Lectia 9 Logaritmi Exponentiale

7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale

http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 1/10

Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au

Funcţia exponenţială/ Funcţia logaritmică

ax logax

ax : R R *+ a>0, a≠ 1

Ex: f(x)!x

logax : R *+

R a>0, a≠ 1E$. g%$&'log!xPrin !efini(ie, loga"c !ac) "ac

Grafic:exemplificare pentru a=2

x #∞ #! #1 0 ! $ % ∞

f(x) *

1 +

1 1 * , 1

!#!*

1 +-1'

+

1 +0'1 etc.

/iin! biecti) f a!mite iners). 2nersa

ei se nume3te func(ia logaritmic) 3i esterepre#entat) 4n coloana al)turat).5bser)m c) cele !ou) repre#ent)ri !ine$emplul consi!erat sunt simetrice fa()!e prima bisectoare.

x0 *

1

+

1

1 ! % &

∞

f(x) #! #1 0 1 + 6

log+*

1' log++-+'-+7 log+

+

1=log++-1'-1

log+1'0 !eoarece +0'17 log++'1 etc

Grafic:exemplificare pentru a=+

1

Pentru aceast) situa(ie om obsera c) monotonia !ifer) 3i anume cele !ou) func(iisunt !escresc)toare. 8n rest au acelea3i caracteristici.

1





8n coloana al)turat) s ee!e proprietatea!e simetrie fa() !e prima bisectoare.

Proprietăţi

a>1: f e'te cre'cătoare0a1: f e'te e'cre'cătoare

a0

'1 a1

'aa$:'a$a: a$-:a$;a:

%a$&:'a$: a-$'1<a$

a$ b$'%ab&$ a$;b$' x

x

b

a

a>1: f e'te cre'cătoare0a1: f e'te e'cre'cătoare

loga1'0 %a0

'1& logaa'1 %a1

'a&loga$:'loga$loga: loga

y

x

'loga$-loga:loga$m'mloga$/ormula !e sc=imbare a ba#ei;

loga$'a

x

c

c

log

log

Calcule cu logaritmi numerici

Cum aducem la o formă mai simplă-scriem logaritmii 4n aceea3i ba#) 3i restr>ngem folosin! propriet)(ile !e mai sus.%c)ut)m o ba#) c>t mai potriit) eentual ba#a 10 sau ba#a e&-intro!ucem constantele care 4i 4nso(esc 4n argumenbtul acestora-constantele !in e$presie se transform) 4n logaritmi potrii(i pe ba#a formulei a'log b ba un!e b este ba#a !orit). E$; 6'log++6'log??6'lg106'lne6'...

Not)m;lg$'log10$ logaritmul #ecimal

+




Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#auln$'loge$ logaritmul natural un!e e este constanta lui Euler %e'+.@1@....&

Exemplu rezolvat 1:

E'log+@-6log*1++log,1?Cea mai potriit) ba#) este + !eoarece obser)m c) toate ba#ele sunt puteri ale lui +.E'log+@-log*1+6log,1?+'

*+

6

+*

1

+

*

++

*

+

++

+

+

*

+

+

++++

+

+

+

+

6

+

-

++

6

+

+

+

+

+

6+

++

+

+

+

+

6

++

+?9,

@log+log&

+?+@

9@%log6

+?+@

9@log

*

1

6&+?log9log+@log@%log*

1

*

?log9log+@log+1+@log*

*

?log6log

+

6log+log@log

+log

&?6%log

+log

&6+%log@log

,log

1?log

*log

1+log@log

⋅=−=−=

=−−+−=

−+−−

=

=+

++

−=

=⋅

+−=+−=

Exemplu rezolvat 2:

) se erifice egalitatea; log1+? log11@'log11? log1+@eoarece nu e!em o „leg)tur)" 4ntre ba#e 3i argumente care s) ne permit) alegereaunei ba#e conenabile alegem s) folosim o ba#) „neutr)" 3i anume ba#a 10.E$presia !in membrul st>ng !eine;

11lg

@lg

1+lg

?lg iar cea !in !reapta !eine

1+lg

@lg

11lg

?lg !e un!e se e!e egalitatea.

Exemplu rezolvat 3:

Ce rela(ie e$ist) 4ntre a 3i b un!e a' 6log + x b' 9log x

a'a

x x x +

1log.

log+

1

log

6log6

6

+

6

6== b'

a

a

x x*

+

1

+

log

+

log

9log

66

6===

Exemplu rezolvat 4:

) se arate c) log6*Dlog*6.

log6*'6lg

*lg7 log*6'

*lg

6lg. Pentru a compara !ou) e$presii 4n general facem !iferen(a

celor !ou) e$presii sau raportul acestora %e#i compararea a + ra!icali sau a !ou) puteri&. Alegem s) facem raportul !atorit) aspectului lui a respecti b.

6





6lg

*lg

*lg

6lg

6lg

*lg

+

+

==b

a. Cum 101 lg$ este cresc)toare !eci *6 ne con!uce la

lg*lg6lg1'0 !eci lg+

*lg+

6 !e un!e ab.

Exemplu rezolvat 5:

Logaritmarea unor e$presii ; !eoarece func(ia logaritmic) este inecti) !ac) E'/atunci logaE'loga/. E$presiile multiplicatie care con(in puteri 3i e$ponen(iale pot filogaritmate !eoarece logaritmul pro!usului se transform) 4n suma !e logaritmi !e

puteri%e$ponen(iale&.

Exemplu rezolvat 6:

) se logaritme#e e$presia; E' * ?6 ba

lgE'lg% * ?6ba

&'lga6lg * ?b '6lga

*

?lgb

Exemplu rezolvat 6:

) se erifice egalitatea; 1lglglg

=⋅⋅ b

a

a

c

c

b

cba

Logaritm)m ambii membri ai egalit)(ii;

lg% b

a

a

c

c

b

cba lglglg⋅⋅ &'lg1'0⇔ lg c

b

alg lg a

c

blg lg b

a

clg '0⇔ lg c

b

lga lg a

c

lgb lg b

a

lgc'0⇔

%lgb-lgc&lga%lgc-lga&lgb%lga-lgb&lgc'0 ceea ce se erific) u3or.

E$erci(ii propuse;

2.Calcula(i aloarea urm)toarelor e$presii;

1.E1'lg1

+ lg

+

6 lg

6

*... lg

99

100+.E+'log+%? @ &log+%?- @ &-

+log+66.E6'

+log

19+log

+log

+*log

1+

+

9-

+− *.E*'log+@+? log*9 log?,

?.E?' -+?

6log

6+

9log

6

16+

++

.E'log+?100 log1+?-+log1?

22. /olosin! monotonia func(iei logaritmice s) se !emonstre#e urm)toarele inegalit)(i;

+

??log

*

9+ << ,.log6*log*? 9.log6*D+D ?

10. ?log6+ +6 << 11. +6log+

6+ <<

*




Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au222.1+.Calcula(i partea 4ntreag) a num)rului a'log+6log6+16.ac) log6+'a calcula(i log1+1, 4n func(ie !e a.1*. ac) log*0100'a atunci s) se !etermine log+0?0.

1?. Calcula(i 100lg+6 +@−

1. ) se !etermine+1

1log

6-+

− !ac) a' 6log++6−

1@.) se e$prime log60?* 4n func(ie !e a'log1?100 b'log@+*,1,. Calcula(i Flg1GFlg+G...Flg10+011G19. ) se arate c) urm)toarele e$presii nu !epin! !e $;

a&A' x x x

x x x

+

?

?

?

6

66

6

loglog

loglog

−

+ −

b&B' +

+*+

*+

+ &log,6%+

log1+log* x x

x −−+

c&C' x x x x x x log...+log1log

1

log...+log1log

1

log...+log1log

1

666+++ +++

+

+++

+

+++

$ natural nenul !iferit !e 1+0.) se !emonstre#e inegalit)(ile ;

a& 6016+log--log

1

--66

>−

b& 10+*log1+log

1

1+-

<−

+1.) se logaritme#e urm)toarele e$presii;

a&E'*a 6 +- ab b&E'6 +*? 6

6 6 ++*6

abcba

bcacba

++. ) se calcule#e E'lg+*0lg+ ?

+

-+ lg+0 lg0001

Ecuaţii exponenţiale i logaritmice

- Ecuaţii logaritmice Pentru aceste tipuri de ecuaii se impune determinarea condiiilor de existen! a

lo"aritmilor# $i anume f%x&'()

1Ecuaţii elementare e forma: logaf(x)", a>0, a≠ 1⇔ f%$&'a b

logg(x)f(x)" ⇔ f%$&'g%$& b

Exemplu rezolvat *:

log6%$+&'*a&con!i(ii !e e$isten() $+0 &+% ∞−∈⇒ x

b&He#ol)m; log6%$+&'*'log66* !e un!e %log e inecti) II& aem $+',1 a!ic)$'@9-+ !eci e solu(ie.

Exemplu rezolvat +:

log%$-1&%$

+

+&'+a& con!i(ii !e e$isten(); $-10 $++0 $-1≠ 1 !e un!e $1 $≠ +

?





b& %$-1&+'$++⇒$+-+$1'$++⇒+$'-1⇒$'- J+KL&.1%+

1∞∉ !eci ecua(ia nu are

solu(ii.

! Ecuaţii e forma logaf(x)logag(x)⇔

f(x)g(x)

Exemplu rezolvat ,:

log6%$-*&'log6%+$-10&Con!i(ii !e e$isten(); $-*0 +$-100 !e un!e $?$-*'+$-10⇒$'? !eci are solu(ie

$Ecuaţii cu logaritmi care 'e pot re'tr.nge p.nă la o expre'ie care ne conuce lao ecuaţie e forma (1) ('ume e logaritmi n "ae iferite, ar care 'e pot 'crie nfuncţie e o "aă comunăa)trecem logaritmii n aceeai "aă i tran'formăm con'tantele n logaritmi")re'tr.ngem n logaritmi in prou'e/rapoarte

Exemplu rezolvat 1(:

log+$+log*%$-1&'6C.E.; $07 $1⇒$1

log+$ .660,,&1%6&1%log6+

&1%log+ +

+

+=∆⇒=−−⇒=−⇒=−⇒=

− x x x x x x

x

+

661+.1

±= x !intre care 1

+

661>

+= x

% Ecuaţii care 'e reolă prin 'u"'tituţii care ne conuc la ecuaţii e graul -, --'au ecuaţii omogene:

Exemplu rezolvat 11:

lg+

$-6lg$+'0 C.E.;$0/acem substitu(ia :'lg$ !e un!e :'1 respecti :'+ apoi !etermin)m $;lg$'1⇒ $'10 respecti lg$'+⇒ $'100 care 4n!eplinesc con!i(ia $0

2 Ecuaţii im"ricate ;loga(log"(f(x))"# 'e reolă 3in aproape n aproape4 latipul 1


log+%log6%$6&&'+




Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#auC.E. $60 7 log6%$6&0 !e un!e $-6 respecti $617 re#ult) x>#! !in intersec(iacelor !ou) interale.

log+%log6%$6&&'+⇒ log6%$6&'++⇒$6'6*

⇒$',1-6'@,-+ !eci aem o solu(ie

. Ecua(ii cu solu(ie unic); au forma f%$&'g%$& sau se pot a!uce la aceast) form) un!efg au monotonii !iferite. /olosim interpretarea grafic) a acestui aspect 3i anumenum)rul punctelor !e intersec(ie ale celor !ou) grafice este NL ;

#gă'im o 'oluţie x0

#arătăm că nu are 'oluţii xx0

#arătăm că nu are 'oluţii x>x0

%de obicei sunt ecuaii -n care nu apar doar

lo"aritmi&


x+log!(x+1)2/ie f%$&'log+%$1& cresc.7 g%$&'?-$ !escr.)sim $0'6 care satisface ecua(ia/ie $D6. Construim „!in aproape 4n aproape"e$presiile lui f respecti g;$D6 ⇒ log+%$1&Dlog+*'+ %log e cresc& !eci f%$&D+

$D6⇒

-$-6⇒

?-$?-6⇒

g%$&+Prin urmare aem; f%$&D+Dg%$& !e un!e f%$& nu poate fi egal) cu g%$&

Analog alegem $6 !e un!e om aea f%$&+g%$&.eci $0'6 a fi singura solu(ie.

E$erci(ii propuse;) se re#ole ecua(iile urm)toare;

1.log6%$+-6$&'log6%?$-@& +.log+$'-6 6.lg%@-$+&'6lg%6-$&

*.log,%$-1&log,%$+@&' 6

@

?.0?lg%+$-1&lg 9− x '1.+%lg$-lg&'lg$-+%lg x -1& @.log+%-6$+1$-11&'1

,.log$%6$+6$&'log$%9-6$& 9. &++%log&+

1%log

1

1

1

1 x x x

x

x

x −=+

+

−

+

−

10.6lg+$-?lg$+'0 11. 1log1+

?log

-

1++

+=− x x

1+. ,0&1&%lg1lg9% 6++

=+− x x 16.,lg*$-9lg+$1'01*.lg%$+-$?&-lg%6-$&'lg6 1?.lg%+$6&-+lg%+$-6&'11.log6%-$&log6 x−* '1 1@.+ln%$+&'ln%$1*&

1,.lg 66@

+

−

x x -lg+'-lg%+@-$& 19.log++%$1&-*log+%$1&6'0

@





+0.+log++%*$+&-log+%,$&

+

1'0 +0.log+%$log+%+$&&'+

+1.log6%6log+%+log?$&&'1 ++.+log$%$-1&log%$+

&%$-1&'0+6.lg%@ x &- 1&91%log

10 =−+ x +*. x log+%$1&'+

+?.$-,'$lg+

--Ecuaţii exponenţiale

1.Ecuaţii elementare !e forma af%$&'b un!e b0 a0 a ≠ 1⇔ f%$&'loga b%se ob(ine prin logaritmare cu ba#a a&


+$-+'*⇒ $-+'+ %putem scrie pe *'++ +$ este inecti)& ⇒ $'*


6$-*'+⇒ $-*'log6+⇒ $'*log6+⇒ $'log66*log6+'log61+

!5rou'e e exponenţiale cu "ae iferite; 0&%&%&%

>= d cba x. x " x f

-logaritmăm într-o bază neutră (lg)-apare o sumă de logaritmi deoarece numitorii fracţiilor obţinute vor fi constanţi

-obţinem o ecuaţie de gradul I/II cu necunoscuta (grupăm după puterile lui )


+$-16+$-6'?⇒ lg%+$-16+$-6&'lg?⇒ lg%+$-1&lg%6+$-6&'lg?⇒ %$-1&lg+%+$-6&lg6'lg?⇒

$%lg++lg6&'lg+6lg6lg?⇒ $' +@0log1,lg

+@0lg1,=

$ Expre'ii cu ! exponenţiale %f)r) alte constante&; împărţim prin una din ele

Exemplu rezolvat 1*:

+$1'6$-+⇒+×+$'6$×6-+

⇒1,

1log

1,

1&

6

+%

+

6

6

+

6

+

+

=⇒=⇒=

−

x x

x

x

Exemplu rezolvat 1+:

6$6$16$+'?$?$1⇒ 6$%166+&'?$%1?& ⇒16

-&

?

6% =

x⇒ $'

16

-log

?

6

%Ecuaţii care 'e reolă prin 'u"'tituţii care ne con!uc la ec. !e gra!ul 22 sauomogene %sume !e e$presii cu e$pon.&;a& ecua(ii !e forma ma!f(x)+naf(x)+p0: not!m a f%x&=t'(⇒mt 2/nt/p=(

b&ecua(ii !e forma maf(x)+n"g(x)c, une a"1: not!m a f%x&=t ⇒mt/nt

1=c

,




Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au Exemplu rezolvat 1,:

6×++$+$'1*⇒6t+t'1*⇒6t+t-1*'0 !e un!e !etermin)m t1+ 3i alegem pecee<cele po#itie apoi re#ol)m ecua(ii !e forma +$'t1+ %tipul 1-logaritmare sau

scriere ca putere a constantei& Exemplu rezolvat 2(:

1,&+?%&+?% =++− x x Not)m x

t &+?% −=

a' +? − b' +? + .erific)m ab'?-*'1

b'a

1 !e un!e ob(inem t

t

1'1, ceea ce ne con!uce la ecua(ia; t+-1,t1'07

t1+' ?*9+

?,1,

+

+01-1,

+

&+1,&%+1,%1,

+

*1,1, +

±=±

=⋅±

=+−±

=−±

+&+?%?*9&+?%

+

1 =⇒−=−=−= xt

x

%e#i ra!icali compu3i&+&+?%?*9&+?%

&+?%

1&+?%

+

+ −=⇒+=+=+=

+

=−= −

xt x

x

x

eci $'± +


?×*$-11×$×9$'0 Not)m +$'u 6$'⇒?u+-11u+'0- ecua(ie omogen)7 4mp)r(im prin + %e nenul

!in !efini(ia e$ponen(ialei& 3i not)m t' v

u

!e un!e aem ?t+

-11t'0 afl)m t0apoi afl)m $.

?.Ecua(ii cu solu(ie unic); !e forma f%$&'g%$& sau re!uctibile la acestea cu fg !emonotonii !iferitea)'ume e mai mult e trei exponenţiale cu "ae i'tincte ; grupăm convenabil!i împărţim prin cea mai mare sau cea mai mică dintre ele pentru a a"unge la

forma de mai sus")expre'ii tran'cenente cu exponenţiale %care con(in 3i alte func(ii&; grupăm

termenii pentru a a"unge la o formă cu funcţii de monotonii diferite (sau de forma f()#ct cu f monotonă)8n ambele situa(ii proce!)m ca la ec. cu solu(ie unic) !e tip logaritmic;

#gă'im o 'oluţie x0

#arătăm că nu are 'oluţii xx0

#arătăm că nu are 'oluţii x>x0


+$6$'?$. Ambii membri sunt cresc)tori7 4mp)r(im prin ?$0⇒ 1&?

6%&?

+% =+ x x

9




Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#auMembrul st>ng este func(ie cresc)toare cel !rept e func(ie constant) graficele lorau !oar un punct !e intersec(ie. )sim $0'1 o solu(ie %prin 4ncerc)ri& 3i !emonstr)mc) este unic)./ie $D17 construim f%$& !in aproape 4n aproape;

1&?+%&

?+% >

x %!escresc)toare !eoarece ba#a este subunitar)&

1&

?

6%&

?

6% >

x . A!un)m cele !ou) rela(ii pentru a ob(ine membrul st>ng al ecua(iei. ⇒

1?

6+&

?

6%&

?

+% =

+>+

x x # deci nu are soluii pentru x01)

/ie $1. Analog ob(inem;1&

?

+%&

?

+% <

x

1&

?

6%&

?

6% <

x⇒ 1

?

6+&

?

6%&

?

+% =

+<+

x x nu poate fi e"al cu 1# deci nu are

soluii

E$erci(ii propuse;) se re#ole ecua(iile urm)toare;

1.+6$1'10+* +.66$-1' 6 9 6. +&+

1%

1=

+− x

*.+$-6'*-1 ?. 61+?? +++

=++ x x . +$+?$+'+6$1+?$

@. -*+ =+ x x ,. 1

19

?

@

1+,+?.06+ −

+

−

+

⋅= x

x

x

x

9.+$-1+$-++$-6'**, 10.6+$69×6+$-6+$1'+9@11.?$-+?$-6?$-*'@@? 1+.6$'*$ 16.++$-1,×+$6+'01*.6$-*+×$+1'0 1?.6+$'$ 1.6$×*$1'?+$×@$-+

1@.?$1?$+'6$16$+6$6 1,.+×*9$'6?$+?$ 19.×96$-16×1?6$×+?6$'0

+0.%@-* 6 &6$%@* 6 &6$'1* +1.,6

+&++6%&++6%

1++ 1

−=−++

+−+−

x x x x

++. 10&-+?%&-+?% =−++ x x +6.+9$6$'+×+@$ +*. +++

116, x x x=+

+?.1

16 +

−

=−

x

x

bservaie: pentru sisteme !e ecua(ii se or folosi te=nici combinate %gruparea ec.substitu(ii etc&

10

Lectia 9 Logaritmi Exponentiale

Documents

Transcript of Lectia 9 Logaritmi Exponentiale