8/7/2019 La nceput a fost numrul

1/5

1

LA NCEPUT A FOST NUMRUL

Autor: Maria Aldea clasa a VI-a

coala:Rare Voda PloietiProfesor ndrumtor: Daniela Badea

Motto:,,La nceput a fost numrul .Pitagora

Astfel Pitagora a spus Aa c s-a hotrt s se fac primarDar o fi fost el bine-dispus? Toi oamenii au votat,S pun ca prim numr Dar erau aa de multe voturi nct s-au mprtiat1, 2, 3 o fi fost un comar. Vntul le-a luat i au plecat.

Astfel nu s-au putut numra,

i a rmas celebr replica,La nceput a fost numrul

n realitate cifrele sunt originare din India, unde conceptul i semnele pentru 0 i celelalte 9cifre erau cunoscute i folosite nc de la nceputul sec. al VI-lea. Arabii le-au preluat de la indieni nsec. al IX-lea. Europenii le-au preluat de la arabi abia n sec. XII, i au trebuit s mai treac nc 300 deani pentru ca aceste cifre i folosirea lor s se generalizeze.Mai nti trebuie s tii c n vechime icifrele arabe erau formate din linii drepte pentru scrierea (sau mai bine zis scrijelirea) lor mai uoar penisip, pe tblie de lut, n piatr etc.

Ulterior pe msur ce instrumentele de scris i suportul pe care se scria s-au perfecionat acrescut viteza de scriere i segmentele drepte care formau cifrele s-au rotunjit ajungndu-se la forma deazi.

Dac cifrele romane I, II, III, IV au o legtur ntre forma lori numrul pe care l reprezint, cifrele arabe par la prima vedere lipsitede logic. Nimic mai FALS!

Fiecare dintre cifre are o legtur ntre numrul pe care lreprezint i numrul de unghiuri pecare l formeaz. S vedem cum artaucifrele arabe n vechime, iar logica

formei lor o vei descoperi singuri

Cel mai interesant dintre toate este ....

8/7/2019 La nceput a fost numrul

2/5

2

Cel dinti numr nu a fost numrul 1

Se pare c primul numr folosit de omul primitiv nu a fost numrul 1, cinumrul 2. Numrul 1 singur este ceva abstract. El nu poate exista dect atuncicnd ai dou sau mai multe elemente identice pe care s le numeri.

Pn n Evul Mediu era rspndit ideea c unu nici nu reprezintmcar un numr. Chiar i vechii nvai greci, care erau buni matematicieni, erauconvini de acest lucru.Excluderea lui unu din familia numerelor venea de lafaptul c oamenii, legau noiunea, de numr de aceea de mrime, cantitate,multitudine.

Numrul 2 a aprut, atunci cnd organizarea muncii n societateaprimitiv a cerut divizarea ei ntre dou persoane care triau n comun, adic divizarea muncii ntrebrbat i femeie. Denumirea de azi a numrului 2 de numr cu so sau a multiplilor lui 2 de numereperechi, este cu siguran o reminiscen din acele vremuri n care 2 reprezenta brbatul i femeia sauo pereche.

Rar se ntmpla ca n societatea primitiv s se foloseasc pentru o grup de 3 uniti un termen

special. Ceea ce trecea peste 2 era denumit mult sau foarte mult. Deci 3 sau 4 putea fi mult, saufoarte mult, dup interesul pe care l reprezentau aceste numere n raport cu necesitile omuluiprimitiv.

Nevoile economice, n dezvoltare, ale omului din societatea primitiv l-au determinat s facunele progrese n ntrebuinarea numerelor. Atunci a reuit s descopere posibilitatea de a combinanumrul 1 cu numrul 2. Astfel, pentru 3 s-a ntrebuinat unu cu doi, pentru 4 doi cu doi, iar pentrualte grupe de uniti, alte combinaii similare. Deci numrul 2 a devenit un fel de baz de numrare.De altfel, se tie precis c chinezii au ntrebuinat pn acum 5.000 de ani sistemul de numrare cu baza2 cunoscut n matematic sub numele de numrare binar. Denumirea de azi de numere perechisau numere pare a multiplilor lui 2 nu poate fi dect o amintire a epocii cnd 2 constituia o baz denumrare la o anumit treapt de dezvoltare a civilizaiei. i astzi chinezii mai folosesc termenii de

numere feminine i masculine pentru a arta numere cu so i fr so.

Unele cifre i curiozitile lor

Cifra 1

Cu cele 10 cifre de la 0 la 9, luate fiecare o singur dat, se pot forma fracii ,acror sum s fie egal cu unu.

Exemplu: Numrul cel mai mare care se poate scrie, folosind de patru ori cifra 1, nueste 1111 ci 1111. Efectund operaiile, obinem un numr mai mare dectnumrul format din 28 urmat de 10 zerouri. Acest numr este aproximativ de250.000.000 ori mai mare dect 1.111.

Cifra 7A ridica numrul 7 la puterea a patra constituie o operaie foarte simpl:

74 =7 7 7 7 = 2401. Numrul 2401 prezint ns o curiozitate legat de numrul 7. Dac facem

suma cifrelor lui 2401, luate ca simple uniti, obinem din nou numrul 7. ntr-adevr:2 + 4 + 0 + 1 = 7.

S urmrim urmtoarele 5 operaii cu numrul 7:7 1 + 1 = 8

8/7/2019 La nceput a fost numrul

3/5

3

7 12 + 2 = 867 123 + 3 = 864

7 1.234 + 4 = 8.6427 12.345 + 5 = 86.420

Cifra 9

Lund numerele de la 1 la 10 i nmulind pe fiecare din ele cu numrul 9, se obin urmtoarele produse: 1 9 = 9 6 9 = 54

2 9 = 18 7 9 = 633 9 = 27 8 9 = 724 9 = 36 9 9 = 815 9 = 45, 10 9 = 90

Ce observm privind coloanele de cifre de mai sus?Cifrele zecilor ale acestor produse se succed n ordinea lor natural, iar cifrele unitilor se

succed i ele, ns n ordine descresctoare. Aceste rezultate se explic prin faptul c 9 = 10 - 1, i decinmulirea cu 9 nu este dect o nmulire cu (10 - 1).

Astfel:4 9 = 4 (10 - 1) = 40 - 4 = 36 = 30 + 65 9 = 5 (10 - 1) = 50 - 5 = 45 = 40 + 5

Numrul 100

ntrebuinnd cele 9 cifre semnificative, fr repetiie, se pot gsi numere cu care s se scrienumrul 100 n urmtoarele 13 feluri:

Probabil c se mai pot gsi i alte moduri de exprimare a numrului 100 cu toate cele 9 cifresemnificative fr repetiie.

Descompunnd n sumele de mai sus pe 74 n 70 + 4, pe 91 n 90 + 1 i aa mai departe, se potscrie aceste sume cu toate cifrele de la 0 la 9 luate o singur dat. De exemplu:

Se poate obine numrul 100 utiliznd cele 10 cifre de la 0 la 9, fiecare o singur dat, astfel:

8/7/2019 La nceput a fost numrul

4/5

4

Considernd numrul 100 ca suma a 4 termeni 12 + 20 + 4 + 64, se observ c:12 + 4 = 16, 20 - 4 = 16, 4 4 = 16, 64 : 4 = 16.

n aceast privin numrul 100 prezint aceleai particulariti ca numerele 45 i 75 .

Utiliznd de 5 ori aceeai cifr se poate scrie numrul 100 n urmtoarele moduri:

100 = 11111; 100 = 5 5 5 5 5; 100 = 3 33 +3

3; 100 = (5 + 5 + 5 + 5) 5

Pentru a v incita interesul v voi prezenta n continuare .......

irul lui Fibonacci

Fibonacci a ntocmit un ir de numere naturale, care ulterior s-a dovedit foarte folositor:

Marea reputaie a lui Fibonacci, care participa la concursuri matematice (adevrate disputepublice) pentru cea mai bun i mai rapid soluie a unor probleme grele(ceva n genul OlimpiadelorNaionale), iscusina de care ddea dovad n rezolvarea problemelorcu numere i care uimise pe toatlumea, a fcut ca mpratul Germaniei Frederic II s vin n 1225 la Pisa, nsoit de un grup dematematicieni, care doreau s l supun pe Fibonacci la un examen public.Una din problemele date sprerezolvare suna astfel:

S se gseasc un ptrat perfect , care rmne ptrat perfect dac este mrit sau micorat cu 5.Dup un timp de gndire , Fibonacci a gsit numrul cutat. Era fractia

2

12

41

144

1681.

ntr-adevr:2

12

31

144

9615

144

1681 i

2

12

49

144

24015

144

1681.

Nu se tie raionamentul lui Fibonacci dar, toate ncercrile, chiar i cele mai ingenioase, de arezolva aceast problem cu ajutorul algebrei, duc n cel mai bun caz la o ecuaie cu 2 necunoscute.

La un alt concurs prezidat de mprat problema propus concurenilor suna astfel:

Plecnd de la o singur pereche de iepuri i tiind c fiecare pereche de iepuri produce n

fiecare lun o noupereche de iepuri, care devine productiv la vrsta de o lun, calculai cte perechide iepuri vor fi dup n luni (se consider c iepurii nu mor n decursul respectivei perioade de nluni).

Soluie.Din ipoteza problemei rezult c numrul perechilor de iepuri din fiecare lun este untermen al irului lui Fibonacci. ntr-adevr, s presupunem c la 1 ianuarie exista o singur perechefertil de iepuri. Notm cu 1 perechea respectiv. Ea corespunde numrului f2din irul lui Fibonacci:

f2 = f0 + f1 = 0 +1 = 1.

8/7/2019 La nceput a fost numrul

5/5

5

La 1 februarie, mai exist o pereche pe care o notm 1.1. Deci n acest moment sunt douperechi , ceea ce corespunde termenului:

f3 = f1 + f2 =1+1=2.

La 1 martie sunt 3 perechi, dou care existau n februarie i una nou care provine de laperechea numrul 1(se ine seama c o pereche devine fertil dup dou luni).Notm cu 1.2 aceast

nou pereche. Numrul perechilor din aceast lun corespunde termenului: f4 = f2 + f3 =1+2 = 3 .La 1 aprilie exist 5 perechi i anume: trei perechi existente n luna martie , o pereche nou care

provine de la perechea 1 i o pereche nou care provine de la perechea 1.1 care la 1 martie a devenitfertil (pereche pe care o notm cu 1.1.1). Numrul perechilor din aceast lun corespunde termenului:

f 5 = f 3 + f 4 =2 + 3 = 5.Termenii din aceast relaie se interpreteaz astfel:

f4= numrul perechilor existente n luna precedent ;f3=numrul perechilor noi (provin de la perechile existente n luna anteprecedent).

Procednd n continuare n acest fel, vom deduce c la data de 1 decembrie numrul perechiloreste dat termenul:

f13 = f11 + f12 = 89 + 144 = 233 ,iar la 1 ianuarie anul urmtor exist:f14 = f12 + f13 =144 +233 = 377 perechi de iepuri.

Concluzia este urmtoarea :Dac notm cu f n numrul de perechi de iepuri dup n luni , numrul de perechi de iepuri dup

n +1 luni, notat cu fn+1 , va fi fn(iepurii nu mor niciodat !), la care se adaug iepurii nou-nscui. Dariepuraii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel puin o lun, deci vor fi f n1 perechi de iepurinou-nscui.

Obinem astfel o relaie de recuren:f0 = 0 , f1 = 1, fn +1 = fn1 + fn ,

care genereaz termenii irului lui Fibonacci.

Acest ir exprim ntr-un mod naiv creterea populaiei de iepuri. Se presupune c iepurii aucte doi pui o dat_ la fiecare lun dup ce mplinesc vrsta de dou luni. De asemenea, puii nu morniciodat i sunt unul de sex masculin i unul de sex feminin.

Iat, n ncheiere, cum logica ne arat c cifrele sunt indispensabile:Dac n-ar exista cifre n-ar exista numere nu ar exista probleme nu ar exista

concursuri de mate dotate cu multe premii nu ar exista excursii i premii.

Morala?Dac nu existmatematic nu exist excursii i premii.Aa c studiai matematica, participai

la ct mai multe concursuri i vei avea sigur de ctigat. Dac nu un premiu material consistent, sigur

respectul fa de sine i formarea unei gndiri logice , a unei mini istee.

Bibliografie:1. Gazeta matematic 1895 2007 (ediia electronic)2. V. BobancuCALIDOSCOP MATEMATIC, Editura Albatros, Bucureti 1979