " +- -

dx 8u1 dx ou,,1 d.'t

Se consiuerrt ecua\ia F(x, y) = O, unde z= F(l:, y) este o funcie continu intr-un do-meniu D. Dac exist o funcie y = f(x) continu i F [x, ((x)] = 0 ,atunci {se numete funcie implicit definit prin F(x, y) = O i rezulti:'t relaiile: () p i)F . ~ F F ..... F; - 2F.cuF.~ F11 + F 11vF!. - + = o sau u' =-~; y" =- --- -----u.t dy d.t F 11 F;

...

3.2.7. Studiul Juru:!iilor cu aiutoruJ derlntlelor

:~.2.7.1. 'l'eorema lui Rolle. Dac f( x) (fig. 1.26) este o funcp c co ntinu Intr-un intenal [a, bl, derivabil n (a, b) i dac f (a) = {(b), atunci In interiorul intervalului exist cel puin o valoare x = c pentru care f'(c) = O. n particular, dac f (a )= f(b)=O, atunci I ntre dou rd.icini ale unei funcii derivabilc exist cel puin o r dcin a derivatei.

3 .2. 7.2. Formula creterilor finite (Lagrangc) . Dac[f(x) (fi g. I. 27) este o funcie continu Intr-un interval (a, b] i derivabil In (a, b), :-.Lunci exi st cel puin un punct c In (a, b) astfcllnct: f(b) - {(a) = (b-a) f'(c).

3.2.7.3. Formula lui Cauchy. Dac f(x) i g(x) snt dou funcii continue intr-un in-terval [a, b] i derivabile tn (a, b), astfel ca g'(x) s nu se anuleze in (a, b), a tuncig(a)=f::g(b)

i exist o valoare c in (a, b) astfel incit:

1B[b,MJ] 1 1 1 1

4 1 [11, 1

q a c "

Fig. 1.27. X

f(b)- f (a) g (b) - !f (a)

(' (c) -- g' (c)

Figur ajuttoare pentru formula creterilor finite.

__________ c_AL_C_U_L_U_L:::_DIFERENIAL I INTEGRAL 55

3.2.7A . Rega/a /11i l'Hospilal. D.lcii pentru o anumitit valoare a - variab ilei :t'= a, 0

runc(ic ia una din formele netlclcrminate: ~ 00 O 00 . O ' oo ' , co - co ; 0' ; co'; 1 oo pro ve- 1 1 f(x) nintl !li genera c 1n tr-o funcpl' de forma-- , s 1 -g(x) c ap !Ca regula lui 1' Hospital:

f(x ) f' (x) ( " ( ) Iim --- = Iim --- = Iim __ x_ _ :r~a g (x) -+ [/ (x)

56 :MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI --------------------

iar pcnlm 3 variabile:

1 ( Dr ar ar) r( x-!- h,y -!-k,:::-!- l) = ((:r,y,z) +- h -- +k --+ 1- +

11 ax au az

1 ( D a a )


3.2.7.7. Extremele (UllCiilor. O funcie y=[(x) derivabilil. est: cresciito~rc i~tr-un in-terval (a, b), dac derivata este pozitivi"t sau nul i este de.sc~escatoare d~ca denvata est~

negativ sau nul in acest interval. Dac intr-un punct c dmmterva~ denv~ta _se anuleaza schimbindu-i semnul, funcia are un extrem, care se numete maxzm ~aca _t1ece de la+ la_ (fig. 1.28) i minim dac trece de la - la + \~ig. 1.29) .Calculind I denvata a doua,

rezult maxim pentru r " (c) < o i minim pentru ( (c) > o. . l D - f'( )-f"(c) - - r(n) (c) = o i r (n + lJ (c) =1= o atunci pentru X=C rezu U. un aca c - - - n ' . . . d - ( !"+ l J( )>o

extrem cnd n este impar i anume: maxim dac ( 1 + l l(c) > O nu rezullii extreme = O nu se tie.

X Fig. 1.30. Punct de inflexiune.

Pentru funciile de mai multe variabile f(xw .. ,x11) extremele vor fi date de sistemul:

ar ar =!.[ =0 (1.36)

- = -

oxl fJ x2 ox,.

(hl a a ) (2 ) i dac expresia : + ... +h,.-Dx1 ax"


(unde Izv . .. , Iz,. sint suficient de mici, iar x1 , .. , x,. reprezinti\ o soluie a sistemului pre-cedent) es te definit n~g~tiv, funcia va avea un maxim, iar dac este definit pozitivii ,

funcia va avea un 1111111m.

3.2.7.8. Slucliul variaiei funciei. Acest studiu cuprinde urmi"ttoarele etape : - stabilirea domeniului de definiie (!in ind seama c radicalii de ordin pnr i logaritl11ii

sint reali numai dac sint calculai din numere pozitive, funciile inverse arcsin x i arccos x numai dac XE [ -1, +1], iar pentru fraciile raionale se exclud valorile care anuleaz:l numitorul);

- de terminarea punctelor de intersecie cu axele de coordonate (x=O, y = O); - calcularea valorilor funciei la capetele intervalului (sau intervalelor) de definiie,

determinind limitele funciei cind x se apropie de aceste valori din partea In care funcia este definitii ;

- de terminarea punctelor de discontinuitate: pentru fracii- punctele unde numi-torul se anuleaz , pentru funcia In x - punctele 'in care x se anuleaz, pentru tg x-

valorile x = ( k + +) 1t, iar pentru colg x - valorile x = k 1t (k Intreg); - calcularea primelor dou derivate; - determinarea punctelor de maxim i minim ; - determinarea punctelor de in!lexiunc i a concavitii curbei; - calcularea valorilor funciei- corespunztoare punctelor de maxim, minim i de

infll'xiune; - determinarea asimptotelor oblice, de forma y = m :t: + Il, unde:

f(x) m = Iim -- i n = Iim (((x) - mx];

X~~ X X~ ~

-intocmirea tabelului de variaie a funciei, avind liniile x, y', y" , y (pe ultima linie se mai i ndic prin sgei dac funcia este cresctoare sau descresctoare) ;

- reprezentarea grafic a funciei, pe baza datelor obinute anterior.

3.3 . CAU:ULUL INTEGRAL

3. 3.1. Integrale nedefinite

3.3.1.1. Definiii. Se consider o funcie f(x) continu Intr-un interval [a, b]. Se nu-mete o primitiv a ci , o funcie F(x) dcrivabilft In [a, b), a crei dcrivat in acest interval este egal cu f(x). Determinind una din primitivele unei funcii, toate primilivcle ei se

gsesc prin adugarea unei constante aditive. Se noteaz: F (:r) = ~( (x) dx + C.

60 MATEMATICI GENERALE I SPECfALE PENTRU GEODEZI

Din dcfinipe rezull de asemenea:

lf'(x) dx = Jdf(x) = f(x) + C; (Sf(x) dx)' = f( :c).

3 .3.1.2. Proprietile integra/ei nedefinite:

1 [f(x) g (x))dx = Jf(x) dx lo(x) dx; Jcf (x) dx = c 1 f(x) d.r; (c = consl)

1 u du = 1W - 1 v du (integrare prin pri)

1 f( .r) dx = 1 ([q:> (1)] q:> ' (l) dl (schimbarea variabilei de integrare .r; = q:> (l)).

( P(x) . 3 .3.1.3. Integrarea fw1C/iilor ra{ionale: I = J Q(l) d.c, unde P(:r) I Q (x) sint poli-

no:llnc in x. DaC:i gradul lui P(.1:) es te mai mare decit gradul lui Q(x), se poate scrie 1 = 1 p (x)dx + ( R(x) dx, R(:r;) fiind restul tmp:1r\irii lui P(x) cu Q(x), P 1(x) cllul,

1 J Q(x) iar Q(x) se descompun~ i n factori (grupnd cilc dou r:i dcini conjugate):

(m1 + ... + m i + 2m;+l + ... + 2mi +i = gradul lui Q(x)).

n aceste condipi, rczulti\ o descompunere unic[t n fracii simple:

R (x) = ( A1 + B1 + ... -1- _ E1 ) + ... + Q (.r ) (x- xS", (x- :rS",- 1 x- x1

S 1x + T1 x2 -j- plx + qt

+ , ) -+ ---'---'----"--( JI x + ]{ L 1x + JfJ (x2 + PiX -1- qi)111 i+i (x2 + p;x + qi)"'HJ-1 + .. . + Six-!- T; ) x2 + p;x + q;

CALCULUL DIFElRENIAL I INTEGRAL 61

Coeficienii numerici A, B, ... , E, 11, I(, ... , S, T se determin aducind membrul drept la acelai numitor i identificind numrtorul obinut cu R(x), ceea ce duce la re-zolvarea unor ecuaii liniare sau, se pot da lui x atitea valori cii coeficieni sint de deter-

minat i se rezolv sistemul obinut. Astfel, calculul integralei ( p (x) se reduce la cal-J Q(x) cuiul unor integrale de forma:

( dx ( _ dx _ J (x- a)"' ' J (x2 + px + q)'"

( x dx J (x2 + px + q)"' ;

3.3.1.4. Integrarea functiilor iraionale :

1 = 1 f(x, u) dx, unde u=Vax2 + bx + c

- pentru a > O se face substituia : x - x1 = 12; x- x2

- pentru a < O se face subslituia x1 - x = t~; x- x2

- dacii b2 - 4ac < O, a > O=) c > O i se face substituia:

V ax2 + bx + c = tx ve; sau:

3.3.1.5. Integrale binome:

1 = ~xm (a + bx")fl dx Unde m, n, p snt numere raionale, iar a i b - reale.

A~este integrale se reduc Ia integrale de polinoame sau fraeii ra ionale in urmtoarele cazun:


p Intreg, tn care se face subtituia x = IY (N fiind cel mai mic numitor comun al frac-iilor m i n);

m + 1 Intreg, tn care se face substitu! ia a + bxn = tJI (M fiind numitorul lui p); 11

m + 1 +P Intreg, tu care se face substitu\ia ax - n + b= tJI (Jll fiind numitorul lui p). n

3.3.1.6. Integrarea functiilor trigonometrice. Acestea au forma:

~ ~ P(sin.r,ros :r) 1 = (( sin x, cos x) llx = Q (sin x, cos x) d:r. X

Se face substituia tg - = t, rczulllnd : 2

. 21 SlnX=-- -1 + ~~

1 - ~~ 2lll cos x = - - ; dx =

1 + [2 1 + t2

In unele cazuri particulare se pot face i substituiile:

- da

61 MATEMATICI GENERALE [ SPECIALE PENTRU GEODEZ[

1 \a+:r '\ 1 a + x = - In -- + C =- lnC1--2a a - x :.!.a a - .r

~ d x 1 c.r + li InG, ---(ax + b) (cx + d) = i:: - ad ctx + b (bc =:!:: ati) ( dx 2 2ax + b + C , b") = -=--= arclg (.,ac > -

11 4.ac - b2 \1 4.ac - b2 J ax2 + bx -1- c

( x dx = __ 1 _ ( _b_ Jn jax + b\-~ In jc.t + d\) +C (bc-ad f:O J (a:r + b) (cx + d) bc- ad a c

- --- = - ln l ax2+ bx -+ cJ- ---=- arclg ---_ _ . __ -l ~ x dx 1 b 2a.r + li (,' ax2 + bx + c 2a a V 4.ac - b2 \1 'lac - b2 (-lac - b2 > O)

--==- = __ a + l1x 1- C ~ dx 2 1.-- -l'a + bx /1

~ dx v-., - .) -== = In C (x + x - a-V x2 a2, a2 - x" dx = - x a- - x- + a- arcsm - 1 C ~ V- 1 ( ~~-., - ., ., . X\ + 2 a ) ~ dx arcsin __::__ + C = - arccos __::__ + C l

Va2 __ -_ l _.2 _____ a ____ ______ a ___ \

~ ax2 + bx + c dx = --- ax 2 + bx+c+ - --~ (- ---- - 2ax + b Jf 4.ac - b2 ~ d :t 4a Sa Vx2 + bx + c

CALCULUL DIFERENIAL I INTEGRAL

( dx = 1_ ln C (2ax + b + 2 Va V ax2 + bx + c (a > O); J V ax 2 + bx + c 1' a

-1 2ax + b sau = --=- arcsin V + C (a < O) V - a b2 - 4.ac

a"' - +C In a

1" ., ~ ,. + c 1 ) e""' dx = + e""' + C _ _ _ ____ l

( xe" dx = e""' (ax - 1) + C; [ x e""' dx = - 1- xn e"" - ..!!:__ ( xn-1 e"" dx J a2 ) a a J

65

(In x dx = x ln :r-x+CJ~-=._dx =_In x - - 1-+ C; ( dx = ln(C ln x) ) J x2 X X ]x In X ( xlnxd.t= _..::._ ln x-_..::._+ C; ( xnl n x dx=xn+I ( ln x _ __ 1_ ) +C J 2 4 J n + 1 (n + 1 )2

(n =/= - 1)

(~ = 1 +C (n =/= 1);((1nx)n dx= (ln x)n+l+C J x (In x)n (1 - n) (In x)n-1 J x n + 1 (n =f= - 1)

~ sin x dx = -cos x+C ~shxdx = chx+ C

~cos x dx = sin x + C ~ch x dx = sh x + C ;) - c. 292

66 MATEMATICI GENERALE [ SPECIALE PENTRU GEODEZI -----

~ tg x dx = - In 1 cos x 1 + C; ~cotg x dx = In 1 sin x 1 + C

~ sin2 x dx =-+ sin 2x + + + C; ~ cos2 x dx = 1 4

X in2x +- + C

2

~ sin" x dx=- + --- sin"-2 x dx (n >O) sin"- 1 x cos x n - 1 ~ n n

cos"xdx = + --- cos"-2 x dx ~ cos"-1 x sin x n - 1 ~ (n > O) Il Il ( lg" X dX = __ l_ lg"-l X - ( lg"- 2 X dx (Il > l); ) n- 1 )

( colg" x dx=- --1-- cotg"- 1 x - ( cotg"-2 x dx (n > 1) ) n - 1 )

sinmx dx = - . + C; ~ eS mx ~ sin mx cos mx dx = --- + C m m ~sin mx sin nx dx = sin (m - 11) x

2 (m - 11) sin (m + n) x C

- + 2 (m + n)

(m =/= n)

cos mx cos 11x dx = __ .:..._ __ ~- + ~ sin (m - n) x sin (m + n) x 2 (m + n) + C (m =/= 11) 2 (m - 11) ( cos (m + 11) x ) sin mx cosnxdx = - - 2 (m + n)

cos (m - 11) x 2 (m - n)

x sin mx dx = - sin mx - - cos mx + C; ~ 1 X m2 m ~ -- _1_ cos mx + __:__ sin mx + C x cos mx dx m2 m

+ C (m =/= n)


) x" s inrm: ct.r = - : cos m.t + : ~ x"- 1 cos mxcl.:t + C (n > O)

~ .:t"cos mld.:t= :sin mx - ~ ~ x"- 1 sin ml dx + C (n > O)

xsin2mx d.:t=- - - + C ~ x 2 x sin 2mx cos 2mx 1 4m 8m2 l'2 cos2 m.x d.


_ __ 1_. _ _:_co~s_x_ _ + 1_1_-_ 2 . ( _ _ dx__ n - 1 sin"-1 x n - 1 J sin"-2 x (n > 1)

( dx 1 sin x n - 2 ( J cos';-; = n - 1 . cos"-1 x +-;;- 1 J _c_o_s_"-- 2- x

dx (n > 1)

)arcsinxdx = xarcsinx + V1- x2 + C;~arccosxdx= x arccos x - 1'1 - x 2 + C

~ arctg x dx = x arctg x - +In (1 + x 2 ) + C

( arccotg xdx = X arccotg x+ - 1- In(!" + x2) + C. J 2

3.3.2. Jntegrale definite 3.3.2.1. Definiii. Se consider o funcie ((x) mrginit intr-un interval [a, b] i o m-prire a acestui interval: a=x0


Dac arcul este reprezentat parametric prin ecua!iile x = x (t), y = y (t) i punctele (t.

A, B corespund valorilor 11 i 12 atunci: L = , V x'2 + y' 2 dl , - -~

iar dac AB este un arc de curb strmb avnd ecuaiile :

x = x (1); y = y (l); z = .: (1) , atunci : I. = ~1:V x' 2 + y'2 + z'2 dl . Calculul ariilor plane (fig. 1.31, 1.32, 1.33) :

!1 !/ !/ 8

A

o xD o 6 X Fig. !.31. Aria cuprins ntre Fig. 1.32. Aria cuprins Fig. 1.33. Aria sectorului un arc de curb i poriunea ntre arcele corespunztoa- formal de un arc de curb

corespunztoare a axei Ox. re a dou curbe. i punctul O.

A = rf(x)dx; a

1 ~6, A= - p 2 d8. 2 6,

Calculul suprafeelor i volumelor de rola(ie (fig. 1.34., 1.35):

.!!

o X

Fig. 1.34. Reprezentarea corpului obinut prin rotaia unui segment de curb n jurul

axei Ox.

y

)(

Fig. 1.35. Reprezentarea corpului obinut prin rotaia unui segment de curb tn

jurul axei Oy.

CALCULUL DIFEJRENIAL I INTEGRAL 71

J'ig. J. :H r A = 21t ( b y ds = 21t r y V 1 + y' 2 dx = 21t ~\ (1) V' x' 2 + y' 2 dl )a a t1 ~ cb C' V = 1t ' y2 dx = 1t J y2 x' dl .. a t1 f

A = 21t ~> V 1 + ( :: r dy = 21t ~> V 1+ y' 2 dx = = 21t ~\ (1) V x' 2 + y'2 dl

F 1 g. J.:i.') l t, V = 1t ('l x 2 dy = 1t r x 2 y ' dx = 7t(\2 (1) y' (1) dl Jc "" a Jt1 unde: c=y(a); d = y(b) i am explicitat x = x(y).

Determinarea centrului de greutate (fig. 1.36, 1.37, !.38):

) xdm ~ ydm ~ dm

(dm = element de mas) .l.'c= Yc = ~ dm

!i

o

Fig. 1.36. Arc de curb. Fig. 1.37. R eprezentarea unei arii plane.

Fig. 1.38. ReprczcnlaJea unui corp de rotaie .

72 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZt

dm = pds (p = densitatea; ds = elementul de arc)

Fig. !.36 [ r X V1 + y'2 dx Xc = --a'-;:--------

~:Vi + y'2 dx ~> Jf1+!(2 dx

Yo = ---b -

~ V1 + y'2 dx a

dm = pdA (p = densitatea; dA = elementul de suprafa)

~: 1 ~b Fig. 1.37 xy dx - y2 dx 2 a xa = r YG = ry dx y d:t:

a

Fig. !38~ Folosind notaiile anterioare, rezult relaiile lui Guldin: 2rryc s = Srot (suprafaa de rotaie) 2rrya A = Vrot (volumul de rotaie)

Calculul lucrului mecanic. Lucrul mecanic efectuat de un m:~bil ce se deplaseu de-a lungul axei Ox, intre punctele A i B de abscise a, respectiv b, sub aciune:t unei for e F( x), este:

L = rF (x) dx. . a

3.3.2.4. Valorile unor integrale definite uzuale:

(a"" dx ) x"

("" dx - _rr_ (a > O, b> O); )

0 a + bx2 - 2 jfilb

1 (11 > 1); (n- 1) a-1

7t (O < n < 1) sinnx

~ "" v- c"" 1 e-x' dx = ~ ; ' e-" dx = - (a > O); o 2 . o a V;t (a > O) 2a


r X" e-az dX = nl (a> O) 1-3 ... (2n- 1)

l '(ln.t)"dx=(-l)"n!; O

(a > O)

6

(1 In x dx = - ~ In 2; C In (1 + x) dx = ~ Jo l' 1 - x 2 2 ) 0 x 12

dx = In l+m l+n

73

(1 ~ dx =- rr2 ) 0 1 + x 12

~""e-"' In xdx = ( 1 In llnx l dx = C = 0,5772156649 . . (constanta lui Euler) o Jo

~ 1t rf sin: X dx = ( 2 cos2=x dx = 135 ... (211- 1) .~ O Jo 2 46 . .. 2n 2

7t r! sin2-1lx dx = (2 cos2 +lxdx= 24 6 ... 2n o J0 357 ... (2n+l)

c~ dx=~ O X 2 '

\"" tg x d x = ~ 0 X 2

\

00 sin 2 x 7t -- dX =-

. o x' 2 '

\"" . o

e-o.l s in x dx = arctg a (a > O);

X

7t 1t

\2 In sin x dx = \2 In cos x dx = - ~ In 2 . o . o 2


3.3.3. Integrale eurbilinii .........

3.3.3.1. Definiii. Se consider un arc de curb AB n plan, reclificabil, r eprezentat prin ecuaiile x = x(l), y = y(l) pentru lE la~ b] i o diviziune a ~cest~1i interval ; a= lu < 1

1 < ... < 1,._

1 < 111 = b, precum I punctele M , (x;, Y;) I M i (~ ;. 1J >) cu

x ; = x (1;) i ~i = x ( -r;), unde 1; ~ -r; ~ li+1 (fig. 1. 39).

" ~B ~ Se definete Iim "E f(~; , 1); ) As;= f(.T , y) ds = ~ ((x , y) ds, "-+"" i = l A AB

---unde As; este lungimea arcului 111; M ; 1-1

y

A(t o) o

B(t=b)

X

Fig. 1.39. Figur ajuttoare pentru defi-nirea integrll.lei curbilinii.

Inlocuind elementul de arc ds prin expresia sa, integra la precedent se reduce la o integral simpl :

~ ~b ds(l) {( x , y) ds = r [x (1), y (l)j - - dl. -AB a dl Analog se definete i integrala curbilinie n spaiu. ln calcule se ntlnesc n special integra le de tipul:

Il= ~An P (x, y, z) d x + Q (x , y , z) dy + R (x , y, z) dz = \ = (b{P[x (1) , y(l), z(l)j x' + Q[x(l), y(t), z(I)Jy: + R [x(l ).y(t), z(l) ]z'} dl. ' t

3.3.3.2. Proprietile integratelor curbilinii. Acestea sint analoge cu proprietile in-tegralelor definite. aP aQ

-- = -- f) y a x Dac elementul de integtat este o diferenial tot al exact, adic

atunci exist o funcie F = F (x, y) astfel ca dF = P d x + Q dy i n acest caz


( p dx + Q dy = F(B) - F(A), oricare ar fi arcul B, ~ adic integrala nu depinde )AiJ d e d rum . Deci, n~ergnd p e un drum formal din dou paralele la axele de coord t (fig. J. 40) , rezulta m odul d e calcul : ona e

(,....... P ( .r , y) dx + Q (x, y) dy = ("' P (x , y) dx + ("' Q (a, y) dy = F (x, y) - F (a, b). ) AB )a )b

r Dacft se no teaz c u cf> integrala curbilinie de-a lungul uiiei ctirbe 1 J mc use, se poate

scrie : fp d x + Q dy = O. !J In spaiu, for mulele sint asemntoare .

3 .3.3.3 . Aplicaii ale inlegralelor curbilinii:

Lungi mea a rcului B este : L = ~ ......... ds .

AB

Aria do meniul u i mrginit de o curb nchis plan (C) este:

A = +f 0

(xdy - y dx).

Masa tolalii a a rcu lui A.B av ind densllatea p -- p (x , y , z) este:

J/ = \~ p ds. AB

C~ntru l rl c !! reulate a l ~ un u i a rc AB a r e coordo nat ele : 1 \~ py ds \ ox cls ~

.1 o 1/J

Yo AB

\ ......... ?


-Lucrul mecanic efectuat de-a lungul unui arc AB de o for F avind componentele X, Y, Z (ln raport cu axele de coordonate), va fi:

L = ( _..-... X dx + Y dy+Z dz. LB 3.3. 1. Integrale duble i de supraia~

3.3.4.1. Integrale duble. Integrala dubl a unei funcii f (x, y) mrginit in do meniul D este d a t de :

1 = ~~D f(x, y ) dA = ~~D f(x, y) dx dy. n particular, dac funcia f (x, y) este continu in D, ea este integrabil ln acest

domeniu. Daed. domeniul D este convex (fig. 1.41), calculul integralei duble se face astfel:

!J d

(b C''\X) ~ ~z2 \ ll l 1 = ' dx' f (x, y) dy = dy {( :~:, y ) d x .

a v1\z) c z1( !1)

Fig. 1.41. Figur ajuttoare pe n-tru calculul integralei duble .

.!/ X

c

o X

3.3.'1.2. Proprieti :

- dac domeniul D se mparte n dou domenii D 1 i D 2 :

(( f(x, y) dA = (\ f(x, y) elA+ (( f(x, y) dA; J)D J D1 JJD.


- dac C este o constant:

)~D Cf(x,y)dA = c~L f(x,y) dA;

~L (f(:r, Y) + g (x, y)) dA = ~)D f(x, y) dA+ )L g(x, y) dA; - dac(l f (x, y ) = (1(x) { 2(y) i domeniul D

este un dreptunghi : !/

- dac n D, f (x, y) ~ g (x , y):

)L f (x, Y) dx dy ~ ~~D g (x, y) dx dy; o o X

- dac f (x, y ) = g (:r , y) Il (x, y), g fiind 0 Fig. IA2. Figur ajuttoare pentru functe continu i cu semn constant in D formula lui Dirichlcl. iar (xo , Yo) es te un punct din domeniul D ~

~)D Y (x, Y) Il (x , y) dxdy = g (x0, y0) )L Il (x, y) dx dy; - dac dom 1 D axele ia . entu .. es te un trmnglu tsoscel dreptunghic avind catetele paralele cu

' r Ipotenuza fund prima bisectoarc (fig. 1.42) :

r dx r f (x, Y) dy = (b dy (b f (x, y) dx (formula lui Dirichlet); u a Ja Jv - dac d omemul D este mrginit de curba (C):

r . h P dx + Q dy= ~~ ( BQ BP) 1 - ---- dxdy C D \ 8x ()y

(formula lui Grcen). (1.37)


3.3.-!.3. Integrale de suprafa. Noiunea de integral de suprafa generalizeaz no; iunea de integral curbilinie i se noteaz :

1 = ~~D {(x, y , z) dA. Dac

(b (1/z(:>:l (''("', 1/ ) = J dx ) dy 1 f(x, y, z) dz.

a v1(xl z1(x, v>

fi

80 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTR U GEODEZ I

3.3.5.2. Proprietile integralelor lriple. Acestea sint analoge celor duble i in plus se poate scrie formula lui Gauss-Ostrogradski :

(( Pdy d z + Qd=dx + Rdx dy = ((( ( f}_f!_ + BQ + BR) d x dy dz. JJs JJJv ax 8y az 3.3.5.3. Aplicaii ale integralelor de volum :

Volumul unui corp V este dat de integrala:

V = ~)L dv = ~~t d x dy dz. Masa total a unui corp este :

Centrul de greutate al unui corp V are coordonatele :

)))/ x dx dy dz Xo =

HLpdx dydz Yo =

~))/ z d x dy dz )))/ dx dy dz

(1.39)

3 .3.6. Serii l~ourier. Se consider o funcie f( x ) continu i derivabil intr-un in-t erval (a, b) cu excepia unui numr finit de puncte de discontinuitat e de spea inliia. Se poate presupune c aceast funcie este definit in intervalul [0, 27t], deoarece ori care ar fi intervalul dat [a, b] , prin schimbarea de variabil x = b - a t + a, in.

27! tervalul corespunz tor noii variabile t este [0, 27t]. Funcia { (x) se poate r

82 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZ[

4.2. PR.ODUSUL UNUI VECTOR. CU UJ\f SCALAR

Produsul :Aa al vectorului a cu scalarul ). este un vector al crui modul este 1 a 1 nmulit cu ). i avind aceeai orientare cu vectorul a (dac ). > O) sau opus lui a (dac :A < 0). Aceast operaie este comutativ :

i distributiv in rapor t cu s uma scalarilor:

De ase menea se poate scrie :

ta = a ; (- l)a = - a ; :t.o= o.

a 1 Citul se definete asem ntor, Inlocuind pe ). prin - ' pentru /, * O.

:A :A

4.3. ADU,\'AUEA I SCDEllEA \ 'ECTOIULOH

Suma a doi vec tori a i b se po ate obine prin regula p aralelogra mului (fig. 1.4-1.) sau regula triunghiului (fig. 1.45) , dup cum se aplic cei doi vectori n ace l a i punct, sau unul in extremitatea celuilalt. Tot astfel se obine i suma a mai muli vectori (re-gu la poligonului), vectorul sum avind sensul opus vectorilor componeni (fig. !.46).

c

o

Fig. 1.44 . Adunarea vectorilor prin regula paralelogramului.

r--~b----8

b 8 'r---..;:_--~!!!:;..

o

Fig. 1.45. Adunarea vectorilor prin regula triunghiului.

Fig. 1.46. Adunarea mai multor vec tori prin r egula poligonului.

Suma vectorilor este: _ asociativ : _ comuta tiv :

CALCULUL VECTORIAL

- distribuiti v fa de lnmul.irea cu un scalar:

83

(a + ii) + c = a +


Condiia necesar i sufici ent ca 3 vectori (a, b i C) s fie coplanari este ca ei s fie liniar dependeni : cxa + ~b + yc = o, (I.44)

\

' \

--

Fig. 1.50. Descompunerea unui v ector dup trei direcii n ecoplanare.

4.5. PROIECIA UNUI \ 'ECTOR PE O AX

cx, ~ i y nefiind nuli simultan. Adic, oricare dintre ei (de exem-

plu c) s fie exprimat in functie de ceilali doi, prin relaia de depcn-den liniar :

c = ),a + p. b. Orice v ec tor ci poa te fi descompus

(n spaiu) dup 3 v ectori arbitrar i neeoplanari (fig . 1. 50) sub forma:

d = cxa + (36 + yc.

Proiecia unui v ector a pe o ax x se obine intersectind axa cu dou plane per-p endiculare pe ea, duse prin originea i extremitatea vectorului (fi g. 1. 51).

X Fig. 1.51. Proiecia unui vector pe

o ax .

Se noteaz pr.,a = a..,, a" avind o mrime scalar i algebric (poziliv cind orientarea vectorului coincide cu cea a axei i negativ in caz contrar). De asemenea, se poate scrie a., = a cos


Se consider i cazul in care originea vectorului difer de originea sistemului de coor-donate (fiind vorba de un vector lega t; (fig. I. 53)).

Dac r0 ir sint vectorii de poziie ai originii i ex:tremitii vectorului a, iar coor-dona tele acestor vectori sint x0 , y0 i z0 i respectiv x, y i .:, se pot scrie proieciile vectorului ii:

a., = x - x0 ; av = y - y0 ; az = ;; - z0

F ormulele anterioare se aplic acum acestor valori.

4. 7. PilODUSUJ~ A DOI VE CTORr

4 . 7.1. l'rodusul scalar. Produsul scalar a doi vectori (fig. I.54) este o mrime sca-I ar , reprezentnd produsul dintre modulul unuia din vectori i proiec.ia celuilalt pe

direcia lui:

ab = apra; 6 = bprsil sau ab = ab cos 'P

8' Proprie t il e produsului scalar : - comutativila le : ab = ba;

(I.45)

qL~~Y--b __ --~j--;,----~~A - asocia tivitate fa de inmulprea cu un sc:J.lar : o

Fig. 1.54 . E lementele produsului scalar a doi vectori.

A. (ab) = ( A.a) b = a: (), b) ;

- distributivitate fa~ de adunare:

a(6 + c) = a: 6 + ac;

- produsul scalar ab = o, dac a = o, b = o sau a_L b ( 'P = ; ) . n particular, pentru versorii axelor se poate scrie:

ij = Jk = kl = o ( 'P = ; ) i l 2 = J2 = k~ = (


- asociativitate fa de nmulirea cu un scalar :

A (a X b) = Aa X b = a X Ab; - distributivitate fa de suma vectorial :

a x (b + c) = a x E + a x c; -produsul vectorial a X 6 = O, dac a = O, b = O sau a /J 6 ( (ii x c) = a [p,b) x el = a[b x (Ac)J = A ca 6 c); - condiia necesar i suficient ca 3 vectori a, b, c s fie coplanari este ca produsul

lor mixt s fie nul: a(b x c) =o. (1.55)

4.8 .2. Dublul produs vectorinl. Acesta: a X (6 X c) reprezint un vector d perp~dicular pe_a i coplnnar cu 6 i c. Deci, poate fi descompus dup direciile vectorilor b i c: a X (b X c) = ),/) + (.l.C, unde A = ac i (1. = ~-a 6 . .t\stfel, se poate scrie:

a X (6 X c) = (ac) b - (ab)c.


1.8.3. Produsele a patru vectori. Cele mai importante sint: - produsul scalar a dou produse vectoriale :

ca x 'b) Ce x "d) = / ~~ ~: / bc bd 1

- produsul vectorial a dou produse vectoriale : (a x b) x (c x d) = (acd) 6 - Cbcd) a = (abd) c - (abc) a.

4.9. ROTATIA SISTElJULUI DE COORDO:VATE

Un vector a, in sistemul O.tyz(fig. I. 57), se poale scrie: a = a" i + avJ + Cl z k,

Fig. I.57. Rotaia sistemului de coordonate. iar in sislemulrotit Ox'y 'z':

a = a ,cl i + Clyt :j' + C/z k'. Dac se noteaz cosinuii directori :

!cos ( ' , i) = o:11 ; cos (], t) = 0(21; cos (k', i) = 0(31; cos ( ', ]) = 0(1~; cos(}', ]) = er:22; cos (k:,]) = 0(32 ; cos ( ' , k) = O(lS . cos (]', k) = 0(23 cos (k ', k) = 0(33

GEOMETRIE ELEMENTARA- PLANA I IN SPAIU

se poate scrie:

! ax = o:u a" + O:u av + 0:13 Clz

C/v' = 0:21 a., + 0:22 av + 0:23 az

a, = 0:31 ax + 0:32 au + 0:33 a. (

a., = O:u a.v' + IX21 ay ' + o: 31 az'

sau av = o:12 ax + cc22 a11 + o: 32 Clz

az = 0:13 ax + IX23 ay' + IX 33 az

91

sau, identificind proieciile cu coordonat ele, a fiind vectorul de poziie a l punctului A (x, y, z):

1 x' = o:ux + o:l2y + o:13z

Y' = IX21 X + 0:22Y + 0:23Z ::' = 0:31x + IX32Y + IX33z

sau lx = IXuX' + o:2lu ' + o:3lz'

U = ccnx' + o:22U ' + o:32z'

z = o:13x' + 0:23Y' + IX33z' De asemenea, sis temele fiind rectangularc, consinuii directori sint legai prin relaiile:


A A A - triunghi echilateral : a = b = c i In consecin A = B = C;

A A A - triunghi dreptunghic : A = 90 (sau B = 90, sau C = 90). Dou triunghiuri sint egale, dac au respectiv egale : - o latur i unghiurile alturate; - dou laturi i unghiul cuprins Intre ele; - toate cele trei laturi.

4

B~C (J

Fig. 1.58. El~mcntele triunghiului.

~ 8 o c Fig. 1.59. Figur ajuttoare

pentru relaia lui Stewart.

Dou;t tri unghiuri sint asemenea, dac au unghiurile egale i laturile omoloage propor ionale.

Inegalitatea triunghiului: b-c < a < b + c. A

Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2 (triunghi dreptunghic cu A = 90). (1. 56)

ln cazul unui triunghi oarecare, avem relatia: a2 = b2 + c2- 2l>c cos A. (l. 5 7)

ln cazul unui triunghi dreptunghic cu = 90 i AD j_ BG, se poate scrie : AD2 = BD DG; AD BG = AB . AC; AB2 = BG . BD;

Dac se noteaz lniilimile cu ha, hb, hc, medianelc cu ma, mb, m0 bisccloarelc cll ~a, i'b, ~0 , precum i raza r a cercului Inscris i R a cercului circumscris, S fiind suprafaa, se obin urmtoarele relaii:

- pentru un triunghi oarecare :

2 ha = -V p(p - a) (p - b) (P - c) ;

a ma = vb2 + c2 -~

2 4

GEOM ETRIE ELEMENTARA- PLANA I !N SPAiU

f3u = - 2- V bcp (p ::.._ a) ; b + c

s r =- ;

p R = ~

4S '

93

S = a :l = _!J :lb = c :le =V p(p - a) (p -b) (p - c) = pr a b c 4R

..

a2 sin B sin G A B G A B G bc sin A = r 2 cotg - cotg - cotg-=p2tg - tg - tg - 2 2 2 2 2 2 7 2 sin A 2

- penlm un triunghi dreptunghic :

r= b + c - a. 2

R = ~ 2 ,

- pentru un triunghi echi/ateral:

2h a=--

Y:f

5.1.2 . Patrulaterul (fig. 1.60):

S = .!!::_ = b2 cotg A = c2 tg A 2 2 2

sau Il = aY3 2

a2 sin 2A 2

Fig. 1.60. E lementele patrulaterului.

D /'\ /'\. A /\.

A+ B + G + D = 360 = 400U; a + b + c + d = 2p (perimetrul) ;

s hB + hn D 1 = 1!.4 + hc Dz = D 1 D 2 sin cp 2 2 2

- v(p - a)(p- b)(p-c)(p-d)- abcd COS IX:!_

'94 MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

Cazuri particulare :

D 1 ad + bc - palru/alerul inscriplibil: D 1D 2 = ac+bd; --- = ---- ;

D 2 ab + cd

S = V (p - a) (p - b) (P - c) (p - d) - ; - trapezul (fig. 1.61):

S = a + _:__ h = D 1 D 2 sin cp 2 2

A u B

.~ Fig. !.62. Elementele para-

lelogramului.

- para/e/ogramul (fig. 1. 62) :

D 1 D 2 sin cp S = a/r = ab sin y = --'----"-----'---2

-rombul: a = b = c = Il, cp = 90 ;

-dreplunglriul: a = c; b = d; D 1 = D 2 ;

-piJ.Iratnl: a = b = c = d ; D 1 = D 2 ;

S = a 2 sin y = DIDz . 2 '

D 2 S=ab=~cp 2

A 5.1.3. l'ollgonul. Dac se noteaz cele n laturi cn a 1, a 2, .. , an i cu A;,; +1 unghiul

&intre laturile a; i a;+l (i = 1, . .. , n - 1), se poate scrie:

n " t A;,;+l = (11 - 2) 180 ; (i=/=-j). i = 1

ln cazul poligonului regulat , notnd cu R raza cercului circumscris i cu r raza cercului

GEOMETRIE ELEMENTARA - PLANA I lN SPA;U ----

Inscris, se obin :

V (n - 2) 180 a= 2 R 2 - r 2 (latura); cpo = __:_ _ _:_ __ (unghiul la virf); n

na = 2nR sin cp = 2nr tg cp (perimetrul);

1 1 nar s = - na2 cotg cp = -- n R 2 sin 2cp = nr2 tg cp =

4 2 2

Laturile i suprafeele unor poligoane regulate lnscrise Intr-un cerc de raz R:

- triunghiu l eclrilateral: a = R.~r 3 ; S 3R2V3 a 2V3 . = ---4 4

- ptratul:

- pentagonul convex :

- decagorwl convex:

5.1 .4.

MATEMATICI GENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

- lnlimea arcului: h = R ( 1 - cos ; ) = ; tg : = 2R sin2 -;;

- suprafaa:

!Fig. 1.63. Elementele coroanei circulare.

S = _1_ R2 2 (

rtfl 0

180 . ) R(l - s) + sh

smn = 2 ,

- sectorul de cerc: avind in vedere c unghiul la centru n

radiani este n = 7tl10

--- ' suprafaa sectorului de cerc va fi: 180

1 rtR2 1!0 S = - IR = - -

2 360 1 2

nR2 = 0,00872 1!0 R2;

. R + r - coroana circular (fig. 1. 63): dac il este l1imea coroanei I p = -- , suprafaa

2

.coroanei circulare va fi :

- poriunea de coroan circulare!: S rtno pil = npil. 180

5.1.4.2. Segmente proporionale. Axa radical. Se numete putere a unui punct A In '!"aport cu un cerc, produsul segmentelor unei secante, considerate de la acest punct, la punctele ei de intersecie cu cercul (fig. 1. 64) i va avea semnul + daci\ A este exterior i-dac este interior cercului: AB. AB' = AT2 = OA 2 - R2

Fig. 1.64. Figur ajuttoare pentru definirea puterii unui punct fa de cerc,_

Locul geometric al punctelor care au aceeai putere n raport cu dou cercuri date se numete axa radical a celor dou cercuri i este o dreaptft perpendicular pe dreapta centrelor.

5.1.5. Elipsa. Aceasta are suprafaa total S = 1t ab (a i b fiind semiaxele elipsci)

G EOMETRIE ELEMENTARA- PLANA I I N SPAIU 97 .

S.2 . GEOMETHIE IX Sl'ATIU

5.2 .1. Polledrele. Se numete poliedru- un volum mrginit de suprafee plane. 5.2.1.1. Prisma. Aceasta este un poliedru cuprins Intre dou plane paralele c:~re

i 11 tcrsecteaz o suprafa prismatic: _ prisma dreaplcl : dac se noteaz cu II - lnllmca prismci, p - perimetrul poligo-

n ului de baz , Sb - suprafa.a baze!, S, - suprafaa lateral, s, - suprafaa total i l" - volum ul , se poa te scrie:

S1 = p h ; S1 = p Iz + 2 Sb ; V = Sbh; - prisma oblic : fie l distana dintre centrele de greutate ale bazelor i Q - s eciunea

pcrpcndicular rt pc l ; a tunci, volumul V = Q l; - pr isma oblictl lriunghiular: V = a + b + c Q (a, b, c fiind lungimilc muchiilor

3 p,ualele, Ia r Q - seciunea normal).

5.2.1.2. P aralelipipedul dreptunghic :\o tind cu a, b, c - muchiile distincte i cu d - diagonala, se ob~in relatiile:

d Va2 + b2 -t c2 ; S1 = 2 (a + b) c; S1 = 2 (ab + bc + ca) ; V= abc;

- eubul (cu lat ura a) : S, = '!a2 ;

5.2 .1.3. Piram ida. Aceasta este un poliedru In care toate feele - cu excepla uneia - au un virf com un:

- piramida drcapltl : Bh

V =--3

(B fiind baza i Iz - lnl!imca).

5.2 .1. 1. Trunchiul de piramidd. Dac B i b sint baza mare i respcctlv baza mic,

h - l nil l imea, ia r A i a dou laturi omoloage, rezult :

v = h(n + b + Vm) = hB ( 1 + ~ a2 ) 3 3 A t As 5.2.2 . (:orpurlle rotunde 5.2.2 .1. Cilinrlml. Acesta este suprafaa generat de o dreapt - generatoare - care

se depl~s~az paralel cu o dreapt dat i este limitat de dou plane paralele : - Cl/ Lndrul circular drept (r - raza bazei, II - nlimea) :

Sz = 2n:rh; S1 = 2rrr (r + Iz); V = rrr2lz; 7

- c. 202


- cilindrul gol (tubul): V = rrfi(R2 - r 2) = 7tlzil(2R- il) = 7tllil(2r + il) = 2nhilp,

1 unde il = R-r = grosimea tubului, iar p= - (R + r) = raza medie.

2

5.2.2.2. Conul. Conul circular drept avind raza bazei- R, iniilimea- h i lungimea gencn1loarei - 1:

5.2.2.3. 'J.'runchiul de con (circular drept). Dac R ir sint respectiv raza bazei mari i a bazei mici, h- inl\imea i /-lungimea generaloarei 1 =V (R-r)2 + h2 , se poale scrie:

rrii(R2 + r2 + Rr) S, = ITI (R + r); S1 = IT [R2 + r 2 + l(R + r)]; V = --'------'---'----:____ 3

5.2.2. t. Sfera. Aceasla este suprafaa generat prin ro ta! ia unui semicerc in jurul diametrului s:ht:

- sfera plin (de raz R):

S = 4 ITR2 = ITD2 :::::: 12,57 R 2 :::::: 3,142 D 2 ~ 1,836 {/V2 ;

4 rrR3 IT D3 V = --- == - - :::::: 4,18879 R3 :::::: 0,5236 D 3 :::::: 0,091 VS'3;

3 6

- sfera goali\ (R - raza exterioar; r- raza interioar; D = 2R; d = 2r):

- calota sferic:'\ (fig. 1. 65) :

1 1 V= - 1th(3r2 + Jz 2) = - 7t Jz2 (3R- It);

6 3

GEOMETRIE ELEMENTARA PLANA I !N SPAiU

_ zona sfcric (fig. 1. 65) S, = 2rrRil1 ;

Fi g. 1.65. Elemenlelc calolci, zonei i sectorului sferic.

- sectorul sferic (fig. 1.65)

S1 = 2rrRh (calota);

Fig. !.66. Elemenle-le fusului sferic.

St = rrR(2h + r) ;

- fusul s feric (fig. 1.66): S = ITR2 A o = 0,0349066R2 ) .. 90

5.2.2.5. Elipsoidul (avind semiaxele a, b, c): 1' = ~ r.: abc: 3

- elipsoidul de rotaie :

4 - fat. de axa 2a : V = - - 7t abz;

3

4 'b - fa de axa 2b : V= - 1t a

3

99

100 MATEMATICI GE:-IERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZJ

5.2.2.6. Paraboloidu/ de rotaie (cu raza bazei R i nlimea Il):

1 V = - rtR2ll = 1,570796R2ll. 2

5.2.2. 7. Paraboloidullrunchial (avnd razele bazelor R ir):

1 V = - rt(R 2 + r 2)ll.

2

5.2.2.8. Torul (inelul) , (fig. 1. 67):

~,;~---~._D=-2R- -. ~ "~ _J F;g. 1.67. El

102 MATEMATICI GENERALE I SPECI AL E PENTRU GEODEZ[

( con li nu are)

Un~hlul sin cos tg cotg 1

V2 V2 1 45 = ....::.._ 1 1 4 2 2 1t V3 1 1'3 13 6o = 3 2 2 3

72 = ~ v10 + 2V5 V5- 1 V5 + 21'5 vl- 2~5 i 5 4 --4-75 = 51t V6+ V2 V6 -V2 2+ V3 2-V:f 12 ---4 4

1

---

go = ....::.._ 1 o oo o 2 - - -

6.1.4. Valorile lune~illor trigonometrice iu cele 1 eadraue -

l!' unott& 1

IX 1

1t 2.1:"'

1 1

3:-c it !X t o:

sin sin oc + cos ()( =t= sin oc - cos ()( cos + cos ()( =t= sin oc - cos ()( sin oc tg t g ()( =t= cotg oc tg ()( =t= colg oc cotg cotg oc =t= tg ()( cotg oc =t= tg ()( sec + sec oc =t= cosec CI. - sec oc cosec O( cos ce coscc ()( + sec CI. =t= coscc CI. - sec CI.

Pentru valor ile co r~spunz toatc a rcelor (2k 1t oc) este val abil a doua coloanit, iar pentru (2k + 1) 1t oc este valabil cea de a patra .

6,1.5. Jdent it !i trigonometr ice : - fundam entale :

'sin CI. cos CI. sin 2 rt. + cos2 oc = 1; tg CI. = --- ; colg ce. = -- ;

cos oc sin oc ( I. 60)

- dcduse (din cele fundamentale):

tg oc cotg CI. = 1 ; 1 + tg2 oc = - -1- ; 1 + cotg2 ce. = --- ; cos2

104 MATEMATICI G ENERALE I SPECIALE PENTRU GEODEZI

6 .1. 6. Teoremele sumei:

jsin (o: ~) = sin a cos ~ cos a sin ~ co5 (o: ~) = cos a cos ~ 'f sin a sin ~

lg (o: ~) = tg a lg ~ ; colg (o: ~) = colg a cotg ~ 'f ~ 1 'f tg ct lg ~ cotg ~ colg ct i generalizind :

11sin -~ ai = cos et1 cos et2 . . . cos ct,1 (p 1 - p 3 + p5 - )

)) ~ 1 11\cos -~ a, = cos o:1 cos cr. 2 . cos et,, (l - P 2 + [l4 - ) ~ - 1

unde: P7, = lg =


i din acestea se deduc ;

sin a. + sin ~ sin a.- sin~

sin IX - sin ~ cos ()( + cos ~

a.+~ tg --2

IX-~ = tg - --,

2

sin a.+ sin ~ COS IX+ COS ~

tg IX tg~ tg IX =f tg ~

a.+~ tg --2

sin (a. ~) sin (a. =F ~)

\ 2 tg IX + cotg IX =--- sin21X' tg IX - cotg IX = - 2 cotg 2 a. 6.1.10. Operatii trigonometrice nsupr:1 [unc!iilor Inv!'rse:

X sin (arcsin x) = x, sin (arccos x ) =V'1-x2 ; sin (arctg x) = v-"

l + x'

1 sin (arccolg x) = r-~ l + x2

1 cos (arcsin x) = V 1 - x2; cos (arccos x) = x; cos (arctg x) = V

1 + x'

X tg (arcsin x) = v- ;

1-x2

X COS (arccotg X)= v-

1

Manualul Inginerului Geodez Vol I

Documents

Transcript of Manualul Inginerului Geodez Vol I