legi reglare ao

Regulatorul P cu A.O.

Fig. 1: Schema blocului de reglare de tip P

Problema 1. Pentru circuitul din figura se cunosc următoarele: R1=2.5 Ω și R2=25 Ω,

Amplificatorul Operațional este ideal. Se cere:

a) Să se deducă funcția de transfer Gs =

b) Să se traseze graficul răspunsului la o intrare treaptă unitară.

Notăm: U1 – tensiunea de intrare în regulatorul P;

U2 – tensiunea de ieșire din regulatorul P;

Ui – tensiunea bornei inversoare;

i1 – intensitatea curentului prin rezistorul R1;

i2 – intensitatea curentului prin rezistorul R2;

ii – intensitatea curentului bornei inversoare;

Proprietățile unui A.O. ideal impedanțadeintrare = ∞ = 0 = 0 Rezolvare:

a) Se aplică prima lege a lui Kirchoff pe nodul de intrare:

+ = ⇒ + = 01.1

Se determină expresiile intensitățiile curenților prin cei doi rezistori:

! = ! − !# = !# 1.2

! = ! − !# = !# 1.3

Din ecuațiile (1.1) – (1.3) se obține:

! = −! ⇒ !# = − !# 1.4

Semnul minus indică aplicarea semnalului de intrare la borna inversoare a AO și

polaritatea inversă a tensiunii de ieșire U2 față de tensiunea de intrare U1.

Legea de reglare este dată de următoarea relație.

! = ## ! = '(!1.5

Se aplică transformata Laplace ecuației (1.5):

* = ## * = '(*1.6

Din relația de mai sus se obține funcția de transfer a blocului de reglare de tip P.

,* = ** = ## = '(1.7

unde kR reprezintă factorul de amplificare al regulatorului P.

Se înlocuiește numeric și se obține următoarea funcție de transfer.

,* = 252.5 = 101.8

b) Răspunsul indicial al sistemului

Fig.2: Răspunsul la un semnal treaptă unitară al blocului de reglare de tip P

Fig. 3:

Problema 2. Pentru circuitul din figura

µF, Amplificatorul Operațional este ideal. Se cere:

a) Să se deducă funcția de transfer

b) Să se traseze graficul ră

Notăm: U1 – tensiunea de intrare în regulatorul

U2 – tensiunea de ieșire din regulatorul

Ui – tensiunea bornei inversoare

UC2 – tensiunea condensatorul C

i1 – intensitatea curentului prin rezistorul R

i2 – intensitatea curentului prin condensatorul C


Rezolvare:

a) Se pornește de la proprietatea

Se determină expresia intensit

! = / 010!Din relațiile de mai sus se ob

Regulator I cu A.O.

Fig. 3: Schema blocului de reglare de tip I

Pentru circuitul din figura de mai sus se cunosc următoarele:

țional este ideal. Se cere:

ția de transfer Gs

se traseze graficul răspunsului la o intrare treaptă unitară.

tensiunea de intrare în regulatorul I;

șire din regulatorul I;

tensiunea bornei inversoare;

condensatorul C2;

intensitatea curentului prin rezistorul R1;

intensitatea curentului prin condensatorul C2;

intensitatea curentului bornei inversoare;

roprietatea A.O. ideal: 02.1

expresia intensității curentului prin rezistor și prin condensator.

! ! " !

#

!

#

2.2

!

0! /

0! " !

0! /

0!

0!

iile de mai sus se obține:

toarele: R1=25 Ω și C2=40

i prin condensator.

2.3

! "! ⇒!

#

"/

0!

0!2.4

Semnul minus se datorează aplicării tensiunii de intrare U1 pe borna inversoare a AO.

Legea de reglare este dată de următoarea relație:

! 1#/ 2 !0!2.5

Se aplică transformata Laplace ecuației (2.5).

* 1#/* * = 134* *2.6

Din relația de mai sus se obține funcția de transfer a blocului de reglare de tip I, după

cum urmează.

,* *

*

1#/* = 134* 2.7

unde TI reprezintă constanta de integrare a regulatorului I.

Se înlocuiește numeric valoarea rezistorului și a condensatorului în relația (2.7) și se

obține:

,* 1

25 · 40 · 1067* = 10.001* 2.8


Fig.4: Răspunsul la un semnal treaptă unitară al blocului de reglare de tip I

Fig. 5

Legea de reglare de tip D nu se folose

în legile de reglare de tip PD

figura 5.

Problema 3. Pentru circuitul din figura se cunosc urm

Amplificatorul Operațional este


a) Să se traseze graficul ră

timp t=0.5 secunde.

b)




UC2 – tensiunea condensatorul C

i1 – intensitatea curentului prin condensatorul C



Rezolvare:

a) Se pornește de la proprietatea A.O. ideal:

Se determină expresia intensit

! /

08

0!

Regulator D cu A.O.

Fig. 5: Schema blocului de reglare de tip D

Legea de reglare de tip D nu se folosește singură, ci componenta derivativ

în legile de reglare de tip PD și PID. Schema de principiu a acestei legi este prezentat

Pentru circuitul din figura se cunosc următoarele: C1=10

ional este ideal. Se cere:

ția de transfer Gs

se traseze graficul răspunsului la o intrare treaptă unitară generată

tensiunea de intrare în regulatorul D;

șire din regulatorul D;


condensatorul C2;



intensitatea curentului bornei inversoare;

te de la proprietatea A.O. ideal: 03.1

expresia intensității curentului prin condensator și prin rezistor.

!

0! /

0! " !

0! /

0!

0!

derivativă intervine

i PID. Schema de principiu a acestei legi este prezentată în

=10 µF și R2=50 Ω,

generată la un moment de

i prin rezistor.

3.2

! ! " !

#

!

#

3.3

Din relațiile de mai sus se obține:

! "! ⇒!

#

"/

0!

0!3.4

Semnul minus se datorează aplicării tensiunii de intrare pe borna inversoare a AO.


! /#

0!

0!3.5

Se aplică transformata Laplace ecuației (3.5).

* /#** 39**3.6

Din relația de mai sus se obține funcția de transfer a blocului de reglare de tip D, după

cum urmează.

,* *

* /#* 39*3.7

unde TD reprezintă constanta de derivare a regulatorului .

Se înlocuiește numeric și se obține:

,* 50 · 10 · 1067* = 0.0005*3.8


Fig.6: Răspunsul la un semnal treaptă unitară al blocului de reglare de tip D

Fig.7: Vedere de detaliu a răspunsului la un semnal treaptă unitară al blocului de reglare

de tip D

Fig. 8

Problema 4. Pentru circuitul din figur

mF, iar amplificatorul operațional este ideal. Se cere:






UR2 – tensiunea rezistorului

UC2 – tensiunea condensatorul

i1 – intensitatea curentului prin


ii – intensitatea curentului bornei invers

Rezolvare:


Se scrie expresia intensității curentului r

Regulator PI cu A.O.

ig. 8: Schema blocului de reglare de tip PI

Pentru circuitul din figură se cunosc următoarele: R1=2.5 Ω, R2=


ția de transfer ,* = :;:;

se traseze graficul răspunsului la o intrare treaptă unitară.

tensiunea de intrare în regulatorul PI;

șire din regulatorul PI;


rezistorului R2;

condensatorul C2;


intensitatea curentului prin rezistorul R2 și condensatorul C2;

intensitatea curentului bornei inversoare.

te de la proprietatea A.O. ideal: ! + ! = 04.1

ții curentului rezistorului R1.

! ! " !

#

!

#

4.2

R2=2.5 Ω și C1=10

Din relațiile (4.1) și (4.2) se obține:

! = −! = − !# 4.3

Se aplică a doua lege a lui Kirchoff circuitului de reacție.

! = (! + 8!4.4

Se scrie expresia tensiunii rezistorului R2 și a condensatorului C2.

(! = #!4.5

8! = 1/ 2 !0! 4.6

Se înlocuiesc relațiile (4.6) și (4.5) în relația (4.4).

! = #! + 1/ 2 !0! 4.7

Se înlocuiește expresia curentului i2 în relația (4.6).

! = − ## ! − 1#/ 2 !0! 4.8



! = ## <! + 1#/ 2 !0!= 4.9

Se aplică transformata Laplace ecuației (4.9) și se obține:

* = ## ?* + 1#/1* *@ = ## <1 + 1#/

1*= *4.10

Din relația de mai sus se obține funcția de transfer a blocului de reglare de tip PI, după

cum urmează.

,* = ** = ## <1 + 1#/*= = '( <1 + 134*=4.11

unde kR reprezintă factorul de amplificare iar TI reprezintă constanta de integrare, ale

regulatorului PI.

Se înlocuiesc numeric valorile celor două rezistoare și a condensatorului în relația

(4.11) și se obține:

Gs 2.52.5


Fig.9: Răspunsul la un semnal treapt

55 <1 + 12.5 · 10 · 106A*= = 1 + 10.025*

4.12)

spunsul indicial al sistemului

spunsul la un semnal treaptă unitară al blocului de reglare de tip PI

)

al blocului de reglare de tip PI

Fig. 10


µF, iar amplificatorul operațional este ideal. Se cere:

c) Să se deducă funcția de transfer


timp t=1 secundă.

d)





i1 – intensitatea curentului prin rezistorul

iC1 – intensitatea curentului prin condensatorul

iR2 – intensitatea curentului prin rezistorul R

ii – intensitatea curentului bornei inversoare.

Rezolvare:


Se determină curentul prin rezistorul

Se aplică prima lege a lui Kirchoff în nodul de intrare.

Regulator PD cu A.O.

10: Schema blocului de reglare de tip PD

Pentru circuitul din figură se cunosc următoarele: R1=2.5 Ω, R2=




tensiunea de intrare în regulatorul PI;

șire din regulatorul PI;


condensatorul C1





te de la proprietatea A.O. ideal: ! + ! = 05.1

curentul prin rezistorul R1 .

! ! " !

#

!

#

5.2)

prima lege a lui Kirchoff în nodul de intrare.

R2=75 Ω și C1=0.5


! = 8! + (!5.3

Se determină intensitatea curentului prin condensator și prin rezistorul R2.

8! = / 08!0! = / 0B! − !C0! = / 0!0! 5.4

(! = ! − !# = !# 5.5

Se înlocuiesc relațiile (5.4) și (5.5) în relația (5.3).

! = / 0!0! + !# 5.6

Din relația (5.1) se obține:

! = −! D.A,D.7FGGGGGH !# = − / 0!0! − !# 5.7


! = − ## ! − #/ 00! 5.8



! = ## <! + #/ 00! = 5.9


* = ## B* + #/**C = ## 1 + #/**5.10

Din relația de mai sus se obține funcția de transfer a blocului de reglare de tip PD,

după cum urmează.

,* = ** = ## 1 + #/* = '(1 + 39*5.11

unde kR reprezintă factorul de amplificare iar TD reprezintă constanta de derivare ale

regulatorului PI.

Se înlocuiesc numeric valorile celor două rezistoare și a condensatorului în relația

(5.11) și se obține:

Gs = 752.5 1 + 2.5 · 0.5 · 1067* = 301 + 1.25 · 1067*5.12


Fig. 11: Răspunsul la un semnal treapt

Fig. 12: Vedere de detaliu a r

punsul indicial al sistemului

spunsul la un semnal treaptă unitară al blocului de reglare de tip

Fig. 12: Vedere de detaliu a răspunsului la un semnal treaptă unitar

reglare de tip PD

al blocului de reglare de tip PD

unitară al blocului de

Fig. 13


și C2=0.5 µF, iar amplificatorul opera

c) Să se deducă funcția de transfer

d) Să se construiască o structur

e) Să se traseze graficul ră

timp t=0.5 secunde.






UR2 – tensiunea rezistorului

i1 – intensitatea curentului prin rezistorul

iC1 – intensitatea curentului prin condensatorul

i2 – intensitatea curentului prin circuitul de reac

ii – intensitatea curentului bornei inversoare.

Rezolvare:

Regulator PID cu A.O.

3: Schema blocului de reglare de tip PID

Pentru circuitul din figură se cunosc următoarele: R1=2.5 Ω,

, iar amplificatorul operațional este ideal. Se cere:


ă o structură echivalentă cu efecte elementare P , I


tensiunea de intrare în regulatorul PID;

șire din regulatorul PID;


condensatorul C1;

condensatorul C2;

rezistorului R2;



intensitatea curentului prin circuitul de reacție;


, R2=75 Ω, C1=0.5

cu efecte elementare P , I și D ;


a) Se pornește de la proprietatea A.O. ideal: ! + A! = 06.1

Se scrie expresia curentului prin rezistorul R1 .

! = ! − !# = !# 6.2

Expresia curentului i3 se determină aplicând prima lege a lui Kirchoff.

A! = 8! + !6.3

Se determină intensitatea curentului prin condensatorul C1.

8! = / 08!0! = / 0B! − !C0! = / 0!0! 6.4

Se înlocuiește relația (6.3) în relația (6.1).

! = −8! − !6.5

Se înlocuiesc expresiile curenților iC1 și i1 în relația de mai sus și se obține:

! = −/ 0!0! − !# 6.6

Se aplică a doua lege a lui Kirchoff circuitului de reacție.

! = (! + 8!6.7

Se scrie expresia tensiunii rezistorului R2 și a condensatorului C2.

(! = #!6.8

8! = 1/ 2 !0! 6.9

Se înlocuiește expresia curentului circuitului de reacție din relația (6.6) în relația de

mai sus.

! = # ?−/ 0!0! − !# @ + 1/ 2 ?−/ 0!0! − !# @ 0! 6.10


! = − <## + //= ! − 1#/ 2 !0! − #/ 00! 6.11



! = ## I<1 + #/#/= ! + 1#/ 2 !0! + #/ 00! J 6.12


* = ## I<1 + #/#/= * + 1#/* *+#/**J= ## I<1 + #/#/= + 1#/* + #/**J *6.13

Din relația de mai sus se obține funcția de transfer a blocului de reglare de tip PID,

după cum urmează.

,* = ** = ## I<1 + #/#/= + 1#/* + #/**J = '( <1 + 134* + 39*=6.14

unde kR reprezintă factorul de amplificare, TI reprezintă constanta de integrare iar TD

reprezintă constanta de derivare ale regulatorului PID.

Se înlocuiesc numeric valorile rezistoarelor și ale condensatoarelor în relația de mai

sus și se obține:

Gs = 0.04 <1.00016 + 10.25* + 4 · 106D*= 6.15

a) Structurile efectelor de reglare elementare.

Structura de reglare P – figura 1;

Structura de reglare I – figura 3;

Structura de reglare D – figura 5.


Fig. 14: Răspunsul la un semnal treaptă unitară al blocului de reglare de tip PID

Fig. 15: Vedere de detaliu a răspunsului la un semnal treaptă unitară al blocului de

reglare de tip PID

legi reglare ao

Documents

Transcript of legi reglare ao