Cel mai fascinant lucru n matematic este faptul c ii R(ii =0,207879576)

Motto

Originea numrului in matematic, numerele complexe au aprut ca soluii ale ecuaiilor de forma x2 + p = 0, cu p numr real strict pozitiv, aa cum numerele iraionale apruser din necesitatea de a descrie soluii ale ecuaiilor de forma x2 q = 0 , unde q nu este un ptrat perfect.Formal, mulimea numerelor complexe reprezint mulimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, (a,b) , nzestrat cu operaiile de adunare i nmulire definite mai jos:(a,b) + (c,d) = (a+c , b+d) ,(a,b) * (c,d) = (ac - bd , bc + ad) .Mulimea numerelor complexe formeaz un corp, corpul numerelor complexe, notat cu C.Elementul neutru al operaiei de adunare este (0,0) iar elementul neutru al operaiei de inmulire este (1,0) .Deoarece (a,0) + (c,0) = (a+c,0) si (a,0)(c,0) = (ac,0), mulimea numerelor reale,R, poate fi privit ca submulime a lui C, identificnd numrul real cu (a,0).Numrul complex (0, 1) are proprietatea (0, 1)(0, 1) = (-1,0) , adic (0, 1)2 = (-1, 0) identificat cu numrul real -1. Niciun numr real nu are aceast proprietate; de aceea el a fost denumit "numrul i " (i de la imaginar).Numerele complexe de forma (0, x) se numesc numere imaginare.

Una dintre temele favorite ale matematicienilor de-a lungul istoriei a fost rezolvarea ecuatiilor. In timp ce ecuatiile de gradul I sunt toate rezolvabile in multimea numerelor reale, nu toate ecuatiile de gradul al II lea au aceasta proprietate. Cea mai simpla astfel de ecuatie este:X2 + 1 = 0.

Pana in secolul XVIII, matematicienii au evitat ecuatiile patratice care nu sunt rezolvabile in multimea numerelor reale. Leonhard euler a spart gheata introducand numarul radical din -1Euler a notat acest numar cu i, spunandu-i numarul imaginar si acest I a devenit una dintre cele mai folositoare notatii in matematica.Studiul numerelor complexe a continuat in ultimele doua secole.Practic, este imposibil sa ne imaginam matematica moderna fara numere complexe. Absolut toate ramurile matematicii se folosesc de aceste numere intr-o oarecare masura. Ele au aplicabilitate si in alte domenii, cum ar fi :mecanica, fizica teoretica, hidrodinamica si chimie

Scurt istoric

Forma algebric a unui numr complexMultimea numerelor complexe sub forma algebrica se defineste astfel: C = {z = a + bi | a, b numere reale, i = - 1}.Numarul a se numeste partea reala a numarului complex z (se noteaza Re(z)), numarul b se numeste coeficientul partii imaginare a numarului complex z (se noteaza Im(z)), iar i este unitatea imaginara.Punctul M(a,b), din planul raportat la reperul ortogonal xOy, se numeste imaginea geometrica a numarului complex z = a + bi, iar z poarta numele de afixul punctului M.Se constata, cu usurinta, ca distanta de la origine la punctul M(a,b), este data de formula

Exemplu

(2,-1)=2+(-1)i=2-i

Modulul i conjugatul unui numr complexModulul numrului complex Z=a+bi este numarul real Conjugatul numarului complex al unui numar Z=a+bi este numrul complex

ExempleModulul:Conjugatul:

Aplicaii ale numerelor complexe n algebraFormula lui Euler spune c, pentru orice numr real x, unde:

e este baza logaritmului natural i este unitatea imaginarcos i sin sunt funciile trigonometrice.Richard Feynman a numit formula lui Euler "bijuteria noastr" i "cea mai remarcabil formul din matematic".[1]Pentru cazul particular x = avem identitatea: care combin ntr-o formul simpl cele trei numere fundamentale i, i e.

Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie

Aplicaii ale numerelor complexe n domeniul fizicii Numerele complexe au aplicabilitate si in alte domenii, cum ar fi :mecanica, fizica teoretica, hidrodinamica si chimiePentru a putea analiza cu succes circuitele de curent alternativ, trebuie s abandonm numerele scalare i s lum n considerare cele complexe, capabile s reprezinte att amplitudine ct i faza unei unde n acelai timp.

Numerele complexe sunt mai uor de neles dac sunt trecute pe un grafic. Dac desenm o linie cu o anumit lungime (amplitudine) i unghi (direcie), obinem o reprezentare grafic a unui numr complex, reprezentare cunoscut n fizica sub numele de vector.

BibliografieInternet (google,wikipedia,etc.) Manuale i auxiliare didactice, culegeri de probleme1. M. Burtea, G. Burtea, Matematic, manual pentru clasa a X-a, trunchi comun + curriculum difereniat, Editura Carminis, 20052. C. Nstsescu, C. Ni, M. Brandiburu, D. Joia Culegere de probleme pentru liceu, algebr, clasele IX-XII, Editura Rotech Pro, 20043. I.D.afarevici Noiunile fundamentale ale algebrei, Editura Academiei Bucureti, 19894. Ion D. Ion, N. Radu, C. Ni, D. Popescu - Culegere de probleme de algebra. E.D.P., Bucuresti, 19815. M. Burtea, G. Burtea, C. Burtea Matematic, culegere de probleme, clasa a X-a, Editura Carminis, 2005