L2-Conductia Prin Pereti Plani Paraleli

Transferul de cldur - Curs Cap. 2: Conducia prin perei plani paraleli

Conducia prin perei

Studiul conduciei prin perei urmrete determinarea cmpului de temperaturi i a fluxului termic n diferii perei (plani, cilindrici i sferici) pentru condiii la limit impuse.

Conducia prin perei plani paraleli

Se consider un perete plan cu feele paralele, realizat dintr-un material omogen i izotrop avnd conductivitatea termic constant. Grosimea peretelui este mult mai mic dect celelalte dou dimensiuni (lungimea i nlimea) astfel nct efectele de capt sunt neglijabile iar suprafeele izoterme sunt planuri paralele cu feele peretelui. Fluxul termic se transmite unidirecional, perpendicular pe suprafeele izoterme.

Ipoteze: ( )t b


Cazul peretelui cu temperaturi cunoscute pe fee

(condiii la limit de spea nti)

Ipoteze: 21 xxx t 21 t> Soluia general a cmpului de temperaturi se determin prin integrarea ecuaiei cldurii:

0xd

td2

2= 0=

xdtd

xdd

1Cxd

td =

21 CxCt += [C]

Fig. 2.4: Schia peretelui Remarc: Variaia temperaturii n perete este liniar. Pentru determinarea soluiei particulare a cmpului de temperaturi, se impun condiiile la limit de spea nti: la xx = t 1 1t= la xx = t . 2 2t=

+=+=

+=

2212

2111

21

CxCtCxCt

CxCt 0

1xt1xt1xt

22

11 =

( ) ( ) 0xtxtttxxxt 12212121 =+ ( ) ( 211211112112 ttxxtxtxtxtxxt += )

)

( ) ( ) ( ) ( )2121112112 ttxttxxxtxxt += ( ) ( ) ( ) ( 12112112 xxttxxtxxt =

Ghiaus A.-G. 2


( )21 t12

11 txx

xxtt = [C]

( )2t111 txxtt = [C]

Fig. 2.5: Distribuia temperaturii

n peretele plan paralel Caz particular: Originea sistemului se afl pe faa din stnga a peretelui.

Fig. 2.6: Cazul particular Fig. 2.7: Distribuia temperaturii Rezult c i iar soluia particular a cmpului de temperaturi devine:

0x1 = =2x

( 211 ttxtt = ) [C]

Fluxul termic unitar se determin din legea lui Fourier:

( ) ( 212112

ttttxxxd

tdq === & ) [W/m2]

Ghiaus A.-G. 3


Not: Raportul dintre conductivitatea termic i grosimea peretelui poart numele de conductan termic unitar.

21 ttq=&

[W/m2K]

Fluxul termic total care strbate peretele va fi:

( 21 ttSSqQ == && ) [W]

Not Produsul dintre conductana termic unitar i suprafaa peretelui poart numele de conductan termic total.

21 ttQS=

&

[W/K]

Remarc: Fluxurile termice, att cel unitar ct i cel total, nu depind de coordonata x, ele rmnnd constante n orice seciune a peretelui.

Rttq 21 =& [W/m2]

unde R reprezint rezistena termic

Fig. 2.8: Schema electric conductiv unitar: analoag pentru fluxul unitar

q

ttR 21 &==

[m2K/W]

t21

RttQ =& [W]

Fig. 2.9: Schema electric unde reprezint rezistena termic tRanaloag pentru fluxul total conductiv total:

Q

ttS

R 21t &==

[K/W]

Ghiaus A.-G. 4


Cazul peretelui la care se cunosc temperatura pe o fa i fluxul termic unitar

(condiii la limit de spea nti i a doua)

Soluia general a cmpului de temperaturi se determin prin integrarea ecuaiei lui Fourier:

xdtd

q = & xdqt = &d

Cxqt += & [C]

Fig. 2.10: Schia peretelui Soluia particular a cmpului de temperaturi rezult din impunerea condiiei la limit de spea nti: la t 1xx = 1t=

11xx tCxqt

1=+==

& 11 xqt += &C

( 11 xxqtt = & ) [C]

q&= tg [K/m]

Fig. 2.11: Distribuia temperaturii n perete

Ghiaus A.-G. 5


Pentru cazul particular n care originea sistemului se afl pe faa din stnga a peretelui, rezult c i , iar soluia particular a cmpului de temperaturi devine:

0x1 = =2x

xqtt 1 = & [C]

q&= tg [K/m]

Fig. 2.12: Distribuia temperaturii

Cazul peretelui avnd conductivitatea termic variabil cu temperatura

n realitate, conductivitatea termic variaz cu temperatura, = , iar pentru majoritatea materialelor aceast variaie poate fi considerat liniar:

( )t ( tb1o += ) [W/mK]

Conform legii lui Fourier, fluxul termic unitar devine:

( )xdtdtb1q o += & [W/m2]

Soluia general a cmpului de temperaturi atunci cnd se cunoate fluxul termic unitar rezult din integrarea ecuaie lui Fourier:

( ) xdqtdtb1o=+

& Cxqt2b

o

2 +=+ &t

0bC2x

bq2t

b2t

o

2 =++ &

bC2x

bq2

b1

b1

o2+

+= &t

Soluia particular a cmpului de temperaturi se determin din impunerea condiiei la limit: la xx = t 1 1t=

Ghiaus A.-G. 6


11o2xx

tbC2x

bq2

b1

b1t

1=+

+== &

bC2x

bq2

b1

b1t 1

o2

21

+=

+

&

1o

21 x

qb2

1b1t

2bC +

+=

&

( )1o

21 xxb

q2b1t

b1t

++= & [C]

Remarc: Temperatura variaz dup o funcie parabolic avnd concavitatea dat de semnul coeficientului b.

Pentru b > 0, rezult 0xd

td2

2< ,

i deci curba este convex.

Pentru b < 0, rezulta 0xd

td2

2> ,

i deci curba este concav.

Fig. 2.13: Distribuia temperaturii n perete n cazul n care se cunosc temperaturile pe cele dou fee, fluxul termic unitar se determin prin integrarea ecuaiei lui Fourier ntre limitele peretelui:

( )xdtdtb1q o += & q ( ) tdtb1xd o += &

Ghiaus A.-G. 7


( ) += 21

2

1

t

to

x

xtdtb1xdq &

( ) ( ) ( )2221o21o12 tt2bttxxq += &

( )

++= 2ttb1tt

xxq 2121

12o&

Se noteaz cu t media aritmetic a temperaturilor pe cele dou fee: m

2tt

t 21m+=

( ) ( 2112

mo ttxx

tb1q

+= & ) [W/m2]

Cazul peretelui avnd suprafeele scldate de fluide (condiii la limit de spea a treia)

Fig. 2.14: Schia peretelui 2.15: Variaia temperaturii Se consider temperatura interioar mai mare dect cea exterioar.

e21i tttt >>>

Ghiaus A.-G. 8


Fluxul termic unitar se determin din legea de conservare:

( )( )( )

===

exterior la convectivflux

peretein conductivflux

interior la convectivflux

e2e

21

1ii

ttq

ttq

ttq

&&

&

==

=

ee2

21

i1i

1qtt

qtt

1qtt

&

&

&

++=

eiei

11qtt

&

ei

ei11

ttq

++=& [W/m2]

Fig. 2.16: Schema electric analoag pentru fluxul unitar

echei

eiei

Rtt

RRRttq =++

=& [W/m2]

unde:

ii

1R = este rezistena termic convectiv unitar la interior n m2K/W,

=R este rezistena termic conductiv unitar n m2K/W,

ee

1R = este rezistena termic convectiv unitar la exterior n m2K/W i

eiech RRRR ++= este rezistena termic unitar echivalent n m2K/W.

S1

SS1

ttSqQ

ei

ei

++

==

&& [W]

Ghiaus A.-G. 9


Fig. 2.17: Schema electric analoag pentru fluxul total

techei

tettiei

Rtt

RRRttQ =++

=&

unde:

S1Ri

ti = este rezistena termic convectiv total la interior n K/W,

SRt =

este rezistena termic conductiv total n K/W,

S1R

ete = este rezistena termic convectiv total la exterior n K/W i

tettitech RRRR ++= este rezistena termic total echivalent n K/W.

Cazul peretelui multistrat avnd suprafeele scldate de fluide (condiii la limit de spea a treia i a patra)

Fig. 2.18: Schema peretelui multistrat

Ghiaus A.-G. 10


Fig. 2.19: Variaia temperaturii

Fluxul termic unitar se determin din legea de conservare: ( )

( )( )

( )( )

==

=

==

+

+exterior la convectivflux

n stratulin conductivflux

2 stratulin conductivflux

1 stratulin conductivflux

interior la convectivflux

e1ne

1nnnn

322

2111

1ii

ttq

ttq

tt2

q

ttq

ttq

&

&

&

&

&

e

e1n

n

n1nn

22

32

11

21

i

1i1

tttttttt1

ttq

====== ++L&

Ghiaus A.-G. 11


e

n

1 j

j

i

ei

enn

22

11

i

ei11

tt11

ttq

++=

+++++=

L& [W/m2]

Fig. 2.20: Schema electric analoag pentru fluxul unitar

echei

en21iei

Rtt

RRRRRttq =+++++

= L& [W/m2]

unde:

ii

1R = este rezistena termic convectiv unitar la interior n m2K/W,

j

jjR

= este rezistena termic conductiv unitar a stratului "j" n m2K/W,

ee

1R = este rezistena termic convectiv unitar la exterior n m2K/W i

en

1jiech RRRR ++= este rezistena termic unitar echivalent n m2K/W.

S1

SSSS1

ttSqQ

en

n

22

11

i

ei

+++++

==

L&&

S1

S1

S1

ttQ

e

n

1 j

j

i

ei

++

=

&

Fig. 2.21: Schema electric analoag pentru fluxul total

Ghiaus A.-G. 12


techei

tetn2t1ttiei

Rtt

RRRRRttSqQ =+++++

== L&& [W]

unde:

S1Ri

ti = este rezistena termic convectiv total la interior n K/W,

SR

j

jtj =

este rezistena termic conductiv total a stratului "j" n K/W,

S1R

ete = este rezistena termic convectiv total la exterior n K/W i

ten

1tjtitech RRRR ++= este rezistena termic total echivalent n K/W.

Ghiaus A.-G. 13

L2-Conductia Prin Pereti Plani Paraleli

Documents

Transcript of L2-Conductia Prin Pereti Plani Paraleli