Logica matematica - George Georgescu, Afrodita Iorgulescu

Logica matematica

George GeorgescuCatedra de Fundamentele Informaticii

Universitatea din Bucuresti

Afrodita IorgulescuCatedra de Informatica Economica

Academia de Studii Economice

5

Prefata

Aceasta carte a avut ca punct de plecare cursurile de logica matematica tinutede autori la Facultatea de Matematica si Informatica a Universitatii din Bucuresti sirespectiv la Facultatea de Cibernetica, Statistica si Informatica Economica, sectiaInformatica Economica, din Academia de Studii Economice din Bucuresti.

Scopul sau principal este de a prezenta unele teme de baza ale logicii matematiceclasice, cu doua valori de adevar, dar si ale algebrei acestei logici. Textul acoperaprograma analitica a cursurilor mentionate, ınsa trateaza si cateva subiecte maidificile.

In aceasta lucrare sunt prezentate calculul propozitional si calculul cu predicateclasic, si algebrele Boole (care modeleaza calculul propozitional), cu cateva referiridoar la algebrele Boole monadice, poliadice si cilindrice (care modeleaza calcululcu predicate).

Cartea are zece capitole, ımpartite ın cinci parti:

Partea I: Logica matematica clasica (prezentare neformalizata)1. Calculul propozitiilor (prezentare neformalizata)2. Calculul predicatelor (prezentare neformalizata)

Partea a II-a: Algebre Boole3. Latici4. Algebre Boole

Partea a III-a: Elemente de teoria multimilor5. Algebra Boole a multimilor6. Algebra relationala a relatiilor

Partea a IV-a: Logica matematica clasica (prezentare formalizata)7. Sistemul formal al calculului propozitional8. Sistemul formal al calculului cu predicate

Partea a V-a: Logica matematica clasica si probabilitati9. Probabilitati pe algebre Boole10. Modele probabiliste ale calculului cu predicate

Capitolele nu se leaga ıntre ele secvential, asa cum sunt prezentate; adeseaıntr-un capitol se folosesc notiuni care sunt descrise ıntr-un capitol care urmeaza.Legaturile dintre capitole sunt aratate ın figura 1.

Dupa cum se vede, cartea ıncepe cu o prezentare neformalizata a calcululuipropozitional si a calculului cu predicate clasic; este logica matematica cu care neıntalnim ın mod curent. Aceasta parte introduce cititorul ın problematica logiciimatematice si constituie o treapta spre tratarea ei formalizata mai tarziu.

Partea a doua se ocupa de algebrele Boole, structuri algebrice ce intervin ınstudiul celor doua sisteme logice. Algebrele Boole modeleaza algebric calcululpropozitional clasic. Se face legatura cu multimile fuzzy. Algebrele Boole monadice,

6

µ´¶³

1

µ´¶³

2?

µ´¶³

7

?

µ´¶³

8

À

³³³³³³³³³

À

PPPPPPPP

SS

SS

SSSw

QQ

QQQs

µ´¶³

4

QQ

QQs

´´

´

µ´¶³

3

?

µ´¶³

5

µ´¶³

6?

µ´¶³

9

µ´¶³10?

Figura 1: Legaturile dintre capitole

poliadice si cilindrice, care modeleaza algebric calculul cu predicate clasic, suntmentionate putin ın capitolul 8.

Partea a treia deschide o fereastra ın cadrul teoriei multimilor, pentru a prezentaın detaliu doua exemple importante de algebre Boole, algebra Boole a multimilorsi algebra Boole (chiar algebra relationala) a relatiilor. Se urmareste aici exem-plificarea folosirii logicii clasice neformalizate ın definitii si demonstratii pedante,complete. Se face si legatura cu bazele de date relationale, ce apar ın informatica.

Partea a patra este consacrata prezentarii formalizate a calculului propozitionalsi a calculului cu predicate clasic. Cele doua sisteme logice sunt studiate din per-spectiva interdependentei dintre sintaxa, semantica si algebra.

Relatia dintre logica matematica clasica si probabilitati este subiectul ultimeiparti. Sunt expuse cateva rezultate asupra probabilitatilor definite pe algebreBoole, iar apoi acestea sunt folosite ın dezvoltarea unei teorii a modelelor pro-babiliste pentru calculul cu predicate clasic.

Contributiile autorilor: primul autor - capitolele 3, 4, 7, 8, 9, 10; al doilea autor- capitolele 1,2,3,4,5,6,7.

Cartea se adreseaza studentilor de la facultatile de matematica si informatica,de informatica economica, de filosofie, de la facultatile cu profil tehnic etc., precumsi cititorilor interesati de logica matematica.

Aducem multumirele noastre si pe aceasta cale domnilor profesori Sergiu Rudeanusi Dragos Vaida de la Universitatea din Bucuresti pentru observatiile si sugestiilefacute pe marginea manuscrisului, de care am tinut cont ın limita posibilitatilormomentului.

Bucuresti, Aprilie 2010Autorii

Cuprinsul

I Logica matematica clasica (prezentare neformalizata) 11

1 Calculul propozitiilor (neformalizat) 151.1 Propozitiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Valoarea de adevar a unei propozitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Propozitii adevarate sau false . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Tautologiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.3 Algebra Lindenbaum-Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.4 Observatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Calculul predicatelor (neformalizat) 292.1 Predicatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Domeniul unui predicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Propozitii (enunturi) complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Valoarea de adevar a unui predicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Tautologii. Tautologii cuantificate . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Observatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II Algebre Boole 41

3 Latici 453.1 Multimi (pre)ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2 Principiul dualitatii. Diagrama Hasse . . . . . . . . . . . . . 463.1.3 Prim (ultim) element, minorant (majorant), infimum (supre-

mum). Axioma lui Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Latici Ore si latici Dedekind. Echivalenta lor . . . . . . . . . 503.2.2 Principiul dualitatii pentru latici . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Exemple de latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.4 Latici distributive. Latici marginite complementate . . . . . . 573.2.5 Morfisme de latici marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7

8 CUPRINSUL

4 Algebre Boole 614.1 Algebre Boole: definitie, exemple, proprietati . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1 Definitia 1 a algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.2 Proprietati ale algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.3 Implicatia si echivalenta booleana. Dualele lor . . . . . . . . 634.1.4 Exemple de algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 O definitie echivalenta a algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.1 Definitia 2 a algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.2 Axiomele (B1) - (B7) implica (A1) - (A4) . . . . . . . . . . . 694.2.3 Axiomele (A1) - (A4) implica (B1) - (B7) . . . . . . . . . . . 694.2.4 Aplicatiile α si β sunt mutual inverse . . . . . . . . . . . . . 744.2.5 Principiul dualitatii pentru algebre Boole . . . . . . . . . . . 75

4.3 Inele Boole. Echivalenta cu algebrele Boole . . . . . . . . . . . . . . 764.3.1 Inele Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.2 Echivalenta algebre Boole - inele Boole . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Subalgebre, homomorfisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.1 Subalgebre. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.2 Homomorfisme. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5 Algebre Boole cat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5.1 Filtre (ideale) si sisteme deductive . . . . . . . . . . . . . . . 814.5.2 Congruente. Corespondenta filtre - congruente . . . . . . . . 834.5.3 Algebre Boole cat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5.4 Filtre generate de o multime . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.6 Teorema de reprezentare a lui Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.6.1 Ultrafiltre (= filtre maximale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.6.2 Teorema de reprezentare a lui Stone . . . . . . . . . . . . . . 91

4.7 Algebre Boole atomice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.8 Dualitatea algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.9 Algebre Boole injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.10 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.10.1 Multimi fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.10.2 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . 106

III Elemente de teoria multimilor 109

5 Algebra Boole a multimilor 1155.1 Multimea si apartenenta: concepte fundamentale . . . . . . . . . . . 1155.2 Relatia de incluziune si relatia de egalitate . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.1 Relatia de incluziune ıntre multimi (clase) . . . . . . . . . . . 1165.2.2 Relatia de egalitate ıntre multimi . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3 Operatii cu multimi. Algebra Boole a multimilor . . . . . . . . . . . 1185.3.1 Reuniunea si intersectia a doua multimi. Complementara

unei multimi. Algebra Boole a multimilor . . . . . . . . . . . 118

CUPRINSUL 9

5.3.2 Functia caracteristica a unei multimi . . . . . . . . . . . . . . 1215.3.3 Generalizare: reuniunea si intersectia a n multimi . . . . . . 1215.3.4 Generalizare: reuniunea si intersectia unei familii de multimi 122

6 Algebra relationalaa relatiilor 1236.1 Produs cartezian a doua multimi. Relatii binare . . . . . . . . . . . 123

6.1.1 Produs cartezian a doua multimi . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1.2 Relatii binare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2 Produsul cartezian a n multimi. Relatii n-are . . . . . . . . . . . . . 1256.2.1 Produs cartezian a n multimi (n ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . 1256.2.2 Relatii n-are (n ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3 Operatii cu relatii. Algebra Boole a relatiilor . . . . . . . . . . . . . 1276.3.1 Disjunctia, conjunctia si negatia unei relatii binare . . . . . . 1276.3.2 Implicatia si echivalenta relatiilor binare . . . . . . . . . . . . 1286.3.3 Algebra Boole a relatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.4 Matricea booleana (caracteristica) a unei relatii binare pe o

multime finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4 Algebra relationala a relatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.4.1 Compunerea si inversarea relatiilor binare . . . . . . . . . . . 1316.4.2 Algebra relationala a relatiilor binare . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5 Baze de date relationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5.1 Reprezentarea relatiilor. Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5.2 Limbaje de prelucrare a datelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

IV Logica matematica clasica (prezentare formalizata) 139

7 Sistemul formal al calculului propozitional 1417.1 Introducere. Exemple de reprezentari simbolice . . . . . . . . . . . . 1427.2 Sintaxa si algebra calculului propozitional . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.2.1 Axiome, teoreme si demonstratii formale . . . . . . . . . . . . 1477.2.2 Deductia formala din ipoteze si Σ-demonstratia formala . . . 1487.2.3 Proprietati sintactice ale lui L. Teorema deductiei . . . . . . 1497.2.4 Sistem deductiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.2.5 Multimi consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2.6 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului propozitional . . . . 1647.2.7 Algebrele Boole ca algebre ”tip Lindenbaum-Tarski” . . . . . 172

7.3 Exemple de deductii formale din ipoteze . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.4 Semantica calculului propozitional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.4.1 Interpretare. Modele. Deductia semantica din ipoteze . . . . 1867.4.2 Teorema de completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.4.3 Teorema de completitudine extinsa . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.5 T. de completitudine extinsa versus t. lui Stone . . . . . . . . . . . . 192

10 CUPRINSUL

8 Sistemul formal al calculului cu predicate 1958.1 Structuri si limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.1.1 Structuri de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.1.2 Limbajul de ordinul I, Lτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.2 Sintaxa si algebra calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.2.1 Axiome, teoreme si demonstratii formale . . . . . . . . . . . . 2038.2.2 Deductia din ipoteze si Σ-demonstratia formala.

Teorema deductiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.2.3 Multimi (teorii) consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128.2.4 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului cu predicate . . . . 2138.2.5 Algebre Boole monadice, poliadice si cilindrice . . . . . . . . 216

8.3 Semantica calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.3.1 Interpretare. Modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.3.2 Constante noi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.3.3 Enunturi. Formule universal adevarate . . . . . . . . . . . . . 2268.3.4 Deductia semantica din ipoteze . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.3.5 Exemple de enunturi universal adevarate . . . . . . . . . . . 230

8.4 Teorema de completitudine extinsa. Modele Henkin . . . . . . . . . 2358.5 Cum se stabileste daca o formula este teorema formala . . . . . . . . 244

V Logica matematica clasica si probabilitati 247

9 Probabilitati pe algebre Boole 2519.1 Evenimente si probabilitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.2 Proprietati ale probabilitatilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.3 σ-algebre si σ-probabilitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9.3.1 σ-algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.3.2 σ-probabilitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9.4 Teorema lui Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.5 Teorema Horn-Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

10 Modele probabiliste ale calc. cu predicate 26910.1 Structuri probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.2 Teorema de completitudine a lui Gaifman . . . . . . . . . . . . . . . 27410.3 Catre o teorie a modelelor probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

10.3.1 Pereche consistenta cu o probabilitate . . . . . . . . . . . . . 27710.3.2 Substructuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.3.3 Teorema lantului elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27810.3.4 Pastrarea probabilitatilor la substructuri . . . . . . . . . . . . 28110.3.5 O varianta probabilista a teoremei lui Robinson . . . . . . . . 284

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Lista figurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Partea I

Logica matematica clasica(prezentare neformalizata)

11

13

Logica, ramura a filosofiei, a aparut ın Grecia antica, din necesitatea de a pro-duce argumente ın viata de toate zilele, si Aristotel (384-322 ı.e.n.) este consideratparintele ei [13].

Logica matematica a aparut mult mai tarziu, ca model matematic al unor pro-cese de gandire si nu ca o fundamentare a logicii sau a matematicii; logica mate-matica foloseste o logica si o matematica deja constituite. Parintele logicii mate-matice este considerat George Boole (1815-1864). Pentru informatii asupra logiciidinainte de Boole a se vedea [20], [25], [67], conform [13].

Anul de nastere a logicii matematice este 1847, odata cu publicarea cartii luiBoole The Mathematical Analysis of Logic, republicata ıntr-o forma revizuita siextinsa ın 1854, sub numele An Investigation of the Laws of Thought [9].

Au urmat cele trei volume The algebra of Logic ale lui Ernst Schroder [107],apoi, ın secolul XX, lucrarile lui Lowenheim si ale lui Skolem, cele trei volume ale luiWhitehead si Russell Principia Mathematica [122], urmate de cartea Foundationsof Theoretical Logic, ın 1928, a lui Hilbert si Ackerman [57], care a dat directia sistandardele pentru dezvoltarea logicii matematice moderne, conform [13].

Contributiile lui K. Godel si A. Tarski au fost decisive ın dezvoltarea logiciimatematice ın secolul trecut.

In tara noastra, cercetarile de logica matematica au fost initiate de Gr.C. Moisil.Calculul propozitiilor si calculul predicatelor sunt capitole fundamentale ale

logicii matematice clasice. Ele pot fi expuse intuitiv (neformalizat) sau formalizat.Urmatoarele doua capitole constituie o prezentare neformalizata, iar capitolele

7 si 8 fac prezentarea formalizata.Bibliografie pentru capitolele 1 si 2: [94], [99], [100], [101], [102], [103], [104],

[97], [79].

Capitolul 1

Calculul propozitiilor(prezentare neformalizata)

Vom ıncepe cu o prezentare neformalizata a calculului propozitiilor clasic (biva-lent), prezentarea formalizata fiind facuta mai tarziu. Se spune, echivalent, Calcululpropozitional sau Logica propozitiilor.

In calculul propozitiilor se studiaza propozitiile (= propozitii ınchise) din punctulde vedere al adevarului sau falsitatii lor, neluandu-se ın seama continutul lor.

In prima sectiune studiem propozitiile, ın a doua sectiune studiem valoareade adevar a unei propozitii.

1.1 Propozitiile

Definitia 1.1.1 Un enunt este un text lingvistic care se refera la un anumit dome-niu U , numit univers al discursului, si exprima o proprietate a unui obiect (sau aunui grup de obiecte) din universul respectiv.

Subiectul (subiectele) enuntului exprima obiectul (obiectele).Partea predicativa a enuntului exprima proprietatea.

Definitia 1.1.2 Propozitia este enuntul cu sens ın care toate subiectele sunt de-terminate.

Vom nota propozitiile cu p, q, r, s, t, . . ..Vom nota cu P0 multimea propozitiilor initiale (date, primitive).Din propozitiile din P0 se construiesc propozitii noi, compuse, cu ajutorul oper-

atorilor logici, propozi tionali (= conectori logici, propozitionali): ¬, ∨, ∧, →, ↔.Astfel, pentru p, q propozitii, avem urmatoarele definitii.

15

16 CAPITOLUL 1. CALCULUL PROPOZITIILOR (NEFORMALIZAT)

Definitia 1.1.3 Se numeste negatia propozitiei p, si se noteaza : ¬p (se citeste”non p”), propozitia care afirma proprietatea contrara celei exprimate de p si carese construieste lingvistic din p prin intercalarea particulei negative ”nu” ın fatapartii predicative a lui p.

Definitia 1.1.4 Se numeste disjunctia propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p ∨ q (se citeste ”p sau q”), propozitia care afirma ca cel putin una dinproprietatile exprimate de p si q are loc si care se construieste lingvistic alaturandtextele celor doua propozitii ın ordinea (p, q) si intercaland ıntre ele particuladisjunctiva ”sau”.

Definitia 1.1.5 Se numeste conjunctia propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p∧q (se citeste ”p si q”), propozitia care afirma ca fiecare din proprietatileexprimate de p si q are loc si care se construieste lingvistic alaturand textele celordoua propozitii ın ordinea (p, q) si intercaland ıntre ele particula conjunctiva”si”.

Definitia 1.1.6 Se numeste implicatia propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p → q (se citeste ”p implica q” sau ”daca p, atunci q”), propozitia: ¬p∨q.

Definitia 1.1.7 Se numeste echivalenta propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p ↔ q (se citeste ”p echivalent cu q” sau ”p daca si numai daca q”),propozitia: (p → q) ∧ (q → p). Deci, echivalenta este conjunctia a doua implicatiide sens contrar.

Vom nota cu P multimea tuturor propozitiilor.

Observatiile 1.1.80) Operatorii propozitionali ∨, ∧ nu sunt independenti (vedeti Observatia 1.2.11).1) Implicatia si echivalenta se definesc cu ajutorul operatorilor propozitionali

¬, ∨, ∧.2) Operatorii propozitionali afecteaza partea predicativa a enunturilor, nu si

subiectul (subiectele).3) Obiectul de studiu al calculului propozitiilor este multimea P a tuturor

propozitiilor, care se obtin plecand de la propozitiile din P0 si aplicand repetat,ın toate modurile posibile, conectorii logici ¬, ∨, ∧, →, ↔. Mai exact spus,multimea P se defineste prin recurenta astfel:(R1) Daca p ∈ P0, atunci p ∈ P (adica P0 ⊆ P ).(R2) Daca p, q ∈ P , atunci ¬p, p ∨ q, p ∧ q, p → q, p ↔ q ∈ P .(R3) Orice propozitie p ∈ P se obtine aplicand regulile (R1) si (R2) de un numarfinit de ori.

4) Daca p, q sunt propozitii ın sensul logicii matematice, atunci p∨ q, p∧ q etc.sunt propozitii ın sensul logicii matematice, dar din punctul de vedere al gramaticiinu sunt propozitii, ci fraze. Deci, notiunea de propozitie cu care lucreaza calcululpropozitiilor este diferita de notiunea de propozitie din gramatica.

1.2. VALOAREA DE ADEVAR A UNEI PROPOZITII 17

Conventii de scriereOperatorii propozitionali au prioritatile urmatoare:

(I): ¬ (¬ leaga cel mai tare),(II): ∧,(III): ∨,(IV): →,(V): ↔ (↔ leaga cel mai slab).

1.2 Valoarea de adevar a unei propozitii

Logica (clasica a) propozitiilor este bivalenta, adica studiaza doar propozitiilecare sunt fie adevarate, fie false, adica care au cele doua valori de adevar extreme:”adevarat” si ”fals”.

Observatiile 1.2.1 [99]1) Ipoteza este ca fiecare propozitie are o valoare de adevar. Este clar

ca propozitiile interogative (”Ce mai faci?” etc.), cele exclamative (”Ce frumoseste afara!” etc.) precum si cele imperative (”Fii atent!” etc.) nu au valoare deadevar. Deci, doar propozitiile declarative fac obiectul studiului logiciimatematice, sunt propozitii ın sensul calculului propozitiilor.

2) Problema determinarii valorilor de adevar ale propozitiilor din multimea P0

data la ınceput nu apartine logicii matematice. De exemplu, daca o propozitiep ∈ P0 este din domeniul chimiei, atunci stabilirea valorii de adevar a propozitiei peste o problema a chimiei.

Nu se presupune ca am cunoaste efectiv valorile de adevar ale tuturor propozitiilordin P0.

1.2.1 Propozitii adevarate sau false

Definitia 1.2.2 O propozitie din P0 este adevarata daca starea de fapt descrisa depropozitie are loc.

Stabilirea adevarului unei propozitii compuse se face ın raport cu adevarulpropozitiilor componente. Sa definim acum valorile de adevar ale propozitiilorcompuse ¬p, p ∨ q, p ∧ q, p → q, p ↔ q ın functie de valorile de adevar alepropozitiilor componente, p si q.

Definitia 1.2.3 Propozitia ¬p este adevarata daca propozitia p este falsa. Rezultaca propozitia ¬p este falsa daca propozitia p este adevarata.

Definitia 1.2.4 Propozitia p∨q este adevarata daca cel putin una din propozitiilep, q este adevarata. Rezulta ca p ∨ q este falsa daca ambele propozitii p, q suntfalse.


Definitia 1.2.5 Propozitia p ∧ q este adevarata daca ambele propozitii p, q suntadevarate. Rezulta ca p∧ q este falsa daca cel putin una din propozitiile p, q estefalsa.

Pentru orice propozitie p ∈ P0, sa asociem 1 valorii de adevar ”adevarat” si 0valorii de adevar ”fals”, adica sa definim functia de adevar (de evaluare)

v0 : P0 −→ {0, 1}astfel: pentru orice p ∈ P0,

v0(p) ={

1, daca p este adevarata,0, daca p este falsa.

Functia de adevar v0 : P0 −→ {0, 1} se extinde (prelungeste) ın mod unic lafunctia de adevar v : P −→ {0, 1} astfel: pentru orice p, q ∈ P ,

v(¬p) ={

1, v(p) = 0,0, v(p) = 1,

v(p ∨ q) ={

1, v(p) = 1 sau v(q) = 1,0, v(p) = 0 si v(q) = 0,

v(p ∧ q) ={

1, v(p) = 1 si v(q) = 1,0, v(p) = 0 sau v(q) = 0.

Deducem ca

v(p → q) = v(¬p ∨ q) ={

1, v(¬p) = 1 sau v(q) = 1,0, v(¬p) = 0 si v(q) = 0

={

1, v(p) = 0 sau v(q) = 1,0, v(p) = 1 si v(q) = 0

si

v(p ↔ q) = v((p → q) ∧ (q → p)) ={

1, v(p → q) = 1 si v(q → p) = 1,0, v(p → q) = 0 sau v(q → p) = 0

={

1, [v(p) = 0 si v(q) = 0] sau [v(p) = 1 si v(q) = 1],0, [v(p) = 1 si v(q) = 0] sau [v(p) = 0 si v(q) = 1].

Obtinem atunci urmatoarele tabele de adevar:

(1)v(p) v(¬p)0 11 0

(2)

v(p) v(q) v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p → q) v(p ↔ q)0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 1 0 0 01 1 1 1 1 1


sau, echivalent, urmatoarele matrice de adevar:

v(p ∨ q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 0 1v(p)=1 1 1

v(p ∧ q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 0 0v(p)=1 0 1

v(p → q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 1 1v(p)=1 0 1

v(p ↔ q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 1 0v(p)=1 0 1

Observatia 1.2.6 Dintr-o premisa (ipoteza) falsa se poate obtine o concluzie adevaratasau falsa, implicatia fiind adevarata. Deci, atentie la ipoteze.

Rezulta ca fiecarei propozitii p ∈ P ıi asociem o valoare de adevar v(p) ∈ {0, 1}dupa urmatoarele reguli:

1) Daca p ∈ P0, atunci v(p) = v0(p),2) Daca p, q ∈ P si am asociat propozitiilor p, q valorile de adevar v(p), v(q),

atunci asociem propozitiilor ¬p, p ∨ q, p ∧ q, p → q, p ↔ q valorile de adevarv(¬p), v(p∨ q), v(p∧ q), v(p → q), v(p ↔ q) date de tabelele sau matricele de maisus.

Sa definim pe multimea L2 = {0, 1} ⊆ < operatia unara ¬L2 si operatiilebinare ∨L2 , ∧L2 ,→L2 , ↔L2 astfel: pentru orice x, y ∈ L2,

¬L2xdef.= 1− x, x ∨L2 y

def.= max(x, y), x ∧L2 y

def.= min(x, y),

six →L2 y

def.= (¬L2x) ∨L2 y, x ↔L2 y

def.= (x →L2 y) ∧L2 (y →L2 x).

Deducem urmatoarele tabele de valori:

(3)x ¬L2x0 11 0

(4)

x y x ∨L2 y x ∧L2 y x →L2 y x ↔L2 y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 1 0 0 01 1 1 1 1 1

Din tabelele (1), (2) si (3), (4), se vede ca functia v : P −→ L2 este un homo-morfism (adica pentru orice p, q ∈ P , v(¬p) = ¬L2v(p), v(p ∨ q) = v(p) ∨L2 v(q),si v(p ∧ q) = v(p) ∧L2 v(q); rezulta ca v(p → q) = v(p) →L2 v(q) si v(p ↔ q) =v(p) ↔L2 v(q)). Se observa ca v este surjectiv, dar nu este injectiv.


Propozitia 1.2.7 Structura L2 = (L2 = {0, 1},∨L2 ,∧L2 ,¬L2 , 0, 1) este o algebraBoole cu doua elemente, numita algebra Boole canonica.

Demonstratie. Rutina. 2

1.2.2 Tautologiile

Definitiile 1.2.8· O propozitie compusa p ∈ P care este adevarata independent de valorile de

adevar ale propozitiilor componente se numeste propozitie universal adevarata sautautologie.

· O propozitie compusa p ∈ P care este falsa independent de valorile de adevarale propozitiilor componente se numeste contradictie sau antilogie.

Se observa ca o propozitie p ∈ P0 nu poate fi tautologie sau antilogie, caci nu estecompusa. Deci P0 ⊂ P .

Exemplul 1.2.9 (Exemplu de antilogie) Pentru orice p ∈ P ,

p ∧ ¬p (Principiul contradictiei).

Exemplele 1.2.10 (Exemple de tautologii) Vom grupa unele exemple ın grupesau sisteme de tautologii, notate A1, A2, A3, A4, A5, sisteme corespunzatoare celormai utilizate sisteme de axiome ale sistemului formal al calculului propozitiilor.

Sa notam cu O propozitia p ∧ ¬p si cu I propozitia p ∨ ¬p, pentru orice p ∈ P .Atunci

• Sistemul A1 (∨,∧,¬,↔, O, I):(P1) p ∨ p ↔ p, p ∧ p ↔ p (idempotenta lui ∨, ∧),(P2) p ∨ q ↔ q ∨ p, p ∧ q ↔ q ∧ p (comutativitatea lui ∨, ∧),(P3) p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r, p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r (asociativitatea lui

∨, ∧),(P4) p ∨ (p ∧ q) ↔ p, p ∧ (p ∨ q) ↔ p (absorbtia),(P5) p∨(q∧r) ↔ (p∨q)∧(p∨r), p∧(q∨r) ↔ (p∧q)∨(p∧r) (distributivitatea

lui ∨ fata de ∧ si invers),(P6) p∨ O ↔ p, p∧ I ↔ p,(P7) p ∨ ¬p adica I (Principiul tertului exclus), ¬(p ∧ ¬p) adica ¬O.

Alte tautologii remarcabile sunt urmatoarele:(P8) ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q, ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q (Legile De Morgan),(P9) ¬¬p ↔ p (Principiul dublei negatii),(P10) (p → q) ↔ [(¬p ∨ q) ↔ (p ∨ ¬p)], (p → q) ↔ [(p ∧ ¬q) ↔ (p ∧ ¬p)],(P11) p ↔ p,(P12) [(p ∧ ¬q) → ¬p] ↔ (p → q), [(p ∧ ¬q) → q] ↔ (p → q) (doua din

schemele reducerii la absurd),


(P13) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) (se foloseste ın demonstratii),(P14) ¬(p → q) ↔ p ∧ ¬q (arata cum se neaga p → q),(P15) p ∧ (p → q) ↔ p ∧ q,(P16) [p → (p ∧ q)] ↔ (p → q),(P17) [(p → q) → q] ↔ p ∨ q,(P18) [p → (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r] (sta la baza Teoremei deductiei),(P19) p → (q → p),(P20) [(p → q) → r] → [p → (q → r)],(P21) [(p → q) → (p → r)] ↔ [p → (q → r)],(P22) (p → q) → [(r → p) → (r → q)],(P23) [p ∧ (p → q)] → q (Modus ponens).

• Sistemul A2 (→,¬):(G1) p → (q → p),(G2) [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)],(G3) (¬q → ¬p) → (p → q).

• Sistemul A3 (→,¬,∨,∧):(G1) p → (q → p),(G2) [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)],(G3) (¬q → ¬p) → (p → q),(T4) p ∧ q → p,(T5) p ∧ q → q,(T6) p → p ∨ q,(T7) q → p ∨ q,(T8) (r → p) → [(r → q) → (r → (p ∧ q))],(T9) (p → r) → [(q → r) → ((p ∨ q) → r)].

• Sistemul A4 (→,∨):(S1) (p ∨ p) → p,(S2) p → (p ∨ q),(S3) (p ∨ q) → (q ∨ p),(S4) (p → q) → [(r ∨ p) → (r ∨ q)].

• Sistemul A5 (→, O):(V1) p → (q → p),(V2) [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)],(V3) [(p →O) → O] → p.

Observatia 1.2.11 Din (P8) si (P9) obtinem:

(p ∨ q) ↔ ¬(¬p ∧ ¬q),

(p ∧ q) ↔ ¬(¬p ∨ ¬q),


ceea ce arata ca ∨ si ∧ nu sunt independente, ci sunt dependente (∨ depinde de ∧si de ¬ (∨ se poate defini ın functie de ∧,¬), ∧ depinde de ∨ si de ¬).

In general, aflam daca o propozitie compusa oarecare p ∈ P este tautologiesau nu cu ajutorul urmatorului algoritm (daca propozitia p ∈ P se descompune ınpropozitiile componente p1, p2, . . . , pn ∈ P0, atunci vectorul (v(p1), v(p2), . . . , v(pn))apartine lui {0, 1}×{0, 1}×. . .×{0, 1} = {0, 1}n; multimea {0, 1}n are 2n elemente):

Parcurgem un ciclu care genereaza cele 2n elemente (vectori) ale lui {0, 1}n;pentru fiecare element (a1, a2, . . . , an) ∈ {0, 1}n, calculam v(p) folosind valorilev(pi) = ai, i = 1, . . . , n si:- daca pentru un anumit element (a1, a2, . . . , an) ∈ {0, 1}n obtinem v(p) = 0, atunciciclul se opreste, cu raspunsul ”p nu este tautologie”;- daca ciclul se termina, adica daca pentru toate cele 2n elemente din {0, 1}n

obtinem v(p) = 1, atunci raspunsul este ”p este tautologie”.Daca ın algoritmul prezentat continuam sa calculam v(p) si dupa ce ıntalnim

valoarea 0, deci daca ducem ciclul pana la capat, atunci realizam tabela de adevara propozitiei date p.

Legat de generarea elementelor lui {0, 1}n, sa amintim urmatoarele definitii

Definitiile 1.2.12 Fie I = I1 × I2 × . . .× In cu Ii ⊆ Z, i = 1, . . . , n si fie a, b ∈ I,deci

a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn).

(1) Spunem ca a < b ın ordine direct lexicografica daca exista k ∈ {1, 2, . . . , n}astfel ıncat:a1 = b1, a2 = b2, . . ., ak−1 = bk−1 si ak < bk.(2) Spunem ca a < b ın ordine invers lexicografica daca exista k ∈ {1, 2, . . . , n}astfel ıncat:an = bn, an−1 = bn−1, . . ., ak+1 = bk+1 si ak < bk.(3) a ≤ b daca a = b sau a < b.

Observatia 1.2.13 Generarea elementelor produsului cartezian {0, 1} × {0, 1} ×. . .× {0, 1} = {0, 1}n se poate face deci ın patru moduri:(a) ın ordine direct lexicografica crescatoare (care corespunde ordonarii alfabetice),(b) ın ordine direct lexicografica descrescatoare,(c) ın ordine invers lexicografica crescatoare,(d) ın ordine invers lexicografica descrescatoare.Pentru n = 2, aceasta ınseamna respectiv:

(a) (b) (c) (d)0 0 1 1 0 0 1 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 1 01 1 0 0 1 1 0 0


Exemplele 1.2.14(1) Sa se foloseasca tabela de adevar pentru a demonstra prima tautologie din

(P1) a sistemului A1: (p ∨ p) ↔ p.

v(p) v(p ∨ p) v((p ∨ p) ↔ p)0 0 11 1 1

(2) Sa se demonstreze ca daca p → q → r, atunci p → r, adica ca propozitia

a = [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

este adevarata (demonstratia prin implicatii = rationamentul prin silogism ipotetic).v(p) v(q) v(r) v(p → q) v(q → r) v[(p → q) ∧ (q → r)] v(p → r) v(a)0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

(3) Sa se demonstreze ca daca p ↔ q ↔ r, atunci p ↔ r, adica ca propozitia

b = [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)

este adevarata (demonstratia prin echivalente = rationamentul cu echivalenta).v(p) v(q) v(r) v(p ↔ q) v(q ↔ r) v[(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] v(p ↔ r) v(b)0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 0 0 0 10 1 0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 0 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Exercitiile 1.2.151). Sa se scrie o procedura care genereaza toate valorile posibile a doua variabile

propozitionale ıntr-o matrice; sa se utilizeze procedura ıntr-un program principalpentru a genera tabela de adevar pentru o propozitie compusa din doua propozitiicomponente legate cu operatorii propozitionali ¬, ∨, ∧, →, ↔ si pentru a ver-ifica daca propozitia compusa este tautologie sau nu. Generarea celor 4 valoriposibile pentru cele 2 variabile propozitionale se va face ın ordinea direct lexi-cografica, crescatoare. Indicatie: Propozitia va fi tratata ca o functie de doua vari-abile. O functie particulara va fi scrisa cu ajutorul functiilor ajutatoare max(x, y),


min(x, y), sau(x, y), si(x, y), nu(x), implica(x, y), echiv(x, y), care trebuie definiteın program.

2). Pentru o propozitie compusa din doua propozitii p si q, sa se scrie un programpentru afisarea la terminal a tabelei de adevar si pentru verificarea daca propozitiaeste sau nu tautologie, folosind un vector ın care se vor genera valorile de adevarale celor 2 variabile propozitionale ın ordinea direct lexicografica, crescatoare.

3). Pentru o propozitie compusa din trei propozitii p, q si r, sa se scrieun program pentru afisarea la terminal a tabelei de adevar si pentru verificareadaca propozitia este sau nu tautologie, folosind un vector ın care se vor ge-nera valorile de adevar ale celor 3 variabile propozitionale ın ordinea direct lex-icografica, crescatoare. Care sunt modificarile necesare daca se considera celelaltetrei modalitati de ordonare?

4). Sa se generalizeze exercitiul 2) sau 3) la mai multe variabile, pentru opropozitie considerata ca un sir de caractere.

Faptul ca se poate stabili algoritmic daca o propozitie oarecare este tautologiesau nu constituie o proprietate importanta, care se enunta sub forma: calcululpropozitiilor este decidabil.

Tabelele de adevar, sau matricele de adevar, constituie deci o modalitate algo-ritmica de a determina valoarea de adevar a unei propozitii compuse. Mai existasi alte modalitati, nealgoritmice, si anume bazate pe proprietati deja stabilite alealtor propozitii.

1.2.3 Algebra Lindenbaum-Tarski

Sa definim pe multimea P o relatie binara ∼ astfel: pentru orice p, q ∈ P ,

p ∼ q daca si numai daca p ↔ q este tautologie,

deci daca si numai daca v(p ↔ q) = 1 ıntotdeauna. Vom nota astfel:

p ∼ qdef.⇔ p ↔ q este tautologie sau

p ∼ qdef.⇔ v(p ↔ q) = 1.

Atunci sunt adevarate urmatoarele

Propozitia 1.2.16 Relatia ∼ este o relatie de echivalenta pe P .

Demonstratie.(i) ∼ este reflexiva, adica pentru orice p ∈ P , p ∼ p. Intr-adevar, fie p ∈ P ;

p ∼ pdef.⇔ p ↔ p este tautologie, ceea ce este adevarat, conform (P11). Deci (i) are

loc.


(ii) ∼ este simetrica, adica pentru orice p, q ∈ P , p ∼ q implica q ∼ p. Intr-

adevar, fie p, q ∈ P ; p ∼ qdef.⇔ v(p ↔ q) = 1; atunci v(q ↔ p) = 1, adica q ∼ p, deci

p ∼ q implica q ∼ p. Deci (ii) are loc.(iii) ∼ este tranzitiva, adica pentru orice p, q, r ∈ P , p ∼ q si q ∼ r implica p ∼ r.

Intr-adevar, fie p, q, r ∈ P ; (p ∼ q si q ∼ r)def.⇔ (v(p ↔ q) = 1 si v(q ↔ r) = 1);

atunci

v(p) v(q) v(p ↔ q)0 0 11 1 1

v(q) v(r) v(q ↔ r)0 0 11 1 1

Obtinem:

v(p) v(r) v(p ↔ r)0 0 11 1 1

deci v(p ↔ r) = 1, adica p ∼ r, deci p ∼ q si q ∼ r implica p ∼ r. Deci (iii) are loc.2

Propozitia 1.2.17 Pentru orice p, q, p′, q′ ∈ P , avem proprietatile:1) daca p ∼ q, atunci ¬p ∼ ¬q,2) daca p ∼ p′ si q ∼ q′, atunci (p ∨ q) ∼ (p′ ∨ q′) si (p ∧ q) ∼ (p′ ∧ q′),3) (p ∨ ¬p) ∼ (q ∨ ¬q) si (p ∧ ¬p) ∼ (q ∧ ¬q).

Demonstratie.1) Fie p, q ∈ P ; p ∼ q

def.⇔ v(p ↔ q) = 1; atunci avem:

v(p) v(q) v(p ↔ q) v(¬p) v(¬q) v(¬p ↔ ¬q)0 0 1 1 1 11 1 1 0 0 1

adica ¬p ∼ ¬q.2) Fie p, q, p′, q′ ∈ P ; (p ∼ p′ si q ∼ q′)

def.⇔ (v(p ↔ p′) = 1 si v(q ↔ q′) = 1),adica:

v(p) v(p′) v(p ↔ p′)0 0 11 1 1

siv(q) v(q′) v(q ↔ q′)0 0 11 1 1

de unde obtinem:


v(p) v(p′) v(q) v(q′) v(p ∨ q) v(p′ ∨ q′) v((p ∨ q) ↔ (p′ ∨ q′))0 0 0 0 0 0 10 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1

adica (p ∨ q) ∼ (p′ ∨ q′). Analog se demonstreaza ca (p ∧ q) ∼ (p′ ∧ q′).

3) Fie p, q ∈ P ; p ∨ ¬p ∼ q ∨ ¬qdef.⇔ v((p ∨ ¬p) ↔ (q ∨ ¬q)) = 1; atunci avem:

v(p) v(q) v(¬p) v(¬q) v(p ∨ ¬p) v(q ∨ ¬q) v((p ∨ ¬p) ↔ (q ∨ ¬q))0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1

adica (p ∨ ¬p) ∼ (q ∨ ¬q). Restul se demonstreaza la fel. 2

Observatiile 1.2.181) Propozitia 1.2.17 spune ca relatia ∼ este o relatie de congruenta pe structura

(P,∨,∧,¬).2) In mod uzual, relatia ∼ se mai noteaza ⇔.

Deoarece ∼ este o relatie de echivalenta pe P , sa formam clasele de echivalenta;vom nota cu

_p clasa lui p, pentru orice p ∈ P , adica

_p= {q ∈ P | q ∼ p};

p se numeste reprezentantul (ales al) clasei_p .

Lema 1.2.19 Definitia claselor nu depinde de reprezentanti (reprezentantii alesi),adica: pentru orice p, q ∈ P ,

_p=

_q⇐⇒ p ∼ q.

Demonstratie.=⇒:

_p=

_q implica p ∈_

q , deci p ∼ q.⇐=: p ∼ q implica

_p⊆_

q si_q⊆_

p , adica_p=

_q . Intr-adevar,

_p⊆_

q ınseamna capentru orice r, (r ∈_

p ) ⇒ (r ∈_q ). Fie r ∈_

p ; deci, r ∼ p; dar p ∼ q; rezulta r ∼ q,adica r ∈_

q . 2


Fie P/∼ = {_p | p ∈ P}. Atunci sa definim pe P/∼ doua operatii binare,

∨si∧

, si o operatie unara, NEG astfel: pentru orice_p ,

_q∈ P/∼,

NEG_p def.

=_¬p,

_p

∨ _q def.

=_

p ∨ q,

_p

∧ _q def.

=_

p ∧ q .

Aceste trei operatii sunt bine definite (adica nu depind de reprezentantii alesi aiclaselor), conform Propozitiei 1.2.17(1),(2). Sa consideram, de asemenea, urmatoareleelemente remarcabile din P/∼ (conform Propozitiei 1.2.17(3)):

_

Idef.= {p ∨ ¬p | p ∈ P}

si_

Odef.= {p ∧ ¬p | p ∈ P}.

Obtinem, atunci

Teorema 1.2.20 Structura (P/∼,∨

,∧

, NEG,_

O,_

I ) este o algebra Boole, numitaalgebra Lindenbaum-Tarski a calculului propozitiilor.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca, pentru orice_p ,

_q ,

_r ∈ P/∼:

(B1)_p

∨ _p=

_p ,

_p

∧ _p=

_p ,

(B2)_p

∨ _q =

_q

∨ _p ,

_p

∧ _q =

_q

∧ _p ,

(B3)_p

∨(_q

∨ _r ) = (

_p

∨ _q )

∨ _r ,

_p

∧(_q

∧ _r ) = (

_p

∧ _q )

∧ _r ,

(B4)_p

∨(_p

∧ _q ) =

_p ,

_p

∧(_p

∨ _q ) =

_p ,

(B5)_p

∨(_q

∧ _r ) = (

_p

∨ _q )

∧(_p

∨ _r ),

_p

∧(_q

∨ _r ) = (

_p

∧ _q )

∨(_p

∧ _r ),

(B6)_p

∨ _

O=_p ,

_p

∧ _

I =_p ,

(B7)_p

∨NEG

_p=

_

I ,_p

∧NEG

_p=

_

O.

Vom demonstra prima egalitate din (B1):

_p

∨ _p=

_p

def.∨

⇔ _p ∨ p=

_p egal. claselor⇔ (p ∨ p) ∼ p

def.∼⇔ (p ∨ p) ↔ p este o tautologie,

ceea ce este adevarat, conform primei tautologii (P1) din sistemul A1 de tautologii.Restul proprietatilor se demonstreaza similar, folosind corespunzator restul tau-

tologiilor din A1. 2

Daca ın algebra Boole P/∼ consideram submultimea P2 = {_

O,_

I }, atunci struc-tura

(P2,∨

,∧

, NEG,_

O,_

I )


este o subalgebra a algebrei Boole P/∼, deci este la randul ei o algebra Boole, sianume o algebra Boole cu doua elemente (deci izomorfa cu algebra Boole canonica,L2).

Daca facem asocierile:_

O - FALSE,_

I - TRUE,∨

- OR,∧

- AND, NEG -NOT , atunci obtinem algebra Boole cu doua elemente

(P ′2 = {FALSE, TRUE}, OR,AND, NOT, FALSE, TRUE),

care este implementata ın limbajul PASCAL prin tipul de date BOOLEAN.

1.2.4 Observatii [100]

1) Am facut o prezentare semantica, neformalizata, a calculului propozitiilor.2) Orice limba este constituita dintr-un vocabular, o gramatica si totali-

tatea frazelor posibile ale limbii, construite pe baza vocabularului, cu respectarearegulilor gramaticale. Prin analogie, vorbim de limbajul calculului propozitiilor,al carui vocabular este format din elementele multimii P0, din conectorii logici∨, ∧, ¬, →, ↔ si din parantezele rotunde stanga si dreapta (, ), gramatica fiinddata de regulile (R1) - (R3) (din Observatiile 1.1.8), iar rolul frazelor este jucatde propozitiile din P .

3) Semnul ∼ nu face parte din limbajul calculului propozitiilor, iar afirmatiilede forma: p ∼ q, p ∼ (q ∨ r) sunt afirmatii despre limbajul calculului propozitiilor;spunem ca aceste afirmatii fac parte din meta-limbajul calculului propozitiilor.Afirmatiile de forma: ”daca p ∼ q, atunci ¬p ∼ ¬q”, ”daca p ∼ p′ si q ∼ q′, atunci(p ∨ q) ∼ (p′ ∨ q′)” sunt afirmatii despre meta-limbajul calculului propozitiilor;spunem ca ele fac parte din meta-meta-limbajul calculului propozitiilor; deci, estegresit sa notam cuvintele ”daca ..., atunci” cu semnul → din limbaj.

Capitolul 2

Calculul predicatelor(prezentare neformalizata)

Calculul predicatelor (cu predicate) este o extensie a calculului propozitiilor. Incalculul predicatelor (logica predicatelor) se studiaza, ın afara propozitiilor, predi-catele (= functii propozitionale = propozitii variabile = propozitii deschise).

In prima sectiune studiem predicatele, ın a doua sectiune studiem valoareade adevar a unui predicat.

Bibliografie: [97], [101], [102], [104].

2.1 Predicatele

Definitia 2.1.1 Se numeste predicat un enunt cu sens care are printre subiectelesale cel putin unul care este nedeterminat. Un subiect nedeterminat se numestevariabila libera.

Predicatele se noteaza astfel:- cu P (x), daca este un predicat unar (monadic) (= cu un loc liber); x se zice

ca este variabila libera.- cu P (x, y), daca este binar (= cu 2 locuri libere), cu P (x, y, z), daca este

ternar (= cu 3 locuri libere), ..., cu P (x1, x2, . . . , xn), daca este n-ar (= cu n locurilibere); daca un predicat nu este monadic, se zice ca este poliadic. x1, x2, . . . , xn

sunt variabile libere.

Exemplele 2.1.21) Enunturile ”Socrate este muritor”, ”Platon este muritor” sunt propozitii,

adevarate, iar enuntul ”x este muritor” este un predicat unar, pe care-l vom notacu ”muritor(x)” sau cu P (x).

29

30 CAPITOLUL 2. CALCULUL PREDICATELOR (NEFORMALIZAT)

2) Enunturile ”3 < 5”, ”10 < 5” sunt propozitii, prima adevarata, a doua falsa,iar enuntul ”n < 5” este un predicat unar, pe care-l vom nota Q(n).

3) Enunturile ”2 ≤ 3”, ”5 ≤ 1” sunt propozitii, prima adevarata, a doua falsa,iar enuntul ”x ≤ y” este un predicat binar, pe care-l vom nota cu F (x, y).

Observatiile 2.1.31) Daca P este un predicat care contine, de exemplu, trei variabile libere, atunci

ın functie de situatie, putem pune ın evidenta una, doua sau toate trei variabilele,sau chiar niciuna, ın care caz se scrie respectiv:

P (x), P (x, y), P (x, y, z), P.

2) Propozitiile pot fi considerate cazuri particulare (limita) de predicate sianume: predicate cu 0 locuri.

3) Daca ıntr-un predicat n-ar (n ≥ 1) ınlocuim toate cele n variabile libere(= subiecte nedeterminate) cu subiecte determinate (= obiecte), atunci obtinem opropozitie. Deci, ınlocuirea (= substitutia, fixarea) tuturor variabilelor libere aleunui predicat este o modalitate de trecere de la predicate la propozitii. Vom vedeaca mai exista o modalitate: cuantificarea.

4) Locul variabilelor libere nu este indiferent. De exemplu, daca P (x, y) ≡ ”x >y”, atunci P (x, y) 6↔ P (y, x).

2.1.1 Domeniul unui predicat

Vom defini domeniul unui predicat, adica multimea (multimile) de obiecte a(ale) unui predicat.

Definitia 2.1.4 Fie P (x) un predicat unar. Vom spune ca variabila libera x iavalori ın multimea D de obiecte din universul de discurs U , si vom nota x ∈ D,daca pentru orice obiect a ∈ D, P (a) este o propozitie cu sens, adevarata sau falsa.

Exemplele 2.1.5(1) Daca P (x) ≡”x este muritor”, atunci propozitia ”Socrate este muritor” are

sens si este adevarata, iar propozitia ”Numarul 5 este muritor” nu are sens. Deci,D este multimea oamenilor sau multimea animalelor.

(2) Daca Q(x) ≡ ”n < 5”, atunci propozitia ”10 < 5” are sens si este falsa, iarpropozitia ”Socrate < 5” nu are sens. Deci, D este N sau Q sau <.

Observatia 2.1.6 Semnul ≡ din scrierea: P (x) ≡ ”x este muritor” ınseamna caP (x) este o notatie pentru ”x este muritor”.

Definitia 2.1.7 Fie P (x1, x2, . . . , xn) un predicat n-ar (n > 1).(i) Vom spune ca variabilele libere x1, x2, . . . , xn iau valori ın multimea de

obiecte D din universul de discurs U(sau, echivalent, ca tuplul de variabile libere (x1, x2, . . . , xn) ia valori ın produsul

2.1. PREDICATELE 31

cartezian D ×D × . . .×D = Dn, generat de multimea de obiecte D)si vom nota aceasta cu: xi ∈ D, i = 1, n(sau, echivalent, cu (x1, x2, . . . , xn) ∈ Dn )daca pentru orice obiecte ai ∈ D, i = 1, n(sau, echivalent, pentru orice tuplu de obiecte (a1, a2, . . . , an) ∈ Dn)avem ca P (a1, a2, . . . , an) este o propozitie cu sens, adevarata sau falsa. Vom spuneın acest caz ca predicatul P este unisort (cu un singur sort).

(ii) Vom spune ca variabilele libere x1, x2, . . . , xn iau valori respectiv ınmultimile de obiecte D1, D2, . . . , Dn din universul de discurs U(sau, echivalent, ca tuplul de variabile libere (x1, x2, . . . , xn) ia valori ın produsulcartezian D1×D2×. . .×Dn =

∏ni=1 Di, generat de multimile de obiecte D1, D2, . . . , Dn)

si vom nota aceasta cu: xi ∈ Di, i = 1, n(sau, echivalent, cu (x1, x2, . . . , xn) ∈ ∏n

i=1 Di )daca pentru orice obiecte ai ∈ Di, i = 1, n(sau, echivalent, pentru orice tuplu de obiecte (a1, a2, . . . , an) ∈ ∏n

i=1 Di)avem ca P (a1, a2, . . . , an) este o propozitie cu sens, adevarata sau falsa. Vom spuneın acest caz ca predicatul P este plurisort (cu mai multe sorturi).

Observatia 2.1.8 Multimea de obiecte D (multimile de obiecte D1, D2, . . . , Dn)depinde (depind) de P :

D = DP (D1 = DP1 , . . . Dn = DP

n ).

2.1.2 Propozitii (enunturi) complexe

Din predicate (sau din predicate si propozitii) date se construiesc propozitiicomplexe cu ajutorul operatorilor propozitionali (¬,∨,∧,→,↔) si al cuantificato-rilor (∀, ∃), si anume:

(1) Fie, pentru ınceput, predicatele unare P (x) si Q(x).

Enunturile ¬P (x), P (x) ∨Q(x), P (x) ∧Q(x), P (x) → Q(x), P (x) ↔ Q(x)se construiesc lingvistic ca ın cazul propozitiilor, operatorii propozitionaliafectand partile predicative, nu si subiectele. Aceste enunturi sunt de aseme-nea predicate.

Enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x) se construiesc lingvistic astfel: se scrie ıntregtextul predicatului (enuntului) P (x) si se adauga ın fata lui textul: ”Oricarear fi x, ”, respectiv textul ”exista (cel putin un) x, astfel ıncat”. Deci, enuntul(∀x)P (x) se citeste: ”Oricare ar fi x, P (x)”, iar enuntul (∃x)P (x) se citeste:”exista x, astfel ıncat P (x)”.

Enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x) nu se mai refera la obiectul nedeterminatx, ci la multimea de obiecte D ın care variabila x ia valori, exprimand oproprietate a lui D, si anume:


”Toate obiectele din D au proprietatea P”,respectiv

”exista cel putin un obiect ın D care are proprietatea P”.

(2) Fie acum P (x, y) si Q(x, y) doua predicate binare (sau unul unar si celalaltbinar).

Constructiile lingvistice ale enunturilor: ¬P (x, y), P (x, y)∨Q(x, y), P (x, y)∧Q(x, y), P (x, y) → Q(x, y), P (x, y) ↔ Q(x, y) sunt evidente. Toate acesteenunturi sunt predicate.

Constructiile lingvistice ale enunturilor:(a) (∀x)P (x, y), (∀y)P (x, y), (∃x)P (x, y), (∃y)P (x, y),(b) (∀x)(∀y)P (x, y), (∀x)(∃y)P (x, y), (∃x)(∀y)P (x, y), (∃x)(∃y)P (x, y),(∀y)(∀x)P (x, y), (∀y)(∃x)P (x, y), (∃y)(∀x)P (x, y), (∃y)(∃x)P (x, y)sunt evidente, cele grupate ın (a) fiind predicate, cele grupate ın (b) fiindpropozitii.

(3) Constructiile propozitiilor complexe ın cazul predicatelor ternare, . . ., n-are segeneralizeaza ıntr-un mod evident.

Observatiile 2.1.9(i) Cuantificatorii lucreaza asupra subiectului (subiectelor) unui enunt.(ii) Prin cuantificarea predicatului unar P (x), numarul locurilor libere din

enuntul astfel obtinut s-a redus la 0. Deci, enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x)sunt propozitii, ın care x se numeste variabila legata. Deci, cuantificarea este adoua modalitate de trecere de la predicate la propozitii.

(iii) Cuantificatorii ∀ si ∃ nu sunt independenti - vedeti Exemplele 2.2.7(I)1., 2.(dupa cum nici operatorii ∨ si ∧ nu sunt independenti - vedeti Observatia 1.2.11).

Observatiile 2.1.10(1) Fie P (x1, x2, . . . , xn) un predicat n-ar (n > 1). Prin o cuatificare, numarul

locurilor libere din predicat scade cu o unitate; prin doua cuantificari, scade cudoua unitati, etc. Deci,

- enunturile:(∀x1)P (x1, x2, . . . , xn), (∃x1)P (x1, x2, . . . , xn), (∀x2)P (x1, x2, . . . , xn),(∃x2)P (x1, x2, . . . , xn) s.a.m.d. sunt predicate (n− 1)-are;

- enunturile:(∀x1)(∀x2)P (x1, x2, . . . , xn),(∀x1)(∃x2)P (x1, x2, . . . , xn),(∃x1)(∀x2)P (x1, x2, . . . , xn),(∃x1)(∃x2)P (x1, x2, . . . , xn)s.a.m.d. sunt predicate (n− 2)-are;

s.a.m.d., iar- enunturile:

(∀x1)(∀x2) . . . (∀xn)P (x1, x2, . . . , xn),

2.1. PREDICATELE 33

(∀x1)(∀x2) . . . (∃xn)P (x1, x2, . . . , xn),.............................................................(∃x1)(∃x2) . . . (∃xn)P (x1, x2, . . . , xn)s.a.m.d. sunt predicate 0-are, adica sunt propozitii.

Variabila care apare langa un cuantificator (= aflata ın aria de cuprindere a unuicuantificator) dispare din predicat, nu mai este libera, ci legata. Evident, aceeasivariabila nu poate fi legata de mai multe ori ıntr-un predicat.

(2) Avem deci doua modalitati de trecere de la predicate (= propozitii deschise)la propozitii (= propozitii ınchise), numite si modalitati de ınchidere a unui predi-cat:MOD1 - prin ınlocuirea tuturor variabilelor libere cu obiecte,MOD2 - prin cuantificarea (legarea) tuturor variabilelor libere.

(3) Daca D, multimea de obiecte a unui predicat unar P (x), este finita:

D = {a1, a2, . . . , an},

atunci

(∀x)P (x) ↔ (P (a1) ∧ P (a2) ∧ . . . ∧ P (an)),

(∃x)P (x) ↔ (P (a1) ∨ P (a2) ∨ . . . ∨ P (an)),

adica cuantificatorul universal coincide cu o conjunctie, iar cuantificatorulexistential coincide cu o disjunctie.

(4) Rezultatul unei cuantificari nu depinde de notatia (numele) variabilei ınraport cu care se face cuantificarea, adica, de exemplu:(∃x)P (x) ↔ (∃y)P (y) si (∃y)P (x, y, z) ↔ (∃u)P (x, u, z),dar(∃x)P (x, y) 6↔ (∃y)P (x, y) si (∃u)P (x, u, z) 6↔ (∃x)P (x, x, z).

(5) In cazul unei cuantificari repetate nu putem ınlocui variabila unei cuan-tificari cu o variabila care intervine ın alta cuantificare. Deci,(∀x)(∃y)P (x, y, z) ↔ (∀x)(∃u)P (x, u, z),(∀x)(∃y)P (x, y, z) 6↔ (∀x)(∃x)P (x, x, z).

Conventii de scriere(1) Vom scrie: (∀x)P (x) ın loc de: ∀xP (x) si vom scrie: (∃x)P (x) ın loc de:

∃xP (x), ın acest capitol. Dar scrierea: (∀)xP (x) este gresita, ca si scrierea:(∃)xP (x).

(2) Pentru a usura scrierea unei propozitii complexe, vom presupune urmatoarele:(i) cuantificatorii (∀, ∃) au prioritate ın fata operatorilor propozitionali (leaga maitare), ei avand aceeasi prioritate (leaga la fel de tare);(ii) operatorii propozitionali au prioritatile urmatoare: (I): ¬ (¬ leaga cel mai tare),(II): ∧, (III): ∨, (IV): →, (V): ↔ (↔ leaga cel mai slab).


2.2 Valoarea de adevar a unui predicat

Fie P (x) un predicat unar oarecare; el poate fi adevarat, fals, sau ambivalent.

Definitiile 2.2.1 Fie P (x) un predicat unar si D multimea sa de obiecte.· Spunem ca P (x) este adevarat daca pentru orice a ∈ D, propozitia P (a) este

adevarata.· Spunem ca P (x) este fals daca pentru orice a ∈ D, propozitia P (a) este falsa.· Spunem ca P (x) este ambivalent daca exista a ∈ D, astfel ıncat propozitia

P (a) este adevarata si exista b ∈ D, astfel ıncat propozitia P (b) este falsa.

Exemplele 2.2.2 Fie D = N si fie predicatele unare urmatoare care au pe D cadomeniu:

(1) P (n) ≡”n ≥ 0” - este un predicat adevarat;(2) P (n) ≡”n < 0” - este un predicat fals;(3) P (n) ≡”n ≥ 5” - este un predicat ambivalent.

Enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x) sunt propozitii, a caror valoare de adevar sedefineste astfel:

Definitiile 2.2.3(i) Propozitia (∀x)P (x) este adevarata daca predicatul P (x) este adevarat;

propozitia (∀x)P (x) este falsa daca predicatul P (x) este fals sau ambivalent.(ii) Propozitia (∃x)P (x) este adevarata daca predicatul P (x) este adevarat sau

ambivalent; propozitia (∃x)P (x) este falsa daca predicatul P (x) este fals.

Fie P (x1, x2, . . . , xn) un predicat n-ar (n > 1) oarecare; el poate fi adevarat,fals sau ambivalent, definitiile fiind evidente.

2.2.1 Tautologii. Tautologii cuantificate

Definitiile 2.2.4(1) Se numeste lege logica orice enunt complex (adica format cu ajutorul o-

peratorilor propozitionali (¬, ∨, ∧, →, ↔) si al cuantificatorilor (∀, ∃) din alteenunturi, numite enunturi componente) care are proprietatea ca este adevarat in-dependent de valorile de adevar ale enunturilor componente. O lege logica care seconstruieste fara cuatificatori va fi numita tautologie. O lege logica ın constructiacareia intervin si cuantificatorii nu are un nume special ın literatura de specialitate;noi o vom numi tautologie cuantificata.

(2) Un enunt complex care este fals, oricare ar fi valorile de adevar ale enunturilorcomponente, va fi numit antilogie - daca nu contine cuantificatorii, si antilogie cuan-tificata - daca contine cuantificatori.

2.2. VALOAREA DE ADEVAR A UNUI PREDICAT 35

Vom da acum o formulare a Principiului generalizarii (P.G. pe scurt):- pentru un predicat unar P (x): daca o propozitie P (a) este adevarata pentruun obiect a fixat, altfel arbitrar (oarecare), din domeniul lui P , atunci propozitiaP (a) este adevarata pentru orice obiect a din domeniul lui P .- pentru un predicat binar P (x, y): daca o propozitie P (a, b) este adevaratapentru un obiect (a, b) fixat, altfel arbitrar (oarecare), din domeniul lui P , atuncipropozitia P (a, b) este adevarata pentru orice obiect (a, b) din domeniul lui P .- pentru un predicat n-ar P (x1, x2, . . . , xn) (n > 2): analog.

Exemplele 2.2.5 (Exemple de tautologii) (A se vedea Exemplele 1.2.10)• Sistemul A1 (∨,∧,¬,↔, O, I) pentru predicate unare:(Px1) P (x) ∨ P (x) ↔ P (x), P (x) ∧ P (x) ↔ P (x),(Px2) P (x) ∨Q(x) ↔ Q(x) ∨ P (x), P (x) ∧Q(x) ↔ Q(x) ∧ P (x),(Px3) P (x)∨ (Q(x)∨R(x)) ↔ (P (x)∨Q(x))∨R(x), P (x)∧ (Q(x)∧R(x)) ↔

(P (x) ∧Q(x)) ∧R(x),(Px4) P (x) ∨ (P (x) ∧Q(x)) ↔ P (x), P (x) ∧ (P (x) ∨Q(x)) ↔ P (x),(Px5) P (x)∨ (Q(x)∧R(x)) ↔ (P (x)∨Q(x))∧ (P (x)∨R(x)), P (x)∧ (Q(x)∨

R(x)) ↔ (P (x) ∧Q(x)) ∨ (P (x) ∧R(x)),(Px6) P (x)∨ O ↔ P (x), P (x)∧ I ↔ P (x),(Px7) P (x) ∨ ¬P (x) (Principiul tertului exclus), ¬(P (x) ∧ ¬P (x)).

Alte tautologii remarcabile sunt de exemplu (pentru predicate unare):(Px8) ¬(P (x) ∨Q(x)) ↔ ¬P (x) ∧ ¬Q(x), ¬(P (x) ∧Q(x)) ↔ ¬P (x) ∨ ¬Q(x)

(Legile De Morgan),(Px9) ¬¬P (x) ↔ P (x) (Principiul dublei negatii),s.a.m.d.(Px23) [P (x) ∧ (P (x) → Q(x))] → Q(x) (Modus ponens),s.a.m.d.

• Sistemul A1 (∨,∧,¬,↔, O, I) pentru predicate binare:(Pxy1) P (x, y) ∨ P (x, y) ↔ P (x, y), P (x, y) ∧ P (x, y) ↔ P (x, y),(Pxy2) P (x, y) ∨ Q(x, y) ↔ Q(x, y) ∨ P (x, y), P (x, y) ∧ Q(x, y) ↔ Q(x, y) ∧

P (x, y),s.a.m.d.(Pxy23) [P (x, y) ∧ (P (x, y) → Q(x, y))] → Q(x, y) (Modus ponens),s.a.m.d.

Exemplele 2.2.6 (Exemple de antilogii cuantificate)1. (∀x)P (x) ∧ (∃x)[¬P (x)],2. (∃x)P (x) ∧ (∀x)[¬P (x)].

Exemplele 2.2.7 (Exemple de tautologii cuantificate)Vom grupa exemplele mai folosite de tautologii cuantificate ın opt grupe:

(I) echivalentele cuantificatorilor:1. [(∀x)P (x)] ↔ ¬[(∃x)(¬P (x))],


2. [(∃x)P (x)] ↔ ¬[(∀x)(¬P (x))],3. ¬[(∀x)P (x)] ↔ (∃x)[¬P (x)] (vedeti Exercitiul 1),4. ¬[(∃x)P (x)] ↔ (∀x)[¬P (x)].

(II):1. (∀x)P (x) ∨ (∃x)[¬P (x)],2. (∃x)P (x) ∨ (∀x)[¬P (x)].

(III):1. ¬[(∀x)P (x) ∧ (∃x)(¬P (x))],2. ¬[(∃x)P (x) ∧ (∀x)(¬P (x))].

(IV):1. (∀x)P (x) → P (y) (vedeti Exercitiul 2),2. P (y) → (∃x)P (x).

(V) (o consecinta a (IV)):(∀x)P (x) → (∃x)P (x).

(VI) Fie p o propozitie si Q(x) un predicat unar:1. [(∀x)(p → Q(x))] → [p → (∀x)Q(x)], ”Regula (→ ∀)” (vedeti Exercitiul 3)2. [(∀x)(Q(x) → p)] → [(∃x)Q(x) → p], ”Regula (∃ →)”.

(VII):1. (∀x)[P (x) ∧Q(x)] ↔ [(∀x)P (x) ∧ (∀x)Q(x)],2. (∃x)[P (x) ∨Q(x)] ↔ [(∃x)P (x) ∨ (∃x)Q(x)],3. (∀x)[P (x) → Q(x)] → [(∀x)P (x) → (∀x)Q(x)],4. (∀x)[P (x) ↔ Q(x)] → [(∀x)P (x) ↔ (∀x)Q(x)].

(VIII):1. (∀x)(∀y)P (x, y) ↔ (∀y)(∀x)P (x, y),2. (∃x)(∃y)P (x, y) ↔ (∃y)(∃x)P (x, y),3. (∃x)(∀y)P (x, y) → (∀y)(∃x)P (x, y).

Exercitiile 2.2.8(1) [97] Fie P (x) un predicat unar. Sa se demonstreze ca urmatoarea propozitie

este ıntotdeauna adevarata (tautologia cuantificata (I)3.):

h ≡ ”¬[(∀x)P (x)] ↔ (∃x)[¬P (x)]”.

Demonstratie.h ≡ ” (¬¬[(∀x)P (x)] ∨ (∃x)[¬P (x)]) ∧ (¬[(∃x)[¬P (x)]] ∨ ¬[(∀x)P (x)]) ”.Sa notam cei doi termeni ai conjunctiei astfel:h1 ≡ ”¬¬[(∀x)P (x)] ∨ (∃x)[¬P (x)]” ↔ ”(∀x)P (x) ∨ (∃x)[¬P (x)]”,

deoarece ¬¬p ↔ p si


h2 ≡ ”¬[(∃x)[¬P (x)]] ∨ ¬[(∀x)P (x)]”.Atunci h este adevarata daca h1 este adevarata si h2 este adevarata. Sa notamp ≡ ”(∀x)P (x)”.

• Sa aratam ca propozitia h1 este adevarata:- daca propozitia p este adevarata, atunci h1 este adevarata;- daca propozitia p este falsa, atunci predicatul P (x) este fals sau ambivalent;rezulta ca predicatul ¬P (x) este adevarat sau ambivalent; deci propozitia (∃x)[¬P (x)]este adevarata; rezulta ca h1 este adevarata.

• Sa aratam ca propozitia h2 este adevarata:- daca propozitia p este adevarata, atunci predicatul P (x) este adevarat; atuncipredicatul ¬P (x) este fals; deci propozitia (∃x)[¬P (x)] este falsa; rezulta ca propozitia¬[(∃x)[¬P (x)]] este adevarata si, deci, h2 este adevarata;- daca propozitia p este falsa, atunci propozitia ¬p este adevarata si deci h2 esteadevarata.

Deci, h este ıntotdeauna adevarata.

(2) [97] Fie P (x) un predicat unar oarecare. Sa se demonstreze ca predicatulurmator este adevarat (tautologia cuantificata (IV)1.):

H(y) ≡ ”(∀x)P (x) → P (y)”.

Demonstratie.Conform definitiei, predicatul H(y) este adevarat daca pentru orice obiect a ∈

DH (DH este domeniul lui H), H(a) este o propozitie adevarata. Fie a ∈ DH unobiect fixat, altfel arbitrar; sa aratam ca H(a) este o propozitie adevarata:

H(a) ≡ ”(∀x)P (x) → P (a)” ↔ ”¬[(∀x)P (x)] ∨ P (a)”.

Sa notam p ≡ ”(∀x)P (x)”; atunci- daca propozitia p este adevarata, atunci P (x) este un predicat adevarat, deciP (a) este o propozitie adevarata si, prin urmare, H(a) este o propozitie adevarata;- daca propozitia p este falsa, atunci propozitia ¬p este adevarata si, deci, propozitiaH(a) este adevarata.Deci, ın ambele cazuri posibile, H(a) este o propozitie adevarata. Rezulta, conform(P.G.), ca pentru orice obiect a ∈ DH , propozitia H(a) este adevarata, deci H(y)este un predicat adevarat.

(3) Fie p o propozitie si Q(x) un predicat unar oarecare. Sa se demonstreze caurmatoarea propozitie este ıntotdeauna adevarata (tautologia cuantificata (VI)1.):

h ≡ ”[(∀x)(p → Q(x))] → [p → (∀x)Q(x)]”.

Demonstratie.h ↔ ¬[(∀x)(¬p ∨Q(x))] ∨ [¬p ∨ (∀x)Q(x)]

↔ (∃x)[¬(¬p ∨Q(x))] ∨ [¬p ∨ (∀x)Q(x)]


↔ (∃x)[p ∧ ¬Q(x)] ∨ [¬p ∨ (∀x)Q(x)],conform primului exercitiu, faptului ca ¬¬p ↔ p si conform legilor De Morgan.- Daca p este falsa, atunci ¬p este adevarata si deci h este adevarata.- Daca p este adevarata, atunci sa notam:

h1 ≡ ”(∃x)[p ∧ ¬Q(x)]”, h2 ≡ ”[¬p ∨ (∀x)Q(x)]”.

- daca predicatul Q(x) este adevarat, atunci propozitia (∀x)Q(x) este adevarata,deci h2 este adevarata; rezulta h adevarata;- daca predicatul Q(x) este fals, atunci predicatul ¬Q(x) este adevarat; rezulta cap∧¬Q(x) este un predicat adevarat, de unde obtinem ca h1 este adevarata, deci heste adevarata;- daca predicatul Q(x) este ambivalent, atunci predicatul ¬Q(x) este ambivalent;rezulta ca p ∧ ¬Q(x) este un predicat ambivalent, de unde obtinem ca h1 esteadevarata, deci h este adevarata.

Deci, h este ıntotdeauna o propozitie adevarata.

Observatia 2.2.9 Toate regulile de deductie, exceptand (P.G.), sunt consecintea trei reguli fundamentale: ”modus ponens”, ”→ ∀”, ”∃ →”. Se poate arata capentru nevoile unei teorii deductive ne putem rezuma doar la doua reguli: ”modusponens” si una din celelalte doua.

Observatia 2.2.10Semnificatia scrierilor din matematica: ∀x > 0, P (x) si ∃x > 0, P (x) este

respectiv urmatoarea:

∀x > 0, P (x) ≡ (∀x)(x > 0 → P (x)), ∃x > 0, P (x) ≡ (∃x)(x > 0 ∧ P (x)).

In consecinta, daca le negam, obtinem respectiv:

¬(∀x > 0, P (x)) ≡ ¬((∀x)(x > 0 → P (x)))

↔ (∃x)¬(x > 0 → P (x))

↔ (∃x)¬(¬(x > 0) ∨ P (x))

↔ (∃x)(x > 0 ∧ ¬P (x))

≡ ∃x > 0,¬P (x).

¬(∃x > 0, P (x)) ≡ ¬((∃x)(x > 0 ∧ P (x)))

↔ (∀x)¬(x > 0 ∧ P (x))

↔ (∀x)(¬(x > 0) ∨ ¬P (x))

↔ (∀x)(x > 0 → ¬P (x))

≡ ∀x > 0,¬P (x).


2.2.2 Observatii

Calculul predicatelor prezentat se mai numeste calculul predicatelor de ordinul I.Daca variabilele libere x, y, z, . . . din predicate sunt multimi, atunci calculul predi-catelor corespunzator se zice de ordinul II; daca ele sunt multimi de multimi, cal-culul se zice de ordinul III s.a.m.d.

Partea II

Algebre Boole

41

43

Teoria algebrelor Boole s-a nascut ca urmare a descoperirii analogiei perfectecare exista ıntre legile logicii si anumite reguli ale calculului algebric. Aceastadescoperire este unanim atribuita lui George Boole [9].

Dintre matematicienii care au adus contributii mari la dezvoltarea teoriei al-gebrelor Boole trebuie mentionati: M.H. Stone, pentru celebra sa teorema dereprezentare si pentru teoria dualitatii algebrelor Boole, si A. Tarski, care a obtinutrezultate remarcabile atat pe linia algebrica a acestui domeniu, cat mai ales pe linialegaturilor sale cu logica.

Algebrele Boole constituie reflectarea algebrica a calculului propozitiilor, fiindmodele algebrice ale calculului propozitiilor. Algebrele Boole monadice, poliadice[50] si cilindrice sunt modele algebrice ale calculului predicatelor; acestea sunt dis-cutate putin ın capitolul 8.

Astazi, teoria algebrelor Boole se prezinta ca un capitol important al algebrei, desine statator, care are puternice conexiuni cu logica si care are aplicatii ın analiza,topologie, calculul probabilitatilor etc., cele mai spectaculoase aplicatii fiind ınsaın domeniul informaticii.

Algebrele Boole sunt ın mod traditional studiate ın contextul laticilor, deoarecesunt cazuri particulare de latici. Laticile reprezinta un suport algebric pentru ma-joritatea sistemelor logice. De aceea am considerat necesara existenta unui scurtcapitol consacrat laticilor.

Bibliografie pentru latici: [2], [7], [48], [88].Bibliografie pentru algebre Boole: [9], [45], [51], [58], [88], [111], [114], [120].Bibliografie pentru multimi fuzzy: [92], [123].

Capitolul 3

Latici

Teoria laticilor ıncepe cu cercetarile lui R. Dedekind asupra structurii multimiisubgrupurilor unui grup abelian [24]. Contributiile unor matematicieni importantica G. Birkhoff, O. Ore, A. Tarski, G. Gratzer etc. au facut din teoria laticilor undomeniu al matematicii de sine statator (vedeti [2], [7], [48]).

Prima sectiune prezinta multimile ordonate, iar a doua sectiune continecele doua definitii echivalente ale laticilor si multe exemple.

3.1 Multimi (pre)ordonate

3.1.1 Definitii. Exemple

Definitiile 3.1.1 Fie A o multime nevida.· O relatie binara R pe A se numeste relatie de ordine (partiala) daca sunt ve-

rificate urmatoarele axiome: pentru orice x, y, z ∈ A,(O1) xRx (reflexivitatea),(O2) daca xRy si yRx, atunci x = y (antisimetria),(O3) daca xRy si yRz, atunci xRz (tranzitivitatea).

· Daca R mai verifica si axioma:(O4) pentru orice x, y ∈ A, xRy sau yRx (x si y sunt compatibile),atunci R se numeste relatie de ordine totala.

· O relatie binara R pe A se numeste relatie de preordine daca verifica (O1) si(O3).

· O pereche (A,R) se numeste- multime (partial) ordonata, daca R este o relatie de ordine (partiala) pe A,- multime total ordonata sau multime liniara (liniar ordonata) sau lant, daca Reste o relatie de ordine totala pe A,- multime preordonata, daca R este o relatie de preordine pe A.

45

46 CAPITOLUL 3. LATICI

Exemplele 3.1.2(1) Perechile (R,≤), (Q,≤), (Z,≤), (N,≤) sunt lanturi.(2) Daca X este o multime nevida, atunci (P(X),⊆) este o multime ordonata;

ea este total ordonata daca si numai daca X este formata dintr-un singur element.(3) Daca X este o multime nevida, atunci (X, =) este o multime ordonata (ın

acest caz R este ∆ = {(x, x) | x ∈ X}).(4) Daca pe multimea N∗ = N\{0} definim, pentru orice x, y, x ¹ y ⇔ x | y (x

este divizibil cu y), atunci (N∗,¹) este o multime ordonata, dar nu total ordonata.(5) Relatia x ¹ y ⇔ x | y, definita pe Z, este o relatie de preordine, care nu

este relatie de ordine.(6) Daca pe multimea C a numerelor complexe definim relatia binara ¹ astfel:

pentru orice z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 ∈ C,

z1 ¹ z2def.⇐⇒ (a1 ≤ a2, b1 ≤ b2),

atunci (C,¹) este o multime ordonata, dar nu total ordonata.(7) Fie A multimea ofiterilor dintr-o unitate militara. Pentru x, y ∈ A, spunem

ca x ≤ y daca gradul lui x este mai mic sau egal cu gradul lui y. Atunci (A,≤)este o multime preordonata, care nu este ordonata.

Conventie. O relatie de (pre)ordine arbitrara pe o multime A va fi notata deacum ınainte prin ≤.

Definitia 3.1.3 Fie (A,≤), (B,≤) doua multimi ordonate.O functie f : A → B se numeste izotona daca x ≤ y implica f(x) ≤ f(y), pentru

orice x, y ∈ A.

3.1.2 Principiul dualitatii. Diagrama Hasse

Daca ≤ este o relatie de (pre)ordine pe A, atunci relatia ≥ definita pe A astfel:pentru orice x, y ∈ A,

x ≥ ydef.⇐⇒ y ≤ x,

se numeste relatia inversa sau relatia duala a relatiei ≤.Principiul dualitatii pentru multimi (pre)ordonate este urmatorul:

”orice enunt (definitia unei notiuni, propozitie, teorema etc.) cu privire la multimea(pre)ordonata (A,≤) ramane valabil daca peste tot ın cuprinsul sau schimbamrelatia de (pre)ordine ≤ cu relatia de (pre)ordine inversa, ≥”.

Structura (A,≥) astfel obtinuta este tot o multime (pre) ordonata, numita dualalui (L,≤). Enuntul astfel obtinut (definitia unei notiuni, propozitie, teorema etc.)este dualul primului enunt (definitie a unei notiuni, propozitie, teorema etc.). Maispunem ca cele doua structuri (enunturi) sunt duale una alteia sau simplu duale.

3.1. MULTIMI (PRE)ORDONATE 47

Diagrama HasseO relatie binara ≤ pe o multime finita A se va reprezenta grafic prin diagramaHasse astfel: elementele multimii sunt reprezentate prin puncte, iar faptul ca x < y(adica x ≤ y si x 6= y) si nu exista z cu x < z < y se reprezinta printr-o linie careleaga cele doua puncte, y fiind situat mai sus ca x:

••

x

y

Diagrama Hasse este utila pentru recunoasterea proprietatilor relatiei binare.

Exemplu de diagrama Hasse.Daca A = {a, b, c, d} si R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}atunci (A, R) este o multime ordonata ce va fi reprezentata grafic de diagrama Hassedin figura 3.1.

•a

•SS

¶¶

• •b

c d

Figura 3.1: Diagrama Hasse a multimii ordonate (A,R)

3.1.3 Prim (ultim) element, minorant (majorant), infimum(supremum). Axioma lui Zorn

Definitiile 3.1.4 Fie (A,≤) o multime ordonata.Un element u ∈ A se numeste prim element sau cel mai mic element (ultim

element sau cel mai mare element) daca u ≤ x (respectiv u ≥ x) pentru oricex ∈ A.

Deci, notiunile de prim element si ultim element sunt duale una alteia.Atat primul element, cat si ultimul element, al unei multimi ordonate sunt unici

(atunci cand exista). Primul element va fi notat de obicei cu 0, iar ultimul elementcu 1. O multime ordonata cu 0 si 1 se numeste marginita.


Exemplele 3.1.5 Consideram multimile ordonate din figura 3.2. In cazul a) e-xista prim si ultim element (multimea ordonata este marginita), ın cazul b) existanumai ultim element, iar ın cazul c) exista numai prim element.

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

•

0

a)

x y

z

1

• •¶¶

SS•

•

x y

z

1

b)

•SS

¶¶

• •z

x y

•0

c)Figura 3.2: Exemple de multimi ordonate cu prim si/sau ultim element

Definitiile 3.1.6Fie (A,≤) o multime partial ordonata si fie X o submultime a lui A. Un element

a ∈ A este un minorant (majorant) al lui X daca a ≤ x (respectiv a ≥ x) pentruorice x ∈ X.

Echivalent, fie (xi)i∈I o familie oarecare de elemente din A indexata de I, I omultime oarecare, eventual infinita. Un element a ∈ A este un minorant (majorant)al familiei (xi)i∈I , daca a ≤ xi (respectiv a ≥ xi), pentru orice i ∈ I.

Deci, notiunile de minorant si majorant sunt duale una alteia.

Exemplul 3.1.7 Consideram multimea ordonata (A = {a, b, c, d, e, f},≤) din figura3.3, fara prim si ultim element. Daca X = {c, d}, atunci multimea minorantilor luiX este {a, b, c}, iar multimea majorantilor lui X este {d, e, f}.

• c

•SS

¶¶

• •

¶¶

SS

• •a b

d

e f

Figura 3.3: Multime ordonata

Atat multimea minorantilor, cat si multimea majorantilor, pot fi vide.

3.1. MULTIMI (PRE)ORDONATE 49

Definitia 3.1.8Fie (A,≤) o multime partial ordonata si fie X o submultime a lui A. Infimumul

lui X este cel mai mare minorant al lui X si se noteaza inf X.Echivalent, fie (xi)i∈I o familie oarecare de elemente din A, indexata de I (I o

multime oarecare, eventual infinita). Infimumul familiei (xi)i∈I este cel mai mareminorant al ei si se noteaza infi∈I xi.

Deci, relatia a = inf X (a ∈ A, X ⊆ A) este caracterizata de proprietatile:(i) a este un minorant al lui X (adica a ≤ x pentru orice x ∈ X),(ii) a este cel mai mare minorant al lui X, adica, daca b este un minorant al lui X(daca b ≤ x pentru orice x ∈ X), atunci b ≤ a.

Echivalent, un element a ∈ A este infimumul familiei (xi)i∈I daca verifica pro-prietatile:(j) a este un minorant al familiei (xi)i∈I (adica a ≤ xi, pentru orice i ∈ I);(jj) a este cel mai mare minorant al familiei (xi)i∈I , adica daca b este un minorantal familiei (xi)i∈I (daca b ≤ xi pentru orice i ∈ I), atunci b ≤ a.

Dual, avem urmatoarea definitie a supremumului:

Definitia 3.1.9Fie (A,≤) o multime partial ordonata si fie X o submultime a lui A. Supremu-

mul lui X este cel mai mic majorant al lui X si se noteaza sup X.Echivalent, fie (xi)i∈I o familie oarecare de elemente din A, indexata de I, I o

multime oarecare, eventual infinita. Supremumul familiei (xi)i∈I este cel mai micmajorant al ei si se noteaza supi∈I xi.

Deci, relatia a = sup X (a ∈ A, X ⊆ A) este caracterizata de proprietatile:(i’) a este un majorant al lui X (adica x ≤ a pentru orice x ∈ X),(ii’) a este cel mai mic majorant al lui X, adica, daca b este un majorant al lui X(daca x ≤ b pentru orice x ∈ X), atunci a ≤ b.

Echivalent, un element a ∈ A este supremumul familiei (xi)i∈I daca verificaproprietatile:(j’) a este un majorant al familiei (xi)i∈I (adica xi ≤ a, pentru orice i ∈ I);(jj’) a este cel mai mic majorant al familiei (xi)i∈I , adica daca b este un majorantal familiei (xi)i∈I (daca xi ≤ b pentru orice i ∈ I), atunci a ≤ b.

Deci, notiunile de infimum si supremum sunt duale una alteia.

Observatiile 3.1.101) Deci, elementul infi∈I xi al lui A este caracterizat de:

(i) infi∈I xi ≤ xi, pentru orice i ∈ I si(ii) pentru orice b ∈ A care verifica b ≤ xi pentru orice i ∈ I, avem b ≤ infi∈I xi.

1’) Elementul dual, supi∈I xi al lui A este caracterizat de:(i’) xi ≤ supi∈I xi, pentru orice i ∈ I si(ii’) pentru orice b ∈ A care verifica xi ≤ b pentru orice i ∈ I, avem

supi∈I xi ≤ b.


2) Infimumul multimii finite (familiei finite) {x1, x2, . . . , xn} = (xi)i∈{1,2,...,n} va finotat inf(x1, x2, . . . , xn) sau infi=1,n xi, iar supremumul ei va fi notatsup(x1, x2, . . . , xn) sau supi=1,n xi. Daca n = 2, infimumul familiei (multimii){x, y} va fi notat inf(x, y), iar supremumul ei va fi notat sup(x, y).

Definitiile 3.1.11 Fie (A,≤) o multime ordonata si X ⊆ A. Un element maximal(minimal) al lui X este un element m al lui X cu proprietatea ca m ≤ a (respectivm ≥ a), a ∈ X, implica a = m.

Deci, notiunile de element maximal si element minimal sunt duale una alteia.

O multime ordonata poate avea mai multe elemente maximale si/sau mai multeelemente minimale.

Exemplele 3.1.121) (R,≤) nu are niciun element maximal si niciun element minimal.2) In (P(X),⊆) elementele minimale sunt de forma {x}, x ∈ X, iar X este

element maximal.3) Ultimul element al unei multimi ordonate este si element maximal, iar primul

element este si element minimal. Reciproca nu este adevarata.

Definitia 3.1.13 O multime ordonata (A,≤) se numeste inductiva daca orice partetotal ordonata a sa admite un majorant.

Axioma lui Zorn: Orice multime ordonata inductiva admite un element maximal.

3.2 Latici

3.2.1 Latici Ore si latici Dedekind. Echivalenta lor

Definitia 3.2.1O multime ordonata L = (L,≤) se numeste latice Ore daca pentru orice doua

elemente x, y din L exista inf(x, y) si sup(x, y).

Propozitia 3.2.2 Intr-o latice Ore L, urmatoarele afirmatii sunt echivalente: pen-tru orice x, y ∈ L,

(i) x ≤ y,(ii) sup(x, y) = y,(iii) inf(x, y) = x.

Demonstratie.(i) ⇒ (ii): Intr-adevar, presupunand ca x ≤ y, atunci deoarece avem si y ≤ y,

conform reflexivitatii lui ≤, rezulta ca y este majorant al {x, y}. Fie z un majorant

3.2. LATICI 51

oarecare al {x, y}, deci x ≤ z si y ≤ z. Deci y ≤ z, adica y este cel mai micmajorant al {x, y}, deci sup(x, y) = y.

(ii) ⇒ (i): Intr-adevar, sup(x, y) = y ınseamna printre altele ca x ≤ y si y ≤ y;deci x ≤ y.

Similar se demonstreaza ca (i) ⇔ (iii). 2

Propozitia 3.2.3 Fie L o latice Ore. Urmatoarele proprietati sunt verificate: pen-tru orice x, y, z ∈ L,

(O1) inf(x, x) = x, sup(x, x) = x (idempotenta lui inf, sup)(O2) inf(x, y) = inf(y, x), sup(x, y) = sup(y, x) (comutativitatea lui inf, sup)(O3) inf(x, y, z) = inf(x, inf(y, z)) = inf(inf(x, y), z) (asociativitatea lui inf),

sup(x, y, z) = sup(x, sup(y, z)) = sup(sup(x, y), z) (asociativitatea lui sup),(O4) inf(x, sup(x, y)) = x, sup(x, inf(x, y)) = x (proprietatile de absorbtie).

Demonstratie.(O1): Sa demonstram ca sup(x, x) = x. Fie a = sup(x, x); deci x ≤ y si pentru

orice b ∈ L care verifica x ≤ b avem a ≤ b. Dar, x ∈ L verifica x ≤ x, conformreflexivitatii; luam b = x; rezulta a ≤ x. Deci, a = x, adica sup(x, x) = x. La felse demonstreaza ca inf(x, x) = x.

(O2): Sa demonstram ca sup(x, y) = sup(y, x). Fie u = sup(x, y) siv = sup(y, x); deci avem: x ≤ u, y ≤ u si y ≤ v, x ≤ v si, pentru orice z care verificax, y ≤ z, avem u ≤ z si v ≤ z. Se observa ca u, v sunt un astfel de z, deci u ≤ v siv ≤ u, de unde obtinem u = v. La fel se demonstreaza ca inf(x, y) = inf(y, x).

(O3) Sa demonstram ca sup(x, y, z) = sup(x, sup(y, z)). Sa notam t = sup(y, z),u = sup(x, y, z), v = sup(x, t); atunci avem:(i) y, z ≤ t si pentru orice Z ∈ L cu y, z ≤ Z, avem t ≤ Z,(ii) x, y, z ≤ u si pentru orice Z ′ ∈ L cu x, y, z ≤ Z ′, avem u ≤ Z ′,(iii) x, t ≤ v si pentru orice Z ′′ ∈ L cu x, t ≤ Z ′′, avem v ≤ Z ′′.Sa aratam ca u = v:Din y, z ≤ t si t ≤ v obtinem ca y, z ≤ v; dar avem si x ≤ v. Rezulta ca x, y, z ≤ v;luam Z ′ = v ın (ii) si obtinem ca u ≤ v.Din y, z ≤ u, luand Z = u ın (i), obtinem ca t ≤ u. Dar avem si ca x ≤ u;deci, x, t ≤ u; luand Z ′′ = u ın (iii), obtinem ca v ≤ u. Astfel, u = v. Restul sedemonstreaza similar. 2

Definitia 3.2.4 Fie L = (L,∧,∨) o structura formata dintr-o multime L si douaoperatii binare definite pe L. L se numeste latice Dedekind daca urmatoarele pro-prietati (axiome) sunt verificate: pentru orice x, y, z ∈ L,

(L1) x ∧ x = x, x ∨ x = x (idempotenta lui ∧, ∨)(L2) x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x (comutativitatea lui ∧, ∨)(L3) x∧ (y∧ z) = (x∧ y)∧ z, x∨ (y∨ z) = (x∨ y)∨ z) (asociativitatea lui ∧, ∨)(L4) x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x (cele doua proprietati de absorbtie).

Propozitia 3.2.5 Intr-o latice Dedekind L, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:pentru orice x, y ∈ L,


(i) x ∧ y = x,(ii) x ∨ y = y.

Demonstratie. Daca x∧y = x, atunci x∨y = (x∧y)∨y(L2)= y∨ (y∧x)

(L4)= y.

Daca x ∨ y = y, atunci x ∧ y = x ∧ (x ∨ y)(L4)= x. 2

Vom arata acum ca cele doua definitii, Ore si Dedekind, ale laticilor sunt echiva-lente.

Teorema 3.2.6(1) Fie L = (L,≤) o latice Ore. Sa definim

Φ(L)def.= (L,∧,∨),

unde pentru orice x, y ∈ L,

(3.1) x ∧ ydef.= inf(x, y), x ∨ y

def.= sup(x, y).

Atunci structura Φ(L) este o latice Dedekind.(1’) Fie L = (L,∧,∨) o latice Dedekind. Sa definim

Ψ(L)def.= (L,≤),

unde pentru orice x, y ∈ L,

(3.2) x ≤ y daca si numai daca x ∨ y = y.

Atunci relatia ≤ este de ordine, iar structura Ψ(L) este o latice Ore, unde pentruorice x, y ∈ L,

(3.3) inf(x, y) = x ∧ y, sup(x, y) = x ∨ y.

(2) Cele doua aplicatii, Φ si Ψ, sunt inverse una alteia.

Demonstratie.(1): Cele doua operatii sunt bine definite (adica exista x ∧ y si x ∨ y pentruorice x, y ∈ L, conform definitiei laticii Ore). Trebuie sa demonstram ca celedoua operatii verifica axiomele (L1)-(L4). Intr-adevar, x ∧ x = inf(x, x) = x six∨ x = sup(x, x) = x, conform (O1) din Propozitia 3.2.3, deci (L1) este verificata.Similar, (L2)-(L4) rezulta respectiv din (O2)-(O4).

(1’):• Trebuie sa aratam ca relatia ≤ este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva.

≤ este reflexiva, adica pentru orice x ∈ L, x ≤ x: fie x ∈ L fixat, altfel arbitrar;x ≤ x

def⇔ x ∨ x = x, ceea ce este adevarat, conform (L1). Rezulta, conform

3.2. LATICI 53

Principiului Generalizarii, ca pentru orice x ∈ L, x ≤ x. Restul se demonstreazasimilar. Deci, (L,≤) este o multime partial ordonata.

• Trebuie sa demonstram acum ca pentru orice x, y ∈ L, sup(x, y) = x ∨ y.Fie x, y ∈ L, obiecte (elemente) fixate, altfel arbitrare; pentru a demonstra casup(x, y) = x ∨ y, trebuie sa aratam doua lucruri:

(i) x∨ y este majorant al {x, y}, adica x, y ≤ x∨ y; ıntr-adevar, x∨ (x∨ y)(L3)=

(x∨x)∨ y(L1)= x∨ y, deci x ≤ x∨ y, conform (3.2), si y∨ (x∨ y)

(L2)= (x∨ y)∨ y

(L3)=

x ∨ (y ∨ y)(L1)= x ∨ y, deci y ≤ x ∨ y.

(ii) Fie Z ∈ L astfel ıncat x, y ≤ Z, adica x∨Z = Z si y∨Z = Z, conform (3.2);

trebuie sa demonstram ca x∨y ≤ Z. Intr-adevar, (x∨y)∨Z = (x∨y)∨(x∨Z)(L3)=

x ∨ (y ∨ x) ∨ Z(L2)= x ∨ (x ∨ y) ∨ Z

(L3)= (x ∨ x) ∨ (y ∨ Z)

(L1)= x ∨ Z = Z, deci

x ∨ y ≤ Z, conform (3.2).Rezulta, conform Principiului Generalizarii, ca pentru orice x, y ∈ L,

sup(x, y) = x ∨ y.Similar se demonstreaza ca inf(x, y) = x ∧ y.

(2): Rutina. 2

Observatia 3.2.7 Relatia de ordine din Teorema 3.2.6 poate fi definita, echivalent,prin

(3.4) x ≤ y daca si numai daca x ∧ y = x,

conform Propozitiei 3.2.5.

Teorema precedenta arata ca cele doua definitii ale laticilor sunt echivalente. Incontinuare, vom lucra ın general cu definitia Dedekind a laticii, pe care o vomnumi pe scurt latice.

Definitia 3.2.8 Fie L = (L,≤) o latice Ore (sau L = (L,∧,∨) o latice Dedekind)si fie S ⊆ L o submultime nevida a lui L. S se numeste sublatice Ore (respectivDedekind) a lui L daca este ınchisa la operatiile inf , sup (respectiv ∧, ∨) din L.

Definitia 3.2.9 Fie I o multime oarecare de indici, eventual infinita.· O latice Ore L = (L,≤) se numeste completa daca orice familie de elemente

din L indexata de I (submultime a lui L, echivalent) admite infimum (infi∈I xi) sisupremum (supi∈I xi).

· O latice Dedekind L = (L,∧,∨) se numeste completa daca pentru orice familiede elemente din L indexata de I (submultime a lui L, echivalent), exista

∧i∈I xi si∨

i∈I xi.

Intr-o latice completa L, daca (xi)i∈I este o familie de elemente din L, avem∧

i∈I

xi = infi∈I

xi,∨

i∈I

xi = supi∈I

xi.

Orice latice finita este completa.


3.2.2 Principiul dualitatii pentru latici

Principiul dualitatii pentru latici se formuleaza ın functie de definitiafolosita a laticii:

- Daca se foloseste definitia ca latice Ore, atunci Principiul dualitatii rezultadin principiul dualitatii pentru multimi ordonate:

”orice enunt cu privire la laticea Ore (L,≤) ramane valabil daca peste tot ıncuprinsul sau schimbam pe ≤ cu ≥ (deci pe inf(x, y) cu sup(x, y) si pe sup(x, y)cu inf(x, y))”.

Structura (L,≥) astfel obtinuta este tot o latice Ore, numita laticea Ore dualaa lui (L,≤). Enuntul astfel obtinut (definitie, propozitie, teorema etc.) se numestedualul primului enunt. Mai spunem ca cele doua structuri (enunturi) sunt dualeuna alteia.

- Daca se foloseste definitia ca latice Dedekind, atunci Principiul dualitatii este:”orice enunt cu privire la laticea Dedekind (L,∧,∨) ramane valabil daca peste

tot ın cuprinsul sau schimbam pe ∧ cu ∨ si pe ∨ cu ∧”.Structura (L,∨,∧) astfel obtinuta este tot o latice Dedekind, numita laticea

Dedekind duala a lui (L,∧,∨). Enuntul astfel obtinut (definitie, propozitie, teo-rema etc.) se numeste dualul primului enunt. Mai spunem ca cele doua structuri(enunturi) sunt duale una alteia.

Deci, operatiile inf si sup, respectiv ∧ si ∨, sunt duale una alteia.

Diagrama Hasse a unei laticiDiagrama Hasse permite o reprezentare grafica a unei multimi ordonate, deci si

a unei latici.

3.2.3 Exemple de latici

Exemplele 3.2.10 (Exemple de latici marginite (cu 0 si 1))1) Multimea cu 2 elemente L2 = {0, 1} si multimea cu 3 elemente L3 = {0, a, 1}

genereaza laticile liniare (adica total ordonate) L2 (vom vedea ca ea este algebraBoole) si respectiv L3 din figura 3.4.

2) Multimea cu 4 elemente L = {0, a, b, 1} genereaza urmatoarele doua latici:- laticea liniar ordonata (total ordonata) L4, a carei diagrama Hasse este prezentataın figura 3.5;- laticea L2×2, ordonata neliniar ca ın diagrama Hasse din figura 3.5 (vom vedeaca ea este o algebra Boole):

sau, echivalent, cu operatiile ∧, ∨ definite astfel:

3.2. LATICI 55

••

0

1

L2

••

0

a

L3

•1

Figura 3.4: Laticile liniar ordonate L2 si L3

••

0

a

• b

•1

L4

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a b

1

L2×2

Figura 3.5: Laticea liniara L4 si laticea neliniara L2×2

L2×2

∧ 0 a b 10 0 0 0 0a 0 a 0 ab 0 0 b b1 0 a b 1

∨ 0 a b 10 0 a b 1a a a 1 1b b 1 b 11 1 1 1 1

3) Multimea cu 5 elemente L = {0, a, b, c, 1} genereaza cele 5 latici dinfigura 3.6, prima liniar ordonata, celelalte patru ordonate neliniar.

Exemplele 3.2.11 (Exemple de latici nemarginite)

1) Multimea ordonata (N,≤) este o latice numai cu prim element, numarul 0.2) Daca notam cu Z− multimea numerelor ıntregi care sunt mai mici sau egale

cu 0, atunci multimea ordonata (Z−,≤) este o latice numai cu ultim element,numarul 0.

3) Multimea ordonata (Z,≤) este o latice fara prim si ultim element.


••

0

a

• b

• c

•1

L5

•0

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

a

b c

1

L2,2×2

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

•

0

a b

c

1

L2×2,2

••

SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a cb

1

L¦

•SS

SS

¶¶

¶¶

¶¶S

S

••

••

0

cb

a

1

Lpentagon

Figura 3.6: Laticile generate de 5 elemente

Exemplele 3.2.12 (Exemple de multimi ordonate care nu sunt latici).Multimile L60,1, L51 si L50, ordonate ca ın diagramele Hasse din figura 3.7, nu

sunt latici, pentru ca nu exista inf{c, d} si sup(a, b). L60,1 este o multime ordonatamarginita, L51 este o multime ordonata numai cu ultim element, iar L50 este omultime ordonata numai cu prim element.

SS•¶

¶•¶

¶¶

¶

•SS

SS¶

¶• S

S•

•

0

a b

c d

1

L60,1

•¶¶

¶¶

•SS

SS¶

¶• S

S•

•

a b

c d

1

L51

SS•¶

¶•¶

¶¶

¶

•SS

SS• •

0

a b

c d

L50

Figura 3.7: Multimi ordonate care nu sunt latici

Propozitia 3.2.13 Orice latice finita are 0 si 1 (adica este marginita).

Exista multimi ordonate finite care sunt marginite, dar nu sunt latici. Deexemplu, multimea ordonata L60,1 din figura 3.7.

3.2. LATICI 57

3.2.4 Latici distributive. Latici marginite complementate

Propozitia 3.2.14 Daca L = (L,∧,∨) este o latice, atunci pentru orice x, y, a, b ∈L avem:(i) x ∧ y ≤ x, x ∧ y ≤ y si x ≤ x ∨ y, y ≤ x ∨ y,(ii) x ≤ y implica x ∧ a ≤ y ∧ a si x ∨ a ≤ y ∨ a,(iii) x ≤ y, a ≤ b implica x ∧ a ≤ y ∧ b si x ∨ a ≤ y ∨ b.

Propozitia 3.2.15 Intr-o latice L cu 0 si 1 urmatoarele afirmatii sunt echivalente,pentru orice x ∈ L:

(1) x ∧ 0 = 0,(2) x ∨ 0 = x

si, dual, urmatoarele afirmatii sunt echivalente, pentru orice x ∈ L:(1’) x ∨ 1 = 1,(2’) x ∧ 1 = x.

Demonstratie. Intr-adevar, (1) si (2) sunt echivalente cu 0 ≤ x, iar (1’) si (2’)sunt echivalente cu x ≤ 1, pentru orice x ∈ L. 2

Notatie. Conform asociativitatii operatiilor ∧, ∨ dintr-o latice, vom puteanota:

n∧

i=1

xi = x1 ∧ x2 . . . ∧ xn = x1 ∧ (x2 ∧ . . . ∧ (xn−1 ∧ xn) . . .) = inf(x1, . . . , xn),

n∨

i=1

xi = x1 ∨ x2 . . . ∨ xn = x1 ∨ (x2 ∨ . . . ∨ (xn−1 ∨ xn) . . .) = sup(x1, . . . , xn).

Propozitia 3.2.16 Intr-o latice L, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), pentru orice x, y, z ∈ L,(ii) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z), pentru orice x, y, z ∈ L,(iii) (x ∨ y) ∧ z ≤ x ∨ (y ∧ z), pentru orice x, y, z ∈ L.

Demonstratie.(i) =⇒ (ii):

(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)(i)= [(a ∨ b) ∧ a] ∨ [(a ∨ b) ∧ c]

(L2)= [a ∧ (a ∨ b)] ∨ [(a ∨ b) ∧ c]

(L4)=

a∨ [(a∨b)∧c](L2)= a∨ [c∧ (a∨b)]

(i)= a∨ [(c∧a)∨ (c∧b)]

(L3)= [a∨ (c∧a)]∨ (c∧b)

(L2)=

[a ∨ (a ∧ c)] ∨ (c ∧ b)(L4)= a ∨ (c ∧ b)

(L2)= a ∨ (b ∧ c).

(ii) =⇒ (iii):

Deoarece z ≤ x ∨ z, rezulta (x ∨ y) ∧ z ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)(ii)= x ∨ (y ∧ z).

(iii) =⇒ (i):• Sa demonstram mai ıntai ca:

(3.5) a ∧ (b ∨ c) ≤ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).


Pe de o parte, avem ca:

(3.6) (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)(L2)= (a ∧ b) ∨ (c ∧ a)

(iii)

≥ [(a ∧ b) ∨ c] ∧ a.

Pe de alta parte, din (a ∧ b) ∨ c(L2)= c ∨ (b ∧ a)

(iii)

≥ (c ∨ b) ∧ a rezulta ca:

[(a∧ b)∨ c]∧ a ≥ [(c∨ b)∧ a]∧ a(L3)= (c∨ b)∧ (a∧ a)

(L1)= (c∨ b)∧ a

(L2)= a∧ (b∨ c),

adica avem:

(3.7) [(a ∧ b) ∨ c] ∧ a ≥ a ∧ (b ∨ c).

Din (3.2.2) si (3.7) rezulta (3.5).• Sa demonstram acum ca:

(3.8) a ∧ (b ∨ c) ≥ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

Deoarece a∧ b ≤ b si a∧ c ≤ c, rezulta ca (a∧ b)∨ (a∧ c) ≤ b∨ c si de aici obtinemca:

(3.9) a ∧ [(a ∧ b) ∨ (a ∧ c)] ≤ a ∧ (b ∨ c).

Pe de alta parte, deoarece a∧b ≤ a si a∧c ≤ a, rezulta ca (a∧b)∨(a∧c) ≤ a∨a(L1)= a

si de aici obtinem ca:

(3.10) a ∧ [(a ∧ b) ∨ (a ∧ c)] = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

Din (3.9) si (3.10) rezulta (3.8). 2

Definitia 3.2.17 O latice L este distributiva daca una din conditiile echivalente(i) - (iii) din Propozitia 3.2.16 are loc.

Exemplele 3.2.18 (Exemple de latici distributive)(1) Orice lant (L,≤) este o latice distributiva, ın care:

x ∧ y ={

x, daca x ≤ yy, daca y ≤ x

si x ∨ y ={

y, daca x ≤ yx, daca y ≤ x.

(2) Daca X este o multime, atunci (P(X),⊆) este o latice marginita, distribu-tiva.

(3) Fie n un numar natural, n ≥ 2, si Dn multimea divizorilor naturali ai lui n.Definim o relatie binara ¹ pe Dn astfel:

x ¹ ydef.⇐⇒ x | y

(x divide pe y). Atunci (Dn,¹) este o latice marginita (cu prim element 1 si ultimelement n), distributiva, ın care:x ∧ y = (x, y) (cel mai mare divizor comun al lui x si y),x ∨ y = [x, y] (cel mai mic multiplu comun al lui x si y).

(4) (Z,≤) este o latice distributiva, fara prim si ultim element.(5) Laticea marginita L2×2 din figura 3.5 si laticile marginite din figura 3.8 sunt

distributive.

3.2. LATICI 59

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

•

•0

d

a b

c

1

L2,2×2,2

•SSZ

ZZZ

¶¶

½½

½½• •• •¶¶Z

ZZZS

S½½

½½

•

•

•

L8

Figura 3.8: Latici distributive

Definitiile 3.2.19(i) Fie L = (L,∧,∨, 0, 1) o latice marginita. Un element a ∈ L se numeste

complementat daca exista cel putin un element b ∈ L, numit complementul lui a,astfel ıncat a ∧ b = 0 si a ∨ b = 1.

(ii) O latice marginita este complementata daca orice element al sau este com-plementat (admite un complement).

Lema 3.2.20 Intr-o latice marginita, distributiva, orice element poate avea celmult un complement (altfel spus, complementul unui element, daca exista, esteunic).

Demonstratie. Fie a ∈ L si sa presupunem ca are doua complemente, b si c,adica:a ∧ b = 0, a ∨ b = 1 si a ∧ c = 0, a ∨ c = 1.Atunci b = b ∧ 1 = b ∧ (a ∨ c) = (b ∧ a) ∨ (b ∧ c) = 0 ∨ (b ∧ c) = b ∧ c, si analog,c = c ∧ b, deci b = c. 2

Intr-o latice distributiva cu 0 si 1, vom nota cu a− sau cu ¬a complementul luia, atunci cand exista.

Exemplele 3.2.21 (Exemple de latici marginite care nu sunt distributive)(1) Consideram laticea marginita pentagon Lpentagon din figura 3.6. Se observa

ca a si b sunt complementele lui c, deci laticea nu este distributiva, conform Lemei3.2.20.

(2) Consideram laticea marginita diamant L¦ din figura 3.6. Se observa ca:- a, b sunt complementele lui c,- a, c sunt complementele lui b,- b, c sunt complementele lui a,deci laticea nu este distributiva, conform Lemei 3.2.20.


Propozitia 3.2.22 Orice latice care contine Lpentagon si/sau L¦ ca sublatici nueste distributiva.

Notatia 3.2.23 Fie L o latice marginita, distributiva.Notam cu C(L) multimea elementelor sale complementate.

Evident, {0, 1} ⊆ C(L).

Propozitia 3.2.24 Daca a, b ∈ C(L), atunci a ∧ b, a ∨ b ∈ C(L) si:

(a ∧ b)− = a− ∨ b−, (a ∨ b)− = a− ∧ b−.

Demonstratie. Pentru a demonstra prima egalitate, este suficient sa demonstramca:

(a ∧ b) ∧ (a− ∨ b−) = 0, (a ∧ b) ∨ (a− ∨ b−) = 1.

Intr-adevar, (a ∧ b) ∧ (a− ∨ b−) = [(a ∧ b) ∧ a−] ∨ [(a ∧ b) ∧ b−] = 0 ∨ 0 = 0 si(a ∧ b) ∨ (a− ∨ b−) = [a ∨ (a− ∨ b−)] ∧ [b ∨ (a− ∨ b−)] = 1 ∨ 1 = 1.A doua egalitate se demonstreaza similar. 2

3.2.5 Morfisme de latici marginite

Definitiile 3.2.25· Fie L si L′ doua latici marginite, distincte sau nu. O functie f : L → L′ se

numeste morfism de latici marginite daca urmatoarele proprietati sunt verificate:pentru orice x, y ∈ L,(a) f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y),(b) f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y),(c) f(0) = 0, f(1) = 1.

· Un morfism de latici marginite se numeste izomorfism daca este o functiebijectiva.

· Un morfism de forma f : L → L se numeste endomorfism al lui L.· Un izomorfism de forma f : L → L se numeste automorfism al lui L.

Vom nota cu Ld(0,1) categoria laticilor distributive marginite si a morfismelorde astfel de latici.

Observatia 3.2.26 Orice morfism din Ld(0,1) este o functie izotona. Intr-adevar,pentru orice x, y ∈ L, x ≤ y ⇒ x ∧ y = x ⇒ f(x) ∧ f(y) = f(x) ⇒ f(x) ≤ f(y).

Exemplul 3.2.27 (Exemplu de automorfism)Fie laticea marginita L = L2,2×2,2 din figura 3.8. Ea are doua automorfisme,

f1 si f2: f1 este morfismul identic 1L, iar f2 este dat de: f2(0) = 0, f2(d) = d,f2(a) = b, f2(b) = a, f2(c) = c, f2(1) = 1. Argumentul are la baza observatia cadaca A este o latice distributiva cu 0 si 1 si f : A → A este un automorfism, atuncipentru orice x, y ∈ A, x < y daca si numai daca f(x) < f(y).

Exercitiul 3.2.28 Sa se determine toate endomorfismele pentru laticea din exem-plul precedent.

Capitolul 4

Algebre Boole

In prima sectiune, o algebra Boole este definita ca o latice distributiva,marginita si complementata. Sunt trecute ın revista unele proprietati elementaresi unele exemple de algebre Boole. Apar si doua operatii noi (implicatia booleana→ si echivalenta booleana ↔), definite ın termenii operatiilor primare ∨,∧ si −.Sectiunea a doua prezinta o definitie echivalenta a notiunii de algebra Boole, ıncare implicatia si negatia sunt operatii de baza. Aceasta definitie este inspirata ınmod direct de axiomatizarea calculului propozitional (vedeti Capitolul 7).

Sectiunea 3 pune algebrele Boole ıntr-o corespondenta bijectiva cu ineleleBoole, iar ın sectiunea 4 sunt studiate subalgebrele unei algebre Boole si mor-fismele booleene. Filtrele si congruentele ıntr-o algebra Boole sunt prezentate ınsectiunea 5. Intre filtre si congruente este stabilita o corespondenta bijectiva,ceea ce conduce la notiunea de algebra Boole cat asociata unui filtru.

Teorema de reprezentare a lui Stone este demonstrata ın sectiunea 6. Acestrezultat ocupa un rol central ın teoria algebrelor Boole. Prin el, calculul booleaneste redus la algebra Boole standard (canonica) {0, 1}. Demonstratia sa se bazeazape proprietatile ultrafiltrelor.

Algebrele Boole atomice si structura algebrelor Boole finite fac obiectul sectiunii7. Sectiunea 8 este consacrata teoriei dualitatii algebrelor Boole. MultimeaSpec(B) a ultrafiltrelor unei algebre Boole B este ınzestrata cu o structura canonicade spatiu topologic. Spec(B) este un spatiu Hausdorff compact, zero-dimensional(= spatiu Boolean). Teorema de dualitate a lui Stone [114] arata ca spatiile Boolesi aplicatiile continue sunt duale algebrelor Boole si morfismelor booleene. Acestrezultat are un impact considerabil asupra unor teme fundamentale ale matematicii(vedeti [65]).

In sectiunea 9, este demonstrata teorema lui Sikorski-Halmos [110]: algebreleBoole complete coincid cu algebrele Boole injective.

In sectiunea 10, este ınceput studiul notiunilor fuzzy ıntr-o algebra Boole custudierea filtrelor fuzzy.

61

62 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BOOLE

4.1 Algebre Boole: definitie, exemple, proprietati

4.1.1 Definitia 1 a algebrelor Boole

Urmatoarea definitie a algebrelor Boole este cel mai des ıntalnita.

Definitia 4.1.1 O algebra Boole este o latice distributiva, cu prim si ultim element,complementata, adica este o structura

B = (B,∧,∨,−, 0, 1)

care verifica urmatoarele proprietati (axiome): oricare ar fi x, y, z ∈ B,(B1) x ∨ x = x, x ∧ x = x (idempotenta lui ∨, ∧),(B2) x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x (comutativitatea lui ∨, ∧),(B3) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z (asociativitatea lui

∨, ∧),(B4) x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x (absorbtia),(B5) x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z), x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) (distributivitatea

lui ∨ fata de ∧ si invers),(B6) x ∨ 0 = x, x ∧ 1 = x (adica 0 ≤ x ≤ 1),(B7) x ∨ x− = 1, x ∧ x− = 0.

Observatia 4.1.2 Exista si alte definitii ale algebrei Boole, echivalente cu aceasta.Se observa ca ın definitia data, setul de axiome (B1)-(B7) corespunde celor 7 tau-tologii din sistemulA1 de tautologii din Capitolul ”Calculul propozitiilor (prezentareneformalizata)”. Definitii echivalente se obtin, de exemplu, daca se considera ax-iomele corespunzatoare sistemelor A2 - A5 de tautologii; definitia echivalenta core-spunzatoare sistemului A2 de tautologii este prezentata ıntr-o sectiune urmatoareın acest capitol. Alte definitii echivalente pot fi gasite ın [88].

4.1.2 Proprietati ale algebrelor Boole

Propozitia 4.1.3 In orice algebra Boole B = (B,∧,∨,−, 0, 1) avem urmatoareleproprietati: pentru orice x, y, x′, y′ ∈ B,

(B8) (x ∨ y)− = x− ∧ y−, (x ∧ y)− = x− ∨ y− (legile De Morgan),(B9) (x−)− = x (Principiul contradictiei) (proprietatea de dubla negatie

(DN)),(B10) x ≤ y ⇐⇒ y− ≤ x−,(B11) x ≤ y ⇐⇒ x ∧ y− = 0,(B12) x ≤ y si x′ ≤ y′ implica x ∨ x′ ≤ y ∨ y′ si x ∧ x′ ≤ y ∧ y′,(B13) x ≤ y ⇐⇒ x ∧ y− = 0 ⇐⇒ x− ∨ y = 1.

Demonstratie.(B8): Pentru a demonstra prima lege De Morgan, trebuie sa demonstram ca:

(x ∨ y) ∨ (x− ∧ y−) = 1 si (x ∨ y) ∧ (x− ∧ y−) = 0.

4.1. ALGEBRE BOOLE: DEFINITIE, EXEMPLE, PROPRIETATI 63

Intr-adevar,(x ∨ y) ∨ (x− ∧ y−) = (x ∨ y ∨ x−) ∧ (x ∨ y ∨ y−) = 1 ∧ 1 = 1 si(x∨y)∧(x−∧y−) = (x∧x−∧y−)∨(y∧x−∧y−) = 0∨0 = 0. La fel se demonstreazapartea a doua a lui (B8).

(B9) este o alta interpretare a lui (B7).(B10): x ≤ y ⇔ x ∨ y = y ⇔ (x ∨ y)− = y− ⇔ x− ∧ y− = y− ⇔ y− ≤ x−,

conform (B9), (B8).(B11) ” ⇒”: x ≤ y ⇔ x ∨ y = y ⇔ (x ∨ y)− = y− ⇔ x− ∧ y− = y−; rezulta ca

x ∧ y− = x ∧ (x− ∧ y−) = 0; deci x ≤ y ⇒ x ∧ y− = 0.”⇐”: daca x ∧ y− = 0, atunci x = x ∧ 1 = x ∧ (y ∨ y−) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ y−) =(x ∧ y) ∨ 0 = x ∧ y, deci x ≤ y.

(B12): (x ≤ y si x′ ≤ y′) ⇔ (x ∨ y = y si x′ ∨ y′ = y′) ⇒ (x ∨ x′) ∨ (y ∨ y′) =(x ∨ y) ∨ (x′ ∨ y′) = y ∨ y′, adica x ∨ x′ ≤ y ∨ y′. La fel se demonstreaza partea adoua a lui (B12).

(B13): x ≤ y ⇒ x ∧ y− ≤ y ∧ y− = 0 ⇒ x ∧ y− = 0.x∧y− = 0 ⇒ y = y∨0 = y∨(x∧y−) = (x∨y)∧(y∨y−) = (x∨y)∧1 = x∨y ⇒ x ≤ y.A doua parte se demonstreaza similar. 2

Observatia 4.1.4 Din (B8) si (B9) rezulta urmatoarea legatura foarte importantaıntre ∧ si ∨:

(4.1) x ∨ y = (x− ∧ y−)−, x ∧ y = (x− ∨ y−)−.

Lema 4.1.5 Pentru orice x, y ∈ B,

x ∧ y = 1 ⇔ (x = 1 si y = 1).

Demonstratie. Daca x ∧ y = 1, atunci deoarece x ∧ y ≤ x, y, rezulta ca 1 ≤ x, y,deci x = 1 = y. Daca x = y = 1, atunci evident, x ∧ y = 1. 2

4.1.3 Implicatia si echivalenta booleana. Dualele lor

Definitiile 4.1.6 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole.· Se defineste operatia→ ca implicatia asociata lui ∧, numita implicatia booleana,

astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x → y = x →L ydef.= (x ∧ y−)− = x− ∨ y.

· Se defineste operatia ↔, numita echivalenta booleana, astfel: pentru oricex, y ∈ B,

x ↔ y = x ↔L ydef.= (x → y) ∧ (y → x).

Algebra Boole, fiind o structura care are proprietatea dublei negatii (DN) (pro-prietatea (B9)), mai are o implicatie, →R, numita duala implicatiei →, care esteasociata lui ∨, si deci mai are si o alta echivalenta, ↔R, definite astfel:


Definitiile 4.1.7 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole.· Se defineste operatia →R ca implicatia asociata lui ∨, astfel: pentru orice

x, y ∈ B,x →R y

def.= (x ∨ y−)− = x− ∧ y.

· Se defineste operatia ↔R astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x ↔R ydef.= (x →R y) ∨ (y →R x).

In notatiile facute, L vine de la ”left”, iar R vine de la ”right”; despre algebre(si operatii) ale logicii de stanga (left algebras) si de dreapta (right algebras) vedeti[60] si [62].

Am vazut ca ∧ si ∨ sunt legate prin (4.1). Vom demonstra ca si cele douaimplicatii (echivalente) asociate sunt legate prin acelasi tip de legatura, si anume:

• Cele doua implicatii →=→L si →R sunt legate una de cealalta astfel:

(4.2) x →R y = (x− → y−)−, x → y = (x− →R y−)−.

Intr-adevar,(x− → y−)− = [(x− ∧ (y−)−)−]− = x− ∧ y = x →R y si(x− →R y−)− = [(x− ∨ (y−)−)−]− = x− ∨ y = x → y.

• Cele doua echivalente ↔=↔L si ↔R sunt legate una de cealalta prin:

(4.3) x ↔R y = (x− ↔ y−)−, x ↔ y = (x− ↔R y−)−.

Intr-adevar,(x− ↔ y−)− = [(x− → y−)∧ (y− → x−)]− = (x− → y−)−∨ (y− → x−)− = (x →R

y) ∨ (y →R x) = x ↔R y si(x− ↔R y−)− = [(x− →R y−)∨(y− →R x−)]− = (x− →R y−)−∧(y− →R x−)− =(x → y) ∧ (y → x) = x ↔ y.

• Avem, pentru orice x ∈ B,

x− = x → 0 = x →R 1,

adica negatia asociata lui → coincide cu negatia asociata lui →R (x− = x−L

=x → 0 = x →L 0 si x−

R

= x →R 1 si x− = x−R

).Intr-adevar, x → 0 = x− ∨ 0 = x− si x →R 1 = x− ∧ 1 = x−.

In consecinta, spunem ca implicatiile→ si→R sunt duale una alteia, ca echivalentele↔ si ↔R sunt duale una alteia si ca negatia − este ”autoduala”.

Urmatoarele proprietati ale implicatiei si echivalentei booleene vor fi folositemai departe:

4.1. ALGEBRE BOOLE: DEFINITIE, EXEMPLE, PROPRIETATI 65

Propozitia 4.1.8 x → y = 1 daca si numai daca x ≤ y, pentru orice x, y ∈ B.

Demonstratie. Daca x → y = 1, adica x− ∨ y = 1, atunci y = y ∨ 0 =y ∨ (x ∧ x−) = (y ∨ x) ∧ (y ∨ x−) = (y ∨ x) ∧ 1 = y ∨ x, adica x ≤ y. Invers, dacax ≤ y, atunci 1 = x− ∨ x ≤ x− ∨ y = x → y; rezulta ca x → y = 1. 2

Propozitia 4.1.9 x ↔ y = 1 daca si numai daca x = y, pentru orice x, y ∈ B.

Demonstratie. x ↔ y = 1 ⇔ (x → y) ∧ (y → x) = 1 ⇔ (x → y = 1 si y → x =1) ⇔ (x ≤ y si y ≤ x) ⇔ x = y, conform Lemei 4.1.5. 2

Exercitiile 4.1.10(1) Sa se transcrie toate tautologiile din sistemele A2 - A5 de tautologii ın

proprietati ale algebrei booleene B si sa se demonstreze ca, de exemplu, (G1) devine:x → (y → x) = 1, pentru orice x, y ∈ B.

(2) De asemenea, sa se demonstreze urmatoarele proprietati: pentru oricex, y, z ∈ B,(a) (x → (x → y)) → (x → y) = 1,(b) (x → y) → ((y → z) → (x → z)) = 1,(c) (x ↔ y) → (x → y) = 1,(d) (x → y) → ((y → x) → (x ↔ y)) = 1,(e) x− ↔ y− = x ↔ y,(f) (x ↔ y) ↔ z = x ↔ (y ↔ z).

De exemplu, (b) se demonstreaza astfel: este suficient sa demonstram ca x →y ≤ (y → z) → (x → z). Un calcul simplu arata ca: (y → z) → (x → z) =(y− ∨ z)− ∨ x− ∨ z = (y ∧ z−) ∨ x− ∨ z = y ∨ x− ∨ z, de unde x → y = x− ∨ y ≤y ∨ x− ∨ z = (y → z) → (x → z).

(3) Sa se transcrie de asemenea tautologiile (P10) - (P24) ın proprietati alealgebrei Boole B si sa se demonstreze; de exemplu, (P11) devine: x ↔ x = 1 sau,echivalent, conform Propozitiei 4.1.8, x = x, pentru orice x ∈ B.

4.1.4 Exemple de algebre Boole

Exemplele 4.1.11Exemplul 1.

Daca X este o multime, atunci (P(X),∩,∪,CX , ∅, X) este o algebra Boole (vedetidetalii ın capitolul 5).

Exemplul 2. (Algebra Boole standard)Algebra L2 = (L2 = {0, 1} ⊂ R,∧ = min,∨ = max,−, 0, 1), cu x− = 1− x, pentrux ∈ L2, este o algebra Boole, numita algebra Boole standard (canonica).

Examplul 3. (Rombul)MultimeaL2×2 = {0, a, b, 1} ∼= L2 × L2 = L2

2 = {0, 1} × {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},organizata ca latice ca ın diagrama Hasse din figura 4.1 si cu negatia − definita pe


•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a b

1

Figura 4.1: Algebra Boole L2×2 (rombul)

prima coloana a tabelei implicatiei booleene (x− = x → 0, pentru orice x), este oalgebra Boole, notata L2×2, numita si romb.

L2×2

→ 0 a b 10 1 1 1 1a b 1 b 1b a a 1 11 0 a b 1

Exemplul 4. (Cubul)MultimeaL2×2×2 = {0, a, b, c, d, e, f, 1} ∼= L2 × L2 × L2 = L3

2 = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} ={(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)},organizata ca latice ca ın diagrama Hasse din figura 4.2 si cu negatia definita ca ınprima coloana a tabelei urmatoare a implicatiei booleene, →, este o algebra Boole,notata L2×2×2, numita si cub.

cc

ccc

##

###

##

###

cc

ccc

cc

ccc

##

###

##

###

cc

ccc

•

• ••

◦

◦ ◦◦

0

1

a db

c fe

Figura 4.2: Algebra Boole L2×2×2 (cubul)

4.2. O DEFINITIE ECHIVALENTA A ALGEBRELOR BOOLE 67

L2×2×2

∨ 0 a b c d e f 10 0 a b c d e f 1a a a c c e e 1 1b b c b c f 1 f 1c c c c c 1 1 1 1d d e f 1 d e f 1e e e 1 1 e e 1 1f f 1 f 1 f 1 f 11 1 1 1 1 1 1 1 1

∧ 0 a b c d e f 10 0 0 0 0 0 0 0 0a 0 a 0 a 0 a 0 ab 0 0 b b 0 0 b bc 0 a b c 0 a b cd 0 0 0 0 d d d de 0 a 0 a d e d ef 0 0 b b d d f f1 0 a b c d e f 1

L2×2×2

→ 0 a b c d e f 10 1 1 1 1 1 1 1 1a f 1 f 1 f 1 f 1b e e 1 1 e e 1 1c d e f 1 d e f 1d c c c c 1 1 1 1e b c b c f 1 f 1f a a c c e e 1 11 0 a b c d e f 1

Exemplul 5.Alte exemple de algebre Boole sunt L2×2×2×2 etc.

Exemplul 6.Multimea evenimentelor asociate unei experiente aleatoare este o algebra Boole.

Exemplul 7.Daca X este un spatiu topologic, atunci familia B(X) a partilor simultan ınchisesi deschise ale lui X formeaza o algebra Boole.

Exemplul 8.Daca (L,∧,∨, 0, 1) este o latice distributiva cu prim si ultim element, atunci multimeaC(L) a elementelor complementate ale lui L este o algebra Boole.

Exemplul 9.Orice produs direct de algebre Boole are o structura canonica de algebra Boole(operatiile se definesc pe componente). In particular, daca X este o multime nevida,atunci LX

2 = {f : X −→ {0, 1}} este o algebra Boole.

4.2 O definitie echivalenta a algebrelor Boole

Continutul acestei sectiuni este preluat din [63].In mod uzual, am vazut ca algebrele Boole sunt definite ca algebre (B,∧,∨,−, 0, 1)

verificand axiomele (B1) - (B7).Prezentam o definitie echivalenta, a doua, a algebrelor Boole, motivata de sis-

temul de axiome al sistemului formal al calculului clasic al propozitiilor folosit ın


aceasta lucrare, capitolul 7 (vedeti, de asemenea, sistemul A2 de tautologii dinprezentarea neformalizata, capitolul 1):

(G1) ϕ → (ψ → ϕ),(G2) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)),(G3) (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ).

4.2.1 Definitia 2 a algebrelor Boole

Definitia 4.2.1 O algebra Boole este o structura (B,→,−, 1) , unde → este ooperatie binara, − este o operatie unara, 1 ∈ B, verificand urmatoarele axiome:pentru orice x, y, z ∈ B,(A1) x → (y → x) = 1,(A2) [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = 1,(A3) (y− → x−) → (x → y) = 1,(A4) daca x → y = 1 si y → x = 1, atunci x = y.

Vom demonstra ın aceasta subsectiune ca cele doua definitii sunt echivalente,deci ca urmatoarea teorema are loc:

Teorema 4.2.2(1) Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra verificand axiomele (B1) - (B7). Sa

definimα(B)

def.= (B,→,−, 1)


x → ydef.= (x ∧ y−)− = x− ∨ y.

Atunci α(B) verifica (A1) - (A4).(1’) Invers, fie B = (B,→,−, 1) o algebra verificand axiomele (A1) - (A4). Sa

definimβ(B)

def.= (B,∧,∨,−, 0, 1)


(4.4) x ∧ y = (x → y−)−, x ∨ y = (x− ∧ y−)− = x− → y,

(4.5) 0 = 1−.

Atunci β(B) verifica (B1) - (B7).(2) Aplicatiile α si β sunt mutual inverse.

Demonstratia va fi facuta ın trei subsectiuni:2. Axiomele (B1) - (B7) implica (A1) - (A4)3. Axiomele (A1) - (A4) implica (B1) - (B7)4. Aplicatiile α si β sunt mutual inverse.


4.2.2 Axiomele (B1) - (B7) implica (A1) - (A4)

In aceasta subsectiune, consideram structura de algebra Boole (B,∧,∨,−, 0, 1)cu axiomele (B1) - (B7) si vom demonstra ca (A1) - (A4) au loc.

Demonstratie.(A1): x → (y → x) = x− ∨ (y− ∨ x) = (x− ∨ x) ∨ y− = 1.(A2): [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] =

[x− ∨ (y− ∨ z)]− ∨ [(x− ∨ y)− ∨ (x− ∨ z)] =[x ∧ y ∧ z−] ∨ [(x ∧ y−) ∨ x− ∨ z] = [x ∧ y ∧ z−] ∨ [(x ∨ x− ∨ z) ∧ (y− ∨ x− ∨ z)] =[x ∧ y ∧ z−] ∨ [1 ∧ (y− ∨ x− ∨ z)] = [x ∧ y ∧ z−] ∨ [y− ∨ x− ∨ z] =[x ∧ y ∧ z−] ∨ [y ∧ x ∧ z−]− = 1.

(A3) (y− → x−) → (x → y) = (y ∨ x−)− ∨ (x− ∨ y) = (y− ∧ x) ∨ x− ∨ y =(y− ∨ x− ∨ y) ∧ (x ∨ x− ∨ y) = 1 ∧ 1 = 1.

(A4) daca x → y = 1 si y → x = 1, adica x ≤ y si y ≤ x, atunci x = y, conformantisimetriei lui ≤. 2

4.2.3 Axiomele (A1) - (A4) implica (B1) - (B7)

In aceasta subsectiune, consideram structura (B,→,−, 1) cu axiomele(A1) - (A4) si vom demonstra ca (B1) - (B7) au loc. Pentru aceasta, vom demonstramai multe proprietati intermediare.

Lema 4.2.3(MP) x = 1 si x → y = 1 implica y = 1.

Demonstratie. x = 1 si x → y = 1 implica 1 → y = 1.Pe de alta parte, din (A1), avem ca y → (1 → y) = 1, prin urmare y → 1 = 1.Apoi, din (A4), obtinem ca y = 1. 2

Propozitia 4.2.4 Urmatoarele proprietati au loc, pentru orice x, y, z ∈ B:(A5) x → 1 = 1,(A6) x → x = 1 (reflexivitatea),(A7) daca x → y = 1 si y → z = 1, atunci x → z = 1 (tranzitivitatea).

Demonstratie. (A se vedea [26], [87]):(A5): Deoarece din (A1) avem 1 → (x → 1) = 1, rezulta, din (MP), ca x →

1 = 1.(A6): Conform (A1), x → ((x → x) → x) = 1;

conform (A2), [x → ((x → x) → x)] → [(x → (x → x)) → (x → x)] = 1.Atunci din (MP), (x → (x → x)) → (x → x) = 1.Dar, conform (A1) din nou, x → (x → x) = 1. Rezulta, din (MP) din nou, cax → x = 1.

(A7): Fie x → y = 1 si y → z = 1.Deoarece y → z = 1, rezulta, conform (A5), ca x → (y → z) = 1.


Dar, conform (A2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = 1.Rezulta, aplicand (MP), ca (x → y) → (x → z) = 1.Deoarece x → y = 1, rezulta, prin (MP) din nou, ca x → z = 1. 2

Definitia 4.2.5 Sa definim pe B o relatie binara ≤ astfel: pentru orice x, y ∈ B,

(4.6) x ≤ ydef.⇐⇒ x → y = 1.

Atunci din (A6), (A4) si (A7) obtinem:(A6’) x ≤ x, pentru orice x ∈ B, adica ≤ este reflexiva,(A4’) daca x ≤ y si y ≤ x, atunci x = y, pentru orice x, y ∈ B, adica ≤ esteantisimetrica,(A7’) daca x ≤ y si y ≤ z, atunci x ≤ z, pentru orice x, y, z ∈ B, adica ≤ estetranzitiva.

Observatiile 4.2.61) Din (A6’), (A4’), (A7’), rezulta ca relatia binara ≤ pe B este o relatie de

ordine partiala.2) Proprietatea (A5) spune ca:

(A5’) x ≤ 1, pentru orice x ∈ B,adica 1 este cel mai mare element (ultimul element) al lui B.

Propozitia 4.2.7 Urmatoarele proprietati au loc, pentru orice x, y, z ∈ B:(A8) daca x ≤ y → z, atunci x → y ≤ x → z,(A9) x ≤ y → x,(A10) x ≤ y → z ⇐⇒ y ≤ x → z,(A11) y → z ≤ (x → y) → (x → z),(A12) x → y ≤ (y → z) → (x → z),(A13) daca x ≤ y, atunci y → z ≤ x → z,(A14) x → (y → z) = y → (x → z),(A15) daca x ≤ y, atunci z → x ≤ z → y.

Demonstratie. (A se vedea [26] si [87])(A8): Conform (A2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = 1;

daca x ≤ y → z, adica x → (y → z) = 1, atunci aplicand (MP), obtinem(x → y) → (x → z) = 1, adica x → y ≤ x → z.

(A9): rezulta direct din (A1).(A10): =⇒: daca x ≤ y → z, atunci din (A8), avem x → y ≤ x → z; dar din

(A9), y ≤ x → y; atunci din (A7’) obtinem y ≤ x → z.⇐=: rezulta prin simetrie.

(A11): Din (A2), avem x → (y → z) ≤ (x → y) → (x → z).Pe de alta parte, din (A9), avem y → z ≤ x → (y → z).Rezulta, aplicand (A7’), ca y → z ≤ (x → y) → (x → z), adica (A11) are loc.

(A12) rezulta din (A11), aplicand (A10).


(A13): Din (A12), x → y ≤ (y → z) → (x → z). Daca x ≤ y, adica x → y = 1,atunci din (A5’), obtinem ca (y → z) → (x → z) = 1, adica y → z ≤ x → z.

(A14) Din (A2), avem ca x → (y → z) ≤ (x → y) → (x → z).Pe de alta parte, deoarece din (A9) avem y ≤ x → y, rezulta, din (A13), ca avem(x → y → (x → z) ≤ y → (x → z).Prin urmare, din (A7’), obtinem ca x → (y → z) ≤ y → (x → z). Prin simetrie,obtinem de asemenea ca y → (x → z) ≤ x → (y → z). Prin urmare, conform(A4’), (A14) are loc.

(A15): Daca x ≤ y, adica x → y = 1, atunci din (A5), avem ca z → (x → y) =1.Pe de alta parte, din (A2), avem ca [z → (x → y)] → [(z → x) → (z → y)] = 1.Prin urmare, aplicand (MP), obtinem (z → x) → (z → y) = 1, adicaz → x ≤ z → y. 2

Propozitia 4.2.8 Urmatoarele proprietati au loc, pentru orice x, y ∈ B:(A16) y− → x− ≤ x → y,(A17) (a) x− ≤ x → y, (b) x ≤ x− → y,(A18) (x−)− ≤ x,(A19) x ≤ (x−)−,(A20) (x−)− = x.

Demonstratie.(A16): Urmeaza direct din (A3).(A17) (a): Din (A9), x− ≤ y− → x− si, din (A16), y− → x− ≤ x → y; prin

urmare, aplicand (A7’), obtinem x− ≤ x → y. (A17) (b) este echivalent cu (A17)(a), prin (A10).

(A18): Din (A9) si (A16) avem:(x−)− ≤ (((x−)−)−)− → (x−)− ≤ x− → ((x−)−)− ≤ (x−)− → x.Prin urmare, prin (A7’), obtinem (x−)− ≤ (x−)− → x, care prin (A8) ne da(x−)− → (x−)− ≤ (x−)− → x. Dar, prin (A6), (x−)− → (x−)− = 1, prin urmare,prin (A5’), obtinem (x−)− → x = 1, adica (x−)− ≤ x.

(A19): Din (A18), ((x−)−)− ≤ x−, adica ((x−)−)− → x− = 1.Pe de alta parte, din (A3), [((x−)−)− → x−] → [x → (x−)−] = 1.Prin urmare, aplicand (MP), x → (x−)− = 1, adica x ≤ (x−)−.

(A20): Din (A18), (x−)− ≤ x si din (A19), x ≤ (x−)−; prin urmare, prin (A4’),(x−)− = x. 2

Propozitia 4.2.9 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ B:(A21) x ≤ (x → y) → y,(A22) 1 → x = x.

Demonstratie.(A21): Din (A6’), x → y ≤ x → y este adevarata. Prin urmare, din (A10),

x ≤ (x → y) → y.


(A22): Conform (A4), trebuie sa demonstram ca:(a) x → (1 → x) = 1 si (b) (1 → x) → x = 1.Intr-adevar, (a) este adevarata conform (A1). Pentru a demonstra (b), sa ob-servam ca, din (A21), avem 1 ≤ (1 → x) → x, prin urmare, din (A5’), avem(1 → x) → x = 1, adica (b) este adevarata de asemenea. 2

Sa definim un nou element, 0, al lui B prin (4.5) si sa definim doua noi operatiipe B, ∧, ∨, prin (4.4).

Propozitia 4.2.10 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ B:(A23) x → y ≤ y− → x−,(A24) y− → x− = x → y,(A25) 0− = 1,(A26) x ≤ y ⇐⇒ y− ≤ x−,(A27) 0 ≤ x,(A28) x− = x → 0,(A29) x → x− = x− sau, echivalent, x− → x = x,(A30) x− → y = y− → x,(A31) x → y− = y → x−,(A32) (x → y) → x = x (implicativa),(A33) x → (y → z) = (x ∧ y) → z,(A34) x ≤ y− → (x → y)−.

Demonstratie.(A23): Din (A20) si (A16), x → y = (x−)− → (y−)− ≤ y− → x−.(A24): Din (A16), y− → x− ≤ x → y si din (A23), x → y ≤ y− → x−; prin

urmare, prin (A4’), y− → x− = x → y.(A25): 0− = (1−)− = 1, din (A20).(A26): Din (A3), (y− → x−) → (x → y) = 1 si din (A23), (x → y) → (y− →

x−) = 1.Prin urmare, aplicand (MP), daca y− ≤ x−, adica y− → x− = 1, atunci x → y = 1,adica x ≤ y; daca x ≤ y, adica x → y = 1, atunci y− → x− = 1, adica y− ≤ x−.

(A27): Din (A26), (A25), 0 ≤ x ⇐⇒ x− ≤ 0− ⇐⇒ x− ≤ 1. Dar, din (A5’),x− ≤ 1 este adevarata, prin urmare 0 ≤ x.

(A28): Din (A24), (A25), (A22), avem x → 0 = 0− → x− = 1 → x− = x−.(A29): Din (A9), avem x− ≤ x → x−; din (A28), (A2), (A6), (A28), (A22),

avemx → x− = x → (x → 0) ≤ (x → x) → (x → 0) = 1 → x− = x−, adicax → x− ≤ x−, conform (A7’). Rezulta ca x → x− = x−, prin (A4’). Atunci saınlocuim x cu x−.

(A30): Din (A20), (A24), avem x− → y = x− → (y−)− = y− → x.(A31): Din (A20), (A24), obtinem x → y− = (x−)− → y− = y → x−.(A32): Conform (A4), trebuie sa demonstram:

(a) x → [(x → y) → x] = 1 si (b) [(x → y) → x] → x = 1.Intr-adevar, (a) rezulta din (A1). Pentru a demonstra (b), ıntai sa observam ca


(x → y) → x = x− → (x → y)−, din (A24). Dar, prin (A17)(a), avem x− ≤ x → y;din (A26), (A20), avem x− ≤ x → y ⇐⇒ (x → y)− ≤ (x−)− ⇐⇒ (x → y)− ≤ x.

Acum, prin (A15), obtinem x− → (x → y)− ≤ x− → x(A29)= x. Prin urmare,

(x → y) → x ≤ x.(A33): (x ∧ y) → z = (x → y−)− → z = z− → (x → y−) = x → (z− → y−) =

x → (y → z), prin (A24), (A20), (A14), (A24).(A34): Din (A21), (A16), avem x ≤ (x → y) → y = y− → (x → y)−. 2

Propozitia 4.2.11 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ B:(A35) (x ∧ y)− = x− ∨ y− (lege De Morgan),(A36) (x ∨ y)− = x− ∧ y− (lege De Morgan).

Demonstratie.(A35): (x ∧ y)− = ((x → y−)−)− = x → y− si x− ∨ y− = (x−)− → y− = x →

y−, din (A20).(A36): (x ∨ y)− = (x− → y)− si x− ∧ y− = (x− → (y−)−)− = (x− → y)−, din

(A20). 2

Suntem acum ın masura sa demonstram ca (B1) - (B7) sunt ındeplinite.Demonstratie.(B1): x ∨ x = x ⇐⇒ x− → x = x, conform (A29).

x ∧ x = x ⇐⇒ (x → x−)− = x si din (A29), (A20), (x → x−)− = (x−)− = x.(B2): x ∨ y = y ∨ x ⇐⇒ x− → y = y− → y, conform (A30).

x ∧ y = y ∧ x ⇐⇒ (x → y−)− = (y → x−)−, conform (A31).(B3): x ∨ (y ∨ z) = x ∨ (y− → z) = x− → (y− → z).

(x ∨ y) ∨ z = z ∨ (x ∨ y) = z− → (x ∨ y) = z− → (x− → y), din (B2), (A30).Dar, x− → (y− → z) = x− → (z− → y) = z− → (x− → y), din (A30), (A14).x ∧ (y ∧ z) = x ∧ (y → z−)− = (x → (y → z−))−, din (A20).(x∧ y)∧ z = z ∧ (x → y−)− = (z → (x → y−))− = (x → (z → y−))− = (x → (y →z−))−, prin (B2), (A20), (A14), (A31).

(B4): x ∨ (x ∧ y) = (x ∧ y) ∨ x = (x → y−) → x = x, din (B2), (A20), (A32).x ∧ (x ∨ y) = (x ∨ y) ∧ x = (x− → y) ∧ x = ((x− → y) → x−)− = (x−)− = x, din(B2), (A32).

Sa observam ca din (B1) - (B4) rezulta ca (B,≤) este o latice; prin urmare,x ∧ y ≤ x ≤ x ∨ y, iar a ≤ b si a′ ≤ b′ implica a ∧ a′ ≤ b ∧ b′, a ∨ a′ ≤ b ∨ b′.

(B5): Conform (A4’), trebuie sa demonstram:(a) (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z si (b) (x ∨ y) ∧ z ≤ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z).Intr-adevar, pentru a demonstra (a): deoarece x ∧ z ≤ z si y ∧ z ≤ z, atunci(x∧z)∨(y∧z) ≤ z si deoarece x∧z ≤ x si y∧z ≤ y, atunci (x∧z)∨(y∧z) ≤ x∨y;astfel, (a) are loc.Pentru a demonstra (b), mai ıntai sa demonstram

(4.7) x ∨ y ≤ z → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)].


Intr-adevar, deoarece z → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)] = z → [(z → x−) → (y → z−)−](A14)=

(z → x−) → [z → (y → z−)−], atunci (4.7) este echivalent cu

(4.8) x ∨ y ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−].

Din (A34), avem

(4.9) y ≤ z → (y → z−)−.

Din (4.9), prin (A15), obtinem ca (z → x−) → y ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−]si din (A9) avem y ≤ (z → x−) → y; rezulta, prin (A7’), ca

(4.10) y ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−].

Din (A11), avemx− → (y → z−)− ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−] si din (A9), (A16), avemx ≤ (y → z−) → x = x− → (y → z−)−.Rezulta, prin (A7’), ca

(4.11) x ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−].

Din (4.10) si (4.11), obtinem (4.8), deci (4.7).Acum, deoarece (4.7) ınseamna ca (x ∨ y) → (z → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)]) = 1, rezulta,prin (A33), ca[(x ∨ y) ∧ z] → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)] = 1, adica (b) are loc.

(B6): x ∨ 0 = x− → 0 = (x−)− = x si x ∧ 1 = (x → 1−)− = (x → 0)− =(x−)− = x.

(B7): x ∨ x− = x− → x− = 1 si x ∧ x− = (x → x)− = 1− = 0. 2

4.2.4 Aplicatiile α si β sunt mutual inverse

Fie

(B,∧,∨,−, 0, 1) α−→ (B,→,−, 1)β−→ (B,

∧,∨

,−,0, 1)

Atunci pentru orice x, y ∈ B, avem:x

∧y = (x → y−)− = (x− ∨ y−)− = x ∧ y,

x∨

y = x− → y = (x−)− ∨ y = x ∨ y,0 = 1− = 0,deci β ◦ α = 1(B,∧,∨,−,0,1).

Invers, fie

(B,→ −, 1)β−→ (B,∧,∨,−, 0, 1) α−→ (B,⇒,−, 1)

Atunci pentru orice x, y ∈ B, avem:x ⇒ y = x− ∨ y = (x−)− → y = x → y,deci α ◦ β = 1(B,→,−,1).

Cu aceasta, demonstratia Teoremei 4.2.2 s-a terminat. 2


Observatiile 4.2.12(i) Aceasta a fost o demonstratie directa ca o algebra (A,→,−, 1) cu axiomele

(A1) - (A4) este o algebra Boole. Dar exista si demonstratiile urmatoare:(ii) Din (A1), (A2), (A3), (B,→, 1) este o algebra Hilbert [26]; din (4.5), (A27),

(A20), ea este o algebra Hilbert marginita care satisface proprietatea dublei negatii((x−)− = x), prin urmare este o algebra Boole, conform [14].

(iii) Din (A12), (A21), (A6’), (A5’), (A4’), (4.6), (B,≤,→, 1) este o algebraBCK-de stanga, rasturnata [60], [61], [62]; din (A32), ea este implicativa (vedeti[64]); prin urmare, din (4.5), (A27), (B,≤,→, 0, 1) este o algebra BCK-de stanga,rasturnata, implicativa, marginita, deci este o algebra Boole, conform [64].

4.2.5 Principiul dualitatii pentru algebre Boole

Principiul dualitatii pentru algebre Boole se formuleaza ın functie de definitiafolosita a algebrelor Boole.

- Daca se foloseste Definitia 1 (ca structura (B,∧,∨,−, 0, 1) verificand axiomele(B1) - (B7)), atunci Principiul dualitatii pentru algebre Boole rezulta din principiuldualitatii pentru latici:

”orice enunt cu privire la algebra Boole (B,∧,∨,−, 0, 1) ramane valabil dacapeste tot ın cuprinsul sau schimbam pe ∧ cu ∨, pe ∨ cu ∧, pe 0 cu 1 si pe 1 cu 0”.

Structura (B,∨,∧,−, 1, 0) astfel obtinuta este tot o algebra Boole, numita al-gebra Boole duala a lui (B,∧,∨,−, 0, 1). Enuntul (definitie, propozitie, teoremaetc.) astfel obtinut se numeste enuntul (definitie, propozitie, teorema etc.) dual alenuntului initial.

- Daca se foloseste Definitia 2 (ca structura (B,→,−, 1) verificand axiomele(A1) - (A4)), atunci Principiul dualitatii pentru algebre Boole este:

”orice enunt cu privire la algebra Boole (B,→,−, 1) ramane valabil daca pestetot ın cuprinsul sau schimbam pe → cu →R (vedeti (4.2)) si pe 1 cu 0 (0 = 1−)”.

Structura (B,→R,−, 0) astfel obtinuta este tot o algebra Boole, numita algebraBoole duala a lui (B,→ −, 1). Enuntul (definitie, propozitie, teorema etc.) astfelobtinut se numeste enuntul (definitie, propozitie, teorema etc.) dual al enuntuluiinitial.

Avem deci urmatoarea definitie 2 duala:

Definitia 4.2.13 [63], [62]O algebra Boole este o structura

B = (B,→R,−, 0)

verificand urmatoarele axiome: pentru toti x, y, z ∈ B,(A1-R) x →R (y →R x) = 0,


(A2-R) [x →R (y →R z)] →R [(x →R y) →R (x →R z)] = 0,(A3-R) (y− →R x−) →R (x →R y) = 0,(A4-R) x →R y = 0 si y →R x = 0 implica x = y.

Teorema duala Teoremei 4.2.2 are loc.

4.3 Inele Boole. Echivalenta cu algebrele Boole

Sa amintim urmatoarele definitii:

Definitiile 4.3.1· Se numeste semigrup sau monoid o algebra A = (A, ∗) de tip (2), unde A 6= ∅

si operatia ∗ este asociativa.· (A, ∗) se numeste semigrup comutativ sau abelian sau monoid comutativ sau

abelian daca operatia ∗ este comutativa.· Se numeste semigrup unitar sau monoid unitar o algebra A = (A, ∗, e) de

tip (2,0), unde (A, ∗) este semigrup si e este element neutru al operatiei ∗, adicax ∗ e = e ∗ x = x, pentru orice x ∈ A.

Exemplele 4.3.2 (Z, +, 0), (Z, ·, 1), (N,+, 0), (N, ·, 1) sunt semigrupuri comuta-tive, unitare.

Definitia 4.3.3 Se numeste grup o algebra G = (G, +,−, 0) - ın notatie aditiva - detip (2, 1, 0), astfel ca urmatoarele axiome sunt satisfacute: pentru toti x, y, z ∈ G,(g1) x + (y + z) = (x + y) + z,(g2) x + 0 = x = 0 + x,(g3) x + (−x) = 0 = (−x) + x.

In notatie multiplicativa, un grup este o algebra G = (G, ·,−1, 1).Sa observam ca ın unele materiale grupul este definit, echivalent, ca o algebra

(G, +, 0) - ın notatia aditiva - sau o algebra (G, ·, 1) - ın notatia multiplicativa.Grupul se zice comutativ sau abelian daca:

(g0) x + y = y + x, pentru toti x, y ∈ G.

Propozitia 4.3.4 Fie (G, +,−, 0) un grup. Atunci(g4) −(−x) = x, pentru toti x ∈ G,(g5) −0 = 0.

Definitia 4.3.5 Se numeste inel o algebra (A,+, ·,−, 0) de tip (2, 2, 1, 0), undeA 6= ∅ si:(a) (A,+,−, 0) este grup abelian,(b) (A, ·) este semigrup,(c) operatia · este distributiva fata de operatia +, adica pentru orice x, y, z ∈ A,

x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x.

4.3. INELE BOOLE. ECHIVALENTA CU ALGEBRELE BOOLE 77

Sa observam ca ın unele materiale inelul este definit, echivalent, ca o algebra(A, +, ·, 0), deoarece se considera definitia echivalenta a grupului ca o algebra(A, +, 0).

Un inel se numeste comutativ, daca si operatia de ınmultire · este comutativa.Un inel se numeste unitar, daca semigrupul (A, ·) este unitar; deci, un inel unitareste o algebra (A, +, ·,−, 0, 1).

4.3.1 Inele Boole

Definitia 4.3.6 Se numeste inel boolean sau inel Boole orice inel unitar A =

(A, +, ·,−, 0, 1) cu proprietatea ca x2 = x pentru orice x ∈ A, unde x2 notatie= x · x.

Lema 4.3.7 Fie A un inel Boole. Atunci pentru orice doua elemente x, y ∈ A,avem x + x = 0 si x · y = y · x.

Demonstratie. Din x+y = (x+y)2 = x2 +x ·y+y ·x+y2 = x+x ·y+y ·x+yrezulta x · y + y · x = 0. Luand y = x, se obtine x + x = x2 + x2 = 0.Pentru orice z ∈ A, vom avea z + z = 0, adica z = −z. Luand z = x · y, rezultax · y = −(x · y) = y · x. 2

4.3.2 Echivalenta algebre Boole - inele Boole

Teorema 4.3.81) Fie A = (A, +, ·,−, 0, 1) un inel Boole. Sa definim

β(A)def.= (A,∧,∨,−, 0, 1),

unde:x ∨ y

def.= x + y + x · y, x ∧ y

def.= x · y, x−

def.= x + 1.

Atunci β(A) este o algebra Boole.1’) Invers, fie A = (A,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. Sa definim:

ρ(A)def.= (A, +, ·,−, 0, 1),

unde:x + y

def.= (x ∧ y−) ∨ (x− ∧ y), x · y def.

= x ∧ y, −xdef.= x.

Atunci ρ(A) este un inel Boole.2) Aplicatiile β si ρ sunt mutual inverse.

Demonstratie.(1): Sa demonstram, de exemplu, asociativitatea operatiei ∨:

(x∨y)∨z = (x+y+x·y)+z+(x+y+x·y)·z = x+y+z+x·y+y ·x+z ·x+x·y ·z =. . . = x ∨ (y ∨ z).


Vom mai demonstra ca x + 1 verifica proprietatile complementului:x∨ (x+1) = x+x+1+x · (x+1) = 2x+1+x2 +x = 0+1+ (x+x) = 1+0 = 1,

unde 2xnotatie

= x + x, six ∧ (x + 1) = x · (x + 1) = x2 + x = x + x = 0.

(1’): Sa verificam asociativitatea operatiei +:(a + b) + c = [((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b)) ∧ c−] ∨ [((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b))− ∧ c];calculam separat:((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b)) ∧ c− = (a ∧ b− ∧ c−) ∨ (a− ∧ b ∧ c−) si((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b))− ∧ c = ((a− ∨ b) ∧ (a ∨ b−)) ∧ c =[(a ∧ a−) ∨ (a− ∧ b−) ∨ (a ∧ b) ∨ (b ∧ b−)] ∧ c =((a ∧ b) ∨ (a− ∧ b−)) ∧ c = (a ∧ b ∧ c) ∨ (a− ∧ b− ∧ c).Inlocuind mai sus, se obtine:(a + b) + c = (a− ∧ b− ∧ c) ∨ (a− ∧ b ∧ c−) ∨ (a ∧ b− ∧ c−) ∨ (a ∧ b ∧ c).Expresia obtinuta este simetrica ın a, b, c, deci (a + b) + c = a + (b + c).

Verificarea celorlalte axiome ale inelului Boole se face similar.(2): Prin calcule. 2

Caz particular. Fie algebra Boole P(X) a partilor unei multimi X. Adunarea+ a inelului Boole asociat ρ(P(X)) este chiar diferenta simetrica: A4B =(A−B) ∪ (B −A), iar ınmultirea · este intersectia: A ∩B.

Exercitiul 4.3.9 Fie A = (A, +, ·,−, 0, 1) un inel comutativ si unitar. Un elemente ∈ A se numeste idempotent daca e2 = e. Sa notam cu B(A) multimea elementeloridempotente ale lui A. Pe B(A), sa definim operatia urmatoare: pentru oricee, f ∈ B(A),

e⊕ fdef.= e + f − 2(e · f).

Sa se arate ca (B(A),⊕, ·, 0, 1) este inel Boole.

4.4 Subalgebre, homomorfisme

4.4.1 Subalgebre. Exemple

Definitia 4.4.1 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. O submultime nevidaS a lui B se numeste subalgebra Boole (pe scurt, subalgebra) a lui B daca S esteınchisa la operatiile din B, adica daca sunt verificate axiomele urmatoare: pentruorice x, y ∈ A,(a) x, y ∈ S implica x ∧ y ∈ S,(b) x, y ∈ S implica x ∨ y ∈ S,(c) x ∈ S implica x− ∈ S,(d) 0 ∈ S, 1 ∈ S.

4.4. SUBALGEBRE, HOMOMORFISME 79

Observatiile 4.4.2(1) Fiecare din axiomele (a), (b), (d) rezulta din celelalte trei. Axioma (c) nu

rezulta din celelalte. Intr-adevar, consideram algebra Boole L22 si S = {(0, 0), (1, 0),

(1, 1)}. S verifica axiomele (a), (b), (d), dar nu este ınchisa la negatie.(2) Daca S este subalgebra Boole a lui (B,∧,∨,−, 0, 1), atunci (S,∧,∨,−, 0, 1)

este algebra Boole, unde am notat tot cu ∧,∨,− restrictiile operatiilor din B la S.

Exemplele 4.4.3(1) Daca B = (B,∧,∨,−, 0, 1) este o algebra Boole, atunci L2 = {0, 1} ⊂ B este

subalgebra a lui B.(2) Daca B este o algebra Boole, atunci LN

2 este subalgebra a lui BN.(3) Daca X este un spatiu topologic, atunci algebra Boole B(X) a partilor lui

X care sunt simultan ınchise si deschise este subalgebra a lui P(X).(4) L3

2 = L2 × L2 × L2 = {0, a, b, c, d, e, f, 1} are urmatoarele subalgebre:S1 = {0, 1}, S2 = {0, c, d, 1}, S3 = {0, b, e, 1}, S4 = {0, a, f, 1}, S5 = L3

2.

Exercitiul 4.4.4 Sa se scrie un program pentru determinarea tuturor subalge-brelor lui Ln

2 , n ≥ 2.

4.4.2 Homomorfisme. Exemple

Definitiile 4.4.5 Fie A = (A,∧A,∨A,−A , 0A, 1A) si B = (B,∧B ,∨B ,−B , 0B , 1B)doua algebre Boole.

· Un homomorfism, sau morfism, de algebre Boole sau boolean, de la A la B,este o functie f : A −→ B care satisface proprietatile urmatoare: pentru oricex, y ∈ A,(H1) f(x ∧A y) = f(x) ∧B f(y),(H2) f(x ∨A y) = f(x) ∨B f(y),(H3) f(x−A) = f(x)−B ,(H4) f(0A) = 0B , f(1A) = 1B .

· Un izomorfism de algebre Boole este un homomorfism de algebre Boole careeste bijectiv. Daca algebrele Boole A si B sunt izomorfe, atunci vom nota A ∼= B.

· Un endomorfism al algebrei Boole A este un homomorfism f : A −→ A.· Un automorfism al algebrei Boole A este un izomorfism f : A −→ A.

Observatiile 4.4.6(i) Fiecare din cele patru axiome (H1) - (H4) este implicata de celelalte trei.

De exemplu, (H4) este implicata de (H1) - (H3): ıntr-adevar, S 6= ∅ ınseamna caexista x ∈ S, deci x− ∈ S si deci x ∧ x− = 0 ∈ S si x ∨ x− = 1 ∈ S.

(ii) Un morfism boolean f : A −→ B verifica urmatoarele proprietati legate deimplicatia si echivalenta booleana: pentru orice x, y ∈ A,f(x →A y) = f(x) →B f(y), f(x ↔A y) = f(x) ↔B f(y).

(iii) Orice morfism de algebre Boole este o aplicatie izotona (pastreaza ordinea),adica,

x ≤A y ⇒ f(x) ≤B f(y).


Intr-adevar, x ≤A y ⇔ x ∨A y = y implica f(x ∨A y) = f(y) = f(x) ∨B f(y), adicaf(x) ≤B f(y).

Propozitia 4.4.7 Daca f : A −→ B este un homomorfism de algebre Boole si Seste o subalgebra Boole a lui A, atunci f(S) este o subalgebra Boole a lui B. Inparticular, imaginea, f(A), a lui A prin f este o subalgebra Boole a lui B.

Demonstratie. Imediat. 2

Vom nota cu Boole categoria algebrelor Boole si a morfismelor booleene.

Exemplele 4.4.8 (Exemple de morfisme booleene)(1) Fie X, Y doua multimi nevide si f : X −→ Y o functie oarecare. Functia

Φ : P(Y ) −→ P(X), definita de Φ(C) = f−1(C), pentru orice C ⊆ Y , este unmorfism boolean.

(2) Fie P(X) algebra Boole a partilor lui X. Consideram functiaΦ : P(X) −→ LX

2 , definita de Φ(A) = χA, pentru orice A ⊆ X (unde χA estefunctia caracteristica a lui A, vedeti capitolul 5). Atunci Φ este un izomorfismboolean.

(3) Rombul este izomorf cu L22.

(4) Cubul este izomorf cu L32.

(5) Ne propunem sa determinam automorfismele cubului.Intai, vom observa ca daca f : A −→ B este un izomorfism boolean, atunci: pentruorice x, y ∈ A,

x < y ⇐⇒ f(x) < f(y).

Atunci, daca f este un automorfism al cubului, vom avea f({a, b, c}) = {a, b, c}.Rezulta ca numarul de automorfisme ale cubului este 8 (= numarul de permutariale unei multimi cu 3 elemente). Morfismul identic este unul din cele 8. Sa vedemcum se determina unul din celelalte. Presupunem ca f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a.Atunci:f(x) = f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b) = b ∨ c = z,f(y) = f(a ∨ c) = f(a) ∨ f(c) = b ∨ a = x,f(z) = f(b ∨ c) = f(b) ∨ f(c) = c ∨ a = y.Bineınteles ca f(0) = 0 si f(1) = 1.

Exercitiile 4.4.9(1) Sa se determine (eventual printr-un program) toate automorfismele lui Ln

2 ,n ≥ 2.

(2) Sa se determine toate morfismele booleene de tipul: (a) f : L32 −→ L2, (b)

f : L32 −→ L2

2, (c) f : L22 −→ L3

2, (d) f : L32 −→ L3

2.

Observatia 4.4.10 Fie f : L −→ L′ un morfism din Ld(0,1) (latici distributivecu prim si ultim element). Daca x ∈ C(L), atunci f(x) ∈ C(L′), deci putem definiC(f) = f |C(L): C(L) −→ C(L′). Atunci C(f) este un morfism boolean. AsociereaL ; C(L), f ; C(f) defineste un functor contravariant C : Ld(0,1) −→ Boole.

4.5. ALGEBRE BOOLE CAT 81

Lema 4.4.11 Fie f : A −→ B un morfism boolean. Sunt echivalente afirmatiile:(1) f este injectiv,(2) Pentru orice x, y ∈ A, avem: x ≤ y ⇐⇒ f(x) ≤ f(y).

Demonstratie.(1) ⇒ (2): Daca f(x) ≤ f(y), atunci f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y) = f(x), deci

x ∧ y = x, de unde x ≤ y. Este evident ca x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).(2) ⇒ (1): Daca F (x) = f(y), atunci f(x) ≤ f(y) si f(y) ≤ f(x), de unde x ≤ y

si y ≤ x; rezulta x = y. 2

Lema 4.4.12 Fie f : A −→ B un morfism boolean. Sunt echivalente afirmatiile:(1) f este injectiv,(2) f−1(0) = {0},(3) f−1(1) = {1}.Demonstratie.

(1) ⇒ (3): f(x) = 1 = f(1) implica x = 1.(3) ⇒ (1): f(x) ≤ f(y) implica f(x → y) = f(x) → f(y) = 1 implica x → y = 1

implica x ≤ y. Aplicand Lema 4.4.11, rezulta ca f este injectiv.(1) ⇐⇒ (2) se demonstreaza analog. 2

Observatiile 4.4.13(i) Fie A, B doua inele Boole si β(A), β(B) algebrele Boole asociate. Daca

f : A −→ B este un morfism de inele unitare, atunci

β(f) = f : β(A) −→ β(B)

este un morfism boolean.(i’) Fie A, B doua algebre Boole si ρ(A), ρ(B) inelele Boole asociate. Daca

g : A −→ B este un morfism boolean, atunci

ρ(g) = g : ρ(A) −→ ρ(B)

este un morfism de inele unitare.ρ poate fi privit ca un functor de la categoria algebrelor Boole la categoria

inelelor Boole, iar β un functor de la categoria inelelor Boole la categoria algebrelorBoole. Functorii ρ si β stabilesc un izomorfism ıntre categoria algebrelor Boole sicategoria inelelor Boole.

4.5 Algebre Boole cat

4.5.1 Filtre (ideale) si sisteme deductive

Am vazut ca ∧ si ∨ sunt operatii duale si ca implicatiile → si →R sunt operatiiduale ıntr-o algebra Boole. Corespunzator lor, ın aceasta subsectiune, vom studianotiunile duale de filtru si ideal si notiunile duale de →-sistem deductiv si→R-sistem deductiv.


Definitiile 4.5.1 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole oarecare.(1) O submultime nevida F a lui B se numeste filtru daca pentru orice x, y ∈ B,

(F1) x, y ∈ F implica x ∧ y ∈ F ,(F2) x ∈ F , x ≤ y implica y ∈ F .

(1’) Dual, o submultime nevida I a lui B se numeste ideal daca pentru oricex, y ∈ B,(F1’) x, y ∈ I implica x ∨ y ∈ I,(F2’) x ∈ I, x ≥ y implica y ∈ I.

Observatiile 4.5.2(i) Din (F2) rezulta ca 1 ∈ F , deoarece orice x ∈ F verifica x ≤ 1.(ii) Pentru orice elemente x, y ∈ B, x, y ∈ F daca si numai daca x ∧ y ∈ F .

(i’) Din (F2’) rezulta ca 0 ∈ I, deoarece orice x ∈ I verifica x ≥ 0.(ii’) Pentru orice elemente x, y ∈ B, x, y ∈ I daca si numai daca x ∨ y ∈ I.

Unui filtru F i se asociaza idealul IF = {x− | x ∈ F}, iar unui ideal I i seasociaza filtrul FI = {x− | x ∈ I}. In acest fel, filtrele lui B sunt ın corespondentabiunivoca cu idealele lui B. Conform acestei observatii, vom studia numai filtreleunei algebre Boole; proprietatile idealelor se vor obtine prin dualizare.

Definitiile 4.5.3 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole oarecare.(1) Un →-sistem deductiv, sau simplu un sistem deductiv cand nu este pericol

de confuzie, al lui B este o submultime S ⊆ B care satisface proprietatile:(sd1) 1 ∈ S,(sd2) x ∈ S si x → y ∈ S implica y ∈ S.

(1’) Dual, un→R-sistem deductiv al lui B este o submultime S ⊆ B care satisfaceproprietatile:(sd1’) 0 ∈ S,(sd2’) x ∈ S si x →R y ∈ S implica y ∈ S.

Propozitia 4.5.4(1) Filtrele lui B coincid cu →-sistemele deductive ale lui B.(1’) Idealele lui B coincid cu →R-sistemele deductive ale lui B.

Demonstratie.(1): Fie F un filtru al lui B. Deci ∅ 6= F ⊆ B. Fie x ∈ F ; avem x ≤ 1, prin

urmare 1 ∈ F , conform (F2). Fie acum x, x → y ∈ F . Atunci x ∧ (x → y) ∈ F ,conform (F1); dar x ∧ (x → y) = x ∧ (x− ∨ y) = 0 ∨ (x ∧ y) = x ∧ y si x ∧ y ≤ y.Rezulta, aplicand (F2), ca y ∈ F . Deci, F este un →-sistem deductiv.

Invers, fie S un →-sistem deductiv al lui B. Din (sd1), avem ca 1 ∈ S, deciS este nevida. Fie x, y ∈ S. Avem ca y → (x → (x ∧ y)) = 1. Intr-adevar,y → (x → (x∧ y)) = y− ∨x− ∨ (x∧ y) = (y− ∨x− ∨x)∧ (y− ∨x− ∨ y) = 1∧ 1 = 1.Dar 1 ∈ S, prin urmare y → (x → (x ∧ y)) ∈ S. Rezulta ca x → (x ∧ y) ∈ S, din(sd2). De aici rezulta ca x ∧ y ∈ S; deci (F1) are loc. Fie acum x ∈ S si x ≤ y.


Atunci x → y = 1, conform Propozitiei 4.1.8. Dar 1 ∈ S, din (sd1), deci x → y ∈ S.Rezulta ca y ∈ S, din (sd2). Astfel, (F2) are loc de asemenea, deci S este un filtru.

(1’): prin dualizare. 2

4.5.2 Congruente. Corespondenta filtre - congruente

Definitia 4.5.5 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. O relatie de echivalenta∼ pe B se numeste congruenta a lui B daca este compatibila cu ∨, ∧, −, adicadaca pentru orice x, y, x′, y′ ∈ B,(C1) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x ∨ x′) ∼ (y ∨ y′),(C2) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x ∧ x′) ∼ (y ∧ y′),(C3) x ∼ y implica x− ∼ y−.

Observatiile 4.5.6(i) Conditia (C1) (sau (C2)) rezulta din celelalte doua.(ii) Daca ∼ este o congruenta a lui B, atunci:

(C4) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x → x′) ∼ (y → y′),(C5) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x ↔ x′) ∼ (y ↔ y′),(C4’) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x →R x′) ∼ (y →R y′),(C5’) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x ↔R x′) ∼ (y ↔R y′).

Daca algebra Boole este definita echivalent ca o structura (B,→,−, 1), atuncicongruenta se defineste echivalent ca o relatie de echivalenta compatibila cu →, −.

Daca algebra Boole este definita echivalent ca o structura (B,→R,−, 0), atuncicongruenta se defineste echivalent ca o relatie de echivalenta compatibilacu →R, −.

Propozitia 4.5.7 Filtrele unei algebre Boole B sunt ın corespondenta bijectiva cucongruentele lui B.

Demonstratie.• Fiecarui filtru F al lui B = (B,∨,∧,−, 0, 1) ıi asociem urmatoarea relatie

binara, ∼F , definita astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x ∼F ydef.⇐⇒ x ↔ y ∈ F.

Sa observam ca x ↔ y ∈ F ⇔ (x → y ∈ F si y → x ∈ F ).- Sa demonstram ca ∼F este o relatie de echivalenta pe B si ca este o congruenta

a lui B.Aratam ıntai ca ∼F este o relatie de echivalenta pe B:· Pentru orice x ∈ B, x ∼F x rezulta din x ↔ x = 1 ∈ F .· Pentru orice x, y ∈ B, x ∼F y implica y ∼F x, deoarece x ↔ y = y ↔ x.· Pentru orice x, y, z ∈ B care verifica x ∼F y si y ∼F z, deci x → y ∈ F ,y → x ∈ F , y → z ∈ F , z → y ∈ F , trebuie sa aratam ca x ∼F z.Sa stabilim inegalitatea

(4.12) (x → y) ∧ (y → z) ≤ x → z,


care va implica x → z ∈ F . Intr-adevar,(x → y)∧ (y → z) = (x− ∨ y)∧ (y− ∨ z) = (x− ∧ y−)∨ (y ∧ y−)∨ (x∧ z)∨ (y ∧ z) ≤x− ∨ z = x → z. Deci (4.12) are loc.Analog, rezulta z → x ∈ F ; deci x ∼F z. Deci, ∼F este o relatie de echivalenta peB.

- Sa demonstram (C1): fie x ∼F y si x′ ∼F y′, deci x → y ∈ F , y → x ∈ F ,x′ → y′ ∈ F , y′ → x′ ∈ F ; se observa ca:(x → y) ∧ (x′ → y′) = (x− ∨ y) ∧ (x′− ∨ y′) ≤ (x− ∨ y ∨ y′) ∧ (x′− ∨ y ∨ y′) =(x− ∧ x′−) ∨ y ∨ y′ = (x ∨ x′) → (y ∨ y′).Folosind aceasta inegalitate, se obtine (x∨ x′) → (y ∨ y′) ∈ F si analog, (y ∨ y′) →(x ∨ x′) ∈ F , deci (x ∨ x′) ∼F (y ∨ y′); astfel, (C1) este adevarata.

- (C2) se demonstreaza similar.- Sa demonstram (C3): deoarece x ↔ y = x− ↔ y−, vom avea: x ∼F y implica

x− ∼F y−; astfel, (C3) este adevarata. Deci, ∼F este o congruenta a lui B.• Invers, fiecarei congruente ∼ a lui B ıi asociem submultimea lui B definita

astfel:F∼

def.= {x ∈ B | x ∼ 1}.

Sa aratam ca F∼ este un filtru al lui B.- F∼ este nevida, deorece 1 ∼ 1 implica 1 ∈ F .- Sa demonstram (F1): x, y ∈ F∼, adica x ∼ 1, y ∼ 1 implica (x∧ y) ∼ (1∧ 1 = 1),adica x ∧ y ∈ F∼;- Sa demonstram (F2): fie x ∈ F∼, x ≤ y; deci x ∼ 1 si x ∨ y = y, care implica(y = x ∨ y) ∼ (1 ∨ y = 1), adica y ∈ F∼. Deci, F∼ este un filtru al lui B.

• Daca FB este multimea filtrelor lui B si CB este multimea congruentelor luiB, atunci consideram aplicatiile:

Φ : FB −→ CB si Ψ : CB −→ FB ,

definite astfel: Φ(F )def.= ∼F , pentru orice F ∈ FB si Ψ(∼)

def.= F∼, pentru orice

∼∈ CB .Trebuie aratat ca Φ si Ψ sunt inverse una alteia, adica

Ψ(Φ(F )) = F si Φ(Ψ(∼)) =∼ .

Sa observam ca F 7→ ∼F 7→ F∼F si ∼ 7→ F∼ 7→ ∼F∼ .Atunci

F∼F = {x | x ∼F 1} = {x | x ↔ 1 ∈ F} = {x | x ∈ F} = F.

Vom demonstra ca ∼ = ∼F∼ , unde pentru x, y ∈ B,x ∼F∼ y este echivalent cu x → y ∈ F∼ si y → x ∈ F∼.- daca x ∼ y, atunci (x → y) ∼ (y → 1), deci (x → y) ∼ 1 si, analog, (y → x) ∼ 1.Rezulta x → y ∈ F∼ si y → x ∈ F∼, deci x ∼F∼ y.- daca x → y ∈ F∼ si y → x ∈ F∼, deci (x → y) ∼ 1 si (y → x) ∼ 1, rezulta ca(x ∧ y = x ∧ (x → y)) ∼ (x ∧ 1 = x) si, analog, (x ∧ y) ∼ y, deci x ∼ y. 2


Din Propozitiile 4.5.4 si 4.5.7, obtinem urmatorul corolar:

Corolarul 4.5.8 →-sistemele deductive ale lui B sunt ın corespondenta bijectivacu congruentele lui B.

Exercitiul 4.5.9 Fie algebra Boole P(X), cu X infinita. Sa se arate ca partilecofinite (= partile ce au complementarele finite) formeaza un filtru si sa se determinecongruenta asociata.

4.5.3 Algebre Boole cat

Fie F un filtru al algebrei Boole B = (B,∧,∨,−, 0, 1) si∼F relatia de congruentaasociata lui F prin Propozitia precedenta. Deoarece ∼F este o relatie de echivalentape B, sa formam clasele de echivalenta: fie x/F clasa de echivalenta a lui x ∈ B,adica

x/Fdef.= {y ∈ B | y ∼F x}.

Fie B/F = B/∼F multimea cat, adica multimea tuturor claselor de echivalenta:

B/Fdef.= {x/F | x ∈ B}.

Daca x/F ∈ B/F si y/F ∈ B/F , atunci x/F = y/F ⇔ x ∼F y.Sa definim pe multimea cat, B/F , urmatoarele operatii, notate tot cu ∨,∧,−:

pentru orice x/F , y/F ∈ B/F ,

x/F ∨ y/Fdef.= (x ∨ y)/F , x/F ∧ y/F

def.= (x ∧ y)/F , (x/F )−

def.= (x−)/F .

Conform proprietatilor congruentei ∼F , cele trei operatii sunt bine definite (adicanu depind de reprezentantii claselor).

Sa definim de asemenea elementele:

0/Fdef.= {x ∈ B | x ∼F 0} ∈ B/F ,

1/Fdef.= {x ∈ B | x ∼F 1} = {x ∈ B | x ↔ 1 ∈ F} = {x ∈ B | x ∈ F} = F ∈ B/F .

Atunci avem urmatorul rezultat:

Propozitia 4.5.10 Structura (B/F ,∨,∧,−, 0/F , 1/F ) este o algebra Boole, nu-mita algebra Boole cat a lui B prin filtrul F .

Demonstratie. Trebuie demonstrat ca (B1) - (B7) au loc.Sa demonstram, de exemplu, prima egalitate din (B1):Pentru orice x/F ∈ B/F , x/F ∨ x/F = x/F .

Fie x/F ∈ B/F , element fixat, altfel arbitrar; sa demonstram ca x/F ∨ x/F =x/F . Intr-adevar, x/F ∨ x/F = x/F ⇔ (x ∨ x)/F = x/F ⇔ (x ∨ x) ∼F x ⇔(x ∨ x) ↔ x ∈ F ; dar x ∨ x = x, conform (B1) din definitia algebrei Boole B; deci


x ↔ x ∈ F ⇔ 1 ∈ F , ceea ce este ıntotdeauna adevarat. Rezulta, conform (P.G.)(Principiului Generalizarii), ca pentru orice x/F ∈ B/F , x/F ∨ x/F = x/F esteadevarata.

La fel se demonstreaza restul proprietatilor. 2

Sa observam ca daca F = B, atunci B/F = B/B = {B} este o algebra Boolecu un singur element.

Corolarul 4.5.11 Surjectia canonica p = pF : B −→ B/F , definita astfel: pentruorice x ∈ B,

p(x)def.= x/F ,

este un homomorfism de algebre Boole.

Propozitia 4.5.12 Fie F un filtru al algebrei Boole B si fie B/F algebra Boolecat. Fie

∼U un filtru al algebrei Boole cat si fie

U = p−1(∼U) = {x ∈ B | p(x) ∈∼U}.

Atunci U este filtru al algebrei Boole B si F ⊆ U .

Demonstratie.U 6= ∅: ∼

U este filtru, deci∼U 6= ∅. Atunci exista x = p(x) ∈∼U , deci x ∈ U si deci

U 6= ∅.(F1): Fie x, y ∈ U . Atunci p(x), p(y) ∈∼U . Cum

∼U este filtru, rezulta ca

p(x) ∧ p(y) = p(x ∧ y) ∈∼U , conform (F1). Deci, x ∧ y ∈ U .(F2): Fie x ∈ U si x ≤ y. Atunci p(x) ∈∼U si p(x) ≤ p(y). Cum

∼U este filtru,

rezulta ca p(y) ∈∼U , din (F2). Atunci y ∈ U .F ⊆ U : Fie x ∈ F , deci x ↔ 1 ∈ F , pentru ca x ↔ 1 = (x → 1) ∧ (1 → x) =

1 ∧ x = x. Rezulta ca x ∼F 1, deci p(x) = x = 1 ∈∼U . Atunci x ∈ U . 2

Observatia 4.5.13U = F ⇐⇒∼

U= {1} = {F}.Invers, avem urmatorul rezultat.

Propozitia 4.5.14 Fie F,U filtre ale algebrei Boole B astfel ıncat F ⊆ U . Fie∼U= p(U), unde p : B −→ B/F . Atunci

∼U este filtru al algebrei Boole cat B/F .

Demonstratie.∼U 6= ∅: U este filtru, deci U 6= ∅; deci exista x ∈ U si x = p(x) ∈ p(U) =

∼U .

Rezulta ca∼U 6= ∅.

(F1): Fie x = p(x), y = p(y) ∈∼U . Deci x, y ∈ U si U fiind filtru, rezulta din(F1) ca x ∧ y ∈ U . Atunci x ∧ y = p(x) ∧ p(y) = p(x ∧ y) ∈∼U .


(F2): Fie x = p(x) ∈∼U si p(x) = x ≤ y = p(y). Deci x ∈ U si x ≤ y. Cum U

este filtru, rezulta din (F2) ca y ∈ U . Atunci y = p(y) ∈∼U . 2

Acum putem enunta urmatoarea teorema.

Teorema 4.5.15 Fie F, U filtre ale algebrei Boole B cu F ⊆ U si fie

∼U= pF (U) = {pF (x) | x ∈ U},

unde pF : B −→ B/F este surjectia canonica, definita astfel: pF (x) = x/F .Fie algebra Boole cat (B/F )∼

Usi algebra Boole cat B/U cu pU : B −→ B/U ,

definita astfel: pU (x) = x/U .Atunci

(B/F )/∼U

izo.∼= B/U .

Demonstratie. Fie f, g doua aplicatii definite astfel:

(x/F )/∼U

f↪→g←↩ x/U .

Avemx/F = {y ∈ B | y ∼F x} = {y ∈ B | y ↔ x ∈ F},

(x/F )/∼U

= {y/F | y/F ∼∼U

x/F } = {y/F | y/F ↔ x/F ∈∼U} =

{y/F | (y ↔ x)/F ∈∼U= pF (U)}.x/U = {y ∈ B | y ∼U x} = {y ∈ B | y ↔ x ∈ U}.

f este injectiva: Presupunem ca x/U = y/U . Sa demonstram ca

(4.13) (x/F )/∼U

= (y/F )/∼U

.

Dar x/U = y/U ⇐⇒ x ∼U y ⇐⇒ y ↔ x ∈ U ⊇ F . Atunci:- daca y ↔ x ∈ F , atunci y ∼F x, deci y/F = x/F si, atunci (4.13) are loc.- daca y ↔ x ∈ U \ F , atunci (y ↔ x)/F = pF (y ↔ x) = pF (y) ↔ pF (x) = y/F ↔x/F ∈∼U . Rezulta ca y/F ∼∼

Ux/F , deci (4.13) are loc.

f este surjectiva: Fie x/U ∈ B/U . Exista x ∈ B, astfel ıncat pU (x) = x/U . Decix/F ∈ B/F , prin urmare exista y = (x/F )/∼

U∈ (B/F )/∼

Usi f(y) = f((x/F )/∼

U) =

x/U . 2

Propozitia 4.5.16 Fie f : B −→ B′ un morfism boolean.(1) f−1(1) = {x ∈ B | f(x) = 1} este un filtru al lui B;(2) f(B) este o subalgebra a lui B′, izomorfa cu B/f−1(1).


Demonstratie.(1): Imediat.(2): Notam F = f−1(1) si definim functia g : B/F −→ f(B), pentru orice

x ∈ B, prin:

g(x/F )def.= f(x).

Definitia lui g nu depinde de reprezentanti: x/F = y/F implica x ↔ y ∈ F implicaf(x) ↔ f(y) = f(x ↔ y) = 1 implica f(x) = f(y).O verificare simpla arata ca g este morfism boolean. Conform implicatiilor:g(x/F ) = 1 implica f(x) = 1 implica x ∈ F implica x/F = 1/F ,rezulta ca g este injectiva. Surjectivitatea lui g este evidenta. 2

Exercitiul 4.5.17 Fie f : B −→ B′ un morfism boolean surjectiv. Daca F esteun filtru al lui B, atunci f(F ) este un filtru al lui B′; daca G este un filtru al lui B′,atunci f−1(G) este un filtru al lui B. Filtrele lui B′ sunt ın corespondenta bijectivacu filtrele lui B ce includ pe f−1(1).

Exercitiul 4.5.18 Fie F,G doua filtre ale lui B astfel ıncat F ⊆ G. Atunci G/F ={x/F | x ∈ G} este un filtru al lui B/F si algebrele Boole (B/F )/(G/F ) si B/Gsunt izomorfe.

4.5.4 Filtre generate de o multime

Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole.

Lema 4.5.19 Orice intersectie de filtre ale lui B este un filtru.

Definitia 4.5.20 Daca X este o submultime a lui B, atunci filtrul generat de Xeste intersectia filtrelor ce includ pe X.

Cu alte cuvinte, filtrul generat de X este cel mai mic filtru (ın sensul incluziunii)ce include pe X.

Vom nota cu [X) filtrul generat de X. Vom nota cu [x) filtrul generat de {x};[x) se va numi filtrul principal generat de x.

Observatia 4.5.21 Un filtru F este filtrul generat de X daca el verifica :(a) X ⊆ F ,(b) G filtru, X ⊆ G =⇒ F ⊆ G.Este evident ca filtrul generat de multimea vida este {1}.

Propozitia 4.5.22 Daca X 6= ∅, atunci

[X) = {a ∈ B | exista n ∈ N∗ si x1, . . . , xn ∈ X, x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a}.

4.6. TEOREMA DE REPREZENTARE A LUI STONE 89

Demonstratie. Fie F multimea din dreapta. Aratam ca F este filtru. Dacaa, b ∈ F , atunci exista x1, . . . , xn, y1, . . . , ym ∈ X astfel ıncat x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a,y1 ∧ . . . ∧ ym ≤ b.Rezulta x1 ∧ . . . xn ∧ y1 ∧ . . .∧ ym ≤ a∧ b, deci a∧ b ∈ F . Axioma (F2) este evidentverificata. Se observa ca X ⊆ F . Presupunem ca G este un filtru ce include pe X.Daca a ∈ F , atunci exista x1, . . . , xn ∈ X astfel ıncat x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a. Atuncix1, . . . , xn ∈ G, deci x1 ∧ . . . ∧ xn ∈ G, de unde a ∈ G. A rezultat F ⊆ G. Deci,[X) = F . 2

Corolarul 4.5.23 [x) = {a | x ≤ a}.Corolarul 4.5.24 [{x1, . . . , xn}) = [x1 ∧ . . . ∧ xn).

Corolarul 4.5.25 Daca F este un filtru si x ∈ B, atunci

[F ∪ {x}) = {a | exista e ∈ F, e ∧ x ≤ a}.Lema 4.5.26 Intr-o algebra Boole finita orice filtru este principal.

Observatia 4.5.27 Sa determinam congruenta asociata unui filtru principal [x):a ∼[x) b ⇐⇒ a → b ∈ [x), b → a ∈ [x)

⇐⇒ x ≤ a → b, x ≤ b → a⇐⇒ x ∧ a ≤ b, x ∧ b ≤ a⇐⇒ a ∧ x = b ∧ x.

Exercitiul 4.5.28 Sa se determine toate filtrele cubului, congruentele si algebreleBoole cat corespunzatoare.

Observatia 4.5.29 Intr-o algebra Boole definita echivalent ca o structura

B = (B,→,−, 1),

notiunea naturala este de→-sistem deductiv, nu de filtru. Daca S este un→-sistemdeductiv al lui B, atunci algebra Boole cat este definita echivalent astfel:

(B/S ,→,−, 1/S = S),

undex/S → y/S

def.= (x → y)/S , (x/S)−

def.= (x−)/S ,

1/Sdef.= {x ∈ B | x ∼S 1} = 1/S = S.

4.6 Teorema de reprezentare a lui Stone

Scopul acestei sectiuni este de a demonstra ca orice algebra Boole este izomorfacu o algebra Boole ale carei elemente sunt parti ale unei multimi. Acest rezul-tat ocupa un loc central ın teoria algebrelor Boole si are numeroase aplicatii ınlogica, topologie, calculul probabilitatilor etc. Instrumentul principal folosit ındemonstratie este conceptul de ultrafiltru (= filtru maximal).


4.6.1 Ultrafiltre (= filtre maximale)

Fie B = (B,∨,∧,−, 0, 1) o algebra Boole.

Definitia 4.6.1 Un filtru F al lui B este propriu daca F 6= B.

Observatia 4.6.2 F este propriu daca si numai daca 0 6∈ F . Intr-adevar, dacaprin absurd 0 ∈ F , atunci deoarece orice element x ∈ B verifica 0 ≤ x, ar rezultaca x ∈ F , deci B ⊆ F ; cum avem si F ⊆ B, am avea F = B: contradictie.

Multimea filtrelor proprii ale lui B este ordonata ın raport cu incluziunea.

Definitia 4.6.3 Un ultrafiltru sau filtru maximal este un element maximal al multimiifiltrelor proprii, adica este un filtru propriu U al lui B cu proprietatea ca pentruorice filtru propriu F , daca U ⊆ F , atunci U = F .

Vom nota cu Spec(B) multimea ultrafiltrelor lui B.

Exemplele 4.6.4(1) Daca X este o multime nevida si x ∈ X, atunci Ux = {A ⊆ X | x ∈ A} este

un ultrafiltru al P(X).(2) Daca B = Ln

2 si e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1),atunci filtrele principale [e1), [e2), . . . , [en) sunt ultrafiltrele lui B.

In cazul algebrelor Boole infinite, demonstrarea existentei ultrafiltrelor (al-tele decat cele din exemplul (1) precedent) impune invocarea axiomei lui Zorn.Urmatorul rezultat poarta numele de Teorema de existenta a ultrafiltrului.

Teorema 4.6.5 (Teorema de existenta a ultrafiltrului)Pentru orice filtru propriu F , exista un ultrafiltru U , astfel ıncat F ⊆ U .

Demonstratie. Fie∑

multimea filtrelor proprii ale lui B ce includ pe F . Evident,F ∈ ∑

. Vom arata ca (∑

,⊆) este inductiv ordonata. Fie (Fi)i∈I o familie totalordonata de filtre din

∑: pentru orice i, j ∈ I, Fi ⊆ Fj sau Fj ⊆ Fi. Notam

G =⋃

i∈I Fi. Vom demonstra ca G este un filtru propriu. Daca x, y ∈ G, atunciexista i, j ∈ I, astfel ıncat x ∈ Fi si y ∈ Fj . Putem presupune, de exemplu, caFi ⊆ Fj . Atunci x, y ∈ Fj , deci x ∧ y ∈ Fj ⊆ G. A doua proprietate din definitiafiltrului se verifica imediat. Atunci G este un majorant al familiei (Fi)i∈I si (

∑,⊆)

este inductiva. Aplicand axioma lui Zorn, rezulta existenta unui ultrafiltru U ceinclude pe F . 2

Corolarul 4.6.6 Daca x 6= 0, atunci exista un ultrafiltru U astfel ıncat x ∈ U .

Demonstratie. Se aplica Teorema 4.6.5 filtrului F = [x). 2

Definitia 4.6.7 Un filtru propriu F al lui B se numeste filtru prim daca pentruorice x, y ∈ B,

x ∨ y ∈ F implica x ∈ F sau y ∈ F.

4.6. TEOREMA DE REPREZENTARE A LUI STONE 91

Propozitia 4.6.8 Fie F un filtru propriu al lui B. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:(i) F este ultrafiltru,(ii) F este filtru prim,(iii) Pentru orice x ∈ B, avem x ∈ F sau x− ∈ F ,(iv) Algebra Boole cat, B/F , este izomorfa cu algebra Boole canonica, L2 = {0, 1}.Demonstratie.

(i) =⇒ (ii): Presupunem prin absurd ca F nu este prim, deci exista x, y ∈ Bastfel ıncat x ∨ y ∈ F , dar x, y 6∈ F . Atunci incluziunile stricte:

F ⊂ [F ∪ {x}) si F ⊂ [F ∪ {y})arata ca filtrele [F ∪ {x}), [F ∪ {y}) nu sunt proprii, deci contin pe 0. FolosindCorolarul 4.5.25, din 0 ∈ [F ∪{x}) rezulta existenta unui element a ∈ F astfel ıncata ∧ x = 0. Analog, exista b ∈ F cu b ∧ y = 0. Atunci

0 = (a ∧ x) ∨ (b ∧ y) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ y) ∧ (x ∨ b) ∧ (x ∨ y).

Cum a ∨ b, a ∨ y, x ∨ b ∈ F (din a, b ∈ F ) si x ∨ y ∈ F (prin ipoteza), rezulta ca0 ∈ F : contradictie. Deci, F este prim.

(ii) =⇒ (iii): Din x ∨ x− = 1 ∈ F .(iii) =⇒ (i): Presupunem prin absurd ca exista un filtru propriu G astfel ıncat

F ⊂ G. Atunci exista x ∈ G si x 6∈ F . Folosind ipoteza (iii), x− ∈ F ⊆ G, deci0 = x ∧ x− ∈ G: contradictie. Deci, F este ultrafiltru.

Echivalenta (i) ⇐⇒ (iv) este lasata ca exercitiu. 2

Exercitiul 4.6.9 Un filtru propriu F este ultrafiltru daca si numai daca pentruorice x, y ∈ B, avem x → y ∈ F sau y → x ∈ F .

Observatia 4.6.10 Fie B o algebra Boole si F, U filtre ale lui B, cu F ⊆ U . Atunci- B/F este algebra Boole cat cu pF : B −→ B/F si

∼U= pF (U),

- (B/F )/∼U

este algebra Boole cat diferita de {0, 1} ⇐⇒ U nu este ultrafiltru.

4.6.2 Teorema de reprezentare a lui Stone

Suntem acum ın masura sa demonstram Teorema de reprezentare a lui Stone.

Teorema 4.6.11 (Teorema de reprezentare a lui Stone)Pentru orice algebra Boole B, exista o multime nevida X si un homomorfism

de algebre Boole injectiv, d : B −→ P(X).

Demonstratie. Vom lua X = Spec(B), multimea tuturor ultrafiltrelor lui B,iar d : B −→ P(X) functia definita astfel: pentru orice x ∈ B,

d(x)def.= {U ∈ X | x ∈ U}.


Pentru orice x, y ∈ B si pentru orice ultrafiltru U , avem echivalentele:U ∈ d(x ∨ y) ⇐⇒ x ∨ y ∈ U

⇐⇒ x ∈ U sau y ∈ U (U este prim)⇐⇒ U ∈ d(x) sau U ∈ d(y)⇐⇒ U ∈ d(x) ∪ d(y).

U ∈ d(x ∧ y) ⇐⇒ x ∧ y ∈ U⇐⇒ x ∈ U si y ∈ U (U este filtru)⇐⇒ U ∈ d(x) si U ∈ d(y)⇐⇒ U ∈ d(x) ∩ d(y).

U ∈ d(x−) ⇐⇒ x− ∈ U⇐⇒ x 6∈ U (Propozitia 4.6.8 (iii))⇐⇒ U 6∈ d(x)⇐⇒ U ∈ Cd(x).

Am demonstrat ca:d(x ∨ y) = d(x) ∪ d(y); d(x ∧ y) = d(x) ∩ d(y); d(x−) = Cd(x),ceea ce arata ca d este un morfism boolean. Daca x 6= 0, atunci exista un ultrafiltruU astfel ıncat x ∈ U (Corolarul 4.6.6), deci U ∈ d(x) si d(x) 6= ∅. Am aratat cad(x) = ∅ implica x = 0, deci d−1(∅) = {0}. Aplicand Lema 4.4.12, d este injectiv.2

Cum P(X) si LX2 sunt algebre Boole izomorfe, Teorema de reprezentare a lui

Stone capata si urmatoarea forma:

Teorema 4.6.12 Pentru orice algebra Boole B, exista o multime nevida si unmorfism boolean injectiv d : B −→ LX

2 .

Observatia 4.6.13 Deoarece d : B −→ d(B) ⊆ P(X) este o bijectie (era injectie siacum este si surjectie), rezulta ca Teorema lui Stone se poate enunta si astfel: ”Oricealgebra Boole este izomorfa cu o subalgebra a unei algebre Boole de multimi”.

Observatiile 4.6.14(1) Teorema 4.6.11 reduce calculul boolean ıntr-o algebra Boole oarecare la

calculul cu multimi.(2) Teorema 4.6.12 reduce calculul boolean ıntr-o algebra Boole oarecare la:

(a) ıntai, la calculul ın LX2 ,

(b) apoi, calculul ın LX2 se reduce la calculul ın L2 (operatiile se fac pe componente).

4.7 Algebre Boole atomice

Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole.

4.7. ALGEBRE BOOLE ATOMICE 93

Definitiile 4.7.1· Un element nenul a al lui B se numeste atom daca 0 ≤ x ≤ a implica x = 0

sau x = a.· Algebra Boole B se numeste atomica daca pentru orice element x 6= 0, exista

un atom a, astfel ıncat a ≤ x.

Exemplele 4.7.2(1) In algebra Boole P(X), atomii sunt {x}, x ∈ X. Evident, P(X) este

atomica.(2) In Ln

2 , atomii sunt e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1).

Lema 4.7.3 Orice algebra Boole finita este atomica.

Demonstratie. Orice sir strict descrescator a0 > a1 > . . . > an > . . . > 0 estefinit. 2

Propozitia 4.7.4 Daca B este o algebra Boole atomica si (ai)i∈I este multimeaatomilor sai, atunci ∨i∈Iai = 1.

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca exista un majorant b al familiei (ai)i∈I

diferit de 1: ai ≤ b < 1 pentru orice i ∈ I. Atunci b− 6= 0 si cum B este atomica,exista un atom aj (j ∈ I) astfel ıncat aj ≤ b−. Cum aj ≤ b, rezulta aj ≤ b∧b− = 0:contradictie. 2

Definitia 4.7.5 O familie (ei)i∈I de elemente din B se numeste partitie daca:(1) ei ∧ ej = 0, pentru orice i 6= j,(2) ∨i∈Iei = 1.

Exemplul 4.7.6 Daca B este atomica, atunci multimea {ai}i∈I a atomilor lui Bformeaza o partitie. Conditia (2) este data de Propozitia 4.7.4, iar (1) rezulta directdin definitia atomului.

Fie a 6= 0 ın B. Definim

B(a)def.= {x ∈ B | x ≤ a}.

Observam ca B(a) este ınchisa la ∨ si ∧.Pentru orice x ∈ B(a), definim

x∼adef.= x− ∧ a,

introducand astfel o operatie unara ∼ = ∼a pe B(a).

Lema 4.7.7 (B(a),∧,∨,∼, 0, a) este o algebra Boole.

Demonstratie. Daca x ∈ B(a), atunci x ∧ x∼ = 0 si x ∨ x∼ = a. 2


Propozitia 4.7.8 Fie a1, . . . , an ∈ B si f : B −→ B(a1) × . . . × B(an) functiadefinita, pentru orice x ∈ B, de:

f(x)def.= (x ∧ a1, . . . , x ∧ an).

Atunci(a) f este injectiva ⇐⇒ ∨n

i=1ai = 1,(b) f este surjectiva ⇐⇒ ai ∧ aj = 0, pentru orice i 6= j,(c) f este bijectiva ⇐⇒ {a1, . . . , an} este o partitie,(d) f este morfism boolean.

Demonstratie.(a) =⇒: Din f(∨n

i=1ai) = (a1, . . . , an) = f(1) rezulta ∨ni=1ai = 1.

⇐=: Presupunem ∨ni=1ai = 1. Atunci

f(x) = f(y) implica x ∧ ai = y ∧ ai, i = 1, . . . , n, implicax = x ∧ (∨n

i=1ai) = ∨ni=1(x ∧ ai) = ∨n

i=1(y ∧ ai) = y ∧ (∨ni=1ai) = y,

deci f este injectiva.(b) =⇒: Fie i, j ∈ I distincti; notam c = ai ∧ aj si definim

xkdef.=

c, daca k = ic− ∧ aj , daca k = j

0, daca k 6= i, j.

Atunci (x1, . . . , xn) ∈ B(a1) × . . . × B(an), deci exista x ∈ B astfel ıncat f(x) =(x1, . . . , xn). Pe componentele i si j vom avea ai∧x = c si aj ∧x = c−∧aj . Atuncic ≤ x si c ≤ aj , de unde c ≤ x∧ aj = c− ∧ aj ≤ c−. Rezulta c = 0, deci ai ∧ aj = 0pentru orice i 6= j.⇐=: Presupunem ai∧aj = 0, pentru i 6= j. Fie (x1, . . . , xn) ∈ B(a1)× . . .×B(an),deci xi ≤ ai, i = 1, . . . , n.Notam x = x1 ∨ . . . ∨ xn. Pentru orice i = 1, . . . , n, avem:

x ∧ ai = (∨nj=1xj) ∧ ai = ∨n

j=1(xj ∧ ai) = xi,

pentru ca xj ∧ ai = 0 pentru j 6= i (pentru ca xj ∧ ai ≤ aj ∧ ai = 0) si xi ∧ ai = xi.Se deduce ca f(x) = (x ∧ a1, . . . , x ∧ an) = (x1, . . . , xn), deci f este surjectiva.(c): Din (a) si (b).(d): Exercitiu. 2

Corolarul 4.7.9 Daca {a1, . . . , an} este o partitie, atunci morfismul f din Propo-zitia 4.7.8 este un izomorfism boolean.

Propozitia 4.7.10 Daca B este o algebra Boole finita, atunci exista un numarnatural n, astfel ıncat B si Ln

2 sunt izomorfe.

Demonstratie. Daca B este finita, atunci B este atomica. Fie a1, . . . , an atomiilui B. Cum {a1, . . . , an} este o partitie, avem B ∼= ∏n

i=1 B(ai). Daca a este unatom, atunci B(ai) = {0, a}, deci B(ai) ∼= L2, pentru orice i = 1, . . . , n. Amobtinut B ∼= Ln

2 . 2

4.8. DUALITATEA ALGEBRELOR BOOLE 95

Corolarul 4.7.11 Doua algebre Boole finite, de acelasi ordinal, sunt izomorfe.

Demonstratie. Daca B1∼= B2 si B1

∼= Ln2 , B2

∼= Lm2 , atunci n = m si B1

∼= B2.2

Propozitia 4.7.12 Fie B o algebra Boole completa si (ai)i∈I o partitie ın B.

Atunci functia f : B −→ ∏i∈I B(ai), definita de f(x)

def.= (x ∧ ai)i∈I , este un

izomorfism boolean.

Demonstratie. Analog cu demonstratia Propozitiei 4.7.8 si a Corolarului 4.7.9.2

Propozitia 4.7.13 Afirmatiile urmatoare sunt echivalente:(1) B este o algebra Boole completa si atomica,(2) B este izomorfa cu o algebra Boole de forma P(X).

Demonstratie.(1) =⇒ (2): Analog cu demonstratia Propozitiei 4.7.10, aplicandu-se Propozitia4.7.12.(2) =⇒ (1): P(X) este completa si atomica. 2

4.8 Dualitatea algebrelor Boole

Fie B o algebra Boole, Spec(B) multimea ultrafiltrelor sale sid : B −→ P(Spec(B)) morfismul lui Stone: d(x) = {P ∈ Spec(B) | x ∈ P}.Lema 4.8.1 Pentru orice x, y ∈ B, avem:(i) d(x ∨ y) = d(x) ∪ d(y),(ii) d(x ∧ y) = d(x) ∩ d(y),(iii) d(x−) = Cd(x),(iv) d(0) = ∅, d(1) = Spec(B).

Demonstratie. Vedeti demonstratia Teoremei de reprezentare a lui Stone. 2

Fie F(B) multimea filtrelor lui B. Pentru orice F ∈ F(B), notam

d(F ) = {P ∈ Spec(B) | F ⊆ P}.

Este evident ca d(x) = d([x)), pentru orice x ∈ B.

Propozitia 4.8.2 {d(F ) | F ∈ F(B)} este familia multimilor ınchise ale uneitopologii pe B.

Demonstratie. Fie (Fi)i∈I ⊆ F(B) si F1, F2 ∈ F(B). Atunci(1) ∩i∈Id(Fi) = d(

∨i∈I Fi), unde

∨i∈I Fi este filtrul lui B generat de ∪i∈IFi;


(2) d(F1) ∪ d(F2) = d(F1 ∩ F2);(3) d(0) = ∅, d(1) = Spec(B).

Fie P ∈ Spec(B). (1) rezulta din echivalenta

(1′) Fi ⊆ P, i ∈ I ⇐⇒∨

i∈I

Fi ⊆ P,

iar (2) rezulta din echivalenta

(2′) F1 ∩ F2 ⊆ P ⇐⇒ (F1 ⊆ P sau F2 ⊆ P ).

Vom demonstra (2’). Daca F1, F2 6⊆ P , atunci exista x ∈ F1 \P si y ∈ F2 \P , decix ∨ y 6∈ P (P fiind filtru prim). Dar x ∨ y ∈ F1 ∩ F2, deci F1 ∩ F2 6⊆ P .Implicatia cealalta este evidenta.Egalitatile (3) sunt evidente. Proprietatile (1) - (3) nu exprima altceva decat ca{d(F ) | F ∈ F(B)} sunt ınchise la topologia pe Spec(B). 2

Observatia 4.8.3 Topologia definita de Propozitia 4.8.2 poarta numele de topolo-gia lui Stone.

Propozitia 4.8.4(1) Pentru orice x ∈ B, d(x) este o multime ınchisa si deschisa a lui Spec(B).(2) {d(x) | x ∈ B} este baza de deschisi (sau de ınchisi).

Demonstratie.(1): Din Cd(x) = d(x−).(2): Pentru orice filtru F , avem F =

∨{[x) | x ∈ F}, de unde

d(F ) = d(∨{[x) | x ∈ F}) = ∩x∈F d(x).

2

Propozitia 4.8.5 Pentru orice x ∈ B, d(x) este o multime compacta.

Demonstratie. Consideram o acoperire deschisa a lui d(x): d(x) ⊆ ∪i∈Id(xi).Asadar, pentru orice P ∈ Spec(B), x ∈ P implica existenta unui i ∈ I astfel ıncatxi ∈ P .Fie X = {x} ∪ {x−i | i ∈ I} si F = [X), filtrul generat de X. Presupunem, prinabsurd, ca F este propriu, deci exista U ∈ Spec(B), F ⊆ U (Propozitia 4.6.5).Atunci x−i ∈ U pentru orice i ∈ I si x ∈ U implica existenta unui j ∈ I astfel ıncatxj ∈ U : contradictie, deci 0 ∈ F . Tinand seama de Propozitia 4.5.22, exista J ⊆ Ifinita, astfel ıncat

0 = x ∧∧{x−j | j ∈ J}.

De aici se deduce ca x ≤ ∨j∈J xj , de unde

d(x) ⊆ d(∨

j∈J

xj) =⋃

j∈J

d(xj).

Rezulta ca d(x) este compacta. 2

4.8. DUALITATEA ALGEBRELOR BOOLE 97

Propozitia 4.8.6 Spec(B) este spatiu compact si separat.

Demonstratie. Fie P1, P2 ∈ Spec(B), P1 6= P2, deci exista x ∈ P1 si x 6∈ P2. Con-form Propozitiei 4.6.8, x− ∈ P , de unde P1 ∈ d(x), P2 ∈ d(x−) si d(x)∩d(x−) = ∅.Am demonstrat ca Spec(B) este separat.Compacitatea rezulta din Propozitia 4.8.5 (Spec(B) = d(1)). 2

Un spatiu topologic este zero-dimensional daca partile sale ınchise si deschiseformeaza o baza.

Un spatiu compact, separat si zero-dimensional se numeste spatiu boolean.

Propozitia 4.8.7 Pentru orice algebra Boole B, Spec(B) este un spatiu boolean.

Fie f : A −→ B un morfism boolean, dA : A −→ P(Spec(A)),dB : B −→ P(Spec(B)) si Spec(f) : Spec(B) −→ Spec(A) definita astfel: pentruorice P ∈ Spec(B),

Spec(f)(P )def.= f−1(P ).

Propozitia 4.8.8 Spec(f) este o functie continua.

Demonstratie. Pentru orice y ∈ A, avem:(Spec(f))−1(dA(y)) = {P ∈ Spec(B) | f−1(P ) ∈ dA(y)}

= {P ∈ Spec(B) | y ∈ f−1(P )}= {P ∈ Spec(B) | f(y) ∈ P}= dB(f(y)). 2

Daca Boole este categoria algebrelor Boole si SBoole este categoria spatiilorbooleene si a functiilor continue, atunci asocierea B 7→ Spec(B), f 7→ Spec(f)defineste un functor contravariant Spec : Boole −→ SBoole.

Fie acum X un spatiu boolean si T (X ) algebra Boole a partilor ınchise sideschise ale lui X . Daca g : X −→ Y este un morfism din SBoole (= aplicatiecontinua), atunci consideram functia T (g) : T (Y ) −→ T (X), definita de

T (g)(D)def.= g−1(D),

pentru orice D ∈ T (Y ). Asocierea X 7→ T (X ), g 7→ T (g) defineste un functorcontravariant T : SBoole −→ Boole.

Propozitia 4.8.9 Pentru orice B ∈ Boole, algebrele Boole B si T (Spec(B)) suntizomorfe.

Demonstratie. Consideram morfismul lui Stone dB : B −→ T (Spec(B)) (x 7→dB(x)). dB este un morfism boolean injectiv. A ramas de aratat surjectivitatea luidB .

Fie D ∈ T (Spec(B)), deci D este o parte a lui Spec(B) ınchisa si deschisa. CumD este ınchisa ın spatiul Spec(B) compact si separat, rezulta ca D este compacta.


D fiind deschisa si {dB(x) | x ∈ B} fiind baza a lui Spec(B), exista o familie (xi)i∈I

ın B astfel ıncat D =⋃

i∈I dA(xi). Atunci exista J ⊆ I finita, astfel ıncat

D =⋃

i∈J

dA(xi) = dB(∨

i∈J

xi)

si dB este surjectiv. 2

Propozitia 4.8.10 Pentru orice X ∈ SBoole, spatiile booleene X si Spec(T (X))sunt homeomorfe.

Demonstratie. Pentru orice x ∈ X, Ux = {D ∈ T (X) | x ∈ D} este un ultrafiltrual lui T (X ). Consideram functia ϕX : X −→ Spec(T (X)) definita de

ϕX(x)def.= Ux,

pentru orice x ∈ X. Pentru a arata ca ϕX este homeomorphism, parcurgemurmatorii pasi:a) ϕX este injectiva.Daca x, y ∈ X, x 6= y, atunci exista D1, D2 ∈ T (X), x ∈ D1, y ∈ D2 si D1∩D2 = ∅.Atunci D1 ∈ Ux, D2 ∈ Uy si D2 6∈ Ux, deci ϕX(x) = Ux 6= Uy = ϕX(y).b) ϕX este surjectiva.Fie U ∈ Spec(T (X)). Daca {D1, . . . , Dn} ∈ U , atunci

⋂ni=1 Di ∈ U , deci

⋂ni=1 Di 6=

∅ (pentru ca U este filtru propriu ın T (X )). Atunci U are proprietatea intersectieifinite, deci

⋂{D | D ∈ U} 6= ∅, deoarece X este compact.Fie x, y ∈ ⋂{D | D ∈ U}, x 6= y, deci exista D1, D2 ∈ T (X), x ∈ D1, y ∈ D2,

D1 ∩ D2 = ∅. Dar CD1 ∪ CD2 = X ∈ U , deci CD1 ∈ U sau CD2 ∈ U , pentru caU este un filtru prim ın T (X ). S-a obtinut x 6∈ D1 sau y 6∈ D2: contradictie, decimultimea

⋂{D | D ∈ U} are un singur element x. Atunci avem x ∈ D daca sinumai daca D ∈ U , de unde Ux = U . Am demonstrat ca ϕX(x) = U , deci ϕX esteinjectiva.c) ϕX este continua.Pentru orice D ∈ T (X) avem:

ϕ−1X (d(D)) = {x | Ux ∈ d(D)} = {x | D ∈ Ux} = {x | x ∈ D} = D.

d) ϕX este aplicatie deschisa.Pentru orice D ∈ T (X), vom demonstra ca

{Ux | x ∈ D} = {U ∈ Spec(T (X)) | D ∈ U}.

Daca D ∈ U ∈ Spec(T (X)), atunci U = Ux, cu⋂{D′ | D′ ∈ U} = {x}. Rezulta

D ∈ Ux si deci x ∈ D. Implicatia cealalta este evidenta. Am demonstrat ca

ϕX(D) = {Ux | x ∈ D} = d(D),

deci ϕX este aplicatie deschisa. 2

4.9. ALGEBRE BOOLE INJECTIVE 99

Propozitia 4.8.11 Daca f : A −→ B este un morfism boolean, atunci urmatoareadiagrama este comutativa:

A

?f T (Spec(f))

B

-∼= dAT (Spec(A))

T (Spec(B))-?

∼= dB

Demonstratie. Pentru orice x ∈ A, au loc urmatoarele egalitati:T (Spec(f))(dA(x)) = {P ∈ Spec(B) | Spec(f)(P ) ∈ dA(x)}

= {P ∈ Spec(B) | f−1(P ) ∈ dA(x)}= {P ∈ Spec(B) | x ∈ f−1(P )}= dB(f(x)). 2

Propozitia 4.8.11 spune ca D : idBoole −→ T ◦ Spec este izomorfism functorial.

Propozitia 4.8.12 Daca g : X −→ Y este un morfism din SBoole, atunciurmatoarea diagrama este comutativa:

X

?g Spec(T (g))

Y

-∼= ϕXSpec(T (X))

Spec(T (Y ))-?

∼= ϕY

Demonstratie. Pentru orice x ∈ X, urmatoarele egalitati sunt adevarate:Spec(T (g))(ϕX(x)) = (T (g))−1(ϕX(x))

= {D ∈ T (Y ) | T (g)(D) ∈ ϕX(x)}= {D ∈ T (Y ) | g−1(D) ∈ Ux}= {D ∈ T (Y ) | x ∈ g−1(D)}= ϕY (g(x)). 2

Propozitia 4.8.12 spune ca ϕ : idSBoole −→ Spec ◦T este izomorfism functorial.

Insumand toate rezultatele din acest paragraf, putem formula urmatoarea teo-rema:

Teorema 4.8.13 (Dualitatea Stone)Categoriile Boole si SBoole sunt duale.

4.9 Algebre Boole injective

Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole oarecare.


Lema 4.9.1 Intersectia unei familii de subalgebre ale lui B este o subalgebra a luiB.

Demonstratie. Direct din definitia subalgebrei. 2

Daca X ⊆ B, atunci subalgebra generata de X este intersectia tuturor subalge-brelor lui B ce includ pe X.

Lema 4.9.2 Fie A o subalgebra a lui B si b 6∈ A. Atunci

A(b) = {(a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) | a1, a2 ∈ A}

este subalgebra lui B generata de A ∪ {b}.Demonstratie. Fie x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) si y = (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−). Atunci

x ∨ y = [(a1 ∨ a′1) ∧ b] ∨ [(a2 ∨ a′2) ∧ b−] ∈ A(b).

Daca a ∈ A, atunci

a ∨ x = [a ∧ (b ∧ b−)] ∨ x = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b−) ∨ (a1 ∨ b) ∨ (a2 ∨ b−) =

[(a1 ∨ a2) ∧ b] ∨ [(a2 ∨ a) ∧ b−] ∈ A(b).

Conform acestei observatii,

x− = (a−1 ∨ b−) ∧ (a−2 ∨ b) = (a−1 ∧ a−2 ) ∨ [(a−1 ∧ b) ∨ (a−2 ∧ b−)] ∈ A(b),

deoarece a−1 ∧a−2 ∈ A si (a−1 ∧b)∨(a−2 ∧b−) ∈ A(b). Rezulta ca A(b) este subalgebrasi restul demonstratiei este evident. 2

Propozitia 4.9.3 (Sikorski)Fie A o subalgebra a lui B, b 6∈ A, C o algebra Boole completa si h : A −→ C un

morfism boolean. Atunci exista un morfism boolean h∼ : A(b) −→ C care extindepe h. h∼(b) poate fi orice element c ∈ C cu proprietatea urmatoare:

(4.14)∨{h(a) | a ∈ A, a ≤ b} ≤ c ≤

∧{h(a) | a ∈ A, b ≤ a}

Demonstratie. Se stabileste imediat inegalitatea∨{h(a) | a ∈ A, a ≤ b} ≤

∧{h(a) | a ∈ A, b ≤ a},

deci exista un element c cu proprietatea (4.14).Daca x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−), atunci vom pune

(4.15) h∼(x) = [h(a1) ∧ c] ∨ [h(a2) ∧ c−],

c fiind un element ce verifica (4.14). Aratam ca h∼ : A(b) −→ C este bine definita.


• Anume, vom arata ca

x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) = (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−)

implica

(4.16) [h(a1) ∧ c] ∨ [h(a2) ∧ c−] = [h(a′1 ∧ c] ∨ [h(a′2) ∧ c−].

Intr-adevar, inegalitatea:

(4.17) (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) ≤ (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−) = (a′1 ∨ a′2) ∧ (a′1 ∨ b−) ∧ (a′2 ∨ b)

implica inegalitatile:

(4.18) a1 ∧ b ≤ a′1 ∨ a′2, a′1 ∨ b−, a′2 ∨ b

a2 ∧ b− ≤ a′1 ∨ a′2, a′1 ∨ b−, a′2 ∨ b.

De aici rezulta:

(4.19) h(a1) ∧ c ≤ h(a′1) ∨ h(a′2), h(a′1) ∨ c−, h(a′2) ∨ c

h(a2) ∧ c− ≤ h(a′1) ∨ h(a′2), h(a′1) ∨ c−, h(a′2) ∨ c.

De exemplu,a1 ∧ b ≤ a′1 ∨ b− =⇒ (a1 ∧ b) ∧ (a′1 ∨ b−)− = 0

=⇒ a1 ∧ a′−1 ∧ b = 0=⇒ b ≤ (a1 ∧ a′−1 )−

=⇒ c ≤ h((a1 ∧ a′−1 )−) = (h(a1) ∧ h(a′−1 ))−

=⇒ h(a1) ∧ h(a′−1 ) ∧ c = 0=⇒ h(a1) ∧ c ∧ (h(a′1) ∨ c−)− = 0=⇒ h(a1) ∧ c ≤ h(a′1) ∨ c−.

Inegalitatile (4.19) implica

[h(a1) ∧ c] ∨ [h(a2) ∧ c−] ≤ [h(a′1) ∧ c] ∧ [h(a′2) ∧ c−].

Inegalitatea inversa rezulta analog. Deci (4.16) are loc.• Aratam acum ca h∼ este morfism boolean.

Daca x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) si y = (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−), atunci

x ∨ y = [(a1 ∨ a′1) ∧ b] ∨ [(a2 ∨ a′2) ∧ b−],

decih∼(x ∨ y) = [h(a1 ∨ a′1) ∧ c] ∨ [h(a2 ∨ a′2) ∧ c−]

= [(h(a1) ∨ h(a′1)) ∧ c] ∨ [(h(a2) ∨ h(a′2)) ∧ c−]= [(h(a1) ∧ c) ∨ (h(a2) ∧ c−)] ∨ [(h(a′1) ∧ c) ∨ (h(a2) ∧ c−)]= h∼(x) ∨ h∼(y).


Rezulta ca h∼(x1∨ . . .∨xn) = h∼(x1)∨ . . .∨h∼(xn) pentru orice x1, . . . , xn ∈ A(b).Observand ca

x− = (a−1 ∧ a−2 ) ∨ (a−1 ∧ b) ∨ (a−2 ∧ b−),

vom aveah∼(x−) = h∼(a−1 ∧ a−2 ) ∨ h∼(a−1 ∧ b) ∨ h∼(a−2 ∧ b−)

= ((h(a1))− ∧ (h(a2))−) ∨ (h(a−1 ) ∧ c) ∨ (h(a−2 ) ∧ c−)= [(h(a1) ∨ h(a2)) ∧ (h(a1) ∨ c−) ∧ (h(a1) ∧ c)]−

= [(h(a1) ∧ c) ∨ (h(a2) ∧ c−)]−

= (h∼(x))−.Am demonstrat ca h∼ este morfism boolean si restul este evident. 2

Definitia 4.9.4 O algebra Boole C se numeste injectiva daca pentru orice algebraBoole B, pentru orice subalgebra A a lui B si pentru orice morfism boolean f :A −→ C, exista un morfism boolean g : B −→ C care extinde pe f :

A ⊆ B

BBBBBN

££

£££°

C

f ∃ g

Propozitia 4.9.5 (Sikorski)Orice algebra Boole completa C este injectiva.

Demonstratie. Consideram diagrama ın Boole:

A ⊆ B

BBBBBNC

f

Fie∑

multimea perechilor (D, h) astfel ıncat D este subalgebra a lui B careinclude pe A si h : D −→ C este un morfism boolean care extinde pe f :

A ⊆ ⊆ BD

?h

ZZ

ZZ~f

C


Daca (D,h), (E, u) ∈ ∑, definim (D,h) ¹ (E, u) daca urmatoarea diagrama

este comutativa:

A ⊆ ⊆ E ⊆ BD

?h

ZZ

ZZ~

½½

½½=f u

C

Se demonstreaza usor ca (∑

,¹) este inductiv ordonata, deci, conform axiomeilui Zorn, admite un element maximal (D, h). Presupunem ca D 6= B, deci existaa ∈ B\D. Consideram D(a) si aplicam Propozitia 4.9.3: exista un morfism booleanh∼ : D(a) −→ C care extinde pe h. Aceasta contrazice maximalitatea lui (D,h),ceea ce arata ca D = B. 2

Lema 4.9.6 Fie ın Boole diagrama comutativa:

C B-f

ZZ

ZZ~

½½

½½=1C g

C

Daca B este algebra Boole completa, atunci si C este completa.

Demonstratie. Pentru o familie de elemente (xi)i∈I de elemente din C vom arataca ∨

C

xi = g(∨

B

f(xi)).

Este evident ca xi = g(f(xi)) ≤ g(∨

B f(xi)) pentru orice i ∈ I. Daca y ∈ C sixi ≤ y, pentru orice i ∈ I, atunci f(xi) ≤ f(y), i ∈ I ın B, deci

∨B f(xi) ≤ f(y).

Se obtineg(

∨

B

f(xi)) ≤ g(f(y)) = y.

2

Propozitia 4.9.7 (Halmos)Orice algebra Boole injectiva C este completa.

Demonstratie. Fie d : C −→ LX2 morfismul lui Stone. C se identifica cu o

subalgebra a lui LX2 . Conform injectivitatii, rezulta un morfism boolean g : LX

2 −→C astfel ıncat g ◦ d = 1C . LX

2 este completa si se plica apoi Lema 4.9.6. 2

Teorema 4.9.8 (Sikorski-Halmos)O algebra Boole este injectiva daca si numai daca este completa.

Demonstratie. Din Propozitiile 4.9.5 si 4.9.7. 2


4.10 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole

Incepem ın aceasta sectiune discutia asupra unui domeniu extrem de cercetatın ultimii ani: multimi fuzzy, structuri fuzzy, logici fuzzy. Totul a pornit de la LotfiZadeh prin anii ’60 [123]. A se vedea de asemenea [92].

4.10.1 Multimi fuzzy

Observatiile 4.10.1 Sa amintim ca:(1) Structura ({0, 1},∧ = min,∨ = max, x− = 1− x, 0, 1) este o algebra Boole,

anume este algebra Boole canonica (vedeti detalii ın capitolul 5).(2) Structura ([0, 1],∧ = min,∨ = max, 0, 1) este o latice completa.(3) {0, 1} ⊂ [0, 1].

Fie E 6= ∅ o multime oarecare. Stim ca (P(E),∩,∪,CE , ∅, E) este o algebraBoole.

Exista o bijectie ıntre P(E) si {0, 1}E = 2E = {f | f : E −→ {0, 1}}, careasociaza fiecarei submultimi A ⊆ E (A ∈ P(E)) functia caracteristica χA : E −→{0, 1}, definita astfel: pentru orice x ∈ E,

χA(x) ={

1, if x ∈ A,0, if x 6∈ A.

Vom identifica A cu χA, deci P(E) cu 2E .

Observatia 4.10.2 ∅(x) = 0, E(x) = 1 pentru orice x ∈ E.

Definitia 4.10.3 Se numeste submultime fuzzy sau multime fuzzy a lui E oricefunctie µ : E −→ [0, 1].

Vom nota submultimile fuzzy ale lui E cu∼A,

∼B, ... si vom nota cu

∼P (E)

multimea lor, adica∼P (E) = [0, 1]E .

Exemplul 4.10.4 χA este o submultime fuzzy a lui E, deci χA ∈∼P (E).

Prin identificarea A ↔ χA, rezulta ca

{0, 1}E = P(E) ⊂∼P (E) = [0, 1]E ,

deoarece {0, 1} ⊂ [0, 1].• Sa definim o relatie de incluziune ¹ pe

∼P (E) prin: pentru orice

∼A,

∼B∈

∼P (E),

∼A¹

∼B

def.⇐⇒ ∼A (x) ≤∼

B (x), pentru orice x ∈ E.

4.10. FILTRE FUZZY ALE UNEI ALGEBRE BOOLE 105

Este usor de verificat ca aceasta relatie este o relatie de ordine pe∼P (E) si ca

ea generalizeaza relatia de incluziune ⊆ pe P(E), adica:

pentru orice A,B ∈ P(E), A ¹ B ⇐⇒ A ⊆ B.

• Sa definim operatiile⋃

,⋂

pe∼P (E) prin: pentru orice

∼A,

∼B∈

∼P (E) si orice

x ∈ E,(∼A

⋃ ∼B)(x)

def.= max(

∼A (x),

∼B (x)),

(∼A

⋂ ∼B)(x)

def.= min(

∼A (x),

∼B (x)).

Se observa ca⋃

,⋂

generalizeaza pe ∪,∩ definite pe P(E), adica:

pentru orice A, B ∈ P(E), A⋃

B = A ∪B, A⋂

B = A ∩B.

Observatiile 4.10.5(i) Structura (

∼P (E),

⋂,⋃

, ∅, E) este latice distributiva, marginita, unde pentruorice

∼A,

∼B∈

∼P (E),

∼A

⋂ ∼B=

∼A ⇐⇒ ∼

A¹∼B .

(ii) Laticea (∼P (E),

⋂,⋃

, ∅, E) are laticea (P(E),∩,∪, ∅, E) ca sublatice.

Definitia 4.10.6 Caracteristica este o functie

χ : P(E) −→∼P (E),

definita astfel: pentru orice A ∈ P(E),

χ(A) = χA : E −→ {0, 1},

care este tocmai functia caracteristica a lui A.

Invers, avem urmatoarea definitie:

Definitia 4.10.7 Pentru orice t ∈ [0, 1], nivelul de fuzificare de grad t este o functie

Ut :∼P (E) −→ P(E),

definita astfel: pentru orice∼A∈

∼P (E),

Ut(∼A)

def.= {x ∈ E |∼A (x) ≥ t},

care se numeste submultimea nivel a lui∼A.


4.10.2 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole

Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole ın aceasta subsectiune.

Definitia 4.10.8 O submultime fuzzy µ a lui B (µ : B −→ [0, 1]) se numestefiltru fuzzy al lui B daca verifica:(FF1) min(µ(x), µ(y)) ≤ µ(x ∧ y), pentru orice x, y ∈ B,(FF2) µ pastreaza ordinea, adica: pentru orice x, y ∈ B,

x ≤ y =⇒ µ(x) ≤ µ(y).

Legatura ıntre filtrele lui B si filtrele fuzzy ale lui B este data de urmatoareledoua teoreme.

Teorema 4.10.9 Fie ∅ 6= F ⊆ B o submultime a lui B. Atunci F este un filtru allui B daca si numai daca functia sa caracteristica χF este un filtru fuzzy al lui B.

Demonstratie.=⇒: Presupunem ca F este filtru al lui B, deci satisface (F1), (F2). Sa demon-

stram ca χF este filtru fuzzy al lui B, deci ca satisface (FF1) si (FF2).(FF1): Fie x, y ∈ B:

- daca x, y ∈ F , atunci din (F1) rezulta ca x∧y ∈ F , deci χF (x∧y) = 1; dar x, y ∈ Fimplica χF (x) = 1 = χF (y). Rezulta ca min(χF (x), χF (y)) = 1 ≤ χF (x ∧ y) = 1.- daca x 6∈ F sau y 6∈ F , atunci χF (x) = 0 sau χF (y) = 0, si prin urmaremin(χF (x), χF (y)) = 0 ≤ χF (x ∧ y).Deci, conditia (FF1) este ındeplinita.

(FF2): Presupunem x ≤ y:- daca y ∈ F , atunci χF (y) = 1, deci χF (x) ≤ χF (y) = 1.- daca y 6∈ F , atunci din (F2) rezulta ca x 6∈ F (caci daca x ∈ F , din x ≤ y rezultaconform (F2) ca y ∈ F ). Deci, χF (x) = 0 = χF (y) si prin urmare χF (x) = 0 ≤χF (y) = 0.Deci, conditia (FF2) este ındeplinita.

⇐=: Presupunem ca χF este filtru fuzzy al lui B, deci satisface (FF1) si (FF2).Sa demonstram ca F este filtru al lui B, adica ca satisface (F1) si (F2).

(F1): Presupunem x, y ∈ F ; rezulta ca χF (x) = 1 = χF (y), si deci conform(FF1), avem min(χF (x), χF (y)) = 1 ≤ χF (x ∧ y). Rezulta ca χF (x ∧ y) = 1 adicax ∧ y ∈ F . Deci, conditia (F1) este ındeplinita.

(F2): Presupunem x ∈ F (adica χF (x) = 1) si x ≤ y. Conform (FF2), obtinemca χF (x) = 1 ≤ χF (y), deci χF (y) = 1 adica y ∈ F . Astfel, conditia (F2) esteındeplinita. 2

Teorema 4.10.10 Fie µ : B −→ [0, 1] o submultime fuzzy a lui B. Atunci µ esteun filtru fuzzy al lui B daca si numai daca submultimea sa de nivel Ut(µ) este unfiltru al lui B sau este vida, pentru orice t ∈ [0, 1].

4.10. FILTRE FUZZY ALE UNEI ALGEBRE BOOLE 107

Demonstratie.=⇒: Fie µ un filtru fuzzy al lui B, adica (FF1) si (FF2) au loc. Fie t ∈ [0, 1]

astfel ıncat Ut(µ) 6= ∅. Sa aratam ca Ut(µ) este filtru al lui B, adica (F1) si (F2)sunt ındeplinite.

(F1): Fie x, y ∈ Ut(µ); deci µ(x), µ(y) ≥ t. Din (FF1) rezulta cat ≤ min(µ(x), µ(y)) ≤ µ(x ∧ y), deci µ(x ∧ y) ≥ t; prin urmare x ∧ y ∈ Ut(µ). Deci(F1) este ındeplinita.

(F2): Fie x ∈ Ut(µ) si x ≤ y. Deci µ(x) ≥ t. Rezulta din (FF2) ca t ≤ µ(x) ≤µ(y), si de aici avem µ(y) ≥ t, adica y ∈ Ut(µ). Astfel, (F2) are loc.

⇐=: Presupunem ca pentru orice t ∈ [0, 1], Ut(µ) este filtru al lui B, adica (F1),(F2) au loc, sau Ut(µ) = ∅. Sa aratam ca µ este filtru fuzzy al lui B, adica ca (FF1)si (FF2) au loc.

(FF1): Sa presupunem prin absurd ca exista x, y ∈ B astfel ıncatmin(µ(x), µ(y)) > µ(x ∧ y). Sa luam, atunci

t0 =µ(x ∧ y) + min(µ(x), µ(y))

2∈ [0, 1].

Deci µ(x ∧ y) < t0 < min(µ(x), µ(y)) ≤ µ(x), µ(y). Rezulta ca x, y ∈ Ut0(µ) six ∧ y 6∈ Ut0(µ), de unde din (F1) rezulta ca Ut0(µ) nu este filtru: contradictie.Deci, (FF1) are loc.

(FF2): Sa presupunem prin absurd ca exista x, y ∈ B astfel ıncat x ≤ y siµ(x) > µ(y). Sa luam, atunci

t1 =µ(y) + µ(x)

2∈ [0, 1].

Deci µ(y) < t1 < µ(x). Rezulta x ∈ Ut1(µ) si y 6∈ Ut1(µ), de unde conform (F2)obtinem ca Ut1(µ) nu este filtru: contradictie. Deci (FF2) are loc. 2

Partea III

Elemente de teoriamultimilor

109

111

Logica matematica si teoria multimilor sunt cele doua teorii de baza care con-stituie fundamentele matematicii (logica este cea care ”precede” teoria multimilor).Teoria multimilor, ca si logica matematica, poate fi prezentata neformalizat (asanumita ”teorie naiva (intuitiva) a multimilor”) sau formalizat (teoria axiomatica amultimilor).

Teoria (naiva a) multimilor, asa cum o utilizam astazi, a fost creata de mate-maticianul german Georg Cantor (1845 - 1918), de la universitatea din Halle, ın pe-rioada 1879-1897. Dupa Cantor [17], se numeste multime ”o colectie de obiectebine determinate, distincte, ale intuitiei sau gandirii noastre, conside-rate ca un tot. Obiectele considerate se numesc elementele multimii.” 1

Natura lor este cu totul arbitrara, termenul obiect desemnand orice fel de entitateconcreta sau abstracta. Obiectele au doar calitatea de a apartine sau nu multimii.

In continuare, vom nota cu litere mari multimile si cu litere mici elementele lor.Daca A este o multime si x un element al sau, vom scrie (nota) ”x ∈ A” si

vom citi ”x apartine lui A”. Daca x nu se gaseste ın multimea A, atunci vom scrie”x 6∈ A” si vom citi ” x nu apartine lui A”. Simbolul ”∈” (” 6∈”) este simbolul”apartenentei” (respectiv ”neapartenentei”).

Pentru o multime se mai foloseste notatia {a, b, c, . . .}, unde a, b, c etc. sunt ele-mentele multimii. In particular, putem considera multimi formate dintr-un singurelement, {a}: trebuie facuta deosebirea ıntre elementul a si multimea cu un singurelement (”singleton-ul”), {a}.

O multime este deci determinata de elementele sale. Rezulta ca doua multimisunt egale (adica coincid) daca si numai daca ele sunt formate din aceleasi elemente(Principiul (axioma) extensiei (extensionalitatii)2).

In definitia lui Cantor a multimii se cere ca obiectele multimii sa fie determinate.Se pune atunci problema modului de determinare a acestora.

Un mijloc este acela de a enumera toate elementele multimii. De exemplu,multimile ”abstracte”: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} si multimea ”concreta” deculori: C = {alb, rosu, verde}.

Aceasta este ınsa complicat ın cazul multimilor finite cu un numar mare deelemente sau ın cazul multimilor infinite. De aceea, ın teoria lui Cantor se acceptaPrincipiul (axioma) abstractiei3, care spune ca fiecare proprietate defineste omultime; mai precis, data o proprietate P , exista o (unica) multime ce contine toateobiectele ce satisfac P , si numai pe acestea. Multimile definite ın acest mod se vornota astfel:

A = {x | P (x)},1In original: ”Unter eine Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten

wohlunterschiedenen Objekten in unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elementevon M genannt werden) zu einem ganzen”. [118]

In engleza: ”A set is a collection into a whole of definite distinct objects of our intuition or ofour thought. The objects are called the elements (members) of the set.” [35]

2Axiom of extensionality for sets3Axiom of comprehension

112

adica A este multimea obiectelor cu proprietatea P . De exemplu, consideram pro-prietatea P (x) ≡ ”x este numar natural mai mic sau egal cu 5”. In acest caz,multimea este {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Teoria initiata de Cantor nu a fost bazata pe nicio axioma, ınsa din analizademonstratiilor date de el se poate observa ca, implicit, ın marea majoritate acazurilor, s-au considerat 3 axiome [118]: Axioma extensionalitatii, Axiomaabstractiei si Axioma alegerii. Prima formulare explicita a Axiomei abstractiei,sursa tuturor disputelor, apare ın [36], ca fiind axioma a V-a, conform [118].

Libertatea fara margini de a concepe multimi - data de Principiul abstractiei- poate sa conduca la niste ”totalitati” abstracte extrem de ”mari”. Putem astfelconcepe, de exemplu, multimea M a tuturor multimilor posibile. Aceasta multimeprezinta ”extravaganta” [97] (proprietatea) ca se contine si pe sine ca element,adica M∈M, deoarece M este o multime.

Pe de alta parte, multimile cu care ın mod curent avem de-a face nu prezintaasemenea ”extravaganta”.

Exemplu [97] Multimea N a natiunilor Europei nu se contine ca element:N 6∈ N , deoarece N nu este o natiune.

Folosirea fara restrictii a Principiului abstractiei a dus la aparitia ın jurulanului 1900 a unor rezultate contradictorii, asa-numitele paradoxuri sau paradoxe4

(sau antinomii) din teoria multimilor, care au subminat teoria lui Cantor.Cel mai simplu si mai cunoscut este paradoxul lui Bertrand Russell, publicat ın

1903 [105]. Acelasi paradox a fost simultan si independent discutat la Gottingen decatre Zermelo si cercul sau, fara a se ajunge a fi publicat (conform [35]). Paradoxullui Russell (numit si paradoxul multimilor) se obtine facand urmatorul rationament:Principiul abstractiei ne permite sa consideram urmatoarea multime

R = {A | A multime, A 6∈ A},

adica R este multimea formata din toate multimile ne-”extravagante” (care nu secontin pe sine ca element).

Daca acceptam ca R (multimea lui Russell) este un ”obiect logic” [97], atunci ınmod obligatoriuR, la randul ei, trebuie sa fie ”extravaganta” sau ne-”extravaganta”,adica avem alternativa:

a) R ∈ R sau b) R 6∈ R;

- daca se realizeaza (a), atunci, conform definitiei lui R, avem R 6∈ R; deci amdemonstrat implicatia: daca R ∈ R atunci R 6∈ R;- daca se realizeaza (b), ınseamna ca R este o clasa ne-”extravaganta” si, prinurmare, conform definitiei clasei R, avem R ∈ R; deci am demonstrat implicatia:daca R 6∈ R atunci R ∈ R.Deci,

R ∈ R ⇐⇒ R 6∈ R.

4Exista mai multe definitii ale notiunii de paradox; vedeti de exemplu [30], p. 105.

113

Aceasta echivalenta constituie antinomia lui Russell. Antinomia lui Russell a fostun adevarat soc atat pentru teoria lui Cantor, cat si pentru alti matematicieni, carefolosisera deja teoria lui Cantor.

Ulterior, multe alte antinomii au fost construite. Ele au fost clasificate ın douacategorii: antinomii logice (antinomia lui Russell, antinomia lui Cantor (1899,publicata ın 1932), antinomia lui Burali-Forti (1897), etc.) si antinomii semantice(antinomia lui Richard (1905), etc.).

Teoria multimilor conceputa de Cantor a fost deci subminata de descoperireaparadoxurilor. ”Criza paradoxurilor” - a treia ın istoria fundamentelor matematicii- declansata la ınceputul secolului 20 de notiunile de multime si apartenenta adeclansat marea criza a fundamentelor matematicii, ale carei probleme nu suntrezolvate complet nici ın zilele noastre.5

Pentru a salva teoria multimilor (si implicit fundamentarea matematicii peaceasta baza), au fost introduse anumite restrictii. Astfel, au aparut diverselesisteme axiomatice ale teoriei multimilor, menite sa confere teoriei create deCantor o baza logica corespunzatoare exigentelor moderne si sa solutioneze, ıntrealtele, problema paradoxurilor.6

Printre cele mai cunoscute sisteme axiomatice se numara:- sistemul Zermelo-Fraenkel (ZF) (sau sistemul Zermelo-Fraenkel cu Axioma Alegerii(ZFC)), construit de E. Zermelo ın anul 1908 [124], [125] si modernizat deA. Fraenkel ın anii 1921-1926 [34]; este sistemul axiomatic cel mai apropiat de spir-itul originar al teoriei lui Cantor si cel mai utilizat; mai poate fi ıntalnit si sub de-numirea de sistemul Zermelo-Fraenkel-Skolem, datorita modernizarilor facute si deSkolem [112], [113];- sistemul von Neumann - Godel - Bernays (cunoscut si ca sistemul von Neumann -Bernays (VNB) sau ca sistemul Godel - Bernays (GB)), elaborat esentialmente deP. Bernays ıntre 1937 - 1954, dupa sistemul propus ın 1925 de John von Neumannsi perfectionat ın 1940 de Kurt Godel;- sistemul lui Quine [95].

• Sistemul axiomatic ZF a eliminat antinomiile folosind doar multimi, dar ex-cluzand de la ınceput totalitatile (multimile) ”prea mari” (clasele propriu-zise).

• Sistemul von Neumann - Godel - Bernays este unul din sistemele axiomaticecare admite, pe langa multimi, si existenta claselor; un astfel de sistem se numeste”teorie a multimilor cu clase” (set theory with classes), fata de sistemul ZF deexemplu, care este o ”teorie a multimilor numai cu multimi” (set theory with setsonly), conform [35]). Un exemplu extrem de clasa este clasa care contine toatemultimile: totalitatea multimilor formeaza o clasa, notata M si numita univers(= clasa tuturor multimilor), care nu este multime. Orice multime A verificaA ∈ M. O clasa A este multime daca exista o alta clasa B, astfel ıncat A ∈ B.

5Cercetarile matematice au condus la construirea unor teorii care elimina paradoxurile cunos-cute, dar nu s-a putut demonstra necontradictia lor, adica daca nu cumva ın cadrul acestor teoriiapar alte paradoxuri. [84]

6Dezvoltarea unei teorii axiomatice (formale) se face ın cadrul unui sistem formal, bazat pelogica cu predicate de ordinul I cu egalitate.

114

Prin urmare, orice multime este o clasa, dar nu orice clasa este multime, deoarecenu despre orice clasa se poate arata ca este element al unei clase. Fiecare clasa esteformata din multimi (elementele sale), dar clasa ınsasi nu este obligatoriu multime.Aceasta distinctie simpla, dar decisiva, ıntre clase si multimi asigura eliminareatuturor paradoxurilor cunoscute. In particular, despre clasa R a lui Russell searata ca nu este multime, ci o clasa propriu-zisa, si ca urmare posibilitatea (a):R ∈ R este eliminata.

Daca comparam sistemele VNB si ZF, observam mai ıntai [35] ca limbajul luiVNB este mai bogat. Tot ce putem exprima si demonstra ın ZF putem exprima sidemonstra, respectiv, ın VNB, dar exista enunturi care pot fi exprimate ın VNBdar nu ın ZF [35]. Daca ne intereseaza doar multimile, atunci ZF si VNB suntesential aceeasi teorie [35].

Mai multe despre metamatematica si semantica teoriei multimilor gasiti ın [35],de exemplu.

Bibliografie pentru teoria multimilor: [16], [17], [18], [21], [22], [23], [27], [31],[33], [35] (recomandata si pentru bibliografie suplimentara), [47], [52], [68], [69],[79], [82], [84], [97], [118], [124], [49], [115], [70].

In aceasta parte, ın capitolul 1, vom aminti cateva notiuni din teoria naiva amultimilor, pentru a ajunge sa prezentam algebra Boole a multimilor, cu demonstratiicomplete, care folosesc logica clasica (prezentata neformalizat) - esential, predi-catele unare.

In capitolul 2, vom continua cu prezentarea relatiilor binare si a algebrei Boolea relatiilor binare, unde se folosesc, esential, predicatele binare. Urmeaza algebrarelationala a relatiilor binare; facem legatura cu bazele de date relationale, folositeın informatica.

Capitolul 5

Algebra Boole a multimilor

Timp de secole matematica s-a descurcat fara teoria multimilor, dar astazi, ınmajoritatea textelor, teoria multimilor este indispensabila. Chiar textele pentruscoala ıncep cu multimi, reuniuni, intersectii etc.

Vom relua si noi aceste notiuni ın scopul de a accentua rolul calculului cupredicate neformalizat ın definitii. Vom prezenta apoi algebra Boole a partilor uneimultimi date, cu demonstratii pedante, complete, care folosesc calculul cu predicate(neformalizat) de ordinul I (predicatele unare) si de ordinul II.

In sectiunea 1, discutam despre cele doua concepte fundamentale ale teorieimultimilor: multimea si apartenenta. In sectiunea a doua, discutam desprerelatiile de incluziune si de egalitate, iar ın sectiunea a 3-a discutam despreoperatii cu multimi, pentru a ajunge la scopul acestui capitol, algebra Boole amultimilor.

Ne situam ıntr-o teorie naiva a multimilor care accepta clase.

5.1 Multimea si apartenenta: concepte fundamen-tale

In consideratiile matematice, ca si ın viata de toate zilele, intervin frecventdiverse colectii (ansmbluri) de obiecte grupate la un loc pe baza anumitor pro-prietati comune. In matematica, asemenea colectii (ansambluri, grupuri, totalitati)de obiecte sunt numite multimi [97].

Obiectele care compun o multime se numesc elementele multimii respective.Daca obiectul x este un element al multimii A, spunem ca x apartine lui A (sau

ca A contine pe x) si notam:

x ∈ A (sau, dual, A 3 x, respectiv).

115

116 CAPITOLUL 5. ALGEBRA BOOLE A MULTIMILOR

In caz contrar, spunem ca x nu apartine lui A (sau, dual, ca A nu contine pe x) sinotam:

x 6∈ A (sau A 63 x, respectiv),

sau, folosind simbolul negatiei logice:

¬(x ∈ A) (sau ¬(A 3 x), respectiv).

Semnul ”∈” a fost introdus ın matematica de matematicianul si logicianulGiuseppe Peano (1858 - 1932), ca scriere stilizata a primei litere ”ε” (epsilon)din cuvantul grecesc ”εστι” (este) si se numeste simbolul relatiei de apartenenta(conform [97]).

Elementele unei multimi se gasesc deci ın relatie de apartenenta cu multimearespectiva.

Notiunile de multime si de apartenenta au devenit conceptele fundamentale alemate- maticii contemporane.

Vom accepta ca exista o multime, si numai una, care prin definitie nu continenici un element. Aceasta multime se numeste multimea vida si se noteaza cu ∅.Multimea ∅ este deci unica multime caracterizata de proprietatea:

x 6∈ ∅, oricare ar fi x

sau, ın limbaj simbolic,(∀x)[¬(x ∈ ∅)].

5.2 Relatia de incluziune si relatia de egalitate

Pornind de la obiectul primitiv (initial): multimea si de la relatia primitiva ıntremultimi: relatia de apartenenta, se obtin si alte relatii ıntre multimi, numite relatiiderivate:

- relatia de incluziune,- relatia de egalitate.

5.2.1 Relatia de incluziune ıntre multimi (clase)

Definitia 5.2.1 Daca A si B sunt doua multimi (clase) cu proprietatea ca oriceelement al multimii (clasei) A este si element al multimii (clasei) B, vom spune:multimea (clasa) A este inclusa ın multimea (clasa) B sau, dual, multimea (clasa)B include multimea (clasa) A, si vom nota:

A ⊆ B sau B ⊇ A.

Prin urmare,A ⊆ B

def.↔ (∀x)[(x ∈ A) → (x ∈ B)].

Daca A ⊆ B, spunem ca A este o submultime (subclasa) sau parte a lui B sau,dual, ca B este o supramultime (supraclasa) a lui A.

5.2. RELATIA DE INCLUZIUNE SI RELATIA DE EGALITATE 117

Observatiile 5.2.21. Relatia ”⊆” a fost definita cu ajutorul relatiei ”∈” si al operatorilor logici →

si ∀.2. Multimea vida, ∅, este parte a oricarei multimi: oricare ar fi multimea A,

avem ∅ ⊆ A.3. Oricare ar fi multimea A, avem A ⊆M si A ∈M, unde M este clasa tuturor

multimilor.4. Incluziunea nu este singura relatie matematica reductibila la apartenenta.

In matematica, exista o varietate infinita de relatii: egalitatea obiectelor matema-tice, diversele relatii de echivalenta, ordonarea numerelor, divizibilitatea numerelorıntregi, ordonarile obiectelor nenumerice, morfismele, izomorfismele etc. Contributiarevolutionara a lui Cantor ın dezvoltarea matematicii moderne consta tocmai ındescoperirea faptului ca toate relatiile matematice sunt reductibile la relatia deapartenenta.

5.2.2 Relatia de egalitate ıntre multimi

Relatia de egalitate ıntre multimi (clase) se defineste pornind de la notiuneagenerala de egalitate ın matematica. Relatia de egalitate se noteaza cu semnul ”=”si intervine ın aproape toate teoriile matematice.

Definitia 5.2.3 Spunem ca doua obiecte matematice x si y, apartinand unei teoriimatematice date, sunt egale (si scriem x = y) daca ın cadrul teoriei respective nuputem face nici o distinctie ıntre obiectele x si y, adica din punctul de vedere alacelei teorii ele coincid.

Fiecare teorie matematica dispune de propria sa relatie de ”egalitate”:- egalitatea numerelor ıntregi, reale etc.- egalitatea polinoamelor,- egalitatea functiilor,- egalitatea punctelor geometrice etc.

Toate aceste ”egalitati” au proprietatea de a fi:- reflexive (orice x, x = x),- simetrice (orice x,y, daca x = y, atunci y = x),- tranzitive (orice x,y,z, daca x = y si y = z, atunci x = z),adica sunt relatii de echivalenta. Deci, ın fiecare teorie matematica, egalitatea apareca cea mai fina relatie de echivalenta a teoriei respective (adica relatia de egalitateimplica orice alta relatie de echivalenta).

Sa definim egalitatea multimilor. (Se defineste similar egalitatea claselor.)

Definitia 5.2.4 Daca A si B sunt doua multimi cu proprietatea:(i) un element oarecare x apartine lui A daca si numai daca el apartine lui Batunci spunem ca ele sunt egale si notam aceasta

A = B.


Deci,A = B

def.↔ (i),

unde:(i) (∀x)[(x ∈ A) ↔ (x ∈ B)].

Conditia (i) spune ca cele doua multimi trebuie sa fie formate din aceleasi ele-mente, adica cele doua multimi trebuie sa aiba aceeasi extensiune.

Observatiile 5.2.51) Relatia de egalitate este definita cu ajutorul relatiei de apartenenta si cu

ajutorul operatorilor logici ↔ si ∀.2) A = B ↔ [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)].

Intr-adevar,A = B ↔ (∀x)[(x ∈ A) ↔ (x ∈ B)]

↔ (∀x)[((x ∈ A) → (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ B) → (x ∈ A))]↔ [(∀x)[((x ∈ A) → (x ∈ B))] ∧ [(∀x)((x ∈ B) → (x ∈ A))]↔ [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)],

conform tautologiei cuantificate VII (1).3) ⊆ este o relatie de ordine (partiala).

Din acest punct se poate trece la construirea treptata a teoriei multimilor, in-troducand multimea cu un element, {a} (singleton-ul), multimea cu doua elemente,{a, b}, perechea ordonata (a, b), reuniunea si intersectia claselor (multimilor), com-plementara unei clase (multimi), produsul cartezian, relatiile binare, functiile etc.

5.3 Operatii cu multimi. Algebra Boole a multimilor

Definitia 5.3.1 Vom numi multime totala multimea tuturor obiectelor cu careavem de-a face la un moment dat. Vom nota cu E multimea totala.

Deci E ∈M.Fie acum A si B doua submultimi (parti) ale lui E.

Definitia 5.3.2 A este inclusa strict ın B daca si numai daca A este inclusa ın Bsi A 6= B. Deci, daca notam incluziunea stricta: A ⊂ B, atunci avem:

A ⊂ Bdef.↔ [(A ⊆ B) ∧ (A 6= B)].

5.3.1 Reuniunea si intersectia a doua multimi. Complemen-tara unei multimi. Algebra Boole a multimilor

Definitia 5.3.3 Se numeste reuniunea multimilor A,B, si se noteaza: A ∪ B,multimea elementelor care apartin cel putin uneia din multimile A, B:

A ∪Bdef.= {x ∈ E | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} ⊆ E.

Deci x ∈ A ∪B ↔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B).

5.3. OPERATII CU MULTIMI. ALGEBRA BOOLE A MULTIMILOR 119

Definitia 5.3.4 Se numeste intersectia multimilor A,B, si se noteaza: A ∩ B,multimea elementelor comune lui A si B (care apartin atat lui A cat si lui B):

A ∩Bdef.= {x ∈ E | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} ⊆ E.

Deci x ∈ A ∩B ↔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).

Doua multimi se zic disjuncte daca A ∩B = ∅.Definitia 5.3.5 Se numeste complementara multimii A ın raport cu E, si se noteaza:CEA, multimea elementelor lui E care nu apartin lui A:

CEAdef.= {x ∈ E | x 6∈ A} = {x ∈ E | ¬(x ∈ A)}.

Sa notam cu P(E) multimea tuturor submultimilor (partilor) multimii E:

P(E) = {A | A ⊆ E}.

Observatiile 5.3.6(1) A ⊆ E ↔ A ∈ P(E).(2) ∅ ∈ P(E).(3) E ∈ P(E).

Teorema 5.3.7 Structura

(P(E),∩,∪,CE , ∅, E)

este o algebra Boole, numita algebra Boole a multimilor.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca pentru orice A,B, C ∈ P(E), avem:(M1) A ∪A = A, A ∩A = A (idempotenta lui ∪,∩),(M2) A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A (comutativitatea lui ∪,∩),(M3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociativitatea lui∪,∩),(M4) A ∪ (A ∩B) = A, A ∩ (A ∪B) = A (absorbtia),(M5) A ∪ (B ∩C) = (A ∪ b) ∩ (A ∪C), A ∩ (B ∪C) = (A ∩ b) ∪ (A ∩C) (distribu-tivitatea),(M6) A ∪ ∅ = A, A ∩ E = A,(M7) A ∪CEA = E, A ∩CEA = ∅.

Sa demonstram de exemplu prima egalitate din (M1): pentru orice A ∈ P(E),A ∪A = A.• Fie A ∈ P(E) multime fixata, altfel arbitrara (oarecare). Sa notam Q(A) ≡”A∪A = A” (am notat cu Q(A) propozitia A∪A = A) si sa aratam ca propozitiaQ(A) este adevarata.


Dar A ∪A = Adef.=↔ (∀x)[x ∈ A ∪A ↔ x ∈ A].

Sa notam cu R(x) predicatul ”x ∈ A∪A ↔ x ∈ A”: R(x) ≡ ”x ∈ A∪A ↔ x ∈ A”.Deci

A ∪A = Adef.=↔ (∀x)R(x).

Propozitia Q(A) (din calculul propozitiilor de ordinul II) este adevarata daca si nu-mai daca propozitia (∀x)R(x) (din calculul propozitiilor de ordinul I) este adevaratadaca si numai daca predicatul R(x) este adevarat daca si numai daca pentru oriceobiect a ∈ DR = E, propozitia R(a) (din calculul propozitiilor de ordinul I) esteadevarata.

· Fie a ∈ DR element fixat, altfel arbitrar. Sa demonstram ca R(a) este opropozitie adevarata:R(a) ↔ ”a ∈ A∪A ↔ a ∈ A” ↔ ”[(a ∈ A)∨ (a ∈ A)] ↔ (a ∈ A)” ↔ ”(p∨p) ↔ p”,conform definitiei lui ∪, unde p ≡ ”a ∈ A” (am notat cu ”p” propozitia ”a ∈ A”).Dar ”(p∨p) ↔ p” este prima tautologie din (P1) a sistemului de tautologiiA1 a calculului propozitiilor, deci este adevarata. Rezulta ca propozitia R(a) esteadevarata, conform Exercitiilor 1.2.14(3).

· Conform P.G. (Principiul generalizarii), rezulta ca pentru orice a ∈ DR,propozitia R(a) este adevarata, adica propozitia Q(A) este adevarata.• Aplicand ınca odata P.G., rezulta ca pentru orice A ∈ P(E), propozitia Q(A)este adevarata, adica pentru orice A ∈ P(A), A ∪A = A.

La fel se demonstreaza (M2) - (M7), folosind respectiv tautologiile (P2) - (P7)din sistemul de tautologii A1. 2

Sa observam ca am facut o demonstratie detaliata (pedanta) a primei egalitatidin (M1), folosind calculul propozitiilor si calculul predicatelor. In mod uzual ınsa,se face o demonstratie mult simplificata.

Corolarul 5.3.8 Submultimea P2 = {∅, E} ⊆ P(E) este ınchisa la ∪,∩,CE, decistructura

(P2,∩,∪,CE , ∅, E)

este o subalgebra Boole a algebrei Boole P(E), deci este o algebra Boole (cu douaelemente) izomorfa cu algebra Boole canonica, L2.

Urmatoarele proprietati sunt de asemenea verificate ın P(E), printre altele:(M8) CE(A ∪B) = CEA ∩CEB, CE(A ∩B) = CEA ∪CEB (legile De Morgan),(M9) CE(CEA) = A,(M10) CE∅ = E, CEE = ∅,(M11) A ⊆ B ⇐⇒ (CEA) ∪B = E, A ⊆ B ⇐⇒ A ∩ (CEB) = ∅.

Exercitiul 5.3.9 Sa se scrie echivalentele celorlalte tautologii din sistemeleA3 - A5.

5.3. OPERATII CU MULTIMI. ALGEBRA BOOLE A MULTIMILOR 121

Mai general, avem urmatoarea definitie:

Definitia 5.3.10 Se numeste camp de multimi orice multime nevida C de submultimiale unei multimi fixate E (multimea totala), astfel ıncat C este ınchisa fata de re-uniunea, intersectia si complementara de multimi, adica:a) daca A,B ∈ C, atunci A ∪B ∈ C,b) daca A, B ∈ C, atunci A ∩B ∈ C,c) daca A ∈ C, atunci CEA ∈ C.Observatia 5.3.11 Din regulile de Morgan pentru multimi, rezulta ca (a) si (c)implica (b), si ca (b) si (c) implica (a). De aceea, ın definitia unui camp de multimieste suficient sa luam conditia (c) ımpreuna cu una din conditiile (a), (b).

Exemplele 5.3.12(1) P(E) este un camp de multimi, pentru orice E.(2) Pentru orice multime E, clasa compusa din toate submultimile finite ale lui

E si din complementarele acestora este un camp de multimi.

Propozitia 5.3.13 Orice camp de multimi C este o algebra Boole, anume

(C,∩,∪,CE , ∅, E).

Sa remarcam ca algebra Boole C este o subalgebra a algebrei Boole P(E).

5.3.2 Functia caracteristica a unei multimi

Fie A ⊆ E o multime oarecare. Se numeste functia caracteristica a lui A, si senoteaza χA, functia χA : E −→ {0, 1}definita astfel: pentru orice x ∈ E,

χA(x)def.=

{1, daca x ∈ A,0, daca x 6∈ A.

Exista o bijectie ıntre P(E) si {0, 1}E = 2E = {f | f : E −→ {0, 1}}, careasociaza fiecarei submultimi A ⊆ E (A ∈ P(E)) functia caracteristica χA.

Functia caracteristica este folosita mult ın teoria multimilor fuzzy si a struc-turilor fuzzy.

5.3.3 Generalizare: reuniunea si intersectia a n multimi

Daca A1, A2, . . . , An ⊆ E, atunci prin definitie:Reuniunea lor este:

∪ni=1Ai = A1∪. . .∪An

def.= {x ∈ E | (x ∈ A1)∨. . .∨(x ∈ An)} = {x ∈ E | (∃i)x ∈ Ai}.

Intersectia lor este:

∩ni=1Ai = A1∩. . .∩An

def.= {x ∈ E | (x ∈ A1)∧. . .∧(x ∈ An)} = {x ∈ E | (∀i)x ∈ Ai}.


Propozitia 5.3.14 Reuniunea si intersectia finita au urmatoarele proprietati:(1) (∪n

i=1Ai) ∩ B = ∪ni=1(Ai ∩ B), (∩n

i=1Ai) ∪ B = ∩ni=1(Ai ∪ B) (distributivitatea

generalizata (finita)),(2) CE(∪n

i=1Ai) = ∩ni=1CEAi, CE(∩n

i=1Ai) = ∪ni=1CEAi (legile De Morgan ge-

neralizate (finite)).

5.3.4 Generalizare: reuniunea si intersectia unei familii demultimi

Definitia 5.3.15 Fie A ⊆ E si I o multime nevida, eventual infinita. Daca fiecaruii ∈ I ıi este asociat un singur element xi ∈ A, atunci spunem ca avem o familie deelemente ale lui A (din A) indexata de (dupa) multimea I si notam cu: (xi)i∈I .

Sa remarcam ca familia de elemente ale lui A, (xi)i∈I , este de fapt o functief : I −→ A, adica un element al lui AI .

Se stie ca familiei (xi)i∈I ıi corespunde submultimea {xi ∈ A | i ∈ I} a lui A, iarsubmultimii X a lui A ıi corespunde familia particulara (x = xx)x∈X de elementedin A indexata dupa ea ınsasi (1X : X −→ X ⊆ A).

Definitia 5.3.16 Daca fiecarui i ∈ I ıi este asociata o singura multime Ai ⊆ E(Ai ∈ P(E)), atunci spunem ca avem o familie de multimi (submultimi ale lui E)indexata de multimea I si notam: (Ai)i∈I .

Sa remarcam ca familia de multimi (Ai)i∈I , este de fapt o functie f : I −→P(E), adica un element al lui P(E)I .

Daca (Ai)i∈I este o familie de multimi, atunci prin definitie:Reuniunea familiei este:

∪i∈IAidef.= {x ∈ E | exista i ∈ I, astfel ıncat x ∈ Ai} = {x ∈ E | (∃i)x ∈ Ai}.

Intersectia familiei este:

∩i∈IAidef.= {x ∈ E | pentru orice i ∈ I, x ∈ Ai} = {x ∈ E | (∀i)x ∈ Ai}.

Propozitia 5.3.17 Reuniunea si intersectia oarecare au urmatoarele proprietati:(1) (∪i∈IAi) ∩ B = ∪i∈I(Ai ∩ B), (∩i∈IAi) ∪ B = ∩i∈I(Ai ∪ B) (distributivitateageneralizata (oarecare)),(2) CE(∪i∈IAi) = ∩i∈ICEAi, CE(∩i∈IAi) = ∪i∈ICEAi (legile De Morgan gene-ralizate (oarecare)).

Demonstratie. Vom demonstra pe scurt, pentru exemplificare, ultimaproprietate:x ∈ CE(∩i∈IAi) ↔ x 6∈ ∩i∈IAi ↔ ¬(x ∈ ∩i∈IAi) ↔ ¬((∀i)x ∈ Ai) ↔ (∃i)¬(x ∈Ai) ↔ (∃i)(x 6∈ Ai) ↔ (∃i)(x ∈ CEAi) ↔ x ∈ ∪i∈ICEAi,conform tautologiei cuantificate I (3).

Similar se demonstreaza restul proprietatilor. 2

Capitolul 6

Algebra relationalaa relatiilor

In matematica, o anumita categorie de enunturi joaca un rol important; acesteenunturi se numesc relatii, cele mai utilizate fiind relatiile binare. Vom ıncepe cuo categorie de relatii particulare, cu o structura foarte simpla si care se numescproduse carteziene (sau produse directe). Apoi vom defini relatiile, operatii curelatii, algebra Boole a relatiilor. In final vom defini algebra relationala a relatiilor,pentru a face legatura cu bazele de date relationale.

In sectiunea 1, discutam despre produsul cartezian a 2 multimi si desprerelatiile binare; ın sectiunea 2, discutam despre produsul cartezian a n multimisi despre relatiile n-are; ın sectiunea 3, discutam despre operatii cu relatii binaresi despre algebra Boole a relatiilor binare; ın sectiunea 4, discutam despre alge-bra relationala a relatiilor binare; ın sectiunea 5, discutam despre bazele de daterelationale.

Vom utiliza aici calculul cu predicate binare, ternare, ..., n-are.

6.1 Produs cartezian a doua multimi. Relatii binare

6.1.1 Produs cartezian a doua multimi

Definitia 6.1.1(i) Fie D1, D2 doua multimi, distincte sau nu. Se numeste produs cartezian

al multimilor D1, D2 multimea, notata D1 × D2, care are drept elemente toateperechile ordonate (x, y), cu x ∈ D1 si y ∈ D2, si numai pe acestea:

D1 ×D2def.= {(x, y) | (x ∈ D1) ∧ (y ∈ D2)}.

(i’) Daca D1 = D2 = D, atunci D ×D se mai noteaza D2.

123

124 CAPITOLUL 6. ALGEBRA RELATIONALA A RELATIILOR

Definitia 6.1.2(i) Se numeste diagonala produsului cartezian D1×D2 multimea notata ∆D1×D2

definita astfel:

∆D1×D2

def.= {(x, y) | (x ∈ D1) ∧ (y ∈ D2) ∧ (x = y)}

= {(x, x) | (x ∈ D1) ∧ (x ∈ D2)} = {(x, x) | x ∈ D1 ∩D2} ⊆ D1 ×D2.

(i’) Se numeste diagonala produsului cartezian D ×D (sau relatia identica dinD) multimea, notata ∆D, definita astfel:

∆Ddef.= {(x, x) | x ∈ D} ⊆ D ×D.

Propozitia 6.1.3 Daca Card(D1) si Card(D2) sunt finite, atunci

Card(D1 ×D2) = Card(D1) · Card(D2),

unde Card(D) este numarul elementelor multimii D (cardinalul lui D).

Produsul cartezian a doua multimi are proprietatile urmatoare, printre altele:1. Daca D1 = ∅ sau D2 = ∅, atunci D1 ×D2 = ∅.2. Daca D1, D′

1, D2, D′2 sunt nevide, atunci

D1 ×D2 = D′1 ×D′

2 ↔ (D1 = D′1) ∧ (D2 = D′

2).

3. (D1 ∪D′1)×D2 = (D1 ×D2) ∪ (D′

1 ×D2),D1 × (D2 ∪D′

2) = (D1 ×D2) ∪ (D1 ×D′2).

4. (D1 ∩D′1)×D2 = (D1 ×D2) ∩ (D′

1 ×D2),D1 × (D2 ∩D′

2) = (D1 ×D2) ∩ (D1 ×D′2).

5. (D1 ∪D′1)× (D2 ∪D′

2) = (D1 ×D2) ∪ (D1 ×D′2) ∪ (D′

1 ×D2) ∪ (D′1 ×D′

2).6. (D1 ∩D′

1)× (D2 ∩D′2) = (D1 ×D2) ∩ (D1 ×D′

2) ∩ (D′1 ×D2) ∩ (D′

1 ×D′2).

6.1.2 Relatii binare

Definitia 6.1.4(i) Fie D1 si D2 doua multimi oarecare, distincte sau nu. Se numeste relatie

binara (sau simplu relatie) ıntre D1 si D2 orice submultime R a produsului cartezianD1 ×D2. D1 si D2 se numesc domeniile lui R.

(i’) Daca D1 = D2 = D, se numeste relatie binara (sau relatie) ıntre elementelemultimii D (sau pe multimea D) orice submultime R a produsului cartezian D2.

Observatiile 6.1.51. Diagonala ∆D1×D2 este o relatie binara ıntre D1 si D2, iar ∆D este o relatie

binara pe D.2. Daca x, y sunt ın relatia binara R, atunci vom scrie echivalent:

xRy, (x, y) ∈ R, R(x, y) − predicat binar

6.2. PRODUSUL CARTEZIAN A N MULTIMI. RELATII N -ARE 125

3. Toate elementele unei multimi A au o proprietate comuna, P , si anume aceeade a apartine acelei multimi; propozitia ”a ∈ A” afirma proprietatea P a lui a (aare proprietatea P ). Scriem, echivalent: (a ∈ A) ↔ P (a)

• Functii (aplicatii) unare (de o variabila)

Definitiile 6.1.6 Fie A, B doua multimi oarecare.(i) O functie definita pe A cu valori ın B este o relatie binara Γ ıntre A si B

(adica Γ ⊆ A×B), cu proprietatea ca pentru orice x ∈ A, exista un element y ∈ Bsi numai unul, astfel ıncat (x, y) ∈ Γ.

O functie Γ ⊆ A × B se noteaza prin f : A −→ B (x 7−→ f(x)), simbolulf avand semnificatia urmatoare: fiecarui element x ∈ A ıi corespunde un singurelement, f(x) ∈ B, astfel ıncat (x, f(x)) ∈ Γ.

A se numeste domeniul de definitie al functiei f : A −→ B, B se numestedomeniul valorilor lui f .

(i’) Daca A = B si f : A −→ A, atunci f se numeste operatie unara pe A.

6.2 Produsul cartezian a n multimi. Relatii n-are

6.2.1 Produs cartezian a n multimi (n ≥ 2)

Produsul cartezian a n multimi se poate defini ın doua moduri:

Definitia 6.2.1 (Definitia 1 a produsului cartezian)(i) Fie D1, D2, . . ., Dn n multimi, distincte sau nu (n ≥ 2). Se numeste produs

cartezian al multimilor Di, i = 1, n multimea, notata D1 × D2 × . . . × Dn sauınca

∏ni=1 Di, care are drept elemente toate n-uplele ordonate (x1, x2, . . . , xn) cu

proprietatea xi ∈ Di, i = 1, n:

n∏

i=1

Di = D1 ×D2 × . . .×Dndef.= {(x1, x2, . . . , xn) | (x1 ∈ D1) ∧ . . . ∧ (xn ∈ Dn)}

= {(x1, x2, . . . , xn) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, xi ∈ Di︸︷︷︸P (i)

}.

(i’) Daca D1 = D2 = . . . = Dn = D, atunci D ×D × . . . ×D se mai noteaza Dn,numindu-se puterea naturala a multimii D.

Produsul cartezian a n multimi (finit) mai poate fi definit astfel:

Definitia 6.2.2 (Definitia 2 a produsului cartezian)Fie D1, D2, . . ., Dn n multimi, distincte sau nu (n ≥ 2). Se numeste produs

cartezian al multimilor Di, i = 1, n multimea, notata D1 ×D2 × . . .×Dn sau ınca


∏ni=1 Di, care are drept elemente toate functiile f : {1, 2, . . . , n} −→ ⋃n

i=1 Di, cuproprietatea ca f(i) ∈ Di, pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , n}:

n∏

i=1

Didef.= {f : {1, 2, . . . , n} −→

n⋃

i=1

Di | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, f(i) ∈ Di}.

Observatiile 6.2.31. In aceasta sectiune, scrierea i = 1, n este echivalenta cu scrierea i ∈ {1, 2, . . . , n}.2. Cele doua definitii 6.2.1 si 6.2.2 ale produsului cartezian sunt echivalente,

pentru ca tuplurile (n-uplele) (x1, x2, . . . , xn), cu xi ∈ Di, i = 1, n, sunt ıncorespondenta bijectiva cu functiile f : {1, 2, . . . , n} −→ ⋃n

i=1 Di, cu f(i) = xi ∈Di, i = 1, n.

3. (D1 ×D2) ×D3 ' D1 × (D2 ×D3) ' D1 ×D2 ×D3, unde ' ınseamna caıntre multimile respective exista o bijectie.

Propozitia 6.2.4 Pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n}, functia πj :∏n

i=1 Di −→ Dj,definita de:

πj((x1, x2, . . . , xn))def.= xj

este surjectiva si se numeste proiectia canonica a lui∏n

i=1 Di.

6.2.2 Relatii n-are (n ≥ 2)

Definitia 6.2.5(i) Fie D1, D2, . . . , Dn o lista finita de multimi oarecare, distincte sau nu,

n ≥ 2. Se numeste relatie n-ara ıntre multimile D1, . . . , Dn orice submultime R aprodusului cartezian

∏ni=1 Di. Multimile D1, . . ., Dn se numesc domeniile lui R.

n se numeste aritatea lui R.(i’) Daca D1 = D2 = . . . = Dn = D, se numeste relatie n-ara ıntre elementele

multimii D (sau pe multimea D) orice submultime R a produsului cartezian Dn.

Observatiile 6.2.61. Elementele unei relatii n-are sunt tupluri (n-upluri) sau, echivalent, sunt

functii.2. Daca x, y, z sunt ın relatia ternara R, vom scrie echivalent:

(x, y, z) ∈ R, R(x, y, z) − predicat ternar

Exemple de relatii ternare1) S(x, y, z) ≡ ”x + y = z”2) P (x, y, z) ≡ ”x · y = z”

6.3. OPERATII CU RELATII. ALGEBRA BOOLE A RELATIILOR 127

• Functii de n variabile (n ≥ 1)

Definitiile 6.2.7 Fie D1, D2, . . . , Dn si B n + 1 multimi, distincte sau nu, n ≥ 1.(i) O functie de n variabile este o functie unara f :

∏ni=1 Di −→ B, adica este

o relatie binara Γ, Γ ⊆ (D1 ×D2 × . . .×Dn)× B cu proprietatea ca pentru oriceX = (x1, x2, . . . , xn) ∈ ∏n

i=1 Di, exista un element y = f(X) ∈ B si numai unulastfel ıncat

(X, y) = ((x1, x2, . . . , xn), y) ∈ Γ.

(i’) Daca D1 = D2 = . . . = Dn = B = D, atunci o functie f : Dn −→ D senumeste operatie n-ara pe D.

(i”) O operatie zero-ara sau nulara pe D 6= ∅ se defineste ca fiind un elemental multimii D.

Observatia 6.2.8 Din Observatiile 6.2.3 (3), rezulta ca, echivalent, o functie de nvariabile este o relatie (n+1)-ara Γ, Γ ⊆ D1×D2× . . .×Dn×B, cu proprietatea capentru orice (x1, x2, . . . , xn) ∈ ∏n

i=1 Di, exista un element y = f(x1, x2, . . . , xn) ∈B si numai unul astfel ıncat (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ Γ.

6.3 Operatii cu relatii. Algebra Boole a relatiilor

In cele ce urmeaza, vom lucra numai cu relatii binare pe E, generalizarea la alterelatii binare sau la relatii n-are fiind evidenta.

6.3.1 Disjunctia, conjunctia si negatia unei relatii binare

Fie R si S doua relatii binare pe E (adica R, S ⊆ E ×E).

Definitia 6.3.1 Numim disjunctia (reuniunea) relatiilor R, S, si notam R∨

S,relatia care corespunde reuniunii lor luate ca multimi:

R∨

Sdef.= {(x, y) ∈ E × E | (x, y) ∈ R ∨ (x, y) ∈ S}.

Definitia 6.3.2 Numim conjunctia (intersectia) relatiilor R, S, si notam R∧

S,relatia care corespunde intersectiei lor luate ca multimi:

R∧

Sdef.= {(x, y) ∈ E × E | (x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ S}.

Definitia 6.3.3 Numim negatia (complementara) relatiei R, si notam R, relatiacare corespunde complementarei ei ın raport cu E × E luata ca multime:

Rdef.= {(x, y) ∈ E × E | (x, y) 6∈ R} = {(x, y) ∈ E × E | ¬((x, y) ∈ R)}.


6.3.2 Implicatia si echivalenta relatiilor binare

Fie R si S doua relatii binare pe E.

Definitia 6.3.4 Spunem ca relatia R implica relatia S, si notam R =⇒ S, dacaori de cate ori avem xRy, avem si xSy, deci daca R ⊆ S ca multimi.

Definitia 6.3.5 Spunem ca relatia R este echivalenta cu relatia S, si notam R ⇐⇒S, daca R =⇒ S si S =⇒ R, deci daca R = S ca multimi.

Observatiile 6.3.61. Implicatia relatiilor este o relatie de ordine partiala pe multimea relatiilor

binare pe E.2. Echivalenta relatiilor este o relatie de echivalenta pe multimea relatiilor

binare pe E.

Exemplele 6.3.7• Pentru numere:

”<”∨

”=” ⇐⇒ ”≤”,”>”

∨”=” ⇐⇒ ”≥”,

”≤”∧

”≥” ⇐⇒ ”=”,”≥”

∧”6=” ⇐⇒ ”>”,

”≤”∧

”6=” ⇐⇒ ”<”.

” < ” ⇐⇒ ”≥” (negatia relatiei < este ≥),” > ” ⇐⇒ ”≤” (negatia relatiei > este ≤),” = ” ⇐⇒ ”6=” (negatia relatiei = este 6=).

”=” =⇒ ”≤”,”=” =⇒ ”≥”,”<” =⇒ ”≤”,”>” =⇒ ”≥”,”<” =⇒ ”6=”,”>” =⇒ ”6=”.

• Pentru multimi:”⊆”

∧”⊇” ⇐⇒ ”=”.

” ∈ ” ⇐⇒ ”6∈” (negatia lui ∈ este 6∈),” 6∈ ” ⇐⇒ ”∈” (negatia lui 6∈ este ∈),” = ” ⇐⇒ ”6=” (negatia lui = este 6=).

”=” =⇒ ”⊆”.

6.3. OPERATII CU RELATII. ALGEBRA BOOLE A RELATIILOR 129

6.3.3 Algebra Boole a relatiilor

Definitia 6.3.8 Se numeste relatia vida, si o vom nota V , relatia care corespundemultimii vide, ∅ ⊆ E × E, adica relatia cu proprietatea ca oricare x, y din E, nuavem xV y.

Definitia 6.3.9 Se numeste relatia totala, si o vom nota T , relatia care corespundemultimii totale, E × E ⊆ E × E, adica este relatia cu proprietatea ca oricare x, ydin E, avem xTy.

Teorema 6.3.10 Fie RE multimea tuturor relatiilor binare pe E (adica RE =P(E × E)). Atunci structura (RE ,

∧,∨

,−, V, T ) este o algebra Boole, numita al-gebra Boole a relatiilor.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca pentru orice R, S, Q ∈ RE , avem:(R1) R

∨R ⇐⇒ R, R

∧R ⇐⇒ R (idempotenta lui

∨,∧

),(R2) R

∨S ⇐⇒ S

∨R, R

∧S ⇐⇒ S

∧R (comutativitatea lui

∨,∧

),(R3) R

∨(S

∨Q) ⇐⇒ (R

∨S)

∨Q, R

∧(S

∧Q) ⇐⇒ (R

∧S)

∧Q (asociativitatea

lui∨

,∧

),(R4) R

∨(R

∧S) ⇐⇒ R, R

∧(R

∨S) ⇐⇒ R (absorbtia),

(R5) R∨

(S∧

Q) ⇐⇒ (R∨

S)∧

(R∨

Q),R

∧(S

∨Q) ⇐⇒ (R

∧S)

∨(R

∧Q) (distributivitatea),

(R6) R∨

V ⇐⇒ R, R∧

T ⇐⇒ R (V este prim element, T este ultim element:V =⇒ R =⇒ T ),(R7) R

∨R ⇐⇒ T , R

∧R ⇐⇒ V (R este complementul lui R ),

ceea ce se demonstreaza similar cu modul cum am demonstrat ca (P(E),∩,∪, CE , ∅, E)este o algebra Boole (algebra Boole a multimilor), de data aceasta folosind predicatebinare, nu unare. 2

Urmatoarele proprietati sunt de asemenea adevarate, pe langa multe altele:pentru orice doua relatii binare R, S pe E,(R8) R

∨S ⇐⇒ R

∧S, R

∧S ⇐⇒ R

∨S (legile De Morgan),

(R9) R ⇐⇒ R (legea dublei negatii).

Observatia 6.3.11 Echivalenta relatiilor joaca, ın algebra Boole a relatiilor, acelasirol pe care-l joaca egalitatea multimilor ın algebra Boole a multimilor.

6.3.4 Matricea booleana (caracteristica) a unei relatii binarepe o multime finita

Sa observam ca oricarei multimi finite, ”concrete” {x1, x2, . . . , xn} ıi putemasocia o singura multime finita, ”abstracta” {1, 2, . . . , n}, abstractie facand de obijectie, si ca oricarei multimi finite ”abstracte” {1, 2, . . . , n} ıi putem asocia o


infinitate de multimi finite ”concrete” {x1, x2, . . . , xn}. De exemplu, multimii cu-lorilor (multime ”concreta”) {alb, rosu, albastru} ıi asociem multimea ”abstracta”{1, 2, 3} (sau {n, n + 1, n + 2}), iar multimii ”abstracte” {1, 2} ıi putem asociamultimile ”concrete” {alb, verde}, {Dacia, Volvo}, {Ion, Alina} etc.

Fie o multime finita ”concreta” A = {x1, x2, . . . , xn} (”abstracta”A = {1, 2, . . . , n}) si R o relatie binara pe A (R ⊆ A × A). Se numeste matricebooleana sau matrice caracteristica asociata lui R matricea MR = (mij)i,j∈{1,2,...,n},definita astfel:

mij ={

1, daca (xi, xj) ∈ R ((i, j) ∈ R)0, daca (xi, xj) 6∈ R ((i, j) 6∈ R).

Se observa ca multimea relatiilor binare pe o multime finita cu n elemente esteın corespondenta bijectiva cu multimea matricelor booleene de ordinul n. Deci, orelatie binara pe o multime finita cu n elemente poate fi data, alternativ, printr-omatrice booleana de ordin n. Deci, se poate identifica R cu MR.

De exemplu, relatia R, definita pe multimea A = {a, b, c, d}, are urmatoareamatrice booleana asociata:

MR =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 00 0 0 1

Conditiile (O1) - (O4) din Definitiile 3.1.1, verificate de o relatie binara R peo multime A finita cu n elemente, pot fi reformulate echivalent pentru matriceabooleana asociata, MR, astfel:(O′1) pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , n}, mii = 1,(O′2) pentru orice i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j, mij = 1 implica mji = 0 (MR este omatrice antisimetrica),(O′3) pentru orice i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j, k 6= i, k 6= j, mij = 1 si mjk = 1implica mik = 1,(O′4) pentru orice i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, mij = 1 sau mji = 1.

Exercitiile 6.3.121. Sa se scrie un program pentru determinarea tuturor relatiilor de ordine pe omultime finita.2. Se da o relatie binara pe o multime finita prin matricea booleana asociata. Sa sescrie un program pentru a verifica daca relatia este de ordine, partiala sau totala,sau daca relatia este de preordine.3. Se da o relatie binara R pe multimea E = {1, 2, . . . , n} prin matricea sa booleana(caracteristica). Sa se scrie un program care sa verifice daca relatia R este deechivalenta si ın caz afirmativ sa determine elementele fiecarei clase de echivalenta.Exemplificare cu matricea:

6.4. ALGEBRA RELATIONALA A RELATIILOR 131

MR =

1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1

6.4 Algebra relationala a relatiilor

Notiunea de algebra relationala s-a nascut din proprietatiile relatiilor si relatiileformeaza primul exemplu de algebra relationala. Exista mai multe definitii echiva-lente ale acestei notiuni; noi vom prezenta o varianta.

6.4.1 Compunerea si inversarea relatiilor binare

Fie R si S doua relatii binare pe E.

Definitia 6.4.1 Se numeste compusa (produsul) relatiilor R, S, si se noteaza R◦S,relatia binara care are drept elemente toate acele (si numai acele) perechi ordonate(x, y) pentru care exista cel putin un t, astfel ıncat (x, t) ∈ R si (t, y) ∈ S:

R ◦ Sdef.= {(x, y) ∈ E × E | (∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ S]}.

Definitia 6.4.2 Se numeste inversa (transpusa) (simetrica) relatiei R, si se noteazaR−1, relatia binara care are drept elemente toate perechile ordonate obtinute prin”inversarea” perechilor din R, adica (x, y) ∈ R−1 ↔ (y, x) ∈ R:

R−1 def.= {(x, y) ∈ E × E | (y, x) ∈ R}.

Exemplele 6.4.3• Pentru numere:

”=” ◦ ”≤” ⇐⇒ ”≤”,”≤” ◦ ”=” ⇐⇒ ”≤”,”≥” ◦ ”=” ⇐⇒ ”≥”,”<” ◦ ”<” ⇐⇒ ”<”.

• Pentru multimi:”=” ◦ ”∈” ⇐⇒ ”∈”,”∈” ◦ ”=” ⇐⇒ ”∈”,”=” ◦ ”=” ⇐⇒ ”=”,”⊆” ◦ ”⊆” ⇐⇒ ”⊆”,


”=” ◦ ”⊆” ⇐⇒ ”⊆”,”⊆” ◦ ”=” ⇐⇒ ”⊆”.

Sa demonstram, de exemplu, ca ”=” ◦ ”∈” ⇐⇒ ”∈” pentru multimi:(X, Y ) ∈ ”=” ◦ ”∈”↔ (∃T )[X = T∧T ∈ Y ] ↔ (∃T )[X ∈ Y ] ↔ X ∈ Y ↔ (X,Y ) ∈”∈”.

Propozitia 6.4.4 Produsul are urmatoarele proprietati: pentru orice R, S, Qrelatii binare pe E,0) R ◦ ∆E ⇐⇒ R ⇐⇒ ∆E ◦ R (∆E este element neutru pentru compunerearelatiilor),1) (R ◦ S) ◦Q ⇐⇒ R ◦ (S ◦Q) (asociativitatea compunerii),2) R ◦ (S

∨Q) ⇐⇒ (R ◦ S)

∨(R ◦Q),

3) R ◦ (S∧

Q) ⇐⇒ (R ◦ S)∧

(R ◦Q),4) (R

∨S) ◦Q ⇐⇒ (R ◦Q)

∨(S ◦Q),

5) (R∧

S) ◦Q ⇐⇒ (R ◦Q)∧

(S ◦Q).

Demonstratie. 0):• Fie R o relatie binara pe E, fixata, altfel arbitrara (oarecare); sa demonstram capropozitia: P (R) ≡ ”R ◦∆E ⇐⇒ R” este adevarataa.

R◦∆E ⇐⇒ R ınseamna, conform definitiei lui ⇐⇒, ca R◦∆E = R ca multimi,iarR ◦∆E = R

def.=↔ (∀x)(∀y)[(x, y) ∈ R ◦∆E ↔ (x, y) ∈ R] ≡ (∀x)(∀y)P (x, y),unde am facut notatia P (x, y) ≡ ”(x, y) ∈ R ◦∆E ↔ (x, y) ∈ R”.Dar propozitia (∀x)(∀y)P (x, y) este adevarata daca si numai daca predicatul P (x, y)este adevarat, iar P (x, y) este un predicat adevarat daca si numai daca pentru oricepereche de obiecte (a, b) ∈ DP , propozitia P (a, b) este adevarata.Dar P (a, b) ≡ ”(a, b) ∈ R ◦∆E ↔ (a, b) ∈ R”.

· Fie perechea de obiecte (a, b) ∈ DP , fixata, altfel arbitrara; sa demonstram caP (a, b) este o propozitie adevarata: ıntr-adevar,(a, b) ∈ R ◦∆E ↔(∃t)[(a, t) ∈ R ∧ (t, b) ∈ ∆E ] ↔[(a, b) ∈ R ∧ (b, b) ∈ ∆E ] ↔(a, b) ∈ R,pentru ca din definitia lui ∆E rezulta ca t = b, pentru ca propozitia ””(b, b) ∈ ∆E”este adevarata (este I) si deoarece p ∧ I ↔ p, unde p ≡ ”(a, b) ∈ R”, conform (P6)din sistemul A1 de tautologii.Rezulta ca (a, b) ∈ R ◦ ∆E ↔ (a, b) ∈ R, deoarece daca p ↔ q si q ↔ r, atuncip ↔ r, pentru orice p, q, r propozitii. Deci, P (a, b) este propozitie adevarata.

· Rezulta, conform Principiului Generalizarii, ca pentru orice obiecte a, b,P (a, b) este propozitie adevarata. Deci, R ◦ ∆E ⇐⇒ R este adevarata, adicapropozitia P (R) este adevarata.• Rezulta, aplicand din nou P.G., ca pentru orice R relatie binara pe E, P (R) estepropozitie adevarata, adica R ◦∆E ⇐⇒ R.


Remarca. O demonstratie mai scurta este urmatoarea (lucram doar cu predi-cate):(x, y) ∈ R ◦∆E ↔ (∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ ∆E ] ↔ (x, y) ∈ R.

La fel se demonstreaza ca ∆E◦R ⇐⇒ R este adevarata. Deci, 0) este adevarata.

1): (R ◦S) ◦Q ⇐⇒ R ◦ (S ◦Q) ınseamna (R ◦S) ◦Q = R ◦ (S ◦Q) ca multimi si(R ◦ S) ◦Q = R ◦ (S ◦Q) ↔(∀x)(∀y)[(x, y) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔(x, y) ∈ R ◦ (S ◦Q)] ≡ (∀x)(∀y)P (x, y),unde am facut notatia P (x, y ≡ ”(x, y) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔ (x, y) ∈ R ◦ (S ◦Q)”.Propozitia (∀x)(∀y)P (x, y) este adevarata daca si numai daca pentru orice obiectea, b, propozitia P (a, b) este adevarata.Fie a, b obiecte fixate, altfel arbitrare; sa demonstram ca propozitia P (a, b) esteadevarata, adica ca propozitia (a, b) ∈ (R ◦ S) ◦ Q ↔ (a, b) ∈ R ◦ (S ◦ Q) esteadevarata:ıntr-adevar, (a, b) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔ (din definitia lui ◦)(∃t)[(a, t) ∈ R ◦ S ∧ (t, b) ∈ Q] ↔ (din definitia lui ◦)(∃t)[(∃z)[(a, z) ∈ R ∧ (z, t) ∈ S] ∧ (t, b) ∈ Q] ↔ (pentru ca (t, b) nu depinde de z)(∃t)(∃z)[[(a, z) ∈ R ∧ (z, t) ∈ S] ∧ (t, b) ∈ Q] ↔ (din tautologia cuantificata VIII.2si (P3), asociativitatea lui ∧)(∃z)(∃t)[(a, z) ∈ R ∧ [(z, t) ∈ S ∧ (t, b) ∈ Q]] ↔ (pentru ca (a, z) nu depinde de t)(∃z)[(a, z) ∈ R ∧ (∃t)[(z, t) ∈ S ∧ (t, b) ∈ Q]] ↔ (din definitia lui ◦)(∃z)[(a, z) ∈ R ∧ (z, b) ∈ S ◦Q] ↔ (din definitia lui ◦)(a, b) ∈ R ◦ (S ◦Q).Deci, P (a, b) este propozitie adevarata. Rezulta, conform Principiului Genera-lizarii, ca pentru orice a, b, propozitia P (a, b) este adevarata, deci (R ◦ S) ◦Q ⇐⇒R ◦ (S ◦Q).Remarca. O demonstratie mai scurta este urmatoarea (lucram doar cu predicate):(x, y) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔ (∃t)[(x, t) ∈ R ◦ S ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ . . . ↔ (x, y) ∈ R ◦ (S ◦Q).

La fel se demonstreaza (2) - (3).

4): (x, y) ∈ (R∨

S) ◦Q ↔ (din definitia lui ◦ si∨

)(∃t)[(x, t) ∈ R ∪ S ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ (din definitia lui ∪)(∃t)[[(x, t) ∈ R ∨ (x, t) ∈ S] ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ (din distributivitate)(∃t)[[(x, t) ∈ R∧ (t, y) ∈ Q]∨ [(x, t) ∈ S∧ (t, y) ∈ Q]] ↔ (din tautologia cuantificataVII.2)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ Q] ∨ (∃t)[(x, t) ∈ S ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ (din definitia lui ◦)[(x, y) ∈ R ◦Q] ∨ [(x, y) ∈ S ◦Q] ↔ (din definitia lui ∪)(x, y) ∈ (R ◦Q) ∪ (S ◦Q) ↔ (din definitia lui

∨)

(x, y) ∈ (R ◦Q)∨

(S ◦Q).

(5) se demonstreaza similar. 2


Corolarul 6.4.5 Fie RE multimea tuturor relatiilor binare pe E. Atunci structura

(RE , ◦, ∆E)

este semigrup cu unitate (monoid), adica:- ◦ este asociativa si- R ◦∆E ⇐⇒ ∆E ◦R ⇐⇒ R, pentru orice R ∈ RE.

Demonstratie. Evident, conform Propozitiei 6.4.4,(0), (1). 2

Propozitia 6.4.6 Inversa are urmatoarele proprietati: pentru orice R, S relatiibinare pe E,

0) (R−1) ⇐⇒ (R)−1,1) (R−1)−1 ⇐⇒ R,2) (R

∧S)−1 ⇐⇒ R−1

∧S−1,

3) (R∨

S)−1 ⇐⇒ R−1∨

S−1,4) Daca R ⇐⇒ S, atunci R−1 ⇐⇒ S−1,5) (R ◦ S)−1 ⇐⇒ S−1 ◦R−1.

Demonstratie.0): (x, y) ∈ (R−1) ↔ (din definitia lui −)

¬[(x, y) ∈ R−1] ↔ (din definitia lui −1)¬[(y, x) ∈ R] ↔ (din definitia lui −)(y, x) ∈ R ↔ (din definitia lui −1

(x, y) ∈ (R)−1.

1): (x, y) ∈ (R−1)−1 ↔ (y, x) ∈ R−1 ↔ (x, y) ∈ R.

2): (x, y) ∈ (R∧

S)−1 ↔ (y, x) ∈ R∧

S ↔ (y, x) ∈ R ∩ S ↔(y, x) ∈ R ∧ (y, x) ∈ S ↔ (x, y) ∈ R−1 ∧ (x, y) ∈ S−1 ↔ (x, y) ∈ R−1 ∩ S−1 ↔(x, y) ∈ R−1

∧S−1.

3), 4) se demonstreaza similar.

5): (x, y) ∈ (R ◦ S)−1 ↔ (y, x) ∈ R ◦ S ↔ (∃t)[(y, t) ∈ R ∧ (t, x) ∈ S] ↔(∃t)[(t, y) ∈ R−1 ∧ (x, t) ∈ S−1] ↔ (∃t)[(x, t) ∈ S−1 ∧ (t, y) ∈ R−1] ↔ (x, y) ∈S−1 ◦R−1. 2

6.4.2 Algebra relationala a relatiilor binare

Urmeaza un rezultat care contine ın el definitia algebrei relationale.

Teorema 6.4.7 Fie RE multimea tuturor relatiilor binare pe E. Atunci structura

RelbE = (RE ,∧

,∨

,−, V, T, ◦,−1,∆E)


este o algebra relationala, adica:

(rel1) (RE ,∧

,∨

,−, V, T ) este o algebra Boole,(rel2) (RE , ◦, ∆E) este semigrup cu unitate (monoid),(rel3) (R

∨S) ◦Q ⇐⇒ (R ◦Q)

∨(S ◦Q), pentru orice R, S,Q ∈ RE,

(rel4) (R∨

S)−1 ⇐⇒ R−1∨

S−1, pentru orice R,S ∈ RE,(rel5) (R ◦ S)−1 ⇐⇒ S−1 ◦R−1, pentru orice R, S ∈ RE,(rel6) (R−1)−1 ⇐⇒ R, pentru orice R ∈ RE,(rel7) R ◦ (R−1 ◦ S) =⇒ S, pentru orice R, S ∈ RE.

Demonstratie.(rel1): rezulta din Teorema 6.3.10;(rel2): rezulta din Corolarul 6.4.5;(rel3): rezulta din Propozitia 6.4.4 (4);(rel4): rezulta din Propozitia 6.4.6 (3);(rel5): rezulta din Propozitia 6.4.6 (5);(rel6): rezulta din Propozitia 6.4.6 (1);(rel7): (x, y) ∈ R ◦ (R−1 ◦ S) ↔ (prin definitia lui ◦)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ (R−1 ◦ S)] ↔ (prin definitia lui −)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ ¬[(t, y) ∈ R−1 ◦ S]] ↔ (prin definitia lui ◦)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ ¬[(∃z)((t, z) ∈ R−1 ∧ (z, y) ∈ S)]] ↔ (prin tautologia cuantificataI.4)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (∀z)(¬[(t, z) ∈ R−1 ∧ ¬((z, y) ∈ S)])] ↔ (prin legile De Morgan)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (∀z)[(t, z) ∈ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S]] ↔(∃t)(∀z)[(x, t) ∈ R ∧ [(t, z) ∈ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S]] → (prin tautologia cuantificataVIII.3)(∀z)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ [(t, z) ∈ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S]] ↔ (conform distributivitatii lui∨, ∧)(∀z)(∃t)[[(x, t) ∈ R ∧ (t, z) ∈ (R−1)] ∨ [(x, t) ∈ R ∧ (z, y) ∈ S]] → (conform (G4):p ∧ q → p)(∀z)(∃t)[[(x, t) ∈ R ∧ (t, z) ∈ (R−1)] ∨ (z, y) ∈ S] ↔(∀z)[(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, z) ∈ (R−1)] ∨ (z, y) ∈ S] ↔ (prin definitia lui ◦)(∀z)[(x, z) ∈ R ◦ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S].

Dar, (x, z) ∈ R ◦ (R−1) ↔ (∃m)[(x, m) ∈ R ∧ (m, z) ∈ R−1] ↔(∃m)[(x,m) ∈ R ∧ ¬((m, z) ∈ R−1)] ↔(∃m)[(x,m) ∈ R ∧ ¬((z, m) ∈ R)] ↔(∃m)[(x,m) ∈ R ∧ (z,m) ∈ R].Atunci daca z = x, rezulta ca [(x, m) ∈ R∧ (x,m) ∈ R] ↔ [(x,m) ∈ R

∧R = V ] si

(x,m) ∈ V este un predicat ıntotdeauna fals, adica (x, z) nu apartine lui R◦ (R−1).

Rezulta ca (∀z)[(x, z) ∈ R ◦ (R−1)∨ (z, y) ∈ S], ceea ce implica (x, y) ∈ S, deci amdemonstrat ca:(x, y) ∈ R ◦ (R−1 ◦ S) → (x, y) ∈ S, adica (rel7) este adevarata. 2


6.5 Baze de date relationale

Am folosit ın aceasta sectiune [4].

6.5.1 Reprezentarea relatiilor. Definitii

Uneori (ın teoria bazelor de date relationale), relatiile sunt reprezentate subforma unor tabele, ın care fiecare rand (linie) reprezinta un n-uplu, iar fiecarecoloana reprezinta un domeniu din cele n ale produsului cartezian (definitia 1 (6.2.1)a produsului cartezian finit). In acest caz, coloanelor 1, 2, . . . , n, respectiv domeni-ilor corespunzatoare D1, D2, . . . , Dn, li se asociaza nume: A1, A2, . . . , An, numiteatribute:

A1 A2 . . . Aj . . . An

i

x11 x12 . . . x1j . . . x1n

...... . . .

... . . ....

xi1 xi2 . . . xij . . . xin

...... . . .

... . . ....

xm1 xm2 . . . xmj . . . xmn

j

Definitiile 6.5.1· O relatie R ımpreuna cu multimea atributelor sale se numeste schema relatio-

nala.·Multimea tuturor schemelor relationale corespunzatoare unei aplicatii se numeste

schema bazei de date relationale.· Continutul curent al relatiilor la un moment dat se numeste baza de date

relationala.

Daca relatia n-ara este R, cu atributele A1, A2, . . . , An, atunci schema relationalase noteaza: R(A1, A2, . . . , An).

Exemplul 6.5.2 Schema relationala R(A,B, C), unde R = {(a, b, c), (d, a, f)} sereprezinta astfel:

A B C

ia b cd a f

j

6.5. BAZE DE DATE RELATIONALE 137

Alteori, relatiile sunt reprezentate, echivalent, printr-o multime de functii defi-nite pe multimea atributelor, cu valori ın reuniunea domeniilor, cu proprietatea cavaloarea corespunzatoare fiecarui atribut apartine domeniului asociat acelui atribut(definitia a 2-a (6.2.2) a produsului cartezian finit):

R = {f : {A1, A2, . . . , An} →n⋃

j=1

Dj | ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}, f(Aj) ∈ Dj}.

Exemplul 6.5.3 Pentru relatia R din Exemplul precedent, avem, echivalent:

R = {f1, f2}, cu f1 : {A,B, C} →3⋃

j=1

Dj , f2 : {A,B, C} →3⋃

j=1

Dj ,

f1(A) = a, f1(B) = b, f1(C) = c,

f2(A) = d, f2(B) = a, f2(C) = f.

Trecerea de la un mod de definire a relatiei la celalalt se face relativ simplu:- O relatie ın sensul multime de tupluri se transforma ıntr-o relatie ın sensulmultime de functii asociind fiecarui domeniu D1, D2, . . . , Dn al produsului cartezian∏n

j=1 Dj cate un nume (= atribut): A1, A2, . . . , An respectiv si definind pentrufiecare tuplu:

ti = (xi1, xi2, . . . , xij , . . . , xin) ∈n∏

j=1

Dj

functia

fi : {A1, A2, . . . , Aj , . . . , An} →n⋃

j=1

Dj

care verifica:

fi(Aj) = xij ∈ Dj , pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n}, i ∈ {1, 2, . . . ,m},

unde m este numarul tuplurilor (n-uplelor).- O relatie ın sensul multime de functii se transforma ıntr-o relatie ın sensul multimede tupluri impunand o relatie de ordine totala pe multimea atributelor(printr-o corespondenta cu multimea {1, 2, . . . , n}) si asociind apoi fiecarei functiituplul obtinut din valorile functiei respective ın ordinea A1, A2, . . . , An a atributelor.

Din punctul de vedere al bazelor de date, cea de-a doua definitie, ca multime defunctii, este de preferat, deoarece permite prelucrarea informatiilor corespunzatoareunui atribut fara a cunoaste pozitia acelui atribut ın relatie, aceasta permitand omai mare independenta de reprezentare a datelor.


6.5.2 Limbaje de prelucrare a datelor

Pentru acest model de baza de date, relational, limbajele de prelucrare a datelorse pot ımparti ın doua mari categorii:I - limbaje algebrice, ın care cererile sunt exprimate prin operatiile ce trebuie aplicaterelatiilor existente ın baza de date pentru a obtine raspunsul;II - limbaje cu calculul predicatelor, ın care cererile sunt exprimate sub forma unormultimi de tupluri - sau de functii - pentru care se specifica proprietatile pe caretrebuie sa le ındeplineasca sub forma unor predicate. Aceasta categorie de limbajese divide ın doua subcategorii, ın functie de obiectele cu care lucreaza predicatele,si anume:- limbaje cu calcul pe tupluri, adica obiectele sunt tupluri (Calcul de ordinul I);- limbaje cu calcul pe domenii, adica obiectele sunt domeniile diferitelor atributeale relatiilor (Calcul de ordinul II).

Partea IV

Logica matematica clasica(prezentare formalizata)

139

Capitolul 7

Sistemul formal al calcululuipropozitional

In acest capitol este studiat calculul propozitional (calculul propozitiilor) clasic(L) prin trei dintre dimensiunile sale: sintaxa, semantica si algebra. Fiecare dintrecele trei componente este analizata atat ın sine cat si ın relatie cu celelalte doua.La nivelul acestui material, cunoasterea logicii propozitionale este realizata prinrelatia ternara stabilita ıntre sintaxa, semantica si algebra.

Prima sectiune a capitolului contine cateva exemple de descompunere ale unortexte ın propozitii elementare si reprezentarea lor simbolica cu ajutorul conectorilorpropozitionali ”si”, ”sau”, ”non” si ”implica”. Acest exercitiu de reprezentaresimbolica este o prima sugestie asupra trecerii de la limbajul natural la limbajulformal al logicii propozitionale.

Sectiunea 2 contine sintaxa si algebra calculului propozitional. Ea ıncepecu definirea limbajului lui L. Constructia noastra are la baza un alfabet ın careapar numai doi conectori primari: implicatia (→) si negatia (¬). Exista si alteconstructii care au la baza alti conectori (a se vedea Exemplele 1.2.10). Prininductie, sunt definite enunturile lui L: ele sunt formatiuni de simboluri ce tra-duc propozitii din limbajul natural. Conjunctia (∧), disjunctia (∨) si echivalentalogica (↔) sunt conectori derivati, definiti cu ajutorul implicatiei si negatiei. Pasulurmator este ımbogatirea limbajului L cu o structura logica. In subsectiunea 1,pornind de la trei axiome si o singura regula de deductie (modus ponens), se de-finesc demonstratiile formale; ın subsectiunea 2 se defineste deductia din ipoteze. Lacapatul demonstratiilor formale stau teoremele formale. Subsectiunea 3 cuprindeunele proprietati sintactice ale lui L. Teorema deductiei este folosita ca instrumentprincipal ın stabilirea celor mai importante teoreme formale. In subsectiunea 4sunt studiate sistemele deductive, iar ın subsectiunea 5, multimile consistente deenunturi. In subsectiunea 6, este descris modul cum se realizeaza trecerea de lasintaxa lui L la algebra Boole. Factorizand multimea enunturilor lui L printr-o

141

142CAPITOLUL 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL

relatie de echivalenta canonica (definita ın termenii echivalentei logice), se obtineo algebra Boole, numita algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L. Prin aceastaconstructie, conectorii propozitionali sunt convertiti ın operatii booleene, iar sta-bilirea teoremelor formale se reduce la un calcul algebric. Din acest moment, sepoate urmari cum, pas cu pas, se traseaza o paralela algebrica la sintaxa lui L.In subsectiunea 7, se definesc prealgebrele Boole si se considera algebrele Boole caalgebre ”tip Lindenbaum-Tarski” obtinute din prealgebre Boole.

Sectiunea 3 contine exemple de deductii formale din ipoteze.Semantica lui L este tratata ın Sectiunea 4. In subsectiunea 1 se defineste

notiunea de interpretare, valoarea de adevar a unui enunt ıntr-o interpretare,notiunea de model si deductia semantica din ipoteze. In subsectiunea 2, prin Teo-rema de completitudine, enunturile universal adevarate (= enunturile adevarateın orice interpretare) sunt puse fata ın fata cu teoremele formale. DemonstratiaTeoremei de completitudine este de natura algebrica. Ideea acestei demonstratiieste folosirea Teoremei de reprezentare a lui Stone pentru a obtine interpretari. Insubsectiunea 3, este prezentata Teorema de completitudine extinsa, care stabilesteechivalenta dintre deductia formala si deductia semantica. Demonstratia Teore-mei de completitudine extinsa se bazeaza pe proprietatile multimilor consistentemaximale de enunturi.

Sectiunea 5 contine o demonstratie a Teoremei de reprezentare a lui Stone pebaza Teoremei de completitudine extinsa.

Bibliografie: ın principal [5]; apoi [49], [20], [8], [106], [72], [3], [20], [28], [29],[30], [39], [41], [42], [43], [50], [117], [53], [66], [75], [76], [78], [79], [80], [90], [91],[94], [106], [109], [116], [121].

7.1 Introducere. Exemple de reprezentari simbo-lice

Calculul propozitional studiaza urmatorii conectori:- conjunctia (si), notata ∧,- disjunctia (sau), notata ∨,- negatia (non), notata ¬,- implicatia (daca ..., atunci ...), notata →,- echivalenta logica (daca si numai daca), notata ↔.

In exemplele urmatoare, vom prezenta descompunerea unor texte ın unitati logi-ce si reprezentarea lor simbolica cu ajutorul acestori conectori.

Exemplul 7.1.1De te-ating, sa feri ın laturi,De hulesc, sa taci din gura;Ce mai vrei cu-a tale sfaturi,Daca stii a lor masura;

7.1. INTRODUCERE. EXEMPLE DE REPREZENTARI SIMBOLICE 143

(M. Eminescu, Glossa)

Daca notam:p1 ≡ ”te-ating”p2 ≡ ”sa feri ın laturi”q1 ≡ ”hulesc”q2 ≡ ”sa taci din gura”r1 ≡ ”ce mai vrei cu-a tale sfaturi”r2 ≡ ”stii a lor masura”

atunci textul de mai sus se va scrie simbolic:

(p1 → p2) ∧ (q1 → q2) ∧ (r2 → r1).

Exemplul 7.1.2Imbraca-te ın doliu, frumoasa Bucovina,Cu cipru verde-ncinge antica fruntea ta;C-acuma din pleiada-ti auroasa si seninaSe stinse un luceafar, se stinse o lumina,Se stinse-o dalba stea !(M. Eminescu, La mormantul lui Aron Pumnul)

Daca notam:p1 ≡ ”ımbraca-te ın doliu, frumoasa Bucovina”p2 ≡ ”cu cipru verde-ncinge antica fruntea ta”q1 ≡ ”acuma din pleiada-ti auroasa si senina se stinse un luceafar”q2 ≡ ”(acuma din pleiada-ti auroasa si senina) se stinse o lumina”q3 ≡ ”(acuma din pleiada-ti auroasa si senina) se stinse-o dalba stea”

atunci se obtine scrierea simbolica a textului precedent:

(q1 ∧ q2 ∧ q3) → (p1 ∧ p2).

Exemplul 7.1.3Nu era azi, nici maine, nici ieri, nici totdeauna,Caci unul erau toate si totul era una;(M. Eminescu, Rugaciunea unui dac)

Cu notatiile:p1 ≡ ”era azi”p2 ≡ ”(era) maine”p3 ≡ ”(era) ieri”p4 ≡ ”(era) dintotdeauna”q1 ≡ ”unul erau toate”q2 ≡ ”totul era una”


textul capata forma simbolica:

(q1 ∧ q2) → (¬p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ∧ ¬p4).

Exemplul 7.1.4Ca de-i vreme rea sau buna,Vantu-mi bate, frunza-mi suna;Si de-i vreamea buna, rea,Mie-mi curge Dunarea.(M. Eminescu, Revedere)

Notam:p ≡ ”vremea era rea”q ≡ ”(vremea) era buna”p1 ≡ ”vantu-mi bate”q1 ≡ ”frunza-mi suna”r ≡ ” mie-mi curge Dunarea”

Atunci textul se reprezinta simbolic prin:

((p ∨ q) → (p1 ∧ q1)) ∧ ((q ∨ p) → r).

Exemplul 7.1.5Timpul mort si-ntinde trupul si devine vesnicie,Caci nimic nu se ıntampla ın ıntinderea pustie,Si ın noaptea nefiintei totul cade, totul taceCaci ın sine ımpacata reıncep-eterna pace...(M. Eminescu, Scrisoarea I)

In acest caz, vom nota:p1 ≡ ”timpul mort si-ntinde trupul”p2 ≡ ”devine vesnicie”p3 ≡ ”se ıntampla ın ıntinderea pustie”q1 ≡ ”ın noaptea nefiintei totul cade”q2 ≡ ”(ın noaptea nefiintei) totul tace”q3 ≡ ”ın sine ımpacata reıncep-eterna pace”

Rezulta urmatoarea scriere simbolica a textului:

(¬p3 → (p1 ∧ p2)) ∧ (q3 → (q1 ∧ q2)).

Exemplele de mai sus ne dau o idee despre modul ın care un text scris ın limbajnatural poate capata o ınfatisare simbolica ın calculul propozitional.

Teza fundamentala a calculului propozitional este existenta a doua valori deadevar: 1 (= adevarul) si 0 (= falsul). Conectorilor ∧,∨,¬,→,↔ le corespund

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 145

operatiile algebrice pe multimea L2 = {0, 1}, notate tot ∧,∨,¬,→,↔ si definiteprin tabele.

Se observa ca am considerat pe L2 structura canonica de algebra Boole.Atunci teza bivalentei valorilor de adevar este completata prin ipoteza ca actiunea

conectorilor calculului propozitional se face conform regulilor calculului boolean.De aici se poate ıncepe formalizarea calculului propozitional. Limbajul sau

formal trebuie sa contina simboluri pentru cei cinci conectori, iar enunturile vorfi construite prin aplicarea unor reguli de combinare a simbolurilor ın raport cuconectorii.

Unii conectori vor fi alesi ca simboluri primare si vor fi inclusi ın alfabetulsistemului formal. Ceilalti conectori vor fi definiti cu ajutorul primilor.

Alegerea axiomelor si regulilor de deductie este un act capital. In primul rand,ele trebuie sa asigure corectitudinea sistemului formal si, daca este posibil, com-pletitudinea sa. Pentru calculul propozitional, aceste deziderate vor fi ındeplinite.

In sectiunea urmatoare, vom construi limbajul calculului propozitional cu impli-catia si negatia drept conectori primari. Axiomatizarea aleasa va pune ın evidentarolul implicatiei ın definirea mecanismului inferential al sintaxei calculului propozi-tional.

7.2 Sintaxa si algebra calculului propozitional

In aceasta sectiune, vom studia sintaxa si algebra calculului propozitional L.Intai este prezentata constructia limbajului lui L: pornind de la o lista de sim-boluri primitive (= alfabet), sunt definite prin recurenta enunturile. Acestea suntreprezentari formalizate ale propozitiilor din limbajul natural. Urmeaza introduc-erea structurii logice a limbajului lui L. Trei axiome si o regula de deductie (modusponens) asigura definirea prin inductie a teoremelor formale si a deductiei formale.Axiomele si teoremele formale reprezinta comportarea propozitiilor adevarate, iardeductia din ipoteze modeleaza demonstratiile matematice, care pleaca de la cateun sistem specific de axiome. Cu aceasta este pus la punct mecanismul inferentialal lui L.

In subsectiunea 1, sunt demonstrate unele proprietati sintactice. Teoremadeductiei este folosita ın stabilirea unor teoreme formale si a unor reguli de deductiederivate.

Subsectiunea 2 contine constructia unei algebre Boole asociate sistemului formalL (algebra Lindenbaum-Tarski). Algebra Lindenbaum-Tarski este definita pornindde la structura logica a lui L. Proprietatile sintaxei lui L sunt traduse ın ter-meni booleeni, ceea ce permite prelucrarea lor algebrica. Cititorul este ındemnatsa urmareasca paralelismul perfect ıntre notiunile si rezultatele din sintaxa si cores-pondentii lor algebrici (obtinuti prin trecerea la algebra Lindenbaum-Tarski). Aceas-ta relatie ıntre cele doua dimensiuni ale lui L (sintaxa si algebra) va fi completata


ın sectiunile urmatoare prin adaugarea componentei semantice.

Definitia 7.2.1 Alfabetul sistemului formal al calculului propozitional este formatdin urmatoarele simboluri:1) variabile propozitionale, notate: u, v, w, ... (eventual cu indici); multimea lor,notata V , este presupusa a fi infinita,2) simboluri logice (conectori):

¬: simbolul de negatie (va fi citit ”non”),→: simbolul de implicatie (va fi citit ”implica”),

3) parantezele (, ), [, ].

Pornind de la aceste simboluri primitive, vom construi cuvintele (asamblajele):

Definitia 7.2.2 Un cuvant este un sir finit de simboluri primitive, scrise unul dupaaltul.

Exemplele 7.2.3 u → ¬v, ¬(u → ¬v) → w, u → uv¬.

Intuitia ne spune ca primele doua cuvinte ”au sens”, pe cand cel de-al treileanu. Din multimea cuvintelor le vom selecta pe acelea care ”au sens”, ”sunt bineformate”, notiune precizata astfel:

Definitia 7.2.4 Se numeste enunt orice cuvant ϕ care verifica una din conditiileurmatoare:(i) ϕ este o variabila propozitionala,(ii) exista un enunt ψ astfel ıncat ϕ = ¬ψ,(iii) exista enunturile ψ, χ astfel ıncat ϕ = ψ → χ.

Variabilele propozitionale se vor numi enunturi atomice sau elementare.Vom nota cu E multimea enunturilor.

Observatia 7.2.5 Definitia conceptului de enunt este data prin inductie. Momen-tul initial al definitiei prin inductie este dat de conditia (i), iar trecerea ”de la k lak + 1” este asigurata de (ii) si (iii).

Pentru ϕ, ψ ∈ E, introducem abrevierile:ϕ ∨ ψ = ¬ϕ → ψ (disjunctia lui ϕ si ψ),ϕ ∧ ψ = ¬(ϕ → ¬ψ) (conjunctia lui ϕ si ψ),ϕ ↔ ψ = (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) (echivalenta logica a lui ϕ si ψ).

Observatiile 7.2.6(1) In prezentarea sistemului formal al calculului propozitional am considerat

negatia si implicatia drept conectori primitivi (initiali). Conectorii derivati ∨ (sau),∧ (si), ↔ (echivalent) au fost introdusi prin prezentarile de mai sus.

(2) Exista prezentari ale sistemului formal al calculului propozitional (echiva-lente cu cea de mai sus) care folosesc alti conectori primitivi (a se vedea Exemplele1.2.10).


In continuare, vom ımbogati limbajul calculului formal cu o structura logica:teoremele formale si deductia formala. Aceste doua componente ale structurii logicea lui L sunt definite pe baza axiomelor lui L si a unei reguli de deductie (modusponens).

7.2.1 Axiome, teoreme si demonstratii formale

Definitia 7.2.7 O axioma a sistemului formal al calculului propozitional este unenunt care are una din formele urmatoare:(G1) ϕ → (ψ → ϕ)(G2) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))(G3) (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ),unde ϕ, ψ, χ sunt enunturi arbitrare.

Definitia 7.2.8 Fie ϕ un enunt (ϕ ∈ E).Vom spune ca enuntul ϕ este o teorema formala sau pe scurt teorema, si vom

nota` ϕ,

daca este verificata una din conditiile urmatoare:(T1) ϕ este o axioma,(T2) exista un enunt ψ astfel ıncat ψ si ψ → ϕ sunt teoreme.

Conditia (T2) se scrie prescurtat:ψ, ψ → ϕ

ϕ

si se numeste regula de deductie modus ponens (m.p.).Vom nota cu T multimea teoremelor.

Observatiile 7.2.9(i) Deci, T ⊆ E.(ii) Deci, multimea T a teoremelor este obtinuta din axiome, prin aplicarea

regulii de deductie m.p..(iii) Deci, avem:

` (G1), ` (G2), ` (G3).

Definitia conceptului de teorema formala fost data prin inductie: axiomele (G1)- (G3) corespund momentului zero al inductiei, iar ”trecerea de la k la k + 1” esterealizata prin modus ponens.

Definitia 7.2.10 O demonstratie formala a unui enunt ϕ este un sir finit deenunturi ψ1, . . . , ψn astfel ıncat ψn = ϕ si pentru orice 1 ≤ i ≤ n se verificauna din conditiile urmatoare:(1) ψi este o axioma,(2) exista doi indici k, j < i astfel ıncat ψk = ψj → ψi.


Conditia (2) se mai scrie:

ψj , ψk = ψj → ψi

ψi

si se numeste tot modus ponens.Se observa ca proprietatile (1), (2) nu exprima altceva decat conditiile (T1),

(T2), deci` ϕ daca si numai daca exista o demonstratie formala ψ1, . . . , ψn a lui ϕ.n se numeste lungimea demonstratiei formale. O teorema poate avea demonstratii

formale de lungimi diferite.

7.2.2 Deductia formala din ipoteze si Σ-demonstratia for-mala

Definitia 7.2.11 Fie Σ o multime de enunturi (Σ ⊆ E) si ϕ un enunt (ϕ ∈ E).Vom spune ca enuntul ϕ este dedus din ipotezele Σ, si vom nota

Σ ` ϕ,

daca una din conditiile urmatoare este verificata:(D1) ϕ este o axioma,(D2) ϕ ∈ Σ,(D3) exista un enunt ψ astfel ıncat ψ si ψ → ϕ sunt deduse din ipotezele Σ.

Conditia (D3) se mai scrie:

Σ ` ψ, ψ → ϕ

Σ ` ϕ

si se numeste tot modus ponens.Definitia de mai sus este tot de tip inductiv: (D1) si (D2) constituie pasul zero

al inductiei, iar (D3) constituie trecerea ”de la pasul k la k + 1”.

Definitia 7.2.12 O Σ-demonstratie formala a lui ϕ este un sir finit de enunturiψ1, . . . , ψn astfel ıncat ψn = ϕ si pentru orice 1 ≤ i ≤ n este verificata una dinconditiile:(1) ψi este o axioma,(2) ψi ∈ Σ,(3) exista doi indici k, j < i astfel ıncat ψk = ψj → ψi.

Prin compararea conditiilor (D1) - (D3) din Definitia 7.2.11 cu conditiile (1) - (3)din Definitia 7.2.12, rezulta ca

Σ ` ϕ daca si numai daca exista o Σ-demonstratie formala a lui ϕ.


Observatiile 7.2.13(i) Daca Σ = ∅, atunci ∅ ` ϕ ⇐⇒ ` ϕ.(ii) Daca ` ϕ, atunci Σ ` ϕ pentru orice Σ ⊆ E.

Cu aceasta, descrierea sintactica a sistemului formal al calculului propozitionaleste ıncheiata. Vom nota cu L acest sistem logic.

Observam ca toata prezentarea s-a desfasurat la nivel simbolic: pornind de la omultime de simboluri, am definit enunturile, dupa care am introdus structura logicaa lui L: axiomele si teoremele si apoi deductia sintactica (inferenta sintactica).

7.2.3 Proprietati sintactice ale lui L. Teorema deductiei

In aceasta subsectiune, vom prezenta unele proprietati sintactice ale lui L, ceamai importanta dintre ele fiind teorema deductiei. Folosind acest rezultat, vomstabili cele mai semnificative teoreme formale ale lui L.

Propozitia 7.2.14 Fie Σ,∆ ⊆ E si ϕ ∈ E.(i) daca Σ ⊆ ∆ si Σ ` ϕ, atunci ∆ ` ϕ,(ii) daca Σ ` ϕ, atunci exista Γ ⊆ Σ finita, astfel ıncat Γ ` ϕ,(iii) daca Σ ` χ pentru orice χ ∈ ∆ si ∆ ` ϕ, atunci Σ ` ϕ.

Demonstratie.(i): Demonstratia se face prin inductie asupra conceptului Σ ` ϕ. Daca Σ ` ϕ,

atunci este verificata una din conditiile (D1) - (D3). Le vom lua pe rand:- daca ϕ este o axioma, atunci ∆ ` ϕ,- daca ϕ ∈ Σ, atunci ϕ ∈ ∆, deci ∆ ` ϕ,- daca Σ ` ψ si Σ ` (ψ → ϕ), atunci conform ipotezei inductiei, ∆ ` ψ si ∆ ` (ψ →ϕ), deci ∆ ` ϕ.

(ii): Demonstratia se face tot prin inductie:- daca ϕ este axioma, atunci ∅ ` ϕ si ∅ ⊆ Σ este finita,- daca ϕ ∈ Σ, atunci luam Γ = {ϕ},- daca Σ ` ψ si Σ ` (ψ → ϕ), atunci conform ipotezei inductiei, exista Γ1, Γ2 ⊆ Γfinite, astfel ıncat Γ1 ` ψ, Γ2 ` (ψ → ϕ); luam Γ = Γ1 ∪ Γ2 si aplicam (i).

(iii): Exercitiu. 2

Propozitia 7.2.15 (Principiul identitatii)Pentru orice enunt ϕ ∈ E,

` (ϕ → ϕ).

Demonstratie. Urmatoarea lista de enunturi este o demonstratie formala a lui` (ϕ → ϕ):ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) (G1)[ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ)] → [(ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)] (G2)(ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ) m.p.ϕ → (ϕ → ϕ) (G1)ϕ → ϕ m.p.


2

Propozitia 7.2.16 (Principiul tertului exclus)Pentru orice ϕ ∈ E,

` (ϕ ∨ ¬ϕ).

Demonstratie. ϕ ∨ ¬ϕ = ¬ϕ → ¬ϕ si ` (¬ϕ → ¬ϕ), conform Principiuluiidentitatii. 2

Teorema 7.2.17 (Teorema deductiei)Daca Σ ⊆ E si ϕ, ψ ∈ E, atunci:

Σ ` (ϕ → ψ) ⇐⇒ Σ ∪ {ϕ} ` ψ.

Demonstratie.(=⇒): Se aplica Propozitia 7.2.14, (i) si modus ponens.(⇐=): Prin inductie, dupa modul cum este definit Σ ∪ {ϕ} ` ψ. Consideramurmatoarele cazuri:- (1) ψ este o axioma.Cum ` ϕ si ψ → (ϕ → ψ), conform (G1), atunci ` (ϕ → ψ) prin m.p., deciΣ ` (ϕ → ψ).- (2) ψ ∈ Σ ∪ {ϕ}, cu doua subcazuri:

(a) ψ ∈ Σ: din Σ ` ψ, Σ ` ψ → (ϕ → ψ) se deduce Σ ` ϕ → ψ,(b) ψ ∈ {ϕ}: se aplica Principiul identitatii: Σ ` ϕ → ϕ.

- (3) Exista α ∈ E astfel ıncat Σ ∪ {ϕ} ` α si Σ ∪ {ϕ} ` α → ψ. Aplicand ipotezainductiei, rezulta Σ ` (ϕ → α) si Σ ` (ϕ → (α → ψ)). De asemenea,

Σ ` (ϕ → (α → ψ)) → ((ϕ → α) → (ϕ → ψ)) (G2)Aplicand de doua ori m.p., se obtine Σ ` (ϕ → ψ). 2

In demonstratia de mai sus a implicatiei (⇐=), cazurile (1) si (2) reprezintamomentul zero al inductiei, iar cazul (3) constituie trecerea ”de la k la k + 1”.

Observatia 7.2.18 In demonstrarea Principiului identitatii si a Teoremei deductiei,nu au intervenit decat axiomele (G1), (G2) si m.p.. Aceasta arata ca cele douarezultate sunt valabile ın orice sistem logic ın care apar (G1), (G2) si modus po-nens.

Teorema deductiei este un instrument eficace ın stabilirea teoremelor formale.Aceasta afirmatie va fi probata prin demonstratiile propozitiilor urmatoare.

Propozitia 7.2.19

` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)).

Demonstratie. Vom aplica succesiv m.p. si apoi Teorema deductiei:


{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ϕ{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ϕ → ψ{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ψ m.p.{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ψ → χ{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` χ m.p.{ϕ → ψ,ψ → χ} ` ϕ → χ Teorema deductiei{ϕ → ψ} ` (ψ → χ) → (ϕ → χ) Teorema deductiei

` (ϕ → ψ) →((ψ → χ) → (ϕ → χ)) Teorema deductiei.

2

Privind ultimele cinci randuri ale demonstratiei precedente, ideea ei devinetransparenta. Prin aplicarea repetata a Teoremei deductiei, totul se reduce la astabili deductia formala

{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` χ,

ceea ce este foarte usor. Aceasta observatie este utila si ın obtinerea demonstratiilorpropozitiilor urmatoare.

Corolarul 7.2.20

` ϕ → ψ, ` ψ → χ implica ` ϕ → χ.

Demonstratie. Din Propozitia 7.2.19, aplicand de doua ori modus ponens. 2

Observatia 7.2.21 Din Corolarul 7.2.20, se deduce urmatoarea regula de deductiederivata:

ϕ → ψ, ψ → χ(R1)

ϕ → χ

In stabilirea teoremelor formale, este mai eficient sa aplicam (R1) ın loc dePropozitia 7.2.19. Acelasi lucru este valabil si ın cazul regulilor de deductie derivatedin alte teoreme formale, ce vor fi prezentate ın continuare.

Propozitia 7.2.22

` (ϕ → (ψ → χ)) → (ψ → (ϕ → χ)).

Demonstratie. Aplicam m.p. si apoi Teorema deductiei:{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ϕ{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ϕ → (ψ → χ){ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ψ → χ m.p.{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ψ{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` χ m.p.{ψ,ϕ → (ψ → χ)} ` ϕ → χ Teorema deductiei{ϕ → (ψ → χ)} ` ψ → (ϕ → χ) Teorema deductiei

` (ϕ → (ψ → χ)) →(ψ → (ϕ → χ)) Teorema deductiei.

2


Observatia 7.2.23 Propozitia 7.2.22 corespunde urmatoarei reguli de deductiederivata:

ϕ → (ψ → χ)(R2)

ψ → (ϕ → χ)

Propozitia 7.2.24` ϕ → (¬ϕ → ψ).

Demonstratie. Aplicam m.p. si apoi Teorema deductiei:{ϕ,¬ϕ} ` ¬ϕ → (¬ψ → ¬ϕ) (G1){ϕ,¬ϕ} ` ¬ϕ{ϕ,¬ϕ} ` ¬ψ → ¬ϕ m.p.{ϕ,¬ϕ} ` (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ) (G3){ϕ,¬ϕ} ` ϕ → ψ m.p.{ϕ,¬ϕ} ` ϕ{ϕ,¬ϕ} ` ψ m.p.{ϕ} ` ¬ϕ → ψ Teorema deductiei

` ϕ → (¬ϕ → ψ) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.25` ¬ϕ → (ϕ → ψ).

Demonstratie. Din Propozitia 7.2.24, conform (R2). 2

Exercitiul 7.2.26 Sa se demonstreze Propozitia 7.2.25 ın acelasi mod ca Propozitia7.2.24, folosind Teorema deductiei.

Propozitia 7.2.27` ¬¬ϕ → ϕ.

Demonstratie. Aplicam m.p. si apoi Teorema deductiei:{¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → (¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ) (G1){¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ{¬¬ϕ} ` ¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ m.p.{¬¬ϕ} ` (¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ) → (¬ϕ → ¬¬¬ϕ) (G3){¬¬ϕ} ` ¬ϕ → ¬¬¬ϕ m.p.{¬¬ϕ} ` (¬ϕ → ¬¬¬ϕ) → (¬¬ϕ → ϕ) (G3){¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ϕ m.p.{¬¬ϕ} ` ϕ m.p.

` ¬¬ϕ → ϕ Teorema deductiei.2


Propozitia 7.2.28

` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ).

Demonstratie. Aplicam m.p. si Teorema deductiei:{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ϕ Propozitia 7.2.27{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ϕ m.p.{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ϕ → ψ{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ψ m.p.{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬ψ{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬ψ → (ψ → ¬¬ψ) Propozitia 7.2.25{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬¬ψ m.p. de doua ori{ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬¬ϕ → ¬¬ψ Teorema deductiei{ϕ → ψ,¬ψ} ` (¬¬ϕ → ¬¬ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) (G3){ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬ψ → ¬ϕ m.p.{ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬ψ{ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬ϕ m.p.{ϕ → ψ} ` ¬ψ → ¬ϕ Teorema deductiei

` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.29

` ϕ → ¬¬ϕ.

Demonstratie.{ϕ,¬¬¬ϕ} ` ¬¬¬ϕ → ¬ϕ Propozitia 7.2.27{ϕ,¬¬¬ϕ} ` ¬¬¬ϕ{ϕ,¬¬¬ϕ} ` ¬ϕ m.p.{ϕ} ` ¬¬¬ϕ → ¬ϕ Teorema deductiei{ϕ} ` (¬¬¬ϕ → ¬ϕ) → (ϕ → ¬¬ϕ) (G3){ϕ} ` ϕ → ¬¬ϕ m.p.{ϕ} ` ϕ{ϕ} ` ¬¬ϕ m.p.

` ϕ → ¬¬ϕ Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.30

` (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ.

Demonstratie.


{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ϕ Propozitia 7.2.27{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ϕ m.p.{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ϕ → ¬ϕ{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬ϕ m.p.{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ϕ → (¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ)) Propozitia 7.2.24{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬(ϕ → ϕ) m.p. de doua ori{ϕ → ¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ) Teorema deductiei{ϕ → ¬ϕ} ` (¬¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ)) →

((ϕ → ϕ) → ¬ϕ) (G3){ϕ → ¬ϕ} ` (ϕ → ϕ) → ¬ϕ m.p.{ϕ → ¬ϕ} ` ϕ → ϕ Propozitia 7.2.14{ϕ → ¬ϕ} ` ¬ϕ m.p.

` (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.31` ϕ → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ)).

Demonstratie.{ϕ,ϕ → ψ} ` ψ m.p.{ϕ} ` (ϕ → ψ) → ψ Teorema deductiei{ϕ} ` ((ϕ → ψ) → ψ) → (¬ψ → ¬(ϕ → ϕ)) Propozitia 7.2.28{ϕ} ` ¬ψ → ¬(ϕ → ϕ) m.p.

` ϕ → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ)) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.32` ϕ → (ϕ ∨ ψ).

Demonstratie. Este transcrierea Propozitiei 7.2.24. 2

Propozitia 7.2.33` ψ → (ϕ ∨ ψ).

Demonstratie. ` ψ → (ϕ ∨ ψ) se scrie echivalent ` ψ → (¬ϕ → ψ), pentru careavem demonstratia formala:{ψ,¬ϕ} ` ψ{ψ} ` ¬ϕ → ψ Teorema deductiei

` ψ → (¬ϕ → ψ) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.34

` (ϕ → χ) → [(ψ → χ) → ((ϕ ∨ ψ) → χ)].


Demonstratie.{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬ϕ → ψ{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ϕ → χ{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬ϕ → χ (R1){ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → ¬¬ϕ Prop. 7.2.28{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬¬ϕ → ϕ Prop. 7.2.27{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → ϕ (R1){ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ϕ → χ{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → χ (R1){ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` (¬χ → χ) → (¬χ → ¬¬χ) Prop. 7.2.28{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → ¬¬χ m.p.{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` (¬χ → ¬¬χ) → ¬¬χ Prop. 7.2.30{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬¬χ m.p.{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬¬χ → χ Prop. 7.2.27{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` χ m.p.{ϕ → χ, ψ → χ} ` (¬ϕ → ψ) → χ T. deductiei{ϕ → χ} ` (ψ → χ) → ((¬ϕ → ψ) → χ) T. deductiei

` (ϕ → χ) →[(ψ → χ) → ((¬ϕ → ψ) → χ)] T. deductiei.

2

Observatia 7.2.35 Propozitia 7.2.34 implica regula deductiei derivata:

ϕ → χ, ψ → χ(R3)

(ϕ ∨ ψ) → χ

Propozitia 7.2.36

` (ϕ ∧ ψ) → ϕ.

Demonstratie.` ϕ → (¬ϕ → ¬ψ Propozitia 7.2.24` ¬ϕ → (ϕ → ¬ψ) (R2)` (¬ϕ → (ϕ → ¬ψ)) → (¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ϕ) Propozitia 7.2.28` ¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ϕ m.p.` ¬¬ϕ → ϕ Propozitia 7.2.27` ¬(ϕ → ¬ψ) → ϕ (R1).

Am obtinut exact ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ. 2

Propozitia 7.2.37

` (ϕ ∧ ψ) → ψ.


Demonstratie.` ¬ψ → (ϕ → ¬ψ) (G1)` (¬ψ → (ϕ → ¬ψ)) → (¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ψ) Propozitia 7.2.28` ¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ψ) m.p.` ¬¬ψ → ψ Propozitia 7.2.27` ¬(ϕ → ¬ψ) → ψ (R1).

Ultima teorema formala este chiar ` (ϕ ∧ ψ) → ψ. 2

Propozitia 7.2.38

` (χ → ϕ) → [(χ → ψ) → (χ → (ϕ ∧ ψ))].

Demonstratie.{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` χ{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` χ → ϕ{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ϕ m.p.{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ψ analog{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ψ → ¬¬ψ Prop. 7.2.29{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ¬¬ψ m.p.{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ϕ → (¬¬ψ → ¬(ϕ → ψ)) Prop. 7.2.25{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ¬(ϕ → ψ) m.p. de doua ori{χ → ϕ, χ → ψ} ` χ → ¬(ϕ → ψ) T. deductiei{χ → ϕ} ` (χ → ψ) → (χ → ¬(ϕ → ψ)) T. deductiei

` (χ → ϕ) →[(χ → ψ) → (χ → ¬(ϕ → ψ))] T. deductiei.

2

Observatia 7.2.39 Propozitiei 7.2.38 ıi este asociata urmatoarea regula de deductiederivata:

χ → ϕ, χ → ψ(R4)

χ → (ϕ ∧ ψ)

Propozitia 7.2.40` (ϕ ∧ ψ) → (ψ ∧ ϕ).

Demonstratie.` (ϕ ∧ ψ) → χ Propozitia 7.2.37` (ϕ ∧ ψ) → ϕ Propozitia 7.2.36` (ϕ ∧ ψ) → (ψ ∧ ϕ) (R4).

2

Propozitia 7.2.41` ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)).


Demonstratie.{ϕ,ψ} ` ϕ{ϕ,ψ} ` ψ{ϕ,ψ} ` ψ → ¬¬ψ Propozitia 7.2.29{ϕ,ψ} ` ¬¬ψ m.p.{ϕ,ψ} ` ϕ → (¬¬ψ → ¬(ϕ → ¬ψ)) Propozitia 7.2.31{ϕ,ψ} ` ¬(ϕ → ¬ψ) m.p. de doua ori

` ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) Teorema deductiei de doua ori.2

Propozitia 7.2.42

` [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)] → ((ϕ ∨ ψ) ∧ χ).

Demonstratie.` (ϕ ∧ χ) → ϕ Propozitia 7.2.36` ψ → (ϕ ∨ ψ) Propozitia 7.2.33` (ϕ ∧ χ) → (ϕ ∨ ψ)` (ϕ ∧ χ) → χ (R1)` (ϕ ∧ χ) → (ϕ ∨ ψ) ∧ χ (R4)` (ψ ∧ χ) → (ϕ ∨ ψ) ∧ χ analog` [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)] → ((ϕ ∨ ψ) ∧ χ) (R3).

2

Propozitia 7.2.43

` (χ → θ) → [(ϕ → (ψ → χ)) → (ϕ → (ψ → θ))].

Demonstratie.{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ϕ → (ψ → χ){χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ϕ{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ψ → χ m.p.{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ψ{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` χ m.p.{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` χ → θ{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` θ m.p.

Se aplica apoi Teorema deductiei de patru ori. 2

Propozitia 7.2.44

` (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ ∧ ψ) → χ).

Demonstratie.{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ϕ ∧ ψ{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ϕ m.p.{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ψ analog{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ϕ → (ψ → χ){ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` χ m.p. de doua ori.


Se aplica apoi Teorema deductiei de doua ori. 2

Propozitia 7.2.45

` [(ϕ ∧ ψ) → χ] → [ϕ → (ψ → χ)].

Demonstratie.{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ϕ{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ψ{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) Propozitia 7.2.41{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ m.p. de doua ori{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` (ϕ ∧ ψ) → χ{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` χ m.p.

Se aplica apoi Teorema deductiei de trei ori. 2

Propozitia 7.2.46

` (ϕ ∨ ψ) → (χ → [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)]).

Demonstratie. Conform Teoremei deductiei, se reduce la a demonstra:

{ϕ ∨ ψ, χ} ` ¬(ϕ ∧ χ) → (ψ ∧ χ),

ceea ce este totuna cu

{ϕ ∨ ψ, χ} ` ¬¬(ϕ → ¬χ) → ¬(ψ → ¬χ).

Aplicand Teorema deductiei, se reduce la a demonstra:

{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬(ψ → ¬χ).

{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬¬(ϕ → ¬χ){¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ϕ → ¬χ Prop. 7.2.27, m.p.{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` χ → ¬ϕ (G3), m.p.{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬ϕ → ψ{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` χ → ψ (R1){¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` χ{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ψ m.p.{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ψ → (χ → ¬(ψ → ¬χ)) Prop. 7.2.31{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬(ψ → ¬χ) m.p. de doua ori.

2

Propozitia 7.2.47

` [(ϕ ∨ ψ) ∧ χ] → [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)].


Demonstratie. Din Propozitia 7.2.46, cu ajutorul Propozitiilor 7.2.44 si 7.2.45.2

Propozitia 7.2.48 Pentru orice enunturi ϕ si ψ, avem:

(1) ` (ϕ ∧ ¬ϕ) → ψ si (2) ` ψ → (ϕ ∨ ¬ϕ)

Demonstratie. Pentru (1) avem urmatoarea demonstratie formala:` ϕ → (¬ϕ → ψ) Propozitia 7.2.24` (ϕ → (¬ϕ → ψ)) → ((ϕ ∧ ¬ϕ) → ψ) Propozitia 7.2.44` (ϕ ∧ ¬ϕ) → ψ m.p.

Conform Principiului identitatii, {ψ} ` ¬ϕ → ¬ϕ, de unde, prin Teorema deductiei,` ψ → (¬ϕ → ¬ϕ), adica (2). 2

Propozitia 7.2.49` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ).

Propozitia 7.2.50

` (ϕ → ϕ′) → [(ψ → ψ′) → ((ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′))].

Demonstratie.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ϕ → ϕ′) → [(ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ)] P. 7.2.19{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ → ϕ′

{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ) m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ′ → ψ{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ → ψ m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ϕ → ψ) → [(ψ → ψ′) → (ϕ → ψ′)] P. 7.2.19{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ψ → ψ′) → (ϕ → ψ′) m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ψ → ψ′

{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ → ψ′ m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′} ` (ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′) T.d.{ϕ → ϕ′} ` (ψ → ψ′) → ((ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′)) T.d.{∅} ` (ϕ → ϕ′) →

[(ψ → ψ′) → ((ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′))] T.d.2

Corolarul 7.2.51

` (ϕ → ϕ′), ` (ψ → ψ′) implica ` (ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′).

Demonstratie. Din Propozitia 7.2.50, aplicand de doua ori modus ponens. 2

Observatia 7.2.52 Din Corolarul 7.2.51, se deduce urmatoarea regula de deductiederivata:


ϕ → ϕ′, ψ → ψ′(RX)

(ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′)

Propozitia 7.2.53 Fie Γ ⊆ E si ϕ ∈ E. AtunciΓ ` ϕ daca si numai daca exista γ1, . . . γn ∈ Γ, astfel ıncat

(7.1) `n∧

i=1

γi → ϕ.

Demonstratie.=⇒: Daca Γ ` ϕ, atunci conform Propozitiei 7.2.14 (ii), exista γ1, . . . , γn ∈ Γ,

astfel ıncat

(7.2) {γ1, . . . , γn} ` ϕ.

Aplicand de n ori Teorema deductiei, obtinem:

(7.3) ` γ1 → (γ2 → . . . → (γn → ϕ) . . .).

Tinand cont de Propozitia 7.2.44, obtinem (7.1).⇐=: Daca (7.1) are loc, cu γ1, . . . , γn ∈ Γ, atunci conform Propozitiei 7.2.45,

deducem (7.3). Din Teorema deductiei aplicata ın sens invers obtinem (7.2), deciΓ ` ϕ. 2

Propozitia precedenta arata cum deductia formala poate fi exprimata ın ter-menii unor teoreme formale. In cazul unor sisteme logice (de exemplu logicamodala), este convenabil ca notiunea de deductie sa fie introdusa prin conditiadin Propozitia 7.2.53.

Lema 7.2.54 Fie Γ ⊆ E si ϕ,ψ ∈ E. Atunci:

Γ ` (ϕ ∧ ψ) ⇐⇒ Γ ` ϕ si Γ ` ψ.

Demonstratie. Prezentam demonstratia pentru cazul particular Γ = ∅.=⇒: Presupunem ` ϕ si ` ψ. Conform Propozitiei 7.2.41, avem ` ϕ → (ψ →

(ϕ ∧ ψ)), de unde rezulta, aplicand m.p. de doua ori, ca ` (ϕ ∧ ψ).⇐=: Rezulta din Propozitiile 7.2.36 si 7.2.40. 2

7.2.4 Sistem deductiv

Definitia 7.2.55 O multime nevida Σ de enunturi se numeste sistem deductiv dacapentru orice enunt ϕ, Σ ` ϕ implica ϕ ∈ Σ.

Cu alte cuvinte, un sistem deductiv este o multime de enunturi ınchisa ladeductii.


Lema 7.2.56 Daca Σ este o multime de enunturi, atunci sunt echivalente urmatoa-rele:(a) Σ este un sistem deductiv,(b) Σ contine multimea teoremelor formale si α, α → β ∈ Σ implica β ∈ Σ.

Demonstratie.(a) =⇒ (b): Daca ` ϕ, atunci Σ ` ϕ, deci ϕ ∈ Σ. Presupunem ca α, α → β ∈ Σ,

deci Σ ` α, Σ ` α → β, de unde Σ ` β, conform m.p. Rezulta β ∈ Σ.(b) =⇒ (a): Σ este o multime nevida. Presupunem Σ ` ϕ. Conform Propozitiei

7.2.14 (ii), exista σ1, . . . , σn ∈ Σ astfel ıncat {σ1, . . . , σn} ` ϕ. Aplicand Teoremadeductiei, obtinem:

` σ1 → (. . . → (σn → ϕ) . . .).

Cum σ1, . . . , σn ∈ Σ, rezulta ϕ ∈ Σ. 2

Vom nota cu D(Σ) sistemul deductiv generat de Σ, adica intersectia sistemelordeductive ce includ pe Σ. Se poate arata ca

D(Σ) = {ϕ ∈ Σ | Σ ` ϕ}.

Exercitiul 7.2.57 Fie Σ, Σ1, Σ2 ⊆ E. Sa se arate ca:(a) D(Σ) = {ϕ ∈ E | exista σ1, . . . , σn ∈ Σ, ` ∧n

i=1 σi → ϕ}.(b) Σ ⊆ D(Σ).(c) Σ1 ⊆ Σ2 implica D(Σ1) ⊆ D(Σ2).(d) D(D(Σ)) = D(Σ).(e) D(Σ) =

⋃{D(Γ) | Γ ⊆ E, Γ finita}.

Consideram functia D(·) : P(E) −→ P(E), definita de asocierea Σ 7−→ D(Σ).Conform proprietatilor (b) - (d) din Exercitiul 7.2.57, D(·) este un operator deınchidere. Pentru orice familie (Σi)i∈I de parti ale lui E, notam

∏

i∈I

Σi =⋂

i∈I

Σi,∐

i∈I

Σi = D(⋃

i∈I

Σi).

Familia sistemelor deductive ale lui L este o latice completa ın raport cu operatiileinfinite

∏si

∐introduse mai sus.

7.2.5 Multimi consistente

Studiul multimilor consistente are un interes ın sine. Ele sunt acele multimide enunturi din care nu se pot deduce contradictii. Multimile consistente maxi-male sunt contrapartea sintactica a ultrafiltrelor (= filtre maximale) din algebraBoole. Ele au proprietati sintactice remarcabile, ceea ce permite constructia unorinterpretari prin care se demonstreaza Teorema de completitudine extinsa.


Definitia 7.2.58O multime Σ de enunturi este inconsistenta daca Σ ` ϕ, pentru orice enunt ϕ

al lui L.O multime Σ de enunturi este consistenta daca nu este inconsistenta.

Propozitia urmatoare arata ca multimile consistente sunt acele multimi deenunturi din care nu se deduc formal contradictii.

Propozitia 7.2.59 Fie Σ o multime de enunturi (Σ ⊆ E). Sunt echivalenteurmatoarele:(1) Σ este inconsistenta,(2) exista ϕ ∈ E, astfel ıncat Σ ` (ϕ ∧ ¬ϕ),(3) exista ϕ ∈ E, astfel ıncat (Σ ` ϕ si Σ ` ¬ϕ),(4) pentru orice ϕ ∈ E, Σ ` ¬(ϕ → ϕ),(5) exista ϕ ∈ E, astfel ıncat Σ ` ¬(ϕ → ϕ).

Demonstratie.(1) =⇒ (2): Evident.(2) ⇐⇒ (3): Prin Lema 7.2.54.(3) =⇒ (4): Conform Propozitiei 7.2.31, avem ` ϕ → (¬ϕ → ¬(ψ → ψ)) pentru

orice ψ ∈ E. Presupunand Σ ` ϕ si Σ ` ¬ϕ, rezulta Σ ` ¬(ψ → ψ), prin aplicareade doua ori a m.p..

(4) =⇒ (5): Evident.(5) =⇒ (1): Fie ϕ ∈ E cu Σ ` ¬(ϕ → ϕ) si ψ ∈ E. Conform (G1),

Σ ` (ϕ → ϕ) → (¬ψ → (ϕ → ϕ)).

Dar Σ ` ϕ → ϕ, deci Σ ` ¬ψ → (ϕ → ϕ). Conform Propozitiei 7.2.28,

Σ ` (¬ψ → (ϕ → ϕ)) → (¬(ϕ → ϕ) → ¬¬ψ).

Aplicand de doua ori m.p., Σ ` ¬¬ψ. Insa Σ ` ¬¬ψ → ψ (Propozitia 7.2.27), deciΣ ` ψ pentru orice ψ ∈ E. Atunci Σ este inconsistenta. 2

Propozitia 7.2.60 Fie Σ ⊆ E si ϕ ∈ E.Σ ∪ {ϕ} este inconsistenta daca si numai daca Σ ` ¬ϕ.

Demonstratie.Daca Σ ∪ {ϕ} este inconsistenta, atunci Σ ∪ {ϕ} ` ¬ϕ, deci prin Teorema

deductiei, Σ ` ϕ → ¬ϕ. Aplicand Propozitia 7.2.30 si m.p., rezulta Σ ` ¬ϕ.Reciproc, presupunem ca Σ ` ¬ϕ, de unde Σ ∪ {ϕ} ` ¬ϕ si Σ ∪ {ϕ} ` ϕ.

Conform Propozitiei 7.2.27, avem Σ ∪ {ϕ} ` ϕ → (¬ϕ → ψ), de unde prin m.p.obtinem Σ ∪ {ϕ} ` ψ, pentru orice ψ ∈ E. 2

Corolarul 7.2.61 Σ ∪ {¬ϕ} este inconsistenta ⇐⇒ Σ ` ϕ.


Demonstratie. Se foloseste faptul ca Σ ` ϕ ⇐⇒ Σ ` ¬¬ϕ. 2

Corolarul precedent caracterizeaza deductia formala din ipoteze ın termeni demultimi inconsistente.

Exemplul 7.2.62 ∅ este o multime consistenta (conform Corolarului 7.4.9), iar Eeste inconsistenta.

Observatia 7.2.63 Daca Σ este consistenta, atunci sistemul deductiv D(Σ) ge-nerat de Σ este consistent.

Definitia 7.2.64 O multime consistenta ∆ este maximala daca pentru orice multimeconsistenta Σ avem: ∆ ⊆ Σ implica ∆ = Σ.

Cu alte cuvinte, multimile consistente maximale sunt elementele maximale ale fa-miliei multimilor consistente.

Propozitia 7.2.65 Pentru orice multime consistenta Σ, exista o multime consis-tenta maximala ∆, astfel ıncat Σ ⊆ ∆.

Demonstratie. Fie familia de multimi A = {Γ ⊆ E | Γconsistenta si Σ ⊆ Γ}.Evident ca Σ ∈ A. Vom arata ca (A,⊆) este inductiv ordonata.Fie (Γi)i∈I o familie total ordonata de multimi din A: pentru orice i, j ∈ I, Γi ⊆ Γj

sau Γj ⊆ Γi. Vom arata ca Γ0 =⋃

i∈I Γi este un majorant al familiei (Γi)i∈I . Inprimul rand trebuie demonstrat ca Γ0 ∈ A.Presupunem prin absurd ca Γ0 este inconsistenta, deci exista ϕ ∈ E astfel ıncat Γ0 `¬(ϕ → ϕ). Conform Propozitiei 7.2.14 (ii), exista o multime finita {ψ1, . . . , ψn} ⊆Γ0, astfel ıncat

{ψ1, . . . , ψn} ` ϕ.

Observam ca exista indicii i1, . . . , in ∈ I, astfel ıncat ψ1 ∈ Γi1 , . . . , ψn ∈ Γin . Cum(Γi)i∈I este total ordonata, va exista k ∈ {i1, . . . , in}, astfel ıncat toti Γi1 , . . . , Γin

sunt inclusi ın Γk. Atunci {ψ1, . . . , ψn} ⊆ Γk, deci Γk ` ¬(ϕ → ϕ): aceastacontrazice consistenta lui Γk, deci Γ0 este consistenta. Cum Σ ⊆ Γ0, rezulta caΓ0 ∈ A. Este evident ca Γ0 este majorant al familiei (Γi)i∈I .Aplicarea axiomei lui Zorn asigura existenta unui element maximal ∆ al lui (A,⊆),deci a unei multimi consistente maximale ∆ ce include pe Σ. 2

Observatia 7.2.66 Se va observa o asemanare ıntre demonstratia propozitiei prece-dente si demonstratia urmatorului rezultat de la algebre Boole: “orice filtru propriuse scufunda ıntr-un ultrafiltru (= filtru maximal)”. Ambele demonstratii fac apella axioma lui Zorn.

Propozitia 7.2.67 Orice multime consistenta maximala ∆ are urmatoarele pro-prietati:(i) ∆ este sistem deductiv (∆ ` ψ =⇒ ψ ∈ ∆),


(ii) daca ϕ ∨ ψ ∈ ∆, atunci ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆,(iii) pentru orice ψ ∈ E, ψ ∈ ∆ sau ¬ψ ∈ ∆,(iv) pentru orice ψ, χ ∈ E, are loc echivalenta:

ψ → χ ∈ ∆ ⇐⇒ (¬ψ ∈ ∆ sau χ ∈ ∆).

Demonstratie.(i): Presupunem prin absurd ca exista ψ ∈ E astfel ıncat (∆ ` ψ si ψ 6∈ ∆).

Atunci ∆ ⊂ ∆ ∪ {ψ}, de unde, conform maximalitatii lui ∆, rezulta ca ∆ ∪ {ψ}este inconsistenta. Aplicand Propozitia 7.2.60, rezulta ∆ ` ¬ϕ, ceea ce contraziceconsistenta lui ∆.

(ii) Presupunem prin absurd ca exista ϕ,ψ ∈ ∆, astfel ıncat ϕ ∨ ψ ∈ ∆, ϕ 6∈ ∆si ψ 6∈ ∆. Ca mai sus, se deduce ca ∆ ∪ {ϕ}, ∆ ∪ {ψ} sunt inconsistente, deci∆ ` ¬ϕ si ∆ ` ¬ψ (conform Propozitiei 7.2.60). Conform Propozitiei 7.2.31, avem

` ¬ϕ → (¬ψ → ¬(¬ϕ → ψ)),

de unde prin m.p. obtinem ca ∆ ` ¬(¬ϕ → ψ). Aceasta ultima proprietate spuneca ∆ ` ¬(ϕ ∨ ψ), ceea ce contrazice consistenta lui ∆.

(iii) Rezulta din (ii) si din ` ψ ∨ ¬ψ.(iv) Rezulta din (iii) si din: ` ϕ → ψ ⇐⇒` ¬ϕ ∨ ψ. 2

Propozitia precedenta pune ın evidenta proprietati remarcabile ale multimilorconsistente maximale (analoage cu cele ale ultrafiltrelor (= filtrele maximale) dinalgebra Boole). Aceste proprietati vor fi folosite ın constructia modelului dinpropozitia 7.4.11.

7.2.6 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului propozitional

Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului propozitional L este o algebra Booleasociata ın mod canonic lui L. Ca multime, ea se obtine prin factorizarea lui E la orelatie de echivalenta definita prin conectorul ↔. Conectorii definesc pe multimeacat operatii booleene. Proprietatile sintactice ale lui L se reflecta ın proprietatiale algebrei Lindenbaum-Tarski, realizandu-se trecerea de la sintaxa la algebra.Urmand aceasta cale, o problema de sintaxa poate fi convertita ıntr-o problemade algebra; pe drumul invers, o solutie a problemei algebrice poate fi transportataıntr-o solutie a problemei sintactice.

Vom folosi cele doua definitii echivalente ale algebrelor Boole:- ca structura (B,∧,∨,¬, 0, 1) cu axiomele (B1) - (B7) (adica latice distributiva,cu 0 si 1, complementata) si- ca structura (B,→,¬, 1) cu axiomele (A1) - (A4).

Sa observam ca a doua definitie este adecvata sistemului de axiome ales, (G1)- (G3).


Sa definim, pe multimea E a enunturilor lui L, o relatie binara ∼ astfel:

ϕ ∼ ψdef.⇔ ` ϕ ↔ ψ.

Observatia 7.2.68 Conform Lemei 7.2.54, ϕ ∼ ψ daca si numai daca (` ϕ → ψsi ` ψ → ϕ).

Lema 7.2.69 Relatia ∼ este o relatie de echivalenta pe E.

Demonstratie. Vor trebui verificate urmatoarele conditii:(1) ` α ↔ α, pentru orice α ∈ E,(2) ` α ↔ β ⇐⇒ ` β ↔ α, pentru orice α, β ∈ E,(3) ` α ↔ β, ` β ↔ γ =⇒ ` α ↔ γ, pentru orice α, β, γ ∈ E.

(1) rezulta din Principiul identitatii si observatia precedenta;(2) rezulta din observatia precedenta;(3) rezulta din (R1) si observatia precedenta. 2

Clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E va fi notata ϕ:

ϕ = {ψ ∈ E | ψ ∼ ϕ.

Consideram multimea cat E/∼:

E/∼ = {ϕ | ϕ ∈ E}.

Fie ϕ si ψ doua enunturi ale lui L. Daca ` ϕ ↔ ψ, atunci spunem ca ϕ si ψ suntechivalente logic. Echivalenta logica a doua enunturi este traducerea ın limbajulformal a ideii de echivalenta a doua propozitii din limbajul natural. In alti termeni,conectorul ↔ este corespondentul formal al lui ⇔ (”daca si numai daca”).

Definitia relatiei de echivalenta ∼ porneste tocmai de la aceasta observatie:doua enunturi echivalente logic vor fi identificate prin ∼. O clasa de echivalentastrange la un loc toate enunturile echivalente logic.

Definim relatia binara ≤ pe E/∼:

ϕ ≤ ψdef.⇔ ` ϕ → ψ.

Este necesar sa verificam independenta de reprezentanti:

(` ϕ → ϕ′, ` ϕ′ → ϕ, ` ψ → ψ′, ` ψ′ → ψ) =⇒ (` ϕ → ψ ⇐⇒` ϕ′ → ψ′).

=⇒: Presupunem ca ` ϕ → ψ. Din ` ϕ′ → ϕ, ` ϕ → ψ si ` ψ → ψ′ rezulta,aplicand (R1), ca ϕ′ → ψ′.⇐=: Similar.

Lema 7.2.70 Relatia ≤ este o relatie de ordine pe E/∼.


Demonstratie. Este necesar sa verificam conditiile urmatoare:(1) ` ϕ → ϕ, oricare ϕ ∈ E,(2) ` ϕ → ψ, ` ψ → ϕ =⇒ ` ϕ ∼ ψ, pentru orice ϕ,ψ ∈ E,(3) ` ϕ → ψ, ` ψ → χ =⇒ ` ϕ → χ, pentru orice ϕ,ψ, χ ∈ E.Ele rezulta din Principiul identitatii si din (R1). 2

Chiar prin definitie, relatia de ordine ≤ din Lema 7.2.70 este o reflectare al-gebrica a conectorului →. In acest fel, stabilirea unor teoreme formale ale lui Lrevine la verificarea unor inegalitati booleene.

• Folosind Definitia 1 a algebrei Boole:

Propozitia 7.2.71 (E/∼,≤) este o latice distributiva, ın care pentru orice ϕ,ψ ∈E:

(1) inf(ϕ, ψ) = ϕ ∧ ψ, (2) sup(ϕ, ψ) = ϕ ∨ ψ.

Demonstratie.Demonstram ıntai (1), ceea ce revine la a verifica conditiile urmatoare:

(i) ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ, ` (ϕ ∧ ψ) → ψ,(ii) daca ` χ → ϕ si ` χ → ψ, atunci χ → (ϕ ∧ ψ).Conditia (i) rezulta din Propozitiile 7.2.36, 7.2.37, iar (ii) din (R4).

Demonstram acum (2), ceea ce revine la a verifica conditiile urmatoare:(iii) ` ϕ → (ϕ ∨ ψ), ` ψ → (ϕ ∨ ψ),(iv) daca ` ϕ → χ si ` ψ → χ, atunci ` (ϕ ∨ ψ) → χ.Se folosesc Propozitiile 7.2.32, 7.2.33 si (R3). Rezulta ca (E/∼,≤) este o latice, ıncare

ϕ ∧ ψ = ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ = ϕ ∨ ψ.

Distributivitatea rezulta din Propozitiile 7.2.42, 7.2.46. 2

Observatiile 7.2.72(1) Sa punem

¬ϕdef.= ¬ϕ.

Atunci definitia operatiei ¬ nu depinde de reprezentanti.(2) Conform Propozitiei 7.2.48, avem

ϕ ∧ ¬ϕ ≤ ψ ≤ ϕ ∨ ¬ϕ,

pentru orice ϕ, ψ ∈ E. Atunci ϕ ∧ ¬ϕ este primul element al laticii E/∼, iar ϕ ∨ ¬ϕeste ultimul element. Vom nota

0 = ϕ ∧ ¬ϕ, 1 = ϕ ∨ ¬ϕ

(este evident ca definitiile nu depind de reprezentanti).


Teorema 7.2.73 Structura (E/∼,∧,∨,¬,0,1) este o algebra Boole, numita alge-bra Lindenbaum-Tarski asociata sistemului formal L.

Demonstratie. Conform Propozitiei 7.2.71, (E/∼,∧,∨) este o latice distributiva.Conform observatiilor precedente, ϕ ∧ ¬ϕ = 0 si ϕ ∨ ¬ϕ = 1, deci orice element ϕal lui E/∼ admite pe ¬ϕ drept complement. 2

Observatia 7.2.74 Daca notam p : E −→ E/∼ surjectia canonica (p(ϕ) = ϕ, pen-tru orice ϕ ∈ E), atunci pentru orice ϕ, ψ ∈ E, sunt verificate conditiile urmatoare:(a) p(ϕ ∨ ψ) = p(ϕ) ∨ p(ψ),(b) p(ϕ ∧ ψ) = p(ϕ) ∧ p(ψ),(c) p(¬ϕ) = ¬p(ϕ),(d) p(ϕ → ψ) = p(ϕ) → p(ψ),(e) p(ϕ ↔ ψ) = p(ϕ) ↔ p(ψ),unde

ϕ → ψdef.= ϕ → ψ, ϕ ↔ ψ

def.= ϕ ↔ ψ.

Egalitatile (a) - (c) sunt chiar definitiile operatiilor din E/∼. (d) revine la a arata ca` (ϕ → ψ) ↔ (¬ϕ∨ψ) (exercitiu), iar (e) rezulta din (b) si (d). Cele cinci egalitatide mai sus arata modul ın care conectorii sunt convertiti ın operatii booleene.

Lema 7.2.75 Pentru orice ϕ ∈ E,

` ϕ ⇐⇒ ϕ = 1.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram:

` ϕ ⇐⇒` ϕ ↔ (ϕ ∨ ¬ϕ).

=⇒: Presupunem ca ` ϕ. Cum ` ϕ → ((ϕ ∨ ¬ϕ) → ϕ), conform (G1), rezulta` (ϕ ∨ ¬ϕ) → ϕ; totodata, are loc ` ϕ → (ϕ ∨ ¬ϕ), deci ` ϕ ↔ (ϕ ∨ ¬ϕ).⇐=: Presupunem ca ϕ ↔ (ϕ∨¬ϕ). Conform ` ϕ∨¬ϕ (Principiul tertului exclus),rezulta, aplicand m.p., ca ` ϕ. 2

Observatia 7.2.76 Lema 7.2.75 ofera o metoda algebrica pentru a verifica dacaun enunt este teorema formala.

Exercitiul 7.2.77 Sa se arate ca:

` [α → (β → γ)] → [(α → (γ → δ)) → (α → (β → δ))].

Notand a = α, b = β, c = γ, d = δ, conform Lemei 7.2.75, este suficient sa stabilimidentitatea booleana:

[a → (b → c)] → [(a → (c → d)) → (a → (b → d))] = 1,

ceea ce este echivalent cu

a → (b → c) ≤ (a → (c → d)) → (a → (b → d)).


Dar, un calcul boolean ın algebra Lindenbaum-Tarski E/∼ ne da:

(a → (c → d)) → (a → (b → d)) = (a− ∨ c− ∨ d)− ∨ a− ∨ b− ∨ d =

(a ∧ c ∧ d−) ∨ a− ∨ b− ∨ d = a− ∨ b− ∨ c = a → (b → c),

ceea ce termina verificarea.

• Generalizare la Σ.

Vom generaliza constructia de mai sus, pornind cu o multime Σ de enunturi sidefinind algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui Σ.

Fie Σ o multime de enunturi ale lui L (Σ ⊆ E). Sa definim pe E urmatoarearelatie binara ∼Σ:

ϕ ∼Σ ψdef.⇔ Σ ` ϕ ↔ ψ

⇔ (Σ ` ϕ → ψ si Σ ` ψ → ϕ).

Procedand analog ca mai sus, se poate arata ca ∼Σ este o relatie de echivalentape E si ca E/∼Σ are o structura canonica de algebra Boole (= algebra Lindenbaum-Tarski a lui Σ).

Notam cu ϕ/Σ clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E si cu

E/∼Σ = {ϕ/Σ | ϕ ∈ E}.

Daca definim urmatoarele operatii pe E/∼Σ :

ϕ/Σ ∨ ψ/Σdef.= (ϕ ∨ ψ)/Σ, ϕ/Σ ∧ ψ/Σ

def.= ϕ ∧ ψ)/Σ,

¬(ϕ/Σ)def.= (¬ϕ)/Σ,

0def.= (ϕ ∧ ¬ϕ)/Σ, 1

def.= (ϕ ∨ ¬ϕ)/Σ,

Atunci obtinem

Teorema 7.2.78 Structura (E/∼Σ ,∧,∨,¬,0,1) este o algebra Boole, numita al-gebra Lindenbaum-Tarski asociata lui Σ.

Avem:

ϕ/Σ = 1 ⇐⇒ Σ ` ϕ.

Daca Σ = ∅, atunci ∼Σ=∼ si obtinem algebra Lindenbaum-Tarski E/∼ a lui L.


• Folosind Definitia 2 a algebrei Boole:

Prezentam constructia unei algebre Boole echivalente asociate canonic sistemu-lui formal L. Constructia ın aceasta varianta este preluata din [63].

Am definit pe multimea E a enunturilor lui L relatia binara ∼ astfel:

ϕ ∼ ψdef.⇔ ` ϕ ↔ ψ.

Lema 7.2.79(` ϕ si ` ψ) =⇒ ` ϕ ↔ ψ.

Demonstratie.` ϕ ↔ ψ

def.↔⇐⇒` (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) Lema 7.2.54⇐⇒ ` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ.Prin ipoteza, avem ` ϕ si, conform (G1), avem ` ϕ → (ψ → ϕ); atunci aplicandmodus ponens, rezulta ` ψ → ϕ.Prin ipoteza avem ` ψ si, conform (G1), avem ` ψ → (ϕ → ψ); atunci aplicandmodus ponens, rezulta ` ϕ → ψ.Deci, rezulta ` ϕ ↔ ψ. 2

Observatiile 7.2.80(i) Conform Lemei 7.2.54,

ϕ ∼ ψ daca si numai daca (` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ),

deoarece ϕ ∼ ψ ⇐⇒` ϕ ↔ ψ ⇐⇒` (ϕ → ψ)∧(ψ → ϕ) ⇐⇒ (` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ).(ii) Avem ` (ϕ ∧ ψ) → (ϕ ↔ ψ).

Amintim ca relatia ∼ este o relatie de echivalenta pe E, conform Propozitiei7.2.69. Clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E va fi notata ϕ, deci ϕ = {ψ ∈ E | ψ ∼ ϕ}.

Fie multimea cat E/ ∼, adica: E/ ∼= {ϕ | ϕ ∈ E}.

Propozitia 7.2.81 Clasele nu depind de reprezentanti, adica:

ϕ = ψ ⇐⇒ ϕ ∼ ψ.

Demonstratie.=⇒: Deoarece ϕ ∈ ϕ si ϕ = ψ, rezulta ca ϕ ∈ ψ, deci ϕ ∼ ψ.⇐=: Fie χ ∈ ϕ, adica χ ∼ ϕ; dar, prin ipoteza, ϕ ∼ ψ; rezulta, prin tranzi-

tivitatea lui ∼, ca χ ∼ ψ, adica χ ∈ ψ. Deci, ϕ ⊆ ψ. Similar se demonstreaza caψ ⊆ ϕ. Deci, ϕ = ψ. 2

Propozitia 7.2.82 Pentru orice ϕ,ψ, ϕ′, ψ′ ∈ E,(i) daca ϕ ∼ ϕ′ si ψ ∼ ψ′, atunci (ϕ → ψ) ∼ (ϕ′ → ψ′),(ii) daca ϕ ∼ ψ, atunci ¬ϕ ∼ ¬ψ,(iii) (ϕ → ϕ) ∼ (ψ → ψ).


Demonstratie.(i): Ipoteza este urmatoarea: (ϕ ∼ ϕ′ si ψ ∼ ψ′)

def.∼⇐⇒(` ϕ ↔ ϕ′ si ` ψ ↔ ψ′)

def.↔⇐⇒(` (ϕ → ϕ′) ∧ (ϕ′ → ϕ) si ` (ψ → ψ′) ∧ (ψ′ → ψ) Lema 7.2.54⇐⇒(` ϕ → ϕ′ si ` ϕ′ → ϕ) si (` ψ → ψ′ si ` ψ′ → ψ), iar concluzia ce trebuiedemonstrata este urmatoarea:

(ϕ → ψ) ∼ (ϕ′ → ψ′)def.∼⇐⇒

` (ϕ → ψ) ↔ (ϕ′ → ψ′)def.↔⇐⇒

` [(ϕ → ψ) → (ϕ′ → ψ′)] ∧ [(ϕ′ → ψ′) → (ϕ → ψ)] Lema 7.2.54⇐⇒(a) ` (ϕ → ψ) → (ϕ′ → ψ′) si (b) ` (ϕ′ → ψ′) → (ϕ → ψ).

Conform ipotezei, din ` ϕ′ → ϕ si ` ψ → ψ′, rezulta, aplicand regula (RX), ca` (ϕ → ψ) → (ϕ′ → ψ′), adica (a).Similar, conform restului ipotezei, adica din ` ϕ → ϕ′ si ` ψ′ → ψ, rezulta,aplicand (RX), ca ` (ϕ′ → ψ′) → (ϕ → ψ), adica (b).Rezulta ca (ϕ → ψ) ∼ (ϕ′ → ψ′).

(ii): ϕ ∼ ψdef.∼⇐⇒ ` ϕ ↔ ψ

def.↔⇐⇒ ` (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) Lema 7.2.54⇐⇒ ` ϕ → ψ si` ψ → ϕ si¬ϕ ∼ ¬ψ

def.∼⇐⇒ ` ¬ϕ ↔ ¬ψdef.↔⇐⇒ ` (¬ϕ → ¬ψ) ∧ (¬ψ → ¬ϕ) Lema 7.2.54⇐⇒ ` ¬ϕ →

¬ψ si ` ¬ψ → ¬ϕ.Conform Propozitiei 7.2.49, avem ` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ); deoarece avem prinipoteza ` ϕ → ψ, rezulta, aplicand modus ponens, ca ` ¬ψ → ¬ϕ.Similar, conform Propozitiei 7.2.49, avem ` (ψ → ϕ) → (¬ϕ → ¬ψ); deoareceavem prin ipoteza ` ψ → ϕ, rezulta, aplicand modus ponens, ca ` ¬ϕ → ¬ψ.Rezulta ca ¬ϕ ∼ ¬ψ.

(iii): Conform Propozitiei 7.2.15, avem ` ϕ → ϕ si ` ψ → ψ. De aici, aplicandLema 7.2.79, rezulta ` (ϕ → ϕ) ↔ (ψ → ψ) adica (ϕ → ϕ) ∼ (ψ → ψ), conformdefinitiei lui ∼. 2

Definim pe E/∼ operatia binara →, operatia unara ¬ si constanta 1 astfel:

ϕ → ψdef.= ϕ → ψ, ¬ϕ

def.= ¬ϕ, 1

def.= ϕ → ϕ.

Atunci conform Lemei 7.2.82, definitiile nu depind de reprezentanti (adica dacaψ ∈ ϕ ⇐⇒ ψ ∼ ϕ, atunci ¬ψ ∼ ¬ϕ si deci ¬ψ = ¬ϕ, etc.).

Amintim urmatorul rezultat cu o alta demonstratie.

Lema 7.2.83` ϕ ⇐⇒ ϕ = 1.

Demonstratie. Avem:ϕ = 1 ⇐⇒ϕ = ϕ → ϕ ⇐⇒ϕ ∼ (ϕ → ϕ) ⇐⇒


` ϕ ↔ (ϕ → ϕ)Def.↔⇐⇒

` (ϕ → (ϕ → ϕ)) ∧ ((ϕ → ϕ) → ϕ) Lema 7.2.54⇐⇒(a) ` ϕ → (ϕ → ϕ) si (b) ` (ϕ → ϕ) → ϕ.

=⇒: Deoarece, prin ipoteza, avem ` ϕ si, conform Propozitiei 7.2.15, avem` ϕ → ϕ, rezulta, aplicand Lema 7.2.79, ca ` ϕ ↔ (ϕ → ϕ), adica ϕ = 1.

⇐=: Prin ipoteza, avem ϕ = 1; dar, conform Propozitiei 7.2.15, avem (c)` ϕ → ϕ; aplicand modus ponens lui (b) si (c), rezulta ` ϕ. 2

Corolarul 7.2.84ϕ ∨ ¬ϕ = 1.

Demonstratie. Din Propozitia 7.2.16 si Lema 7.2.83. 2

Teorema 7.2.85 Structura (E/ ∼,→,¬,1) este o algebra Boole, numita algebraLindenbaum-Tarski asociata sistemului formal L.

Demonstratie. Trebuie sa verificam: pentru orice ϕ, ψ, χ ∈ E/ ∼,(A1’) ϕ → (ψ → ϕ) = 1,(A2’) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)) = 1,(A3’) (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ) = 1,(A4’) ϕ → ψ = 1 = ψ → ϕ implica ϕ = ψ.

(A1’): ϕ → (ψ → ϕ) = 1 ⇐⇒ ϕ → (ψ → ϕ) = 1 Lema 7.2.83⇐⇒ ` ϕ → (ψ → ϕ),ceea ce este adevarat, conform Observatiei 7.2.9 referitoare la (G1).

(A2’), (A3’): se demonstreaza similar, folosind respectiv axiomele (G2), (G3).(A4’): ϕ → ψ = 1 = ψ → ϕ ⇐⇒

ϕ → ψ = 1 = ψ → ϕLema 7.2.83⇐⇒

` ϕ → ψ si ` ψ → ϕLema 7.2.54⇐⇒

` (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) ⇐⇒` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ϕ ∼ ψ

Prop. 7.2.81=⇒ (dar de fapt sunt echivalente)

ϕ = ψ. 2

Observatia 7.2.86 Daca notam p : E −→ E/ ∼ surjectia canonica (p(ϕ) = ϕ,pentru orice ϕ ∈ E), atunci pentru orice ϕ,ψ ∈ E, sunt verificate conditiileurmatoare:(a) p(ϕ ∨ ψ) = p(ϕ) ∨ p(ψ),(b) p(ϕ ∧ ψ) = p(ϕ) ∧ p(ψ),(c) p(¬ϕ) = ¬p(ϕ),(d) p(ϕ → ψ) = p(ϕ) → p(ψ),(e) p(ϕ ↔ ψ) = p(ϕ) ↔ p(ψ),(f) p(0) = 0, p(1) = 1,

unde

ϕ ∨ ψdef.= ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ

def.= ϕ ∧ ψ, ϕ ↔ ψ

def.= ϕ ↔ ψ, 0

def.= ¬1 = ϕ ∧ ¬ϕ.


• Generalizare la ΣFie Σ o multime de enunturi ale lui L (Σ ⊆ E). Sa definim pe E urmatoarea relatiebinara ∼Σ:

ϕ ∼Σ ψdef.⇔ Σ ` ϕ ↔ ψ

⇔ (Σ ` ϕ → ψ si Σ ` ψ → ϕ).

Procedand analog ca mai sus, se poate arata ca ∼Σ este o relatie de echivalentape E. Daca notam cu ϕ/Σ clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E si cu E/ ∼Σ= {ϕ/Σ |ϕ ∈ E} si daca definim urmatoarele operatii pe E/ ∼Σ:

ϕ/Σ → ψ/Σdef.= (ϕ → ψ)/Σ, ¬(ϕ/Σ)

def.= (¬ϕ)/Σ, 1

def.= (ϕ → ϕ)/Σ,

atunci obtinem:

Teorema 7.2.87 Structura (E/ ∼Σ,→,¬,1) este o algebra Boole, numita algebraLindenbaum-Tarski a lui Σ.

Daca Σ = ∅, atunci ∼Σ=∼ si obtinem algebra Lindenbaum-Tarski E/ ∼ a lui L.Generalizarea Lemei 7.2.83 este:

Σ ` ϕ ⇐⇒ ϕ/Σ = 1.

7.2.7 Algebrele Boole ca algebre ”tip Lindenbaum-Tarski”

Continutul acestei subsectiuni este preluat din [63].Studiul multimilor prebooleene (preboolean sets) [90], [93], al prealgebrelor

Nelson si ÃLukasiewicz [81], al S-prealgebrelor [59] si al prealgebrelor Hilbert [26] acondus la introducerea [63] notiunii de prealgebra Boole, asociata definitiei echiva-lente a algebrei Boole cu axiomele (A1) - (A4), si la factorizarea prealgebrei Boolepentru a obtine algebra Boole, urmand ındeaproape lucrarea [26].

• Prealgebre Boole

Definitia 7.2.88 Structura X = (X,→,−, D) este numita o prealgebra Boole daca∅ 6= D ⊆ X si → este o operatie binara pe X, − este o operatie unara pe X, astfelıncat pentru orice x, y, z ∈ X avem:(1) x → (y → x) ∈ D,(2) [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] ∈ D,(3) (y− → x−) → (x → y) ∈ D,(4) daca x ∈ D si x → y ∈ D, atunci y ∈ D.

Observatiile 7.2.891) Structura (X,→, D) cu axiomele (1), (2), (4) este o prealgebra Hilbert (a se

vedea [26]).


2) Axioma (4) este corespondentul algebric al regulii de deductie logica modusponens.

3) Calculul propozitional clasic L = (E,→,¬, T ) este un exemplu de prealgebraBoole, unde E este multimea enunturilor, T este multimea teoremelor formale.

4) Algebrele Boole, definite ca algebre (B,→,−, 1) satisfacand axiomele(A1) - (A4), definesc prealgebra Boole (B,→,−, D), unde luam D = {1}, conform(MP).

5) Data o algebra Boole B = (B,→,−, 1) si un sistem deductiv (= filtru) F allui B, atunci (B,→,−, F ) este o prealgebra Boole (a se vedea [59]).

Fie (X,→,−, D) o prealgebra Boole ın aceasta sectiune.

Propozitia 7.2.90 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y, z ∈ X:(5) daca y ∈ D, atunci x → y ∈ D,(6) x → x ∈ D (reflexivitatea),(7) daca x → y ∈ D si y → z ∈ D, atunci x → z ∈ D (tranzitivitatea).

Demonstratie. (A se vedea [26], [87]):(5): Fie y ∈ D; deoarece din (1) y → (x → y) ∈ D, rezulta din (4) ca x → y ∈ D.(6): Din (1), x → ((x → x) → x) ∈ D; din (2), [x → ((x → x) → x)] → [(x →

(x → x)) → (x → x)] ∈ D.Atunci din (4), (x → (x → x)) → (x → x) ∈ D.Dar, din (1) din nou, x → (x → x) ∈ D. Rezulta, din (4) ca x → x ∈ D.

(7): Fie x → y ∈ D si y → z ∈ D.Deoarece y → z ∈ D, atunci din (5) obtinem x → (y → z) ∈ D.Dar, din (2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] ∈ D.Rezulta, din (4), ca (x → y) → (x → z) ∈ D.Deoarece x → y ∈ D, atunci din (4) din nou, obtinem ca x → z ∈ D. 2

Definitia 7.2.91 Sa definim pe X o relatie binara ≤ astfel: pentru toti x, y ∈ X,

x ≤ ydef.⇐⇒ x → y ∈ D.

Atunci din (6) si (7) obtinem:

(6’) x ≤ x, pentru orice x, adica ≤ este reflexiva,(7’) daca x ≤ y si y ≤ z, atunci x ≤ z, adica ≤ este tranzitiva.

Observatiile 7.2.921) Din (6’), (7’), rezulta ca relatia binara ≤ pe X este o cvasi-ordine (preordine).2) Proprietatea (5) spune:

(5’) Daca y ∈ D, atunci x ≤ y, pentru toti x ∈ X,adica fiecare element al lui X precede toate elementele lui D.


Propozitia 7.2.93 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y, z ∈ X:(8) daca x ≤ y → z, atunci x → y ≤ x → z,(9) x ≤ y → x,(10) x ≤ y → z ⇐⇒ y ≤ x → z,(11) y → z ≤ (x → y) → (x → z),(12) x → y ≤ (y → z) → (x → z),(13) daca x ≤ y, atunci y → z ≤ x → z,(14) x → (y → z) ≤ y → (x → z),(15) daca x ≤ y, atunci z → x ≤ z → y.

Demonstratie. (A se vedea [26] si [87])(8): Din (2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] ∈ D;

daca x ≤ y → z, adica x → (y → z) ∈ D, atunci din (4), obtinem (x → y) → (x →z) ∈ D, adica x → y ≤ x → z.

(9): Rezulta direct din (1).(10): =⇒: daca x ≤ y → z, atunci din (8), avem x → y ≤ x → z; dar din (9),

y ≤ x → y; atunci aplicand (7’), obtinem y ≤ x → z.⇐=: rezulta prin simetrie.

(11): Din (2), avem [x → (y → z)] ≤ [(x → y) → (x → z)].Pe de alta parte, din (9), avem y → z ≤ x → (y → z).Prin urmare, aplicand (7’), obtinem y → z ≤ (x → y) → (x → z), adica (11) areloc.

(12): rezulta din (11), aplicand (10).(13): Din (12), x → y ≤ [(y → z) → (x → z)], adica (x → y) → [(y →

z) → (x → z)] ∈ D. Daca x ≤ y, adica x → y ∈ D, atunci din (4), obtinem ca(y → z) → (x → z) ∈ D, adica y → z ≤ x → z.

(14): Din (2), avem [x → (y → z)] ≤ [(x → y) → (x → z)].Pe de alta parte, deoarece conform (9), y ≤ x → y, atunci din (13), avem (x →y → (x → z) ≤ y → (x → z).Prin urmare, aplicand (7’), obtinem ca [x → (y → z)] ≤ y → (x → z).

(15): Daca x ≤ y, adica x → y ∈ D, atunci din (5), avem z → (x → y) ∈ D. Pede alta parte, din (2), avem [z → (x → y)] → [(z → x) → (z → y)] ∈ D.Prin urmare, aplicand (4), obtinem (z → x) → (z → y) ∈ D, adica z → x ≤ z → y.2

Propozitia 7.2.94 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ X:(16) y− → x− ≤ x → y,(17) (a) x ≤ x− → y, (b) x− ≤ x → y,(18) (x−)− ≤ x,(19) x ≤ (x−)−,(20) x → y ≤ y− → x−.

Demonstratie.(16): Rezulta direct din (3).


(17) (a): Din (9), x− ≤ y− → x− si, din (16), y− → x− ≤ x → y; prin urmare,aplicand (7’), obtinem x− ≤ x → y.(17) (b) este echivalent cu (17) (a), din (10).

(18): Din (9) si (16), avem:(x−)− ≤ (((x−)−)−)− → (x−)− ≤ x− → ((x−)−)− ≤ (x−)− → x.Prin urmare, aplicand (7’), obtinem (x−)− ≤ (x−)− → x care, aplicand (8), ne da[(x−)− → (x−)−] ≤ [(x−)− → x], adica [(x−)− → (x−)−] → [(x−)− → x] ∈ D.Dar, din (6), (x−)− → (x−)− ∈ D, prin urmare, aplicand (4), obtinem (x−)− →x ∈ D, adica (x−)− ≤ x.

(19): Din (18), ((x−)−)− ≤ x−, adica ((x−)−)− → x− ∈ D.Pe de alta parte, din (3), [((x−)−)− → x−] → [x → (x−)−] ∈ D.Prin urmare, aplicand (4), x → (x−)− ∈ D, adica x ≤ (x−)−.

(20): Deoarece, din (19), y ≤ (y−)−, atunci din (13), avem x → y ≤ x → (y−)−.Pe de alta parte, deoarece, din (18), (x−)− ≤ x, atunci din (11), avem x → (y−)− ≤(x−)→(y−)−.Prin urmare, aplicand (7’), obtinem x → y ≤ (x−)− → (y−)−.Dar, din (16), (x−)− → (y−)− ≤ y− → x−.Prin urmare, aplicand (7’) din nou, obtinem x → y ≤ y− → x−. 2

• Algebrele Boole ca prealgebre Boole cat,adica ca algebre “tip Lindenbaum-Tarski”

Definitia 7.2.95 Fie X = (X,→,−, D) o prealgebra Boole.Sa definim o relatie binara ∼ pe X astfel: pentru toti x, y ∈ X,

x ∼ ydef.⇐⇒ x ≤ y si y ≤ x ⇐⇒ x → y ∈ D si y → x ∈ D.

Propozitia 7.2.96 Relatia binara ∼ pe X este o relatie de echivalenta.

Demonstratie.· reflexivitatea: pentru toti x ∈ X, x ∼ x ⇐⇒ x ≤ x, care este adevarata

din (6’).· simetria: pentru toti x, y ∈ X, x ∼ y implica y ∼ x; este evident.· tranzitivitatea: fie x, y, z ∈ X astfel ıncat x ∼ y si y ∼ z, adica

(x → y ∈ D si y → x ∈ D) si (y → z ∈ D si z → y ∈ D), sau, echivalent,(x → y ∈ D si y → z ∈ D) si (z → y ∈ D si y → x ∈ D), care implica, conform(7), ca x → z ∈ D si z → x ∈ D, adica x ∼ z. 2

Lema 7.2.97 Relatia ∼ verifica proprietatile: pentru orice x, y, x′, y′ ∈ X,(a) x ∼ x′ si y ∼ y′ implica (x → y) ∼ (x′ → y′),(b) x ∼ y implica x− ∼ y−,(c) D este o clasa de echivalenta.


Demonstratie.(a): Fie x ∼ x′ si y ∼ y′, adica (x ≤ x′ si x′ ≤ x) si (y ≤ y′ si y′ ≤ y).

Dar, y ≤ y′ implica, prin (13), x → y ≤ x → y′ si x′ ≤ x implica, prin (11),x → y′ ≤ x′ → y′. Prin urmare, aplicand (7’), x → y ≤ x′ → y′. Similar,x′ → y′ ≤ x → y. Prin urmare, (x → y) ∼ (x′ → y′).

(b): Fie x ∼ y, adica x → y ∈ D si y → x ∈ D.Deoarece x → y ∈ D si, din (20), (x → y) → (y− → x−) ∈ D, rezulta, din (4), cay− → x− ∈ D.Similar, y → x ∈ D si (y → x) → (x− → y−) ∈ D implica, prin (4), ca x− → y− ∈D. Prin urmare, x− ∼ y−.

(c): Este suficient sa demonstram ca x, y ∈ D implica x ∼ y. Intr-adevar,x ∈ D implica, prin (5), ca y → x ∈ D si similar, y ∈ D implica x → y ∈ D. Prinurmare, x ∼ y. 2

Deoarece ∼ este o relatie de echivalenta pe X, fie | x | clasa de echivalenta a luix ∈ X:

| x | def.= {y ∈ X | y ∼ x}

si fie B = X/ ∼ multimea cat, adica multimea tuturor claselor de echivalenta:

B = X/ ∼ def.= {| x | | x ∈ X}.

Lema 7.2.98 Clasele de echivalenta nu depind de reprezentantii alesi, adica pentrutoti x, y ∈ X,

| x |=| y | ⇐⇒ x ∼ y.

Demonstratie.=⇒: Deoarece x ∈| x | si | x |=| y |, rezulta ca x ∈| y |, adica x ∼ y.⇐=: Fie z ∈| x |, adica z ∼ x; deoarece x ∼ y, din tranzitivitate obtinem ca

z ∼ y, adica z ∈| y |. Prin urmare, | x |⊆| y |. Similar, | y |⊆| x |. Prin urmare,| x |=| y |. 2

Definitia 7.2.99 Sa definim pe multimea cat B = X/ ∼ de mai sus o relatiebinara ≤ astfel: pentru toti | x |, | y |∈ B,

| x | ≤ | y | def.⇐⇒ x ≤ y ⇐⇒ x → y ∈ D.

Lema 7.2.100 Relatia binara ≤ pe multimea cat B = X/ ∼ este o relatie deordine.

Demonstratie.· reflexivitatea: pentru toti | x |∈ B, | x | ≤ | x |⇐⇒ x ≤ x, care are loc conform

(6’).· antisimetria: fie | x |, | y |∈ A astfel ıncat | x | ≤ | y | si | y | ≤ | x |, adica

x → y ∈ D si y → x ∈ D, adica x ∼ y; prin urmare, din Lema 7.2.98, | x | = | y |.


· tranzitivitatea: fie | x |, | y |, | z |∈ B astfel ıncat | x | ≤ | y | si | y | ≤ | z |,adica x ≤ y si y ≤ z. Atunci aplicand (7’), x ≤ z, adica | x | ≤ | z |. 2

Sa definim pe multimea cat B = X/ ∼ operatia binara →, operatia unara − siconstanta 1 astfel: pentru orice | x |, | y |∈ B,

| x | → | y | def.= | x → y |, | x |− def.

= | x− |, 1def.= D.

Din Lema 7.2.97, definitiile sunt bune (adica nu depind de reprezentanti).

Lema 7.2.101

| x | = 1 ⇐⇒ | x | = D ⇐⇒ x ∈ D.

Demonstratie. Sa observam ca | x | = D ınseamna x ∼ y for all y ∈ D, adica(x → y ∈ D si y → x ∈ D), pentru toti y ∈ D.

=⇒: y ∈ D si y → x ∈ D implica, prin (4), ca x ∈ D.⇐=: Fie x ∈ D; trebuie sa demonstram ca | x |= D.

· | x |⊆ D: fie y ∈| x |, adica y ∼ x, adica (y → x ∈ D si x → y ∈ D). Deoarecex ∈ D, rezulta, din (4), ca y ∈ D.· D ⊆| x |: fie y ∈ D; atunci din (5), x → y ∈ D. Dar, x ∈ D implica, prin (5), cay → x ∈ D de asemenea. Prin urmare, x ∼ y, care implica y ∈| x |. 2

Teorema 7.2.102 Prealgebra cat (B = X/ ∼,→,−, 1) este o algebra Boole, pecare o numim algebra “tip Lindenbaum-Tarski” a lui X .

Demonstratie. Trebuie sa verificam ca pentru toti | x |, | y |, | z |∈ B,

(A1) | x |→ (| y |→| x |) = 1,(A2) [| x |→ (| y |→| z |)] → [(| x |→| y |) → (| x |→| z)] = 1,(A3) (| y |−→| x |−) → (| x |→| y |) = 1,(A4) daca | x |→| y |= 1 =| y |→| x |, atunci | x |=| y |.Intr-adevar,

(A1): | x |→ (| y |→| x |) =| x → (y → x) |= 1, din (1) si din Lema 7.2.101.(A2): rezulta similar din (2) si Lema 7.2.101.(A3): rezulta similar din (3) si Lema 7.2.101.(A4): Fie | x |→| y |= 1 =| y |→| x |, adica | x → y |= D si | y → x |= D,

sau, equivalent, prin Lema 7.2.101, x → y ∈ D si y → x ∈ D, adica x ∼ y, careınseamna, prin Lema 7.2.98, | x |=| y |. 2

Observatiile 7.2.103(i) La nivel de logica algebrica, avem calculul propozitional clasic L, din care,

prin factorizarea Fac1, obtinem algebra Lindenbaum-Tarski, care este o algebraBoole. O alta factorizare, Fac2, printr-un sistem deductiv (filtru) de data aceasta,a algebrei Lindenbaum-Tarski, ne conduce la o alta algebra Boole, algebra Boolecat.


La nivel de algebra logicii, avem prealgebra Boole, care modeleaza calcululpropozitional clasic L, din care, prin factorizarea Fac1′, obtinem algebra “tipLindenbaum-Tarki”, care este o algebra Boole. Prin alta factorizare, sa o numimFac2′, a acestei algebre Boole printr-un sistem deductiv (filtru), obtinem o algebraBoole cat. Prin urmare, putem scrie:

Logica algebrica: LFac1=⇒ alg. Lind.− Tarski

Fac2=⇒ alg. Lind.− Tarski cat

Algebra logicii: prealgebra BooleFac1′=⇒ algebra Boole

Fac2′=⇒ algebra Boole cat

(ii) Urmatoarele probleme deschise apar:a) Sa se studieze factorizarea Fac1′ similar cu Fac1.b) Sa se studieze ın paralel compunerea celor doua factorizari la cele doua nivele:Fac2 ◦ Fac1 si Fac2′ ◦ Fac1′.c) Sa se defineasca si sa se studieze pe prealgebra Boole notiunile corespunzatoarenotiunilor din calculul propozitional clasic L.d) Sa se defineasca notiunea analoaga de prealgebra Boole pentru calculul cu predi-cate clasic.

7.3 Exemple de deductii formale din ipoteze

Exemplele prezentate ın aceasta sectiune vor avea ca punct de plecare propozitiiformulate ın limbajul natural. Acestea vor fi trecute ın limbajul formal si apoi vorfi prelucrate conform mecanismului inferential al lui L.

Exemplul 7.3.1 Se considera propozitiile:(a) Cuget, deci exist.(b) Cuget, deci daca exist, nu ma duc la cursul de logica.(c) Cuget, deci nu ma duc la cursul de logica.Vrem sa aratam ca din primele doua propozitii se deduce a treia.

Vom nota:p ≡ ”cuget”q ≡ ”exist”r ≡ ”nu ma duc la cursul de logica”.Atunci cele trei propozitii (a) - (c) se vor scrie simbolic astfel:(a): p → q(b): p → (q → r)(c): p → rDaca Σ = {p → q, p → (q → r)}, atunci trebuie sa aratam ca Σ ` p → r.Prezentam mai jos demonstratia formala a lui Σ ` p → r:

7.3. EXEMPLE DE DEDUCTII FORMALE DIN IPOTEZE 179

(1) Σ ` p → (q → r)(2) Σ ` (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (G2)(3) Σ ` (p → q) → (p → r) m.p., (1), (2)(4) Σ ` p → q(5) Σ ` p → r m.p., (3), (4).

Exemplul 7.3.2 Se considera propozitiile:(a) Daca are mintea limpede, atunci studentul Tica va ajunge un informaticianbun, prin urmare el merge des la plimbare.(b) Daca studentul Tica nu va ajunge un informatician bun, atunci el nu are mintealimpede.(c) El merge des la plimbare.Aratam ca din (a) si (b) se deduce (c).

Sa notam:p ≡ ”el merge des la plimbare”q ≡ ”are mintea limpede”r ≡ ”studentul Tica va ajunge un informatician bun”.Cele trei propozitii (a) - (c) se reprezinta, atunci simbolic astfel:(a): (q → r) → p(b): ¬r → ¬q(c): pDaca Σ = {(q → r) → p,¬r → ¬q}, atunci trebuie sa aratam ca Σ ` p. Aceastadecurge din Σ-demonstratia urmatoare:

(1) Σ ` ¬r → ¬q(2) Σ ` (¬r → ¬q) → (q → r) (G2)(3) Σ ` q → r m.p., (1), (2)(4) Σ ` (q → r) → p(5) Σ ` p m.p., (3), (4).

Exemplul 7.3.3 Se considera propozitiile:(a) Iar ın lumea cea comuna a visa e un periculCaci de ai cumva iluzii, esti pierdut si esti ridicul.(M. Eminescu, Scrisoarea a II-a)(b) Daca nu esti pierdut, atunci nu ai iluzii.(c) Daca nu esti ridicul, atunci nu ai iluzii.(d) In lumea cea comuna a visa e un pericul.Vrem sa aratam ca din propozitiile (a) - (c) se deduce (d).

Notam:q ≡ ”ın lumea cea comuna a visa e un pericul”r ≡ ”ai (cumva) iluzii”s1 ≡ ”esti pierdut”


s2 ≡ ”esti ridicul”.Atunci (a) - (d) au scrierea simbolica:(a): (r → (s1 ∧ s2)) → q(b): ¬s1 → ¬r(c): ¬s2 → ¬r(d): qDaca Σ = {(r → (s1 ∧ s2)) → q,¬s1 → ¬r,¬s2 → ¬r}, atunci Σ-demonstratiaurmatoare va stabili ca Σ ` q:

(1) Σ ` (r → (s1 ∧ s2)) → q(2) Σ ` (r → s1) → ((r → s2) → (r → (s1 ∧ s2))) lista(3) Σ ` ¬s1 → ¬r(4) Σ ` (¬s1 → ¬r) → (r → s1) (G3)(5) Σ ` r → s1 m.p., (3), (4)(6) Σ ` ¬s2 → ¬r(7) Σ ` (¬s2 → ¬r) → (r → s2) (G3)(8) Σ ` r → s2 m.p., (6), (7)(9) Σ ` (r → s2) → (r → (s1 ∧ s2)) m.p., (2), (5)(10) Σ ` r → (s1 ∧ s2) m.p., (8), (9)(11) Σ ` q m.p., (1), (10).

Exemplul 7.3.4 Se considera propozitiile:(a) Daca nu dau pe la curs, deoarece explicatiile nu ma conving, atunci nu stiu ces-a predat ora trecuta.(b) Sunt sigur pe ce stiu, caci dau pe la curs si explicatiile profesorului nu maconving.(c) Daca stiu ce s-a predat ora trecuta, atunci sunt sigur pe ce stiu.

Vrem sa aratam ca ultima propozitie se deduce din primele doua.

Notam:p ≡ ”stiu ce s-a predat ora trecuta”q ≡ ”dau pe la curs”r ≡ ”explicatiile profesorului ma conving”s ≡ ”sunt sigur pe ce stiu”.

Atunci propozitiile (a) - (c) se scriu astfel:(a): (¬r → ¬q) → ¬p(b): (q ∧ ¬r) → s(c): p → s.Vom nota Σ = {(¬r → ¬q) → ¬r, (q ∧ ¬r) → s} si vom demonstra ca Σ ` p → s.

( 1) Σ ` (¬r → ¬q) → ¬p( 2) Σ ` ((¬r → ¬q) → ¬p) → (¬¬p → ¬(¬r → ¬q)) lista( 3) Σ ` ¬¬p → ¬(¬r → ¬q) m.p., (1), (2)


( 4) Σ ` p → ¬¬p lista( 5) Σ ` p → ¬(¬r → ¬q) (3), (4)( 6) Σ ` p → (¬r ∧ q) idem (5)( 7) Σ ` (¬r ∧ q) → (q ∧ ¬r) lista( 8) Σ ` p → (q ∧ ¬r) (6), (7)( 9) Σ ` (q ∧ ¬r) → s(10) Σ ` p → s (8), (9)

Exemplul 7.3.5 Se considera propozitiile:(a) Daca nu ploua, atunci ın cazul cand ies la plimbare, nu trec pe la cafenea.(b) Daca nu ploua, atunci ies la plimbare.(c) Trec pe la cafenea.(d) Ploua.Vom demonstra ca din primele trei propozitii se deduce (d).

Notam:ϕ ≡ ”ploua”ψ ≡ ”ies la plimbare”χ ≡ ”trec pe la cafenea”.Atunci propozitiile (a) - (d) se scriu astfel:(a): ¬ϕ → (ψ → ¬χ)(b): ¬ϕ → ψ(c): χ(d): ϕsi multimea de ipoteze este Σ = {¬ϕ → (ψ → ¬χ),¬ϕ → ψ, χ}. Prezentam oΣ-demonstratie ca Σ ` ϕ.

(1) Σ ` ¬ϕ → (ψ → ¬χ)(2) Σ ` ¬ϕ → ψ(3) Σ ` χ(4) Σ ` (¬ϕ → (ψ → ¬χ)) → ((¬ϕ → ψ) → (¬ϕ → ¬χ)) (G2)(5) Σ ` (¬ϕ → ψ) → (¬ϕ → ¬χ) m.p., (1), (4)(6) Σ ` ¬ϕ → ¬χ m.p., (2), (5)(7) Σ ` (¬ϕ → ¬χ) → (χ → ϕ) (A3)(8) Σ ` χ → ϕ m.p., (6), (7)(9) Σ ` ϕ m.p., (3), (8)

Exemplul 7.3.6 Fie X atacantul echipei de fotbal U ce joaca ın Cupa U.E.F.A.si Y finantatorul lui U.

Se considera propozitiile urmatoare:(a) X ısi va cumpara un castel ın Scotia, pentru ca Y ıi va da un milion de dolari,deoarece U va castiga Cupa U.E.F.A..(b) Daca U va castiga Cupa U.E.F.A., atunci X va locui ın Scotia, deoarece ısi vacumpara un castel ın Scotia.(c) Daca Y nu ıi va da un milion de dolari, atunci U nu va castiga Cupa U.E.F.A..


(d) X nu va locui ın Scotia.Vrem sa demonstram ca propozitiile (a) - (d) constituie o multime de premise dincare poate fi dedusa propozitia ”U nu va castiga Cupa U.E.F.A.”.

Notam:p ≡ ”U va castiga Cupa U.E.F.A.”q ≡ ”Y ıi va da un milion de dolari”r ≡ ”X ısi va cumpara un castel ın Scotia”s ≡ ”X va locui ın Scotia”.Atunci cele patru propozitii (a) - (d) se reprezinta simbolic astfel:(a): p → (q → r)(b): p → (r → s)(c): ¬q → ¬p(d): ¬s.Notand Σ = {p → (q → r), p → (r → s),¬q → ¬p,¬s}, rezolvarea problemeirevine la a stabili ca Σ ` ¬p. Pentru aceasta, avem nevoie de urmatoarea lema:

Lema 7.3.7 Daca α, β, γ, δ sunt enunturi oarecare ale lui L, atunci

` (α → (β → γ)) → [(α → (γ → δ)) → (α → (β → δ))].

Demonstratie. Aplicand de mai multe ori Teorema deductiei, aceasta este echiva-lent cu a arata ca

∆ = {α → (β → γ), α → (γ → δ), α, β} ` δ.

Prezentam mai jos o demonstratie a lui ∆ ` δ:

∆ ` α∆ ` α → (β → γ)∆ ` β → γ m.p.∆ ` β∆ ` γ m.p.∆ ` α → (γ → δ)∆ ` γ → δ m.p.∆ ` δ m.p..

2

Demonstratia lemei fiind terminata, trecem la a stabili ca Σ ` ¬p. Prezentammai jos o Σ-demonstratie:


( 1) Σ ` p → (q → r)( 2) Σ ` p → (r → s)( 3) Σ ` (p → (q → r)) →

[(p → (r → s)) → (p → (q → s))] Lema( 4) Σ ` (p → (r → s)) → (p → (q → s)) m.p., (1), (3)( 5) Σ ` p → (q → s) m.p., (2), (4)( 6) Σ ` (p → (q → s)) → ((p → q) → (p → s)) (G2)( 7) Σ ` (p → q) → (p → s) m.p., (5), (6)( 8) Σ ` ¬q → ¬p( 9) Σ ` (¬q → ¬p) → (p → q) (G3)(10) Σ ` p → q m.p., (8), (9)(11) Σ ` p → s m.p., (7), (10)(12) Σ ` (p → s) → (¬s → ¬p) lista(13) Σ ` ¬s → ¬p m.p., (11), (12)(14) Σ ` ¬s(15) Σ ` ¬p m.p., (13), (14).

Exemplul 7.3.8 Se considera propozitiile urmatoare:(a) In cazul ca iau examenul de logica, ma voi duce la munte, fiindca merit.(b) Daca iau examenul de logica si merit, atunci voi fi fericit.(c) Daca nu merit, atunci nu iau examenul sau nu ma duc la munte.(d) Ma voi duce la munte.Fie Σ multimea de premise formata din propozitiile (a) - (d). Vom demonstra caΣ ` ”Daca iau examenul, atunci voi fi fericit.”

Pentru aceasta, vom nota:p ≡ ”iau examenul”q ≡ ”merit”r ≡ ”ma voi duce la munte”s ≡ ”voi fi fericit”si obtinem urmatoarea reprezentare simbolica:(a): p → (q → r)(b): (p ∧ q) → s(c): ¬q → (¬p ∨ ¬r)(d): r

Va trebui sa aratam ca Σ ` p → s. Pentru aceasta, avem nevoie de urmatorulrezultat.

Lema 7.3.9 Pentru orice enunturi α, β, avem

` (¬α ∨ ¬β) → ¬(α ∧ β)

Prezentam o Σ-demonstratie pentru Σ ` p → s.


( 1) Σ ` p → (q → r)( 2) Σ ` (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (G2)( 3) Σ ` (p → q) → (p → r) m.p., (1), (2)( 4) Σ ` ¬q → (¬p ∨ ¬r)( 5) Σ ` (¬p ∨ ¬r) → ¬(p ∧ r) Lema( 6) Σ ` ¬q → ¬(p ∧ r) (R1), (4), (5)( 7) Σ ` (¬q → ¬(p ∧ r)) → ((p ∧ r) → q) (G3)( 8) Σ ` (p ∧ r) → q m.p., (6), (7)( 9) Σ ` ((p ∧ r) → q) → (r → (p → q)) lista(10) Σ ` r → (p → q) m.p., (8), (9)(11) Σ ` r(12) Σ ` p → q m.p., (10), (11)(13) Σ ` (p ∧ q) → s(14) Σ ` ((p ∧ q) → s) → (p → (q → s)) lista(15) Σ ` p → (q → s) m.p., (13), (14)(16) Σ ` (p → (q → s)) → ((p → q) → (p → s)) (G2)(17) Σ ` (p → q) → (p → s) m.p., (15), (16)(18) Σ ` p → s m.p., (12), (17)

Exemplul 7.3.10 Consideram propozitiile urmatoare:(a) Daca nu am chef si ımi displace materia predata, atunci nu ma duc la curs.(b) Nu ımi displace materia predata, pentru ca am chef.(c) Ma duc la curs, daca ni se dau subiectele de examen.(d) Daca nu ma duc la curs, atunci ni se dau subiectele de examen.(e) Imi displace materia predata.Vrem sa aratam ca textul format din aceste cinci propozitii este inconsistent.

Vom nota:p ≡ ”ımi displace materia predata”q ≡ ”am chef”r ≡ ”ma duc la curs”s ≡ ”ni se dau subiectele de examen”.Atunci propozitiile (a) - (e) se reprezinta simbolic astfel:(a): (¬q ∧ p) → ¬r(b): q → ¬p(c): s → r(d): ¬r → s(e): p.Vrem sa aratam ca urmatoarea multime de enunturi este inconsistenta:

{(¬q ∧ p) → ¬r, q → ¬p, s → r,¬r → s, p}.

Acest lucru este echivalent cu a arata ca Σ ` ¬p, unde:

Σ = {(¬q ∧ p) → ¬r, q → ¬p, s → r,¬r → s}.


Prezentam mai jos o Σ-demonstratie pentru Σ ` ¬p:

( 1) Σ ` (¬q ∧ p) → ¬r( 2) Σ ` ((¬q ∧ p) → ¬r) → (p → (¬q → r)) lista( 3) Σ ` p → (¬q → r) m.p., (1), (2)( 4) Σ ` q → ¬p( 5) Σ ` (q → ¬p) → (p → ¬q) lista( 6) Σ ` p → ¬q m.p., (4), (5)( 7) Σ ` (p → (¬q → r)) → [(p → ¬q) → (p → ¬r)] (G2)( 8) Σ ` (p → ¬q) → (p → ¬r) m.p., (3), (7)( 9) Σ ` p → ¬r m.p., (6), (8)(10) Σ ` (p → ¬r) → (r → ¬p) lista(11) Σ ` r → ¬p m.p., (9), (10)(12) Σ ` s → r(13) Σ ` s → ¬p (R1), (11), (12)(14) Σ ` (r → ¬p) → [(s → ¬p) → ((r ∨ s) → ¬p)] lista(15) Σ ` (s → ¬p) → ((r ∨ s) → ¬p) m.p., (13), (14)(16) Σ ` (r ∨ s) → ¬p m.p., (13), (15)(17) Σ ` ¬r → s(18) Σ ` r ∨ s este chiar (17)(19) Σ ` ¬p m.p., (16), (18)

Exemplul 7.3.11 U si V sunt doua echipe de fotbal din campionatul intern, iarX este antrenorul lui U.

Sa se arate ca textul format din urmatoarele propozitii este inconsistent.(a) Daca U bate V, atunci merge ın cupele europene pentru ca va avea mai multepuncte.(b) Daca U bate V, atunci X va fi bucuros, pentru ca U va merge ın cupele eu-ropene.(c) Daca portarul lui U se va ınsanatosi, atunci U va bate V.(d) Daca portarul se va ınsanatosi, atunci U va avea mai multe puncte.(e) Portarul lui U se va ınsanatosi.(f) X nu va fi bucuros.

Notam:α ≡ ”U bate V”β ≡ ”U va merge ın cupele europene”γ ≡ ”U va avea mai multe puncte”δ ≡ ”X va fi bucuros”ε ≡ ”Portarul lui U se va ınsanatosi”Atunci propozitiile date au urmatoarea reprezentare simbolica:(a): α → (γ → β)(b): α → (β → δ)(c): ε → α(d): ε → γ


(e): ε(f): ¬δ.Fie

Σ = {α → (γ → β), α → (β → δ), ε → α, ε → γ, ε}.Daca demonstram ca Σ ` δ, atunci propozitiile (a) - (f) sunt contradictorii. Prezentammai jos o demonstratie pentru Σ ` δ:

( 1) Σ ` ε( 2) Σ ` ε → α( 3) Σ ` ε → γ( 4) Σ ` α m.p., (1), (2)( 5) Σ ` γ m.p., (1), (3)( 6) Σ ` α → (γ → β)( 7) Σ ` γ → β m.p., (4), (6)( 8) Σ ` α → (β → δ)( 9) Σ ` β → δ m.p., (4), (8)(10) Σ ` γ → δ (R1), (7), (9)(11) Σ ` δ m.p., (5), (10).

7.4 Semantica calculului propozitional

Pana acum am dezvoltat sistemul L la nivel sintactic, fara a atribui enunturilorvalori de adevar. Acest lucru va fi realizat ın sectiunea de fata prin notiunea deinterpretare.

7.4.1 Interpretare. Modele. Deductia semantica din ipoteze

Fie V multimea infinita a variabilelor propozitionale si (L2 = {0, 1},→,¬, 1)algebra Boole canonica.

Definitia 7.4.1 O interpretare a lui L este o functie oarecare h : V −→ L2.

Propozitia 7.4.2 Pentru orice interpretare h : V −→ L2, exista o functie unicah∼ : E −→ L2, care satisface proprietatile urmatoare:(a) h∼(x) = h(x), pentru orice x ∈ V ,(b) h∼(¬ϕ) = ¬h∼(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E,(c) h∼(ϕ → ψ) = h∼(ϕ) → h∼(ψ), pentru orice ϕ,ψ ∈ E.

Demonstratie. Definitia lui h∼ se face prin inductie, urmarind clauzele (a) - (c).Demonstrarea unicitatii lui h∼ se face tot prin inductie. Fie g : E −→ L2 astfelıncat:(a’) g(x) = h(x), pentru orice x ∈ V ,

7.4. SEMANTICA CALCULULUI PROPOZITIONAL 187

(b’) g(¬ϕ) = ¬g(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E,(c’) g(ϕ → ψ) = g(ϕ) → g(ψ), pentru orice ϕ,ψ ∈ E.Vom arata ca pentru orice α ∈ E,

h∼(α) = g(α).

Distingem trei cazuri pentru α:- α ∈ V : g(α) = h(α) = h∼(α).- α = ¬ϕ: g(α) = ¬g(ϕ) = ¬h∼(ϕ) = h∼(¬ϕ) = h∼(α), pentru ca g(ϕ) = h∼(ϕ)(ipoteza inductiei).- α = ϕ → ψ: g(α) = g(ϕ) → g(ψ) = h∼(ϕ) → h∼(ψ) = h∼(α), pentru cag(ϕ) = h∼(ϕ) si g(ψ) = h∼(ψ) (ipoteza inductiei). 2

Consecinte imediate. Pentru orice ϕ,ψ ∈ E,(d) h∼(ϕ ∨ ψ) = h∼(ϕ) ∨ h∼(ψ),(e) h∼(ϕ ∧ ψ) = h∼(ϕ) ∧ h∼(ψ),(f) h∼(ϕ ↔ ψ) = h∼(ϕ) ↔ h∼(ψ).

Observatia 7.4.3 Daca h : V −→ L2 este o interpretare, atunci exista un unicmorfism boolean h : E/∼ −→ L2 care face comutativa diagrama urmatoare:

V ↪→ −→ E/∼E

?h∼

ZZ

ZZ~

½½

½½=h h

p

L2

h este definit de: h(ϕ) = h∼(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E.

O interpretare asociaza variabilelor propozitionale valori ın algebra BooleL2 = {0, 1}. Conform Propozitiei 7.4.2, o interpretare h se extinde ın mod unic lao functie h∼ definita pe E astfel ıncat conectorii ¬,→,∨,∧,↔ sunt pransportati ınoperatiile booleene corespunzatoare (ın termeni algebrici, functia h din Observatia7.4.3 este un morfism boolean). Putem spune ca h∼ transforma structura logica alui L ın structura logica a lui L2.

Definitiile 7.4.4· Enuntul ϕ este adevarat ın interpretarea h : V −→ L2 daca h∼(ϕ) = 1.· Enuntul ϕ este fals ın interpretarea h daca h∼(ϕ) = 0.· Un enunt ϕ este universal adevarat (tautologie) daca este adevarat ın orice

interpretare; acest lucru se noteaza

|= ϕ.


Observatia 7.4.5 Interpretarea unui enunt este valoarea 0 sau 1 obtinuta, atuncicand tuturor variabilelor propozitionale ce intra ın componenta sa le atribuim valoridin L2. Un enunt universal adevarat ϕ va avea valoarea 1 pentru orice valori dinL2 luate de variabilele propozitionale ce apar ın ϕ.

Definitia 7.4.6 O interpretare h : V −→ L2 este un model al lui Σ ⊆ E dacah∼(σ) = 1 pentru orice σ ∈ Σ. Notam faptul ca h este un model al lui Σ astfel:

h |= Σ.

Definitia 7.4.7 Fie Σ ⊆ E si ϕ ∈ E. Spunem ca ϕ se deduce semantic din ipotezeleΣ daca h∼(ϕ) = 1, pentru orice model h al lui Σ. Se noteaza acest lucru astfel:

Σ |= ϕ.

Propozitia 7.4.8 Pentru orice enunt ϕ al lui L, are loc urmatoarea proprietate:

` ϕ =⇒ |= ϕ.

Demonstratie. Vom arata ca daca ` ϕ, atunci h∼(ϕ) = 1 pentru orice inter-pretare h : V −→ L2. Se procedeaza prin inductie asupra modului ın care a fostdefinit ` ϕ.

Consideram ıntai cazul axiomelor:(G1): ϕ este de forma α → (β → α).

h∼(ϕ) = h∼(α) → (h∼(β) → h∼(α)) = ¬h∼(α) ∨ ¬h∼(β) ∨ h∼(α) = 1.

(G2): ϕ este de forma (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)).Daca notam a = h∼(α), b = h∼(β), c = h∼(γ), atuncih∼(ϕ) = (a → (b → c)) → ((a → b) → (a → c)) = 1,dupa cum arata o simpla verificare ın L2.(G3): ϕ este de forma (¬α → ¬β) → (β → α).Este suficient sa probam ca (a− → b−) → (b → a) = 1 ın L2.

Presupunem acum ca ` ϕ a fost obtinut prin m.p. din ` ψ, ` ψ → ϕ. Ipotezainductiei conduce la h∼(ψ) = 1 si h∼(ψ → ϕ) = 1. Atunci

1 = h∼(ψ) → h∼(ψ) = 1 → h∼(ϕ) = h∼(ϕ)

si demonstratia s-a ıncheiat. 2

Corolarul 7.4.9 Pentru orice enunt ϕ, nu putem avea ` ϕ si ` ¬ϕ.

Demonstratie. Daca ar exista un enunt ϕ astfel ıncat ` ϕ si ` ¬ϕ, atunci pentruorice interpretare h am avea h∼(ϕ) = 1 si ¬h∼(ϕ) = h∼(¬ϕ) = 1: contradictie. 2

Conform Lemei 7.2.54 si Corolarului 7.4.9, pentru nici un enunt ϕ nu putemavea ` ϕ ∧ ¬ϕ. Deci Corolarul 7.4.9 exprima noncontradictia sistemului formal L:prin demonstratii formale nu se poate ajunge la contradictii.


7.4.2 Teorema de completitudine

Teorema 7.4.10 (Teorema de completitudine a lui L)Pentru orice enunt ϕ ∈ E, avem:

` ϕ ⇐⇒ |= ϕ.

Demonstratie.=⇒: Conform Propozitiei 7.4.8.⇐=: Presupunem ca 6` ϕ (ϕ nu este teorema formala). Trecand la algebra

Lindenbaum-Tarski E/∼ si aplicand Lemma 7.2.75, rezulta ϕ 6= 1. Aplicam Teo-rema de reprezentare a lui Stone pentru algebra Boole E/∼. Atunci exista omultime nevida X si un morfism boolean injectiv d : E/∼ −→ LX

2 . Din injec-tivitatea lui d rezulta ca d(ϕ) 6= 1 ın LX

2 , deci exista x ∈ X astfel ıncat d(ϕ)(x) 6= 1ın L2.

Consideram proiectia πx : LX2 −→ L2 definita prin πx(f) = f(x), pentru orice

f ∈ LX2 . πx este morfism boolean. Sa luam interpretarea h data de compunerea

urmatoarelor morfisme booleene:

V ⊆ Ep−→ E/∼

d−→ LX2

πx−→ L2

adica h = πx ◦ d ◦ p.Vom stabili ca pentru orice α ∈ E:

(7.4) h∼(α) = d(α)(x).

Demonstram (7.4) prin inductie asupra enuntului α:- α ∈ V :h∼(α) = h(α) = πx(d(p(α)) = d(α)(x).- α = ¬β:Ipoteza inductiei functioneaza pentru β, deci h∼(β) = d(β)(x). Atunci

h∼(α) = ¬h∼(β) = ¬d(β)(x) = (¬d(β))(x) = d(¬β)(x) = d(¬β)(x) = d(α)(x).

- α = β → γ:Ipoteza inductiei functioneaza pentru β si γ, deci h∼(β) = d(β)(x) si h∼(γ) =d(γ)(x). Atunci

h∼(α) = h∼(β) → h∼(γ) = d(β)(x) → d(γ)(x) =

(d(β) → d(γ))(x) = d(β → γ)(x) = d(β → γ)(x) = d(α)(x).

Proprietatea (7.4) a fost demonstrata.Aplicand (7.4) pentru α = ϕ, rezulta h∼(ϕ) = d(ϕ)(x) 6= 1, deci 6|= ϕ. 2


Comentarii(i) De fapt, completitudinea lui L este exprimata numai prin implicatia ”|=

ϕ =⇒` ϕ”. In cele mai importante texte de logica, prin teorema de completitudinea lui L este desemnata echivalenta din Teorema 7.4.10.

(ii) Studierea unei teorii stiintifice are ca scop determinarea propozitiilor va-labile ale teoriei. La nivelul sistemului logic, propozitiile din teorie sunt reprezen-tate de enunturi. Pentru sistemul logic L, au fost definite doua clase remarca-bile de enunturi: teoremele formale (notiune sintactica) si enunturile universaladevarate (notiune semantica). Ambele notiuni candideaza la a reprezenta ın sis-temul logic propozitiile valabile (adevarate) din logica propozitionala neformalizata.Enunturile universal adevarate sunt mai aproape de ceea ce ıntelegem noi ın modobisnuit prin propozitie adevarata. Teorema formala este un concept mai sofisti-cat; ea traduce ın plan formal ideea de propozitie a carei valabilitate a fost stabilitaprintr-o demonstratie.

Compararea teoremelor formale cu enunturile universal adevarate apare ca oproblema naturala. Teorema de completitudine stabileste echivalenta celor douatipuri de enunturi. Luate separat, fiecare din cele doua implicatii ce compun Teo-rema de completitudine are o semnificatie profunda.

Implicatia ”` ϕ =⇒|= ϕ” ne arata ca demonstratiile formale produc enunturiuniversal adevarate. In particular, de aici rezulta noncontradictia lui L.

Implicatia reciproca ”|= ϕ =⇒` ϕ” ne arata ca structura logica a lui L (definitade cele trei axiome si de regula de deductie m.p.) este capabila sa asigure demonstratiiformale pentru toate enunturile universal adevarate.

De asemenea, Teorema de completitudine ne da un procedeu comod de verificarea faptului ca un enunt este o teorema formala (procedeu ce poate fi programat).

(iii) Demonstratia prezentata mai sus este de natura algebrica. Ideea funda-mentala este trecerea la algebra Lindenbaum-Tarski si invocarea Teoremei lui Stonepentru gasirea interpretarii necesare ın demonstratie. Aceasta trecere prin algebraarunca o lumina mai completa asupra relatiei dintre sintaxa si semnatica, care arede fapt si un substrat algebric. Pe scurt, sistemul formal L a fost analizat dinperspectiva relatiei tripartite:

sintaxa semanticaZ

ZZ

Z

½½

½½

algebra

7.4.3 Teorema de completitudine extinsa

Teorema de completitudine, demonstrata ın sectiunea precedenta, exprima orelatie profunda ıntre sintaxa si semantica. Un al doilea mod de a pune fata ın


fata sintaxa si semantica lui L ıl reprezinta problema compararii deductiei formale(sintactice) cu deductia semantica. Teorema de completitudine extinsa, prezen-tata ın aceasta sectiune, este un raspuns definitiv la aceasta problema. Stabilindechivalenta dintre deductia sintactica si deductia semantica, ea ıntareste conside-rabil relatia dintre cele doua dimensiuni ale lui L.

Teorema de completitudine extinsa poate fi obtinuta printr-o metoda algebricaasemanatoare ce cea din cazul Teoremei 7.4.10. Ideea principala este aplicareaTeoremei de reprezentare a lui Stone pentru algebra Lindenbaum-Tarski asociataunei multimi de enunturi.

In subsectiunea de fata, vom prezenta o demonstratie directa, bazata pe multimileconsistente maximale. Multimile consistente maximale sunt contrapartea sintacticaa ultrafiltrelor (= filtre maximale) din algebra Boole. Ele au proprietati sintacticeremarcabile, ceea ce permite constructia unor interpretari prin care se demonstreazaTeorema de completitudine extinsa.

Propozitia 7.4.11 Orice multime consistenta Σ admite un model.

Demonstratie. Fie ∆ o multime maximal consistenta maximala astfel ıncat Σ ⊆∆. Consideram interpretarea h definita, pentru orice x ∈ V , prin:

h(x) ={

1, daca x ∈ ∆,0, daca x 6∈ ∆.

Pentru orice ϕ ∈ E, avem echivalenta

(7.5) h∼(ϕ) = 1 ⇐⇒ ϕ ∈ ∆.

Demonstrarea lui (7.5) se face prin inductie relativ la ϕ:- daca ϕ ∈ V : (7.5) este chiar definitia lui h.- daca ϕ = ¬α: folosind ipoteza inductiei si Propozitia 7.2.67 (iii),

h∼(ϕ) = 1 ⇐⇒ h∼(α) = 0 ⇐⇒ α 6∈ ∆ ⇐⇒ ϕ ∈ ∆.

- daca ϕ = α → β: din ipoteza inductiei si Propozitia 7.2.67 (iii) si (iv), obtinem:h∼(ϕ) = 1 ⇐⇒ h∼(α) → h∼(β) = 1

⇐⇒ h∼(α) = 0 sau h∼(β) = 0 (suntem ın L2)⇐⇒ α 6∈ ∆ sau β ∈ ∆⇐⇒ ¬α ∈ ∆ sau β ∈ ∆⇐⇒ α → β ∈ ∆⇐⇒ ϕ ∈ ∆.

Folosind (7.5) si Σ ⊆ ∆, rezulta ca h∼(σ) = 1, pentru orice σ ∈ Σ. 2

Teorema 7.4.12 (Teorema de completitudine extinsa (tare))Fie Σ ⊆ E si ϕ ∈ E.

Σ ` ϕ ⇐⇒ Σ |= ϕ.


Demonstratie.=⇒: Prin inductie asupra modului de definire a notiunii Σ ` ϕ.⇐=: Daca Σ 6` ϕ, atunci Σ∪{¬ϕ} este consistenta (Corolarul 7.2.61). Aplicand

Propozitia 7.2.67, Σ ∪ {¬ϕ} admite un model h. Atunci h este un model al lui Σsi h∼(ϕ) = 0, deci Σ 6|= ϕ. 2

Observatiile 7.4.13(1) Teorema de completitudine extinsa stabileste echivalenta ıntre inferenta sin-

tactica si cea semantica.(2) Pentru Σ = ∅, se obtine Teorema de completitudine

` ϕ ⇐⇒ |= ϕ,

demonstrata ıntr-o subsectiune precedenta.(3) Teorema de completitudine este un caz particular al Teoremei de completi-

tudine extinse, iar aceasta s-a obtinut aplicand Propozitia 7.4.11. La randul ei,Propozitia 7.4.11 poate fi demonstrata plecand de la Teorema de completitudine.Pentru a proba aceasta afirmatie, sa consideram o multime consistenta Σ. Fieϕ ∈ Σ. Atunci {ϕ} este o multime consistenta, deci conform Propozitiei 7.2.60,6` ¬ϕ. Aplicand Teorema de completitudine, rezulta 6|= ¬ϕ, deci exista o structurade ordinul I, A, astfel ıncat A 6|= ¬ϕ. Prin urmare, A |= ϕ, pentru orice ϕ ∈ Σ,deci A |= Σ.

7.5 Teorema de completitudine extinsa versusteorema lui Stone

Am vazut ca Teorema de completitudine (extinsa) poate fi dedusa folosind Teo-rema lui Stone.

Vom da acum o demonstratie a Teoremei de reprezentare a lui Stone folosindTeorema de completitudine extinsa. Amintim ıntai Teorema de reprezentare a luiStone ın urmatoarea forma:

Teorema 7.5.1 (Teorema de reprezentare a lui Stone)Pentru orice algebra Boole B, exista o multime nevida X si un morfism boolean

injectiv d : B −→ LX2 .

Demonstratie.(a) Consideram sistemul formal al calculului propozitional L, ın care multimea

V a variabilelor este B:V = B.

Cu notatia uzuala, E este multimea enunturilor, E/∼ este algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L si p : E −→ E/∼ este surjectia canonica.

7.5. T. DE COMPLETITUDINE EXTINSA VERSUS T. LUI STONE 193

Se poate arata, imitand demonstratia Propozitiei 7.4.2, ca exista un morfismboolean surjectiv f : E/∼ −→ B, astfel ıncat urmatoarea diagrama este comuta-tiva:

B E/∼-p |B

ZZ

ZZ~

½½

½½=1B f

B

AtunciF = f−1(1) = {ϕ | f(ϕ) = 1}

este un filtru propriu ın E/∼, deci putem considera algebra Boole cat (E/∼)/F .Pentru orice ϕ,ψ ∈ E, are loc echivalenta urmatoare:

ϕ/F = ψ/F ⇐⇒ f(ϕ) = f(ψ).

Atunci functia λ : (E/∼)/F −→ B definita de

λ(ϕ/F ) = f(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E,

este un izomorfism boolean.(b) Fie F un filtru propriu ın E/∼ (eventual cel de la (a)) si fie ∆ = p−1(F ). ∆

este un sistem deductiv consistent ın L si pentru orice ϕ,ψ ∈ E au loc echivalentele:

ϕ/F = ψ/F ⇐⇒ ϕ ↔ ψ ∈ F ⇐⇒ ϕ ↔ ψ ∈ F ⇐⇒

ϕ ↔ ψ ∈ ∆ ⇐⇒ ∆ ` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ ϕ/∆ = ψ/∆,

unde ϕ/∆ este clasa de echivalenta a lui ϕ ın raport cu ∼∆.Daca E/∆ = E/∼∆ este algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui ∆, atunci echivalen-tele de mai sus spun ca functia Φ : (E/∼)/F −→ E/∆, definita prin Φ(ϕ/F ) = ϕ/∆pentru orice ϕ ∈ E, este un izomorfism boolean.

(c) Presupunem ca ∆ este o multime consistenta (eventual cea de la punctul(b)) si X este multimea modelelor lui ∆:

X = {h : V −→ L2 | h |= ∆}.

Conform Teoremei de completitudine extinsa (presupusa anterior demonstrata),X 6= ∅. Pentru orice ϕ,ψ ∈ E, avem echivalentele:ϕ/∆ = ψ/∆ ⇐⇒ ∆ ` ϕ ↔ ψ

⇐⇒ ∆ |= ϕ ↔ ψ⇐⇒ h∼(ϕ ↔ ψ) = 1, pentru orice h ∈ X,⇐⇒ h∼(ϕ) ↔ h∼(ψ) = 1, pentru orice h ∈ X,⇐⇒ h(ϕ) = h(ψ), pentru orice h ∈ X.

Definim functia λ : E/∆ −→ LX2 prin: λ(ϕ/∆)(h) = h∼(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E si


h ∈ X. Echivalentele de mai sus arata ca functia λ este bine definita si ca ea esteinjectiva. Este usor de vazut ca λ este morfism boolean. In consecinta, λ este unmorfism boolean injectiv.

Asambland pasii (a), (b), (c), vom obtine Teorema lui Stone.Consideram compunerea morfismelor booleene (toate injective) de la acesti treipasi:

B∼=−→ (E/∼)/F

Φ↪→ E/∆

λ↪→ LX

2 .

Am obtinut un morfism boolean injectiv d : B ↪→ LX2 . 2

Observatia 7.5.2 In demonstratia Teoremei lui Stone si cea a Teoremei de com-pletitudine extinsa, s-a folosit axioma lui Zorn. Intr-o axiomatizare a teoriei multimi-lor fara axioma lui Zorn, enunturile celor doua teoreme apar ca proprietati echiva-lente.

Capitolul 8

Sistemul formal al calcululuicu predicate

Teoriile matematice studiaza proprietati ale structurilor matematice.O structura este definita ca o multime nevida (universul structurii), ınzestrata

cu operatii, relatii si constante verificand anumite axiome. Elementele universuluistructurii vor fi numite indivizi. Daca operatiile si relatiile actioneaza asupra indi-vizilor, iar constantele desemneaza anumiti indivizi privilegiati, atunci este vorbade o structura de ordinul I.

Atunci cand exista si operatii si relatii ce actioneaza asupra multimilor de in-divizi, iar unele constante sunt multimi de indivizi, avem de-a face cu structuri deordinul II. Analog, putem avea structuri de ordinul III, IV, etc. Exista cazuri candtrebuie sa consideram structuri formate din mai multe universuri, cu operatii sirelatii ce opereaza cu indivizi din universuri diferite. Asemenea structuri, numitemultisortate, sunt folosite ındeosebi ın informatica teoretica.

In acest capitol, sunt considerate numai structuri de ordinul I. Doua struc-turi sunt de acelasi tip τ (= similare) (de aceeasi signatura τ), daca exista ocorespondenta bijectiva ıntre operatiile, relatiile si constantele lor, iar acestea o-pereaza ın acelasi mod asupra indivizilor celor doua structuri. Proprietatile struc-turilor (de ordinul I), ce se pot exprima ın termeni de indivizi, de operatii, derelatii si de constante, folosind conectorii propozitionali si cuantificatorii ”exista”si ”oricare”, se numesc proprietati de ordinul I.

Unei clase formate din structuri de acelasi tip τ ıi vom asocia un limbaj formal(Lτ = limbajul calculului cu predicate), ın care proprietatile de ordinul I sunttraduse prin formule si enunturi. O lista de axiome si de reguli de deductie definestestructura logica a lui Lτ .

Teoremele formale si deductia formala sunt definite recursiv, plecand de la axi-ome si aplicand, cu fiecare pas, cate o regula de deductie.

Insiruirea acestor pasi defineste o constructie simbolica numita demonstratie

195

196CAPITOLUL 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

formala. Tot la nivel formal, se defineste si un concept de deductie din ipoteze.Considerand la start axiomele si o multime de enunturi (ipoteze formale) si aplicandapoi succesiv cate o regula de deductie, obtinem niste enunturi numite concluziiformale. Procedeul recursiv de trecere de la ipoteze formale la concluzii formaleeste tocmai deductia formala din ipoteze. Limbajul si structura logica constituiesintaxa lui Lτ .

Intuitiv, o teorie este o multime de asertiuni ce pot fi valabile sau nu ın struc-turile considerate. La nivel formal, o teorie (de ordinul I) este o multime de enunturiale lui Lτ .

Semantica lui Lτ ıncepe cu notiunea de interpretare, pe baza careia este definitavaliditatea enunturilor lui Lτ ıntr-o structura de ordinul I. Se ajunge la notiuniletarskiene de model al unui enunt si de model al unei teorii. De aici se obtineconceptul de deductie semantica, introdus tot de Tarski. O teorema centrala asupracalculului cu predicate arata ca orice teorie consistenta ıntr-un limbaj numarabiladmite un model cel mult numarabil. Rezultatul, demonstrat de Henkin ın [54],are drept consecinta Teorema de completitudine extinsa: deductia sintactica esteechivalenta cu deductia semantica. Ca un caz particular, se obtine Teorema decompletitudine a lui Godel [46]: teoremele formale ale lui Lτ coincid cu enunturileuniversal adevarate.

Echivalentele exprimate prin cele doua teoreme de completitudine:

teoreme formale ⇐⇒ enunturi universal adevarate

deductia formala ⇐⇒ deductia semantica

stabilesc o legatura puternica ıntre sintaxa si semantica lui Lτ . Aceasta permiteun transfer de proprietati ıntre sintaxa si semantica, avand drept rezultat un plusde cunoastere pentru ambele planuri. Aceasta idee ne da o sugestie sumara asuprasubiectelor de studiu ın teoria modelelor, una din principalele ramuri ale logiciimatematice [3], [19].

Scopul acestui capitol este de a prezenta sintaxa si semantica lui Lτ si de ademonstra cele doua teoreme de completitudine mentionate mai sus.

In sectiunea 1, este definita notiunea de structura de ordinul I si este construitlimbajul formal Lτ asociat clasei structurilor de ordinul I ce au aceeasi signatura.

In sectiunea 2, este continuata constructia sintaxei lui Lτ , prin precizarea a-xiomelor si regulilor de deductie si prin definirea teoremelor formale si a deductieiformale. Sunt prezentate unele exemple de teoreme formale si unele proprietatisintactice ale lui Lτ si se face o analiza sumara a algebrei Lindenbaum-Tarskiasociata lui Lτ . Se introduc algebrele Boole monadice si algebrele Boole cilindrice.

Sectiunea 3 se ocupa cu semantica lui Lτ . Sunt definite interpretarile lui Lτ

ın structuri de ordinul I, valorile formulelor si enunturilor lui Lτ relative la inter-pretare, enunturile universal adevarate, etc. si sunt demonstrate unele proprietatiale deductiei semantice. Sunt prezentate exemple de enunturi universal adevarate.

8.1. STRUCTURI SI LIMBAJ 197

Sectiunea 4 este consacrata celor doua rezultate principale ale capitolului:Teorema de completitudine (Godel) si Teorema de completitudine extinsa (Henkin).Este expusa ın detaliu metoda constantelor, prin care Henkin a demonstrat ın [54]aceste doua teoreme.

Capitolul se ıncheie cu o sectiune 5 asupra unor exemple.Bibliografia acestui capitol: [41], [42], [5].

8.1 Structuri si limbaj

In aceasta sectiune, vom introduce structurile de ordinul I si vom construi unlimbaj formal Lτ asociat clasei structurilor de ordinul I ce au signatura fixata.Pornind de la un alfabet format din variabile, simboluri de operatii, de relatii side constante, simboluri logice (conectori si cuantificatori), simbolul de egalitatesi din paranteze, sunt definite prin inductie termenii, formulele si enunturile luiLτ . Alegerea simbolurilor de operatii, de relatii si de constante reflecta signaturastructurilor fixate.

8.1.1 Structuri de ordinul I

Incepem cu cateva exemple de structuri.

Exemplul 8.1.1 Notiunea de latice se poate defini ın doua moduri:(i) ca o structura partial ordonata (L,≤), ın care exista sup(x, y) si inf(x, y) pentruorice x, y ∈ L;(ii) ca o structura algebrica (L,∨,∧), ın care ∨,∧ sunt doua operatii binare pe L,asociative, comutative, idempotente si care verifica proprietatea de absorbtie.

Exemplul 8.1.2 Laticea cu prim si ultim element este structura algebrica deforma (L,∨,∧, 0, 1), unde (L,∨,∧) este o latice, iar 0 si 1 sunt doua constantedin L desemnand primul, respectiv ultimul element.

Exemplul 8.1.3 Graful este o structura de forma G = (X,R), unde X estemultimea nodurilor, iar R este o relatie binara pe X ce defineste arcele: x → ydaca xRy.

Exemplul 8.1.4 Inelul unitar este o structura de forma (A, +, ·, 0, 1), ın care +, ·sunt operatii binare, 0, 1 sunt constante, ce verifica anumite axiome.

Se observa ca la aceste structuri apare o multime de baza (= universul struc-turii), ımpreuna cu operatii, relatii sau constante. Pornind de la aceasta observatie,se degaja notiunea generala de structura de ordinul I.


Definitia 8.1.5 O structura de ordinul I este de forma:

A = (A, (fi)i∈I , (Rj)j∈J , (ck)k∈K),

unde:- A este o multime nevida, numita universul structurii,- fi : Ani −→ A este o operatie ni-ara, pentru orice i ∈ I (ni ≥ 1 este ordinul sauaritatea lui fi),- Rj ⊆ Amj este o relatie mj-ara pe A, pentru orice j ∈ J (mj ≥ 1 este ordinul sauaritatea lui Rj),- ck ∈ A este o constanta, pentru orice k ∈ K.

O structura de acelasi tip cu A are forma:

B = (B, (f ′i)i∈I , (R′j)j∈J , (c′k)k∈K),

unde: - B este o multime nevida, numita universul structurii,- f ′i : Bni −→ B este o operatie ni-ara,- R′j ⊆ Bmj este o relatie mj-ara pe B,- c′k ∈ B este o constanta,pentru orice i ∈ I, j ∈ J , k ∈ K.

Tipul sau signatura structurilor A, B este:

τ = ((ni)i∈I ; (mj)j∈J ; (0)k∈K).

Structura A va fi notata de acum ınainte

A = (A, (fAi )i∈I , (RAj )j∈J , (cAk )k∈K).

Observatiile 8.1.6(1) In forma (i), laticile sunt structuri de tipul (∅; 2; ∅), iar ın forma (ii), de tipul

(2, 2; ∅; ∅).(2) Laticile cu prim si ultim element au tipul (2, 2; ∅; 0, 0).(3) Grafurile sunt de tipul (∅; 2; ∅).(4) Inelele unitare au tipul (2, 2; ∅; 0, 0).(5) In mod obisnuit, ∅ nu se mai scrie si se foloseste doar separatorul virgula.

Vom considera acum si alte exemple de structuri.1

Exemplul 8.1.7 Spatiul vectorial peste un corp K este o structura de forma(E, +, 0, ·), unde + este o operatie (interna) pe E, 0 este o constanta, iar · esteo operatie externa: · : K × E −→ E ((α, x) ∈ K × E 7→ α · x ∈ E), verificandaxiomele cunoscute (nu amintim axiomele spatiului vectorial).

1Vom folosi =⇒ si ⇐⇒ ca prescurtare pentru ”daca ..., atunci”, respectiv pentru ”daca sinumai daca”.


Exemplul 8.1.8 Spatiul metric este o pereche (X, d), unde X 6= ∅ si d : X2 −→R+ astfel ıncat, pentru orice x, y, z ∈ X, urmatoarele conditii sunt ındeplinite:(i) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,(ii) d(x, y) = d(y, x),(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Exemplul 8.1.9 Spatiul topologic este o pereche (X,D), unde X 6= ∅ si D ⊆ P(X),astfel ıncat:(i) ∅, X ∈ D,(ii) (Ai)i∈I ⊆ D =⇒ ⋃

i∈I Ai ∈ D,(iii) A, B ∈ D =⇒ A ∩B ∈ D.

Observatiile 8.1.10· Structurile din Exemplele 8.1.1 - 8.1.4 se ıncadreaza ın definitia structurilor de

ordinul I, ın timp ce structurile din Exemplele 8.1.7, 8.1.8, 8.1.9 nu se ıncadreazaın aceasta definitie.

· In structurile din Exemplele 8.1.7, 8.1.8, avem operatii externe, iar ın structuradin Exemplul 8.1.9, D este o relatie unara pe P(X).

· Structurile din Exemplele 8.1.7, 8.1.8 conduc la ideea de structura multisortata,iar cea din Exemplul 8.1.9 la ideea de structura de ordinul II.

Toate structurile considerate de noi ın continuare vor fi de ordinul I.

8.1.2 Limbajul de ordinul I, Lτ

Fiecarei clase de structuri de un tip fixat τ ıi vom asocia un limbaj de ordinul I, ıncare sa poata fi exprimate (la nivel simbolic) proprietati ale structurilor considerate.

Sa consideram clasa structurilor de ordinul I, de o signatura fixata

τ = ((ni)i∈I ; (mj)j∈J ; (0)k∈K).

Alfabetul limbajului de ordin I, Lτ , asociat acestor structuri, este format dinurmatoarele simboluri primitive:(1) o multime infinita de variabile: x, y, z, v, w, . . . ; notam cu V multimea vari-abilelor,(2) simboluri de operatii: fi, pentru orice i ∈ I (fiecarui fi ıi este atasat numarulnatural ni, numit ordinul lui fi),(3) simboluri de relatii (predicate): Rj , pentru orice j ∈ J (fiecarui Rj ıi este atasatnumarul natural mj , numit ordinul lui Rj),(4) simboluri de constante: ck, pentru orice k ∈ K,(5) simbolul de egalitate: =,(6) conectorii: →, ¬,(7) cuantificatorul universal: ∀,


(8) paranteze: (,),[,].

Pentru comoditate, vom spune uneori:- ”operatii” ın loc de ”simboluri de operatii”,- ”relatii”, ın loc de ”simboluri de relatii”,- ”constante”, ın loc de ”simboluri de constante”.

Definitia 8.1.11 Termenii lui Lτ se definesc prin inductie astfel:(t1) variabilele si simbolurile de constante sunt termeni,(t2) daca f este un simbol de operatie n-ara si t1, . . . , tn sunt termeni, atuncif(t1, . . . , tn) este termen.

Definitia 8.1.12 Formulele atomice ale lui Lτ se definesc prin urmatoarele douaconditii:(fa1) daca t1, t2 sunt termeni, atunci t1 = t2 este formula atomica,(fa2) daca R este un predicat m-ar si t1, . . . , tm sunt termeni, atunci R(t1, . . . , tm)este formula atomica.

Definitia 8.1.13 Formulele lui Lτ se definesc prin inductie astfel:(f1) formulele atomice sunt formule,(f2) daca ϕ este formula, atunci ¬ϕ este formula,(f3) daca ϕ,ψ sunt formule, atunci ϕ → ψ este formula,(f4) daca ϕ este formula si x este variabila, atunci ∀xϕ este formula.

Fie Form(Lτ ) multimea formulelor lui Lτ .

Definitia 8.1.14 O teorie este o multime Σ de formule ale lui Lτ .

Pentru orice formule ϕ si ψ, introducem abrevierile (formulele derivate) urmatoare:ϕ ∨ ψ: pentru ¬ϕ → ψ,ϕ ∧ ψ: pentru ¬(ϕ → ¬ψ),ϕ ↔ ψ: pentru (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ),∃xϕ: pentru ¬∀x¬ϕ.

Conventie de scriere: ın acest capitol, vom scrie ∀xϕ ın loc de (∀x)ϕ (vedeticapitolul II) si ∃xϕ ın loc de (∃x)ϕ.

Notatia 8.1.15t ∈ Lτ : t este un termen al lui Lτ ,ϕ ∈ Lτ : ϕ este o formula a lui Lτ .

Exemplele 8.1.16(i) In cazul structurii din Exemplul 8.1.1 (i):

- limbajul asociat are un singur predicat binar, ≤, iar o structura are forma


A = (A,≤A),- termenii sunt dati numai de variabile, iar formulele atomice sunt de forma:x = y, x ≤ y, . . .

(ii) In cazul structurii din Exemplul 8.1.1 (ii):- limbajul asociat are doua simboluri de operatii binare,

∨,∧

, iar o structura estede forma A = (A,

∨A,∧A),

- termenii sunt de forma:· x, y, z, . . . (variabilele),· x

∨y, x

∧y, . . . , (x

∨y)

∨z, . . . , (x

∧y)

∧z, . . .,

· (x∨

y)∧

z, . . . , (x∧

y)∨

z, . . .,· ..................- formulele atomice sunt de forma:· x = y,· x

∨y = z, x

∧y = z,

· (x∨

y)∨

z = ((x∧

z)∨

z)∧

y, etc.

Vom defini acum prin inductie multimile:V (t) = multimea variabilelor termenului t,FV (ϕ) = multimea variabilelor libere ale formulei ϕ.

Definitia 8.1.17 V (t) se defineste prin inductie astfel:- daca t este2 variabila x, atunci V (t) = {x},- daca t este constanta c, atunci V (t) = ∅,- daca t este f(t1, . . . , tn), atunci V (t) =

⋃ni=1 V (ti).

Definitia 8.1.18 FV (ϕ) se defineste prin inductie astfel:- daca ϕ este t1 = t2, atunci FV (ϕ) = V (t1) ∪ V (t2),- daca ϕ este R(t1, . . . , tm), atunci FV (ϕ) =

⋃mj=1 V (tj),

- daca ϕ este ¬ψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ),- daca ϕ este α → β, atunci FV (ϕ) = FV (α) ∪ FV (β),- daca ϕ este ∀xψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ) \ {x}.

Consecinte imediate.- daca ϕ este α ∧ β, α ∨ β, α ↔ β, atunci FV (ϕ) = FV (α) ∪ FV (β),- daca ϕ este ∃xψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ) \ {x}.

Observatiile 8.1.19(1) Cand scriem V (t) = {x}, etc. a nu se confunda = cu simbolul de egalitate

(notat bolduit, =).(2) V (t) ⊆ V , FV (ϕ) ⊆ V .

2 In acest capitol, vom folosi ”este”, sau ”:”, sau ”=” pentru notatii, ca de exemplut este x, saut: x, saut = x.


Definitiile 8.1.20Daca x ∈ FV (ϕ), atunci x se va numi variabila libera a lui ϕ; ın caz contrar, x

se va numi variabila legata.O formula fara variabile libere se va numi enunt.

Observatia 8.1.21 Exista cazuri cand o variabila are unele aparitii libere, iaraltele legate. Fie ϕ(x, y, u) formula (∀x(x · y = y + u)) → (∃y(x · y ≤ y + u)). Vomınlatura excesul de paranteze, scriind aceasta formula astfel:

∀x(x · y=y + u) → ∃y(x · y ≤ y + u).

Prima subformula, ∀x(x · y = y + u), contine pe x ca variabila legata, ın timp cea doua subformula, ∃y(x · y ≤ y + u), contine pe x ca variabila libera. Deci, ınformula ϕ(x, y, u), x este variabila libera.

Notatia 8.1.22 Daca FV (ϕ) ⊆ {x1, . . . , xn}, atunci vom nota ϕ(x1, . . . , xn).

Definitia 8.1.23 Fie ϕ o formula, x o variabila, astfel ıncat ϕ(x), si t un termen.Formula ϕ(t), obtinuta din ϕ prin substitutia lui x cu t, se defineste astfel:

- daca y este o variabila a lui t, se ınlocuieste y cu o variabila v ce nu apare ın ϕ(x)sau ın t ın toate aparitiile legate ale lui y ın ϕ,- se ınlocuieste apoi x cu t.

Exemplul 8.1.24 Fie formula ϕ(x): ∃y(x = y) si termenul t: y + z, unde ”:”ınseamna ”notatie pentru”. Atunci:- ∃y(x = y) ↔ ∃v(x = v),- ϕ(t): ∃v(y + z = v).

Proprietatile structurilor ce se pot exprima ın limbajul Lτ se numesc proprietatide ordinul I.

Exemplele 8.1.25 Fie Lτ un limbaj cu un singur predicat binar R. Structurilesunt de forma A = (A,RA), cu RA relatie binara pe A. Urmatoarele proprietatisunt de ordinul I:

(a) R este reflexiva: ∀xR(x, x)(b) R este simetrica: ∀x∀y(R(x, y) ↔ R(y, x))(c) R este antisimetrica: ∀x∀y(R(x, y) ∧R(y, x) → x = y)(d) R este tranzitiva: ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧R(y, z) → R(x, z))(e) R este relatie de echivalenta:∀xR(x, x) ∧ ∀x∀y(R(x, y) ↔ R(y, x)) ∧ ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧R(y, z) → R(x, z))(f) R este relatie de ordine partiala:α: ∀xR(x, x) ∧ ∀x∀y(R(x, y) ∧ R(y, x) → x = y) ∧ ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧ R(y, z) →R(x, z))(g) R este relatie de ordine totala (= A este lant) (notand cu α enuntul de la (f)):

8.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI CU PREDICATE 203

α ∧ ∀x∀y(R(x, y) ∨R(y, x))(h) A este o latice:Consideram enunturile:β1: ∀x∀y∃z[(R(x, z) ∧R(y, z)) ∧ ∀u[(R(x, u) ∧R(y, u)) → R(z, u)]],β2: ∀x∀y∃z[(R(z, x) ∧R(z, y)) ∧ ∀u[(R(u, x) ∧R(u, y)) → R(u, z)]].β1 exprima faptul ca orice pereche de elemente admite supremum, iar β2 exprimafaptul ca orice pereche de elemente admite infimum.Atunci proprietatea de a fi latice este data de enuntul: α ∧ β1 ∧ β2

(i) A este o latice cu prim element:α ∧ β1 ∧ β2 ∧ ∃x∀yR(x, y)(j) A este o latice cu ultim element:α ∧ β1 ∧ β2 ∧ ∃x∀yR(y, x)(k) Orice lant este o latice:α ∧ ∀x∀y(R(x, y) ∨R(y, x)) → (α ∧ β1 ∧ β2)(l) Intr-o latice cu 0, 1, orice element este complementat (proprietate de ordinul Ifalsa):(α ∧ β1 ∧ β2) → ∀x∃y[(x

∨y = 1) ∧ (x

∧y = 0)]

Intrebare: Ce este ın neregula la exemplul (l)?

8.2 Sintaxa si algebra calculului cu predicate

In prima sectiune a acestui capitol a fost definit limbajul formal al lui Lτ (asociatstructurilor de ordinul I avand o signatura fixata). Formulele si enunturile lui Lτ

sunt expresia simbolica a proprietatilor de ordinul I. Aceasta sectiune continuaconstructia sintaxei lui Lτ : sunt precizate axiomele si regulile sale de deductie siapoi se definesc teoremele formale si deductia formala din ipoteze. Sunt prezentatemai multe exemple de demonstratii formale ın Lτ si cateva proprietati sintactice.

8.2.1 Axiome, teoreme si demonstratii formale

Axiomele calculului cu predicate sunt, de exemplu:(G1) - (G3): axiomele calculului propozitional,(G4): [∀x(ϕ → ψ)] → (ϕ → ∀xψ), daca x 6∈ FV (ϕ) (Regula (→ ∀),(G5): ∀xϕ(x, y1, . . . , yn) → ϕ(t, y1, . . . , yn), unde t este un termen oarecare,(G6): x = x,(G7): x = y → (t(v1 . . . x . . . vn) = t(v1 . . . y . . . vn)),(G8): x = y → (ϕ(v1 . . . x . . . vn) → ϕ(v1 . . . y . . . vn)).

(G6) - (G8) se numesc axiomele egalitatii.Calculul cu predicate are doua reguli de deductie:


ψ, ψ → ϕ: Modus ponens (m.p.)

ϕ

ϕ: Principiul generalizarii (P.G.)

∀xϕ

Definitia 8.2.1 Teoremele formale ale lui Lτ se definesc prin inductie astfel:· axiomele sunt teoreme formale,· daca ψ, ψ → ϕ sunt teoreme formale, atunci ϕ este teorema formala (m.p.),· daca ϕ este teorema formala, atunci ∀xϕ este teorema formala (P.G.).

Momentul zero al acestei definitii prin inductie este precizat de axiome, iar pa-sul inductiei este asigurat de cele doua reguli de deductie (m.p. si P.G.).

Faptul ca ϕ este o teorema formala va fi notat astfel:

` ϕ.

Asadar, teoremele formale se obtin plecand de la axiome si aplicand de un numarfinit de ori m.p. sau P.G..

Pentru comoditate, vom spune teorema ın loc de teorema formala.

Definitiile 8.2.2O demonstratie formala a lui ϕ este un sir finit de formule ψ1, . . . , ψn, astfel

ıncat ψn = ϕ si, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem una din situatiile:· ϕi este axioma,· exista j, k < i, astfel ıncat ψk = ψj → ψi,· exista j < i si x ∈ V , astfel ıncat ψi = ∀xψj .

Numarul n se numeste lungimea demonstratiei formale.

Comparand definitiile teoremelor formale si ale demonstratiilor formale, se ob-serva ca:

` ϕ ⇐⇒ (ϕ admite o demonstratie formala).

Observatia 8.2.3 Axiomele calculului propozitional si regula de deductie modusponens sunt prezente si la calculul cu predicate. Atunci orice teorema formala acalculului propozitional va fi si teorema formala a calculului cu predicate.

Urmeaza exemple de demonstratii formale.

Propozitia 8.2.4` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀y∀xϕ(x, y).


Demonstratie. Scriem demonstratia formala a formulei de mai sus:

` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀yϕ(x, y) (G5)` ∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y) (G5)` ∀x∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y) calc. prop.` ∀x(∀x∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y)) P.G.` ∀x(∀x∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y)) → (∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y)) (G4)` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y) m.p.` ∀y(∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y)) P.G.` ∀y(∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y)) → (∀x∀yϕ(x, y) → ∀y∀xϕ(x, y)) (G4)` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀y∀xϕ(x, y) m.p.

2

Propozitia 8.2.5` ∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ).

Demonstratie.

( 1) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xϕ calc. prop.( 2) ` ∀xϕ → ϕ (G5)( 3) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ϕ calc. prop.( 4) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → (ϕ → ψ) analog cu (3)( 5) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ψ (3), (4) + calc. prop.( 6) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ψ] P.G.( 7) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ψ] →[∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xψ] (G4)( 8) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xψ m.p., (6), (7)( 9) ` [∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xψ] →[∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ)] calc. prop.(10) ` ∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ) m.p., (8), (9).

2

Propozitia 8.2.6` ∀xϕ ↔ ¬∃x¬ϕ.

Demonstratie.

` ϕ → ¬¬ϕ calc. prop.` ∀x(ϕ → ¬¬ϕ) P.G.` ∀x(ϕ → ¬¬ϕ) → (∀xϕ → ∀x¬¬ϕ) Propozitia 8.2.5` ∀xϕ → ∀x¬¬ϕ m.p.` ∀x¬¬ϕ → ∀xϕ analog` ∀xϕ ↔ ∀x¬¬ϕ din ultimele doua` ∀x¬¬ϕ ↔ ¬¬∀x¬¬ϕ calc. prop.` ∀xϕ ↔ ¬¬∀x¬¬ϕ din ultimele doua.

Prin definitie, ¬∃x¬ϕ este chiar ¬¬∀x¬¬ϕ. 2


Propozitia 8.2.7

` ∀x(ϕ ↔ ψ) → (∀xϕ ↔ ∀xψ).

Demonstratie.

` (ϕ ↔ ψ) → (ϕ → ψ) calc. prop.` ∀x[(ϕ ↔ ψ) → (ϕ → ψ)] P.G.` ∀x[(ϕ → ψ) → (ϕ → ψ)] → [∀x(ϕ ↔ ψ) → ∀x(ϕ → ψ)] Propozitia 8.2.5` ∀x(ϕ ↔ ψ) → ∀x(ϕ → ψ) m.p.` ∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ) Propozitia 8.2.5` ∀x(ϕ ↔ ψ) → (∀xϕ → ∀xψ) m.p.` ∀x(ϕ ↔ ψ) → (∀xψ → ∀xϕ) analog` ∀x(ϕ ↔ ψ) → [(∀xϕ → ∀xψ) ∧ (∀xψ → ∀xϕ)] din ultimele doua,

care este exact ceea ce trebuia demonstrat. 2

Propozitia 8.2.8

` (ϕ → ∀xψ) → ∀x(ϕ → ψ), daca x 6∈ FV (ϕ).

Demonstratie.

` (ϕ → ∀xψ) ∧ ϕ → ∀xψ calc. prop.` ∀xψ → ψ (G5)` (ϕ → ∀xψ) ∧ ϕ → ψ m.p.` (ϕ → ∀xψ) → (ϕ → ψ) calc. prop.` ∀x[(ϕ → ∀xψ) → (ϕ → ψ)] P.G.` ∀x[(ϕ → ∀xψ) → (ϕ → ψ)] → [(ϕ → ∀xψ) → ∀x(ϕ → ψ)] (G4)` (ϕ → ∀xψ) → ∀x(ϕ → ψ) m.p..

2

Propozitia 8.2.9

` ∀x(ϕ → ψ) ↔ (∃xϕ → ψ), daca x 6∈ FV (ψ).


Demonstratie.

( 1) ` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) calc. prop.( 2) ` ∀x[(ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)] P.G.( 3) ` ∀x[(ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)] →[∀x(ϕ → ψ) → ∀x(¬ψ → ¬ϕ)] Propozitia 8.2.5( 4) ` ∀x(ϕ → ψ) → ∀x(¬ψ → ¬ϕ) m.p.( 5) ` ∀x(¬ψ → ¬ϕ) → (¬ψ → ∀x¬ϕ) (G4)( 6) ` ∀x(ϕ → ψ) → (¬ψ → ∀x¬ϕ) din (4), (5), calc. prop.( 7) ` (¬ψ → ∀x¬ϕ) → (¬∀x¬ϕ → ¬¬ψ) calc. prop.( 8) ` ∀x(ϕ → ψ) → (¬∀x¬ϕ → ¬¬ψ) din (6), (7)( 9) ` ∀x(ϕ → ψ) ∧ ∃xϕ → ¬¬ψ din (8)(10) ` ¬¬ψ → ψ(11) ` ∀x(ϕ → ψ) ∧ ∃xϕ → ψ din (10)(12) ` ∀x(ϕ → ψ) → (∃xϕ → ψ) din (11)(13) ` (∃xϕ → ψ) → (¬ψ → ∀x¬ϕ) calc. prop. + def. lui ∃xϕ(14) ` (∃xϕ → ψ) ∧ ¬ψ → ∀x¬ϕ calc. prop.(15) ` ∀x¬ϕ → ¬ϕ (G5)(16) ` (∃xϕ → ψ) ∧ ¬ψ → ¬ϕ calc. prop.(17) ` (∃xϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) calc. prop.(18) ` (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ)(19) ` (∃xϕ → ψ) → (ϕ → ψ) din (17), (18)(20) ` ∀x[(∃xϕ → ψ) → (ϕ → ψ)] →[(∃xϕ → ψ) → ∀x(ϕ → ψ)] (G4)(21) ` ∀x[(∃xϕ → ψ) → (ϕ → ψ)] din (19), prin P.G.(22) ` (∃xϕ → ψ) → ∀x(ϕ → ψ) m.p..

Din (12) si (22), rezulta Propozitia 8.2.9. 2

Corolarul 8.2.10

` ∀x(ϕ → ∃xψ) ↔ (∃xϕ → ∃xψ),

` ∀x(ϕ → ∀xψ) ↔ (∃xϕ → ∀xψ).

Demonstratie. Din Propozitia 8.2.9, pentru ca x nu apare libera ın ∃xψ si ∀xψ.2

Propozitia 8.2.11

` ∀x(ϕ ∧ ψ) ↔ (∀xϕ ∧ ∀xψ).


Demonstratie.

( 1) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ∀xϕ calc. prop.( 2) ` ∀xϕ → ϕ (G5)( 3) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ (1) si (2)( 4) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ψ analog( 5) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ ∧ ψ calc. prop.( 6) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ ∧ ψ] P.G.( 7) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ ∧ ψ] → [∀xϕ ∧ ∀xψ → ∀x(ϕ ∧ ψ)] (G4)( 8) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ∀x(ϕ ∧ ψ) m.p.( 9) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → (ϕ ∧ ψ) calc. prop.(10) ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ(11) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → ϕ din (9), (10)(12) ` ∀x[∀x(ϕ ∧ ψ) → ϕ] P.G.(13) ` ∀x[∀x(ϕ ∧ ψ) → ϕ] → [∀x(ϕ ∧ ψ) → ∀xϕ] (G4)(14) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → ∀xϕ m.p.(15) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → ∀xψ analog(16) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → (∀xϕ ∧ ∀xψ) din (14), (15).

Din (8), (16), rezulta Propozitia 8.2.11. 2

Propozitia 8.2.12

` ϕ(t) → ∃xϕ(x).

Demonstratie.

` ∀x¬ϕ(x) → ¬ϕ(t) (G5)` ¬¬ϕ(t) → ¬∀x¬ϕ(x) calc. prop.` ϕ(t) → ¬¬ϕ(t) calc. prop.` ϕ(t) → ¬∀x¬ϕ(x) calc. prop..

2

Propozitia 8.2.13(i) ` x = y → y = x,(ii) ` (x = y) ∧ (y = z) → (x = z),(iii) ` (x = y) → (ϕ(x) ↔ ϕ(y)).

Demonstratie.(i):` x = y → (x = z → y = z) (G8)` x = z → (x = y → y = z) calc. prop.` x = x → (x = y → y = x) luand mai sus z = x` x = x (G6)` x = y → y = x m.p..


(ii):` x = y → y = x (i)` y = x → (y = z → x = z) (G6)` x = y → (y = z → x = z) calc. prop.` (x = y) ∧ (y = z) → x = z calc. prop..

(iii):` x = y → y = x (i)` y = x → (ϕ(y) → ϕ(x)) (G8)` x = y → (ϕ(y) → ϕ(x)) calc. prop.` x = y → (ϕ(x) → ϕ(y)) (G8)` x = y → [(ϕ(x) → ϕ(y)) ∧ (ϕ(y) → ϕ(x))] calc. prop..

2

Propozitia 8.2.14` ∀xϕ(x) → ∃xϕ(x).

Demonstratie.` ∀xϕ(x) → ϕ(x) (G6)` ϕ(x) → ∃xϕ(x) Propozitia 8.2.12` ∀xϕ(x) → ∃xϕ(x) calc. prop..

2

Propozitia 8.2.15

` ∀x∃y(x=y).

Demonstratie.

` x = y → ∃y(x = y) Propozitia 8.2.12` x = x → ∃y(x = y) punand termenul x ın loc de y` x = x (G6)` ∃y(x = y) m.p..

2

Propozitia 8.2.16

` ∀x∀y∃z [(x=z) ∧ (z=y)].

Demonstratie.

` (x = z) ∧ (z = y) → ∃z [(x = z) ∧ (z = y)] Propozitia 8.2.12` (x = z) ∧ (z = z) → ∃z [(x = z) ∧ (z = y)] luam termenul z` (x = z) ∧ (z = z)` ∃z [(x = z) ∧ (z = y)] m.p..

2


Propozitia 8.2.17

ϕ → ψ

∀xϕ → ∀xψ

Demonstratie. Din Propozitia 8.2.5. 2

Propozitia 8.2.18

ϕ → ψ

∃xϕ → ∃xψ

Demonstratie.

` ϕ → ψ ipoteza` ¬ψ → ¬ϕ calc. prop.` ∀x¬ψ → ∀x¬ϕ Propozitia 8.2.17` ¬∀x¬ϕ → ¬∀x¬ψ calc. prop.

Ultima formula este chiar ` ∃xϕ → ∃xψ. 2

8.2.2 Deductia din ipoteze si Σ-demonstratia formala.Teorema deductiei

Definitia 8.2.19 Fie Σ o multime de formule si ϕ o formula. Spunem ca formulaϕ se deduce (formal) din ipotezele Σ, si notam astfel:

Σ ` ϕ,

daca una din urmatoarele are loc:(a) ϕ este axioma,(b) ϕ ∈ Σ,(c) exista o formula ψ, astfel ıncat Σ ` ψ, Σ ` ψ → ϕ, adica:

Σ ` ψ,ψ → ϕ(m.p.)

Σ ` ϕ

(d) exista ψ si x, astfel ıncat Σ ` ψ si ϕ este ∀xψ, adica:


Σ ` ψ(P.G.)

Σ ` ∀xψ

Notiunea ”Σ ` ϕ” a fost definita prin inductie:- momentul zero al inductiei este precizat de (a) si (b),- pasul inductiei (trecerea de la k la k + 1) este realizat prin aplicarea conditiilor(c) si (d).

Observatia 8.2.20∅ ` ϕ ⇐⇒ ` ϕ.

Definitiile 8.2.21O Σ-demonstratie formala a lui ϕ este un sir finit de formule ψ1, . . . , ψn, astfel

ıncat ψn = ϕ si, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem una din situatiile:· ϕi este axioma,· ϕi ∈ Σ,· exista j, k < i, astfel ıncat ψk = ψj → ψi,· exista j < i si x ∈ V , astfel ıncat ψi = ∀xψj .

Numarul n se numeste lungimea Σ-demonstratiei formale.

Comparand definitiile deductiilor formale si ale Σ-demonstratiilor formale, seobserva ca:

Σ ` ϕ ⇐⇒ (ϕ admite o Σ− demonstratie formala).

Definitia 8.2.22 Daca ϕ(1, . . . , xn) este o formula, atunci ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn)se numeste ınchiderea sa universala.

Propozitia 8.2.23

Σ ` ϕ(x1, . . . , xn) ⇐⇒ Σ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn).

Demonstratie.=⇒: Se aplica P.G. de n ori.⇐=:Σ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ∀x2 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn)Σ ` ∀x2 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ∀x3 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn). . .Σ ` ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ϕ(x1, . . . , xn).Conform calculului propozitiilor, rezulta:Σ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ϕ(x1, . . . , xn).


AtunciΣ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) prin ipotezaΣ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ϕ(x1, . . . , xn) mai susΣ ` ϕ(x1, . . . , xn) m.p..

2

Conform propozitiei precedente, studiul deductiei formale din ipoteze poate firedus la enunturi.

Propozitia 8.2.24(a) Σ ` ϕ,Σ ⊆ ∆ =⇒ ∆ ` ϕ,(b) Σ ` ϕ ⇐⇒ exista Σ0 ⊆ Σ, Σ0 finita, Σ0 ` ϕ.

Demonstratie. Prin inductie dupa ϕ. 2

Teorema 8.2.25 (Teorema deductiei)Fie Σ o multime de formule, ϕ un enunt si ψ o fomula. Atunci

Σ ` ϕ → ψ ⇐⇒ Σ ∪ {ϕ} ` ψ.

Demonstratie.=⇒: Aplicand Propozitia 8.2.24, (a) si m.p..⇐=: Prin inductie asupra modului cum este definit Σ∪ {ϕ} ` ψ. Totul decurge caın cazul calculului propozitional, adaugandu-se situatia: ψ = ∀xα, Σ ∪ {ϕ} ` α:

Σ ∪ {ϕ} ` α =⇒ Σ ` ϕ → α ipoteza inductiei=⇒ Σ ` ∀x(ϕ → α) P.G.=⇒ Σ ` ∀x(ϕ → α) → (ϕ → ∀xα) (G4), ϕ fiind enunt=⇒ Σ ` ϕ → ∀xα m.p.=⇒ Σ ` ϕ → ψ conform notatiei.

2

8.2.3 Multimi (teorii) consistente

Definitia 8.2.26 O multime Σ de formule (teorie) se numeste inconsistenta, dacaΣ ` ϕ, pentru orice formula ϕ. In caz contrar, Σ se numeste consistenta.

Urmatoarele rezultate asupra teoriilor consistente si teoriilor consistente maxi-male se demonstreaza la fel ca analoagele lor din cazul calculului propozitional.

Propozitia 8.2.27 Pentru orice teorie Σ, sunt echivalente urmatoarele afirmatii:(1) Σ este inconsistenta,(2) exista o formula ϕ, astfel ıncat Σ ` ϕ ∧ ¬ϕ,(3) exista o formula ϕ, astfel ıncat Σ ` ϕ si Σ ` ¬ϕ,(4) pentru orice formula ϕ, Σ ` ¬(ϕ → ϕ),(5) exista o formula ϕ, astfel ıncat Σ ` ¬(ϕ → ϕ).


Propozitia 8.2.28 Fie Σ o teorie si ϕ o formula a lui Lτ . Atunci(a) Σ ∪ {ϕ} este inconsistenta ⇐⇒ Σ ` ¬ϕ,(b) Σ ∪ {¬ϕ} este inconsistenta ⇐⇒ Σ ` ϕ.

Definitia 8.2.29 O teorie consistenta ∆ se numeste maximala daca este un ele-ment maximal ın multimea teoriilor consistente ale lui Lτ (ordonata de incluziune).

Cu alte cuvinte, o teorie consistenta ∆ este maximala a daca prin adaugarea unorformule noi la ∆ se obtine o teorie inconsistenta.

Propozitia 8.2.30 Orice teorie consistenta se poate scufunda ıntr-o teorie consis-tenta maximala.

Propozitia 8.2.31 Fie Σ o teorie consistenta maximala. Atunci(1) Σ ` ϕ ⇐⇒ ϕ ∈ Σ,(2) Σ ` ϕ ∨ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ sau Σ ` ψ),(3) Pentru orice formula ϕ, avem: Σ ` ϕ sau Σ ` ¬ϕ.

Observatia 8.2.32 Fie Σ o teorie si ϕ,ψ doua formule ale lui Lτ . Atunci

Σ ` ϕ ∧ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ si Σ ` ψ).

Propozitia 8.2.33 Daca Σ este o teorie consistenta, atunci sunt echivalente:(1) Σ este maximala,(2) pentru orice formule ϕ,ψ, Σ ` ϕ ∨ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ sau Σ ` ψ),(3) pentru orice formula ϕ, Σ ` ϕ sau Σ ` ¬ϕ.

8.2.4 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului cu predicate

Studiem algebra Lindenbaum-Tarski asociata calculului cu predicate. Multimeaformulelor lui Lτ este factorizata printr-o relatie de echivalenta canonica, iar multimeacat obtinuta este ınzestrata cu o structura de algebra Boole. Operatiile acestei al-gebre Boole se obtin din conectorii propozitionali ai lui Lτ : disjunctia, conjunctia sinegatia. Implicatia si echivalenta logica din sintaxa lui Lτ sunt traduse algebric prinimplicatia booleana, respectiv prin echivalenta booleana din algebra Lindenbaum-Tarski. Pana aici totul se produce ın mod analog algebrei Lindenbaum-Tarski acalculului propozitional. In subsectiune se analizeaza modul ın care cuantifica-torii lui Lτ actioneaza ın algebra Lindenbaum-Tarski. Astfel, se degaja notiunilede cuantificator existential si de cuantificator universal ıntr-o algebra Boole, apoinotiunea de algebra Boole monadica si de algebra Boole cilindrica. Algebrele Boolecilindrice sunt structurile algebrice asociate calculului cu predicate. Multe dinproprietatile sintactice si semantice ale lui Lτ pot fi formulate si demonstrate ıncontextul algebrelor Boole cilindrice (vedeti monografia [56]).


• Algebra Lindenbaum-Tarski a lui Lτ

Fie Form(Lτ ) multimea formulelor lui Lτ . Urmatoarea relatie binara, ∼, peForm(Lτ ):

ϕ ∼ ψ ⇐⇒` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ (` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ)

este o relatie de echivalenta (se demonstreaza exact ca la calculul propozitional).Fie B = Form(Lτ )/ ∼ multimea cat; pentru ϕ ∈ Form(Lτ ), notam cu ϕ clasa

sa de echivalenta. Definim urmatoarele operatii pe multimea B:

ϕ ∨ ψdef.= ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ

def.= ϕ ∧ ψ,¬ϕ

def.= ¬ϕ, 0

def.= ϕ ∧ ¬ϕ, 1

def.= ϕ ∨ ¬ϕ.

La fel ca ın cazul calculului propozitiilor, se poate arata ca definitiile acestor operatiinu depind de reprezentanti si ca structura

B = (B = Form(Lτ )/ ∼,∨,∧,¬,0,1)

este o algebra Boole, numita algebra Lindenbaum-Tarski a lui Lτ .La fel ca ın cazul calculului propozitional, sunt valabile echivalentele urmatoare:

· ` ϕ → ψ ⇐⇒ ϕ ≤ ψ,· ` ϕ ⇐⇒ ϕ = 1.

Consideram functia surjectiva p : Form(Lτ ) −→ B, p(ϕ) = ϕ, pentru oriceϕ ∈ Form(Lτ ). Functia p are proprietatile urmatoare:· p(ϕ ∨ ψ) = p(ϕ) ∨ p(ψ), p(ϕ ∧ ψ) = p(ϕ) ∧ p(ψ), p(¬ϕ) = ¬p(ϕ),· p(ϕ → ψ) = p(ϕ) → p(ψ), p(ϕ ↔ ψ) = p(ϕ) ↔ p(ψ),· p(ϕ) ≤ p(ψ) ⇐⇒ ` ϕ → ψ,· p(ϕ) = 1 ⇐⇒ ` ϕ.

Functia p duce operatiile logice ın operatii booleene. In mod natural, se puneproblema care este comportamentul functiei p fata de cuantificatori.

Propozitia 8.2.34

∀xϕ(x) =∧

v∈V

ϕ(v), ∃xϕ(x) =∨

v∈V

ϕ(v).

Demonstratie. A proba prima formula este echivalent cu:

(a) ∀xϕ(x) ≤ ϕ(v), pentru orice v ∈ V ,

(b) daca ψ ≤ ϕ(v), pentru orice v ∈ V , atunci ψ ≤ ∀xϕ.

Avem:(a): rezulta folosind axioma (G5): ` ∀xϕ → ϕ(v), pentru orice v ∈ V .


(b): Presupunem ψ ≤ ϕ(v), v ∈ V , deci ` ψ → ϕ(v), v ∈ V . Alegem ovariabila v ce nu apare ın ψ sau ın ∀xϕ(x).

` ψ → ϕ(v)` ∀v(ψ → ϕ(v)) P.G.` ∀v(ψ → ϕ(v)) → (ψ → ∀vϕ(v)) (G4)

(i) ` ψ → ∀vϕ(v) m.p..De asemenea,

` ∀vϕ(v) → ϕ(x) (G5)` ∀x[∀vϕ(v) → ϕ(x)] P.G.` ∀x[∀vϕ(v) → ϕ(x)] → (∀vϕ(v) → ∀xϕ(x)) (G4)

(ii) ` ∀vϕ(v) → ∀xϕ(x) m.p..

Din (i) si (ii) rezulta: ` ψ → ∀xϕ(x), adica ψ ≤ (∀xϕ(x)).

A doua relatie rezulta din prima, folosind egalitatile de Morgan:

(∃xϕ) = (¬∀x¬ϕ) = ¬ (∀x¬ϕ) = ¬∧

v∈V

(¬ϕ(v)) =∨

v∈V

(ϕ(v)).

2

Observatia 8.2.35 Folosind functia p, egalitatile din Propozitia precedenta sescriu:

p(∀xϕ) =∧

v∈V

p(ϕ(v)), p(∃xϕ) =∨

v∈V

p(ϕ(v)).

Notam Sent(Lτ ) multimea enunturilor lui Lτ . Atunci

Sent(Lτ )/ ∼= {ϕ | ϕ ∈ Sent(Lτ )}este o subalgebra Boole a lui B = Form(Lτ )/ ∼.

• Algebra Lindenbaum-Tarski a unei teorii

Definitia 8.2.36 O submultime Σ a lui Form(Lτ ) se numeste teorie a lui Lτ .

Vom generaliza acum constructia de mai sus, definind algebra Lindenbaum-Tarski a unei teorii.

Fie Σ o teorie a lui Lτ . Consideram relatia binara ∼Σ pe Form(Lτ ) definitaastfel:

ϕ ∼Σ ψ ⇐⇒ Σ ` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ → ψ, Σ ` ψ → ϕ).

Atunci ∼Σ este o relatie de echivalenta. Fie BΣ = Form(Lτ )/ ∼Σ multimea cat.Notam cu ϕ/Σ clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ Form(Lτ ). BΣ devine algebra Boolefata de operatiile:

ϕ/Σ ∨ ψ/Σdef.= (ϕ ∨ ψ)/Σ, ϕ/Σ ∧ ψ/Σ

def.= (ϕ ∧ ψ)/Σ,


¬(ϕ/Σ)def.= (¬ϕ)/Σ, 1

def.= (ϕ ∨ ¬ϕ)/Σ, 0

def.= (ϕ ∧ ¬ϕ)/Σ.

BΣ = (BΣ,∨,∧,¬,0,1) se numeste algebra Lindenbaum-Tarski a teoriei Σ.

Observatia 8.2.37B = B∅

Propozitia 8.2.34 se poate extinde cu usurinta la algebra Lindenbaum-TarskiBΣ.

In algebra Lindenbaum-Tarski BΣ, au loc echivalentele urmatoare:

ϕ/Σ ≤ ψ/Σ ⇐⇒ Σ ` ϕ → ψ,

ϕ/Σ = 1 ⇐⇒ Σ ` ϕ.

Aceste echivalente traduc ın limbaj algebric proprietati ale deductiei formale. Princea de a doua echivalenta, a demonstra ca Σ ` ϕ se reduce la un calcul boolean.

8.2.5 Algebre Boole monadice, poliadice si cilindrice

In mod natural, se pune acum problema definirii algebrelor corespunzatoare cal-culului cu predicate. Ele vor avea ca prototip algebra Lindenbaum-Tarski a lui Lτ .Primul pas va fi obtinerea unei notiuni de cuantificator (existential si universal) peo algebra Boole oarecare.

Fie A = (A,∨,∧,¬, 0, 1) o algebra Boole oarecare.

Definitia 8.2.38Un cuantificator existential pe A este o functie ∃ : A −→ A, astfel ıncat:

· ∃(0) = 0,· x ≤ ∃(x),· ∃(x ∧ ∃(y)) = ∃(x) ∧ ∃(y).

Dual, un cuatificator universal pe A este o functie ∀ : A −→ A, astfel ıncat:· ∀(1) = 1,· x ≥ ∀(x),· ∀(x ∨ ∀(y)) = ∀(x) ∨ ∀(y).

Daca ∃ este un cuantificator existential pe A, atunci ∀(x) = ¬∃(¬x) definesteun cuantificator universal pe A; daca ∀ este un cuantificator universal pe A, atunci∃(x) = ¬∀(¬x) defineste un cuantificator existential pe A.

Definitia 8.2.39 O algebra Boole monadica este o structura (A,∃), unde A esteo algebra Boole si ∃ este un cuantificator existential pe A.


Consideram algebra Lindenbaum-Tarski B si o variabila oarecare x ∈ V . Definimoperatia unara ∃x : B −→ B prin:

∃x(ϕ)def.= ∃xϕ, pentru orice ϕ ∈ Form(Lτ ).

Observatia 8.2.40 Operatia ∃x este bine definita:

` ϕ ↔ ψ =⇒ ` ∃xϕ ↔ ∃xψ.

Propozitia 8.2.41 ∃x este un cuantificator existential pe B.

Demonstratie. Cele trei relatii:· ∃x(0) = 0,· ϕ ≤ ∃x(ϕ),· ∃x(ϕ ∧ ∃x(ψ)) = ∃x(ϕ) ∧ ∃x(ψ)

sunt echivalente cu :· ` (ϕ ∧ ¬ϕ) ↔ ∃x(ϕ ∧ ¬ϕ), (putem lua pe ϕ = enunt)· ` ϕ → ∃xϕ,· ` ∃x(ϕ ∧ ∃xψ) ↔ (∃xϕ ∧ ∃xψ. 2

Observatia 8.2.42 Cuantificatorul universal ∀x asociat lui ∃x este:

∀x(ϕ)def.= ∀xϕ.

Definitia cuantificatorului existential (respectiv universal) pe o algebra Booleoarecare a fost obtinuta ın mod independent de A. Tarski si de P. Halmos. Celetrei axiome simple ce definesc cuantificatorul existential (respectiv universal) por-nesc din analiza proprietatilor operatiilor unare ∃x (respectiv ∀x) ale algebreiLindenbaum-Tarski B.

Actiunea cuantificatorului existential asupra formulelor lui Lτ este reflectataın algebra Lindenbaum-Tarski B prin operatiile unare (∃x)x∈V . Atunci struc-turile algebrice ale lui Lτ vor fi algebre Boole ınzestrate cu familii de cuantificatoriexistentiali.

Definitia 8.2.43 Fie I o multime nevida. Se numeste I-algebra Boole cilindrica ostructura

(A, (∃i)i∈I , E)

unde:· A este o algebra Boole,· ∃i este cuantificator existential pe A, pentru orice i ∈ I,· E este o functie E : I2 −→ A, numita egalitate pe A,astfel ıncat urmatoarele conditii sunt ındeplinite:


(C1) ∃i ◦ ∃j = ∃j ◦ ∃i, pentru orice i, j ∈ I,(C2) E(i, i) = 1, i ∈ I,(C3) E(i, j) = ∃k[E(i, k) ∧ E(k, j)], pentru k 6= i, j din I,(C4) ∃i[E(i, j) ∧ x] ∧ ∃i[E(i, j) ∧ ¬x] = 0, pentru i 6= j ın I.

Exemplul 8.2.44 Fie E0 : V −→ B, data de E0(x, y) = (x = y), pentru oricex, y ∈ V . Atunci

(B, (∃x)x∈V , E0)

este o V -algebra Boole cilindrica.

Notiunea de I-algebra Boole cilindrica este generalizarea structurii din Exemplul8.2.44. In interpretare, I reprezinta multimea variabilelor, (∃i)i∈I familia cuantifi-catorilor existentiali, iar E reflecta predicatul de egalitate.

Exemplul urmator ındeparteaza notiunea de algebra cilindrica de sintaxa luiLτ .

Exemplul 8.2.45 Fie X, I doua multimi nevide si F (XI , L2) multimea functiilorp : XI −→ L2.

Pentru i ∈ I si p : XI −→ L2, definim functia ∃i(p) : XI −→ L2 prin:

∃i(p)(x) =∨{p(y) | y ∈ XI , y |I\{i}= x |I\{i}}, pentru orice x ∈ XI .

In felul acesta, obtinem o functie ∃i : F (XI , L2) −→ F (XI , L2). ∃i este un cuan-tificator existential pe algebra Boole F(XI , L2).

De asemenea, definim E0(i, j) : XI −→ L2 prin:

E0(i, j)(x) ={

1, daca xi = xj ,0, daca xi 6= xj .

Se obtine o functie E0 : I2 −→ F (XI , L2) : (i, j) 7→ E0(i, j).Atunci

(F(XI , L2), (∃i)i∈I , E0)

este o I-algebra Boole cilindrica.

Observatiile 8.2.46· Algebrele cilindrice sunt structuri algebrice ce provin din sintaxa calculului cu

predicate. Ele au fost definite si studiate de A. Tarski, de elevii sai L. Henkin siJ.D. Monk si de numerosi alti cercetatori [56].

· Algebrele Boole poliadice, introduse de P. R. Halmos [50], constituie un aldoilea tip de structuri algebrice ce au ca prototip algebra Lindenbaum-Tarski a luiLτ .

· Intre algebrele cilindrice si algebrele poliadice exista o legatura puternica(vedeti [38]), multe din proprietatile unora putand fi transferate celorlalte structuri.Cu toate acestea, teoriile lor s-au dezvoltat separat si, cel mai adesea, cu tehnicidiferite.

8.3. SEMANTICA CALCULULUI CU PREDICATE 219

8.3 Semantica calculului cu predicate

Formulele si enunturile sunt formatiuni simbolice, construite din alfabetul luiLτ . In aceasta sectiune, vom defini validitatea formulelor si enunturilor prin inter-mediul notiunii de interpretare. Vrem sa vedem ce ınseamna a interpreta limbajulLτ ıntr-o structura data. Prin alegerea alfabetului lui Lτ , exista o corespondenta bi-univoca ıntre simbolurile de operatii, de relatii si de constante si operatiile, relatiilesi constantele acestei structuri. Atunci putem considera ca operatiile, relatiile siconstantele unei structuri A reprezinta interpretarea simbolurilor de operatii, derelatii si de constante ın A. Pana aici totul este deja continut ın modul cum a fostconstruit limbajul. A ramas sa interpretam variabilele lui Lτ ın A. Prin definitie,variabilele vor fi interpretate prin elemente ale lui A. Atunci o interpretare va fio functie de la multimea variabilelor la universul structurii. Prin inductie, suntdefinite: valoarea unei formule relativ la o interpretare, valoarea unui enunt ıntr-ostructura, notiunea de enunt universal adevarat, model al unei teorii, etc. Pe langavaliditatea formulelor si enunturilor, semantica lui Lτ mai studiaza si deductia se-mantica, definita cu ajutorul notiunii de model. In cele ce urmeaza vom formulaın termeni precisi aceste notiuni si idei.

8.3.1 Interpretare. Modele

FieA o structura corespunzatoare limbajului Lτ . Daca f (respectiv R, respectivc) este un simbol de operatie (respectiv un simbol de relatie, respectiv un simbol deconstanta), atunci vom nota cu fA (respectiv RA, respectiv cA) operatia (respectivrelatia, respectiv constanta) corespunzatoare din A.

Definitia 8.3.1 O interpretare (sau evaluare) a lui Lτ ın A este o functie

s : V −→ A.

Astfel, o variabila v ∈ V este interpretata prin elementul s(v) al lui A.

Definitia 8.3.2 Pentru orice termen t si pentru orice interpretare s, definim prininductie elementul tA(s) ∈ A:· daca t este variabila v, atunci tA(s) = s(v),· daca t este constanta c, atunci tA(s) = cA,· daca t este f(t1, . . . , tn), atunci tA(s) = fA(tA1 (s), . . . , tAn (s)).Elementul tA(s) al lui A se numeste valoarea de adevar a termenului t ın inter-pretarea s.


Definitia 8.3.3 Pentru orice formula ϕ si pentru orice interpretare s, vom definivaloarea de adevar a lui ϕ ın interpretarea s

‖ϕ(s)‖ = ‖ϕ(s)‖A ∈ L2 = {0, 1} :

- pentru formule atomice:· daca ϕ este t1 = t2, atunci

‖ϕ(s)‖ ={

1, daca tA1 (s) = tA2 (s),0, daca tA1 (s) 6= tA2 (s).

· daca ϕ este R(t1, . . . , tm), atunci

‖ϕ(s)‖ = 1 ⇐⇒ (tA1 (s), . . . , tAm(s)) ∈ RA.

- pentru formule oarecare, prin inductie:· pentru formule atomice a fost definit,

· daca ϕ este ¬ψ, atunci ‖ϕ(s)‖ = ¬‖ψ(s)‖,

· daca ϕ este α → β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ → ‖β(s)‖,

· daca ϕ este ∀xψ, atunci ‖ϕ(s)‖ =∧

a∈A ‖ψ(s[xa])‖,

unde s[xa] : V −→ L2 este interpretarea definita de:

s[xa](v) ={

a, daca v = x,s(v), daca v 6= x.

Consecinta imediata:· daca ϕ este α ∨ β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ ∨ ‖β(s)‖,· daca ϕ este α ∧ β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ ∧ ‖β(s)‖,· daca ϕ este α ↔ β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ ↔ ‖β(s)‖,· daca ϕ este ∃xψ, atunci ‖ϕ(s)‖ =

∨a∈A ‖ψ(s[xa])‖.

In sectiunea precedenta, prin constructia lui Lτ s-a trecut de la structuri lalimbaj: proprietatile de ordinul I ale structurilor sunt reprezentate simbolic prinformule si enunturi. Conform definitiilor precedente, drumul invers, de la limbaj lastructuri, este realizat prin corespondentele urmatoare:f 7→ fA : de la simboluri de operatii la operatii ale lui AR 7→ RA : de la simboluri de relatii la relatii ale lui Ac 7→ cA : de la simboluri de constante la constante ale lui Av 7→ s(v) : de la variabile la indivizi ai lui At 7→ tA(s) : de la termeni la indivizi ai lui Aϕ 7→ ‖ϕ(s)‖ : de la formule la valori de adevar.

Prin functia ‖·‖A, conectorii→, ¬, ∨, ∧, ↔ sunt transformati ın operatiile booleene


corespunzatoare, iar cuantificatorii ∀ si ∃ ın operatiile infimum si supremum (cu Aca multime de indici).

Lema 8.3.4 Fie s1, s2 doua interpretari. Pentru orice termen t, avem:

s1 |V (t)= s2 |V (t)=⇒ tA(s1) = tA(s2).

Demonstratie. Prin inductie, dupa modul de definire al termenului t:· daca t este variabila sau constanta, atunci afirmatia este imediata,· daca t este f(t1, . . . , tn), atunciV (t) =

⋃ni=1 V (ti), s1 |V (t)= s2 |V (t)

=⇒ s1 |V (ti)= s2 |V (ti), i = 1, . . . , n=⇒ tAi (s1) = tAi (s2), i = 1, . . . , n=⇒ tA(s1) = fA(tA1 (s1), . . . , tAn (s1)) = fA(tA1 (s2), . . . , tAn (s2)) = tA(s2). 2

Lema precedenta arata ca valoarea tA(s) a termenului t ın interpretarea s de-pinde numai de restrictia lui s la V (t).

Propozitia 8.3.5 Pentru orice formula ϕ si pentru orice interpretari s1, s2, avem:

s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)=⇒ ‖ϕ(s1)‖ = ‖ϕ(s2)‖.

Demonstratie. Prin inductie dupa ϕ:

· daca ϕ este de forma t1 = t2, atunci FV (ϕ) = V (t1) ∪ V (t2),s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)

=⇒ s1 |V (tj)= s2 |V (tj), j = 1, 2,=⇒ tAj (s1) = tAj (s2), j = 1, 2 (conform Lemei 8.3.4).Rezulta‖ϕ(s1)‖ = 1 ⇐⇒ tA1 (s1) = tA2 (s1) ⇐⇒ tA1 (s2) = tA2 (s2) ⇐⇒ ‖ϕ(s2)‖ = 1,de unde ‖ϕ(s1)‖ = ‖ϕ(s2)‖.

· daca ϕ este de forma R(t1, . . . , tm), atunci FV (ϕ) =⋃m

j=1 V (tj), decis1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)

=⇒ s1 |V (tj)= s2 |V (tj), j = 1, . . . , m,=⇒ tAj (s1) = tAj (s2), j = 1, . . . ,m.Rezulta‖ϕ(s1)‖ = 1 ⇐⇒ (tA1 (s1), . . . , tAm(s1)) ∈ RA

⇐⇒ (tA1 (s2), . . . , tAm(s2)) ∈ RA

⇐⇒ ‖ϕ(s2)‖ = 1.

· daca ϕ este de forma α → β, atunci FV (ϕ) = FV (α) ∪ FV (β),s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)


=⇒ s1 |FV (α)= s2 |FV (α), s1 |FV (β)= s2 |FV (β)

=⇒ ‖α(s1)‖ = ‖α(s2)‖, ‖β(s1)‖ = ‖β(s2)‖ (ipoteza inductiei)

=⇒ ‖ϕ(s1)‖ = ‖ϕ(s2)‖.

· daca ϕ este de forma ¬ψ, atunci se procedeaza analog.

· daca ϕ este de forma ∀xψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ) \ {x}.Fie a ∈ A.Daca s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ), atunci s1[xa] |FV (ψ)= s2[xa] |FV (ψ).

Conform ipotezei inductiei, ‖ψ(s1[xa])‖ = ‖ψ(s2[xa])‖, deci

‖ϕ(s1)‖ =∧

a∈A ‖ψ(s1[xa])‖ =∧

a∈A ‖ψ(s2[xa])‖ = ‖ϕ(s2)‖. 2

Conform lemei precedente, valoarea de adevar a unei formule ϕ ıntr-o inter-pretare s depinde numai de restrictia lui s la FV (ϕ).

Notatia 8.3.6 Daca {x1, . . . , xn} contine variabilele ce apar ıntr-un termen t,atunci notam t(x1, . . . , xn). Reamintim ca ϕ(x1, . . . , xn) ınseamna FV (ϕ) ⊆{x1, . . . , xn}.

Definitia 8.3.7 Fie t(x1, . . . , xn) un termen, ϕ(x1, . . . , xn) o formula si a1, . . . , an

∈ A. Definim

tA(a1, . . . , an)def.= tA(s) ∈ A, ‖ϕ(a1, . . . , an)‖ def.

= ‖ϕ(s)‖ ∈ L2,

unde s : V −→ A este o interpretare ce verifica s(xi) = ai, i = 1, . . . , n.

Conform Lemei 8.3.4 si Propozitiei 8.3.5, definitiile lui tA(a1, . . . , an) si‖ϕ(a1, . . . , an)‖ sunt corecte (depind numai de conditia s(xi) = ai, i = 1, . . . , n).

Definitia 8.3.8

A |= ϕ[a1, . . . , an]def.⇔ ‖ϕ(a1, . . . , an)‖ = 1.

Folosind aceasta definitie (notatie), transcriem unele proprietati din definitia ‖ · ‖.· daca ϕ(x1, . . . , xn) este t1(x1, . . . , xn) = t2(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ tA1 (a1, . . . , an) = tA2 (a1, . . . , an).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este R(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (tA1 (a1, . . . , an), . . . , tAm(a1, . . . , an)) ∈ RA.


· daca ϕ(x1, . . . , xn) este ¬ψ(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ A 6|= ψ[a1, . . . , an].

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) → β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] ⇔ A |= β[a1, . . . , an]).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) ∨ β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] sau A |= β[a1, . . . , an]).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) ∧ β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] si A |= β[a1, . . . , an]).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) ↔ β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] ⇔ A |= β[a1, . . . , an]).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este ∀xψ(x, x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ pentru orice a ∈ A, A |= ψ[a1, . . . , an].

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este ∃xψ(x, x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ exista a ∈ A, A |= ψ[a1, . . . , an].

Notiunea ”A |= ϕ[a1, . . . , an]” poate fi definita ın mod direct, fara a face apella ‖ · ‖A. Definitia este prin inductie, constand ın echivalentele de mai sus.

Observatia 8.3.9 Daca ϕ este un enunt, atunci ‖ϕ(s)‖ nu depinde de inter-pretarea s; ın acest caz, notam ‖ϕ‖ = ‖ϕ(s)‖. De asemenea,

A |= ϕ ⇔ ‖ϕ‖ = 1.

Definitiile 8.3.10· Daca A |= ϕ, spunem ca enuntul ϕ este adevarat ın A sau ca A este model

pentru ϕ.· Daca Γ este o multime de enunturi, atunci spunem ca A este model al lui Γ

daca A este model pentru orice ϕ ∈ Γ; notam aceasta cu

A |= Γ.

· Daca ϕ(x1, . . . , xn) este o formula, atunci A este model al lui ϕ(x1, . . . , xn), sinotam aceasta scriind:

A |= ϕ(x1, . . . , xn),


dacaA |= ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn).

· Daca Σ este o teorie (= multime de formule ale lui Lτ ), atunci A este model3

al lui Σ, si notam aceasta scriind

A |= Σ,

daca A este model pentru fiecare ϕ ∈ Σ.

Definitia notiunii ”A |= Σ” a fost data de A. Tarski. Ea sta la baza teoriei mo-delelor, una din principalele ramuri ale logicii matematice.

Conventie: Pentru orice structura A,

A |= ∅.

8.3.2 Constante noi

In rezolvarea unor probleme din logica predicatelor, se impune sa largim lim-bajul Lτ , prin adaugarea unor constante noi. Vom prezenta ın continuare catevarezultate simple legate de acest procedeu.

Fie C o multime de constante noi (distincte de constantele lui Lτ ).Consideram limbajul Lτ (C), obtinut din Lτ prin adaugarea constantelor din C.O structura a lui Lτ (C) este de forma (A, ac)c∈C , unde A este o structura co-respunzatoare lui A si ac ∈ A, pentru orice c ∈ C (ac este interpretarea constanteic ∈ C). Daca c = {c1, . . . , cn}, atunci o structura pentru L(c1, . . . , cn) va fi deforma (A, a1, . . . , an), unde ai este interpretarea lui ci, i = 1, . . . , n.

Lema 8.3.11 Pentru orice termen t(x1, . . . , xn) al lui Lτ si pentru orice a1, . . . , an

∈ A,t(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = tA(a1, . . . , an).

Demonstratie. Prin inductie asupra lui t:· t este x: t(c)(A,a) = a = tA(a),· t este o constanta d din Lτ : t(c)(A,a) = dA = tA(a),· t este f(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)):t(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = f(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn))= f (A,a1,...,an)(t1(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an), . . . , tm(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an))= fA(tA1 (a1, . . . , an), . . . , tAm(a1, . . . , an))= tA(a1, . . . , an),ipoteza inductiei fiind: tj(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = tAj (a1, . . . , an), j = 1, . . . , m. 2

3 In matematica, notiunea de model are mai multe sensuri. Prin model matematic al uneisituatii concrete se ıntelege, de obicei, un ansamblu de notiuni si de relatii ce dau o reprezentarematematica a acelei situatii. In acest caz, este realizata o trecere de la concret la abstract.Notiunea de model al unei teorii este asociata unui traseu invers. Teoria este un concept al uneilumi simbolice (sintaxa), iar un model al sau apartine lumii reale a structurilor.


Propozitia 8.3.12 Pentru orice formula ϕ(x1, . . . , xn) a lui Lτ si pentru oricea1, . . . , an ∈ A,

(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn) ⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].

Demonstratie. Prin inductie dupa ϕ:· daca ϕ este t1(x1, . . . , xn)=t2(x1, . . . , xn), atunci:(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn)⇐⇒ t1(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = t2(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an)

⇐⇒ tA1 (a1, . . . , an) = tA2 (a1, . . . , an)⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].· daca ϕ este R(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)), atunci:(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn)⇐⇒ (t1(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an), . . . , tm(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an)) ∈ R(A,a1,...,an)

⇐⇒ (tA1 (a1, . . . , an), . . . , tAm(a1, . . . , an)) ∈ RA

⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].· daca ϕ este ¬α: (exercitiu, folosind inductia).· daca ϕ este α → β: (exercitiu, folosind inductia).· daca ϕ(x1, . . . , xn) este ∀xψ(x, x1, . . . , xn).Ipoteza inductiei: pentru orice constante c, c1, . . . , cn si pentru orice a, a1, . . . , an ∈A:

(A, a, a1, . . . , an) |= ψ(c, c1, . . . , cn) ⇐⇒ A |= ψ[a, a1, . . . , an].

Atunci(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn)⇐⇒ pentru orice a ∈ A, (A, a1, . . . , an) |= ψ(x, c1, . . . , cn)[a] (ipoteza inductiei)⇐⇒ pentru orice a ∈ A, A |= ψ[a, a1, . . . , an] (ipoteza inductiei)⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an]. 2

Un caz special ıl constituie extinderea limbajului Lτ cu simboluri de constantepentru elementele unei structuri date.

Fie A o structura si C = {ca | a ∈ A} cu ca 6= cb pentru a 6= b. O structura pen-tru Lτ (C) este de forma (B, ba)a∈A, cu ba ∈ B, pentru orice a ∈ A. In particular,(A, a)a∈A este o structura pentru Lτ (C).

Vom identifica constanta ca cu a, deci pe C cu A. Atunci limbajul Lτ (C)se va nota cu Lτ (A). Conform Propozitiei 8.3.12, pentru ϕ(x1, . . . , xn) ∈ L sia1, . . . , an ∈ A, avem

(A, a)a∈A |= ϕ(ca1 , . . . , can) ⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].

Cu identificarea ca ↔ a, echivalenta se scrie

(A, a)a∈A |= ϕ(a1, . . . , an) ⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].

Conform acestei echivalente, este natural sa scriem A |= ϕ(a1, . . . , an) ın loc deA |= ϕ[a1, . . . , an] sau de echivalentul sau (A, a)a∈A |= ϕ(a1, . . . , an).


8.3.3 Enunturi. Formule universal adevarate

Definitiile 8.3.13· Enuntul ϕ este universal adevarat, si notam aceasta cu:

|= ϕ,

daca A |= ϕ, pentru orice structura A (de un tip fixat τ).· Formula ϕ(x1, . . . , xn) este universal adevarata daca enuntul ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn)

este universal adevarat.

Exemplul 8.3.14 Fie Lτ limbajul egalitatii: fara operatii, predicate si constante.Structurile corespunzatoare sunt exact multimile.- pentru n ≥ 1, consideram enuntul σn definit de:

∃x1 . . . ∃xn[∧

1≤i<j≤n ¬(xi = xj) ∧ ∀y(∨n

i=1 y = xi)].

Atunci pentru orice multime A:A |= σn ⇐⇒ cardinalul lui A este n (| A |= n).- A are cel mult n elemente ⇐⇒ A |= ∨n

k=1 σk.- A are cel putin n elemente ⇐⇒ A |= ¬∨n−1

k=1 σk (n ≥ 2).

Exemplul 8.3.15 Fie Lτ limbajul teoriei grafurilor: cu un singur predicat binar,R. Fie urmatorul graf simetric G = (X, R):

ZZZ

½½½

b•

a•

d•

c•

X = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (c, d), (d, c)}.

Vrem sa vedem daca

G |= ∀x∃y∀z(R(x, z) ∨R(y, z)).

Aceasta este echivalent cu a arata ca urmatoarele patru afirmatii sunt adevarate:(1) G |= ∃y∀z(R(a, z) ∨R(y, z))(2) G |= ∃y∀z(R(b, z) ∨R(y, z))(3) G |= ∃y∀z(R(c, z) ∨R(y, z))(4) G |= ∃y∀z(R(d, z) ∨R(y, z)).Analizam (1): are loc daca una din urmatoarele afirmatii este adevarata:(1a) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(a, z))(1b) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(b, z))


(1c) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(c, z))(1d) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(d, z)).De exemplu, (1b) are loc daca urmatoarele patru afirmatii sunt adevarate:(1ba) G |= (R(a, a) ∨R(b, a))(1bb) G |= (R(a, b) ∨R(b, b))(1bc) G |= (R(a, c) ∨R(b, c))(1bd) G |= (R(a, d) ∨R(b, d)).Se observa ca toate aceste afirmatii sunt adevarate.

Exemplul 8.3.16 Fie G = (X, R) un graf simetric. Pentru x ∈ X, gradul lui xeste

deg(x) =| {y ∈ X | xRy} | .Pentru orice n ≥ 1, notam cu ϕn(x) urmatoarea formula:

∃x1 . . . ∃xn[∧n

i=1 xRxi ∧ ∀y(∧n

i=1 ¬(y = xi) → ¬R(x, y))].

Formula ϕn(x) exprima faptul ca ”x are gradul n”. Iata si alte trei exemplificaride formalizare a unor proprietati de ordinul I:

- gradul lui x este cel mult n:∨n

k=1 ϕk(x).

- gradul lui x este cel putin n + 2: ¬∨n+1k=1 ϕk(x).

- exista un x astfel ıncat gradul sau sa fie mai mare ca 5 si mai mic ca 8:

∃x(ϕ6(x) ∨ ϕ7(x)).

Exemplul 8.3.17 Un monoid este o structura de forma A = (A, +, 0), unde +este o operatie binara, asociativa si 0 este element neutru.

Limbajul monoizilor va avea un simbol de operatie binara, +, si o constanta, 0.

A monoid ⇐⇒ A |= ∀x∀y∀z(x+(y+z) = (x+y)+z)∧∀x(x+0 = 0+x = x).

Ordinul unui element a ∈ A este cel mai mic n astfel ıncat na = 0; daca nuexista un asemenea n, atunci ordinul lui a este ∞.

Formula

ordn(x) : ¬(x = 0) ∧ ¬(2x = 0) ∧ . . . ∧ ¬((n− 1)x = 0) ∧ (nx = 0)

exprima faptul ca ordinul lui x este n.Observam ca ”ordinul lui x este finit” nu este proprietate de ordinul I. Ea s-ar

putea exprima ca o ”disjunctie infinita”:∨∞

n=1 ordn(x). O asemenea formula arpresupune un limbaj ce admite disjunctii si conjunctii infinite.


8.3.4 Deductia semantica din ipoteze

Vom defini acum notiunea de deductie semantica (ın sensul lui Tarski).

Definitia 8.3.18 Fie Σ o multime de formule si ϕ o formula a lui Lτ .Spunem ca ϕ se deduce semantic din ipotezele Σ (si notam: Σ |= ϕ) daca ϕ esteadevarata ın orice model A al lui Σ:

A |= Σ =⇒ A |= ϕ.

Observatia 8.3.19 Cum A |= ∅ pentru orice structura A (prin conventie), rezultaca:

∅ |= ϕ ⇐⇒|= ϕ.

Observatia 8.3.20Σ ⊆ ∆, Σ |= ϕ =⇒ ∆ |= ϕ.

Propozitia 8.3.21

Σ |= ϕ(x1, . . . , xn), Σ |= ϕ(x1, . . . , xn) → ψ(x1, . . . , xn)

Σ |= ψ(x1, . . . , xn)

Demonstratie. Fie A |= Σ. Conform ipotezei,

A |= ϕ(x1, . . . , xn), A |= ϕ(x1, . . . , xn) → ψ(x1, . . . , xn).

Fie a1, . . . , an ∈ A. AtunciA |= ϕ(a1, . . . , an) siA |= ϕ(a1, . . . , an) → ψ(a1, . . . , an),deci A |= ψ(a1, . . . , an). Am demonstrat ca A |= ψ(x1, . . . , xn). 2

Propozitia 8.3.22

Σ |= ϕ(x1, . . . , xn)

Σ |= ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn)

Teorema 8.3.23 (Teorema deductiei semantice)Fie Σ o multime de formule, ϕ un enunt si ψ o formula. Atunci are loc

urmatoarea echivalenta:

Σ |= ϕ → ψ ⇐⇒ Σ ∪ {ϕ} |= ψ.


Demonstratie.=⇒: Din Σ |= ϕ → ψ avem Σ ∪ {ϕ} |= ϕ → ψ. Cum Σ |= ϕ, rezulta Σ |= ψ(conform Propozitiei 8.3.12).⇐=: Vom presupune ψ = ψ(x1, . . . , xn). Trebuie sa aratam ca:

A |= Σ =⇒ A |= ϕ → ψ(x1, . . . , xn).

Fie A |= Σ. Vrem sa aratam ca A |= ϕ → ψ(x1, . . . , xn), adica

A |= ∀x1 . . . ∀xn (ϕ → ψ(x1, . . . , xn)).

Fie a1, . . . , an ∈ A; aratam ca

A |= ϕ → ψ(a1, . . . , an).

Aceasta este echivalent cu

A |= ϕ =⇒ A |= ψ(a1, . . . , an).

Presupunem A |= ϕ, de unde A |= Σ ∪ {ϕ}. Conform ipotezei, A |= ψ(x1, . . . , xn),deci A |= ψ(a1, . . . , an). 2

Observatia 8.3.24 Implicatia =⇒ este adevarata pentru cazul cand ϕ este o for-mula arbitrara. Implicatia ⇐= nu este adevarata ın general:∅ ∪ {x = y} |= (x = z): pentru ca A |= (x = y) =⇒ A |= (x = z).Nu avem ınsa ∅ |= (x = y) → (x = z). Intr-adevar, daca ar fi asa, atunci am aveaA |= (x = y) =⇒ x = z pentru orice structura A. Atunci

A |= ∀x∀y∀z(x = y → x = z),

ceea ce nu este adevarat.

Exercitiile 8.3.25

Σ |= ϕ → ψ(1)

Σ |= ∀x ϕ → ∀x ψ

Σ |= ϕ → ψ(2)

Σ |= ∃xϕ → ∃x ψ

Σ |= ϕ ↔ ψ(3)

Σ |= ∀x ϕ ↔ ∀x ψ

Σ |= ϕ ↔ ψ(4)

Σ |= ∃xϕ ↔ ∃x ψ

Exercitiul 8.3.26 Fie CS(Σ) = {ϕ | ϕ formula, Σ |= ϕ}. Atunci pentru oriceformula α,

Σ |= α ⇐⇒ CS(Σ) |= α.


8.3.5 Exemple de enunturi universal adevarate

In aceasta subsectiune vom prezenta o lista de enunturi universal adevarate,precum si unele enunturi ce nu sunt universal adevarate. Atunci cand nu se pre-cizeaza, se va presupune ca ‖ · ‖ = ‖ · ‖A, unde A este o structura oarecare.

Exemplul 8.3.27

|= ∀x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)).

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:- ‖∀x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x))‖ = 1- ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ → (‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖) = 1- ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ ≤ ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖- ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ ∧ ‖∀xϕ(x)‖ ≤ ‖∀xψ(x)‖-

∧a∈A ‖ϕ(a) → ψ(a)‖ ∧∧

a∈A ‖ϕ(a)‖ ≤ ∧a∈A ‖ψ(a)‖

-∧

a∈A(‖ϕ(a)‖ ∧ (‖ϕ(a)‖ → ‖ψ(a)‖)) ≤ ∧a∈A ‖ψ(a)‖.

Pentru a stabili aceasta ultima inegalitate, este suficient sa aratam ca pentru oricea ∈ A avem

‖ϕ(a)‖ ∧ (‖ϕ(a)‖ → ‖ψ(a)‖) ≤ ‖ψ(a)‖.Ori, ın orice algebra Boole avem: x ∧ (x → y) = x ∧ y ≤ y.

Exemplul 8.3.28

6|= (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)) → ∀x(ϕ(x) → ψ(x)).

Consideram un limbaj cu un singur predicat, <, si cu doua constante, 2, 3.Fie structura A = ({1, 2, . . . , n, . . .}, <, 2, 3) si formulele:ϕ(x) : x = 2,ψ(x) : x ≥ 3, (x ≥ 3 este abrevierea lui ¬(x < 3)).Considerand interpretari ın structura A mentionata, avem:‖ ∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ = ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖ =

(∧∞

n=1 ‖n = 2‖) → (∧∞

n=1 ‖n ≥ 3‖) = 0 → 0 = 1.

‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ =∧∞

n=1 ‖n = 2 → n ≥ 3‖ =∧∞

n=1(‖n = 2‖ → ‖n ≥ 3‖) = 0.Rezulta:‖(∀xϕ(x) → ∀xψ(x)) → ∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ =‖∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ → ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ = 1 → 0 = 0.

Exemplul 8.3.29

|= (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)) → ∃x(ϕ(x) → ψ(x)).


Este echivalent cu a demonstra:(∧

a∈A ‖ϕ(a)‖) → (∧

b∈A ‖ψ(b)‖) ≤ ∨a∈A(‖ϕ(a)‖ → ‖ψ(a)‖)

ceea ce este echivalent cu:(∨

a∈A ¬‖ϕ(a)‖) ∨ (∧

b∈A ‖ψ(b)‖) ≤ ∨a∈A(¬‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(a)‖)

ceea ce este echivalent cu:∨a∈A(¬‖ϕ(a)‖ ∨∧

b∈A ‖ψ(b)‖) ≤ ∨a∈A(¬‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(a)‖).

Aceasta din urma inegalitate este evidenta.

Exemplul 8.3.30

6|= ∃x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)).

Consideram limbajul cu un singur predicat binar < si cu constantele 1, 2.Luam tot structura A = ({1, 2, . . . , n, . . .}, <, 1, 2) si formulele:ϕ(x) : x ≥ 1,ψ(x) : x = 2.‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ =

∨n≥1(‖n ≥ 1‖ → ‖n = 2‖) = 1;

‖∀xϕ(x)‖ =∧

n ‖n ≥ 1‖ = 1; ‖∀xψ(x)‖ =∧

n ‖n = 2‖ = 0;

‖∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ = ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖ = 1 → 0 = 0;‖∃x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x))‖ =‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ → ‖∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ = 1 → 0 = 0.

Exemplul 8.3.31

|= (∃xϕ(x) → ∃xψ(x)) → ∃x (ϕ(x) → ψ(x)).

‖∃xϕ(x) → ∃xψ(x)‖ = (∨

a∈A ‖ϕ(a)‖) → (∨

b∈A ‖ψ(b)‖) =

(∧

a∈A ¬‖ϕ(a)‖) ∨∨b∈A ‖ψ(b)‖ =

∨b∈A((

∧a∈A ¬‖ϕ(a)‖) ∨ ‖ψ(b)‖) ≤

∨b∈A(¬‖ϕ(b)‖ ∨ ‖ψ(b)‖) = ‖∃x(ϕ(x) → ψ(x))‖.

Exemplul 8.3.32

6|= ∃x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∃xϕ(x) → ∃xψ(x)).

Consideram limbajul ce are o operatie binara, +, un predicat binar, <, si o con-stanta, 1.


Structura este A = (N∗,+, <, 1), iar formulele:ϕ(x) : ∃y(x = y + y) (x este par),ψ(x) : x < 1.‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ =

∨n(¬‖n este par‖ ∨ ‖n < 1‖) = 1;

‖∃xϕ(x) → ∃xψ(x)‖ = ‖∃x(x este par)‖ → ‖∃x(x < 1)‖ = 1 → 0 = 0;‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ → ‖∃xϕ(x) → ∃xψ(x)‖ = 1 → 0 = 0.

Exemplul 8.3.33

|= ∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∃xψ(x)).

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:- ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∃xψ(x))‖ = 1,- ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x))‖ ≤ ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∃xψ(x)‖,- ‖∀xϕ(x)‖ ∧ ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x))‖ ≤ ‖∃xψ(x)‖.Demonstram ultima inegalitate:‖∀xϕ(x)‖ ∧ ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x))‖ =

∧a∈A ‖ϕ(a)‖ ∧ (

∨b∈A(‖ϕ(b)‖ ↔ ‖ψ(b)‖)) =

∨b∈A[(

∧a∈A ‖ϕ(a)‖) ∧ (‖ϕ(b)‖ ↔ ‖ψ(b)‖)] ≤

∨b∈A[‖ϕ(b)‖ ∧ (‖ϕ(b)‖ → ‖ψ(b)‖)] =

∨b∈A(‖ϕ(b)‖ ∧ ‖ψ(b)‖) ≤

∨b∈A ‖ψ(b)‖ = ‖∃xψ(x)‖.

Exemplul 8.3.34

6|= (∀xϕ(x) → ∃xψ(x)) → ∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x)).

Fie Lτ limbajul egalitatii, ımbogatit cu constantele 1, 2 si A = N.Consideram formulele:ϕ(x) : x = 1,ψ(x) : x = 2.‖∀x(x = 1) → ∃x(x = 2)‖ = ‖∀x(x = 1)‖ → ‖∃x(x = 2)‖ = 0 → 1 = 1;‖∃x(x = 1 ↔ x = 2)‖ = 0.

Exemplul 8.3.35

|= (∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)) → ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)).

‖∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)‖ = ‖∀xϕ(x)‖ ∨ ‖∀xψ(x)‖ =

(∧

a∈A ‖ϕ(a)‖) ∨ (∧

b∈A ‖ψ(b)‖) =∧

a,b∈A(‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(b)‖) ≤∧

a∈A(‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(a)‖) = ‖∀x(ϕ(x) ∨ ψ(x))‖.


Exemplul 8.3.36

6|= ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) → (∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)).

Se considera un limbaj cu o operatie binara, +, A = (N, +).Consideram formulele:ϕ(x) : x = 2x (2x este termenul x + x),ψ(x) : ¬(x = 2x).‖∀x[(x = 2x) ∨ (x 6= 2x)]‖ = 1;‖∀x(x = 2x)‖ = 0, ‖∀x(x6=2x)‖ = 0.Deci,‖∀x[(x = 2x) ∨ (x6=2x)] → [∀x(x = 2x) ∨ ∀x(x6=2x)]‖ = 1 → (0 ∨ 0) = 1 → 0 = 0.

Exemplul 8.3.37

|= ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) → (∃xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)).

‖∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x))‖ =∧

a∈A(‖ϕ(a)‖ ∧ ‖ψ(a)‖) ≤ ∧a∈A[

∨b∈A(‖ϕ(b)‖ ∧ ‖ψ(a)‖)] =

∧a∈A[(

∨b∈A ‖ϕ(b)‖) ∧ ‖ψ(a)‖] = (

∨b∈A ‖ϕ(b)‖) ∨ (

∧a∈A ‖ψ(a)‖) =

‖∃xϕ(x)‖ ∨ ‖∀xψ(x)‖ = ‖∃xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)‖.Exemplul 8.3.38

6|= (∃xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)) → ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)).

Luam un limbaj cu un predicat binar, <, si doua constante, 2, 3. A = (N, <, 2, 3).‖∃x(x = 2) ∨ ∀x(x < 3)‖ = ‖∃x(x = 2)‖ ∨ ‖∀x(x < 3)‖ = 1 ∨ 0 = 1,‖∀x[(x = 2) ∨ (x < 3)]‖ = 0.Rezulta:6|= (∃x(x = 2) ∨ ∀x(x < 3)) → ∀x((x = 2) ∨ (x < 3)).

Exemplul 8.3.39

|= ∃x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ↔ (∃xϕ(x) ∨ ∃xψ(x)).

Exemplul 8.3.40

|= ∃x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) → (∃xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)).

Exemplul 8.3.41

6|= (∃xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)) → ∃x (ϕ(x) ∧ ψ(x)).

6|= (∃x(x = 2) ∧ ∃x(x = 3)) → ∃x ((x = 2) ∧ (x = 3))(se ia limbajul egalitatii, ımbogatit cu doua constante, 2, 3 si A = (N, 2, 3)).


Exemplul 8.3.42

|= ∀x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) → (∀xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)).

Revine la inegalitatea:∧a∈A(‖ϕ(a)‖ ∧ ‖ψ(a)‖) ≤ (

∧a∈A ‖ϕ(a)‖) ∧ (

∨b∈A ‖ψ(b)‖) =∧

a∈A(‖ϕ(a)‖ ∧∨b∈A ‖ψ(b)‖).

Exemplul 8.3.43

6|= (∀xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)) → ∀x (ϕ(x) ∧ ψ(x)).

Se considera un limbaj cu un predicat binar, <, si cu constantele 2, 3.A = (N∗, <, 2, 3).6|= (∀x(x ≥ 1) ∧ ∃x(x = 2)) → ∀x ((x ≥ 1) ∧ (x = 2)).

Exemplul 8.3.44

|= ∀x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ↔ (∀xϕ(x) ∧ ∀xψ(x)).

Exemplul 8.3.45

|= ∀x1 . . . ∀xn∀y1 . . . ∀ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∨ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn) ∨ ∀y1 . . . ∀ymψ(y1, . . . , ym)].

Exemplul 8.3.46

|= ∃x1 . . . ∃xn∃y1 . . . ∃ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∃x1 . . . ∃xnϕ(x1, . . . , xn) ∧ ∃y1 . . . ∃ymψ(y1, . . . , ym)].

Exemplul 8.3.47

|= ∀x1 . . . ∀xn∃y1 . . . ∃ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∨ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn) ∨ ∃y1 . . . ∃ymψ(y1, . . . , ym)].

Exemplul 8.3.48

|= ∃x1 . . . ∃xn∀y1 . . . ∀ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∃x1 . . . ∃xnϕ(x1, . . . , xn) ∧ ∀y1 . . . ∀ymψ(y1, . . . , ym)].

8.4. TEOREMA DE COMPLETITUDINE EXTINSA. MODELE HENKIN 235

8.4 Teorema de completitudine extinsa. ModeleHenkin

Completitudinea calculului cu predicate apare ca problema ın monografia luiHilbert si Ackermann din 1928 [57]. Prima demonstratie a teoremei de completi-tudine pentru calculul cu predicate a fost obtinuta de Godel ın teza sa de doctoratdin 1929 si publicata apoi ın [46]. Godel a demonstrat ıntai completitudinea cal-culului cu predicate fara egalitate, apoi a extins rezultatul si pentru limbaje cuegalitate. Limbajele considerate de Godel erau numarabile si nu contineau sim-boluri de operatii. In [46], este obtinuta si teorema de compacitate, ca un corolaral teoremei de completitudine. Demonstratia originara a teoremei de completitu-dine (bazata pe aducerea enunturilor la forma normala Skolem) are ın prezent maimult un interes istoric. Teorema de completudine a lui Godel stabileste echivalentateoremelor formale cu enunturile universal adevarate. In lucrarea [54], Henkindemonstreaza (pentru limbaje de orice cardinal) urmatorul rezultat: orice teorieconsistenta a lui Lτ admite un model. O consecinta imediata a sa este teorema decompletitudine extinsa, ce afirma echivalenta deductiei formale ın Lτ cu deductiasemantica. Teorema de completitudine a lui Godel este un caz particular al teoremeide completitudine extinsa.

In aceasta sectiune, prezentam ın detaliu demonstratia data de Henkin pen-tru teorema de completitudine extinsa. Metoda folosita de Henkin ın demonstratie(cunoscuta sub numele de metoda constantelor) este un instrument eficace pentruconstructii de modele ale teoriilor consistente (vedeti discutia din [55]). Ea a fostfolosita apoi cu succes ın demonstrarea unor teoreme de completitudine pentru altesisteme logice (intuitionist, modal, temporal, etc.), ca si a unor teoreme importanteale teoriei modelelor (teorema de omitere a tipurilor, teoreme de interpolare de tipCraig, teoreme ale celor doi cardinali, etc.) (vedeti [3], [19], [80]).

Fie Lτ un limbaj de ordinul I. Prin definitie, cardinalul lui Lτ este:

| Lτ |=| Form(Lτ ) |=| Sent(Lτ ) | .

Observatia 8.4.1 Presupunem ca V este numarabila si ca multimile de operatii,de relatii si de constante sunt cel mult numarabile. Atunci

| Lτ |=| Form(Lτ ) |=| Sent(Lτ ) |= ω,

unde ω este cardinalul multimilor numarabile. Spunem ca Lτ este limbaj numarabil.

Fie C o multime de constante noi si Lτ (C) limbajul obtinut din Lτ prin adaugareaconstantelor din C.

Observatia 8.4.2 Daca | Lτ |=| C |, atunci | Lτ (C) |=| Lτ |=| C |.


Lema 8.4.3 Fie ϕ(x) o formula ın Lτ , c o constanta din C si ϕ(c) enuntul dinLτ (C) obtinut prin ınlocuirea lui x cu c. Atunci pentru orice teorie T a lui Lτ ,avem:

T ` ϕ(c) ın Lτ (C) ⇐⇒ T ` ∀xϕ(x) ın Lτ .

Demonstratie.=⇒: Daca α1(c), . . . , αn(c) = ϕ(c) este o demonstratie formala a lui ϕ(c) din T ınLτ (C), atunci α1(x), . . . , αn(x) este o demonstratie formala a lui ϕ(x) din T ın Lτ .Atunci T ` ϕ(x) ın Lτ , deci T ` ∀xϕ(x).⇐=: Daca T ` ∀xϕ(x) ın Lτ , atunci T ` ∀xϕ(x) ın Lτ (C). Cum ` ∀ϕ(x) → ϕ(c),rezulta T ` ϕ(c) ın Lτ (C). 2

Lema 8.4.4 Daca T este o teorie consistenta ın Lτ , atunci T este consistenta siın Lτ (C).

Demonstratie. Presupunem ca T nu este consistenta ın Lτ (C), deci existaϕ(c1, . . . , cn) ∈ Lτ (C), astfel ıncat

T ` ϕ(c1, . . . , cn) ∧ ¬ϕ(c1, . . . , cn), c1, . . . , cn ∈ C.

Conform Lemei 8.4.3,

T ` ∀x1 . . . ∀xn(ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ¬ϕ(x1, . . . , xn)),

deci:T ` ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ¬ϕ(x1, . . . , xn) ın Lτ ,

ceea ce contrazice consistenta lui T . 2

O teorie ınchisa este formata numai din enunturi.In continuare, vom considera numai teorii ınchise.

Definitia 8.4.5 Fie T o teorie consistenta ın Lτ (C). T se numeste teorie Henkin,daca pentru orice formula ϕ(x) a lui Lτ (C), cu cel mult o variabila libera x, existac ∈ C, astfel ıncat

T ` ∃xϕ(x) → ϕ(c).

Observatia 8.4.6 Implicatia

T ` ϕ(c) → ∃xϕ(x)

are loc ıntotdeauna.

Pentru a da o interpretare notiunii de teorie Henkin, vom gandi o formula ϕ(x)ca pe o ”ecuatie” ın x. Atunci enuntul ∃xϕ(x) va semnifica existenta ”solutiilor”lui ϕ(x), iar ϕ(c) va ınsemna ca ”c este o solutie” a lui ϕ(x).

Atunci conditia T ` ∃xϕ(x) → ϕ(x) din definitia teoriei Henkin se interpreteazaastfel: daca ın ipotezele T ecuatia ϕ(x) admite solutie, atunci o solutie a sa poatefi aleasa din multimea C.


Lema 8.4.7 Fie Lτ un limbaj de ordinul I si C o multime de constante, astfelıncat | Lτ |=| C |. Daca T este o teorie consistenta ın Lτ , atunci exista o teorieHenkin T ın Lτ (C), cu T ⊆ T .

Demonstratie. Vom face demonstratia numai pentru limbaje numarabile:

| LPC |=| C |=| Lτ (C) |= ω.

Fie C = (cn)n<ω o enumerare a lui C, cu n 6= m =⇒ cn 6= cm.Fie (ϕn(xn))n<ω o enumerare a formulelor lui Lτ (C) cu cel mult o variabila

libera. Construim prin inductie:· un sir de teorii (Tn)n<ω ale lui Lτ (C), cu T0 = T ,· un sir de constante din C: (en)n<ω,cu proprietatile:(i) Tn este consistenta ın Lτ (C),(ii) Tn+1 = Tn ∪ {∃xnϕn(xn) → ϕn(en)},unde en este o constanta din C ce nu apare ın Tn si

xn ={

variabila libera a lui ϕn, daca exista,orice variabila, daca ϕn nu are variabile libere.

Vom lua definitia prin recurenta a teoriilor Tn ca fiind data de (ii). Ramane saaratam ca daca Tn este consistenta, atunci si Tn+1 este consistenta.

Presupunem prin absurd ca teoria

Tn ∪ {∃xnϕn(xn) → ϕn(en)}

este inconsistenta ın Lτ (C), deci, aplicand Propozitia 8.2.28, rezulta

Tn ` ¬(∃xnϕn(xn) → ϕn(en)).

AtunciTn ` ∃xnϕn(xn) ∧ ¬ϕn(en),

deci Tn ` ∃xnϕn(xn) si Tn ` ¬ϕn(en).Lema 8.4.3 implica Tn ` ∀xn¬ϕn(xn), deci Tn ` ¬∃xnϕn(xn): contradictie cufaptul ca Tn este consistenta.

Constructia prin inductie s-a terminat. Fie T =⋃

n<ω Tn. Se verifica usor ca T

este consistenta. Sa aratam ca T este teorie Henkin.Fie ϕ(x) ∈ Lτ (C) cu cel mult o variabila libera x, deci exista n cu ϕ(x) =

ϕn(xn):∃xϕ(x) → ϕ(en) = ∃xnϕn(xn) → ϕn(en) ∈ Tn+1 ⊆ T .

Atunci T ` ∃xϕ(x) → ϕ(en) si T este o teorie Henkin. 2

Lema 8.4.8 Fie T ⊆ T ′, T este teorie Henkin, T ′ este consistenta. Atunci T ′ esteteorie Henkin.


Demonstratie. Direct din definitie. 2

Fie C o multime de constante de acelasi cardinal cu limbajul Lτ si Lτ (C)limbajul obtinut din Lτ prin adjunctionarea constantelor din C.

Fixam o teorie Henkin consistenta maximala ın Lτ (C).Pe multimea C, consideram relatia binara:

c ≈ ddef.⇔ (c = d) ∈ Σ ⇔ Σ ` (c = d).

Lema 8.4.9 ≈ este o relatie de echivalenta.

Demonstratie. Aratam ca relatia ≈ este reflexiva, simetrica si tranzitiva.· c ≈ c: Σ ` c = c.· c ≈ d =⇒ d ≈ c:Daca c ≈ d, atunci Σ ` c = d. Deoarece ` c = d → d = c, se obtine Σ ` d = c,deci d ≈ c.· c ≈ d, d ≈ e =⇒ c ≈ e:Intr-adevar, (c ≈ d, d ≈ e) implica (Σ ` c = d, Σ ` d = e) implica Σ ` (c = d)∧(d= e); dar avem si ` [(c = d)∧(d = e)] → (c = e); rezulta Σ ` (c = e), deci c ≈ e. 2

Vom considera multimea cat A = C/ ≈; c≈ va fi clasa de echivalenta a lui c ∈ C.

Lema 8.4.10 Fie t(x1, . . . , xn) un termen al lui Lτ si c1, . . . , cn ∈ C. Atunci

` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x).

Demonstratie. Fie ϕ(x) formula din Lτ (C): t(c1, . . . , cn) = x.` ϕ(t(c1, . . . , cn)) → ∃xϕ(x)` t(c1, . . . , cn) = t(c1, . . . , cn) → ∃x(t(c1, . . . , cn) = x)` t(c1, . . . , cn) = t(c1, . . . , cn)` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x). 2

Lema 8.4.11 Fie t(x1, . . . , xn) un termen al lui Lτ si c1, . . . , cn ∈ C constante.Atunci exista d ∈ C, astfel ıncat:

Σ ` t(c1, . . . , cn) = d.

Demonstratie. Conform Lemei 8.4.10, ` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x).Σ este o teorie Henkin, deci exista d ∈ C astfel ıncat:

Σ ` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x) → (t(c1, . . . , cn) = d).

Prin m.p., rezulta:

Σ ` t(c1, . . . , cn) = d. 2


Vom organiza acum A ca o structura pentru Lτ .Fie f un simbol de operatie n-ara. Definim operatia n-ara fA pe A astfel:

fA(c≈1 , . . . , c≈n ) = d≈def.⇔ Σ ` f(c1, . . . , cn) = d.

Pentru orice c1, . . . , cn ∈ C, exista d ∈ C, astfel ıncat Σ ` f(c1, . . . , cn) = d(conform Lemei 8.4.11). 2

Lema 8.4.12 fA este bine definita.

Demonstratie. Trebuie sa aratam ca:

(ci ≈ di, i = 1, . . . , n) si c ≈ d) =⇒ (Σ ` f(c1, . . . , cn) = c ⇔ Σ ` f(d1, . . . , dn)= d).

Anume vom arata ca:(ci ≈ di, i = 1, . . . , n) si (c ≈ d ) si (Σ ` f(c1, . . . , cn) = c) implica Σ `f(d1, . . . , dn) = d.Intr-adevar,(Σ ` ci = di, i = 1, . . . , n) si (Σ ` (c = d)) si (Σ ` f(c1, . . . , cn) = c) implica:

Σ ` (f(c1, . . . , cn) = c) ∧∧ni=1(ci = di) ∧ (c = d).

Dar,

` (f(c1, . . . , cn) = c) ∧∧ni=1(ci = di) ∧ (c = d) → (f(d1, . . . , dn) = d),

deci, prin m.p., rezulta

Σ ` f(d1, . . . , dn) = d. 2

Fie R un simbol de relatie n-ara. Definim relatia n-ara RA pe A astfel:

RAdef.= {(c≈1 , . . . , c≈n ) | Σ ` R(c1, . . . , cn)}.

Lema 8.4.13 RA este bine definita.

Demonstratie. Trebuie sa aratam ca:

ci ≈ di, i = 1, . . . , n =⇒ (R(c1, . . . , cn) ∈ Σ ⇔ R(d1, . . . , dn) ∈ Σ).

Anume vom arata ca:(Σ ` ci = di, i = 1, . . . , n si Σ ` R(c1, . . . , cn)) implica Σ ` R(c1, . . . , cn)∧∧n

i=1(ci

= di).


Dar,

R(c1, . . . , cn) ∧∧ni=1(ci = di) → R(d1, . . . , dn),

de unde, prin m.p., rezulta` R(d1, . . . , dn).

2

Fie d o constanta a lui Lτ . Conform Lemei 8.4.11, exista c ∈ C, cu Σ ` d = c.Definim dA = c≈

def.⇔ (d = c) ∈ Σ.

Lema 8.4.14 Definitia lui dA este corecta.

Demonstratie. Daca c1, c2 ∈ C, Σ ` d = c1, Σ ` d = c2, atunci Σ ` (d = c1)∧ (d= c2). Cum` (d = c1) ∧ (d = c2) → (c1 = c2), rezulta Σ ` (c1 = c2), deci c≈1 = c≈2 . 2

Daca c ∈ C, atunci punem cA = c≈.In acest fel, am obtinut o structura A a limbajului Lτ (C).

Lema 8.4.15 Daca t(x1, . . . , xn) este un termen si c, c1, . . . , cn ∈ C, atunci:

tA(c≈1 , . . . , c≈n ) = c≈ ⇐⇒ Σ ` t(c1, . . . , cn) = c.

Demonstratie. Prin inductie, dupa modul de formare a termenului t.Tratam numai pasul inductiei.Fie t = f(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)) si presupunem ca echivalenta are

loc pentru termenii t1, . . . , tm. Conform Lemei 8.4.11, exista d1, . . . , dm ∈ C, Σ `ti(c1, . . . , cn) = di, pentru i = 1, . . . ,m. Din ipoteza inductiei,

tAi (c≈1 , . . . , c≈n ) = d≈i , i = 1, . . . , m.

AtuncitA(c≈1 , . . . , c≈n ) = c≈ ⇐⇒ fA(tA1 (c≈1 , . . . , c≈n ), . . . , tAm(c≈1 , . . . , c≈n )) = c≈

⇐⇒ fA(d≈1 , . . . , d≈m) = c≈

⇐⇒ Σ ` (d1, . . . , dm) = c (conform definitiei lui fA)⇐⇒ Σ ` f(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn)) = c (α)⇐⇒ Σ ` t(c1, . . . , cn) = c,

unde (α) rezulta astfel:Σ ` ti(c1, . . . , cn) = di, i = 1, . . . , m implica echivalenta urmatoareΣ ` f(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn)) = c ⇐⇒ Σ ` f(d1, . . . , dm) = c. 2

Lema 8.4.16 Pentru orice formula ϕ(x1, . . . , xn) ∈ L si pentru orice c1, . . . , cn ∈C, avem:

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ ⇐⇒ Σ ` ϕ(c1, . . . , cn).


Demonstratie. Dupa modul de formare a formulei ϕ.

· ϕ este de forma t1(x1, . . . , xn) = t2(x1, . . . , xn):Conform Lemei 8.4.11, exista di ∈ C, cu Σ ` ti(c1, . . . , cn) = di, i = 1, 2. AplicandLema 8.4.15, obtinem:

d≈i = tAi (c≈1 , . . . , c≈n ), i = 1, 2.

In acest caz,

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ tA1 (c≈1 , . . . , c≈n ) = tA2 (c≈1 , . . . , c≈n )⇐⇒ d≈1 = d≈2⇐⇒ Σ ` d1 = d2

⇐⇒ Σ ` t1(c1, . . . , cn) = t2(c1, . . . , cn).

Ultima echivalenta rezulta din Σ ` di = ti(c1, . . . , cn), i = 1, 2 si din axiomeleegalitatii.

· ϕ este de forma R(t1, . . . , tm), cu ti = ti(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , m:Conform Lemei 8.4.11, exista d1, . . . , dm ∈ C, cu

(*) Σ ` ti(c1, . . . , cn) = di, 1 = 1, . . . , m.

Aplicand Lemma 8.4.15, obtinem:

d≈i = tAi (c≈1 , . . . , c≈n ), i = 1, . . . , m.

Atunci

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ (tA1 (c≈1 , . . . , c≈n ), . . . , tAm(c≈1 , . . . , c≈n )) ∈ RA

⇐⇒ (d≈1 , . . . , d≈m) ∈ RA

⇐⇒ R(d1, . . . , dm) ∈ Σ (conform definitiei lui RA)⇐⇒ R(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn)) ∈ Σ conform (*)⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

· ϕ este de forma ¬ψ(x1, . . . , xn):Ipoteza inductiei este:

A |= ψ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ ψ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

Atunci

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ A 6|= ψ[c≈1 , . . . , c≈n ]⇐⇒ ψ(c1, . . . , cn) 6∈ Σ⇐⇒ ¬ψ(c1, . . . , cn) ∈ Σ (Σ este consistenta maximala)⇐⇒ ψ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

· ϕ este de forma ψ1 ∨ ψ2: exercitiu !


· ϕ(x1, . . . , xn) este ∃xψ(x, x1, . . . , xn):

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ exista c≈ ∈ A, A |= ψ[c≈, c≈1 , . . . , c≈n ]⇐⇒ exista c ∈ C, ψ(c, c1, . . . , cn) ∈ Σ (ipoteza inductiei)⇐⇒ Σ ` ∃xψ(x, c1, . . . , cn) (Σ este teorie Henkin)⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

2

Observatia 8.4.17 Conform Propozitiei 8.4.16, pentru orice enunt ϕ ∈ Lτ (C),are loc echivalenta

A |= ϕ ⇐⇒ ϕ ∈ Σ,

de unde rezultaA |= Σ.

A se numeste modelul Henkin asociat teoriei Σ. Il vom mai nota si AΣ.

Teorema 8.4.18 Daca T este o teorie consistenta, atunci ea admite un model.

Demonstratie. Fie T o teorie consistenta a lui Lτ . Fie C o multime de constantenoi, cu | C |=| Lτ |. Conform Lemei 8.4.7, exista o teorie Henkin T , astfel ıncatT ⊆ T . Fie Σ o teorie consistenta maximala a lui Lτ (C), cu T ⊆ Σ. Σ este o teorieHenkin (conform Lemei 8.4.8).

Consideram modelul Henkin A, asociat lui Σ. Conform Propozitiei 8.4.16, pen-tru orice formula ϕ(x1, . . . , xn) ∈ L si c1, . . . , cn ∈ C:

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

Cum T ⊆ Σ, rezulta de aici ca A |= T . 2

Teorema 8.4.18 este valabila pentru limbaje de orice cardinal infinit. Cu exceptiaLemei 8.4.7, toti pasii necesari obtinerii Teoremei 8.4.18 au fost demonstrati ın cazulgeneral. Lema 8.4.7 a fost demonstrata numai pentru limbaje numarabile, pentrua evita folosirea inductiei transfinite.

Teorema 8.4.19 (Teorema de completitudine extinsa)Fie Σ o teorie si ϕ o formula a lui Lτ . Atunci

Σ ` ϕ ⇐⇒ Σ |= ϕ.

Demonstratie.=⇒: Prin inductie, ın raport cu definitia notiunii ”Σ ` ϕ”.⇐=: Presupunem Σ 6` ϕ, deci Σ∪{¬ϕ} este consistenta. Fie A |= Σ∪{¬ϕ}; atunciA |= Σ si A 6|= ϕ. Rezulta Σ 6|= ϕ. 2

Corolarul 8.4.20 (Teorema de completitudine)Pentru orice formula ϕ a lui Lτ , are loc echivalenta urmatoare:

` ϕ ⇐⇒ |= ϕ.


Demonstratie. Luam Σ = ∅. 2

Observatia 8.4.21 Se verifica usor ca reciproca Teoremei 8.4.18 este adevarata:daca o teorie admite un model, atunci ea este consistenta.

Observatia 8.4.22 Daca Σ este o teorie Henkin si AΣ este modelul sau Henkin,atunci

| AΣ |≤| C |=| Lτ (C) |=| Lτ | .

Corolarul 8.4.23 (Teorema Lovenheim-Skolem) Orice teorie consistenta Tıntr-un limbaj numarabil admite un model cel mult numarabil.

Demonstratie. Din Teorema 8.4.18 si din observatia precedenta. 2

Corolarul 8.4.24 (Teorema de compacitate)O teorie T admite un model daca si numai daca orice parte finita a sa admite

un model.

Demonstratie. Se aplica Teorema 8.4.18, plus observatia: T este consistenta dacasi numai daca orice parte finita a sa este consistenta. 2

Corolarul 8.4.25 Daca T are modele finite suficient de mari, atunci T admite unmodel infinit.

Demonstratie. Fie C = {cn | n < ω} o multime numarabila de constante noi.Consideram teoria lui Lτ (C):

Σ = T ∪ {¬(cn = cm) | n < m < ω}.

Orice submultime finita Σ′ a lui Σ are un numar finit de constante din C; fie elecontinute ın {c0, . . . , cm}. Fie A′ |= T cu | A′ |≥ m+1. Atunci exista a0, . . . , am ∈A′, distincte, deci (A′, a0, . . . , am) |= Σ′. Punand am+1, am+2, . . . arbitrare, esteevident ca

(A′, a0, . . . , am, am+1, . . .) |= Σ′.

Conform Teoremei de compacitate, Σ admite un model

(B, b0, . . . , bm, . . .) |= Σ,

cu (bm) distincte doua cate doua.Deci, B |= T si | B |≥ ω. 2

Observatia 8.4.26 Teorema de completitudine extinsa (Teorema 8.4.19) a fostdemonstrata pe baza Teoremei 8.4.18, iar Teorema de completitudine a rezultat caun caz particular al Teoremei 8.4.19. La randul ei, Teorema 8.4.18 poate fi obtinutadin Teorema de completitudine.


Pentru a proba aceasta afirmatie, sa consideram un enunt ϕ al unei teorii con-sistente T . Atunci {ϕ} este o multime consistenta, deci, aplicand Propozitia 8.2.28,6` ¬ϕ. Conform Teoremei de completitudine, 6|= ¬ϕ, deci exista o structura A astfelıncat A 6|= ¬ϕ. Rezulta A |= ϕ pentru orice ϕ ∈ T , deci A |= T .

In demonstratia celor trei rezultate (Teorema 8.4.18, Teorema 8.4.19 si Corolarul8.4.20) a fost invocata axioma alegerii (ın forma sa echivalenta, cunoscuta subnumele de axioma lui Zorn). Intr-o axiomatizare a teoriei multimilor faraaxioma alegerii (de exemplu, Zermelo-Fraenkel), aceste trei rezultate devin enunturiechivalente logic.

8.5 Cum se stabileste daca o formula este teoremaformala

Exista trei moduri ın care putem stabili ca o formula este teorema formala:· pe cale sintactica: construind o demonstratie formala a formulei;· pe cale algebrica: prin trecerea la algebra Lindenbaum-Tarski;· pe cale semantica: calculand ‖ϕ‖ ıntr-o structura A oarecare.

Vom exemplifica pe cateva cazuri:

Exemplul 8.5.1 Care din urmatoarele enunturi este teorema formala ?(a) ∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y),(b) ∀y∃xϕ(x, y) → ∃x∀yϕ(x, y).

Solutie:• Vom arata ca (a) este o teorema formala.

· sintactic:` ∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y) axioma` ∃x∀yϕ(x, y) → ∃xϕ(x, y) (Exercitiul 8.3.25(2))` ∀y[∃x∀yϕ(x, y) → ∃xϕ(x, y)] P.G.` ∀y[∃x∀yϕ(x, y) → ∃xϕ(x, y)] →[∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y)] axioma` ∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y) m.p..

· algebric:p(∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y)) = p(∃x∀yϕ(x, y)) → p(∀y∃xϕ(x, y)) =

[∨

u∈V

∧v∈V p(ϕ(u, v))] → [

∧w∈V

∨z∈V p(ϕ(w, z))] =

∧u[(

∧v p(ϕ(u, v))) → ∧

w

∨z p(ϕ(w, z))] =

∧u

∧w[(

∧v p(ϕ(u, v))) → (

∨z p(ϕ(w, z))] =

8.5. CUM SE STABILESTE DACA O FORMULA ESTE TEOREMA FORMALA245

∧u,w[(¬∧

v p(ϕ(u, v))) ∨∨z p(ϕ(w, z))] =

∧u,w[

∨v ¬p(ϕ(u, v)) ∨∨

z p(ϕ(w, z))] =

∧u,w

∨v,z[¬p(ϕ(u, v)) ∨ p(ϕ(w, z))] = 1,

deoarece∨

v,z[¬p(ϕ(u, v)) ∨ p(ϕ(w, z))] = 1.

· semantic:Fie A o structura ın care calculam ‖ · ‖.‖∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y)‖ = ‖∃x∀yϕ(x, y)‖ → ‖∀y∃xϕ(x, y)‖ = 1⇐⇒‖∃x∀yϕ(x, y)‖ ≤ ‖∀y∃xϕ(x, y)‖⇐⇒∨

a∈A

∧b∈A ‖ϕ(a, b)‖ ≤ ∧

d∈A

∨c∈A ‖ϕ(c, d)‖

⇐⇒∧b∈A ‖ϕ(a, b)‖ ≤ ∨

c∈A ‖ϕ(c, d)‖, pentru orice a, d ∈ A.Ultima inegalitate este evidenta.

• Vom arata ca (b) nu este teorema formala.Fie Lτ limbajul egalitatii, A structura: A = {α, β}, cu α 6= β si ϕ(x, y) formula:x = y. Atunci‖∀y∃x(x = y)‖ =

∧b∈A

∨a∈A ‖a = b‖ =

(‖α = α‖ ∨ ‖α = β‖) ∧ (‖β = α‖ ∨ ‖β = β‖) = (1 ∨ 0) ∧ (0 ∨ 1) = 1.

‖∃x∀y(x = y)‖ =∨

a∈A

∧b∈A ‖a = b‖ =

(‖α = α‖ ∧ ‖α = β‖) ∨ (‖β = α‖ ∧ ‖β = β‖) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0.Atunci‖∀y∃xϕ(x, y) → ∃x∀yϕ(x, y)‖ = ‖∀y∃x(x = y)‖ → ‖∃x∀y(x = y)‖ = 1 → 0 = 0.Rezulta ca (b) nu este teorema formala.

Exemplul 8.5.2 Care din urmatoarele enunturi este teorema formala ?(a) ∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z),(b) ∀y∀z∃xϕ(x, y, z) → ∀z∃x∀yϕ(x, y, z).

Solutie:• Demonstram ca (a) este teorema formala.

· sintactic:` ∀yϕ(x, y, z) → ϕ(x, y, z) axioma` ∃x∀yϕ(x, y, z) → ∃xϕ(x, y, z) (Exercitiul 8.3.25(2))` ∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀z∃xϕ(x, y, z) (Exercitiul 8.3.25(1))` ∀y[∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀z∃xϕ(x, y, z)] P.G.


` ∀y[∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀z∃xϕ(x, y, z)] →[∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z)] axioma` ∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z) m.p..

· algebric:p(∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z)) =p(∀z∃x∀yϕ(x, y, z)) → p(∀y∀z∃xϕ(x, y, z)) =[∧

w

∨u

∧v p(ϕ(u, v, w))] → [

∧v′

∧w′

∨u′ p(ϕ(u′, v′, w′))] =∧

v′,w′ [(∧

w

∨u

∧v p(ϕ(u, v, w)) → ∨

u′ p(ϕ(u′, v′, w′))] = . . . = 1.

· semantic:‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ =‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖ → ‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ =

(∧

c∈A

∨a∈A

∧b∈A ‖ϕ(a, b, c)‖ → (

∧b′∈A

∧c′∈A

∨a′∈A ‖ϕ(a′, b′, c′)‖).

Trebuie sa aratam ca:∧c

∨a

∧b ‖ϕ(a, b, c)‖ ≤ ∧

b′∧

c′∨

a′ ‖ϕ(a′, b′, c′)‖,

ceea ce este echivalent cu

∧c

∨a

∧b ‖ϕ(a, b, c)‖ ≤ ∨

a′ ‖ϕ(a′, b′, c′)‖, pentru orice b′, c′ ∈ A.Aceasta ultima inegalitate este usor de probat.

• Demonstram ca (b) nu este teorema formala.Consideram un limbaj cu un singur predicat n-ar, +, unde ϕ(x, y, z) estex + y = z si A = (N, +). Atunci

‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z) → ∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖ =‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ → ‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖.Dar,‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ =

∧n,p∈N

∨m∈N ‖m + p = n‖ = 1 si

‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖ =∧

p

∨n

∧m ‖m + p = n‖.

Facem p = 0 si calculam termenul corespunzator din intersectia ”dupa p”:

∨n

∧m ‖m + 0 = n‖ =

∨n

∧m ‖m = n‖ = 0,

deoarece pentru orice n,∧

m ‖m = n‖ = 0.Prin urmare, 1 → 0 = 0, deci (b) nu este teorema formala.

Exercitiul 8.5.3 Fie Q1, Q2, Q3 ∈ {∃, ∀} si τ o permutare a {1, 2, 3}. Sa sedetermine care din enunturile:

Q1x Q2y Q3z ϕ(x, y, z) → Qτ(1)x Qτ(2)y Qτ(3)z ϕ(x, y, z)

este teorema formala.

Partea V

Logica matematica clasicasi probabilitati

247

249

Evenimentul si probabilitatea sunt notiunile pe care este construita teoria proba-bilitatilor. Este acceptata ipoteza ca multimea evenimentelor asociate unei expe-riente aleatoare are o structura de algebra Boole. Atunci probabilitatile vor fifunctii definite pe algebre Boole si luand valori ın intervalul [0,1] (le vom numiprobabilitati algebrice).

Un alt punct de vedere este identificarea unui eveniment cu enuntul ce-l descrie.In aceasta situatie, probabilitatile vor fi functii definite pe multimi de enunturi(le vom numi probabilitati logice). Probabilitatea logica apare ca un nou tip desemantica: ın loc sa consideram valorea de adevar a unui enunt, vom evalua pro-babilitatea sa. Axiomele probabilitatii exprima un ”comportament” ın raport cuoperatiile logice ale sistemului logic considerat. Pentru calculul propozitional, a-xiomele probabilitatii logice sunt inspirate din cunoscuta definitie a probabilitatii alui Kolmogorov si au ın vedere conectorii propozitionali. In cazul calculului cu pre-dicate, este necesar ca axiomele probabilitatii sa fie ımbogatite cu cerinte referitoarela comportamentul fata de cuantificatori. O definitie satisfacatoare a probabilitatiilogice pentru calculul predicatelor a fost data de Gaifman ın lucrarea [37]. Printrealte rezultate, aceasta lucrare contine si o importanta teorema de completitudine.Teorema de completitudine a lui Gaifman a deschis calea catre o teorie a modelelorprobabiliste. Contributii remarcabile la dezvoltarea teoriei modelelor probabilisteau adus Scott si Krauss ın lucrarea [108]. Modelarea multimilor de evenimenteprin structura de algebra Boole presupune considerarea experientelor aleatoare ceurmeaza legile logicii clasice. Schimband sistemul logic, vom avea alte structurialgebrice pentru multimile de evenimente. Tipul de algebra va fi dat de algebraLindenbaum-Tarski a logicii considerate. Pentru fiecare caz ın parte, este necesaradefinirea unei notiuni adecvate de probabilitate. Asadar, fiecarui sistem de logicaıi corespunde o ”teorie a probabilitatilor”.

Urmatoarele doua capitole reprezinta o introducere ın teoria probabilitatilorpentru calcul propozitional, respectiv pentru calculul cu predicate. Pe langa definiti-ile si proprietatile fundamentale ale probabilitatilor definite pe algebre Boole, ınprimul capitol (9), sunt demonstrate doua teoreme clasice: teorema lui Caratheodorysi teorema Horn-Tarski. Ele vor fi folosite ın al doilea capitol (10) ın demonstrareaunor rezultate importante asupra structurilor Gaifman probabiliste. Cele catevarezultate asupra structurilor probabiliste demonstrate ın capitolul 10 constituie ointroducere ıntr-o teorie a modelelor probabiliste, un domeniu de mare adancimeal logicii.

Bibliografie: [1], [32], [37], [40], [45], [58], [71], [108], [120], [77].

Capitolul 9

Probabilitati pe algebreBoole

In acest capitol sunt introduse doua notiuni de probabilitate:- probabilitatea logica, definita pe multimea enunturilor logicii propozitionale cla-sice, si- probabilitatea algebrica, definita pe o algebra Boole oarecare.

Prin trecere la algebra Lindenbaum-Tarski, o probabilitate logica se transformaıntr-o probabilitate algebrica. Astfel, studiul probabilitatilor logice se reduce lastudiul probabilitatilor algebrice. Acesta este motivul pentru care ın acest capitolne ocupam numai de probabilitati definite pe algebre Boole.

Sectiunile 1 si 2 contin unele identitati satisfacute de aceste probabilitati,ın timp ce sectiunea 3 contine cateva proprietati simple ale σ-algebrelor siσ-probabilitatilor. In sectiunile 4 si 5, sunt demonstrate doua teoreme de prelun-gire: teorema lui Caratheodory si respectiv teorema Horn-Tarski.

9.1 Evenimente si probabilitati

Amintim ca ın grupul aditiv ordonat laticial < = (R,∨,∧, +,−, 0)) putem definio implicatie → astfel: pentru orice x, y ∈ R,

x → ydef.= y − x.

Atunci, pe conul negativ al grupului <, R− = {x ∈ R | x ≤ 0}, putem defini oimplicatie: pentru orice x, y ∈ R−,

x →L ydef.= (x → y) ∧ 0 = min(0, y − x),

251

252 CAPITOLUL 9. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE

iar pe conul pozitiv al grupului <, R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}, putem defini o implicatie:pentru orice x, y ∈ R+,

x →R ydef.= (x → y) ∨ 0 = max(0, y − x).

Constructia teoriei probabilitatilor porneste cu doua notiuni fundamentale: eve-nimentul si probabilitatea. Evenimentele sunt asociate unor experiente aleatoare.Vom face ipoteza ca experientele aleatoare considerate urmeaza legile logicii clasice.In tratarea celor doua notiuni fundamentale pot fi adoptate doua puncte de vedere:

(I) Multimea B a evenimentelor asociate unei experiente aleatoare areo structura de algebra Boole. In cest caz, a evalua “probabilitatea” realizariiunui eveniment din B revine la a da o functie de la B ın R+. Aceasta functie,numita probabilitate, va fi supusa unor conditii ce exprima comportamentul saufata de operatiile booleene ale lui B. Mai general, vom considera probabilitatidefinite pe algebre Boole oarecare.

Fie B = (B,∨,∧,−, 0, 1) o algebra Boole oarecare. Elementele lui B se vor numievenimente.

Definitiile 9.1.1· O probabilitate pe algebra Boole B este o functie m : B −→ R+ cu proprietatile

urmatoare:(P1) m(1) = 1,(P2) pentru orice x, y ∈ B, daca x ∧ y = 0, atunci m(x ∨ y) = m(x) + m(y).

· Probabiliatea m este strict pozitiva daca m(x) > 0 pentru orice x ∈ B \{0}.· O functie m : B −→ [0, 1] ce verifica axioma (P2) se numeste masura pe B.

Observatia 9.1.2 Conform teoremei de reprezentare a lui Stone, exista o multimenevida X si un morfism boolean injectiv d : B −→ P(X). Atunci evenimentele seidentifica cu parti ale lui X. Pe aceasta cale, se ajunge la modelul ansamblist alteoriei probabilitatilor.

(II) Evenimentele sunt identificate cu enunturi ın logica propozitiilorclasica, iar probabilitatile vor fi functii definite pe multimi de enunturi.

Fie L sistemul formal al calculului propozitional si E multimea enunturilor sale.

Definitia 9.1.3 O probabilitate pe L este o functie µ : E −→ R+ cu proprietateaca pentru orice ϕ,ψ ∈ E, urmatoarele conditii sunt satisfacute:(i) ` ϕ implica µ(ϕ) = 1,(ii) ` ¬(ϕ ∧ ψ) implica µ(ϕ ∨ ψ) = µ(ϕ) + µ(ψ).

O probabilitate pe L se mai numeste si probabilitate logica, ın timp ce o proba-bilitate pe o algebra Boole se mai numeste probabilitate algebrica.

Lema 9.1.4 Daca µ este o probabiliate logica, atunci(a) µ(¬ϕ) = 1− µ(ϕ),(b) ` ϕ ↔ ψ implica µ(ϕ) = µ(ψ).

9.2. PROPRIETATI ALE PROBABILITATILOR 253

Demonstratie.(a): In L, avem urmatoarele teoreme formale: ` ϕ∨¬ϕ si ` ¬(ϕ∧¬ϕ). Conform

axiomelor (i) si (ii), µ(ϕ∨¬ϕ) = 1 si µ(ϕ∨¬ϕ) = µ(ϕ) + µ(¬ϕ), de unde µ(¬ϕ) =1− µ(ϕ).

(b): Presupunem ` ϕ ↔ ψ, deci ` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ. Atunci ` ¬ϕ ∨ ψ si` ¬(¬ϕ ∧ ψ), de unde 1 = µ(¬ϕ ∨ ψ) = µ(¬ϕ) + µ(ψ) = 1 − µ(ϕ) + µ(ψ), deciµ(ϕ) = µ(ψ). 2

Fie E/∼ = {ϕ | ϕ ∈ E} algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L. Vom stabilio relatie ıntre probabilitatile logice si probabilitatile definite pe algebra Boole E/∼.

Fie µ : E −→ R+ o probabilitate logica. Consideram functia mµ : E/∼ −→ R+

definita, pentru orice ϕ ∈ E, prin

mµ(ϕ)def.= µ(ϕ).

Lema 9.1.4(b) ne asigura ca mµ este bine definita. Este usor de observat ca mµ

este o probabilitate pe E/∼.Reciproc, fie m : E/∼ −→ R+ o probabilitate pe algebra Boole E/∼. Putem

defini o functie µm : E −→ R+, pentru orice ϕ ∈ E, prin

µm(ϕ)def.= m(ϕ).

Atunci µm este o probabilitate logica.Functiile µ 7→ mµ si m 7→ µm sunt inverse una celeilalte. Prin urmare, studiul

probabilitatilor logice se reduce la studiul probabilitatilor definite pe algebre Boole.

9.2 Proprietati ale probabilitatilor

Fie B = (B,∨,∧,−, 0, 1) o algebra Boole si m : B −→ R+ o probabilitate pe B.Amintim ca putem defini pe B doua implicatii:

- implicatia booleana, asociata lui ∧:

x → y = x →L ydef.= (x ∧ y−)− = x− ∨ (y−)− = x− ∨ y

- implicatia asociata lui ∨:

x →R ydef.= (x ∨ y−)− = x− ∧ (y−)− = x− ∧ y

si cax− = x → 0 = x →R 1

(unde ”L” vine de la ”Left” = stanga, iar ”R” vine de la ”Right” = dreapta; vedeti[60], [62]).


Notatia 9.2.1 Vom nota reversul implicatiei →R astfel: pentru x, y ∈ B,

x− ynotatie= x ∧ y− = (x−)− ∧ y− = (y ∨ x−)− = y →R x.

Propozitia 9.2.2 Pentru orice x, y ∈ B, urmatoarele proprietati sunt verificate:(1) m(x−) = 1−m(x), adica m(x−) = m(x →R 1) = m(x) →R m(1),(2) m(0) = 0,(3) m(x− y) = m(x)−m(x ∧ y), adica m(y →R x) = m(x ∧ y) →R m(x),(4) daca y ≤ x, atunci m(x − y) = m(x) −m(y), adica m(y →R x) = m(y) →R

m(x),(5) daca y ≤ x, atunci m(y) ≤ m(x),(6) 0 ≤ m(x) ≤ 1,(7) m(x ∨ y) = m(x) + m(y)−m(x ∧ y) si m(x ∧ y) = m(x) + m(y)−m(x ∨ y),(8) m(x → y) = 1−m(x) + m(x ∧ y),(9) m(x ↔ y) = 1−m(x)−m(y) + 2m(x ∧ y).

Demonstratie.(1): Din x ∨ x = 1, x ∧ x− = 0 rezulta 1 = m(x ∨ x−) = m(x) + m(x−).(2): Din (1).(3): Din x = (x− y) ∨ (x ∧ y) si (x− y) ∧ (x ∧ y) = 0.(4): Din (3).(5): Din (4).(6): Din (5).(7): Observam ca x ∨ y = x ∨ (y − x) si x ∧ (y − x) = 0. Atunci m(x ∨ y) =

m(x) + m(y − x) = m(x) + m(y)−m(x ∧ y). Partea a doua urmeaza imediat.(8): Aplicand succesiv (7), (1) si (3), obtinem: m(x → y) = m(x− ∨ y) =

m(x−) + m(y)−m(x− ∧ y) = 1−m(x) + m(y)−m(y − x) = 1−m(x) + m(y)−(m(y)−m(x ∧ y)) = 1−m(x) + m(x ∧ y).

(9): Se aplica (7), (8) si proprietatea (x → y) ∨ (y → x) = 1: m(x ↔ y) =m((x → y) ∧ (y → x)) = m(x → y) + m(y → x) − m((x → y) ∨ (y → x)) =[1−m(x) +m(x∧ y)] + [1−m(y) +m(x∧ y)]− 1 = 1−m(x)−m(y) + 2m(x∧ y).2

Propozitia 9.2.3 Fie x1, x2, . . . , xn ∈ B. Atunci

(1) m(∨ni=1xi) = Σn

i=1m(xi)−Σ1≤i<j≤nm(xi∧xj)+Σ1≤i<j<k≤nm(xi∧xj∧xk)−. . .

+(−1)n−1m(x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn),

(2) m(∧ni=1xi) = Σn

i=1m(xi)−Σ1≤i<j≤nm(xi∨xj)+Σ1≤i<j<k≤nm(xi∨xj∨xk)−. . .

+(−1)n−1m(x1 ∨ x2 ∨ . . . ∨ xn).

Corolarul 9.2.4(1) Fie x1, x2, . . . , xn ∈ B astfel ıncat xi ∧ xj = 0 pentru orice i 6= j. Atunci

m(∨ni=1xi) = Σn

i=1m(xi).

9.2. PROPRIETATI ALE PROBABILITATILOR 255

2) Fie x1, x2, . . . , xn ∈ B astfel ıncat xi ∨ xj = 0 pentru orice i 6= j. Atunci

m(∧ni=1xi) = Σn

i=1m(xi).

Propozitia 9.2.5 Fie m : B −→ [0, 1] o functie oarecare. Atunci sunt echivalenteafirmatiile urmatoare:(1) m este o probabilitate,(2) m verifica urmatoarele conditii:

(a) m(0) = 0, m(1) = 1,(b) pentru orice x, y ∈ B, m(x) + m(x → y) = m(y) + m(y → x),(b’) pentru orice x, y ∈ B, m(x) + m(x →R y) = m(y) + m(y →R x).

Demonstratie.(1) =⇒ (2): Egalitatea m(x) + m(x → y) = m(y) + m(y → x) rezulta din

Propozitia 9.2.2(8).(2) =⇒ (1): Tinand cont ca x → (x∧ y) = x → y = (x∨ y) → y, prin aplicarea

lui (b) rezulta

m(x∧y)+1 = m(x∧y)+m((x∧y) → x) = m(x)+m(x → (x∧y)) = m(x)+m(x → y),

m(y)+1 = m(y)+m(x → (x∨y)) = m(x∨y)+m((x∨y) → y) = m(x∨y)+m(x → y).

Deducem ca m(x ∨ y) + m(x ∧ y) = m(x) + m(y), deci m este o probabilitate peB. 2

Observatia 9.2.6 Propozitia precedenta arata ca probabilitatile pe algebre Boolepot fi definite folosind numai implicatia → (sau numai implicatia →R). Egali-tatea (b) din Propozitia 9.2.5 poate fi folosita pentru introducerea unui concept deprobabilitate pentru alte sisteme logice (intuitionism, logici fuzzy, etc.)

Amintim operatiile de inel boolean ale lui B: x + y = (x − y) ∨ (y − x) six · y = x ∧ y.

Propozitia 9.2.7 Fie x1, x2, . . . , xn ∈ B. Atunci

m(x1+. . .+xn) = Σni=1m(xi)−2Σ1≤i<j≤nm(xi·xj)+22Σ1≤i<j<k≤nm(xi·xj ·xk)−. . .

+(−2)n−1m(x1 · . . . · xn).

Demonstratie. Pentru n = 2, avem m(x + y) = m((x − y) + (y − x)) =m(x−y)+m(y−x) = m(x)−m(x∧y)+m(y)−m(x∧y) = m(x)+m(y)−2m(x·y).Se procedeaza apoi prin inductie. 2

Presupunem ca algebra Boole B este finita si ca At(B) = {a1, . . . , an} estemultimea atomilor lui B. Orice element x ∈ B se scrie sub forma

x = ∨{a ∈ At(B) | a ≤ x}.


Cum orice doi atomi distincti sunt disjuncti, aplicand Corolarul 9.2.4, rezulta

m(x) = Σ{m(a) | a ∈ At(B), a ≤ x}.Atunci probabilitatea m este determinata de restrictia sa m |At(B) la multimeaatomilor lui B.

Presupunem ca atomii a1, . . . , an sunt “egal probabili”: m(a1) = . . . = m(an).Atunci

1 = m(1) = m(∨ni=1ai) = Σn

i=1m(ai),

deci m(ai) = 1n , pentru orice i = 1, . . . , n.

Daca x ∈ B si card{a ∈ At(B) | a ≤ x} = m, atunci m(x) = mn . Se obtine

definitia probabilitatii ın sens clasic.

9.3 σ-algebre si σ-probabilitati

9.3.1 σ-algebre

Fie B = (B,∨,∧,−, 0, 1) o algebra Boole, F un filtru al lui B si p : B −→ B/F

morfismul canonic.

Lema 9.3.1 Fie B o algebra Boole. Sunt echivalente afirmatiile urmatoare:(i) Pentru orice X ⊆ B numarabila, exista supX.(ii) Pentru orice X ⊆ B numarabila, exista inf X.

Definitia 9.3.2 O σ-algebra este o algebra Boole ce verifica una din conditiileechivalente din Lema 9.3.1.

Definitia 9.3.3 Filtrul F al B se numeste σ-filtru daca pentru orice submultimenumarabila X a lui B, X ⊆ F implica sup X ∈ F .

Daca B este o σ-algebra si F este un σ-filtru, atunci B/F este o σ-algebra.

Definitia 9.3.4 Fie B1 si B2 doua σ-algebre. Un morfism boolean f : B1 −→ B2

se numeste σ-morfism daca pentru orice submultime numarabila X a lui B1, avemf(supX) = sup f(X).

Daca f : B1 −→ B2 este σ-morfism, atunci f(inf X) = inf f(X), pentru oriceX ⊆ B1 numarabila.Daca F este un σ-filtru al unei σ-algebre B, atunci p : B −→ B/F este unσ-morfism.

Exemplele 9.3.5(a) Fie Lω1ω logica infinitara ce admite disjunctii si conjunctii cel mult numarabile.

Algebra Lindenbaum-Tarski a logicii Lω1ω este o σ-algebra.(b) Daca (X,O) este un spatiu topologic, atunci σ-corpul de parti generat de

familia O a multimilor deschise este σ-algebra multimilor boreliene.

9.3. σ-ALGEBRE SI σ-PROBABILITATI 257

Definitiile 9.3.6· O submultime E a algebrei Boole B se numeste disjuncta daca orice doua

elemente diferite ale sale sunt disjuncte.· Algebra Boole B satisface conditia lantului numarabil daca orice submultime

disjuncta a sa formata din elemente nenule este cel mult numarabila.

Propozitia 9.3.7 Daca B este o algebra Boole, atunci sunt echivalente afirmatiileurmatoare:(a) B satisface conditia lantului numarabil.(b) Pentru orice E ⊆ B, exista D ⊆ E cel mult numarabila astfel ıncat D si E auaceeasi multime de majoranti.

Demonstratie.(a) =⇒ (b): Fie E ⊆ B si I idealul generat de E:

I = {b ∈ B | exista b1, . . . , bn ∈ E, b ≤ b1 ∨ . . . ∨ bn}.Se observa ca E si I au aceiasi majoranti. Aplicand axioma lui Zorn, putem gasi omultime F ⊆ I maximala ın raport cu urmatoarele proprietati: F este disjuncta si0 6∈ F . Este evident ca orice majorant al lui I este si majorant al lui F .

Vom demonstra si afirmatia reciproca. Presupunem prin absurd ca exista unmajorant b0 al lui F care nu este majorant al lui I. Atunci exista b1 ∈ I, b1 6≤ b0,de unde rezulta b1− b0 = b1∧ b−0 ∈ I si b1− b0 6= 0. Pentru orice b ∈ F , b ≤ b0, decib∧(b1−b0) = 0. De asemenea, b1−b0 6∈ F (altfel, b1−b0 = (b1−b0)∧(b1−b0) = 0).Prin urmare, F ∪{b1−b0} este disjuncta si F ⊂ F ∪{b1−b0} ⊆ I, ceea ce contrazicemaximalitatea lui F . Rezulta ca I si F au aceiasi majoranti.

Conform (a), F este cel mult numarabila: F = {f1, f2, . . . , fn, . . .}. Cum F ⊆ I,pentru orice n exista bn

1 , . . . , bnjn∈ E astfel ıncat

fn ≤ bn1 ∨ . . . ∨ bn

jn.

Multimea D =⋃∞

n=1{bn1 , . . . , bn

jn} ⊆ E este numarabila si D,F au aceiasi majoranti.

Rezulta ca multimile E, I, F si D au aceiasi majoranti.(b) =⇒ (a): Fie E o multime disjuncta de elemente nenule. Conform (b), exista

D ⊆ E cel mult numarabila avand aceiasi majoranti ca E. Presupunem ca existax ∈ E \D. Pentru orice a ∈ D, a∧x = 0, deci a ≤ x−. Atunci x− este un majorantal lui D, dar nu al lui E. Contradictia obtinuta ne arata ca E = D. 2

Corolarul 9.3.8 Orice σ-algebra B ce satisface conditia lantului numarabil estecompleta.

Demonstratie. Fie E ⊆ B. Atunci exista D ⊆ E cel mult numarabila astfelıncat D si E au aceeasi multime de majoranti. Cum sup D exista ın B, este clarca sup E = sup D. 2

Propozitia 9.3.9 Fie m o probabilitate strict pozitiva pe algebra Boole B. AtunciB satisface conditia lantului numarabil.


Demonstratie. Fie E ⊆ B o multime disjuncta. Putem presupune ca 0 6∈ E.Pentru orice numar natural n ≥ 1, notam

En = {x ∈ E | m(x) ≥ 1n}.

Cum m este strict pozitiva, rezulta E = ∪∞n=1En. De asemenea, card(En) ≤ n pen-tru orice n ≥ 1. Intr-adevar, daca ar exista n+1 elemente distincte x1, . . . , xn+1 ∈En, atunci

m(∨n+1i=1 xi) = Σn+1

i=1 m(xi) ≥ n + 1n

> 1.

Asadar, fiecare multime En este finita, deci E = ∪∞n=1En este cel mult numarabila.2

Corolarul 9.3.10 Fie m o probabilitate strict pozitiva pe σ-algebra B. Atunci Beste o algebra Boole completa.

Demonstratie. Se aplica Propozitia 9.3.9 si Corolarul 9.3.8. 2

9.3.2 σ-probabilitati

Notatia 9.3.11 Fie (xn) un sir de elemente ın algebra Boole B si x ∈ B. Atuncinotam:(xn) ↑, atunci cand sirul (xn) este crescator,(xn) ↓, atunci cand sirul (xn) este descrescator,xn ↑ x, atunci cand sirul (xn) este crescator si ∨∞n=1xn = x,xn ↓ x, atunci cand sirul (xn) este descrescator si ∧∞n=1xn = x.

Un sir (xn) se numeste disjunct daca {xn | n ≥ 1} este o multime disjuncta (adicaxn ∧ xm = 0, pentru n 6= m).

Definitia 9.3.12 Fie B o σ-algebra. O functie m : B −→ R+ se numesteσ-probabilitate daca:(1) m(∨∞n=1xn) = Σ∞n=1(xn), pentru orice sir disjunct (xn) din B,(2) m(1) = 1.

Orice σ-probabilitate este o probabilitate. Daca B este o algebra Boole finita,atunci cele doua notiuni sunt echivalente.

Propozitia 9.3.13 Fie m o probabilitate pe σ-algebra B. Urmatoarele afirmatiisunt echivalente:(a) m este o σ-probabilitate,(b) Pentru orice sir crescator (xn) din B,

m(∨∞n=1xn) = limn→∞

m(xn),

(c) Pentru orice sir descrescator (xn) din B,

m(∧∞n=1xn) = limn→∞

m(xn),

9.4. TEOREMA LUI CARATHEODORY 259

(d) Pentru orice sir (xn) din B, daca xn ↑ 1, atunci

limn→∞

m(xn) = 1,

(e) Pentru orice sir (xn) din B, daca xn ↓ 0, atunci

limn→∞

m(xn) = 0.

Demonstratie.(a) =⇒ (b): Fie (xn) un sir crescator. Formam sirul (yn) punand:

y1 = x1, y2 = x2 − x1, ..., yn+1 = xn+1 − xn, ... .Se observa ca (yn) este un sir disjunct si ca ∨∞n=1xn = ∨∞n=1yn. m este oσ-probabilitate, deci

m(∨∞n=1xn) = m(∨∞n=1yn) = Σ∞n=1m(yn) = limn→∞

[m(y1) + . . . + m(yn)] =

limn→∞

[m(x1) + m(x2)−m(x1) + . . . + m(xn)−m(xn−1)] = limn→∞

m(xn).

(b) =⇒ (a): Fie (xn) un sir disjunct. Consideram sirul: yn = ∨ni=1xi, n =

1, 2, . . . . m fiind probabilitate, m(yn) = Σni=1m(xi), pentru orice numar natural

n ≥ 1. Se observa ca (yn) este un sir crescator si ∨∞n=1m(yn) = ∨∞n=1m(xn), deci

m(∨∞n=1xn) = m(∨∞n=1yn) = limn→∞

m(yn) = limn→∞

Σni=1m(xi) = Σ∞n=1m(xn).

Demonstrarea echivalentelor (b) ⇐⇒ (c) ⇐⇒ (d) ⇐⇒ (e) nu ridica probleme.2

Exercitiul 9.3.14 Fie m o σ-probabilitate definita pe σ-algebra B.(i) F = {x ∈ B | m(x) = 1} este un σ-filtru propriu al lui B.(ii) Daca p : B −→ B/F este σ-morfismul canonic, atunci exista o unicaσ-probabilitate µ pe B/F astfel ıncat µ ◦ p = m.

9.4 Teorema lui Caratheodory

Definitia 9.4.1 Fie A o σ-algebra. O multime nevida M ⊆ A se numeste mono-tona daca pentru orice sir (xn) de elemente ale lui M , au loc proprietatile urmatoare:(xn) ↑ implica ∨∞n=1xn ∈ M ,(xn) ↓ implica ∧∞n=1xn ∈ M .

Lema 9.4.2(i) Orice intersectie de σ-subalgebre ale lui A este o σ-subalgebra.(ii) Orice intersectie de multimi monotone este monotona.


Fie X ⊆ A. Vom nota:S(X) = intersectia σ-subalgebrelor lui A ce includ pe X;M(X) = intersectia multimilor monotone ce includ pe X.

S(X) se numeste σ-subalgebra lui A generata de X, iar M(X) se numestemultimea monotona generata de X.

Propozitia 9.4.3 Daca B este o subalgebra Boole a σ-algebrei A, atunciS(B) = M(B).

Demonstratie. Este evident ca B ⊆ M(B) ⊆ S(B). Daca notam

M ′ = {x ∈ A | x ∈ M(B), x− ∈ M(B)},

atunci M ′ este monotona si B ⊆ M ′ ⊆ M(B), deci M ′ = M(B), de unde rezultaca M(B) este ınchisa la complement. Pentru a ∈ M(B),

Ma = {x | x ∈ M(B), a ∧ x ∈ M(B)}

este monotona si B ⊆ Ma ⊆ M(B), deci Ma = M(B). Rezulta ca M(B) esteınchisa la ∧. Am aratat ca M(B) este subalgebra Boole a lui A. Cum M(B) estesi monotona, rezulta ca este o σ-subalgebra a lui A. Atunci S(B) ⊆ M(B), deciS(B) = M(B). 2

Lema 9.4.4 Fie B o subalgebra Boole a unei σ-algebre A si fie m o probabilitatepe B. Sunt echivalente afirmatiile urmatoare:(a) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↑ si x = ∨Axn ∈ B implica m(x) = limn→∞m(xn).(b) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↓ si x = ∧Axn ∈ B implica m(x) = limn→∞m(xn).(c) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↑ 1 implica limn→∞m(xn) = 1.(d) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↓ 0 implica limn→∞m(xn) = 0.

Definitia 9.4.5 O probabilitate m : B −→ [0, 1] ce verifica una din proprietatileechivalente (a)-(d) se numeste continua pe B.

Observatia 9.4.6 Fie m o probabilitate definita pe o σ-algebra B. ConformPropozitiei 9.3.13, m este o σ-probabilitate daca si numai daca m este continua peB.

In aceasta sectiune vom prezenta o demonstratie a urmatoarei teoreme a luiCaratheodory.

Teorema 9.4.7 (Teorema lui Caratheodory)Fie B o subalgebra Boole a unei σ-algebre A si m : B −→ [0, 1] o probabilitate

continua. Atunci exista o unica σ-probabilitate m : S(B) −→ [0, 1] astfel ıncatm |B= m.


Demonstratia Teoremei 9.4.7 se bazeaza pe o serie de leme, prezentate ın continuare.In cele ce urmeaza, B este o subalgebra Boole a σ-algebrei A si m : B −→ [0, 1]

este o probabilitate continua pe B.

Lema 9.4.8 Fie doua siruri (an), (bn) ın B si c ∈ A astfel ıncat an ↑ c si bn ↑ cın A. Atunci limn→∞m(an) = limn→∞m(bn).

Demonstratie. Din c = ∨∞n=1an = ∨∞n=1bn rezulta ak = ∨∞n=1(ak ∧ bn), pentruorice k ≥ 1. Atunci (ak ∧ bn)n ↑ ak, deci

m(ak) = limn→∞

m(ak ∧ bn) ≤ limn→∞

m(bn).

Aceasta inegalitate are loc pentru orice n ≥ 1, deci

limk→∞

m(ak) ≤ limn→∞

m(bn).

2

Consideram multimea

F = {∨∞n=1an | (an) ⊆ B}.

F este o sublatice a lui A si B ⊆ F . Pentru orice x ∈ F , putem gasi un sir (an) ⊆ Bastfel ıncat an ↑ x. Definim functia π : F −→ [0, 1] astfel:

π(x)def.= lim

n→∞m(an), daca x ∈ F si (an) ⊆ B astfel ıncat an ↑ x.

Lema 9.4.9 Functia π are proprietatile urmatoare:(e) Pentru orice a ∈ B, π(a) = m(a).(f) Pentru orice x, y ∈ F , π(x ∨ y) = π(x) + π(y)− π(x ∧ y).(g) Daca x, y ∈ F si x ≤ y, atunci π(x) ≤ π(y).(h) Daca (xn) ⊆ F , x ∈ F si xn ↑ x, atunci limn→∞ π(xn) = π(x).

Demonstratie. Vom demonstra numai (f) si (h).(f): Fie x, y ∈ F si (an), (bn) ın B astfel ıncat an ↑ x si bn ↑ y. Atunci

(an ∨ bn) ↑ (x ∨ y) si (an ∧ bn) ↑ (x ∧ y), deci

π(x∨y) = limn→∞

m(an∨bn) = limn→∞

[m(an)+m(bn)−m(an∧bn)] = π(x)+π(y)−π(x∧y).

(h): Fie (xn) ⊆ F si x ∈ F astfel ıncat xn ↑ x. Pentru orice n ≥ 1, consideramsirul (amn)n ⊆ B astfel ıncat amn ↑ xm. Daca m ≤ n, atunci amn ≤ xm ≤ xn, deci∨n

m=1amn ≤ ∨nm=1xm ≤ xn. Notand bn = ∨n

m=1amn, avem ∨nm=1amn ≤ bn ≤ xn.

Se observa ca sirul (bn) ⊆ B este crescator.Fie m ≤ n. Atunci amn ≤ bn ≤ xn. Rezulta

∨∞n=mamn ≤ ∨∞n=mbn ≤ ∨∞n=mxn,


de unde se obtine xm ≤ ∨∞n=1bn ≤ x. Ultima inegalitate este valabila pentru oricem ≥ 0, deci

x = ∨∞m=1xm ≤ ∨∞n=1bn ≤ x.

Atunci x = ∨∞n=1bn, rezultand bn ↑ x. Am aratat ca π(x) = limn→∞m(bn).Pentru m ≤ n, avem amn ≤ bn ≤ xn, de unde m(amn) ≤ m(bn) ≤ π(xn). Dinaceste inegalitati rezulta, pentru orice m ≥ 1:

limn→∞

m(amn) ≤ limn→∞

m(bn) ≤ limn→∞

π(xn).

Aceste ultime inegalitati se mai scriu:

π(xm) ≤ π(x) ≤ limn→∞

π(xn),

de unde, prin trecerea la limita dupa m:

limm→∞

π(xm) ≤ π(x) ≤ limn→∞

π(xn).

S-a obtinut ca π(x) = limn→∞ π(xn). 2

Consideram functia π∗ : A −→ [0, 1] definita astfel: pentru orice u ∈ A,

π∗(u)def.= inf{π(x) | x ∈ F, u ≤ x}.

Lema 9.4.10 Functia π∗ are proprietatile urmatoare:(i) Pentru orice x ∈ F , π∗(x) = π(x).(j) Pentru orice u1, u2 ∈ A, u1 ≤ u2 implica π∗(u1) ≤ π∗(u2).(k) Daca u1, u2 ∈ A, atunci π∗(u1 ∨ u2) + π∗(u1 ∧ u2) ≤ π∗(u1) + π∗(u2)(ın particular π∗(u) + π∗(u−) ≥ 1, pentru orice u ∈ A).(l) Daca (un) ⊆ A, u ∈ A si un ↑ u, atunci limn→∞ π∗(un) = π∗(u).

Demonstratie. Vom trata numai punctele (k) si (l).(k): Fie ε > 0. Din definitia operatiei inf, exista x1, x2 ∈ F , astfel ıncat x1 ≥ u1,

x2 ≥ u2 siπ∗(u1) +

ε

2≥ π(x1), π∗(u2) +

ε

2≥ π(x2).

Adunand aceste inegalitati si tinand cont de Lema 9.4.9 (f), (g), vom avea

π∗(u1)+π∗(u2)+ε ≥ π(x1)+π(x2) = π(x1∨x2)+π(x1∧x2) ≥ π∗(u1∨u2)+π∗(u1∧u2).

Cum ε > 0 este arbitrar, π∗(u1) + π∗(u2) ≥ π∗(u1 ∨ u2) + π∗(u1 ∧ u2).(l): Fie ε > 0. Consideram un sir de numere reale strict pozitive (εn) astfel

ıncat Σn→∞εn = ε. Conform definitiei operatiei inf, pentru orice numar naturaln ≥ 1 exista xn ∈ F astfel ıncat xn ≥ un si π∗(un) + εn ≥ π(xn) = π∗(xn). Prininductie dupa n, vom demonstra urmatoarea inegalitate:

(9.1) π(∨nk=1xk) ≤ π∗(un) + Σn

k=1εk.


· Pentru n = 1, se aplica definitia lui π∗.· Presupunem inegalitatea (9.1) adevarata pentru n; sa demonstram ca este adevaratapentru n + 1; ıntr-adevar, tinand cont de Lema 9.4.9(f) si de ipoteza inductiei,obtinem:

π(∨n+1k=1xk) = π(∨n

k=1xk) + π(xn+1)− π(xn+1 ∧ ∨nk=1xk) ≤

≤ π∗(un) + Σnk=1εk + π∗(un+1) + εn+1 − π(xn+1 ∧ ∨n

k=1xk).

Dar un ≤ un+1 ≤ xn+1 si un ≤ xn ≤ ∨nk=1xk, deci un ≤ xn+1 ∧ ∨n

k=1xk ∈ B, deunde rezulta π∗(un) ≤ π(xn+1 ∧ ∨n

k=1xk). Se obtine

π(∨n+1k=1xk) ≤ π∗(un) + ∨n+1

k=1εk + π∗(un+1)− π∗(un) = π∗(un+1) + Σn+1k=1εk,

ceea ce termina inductia.Trecand la limita ın inegalitatea (9.1) si tinand cont de Lema 9.4.9 (h), vom avea

π∗(∨∞n=1un) ≤ π∗(∨∞n=1xn) = π(∨∞n=1xn) = limn→∞

π(∨nk=1xk) ≤ lim

n→∞π∗(un) + ε.

Cum ε > 0 a fost ales arbitrar, π∗(∨∞n=1un) ≤ limn→∞ π∗(un). Insa u = ∨∞n=1un,deci are loc inegalitatea

π∗(u) ≤ limn→∞

π∗(un).

Pentru orice n ≥ 1, un ≤ u implica π∗(un) ≤ π∗(u), de unde limn→∞ π∗(un) ≤π∗(u). Atunci

π∗(u) = limn→∞

π∗(un).

2

NotamC = {u ∈ A | π∗(u) + π∗(u−) = 1}.

Se observa ca 0, 1 ∈ C si ca C este ınchisa la complement.

Lema 9.4.11 C este o σ-subalgebra a lui A si π∗ |C este o σ-probabilitate pe C.

Demonstratie. Fie u1, u2 ∈ A. Conform Lemei 9.4.10(k), avem:

(9.2) π∗(u1 ∨ u2) + π∗(u1 ∧ u2) ≤ π∗(u1) + π∗(u2),

(9.3) π∗((u1 ∨ u2)−) + π∗((u1 ∧ u2)−) ≤ π∗(u−1 ) + π∗(u−2 ).

Presupunem ca u1, u2 ∈ C, deci π∗(u1) = π∗(u−1 ) = 1 si π∗(u2) + π∗(u−2 ) = 1.Adunand (9.2) si (9.3), se obtine:

[π∗(u1 ∨ u2) + π∗((u1 ∨ u2)−)] + [π∗(u1 ∧ u2) + π∗((u1 ∧ u2)−)] ≤ 2.


Conform Lemei 9.4.10(k), π∗(u1∨u2)+π∗((u1∨u2)−) ≥ 1 si π∗(u1∧u2)+π∗((u1∧u2)−) ≥ 1, deci π∗(u1∨u2)+π∗((u1∨u2)−) = 1 si π∗(u1∧u2)+π∗((u1∧u2)−) = 1.Aceste egalitati arata ca u1 ∨ u2, u1 ∧ u2 ∈ C. Pana acum, am aratat ca C este osubalgebra Boole a lui A.Fie (un) un sir crescator ın C. Aplicand Lema 9.4.10(h),

π∗(∨∞n=1un) = limn→∞

π∗(un).

Fie k ≥ 1. Atunci (∨∞n=1un)− ≤ uk, deci

π∗((∨∞n=1un)−) ≤ π∗(u−k ) = 1− π∗(uk).

Trecand la limita ın aceasta inegalitate, rezulta

π∗((∨∞n=1un)−) ≤ 1− limk→∞

π∗(uk) = 1− π∗(∨∞k=1uk).

A rezultatπ∗((∨∞n=1un)−) + π∗(∨∞n=1un) ≤ 1.

Cum inegalitatea inversa este valabila ıntotdeauna, rezulta:

π∗(∨∞n=1un) + π∗((∨∞n=1un)−) = 1.

Deci, ∨∞n=1un ∈ C, ceea ce arata ca C este o σ-algebra.Daca u1, u2 ∈ C, atunci (9.2) devine egalitate. Intr-adevar, daca (9.2) ar fi oinegalitate stricta, atunci prin adunarea termen cu termen a inegalitatilor (9.2) si(9.3) am obtine ın partea dreapta un numar real > 1. Aceasta este o absurditate,deci

π∗(u1 ∨ u2) + π∗(u1 ∧ u2) = π∗(u1) + π∗(u2).

Rezulta ca π∗ |C este o probabilitate pe σ-algebra C. Conform Lemei 9.4.10(l), π∗ |C este continua. Aplicand Propozitia 9.3.13, rezulta ca π∗ |C este o σ-probabilitate. 2

Demonstratia Teoremei 9.4.7Pastrand notatiile de mai sus, B ⊆ C si C este o σ-subalgebra a lui A, deci

S(B) ⊆ C. Atunci π∗ |S(B) este o σ-probabilitate pe S(B), ce extinde pe m.A ramas sa demonstram unicitatea lui π∗ |S(B). Fie m1,m2 doua σ-probabilitati

pe S(B) astfel ıncat m1 |B= m2 |B= m. Consideram multimea

K = {a ∈ S(B) | m1(a) = m2(a)}.Fie (an) ⊆ K si a ∈ A astfel ıncat an ↑ a. Atunci m1(ak) = m2(ak), pentru oricenumar natural k ≥ 1. m1,m2 fiind continue, rezulta

m1(a) = limk→∞

m1(ak) = limk→∞

m2(ak) = m2(a),

ceea ce arata ca a ∈ K. Deci K este monotona si B ⊆ K, ceea ce implica S(B) =M(B) ⊆ K. Rezulta K = S(B) si m1 = m2. 2

9.5. TEOREMA HORN-TARSKI 265

9.5 Teorema Horn-Tarski

In aceasta sectiune vom demonstra urmatoarea teorema a lui Horn-Tarski [58].

Teorema 9.5.1 Fie A = (A,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole si B o subalgebra a sa.Orice probabilitate pe B se poate extinde la o probabilitate pe A.

Pentru a demonstra aceasta teorema, vom stabili o serie de leme.

Fie A = (A,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. Fixam o subalgebra B a lui A si oprobabilitate m : B −→ [0, 1].

• Definim doua functii mi : B −→ [0, 1] si me : B −→ [0, 1] astfel: pentru oricea ∈ A,

mi(a)def.= sup{m(x) | x ∈ B, x ≤ a}, me(a)

def.= inf{m(y) | y ∈ B, y ≥ a}.

Daca a ∈ B, atunci mi(a) = me(a) = m(a).

Lema 9.5.2 Daca x, y ∈ A si x ∧ y = 0, atunci

mi(x) + mi(y) ≤ mi(x ∨ y) ≤ mi(x) + me(y) ≤ me(x ∨ y) ≤ me(x) + me(y).

Demonstratie. Vom demonstra succesiv aceste patru inegalitati.(1) mi(x) + mi(y) ≤ mi(x ∨ y):

Fie a, b ∈ B cu a ≤ x, b ≤ y. Deci, a ∨ b ∈ B, a ∧ b = 0 si a ∨ b ≤ x ∨ y, de underezulta

m(a) + m(b) = m(a ∨ b) ≤ mi(x ∨ y).

Prin urmare,

mi(x) + mi(y) = sup{m(a) | a ∈ B, a ≤ x}+ sup{m(b) | b ∈ B, b ≤ y} =

= sup{m(a) + m(b) | a, b ∈ B, a ≤ x, b ≤ y} ≤ mi(x ∨ y).

(2) mi(x ∨ y) ≤ mi(x) + me(y):Fie a, t ∈ B, cu a ≤ x ∨ y si y ≤ t. Atunci a ≤ x ∨ t = t− → y, deci a ∧ t− ≤ x,ceea ce conduce la

m(a) = m((a ∧ t−) ∨ (a ∧ t)) = m(a ∧ t−) + m(a ∧ t) ≤ mi(x) + m(t),

de unde deducem

m(a) ≤ inf{mi(x) + m(t) | t ∈ B, t ≥ y} =

= mi(x) + inf{m(t) | t ∈ B, t ≥ y} = mi(x) + me(y).


In concluzie,

mi(x ∨ y) = sup{m(a) | a ∈ B, a ≤ x ∨ y} ≤ mi(x) + me(y).

(3) mi(x) + me(y) ≤ me(x ∨ y):Fie u, v ∈ B cu u ≤ x si v ≥ x ∨ y. Din x ∧ y = 0, rezulta y ≤ x− ≤ u−, deciy ≤ v ∧ u−. Cum v ∧ u− ∈ B, se obtine

m(u) + me(y) ≤ m(u) + m(v ∧ u−) = m(u ∨ (v ∧ u−)) = m(v),

ceea ce implica

mi(x) + me(y) = sup{m(u) | u ∈ B, u ≤ x}+ me(y) =

sup{m(u) + me(y) | u ∈ B, u ≤ x} ≤ inf{m(v) | v ∈ B, v ≥ x ∨ y} = me(x ∨ y).

(4) me(x ∨ y) ≤ me(x) + me(y):Pentru orice u, t ∈ B cu u ≥ x si t ≥ y, au loc inegalitatile me(x∨ y) ≤ m(u∨ t) ≤m(u) + m(t), deci

me(x ∨ y) ≤ inf{m(u) + m(t) | u, t ∈ B, u ≥ x, t ≥ y} =

= inf{m(u) | u ∈ B, u ≥ x}+ inf{m(t) | t ∈ B, t ≥ y} = me(x) + me(y).

2

Corolarul 9.5.3 Daca x ∈ B, y ∈ A si x ∧ y = 0, atunci

mi(x ∨ y) = m(x) + mi(y), me(x ∨ y) = m(x) + me(y).

Corolarul 9.5.4 Daca x, y ∈ A, x ∨ y ∈ B si x ∧ y = 0, atunci

m(x ∨ y) = mi(x) + me(y).

Corolarul 9.5.5 Daca x ∈ A, atunci

mi(x) + me(x−) = me(x) + mi(x−) = 1.

Lema 9.5.6 Fie a, b ∈ A si x, y ∈ B astfel ıncat a ≤ x, b ≤ y si x∧ y = 0. Atunci

(i) mi(a ∨ b) = mi(a) + mi(b), (ii) me(a ∨ b) = me(a) + me(b).

Demonstratie.(i): Fie u ∈ B cu u ≤ a ∨ b. Din x ∧ y = 0, rezulta b ≤ y ≤ x−, deci

u ≤ a ∨ b ≤ a ∨ x− = x → a. Atunci u ∧ x ≤ a, deci u ∧ x ≤ u ∧ a. Cum a ≤ x,rezulta u ∧ x = u ∧ a.Analog se arata ca u ∧ y = u ∧ b.Se observa ca u = (u ∧ x) ∨ (u ∧ y) si ca u ∧ x, u ∧ y ∈ B, deci

m(u) = m(u ∧ x) + m(u ∧ y) ≤ mi(a) + mi(b).

9.5. TEOREMA HORN-TARSKI 267

Atuncimi(a ∨ b) = sup{m(u) | u ∈ B, u ≤ a ∨ b} ≤ mi(a) + mi(b).

Inegaliatea inversa a fost stabilita ın Lema 9.5.2, deci (i) este adevarata.(ii): Demonstratie similara. 2

• Pentru orice z ∈ A, fie B[z] subalgebra lui A generata de B ∪ {z}. Este usorde observat ca:

B[z] = B[z−] = {x ∈ A | exista a, b ∈ B, astfel ıncat x = (a ∧ z) ∨ (b ∧ z−)}.Lema 9.5.7 Fie e1, e2 ∈ B[z] cu proprietatea ca e1∧e2 = 0. Atunci exista aj , bj ∈B (j = 1, 2), astfel ıncat ej = (aj ∧ z)∨ (bj ∧ z−) (j = 1, 2) si a1∧a2 = b1∧ b2 = 0.

Demonstratie. Conform ipotezei, exista cj , dj ∈ B astfel ıncat ej = (cj ∧ z) ∨(dj ∧ z−) (j = 1, 2). Din e1 ∧ e2 = 0, se deduce c1 ∧ c2 ∧ z = d1 ∧ d2 ∧ z− = 0.Notam

a1notatie

= c1 ∧ c−2 , a2notatie

= c−1 ∧ c2, b1notatie

= d1 ∧ d−2 , b2notatie

= d−1 ∧ d2.

Atunci a1 ∧ z = (c1 ∧ c2 ∧ z) ∨ (c1 ∧ c−2 ∧ z) = c1 ∧ (c1 ∨ c−2 ) ∧ z = c1 ∧ z. Analog,b1 ∧ z− = d1 ∧ z−. Rezulta e1 = (c1 ∧ z)∨ (d1 ∧ z−) = (a1 ∧ z)∨ (b1 ∧ z−). In modanalog, se arata ca e2 = (a2 ∧ z) ∨ (b2 ∧ z−). Egalitatile a1 ∧ a2 = b1 ∧ b2 = 0 suntevidente. 2

• Fixam z ∈ A si definim functiile ν∗ : A −→ [0, 1] si ν∗ : A −→ [0, 1] astfel:pentru orice e ∈ A,

ν∗(e)def.= mi(e ∧ z), ν∗(e)

def.= me(e ∧ z).

Lema 9.5.8 ν∗ |B[z] si ν∗ |B[z] sunt masuri pe algebra Boole B[z].

Demonstratie.(i) ν∗ |B[z] este o masura pe algebra Boole B[z]:

Fie e1, e2 ∈ B[z] cu e1 ∧ e2 = 0. Conform Lemei 9.5.7, exista aj , bj ∈ B astfel ıncatej = (aj ∧ z) ∨ (bj ∧ z−) (j = 1, 2) si a1 ∧ a2 = b1 ∧ b2 = 0. Atunci ej ∧ z = aj ∧ z(j = 1, 2). Aplicand Lema 9.5.6, rezulta:

ν∗(e1 ∨ e2) = mi((e1 ∨ e2)∧ z) = mi((e1 ∧ z)∨ (e2 ∧ z)) = mi((a1 ∧ z)∨ (a2 ∧ z)) =

= mi(a1 ∧ z) + mi(a2 ∧ z) = mi(e1 ∧ z) + mi(e2 ∧ z) = ν∗(e1) + ν∗(e2).

(ii) Se demonstreaza similar ca ν∗ |B[z] este o masura pe B[z]. 2

• Consideram functiile m : B[z] −→ [0, 1] si m : B[z] −→ [0, 1] definite astfel:pentru orice e ∈ B[z],

m(e)def.= mi(e ∧ z) + me(e ∧ z−), m(e)

def.= me(e ∧ z) + mi(e ∧ z−).


Lema 9.5.9 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate:(i) m si m sunt probabilitati pe algebra Boole B[z];(ii) m |B= m |B= m;(iii) m(z) = mi(z) si m(z) = me(z).

Demonstratie.(i): Amintim ca B[z] = B[z−]. Conform Lemei 9.5.8, m si m sunt masuri pe

algebra Boole B[z]. Aplicand Corolarul 9.5.5, obtinem:m(1) = mi(z) + me(z−) = 1 si m(1) = me(z) + mi(z−) = 1, deci m si m suntprobabilitati.

(ii): Fie a ∈ B. Conform Corolarului 9.5.4, m(a) = mi(a ∧ z) + me(a ∧ z−) =m(a) si, analog, m(a) = m(a).

(iii): Evident. 2

Demonstratia Teoremei 9.5.1:Consideram multimea F a perechilor (C, µ), unde C este o subalgebra a lui A astfelıncat B ⊆ C ⊆ A si µ : C −→ [0, 1] este o probabilitate.

Sa definim o relatie binara¹ pe F astfel: pentru orice doua perechi (C1, µ1) ∈ F ,(C2, µ2) ∈ F ,

(C1, µ1) ¹ (C2, µ2)def.⇐⇒ C1 ⊆ C2 si µ2 |C1= µ1.

¹ este o relatie de ordine pe F . Se poate arata usor ca multimea ordonata (F ,¹)este inductiva, deci conform axiomei lui Zorn exista un element (C0, µ0) maximalın (F ,¹). Daca C0 = A, atunci µ0 este o probabilitate pe A ce extinde pe m. Dacaexista z ∈ A \ C0, atunci conform Lemei 9.5.9, exista o probabilitate µ′0 : C[z] −→[0, 1] ce extinde pe µ0. Datorita maximalitatii lui (C0, µ0), rezulta C[z] = A, µ′0este o probabilitate pe A si µ′0 |A= m. 2

Propozitia 9.5.10 Fie B o subalgebra a lui A si z ∈ A. Daca m este o proba-bilitate pe B si r ∈ [0, 1], atunci afirmatiile urmatoare sunt echivalente:(i) m se poate extinde la o probabilitate m′ pe B[z] astfel ıncat m′(z) = r;(ii) m(z) ≤ r ≤ m(z).

Demonstratie.(i) =⇒ (ii): Imediat.(ii) =⇒ (i): Daca m(z) ≤ r ≤ m(z), atunci exista θ ∈ [0, 1] astfel ıncat

r = (1− θ) ·mi(z) + θ ·me(z).

Consideram functia m′ : B[z] −→ [0, 1] definita astfel: pentru orice a ∈ B[z],

m′(a)def.= (1− θ) ·m(a) + θ ·m(a).

Conform Lemei 9.5.9, m′ este o probabilitate pe B[z], m′ extinde pe m si

m′(z) = (1− θ) ·m(z) + θ ·m(z) = (1− θ) ·mi(z) + θ ·me(z) = r.

2

Capitolul 10

Modele probabiliste alecalculului cu predicate

In acest capitol sunt considerate probabilitati (= probabilitati logice) definitepe multimi de enunturi ale calculului cu predicate (sectiunea 1). Ele extindnotiunea de teorie consistenta a calculului cu predicate. Conditia lui Gaifman per-mite definirea notiunii de structura probabilista si de model al unei probabilitatilogice. Teorema de completitudine a lui Gaifman (orice probabilitate logica ad-mite un model probabilist) reprezinta varianta probabilista a teoremei de com-pletitudine a lui Henkin (orice teorie admite un model) (sectiunea 2). Ultimasectiune contine versiuni probabiliste ale unor rezultate din teoria clasica a mod-elelor (teorema lantului elementar, pastrarea probabilitatilor la substructuri, teo-rema de consistenta a lui Robinson).

10.1 Structuri probabiliste

Fie Lnotatie

= Lτ calculul cu predicate de ordinul I si C multimea constantelorsale. Notam cu E multimea enunturilor lui L si cu E0 multimea enunturilor faracuantificatori.

Fie U o multime nevida astfel ıncat C ⊆ U . Atunci L(U) va fi limbajul obtinutdin L prin adaugarea constantelor din U \C. Vom nota cu E(U) multimea constan-telor lui L(U) si cu E0(U) multimea enunturilor lui L(U) ce nu au cuantificatori.

Fie D ⊆ E cu proprietatile urmatoare:- D contine teoremele formale ale lui L,- D este ınchisa la conectorii ∨,∧,¬,→.

269

270CAPITOLUL 10. MODELE PROBABILISTE ALE CALC. CU PREDICATE

Daca E/∼ = {ϕ | ϕ ∈ E} este algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L, atunciD/∼ = {ϕ | ϕ ∈ D} este o subalgebra Boole a lui E/∼.

Definitia 10.1.1 O functie m : D −→ [0, 1] se numeste probabilitate pe D dacapentru orice ϕ,ψ ∈ E sunt satisfacute urmatoarele conditii:(P1) ` ϕ implica m(ϕ) = 1,(P2) daca ` ¬(ϕ ∧ ψ), atunci m(ϕ ∨ ψ) = m(ϕ) + m(ψ).

Urmatorul rezultat este o varianta a Lemei 9.1.4:

Lema 10.1.2 Fie m o probabilitate pe D si ϕ,ψ ∈ D. Atunci(a) m(¬ϕ) = 1−m(ϕ);(b) Daca ` ϕ ↔ ψ, atunci m(ϕ) = m(ψ).

Fie m o probabilitate pe D. Conform Lemei 10.1.2, putem defini o functie∼m:

D/∼ −→ [0, 1] astfel: pentru orice ϕ ∈ D,

∼m (ϕ)

def.= m(ϕ).

Atunci∼m este o probabilitate pe algebra Boole D/∼.

Propozitia 10.1.3 Orice probabilitate m : D −→ [0, 1] se poate extinde la o proba-bilitate µ : E −→ [0, 1].

Demonstratie. Conform Teoremei Horn-Tarski, probabilitatea∼m: D/∼ −→ [0, 1]

se poate extinde la o probabilitate µ′ : E/∼ −→ [0, 1]. Daca p : E −→ E/∼ estesurjectia canonica, atunci µ = µ′ ◦ p este o probabilitate pe E si µ |D= m. 2

Definitia 10.1.4 O functie f : E −→ L2 se numeste interpretare booleana a lui Ldaca pentru orice ϕ,ψ ∈ E, avem

f(ϕ ∨ ψ) = f(ϕ) ∨ f(ψ), f(ϕ ∧ ψ) = f(ϕ) ∧ f(ψ),

f(¬ϕ) = ¬f(ϕ), f(ϕ → ψ) = f(ϕ) → f(ψ).

Lema 10.1.5 Fie T ⊆ E si h = 1 : T −→ L2 functia constanta (h(ϕ) = 1, pentruorice ϕ ∈ T ). Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) T este consistenta,(ii) Exista o interpretare booleana

∼h: E −→ L2 a lui L astfel ıncat

∼h|T = h.

Observatia 10.1.6 Lema 10.1.5 arata ca o teorie consistenta poate fi gandita cao interpretare booleana a lui L. Atunci notiunea de probabilitate introdusa deDefinitia 10.1.1 este o varianta probabilista a notiunii de teorie consistenta.

10.1. STRUCTURI PROBABILISTE 271

Fie M o structura de ordinul I pentru limbajul L = Lτ . Amintim ca o inter-pretare a lui L ın M poate fi considerata ca o functie ‖ · ‖M : E(M) −→ L2 cuproprietatile urmatoare:- ‖ · ‖M duce operatiile logice ∨,∧,¬,→ ale lui E(M) ın operatiile algebrice cores-punzatoare din L2;- pentru orice enunt al lui E(M) de forma ∃xϕ(x), avem

‖∃xϕ(x)‖M =∨

a∈M

‖ϕ(a)‖M.

Aceasta ne sugereaza conceptul de structura probabilista ın sensul lui Gaifman [37]:

Definitia 10.1.7 O structura probabilista pentru limbajul L = Lτ este o pereche(U,m), unde U este o multime nevida astfel ıncat C ⊆ U si m : E(U) −→ [0, 1]este o probabilitate ce satisface urmatoarea conditie, numita conditia lui Gaifman:

(Ga) Pentru orice formula ϕ(x) a lui L(U),

m(∃xϕ(x)) = sup{m(∨ni=1ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U}.

Lema 10.1.8 Conditia lui Gaifman (G) este echivalenta cu fiecare din urmatoareletrei proprietati:(Ga1) Pentru orice formula ϕ(x) a lui L(U),

m(∀xϕ(x)) = inf{m(∧ni=1ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U}.

(Ga2) Pentru orice formula ϕ(~x) = ϕ(x1, . . . , xm) a lui L(U),

m(∃~xϕ(~x)) = sup{m(∨ni=1ϕ(~ai)) | ~a1, . . . , ~an ∈ Um}.

(Ga3) Pentru orice formula ϕ(~x) = ϕ(x1, . . . , xm) a lui L(U),

m(∀~xϕ(~x)) = inf{m(∧ni=1ϕ(~ai)) | ~a1, . . . , ~an ∈ Um}.

Demonstratie. Vom demonstra numai ca (Ga) =⇒ (Ga1):Este cunoscut ca ` ∀xϕ(x) ↔ ¬∃x¬ϕ(x). Aplicand Lema 10.1.2, rezulta:

m(∀xϕ(x)) = m(¬∃x¬ϕ(x)) = 1−m(∃x¬ϕ(x)) =

= 1− sup{m(∨ni=1¬ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U} =

= inf{1−m(∨ni=1¬ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U} =

= inf{m(∧ni=1ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U}.

2

O interpretare ‖ · ‖M ıntr-o structura M de ordinul I este determinata ın modunic de restrictia sa la multimea E0(M). Un rezultat similar se poate stabili si ıncazul structurilor probabiliste.


Teorema 10.1.9 Consideram o pereche (U,m), unde U este o multime nevidasi m : E0(U) −→ [0, 1] este o probabilitate. Atunci exista o unica probabilitatem∗ : E(U) −→ [0, 1] ce extinde pe m si verifica conditia lui Gaifman.

Demonstratie. Pentru orice V ⊆ U , notam cu∑

n(V ) (respectiv∏

n(V )) multimeaformulelor lui L(V ) ın forma normala prenex cu cel mult n blocuri de cuantifica-tori astfel ıncat primul bloc este ∃ (respectiv ∀). Daca ϕ ∈ ∑

(V ), atunci ¬ϕ esteechivalenta cu o formula din

∏n(V ). Este cunoscut ca orice formula din L(V ) este

logic echivalenta cu o formula dintr-un∑

n(V ) sau∏

n(V ) (pentru un n ≥ 0).Vom demonstra teorema numai ın cazul cand limbajul L(U) este numarabil.• Vom demonstra mai ıntai unicitatea lui m∗:

Fie m∗1,m∗

2 doua extensii ale lui m ce verifica conditia (Ga). Vom demonstra capentru orice n ≥ 0, urmatoarele egalitati sunt adevarate:

m∗1 |∑n(V )∩E(U)= m∗

2 |∑n(V )∩E(U),

m∗1 |∏n(V )∩E(U)= m∗

2 |∏n(V )∩E(U) .

Procedam prin inductie dupa n:- Pentru n = 0, avem

∑0(V ) =

∏0(V ) = E0(V ) si m∗

1 |E0(V )= m∗2 |E0(V )= m.

- Vom arata cum se face trecerea de la n la n + 1. Fie ϕ = ∃~xψ(~x) ∈ ∑n+1(V ) ∩

E(U), cu ψ(~x) ∈ ∏n(V ) si ~x = (x1, . . . , xk). Ipoteza inductiei ne spune ca pentru

orice ~aj ∈ Uk, j = 1, . . . , s,

m∗1(∨s

j=1ψ(~aj)) = m∗1(∨s

j=1ψ(~aj)).

Atunci prin aplicarea conditiei (Ga2), rezulta:

m∗1(ϕ) = sup{m∗

1(∨sj=1ψ(~aj)) | ~a1, . . . , ~as ∈ Uk} =

= sup{m∗2(∨s

j=1ψ(~aj)) | ~a1, . . . , ~as ∈ Uk} = m∗2(ϕ).

Mai sus am folosit faptul ca o disjunctie de formule din∏

n(V ) este logic echivalentacu o formula din

∏n(V ).

• Acum vom demonstra existenta lui m∗:Notam cu U multimea structurilor de ordinul I ale lui L care au pe U ca univers.Pentru orice ϕ ∈ E(U), notam

M(ϕ)notatie

= {A ∈ U | A |= ϕ}.Atunci pentru orice ϕ,ψ ∈ E(U), avem:

M(ϕ ∨ ψ) = M(ϕ) ∪M(ψ), M(ϕ ∧ ψ) = M(ϕ) ∩M(ψ), M(¬ϕ) = U \M(ϕ).

Prin urmare, B = {M(ϕ) | ϕ ∈ E0(U)} este o subalgebra a algebrei Boole P(U).Familia B = {M(ϕ)}ϕ∈E0(U) formeaza o baza de deschisi ai unei topologii pe U .

Spatiul topologic obtinut este homeomorf cu spatiul Boole asociat algebrei BooleE0(U)/∼. Multimile M(ϕ), ϕ ∈ E0(U) sunt simultan ınchise si deschise.

10.1. STRUCTURI PROBABILISTE 273

Functia µ : B −→ [0, 1], definita pentru orice ϕ ∈ E0(U) de:

µ(M(ϕ))def.= m(ϕ)

este o probabilitate pe algebra Boole B.· Vom arata ca µ este o probabilitate continua pe B.

Consideram ın B un sir (Xn) astfel ıncat Xn ↓ ∅. Multimile Xn fac parte din baza{M(ϕ) | ϕ ∈ E0(U)} a spatiului U , deci sunt simultan ınchise si deschise. Dincompacitatea lui U si din

⋂∞i=1 Xi = ∅ rezulta existenta unui n0 ≥ 1 astfel ıncat⋂n0

i=1 Xi = ∅, deci Xn = ∅ pentru orice n ≥ n0. Atunci limn→∞ µ(Xn) = 0, deci µeste continua.

Fie B σ-algebra de parti ale lui U generata de algebra Boole B. Aplicandteorema lui Carathedory, rezulta existenta unei σ-probabilitati µ∗ : B −→ [0, 1], ceextinde pe µ.

· Vom arata ca M(ϕ) ∈ B, pentru orice ϕ ∈ E(U).Procedam prin inductie dupa complexitatea enuntului ϕ:- daca ϕ ∈ E0(U), atunci M(ϕ) ∈ B ⊆ B.- Presupunem ca ϕ = ϕ1 ∨ ϕ2 si M(ϕ1),M(ϕ2) ∈ B. Atunci M(ϕ) = M(ϕ1) ∪M(ϕ2) ∈ B.- Cazul ϕ = ¬ψ si M(ψ) ∈ B este evident.- Presupunem ca ϕ = ∃xψ(x) si M(ψ(a)) ∈ B, pentru orice a ∈ U . Tinand cont caU este numarabil, rezulta

M(ϕ) = ∪a∈UM(ψ(a)) ∈ B.

Pentru orice ϕ ∈ E(U), vom defini

m∗(ϕ)def.= µ∗(M(ϕ)).

Atunci functia m∗ : E(U) −→ [0, 1] este o probabilitate ce extinde pe m.· A ramas sa mai aratam ca m∗ satisface conditia (Ga).

Consideram enuntul ∃xϕ(x) ın L(U). Atunci

M(∃xϕ(x)) = ∪a∈UM(ϕ(a)).

Multimea M(∃xϕ(x)) este compacta ın U , deci exista a1, . . . , an ∈ U astfel ıncat

M(∃xϕ(x)) = ∪ni=1M(ϕ(ai)).

Ultima egalitate implica:

m∗(∃xϕ(x)) = µ∗(M(∃xϕ(x))) = µ∗(∪ni=1M(ϕ(ai))) =

= µ∗(M(∨ni=1ϕ(ai))) = m∗(∨n

i=1ϕ(ai)).

De aici rezulta:

m∗(∃xϕ(x)) = sup{m∗(∨ni=1ϕ(bi)) | b1, . . . , bn ∈ U}.

2


Observatia 10.1.10 Am vazut ca orice probabiliate µ : D −→ [0, 1] induce oprobabilitate

∼µ: D/∼ −→ [0, 1]. Functia µ 7→∼

µ stabileste o corespondenta biunivocaıntre probabilitatile definite pe multimea de enunturi D si probabilitatile definitepe algebra Boole D/∼.

Pe baza Observatiei 10.1.10, teoria modelelor probabiliste poate fi dezvoltata folosindnumai probabilitati definite pe algebra Boole.

10.2 Teorema de completitudine a lui Gaifman

Fie L un limbaj de ordinul I, C multimea constantelor sale, E multimea enunturi-lor, E0 multimea enunturilor fara cuantificatori, etc.

Notiunile de probabilitate µ : D −→ [0, 1] si de structura probabilista (U,m),introduse ın sectiunea precedenta, reprezinta contrapartea probabilista a notiunilorde teorie a lui L si de structura de ordinul I.

In mod natural, se pune problema traducerii ın limbaj probabilistic a altorconcepte si proprietati ale logicii predicatelor.

Sa ıncepem cu notiunea de model al unei teorii.Fie T ⊆ E o teorie a lui L si functia f : T −→ L2 definita astfel: f(ϕ) = 1

pentru orice ϕ ∈ T . Atunci o structura de ordinul I, M, este un model al lui T dacasi numai daca restrictia lui ‖ · ‖M la T coincide cu f . Aceasta observatie conducela urmatoarea definitie.

Definitia 10.2.1 Fie µ : D −→ [0, 1] o probabilitate pe D ⊆ E. O structuraprobabilista (U,m) este un model al lui µ daca m |D= µ. In acest caz, vom scrie

(U,m) |= µ.

Teorema 10.2.2 (Teorema de completitudine a lui Gaifman [37])Orice probabilitate µ : D −→ [0, 1] admite un model.

Demonstratie. Fie C0 = C. Pentru orice enunt ϕ ∈ E de forma ∃xψ(x), vomconsidera o noua constanta aϕ, astfel ıncat, daca ϕ 6= χ, atunci aϕ 6= aχ. Notamcu C1 multimea acestor constante noi. Procedand la fel pentru limbajul L(C1), seobtine o noua multime C2, astfel ıncat C2 ∩C0 = ∅, C2 ∩C1 = ∅. Prin inductie, seobtine un sir de multimi

C0, C1, . . . , Cn, . . .

disjuncte doua cate doua. Notam

U = ∪∞n=0Cn.

In limbajul L(U), luam urmatoarea multime de enunturi

E′ = {∃xψ(x) → ψ(aϕ) | ϕ = ∃xψ(x) ∈ E(U)}.

10.2. TEOREMA DE COMPLETITUDINE A LUI GAIFMAN 275

Consideram algebra Lindenbaum-Tarski B = E(U)/∼ si subalgebra B′ a lui Bgenerata de multimea X = {σ | σ ∈ D ∪ E′}.

Teorema 10.2.2 va fi demonstrata prin ınsumarea urmatorilor pasi:

(1) Elementele lui B′ au forma (σ1 ∧ ψ1) ∨ . . . ∨ (σn ∧ ψn), unde, pentru oricei = 1, . . . , n, σi ∈ D si ψi = ∧j∈Jψij astfel ıncat fiecare enunt ψij este ın E′ saueste negatia unui element al lui E′.

Fie F filtrul lui B generat de multimea {ϕ | ϕ ∈ E′}.

(2) Daca σ ∈ E si σ ∈ F , atunci σ = 1.Din σ ∈ F , rezulta existenta enunturilor τ1, . . . , τn ∈ E′ astfel ıncat ∧n

i=1τi ≤ σ.Atunci exista numerele naturale k1, . . . , kn ≥ 1, constantele a1 ∈ Ck1 , . . . , an ∈ Ckn

si enunturile ϕi = ∃xiψ(xi), i = 1, . . . , n astfel ıncat τi = ∃xiψ(xi) → ψi(ai) siai = aϕi

, pentru orice i = 1, . . . , n.Putem presupune ki ≤ kn, i = 1, . . . , n (eventual printr-o renumerotare), deci

constanta an nu apare ın σ si nici ın τ1, . . . , τn−1.Din inegalitatea ∧n

i=1τi ≤ σ, se obtine ` ∧ni=1τi → σ, deci {τ1, . . . , τn} ` σ.

Rezulta ca {¬σ, τ1, . . . , τn} este o multime inconsistenta, deci ∆ ` ¬τn, unde ∆ ={¬σ, τ1, . . . , τn−1}.

Atunci ∆ ` ¬(∃xnψn(xn) → ψn(an)), de unde rezulta ∆ ` ∃xnψn(xn) ∧¬ψn(an), deci ∆ ` ∃xnψn(xn) si ∆ ` ¬ψn(an). Cum constanta an nu apare ınenunturile teoriei ∆, din ∆ ` ¬ψn(an) rezulta ∆ ` ∀xn¬ψn(xn). Prin urmare,∆ ` ¬∃xnψn(xn), ceea ce arata ca ∆ este inconsistenta. Procedand analog dinaproape ın aproape, ın final rezulta ca {¬σ} este inconsistenta, deci ` σ. In con-cluzie, σ = 1.

(3) Pentru orice σ1, σ2 ∈ E, σ1/F = σ2/F daca si numai daca σ1 = σ2.Afirmatia (3) rezulta astfel:σ1/F = σ2/F ⇐⇒ (σ1 ↔ σ2) ∈ F ⇐⇒ σ1 ↔ σ2 ∈ F ⇐⇒ σ1 ↔ σ2 = 1 ⇐⇒σ1 = σ2, conform (2).

(4) Daca σ ∈ E′, atunci σ/F = 1/F (ın algebra Boole B/F ).Intr-adevar, daca σ ∈ E′, atunci σ ∈ F , deci σ/F = 1/F .

Aplicand (1) si (4), rezulta ca pentru orice ϕ ∈ B′ exista un enunt ψ ∈ D astfelıncat σ/F = ψ/F . Definim functia µ′ : B′/F −→ [0, 1] prin

µ′(ϕ/F )def.= µ(ϕ),

unde ϕ ∈ B′ si ψ ∈ D cu ϕ/F = ψ/F .Sa aratam ca functia µ′ este bine definita.

Daca ϕi/F = ψi/F cu ϕi ∈ B′ si ψi ∈ D pentru i = 1, 2, atunci

ϕ1/F = ϕ2/F =⇒ ψ1/F = ψ2/F =⇒ ψ1 = ψ2 =⇒` ψ1 ↔ ψ2 =⇒ µ(ψ1) = µ(ψ2),


conform (3) si conform Lemei 10.1.2(b).Se observa ca µ′ este o probabilitate pe subalgebra B′ a lui B. Conform Teore-

mei Horn-Tarski, µ′ se poate extinde la o probabilitate µ∗ : B/F −→ [0, 1].Definim functia m∗ : E(U) −→ [0, 1] punand, pentru orice ψ ∈ E(U),

m∗(ψ)def.= µ∗(ψ/F ).

Este evident ca m∗ este o probabilitate pe E(U).Aratam ca m∗ verifica conditia (Ga).

Fie ϕ = ∃xψ(x) ∈ E(U) si τ = ∃xψ(x) → ψ(aϕ) ∈ E′. Atunci

m∗(τ) = m∗(∃xψ(x) → ψ(aϕ)) = µ∗(τ /F ) = µ∗(1/F ) = 1,

de unde rezultam∗(∃xψ(x)) ≤ m∗(ψ(aϕ)).

Atunci

m∗(∃xψ(x)) = m∗(ψ(aϕ)) = sup{m∗(∨ni=1ψ(ai)) | a1, . . . , sn ∈ U},

deci m∗ satisface conditia lui Gaifman.Daca ϕ ∈ D, atunci m∗(ϕ) = µ∗(ϕ/D) = µ′(ϕ/F ) = µ(ϕ). In concluzie, (U,m∗)

este un model al lui µ. 2

10.3 Catre o teorie a modelelor probabiliste

In aceasta sectiune, vom prezenta cateva elemente ale teoriei modelelor pro-babiliste. Notiuni si rezultate ale teoriei modelelor vor fi traduse ın notiuni sirezultate ale teoriei modelelor probabiliste.

Fie L un limbaj de ordinul I si C multimea constantelor sale. Daca U este omultime de constante astfel ıncat C ⊆ U , atunci L(U) va fi limbajul obtinut din Lprin adaugarea constantelor din U \C. Vom nota cu E (respectiv E(U)) multimeaenunturilor lui L (respectiv L(U)) si cu B (respectiv B(U)) algebra Lindenbaum-Tarski E/∼ (respectiv E(U)/∼). Clasa de echivalenta a unui enunt ϕ va fi notataacum cu [ϕ].

Pentru a evita unele complicatii de scriere, ın aceasta sectiune vom lucra numaicu probabilitati pe algebre Boole (conform Observatiei 10.1.10, acest lucru esteposibil). Atunci o probabilitate pe L este o probabilitate µ pe o subalgebra a luiB. Vom nota cu dom(µ) domeniul de definitie al lui µ. In contextul precizat, ostructura probabilista este o pereche (U, u), unde C ⊆ U si u este o probabilitatepe algebra Boole B(U) ce satisface conditia lui Gaifman:(Ga) Pentru orice enunt ∃xϕ(x) al lui L(U),

u([∃xϕ(x)]) = sup{u(∨ni=1[ϕ(ai)]) | a1, . . . , an ∈ U}.

Conditiile (Ga1) - (Ga3) din Lema 10.1.8 se rescriu ıntr-un mod evident.

10.3. CATRE O TEORIE A MODELELOR PROBABILISTE 277

10.3.1 Pereche consistenta cu o probabilitate

Definitiile 10.3.1· Fie µ este o probabilitate pe L si (U, u) este o structura probabilista. Spunem

ca (U, u) este un model al lui µ, si notam

(U, u) |= µ,

daca u |dom(µ)= µ.· Fie (U, u) o structura probabilista, ϕ un enunt al lui L(U) (ϕ ∈ E(U)) si

r ∈ [0, 1]. Spunem ca (U, u) satisface perechea (ϕ, r), si notam

(U, u) |= (ϕ, r),

daca u([ϕ]) = r.· Fie µ este o probabilitate pe L, ϕ ∈ E si r ∈ [0, 1]. Spunem ca perechea (ϕ, r)

este consistenta cu µ daca exista un model al lui µ ce satisface (ϕ, r).

Lema 10.3.2 Presupunem ca µ este o probabilitate pe L, ϕ ∈ E si r ∈ [0, 1].Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) (ϕ, r) este consistenta cu µ;(ii) µi([ϕ]) ≤ r ≤ µe([ϕ]).

Demonstratie.(i) =⇒ (ii): Presupunem ca exista un model (U, u) al lui µ astfel ıncat (U, u) |=

(ϕ, r). Atunci pentru orice ψ ∈ E, din [ψ] ∈ dom(µ) si ` ψ → ϕ rezulta µ([ψ]) =u([ψ]) ≤ u([ϕ]) = r. Aceasta arata ca µi([ϕ]) ≤ r si, ın mod analog, se arata car ≤ µe([ϕ]).

(ii) =⇒ (i): Conform Propozitiei 9.5.10, exista o probabilitate η pe L cu pro-prietatea ca η extinde pe µ, [ϕ] ∈ dom(η) si η([ϕ]) = r. Teorema de completitudinea lui Gaifman asigura existenta unui model (U, u) al lui η, deci u([ϕ]) = η([ϕ]) = r.Prin urmare, (U, u) |= (ϕ, r). 2

10.3.2 Substructuri

Definitiile 10.3.3Fie (U, u) si (V, v) doua structuri probabiliste astfel ıncat U ⊆ V .· Spunem ca (U, u) este o substructura a lui (V, v), si notam

(U, u) ⊆ (V, v),

daca u([ϕ]) = v([ϕ]) pentru orice ϕ ∈ E0(U).· Spunem ca (U, u) este o substructura elementara a lui (V, v), si notam

(U, u) ≺ (V, v),

daca u([ϕ]) = v([ϕ]) pentru orice ϕ ∈ E(U).


Lema 10.3.4 Fie (U, u) o substructura a lui (V, v). Atunci:(i) pentru orice enunt existential ϕ al lui L(U), u([ϕ]) ≤ v([ϕ]);(ii) pentru orice enunt universal ϕ al lui L(U), v([ϕ]) ≤ u([ϕ]).

Demonstratie. Se aplica conditiile (Ga) si (Ga1). 2

10.3.3 Teorema lantului elementar

Definitiile 10.3.5 Fie λ ≥ 1 un ordinal. Consideram o familie (Uα, uα)α<λ destructuri probabiliste indexata de ordinalii α < λ. Spunem ca (Uα, uα)α<λ este:- un lant de structuri probabiliste, daca (Uα, uα) ⊆ (Uβ , uβ), pentru orice ordinaliα < β < λ,- un lant elementar de structuri probabiliste, daca (Uα, uα) ≺ (Uβ , uβ), pentru oriceordinali α < β < λ.

Daca U este o multime de constante cu C ⊆ U , atunci vom nota

B0(U) = {[ϕ] | ϕ ∈ E0(U)}.

B0(U) este o subalgebra a lui B(U).Fie (Uα, uα)α<λ un lant de structuri probabiliste si

(10.1) U = ∪α<λUα.

Consideram functia m : B0(U) −→ [0, 1] definita astfel: pentru ϕ ∈ E0(U) ∩E(Uα) = E0(Uα), cu α < λ,

m([ϕ])def.= uα([ϕ]).

Atunci m este unica probabilitate pe B0(U) cu proprietatea ca m |B0(Uα)= uα |B0(Uα),pentru orice α < λ.

Conform Teoremei 10.1.9, exista o unica probabilitate m∗ pe B(U) ce satisfaceconditia lui Gaifman si extinde pe m. Notam u = m∗. Atunci u este unicaprobabilitate pe B(U) ce satisface conditia lui Gaifman si u |B0(Uα)= uα |B0(Uα),pentru orice α < λ.

Definitia 10.3.6 Structura probabilista (U, u) se numeste reuniunea lantului(Uα, uα)α<λ.

Teorema 10.3.7 (Teorema lantului elementar)Fie (Uα, uα)α<λ un lant elementar de structuri probabiliste si (U, u) reuniunea

sa. Atunci pentru orice ordinal α < λ,

(Uα, uα) ≺ (U, u).


Demonstratie. Este suficient sa demonstram ca pentru orice ordinal α < λ sipentru orice numar natural m ≥ 1 sunt adevarate urmatoarele proprietati:(a) Daca ϕ ∈ ∑

m(Uα) ∩ E(Uα), atunci u([ϕ]) = uα([ϕ]);(b) Daca ϕ ∈ ∏

m(Uα) ∩ E(Uα), atunci u([ϕ]) = uα([ϕ]).

(a): Procedam prin inductie dupa m:- Pentru m = 0, avem

∑0(Uα) =

∏0(Uα) = E0(Uα) si proprietatile (a), (b) rezulta

chiar din definitia reuniunii unui lant de structuri probabiliste.- Sa aratam cum se realizeaza momentul (pasul) m → m + 1. Presupunem caϕ ∈ ∑

m+1(Uα) ∩ E(Uα), deci ϕ = ∃x1 . . . ∃xkψ(x1, . . . , xk), cu ψ(x1, . . . , xk) ∈∏m(Uα). Pentru simplitatea argumentatiei, vom trata numai cazul k = 1, deci

ϕ = ∃xψ(x), cu ψ(x) ∈ ∏m(Uα). u si uα satisfac conditia lui Gaifman, deci

u([ϕ]) = sup{u(∨ni=1[ψ(ai)]) | a1, . . . , an ∈ U},

uα([ϕ]) = sup{uα(∨ni=1[ψ(ai)]) | a1, . . . , an ∈ Uα}.

Pentru orice a1, . . . , an ∈ Uα, enuntul ∨ni=1[ψ(ai)]) este logic echivalent cu un enunt

din∏

m(Uα) ∩ E(Uα), deci, conform ipotezei inductiei,

uα(∨ni=1[ψ(ai)]) = u(∨n

i=1[ψ(ai)]).

Deoarece Uα ⊆ U , se obtine inegalitatea

uα([ϕ]) ≤ u([ϕ]).

Fie ε > 0. Conform definitiei operatiei sup, exista a1, . . . , an ∈ U astfel ıncat

u([ϕ]) ≤ u(∨ni=1[ψ(ai)]) + ε.

Insa, conform (10.1), exista un ordinal β cu proprietatea ca α ≤ β < λ sia1, . . . , an ∈ Uβ . Din ipoteza inductiei, rezulta

(Uα, uα) ≺ (Uβ , uβ),

deci

u([ϕ]) ≤ u(∨ni=1[ψ(ai)]) + ε = uβ(∨n

i=1[ψ(ai)]) + ε ≤ uβ([ϕ]) + ε = uα([ϕ]) + ε.

Cum ε a fost arbitrar, u([ϕ]) ≤ uα([ϕ]), deci u([ϕ]) = uα([ϕ]) si demonstratia lui(a) este terminata.

(b) se trateaza ın mod analog. 2

Definitiile 10.3.8 Fie (U, u) o substructura a lui (V, v).Spunem ca (V, v) este o extensie existentiala (universala) a lui (U, u), si notam

(U, u) ≺∃ (V, v) ((U, u) ≺∀ (V, v)),

daca u([ϕ]) = v([ϕ]) pentru orice enunt existential (respectiv universal) ϕ al luiL(U).


Se observa ca (V, v) este o extensie existentiala a lui (U, u) daca si numai daca(V, v) este o extensie universala a lui (U, u).

Propozitia 10.3.9 Daca (U, u) ⊆ (V, v), atunci urmatoarele afirmatii sunt echiva-lente:(i) (U, u) ≺∀ (V, v);(ii) Exista o extensie (W,w) a lui (V, v) astfel ıncat (U, u) ≺ (W,w).

Demonstratie.(i) =⇒ (ii): Presupunem ca (U, u) ≺∀ (V, v). Vom demonstra ca exista o proba-

bilitate η pe L(V ) astfel ıncat:(a) B(U) ⊆ {[ϕ] | ϕ ∈ E0(V )} ⊆ dom(η);(b) η extinde pe u;(c) η([ϕ]) = v([ϕ]), pentru orice ϕ ∈ E0(V ).

Fie ϕ ∈ E(U), a1, . . . , an ∈ V \ U si ψ(a1, . . . , an) ∈ E0(V ) astfel ıncat ` ϕ ↔ψ(a1, . . . , an). Rezulta ` ϕ ↔ ∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn).Cum ∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn) este un enunt universal ın L(U), au loc urmatoareleegalitati:

u([ϕ]) = u([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)])

= v([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)]) = u([ψ(a1, . . . , an)]).

Consideram un enunt ϕ ∈ E0(V ) astfel ıncat [ϕ] 6∈ B(U). Vom demonstrainegalitatile urmatoare:

(10.2) ui([ϕ]) ≤ v([ϕ]) ≤ ue([ϕ]).

Enuntul ϕ ∈ E0(V ) este de forma ϕ(a1, . . . , an), cu a1, . . . , an ∈ V \ U . Fie ψ ∈E(U) astfel ıncat ` ψ → ϕ(a1, . . . , an). Rezulta ` ψ → ∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn) si` ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn) ↔ ϕ(a1, . . . , an), deci

u([ϕ]) ≤ u([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)]) = v([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)]) = v([ϕ]).

Rezulta prima din inegalitatile (10.2); a doua se demonstreaza ın mod analog.Conform Propozitiei 9.5.10, exista o probabilitate µ pe subalgebra B(U)[[z]]

generata de B(U) ∪ {[z]} astfel ıncat µ extinde pe u si u([ϕ]) = v([ϕ]).Folosind consideratiile precedente, printr-un proces de inductie transfinita, se

obtine constructia unei probabilitati ce satisface conditiile (a) - (c).Aplicand teorema de completitudine a lui Gaifman, rezulta existenta unei struc-

turi probabiliste (W,w) cu proprietatile din (ii).

(ii) =⇒ (i): Evident. 2


10.3.4 Pastrarea probabilitatilor la substructuri

Definitiile 10.3.10 Fie (U, u) o structura probabilista, ϕ ∈ E(U) un enunt sir ∈ [0, 1] un numar real.

· Spunem ca (U, u) este un model al perechii (ϕ, r), si notam

(U, u) |=∗ (ϕ, r),

daca u([ϕ]) ≥ r.· Definim

µ∀def.= {(ψ, µi([ψ])) | ψ este un enunt universal ın L}.

· Spunem ca (U, u) este un model al multimii µ∀, si notam

(U, u) |=∗ µ∀,

daca (U, u) este model al tuturor perechilor din µ∀.

Teorema 10.3.11 Fie µ o probabilitate pe L si (U, u) o structura probabilista.Atunci (U, u) poate fi scufundata ıntr-un model (V, v) al lui µ daca si numai daca(U, u) |=∗ µ∀.

Demonstratie. Presupunem (U, u) ⊆ (V, v) si (V, v) |= µ. Fie ϕ un enunt uni-versal ın L. Pentru orice enunt ψ cu proprietatea ca [ψ] ∈ dom(µ) si ` ψ → ϕ,avem

µ([ψ]) = v([ψ]) ≤ u([ψ]) ≤ u([ϕ]).

Rezulta µi([ϕ]) ≤ u([ϕ]), deci (U, u) |=∗ µ∀.Reciproc, presupunem ca (U, u) |=∗ µ∀.

• Fie [ϕ] ∈ dom(µ) si ψ ∈ E0(U) astfel ıncat ` ψ ↔ ϕ. Vom demonstra ca

(10.3) µ([ϕ]) = u([ψ]).

Fie ~a = (a1, . . . , an) vectorul constantelor din U \C ce apar ın ψ. Din ` ϕ ↔ ψ(~a),rezulta ` ¬ϕ ↔ ¬ψ(~a), deci ` ϕ ↔ ∀~xψ(~x) si ` ¬ϕ ↔ ∀~x¬ψ(~x).

Insa ∀~xψ(~x) este un enunt universal, deci

(U, u) |=∗ (∀~xψ(~x), µi([∀~xψ(~x)])),

ceea ce ınseamnau([∀~xψ(~x)]) ≥ µi([∀~xψ(~x)]).

Din conditia (Ga1), se obtine

u([ψ(~a)]) ≥ u([∀~xψ(~x)]),

deciu([ψ(~a)]) ≥ µi([∀~xψ(~x)]) = µi([ϕ]).


Analog, din(U, u) |=∗ (∀~x¬ψ(~x), µi([∀~x¬ψ(~x)])),

rezultau([¬ψ(~a)]) ≥ µi([¬ψ]).

Se stie ca µi([¬ϕ]) + µe([ϕ]) = 1, deci 1− u([ψ(~a)]) ≥ 1− µe([ϕ]).Am stabilit inegalitatea:

µi([ϕ]) ≤ u([ψ(~a)]) ≤ µe([ϕ]).

Dar [ϕ] ∈ dom(µ), deciµi([ϕ]) = µ([ϕ]) = µe([ϕ]),

deciµ([ϕ]) = u([ψ]),

adica (10.3) are loc.• Fie acum ϕ ∈ E0(U) astfel ıncat [ϕ] 6∈ dom(µ). Vom demonstra ca µ poate fi

extinsa la o probabilitate η astfel ıncat [ϕ] ∈ dom(η) si η([ϕ]) = u([ϕ]). ConformPropozitiei 9.5.10, este suficient sa aratam ca

(10.4) µi([ϕ]) ≤ u([ϕ]) ≤ µe([ϕ]).

Daca ϕ = ϕ(~a), cu ~a = (a1, . . . , an) din U \ C, atunci ϕ(~a),¬ϕ(~a) ∈ E0(U) si` ϕ(~a) ↔ ∀~xϕ(~x), ` ¬ϕ(~a) ↔ ∀~x¬ϕ(~x).

Observam ca(U, u) |=∗ (∀~xϕ(~x), µi([∀~xϕ(~x)])),

deciu([ϕ]) = u([∀~xϕ(~x)]) ≥ µi([∀~xϕ(~x)]) = µi([ϕ]).

Analog, avem u([¬ϕ]) ≥ µi([¬ϕ]), deci u([ϕ]) ≤ µe([ϕ]). Deci, (10.4) are loc.Folosind cele demonstrate mai sus, prin inductie transfinita, putem defini o

probabilitate ε pe L(U) astfel ıncat:· dom(µ) ∪ {[ϕ] | ϕ ∈ E0(U)} ⊆ dom(ε);· ε extinde pe µ;· ε([ϕ]) = u([ϕ]), pentru orice ϕ ∈ E0(U).

In final, aplicand Teorema de completitudine a lui Gaifman, gasim un model(V, v) al lui ε, deci (V, v) |= µ si (U, u) ⊆ (V, v). 2

Definitia 10.3.12 O probabilitate µ pe L este pastrata de substructurile proba-biliste daca (U, u) ⊆ (V, v) si (V, v) |= µ implica (U, u) |= µ.

Corolarul 10.3.13 Fie µ o probabilitate pe L. Urmatoarele afirmatii sunt echiva-lente:(i) µ este pastrata de substructurile probabiliste;(ii) Pentru orice structura probabilista (U, u), (U, u) |=∗ µ∀ implica (U, u) |= µ.


Definitia 10.3.14 Fie (U, u) si (V, v) doua structuri probabiliste. Spunem ca(U, u) si (V, v) sunt echivalente elementar daca u |B= v |B . In acest caz, vomnota

(U, u) ≡ (V, v).

Propozitia 10.3.15 Daca (U, u) ≡ (V, v), atunci exista o structura probabilista(W,w) astfel ıncat (U, u) ≺ (W,w) si (V, v) ≺ (W,w).

Demonstratie. Prin definitia notiunii de structura probabilista, C ⊆ U si C ⊆ V .Putem presupune U ∩ V = C. B(U) si B(V ) sunt subalgebre ale lui B(U ∪ V ).

Consideram ϕ(~a) ∈ E(U), ψ(~b) ∈ E(V ), cu ~a = (a1, . . . , an) ın U \ C si ~b =(b1, . . . , bm) ın V \ C. Presupunem ca ` ϕ(~a) ↔ ψ(~b) ın L(U ∪ V ). Se observa ca` ϕ(~a) ↔ ∀~xϕ(~x) ın L(U) si ` ψ(~b) ↔ ∀~yψ(~y) ın L(V ), deci` ∀~xϕ(~x) ↔ ∀~yψ(~y) ın L(U ∪ V ).Insa, ∀~xϕ(~x) si ∀~yψ(~y) sunt enunturi ın L, deci ` ∀~yψ(~y) ↔ ∀~yψ(~y) ın L.Deoarece (U, u) ≡ (V, v), rezulta

u([ϕ(~a)]) = u([∀~xϕ(~x)]) = v([∀~yψ(~y)]) = v([ψ(~b)]).

Fie [ϕ] 6∈ B(U), cu ϕ = ϕ(~a), unde ~a = (a1, . . . , an) este format cu elemente dinU \C. Vom arata ca exista o probabilitate µ pe L(U∪V ) astfel ıncat B(U)∪{[ϕ]} ⊆dom(µ) ⊆ B(U ∪ V ).

Conform Propozitiei 9.5.10, este suficient sa stabilim urmatoarea inegalitate ınalgebra Boole B(U ∪ V ):

(10.5) ui([ϕ]) ≤ v([ϕ]) ≤ ue([ϕ]).

Fie ` ψ → ϕ(~a) ın L(U), cu ψ ∈ E(U). Deoarece ` ϕ(~a) ↔ ∀~xϕ(~x) si∀~xϕ(~x) ∈ E, avem

u([ψ]) ≤ u([∀~xϕ(~x)]) = v([∀~xϕ(~x)]) = v([ϕ]),

de unde rezulta ui([ϕ]) ≤ v([ϕ]).Inegalitatea a doua din (10.5) se demonstreaza analog.Folosind consideratiile de mai sus, prin inductie transfinita, se construieste o

probabilitate µ′ pe L(U ∪ V ) astfel ıncat urmatoarele proprietati sunt ındeplinite:· B(U) ∪B(V ) ⊆ dom(µ′) ⊆ B(U ∪ V ),· µ′ |B(U)= u si µ′ |B(V )= v.Aplicand Teorema de completitudine a lui Gaifman, se obtine o structura proba-bilista (W,w) astfel ıncat (U, u) ≺ (W,w) si (V, v) ≺ (W,w). 2


10.3.5 O varianta probabilista ateoremei de consistenta a lui Robinson

Fie L′ o expansiune a limbajului L. Atunci B(L) este o subalgebra a lui B(L′).Daca (U ′,m′) este o structura probabilista pentru limbajul L′, atunci notam

(U ′,m′)[Lnotatie

= (U ′,m′ |B(U)).

(U ′,m′)[L este o structura probabilista pentru limbajul L.

Consideram trei limbaje de ordinul I: L, L1, L2 cu L = L1 ∩ L2. Daca C, C1,C2 sunt respectiv multimile de constante ale celor trei limbaje, atunci C = C1∩C2.

Vom nota cu B, B1, B2 algebrele Lindenbaum-Tarski ale limbajelor L, L1, L2

respectiv. Daca U este o multime astfel ıncat C, C1, C2 ⊆ U , atunci B(U), B1(U),B2(U) vor fi algebrele Lindenbaum-Tarski corespunzatoare limbajelor L(U), L1(U),L2(U), iar B0

1, B02 vor fi subalgebrele lui B1, B2 formate din clasele de echivalenta

ale enunturilor fara cuantificatori din L1, L2 respectiv.

Teorema 10.3.16 Fie µ, µ1, µ2 trei probabilitati pe limbajele L, L1, L2 respectiv,astfel ıncat µi |dom(µi)∩B= µ, pentru i = 1, 2. Atunci exista o structura probabilista(A,m) pentru limbajul L1 ∪ L2 astfel ıncat, pentru i = 1, 2,

m |dom(µi)= µi.

Demonstratie. Conform Teoremei de completitudine a lui Gaifman, exista douastructuri probabiliste (U0, u0) si (V0, v0), pentru L1 si L2 respectiv, astfel ıncat(U0, u0) |= µ1 si (V0, v0) |= µ2. De aici rezulta

(10.6) (U0, u0)[L ≡ (V0, v0)[L.

Vom arata ca exista o probabilitate µ′ pe L2(U0∪V0) astfel ıncat urmatoarele douaconditii sunt verificate:· B(U0) ∪B2(V0) ⊆ dom(µ′) ⊆ B2(U0 ∪ V0),· µ′ |B(U0)= u0 si µ′ |B2(V0)= v0.

• Intai, vom demonstra:

(10.7) u0 |B(U0)∩B2(V0)= v0 |B(U0)∩B2(V0) .

Consideram enunturile α(~a) si β(~b) astfel ıncat :· α(~a) este un enunt ın L(U0) si ~a = (a1, . . . , an) este un vector cu elemente ınU0 \ C;· β(~b) este un enunt ın L2(V0) si ~b = (b1, . . . , bn) este un vector cu elemente ınV0 \ C;


· ` α(~a) ↔ β(~b) ın L2(U0 ∪ V0).

Observam ca ` α(~a) ↔ ∀~xα(~x) ın L(U0) si ` β(~b) ↔ ∀~yβ(~y) ın L2(V0), deci` ∀~xα(~x) ↔ ∀~yβ(~y) ın L2. Insa ∀~xα(~x) ∈ E, de unde rezulta

[∀~yβ(~y)] = [∀~xα(~x)] ∈ B.

Tinand cont de (10.6), au loc urmatoarele egalitati:

u0([α(~a)]) = u0([∀~xα(~x)]) = v0([∀~yβ(~y)]) = v0(β(~y)]).

In acest fel, am demonstrat egalitatea (10.7).• Fie [ϕ] ∈ B(U0) ⊆ B2(U0 ∪ V0) astfel ıncat [ϕ] 6∈ B2(V0) ⊆ B2(U0 ∪ V0). Vom

demonstra ca ın algebra Boole B2(U0 ∪ V0) au loc inegalitatile urmatoare:

(10.8) (v0)i([ϕ]) ≤ u0([ϕ]) ≤ (v0)e([ϕ]).

Fie ψ un enunt ın L2(V0) astfel ıncat ` ψ → ϕ ın L2(U0 ∪ V0). Atunci ϕ = ϕ(~a),ψ = ψ(~b), unde ~a este un vector cu elemente din U0 \ C si ~b este un vector cuelemente din V0 \ C. Atunci ` ϕ ↔ ∀~xϕ(~x), ` ψ ↔ ∀~yψ(~y), ∀~xϕ(~x) ∈ E si ∀~yψ(~y)este un enunt din L2. Rezulta:

v0([ψ(~b)]) = v0([∀~yψ(~y)]) ≤ v0([∀~xϕ(~x)]) = u0([∀~xϕ(~x)]) = u0([ϕ(~a)]).

De aici se obtine prima inegalitate din (10.8). A doua inegalitate se demonstreazaın mod analog.

• Aplicand Propozitia 9.5.10, rezulta existenta unei probabilitati µ1 ce verificaproprietatile urmatoare:· B2(V0) ∪ {[ϕ]} ⊆ dom(µ1) ⊆ B2(U0) ∪ V0,· µ1 |B2(V0)= v1,· µ1([ϕ]) = u0([ϕ]).

• Folosind acest rezultat si aplicand inductia transfinita, se obtine probabilitateaµ′.

Aplicand lui µ′ Teorema de completitudine a lui Gaifman, se obtine o structuraprobabilista (V1, v1) pentru L2(U0 ∪ V0) astfel ıncat U0 ∪ V0 ⊆ V1, v1 |B(U0)=u0 |B(U0) si v1 |B2(V0)= v0.

Atunci (V1, v1)[L(U0) ≡ (U0, u0)[L(U0). Aplicand din nou procedeul de maisus, gasim o structura probabilista (U1, u1) pentru L1(V1) astfel ıncat V1 ⊆ U1,u1 |B(U0)= u0 si u1 |B(V1)= v1 |B(V1).

Prin inductie, se construiesc doua lanturi elementare de modele probabiliste:

(U0, u0) ≺ (U1, u1) ≺ . . . ≺ (Un, un) ≺ . . .

(V0, v0) ≺ (V1, v1) ≺ . . . ≺ (Vn, vn) ≺ . . .

pentru expansiuni ale lui L1, respectiv L2, astfel ıncat urmatoarele proprietati suntındeplinite:


· V1 ⊆ U1 ⊆ V2 ⊆ U2 ⊆ . . . ⊆ Un ⊆ Vn+1 ⊆ Un+1 ⊆ . . .,· vn+1([ϕ]) = un([ϕ]), pentru orice ϕ ∈ E(Un),· un+1([ϕ]) = vn+1([ψ]), pentru orice ψ ∈ E(Vn+1).

Fie A =⋃∞

n=0 Un =⋃∞

n=0 Vn si (A, u) =⋃∞

n=0(Un, un), (B, v) =⋃∞

n=0(Vn, vn).Conform Teoremei 10.3.7, pentru orice n ≥ 0 avem

(Un, un) ≺ (A, u), (Vn, vn) ≺ (B, v),

deci(A, u)[L ≡ (B, v)[L.

Fie∼B algebra Lindenbaum-Tarski a limbajului (L1 ∪ L2)(A) si

∼B0 subalgebra

sa formata din clasele enunturilor fara cuatificatori. Atunci putem defini o pro-babilitate w :

∼B0−→ [0, 1] astfel ıncat w |B0

1= u |B0

1si w |B0

2= v |B0

2. Aplicand

Teorema 10.1.9, exista o probabilitate m :∼B−→ [0, 1] ce extinde pe w si verifica

conditia lui Gaifman. Conform partii de unicitate din Teorema 10.1.9, m |B1= u |B1

si m |B2= v |B2 .Structura probabilista (A,m) satisface conditiile cerute. 2

Rezultatul precedent este corespondentul probabilistic al teoremei de consistentaa lui Robinson din teoria clasica a modelelor.

Bibliografie

[1] M.A. Amer, Probability, logic and measures on epimorphic images of co-products of measurable spaces, Reports Math. Logic, 28, 1994, 29-52.

[2] R. Balbes, Ph. Dwinger, Distributive lattices, Univ. of Missouri Press,1974.

[3] J. Barwise (Editor), The Handbook of Mathematical logic, North-Holland,Amsterdam 1977.

[4] O. Basca, Baze de date, Editura All, 1997.

[5] J.L. Bell, M. Machover, A course in mathematical logic, North-Holland,1977; 1993.

[6] P. Bernays, A system of axiomatic set theory: I-VII, Journal of SymbolicLogic, I: 2, 1937, 65-77; II: 6, 1941, 1-17; III: 7, 1942, 65-89; IV: 7, 1942,133-145; V: 8, 1943, 89-106; VI: 13, 1948, 65-79; VII: 19, 1954, 81-96.

[7] G. Birkhoff, Lattice theory, Third Edition, AMS Colloq. Publ., vol. 25,1973.

[8] I.M. Bochenski, Formale Logik, Freiburg - Munchen 1956.

[9] G. Boole, An investigation into the laws of thought, 1854.

[10] N. Bourbaki, Foundations of mathematics for the working mathematicians,Journal of Symbolic Logic, 14, 1949, 1-8.

[11] N. Bourbaki, Theorie des ensembles, Ch. 1-2, Paris 1954 (2nd ed. 1960).

[12] N. Bourbaki, Theorie des ensembles, Ch. 3, Paris 1956 (2nd ed. 1963).

[13] S.N. Burris, Logic for Mathematics and Computer Science, Prentice Hall,1998.

[14] D. Busneag, Contributii la studiul algebrelor Hilbert, Teza de doctorat, Uni-versitatea din Bucuresti, 1985.

287

288 BIBLIOGRAFIE

[15] D. Busneag, Categories of algebraic logic, Editura Academiei Romane, 2006.

[16] D. Busneag, F. Chirtes, D. Piciu, Probleme de logica si teoria multimilor,Editura Universitaria, Craiova 2003.

[17] G. Cantor, Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre I, Math.Ann., 46, 481-512, 1895.

[18] G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophis-chen Inhalts, Ed. by E. Zermelo, Berlin 1932. Reprinted: Hildesheim 1962.

[19] C.C. Chang, H.J. Keisler, Model Theory, Amsterdam 1973; 3rd edition:North Holland 1990.

[20] A. Church, Introduction to Mathematical Logic, vol. 1, Princeton Univ.Press, 1956.

[21] P.J. Cohen, Set theory and the Continuum Hypothesis, New York, Amster-dam 1966.

[22] D. van Dalen, A.F. Monna, Sets and Integration. An Outline of the De-velopment, Groningen 1972.

[23] D. Van Dalen, H.C. Doets, H. Deswart, Sets: Naıve, axiomatic andapplied, Pergamon Press, 1978.

[24] R. Dedekind, Uber die drei Moduln erzeugte Dualgrupe, Math. Annalen,53, 1900, 371-403.

[25] H. DeLong, A Profile of Mathematical Logic, Reading: Addison-Wesley,1971.

[26] A. Diego, Sur les algebres de Hilbert, Ph. D. Thesis, Collection de Logiquemath., Serie A, XXI, Gauthier-Villars, 1966 (traduction faites d’apres laThese edi’ee en langue espagnole sous le titre: Sobre Algebras de Hilbert,parue dans la Collection Notas de Logica Matematica, Univ. Nacional delSur, Bahia Blanca 1961).

[27] F.R. Drake, Set theory, Amsterdam 1974.

[28] H.B. Enderton, A mathematical introduction to logic, New York 1972.

[29] Gh. Enescu, Logica si Adevar, Editura politica, 1967.

[30] Gh. Enescu, Teoria sistemelor logice, Editura stiintifica si enciclopedica,1976.

[31] Euclides, Elemente, traducere de Vicor Marian, Bucuresti, Tipografia Curtiiregale F. Gobl, FII. Vol. I, 1939; vol. II, 1940; vol. III, 1941.

BIBLIOGRAFIE 289

[32] J.E. Fenstad, Representation of probabilities defined on first order lan-guages, in J.N. Crosley (ed.), Set, Models and Recursion Theory, North Hol-land, 1967.

[33] J.E. Fenstad, The axiom of determinateness, In: Proceedings of the SecondScandinavian Logic Symposium, Amsterdam 1971.

[34] A.A. Fraenkel, Axiomatische Begrundung der geordneten Mengen, Jour-nal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle), 155, 1926, 129-158.(Cf. Fund. Math., 7, 1925, 308-310.)

[35] A.A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy, D. van Dalen, Foundationsof set theory, North-Holland, 1984 (first edition: 1958; second edition: firstprinting, Amsterdam 1973; second printing, 1984).

[36] G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Jena,vol. I, 1893.

[37] H. Gaifman, Concerning measures on first order calculi, Israel J. Math., 2,1964, 1-18.

[38] B.A. Galler, Cylindric and polyadic algebras,Proc. Amer. Math. Soc., 8,1959, 176-183.

[39] G. Georgescu, Elemente de Logica Matematica, Academia Militara, 1978.

[40] G. Georgescu, Some model theory for probability structures, Reports Math.Logic, 35, 2001, 103-113.

[41] G. Georgescu, Sistemul formal al calculului cu predicate (I), Revista delogica http://egovbus.net/rdl, 20.10.2008, 1-33.

[42] G. Georgescu, Sistemul formal al calculului cu predicate (II), Revista delogica http://egovbus.net/rdl, 20.10.2008, 1-19.

[43] G. Georgescu, Un semestru de logica, Revista de logicahttp://egovbus.net/rdl, 19.11.2007, 1-5.

[44] G. Georgescu, Logica si probabilitati - Note de curs, Revista de logicahttp://egovbus.net/rdl, nr. 2, 2010, 12.04.2010, 1-28.

[45] S. Givant, P. Halmos, Introduction to Boolean Algebras, Springer, 2008.

[46] K. Godel, Die Vollstandigkeit der Axiome des logish Functionenkalkuls,Monat. fur Mathematik und Physik, 37, 1930, 349-330.

[47] K. Godel, The Consistency of the Axiom of Choice and of the General-ized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Annals of Math.Studies, 3, Princeton 1940 (2nd printing, 1951).

290 BIBLIOGRAFIE

[48] G. Gratzer, General lattice theory, Second Edition, Birkhauser 1998.

[49] A. Grzegorczyk, An outline of mathematical logic, D. Reidel PublishingCompany, 1974.

[50] P.R. Halmos, Algebraic logic, Chelsea Publ. Comp., New York 1962.

[51] P.R. Halmos, Lectures on Boolean Algebras, Princeton 1963.

[52] P.R. Halmos, Naive set theory, Springer, 1974.

[53] J. van Heijenoort, From Frege to Godel. A Source-Book in MathematicalLogic, Cambridge 1967.

[54] L. Henkin, The Completeness of First-order Functional Calculus, J. Symb.Logic, 14, 1949, 159-166.

[55] L. Henkin, The Discovery of My Completeness Proofs, Bull. Symb. Logic,vol.2, no. 2, 1996, 127-158.

[56] L. Henkin, J.D. Monk, A. Tarski, Cylindric Algebras, I, II, North-Holland, 1971, 1985.

[57] D. Hilbert, W. Ackermann, Grundzugen der theoretischen Logik,Springer-Verlag, Heidelberg 1928.

[58] A. Horn, A. Tarski, Measures in Boolean algebras, Trans. Amer. Math.Soc., 64, 1948, 467-497.

[59] A. Iorgulescu, S-prealgebras, Discrete Mathematics, 126, 1994, 415-419.

[60] A. Iorgulescu, On BCK algebras - Part I.a: An attempt to treat unitarilythe algebras of logic. New algebras, J. of Universal Computer Science, Vol.13, 11, 2007, 1628-1654.

[61] A. Iorgulescu, On BCK algebras - Part I.b: An attempt to treat unitarilythe algebras of logic. New algebras, J. of Universal Computer Science, Vol.14, no. 22, 2008, 3686-3715.

[62] A. Iorgulescu, Algebras of logic as BCK algebras, Editura ASE, Bucuresti2008.

[63] A. Iorgulescu, Asupra algebrelor Booleene, Revista de logicahttp://egovbus.net/rdl, 25.01.2009, 1-25.

[64] K. Iseki, S. Tanaka, An introduction to the theory of BCK-algebras, Math.Japonica, 23, No.1, 1978, 1-26.

[65] P.T. Johnstone, Stone spaces, Cambridge Univ. Press, 1982.

[66] S.C. Kleene, Mathematical Logic, New York 1967.

BIBLIOGRAFIE 291

[67] W. and M. Kneale, The Development of Logic, Oxford Univ. Press, 1962.

[68] J.L. Krivine, Theorie Axiomatique des Ensembles, Paris 1970.

[69] C. Kuratowski, A. Mostowski, Set Theory, Amsterdam 1968.

[70] A. Levy, Basic Set Theory, Springer Verlag, Berlin 1979; reprinted: DoverPublications, 2003.

[71] J. ÃLos, E. Marczewski, Extensions of measures, Fund. Math., 36, 1949,267-276.

[72] J. ÃLukasiewicz, Selected Works, Warszawa - Amsterdam 1970.

[73] R.C. Lyndon, Notes on Logic, D. Van Nostrand, 1967.

[74] M. Malita, M. Malita, Bazele inteligentei artificiale, Editura tehnica,1987.

[75] Yu. A. Manin, A course in mathematical logic, Springer, Berlin 1977.

[76] G. Metakides, A. Nerode, Principii de logica si programare logica, Edi-tura Tehnica, 1988.

[77] Gh. Mihoc, N. Micu, Teoria probabilitatilor si statistica matematica, Edi-tura didactica si pedagogica, 1980.

[78] Gr.C. Moisil Incercari vechi si noi de logica neclasica, Editura stiintifica,1965.

[79] Gr.C. Moisil, Elemente de logica matematica si de teoria multimilor, Edi-tura stiintifica, 1968.

[80] J.D. Monk, Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1978.

[81] A. Monteiro, Construction des algebres de ÃLukasiewicz trivalentes dans lesalgebres de Boole Monadiques-I, Notas de Logica Mat., 11, 1974.

[82] A.P. Morse, A Theory of Sets, New York 1965.

[83] A. Mostowski, Uber die Unabhangigkeit des Wohlordnungssatzes vom Ord-nungsprinzip, Fund. Math., 32, 201-252.

[84] C. Nastasescu, Introducere ın teoria multimilor, Editura Didactica siPedagogica, 1974.

[85] J. von Neumann, Eine Axiomatisierung der Mengenlehre, Journal fur diereine und angewandte Mathematik (Crelle), 154, 1925, 219-240; corrections,ibid. 155, 128, 1926. Also in 61, 34-56. English translation in van Heijenoort67, 393-413.

292 BIBLIOGRAFIE

[86] J. von Neumann, Die Axiomatisierung der Mengenlehre, Math. Ztschr., 27,1928, 669-752. Also in 61, 339-422.

[87] T. Ogasawara, Relation between intuitionistic logic and lattice, Journal ofthe Hiroshima University, Serie A, Vol. 9, 1939, 157-164.

[88] R. Padmanabhan, S. Rudeanu, Axioms for lattices and Boolean algebras,World Scientific, Singapore 2008.

[89] D. Piciu, Algebras of fuzzy logic, Editura Universitaria, Craiova 2007.

[90] D. Ponasse, Problemes d’universalite s’introduissant dans l’algebrisationde la logique mathematique, These presente a la Faculte des Sciences del’Universite de Clermont Ferrand, 1961.

[91] D. Ponasse, Logique mathematique, O.C.D.L., Paris 1967.

[92] D. Ponasse, Algebres floues et algebres de Lukasiewicz, Rev. Roum. Math.Pures Appl., Tome XXIII, No. 1, 1978, 103-111.

[93] D. Ponasse, J.C. Carrega, Algebre et topologie booleennes, Masson, Paris1979.

[94] C. Popovici, S. Rudeanu, H. Georgescu, Bazele informaticii, Vol. II,Universitatea Bucuresti, Facultatea de matematica, 1991.

[95] W.V. Quine, New foundations for mathematical logic, Am. Math. Monthly,44, 70-80. A revised and expanded version is in 53, 80-101.

[96] W.V. Quine, Mathematical logic, Revised edition, Cambridge, Mass. 1951(first edition, 1940).

[97] M. Reghis, Elemente de teoria multimilor si de logica matematica, EdituraFacla, 1981.

[98] Ph. Rothmaler, Introduction to model theory, Taylor & Francis Group,New York 2000.

[99] S. Rudeanu, Elemente de Logica Matematica (I), Gazeta de Informatica,nr. 10/1992, 1-7.

[100] S. Rudeanu, Elemente de Logica Matematica (II), Gazeta de Informatica,nr. 11/1992, 2-6.

[101] S. Rudeanu, Elemente de Logica Matematica (III), Gazeta de Informatica,nr. 12/1992, 1-4.

[102] S. Rudeanu, Elemente de Logica Matematica (IV), Gazeta de Informatica,nr. 1/1993, 1-8.

BIBLIOGRAFIE 293

[103] S. Rudeanu, Lectii de Calculul Predicatelor si Calculul Propozitiilor, EdituraUniversitatii Bucuresti, 1997.

[104] S. Rudeanu, Elemente de logica matematica, Revista de logicahttp://egovbus.net/rdl, 01.09.2007, p. 1-23.

[105] B. Russell, The principles of mathematics, I., 1903; second ed., London1937, New York 1938. Reprinted 1950.

[106] H. Scholz, Geschichte der Logik, Berlin 1931.

[107] E. Schroder, Algebra der Logik, vols. 1-3, 1890-1910. New York: Chelseareprint 1966.

[108] D. Scott, P. Krauss, Asigning probabilities to logical formules, in: Hin-takka and Suppes (eds), Aspects of Inductive Logic, North Holland, 1966.

[109] J. Shoenfield, Mathematical Logic, London 1967.

[110] R. Sikorski, A theorem on extension of homomorphisms, Ann. Soc. Polon.Math., 1948, 21, 332-335.

[111] R. Sikorski, Boolean Algebras, Berlin 1960 (second edition 1964).

[112] T. Skolem, Einige Bermerkungen zur axiomatischen Begrundung der Men-genlehre, 1923. Wiss. Vortrage gehalten auf dem 5. Kongress der Scandi-nav. Mathematiker in Helsingfors, 1922, 217-232; also in 70, 137-152. Englishtranslation in van Heijenoort 67, 290-301.

[113] T. Skolem, Uber einige Grundlagenfragen der Mathematik, Skrifter utgit avdet Norske Vid.-Akad. i Oslo, I, 1929, No. 4, 1-49; also in 70, 275-280.

[114] M.H. Stone, The theory of representation for Boolean algebras, Trans.Amer. Math. Soc., 40, 1936, 37-111.

[115] G. Takeuti, W.M. Zaring, Axiomatic Set Theory, Springer - Verlag, 1973.

[116] A. Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, London 1956.

[117] N. Tandareanu, Introducere ın programarea logica. Limbajul PROLOG,Editura INTARF, Craiova 1994.

[118] F.L. Tiplea, Introducere ın teoria multimilor, Editura Universitatii”Alexandru Ioan Cuza”, Iasi 1998.

[119] J. van Heijenoort, ed., A Source Book in Mathematical Logic, HarvardUniv. Press, 1967.

[120] D.A. Vladimirov, Boolean Algebras in Analysis, Kluwer, 2002.

294 BIBLIOGRAFIE

[121] H. Wang, A survey of mathematical logic, Science Press, Peking China 1962,Amsterdam 1963; traducere ın limba romana: Studii de Logica matematica,Editura stiintifica, 1972.

[122] A.N. Whitehead, B. Russell, Principia Mathematica, 3 vols., Cambridge1910, 1912, 1913; second ed. 1925, 1927, 1927.

[123] L.A. Zadeh, Fuzzy sets, Inform. Control, 8, 1965, 338-353.

[124] E. Zermelo, Untersuchungen uber die Grundlagen Axiome der MengenlehreI, Math. Ann., 65, 1908, 261-281. English translation in van Heijenoort 67,199-215.

[125] E. Zermelo, Uber Grenzzahen und Mengenbereiche, Fund. Math., 16, 1930,29-47.

Index

(U, u) satisface perechea (ϕ, r), 275C(L), 58FV (ϕ), 199M(X), 258S(X), 258Spec(B), 88V (t), 199Σ-demonstratie formala, 146, 209σ-algebra, 254σ-filtru, 254σ-morfism, 254σ-probabilitate, 256tA(a1, . . . , an), 220tA(s), 217A |= ϕ[a1, . . . , an], 220P(A), 117ınchiderea universala, 209sir disjunct, 256

baza de date relationala, 134camp de multimi, 119conjunctia (intersectia) relatiilor binare,

125deductia formala din ipoteze, 208model, 272relatia totala, 127spatiu boolean, 95submultime fuzzy sau multime fuzzy, 102variabila legata, 199

alfabetul, 144algebra Boole, 60algebra Boole atomica, 91algebra Boole injectiva, 100algebra tip Lindenbaum-Tarski , 175

algebra Boole duala, 73algebra Boole a relatiilor, 127algebra Lindenbaum-Tarski, 212algebra Lindenbaum-Tarski a teoriei Σ,

214algebre Boole monadice, 214algebre Boole poliadice, 216aritatea lui R, 124atom, 91axioma, 145axioma lui Zorn, 48axiomele calculului cu predicate, 201

caracteristica, 103complementara unei multimi, 117compunerea relatiilor binare, 129conditia lantului numarabil, 255congruenta a algebrei Boole, 81conjunctia, 14cuantificator existential, 214cuantificator universal, 214cuvant, 144

deductia formala din ipoteze, 146deductia semantica din ipoteze, 186deductie semantica, 226Definitia 2 a algebrelor Boole, 66demonstratie formala, 145, 202diagonala produsului cartezian, 121diagrama Hasse, 44disjunctia, 14disjunctia (reuniunea) relatiilor binare,

125domeniile unei relatii n-are, 124domeniile unei relatii binare, 122

295

296 INDEX

domeniul unui predicat, 28dualul unui enunt, 44

echivalenta, 14echivalenta booleana, 61echivalenta logica, 163echivalenta relatiilor binare, 126egalitatea, 115egalitatea multimilor, 115element complementat, 57element maximal, 48element minimal, 48enunt, 13, 144, 199enunt adevarat, 185enunt universal adevarat, 224evaluare (interpretare), 217extensie existentiala, 277extensie universala, 277extensiune, 116

familie de elemente, 120familie de multimi, 120filtru al algebrei Boole, 79filtru fuzzy al algebrei Boole, 104filtru maximal sau ultrafiltru, 88filtru prim, 88filtru propriu, 88filtrul generat de X, 86filtrul principal, 86formula universal adevarata, 224formulele lui Lτ , 198functia caracteristica, 103functia caracteristica a unei multimi, 119functie, 123functie de n variabile, 125functie izotona, 44

grup, 74

homomorfism (morfism) de algebre Boole,77

I-algebre Boole cilindrice, 215ideal al algebrei Boole, 79implicatia, 14

implicatia relatiilor binare, 126implicatia booleana, 61incluziunea multimilor (claselor), 114inel, 74inel boolean, 75infimum, 46interpretare, 184interpretare booleana, 268interpretare(evaluare), 217intersectia a n multimi, 119intersectia a doua multimi, 117intersectia unei familii de multimi, 120inversarea relatiilor binare, 129

lant de structuri probabiliste, 276lant elementar de structuri probabiliste,

276latice complementata, 57latice completa, 51latice Dedekind, 49latice distributiva, 56latice Ore, 48laticea Dedekind duala, 52laticea Ore duala, 52limbaj numarabil, 233

majorant, 46minorant, 46model, 186model al multimii, 279model al perechii, 279model al unei probabilitati, 275model Henkin asociat teoriei Σ, 240monoid sau semigrup, 74morfism (homomorfism) de algebre Boole,

77morfism de latici marginite, 58multime consistenta, 159multime consistenta maximala, 161multime consistenta de formule, 210multime disjuncta, 255multime fuzzy sau submultime fuzzy, 102multime inconsistenta, 159multime inconsistenta de formule, 210

INDEX 297

multime marginita, 45multime monotona, 257multime ordonata inductiva, 48multime totala, 116

negatia, 13negatia (complementara) unei rel. binare,

125nivel de fuzificare, 103

operatie n-ara, 125operatie unara, 123operatie zero-ara sau nulara, 125

partitie, 91pereche consistenta cu o probabilitate,

275prealgebra Boole, 170prealgebra Boole cat, 175predicat, 27predicat adevarat, 32predicat ambivalent, 32predicat fals, 32prim element, 45Principiul dualitatii pentru algebre Boole,

73Principiul dualitatii pentru latici, 52Principiul dualitatii pentru m. (pre)ord.

, 44probabilitate, 268probabilitate continua, 258probabilitate pastrata de substructuri, 280probabilitate pe L, 250probabilitate pe algebra Boole, 250produsul cartezian a n multimi, 123produsul cartezian a doua multimi, 121propozitia, 13propozitie adevarata, 15propozitie universal adevarata sau tau-

tologie, 18proprietati de ordinul I, 200

regulile de deductie ale calculului cu pre-dicate, 201

relatia inversa, 44

relatia vida, 127relatie n-ara, 124relatie binara, 122reuniunea lantului (Uα, uα)α<λ, 276reuniunea a doua multimi, 116reuniunea a n multimi, 119reuniunea unei familii de multimi, 120

schema relationala, 134semigrup sau monoid, 74sistem deductiv, 158sistem deductiv al algebrei Boole, 80spatiu topologic zero-dimensional, 95structura de ordinul I, 195structura probabilista, 269structuri probabiliste echivalente elemen-

tar, 281subalgebra Boole, 76subalgebra generata de X, 98sublatice, 51submultimea nivel, 103substitutia , 200substructura , 275substructura elementara, 275supremum, 47

teorema formala, 145, 202Teorema de compacitate, 241Teorema de completitudine, 240Teorema de completitudine a lui L, 187Teorema de completitudine a lui Gaif-

man, 272Teorema de completitudine extinsa, 240Teorema de completitudine extinsa (tare),

189Teorema de existenta a ultrafiltrului, 88Teorema de reprezentare a lui Stone, 89Teorema deductiei, 210Teorema deductiei semantice, 226Teorema Lovenheim-Skolem, 241teorie, 198teorie consistenta maximala, 211teorie ınchisa, 234teorie a lui Lτ , 213

298 INDEX

teorie Henkin, 234termen, 198topologia lui Stone, 94

ultim element, 45ultrafiltru sau filtru maximal, 88

valoarea de adevar ın interpretarea s, 217variabila libera, 27, 199

Lista figurilor

1 Legaturile dintre capitole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Diagrama Hasse a multimii ordonate (A,R) . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Exemple de multimi ordonate cu prim si/sau ultim element . . . . . 483.3 Multime ordonata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Laticile liniar ordonate L2 si L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Laticea liniara L4 si laticea neliniara L2×2 . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Laticile generate de 5 elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.7 Multimi ordonate care nu sunt latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Latici distributive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Algebra Boole L2×2 (rombul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Algebra Boole L2×2×2 (cubul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

299

Logica matematica - George Georgescu, Afrodita Iorgulescu

Documents

Transcript of Logica matematica - George Georgescu, Afrodita Iorgulescu