Electroacustica - Indrumar de laborator

14

LUCRAREA NR. 2

REPREZENTAREA ELECTRICA A

SISTEMELOR MECANICE SI ACUSTICE

Între comportarea câmpului acustic si a celui electromagnetic

se poate stabili o analogie matematica. De aici decurge ideea

reprezentarii sistemelor mecanice sau acustice care creaza sau

modifica câmpul acustic prin scheme electrice. Aceasta idee sta la

baza analizei si proiectarii traductoarelor electroacustice.

1. Sisteme mecanice

Prin sistem mecanic se întelege un ansamblu de componente

mecanice, într-o configuratie data. În electroacustica majoritatea

sistemelor mecanice care trebuie luate în consideratie sunt în

miscare rectilinie, vibratorie si liniara.

Viteza imprimata unui element la actiunea unei forte exterioare

va depinde de masa (m) elementului, de elasticitatea acestuia (Cm)

si de fortele de frecare ce intervin, caracterizate de o rezistenta

(Rm). Pentru un sistem care cuprinde toate aceste 3 elemente,

principiul actiunii si reactiunii ne arata ca:

F m v R vC

vdte mm

t

= ⋅ + ⋅ +− ∞∫& 1

Lucrarea nr. 2 - Reprezentarea electrica a sistemelor mecanice si acustice

15

Error! Switch argument not specified. sau pentru regim

sinusoidal:

F R j mj C

v Z ve mm

m= + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅

⋅ = ⋅ω

ω1

Aceasta expresie este analoaga din punct de vedere

matematic cu expresia tensiunii la bornele unui circuit rezonant. De

aici apare ideea reprezentarii unui astfel de sistem mecanic printr-

un circuit electric. Reprezentarea poate fi facuta în doua moduri :

printr-un circuit rezonant paralel (analogie inversa) si printr-un circuit

rezonant serie (analogie directa). Prin analogie directa întelegem

reprezentarea unei scheme în care imitantele sunt reprezentate prin

impedante, iar prin analogie inversa reprezentarea în care acestea

sunt reprezentate prin admitante. La fel se vor numi si schemele

directa si inversa si pentru un sistem oscilant sunt:

Error! Switch argument not

specified.

F

v

m Cm Rm F v m Cm Rm

Schema directa Schema inversa

Figura 2.1.

Identificând într-un sistem mecanic punctele cu viteze diferite

si luând în consideratie si punctul de viteza nula (suportul, sasiul) se

observa ca se poate scoate imediat schema echivalenta inversa si

Electroacustica - Indrumar de laborator

16

apoi prin dualitate se poate trece si la cea directa. Pentru a usura

stabilirea acestor scheme se va proceda dupa cum urmeaza:

• Se stabilesc punctele de legatura între elemente.

• Fiecarui punct îi va corespunde o viteza, care se consemneaza

(se va lua în considerare si viteza nula a suportului care va fi

viteza de referinta).

• Fiecare element identificat va fi reprezentat prin simbolul sau

între doua puncte de viteza diferite. Masele vor avea întotdeauna

o extremitate la viteza de referinta.

• Fortele exterioare intervin sub forma unor generatoare de forta

echivalente generatoarelor ideale de curent.

• Daca miscarea se transmite si mediului, se va lua în considerare

efectul acestuia printr-o admitanta de radiatie.

Sa consideram sistemul din figura (se neglijeaza efectul

maselor de aer dintre pistoane):Error! Switch argument not

specified.

m1

v0

FCm4

Rm1

m3 Rm3Cm2

Rm4

Rm2v1

v2

v3

0

31F

Cm4 Gm4 Cm2 Gm2

m3Gm3 m1Gm1

v0=0

v1

v2

v3

2

4

6

5

Figura 2.2.

Lucrarea nr. 2 - Reprezentarea electrica a sistemelor mecanice si acustice

17

F Cm4

Rm4

Cm2

Rm2

m3Rm3

m1

Rm1

v1v2v3

2

4

6

0

5

1 3

Figura 2.3.

Prin dualitate (fiecare ochi de circuit devine un nod) se obtine

schema directa procedând astfel:

• Se aloca un nod fiecarui ochi de circuit plus unul exterior.

• Se unesc nodurile prin ramuri astfel ca fiecare ramura sa

traverseze un singur element.

• Se insereaza pe fiecare ramura dualul elementului traversat de

acesta.

• marimile prin ramuri vor fi indicate prin semn adecvat.Error!

Switch argument not specified.

2. Sisteme acustice

O componenta acustica este un dispozitiv delimitând si

incluzând o portiune de fluid. Diferitele componente acustice se

disting între ele prin forma principala de energie pusa în joc. Astfel,

o cavitate cu peretii rigizi cu o deschidere prin care se aplica o

presiune exterioara datorita unei forte, aplicata prin intermediul unui

piston, se comporta ca o elasticitate acustica forta fiind data de

expresia:

Electroacustica - Indrumar de laborator

18

( )F S E V vdts

t

=− ∞∫2 / sau presiunea: ( )p E V qdts

t

=−∞∫/

cu S : sectiunea deschiderii;

VS : volumul static al cavitatii

E : modulul de elasticitate;

q : debitul de fluid la intrare;

p : presiune acustica;

RaportuError! Switch argument not specified.l C E Va s= /

se numeste elasticitate acustica prin analogie cu elasticitatea

mecanica.

Se observa ca marimile caracteristice sistemelor acustice

(ansambluri de elemente acustice) sunt presiunea acustica si

debitul acustic. Trecerea între cele doua relatii prezentate s-a facut

tinând cont ca F p S= ⋅ si v q S= / . Aceste din urma relatii

caracterizeaza cuplajul mecano-acustic (dintre un sistem mecanic si

unul acustic). Din aceste relatii se poate deduce ca:

Error! Switch argument not

specified.p FS

mvS

mS

q m qa= = = =& & &2

S-a notat cu m m Sa = 2 marimea numita masa acustica care

este elementul ideal delimitând o portiune de fluid aflat în miscare

oscilatorie si care se comporta ca un rigid nedeformabil. Este cazul

tuburilor acustice deschise la ambele capete, în care viteza

(debitul) este aceeasi în toate punctele.

Lucrarea nr. 2 - Reprezentarea electrica a sistemelor mecanice si acustice

19

Frecarile fluidului de pereti sunt caracterizate de asemenea

printr-o rezistenta acustica. Acest element este predominant în

deschiderile (tuburile) subtiri când masa acustica este mica. Evident

elementele ideale nu exista, o portiune de fluid putând fi

caracterizata de mai multe elemente acustice.

Studiul sistemelor acustice necesita cunoasterea

componentelor acustice si a interconexiunilor dintre ele. Plecând

deci de la descrierea lor fizica vor trebui mai întâi localizate

elasticitatile, masele si rezistentele acustice si de asemenea

sursele (de presiune sau debit) si radiatiile în mediu, si apoi

calculate.

În practica se procedeaza astfel:

• Se repereaza mai întâi elasticitatile acustice Cai care sunt cavitati

sau volume si se atribuie fiecareia dintre ele o presiune acustica

pi.

• Se gasesc comunicatiile dintre elasticitati (conducte, fante,

gauri), se decide pentru fiecare componenta potrivita (ma sau Ra)

si i se atribuie fiecareia un debit q i de sens arbitrar.

• Se trateaza la fel comunicatiile cu exteriorul.

• Presiunea exterioara este presiunea de referinta p0.

• Conditiile la limita asupra jonctiunilor cu exteriorul sunt

reprezentate dupa caz prin surse ideale sau impedante acustice.

Astfel unei jonctiuni radiante îi corespunde o impedanta de

radiatie ZaR iar unei jonctiuni de intrare o impedanta de intrare Rai.

Electroacustica - Indrumar de laborator

20

• Unei jonctiuni supuse unui câmp acustic exterior îi corespunde o

sursa ideala de presiune si la fel un debit impus de un dispozitiv

exterior, corespunzator unei surse ideale de debit.

Schema directa a unui sistem acustic se obtine în continuare

procedând astfel:

• Fiecare elasticitate defineste un nod caruia i se atribuie

presiunea acustica corespunzatoare p i.

• Un nod exterior sistemului reprezinta presiunea de referinta p0.

• Se leaga nodurile prin ramuri, fiecare dintre acestea traversând

una si numai una dintre comunicatii.

• Se leaga de asemenea nodurile cu nodul de referinta p0.

• Se atribuie fiecarei ramuri debitul corespunzator.

• Se introduce pe fiecare ramura simbolul elementului

corespunzator pe care îl traverseaza (o ramura poate cuprinde

un simbol sau mai multe). Se cuprind si impedantele de radiatie.

• Se introduc valorile elementelor.

Fie de exemplu sistemul urmator:

Lucrarea nr. 2 - Reprezentarea electrica a sistemelor mecanice si acustice

21

p2

p1

p3

p0

Ca2

Ca1

Ca3

Ra1

Ra2Ra3

Ra5

Ra4

ma1ma5

ma2ma3

q0

q5q6

q3

q8q4q7

q2

q1(p0)

Figura 2.4.Error! Switch argument not specified.

p2

p1

p3

Ca2

Ca1

Ca3

Ra1 Ra2 Ra3 Ra5

Ra4

ma1 ma5ma2 ma3

q0

q5q6 q3

q8

q4

q7

q2

q1

p0

Zar

Figura 2.5.

3. Sisteme mecano-acustice

Am aratat ca un piston sau o suprafata în miscare creaza un

cuplaj mecano-acustic, adica transforma o marime mecanica în

marime acustica sau invers conform relatiilor:

Electroacustica - Indrumar de laborator

22

F S p= ⋅ si V S q= − ⋅−1

Se observa ca aceste ecuatii pot fi asemanate cu ecuatiile

unui biport de tip transformator sau girator. Se pot gasi deci 4

reprezentari posibile tinând cont de variantele directe si inverse ale

schemelor sistemelor mecanice si acustice. Acestea sunt

reprezentate în figura 2.6.

Raportând sistemul mecanic la sistemul acustic sau invers se

obtine o schema fara transformator sau girator numai în marimi de

aceeasi natura si se poate face o analiza a întregului ansamblu

(sistem).

Error! Switch argument not

specified.

mec.inv.

ac.inv.v

F p

qmec.dir.

ac.dir.F

v q

p

S:1 -S-1:1

mec.inv.

ac.dir.v

F q

pmec.dir.

ac.inv.F

v p

q

S -S-1

Figura 2.6.

Fie de exemplu sistemul din figura 2.7.

Lucrarea nr. 2 - Reprezentarea electrica a sistemelor mecanice si acustice

23

Error! Switch argument not

specified.

qp1 p2

F

V Ca2,Ra2,ma2

p0Cm1

Rm1

m1

m

Figura 2.7.

Avem de a face cu un sistem mecanic caracterizat de masa

membranei m1, elasticitatea suspensiei Cm1 si rezistenta mecanica

de frecare Rm1. Membrana închide un volum de elasticitate Ca2 prin

intermediul unei deschideri caracterizata de masa acustica ma2 si

rezistenta acustica Ra2. Se actioneaza cu o forta F.

Schema echivalenta electrica a sistemului mecano-acustic

este:

F1

q

p1

S:1

F

v

m1 Cm1 Rm1ma2

Ca2

Ra2

p2

Figura 2.8.

C V

Pm m

SR R

Sa

sa a

m2 1

12 1

12= = =

γ; ;

7Sa se faca reprezentarea prin schema electrica a sistemului:

Electroacustica - Indrumar de laborator

24

q2

p2

P1

VCa2,Ra2,ma2

Cm1,Rm1,m1,S1

Ca3,Ra3,ma3

S3

q3

p3

Figura 2.9.