EXEMPLU DE CALCUL NR. 3.  Calculul deplasării elastice v3 pentru grinda cu zăbrele din  figură prin metoda Mohr‐Maxwell. 

 Date numerice: a= 1,8 [m] 

 F= 10 [kN]  0

06 4

0

 montanţi şi diagonale2  tălpi

10,5 10 daN  10,5 10 kN

→→

= ⋅ ⎡ ⎤ = ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

EAEAEA

 

  

În metoda Mohr‐Maxwell se utilizează relaţia de calcul a unei deplasări elastice ∆i de forma: 

⋅ ⋅⋅Δ = = ⋅∑ ∑∫

i il p pi 0

N N N N1 d

EA EAx l

 în care: 

p

i

N  efortul axial din bară produs de forţele exterioare;pe efortul axial din bară produs de forţa virtuală egală cu 1 aplicată N

    direcţia deplasării căutate. 

−

−  

2

1. Calculul eforturilor axiale Np produse de forţele exterioare în barele grinzii cu zăbrele 

 

1.1. Calculul şi verificarea reacţiunilor 1

,2 2

11 2

2

0 00 7,2 10 5,4 10 3,6 10 1,8 0 7,2 108 00 7,2 10 5,4 10 3,6 10 1,8 0 7,2 108 0

= ⇔ == ⇔ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇔ − == ⇔ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇔ − =

∑∑∑

x i H

V V

V V

F RM R RM R R

1 2 15kN (grindă simetrică încărcată simetric)⇒ = =V VR R

1 2, 3 10 15 30 15 0= − ⋅ + = − + =∑ y i V VF R R

  Structura echivalentă:  

 

1.2. Calculul eforturilor axiale din bare Pentru calculul eforturilor axiale din barele grinzii cu zăbrele se utilizează metoda izolării nodurilor. 

2 / 3 1tg2 3

arc tg(1 / 3) 18,435 sin 0,316cos 0,949

α

α αα

= =

= = ⇒ ==

aa

 

3

Bare de efort zero: 3‐6, 5‐8. 

 

Nodul 1: 

 

αα

α

αα

⎧ = ⇒ + =⎪⎨ = ⇒ + =⎪⎩

⇒ = − = −

⎛ ⎞⇒ = − = − − = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∑

, 13 16

, 16

16

13 16

0 cos 00 15 sin 0

15 47,419kNsin

15cos 15 3 45kNtg

x i

y i

F N NF N

N

N N

 

Nodul 3: 

 ⎧ = ⇒ − + = ⇒ = =⎪⎨ = ⇒ =⎪⎩

∑∑

, 31 34 31 34

, 36

0 0 45kN0 0

x i

y i

F N N N NF N

Nodul 6: 

 

αα

⎧ = ⇒ + + ⋅ =⎪⎨ = ⇒ − + ⋅ − =⎪⎩

⇒ = −⇒ = −

∑∑

, 61 64 67

, 61 64 67

64

67

0 ( ) cos 00 ( ) sin 10 0

15,804kN31,615kN

x i

y i

F N N NF N N N

NN

     

4

Datorită simetriei grinzii eforturile axiale din barele dispuse simetric vor fi egale: 13 25

34 45

16 28

67 78

36 58

46 48

45kN45kN47,419kN31,615kN

015,804kN

= == == = −= = −= == = −

N NN NN NN NN NN N  Nodul 7: 

 

αα

⎧ = ⇒ − ⋅ =⎪⎨ = ⇒ + ⋅ − − =⎪⎩

⇒ = = −⇒ =

∑∑

, 76 78

, 76 78 74

78 76

74

0 ( ) cos 00 ( ) sin 10 0

31,615kN10kN

x i

y i

F N NF N N N

N NN

 

Verificare:    Nodul 4: 

 α αα

⎧ = − ⋅ = − ⋅ =⎪⎨ = − + ⋅ + = ⇔ − ⋅ ⋅ + ≅⎪⎩

∑∑

, 46 48

, 46 48 47

( ) cos (15,804 15,804) cos 0( ) sin 0 2 15,804 0,316 10 0

x i

y i

F N NF N N N

 

5

2. Calculul eforturilor axiale  iN   

În nodul „3”  se aplică o  forţă virtuală verticală  egală  cu  1   şi  se  calculează eforturile axiale din bare 3N . 

 

2.1. Calculul şi verificarea reacţiunilor 1

,2

11

2

0 00 7,2 1 1,8 00 7,2 1 5,4 0

= ⇔ == ⇔ ⋅ − ⋅ == ⇔ ⋅ − ⋅ =

∑∑∑

x i H

V

V

F RM RM R

1

2

0,75kN0,25kN

⇒ =

⇒ =V

V

RR

1 2, 1 0,75 1 0,25 0= − + = − + =∑ y i V VF R R

  Structura echivalentă:  

 

2.2. Calculul eforturilor axiale din bare Pentru calculul eforturilor axiale din barele grinzii cu zăbrele se utilizează metoda izolării nodurilor. 

Bare de efort zero: 5‐8, 4‐8. 

 

6

Nodul 1: 

 

αα

α

αα

⎧ = ⇒ + =⎪⎨ = ⇒ + =⎪⎩

⇒ = − = −

⎛ ⎞⇒ = − = − − = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∑

, 13 16

, 16

16

13 16

0 cos 00 0,75 sin 0

0,75 2,371sin

0,75cos 0,75 3 2,25tg

x i

y i

F N NF N

N

N N

 

Nodul 3: 

 ⎧ = ⇒ − + =⎪⎨ = ⇒ − + =⎪⎩

⇒ = =⇒ =

∑∑

, 31 34

, 36

34 31

36

0 00 1 0

2,251

x i

y i

F N NF N

N NN

 

 

Nodul 6: 

 

αα

⎧ = ⇒ + + ⋅ =⎪⎨ = ⇒ − + ⋅ − =⎪⎩

⇒ = −⇒ = −

∑∑

, 61 64 67

, 61 64 67 63

64

67

0 ( ) cos 00 ( ) sin 0

1,5800,791

x i

y i

F N N NF N N N N

NN

 

7

Nodul 7: 

 

αα

⎧ = ⇒ + ⋅ =⎪⎨ = ⇒ − ⋅ − =⎪⎩

⇒ = − = −⇒ =

∑∑

, 76 78

, 76 78 74

78 76

74

0 ( ) cos 00 ( ) sin 0

0,7910,5

x i

y i

F N NF N N N

N NN

 

Nodul 8: 

αα

⎧ = ⇒ + ⋅ =⎪⎨ = ⇒ + ⋅ =⎪⎩

⇒ = − = −

∑∑

, 87 82

, 87 82

82 87

0 ( ) cos 00 ( ) sin 0

0,791

x i

y i

F N NF N N

N N

Nodul 4: 

αα

⎧ = ⇒ − + ⋅ + =⎪⎨ = ⇒ − ⋅ + =⎪⎩

⇒ =

∑∑

, 43 46 45

, 46 47

45

0 cos 00 sin 0

0,751

x i

y i

F N N NF N N

N

Nodul 5:

⎧ = ⇒ − + =⎪⎨ = ⇒ =⎪⎩

⇒ = =

∑∑

, 54 52

, 58

52 54

0 00 0

0,751

x i

y i

F N NF N

N N

 

8

Verificare:    Nodul 2: 

α αα α

⎧ = − + ⋅ = − + ⋅ ≅⎪⎨ = − ⋅ = − ⋅ ≅⎪⎩

∑∑

, 25 28

, 28

cos 0,751 0,791 cos 00,25 sin 0,25 0,791 sin 0

x i

y i

F N NF N

 

3. Calculul deplasării elastice v3 

Calculul se conduce tabelar. 

( ) ( )

47

36 13

58 36

2 2 2 216 13 36

67 78 28 46 48 16

2 2 1,8 1,2m3 3

1 1,8tg 0,6m3 3

0,6m

1,8 0,6 1,897m

1,897m

α

⋅= = =

= ⋅ = ⋅ = =

= =

= + = + =

= = = = = =

al

l l a

l l

l l l

l l l l l l

 

40

40

 10,5 10 kN  montanţi şi diagonale2 21 10 kN  tălpi

= ⋅ ⎡ ⎤ →⎣ ⎦= ⋅ ⎡ ⎤ →⎣ ⎦

EAEA

 

Bara i‐j 

lij [m] 

EAij [kN] 

Np [kN]  3N

3pij

ij

N Nl

EA⋅

⋅

1‐3  1,8  2EA0  45  2,25  91,125/EA0

1‐6  1,897 2EA0 ‐47,419 ‐2,371 106,640/EA0

3‐4  1,8  2EA0  45  2,25  91,125/EA0 

3‐6  0,6  EA0  0  1  0 4‐6  1,897 EA0 ‐15,804 ‐1,580 47,369/EA0 

6‐7  1,897  2EA0  ‐31,615  ‐0,791  23,720/EA0

4‐7  1,2  EA0  10  0,5  6/EA0 7‐8  1,897  2EA0  ‐31,615  ‐0,791  23,720/EA0

4‐8  1,897  EA0  ‐15,804  0  0 5‐8  0,6  EA0  0  0  0 4‐5  1,8  2EA0  45  0,751  30,416/EA0

2‐8  1,897  2EA0  ‐47,419  ‐0,791  35,577/EA0

2‐5  1,8  2EA0  45  0,751  30,416/EA0

∑=  486,106/EA0

3 ijl p p 43 ij 40

ij 0

N N N N 486,106 486,1061 d 46,296 10 [m]EA EA EA 10,5 10

−⋅ ⋅

⋅ = = ⋅ = = = ⋅⋅∑ ∑∫v x l