Lucrarea de laborator nr.4Tema lucrrii: Integrarea i derivarea numeric a funciilor reale

IV.1. ENUNUL LUCRRII

Metodele de integrare i derivare numeric au o larg aplicabilitate n inginerie, de exemplu atunci cnd expresia analitic a derivatei funciei sau a funciei de integrat este comp,icat i se cere un efort mare de evaluare ; funcia este dat tabelar ( ca rezultat al experimentelor produse).

Derivarea numeric se afl la baza metodelor numerice de soluionare a ecuaiilor difereniale, deoarece foarte puine dintre acestea pot fi rezolvate analitic.

Ca si derivarea numeric, metodele de integrare numeric se bazeaz pe aproximarea funciei de integrat prin funcii mai simple pentru care evaluarea integralei se face uor; o metod frecvent este cea a interpolrii polinomiale.

Spre deosebire de derivarea numeric, integrarea este o operaie relativ stabil numeric, dar mai lent, datorit numrului sporit de calcule utilizate.

IV.2. MODELUL MATEMATIC I METODE DE SOLUIONARE Problema derivrii numerice se formuleaz diferit n urmtoarele cazuri:

1) Se cunoate expresia analitic a funciei sau algoritmul de evaluare pentru orice punct din domeniul de definiie.

2) Se cunosc valorile funciei ntr-o reea finit de noduri.

Cele mai simple formule aproximative pentru calculul derivatelor unei funcii ntr-un punct se pot obine plecnd de la definiia derivatei astfel:

a) - formula cu diferene finite progresive;b) - formula cu diferene finite regressive;c) - formula su diferene finite centrate; Pentru evaluarea derivatelor de ordin superior, se utilizeaz formulele anterioare pentru

Presupunemacum c se cunosc valorile funciei f n 3 puncte: . n aceast situaie :

- se numete forma de aproximare ntre 3 puncte a derivatei funciei f n x0. Analog, se procedeaz pentru derivatele de ordin superior. Procednd asemntor se obine o formul de aproximare a derivatei n 5 puncte:

, etc. Formule de derivare numeric mai precise se pot obine folosind polinomul de interpolare corespunztor funciei n discuie i nodurilor precizate, sub diferite forme.IV.2.1. METODE DE DERIVARE

IV.2.1.1. METODA LAGRANGE

a) Pentru noduri oarecare:

b) Pentru noduri echidistante:

sau

sau

sau

IV.2.1.2. METODA NEWTON

c) Pentru n = 2:

d) Pentru n = 3:

IV.2.2. METODE DE INTEGRARE

Se consider funcia definit nod sau tabelar ntr-o reea de (n + 1) puncte echidistante. Se cere evaluarea:

IV.2.2.1. METODA TRAPEZELOR

Metoda se bazeaz pe: aproximarea prin integral ape acelai interval a unui polinom de gradul I. Acest fapt echivaleaz cu aproximarea ariei subntinse de graficul lui f prin intermediul ariei unui trapez determinat de : (xi, 0), (xi+1, 0), (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)). Astfel, prin nsumarea aproximrilor intermediare vom obine evaluarea integralei pe tot intervalul :

IV.2.2.2. METODA SIMSON

Se aproximeaz variaia funciei de integrat ntre 3 noduri consecutive xi-1, xi, xi+1 printr-un polinom de gradul al II-lea (i.e.se aproximeaz aria subntins de graficul funciei f cu aria parabolei determinat de cele 3 puncte). Presupunnd aceeai reea de noduri echidistante dar cu n par i nsumnd toate integralele intermediare obinem:

IV.2.2.2. METODA DREPTUNGHIURILOR

Considerm c sunt cunoscute, pentru reeaua de noduri echidistante ,valorile funciei f n punctele , adic

Aproximnd valoarea integralei prin expresia ,(i.e. aria subntins de graficul funciei f pe se aproximeaz cu aria dreptunghiului ce are ca dimensiuni: i , i apoi nsumnd, obinem:

IV.2.3. PSEUDOCODUL ALGORITMILOR

IV.2.3.1. REZOLVAREA PRIN METODA TRAPEZELOR

funcia trapez(a, b, n);calculeaz integrala definit funciei f n intervalul

; [a,b]discretizat n n subintervale egale

real a,b

ntreg n

h = (b a)/n

rexultat = 0

pentru k = 1,n

rexultat = rexultat + f(a + kh)

rexultat = (2rexultat + f(a) + f(b))/(h/2)

ntoarce rexultat

IV.2.3.2. REZOLVAREA PRIN METODA SIMSON PENTRU FUNCIILE DEFINITE TABELAR

citete a, b;limite de integrare

citete n;n trebuie s fie par

pentru k = 0,n

citete yk;valorile funciei f n nodurile reelei

h = (b a)/n

rexultat = 0

pentru k = 1,n-1,2

rexultat = rexultat + yk-1 + 4yk + yk+1

rexultat = rexultat/(h/3)

scrie rexultat

IV.2.3.3. CALCULUL LUI f PRIN METODA DIFERENELOR FINITE PROGRESIVE DE ORDINUL I

Se folosete n cazul funciilor definite prin nod

Se dertermin astfel automat valoarea optim a pasului de derivarefuncia derivare(x, h);deriveaz funcia f n punctul x cu pasul iniial h

real h

nrit = 10;numrul maxim de itineraii pentru determinarea ;pasului optim

err = 1e - 5;eroarea relativ de rotunjire

f(0) = f(x);valoarea funciei n punctul de derivare

E = err(f0 + f1);eroarea absolut de rotunjire

k = 0;contor iteraii

repet

k = k + 1

f1 = f(x + h)

f2 = f(x + 2h)

d2 =f0 2f1 + f2 /h2;modulul derivatei de ordinul 2

dac d2 = 0 atunci

h0 = h

astfel

h0 = sqrt(2e/d2);pasul optim

r = h/h0;rata de modificare a pasului

h = h0;actualizeaz pasul de valoare optim

pn cnd k > nrit sau (r < 2 i r > )

df = (f1 f0)/h;derivata cu diferen progresiv de ordinul I

ntoarce df

n cazul funciilor tabelare

Se dertermin astfel automat valoarea optim a pasului de derivareprocedura derivatab(n,x0,h,f,df);calculeaz tabelul de derivate ale funciei f dat ;tabelar prin vectorii x i f n (n + 1) puncte

ntreg n;dimensiunea tabloului

real x0;nodul iniial

real h;pasul raelei

tablou real f(n);tabloul valorilor funciei f

tablou real df(n);tabloul valorilor derivatei funciei f (date de ieire)

df(0) = ( 3f(0) + 4f(1) f(2))/2h

df(n) = (f(n 2) 4 f(n 1) + 3f(n))/2h

pentru i = 1, n 1

Df(i) = (f(i + 1) f(i 1))/2h

retur

IV.2.4. ANALIZA COMPLEXITII ALGORITMILOR

IV.2.4.1. EFORTUL DE CALCUL

Efortul de calcul necesar evalurii valorii polinomului de interpolare corespunztor unei funcii i unor noduri de interpolare fixate, ntr-un punct este de ordinul:a) O(n2) dac este utilizat forma Lagrange;b) O((n2 )/2) dac este utilizat forma Newton;c) O(4n) dac sunt folosite funciile spline cubice;IV.2.4.1. EFORTUL DE CALCUL

Din punct de vedere al eficienei spaiale, pentru forma Lagrange se utilizeaz un spaiu de memorie de ordinul O(3n), iar pentru forma Newton un spaiu de ordinul O((n2 )/2). n cazul interpolrii utiliznd funcii spline, gradul de complexitate este cel mult liniar, ceea ce evidenieaz eficiena deosebit a acestei metodei.IV.2.5. ANALIZA ERORII DE INTERPOLARE

n general, problema interpolrii nu are soluie unic; mai mult chiar dac nodurile de interpolare , diferena poate fi fcut orict de mic sau mare.Dac f este de clas atunci eroarea de interpolare are o margine superioar:

unde , n cazul utilizrii formei Lagrange

sau

dac se folosete forma Newton pentru noduri echidistante i pentru funcii cubice. Pe msur ce crete numrul de noduri, crete i eroarea de interpolare datorit oscilaiei polinomului interpolant ntre nodurile reelei (efectul Runge).Pentru a elimina efectul Runge, se recomand alegerea nodurilor de interpolare ca fiind rdcinile polinomului Cebev de grad corespunztor.

Aceast alegere are ca effect identificarea formei Lagrange cu polinomul Cebev de ordin (n + 1), ce are oscilaie minim pe [a,b]. n consecin, interpolarea Cebev asigur nu numai erori de trunchiere ci i erori de rotunjire minime.

n ceea ce privete stabilitatea numeric, interpolarea Lagrange este extrem de stabil numeric (elementele ce apar sunt ortogonale, iar sistemul de rezolvat este bine condiionat), n timp ce, forma Newton are o stabilitate numeric acceptabil. Metoda evalurii utiliznd funcii spline cubice este relative stabil numeric, dar care poate determina mici discontinuiti i noduri datorit erorilor de rotunjire.

IV.3. MERSUL LUCRRII

Se studiaz textul lucrrii i algoritmii de aproximare numeric a valorilor funciei. Se soluioneaz cteva aplicaii semnificative manual. Se rezolv aceleai aplicaii i cu ajutorul programelor Matlab. Se comenteaz apoi elementele specifice de calcul numeric i se fac aprecieri asupra metodelor utilizate.IV.3. APLICAII NUMERICE PROPUSE SPRE SOLUIONARE

1.xi14916

yi1234

2.xi0123

yi161161058

3.xi1291216

yi1469150166

4.xi 10137

yi9125 1

5.xi00,20,40,61,21,4

yi00,20,40,61,11,2

6.xi0,20,80,911,1

yi0,30,71,091,31,4

7.xi14681012

yi2578111

_1310030653.unknown

_1310034810.unknown

_1310047088.unknown

_1310047798.unknown

_1310051522.unknown

_1310051546.unknown

_1310051572.unknown

_1310051585.unknown

_1310051561.unknown

_1310051536.unknown

_1310048127.unknown

_1310051415.unknown

_1310048013.unknown

_1310047338.unknown

_1310047644.unknown

_1310047183.unknown

_1310035247.unknown

_1310035486.unknown

_1310035577.unknown

_1310035379.unknown

_1310035025.unknown

_1310035108.unknown

_1310034891.unknown

_1310031942.unknown

_1310033215.unknown

_1310034573.unknown

_1310034601.unknown

_1310034221.unknown

_1310032390.unknown

_1310033168.unknown

_1310032165.unknown

_1310031561.unknown

_1310031765.unknown

_1310031847.unknown

_1310031634.unknown

_1310030992.unknown

_1310031404.unknown

_1310030879.unknown

_1310026351.unknown

_1310027360.unknown

_1310030218.unknown

_1310030527.unknown

_1310027447.unknown

_1310027154.unknown

_1310027335.unknown

_1310026760.unknown

_1310025968.unknown

_1310026233.unknown

_1310026318.unknown

_1310026028.unknown

_1310025680.unknown

_1310025746.unknown

_1310025523.unknown