MODELAREA DISPOZITIVELORELECTROMAGNETICEDaniel Ioan

2

Cuprins0 Introdu ere 50.1 Obie tul dis iplinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2 Importanta dis iplinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3 Formularea problemelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4 Etapele rezolvarii problemei dire te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Marimile zi e ara teristi e 111.1 Marimile ampului ele tromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Marimile ara teristi e ale orpurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Marimile ara teristi e efe telor ampului . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Fenomenele ele tromagneti e fundamentale 172.1 Legea uxului ele tri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Legea uxului magneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Legea indu tiei ele tromagneti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Legea ir uitului magneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Legea onservarii sar inii ele tri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Proprietati de material 253.1 Legea legaturii DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Legea legaturii BH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Legea ondu tiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Clasi area ara teristi ilor de material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Modelarea materialelor neliniare si u histerezis . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Modelarea mediilor neomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7 Modelarea u materiale perfe te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

4 Efe te ale ampului ele tromagneti 394.1 Legea transformarii energiei n ondu toare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Legea transferului de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Teorema energiei ele tromagneti e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Teorema impulsului ele tromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Teorema fortei generalizate n amp ele tri . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Teorema fortei generalizate n amp magneti . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Regimurile ampului ele tromagneti 455.1 Regimul general variabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Regimul ele trostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Regimul magnetostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Regimul ele tro ineti stationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.5 Regimul magneti stationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.6 Regimurile vasistationare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.7 Regimul general variabil n mediile imobile. E uatiile lui Maxwell . . . . . 546 Modelarea spatio-temporala a ampului ele tromagneti 576.1 Modelarea temporala a ampului ele tromagneti . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Modelarea geometri a. Idealizari si simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2.1 Modelarea geometri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2.2 Idealizari geometri e si simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3 Modelarea ele tromagneti a a foliilor si relor . . . . . . . . . . . . . . . . 646.4 Serii ierarhi e de modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 Apli atii 757.1 Cablu oaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2 Cuva ele troliti a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3 Ele tromagnetul plonjor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.4 Masina u magneti permanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.5 Transformatorul monofazat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.6 Cuptor u mi rounde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 Con luzii referitoare la modelarea zi a 894

9 Reprezentarea matemati a a marimilor zi e 919.1 Sisteme de oordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2 Reprezentarea domeniului spatio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.3 Reprezentarea proprietatilor de material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.4 Reprezentarea obie telor idealizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710 Formularea ore ta a problemelor ampului ele tromagneti n diferiteregimuri 9910.1 Regimul ele trostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.2 Regimul magnetostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.3 Regimul ele tro ineti stationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.4 Regimul magneti stationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.5 Regimul vasistationar indu tiv tranzitoriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.6 Regimul vasistationar apa itiv tranzitoriu . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.7 Regimul vasistationar tranzitoriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.8 Regimul general variabil tranzitoriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.9 Elementul ele tromagneti de ir uit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011 Analiza ampului ele tromagneti n domeniul fre ventei 11511.1 Reprezentarea n omplex a e uatiilor ampurilor sinusoidale . . . . . . . . 11511.2 Analiza regimurilor periodi e u transformata Fourier dis reta . . . . . . . 12011.3 Analiza regimurilor tranzitorii u transformatele Lapla e si Fouirier . . . . 12312 Formulari n potentiale pentru e uatiile ampului ele tromagneti 12712.1 Potentialul s alar al ampurilor stati e si stationare irotationale . . . . . . 12712.2 Potentialul s alar pe suprafete de dis ontinuitate . . . . . . . . . . . . . . 13212.3 Potentialul ve tor al ampurilor stati e si stationare solenoidale . . . . . . 13612.4 Potentialul ve tor pe suprafata de dis ontinuitate . . . . . . . . . . . . . . 1385

6

Capitolul 0Introdu ere0.1 Obie tul dis iplineiModelarea si proie tarea asistata de al ulator a dispozitivelor ele tromagneti e reprezintao dis iplina moderna u un puterni ara ter interdis iplinar, bazata pe ele mai noi unostinte din tehnologia informati ii, ele tromagnetism si matemati a.S opul prin ipal al a estei dis ipline l onstituie analiza u ajutorul al ulatorului aunor dispozitive ele tri e si magneti e u ele mai diverse utilizari, n a aror fun tionare ampul ele tromagneti joa a un rol esential. S opul a estei analize este de a permitestabilirea omportarii lor (in lusiv a soli itarilor la are ele sunt supuse), atat n regimurinormale at si n regimuri anormale de fun tionare. In a est fel al ulatorul se folosesten mod profesional, a unealta de lu ru n a tivitatea de inginerie ele tri a. Se urmaresteatat analiza a estor dispozitive n vederea ara terizarii lor at si (re)proie tarea lor nvederea optimizarii diferitelor ara teristi i tehni e sau e onomi e.Gama de dispozitive are pot modelate este extrem de diversa si a opera atat a-zuri din domeniul urentilor tari (ele tromagneti a, a tionari de putere, ele tro himie,ele trotermie) at si apli atii n domeniul urentilor slabi (ele troni a, tele omuni atii,transmisia si prelu rarea semnalelor). In ontinuare sunt prezentate doar ateva din a-tegoriile de dispozitive ele tromagneti e, are sunt sau pot modelate u al ulatorul: masini ele tri e lasi e si spe iale, de la mi romasini pana la generatoarele de mareputere; aparate ele tri e si de a tionare: mi rorelee, ele tromagneti, onta toare, relee; linii de transmisie atat a semnalelor ele tri e at si a energiei ele tri e; elemente de ir uit: ondensatoare, rezistoare, bobine si transformatoare u apli atiin ele troni a, energeti a, instalatii ele tri e sau metrologi e; senzori si aparate de masura: magnetoele tri e, ele trodinami e, u indu tie, instalatiide defe tos opie nedistru tiva u urenti turbionari ; instalatii ele tro himi e, pentru a operiri galvani e si de produ tie sau ranare ametalelor Al, Cu, Ag, et .; 7

dispozitive de de exie sau a elerare a uxurilor de parti ule u apli atii asni e (deexemplu TV) sau industriale si stiinti e (a eleratoare de parti ule); instalatii de n alzire ele tri a dire ta sau prin urenti turbionari; instalatii de radio fre venta: antene, ghiduri de unda, avitati rezonante, uptoare u mi rounde; instalatie de inginerie biomedi ala si studiul fenomenelor bioele tri e.Lista prezentata nu este exhaustiva i doar exempli atoare. Este de remar at a pra -ti toate domeniile ingineriei ele tri e si n spe ial ele avansate sunt puterni in uentatede progresele n domeniul modelarii si proie tarii asistata de al ulator.0.2 Importanta dis iplineiUtilizarea al ulatorului n a tivitatea de inginerie ele tri a prezinta importanta din maimulte pun te de vedere.Un prim aspe t l reprezinta faptul a ea obliga la ntelegerea exa ta a fenomeneloresentiale n fun tionarea unui dispozitiv si permite analiza in uentei a estor fenomeneasupra ara teristi ilor dispozitivelor.Un alt aspe t u importante impli atii nan iar-e onomi e l reprezinta faptul a pro-ie tarea si veri area u ajutorul al ulatorului a proie tului unui dispozitiv nou permiteeliminarea exe utiei prototipurilor, are n multe azuri este o operatie ostisitoare si onsumatoare de timp.Un alt mod uzual de folosire a al ulatorului n ingineria ele tri a se refera la re-proie tarea si optimizarea unor dispozitive a ate deja n produ tia de serie, n vede-rea mbunatatirii performantelor sau extinderii domeniului de apli atie. Se onstata aso ietatile are detin ontrolul pietelor de bunuri si servi ii tehni e foloses intensiv al- ulatorul n a tivitatea de proie tare/dezvoltare, a esta ind unul din se retele faptului a reuses sa e ompetitive si exibile. Un alt aspe t are releva importanta a esteidis ipline l onstituie faptul a fabri atia ontrolata de al ulator (CIM - ComputerIntegrated Manufa turing) apata o pondere tot mai mare. A esta obliga a etapapremergatoare de proie tare asistata (CAD - Computer Aided Design) sa e si eaautomatizata tot mai mult. In a est ontext a tivitatea de er etare/dezvoltare (CAE -Computer Aided Enginering) este normal sa evolueze tot mai mult n sensul utilizariiintensive a sistemelor de al ul. In a est fel se obtine un lant CAE/CAD/CIM n areinterventia manuala ntre etape este eliminata (prin transmiterea informatiilor n formatele troni ), rezultatele obtinute ind de maxima n redere iar performantele optimizate.0.3 Formularea problemelorModelarea asistata de al ulator a dispozitivelor ele tromagneti e presupune n esentarezolvarea unei probleme de analiza a ampului ele tromagneti , numita problema di-re ta. Datele a estei probleme fa parte din trei mari ategorii:8

date geometri e, are ontin toate informatiile referitoare la formele si dimensiu-nile partilor omponente ale dispozitivului si felul n are a estea sunt asamblate; ara teristi ile de material, are ontin proprietatile si omportarea materialelordin are sunt realizate partile omponente ale dispozitivului; sursele de amp, are ontin datele referitoare la ex itatiile ( auzele) ampuluiele tromagneti din dispozitiv, atat ele a ate n interiorul dispozitivului at si eleplasate n exteriorul a estuia.Ne unos utele problemei dire te se pot lasi a n trei mari ategorii: marimile ara teristi e ampului ele tromagneti , e ara terizeaza stareadispozitivului si are pot avea un ara ter lo al ( um sunt intensitatile si indu tiileele tri e si respe tiv magneti e E, D, B, H, densitatea de urent J sau de sar ina, densitatea de putere transferata p sau de energie w) sau un ara ter global ( umsunt uxurile si tensiunile ele tri e si respe tiv magneti e , u, ', um, urentul i,sar ina ele tri a q sau puterea transferata P sau energia a umulata W ); marimile ara teristi e dispozitivului, pre um rezistenta R, indu tivitatea L, apa itatea C sau fun tia de transfer Y (s), respe tiv ara teristi i de tipul '(i) ladispozitivele neliniare; marimile ara teristi e efe telor ampului, pre um forta ele tromagneti a F,viteza de mis are v sub a tiunea fortei ele tromagneti e, temperatura sau masatransferata prin ele troliza.In proie tare intereseaza n s himb problema inversa aso iata sintezei dispozitivuluisau a ampului. O astfel de problema are a date ara teristi ile dorite, a de exemplu:rezistenta R, apa itatea C, indu tivitatea L, puterea P , tesiunea de s urt ir uit sau oanumita dependenta de fre venta sau de tip '(i), et .De a easta data ne unos utele sunt: de natura geometri a, forma si dimensiunile (in lusiv tolerantele) partilor om-ponente (eventual u preluarea unor subansamble din standardele n vigoare); tipurile de materiale e trebuie folosite n realizarea dispozitivului (de preferintapreluate din standardele existente); ex itatiile (sursele de amp) la are este supus dispozitivul, da a este azul (even-tual valorile limita ale a estor ex itatii, n regimul normal de fun tionare).Se onstata a problema proie tarii presupune o modelare ngrijita n vederea validariiproie tului. In mod uzual problema inversa se rezolva prin modelari su esive ale unordispozitive, pornind de la un model initial de referinta al unui dispozitiv existent sauimaginar. A esta este motivul pentru are n ontinuare este a ordata o atentie deosebita,mai ales problemei dire te. In faza a tuala a unostintelor tehni o-stiinti e rezolvareaautomata a problemei inverse generate este n a un deziderat.9

0.4 Etapele rezolvarii problemei dire teAnaliza asistata de al ulator a unui dispozitiv ele tromagneti nu este un pro es integralautomatizabil. Cu toate a pa hetele de programe pentru analiza numeri a a ampuluiele tromagneti ofera o mare bogatie de fun tii, ele reprezinta totusi doar o unealta na tivitatea de inginerie, urmand a analistul sa joa e un rol entral n a tivitatea demodelare.Pentru a putea rezolvata u ajutorul al ulatorului o problema trebuie des risa nlimbajul pe are sistemul de al ul l ntelege. Tre erea de la dispozitivul ele tromagneti real sau imaginar la des rierea sa pentru al ulator presupune par urgerea a trei etapepreliminare (g. 1) extrem de importante n analiza, si anume: Modelarea zi a, n are sunt identi ate fenomenele zi e esentiale n fun tionareadispozitivului; sunt neglijate n mod expli it ele neimportante si sunt identi atemarimile zi e ara teristi e fenomenelor esentiale, u a easta o azie se stabilesteregimul ampului ele tromagneti are va onsiderat n analiza dispozitivului sise fa aproximarile si idealizarile de natura geometri a, temporala, de material sauale surselor de amp; Modelareamatemati a, n are sunt s rise e uatiile e des riu fenomenele esentialesi sunt identi ate: stru turile matemati e prin are se reprezinta marimile zi e,si are sunt n fond spatii algebri e si/sau topologi e (de exemplu: s alarii - ele-mente ale orpului numerelor reale sau omplexe; spatiile ve toriale ale ve torilorsau tensorilor), dar si domeniile de denitie si odomeniile apli atiilor (fun tii sauoperatori e intervin n e uatii). Ideal, modelarea matemati a ar trebui n heiata udemonstrarea unei teoreme are sa garanteze buna formularea a problemei dire tesi are sa asigure uni itatea, existenta si stabilitatea solutiei (respe tiv ara te-rul inje tiv, surje tiv si ontinuu fata de date al operatorului aso iat problemei).Din a est motiv, uneori trebuie ore tat modelul zi astfel n at el sa generezeo problema matemati a bine formulata. Dupa e a fost formulata n mod ore t,problema matemati a poate rezolvata, iar da a a easta admite solutie analiti ase re omanda u tarie determinarea si evaluarea numeri a a a estei solutii. Da anu, se re omanda realizarea unor idealizari suplimentare, pana and problema sesimpli a, astfel n at sa admita solutie analiti a. Chiar da a modelul zi devinegrosier, existenta unei solutii analiti e de referinta este de mare folos n validareasolutiei obtinute prin modelare numeri a; Modelarea numeri a, n are se urmareste dis retizarea problemei n vederea re-zolvarii ei u resurse nite de al ul (timp nit si memorie ne esara nita), eea epresupune aproximarea spatiilor ontinue de fun tii are des riu variatiile spatio-temporale ale marimilor zi e prin spatii dis rete, nit dimensionale pre um sidis retizarea operatorilor are intervin n e uatiile ampului (a easta ultima dis- retizare este efe tuata de obi ei n mod automat, ind in orporata n programulde al ul).Dupa etapa de modelare numeri a problema dire ta ajunge ntr-o forma e poate des risa programului de al ul. Folosind algoritmii si stru turile de date aso iate( are n majoritatea azurilor sunt invizibile pentru analist) a estea genereaza o solutienumeri a a problemei dire te. 10

Fenomene

Marimi fizice

Structuri (spatii)

Ecuatii

Relatii

Marimi discrete

Algoritmi

Structuri de date

Validare

Dispozitiv electromagnetic

Solutia numerica

Solutia analiticamatematic

numeric Model

Model

fizicModel

Program

Rafinare

Reproiectare

de calcul Figura 1: Etapele analizei unui dispozitivPrin obtinerea unei prime solutii numeri e pro esul de analiza nu este n heiat, deoare ea easta trebuie validata. Cea mai puterni a metoda de validare onsta n omparatia u datele masurate experimental, dar n majoritatea azurilor a estea din urma nu suntdisponibile. In a este onditii, o metoda standard de validare onsta n omparatia usolutia analiti a, el putin pentru un model rudimentar zi al dispozitivului analizat.Alte tehni i de validare au la baza ranarea modelului zi (prin luarea n onsiderarea unor efe te onsiderate nitial se undare, dar are pot avea efe t asupra fun tionariidispozitivului), utilizarea unui model matemati alternativ (de exemplu bazat pe e uatiiintegrale n lo ul e uatiilor diferentiale), ranarea modelului numeri prin marirea di-mensiunii spatiului dis ret si respe tiv folosirea unui alt program de al ul n vederearezolvarii a eluiasi model numeri . Folosind a este tehni i, nu numai a solutia numeri aare un grad sporit de redibilitate, dar se poate asigura si un ontrol asupra erorilor deaproximare si idealizare generate de e are etapa de modelare.Reluarea su esiva a etapelor de analiza des rise anterior reprezinta metoda ea maie ienta de ranare a solutiei numeri e, pana a easta este satisfa atoare din pun t devedere ingineres . A est pro es iterativ, dar ontrolat dupa alte riterii este apli at si n azul (re)proie tarii sau optimizarii unui dispozitiv.11

12

Capitolul 1Marimile zi e ara teristi eDupa um s-a mentionat anterior un model zi al unui dispozitiv este bazat pe identi- area fenomenelor zi e esentiale n fun tionarea dispozitivului si pe marimile zi e are ara terizeaza antitativ starea dispozitivului si pro esele are au lo n a esta.Marimile e ara terizeaza starea dispozitivului se pot lasi a n urmatoarele trei a-tegorii: marimile ara teristi e ampului ele tromagneti ; marimile ara teristi e orpurilor; marimile e ara terizeaza efe tele ampului ele tromagneti .1.1 Marimile ampului ele tromagneti Campul ele tromagneti este ara terizat de urmatoarele marimi zi e lo ale: E intensitatea ampului ele tri [V/m; D indu tia ele tri a [C/m2; B indu tia magneti a [T; H intensitatea ampului magneti [A/m,si de urmatoarele marimi globale orespondente, obtinute prin integrarea marimilorlo ale: u = RC Edr tensiunea ele tri a de-a lungl urbei C [V; = RSDdA uxul ele tri pe suprafata S [C; = RS BdA uxul magneti pe suprafata S [Wb; um = RCHdr tensiunea magneti a de-a lungl urbei C [A.13

Se onstata a intensitatile ampului se integreaza pe urbe (C) si dau nastere tensiu-nilor iar indu tiile se integreaza pe suprafete si dau nastere uxurilor. Atat urbele at sisuprafetele trebuie orientate (de obi ei n mod onventional), pentru a permite determi-narea univo a a marimilor globale. Se adopta urmatoarele onventii pentru semnele dereferinta: suprafetele n hise sunt orientate de la interior spre exterior iar ele des hisesunt orientate onform regulii burghiului drept fata de urbele n hise pe are se sprijina.Marimile lo ale au un ara ter ve torial tridimensional iar ele globale un ara ter s alar.Marimile lo ale au avantajul a permit ara aterizarea ompleta a ampului, dar dez-avantajul a ne esita o antitate foarte mare de informatie (n e are pun t din spatiu sin e are moment de timp este ne esara unoasterea elor patru ve tori tridimensionaliE, D, B si H, de i a 12 valori s alare).Marimile globale dau o informatie sinteti a asupra omportarii ampului pe o multimede pun te, ind mult mai potrivite pentru ara terizarea inginereas a (sunt mai simplude masurat si omuni at, ne esitand o antitate mult mai mi a de informatie de at elelo ale).Din pa ate, unoasterea valorii unei marimi globale nu permite determinarea marimiilo ale aso iate (distributia ampului pe urba sau suprafata respe tiva) i numai a valoriimedii a unei anumite omponente, si anume: Etmed = u=lC omponenta tangentiala medie a intensitatii ampului ele tri ; Dnmed = =As omponenta normala medie a indu tiei magneti e; Bnmed = =As omponenta normala medie a indu tiei magneti e; Htmed = um=lC omponenta tangentiala medie a intensitatii ampului magneti ,n are lC este lungimea urbei C iar AS este aria suprafetei S.O metoda intuitiva de reprezentare a ampului ele tromagneti o osntituie spe trula estuia. Fie are omponenta a ampului ele tromagneti : E, D, B si H are ate unspe tru aso iat, are este al atuit dintr-o multime de urbe orientate (linii de amp), la are ve torii E, D, B si respe tiv H sunt tangentiali n e are pun t (gura 1.1).1.2 Marimile ara teristi e ale orpurilorCorpurile n intera tiunea lor u ampul ele tromagneti si pot modi a starea. Pentru a ara teriza antitativ a este modi ari se utilizeaza urmatoarelemarimi lo ale aso iate orpurilor: densitatea de sar ina [C=m3; J densitatea de urent [A=m2; P polarizatia [C=m2; M magnetizatia [A=m, 14

H

B D

E

Figura 1.1: Spe trele ampului ele tromagneti si urmatoarlemarimi globale aso iate orpurilor si obtinute prin integrarea marimilorlo ale: q = RD dv sar ina ele tri a a domeniului D [C; i = RS JdA urentul ele tri e strabate suprafata S [A; p = RD Pdv momentul ele tri al domeniului D [Cm; = RDMdv momentul magneti al domeniului D [Am2.Cu ex eptia urentului ele tri , elelalte marimi globale ara teristi e orpurilor se al u-leaza prin integrare pe domeniul orpului. Curentul ele tri este de fapt uxul densitatiide urent, de i este o marime aso iata unei suprafete S, are se tioneaza orpul. Cu-noasterea marimilor globale permite determinarea urmatoarelor valori medi ale marimilorlo ale: med = q=V densitatea medie de sar ina pe volumul V ; Jnmed = i=As valoarea medie a omponentei normale a densitatii de urent de pesuprafata S; Pmed = p=V polarizatia medie; Mmed = =V magnetizatia medie,n are V este volumul orpului (domeniului D).Marimile lo ale permit ara terizarea ompleta iar ele globale doar ara terizarea sin-teti a (n medie) a urmatoarelor stari: starea de ele trizare a orpurilor (, q) respe tiv ex esul lo al respe tiv globalal numarului de protoni fata de numarului de ele troni dintr-un orp;15

starea ele tro ineti a (J, i) deplasarea dupa o dire tie privilegiata (suprapusapeste agitatia termi a) a purtatorilor liberi de sar ina (ele troni si/sau ioni) dininteriorul orpului, starea de polarizare (P, p) orientarea dupa o dire tie privilegiata a mole ulelorpolare (la are entrul sar inilor pozitive nu oin ide u entrul sar inilor negative)ale orpului; starea de magnetizare (M,m) orientarea dupa o dire tie privilegiata a spinilor(momentelor magneti e) mi roparti ulelor are al atuies orpul.1.3 Marimile ara teristi e efe telor ampuluiPentru a ara teriza efe tele lo ale ale ampului ele tromagneti se utilizeaza ur-matoarele marimi prini ipale: p densitatea de putere [W=m3; Æ densitatea uxului de masa [kg=m2s; f densitatea de forta [N=m3; T tensorul tensiunilor me ani e [N=m2,si respe tiv urmatoarele marimi globale ale efe telor ampului, obtinute prin inte-grarea elor lo ale: P = RD pdv puterea trasferata de amp orpurilor din domeniul D [W ; Qm = RS ÆdA debitul masi transferat prin suprafata S [kg=s; F = RD fdv = R TdA forta exer itata asupra domeniului D u = D[N ; C = RD r fdv uplul fortelor e a tioneaza asupra domeniului D [Nm.Prin integrarea n timp a marimilor globale se obtin urmatoarele marimi de pro es: W = R t2t1 Pdt energia transferata orpurilor din domeniul D n intervalul (t1; t2)[J ; (t 314; t 321) m = R t2t1 Qmdt masa transferata prin suprafata S pe intervalul de timp (t1; t2) [kg; I = R t2t1 Fdt impulsul fortei n intervalul (t1; t2) [Ns.Marimile prezentate ara terizeaza urmatoarele efe te ale ampului ele tromagneti : transferul de energie de la amp la orp p,P ,W permit evaluarea efe telortermi e, a n alzirii orpurilor n pro esele irevesibile, u ara ter disipativ dar sievaluarea energiei a umulate n pro esele reversibile;16

transferul de masa, are nsoteste de obi ei pro esul de ondu tie ele tro ineti m, Qm, Æ permit evaluarea masei depuse prin ele troliza, a vitezei de depunere,a gasirii lo ale a stratului depus si n general a intensitatii, dire tiei si sensuluitransferului de masa; efe tele me ani e ale ampului ele tromagneti (f , T , F, C, I) permit evaluareaa tiunilor ponderomotoare ale ampului ele tromagneti asupra orpurilor: forte, upluri, presiuni, tensiuni si n nal a vitezei si deplasarii orpurilor sub a tiuneaa estor forte.Inventarul efe tuat n a est paragraf nu este exhaustiv, el ontine doar marimile zi e ara terisit e ele mai importante, are intervin el mai fre vent n modelarea dispoziti-velor ele tromagneti e.In pra ti a modelarii ele tromagneti e se ntalnes si alte marimi zi e, um sunt ele ara teristi e materialelor, um sunt: permitivitatea ", permeabilitatea , ondu tivitatea,s.a. sau dispozitivelor: rezistenta R, apa itatea C, indu tivitatea L, s.a., dar a esteavor prezentate pe par ursul lu rarii.

17

18

Capitolul 2Fenomenele ele tromagneti efundamentaleFenomenele fundamentale are stau la baza fun tionarii dispozitivelor ele tromagneti esunt ele de natura ele tri a si magneti a. A este fenomene sunt des rise de legile ampului ele tromagneti , are se pot lasi a n trei mari ategorii: legi generale; legi de material; legi ale efe telor ampului.Prima ategorie este al atuita de urmatoarele patru legi:2.1 Legea uxului ele tri Fluxul ele ti de pe ori e suprafata n hisa este egal u sar ina ele tri a din domeniulmarginit de : = qD , ZDdA = ZD dv (2.1)Forma lo ala a a estei legi (obtinuta u relatia Gauss-Ostrograski) este:divD = (2.2)si ea are urmatoarea semni atie zi a: ori e orp ele trizat ( 6= 0) produ e n ve- inatatea sa un amp ele tri (D 6= 0). A esta este primul fenomen fundamnetal des risde legi si el este ilustrat n gura 2.1.Se onstata a spe trul indu tiei ele tri e D produs de orpurile ele trizate are liniilede amp des hise, a estea parasind (izvorand din) sar inile pozitive si ndreptandu-sespre (disparand n) sar inile negative. In zonele neel trizate liniile de amp ale indu tiei19

ρ<0ρ>0

DFigura 2.1: Campul ele tri produs de orpuri ele trizateele tri e sunt urbe ontinui. La tre erea prin suprafete de dis ontinuitate neele trizate(de la un orp la altul) omponenta normala a indu tiei ele tri e se onserva.n12 (D2 D1) = 0 () Dn1 = Dn2 :2.2 Legea uxului magneti Fluxul magneti pe ori e suprafata n hisa este nul: = 0, ZBdA = 0 (2.3)Forma lo ala a legii este: divB = 0 (2.4)si evidentiaza faptul a nu exista \sar ini magneti e".In onse inta, legea nu evidentiaza un fenomen i o restri tie impusa ampuluimagneti , are avand indu tia solenoidala va avea liniile de amp fara n eput si sfarsit (de i urben hise). Un spe tru tipi al indu tiei B este reprezentat n gura 2.2.BFigura 2.2: Spe trul indu tiei magneti eLa tre erea prin suprafetele de dis ontinuitate omponenta normala a indu tiei magne-ti e se onserva: n12 (B2 B1) = 0() Bn1 = Bn2;n az ontrar uxul magneti pe un ilindru s urt u apa ele de o parte si de alta asuprafetei n-ar mai nul. 20

2.3 Legea indu tiei ele tromagneti eTensiunea ele tri a pe ori e urba n hisa este egala u viteza de s adere a uxuluimagneti de pe o suprafata are se sprijina pe urba :u = dSdt , ZEdr = ddt ZS BdA (2.5)sau n forma lo ala (obtinuta prin apli area relatiei Stokes):rotE = dBdt (2.6)In azul suprafetei de dis ontinuitate imobile si nepurtatoare de ux magneti ompo-nenta tangentiala a intensitatii ampului ele tri se onserva:n12 (E2 E1) = 0() Et1 = Et2;n az ontrar legea nu ar mai satisfa uta pe un dreptunghi u laturile de-o parte side alta a fun tiei.Legea are urmatoarea semni atie zi a: variatia n timp a ampului magneti de-termina (indu e) aparitia unui amp ele tri . Liniile ampului ele tri indus sunt urben hise, are tind sa n onjoare ampul magneti indu tor (gura 2.3).E

B B

EFigura 2.3: Spe trul ampului ele tri indusA est fenomen fundamental este unos ut sub numele de indu tie ele tromagneti a siel reprezinta o a doua auza posibila a ampului ele tri .In teoria ma ros opi a Maxwell-Hertz urba si suprafata S sunt antrenate de orpurin mis area lor.Din a est motiv s-a folosit n forma lo ala derivata substantiala (de ux) a indu tieimagneti e: dBdt = Bt + rot(B v) (2.7)In onse inta, forma lo ala dezvoltata a legii indu tiei n medii mobile este:21

rotE = Bt rot(B v) (2.8)iar forma integrala dezvoltata este:ZEdr = ZS Bt dA Z(B v)dr (2.9)Indu tia ele tromagneti a poate avea doua auze prin ipial diferite: indu tia de transformare, are apare n orpurile imobile dar n are B = B(t); indu tia de mis are, are apare n orpuri mobile ( u viteza v 6= 0), hiar da a Beste onstant n timp.In azul parti ular al mediilor imobile legea indu tiei are urmatoarele forme integrala,respe tiv lo ala: ZEdr = ZS Bt dA (2.10)rotE = Bt (2.11)In regim stationar ampul ele tri este irotational, de i spe trul intensitatii ampuluiele tri Enu poate avea urbe n hise.2.4 Legea ir uitului magneti Tensiunea magneti a pe ori e urba n hisa este egala u urentul e strabate suprafataS are se sprijina pe plus viteza de variatie a uxului ele tri de pe S:um = iS + d Sdt , ZHdr = ZS JdA+ ddt ZS DdA (2.12)Forma lo ala a legii este: rotH = J+ dDdt (2.13)n are dDdt = Dt + v + rot(D v) (2.14)este derivata substantiala de ux a indu tiei ele tri e.In onse inta,legea are urmatoarea forma lo ala dezvoltata n medii mobile:rotH = J+ Dt + v + rot(D v) (2.15)22

iar n medii imobile: rotH = J+ Dt (2.16)Deoare e derivata fata de timp a indu tiei ele tri e are a eleasi unitati de masura adensitatea de urent (de ondu tie) J si determina a elasi efe t magneti a si urentulde ondu tie, el a fost numit densitatea urentului de deplasare.JD = DtLa tre erea prin suprafetele de dis ontinuitate imobile, are nu sunt panze de urent (de ondu tie sau de deplasare) omponenta tangentiala a ampului magneti se onserva:n12 (H2 H1) = 0 ,Ht1 = Ht2Semni atia zi a a legii este data de fenomenele pe are a easta le des rie: ori e orp n stare ele tro inet a (par urs de urent) determina n ve inatatea sa un amp magneti ; variatia n timp a ampului ele tri determina aparitia unui amp magneti .Liniile ampului magneti sunt urbe n hise are tind sa n onjoare urentul (de ondu tie sau deplasare) are le-a produs. In absenta a estor surse de amp magneti liniile lui H nu pot urbe n hise deoare e H este irotational.Legea pune n evidenta doua fenomene zi e prin ipial distin te, respe tiv doua auzenoi ale apartiei ampului magneti : starea eletro ineti a (gura 2.4); variatia n timp a ampului ele tri (gura 2.5).i

HFigura 2.4: Liniile ampului magneti H produse de urentii de ondu tie2.5 Legea onservarii sar inii ele tri eCurentul ele tri e paraseste ori e suprafata n hisa este egal u viteza de s adere asar inii ele tri e din domeniul marginit de a ea suprafata23

D D

H

HFigura 2.5: Liniile ampului magneti H produse de urentul de deplasarei = dqDdt () Z JA = ddt ZD dv (2.17)Relatia (2.17) este de fapt o teorema si nu o lege, deoare e ea se poate demonstrapornind de la legea ir uitului magneti (apli ata pe o suprafata des hisa S, are lalimita tinde atre suprafata in hisa atun i and se redu e la un pun t) si de la legea uxului ele tri ( = qD):um = iS + d Sdt ! 0 = i + d dt = i + dqDdt (2.18)Cu toate a estea e utia (2.18) este unos uta sub numele de legea onservarii sar iniisi nu teorema de onservare a sar inii, datorita importantei ei remar abile din pun t devedere teoreti si pra ti .Forma lo ala a legii onservarii sar inii este:div(J+ v) = t ; (2.19)n are v este viteza mediului, iar v reprezinta densitatea urentului ele tri de onve tie.In medii imobile: divJ = t : (2.20)Legea onservarii sar inii pune n evidenta legatura stransa ntre starea de ele trizare(sar ina ele tri a) si ea ele tro ineti a ( urentul ele tri ). Da a sar ina unui orp s ade(respe tiv reste) n timp atun i orpul va parasit de (respe tiv n orp se va inje ta) urent de onve tie (datorat deplasarii ma ros opi e a sar inilor) si/sau de ondu tie(stare ele tro ineti a e reprezinta n ultima instanta deplasarea purtatorilor mi ros opi ide sar ina).In onse inta, liniile de urent sunt urbe des hise are pornes din oprurile a arorele trizare s ade si se opres n orpurile a aror ele trizare reste.In regim stationar, orpurile sunt imobile si sar ina este onstanta n timp, de i urentultotal pe o suprafata n hisa este nul si n onse inta liniile de urent nu au n eput sausfarsit (sunt urbe n hise).O onse inta importanta a legii, are expli a si numele ei se refera la azul sistemelorizolate de orpuri (n onjurate de un perete izolant), az n are i = 0, de i sar ina24

totala a sistemului este invarianta n timp (se onserva), indiferent de e transformarisufera sistemul de orpuri.Legile generale sunt valabile n ori e moment, n ori e domeniu din spatiu si indiferentde tipul orpurilor n are ele se apli a.

25

26

Capitolul 3Proprietati de materialLegile de material sunt reprezentate de urmatorele trei relatii, a aror forma parti ularadepinde de tipul substantei din are este al atuit orpul ele se apli a.3.1 Legea legaturii D EIndu tia ele tri a dintr-un pun t din spatiu depnde de intensitatea ampului ele tri dina el pun t (nu si de intensiatea ampului ele tri din alte pun te):D = D(E) (3.1)Relatia de dependenta dintre D si E impusa de a easta lege poate extrem de ompli- ata si ea este fun tie de tipul substantei n are se onsidera pere hea DE.O forma e hivalenta a a estei relatii este urmatoarea:D = 0E+P (3.2)n are s-au pus n evidenta 0 = 149109 F=m onstanta universala numita permitivitateavidului si P = P(E) polarizatia orpului. A easta poate des ompusa ntr-o omponentapermanenta Pp = P(0) si una temporara t, existenta doar n prezenta ampului ele tri (E 6= 0), astfel n at P = Pt(E)+Pp. Din a est motiv a easta lege mai poarta si numelede legea polarizatiei (temporare).In absenta orpurilor polarizatia este nula (P 6= 0), de i n vid D = "0E, eea eevidentiaza faptul a n vid este su ient un singur amp ve torial pentru a ara teriza ampul ele tri . Deosebirea dintre indu tie si intensitate are relevanta doar n orpuri,urmand a diferenta P = D "0E sa poata onsiderata denitia polarizatiei a estora.O semni atie posibila a a estei legi onsta n faptul a intensitatea ampului ele tri este evidentiata a o auza a polarizarii orpurilor si a un orp polarizat produ e ampele tri sau perturba ampul ele tri preexistent.De multe ori relatia D(E) se aproximeaza u o dependenta ana (obtinuta de exempluprin retinerea doar a primilor doi termeni din seria Taylor) de tipul:27

D = E+P (3.3)n are Pp este hiar polarizatia permanenta iar este tensorul permitivitatilor absolute are de multe ori are valorile prin ipale egale, de i degenereaza ntr-un s alar. Se onstata a legea pune n evidenta o noua auza a ampului ele tri si anume polarizatia perma-nenta Pp, are da a este nenula ( um se ntampla n azul ele tretilor) este apabila saprodu a un amp ele tri E 6= 0, hiar da a D = 0 si invers.Figura 3.1 prezinta spe trele intensitatii si indu tiei ele tri e si se onstata a D areliniile de amp n hise (n a ord u legea uxului ele tri ), n s himb E are liniile de ampdes hise (n a ord u legea indu tiei). In aer ele doua spe tre se suprapun (D = "0E) pe and n ele tri D si E au sensuri opuse.D E

pP PpFigura 3.1: Spe trele E, D produse de un ele tretCapa itatea orpurilor polarizate permanent de a produ e amp ele tri poate onsi-derata un alt fenomen zi fundamental, are evidentiaza a treia auza posibila a ampuluiele tri .Mai mult, introdu erea ori arui orp ntr-un amp ele tri a at initial n vid modi- a a est amp atat n interiorul orpului at si n ve inatatea sa, datorita polarizariitemporare a orpului.3.2 Legea legaturii BHIndu tia magneti a dintr-un pun t din spatiu depinde de intensitatea ampului magneti din a el pun t: B = B(H) (3.4)Si n a est az forma on reta a relatiei BH este fun tie de tipul materialului si eapoate lua n unele azuri forme foarte ompli ate.O forma e hivalenta a legii, are pune n evidenta magnetizatia orpurilor M =M(H)este: B = 0(H+M) (3.5)n are 0 = 4 107 H=m este permeabilitatea vidului.28

Des ompunand magnetizatia M = Mt(H) +Mp n omponenta temporara Mt si eapermanenta Mp =M(0), rezulta:B = 0(H+Mt(H) +Mp); (3.6)motiv pentru are legea legaturiiBH se mai numeste si legea magnetizatiei (temporare).In absenta orpurilorM = 0, de i n vid B = 0H, ind su ient un singur amp ve to-rial pentru a ara teriza ampul magneti . In orpurile magnetizabileM = B=0H 6= 0si este ne esara o pere he de ve tori (B;H) pentru a ara teriza ampul. Prezentamagnetizatiei modi a ampul magneti re ipro , ampul magneti determina magne-tizarea orpurilor.Aproximand dependenta M(H) u una liniara se obtine urmatoarea forma parti ularade tip an a relatiei BH: B = H+ 0M (3.7)n are este tensorul permeabilitatilor absolute ale mediului.Semni atia zi a a legii este relevata de fenomenul de produ ere a ampului magneti datorat orpurilor magnetizate permanent (da aM 6= 0, atun i B 6= 0, hiar da aH = 0).In a est fel se evidentiaza o a treia auza prin ipial diferita a ampului magneti si anume orpurile magnetizate permanent ( azul magnetilor permanenti)Figura 3.2 prezinta spe trele ampului magneti n a est az. Se onstata a B areliniile de amp n hise ( onform legii uxului magneti ), n timp e H are liniile de ampdes hise (n a ord u legea ir uitului magneti ).B H

N N

SS

M MppFigura 3.2: Spe trele B, H ale ampului magneti produs de un magnet permanent3.3 Legea ondu tieiDensitatea de urent dintr-un pun t depinde de intensitatea urentului ele tri din a elpun t: J = J(E) (3.8)Forma on reta a legii depinde de tipul mediului n are se onsidera pun tul.29

Chiar da a legatura J, E poate lua n unele azuri forme foarte ompli ate, pentrumajoritatea orpurilor este satisfa atoare urmatoare aproximatie ana:J = (E+Ei) (3.9)n are este tensorul ondu tivitatilor mediului iar Ei este intensitatea ampului ele tri imprimat, sau e hivalent: J = E+ Ji (3.10)n are s-a notat Ji = Ei densitatea urentului ele tri imprimat.Da a este inversabil, atun i legea apata forma e hivalenta:E = JEi (3.11)n are 1 este tensorul rezistivitatilor.Legea ondu tiei are o dubla semni atie zi a, pe de o parte ea pune n evidenta auzastarii ele tro ineti e si anume ampul ele tri iar pe de alta parte ea pune n evidentao a patra auza posibila a ampului ele tri si anume ampul ele tri imprimat (E 6= 0da a Ei 6= 0, hiar atun i and J = 0). A est nou fenomen fundamental are lo n azulelementelor si bateriilor ele tro himi e, n are Ei 6= 0. Figura 3.3 prezinta spe trul lui En a est az, evidentiind ara terul des his al liniilor de amp (n a ord u legea indu tiei).E

E iFigura 3.3: Spe trul ampului ele tri E n azul unui a umulatorUltimile doua legi ale ampului ale tromagneti permit evidentierea efe telor a estui amp, realizand legatura ntre teoria ele tromagnetismului si alte domenii ale stiintie: um sunt termodinami a, me ani a, ele tro himia, et .30

3.4 Clasi area ara teristi ilor de materialIn onstru tia dispozitivelor ele tromagneti e intervin materiale din ele mai diverse a-tegorii. In modelarea ele tromagneti a intereseaza n primul rand ara terizarea pro-prietatilor de material ale ampului ele tromagneti .In onse inta, ori e material se poate ara teriza prin urmatoarele tipuri ale proprie-tatilor sale: diele tri e (legatura DE); magneti e (legatura BH); ondu toare (legatura JE).O ara terizare ompleta presupune unoasterea elor trei tipuri de relatii pentru e arematerial are al atuieste dispozitivul. Cateva exemple sunt ilustrative: aerul: din pun t de vedere diele tri : D = "0E; din pun t de vedere magneti : B = 0H; din pun tul de vedere al ondu tiei: J = 0 ( = 0 izolant); sti la: din pun t de vedere diele tri : D = "E u " = 0r, r > 1; din pun t de vedere magneti : B = 0H; din pun tul de vedere al ondu tiei: J = 0 ( = 0 izolant); otelul: din pun t de vedere diele tri : D = "0E; din pun t de vedere magneti : B = f(H); din pun tul de vedere al ondu tiei: J = E; uprul: din pun t de vedere diele tri : D = "0E; din pun t de vedere magneti : B = 0H; din pun tul de vedere al ondu tiei: J = E.Indiferent are este tipul de proprietate luat n onsiderare, se pot fa e urmatoarele lasi ari ale ara terisit ilor de material: Liniare neliniare:Dependenta dintre ele doua marimi este ara terizata printr-o relatie liniara (deproprotionalitate) n azul mediilor liniare sau nu n azul mediilor neliniare.31

Izotrope anizotrope:Relatia dintre ele doua marimi este independenta de dire tia lor n azul mediilorizotrope si dependenta de dire tie n azul mediilor anizotrope. Omogene neomogene:Relatia dintre ele doua marimi este a eeasi n ori e pun t n azul mediilor omogenesi depinde de pun t n azul mediilor neomogene. Invariante parametri e:Relatia dintre ele doua marimi este a eeasi n ori e moment de timp la mediileinvariante iar la ele parametri e depinde de un parametru are poate expli ittimpul sau o alta marime zi a um este temperatura, are la randul ei este fun tiede timp. Cu sau fara surse permanente:In azul unor medii u surse permanente, relatia dintre ele doua marimi este astfeln at ele nu se pot anula simultan. In azul mediilor fara surse permanente anulareauneia impli a anularea si a eleilalte marimi. Cu sau fara histerezis:In adrul mediilor u histerezis valoarea unei marimi la un moment dat depinde nunumai de valoarea eleilalte n a el moment i si de evolutia ei anterioara (materialeleau memorie).Cel mai simplu az este el al materialelor liniare (impli it fara surse permanente),izotrope, omogene si fara histerezis, la are:D = "E; B = H; J = E: (3.12)Proprietatile a estor materiale sunt omplet ara terizate de trei parametri s alari:permitivitatea ", permeabilitatea si ondu tivitatea .Da a materialul satisfa e onditiile anterioare, dar este anizotrop atun i:D = "E; B = H; J = E; (3.13) ara terizarea proprietatilor fa andu-se prin tensorii ", si .Da a materialul este liniar, izotrop dar neomogen, atun i parametrii sai de materialsunt fun tii de pun t (respe tiv de ve torul de pozitie r):D = "(r)E; B = (r)H; J = (r)E; (3.14)si nu onstanti a n azul mediilor omogene.In azul materialelor parametri e, parametrii de material depind de timp:D = "(t)E; B = (t)H; J = (t)E; (3.15)sau eventual de alte marime, de exemplu temperatura : = (), sau n azul materi-alelor u efe t Hall: J = J(E;H). Generalizand a easta ultima relatie se pot onsideralegi de material ( are nu au n mod ne esar semni atie zi a) de forma:D = D(E;H); B = B(E;H); J = J(E;H): (3.16)32

Dupa um s-a mentionat anterior, o lasa larga de materiale poate ara terizataprintr-o relatie de tip an:D = "E+Pp; B = H+ 0Mp; J = (E+Ei): (3.17)In general a este materiale sunt neliniare, anizotrope iar da a parametri "; sau semodi a de la pun t la pun t ele sunt si neomogene, sau parametri e da a a estia semodi a n fun tie de timp.Legatura ana generalizeaza relatiile de material anterior denite, deoare e prin parti- ularizari se obtin azurile mediilor: liniare (Pp = 0, Mp = 0, Ei = 0, iar "; si nu depind de E sau H); liniare si izotrope (" = 1, = 1, = 1).Folosind a este lasi ari se poate arma a: aerul este liniar din toate pun tele de vedere: diele tri , magneti si al ondu tiei(el ind n fond un izolant ( = 0) nemagneti (r = 1) si fara proprietati diele tri e"r = 1); sti la este liniara din toate pun tele de vedere, deosebindu-se de aer prin faptul aare permitivitatea relativa "r > 1 (este un diele tri propriuzis); otelul ele trotehni este linear din pun t de vedere diele tri , neliniar si izotropdin pun t de vedere magneti (da a este turnat si nu laminat la re e) si liniar dinpun tul de vedere al ondu tiei; uprul este liniar din toate pun tele de vedere n s himb spre deosebire de aer esteun ondu tor ( > 0).3.5 Modelarea materialelor neliniare si u histerezisCara terizarea mediilor neliniare este mai ompli ata de at a elor liniare. De exemplu,proprietatile unui mediu magneti neliniar, anizotrop fara histerezis se realizeaza nu prin onstante de material i prin fun tii \de magnetizare" de tipul:Bx = f1(Hx;Hy;Hz)By = f2(Hx;Hy;Hz) (3.18)Bz = f3(Hx;Hy;Hz)Da a mediul este izotrop atun i este su ienta o singura fun tie reala f de o variabilareala pentru a des rie ara teristi a de magnetizare:B = HHf(H); (3.19)33

B = f(H)

HFigura 3.4: Cara teristi a de magnetizareB si H ind oliniare. Se poate arata a permeabilitatea stati a denita a S = B=H =f(H)=H depinde de intensitatea ampului magneti si nu este o onstanta a n azulmaterialelor neliniare.In gura 3.4 se reprezinta ara terisit a de magnetizare tipt a pentru un material fero-magneti fara histerezis (\moale").Fenomenul de histerezis ntalnit mai ales la materialele magneti e este un fenomendeosebit de omplex, are nu admite o des riere exa ta si simpla. Este de remar at faptul a dependenta BH nu este n a est az o fun tie n sens matemati , deoare e la un Hdat pot orespunde mai multe valori posibile ale lui B.De obi ei materialele u histerezis pronuntat sunt folosite la realizarea magnetilor per-manenti (materiale feromagneti e dure). Cel mai adesea febri antii spe i a n atalogullor de produse doar il lul fundamental (maximal) de histerezis, nu si i lurile minore.Un exemplu tipi de i lu de histerezis este prezentat n gura 3.5.B

-Hc

-Br

HHc

Br

panta µ0

pantaµ = µ µ

r 0

Figura 3.5: Exemplu de i lu de histerezisPro esul de modelare a proprietatilor de material nu se bazeaza numai pe unoastera atmai exa ta a omportarii materialelor i si pe aproximari si idealizari are fa a rezolvareaproblemei sa e simpli ata. A este simpli ari trebuie totusi efe tuate u grija pentrua nu afe ta n mod semni ativ solutia numeri a. In ontinuare vor prezentate atevatehni i de modelare folosite pentru simpli area ara teristi ilor de material.34

In dispozitivele u magneti permanenti a estia se a a de obi ei n starea ara terizatade faptul a pere hea (B;H) se a a pozitionata n adranul doi al ara teristi ii. Se onstata a n a est adran ara teristi a de magnetizare se poate aproxima prin relatiaana: B = H+ 0Mp(n are 0Mp = Br este indu tia remanenta), de i printr-o dreapta n planul B H.Evident, a easta este o modelare simpli ata a fenomenului de histerezis, dar are darezultate satisfa atoare n multe azuri de dispozitive n are singurele surse de amp suntmagnetii permanenti.Un alt mod de modelare simplista a fenomenului de histerezis apli abil n azul variatieiperiodi e n timp a marimilor ara terisit e este el de aproximare a i lului de histerezisprintr-o elipsa. A easta tehni a are avantajul linearitatii, numai a n reprezentarea n omplex simpli at onstantele de material (respe tiv ") nu au un ara ter real i unul omplex ( u parte imaginara nenula).Liniearizarea ara teristi ilor de material reprezinta o metoda des apli ata n modelareazi a. In fond ea onsta n aproximarea ara teristi ii neliniare printr-o apli atie ana,obtinuta prin retinerea din dezvoltarea n serie Taylor doar a primilor doi termeni. Deexemplu, onsiderand pun tul de fun tionare H0; B0 = B(H0) de pe are teristi a unuimaterial magnetizare a unui material neliniar fara histerezis, indu tia B orespunzatoareunui amp de intensitate arbitrara este:B = B0 + dBdH(HH0) + : : : (3.20)n are dBdH este derivata Fre het a fun tiei B (da a admitem abuzul de a nota si fun tiasi variabila sa dependenta u a elasi simbol) reprezentata prin matri ea Ja obian:dBdH = 2664 BxHx BxHy BxHzByHx ByHy ByHzBzHx BzHy BzHz 3775 : (3.21)Se onstata a a easta matri e reprezinta tensorul permeabilitatilor dinami e d npun tul de fun tiune onsiderat.Prin a easta aproximare ara teristi a de magnetizare ia forma:B = dH+ I; (3.22)n are I = B0 dH0 este polarizatia magneti a permanenta. A easta modelare estepotrivita mai ales n studiul problemelor u mi i variatii ale pun tului de fun tionareB H, n ve inatatea pun tului stati de fun tionare B0 H0. Da a se alege B0 =0; H0 = 0, atun i modelul obtinut este unul liniar:B = dH u d = dBdH H=0 : (3.23)A easta tehni a este des utilizata n pra ti a pentru modelarea materialelor feromag-neti e moi, atun i and saturatia lor nu este importanta.35

Da a materialul este izotrop, atun i B si H sunt oliniare iar prin aproximarea ara -teristi ii de magnetizare B = f(H) n ve inatatea originii se obtine relatia:B = dHn are d = dfdH . In a est az tensorul permeabilitatii dinami e se redu e la un s alar:d = 264 d 0 00 d 00 0 d 375 = d 264 1 0 00 1 00 0 1 375 = d1: (3.24)Trebuie remar at a si n azul anizotrop tensorul d este simetri si pozitiv deinit, iarprintr-o s himbare onvenabila de oordonate el poate diagonalizat:d = 264 1 0 00 2 00 0 3 375 : (3.25)Da a valorile sale prin ipale 1, 2 si 3 sunt relativ apropiate, atun i el poate modelatprintr-un s alar u valoarea medie = (1+2+3)=3. In onse inta, modelarea mediiloranizotrope prin medii izotrope se realizeaza onsiderand onstanta de material = 13Tr[,n are Tr este urma matri ei are reprezinta tensorul d, egala u suma elementelor salediagonale.3.6 Modelarea mediilor neomogeneCel mai adesea dispozitivele ele tromagneti e se modeleaza prin medii omogene pe subdo-menii. Exisita totusi situatii n are orpurile sunt neomogene dar au o stru tura internaregulata (periodi a sau vasiperiodi a), ind al atuite din granule, re sau folii suprapuse um se ntampla n azul materialelor ompozite.In dispozitivele ele tromagneti e apar des astfel de situatii, um sunt bobinele u multespire sau miezurile magneti e realizate din tole. De obi ei a este stru turi neomogene semodeleaza prin medii omogene e hivalente.Se onsidera spre exemplu o nfasurare u n spire al atuita dintr-un r ondu tor avand ondu tivitatea si aria se tiunii transversale A (gura 3.6).Da a A este aria se tiunii transversale S a ntregii nfasurari, in lusiv izolatia ondu -toarelor, atun i fa torul de umplere al bobinei este k = n A =A.In onditiile n are omponenta de-a lungul rului a intensitatii ampului ele tri Eteste uniforma n se tiunea S, densitatea de urent din ondu tor este J = E iar urentultotal prin suprafata S este i = nJ A = n E A . Da a se modeleaza bobina a un ondu tor omogen de se tiune S, impunand a elasi urent total i = JeA = eE A, rezultavaloarea ondu tivitatii ele tri e e hivalente din modelul omogen:e = k (3.26)egala u ondu tivitatea rului initial multipli ata u fa torul de umplere al bobinei.36

S

σ

e

S

J J

e

e,σ

Figura 3.6: Modelarea spirelor unei bobinez

yc

a

b b

a

c

z

x

y

xFigura 3.7: Modelarea omogena a unui pa het de tole magneti eUn alt exemplu de modelare u medii omogene a unor materiale neomogene se refera laun pa het de tole magneti e laminate la re e si izolate ntre ele u un material nemagneti (gura 3.7).Se va presupune a tola este laminata la re e n dire tia z, de i anizotrop. Adoptandun model anizotrop liniar B = H, rezulta pe omponente relatiile:264 BxByBz 375 = 264 1 0 00 2 00 0 3 375264 HxHyHz 375 (3.27)n are se va presupune a tola este izotropa n planul perpendi ular pe dire tia de lami-nare, de i 1 = 2Apli and un amp magneti orientat dupa axa Ox u Hx uniform, rezulta n pa hetulde tole uxul: 1 = 1Hxk a + 0Hx(1 k) a (3.28)37

n are s-a notat u k fa torul de umplere (grosimea tolei neizolate raportata la grosimeatolei izolate) iar n pa hetul omogen e hivalent01 = 01Hx a (3.29)Egaland uxurile 1 si 01, rezulta:01 = 1k + 0(1 k): (3.30)A elasi rationament apli at dupa dire tia axei Oz ondu e la:03 = 3k + 0(1 k): (3.31)In s himb, dupa dir tia Oy se va presupune un amp magneti u indu tia By uniforma( are se onserva la tre erea din tola n izolatie, ind orientata normal pe a easta suprafatade dis ontinuitate). Tensiunea magneti a pe grosimea pa hetului de tole va :um2 = By2 k a+ By0 (1 k)a;iar n modelul omogen e hivalent: u0m2 = By0 a:In onse inta tensorul permeabilitatilor mediului omogen va avea valorile prin ipale:0 = 2664 1k + 0(1 k) 0 00 1= h k2 + (1k)0 i 00 0 3k + 0(1 k) 3775 u observatia a 01 este de a easta data diferit de 02.3.7 Modelarea u materiale perfe teO metoda importanta n modelarile zi e ale mediilor o onstituie idealizarea omportariia estora.Considerand spre exemplu, azul mediilor ondu toare, se deosebes doua situatiilimita (degenerate): azul izolatoarelor perfe te ( = 0 sau e hivalent !1); azul supra ondu toarelor ( !1 sau e hivalent! 0).Chiar da a n realitate nu exista izolanti perfe ti, (si hiar ele mai bune orpuri izola-toare au urenti de pierderi), a estia se pot neglija onsiderandu-se ondu tivitatea nula, = 0, eea e orespunde la J = 0.Modelul ondu torului perfe t, la are rezistivitatea este nula si impli it ! 1 siE = 0 (sau n azul mediilor u amp imprimatE+Ei = 0) se poate adopta nu numai u azul supra ondu toarelor i si n azul orpurilor bune ondu toare, da a a estea sunt38

n onjurate de orpuri slab ondu toare sau da a nu intereseaza distributia ampuluiele tri n interiorul lor.Proprietatile magneti e pot si ele idealizate. De exemplu, de multe ori mediileferomagneti e are au permeabilitatea foarte mare sunt modelate a medii u permeabi-litate innita, ! 1 numite feromagneti e ideale. In onse inta H = B= va tinde na est az atre zero (da a indu tia B este nita). Cea mai mi a valoare reala pe are opoate lua permeabilitatea este aproape de permeabilitatea vidului 0. Materialele areau a easta permeabilitate se numes nemagneti e. Exista totusi situatii and n mode-lare se adopta formal = 0, eea e orespunde la B = 0. Mediile de a est tip, numiteamagneti e nu exista n realitate, totusi arti iul este util n rezolvarea unor probleme demodelare.In mod similar, diele tri ii de permitivitate foarte mare ( um sunt orpurile feroe-le tri e) pot modelate a medii u " ! 1, eea e ondu e la anularea intensitatii ampului ele tri E = D=" = 0. A est model numit feroele tri ideal poate apli at, deexemplu, ondu toarelor n regim ele trostati . Cu toate a n relitate " 0, totusi aarti iu de modelare se pot onsidera medii la are formal " = 0. A este medii, la areindu tivitatea ele tri a estimata D = "E = 0, sunt numite medii anele tri e. Idealizarileobtinute n a easta maniera sunt prezentate sinteti n tabelul 3.1.Tabela 3.1: Medii ideale (perfe te)Mediul Constanta Campulde materialAnele tri " = 0 D = 0Feroele tri ideal "!1 E = 0Amagneti = 0 B = 0Feromagneti ideal !1 H = 0Izolant = 0 J = 0Supra ondu tor !1 E = 039

40

Capitolul 4Efe te ale ampului ele tromagneti 4.1 Legea transformarii energiei n ondu toareIn pro esul de ondu tie, ampul ele tromagneti transfera orpului o putere u densitateade volum: p = JE: (4.1)Puterea trasferata ntregului orp are o upa domeniulD se al uleaza prin integrarea pea est domeniu: P = ZD JEdv: (4.2)A easta putere este disipata ireversibil n azul ondu toarelor la are ampul imprimatEi este nul iar tensorul este pozitiv denit:p = JE = EE 0: (4.3)In a est az are lo restere a entropiei si o n alzire a orpului (efe tul Joule-Lentz).In majoritatea dispozitivelor ele tromagneti e fenomenele de n alzire joa a un rolimportant, soli itarile termi e ind ele are impun limite ale regimurilor normale defun tionare. Analiza a estor soli itari (realizata prin rezolvarea problemelor uplate ele -tro termi ) reprezinta un pun t important n a tivitatea de proie tare, in uentandputerni solutia tipodimensionala aleasa. De obi ei analiza ampului termi se fa e ulte-rior determinarii ampului ele tromagneti , dar exista totusi situatii (de exemplu, da aparametri de material , sau depind puterni de temperatura), n are ele douaprobleme trebuie rezolvate simultan.4.2 Legea transferului de masaIn pro esul de ondu tie are lo un transfer de masa u densitatea uxului de masa:Æ = kJ; (4.4)n are k este neglijabil n metale si este egal u oe ientul ele tro himi n ele troliti.41

Debitul masi depus prin fenomenul de ele troliza este n onse inta:Qm = Z kJdA; (4.5)n are este suprafata anodului iar masa totala depusa n intervalul (t1; t2) este:m = Z t2t1 Z kJdAdt: (4.6)In parti ular, da a k = t si J nu depinde de timp: m = kIt, n are t = t2 t1 iarI = Z JdAeste urentul e strabate uva ele troliti a (gura 4.1).I

δ,

Σ

JFigura 4.1: Transferul de masa n ele trolizaDupa um se onstata, legile ampului ele tromagneti nu pun n evidenta n mod dire tefe tele me ani e ale a estui amp. Ele pot totusi determinate folosind de exempluteoremele fortelor generalizate, ale aror demonstratie se bazeaza pe legile prezentate.4.3 Teorema energiei ele tromagneti e.Puterea transferata de ampul ele tromagneti unui domeniu imobil prin frontiera a estuiaD este egala u puterea transferata orpurilor din domeniul PD plus viteza de resterea energiei ampului ele tromagneti Wem din domeniu:P = PD + Wemt : (4.7)Pentru demonstrarea a estei armatii se onsidera un domeniuD, marginit de suprafatan hisa , n are se a a un sistem de orpuri imobile si liniare din pun t de vedere diele -tri (D = "E) si magneti (B = H). Formele lo ale ale legilor indu tiei ele tromagneti esi ir uitului magneti : rotE = Bt ;rotH = J+ Dt42

permit stabilirea onse intei:ErotHHrotE = JE +EDt +HBt :Deoare e div (EH) = r (EH) = r #EH!+r E #H! =H (rE)E (rH) =HrotEErotHsi EDt = E"Et = "2 E2t = t DE2 ! ;HBt = t BH2 ! ;rezulta a: div (EH) = JE+ t DE2 + BH2 ! ; (4.8)n are: p = EJ reprezinta onform legii transformarii energiei n ondu toare densitateade volum a puterii transferata de amp orpurilor, iarS = EH reprezinta ve torul Paynting, masurat n W=m2;we = DE=2 reprezinta densitatea de volum a energiei ele tri e, masurata n J=m3;wm = BH=2 reprezinta densitatea de volum a energiei magneti e, masurata n J=m3.Notand u wem = we + wm densitatea de volum a energiei ampului ele tromganeti ,rezulta a: divS = p+ wemt ; (4.9)relatie unos uta sub numele de forma lo alaa a teoremei energiei ele tromagneti e.Prin integrarea a estei relatii diferentiale lo ale pe domeniul D se obtine: ZD divSdv = Z SdA = ZD pdv + t ZD wemdvNotand u P = R SdA = R SdAint, puterea transferata prin suprafata de la exteriorspre interior;PD = RD pdv, puterea transferata orpurilor din domeniul D siWem = We +Wm, energia ele tromagneti a din domeniul D u omponentele:We = RD wedv, energia ampului ele tri siWm = RD wmdv, energia ampului magneti ,rezulta eea e trebuia demonstrat. 43

4.4 Teorema impulsului ele tromagneti 4.5 Teorema fortei generalizate n amp ele tri Forta feneralizata Xk u are ampulele tri a tioneaza asupra sistemelor de orpuri, este:Xk = Wexk = t ; (4.10)n are We = ZD wedv u we = Z D0 EdD (4.11)este energia ampului ele tri din sistem iar xk este oordonata generalizata aso iata forteiXk.Se onstata a la ux (sar ina) onstant(a) sistemul evolueaza n sensul minimizariienergiei sale (gura 4.2).E, D

F1

F2

xFigura 4.2: Efe tul me ani al ampului ele tri Tabelul 4.1 prezinta ateva exemple de pere hi de forte si oordonate generalizate.Tabela 4.1: Exemple de pere hi de forte si oordonate generalizateXk xkForta [N deplasarea [mCuplu [N=m unghi [radPresiunea [N=m2 volumul [m3In azul mediilor liniare la are D = E si Pp = 0, energia ele tri a are expresia:We = ZD DE2 dv: (4.12)44

4.6 Teorema fortei generalizate n amp magneti Forta generalizata Xk u are ampul magneti a tioneaza asupra unui sistem de orpurieste: Xk = Wmxk = t (4.13)n are Wm = ZD wmdv u wm = Z B0 HdB (4.14)este energia ampului magneti din sistem iar xk este oordonata generalizata aso iatafortei Xk.In azul mediilor la are B = H si Mp = 0, energia magneti a are expresia.Wm = ZD BH2 dv (4.15)Se onstata a si n a est az sistemul de orpuri tinde sa evolueze astfel n at sa seminimizeze energia ampului magneti (gura 4.3).

C

Figura 4.3: Efe tul me ani al ampului magneti In multe dispozitive ele tromagneti e fenomenele me ani e joa a un rol important, maiales atun i and a estea au piese n mis are. Chiar si n azul dispozitivelor stati e( u parti imobile) soli itarile me ani e pot determina limitele regimurilor normale defun tionare. De obi ei analiza efe telor me ani e se fa e ulterior rezolvarii problemei de amp ele tromagneti . Exista totusi situatii n are ele doua probleme nu pot separate i trebuie tezolvate simultan, a o problema uplata ele tromagneti a me ani a. A estaeste mai ales azul dispozitivelor u parti mobile (masini ele tri e, dispozitive de a tionare,pompe magneto hidrodonami e et .) indiferent a a estea sunt rigide, deformabile,plasti e, sau uide.Fenomenele fundamentale des rise de legile ampului ele tromagneti stabiles relatii detip auza efe t u referire la starile ampului si orpurilor. Ele sunt reprezentate s hemati n gura 4.4. S-au folosit linii duble pentru relatiile valabile atat n regim stationar at sivariabil si linii simple pentru relatiile valabile doar n regim variabil. Cu linii pun tate s-au mar at fenomenele legate de efe tele ampul ele tromagneti . S-a notat e are sageata u numarul orespunzator legii are des rie fenomenul (relatia auza efe t).45

Corpuri cu camp

Forte electrice

Corpuri polarizate permanent

Forte magneticede masa

Forte magnetice

electric imprimat

electric

Campul

magneticCampul

electrizate

Corpuri

de curentCorpuri parcurse

permanent

Corpuri magnetizate

Forte electrice

710

5 1

10

3 47

6

2

4

11 11 9 8

IncalzireTransferFigura 4.4: Fenomene fundamentale ale ele tromagnetismuluiIntr-un dispozitiv ele tromagneti on ret nu intervin toate a este fenomene fundamen-tale, sau da a intevin, nu toate au a eeasi importanta. In modelarea zi a trebuie identi- ate a ele fenomene are sunt esentiale pentru fun tionarea dispozitivului, diagrama dingura 4.4 simpi andu-se orespunzator de la az la az. Este evident a a est lu ru nueste posibil fara ntelegerea prin ipiului de fun tionare al dispozitivului analizat.

46

Capitolul 5Regimurile ampului ele tromagneti 5.1 Regimul general variabilLegile ampului ele tromagneti , n forma lor lo ala al atuies un sistem de e uatii uderivate partiale de ordinul ntai ombinate u e uatii u ara ter algebri :1. LFE: divD = 2. LFM: divB = 03. LIE: rotE = Bt rot(B v)4. LCM: rotH = J+ Dt + v+ rot(D v)5. LDE: D = 0E+P sau D = E+Pp6. LBH: B = 0(H+M) sau B = H+ 0Mp7. LJE: J = (E+Ei)8. LTE: p = JE9. LTM: Æ = kJLa a este relatii se pot adauga urmatoarele teoreme fundamentale:10. LFGE: Xk = Wexk j = t:11. LFGM: Xk = Wmxk j= t:12. LCS: divJ = t div(v)?????Problema fundamentala a analizei ampului ele tromagneti n regim general variabiln medii n mis are este o problema foarte ompli ta, u ara ter uplat ele tromagneti -me ani . In general mis area orpurilor (de exemplu ?? unei masini ele tri e) este de-terminata de fortele ele tri e si/sau magneti e, pre um si a fortelor de alta natura, darn a elasi timp ampul ele tromagneti este in uentat de mis area orpurilor. Sursele de47

amp n a est regim (si impli it datele problemei) sunt ampurile ve toriale: Pp, Mp siEi, are reprezinta n fond auze de natura ele tromagneti a. Ne unos utele problemei deanaliza le reprezinta ampurile E, D, B, H, dar si ampul de viteze v, pentru determina-rea aruia trebuie adaugate e uatiile de mis are pre um si modele me ani e de material(solide rigide, elasti e sau plasti e, uide ideale in ompresibile, uide vas oase, et .), umse ntampla n magnetohidrodinami a. Se onstata a distributia de sar ina si urentJ sunt n a est az ne unos ute si nu date, de altfel ele rezulta n mod univo din legea uxului ele tri si din legea ir uitului magneti , da a ampul ele tromagneti si el deviteze sunt omplet determinate. Dupa determinarea ampurilor se pot evalua si efe telea estora, um sunt 'sursele de aldura" sau transferul de masa.Un az simpli at al a estei probleme uplate l reprezinta azul n are vitezele or-purilor sunt unos ute apriori. Exemple de astfel de probleme sunt ele de analiza afenomenului de indu tie prin mis are n orpuri ag ate n rotatie sau translatie u vi-teze unos ute sau al ulul ampului magneti produs de orpuri ele trizate sau polari-zate a ate n mis are u viteze unos ute. Mentionam doar ateva din dispozitivele n are apar astfel de fenomene: masini ele tri e liniare sau rotative (motoare, generatoare,frane), dispozitive de a tionare ele tromagneti a, lansatoare ele tromagneti e, dispozitivede ??? ele tromagneti a, debitmetre ele tromagneti e, generatoare magnetohidrodina-mi e, pompe ele tromagneti e, et .5.2 Regimul ele trostati In multe situatii pra ti e orpurile sunt imobile, iar ampul ele tromagneti este onstantn timp. In a este ipoteze spunem a ne a am n regim sttionar. Diagrama din gura ??? apata o forma mult mai simpla, arbores enta.Da a n plus, nu au lo transformari energeti e, atun i regimul se numeste stati . on-siderand a nu apare stare ele tro ineti a, puterea transferata este nula, de i nu pot avealo transformari de energie. In onse inta n regim stati diagrama di gura 1.13??? 'sesparge" n doua diagrame disjun te. Cea superioara se refera la ampul ele tri , maiexa t ele trostati , iar ea inferioara se refera la ampul magneti , mai exa t magnetos-tati . Cele doua ampuri pot oexista fara sa se in uenteze re ipro n vreun fel.E uatiile fundamentale ale ele trostati ii n forma lo ala:divD = rotE = 0D = D(E)sau n parti ular D = D+Ppla are se adauga si onditia de e hilibru ele trostati n ondu toare:E+Ei = 0provin din legea uxului ele tri , legea indu tiei, legea legaturii DE si legea ondu tiei.Problema fundamentala a anlizei ampului ele trostati onsta n determinarea ampurilorve toriale D, E pornind de la sursele lor , Pp, Ei, presupuse unos ute. Dupa um se48

va vedea n ontinuare pentru a a easta problema sa e ore t formulata mai trebuie unos ute : forma si dimensiunile domeniului spatial de al ul, proprietatile de material(n a est az ele diele tri e date prin sau relatia DE n e are pun t din domeniu),dar si onditiile de frontiera, are reprezinta prezenta eventuala a unor surse externe de amp.Relatiile auza-efe t, de i fenomenele fundamentale spe i e regimului ele trostati sunprezentate n gura ????.Solutia problemei fundamentale poate folosita la al ulul altor marimi, um suntdensitatea de energie, energia a umulata n ampul ele trostati , efe tele me ani e ara -terizate de forte, upluri, presiuni sau tensiuni, dar si alti parametri spe i i dispozitivelorele trostati e. Dintre a estea din urma ea mai importanta este apa itatea, are este unparametru ara teristi dispozitivului numit ondensator. Un ondensator este al atuitdin doua armaturi ondu toare separate printr-un diele tri (izolant). Capa itatea unui ondensator este denita prin raportul: C = qu; (5.1)n are q este sar ina unei armaturi, iar u este tensiunea dintre prima si a doua armatura,n onditiile n are a doua armatura are sar ina q. Capa itatea se masoara n [F .Da a diele tri ul este liniar (D = E), atun i apa itatea ondensatorului nu depindede starea a estuia (ni i de q si ni i de u). Pentru al ulul apa itatii unui ondensatoreste ne esara rezolvarea problemei fundamentale a anlizei ampului ele trostati . A eastapoate formulata n doua moduri omplementare: se presupune tensiunea u ntre armaturi unos uta (sursa de amp), se determinadistributia de amp si apoi ea de sar ina, obtinandu-se qprin integrare; se presupune o armatura n ar ata u sar ina q, iar elelalte u q (sursa de amp)si apoi se determina distributia de amp, prin integrarea areia se obtine tensiuneau.Trebuie observat a n ambele formulari, modul de distributie a sar inii la suprafata ondu toarelor este ne unos ut si rezulta luand n onsiderare onditia de e hilibru ele -trostati (E = 0) n armaturile ondu toare (la are Ei).Cu toate a ipotezele ele trostati ii par foarte restri tive, a est regim si gaseste multeapli atii pra ti e. A easta deoare e rezultatele obtinute sunt valabile si n regim variabil u onditia a variatiile sa e su ient de lente n timp.Dintre apli atiile uzuale mentionam: al ulul apa itatilor diferitelor ondensatoare saual apa itatilor parazite, apa itati are sunt ulterior folosite si n regim dinami (pana lafre vente destul de mari), analiza soli itarilor diele tri e si oordonarea izolatiei ( al ulul ampului maxim n izolanti de diferite forme, plasati ntre diferiti ele trozi), analiza unoraparate de masura ele trostati e ( um este voltmetrul ele trostati ) sau a mi romotoarelorele trostati e (din mi rosistemelor integrate), analiza dispozitivelor u ele treti ( um suntmi rofoanele ompa te). 49

5.3 Regimul magnetostati Ipotezele regimului sunt: orpurile sunt imobile; marimile sunt onstante n timp; nu au lo transformari de energie; prezinta interes ampul magneti .E uatiile fundamentale ale magnetostati ii n forma lo ala:divB = 0rotH = 0B = B(H)sau n parti ular B = H+ 0Mp, provin din legea uxului magneti , legea ir uitului magneti si legea legaturii BH.Relatiile auza-efe t, de i fenomenele fundamentale spe i e regimului magnetostati sun prezentate n gura ????.Problema fundamentala a anlizei ampuluimagnetostati onsta n determinarea ampurilorve toriale B, H pornind de la sursa lor magnetizatia permanenta Mp presupusa unos- utasi evident de la domeniul spatial de al ul, ara teristi a magneti a de material si onditiile de frontiera.Dupa al ulul ampului se pot determina si alte marimi um sunt energia magneti asau fortele si uplurile de natura magneti a, dar si tensiuni induse prin mis area u viteza unos uta a magnetilor permanenti.Un dispozitiv magneti simplu, dar fre vent ntalnit n pra ti a pentru on entrarea sidirijarea ampului magneti este tronsonul de ir uit magneti . A esta este de obi ei oparte omponenta a unor dispozitive mai ompli ate si are proprietatea a reprezinta untub de ux magneti , respe tiv a suprafata sa laterala este suprafata de amp (liniilede amp sunt orientate tangential), iar ele doua suprafete transversale, numite bornemagneti e au liniile de amp ortogonale pe ele. Parametrul ara teristi al unui astfel dedispozitiv este relu tanta magneti a: Rm = um (5.2)au inversa sa permeanta magneti a: m = um ; (5.3)n are este uxul e strabate o borna magneti a, iar um este tensiunea magneti a dela ealalta borna la ea pe are s-a al ulat uxul. Permeanta se masoara n [H, iar50

relu tanta n [H1. Da a materialul din are este al atuit tronsonul este liniar din pun tde vedere magneti , atun i relu tanta sa magneti a nu depinde de ampul magneti (ni ide ux, ni i de tensiune).Pentru al ulul permeantei magneti e este ne esara rezolvarea problemei fundamentalea magnetostati ii. Ea poate formulata n doua moduri omplementare: se unoaste uxul si trebuie determinat ampul si apoi al ulata tensiune amag-neti a prin integrarea lui H de-a lungul tronsonului; sau se impune tensiunea magneti a ntre borne um si se determina ampul si apoise al uleaza uxul prin integrarea indu tiei B pe suprafata unei borne.Dintre apli atiile uzuale ale regimului nmagnetostati ea mai importanta se referala determinarea ampului magneti produs de diferite sisteme u magneti permanenti(masini u magneti permanenti, difuzoare, instrumente de masura magnetostati e et .).Multe rezultate obtinute n regim magnetostati ( um este relu tanta unor tronsoanede ir uit magneti sau ntreeruri) sunt folosite u su es si n regim variabil sau nstudiul unor dispozitive omplexe e au parti e fun tioneaza si n alte regimuri de at elmagnetostati .5.4 Regimul ele tro ineti stationarIn multe situatii pra ti e intereseaza felul n are se distribuie urentul ele tri n ondu -toare masive. Cel mai simplu studiu de a est tip se fa e n regim ele tro ineti stationar, ara terizat de urmatoarele ipoteze simpli atoare: orpurile sunt imobile; marimile zi e nu variaza n timp; nu intereseaza distributia ampului magneti .E uatiile fundamentale ale a estui regim au urmatoarea forma lo ala:divJ = 0;rotE = 0;J = J(E)sau n parti ular J = (E+Ei); are sunt formele parti ulare ipotezele mentionate ale legii onservarii sar inii, legiiindu tiei ele tromagneti e si legii indu tiei.Relatiile auza-efe t, de i prin ipalele fenomene spe i e ele tro ineti ii sunt prezentaten gura ????. Din e uatiile regimului se onstata a ele trizarea sau polarizarea orpurilornu in uenteaza distributia de urent. 51

Problema fundamentala a ele tro ineti ii are a ne unos ute ampurile de ve torialeJ si E, iar a date ampul imprimat Ei, are este sursa interna a ampului si evident:domeniul spatial de al ul, ara teristi ile ondu toarelor din domeniu si onditiile defrontiera.Dupa determinarea distributiei de urent se poate al ula puterea lo ala disipata (fo-losind legea transferului de energie n ondu toare) si masa transferata prin ele troliza(folosind legea transferului de masa). Puterea disipata permite determinarea distributieide temperatura n domeniul studiat (soli itarile termi e) prin rezolvarea e uatiei aldurii.Prin ipial singura sursa de urent n regim ele tro ineti este ampul ele tri imprimat,n realitate multe probleme au si alte surse de amp, dar a estea ind externe, se reprezintaprin onditii de frontiera.Un parametru ara teristiv important are se poate determina prin rezolvarea problemeiele tro ineti ii este rezistenta [!, respe tiv ondu tanta [S unui rezistor:R = ui ;G = iu (5.4)in are u este tensiunea la bornele rezistorului, iar i este urentul e strabate rezistorul.Prin rezistor se ntelege o omponenta ondu toare s ufundata ntr-un izolant si strabatutade urent are intra normal printr-o borna si iese prin ealalta, astfel n at rezistorulreprezinta un tub de urent. Ca si n azurile anterioare parametrul ara teristi sedetermina rezolvand una din urmatoarele doua probleme omplementare: se presupune tensiunea u ntre borne unos uta si se determina distributia de urenturmand a valoarea urentului i sa se al uleze prin integrarea lui J pe suprafataunei borne; se presupune urentul i unos ut si se determina ampul ele tri n domeniul rezis-torului, urmand a tensiunea u sa e al ulata prin integrare pe o urba e uneste ele doua borne.Cal ulul rezistentei ele tri e pentru diferite forme ale ondu toarelor si respe tiv borne-lor reprezinta o problema fre vent ntalnita n pra ti a. Rezultatele obtinute, hiar da aau fost determinate n regim stationar pot folosite si n regim dinami , u onditia aviteza de variatie a ampului sa nu e prea mare.Urmatoarele sisteme reprezinta apli atii tipi e ale regimului ele tro ineti : prize depamant, bai ele troliti e, uve pentru ele troliza aluminiului, uptoare u n alzire re-zistiva sau dire ta, instalatii de sudura prin pun te, dimensionarea sigurantelor fuzibile,et .5.5 Regimul magneti stationarA est regim are urmatoarele ipoteze simpli atoare: orpurile sunt imobile; marimile sunt onstante n timp; 52

intereseaza distributia ampului magneti produs de o distributie unos uta a u-rentului de ondu tie.Forma lo ala a e uatiilor fundamentale ale a estui regim:divB = 0rotH = JB = B(H)sau n parti ular B = H+ 0Mp, se obtin n ipotezele mentionate anterior din: legea uxului magneti , legea ir uituluimagneti si legea legaturii BH.Relatiile auza-efe t, de i prin ipalele fenomene spe i e a estui regim sunt prezentaten gura ????.Problema fundamentala a analizei ampului n a est regim are a ne unos ute de-terminarea ampurilor ve toriale B, H si a date distributia densitatii de urent J sia magnetizatiei permanente Mp n onditiile n are se unos : domeniul spatial, pro-prietatile magneti 'e de material si onditiile de frontiera. In a est regim sursele de ampsunt: urentul de ondu tie, magnetizatia permanenta si onditiile de frontiera, are repre-zinta sursele ampului magneti a ate n afara domeniului supus analizei. In onse inta,probllema analizei ampului magneti stationar trebuie pre edata de rezolvarea unei pro-bleme ele tro ineti e pentru determinarea densitatii de urent J. Cele doua probleme pot rezolvate se vential deoare e ampul magneti stationar nu in uenteaza distributia de urent.Da a mediul este liniar din pun t de vedere magneti atun i ampul magneti produsde urentul de ondu tie si de magneti permanenti poate al ulat prin superpozitierezolvand separat o problema de regim magneti stationar la are B = H si apoi oproblema de magnetostati a la are Mp 6= 0. Da a mediul este neliniar surse trebuie sae onsiderate simultan.Dupa rezolvarea problemei fundamentale, se pot determina efe tele ampului magneti :energii, forte, upluri de natura magneti a, dar si tensiunile induse datorita mis arii sauvariatiei n timp a urentului indu tor, u onditia a viteza de variatie sa nu e preamare.Dispozitivul el mai ntalnit, are fun tioneaza n a est regim este bobina, al atuitadintr-un ondu tor nfasurat n aer sau pe un miez feromagneti . Parametrul spe i a estui dispozitiv este indu tivitatea (masurata n [H):L = phii ; (5.5)n are este uxul magneti total al bobinei si i este urentul e produ e a est ux.Da a mediul este magneti liniar, atun i indu tivitatea bobinei nu depinde de urentul i.Pentru determinarea indu tivitatii unei bobine este ne esara rezolvarea problemei fun-damentale a regimuluimagneti stationar, respe tiv determinarea ampului magneti pro-dus de un urent i impus si apoi al ulul uxului prin integrarea indu tiei pe o suprafta,53

are se sprijina pe urba mediana a rului ondu tor al bobinei. O alta metoda de al ula indu tivitatii este ea energeti a, bazata pe relatia:Wm = Li22 ; (5.6) onform areia indu tivitatea este debitul energiei magneti e ( al ulata prin densitatii deenergie a ampului magneti ) raportata la patratul urentului.Indu tivitatea unei bobine determinata n regim stationar poate ulterior folosita nregim dinami , pentru o plaje destul de larga de fre vente, de exemplu pentru al u-lul tensiunii autoindusesau a energiei a umulate sau a fortei de natura magneti a e seexer ita asupra unor piese in mis are.Dintre dispozitivele a aror analiza se fa e n regim magneti stationar mentionam: bo-bine, masini ele tri e, ele tromagneti de a tionare sau de produ ere a ampului magneti pentru a eleratoarele de parti ule, rezonanta magneti a de spin, de exie magneti a, et .5.6 Regimurile vasistationareIn regim vasistationar ampul ele tromagneti este variabil n timp, dar su ient de lentpentru a unele fenomene sa poate neglijate.In ondu toare hiar si la fre vente destul de mari urentul de deplasare are densitatimult mai mi i de at urentul de ondu tie, n onse inta el poate neglijat. Pro edandn a est mod se adopta de fapt ipotezele regimului vasistationar de tip indu tiv (sauanele tri ): orpurile sunt imobile; urentul de deplasare este onsiderat nul.Formal ea de-a doua ipoteza se obtine onsiderand orpurile din domeniul de studiude tip anele tri ( u = 0); eea e impli a anularea indu tiei ele tri e D si impli it a urentului de deplasare.Relatiile auzale se pot reprezenta s hemati a n gura ???, obtinuta din gura ???prin eliminarea sagetii 4, astfel n at din ele doua bu le ramane una singura.E uatiile fundamentale ale regimului vasistationar indu tiv au forma lo ala:divB = 0;divJ = 0;rotE = Bt ;rotH = J;B = B(H);J = J(E):54

obtinuta din legea uxului magneti , legea onservarii sar inii, legea ir uitului magneti ,legea indu tiei si legile de material BH, JE n ipoteza n are D = 0.Problema fundamentala a a estui regim este determinarea modului n are difuzeaza ampul ele tri E, ele magneti B, H si densitatea de urent J n interiorul domeniilor ondu toare de forma unos uta, ara teristi i de magnetizare si de ondu tie unos utesi onditii initiale si de frontiera unos ute. Aparent sursele de amp n a est regim pot magnetizatia permanenta si ampul imprimat, dar n realitate el mai adesea sursele sea a n afara domeniului spatio-temporal analizat si sunt reprezentate de onditiile initialesi de frontiera.Regimul vasistationar are maimulte efe te spe i e da at regimurile stati e si stationare.Dintre a estea mentionam doua fre vent ntalnite: urenti turbionari reprezinta urentii indusi n orpurile ondu toare a ate n ampmagneti variabil ( onform diagramei a esta indu e un amp ele tri , are onformlegii ondu tiei este nsotit de un urent ele tri , urent are produ e un ampmagneti e se suprapune peste ampul indu tor, perturbandu-l); efe tul peli ular onsta n redistribuirea urentului de adu tie de preferinta la suprafata ondu toarelor si el este u atat mai pronuntat u at urentul este mai rapid va-riabil n timp (expli atia onsta n faptul a ori e urent variabil produ e un ampmagneti variabil are indu e un amp ele tri are se suprapune peste el initial,perturband distributia de urent).Trebuie remar at a n medii izolante urentul de ondu tie este neglijabil sau nul, de i urentul de deplasare nu poate neglijat. Neglijand n s himb fenomenul de indu tie ele -tromagneti a se obtine diagrama din gura ????, orespunzatoare regimului vasistationar apa itiv (sau amagneti ), are are urmatoarele ipoteze denitorii: orpurile sunt imobile; orpurile sunt amagneti e.E uatiile fundamentale ale a estui regim au urmatoare forma lo ala:divD = divJ = t ;rotE = 0;rotH = J+ Dt ;D = D(E);J = J(E):obtinute din legea uxului ele tri , legea onservarii sar inii, legea indu tiei, legea ir ui-tului magneti , legile de material DE si JE, parti ularizate n ipoteza B = 0.55

Problema fundamentala a a estui regim onsta n determinarea modului n are di-fuzeaza ampul magneti H, ele ele tri D, E, dar si densitatea de sra ina s ea de urent n domeniile slab ondu toare de forma unos uta u proprietati diele tri e si de ondu tie unos ute, n onditii initiale si de frontiera date. A este onditii reprezinta nmod uzual sursa ampului ele tromagneti n a est regim> Dintre efe tele spe i e a estuiregim mentionam: difuzia sar inilor, spre deosebire de azul regimului vasistationar indu tiv n aresar inile se redistribuie pra ti instantaneu,n regimul apa itiv este ne esar un timppentru a se relaxa.Exemple de apli atii n are este ne esara analiza ampului ele tromagneti n regim vasistationar indu tiv: n alzire prin urenti turbionari, aparate de masura bazate pe urenti turbionari um sunt ontoarele de indu tie, masini ele tri e bazate pe indu tie um sunt transformatoarele, motoarele asin rone si franele ele tromagneti e, instalatiide defe tos opie nedistru tiva u urenti turbionari, evaluarea pierderilor prin urentiturbionari , et . .Regimul vasistationar apa itiv este utilizat n studiul omportarii izolantilor n ampvariabil, a de exemplu diele tri ii ondensatoarelor.In azul modelarii unor dispozitive omplexe se pot utiliza ambele tipuri de de regi-muri vasistationare, el indu tiov pentru partile bune ondu toare si el apa itiv pen-tru orpuri slab ondu toare, urmand a n izolanti sa e utilizate e uatiile regimului vasistationar apa itiv sau hiar ele ale ale regimurilor magneti stationar (pentru de-terminarea ampului magneti ) si ele trostati (pentru determinarea ampului ele tri sia distributiei de sar ina).5.7 Regimul general variabil n mediile imobile. E uatiilelui MaxwellDa a se onsidera mediile imobile si se iau n onsiderare atat urentii de deplasare atsi fenomenul de indu tie ele tromagneti a se spune a regimul este general variabil, in-diferent da a exista urent de ondu tie sau nu, um se ntampla n izolanti si n vid.Spe i a estui az este aparitia bu lei de sageti 3 4 n diagrma de auzalitate a regi-mului (g..????)> A easta bu la pune n evidenta legatura foarte stransa ntre ele doua omponente ale ampului ele tromagneti , variatia n timp a ampului ele tri determinaaparitia unui amp magneti si invers> Generarea re ipro a si su esiva a a estor doua ampuri expli a fenomenul de propagare a undelor ele tromagneti e, spe i a estui re-gim. Unda ele tromagneti a se desprinde de orpul are a produs-o si se propaga uviteza nita n ntreg spatiul, in lusiv prin vid. Din a est motiv n regimul general va-riabil, ampul ele tri si el magneti nu se pot analiza separat, i ele trebuie studiatesimultan.E uatiile a estui regim au urmatoarea forma lo ala:divD = ;56

divB = 0;rotE = Bt ;rotH = J+ Dt ;D = D(E);B = B(H);J = J(E): unos uta si sub numele de sistemul e uatiilor lui Maxwell. Ele provin din legile generalesi de material ale ampului ele tromagneti n ipotez vitezei nule a orpurilor.Problema fundamentala a analizei ampului ele tromagneti n a est regim are a ne u-nos ute ampurile ve toriale E, D, B si H, dar si ele spe i e orpurilor si J, pornindde la domeniul spatio-temporal de al ul, de la proprietatile de material diele tri e, mag-neti e si de ondu tie (eventual mpreuna u sursele permanente de amp Pp,Mp si Ei),dar si onditiile initiale si de frontiera. Solutia problemei de amp permite determina-rea efe telor ampului: energie a umulata, energie transferata, putere disipata (in lusivn alzirea), upluri si presiuni exer itate asupra orpurilor.Dintre apli atiile tipi e ale e uatiilor a estui regim mentinam: studiul ghidurilor deunde, studiul propagarii undelor n spatii des ise, analiza antenelor, mprastierea undelorpe diferite obie te, analiza dispozitivelor pentru prelu rarea mi roundelor (ltre, ampli- atoare, onvertoare, et .).

57

58

Capitolul 6Modelarea spatio-temporala a ampului ele tromagneti 6.1 Modelarea temporala a ampului ele tromagne-ti In regimurile stati e si stationare ale ampului ele tromagneti toate marimile ara te-risti e sun t onstante n timp, de i timpul nu apare a variabila independenta. Trebuiementionat totusi a n realitate nu exista ni i o marime zi a absolut onstanta n timp.In onse inta regimurile stati e si stationare sunt folosite pentru modelarea situatiilor n are marimile variaza lent, fre vente s azute sau sunt onstante pe o lunga perioada detimp.In regimurile n are timpul apare n mod expli it, um sunt regimurile vasistationaresau general variabile se deosebes urmatoarele forme de variatie n timp atat pentrumarimile sursa (datele problemei de analiza), at si pentru ele ara teristi e ampului(ne unos utele problemei de analiza): armoni (sinusoidal); periodi (permanent nesinusoidal); tranzitoriu.In azurile regimurilor sinusoidale variabilele s alare: sau ori are din ele trei ompo-nente ale ampurilor ve toriale E, D, B, H, J, Pp, Mp, Ei sunt e nule e au o variatiesinusoidala n timp de forma: x(t) = Asin(!t+ ') (6.1)n are A este amplitudinea, ! este pulsatia, iar ' este faza initiala. Toate marimile uneiprobleme n a est regim au o valoare omuna a pulsatiei:! = 2f = 2T ; (6.2)n are f [Hz este fre venta, iar T [s este perioada. Deoare e datele au variatie sinusoidalan timp rezulta a pulsatia ! este onos uta> pentru a ioproblema sa e de regim armoni 59

este ne esar a ea sa e liniara, iar ex itatiile sa e sinusoidale u pulsatie omuna.Deoare e unei marimi s alare i orespund 2 ne unos ute (amplitudinea si faza initiala).iar uneia ve toriale 3D i orespund 6 ne unos ute, rezulta a n regim armoni sinusoidalmodelarea temporala dubleaza numarul ne unos utelor fata de a eiasi problema formulatan regim stationar.Un alt regim de variatie temporala a ampului ele tromagneti este el periodi perma-nent nesinusoidal. In a est az valoarea instantanee a unei marimi se repeta u periodaT : x(t+ T ) = x(t) (6.3)de i este su ienta determinarea variatiei pe intervalul t 2 [0; T , astfel n at x(T ) = x(0)pentru a apoi prin extensie prin periodi itate sa e a operita ntreaga axa reala. Esteevident faptul a regimul sinusoidal este un az parti ular al regimului periodi . Ca si n azul regimului sinusoidal toate sursele de amp trebuie sa e fun tii periodi e u periodaT omuna. Utilizand dezvoltarea n serie Fourier se onstata a e are marime s alaraperiodi a este ara terizata de un sir de armoni i sinusoidale (de i o multime numarabila),urmand a armoni ile superioare sa aiba o importanta tot mai mi a.Ultimul mod de variatie n timp este el tranzitoriu, n are solutia x(t) este o fun tiedenita pe intervalul t 2 [0;1. Pentru a o astfel de problema sa poata rezolvataeste ne esara unoasterea modului n are variaza n timp sursele de amp pe a elasiinterval semimarginit de timp are n epe la momentul nitial ales onventional t = 0.Spre deosebire de azul regimului sinusoidal n are nu sunt ne esare onditii la limitan domeniul timpului, n azul regimului periodi (la t = 0 si t = T ) pe and n regimtranzitoriu este ne esara pre izarea unor onditii initiale, la momentul t = 0. Conditiileinitiale reprezinta modul de variatie a surselor de amp nainte de momentul initial, peintervalul t 2 [1; 0. Conditiile initiale permit determinarea starii ampului (impli it aenergiei a umulate) la momentul t = 0. Spre deosebire de elelalte tipuri de variatie n azul regimului tranzitoriu fara sa e impusa ni i o restri tie asupra modului de variatiea surselor de timp nu este su ienta o multime numarabila de valori pentru a ara terizaevolutia n timp a solutiei. Totusi din pun t de vedere ingineres , unoasterea solutiei intr-un numar nit destul de mare de momente de timp din intervalul [0; tmax este su ienta.6.2 Modelarea geometri a. Idealizari si simetrii6.2.1 Modelarea geometri aPartile omponente ale dispozitivelor ele tromagenti e a tuale au o enorma varietate deforme si dimensiuni. O problema importanta a modelarii a estor dispozitive o onstituiemodelarea geometri a (spatiala), are onsta n aproximarea si idealizarea formei a estorparti omponente, astfel n at problema analizei ampului ele tromagneti sa e at maisimpla, dar totusi solutia sa sa nu e in uentata sensibil de aproximatiile fa ute.Cel mai adesea partile omponente sunt asimilate u orpuri geometri e relativ simple,ale aror suprafete sunt plane, ilindri e, sferi e sau n azuri mai rare, des rise de e uatiipolinomiale pe portiuni u ra ordari \netede" (\ spline" sau \ oni e"). In a est felsunt neglijate tolerantele a estor piese pre um si rugozitatea suprafetelor. De exemplu,un blo re tangular (o \ aramida") se poate modela printr-un paralelipiped geometri ideal. 60

A easta aproximare geometri a, aparent naturala poate ridi a probleme referitoare latratarea mu hiilor si olturilor, modelul geometri ideal ind nepotrivit pentru deter-minarea, spre exemplu, a soli itarilor diele tri e. Datorita efe telor de mu hie, ampulele trostati este nemarginit pe mu hiile unui paralelipiped ondu tor. Iata de e n a est az trebuie luate n onsiderare razele de urbura reale ale ra ordurilor ntre fete. Ins himb, apar di ultati da a blo ul este diele tri sau da a intereseaza spre exemplu, u-rentul turbionar indus n blo ul paralelipipedi , azuri n are se poate adopta modelulgeometi ideal.6.2.2 Idealizari geometri e si simetriiPentru a evidentia multitudinea de azuri are intervin n modelarea geometri a se vaefe tua un studiu de az onsiderand exemplul simplu al unui orp paralelipipedi ulaturile de lungime a, b si , plasat la naltimea h fata de suprafata plana a unei piese debaza, de mari dimensiuni (gura 6.1). Da a n parti ular a = b = , blo ul este modelatprintr-un ub.z

x

o

c

yha

b

Figura 6.1: Model spatial 3DA easta onguratie reprezinta un az tipi de problema tridimensionala (3D), la areatat datele at si solutia sunt fun tie de trei variabile spatiale. Da a se adopta un sistemde oordonate artezian (x; y; z), atun i atat datele at si solutia sunt de forma:y = f(x; y; z):Da a una din dimensiuni, de exemplu a este mult mai mi a de at b si , blo ul devineo pla a. Da a grosimea pla ii este neglijabila, se poate poate onsidera a! 0, are ores-punde modelului din gura 6.2, n are blo ul este modelat printr-o folie dreptunghiulara(geometri printr-o suprafata).Da a n s himb a este mult mai mare de at b, sau h blo ul devine o bara. Da a baraeste foarte lunga, atun i adoptand a!1 ea este modelata printr-un ilindru innit use tiune dreptunghiulara (gura 6.3). 61

h

c

bFigura 6.2: Model spatial 3D u folie

h

zb

c

h

yoFigura 6.3: Model spatial 2DIn a est az, datele problemei si solutia ei poate admite o reprezentare de forma:y = f(y; z); are nu depinde de variabila spatiala x. Se spune a s-a adoptat un model bidimensionalplanparalel (2D), deoare e solutia are a eeasi forma n toate planele paralele x = t.Trebuie remar at a n modelul 2D s-au neglijat efe tele de apat, are apar la n eputulsi sfarsitul barei.O dis utie similara poate fa uta n fun tie de parametrul b, n s himb da a !1,atun i modelul obtinut nu este unul planparalel. Da a doi dintre ei trei parametri a,b, au valori mult mai mi i de at al treilea si de at h, atun i bara de lungime nita sepoate modela printr-un r. De exemplu, alegand b = ! 0 se obtine un r paralel uplanul de baza (gura 6.4).Da a lungimea rului a ! 1, atun i modelul geometri obtinut este plan paralel(2D).In s himb, da a a = b ! 0, atun i rul este perpendi ular pe planul de baza (gura6.5). In a est ultim az datele problemei si solutia ei pot admite fata de sistemul de oordonate ilindri e are are rul plasat pe axa o reprezentare de forma:y = f(r; z)Se spune a s-a adoptat un model spatial bidimensional axi-simetri (2,5D).62

a

hFigura 6.4: Model spatial 3D u rh

c

z

c

rhFigura 6.5: Model 2,5DDa a, n s himb, toti parametri a, b si sunt neglijibili fata de h se poate adopta pentru orpul paralelipipedi modelul pun tiform (a! 0, b! 0, ! 0).

hFigura 6.6: Model 2,5D u orp pun tiformIn a est az (gura 6.6) forma orpului pun tiform nu este relevanta, el putand modelat, de exemplu, printr-o sfera de mi i dimensiuni. Iata um ubul initial a devenitprin modelare o sfera!Ultimul az degenerat luat n onsiderare va el n are dimensiunile a si b sunt multmai mari de at sau h. In a est az, onsiderand a! 0 si b!1 se obtine o problema(gura 6.7) la are solutia poate de forma:y = f(z);de i dependenta de o singura variabila spatiala. A easta este un model planparalel dupadoua dire tii, de i unidimensional (1D). 63

c

h

x

oo

zz

Figura 6.7: Model 1DDa a o problema admite si simetrie axiala dar si simetrie plan paralelea, atun i existaun sistem de oordonate ilindri e, astfel n at solutia problemeiy = f(r);depinde doar de variabila radiala. In a est az se spune a problema are dimensiunea1,5D, um se ntampla n gura 6.4, da a lungimea rului a!1, dar si distanta h!1,obtinandu-se n nal doar un r innit lung. Tot n ategoria 1,5D se pot onsideraproblemele u simetrie sferi a (axiala dupa doua axe diferite).In on luzie, problemele de amp pot lasi ate n fun tie de tipul de simetrie n lase ara terizate prin numarul onventional de dimensiuni spatiale a n tabelul 6.1.Tabela 6.1: Clasi area problemelor de amp ele tromagneti Dimensiunea problemei Date si solutie1D f(x)1,5D f(r)2D f(x, y)2,5D f(r, z)3D f(x, y, z)In urmamodelarii geometri e, prin idealizarea dimensiunilor orpurilor apar urmatoareletipuri de obie te degenerate: folii; re; orpuri pun tiforme.Din pun t de vedere geometri o folie se reprezinta printr-o suprafata, nu neaparatplana (de exemplu un ilindru sau o alota sferi a), dar nu se redu e la a easta. O foliereprezinta un fel aparte de suprafata de dis ontinuitate, deoare e poate purtatoare de ux si admite onstante de material de tip ele tromagneti si marimi spe i e pentru64

ara terizarea ampului din interiorul foliei. De exemplu, o folie ondu toare de grosimeg realizata dintr-un material liniar u ondu tivitatea , s ufundata ntr-un izolant vaavea o relatie de material de forma: Js = sEt (6.4)n are Et este omponenta tangentiala a intensitatii ampului ele tri . A easta relatieeste obtinuta prin integrarea pe grosimea g a legii ondu tiei (J = E) proie tata peplanul tangent la folie. Considerand grosimea g foarte mi a, variatia ampului n dire tiatransversala este neglijabila, rezulta urmatoarele ara teristi i ale foliei ondu toare:Js = g J densitatea super iala de urent [A=m;s = g ondu tivitatea super iala [S.Densitatea super iala de urent ara terizeaza starea ele tro ineti a a foliei si este un amp bidimensional de ve tori orientat tangent la suprafata foliei. El depinde de ele doua oordonate parametri e u, v ale suprafetei S: Js = Js(u; v), deoare e datorita grosimii gfoarte mi i, densitatea de urent J are o variatie nesemni ativa n dire tia normala pefolie.J

Js

σg

σs

S dr

Π

n

C=S Π

v

u

Figura 6.8: Modelarea unei folii ondu toarePentru al ul urentului e strabte folia se va folosi relatiai = ZC Jsndr (6.5)obtinuta prin tre erea la limita a relatiei lasi e i = RS JdA, si n are C este interse tiadintre S si planul de se tiune , iar n este normala la .In mod asemanator se obtin relatiile de material spe i e foliilor diele tri e si respe tivmagneti e: Ds = sEt; Bs = sHt (6.6)n are Et siHt sunt omponentele tangentiale ale intensitatii ampului ele tri , respe tivmagneti si: 65

Ds = gD indu tia e hivalenta super iala (densitatea panzei de ux ele tri )[C=m;Bs = gB indu tia magneti a super iala (densitatea panzei de ux magneti )[Tm;s = g permitivitatea super iala [F ;s = g permeabilitatea super iala [H,iar uxul ele tri si el magneti au expresiile: = ZC DSndr; (6.7)' = ZC BSndr: (6.8)Chiar da a grosimea reala g a foliei nu apare n modelul nal (a easta ind reprezentatade o suprafata u \grosime" nula), ea joa a un rol important n modelarea zi a, atatpentru al ulul parametrilor super iali de material at si pentru interpretarea densitatilorpanzelor de ux.6.3 Modelarea ele tromagneti a a foliilor si relorSuprafetele intervin n modelarea geometri a pentru a reprezenta multimea pun telor depe frontiera domeniului analizat sau a domeniilor de omogenitate pentru proprietatilede material (frontierele pieselor omponente ale dispozitivului). Dis ontinuitatea pro-prietatilor de material determina de obi ei si dis ontinuitatea marimilor ara teristi e ampului.Curbele si pun tele reprezinta mu hiile si varfurile partilor omponente, de i pun ten are suprafetele de dis ontinuitate nu sunt netede. Din a est motiv n astfel de urbesi pun te ampul poate avea dis ontinuitati de ordin superior, de exemplu sa ia valorinemarginite.Sa onsideram pentru n eput, o suprafata de dis ontinuitate simpla Sd, e separa douamedii liniare u onstante de material diferite (6.9).La tre erea prin suprafata Sd, de la mediul 1 la mediul 2 liniile ampului ele tri suferao dis ontinuitate a dire tiei ( o refra tie). Notand u 1 si 2 unghiul dintre ve torul amp ele tri si normala la suprafata rezulta:tg1 = Dt1Dn1 = 1EtDn ; tg2 = Dt2Dn2 = 2EtDnde i tg1tg2 = 12 ; (6.9)deoare e onform u legea indu tiei Et1 = Et2 = Et si onform u legea uxului ele tri Dn1 = Dn2 = Dn. 66

Sd2

1

α 1

α 2

n12

Sd2

1

α 1

α 2

n12

Sd2

1

α 1

α 2

n12

Sd2

1

α 1

α 2

n12

Sd2

1

α 1

α 2

n12D

D1

2

ε

ε1

B

B

J

J

µ

µ

σ

σ

1

2 2

1

2

11

2

2

a) b) c)Figura 6.9: Refra tia liniilor de ampDa a unul dintre medii, de exemplu 1 este anele tri (1 0;D1 = 0), rezulta Dn2 = 0,de i faptul a liniile de amp tre tangential pe la suprafata mediului respe tiv (2 =2), a n gura 6.10 a. Da a n s himbmediul 1 este feroele tri ideal (1 1; E1 = 0),rezulta a Et2 = 0, de i faptul a liniile de amp sunt orientate n exterior perpendi ularpe suprafata orpului respe tiv (2 0), a n gura 6.10 b.Folosind rationamente asemanatoare se demonstreaza relatia referitoare la liniile ampuluimagneti : tg1tg2 = 12 (6.10)si faptul a liniile de amp magneti sunt orientate perpendi ular ( = 0) pe suprafata orpurilor feromagneti e ideale ( u 1) si se preling ( = =2) pe la suprafata orpurilor amagneti e ( u 0).Liniile de urent n regim ele tro ineti stationar satisfa relatia:tg1tg2 = 12 (6.11)urmand a n ve inatatea orpurilor izolante ( = 0) liniile de urent sa e orientatetangential ( = =2) la suprafata orpurilor, iar n azul orpurilor supra ondu toare( 1) liniile de urent sa e orientate ortogonal.Relatiile 6.9, 6.10 si 6.11 sunt unos ute sub numele de teoremele refra tiei liniilor de amp.Trebuie remar at a n regim ele trostati orpurile ondu toare fara amp impri-mat au intensitatea ampului ele tri nula (E = 0), onform onditiei de e hilibruele trostati (J = 0). In onse inta ondu toarele se omporta a domenii feroele tri eideale si putem presupune formal 1. Liniile ampului ele tri din domeniul izolantexterior sunt perpendi ulare pe suprafata ondu torului (gura 6.10, b). In realitate n ondu tor = 0, eea e fa e a n interiorul ondu torului sa se anuleze nu numai E, i si D. Disparitia, respe tiv aparitia liniilor de amp ele tri la suprafata ondu to-rului evidentiaza faptul a a easta suprafata este ele trizata negativ, respe tiv negativ.Chiar da a initial ondu torul avea sar ina nula, prin introdu erea sa n amp ele tri 67

ε = 0

D

D

ε 8

a) b)Figura 6.10: Spe trul ampului n ve inatatea orpurilor u proprietati ideale: a) CampulD, B, J pentru , , respe tiv = 0; b) Campul D, B, J pentru , , respe tiv 1:sub a tiunea a estuia sar ina se redistribuie si se separa la suprafata sa sar ini numitede in uenta are au valoare totala nula si are fa a n interior E sa se anuleze. Pen-tru a ara teriza starea starea de ele trizare super iala se deneste marimea s alara smasurata n [C=m2 si numita densitate super iala de sar ina. Sar ina totala a orpuluise obtine prin integrare pe suprafata: q = ZS sdA: (6.12)In a este onditii, legea uxului ele tri are urmatoarea forma pe suprafte de dis onti-nuitate: n12(D2 D1) = s (6.13)sau e hivalent divsD = s. Componenta normala a indu tiei are salt nul (\se onserva")doar da a suprafata nu este ele trizata.Problema determinarii distributiei de sar ina pe suprafata ele trozilor ondu tori estestrans legata de problema fundamentala a ele trostati ii. O data determinat ampul nizolant, prin apli area relatiei (6.13) rezulta s = nD = Dn.In gura 6.11 a se reprezinta modul n are este distribuita densitatea de sar ina lasuprafata unui ele trod plan-paralel are are o mu hie u raza de urbura r. Se onstata a ea mai mare densitate de sar ina smax = Dnmax are lo pe mu hie, a olo unde ampuleste maxim. A easta valoare maxima reste puterni o data u s aderea razei de urbura,urmand a valoarea sa sa e nemarginita atun i and r = 0. A easta omportare este unos uta sub numele de efe t de mu hie.In gura 6.11 b este prezentata variatia densitatii smax n funtie de r, al ulata u unmodel simpli at (metoda imaginilor u sar ini e hivalente distribuite liform u densi-tatea l), n are: V0 = l20 ln r2a ; (6.14)68

ρs

o

εo

εoVo

y

x

o

r

V=0

a

V=V

ρs max

2 a

o 0,1 0,5 r / 2a

b)a) Figura 6.11: Distributia sar inii la suprafata unui ele trodDmax = l2 (1r + 12a); (6.15)de i smax = Dnmax = 0V02a (2ar + 1) 1ln r2a :Folosind a elasi tip de rationament se onstata a n azul varfurilor si al interse tiilorde mu hii, densitatea super iala de sar ina si ampul maxim tind si mai rapid atreinnit pe masura e raza de urbura r a varfului tinde atre zero:smax = Dnmax = 0V02a (2ar + 1): (6.16)A easta omportare este unos uta sub numele de efe t de varf.Datorita efe telor de mi hie si de varf este imposibil si sa se analizeze soli itarile die-le tri e ( ampul ele tri maxim omparat u rigiditatea diele tri a) adoptand forme ge-ometri e simpli ate pentru ele trozi, mai exa t sa se neglijeze razele de urbura alemu hiilor si varfurilor a estora sau sa se reprezinte prin urbe si pun te (modele liformesi pun tiforme)AICI TEXTUL DE LA PAG. 30, 31, 32. ???????Foliile pot si surse de amp, da a sunt polarizate, magnetizate sau sunt sediul unor ampuri imprimate. In a est az relatiile (??) si (??) au forma:Js = s(Et +Eit); Ds = sEt +Ppt; Bs = sHt + 0Mptn are: Eit[V=m este ampul ele tri imprimat, orientat longitudinal la S; Ppt = gPp[C=m este omponenta tangentiala a polarizatiei permanente super iale69

Mpt = gMp[C=m este omponenta tangentiala a magnetizatiei permanente super- ialeFoliile pot polarizate sau magnetizate nu numai tangential, i si normal, az n arese utilizeaza ve torii orientati normal la suprafata Ppn[C=m si Mpn[A obtinuti prinintegrare de-a lungul grosimii g a ve torilor Pp si Mp si numiti polarizatie, respe tivmagnetizatie super iala normala. Pro edand asemanator uEi se obtin Ein masurat n[V are reprezinta saltul de potential intre fetele foliei az n are apare un dublu stratde sar ina.Adunand ele doua omponente se obtine: Pps = Ppt +Ppn - densitatea panzei de polarizatie permanenta [C=m; Mps =Mpt +Mpn - densitatea panzei de magnetizatie permanenta [A; Eis = gEit +Ein - intensitatea super iala a ampului ele tri imprimat [V .Densitatea super iala de sar ina s reprezinta o alta sursa de amp spe i a foliilorele trizate, mai ales n azul foliilor diele tri e (izolante), la are ele trizarea de obi ei denatura neele tri a, obtinandu-se de exemplu prin fre are. In azul foliilor ondu toaresar ina totala q este sursa de amp, n s himb se poate onsidera a distributia sar inilorinduse s perturba doar ampul asigurand e hipotentialitatea foliei.La traversarea foliilor ampul ele tromagneti sufera salturi (dis ontinuitati) ale unor omponente. A estea sunt date de forma legilor ampului pe suprafete de dis ontinuitateimobile: n12(D2 D1) = s () divsD = s; (6.17)n12(B2 B1) = 0() divsB = 0; (6.18)n12 (E2 E1) = Bst () rotsE = Bst ; (6.19)n12(H2 H1) = Js + Dst () rotsH = Js + Dst ; (6.20)n12(J2 J1) = st () divsJ = st : (6.21)Firele se reprezinta geometri prinn urbe, nu neaparat drepte (de exemplu, un ar de er sau o linie poligonala), dar au n plus proprietati diele tri e, magneti e sau de ondu tie. Denitoriu pentru un r este faptul a diametrul transversal este mult mai mi de at lungimea sa, astfel n atn se tiunea transversala de arie A, ampul si parametriide material au variatie neglijabil', iar rul se reprezinta prin urba sa mediana si este ara terizat lo al n azul n are este liniar prin relatii de forma:i = GlEt; = RdlEt; ' = RmlHt (6.22)sau e hivalent Et = Rli; Et = dl ; Ht = ml' (6.23)n are Et[V=m si Ht[A=m sunt omponentele tangentiale ale intensitatii ampului ele -tri , respe tiv magneti , iar 70

Gl = 1=Rl = A este ondu tanta linei a [Sm egala u inversa rezistentei linei e[=m; Rdl = 1=dl = A este relu tanta diele tri a linei a [Fm egala u inversa permeanteidiele tri e linei e [1=Fm; Rml = 1=ml = A este relu tanta magneti a linei a [Hm egala u inversapermeantei magneti e linei e [1=Hm.Relatiile (6.22) si (6.23) se obtin prin integrarea relatiilor de material pe se tiuneatransversala de arie A, de i i, si ' reprezinta urentul, uxul ele tri si uxul magneti n se tiunea urenta a rului.Firele pot surse de amp, da a ele sunt el trizate, polarizate, magnetizate sau se-diul unor ampuri ele tri e imprimate. Pentru ara terizarea a estor surse se utilizeazamarimile zi e obtinute prin integrarea marimilor ara teristi e surselor pe se tiuneatransversala a rului de arie ve toriala A = nA: l = A[C=m - densitatea linei a de sar ina; Ppl = PpA[C - densitatea linei a a polarizatiei permanente; Mpl =MpA[Am - densitatea linei a a magnetizatiei permanente; u ex eptia tensiunii linei e imprimate eil = Ein, are se obtine doar prin proie tarea ampului imprimat pe dire tia tangentiala.Intergrand relatiile ??? re de material pe suprafata de arie A se obtin formulele lorlo ale pe re: = RdlEt + Ppl;' = RmlHt + 0Mpl; (6.24)i = Glt(Et + eil):Notand u Et = ul tensiunea linei a, n azul relor ondu toare relatia de materialare forma ul + eil = Rli, are integrata de-a lungul rului ondu e la relatia lasi a a luiJoubert din teoria ir uitelor ele tri e liforme.Corpurile de dimensiuni neglijabile sunt reprezentate n modelarea ele tromagneti aprin \pun te materiale". Spre deosebire de folii si re orpurile pun tiforme u pro-prietati de material diferite nu modi a spe trul ampului ele tromagneti , de exempluo impuritate ondu toare s ufundata ntr-un izolant perturba ampul u atat mai putin u at diametrul ei este mai mi . In s himb, orpurile pun tiforme pot in uenta puter-ni ampul ele tromagneti atun i and sunt surse ale ampului. Pentru a ara teriza alitativ a este surse de amp se utilizeaza: q = V [C - sar ina orpului pun tiform; pp = PpV [Cm - momentul dipolar ele tri permanent; mp =MpV [Am2 - momentul dipolar magneti permanent;71

ji = EiV [Am - urentul ele tri imprimat de un orp pun tiform.Se onstata a toate a este marimi se obtin prin integrarea marimilor lo ale ores-punzatoare pe volumul V al orpului, si deoare e a esta este neglijabil prin nmultirea ua est volum.Forma globala a legilor ampului ele tromagneti trebuie sa tina ont de prezenta foli-ilor, relor si pun telor materiale: sar ina totala are intervine n legea uxului ele tri sau n ea a onservarii sar iniiare expresia: q = ZD dv + ZSd sdA+ ZCd ldr + nXk=1 qk (6.25)obtinuta prin suma ontributiilor orpurilor de volum nenul D, foliilor Sd, relorCd si orpurilor pun tiforme k = 1; n. urentul de ondu tie are intervine n legea ir uitului magneti sau n ea a on-servarii sar inii este: iS = ZS JdA + ZC=S\Sd Jsndr + nXk=1 ik (6.26) uxul ele tri are intervine n legea uxului ele tri sau n legea ir uituluimagneti este: S = ZS DdA+ ZC=S\SdDsndr + nXk=1 k (6.27) uxul magneti are intervine n legea uxului magneti sau n legea indu tiei este:'S = ZS BdA+ ZC=S\SdBsndr + nXk=1'k (6.28) puterea transferata de amp orpurilor este:P = ZD JEdv + ZSd JsEdA+ ZCd iEtdr (6.29)obtinuta prin suma integralelor din densitatea de volum a puterii, densitatea su-per iala a puterii disipate n folii si densitatea linei a a puterii disipate n re ondu toare.6.4 Serii ierarhi e de modelePentru a evidentia faptul a a elasi dispozitiv admite mai multe modele u grade diferitede ranare va efe tuat un studiu de az pentru un dispozitiv foarte simplu si anume ablul oaxial.Cablul oaxial (gura 6.12) este al atuit dintr-un r ondu tor u se tiune ir ulara(de obi ei din Cu) n onjurat de un izolant (de obi ei polietilena), are n exterior esten onjurat de o manta ilindri a ondu toare (Cu). A est dispozitiv este utilizat pentrutransmiterea semnalelor ele tri e, astfel n at:72

semnalul sa nu se modi e, hiar la fre vente nalte sau and a estea sunt foarterapid variabile n timp; dispozitivul sa nu produ a perturbatii ele tromagneti e n jurul sau; semnalul transmis sa nu e perturbat de ampuri ele tromagneti e exterioare.In regim stationar ( . .) sau la fre vente joase, urentul ele tri produs de sursa de laintrare strabate longitudinal ondu torul entral, onsumatorul si se ntoar e prin man-taua exterioara, astfel n at n onditiile n are izolantul este perfe t (fara urenti depierderi) urentul din sursa este egal u el din onsumator.Figura 6.12: Cablu oaxialTensiunea ele tri a ntre terminalele de iesire nu este egala u tensiunea la intrare, de atla mersul n gol, deoare e de-a lungul ondu torului are lo a adere longitudinala detensiune. In onse inta n regim stationar singurul parametru ara teristi este rezistentalinei a a ablului oaxial. Regimul apului ele tromagneti are prezinta interes n a est az este regimul ele trodinami stationar. Problema este foarte simpla deoare e este plan-paralela, iar urentul se distribuie uniform n se tiunea transversala atat n rul entral(Ai) at si n manta (Am) urmand a valoarea rezistentei linei eRl sa e egala u raportuldintre rezistivitate si aria se tiunii transversale: Rl = R =l + Rm=l = (1=A + 1=Am).Cir uitul e hivalent este prezentat n gura 6.13 a.Pe masura e fre venta tensiunii de alimentare reste intervin alte doua efe te nfun tionarea ablului: efe tul apa itiv ( urentul de deplasare orientat transversal prinizolantul dintre ondu torul entral si manta) si el indu tiv (tensiunea autoindusa, dato-rata ampului magneti e n ojoara ondu torul entral). Pentru ara terizarea a estorefe te se pot folosi apa itatea linei a Cl si respe tiv indu tivitatea linei a Ll.Pentru al ulul a estor parametri linei i trebuie rezolvata o problema ele trostati a sirespe tiv una de regim magneti permanent. Parametrii Rl, Cl si Ll al ulati n regimpermanent pot utilizati la analiza omportarii dinami e. Cel mai simplu model de ir uit u parametri on entrati pentru ablul oaxial n regim dinami este el prezentatn gura 6.13 b.S hema n T este o aproximare utila doar pentru abluri relativ s urte. Un ablu lungpoate prin nlantuirea a n astfel de s heme, valabile pentru tronsoane de lungime l=n. Inrealitate, parametrii unui ablu nu sunt on entrati, i distribuiti. Considerand n(=1rezulta o s hema n T pentru e are tronson de lungime innit mi a, urmand a ntreg ablul sa e ara terizat de un model de linie lunga (de transmisie), a n gura 6.13 , ara terizat de e uatiile telegrastilor (Thomson). Un astfel de model permite simularea73

R

Rs Rs

Re l/2 L e l/2

Rs Rs

Re l/2 l/2L e

Ce

L e Ce

c

b)a)

E(s)

c) d)

Z(s) Z(s)

Y(s)e(t)

E e(t)

Rn

l

RL , ,

Figura 6.13: Modele ale ablului oaxial. a) Model stationar; b) Model u parametrii on entrati; ) Model u parmetrii distribuiti; d) Model operational.fenomenului de propagare si determinarea vitezei de propagare a frontului de unda (sem-nalul ele tri ), a timpilor de ntarziere, pre um si a dispersiei datorate pierderilor sau are exiilor la apetele liniei.Utilizand domeniul fre ventei modelele prezentate anterior au reprezentarea operationaladin gura 6.13 d, ara terizata de impedanta longitudinala Z(s) si de admitanta transver-sala Y (s). In azul modelelor u parametri on entrati, fun tiile de ir uit Z(s) si Y (s)sunt fun tii rationale u un numar nit de poli si zerouri, de exemplu n azul modelului6.13 b Z(s) = (Rl + sLs)l=2; Y (s) = sCll. In s himb n azul modelelor u parametridistribuiti fun tiile de ir uit Z(s) si Y (s) au o innitate de poli si zerouri.Un efe t important, spe i regimului vasistationar, are apare si n ablul oaxialeste efe tul peli ular. Curentul ele tri de ondu tie e par urge ondu toarele abluluiprodu e un amp magneti variabil n timp, da a si urentul variaza n timp. Campulele tri indus de a est amp magneti perturba distributia initiala de urent, urmand arul entral sa e strabatut de urent variabil are se distribuie de preferinta super ial,la periferia a estuia. In onse inta rezistenta linei a ntampinata la tre erea unui urentalternativ reste odata u fre venta, aria aparenta prin are tre e urent ind tot maimi a. Pentru a ara teriza antitativ a est efe t este ne esara analiza ablului oaxial nregim vasistationar, de tip anele tri n interiorul ondu toarelor si tip amagneti nhizolant. In nal se obtine o s hema e hivalenta a ea din gura 6.13 d, dar u expresiimai ompli ate pentru Z(s) si Y (s).Seria modelelor posibile pentru ablul oaxial nu este n heiata, modelele mai ompli- ate putand lua n onsiderare unul sau mai multe dintre urmatoarele efe te: urenti depierdere prin izolantul imperfe t, efe tele de apat (unde ampul ele tri nu mai este nmod ne esar plan-paralel), imperfe tiunile geometri e atat ele longitudinale (modi area74

diametrului rului), at s ele transversale (abateri de la forma ir ulara perfe ta), et .Pentru a analiza efe tul a estor perturbatii este ne esara rezolvarea unor probleme de amp are de obi ei nu admit solutie analiti a si are pentru a obtine rezultate utile lafre vente foarte nalte sunt formulate n regim general variabil.Iata de i a din pa ate analiza unui singur model pentru un dispozitiv nu permitestabilirea a uratetii sale. De i pentru a delimita domeniul de apli abilitate al unui modela esta trebuie studiat omparativ u un model mai ompli at al a eluiasi dispozitiv.In gura ??? se prezinta variatia fa torului de transfer n tensiune la mers n golfun tie de fre venta printr-un ablu oaxial de impedanta ara teristi a Z = 50. A estfa tor a fost al ulat u patru modele diferite: = 1, modelul de regim stationar gura 6.13 a; = j1=j!CjR+j!L+1=j!Cj = 1sqrt((1!2LC)2+!2C2) modelul u parametri on entrati (s heman T din gura 6.13 b ); =??? modelul de linie lunga u parametri distributi (gura 6.13 ; =??? modelul de linie de transmisie u efe t peli ular (gura 6.13 d n are Z(s)si Y(s) orespund parametrilor tranzitivi pentru liniile lungi).Pentru azul parti ular onsiderat, fre ventele de separtie pentru ele patru modelesunt: f1 =??? f2 =??? f3 =???da a eroarea a eptabila este de 1% si respe tiv:f1 =??? f2 =??? f3 =???da a eroarea a eptabila este de 0:1%.Iata um a elasi obie t zi admite o serie ierarhi a de modele, e are orespunzandunor anumite ipoteze simpli atoare si ind valabil pentru o lasa a surselor de amp. In azul nostru e are model este valabil pentru o plaja de fre vente a semnalului transmis.Trebuie remar at a n a tivitatea inginereas a de modelare tinta nu este de a obtinemodelul de maxima a uratete, i esential este ompromisul optim ntre a uratete si sim-plitate. Studiul, analiza si proie tarea unui dispozitiv trebuie fa ute u modelul el maisimplu, dar are are o eroare de modelare satisfa atoare (de obi ei nu mai mi a de 1)pentru s opul propus. Utilizarea unui model mult mai sosti at de at el ade vat on-du e la o risipa ina eptabila de resurse (efort de er etare, masurare, timp de al ul si nultima instanta bani). Iata de e ar trebui determinate pentru e are model si doameniulsau de valabilitate, mai exa t de apli abilitate prin a area felului n are variaza eroareade modelare (de neglijare a unui efe t) fata de una sau mai multe marimi ara teristi e,de xemplu, n azul ablului oaxial ara terizat n prin ipal prin fa torul de transmisie(raportul dintre tensiunea de iesire s ea de intrare), a uratetea unui model l reprezintavariatia u fre venta a abaterii fa torului de transmisie al respe tivului model fata demodelul superior din pun t de vedere ierarhi (sau modelul la are un anumit efe t nu afost neglijat). 75

76

Capitolul 7Apli atii7.1 Cablu oaxialSe va analiza ablul oaxial des ris anterior n urmatoarel ipoteze simpli atoare: Se neglijeaza tolerantele si rugozitatea suprafetelor; Se neglijeaza efe tele de apat are apar la n eputul si sfrarsitul ablului; Se onsidera diele tri ul neele trizat liniar, izotrop, omogen si fara pierderi (D =E; = 0); Se onsidera a toate materialele sunt nemagneti e (B = 0H); Se onsidera ablul imobil si a marimile nu variaza n timp.S opul analizei este de a determina apa itatea linei a Cl si indu tivitatea linei a Ll.Pentru primul parametru se va onsidera ablul alimentat la o sursa de tensiune on-stanta u iesirea n gol. Firul entral si mantaua ondu toare reprezinta ei doi ele troziai unui ondensator. Ei sunt ele trizati u sar ini egale, dar de semn opus si produ ndiele tri un amp ele tri radial. Regimul ampului n are va determinat parametrulCl este el ele trostati , u e uatiile: divD = , rotE = 0 si D = E.Pentru al ulul indu tivitatii se va onsidera ablul u iesirea n s urt ir uit si alimentat u os ursa de urent dat, onstant n timp. Curentul e strabate rul entral si se ntoar eprin manta produ e un amp magneti onstant n timp, e va n onjura rul entral.Pentru determinarea parametrului Ll se va onsidera regimul magneti stationar, ue uatiile: divB = 0, rotH = J si B = 0H.Firul entral se onsidera un ilindru din Cu ( = 0, = 0, 6= 0), u raza a silungimea L, iar mantaua un tub ilindri ir ular tot din Cu u raza interna b si eaexterioara . Diele tri ul izolant o upa spatiul dintre razele a ;si b si are onstantelede material , 0, = 0. Conguratia geometri a evidentiaza doua tipuri de simetrii:axisimetri a si plan-paralela. In onse inta, problema este de tip 1:5D, dar poate rezolvata s a o problema 2D, u retinerea n domeniul de al ul doar a unui sfert dinse tiune, deoare e atat Ox, at si Oy sunt axe de simetrie. Domeniul de al ul este un77

sfert dintr-o oroana ir ulara (gura 7.1). Deoare e diele tri ul este neele trizat, surseleinterne de amp sunt nule, iar ampul ele trostati ind produs ex lusiv de sar iniledistribuite la suprafata elor doi ele trozi ( = 0, s 6= 0). El se datoreaza unor surseexterne domeniului de al ul (reprezentate prin onditii de frontiera nenule).x

y

E

Dn S=+ρ

Dn=0

Dn=0

ε

Ω

E =0t

Figura 7.1: Cablu oaxial se tiuneIn regim magneti stationar sursele interne de amp sunt nenule n ondu toare si nulen diele tri , n s himb sursele externe sunt nule (Hext = 0).Marimile globale e ara terizeaza ablul n regim ele trostati sunt:u = Z AB Edr; = ZS DdA;u ind tensiunea ntre ele trozi, al ulata pe o urba radiala de la r = a la r = b, iar = sla=2 este uxul ele tri e strabate diele tri ul, al ulat pe suprafata unui sfertde ilindru de raza r 2 (a; b) si lungime l. Conform legii uxului ele tri sar ina ruluieste q = 4 . Capa itatea linei a este:Cl = Cl = qlu = 4 lu = 2suProblema al ulului apa itatii s-a redus astfel la problemna fundamentala a ele trosta-ti ii. Dintre ele doua alternative exi itatie a ele trozilor s-a ales varianta n are este u-nos uta sar ina si trebuie al ulata tensiunea prin integrarea ampului. Datorita simetrieiaxiale sar ina se distribuie uniform pe ei doi ele trozi s1 = q=(2al), s2 = q=(2bl).Pentru r = b se poate impune onditia Et = 0, are este preferabila onditiei Dn = s2.Marimile globale e ara terizeaza ablul n regim magneti stationar sunt:i = ZS JdA; Wm = ZD wdv;78

i ind urentul e tre e prin rul entral de se tiune S al ablului, iar Wm este energiamagneti a obtinuta prin integrarea densitatii de energie wm = BH=2 = 0H2=2 pe unsfert din domeniul ablului. Deoare e ondu toarele sunt masive este indi at sa se evite al ulul indu tivitatii u formula liniara si se prefere metoda energeti a. Energia totalaeste 4Wm = Li2=2, iar indu tivitatea linei a are expresia:Ll = Ll = 8Wmi2l = 4i2 Z 0 wmrdr = 20i2 Z 0 H2(r)rdr:Problema al ulului indu tivitatii se redu e la problema determinarii ampului magne-ti produs de o distributie data de urent.7.2 Cuva ele troliti aSe onsidera o uva ele troliti a de forma paralelipipedi a, avand peretii izolati u ex eptiaunuia din ei laterali are este atodul metali , foarte bun ondu tor. In mijlo ul uveise introdu e verti al anodul, are este un ele trod metali , ilindri ir ular u lungimeaegala u adan imea uvei.Sa se analizeze fenomenele din uva si sa se al uleze grosimea stratului de metal depusda a ntre ei doi ele trozi se apli a un interval de timp o tensiune onstanta unos uta.Datorita ampului ele tri din uva (aparent datorita tensiunii apli ate ntre ele trozi)ele trolitul va tre e n stare ele tro ineti a. El va par urs de urent, are se n hide prinele trozi si sursa exterioara. Cu at tensiunea apli ata va mai mare, u atat densitateade urent va mai mare ( urentul ind proportional u tensiunea si ondu tanta ele tro-litului). Datorita ondu tiei are lo un transfer de masa n ele trolit si unul neglijabil nele trozi, eea e fa e a pe anod sa se depuna ationi, are sunt extrasi din atod.Pentru analiza antitativa a a estor fenomene vor adoptate urmatoarele ipoteze sim-pli atoare: Se neglijeaza tolerantele si rugozitatea materialelor; Ele trozii se onsidera supra ondu tori (!1); Ele trolitul este un ondu tor liniar, izotrop si omogen; Se neglijeaza potetialul de ele trod (mult mai mi de at tensiunea apli ata) de i sidublul strat de sar ina de la suprafata ele trozilor; Mediile sunt ma ros opi imobile iar marimile sunt onstante n timp.Fenomenul fundamental este distributia urentului de ondu tie n uva, urent aregenereaza transferul de masa (ele troliza).Deoare e nu intereseaza distributia ampului magneti analiza va fa uta n regimele tro ineti stationar, folosind e uatiile:divJ = 0; rotE = 0; J = E: (7.1)79

Se va nota u a; b si lungimea elor trei laturi ale uvei. Diametrul ele trodului entraleste d iar distanta dintre axa sa si atod este h = b=2.Problema are ara ter plan paralel (2D) (gura 7.2), onguratia ampului inda eiasi n diferite se tiuni orizontale. Datorita simetriei fata de planul yOz se poate studiadoar jumatate din dreptunghiul de laturi a b. Domeniul de al ul este dreptunghiul(0; a=2) (0; b) din are s-a eliminat semi er ul u diametrul d si entul n x = 0; y = b=2, orespunzator se tiunii prin anod. Domeniul supus analizei este al atuit ex lusiv dinele trolit omogen si are ondu tivitatea .

σ

σ

oo

σ oo

Ω

nJ = 0

b

-a/2 0 a/2 x

y

Figura 7.2: Cuva ele troliti aCampul ele tro ineti nu are surse interne, mai mult datorita ara terului izolant sitipului de simetrie, pe frontiera domeniului nu se inje teaza urenti, de at prin ele trozi.Pentru a ara teriza global starea ele tri a a uvei se utilizeaza:u = ZCAB Edr; i = ZS JdA (7.2)tensiunea ele tri a u al ulata pe o urba CAB e uneste ele trozii si urentul i al ulatpe o suprafata S, transversala fata de urent (de exemplu, pe suprafata unui ele trod).Parametrul el mai important al uvei este rezistenta sa ele tri a R = u=i, pentru a arui determinare trebuie rezolvata problema fundamentala a ele tro ineti ii. Vom preferaformularea n are ele trozii au e are ara ter e hipotential (Et = 0) u densitateade urent Jn ne unos uta, n s himb este unos uta tensiunea u ntre ele trozi. Dupadeterminarea distributiei de urent J se determina urentul total prin integrare.Densitatea uxului de masa transferata prin ele troliza se determina u ajutorul for-mulei lo ale a legii transferului de masa:Æ = kJ; (7.3)urmand a masa spe i a depusa pe unitatea de suprafata [kg=m2 sa e:S = dmdA = Ænt = kJnt; (7.4)80

n are Jn este omponenta normala a densitatii de urent la suprafata ele trodului iar teste timpul at dureaza pro esul de ele troliza. Grosimea g a stratului depus se al uleazaprin mpartirea lui S la densitatea [kg=m3 a materialului depus:g = kJnt=: (7.5)Iata de i a problema se redu e la determinarea densitatii de urent la suprafata ele -trozilor. Folosin forma integrala a legii ele trolizei m = kit se poate determina masatotala depusa, dar grosimea stratului si neuniformitatea a estuia se poate determina doarfolosind forma lo ala a legii si solutia problemei de amp ele tro ineti .7.3 Ele tromagnetul plonjorSe onsidera o bobina ir ulara n onjurata de un ir uit feromagneti format dintr-oarmatura xa (solidara u bobina) si una mobila, e poate avea o mis are axiala detranslatie (gura 7.3). Se urmareste analiza ampului ele tromagneti si determinareafortei e se exer ita asupra armaturii mobile pentru diferite pozitii ale a esteia, n onditiilen are bobina este alimentata n urent ontinuu sau la o tensiune alternativa data.J

µ

µ

µ

0

oo

oo

Ω

Figura 7.3: Ele tromagnet u plonjorFun tionarea ele tromagnetului se bazeaza pe ampul magneti produs de urentul dinbobina ( onform legii ir uitului magneti ). Liniile ampului magneti tind sa n onjoare urentul e le-a produs, dar sunt dirijate de materialele feromagneti e. Relu tanta ir u-itului magneti este tot mai mi a pe masura e ntreerul s ade, eea e fa e a uxulmagneti si impli it indu tivitatea bobinei sa reas a. Conform teoremei fortelor genera-lizate, la ux onstant va a tiona asupra armaturii mobile o forta are tinde sa mi sorezeenergia ampului magneti (!m = '2=2L), de i va mari indu tivitatea. Forta ele tro-magnetului tinde de i sa mi soreze ntreerul, indiferent um este sensul urentului prinbobina.Analiza antitativa a a estor fenomene va fa uta n urmatoarele ipoteze simpli a-toare: 81

Se neglijeaza imperfe tiunile tehnologi e ( otele sunt exa te, fara tolerante iar suprafeteleperfe te, fara rugozitate); Armaturile sunt onsiderate liniare, izotrope si omogene din pun t de vedere magne-ti , si pentru a simpli a modelul vor onsiderate feromagneti e ideale (!1); Se neglijeaza neuniformitatea distributiei de urent n bobina datorita fa torului deumplere subunitar (expli at prin prezenta izolatiei ntre spire); Se onsidera a n afara ele tromagnetului nu exista surse de amp magneti ; Corpurile se onsidera imobile iar marimile ele tromagneti e ara teristi e onstanten timp.In onse inta pentru analiza elui mai simplu model al ele tromagnetului se va adoptaregimul magneti statioar, n are ampul este ara terizat de e uatiile:divB = 0; rotH = J; B = H: (7.6)Datorita simetriei axiale a problemei, a easta are dimensiunea 2,5D si este su ientstudiul ampului ntr-un semiplan e tre e prin axa de simetrie. Domeniul de al ul va redus doar la bobina si aerul din jurul ei, in lusiv din ntreeruri, ex luzandu-se pieseleferomagneti e ideale. Inreerul radial va trebui marginit superior de o frontiera tiva( are poate plasata la nivelul superior al armaturii xe da a se neglijeaza efe tul deum are a liniilor de amp). In onse inta, n ntreg domeniul de al ul, materialul estenemagneti , u = 0i.Campul magneti este produs ex lusiv de surse interne, respe tiv de urentul din bo-bina. Pe frontiera feromagneti a a domeniului Ht = 0 (deoare e = 0) iar pe frontierasuperioara a ntreerului radial Bn = 0 (deoare e nu exista surse externe de amp).Marimile globale e ara terizeaza a est sistem sunt: = ni = ZS JdA; 'f = ZS BdA; ' = n'fmed = nA ZS 'fdA (7.7)n are n este numarul de spire, i este urentul prin bobina, solenatia bobinei dese tiune S, 'f uxul fas i ular pe o spira S a bobinei (dependent de oordonatele r siz), ' uxul total obtinut prin produsul dintre numarul de spire si uxul fas i ular mediupe suprafata S.Indu tivitatea bobinei L = 'i (7.8)se al uleaza presupunand-o par ursa de un urent i si determinand distributia de ampmagneti B si prin integrarea uxului total '.Forta are a tioneaza asupra armaturii mobile se al uleaza u teorema fortelor gene-ralizate: 82

F = !mÆ ' = + !mÆ i = i22 LÆ ; (7.9)n are s-a notat u Æ ntreerul prin ipal (axial). Iata de i a pentru a al ula forta estene esara determinarea variatiei L(Æ).Pentru a studia omportarea ele tromagnetului atun i and bobina a estuia are la borneo tensiune alternativa data u(t) = Up2 sin(!t + 'u), vom utiliza el mai simplu modelbazat pe rezultatele din regim stationar. Datorita liniaritatii, urentul absorbit de bobinaeste tot sinusoidal i(t) = Ip2 sin(!t+ 'i); u I = UqR2 + (!L)2 ;n are R este rezistenta bobinei si L este indu tivitatea sa. Inlo uind urentul instan-taneu n expresia fortei se obtine o variatie n timp de fre venta dubla suprapusa peste o omponenta medie a fortei: Fmed = I22 LÆ : (7.10)In a est fel variatia indu tantei L(Æ) al ulata n regim stationar poate folosita si nregim armoni .Urmatorulmodel al ele tromagnetului ar putea in lude n domeniul de al ul si armaturile u o permeabilitate nita, u o ara teristi a de magnetism neliniara si/sau u o ondu -tivitate nenula pentru a modela urentii turbionari din miez.7.4 Masina u magneti permanentiSe onsidera un motor ele tri u rotorul realizat dintr-un magnet permanent si u statorulal atuit din doua pere hi de poli, alimentati u impulsuri de urent, are fa a rotorul safun tioneze n regim de \pas u pas". Magnetul permanent din rotor produ e un ampmagneti are se n hide prin stator (gura 7.4). Conform teoremei fortelor generalizate,sistemul va evolua atre un minim al energiei magneti e, are orespunde unui minimal ntreerului (datorita \anizotropiei" onstru tive axa rotorului se va alinia u o axapolara). Da a bobinele din axa perpendi ulara sunt alimentate, atun i ampul magneti produs de ele se va suprapune peste ampul produs de rotor si va determina un uplunenul are a tioneaza asupra rotorului si l nvarte u 90o, pana ntr-o noua pozitie dee hilibru. Problema pe are o formulam este sa se determine modul n are variaza uplulasupra rotorului n fun tie de pozitia sa, atun i and o pere he de poli este alimentata n urent ontinuu.Pentru a efe tua a easta analiza vom adopta urmatoarele ipoteze simpli atoare: se neglijeaza tolerantele si rugozitatile suprafetelor; statorul este al atuit din material feromagneti ideal (!1);83

µ 0

µ0

J

Ω

µ

Figura 7.4: Motor u magneti permanenti rotorul este al atuit dintr-un material magneti dur (magnet u pamanturi rare) uo ara teristi a de magnetizare e se poate aproxima prin B = H+ 0Mp, n areMp este magnetizatia permanenta iar Br = 0Mp este indu tia remanenta; bobinele sunt realizate din upru si se neglijeaza neuniformitatea distributiei uren-tului n stru tura transversala; se neglijeaza efe tele de apete ( uxul de dispersie frontala) si se presupune ampuldistribuit similar n toate planurile transversale; se neglijeaza efe tul magneti al ori arei perturbatii exterioare; rotorul se presupune imobilizat si urentul onstant n timp.Conform a estor ipoteze regimul ampului este el magneti stationar, problema indplan paralela (2D), dar spre deosebire de ele tromagnetul studiat anterior ara teristi aneliniara (ana) a materialelor magneti e este esentiala n fun tionarea dispozitivului.E uatiile ampului au forma lo ala:divB = 0; rotH = J; B = H + 0Mp: (7.11)In modul el mai simplu, modelul de al ul este redus la rotor ( = 0;Mp 6= 0;J = 0),aerul din jurul sau ( = 0;M = 0;J = 0) si bobinele ( = 0;M = 0;J 6= 0), oprindu-sela frontiera u statorul presupus feromagneti ideal, de i u amp nul (H = 0). Da ase doreste analiza in uentei statorului (importanta n azul unor urenti mari are lsatureaza) atun i domeniul de al ul se extinde pana la aerul are margineste exteriorstatorul si se in lude un al patrulea tip de material, el statori (n a est az pe frontieraBn = 0). 84

Campul magneti nu are surse externe dar are a surse interne urentul din bobina simagnetizatia permanenta a rotorului.Pentru al ulul uplului e se exer ita asupra rotorului rotit u unghiul se poate folosie teorema fortelor generalizate:C = Wm i u Wm = ZD !mdv; (7.12)n are !m = BHB2=2 (expresia densitatii de energie valabila n interiorul materialelorane) sau uplul tensiunilor maxwelliene:C = intR (T n)dA (7.13) al ulat prin integrarea pe o suprafata n hisa (sau pe o urba n hisa, n azul pro-blemelor 2D) e tre e prin aer si n onjoara rotorul. Este de preferat ea de-a douametoda deoare e ea se poate apli a fara modi ari n azul n are se ia n onsiderareneliniaritatea magneti a a statorului.7.5 Transformatorul monofazatSe onsidera un transformator realizat din doua bobine nfasurate una peste alta pe o ar asa montata pe un miez magneti de tip monta (E+ I). Sa presupunem a la bornelenfasurarii primare (bobinata n exterior) se apli a o tensiune sinusoidala si intereseazatensiunea la bornele nfasurarii se undare, ntre are este one tata o sar ina, de exemplurezistenta R.Deoare e n spirele nfasurarii primare exista un amp ele tri ara terizat prin ten-siunea apli ata, a easta va par ursa onform legii indu tiei de urent primar. A est urent variaza periodi n timp si produ e un amp magneti periodi e n onjoara bo-bina primara, dar este dirijat de-a lungul miezului feromagneti (gura 7.5). A eastafa e a ea de-a doua bobina sa e nlantuita de ux magneti variabil n timp, de i nea sa se indu a un amp ele tri , ara terizat global de tensiunea se undara. Da a ir- uitul se undar este n his prin rezistenta de sar ina, atun i el va par urs de urentse undar nenul. Trebuie remar at a a est urent se undar modi a distributia ampuluin interiorul transformatorului. Da a ele doua bobine au numar diferit de spire, atun itransformatorul este oborator (n2 < n1) sau ridi ator (n2 > n1) de tensiune. Randamen-tul energeti al transformarii este subunitar, datorita pierderilor de putere n rezistentelenfasurarilor, pierderilor prin urenti turbionari sau prin histerezis n miezul magneti .Pentru a ara teriza antitativ a este fenomene omplexe vor adoptate urmatoareleipoteze simpli atoare: se neglijeaza tolerantele si rugozitatea suprafetelor; se neglijeaza dispersia frontala, presupunand a distributia ampului este a eiasi nori e plan transversal; se neglijeaza ntreerul tehnologi din miezul magneti ;85

Jµ0

µ0

µ, σ

,Figura 7.5: Transformator miezul este al atuit dintr-un material magneti liniar, izotrop si omogen si farapierderi prin histerezis dar u ondu tivitatea ; urentul se presupune uniform n se tiunea transversala a bobinei primare, iarfre venta a estuia este su ient de mi a (de exemplu ea industriala); se va presupune a bobina se undara fun tioneaza n gol (R ! 1), de i urentulse undar este nul; nu exista surse externe de amp ele tromagneti are sa perturbe fun tionarea trans-formatorului.In a este onditii ampul ele tromagneti din transformator se a a n regim vasistationarindu tiv (anele tri ), e uatiile ind:divB = 0; rotH = J; B = H; divJ = 0; rotE = Bt ; J = E+ Ji: (7.14)urmand a toate marimile lo ale sa varieze sinusoidal n timp, u a eiasi fre venta.Cele trei subdomenii din are este al atuit domeniul transformatorului sunt: miezul magneti ( = Fe; = Fe; Ji = 0); bobina primara par ursa de un urent impas ( = 0; = 0; Ji 6= 0); aerul n are se in lude si bobina se undara, deoare e a easta este par ursa de urentul ( = 0; = 0; Ji = 0).Datorita existentei unui plan verti al de simetrie se poate studia doar jumatatea dindreapta a transformatorului. Antisimetria fata de planul orizontal entral permite studiuldoar al unui sfert.Singura sursa de amp este urentul imprimat Ji n bobina primara, urmand a pefrontiera dreptunghiulara a domeniului sa nu se \inje teze" amp magneti exterior (Bn =0). 86

Dupa rezolvarea problemei fundamentale a analizei ampului se determina distributiamarimilor lo ale B;H;J si E are permit apoi determinarea marimilor globale:'f = ZS BdA; '1 = n1'1med = n1A1 ZS1 'fdA;'2 = n2'2med = n2A2 ZS2 'fdA;u1 = d'1dt ; u2 = d'2dt ;n are 'f este uxul fas i ular al unei spire (dependent de pozitia spirei), '1 este uxul total al bobinei primare, egal u numarul de spire n1 nmultit u uxul fas i ularmediat pe suprafata transversala S1 a bobinei primare de arie A2, '2 este uxul bobineise undare iar u1 si u2 sunt tensiunile induse n ele doua bobine.Puterea instantanee pierduta n miezul magneti esteP = ZD pdv = ZD JEdv; (7.15)n are D este domeniul miezului magneti .Da a se onsidera si azul n are se undarul este s urt ir uitat se pot determina prinrezolvarea problemei de amp parametrii e intervin n s hema e hivalenta n T a trans-formatorului, eea e permite analiza fun tionarii la ori e sar ina uplata n se undar.Pentru a rezultatele rereritoare la randament sa e mai apropiate de realitate estene esara mbunatatirea modului de al ul al pierderilor din er, adaugand pierderile prinhisterezis (de exemplu u un model liniar u i lu elipti ) si tinand ont de grosimeatolelor.Un alt model util n pra ti a este el are permite determinarea raspunsului trans-formatorului pe o banda de fre vente ( u observatia a la fre vente mai nalte efe tele apa itive ntre nfasurari si fata de miez devin importante) sau n regim tranzitoriu, deexemplu sub ex itatie sinusoidala are n epe la t = 0 sau sub un impuls de tensiune (na est az neliniaritatea miezului magneti poate ????)7.6 Cuptor u mi roundeSe onsidera o in inta ubi a u pereti foarte buni ondu tori, n entrul areia se a a osfera diele tri a d (gura 7.6). In entrul unuia din pereti se a a o fanta ir ulara S arese prelungeste n exterior u un ghid de unda de forma unui tub foarte bun ondu tor.In onditiile n are prin ghidul de unda se propaga spre in inta o unda ele tromagneti a,a easta tre e prin fanta si se propaga spre n ar atura diele tri a sau spre pereti si apoidupa re exie tot spre n ar atura. Considerand diele tri ul imperfe t ( u un fa tor depierderi tangenta unghiului de pierderi unos ut) ampul ele tromagneti din diele tri determina o n alzire a a estuia (e prin ondu tie e prin histerezis diele tri ).Pentru a analiza fenomenele din a est dispozitiv vor adoptate urmatoarele ipotezesimpli atoare: 87

S

µ ,

µ , σ0

Ω0 0

εFigura 7.6: Cuptor u mi rounde se neglijeaza tolerantele si rugozitatea suprafetelor si orpurile sunt imobile; peretii avitatii a si ei ai ghidului de unda sunt supra ondu tori; aerul din uptor este un izolant perfe t; orpul din in inta uptorului este un liniar, izotrop si omogen din pun t de vederediele tri si el al ondu tiei; ntregul domeniu este nemagneti ( = 0); la n eputul ghidului de unda se a a un dispozitiv are produ e un amp ele tri u omponenta tangentiala sinusoidala n timp unos uta.Regimul ampului ele tromagneti este n a est az el general variabil n medii omo-gene. Campul ele tromagneti satisfa e n a est regim e uatiile lui Maxwell:divD = ; divB = 0; rotE = Bt ; rotH = J+ Dt ; B = 0H; D = "E; J = E:(7.16)Domeniul supus analizei are doua feluri de materiale: aerul, la are " = "0 si = 0; diele tri ul, la are " 6= "0 si 6= 0.Problema este tridimensionala (3D), dar datorita existentei a doua planuri de simetrieortogonale ( e se inter aleaza pe axul ghidului de unda) se poate analiza doar un sfertdin ubul de latura a prelungit u ilindrul de raza r.88

In afara de sursa de amp de pe S pe are este unos ut Et (unda transversal ele tri a)sursele interne si externe sunt nule, iar pe restul frontierei ubului si ilindrului Et =0, datorita peretilor supra ondu tori. Deoare e problema este liniara si sursa de ampsinusoidala solutia autata are tot variatie sinusoidala n timp.Puterea instantanee si ea a tiva disipate n diele tri au expresiile:P (t) Z pdv = Zd JEdv = Zd E2dv; (7.17)P = 1T Z T0 P (t)dt; (7.18)n are poate n orpora prin e hivalenta si pierderile prin histerezis.

89

90

Capitolul 8Con luzii referitoare la modelareazi aModelarea zi a este o pro edura de identi are a marimilor si fenomenelor esentiale ntr-un dispozitiv si neglijarea elor are nu in uenteaza substantial fun tionarea a estuia. In onse inta, modelarea zi a presupune ntelegerea perfe ta a felului n are fun tioneazaun dispozitiv pre um si identi area s opului analizei dispozitivului: prevederea om-portarii si al ulul ara teristi ilor de performanta, determinarea soli itarilor, a arealimitelor de fun tionare normala, efe tul perturbatiilor externe sau al imperfe tiunilor onstru tive asupra fun tionarii, optimizarea onstru tiei sau reproie tarea n vedereambunatatirii respe tiv modi arii ara teristi ilor tehni e sau a pretului de ost.Ca urmare a pro edurii de modelare zi a trebuie da rezulte: o lista de ipoteze simpli atoare ( orespunzatoare unor fenomene sau efe te negli-jate) si o lista de efe te (fenomene) onsiderate n modelare; regimul ampului ele tromagneti , n are va analizat dispozitivul si e uatiile ampului ele tromagneti n a el regim, spe i andu-se modul de variatie n timp amarimilor; forma si dimensiunile e arei parti omponente a dispozitivului; tipul de material din are este al atuita e are parte omponenta a dispozitivuluisi onstantele ara teristi e de material; dimensiunea (1D 3D) si simetria problemei de amp; sursele de amp ele tromagneti , atat ele interne at si ele externe dispozitivului; lista marimilor zi e e ara terizeaza lo al si respe tiv global starea ampului, or-purile, dispozitivul dar si efe tele de amp sau parametrii ara teristi i are prezintaimportanta n apli atia respe tiva.Trebuie remar at a n fun tie de ipotezele simpli atoare, a elasi dispozitiv are maimulte modele zi e u grade diferite de realizare. De obi ei modelele de mare a uratete orespund unor liste u mai putine ipoteze simpli atoare dar ele au o omplexitate91

sporita fata de modelele de a uratete s azuta. Fie are model zi are domeniul saude apli abilitate. In stiinta si inginerie trebuie adoptat modelul potrivit e arei apli atii, are orespunde unui ompromis optim ntre simplitate si a uratete. Din a est motivse poate arma a modelarea zi a este nu numai o stiinta i si o arta al arui rezultatdepinde de experienta si ingeniozitatea personala.

92

Capitolul 9Reprezentarea matemati a amarimilor zi ePentru reprezentarea matemati a riguroasa a unei pronbleme de amp trebuie stabilit adrul fun tional, respe tiv trebuie indi at domeniul si odomeniul e arei fun tii areintervine n problema respe tiva, e a data, e a solutie, pre um si lasa de fun tii(spatiul) din are a ea fun tie fa e parte. In fond, pentru reprezentarea problemei trebuiedes rise matemati : domeniul problemei, proprietatile de material, sursele de amp sisolutia.9.1 Sisteme de oordonatePentru des rierea exa ta a domeniului problemei, prima operatie n modelarea matema-ti a este alegerea unui sistem de oordonate si a unuia temporal (alegerea originii axeitimpului). Dintre tipurile de sisteme de oordonate ele mai des ntalnite n apli atii sunt: Sistemul artezian (x; y; z); Sistemul ilindri (r; ; z); Sistemul sferi (r; ; '); Alte sistememai putin folosite, um sunt sistemele urbilinii ortogonale de translatie( ilindri , elipti , paraboli , hiperboli ), de rotatie sau generale (bisferi , elipsoidalet ).Da a problema este plan paralela, atun i prin restrangere rezulta: sistemul artezian(x; y), polar (r; ) si alte sisteme bidimensionale (g.....).Tre erea de la un sistem la altul se realizeza prin relatii de tipul:x = r os ;y = r sin ;93

in are ele doua oordonate polare au urmatoarele domenii de variatie:r 2 [0;1)si 2 [0; 2);pentru a a operi intreg planul.z

y

xa) Sist. 2D curbiliniu orizontal

y

z

x

y

z

c)Sistem 2D curbiliniu ortogonal

0 0 0

u

v

b)Sistem cilindric

J

x

d) Sistem cartezian e)Sistem polar

vFigura 9.1: Sisteme de oordonateAlegerea unui sistem de oordonate potrivit poate simpli a foarte mult rezolvareaproblemei, modi and hiar si dimensiunea sa. Da a, de exemplu, n azul unei pro-bleme plan-paralele u simetrie axiala (1.5), and se foloseste sistemul ilindri problemaeste unidimensionala; and se foloseste sistemul artezian este bidimensionala iar and sefoloseste sistemul sferi u entrul plasat n afara axei problema este tridimensionala.9.2 Reprezentarea domeniului spatio temporalDomeniul de al ul t al unei probleme are n general un ara ter spatio-temporal, urmand a n fun tie de regimul temporal sa e: t = , n azul regimurilor stati e sau stationare; t = [0; T ), n azul regimurilor periodi e, u perioada T; t = [0;1), n azul regimurilor tranzitorii.In ontinuare se va onsidera t = [0; tmax), n are tmax este 0, T sau1, n fun tiede regim. Domeniul spatial al problemei este parte din IRn, urmand a n sa depindade dimensiunea problemei: 94

IR, n azul problemelor unidimensionale (1D si 1,5D); IR2, n azul problemelor bidimensionale (2D si 2,5D); IR3, n azul problemelor tridimensionale (3D),iar in luziunea nu este in mod ne esar stri ta. In fun tie de ara terul marginit sau nu aldomeniului, deosebim: marginit, n azul problemelor u "frontiera n hisa", numite si probleme interne; nemarginit, n azul problemelor u "frontiera des hisa", numite si problemeexterne.Un az limita de problema u frontiera des hisa este el n are domeniul se extinde lantreg spatiul IRn.In stabilirea modelului matemati al domeniului zi exprimat n oordonatele alese, in-tervin nu numai e uatiile frontierei domeniului dar si suprafetele (sau urbele) de separatientre subdomenii u proprietati de material diferite (partile omponente ale dispozitivuluiindustrial n modelul zi ). Cel mai adesea, domeniul spatial este al atuit din mai multeporti disjun te = [mk=1k, e are avand proprietati de material diferite.Dupa um se va onstata ulterior, domeniile multiplu onexe trebuie tratate u de-osebita atentie, motiv pentru are ordinul de onexiune (numarul de taieturi are fa e a domeniul sa devina simplu onex) trebuie determinat n a de la n eputul modelariimatemati e.9.3 Reprezentarea proprietatilor de materialReprezentarea matemati a a proprietatilor de material se fa e n fun tie de tipul a estora. In medii liniare, omogene si izotrope sunt su iente trei onstante reale si nenegative("; si ), da a este omogen pe portiuni, atun i = [mk=1k este al atuit din msubdomenii, ar terizarea ind fa uta prin ve toriim dimensionali u omponentenenegative: " = ["1; "2; ::::; "mT 2 R! IR; = [1; 2; ::::; mT 2 R! IR; = [1; 2; ::::; mT 2 R! IR: In medii liniare,omogene si anizotrope, ara terizarea este fa uta de trei tensorireprezentati prin matri e simetri esi pozitiv denite u dimensiuni nn, dependentede dimensiunea problemei:" = " "11 "12"21 "22 # = "T 2 Rnxn; 2 Rnxn; 2 Rnxn: (9.1)95

In medii omogene, anizotrope u surse permanente sunt ne esare pentru e are tipde ara terizare: diele tri a, magneti a si de ondu tie un tensor si un ve tor:"; ; 2 Rnxn; Pp; Mp; Ei 2 Rn: In medii omogene, neliniare si izotrope se utilizeaza pentru e are tip de ara -terizare o fun tie reala de variabila reala nenegativa ( e indi a dependenta ntremodulele marimilor de amp):D = D(E); u D : R+ ! R+; ara teristi a diele tri a;B = B(H); u B : R+ ! R+; ara teristi a de magnetizare;J = J(E); u J : R+ ! R+; ara teristi a de ondu tie,urmand a D = D(E)E=E; B = B(H)H=H; J = J(E)E=E: In medii omogene, neliniare si anizotrope e are ara teristi a de material este ofun tie ve toriala de variabila ve toriala:D = D(E); u D : Rn! Rn;B = B(H); u B : Rn ! Rn;J = J(E); u J : Rn! Rn: In medii liniare, izotrope si neomogene ei trei tensori ara teristi i sunt fun tiidenite pe : D = "(r)E; de i " : ! R+;B = (r)H; de i : ! R+;J = (r)E; de i : ! R+: In medii liniare, anizotrope si neomogene ei trei tensori ara teristi i sunt fun tiidenite pe : D = "(r)E; u " : ! Rnxn;B = (r)H; u : ! Rnxn;J = (r)E; u : ! Rnxn: Da a mediile sunt anizotrope si neomogene, u surse permanente, atun i la elelaltetrei fun tii tensoriale se adauga urmatoarele fun tii ve toriale denite tot pe :Pp : ! Rn; Mp : ! Rn; Ei : ! Rn: Mediile neliniare, izotrope si neomogene sunt ara terizate de fun tii denite peRR+: D = D(r; E) u D : R+ ! R+;B = B(r;H) u B : R+ ! R+;J = J(r; E) u J : R+ ! R+:96

Da a mediile sunt neomogene, neliniare si anizotrope atun i fun tiile ara teristi esunt denite pe Rn Rn:D = D(r;E) u D : Rn ! Rn;B = B(r;H) u B : Rn ! Rn;J = J(r;E) u J : Rn ! Rn: Cazul general este el al mediilor parametri e, neomogene, neliniare si anizotrope, are sunt ara terizate prin fun tii denite pe t:D = D(r; t;E) u D : [0; tmaxRn ! Rn;B = B(r; t;H) u B : [0; tmaxRn ! Rn;J = J(r; t;E) u J : [0; tmaxRn ! Rn:Trebuie remar at a unele medii pot avea ele trei proprietati de material n ategoriidiferite, de exemplu, un domeniu poate : diele tri liniar, izotrop si omogen; magneti neliniar, anizotrop si omogen iar din pun t de vedere al ondu tiei neomogen si u sursepermanente.In azul problemelor u folii sau re se foloses pentru ara terizarea materialelor fun tiidenite pe suprafetele si urbele respe tive.Sursele interne de amp sunt n general reprezentate prin fun tii ve toriale denite pedomeniul spatio-temporal de al ul: polarizatia permanenta Pp : t ! Rn; magnetizarea permanenta Mp : t ! Rn; ampul ele tri imprimat Ei : t ! Rn,dar n fun tie de regim ele pot si: densitatea de sar ina : t ! R, densitatea de urent J : t ! Rn um este spre exemplu n ele trostati a si respe tiv regimul magneti stationar. Inregimul vasistationar amagneti este solutie iar n regimul ele tro ineti J este solutiesi nu sursa de amp.Sursele externe de amp sunt reprezentate de onditiile de frontiera, are sunt fun tiidenite pe frontiera Rn1 a domeniului spatial a de exemplu: omponenta tangentiala a intensitatii ampului Et : [0; tmax ! Rn1 sauHt : [0; tmax! Rn1; 97

omponenta normala a indu tiei Dn : [0; tmax)! R sau Bn : [0; tmax)!R; omponenta normala a densitatii de urent Jn : [0; tmax)! R.In mod uzual, onditiile de frontiera se refera la a ele omponente ale ampului arese onserva la tre erea prin frontiera um sunt omponentele normale ale indu tiilor sidensitatilor de urent sau omponenta tangentiala a intensitatii ampului.In azul onditiilor hibride, frontiera poate partajata n parti disjun te = [mk=1Sk,urmand a pe e are n parte Sk sa e impusa alt tip de onditie de frontiera.Trebuie mentionat a n azul domeniilor multiplu onexe pot interveni si un numar desurse s alare egal u ordinul de onexiune al domeniului.Solutia problemei de amp este al atuita din unul sau mai multe ampuri ve toriale indu tia ele tri a D(r; t); indu tia ampului ele tri E(r; t); indu tia magneti a B(r; t); indu tia ampului magneti H(r; t); densitatea de urent J(r; t); densitatea de sar ina (r; t)denite a n exemplele:D : t ! Rn; E : t ! Rn; B : t ! Rn; H : t! Rn:Deoare e solutia problemei trebuie sa satisfa a e uatiile ampului ele tromagneti spu-nem a ea este o solutie tare (n sens lasi ), da a este ontinua, derivabila si satisfa eformele lo ale ale legii n ori e pun t din domeniul de al ul pre um si onditiile de fron-tiera n ori e pun t de pe frontiera. In onse inta solutiile lasi e se auta n spatiilefun tiilor de lasa C1(t;Rn). Dupa um se va vedea ulterior, problemele pot reformu-late astfel n at solutiile (numite slabe) sa e autate n lase mai largi de fun tii.Deoare e sursele de amp nu intervin sub derivate spatiale sau temporale, hiar nforma lasai a, ele pot elemente ale unor spatii de fun tii mult mai largi. In mod uzualele se onsidera de patrat integrabil, de i din lasa L2(t;Rn). Densitatea de sar ina apartine de i, e lasei C1(t;R) sau L2(t;R) dupa um n fun tie de regim este solutiesau respe tiv sursa. 98

9.4 Reprezentarea obie telor idealizateTrebuie mentionat a n multe azuri lasa surselor este extinsa si mai mult, la lasaD(t;R) a fun tiilor generalizate (distributiilor). Pro edand n a est fel sursele distri-buite super ial, linei sau pun tiform nu mai trebuie tratate separat i ele devin azuriparti ulare ale surselor distribuite volumetri .De exemplu, un orp pun tiform plasat n pun tul de oordonate (x0; y0; z0); ele trizat u sar ina q are densitatea de volum a sar inii:(x; y; z; ) = qÆ(x x0)Æ(y y0)Æ(z z0);n are Æ este fun tia generalizata a lui Dira (derivata fun tiei treapta unitate Heavisideh(x) = 0 pentru x < 0 si h(x) = 1 n rest).Fun tia Dira Æ(x) are suportul n origine iar, integrala sa pe ori e interval are uprindeoriginea este unitara: Z 11 Æ(x)dx = 1:Un r ele trizat linei si u densitate l si suprapus pe axa Ox are densitatea de volum asar inii: (x; y; z) = l(x) Æ(y) Æ(z);iar planul de e uatie z = z0 ele trizat super ial are densitatea de sar ina:(x; y; z) = s(x; y) Æ(z z0):Da a se onsidera z0(x; y) e uatia parametri a a unei suprafete, atun i sar ina va dis-tribuita super ial pe a ea suprafata si nu pe plan.Intr-un sistem urbiliniu de oordonate ortogonale (u; v; w), un orp pun tiform ele tri-zat u sar ina q si plasat n pun tul de oordonate (u0; v0; w0) are densitatea de sar ina:(u; v; w) = qh1h2h3 Æ(u u0)Æ(v v0)Æ(w w0) ;n are h1; h2; h3 sunt parametrii Lame ai sistemului de oordonate n pun tul r0. Sar inaunui domeniu are in lude pun tul r0 este:q = Z dV = Z Z Z h1h2h3dudvdw = q Z 11 Z 11 Z 11 Æ(uu0)Æ(vv0)Æ(ww0)dudvdwn are s-anotat u dV elementul de volum.De exemplu, densitatea de sar ina = lh(z)h(z0 z)Æ(0)Æ(r a)=a reprezinta n oordonate ilindri e un r de lungime z0; ele trizat uniform, u densitatea e, plasat ladistanta 0,5 de Oz, paralel u a easta.99

100

Capitolul 10Formularea ore ta a problemelor ampului ele tromagneti n diferiteregimuriProblema fundamentala a analizei ampului ele tromagneti n diferite regimuri se redu edin pun t de vedere matemati la rezolvarea unor e uatii diferentiale u derivate partiale.Pentru a astfel de probleme sa e ore t formulate este ne esar a: solutia sa existe; solutia sa e uni a; solutia sa depinda ontinuu de datele problemei.A este proprietati ale solutiei sunt asigurate de demonstrarea unor teoreme de existenta,uni itate si respe tiv ontinuitate.Da a importanta existentei si uni itatii este evidenta (n onditiile n are se lu reaza u modele idealizate, valabile n anumite ipoteze simpli atoare, ipoteze are nu suntriguros respe tate n realitate), importanta ontinuitatii a fost evidentiata relativ tarziuprin exemplul lui Hadamard, are pentru o e uatie Lapla e ntr-un semiplan, u onditiiCau hy a obtinut o solutie e nu depinde ontinuu de onditia de frontiera (sursa de amp). Deoare e n majoritatea apli atiilor pra ti e datele unei probleme nu sunt unos- ute u a uratete maxima, i sunt a eptabile mi i variatii ale datelor, datorita erorilorde masura sau hiar de reprezentare n al ulator (de rotunjire a numerelor), da a solutiaeste dis ontinua, atun i se pot obtine variatii mari, ne ontroate ale ei hiar si n azulunor mi i variatii ale datelor.Toate ele trei onditii e trebuie impuse solutiei prezinta importanta teoreti a si pra -ti a, totusi teorema de uni itate este pe departe ea mai importanta n pra ti a.A easta deoare e da a a fost obtinuta o solutie numeri a aproximativa ( u al ulatorul)a problemei de amp, poate veri ata masura n are a easta satisfa e e uatiile si onditiile de frontiera si prin experimente numeri e poate evaluata hiar si stabilitateanumeri a. In shimb, da a solutia nu este uni a, a est lu ru nu poate veri at and avemla dispozitie doar una din solutiile posibile. A ea solutie s-ar putea sa nu e solutia usemni atia zi a pe are o autam. 101

Din pun t de vedere ingineres , formularea ore ta a unei probleme de amp presu-pune demonstrarea el putin a unei teoreme de uni itate pentru solutia problemei. Dinferi ire teoremele de uni itate se demonstreaza relativ usor fata de elelalte teoreme. In ontinuare, vor prezentate ateva teoreme de uni itate pentru ampul ele tromagneti n diferite domenii. Ele se bazeaza pe rationamente de tip \redu ere la absurd", presu-punand a exista doua solutii distin te. Teoremele prezentate a opera o larga lasa deprobleme ntalnite n pra ti a.Da a totusi o problema de amp nu este un az parti ular al a estor teoreme este ne e-sara demonstrarea uni itatii (de obi ei folosind a model demonstratia teoremei lasi e).Demonstrarea sau identi area teoremei de uni itate este un pas esential n modelareamatemati a a problemelor de amp ele tromagneti .10.1 Regimul ele trostati Problema fundamentala a a estui regim are a date: domeniul (din are au fost eli-minate subdomeniile ondu toare si ele anele tri e), fun tia ara teristi a de materialD (n parti ular, n azul diele tri ilor u surse permanente este data permeabilitatea ")si polarizatia permanenta Pp n ori e pun t din domeniu si distributia de sar ina ninteriorul domeniului .Ne unos utele problemei sunt ampurile ve torialeD siE, are satisfa e uatiile: divD =; rotE = 0; D = D(E) sau n parti ular D = " E+Pp:Teorema 10.1.1 Teorema de uni itate a ampului ele trostati Problema formulata anterior are solutie uni a da a fun tia de material este stri t mo-notona, respe tiv satisfa e relatia:(D(E2) D(E1))(E2 E1) > 0;n parti ular " este pozitiv denit si este ndeplinita una din urmatoarele onditii defrontiera: n ori e pun t de pe frontiera este data omponeneta normala a indu tiei Dn =nD, astfel n at ZDndA = Z dv; n ori e pun t de pe frontiera este data omponenta tangentiala a ampuluiEt = n (E n); n ori e pun t de pe frontiera este data e Dn e Et, iar n plus da a multimeapun telor SE pe are este dat Et nu este onexa i formata din m parti onexeSE = Smk=1 Sk trebuie unos ute si valorile a m1 uxuri ele tri e k pe suprafeteleSk sau valorile tensiunii ele tri e uk, pe urbe din e formeaza un arbore unodurile n Sk (o parte din uxuri pot nlo uite u tensiuni si re ipro ).102

Pentru demonstratia a estei teoreme va formulata o problema are generalizeaza azurile tuturor regimurilor stati e si stationare n domenii simplu onexe. Solutia a esteiprobleme este reprezentata de pere hi de ampuriF siG, are satisfa e uatiile: divG = ;rotF = J G = G(r;F) sau n parti ular G = (r)F +Gp(r), n are Gp; F; G : !Rn; : ! Rn; iar G : Rn ! Rn sau n parti ular : ! Rnn; satisfa onditiile:(G(r;F1)G(r;F2))(F1 F2) > 0;pentru ori e F1;F2 2 Rn; u F1 6= F2; sau F(; r) > 0 pentru ori e E 6= 0:Sa presupunem prin absurd a a easta problema admite doua solutii (G1;F1) si (G2;F2)distin te. DiferentaG = G1G2; F = F1F2 va satisfa e sistemul de e uatii: divG = 0,rotF = 0; G1 = G(r1;F1); G2 = G(r2;F2) sau n parti ular G = rF, ampul diferentaF este irotational pe domeniu simplu onex si de i are potential ve tor V univo denit,astfel n at: VA VB = RCAB Fdr sau e hivalent F = gradV:Tinand ont a: div(GV ) = V divG+GgradV =GgradVZGFdv = ZGgradV dv = Z div(GV )dv = ZGnV dA = 0deoare e n onditiile de frontiera: Gn = 0 pe ; Et = 0 pe , de i V = 0 pe ; Gn = 0 pe SE si Et = 0 pe SE = SSk; de i V = Vk pentru e are parteSk si RGFdv = RSE GnV dA = Pnk=1 Vk RSk GndA; alegand Vk = 0 rezulta, din onditiile impuse e k = RSk GndA = 0; e Vk = RCk1 Edr = 0 eea e ontravineipotezei (nu poate realizat de at da a F1 = F2 si G1 = G2).In onse inta:ZGFdv = Z(G(r;F1) G(r;F2))(F1 F2)dv = Z FFdv = 0 eea e ontravine ipotezei, (nu poate realizat atun i de at da a F1 = F2 si G1 = G2).Conditia de frontiera hibrida este destul de des utilizata. De exemplu, pentru al ulul apa itatii ntre doi ele trozi ondu tori, Et = 0 pe a estia, de im = 2 (SE ind reuniunea elor doi ondu tori), n onse inta mai trebuie unos ut pentru uni itatea ampului etensiunea u dintre ei doi ele trozi, e uxul ele tri pe unul dintre ei (sar ina q n areeste n ar at). In mod similar se trateaza problema a m ondu toare s ufundate ntr-un diele tri , pentru e are ondu tor, u ex eptia unuia de referinta trebuie unos utae valoarea sar inii totale (nu si distributia a esteia) e valoarea potentialului. Trebuieremar at a n domeniile nemarginite, = Rn,la are domeniul este extins la intregspatiul, onditia de frontiera este nlo uita de o omportare la innit a solutiei, are pe osfera de raza R!1 sa asigure RDnV dA! 0.Se veri a usor a n azul mediilor diele tri e a tive ( u polarizatie permanenta) solutia(D;E) depinde liniar de sursele de amp interne si externe (;Pp;Dn;Et; ; u), putand al ulata prin superpozitie, de i e are tip de sursa poate studiata independent de elelalte, u onditia a domeniul si onstantele de material " sa nu se modi e.103

10.2 Regimul magnetostati Problema fundamentala a a estui regim are a date: domeniul (din are au fost elimi-nate subdomeniile feromagneti e ideale at si ele amagneti e) si fun tia ara teristi a dematerial B (n parti ular, n azul nediilor u magnetizare permanenta se unos tensorulpermeabilitatii si magnetizatia permanenta Mp n ori e pun t din ). Ne unos uteleproblemei sunt fun tiile ve toriale B si H, are satisfa e uatiile:divB = 0;rotH = 0;B = B(H)sau n parti ular B = H+ 0Mp:Teorema 10.2.1 Teorema de uni itate a ampului magnetostati Problema formulata anterior are solutie uni a da a domeniul este simplu onex,fun tia de material este monotona:(B(H2) B(H1)(H2 H1) > 0;n parti ular n azul mediilor liniare sau ane tensorul este pozitiv denit (are valoriproprii stri t pozitive) si da a este ndeplinita una din onditiile de frontiera: n ori e pun t de pe este data omponenta normala a indu tiei Bn = nB ( uvaloare medie nula pe , pentru a solutia sa existe); n ori e pun t de pe este data omponenta tangentiala a intensitatii Ht = n (H n); n ori e pun t de pe este dat e Ht (pe SH ), e Bn (pe restul SH), u onditia a da a SH este ne onexa si al atuita din m parti S1; S2; :::Sm onexe,atun i pe primele m 1 parti trebuie unos ut e uxul magneti 'k e tensiuneamagneti a Umk a unui pun t fata de un pun t situat n partea de referinta Sm.Da a domeniul este multiplu onex, atun i sunt ne esare onditii de uni itate suplimen-tare, si anume pentru e are "gaura" n domeniu trebuie pre izata e tensiunea magneti an jurul ei, e uxul magneti pe o suprafata de taieturi e elimina gaura respe tiva.Teorema de uni itate a regimului magnetostati este un az parti ular al teoremei deuni itate din regimul magneti stationar.In azul mediilor liniare si a tive ( u mgnetizatie permanenta), solutia (B;H) depindeliniar de sursele interne si ele externe de amp (Mp; Bn;Ht; '; Um), putand al ulataprin superpozitie, u onditia a domeniul si onstanta de material sa nu se modi e.104

10.3 Regimul ele tro ineti stationarProblema fundamentala a a estui regim are a date: domeniul (din are au fost eliminatesubdomeniile supra ondu toare si ele izolante) si fun tia ara teristi a de material J (nparti ular, n azul mediilor liniare se unoaste tensorul ondu tivitatiilor iar n azul ondu toarelor a tive se unoaste n plus si Ei sau Ji n e are pun t din domeniul ).Ne unos utele problemei sunt ampurile ve toriale J si E, are satisfa e uatiile:divJ = 0; rot E = 0; J = J(E) sau n parti ular J = (E+Ei) = E+ Ji:Teorema 10.3.1 Teorema de uni itate a ampului ele tro ineti Problema formulata anterior are solutie uni a da a fun a de material este monotona:(J(E2) J(E1)(E2 E1) > 0;n parti ular n azul mediilor liniare si al elor a tive tenorul este pozitiv denit sieste ndeplinita una din onditiile de frontiera: n ori e pun t de pe este data omponenta Jn = nJ ( u valoare medie nula pe, pentru a solutia sa existe); n ori e pun t de pe este data omponenta tangentiala a intensitatii Et = n (E n); n ori e pun t de pe este dat e Et (pe SE ), e Jn (n rest), u onditia ada a SE este ne onexa si al atuita din m parti onexe pe e are din a este parti uex eptia ultimei este dat e urentul total Ik e tensiunea Uk fata de ultima parte.Teorema de uni itate este un az parti ular al teoremei generale demonstrate n azulregimului ele trostati . De altfel e uatiile ele tro ineti ii sunt similare u forme parti u-lare ale e uatiilor ele trostati ii (pentru = 0).Ultima onditie de frontiera, ea hibrida este utilizata n al ulul rezistentei rezistoa-relor. A estea au ele doua borne disjun te e hipotentiale (Et = 0) iar suprafata lateralaeste suprafata de amp (Jn = 0). In azul rezistoarelor multipolare u m borne, suprafataSE este al atuita din m parti onexe, n parti ular m = 2 n azul rezistoarelor bilare.Pentru a problema de amp e trebuie rezolvata pentru determinarea rezistentelor sa e ore t formulata va trebui a pentru e are borna ( u ex eptia elei de referinta aleasan mod onventional) sa se unoas a e urentul inje tat e tensiunea fata de borna dereferinta.10.4 Regimul magneti stationarProblema fundamentala a a estui regim are a date domeniul (din are au fost eli-minate subdomeniile feromagneti e ideale si ele amagneti e), fun tia ara teristi a demagnetizare B (n parti ular, n azul mediilor liniare tensorul iar n azul orpurilor u ara teristi a de magnetizare ana se unoaste si magnetizatia permanenta Mp) sidistributia urentului de ondu tie J n domeniul .105

Ne unos utele problemei sunt ampurile ve toriale B si H, are satisfa e uatiile:divB = 0;rotH = J ;B = B(H)sau n parti ular B = H+ 0Mp:Se onstata a e uatiile regimului magnetostati sunt o parti ularizare a e uatiilor re-gimului magneti stationar, obtinuta pentru J = 0.Teorema 10.4.1 Teorema de uni itate a ampului magneti Are exa t a elasi enunt u teorema de uni itate a ampului magnetostati , u observatia a n formularea problemei intervine n plus printre date si distributia densitatii de urentJ. In azul domeniilor simplu onexe a este doua teoreme sunt azuri parti ulare aleteoremei de uni itate demonstrata n azul ele trostati ii. In azul domeniilor multiplu onexe potentialul s alar V nu se poate deni,n mod uni , mai exa t el depinde denumarul de ori de are urba respe tiva n onjoara golurile domeniului (g. 9.1).mu =i

J

m

m

Ω Ω= R \Ωοο

u = 2i

3

u =0

Figura 10.1: Domeniu multiplu onexDin a est motiv este ne esara transformarea domeniuluimultiplu onex intr-unul simplu onex prin efe tuarea unor taieturi u suprafetele T1; T2; :::Tq. In a este onditii:RGFdv = RGnV dA = RSG GnV dA RSF GnV dA RT 0ST 00 GnV dA = =Pmk=1 Vk RSk GndAPqj=1 Vk RTj GnVjdA = Pn1k=1 Vkk Pqj=1 Ujj;deoare e Gn = 0 pe SG = SF ; SF = Smk=1 Sk, iar pe e are suprafata Sk, Et = 0de i V = Vk= onst., u Vk = 0; T = Smj=1 Tj; T 0 = Smj=1 T 0j; T 00 = Smj=1 T 00j; n are T 0j siT 00j,sunt ele doua fete ale suprafetei Tj. 106

S-a notat u V = Vj = ZFdrsaltul potentialului pe taieturi Tj egal u tensiunea pe urba j e n onjoara \golul" j si u: k = ZSk GndA; j = ZYj GndA; uxurile prin suprafetele Sk si respe tiv Tj.Da a pentru e are suprafata Sk ( u ex eptia uneia,de exemplu k = n) se impune e uxul k e tensiunea Vk fata de Sn si pentru e are taietura Tj se impun e uxul k;e tensiunea pe o urba n hisa e n onjoara \golul" eliminat de Tj, atun i toti termeniisumei sunt nuli si F = 0, de i ampul este determinat univo deoare e F1 = F2.10.5 Regimul vasistationar indu tiv tranzitoriuProblema fundamentala a a estui regim are a date: domeniul de al ul t = [0;1),fun tia ara teristi a de magnetizare B (n azul parti ular al mediilor liniare este dattensorul ; iar n azul mediilor u ara terist a ana si magnetizatia permanenta Mp)si fun tia ara teristi a de ondu tie J (n azul ondu toarelor tensorul ; iar n azulmediilor u ara teristi a ana si densitatea de urent imprimat Ji = Ei).Ne unos utele problemei sunt ampurile B;H;J si E are satisfa e uatiile:rotE = Bt ;rotH = J;B = B(H) sau n parti ular B = H+ 0Mp;J = J(E) sau n parti ular J = E+ Ji;si onditia initiala: B(r; t) = B0(r) pentru t = 0; r 2 ; are satisfa e restri tia: divB0 = 0:Se veri a usor, apli and operatorul de divergenta teoremei lui Ampere, a densitateade urent are o distributie solenoidala, n a ord u legea onservarii sar inii parti ularizatala a est regim. Da a indu tia magneti a este solenoidala n momentul initial, atun i ease mentine tot asa si n timpul regimului tranzitoriu, deoare e onform legii indu tieiele tromagneti e divB este onstant n timp.Teorema de uni itate va demonstrata n onditiile n are J are ara ter an (J = E+Ji), iar B este neliniar anizotrop (B = B(H)H=H) u B stri t monotona si marginita.Sa presupunem prin absurd a exista doua solutii distin te (B1;H1;J1;E1) si (B2;H2;J2;E2), are satisfa e uatiile problemei si onditiile initiale, solutia diferenta: B = B1 B2,H = H1 H2, J = J1 J2 si E = E1 E2, va satisfa e sistemul de e uatii:rotE = Bt , rotH = J. 107

B = B1 B2 = B(H1) B(H2); J = Esi onditia initiala nula B(r; 0) = 0.Inmultind prima e uatie n produs s alar u H si a doua u E si apoi s azandu-le,rezulta relatia: Z(HE)dA = ZHBt dv + ZE(E)dv:Notand: w = R t0 HBt dv = RB0 H(B)dB > 0, rezultaZ wt dv + ZE(E)dv = Z(Ht Et)dA;deoare e n(HE) = E(nH) = n(Ht E) = n(Ht Et):Da a Et sau Ht sunt nule, si tinand ont a E(E) > 0, pentru > 0 si E 6= 0; rezulta: Z wt dv < 0si prin integrare n timp pornind de la t = 0 la are w = 0, rezulta inegalitateaZ w(t)dv < 0; are mpreuna u onditia w 0 ondu e la onse inta w = 0; de i B = 0 si impli itH = 0; J =. Da a > 0, atun i si E = 0.In onse inta teorema de uni itate a ampului vasistationar indu tiv are urmatorulenunt:Teorema 10.5.1 Problema regimului vasistationar indu tiv tranzitoriu formulata ante-rior are solutie uni a, da a: ara teristi a de magnetizare B = B(H)H=H are fun tia B : R+ ! R+; ontinua,inversabila si u B(0) = 0; ara teristi a de ondu tie de forma J = E+Ji, n are este un tensor u valorileproprii pozitive; n ori e pun t de pe este data e omponenta tangentiala a intensitatii ampuluiele tri Et, e omponenta tangentiala a intensitatii ampului magneti Ht:Se onstata a pentru a asigura uni itatea solutiei, trebuie a anularea onditiilor defrontiera sa impli e anularea uxului ve torului Poynting.108

10.6 Regimul vasistationar apa itiv tranzitoriuProblema fundamentala a a estui regim are a date: domeniul de al ul t = [0;1),fun tia ara teristi a diele tri a a domeniului D (n azul parti ular al diele tri ilor lini-ari tensorul "; iar n azul mediilor u ara terist a diele tri a ana n plus polarizatiapermanenta Pp) si fun tia ara teristi a de ondu tie J (n azul ondu toarelor liniaretensorul ; iar n azul mediilor u ara teristi a de ondu tie ana, n plus ampul ele tri imprimat Ei).Ne unos utele problemei sunt ampurile ve toriale E;D, J si ampul s alar are sa-tisfa e uatiile: rotE = 0;rotH = J+ Dt ;divD = ;D = D(E) sau n parti ular D = "E+Pp;J = J(E) sau n parti ular J = (E+Ei)si onditia initiala E(r; t) = E0(r) pentru t = 0; r 2 , u restri tia rotE0(r) = 0:Trebuie remar at a folosind relatia DE si legea uxului ele tri din onditia initialase determina distributiile initiale atat ale indu tiei ele tri e D0 = D(E0) at si a sar inii0 = divD0.Teorema 10.6.1 Teorema de uni itate a ampului vasistationar apa itiv.Problema fundamentala a regimului vasistationar apa itiv formulata anterior are solutieuni a, da a: ara teristi a diele tri a este ana si tensorul " are valorile proprii pozitive; ara teristi a de ondu tie a mediului din este ana si tensorul are valori propriinenegative; n ori e pun t de pe este data e omponenta tangentiala a intensitatii ampuluiele tri , Et e omponenta tangentiala a intensitatii ampului magneti Ht:Pentru demonstratie se onsidera a exista doua solutii diferite iar (E;D; bfJ; ) estediferenta lor, are satisfa e e uatiile: rotE = 0;rotH = J+ Dt ;divD = D = "E si J = (E); si onditia initiala E(r; t) = 0 si onditii de frontiera tot nule, Et = 0si Ht = 0: 109

Teorema energiei ele tromagneti e pentru a est amp diferenta are urmatoarea formalo ala: div(HE) = EDt + JE;si urmatoarea forma globala:Z(HE)dA = ZEEdv + Z wt dv; u w = DE=2 = (E"E)=2 > 0. Deoare e ampul diferenta are onditii de frontiera nule,ve torul Poynting S = E H are omponenta normala nula: Sn = nS = n(E H) =n(Et Ht) = 0.In onse inta, ntre puterea P disipata n ondu toarele domeniului si energia a umulatan ampul ele tri exista relatia:P + dWdt = 0; u P = REEdv > 0 si W = Rwdv > 0:Prin integrare n timp rezulta:W (t)W (0) = Z t0 P (t)dt 0;n are W (0) = 0; deoare e E(0) = 0, de i energia ampului ele tri are este pozitivdenita este n mod ne esar nula W (t) = 0: A est lu ru este posibil doar da a E = 0,D = 0, eea e impli a J = 0, = 0. In onse inta, deoare e diferenta elor doua solutiieste nula, ele sunt egale ntre ele, de i solutia problemei de amp este uni a.Da a se doreste determinarea unui amp magneti uni (B;H) se poate apli a teoremade uni itate de la regimul magneti stationar, de i adaugarea e uatiilor:divB = 0; B = 0Hsi onditii la frontiera referitoare la B, n pun tele n are este dat Et, presupunand apun tele n are este dat Ht, al atuies o suprafata onexa.10.7 Regimul vasistationar tranzitoriuTeoremele prezentate pentru regimurile vasistationare nu sunt singurele teoreme de uni- itate ale a estor regimuri. Ori e onditie de frontiera are anuleaza ve torul Poyntingn toate pun tele frontierei sunt onditii are asigura uni itatea solutiei. Un exempluilustrativ n a est sens este elementul ele tromagneti de ir uit, are este prezentat lasfarsitul a estui apitol.10.8 Regimul general variabil tranzitoriuProblema fundamentala a a estui regim are a date: domeniul de al ul t = [0;1),fun tia ara teristi a diele tri a D (n parti ular pentru diele tri i liniari tensorul " si110

eventual Pp n medii polarizate permanent), fun tia ara teristi a de magnetizare B (nparti ular n mediu liniar magneti tensorul si eventual Ip = 0Mp n medii magnetizatepermanent) si fun tia ara teristi a a ondu tiei (n parti ular, n medii ondu toareliniare este dat tensorul si eventual Ji = Ei , n medii u amp diele tri imprimat).Ne unos utele problemei sunt ampurile ve torialeE;D, B;H;J si ampul s alar aresatisfa e uatiile: rotE = Bt ;rotH = J+ Dt ;divD = ;D = D(E) sau n parti ular D = "E+Pp;B = B(H) sau n parti ular B = H+ Ip;J = J(E) sau n parti ular J = E+ Ji;si onditiile initiale:D(r; t) = D0(r) pentru t = 0; r 2 ;B(r; t) = B0(r) pentru t = 0; r 2 , u div B0 = 0:Este usor de observat a da a indu tia magneti a este solenoidala (are divergenta nula)n momentul initial, atun i va pastra onform legii indu tiei ele trolmagneti e a eastaproprietate pentru ori e moment de timp. Cunoasterea distributiei indu tiei ele tri epermite determinarea distributiei de sar ina, onform legii uxului ele tri , lege are poate eliminata din sistemul de e uatii, da a nu intereseaza ele trizarea orpurilor ( esteeliminat dintre ne unos ute). In ori e az, distributia initiala de sar ina rezulta din onditia initiala referitoare la indu tia ele tri a. Relatia dintre densitatea de urent Jsi densitatea de sar ina , impusa de legea onservarii sar inii este automat satisfa utadeoare e a easta relatie este o onse inta a e uatiilor 2 si 3 din sistemul de e uatii.Teorema 10.8.1 Teorema de uni itate a ampului ele tromagneti tranzitoriu.Problema fundamentala a regimului general variabil formulata anterior are solutie uni ada a: tensorii " si au valori proprii stri t pozitive; tensorul are valori proprii nenegative; n ori e pun t de pe frontiera este data e Et e Ht.Pentru demonstartia a estei teoreme vom onsidera a mediile au ara teristi i de ma-terial ane. Presupunand prin absurd a exista doua solutii distin te pentru problemafundamentala, diferenta lor va satisfa e e uatiile:rotE = Bt ;111

rotH = J+ Dt ;divD = ;D = "E; B = H si J = E:Conditiile initiale: D(r; 0) = 0, B(r; 0) = 0 si onditiile de frontiera: Et = 0 e Ht = 0.Teorema energiei ele tromagneti e apli ata ampului diferenta are forma lo ala:div(H E) = p + wt ; u p = JE, w = we + wm = DE=2 +BH=2 si forma integrala:P = P + wtn are: P = Z div(HE)dv = Z(HE)dA = Z(Ht Et)dA = 0;P = Z pdv = Z JEdv = ZE(E)dv > 0;W = Z(DE2 + BH2 )dv = 12 Z[E("E)dv +H(H)dv > 0:Integrand n timp pe intervalul (0; tm) si tinand ont a energia initiala este nulaW (0) = 0,rezulta: W (t) = Z tm0 P (t)dt 0; eea e ontrazi e onditia W (tm) > 0 demonstarta anterior.In onse inta w = 0, de i E = 0, H = 0 ea e impli a si D = 0, B = 0; iar n nalJ = 0, = 0: Solutia diferenta ind nula, rezulta a ele doua solutii nu pot distin te,iar problema fundamentala are solutie uni a.Trebuie remar at faptul a e uatiile regimurilor vasistationar indu tiv si apa itiv siimpli it poblemele fundamentale ale a estor regimuri se obtin din ele ale regimului generalvariabil onsiderand mediile n ntregul domeniu de tip anele tri respe tiv amagneti .10.9 Elementul ele tromagneti de ir uitElementele de ir uit ele tri e u parametrii on entrati ondensatorul, rezistorul si bo-bina sunt ara terizate de parametrii C, R si respe tiv L (s alari pozitivi n azul elemen-telor dipolare si matri e patrate simetri e, pozitiv denite, n azul elementelor multipo-lare).Cal ulul a estor parametrii, presupune determinarea ampului ele tri , distributia de urent sau a ampului magneti prin rezolvarea problemei fundamentale a regimurilor112

ele trostati , ele tro ineti respe tiv magneti stationar n onditiile de frontiera spe i e, are au fost prezentate anterior.In azul elementelor u parametrii distribuiti analiza trebuie efe tuata n regimul vasistationarsau general variabil, deoare e elementul de ir uit u efe te de amp aste one tat n ex-terior u un ir uit ele tri u parametrii on entrati, des ris de e uatiile lui Kir hho sinu de e uatiile lui Maxwell, onditiile de frontiera des rise anterior referitoare la Et si Htnu unt potrivite n a est az.Ar trebui introduse onditii de frontiera are sa se refere la un numar nit de marimis alare denite astfel n at on eptele de borna (terminal), urent prin borna si potentialal bornei sa aiba sens. A est lu ru este realizat prin on eptul de element ele tromagneti de ir uit ele tri , are este un domeniu spatial , a arei frontiera este al atuita din nparti disjun te S1; S2; :::; Sn numite borne si suprafata externa bornelor Sl = Snk=1 Sknumita si suprafata tensiunilor la borne, si pe are sunt ndeplinite urmatoarele onditiide frontiera: n rotE(r) = 0 pentru r 2 Sl; (A)n rotH(r) = 0 pentru r 2 Sl; (B)n rotE(r) = 0 pentru r 2 n[k=1Sk: (C)Conditia de frontiera (A) se refera la omponenta tanegentiala a intensitatii ampuluiele tri si onform legii indu tiei ele tromagneti e impune valoare onstanta n timp a omponentei normale a indu tiei magneti e Bn. A easta onditie elimina ori e uplajmagneti ntre interiorul si exteriorul domeniului , iar ampul magneti exterior nuindu e amp ele tri n interior. Mai mult, faptul a Et(r) este irotational pe permitedenirea unui potential s alar V pe , astfel n at Et = gradV . Da a se doreste aa est lu ru sa se poata fa e si n azul elementelor u domeniul multiplu onex, onditia(A) trebuie nlo uita u una mai tare:ZEt(r) = 0 pentruori e Sl:Conditia de frontiera (B) se refera la omponenta tangentiala a intensitatii ampuluimagneti , dar onform legii ir uitului magneti ea impune anularea omponentei normalea urentului total ( el de ondu tie Jn plus el de deplasare Jdn). In a est fel se anuleazaatat uplajele galvani e, at si ele apa itive prin suprafata exterma bornelor, obligand urentul total sa trea a ex lusiv prin borne. Putem spune a (A) si (B) se refera de i la omponentele normale ale indu tiilor (Bn, Jn, si Dn).Conditia de frontiera (C) se apli a doar bornelor si impune a pe a estea omponentatangentiala a ampului ele tri Et sa e nula. A est lu ru este realizat da a e are bornaeste e hipotentiala (de exemplu realizata dintr-o folie supra ondu toare). Da a nu s-ar impune a easta onditie o borna ar putea avea o innitate de valori ale potentialuluiele tri n diferite pun te ale sale, fa and a elementul sa nu mai e ompatibil u ir uitulele tri exterior. 113

Ex itatia unui element ele tromagneti de ir uit este realizata ex lusiv prin bornelesale, de urentii si potentialele a estora denite de:ik = Zk Hdr; Vk = ZCk Edr; pentru k = 1; 2; : : : n;n are k = Sk este bordura bornei Sk iar Ck este o urba e uneste borna Sk deborna de referinta Sn.Teorema 10.9.1 Teorema de uni itate pentru elementul ele tromagneti de ir uit ele -tri .Problemele determinarii ampului ele tromagneti variabil n regim vasistationar saugeneral variabil, formulate anterior au solutie uni a, da a: tensorul " are valori proprii stri t pozitive (sau este nul n regimul vasistationaranele tri ); tensorul are valori proprii stri t pozitive (sau este nul n regimul vasistationaramagneti ); tensorul are valori proprii nenegative; sunt ndeplinite onditiile de frontiera (A), (B) (C) sau (A') n azul domeniului multiplu onex, onditii denitorii pentru elementul ele tromagneti de ir uit; u ex epti ultimei borne, pentru toate elelalte k = 1; 2; 3; : : : ; n 1 este data evariatia n timp a urentului ik(t) e valoarea potentialului Vk(t), pentru t 2 [0;1).Pentru demonstratia a estei teoreme se va folosi din nou ampul diferenta a doua solutiidiferite, n maniera asemanatoare elei utilizate n demonstratia teoremei anterioare n onditii nule de frontiera. Puterea transferata prin este: R(E H)dA = R(Et Ht)dA = R(gradV Ht)dA = R V rotHdA R rot(VHdA) = RSl V nrotHdA +Pnk=1 vk RSk nrotHdA = Pnk=1 vk Rk=Sk Hdr = Pn1k=1 vkiksi se anuleaza pentru Vk = 0 sau ik = 0, u k = 1; 2; 3::::; n 1. In onse inta, solutiaproblemei de amp este uni a.Sa presupunem a primelem < n terminale sunt ex itate u potentialele va = [V1; V2; :::; VmTiar diferenta lor nm terminale u urentii ib = [im+1; :::; inT . Dupa e a fost determinat ampul se poate al ula prin integrare pe urba de pe frontiera urentii ia = [i1; i2; :::; imTprin terminalele ex itate n tensiune si potentialele vb = [Vm; Vm+1; :::; VnT ale termina-lelor ex itate n urent. Utilizand operatorii hibrizi de admitanta y, de impedanta z, detransfer n tensiune si de transfer n ir uit , are leaga semnalele de ex itatie de elede raspuns, rezulta: " iavb # = " yaa abba zbb # = " vaib # : (10.1)Da a n = 0, atun i elementul este ara terizat numai de operatori de impedanta siv = zi iar da a n = n 1 , atun i elementul este ara terizat numai de operatori deadmitanta si i = yv. 114

In azul elementului ele tromagneti liniar u onditii initiale nule, operatorii de ir uitastfel deniti sunt liniari. Din a est motiv omportarea elementului n a este onditiieste ara terizata de (n 1)2 fun tii indi iale, are reprezinta raspunsul unui terminalla ex itatie treapta a altui terminal, n onditiile n are elelalte terminale au ex itatienula.

115

116

Capitolul 11Analiza ampului ele tromagneti ndomeniul fre ventei11.1 Reprezentarea n omplex a e uatiilor ampurilorsinusoidaleCel mai des ntalnit si n a elasi timp mai simplu regim periodi permanent al ampuluiele tromagneti este regimul sinusoidal, n are variatia n timp a marimilor zi e ara -teristi a ampului este de forma:x(t) = Xp2sin(!t+ x)n are x este valoarea instantanee, t 2 (1;1) este variabila timp, X este valoareaefe tiva, ! = 2f = 2=T este pulsatia, f fre venta si T perioada iar x este faza initiala.In regimul de variatie sinusoidala (numita si armoni a) toate marimile unei probleme aufre ventaa omuna de variatie, e are marime s alara avand spe i doar doi parametriireali valoarea efe tiva X si faza initiala x. Din a est motiv putem aso ia e arei fun tiex : [0; t ! IR u variatie sinusoidala (x 2 S - lasa fun tiilor sinusoidale de pulsatie !)n mod biunivo un numar omplex X 2 C si denit de relatia X = Xej'x n are j esteunitatea imaginara, j2 = 1.Reprezentarea n omplex a marimilor sinusoidale este o transformata C : S ! C uurmatoarele proprietati remar abile: C este bije tiva, iar C1 : C ! S este denita de C1[X = p2Im[Xej!t; C este un operator liniar, ind valabila relatiaC[1x1 + 2x2 = 1C[x1 + 2C[x2;n are 1; 2 2 R iar x1; x2 2 S; C transforma operatiile diferentiale n operatii algebri e, onform relatiei:C[dxdt = j!C[x;n are x 2 S este o fun tie sinusoidala de pilsatie !.117

Prin ipalul avantaj al reprezentarii omplexe onsta n faptul a e uatiile diferentialen variabila timp se transforma n e uatii algebri e (este adevarat omplexe), dar n arevariabila timp nu intervine (e uatiile au un ara ter stationar). Din a est motiv, analiza ampurilor u variatie temporala sinusoidala tehni a este fa uta aproape ex lusiv prinreprezentare omplexa.Primul lu ru are trebuie remar at este faptul a un sistem se poate a a n regimarmoni , doar da a e uatiile sale au un ara ter liniar. In azul ampului ele tromagneti ,a esta presupune a toate ele trei relatii de material sunt liniare: D = "E; B =H; J = E: In az ontrar, da a un amp dintr-o relatie de material este sinusoidal(de exemplu intensitatea ampului), atun i elalalt (de exemplu indu tia) nu va mai aveavariatie armoni a n timp.Sa onsideram o problema 2D omponenetele intensitatii ampului magneti u variatiesinusoidala:H(r; t) = iHx(r; t) + jHy(r; t) = iHxp2sin(!t+ '1) + jHyp2sin(!t+ '2):Prin reprezentarea n omplex a a estor omponente se obtine:H(r; t) = iHxej'1 + jHyej'2 2 C2;adi a un ve tor bidimensional u omponente omplexe.Rationamente asemanatoare pot fa ute e n 2D, e n 3D, pentru toate ampurileve toriale sau s alare. In onse inta, n regim armoni ampul ele tromagneti este a-ra terizat de urmatoarele fun tii ve toriale u omponenete omplexe: indu tia ele tri a n omplex D : ! Cn; intensitatea ampului ele tri n omplex E : ! Cn; densitatea de urent n omplex J : ! Cn; indu tia magneti a n omplex B : ! Cn; intensitatea ampului magneti n omplex H : ! Cn; densitatea de sar ina n omplex : ! IC;n are n = 1; 2 sau 3 n fun tie de dimensiunea problemei.Problema fundamentala a regimului general variabil armoni are a date: domeniulspatial , tensorul permitivitatii ", tensorul permeabilitatii si el al ondu tivitatii ;tensori unos uti n ori e pun t din si eventual urentul ele tri imprimat Ji.Ne unos utele problemei sunt ampurile ve torial omplexe E; D; B; H; J aresatisfa urmatorele e uatii obtinute din e uatiile lui Maxwell pirn apli area transformatein omplex C si tinand ont de proprietatile a esteia:rotE = j!E;118

rotH = J+ j!D;D = "E;B = H;J = E+ Ji:Da a intereseaza si distributia de sar ina, atun i se al uleaza ampul s alar omplex: = divDIn a est regim legea uxului magneti divB = 0 este satisfa uta automat, a o onse intaa legii indu tiei ele tromagneti e. Constatam spre deosebire de regimul tranzitoriu, n re-gimul sinusoidal nu sunt ne esare onditii initiale.Prin parti ularizari ale onstantelor de material se obtin diferite regimuri ale ampuluiarmoni : " = 0 - regimul vasistationar indu tiv (anele tri ); = 0 - regimul vasistationar apa itiv (amagneti ); = 0 - regimul general variabil n medii izolante.Cei trei tensori de material sunt simetri i si au omponente reale, iar valorile propriisunt si ele reale. Un arti iu interesant de modelare onsta n onsiderarea unor onstantede material u ara ter omplex, de exemplu " = "0+j"00, = 0+j00 u parti imaginare"00 si sau 00 nenule. Efe tul a estor parametrii onsta n aparitia unor i luri elipti e dehisterezis pentru omportarea ele tri a, respe tiv magneti a. Din pun t de vedere al omportarii n domeniul timpului, a est model orespunde unor relatii de material u ara ter dinami . De exemplu, D = ("0+ j"00)E este reprezentarea n omplex a e uatiei:D(t) = "0E(t) + "00! dEdt :Teorema 11.1.1 Teorema de uni itate a ampului armoni .Problema fundamentala a regimului general variabil armoni formulata anterior aresolutie uni a, da a: tensorul " are valori proprii pozitive (sau este nul n regim anele tri ); tensorul are valori proprii pozitive (sau este nul n regim amagneti ); tensorul are valori proprii pozitive; n e are pun t de pe frontiera este unos uta omponenta tangentiala e a inten-sitatii ampului ele tri Et e a elui magneti Ht.Ultima onditie poate nlo uita u onditiile de frontiera spe i e elementului ele -tromagneti de ir uit: 119

pe suprafetele bornelor Et = 0; pe suprafata externa bornelor, omponentele normale ale rotorului intensitatii ampuluiele tri si magneti sunt nule: nrotE = 0, nrotH = 0; pentru e are borna u ex eptia elei de referinta este unos uta e valoarea potentialului omplex V k e a urentului omplex Ik e strabate borna.Pentru demonstratia a estor doua teoreme vom demonstra pentru n eput forma om-plexa a teoremei energiei ele tromagneti e n regim armoni (a nu se onfunda u re-prezentarea n omplex a teoremei energiei ele tromagneti e). In azul unui elementele tromagneti de ir uit ele tri , membrul stang al egalitatii este:Z(EH)dA = n1Xk=1 V kIkda a Ik are sensul de referinta spre exterior.Da a se noteaza u H, J, D ampurile H, J, si D omplex onjugate, rezulta dinlegea indu tiei si ea a ir uitului magneti :HrotE = j!B H; ErotH = E J j!E D:S azand a este doua realtii, rezulta forma lo ala:div(EH) = E J + j!(B H E D)si forma integrala: Z(EH)dA = ZE Jdv + j! Z(B H E D)dv:Trebuie remar at a n azul mediilor fara histerezis E J = EE este un numar realnenegativ are reprezinta densitatea de volum a puterii a tive disipata de orpuri , a areiintegrala este puterea a tiva masurata n W:P = ZE Jdv = 1T Z T0 P (t)dtiar !(B H E D) = !(HH E"E)este tot un numar real are reprezinta densitatea de volum a puterii rea tive disipate de orpuri, a arei integrala este puterea rea tiva, masurata n VAr. In onse inta, S = EH reprezinta ve torul Poynting omplex, e ara terizeaza puterea transferata super ial,partea sa reala referindu-se la puterea a tiva [W=m2 iar partea imaginara la puterearea tiva [V Ar=m2:Sa onsideram a um a problema fundamentala are doua solutii distin te. Diferenta lorva satisfa e a eleasi e uatii dar u onditii de frontiera nule. Din a est motiv omponentanormala a ve torului Poynting omplex pentru ampul diferenta este nul: Et Ht = 0;atat pentru prima teorema de uni itate at si pentru ea orespunzatoare elementului120

ele tromagneti de ir uit. Din forma omplexa a teoremei energiei rezulta a atat putereaa tiva (partea reala) at si puterea rea tiva (partea imaginara) sunt nule:P = ZE Jdv = 0; Q = ! Z(B H E D)dv = 0:Din prima relatie rezulta a J = 0 peste tot n iar E = 0 el putin n ondu toare.Pentru a solutia problemei fundamentale sa e uni a este ne esar a E si H sa se anulezepeste tot n . Da a de exemplu, domeniul este n ntregime izolant, J = 0 n s himbatat E at si H pot nenule, hiar si n onditiile P = 0; Q = 0. Cele doua ampuriele tri si magneti se pot a a n a est az n rezonanta, avand velori nenule hiar si n onditii de frontiera nule. Din a est motiv pentru a asigura uni itatea ampului n regimgeneral variabil tot domeniul trebuie sa e ondu tiv, sau el putin slab ondu tiv.Totusi problema determinarii fre ventelor de rezonanta ale domeniului u mediiideale, fara pierderi joa a un rol important n pra ti a deoare e la a este fre vente ampulele tromagneti se poate ntretine un timp nemarginit, fara aport de energie din exterior.In regim vasistationar anele tri forma n omplex a energiei este: Z(EH)dA = ZE Jdv + j! Z(B H)dv:Anularea partii reale impli a E = 0, da a domeniul este integral ondu tor iar a eleiimaginare impli a H = 0, da a Re[ > 0, eea e determina uni itatea solutiei.In regim vasistationar amagneti , este valabila relatia: Z(EH)dA = ZE Jdv j! Z(E DdvAnularea partii imaginare impli a E = 0, da a Re[" > 0, eea e determina uni itateasolutiei, hiar si n azul domeniilor integral izolante.Trebuie remar at a n azul elementului ele tromagneti de ir uit relatiile ntre urentisi potentiale au forma: " IaV b # = " Y aa BabAba Zbb # = " V aIb # (11.1)n are I = C[i; V = C[v, forma obisnuita prin reprezentarea n omplex a relatieiinstantanee spe i e elementului u ex itatie hibrida. In forma omplexa Y reprezintaadmitanta omplexa, Z impedanta omplexa, A fa torul omplex de transfer n tensiuneiar B reprezinta fa torul omplex de transfer n urent. Partea reala si ea imaginara aimpedantiei omplexe: Z = R+ jX reprezinta rezistenta si respe tiv rea tanta de urentalternativ.In multe situatii pra ti e prezinta interes determinarea rezistentei si rea tantei (saueventual partile reale si imaginare ale altor fun tii omplexe de ir uit) la o fre ventadata sau determinarea modulului n are a esti parametrii depind de fre enta. Dupa ums-a aratat puterea omplexa transferata pe la borne de un element multipolar de ir uiteste: S = P + jQ = n1Xk=1 V kIk = ZI2b + Y V 2a + (A+B)V aIb :In azul m = 0 fre ventele de rezonante orespund la X = Im(Z) = 0 si la Im(Y ) = 0;n azul m = n 1. 121

11.2 Analiza regimurilor periodi e u transformataFourier dis retaIn regimul periodi permanent al ampului ele tromagneti , marimile ara teristi e ale ampului au variatie periodi a n timp:x(t) = x(t+ T );n are T este perioada, omuna pentru toate marimile problemei. Din a est motiv,fun tia x : (1;1)! IR se poate restrange doar la o singura perioada x : [0; T )! IR siprelungi ulterior prin periodi itate pe toata axa timpului.Fun tiile periodi e admit dezvoltari n serie Fourier, de forma:x(t) = a0 + 1Xk=1(ak os k!t+ bk sin k!t);n are ! = 2=T iar oe ientii Fourier sunt:a0 = 1T Z T0 x(t)dt;ak = 2T Z T0 x(t) os k!tdt;bn = 2T Z T0 x(t) sink!tdt:Valoarea medie a patratului fun tiei x pe o perioada are expresia:1T Z T0 x2dt = a20 + 12 1Xk=1(a2k + b2k);de i da a x are patrat integrabil x 2 L2(0; T ), atun i sirurile ak si bk sunt onvergente atre zero.Da a denim numerele omplexe Ck = ak + jk 2 IC; k = 1; 2; ::: rezulta: Ck =2T R T0 x(t)ejk!tdt; proportional u numarul omplex aso iat fun tiei sinusoidale ak os k!t+bk sin k!t; numita si armoni a k. In plus, omponenta ontinua este reprezentata de C0 =a0. In onse inta ori e fun tie x apartinand spatiului fun tiei periodi e P de perioada dataeste reprezentata biunivo de sirul onvergent de numere omplexe C0; C1; : : : ; Ck; : : : 22(IC). Transformata F : P ! l2(IC) astfel denita se numeste transformata Fourier om-plexa si are urmatoarele proprietati remar abile: F este bije tiva si F1 : l2(IC)! P are expresia:x(t) = Re[ 1Xk=0Ckejk!t; F este liniara: F [1x1 + 2x2 = 1F [x1 + 2F [x2;pentru ori e 1, 2 2 IR si x1; x2 2 P;122

F transforma operatiile diferentiale n operatii algebri e onform relatiei:F [dxdt = j!diag(0; 1; :::; k; :::)F [x;n are x 2 P. Reprezentarea omplexa a armoni ii k a derivatei este obtinuta prinnmultirea u jk!.Utilizand transformata Fourier dis reta, varabila timp este eliminata din e uatiile diferentiale,dar a estea se transforma n sisteme u un numar innit de e uatii u solutii omplexe( ate una pentru e are armoni a).In e are pun t din domeniul spatial , n fun e de dimensiunea problemei ampuleste ara terizat de ve tori u n = 1; 2 sau 3 omponente. Prin reprezentare n omplex,n domeniul fre ventei, rezulta urmatoarele fun tii:D : ! l2(ICn); E : ! l2(ICn); J : ! l2(ICn);B : ! l2(ICn); H : ! l2(ICn); : ! l2(ICn); e ??? omplex al ampului.Problema fundamentala a regimului general variabil periodi permanent are a date: do-meniul spatial , tensorul permitivitatii ", tensorul permeabilitatii si al ondu tivitatii n ori e pun t din si eventual transformata Fourier a urentului ele tri imprimatJi : ! l2(ICn). Ne unos utele problemei sunt ampurile ve torial- omplexe ( u o in-nitate de armoni e) E, D, B, H si J, are satisfa urmatoarele e uatii (obtinute printransformata Fourier dis reta a e uatiilor lui Maxwell),rotEk = jk!Bk;rotHk = Jk + jk!Dk;Dk = "Ek; Bk = Hk; Jk = Ek + Jik;pentru armoni ele k = 1; 2; : : :.Prin parti ularizarea onstantelor de material se obtin diferite regimuri ale ampuluiele tromagneti : " = 0 - regimul vasistationar indu tiv; = 0 - regimul vasistationar apa itiv; = 0 - regimul general variabil n izolanti.In azul elementului ele tromagneti liniar de ir uit ele tri este su ient sa se de-termine felul n are variaza u fre venta fun tiile de ir uit de regim armoni Zbb(k!),Y aa(k!), Aba(k!), Bab(k!), urmand raspunsul sa se al uleze n fun tie de ex itatie uformule de tipul: 123

V b = diag(Zbb(0); Zbb(!); Zbb(2!); : : :)Ibvalabila pentru ex itatie n urent, si n are V b; Ib 2 l2(IC). Trebuie remar at a analiza ndomeniul fre vena se apli a de regula n problemele liniare, dar se poate apli a si n azulproblemelor u ara teristi i de material neliniare folosind metoda balantei armoni e.Da a de exemplu, ara teristi a de magnetizare este neliniara u B = B(H) atun i nlo ul reltiei Bk = Hk trebuie satisfa uta relatia neliniara ntre armoni i:B = F(B); F(B(H)) = F(B(F1(H))):Teorema 11.2.1 Teorema de uni itate a ampului ele tromagneti periodi .Problema fundamentala a regimului periodi permanent formulata anterior are solutieuni a, data: tensorul " este pozitiv denit sau este nul n regim anele tri ; tensorul este pozitiv denit sau este nul n regim amagneti ; tensorul este pozitiv denit sau nenegativ n regim amagneti ; n e are pun t de pe frontiera este data transformata Fourier, dis reta a om-ponentei tanegentiale a ampului ele tri Et 2 l2(ICn1) sau a ampului magneti Ht 2 l2(ICn1):Ultima onditie poate nlo uita u onditiile de frontiera spe i e elementului ele tro-magneti de ir uit: pe suprafata bornelor Et = 0; pe suprafata externa bornelor, omponentele normale ale rotorului ampului magne-ti si ele tri sunt nule: nrotE = 0; nrotH = 0; pentru e are borna, u ex eptia elei de referinta este unos uta transformata Fo-urier a potentialului V 2 l2(IC) sau a urentului inje tat I 2 l2(IC):Pentru demonstratia a estei teoreme este su ient sa observam a n azul liniar solutiaproblemei se obtine prin superpozitia ampurilor produse de diferite armoni i ale ex itatiilor(surselor interne si externe de amp). Fie are armoni a ind sinusoidala problema se re-du e la una de regim armoni .124

11.3 Analiza regimurilor tranzitorii u transforma-tele Lapla e si FouirierRegimul tranzitoriu poate onsiderat a un az limita, degenerat al regimului periodi permanent, si anume azul n are perioada T tinde atre innit. Pentru a easta limitatransformata Fourier dis reta tinde atre transformata Fourier ( ontinua), are transformafun tia reala x : (1;1)! IR n fun tia omplexa de variabila reala X : (1;1)! ICdenita astfel: X(j!) = F [x(t) = Z 11 x(t)ej!tdt:Transformata Fourier are urmatoarele proprietati: F este inversabila si F1 are expresia:x(t) = F1[X(j!) = 12 Z 11X(j!)ej!tdt F este liniara: F [1x1(t) + 2x2(t) = 1F [x1(t) + 2F [x2(t); F transforma operatia de derivare ntr-una algebri a de nmultire u j!:F [dxdt = j!F [x(t)Transformata Fourier este folosita la analiza ampului ele tromagneti n medii lini-are, n regim tranzitoriu u onditii initiale nule. Prin apli area a estei transformari dine uatiile ampului se elimina variabila timp si toate derivatele fata de a easta. E uatiiledevin \stationare", dar oe ientii din a este e uatii de i si solutiile lor au ara ter om-plex. In lo ul variabilei \timp" apare o noua variabila \pulsatia", dar nu apar derivatefata de a estea. Din a est motiv se spune a analiza se efe tueaza n domeniul fre venteisi nu n domeniul timpului.Transformata Fourier a ampului ele tromagneti este identi a formal u e uatiile om-plexe ale ampului n regim armoni . In regim armoni ! este un numar xat (dat) pe and n regim tranzitoriu ! este o variabila reala simboli a (independenta, nepre izata).Da a sursele de amp sunt transformatele Fourier ale surselor interne (Ji = F [Ji(t)) sauexterne, reprezentate prin onditiile de frontiera de tipulEt = F [Et(t) sauHt = F [Ht(t),atun i solutia sistemului, are este uni a n baza teoremei de uni itate din regimul armo-ni , este hiar transformata Fourier a solutiei tranzitorii, din domeniul timpului obtinutan onditii initiale nule. Spre deosebire de analiza n domeniul timpului, n are atatex itatiile at si raspunsurile sunt fun tii reale de timp, n analiza n domeniul fre venteiambele semnale sunt fun tii omplexe ale fre ventei.Da a n domeniul timpului operatorii de ir uit au un ara ter integral-diferential, nanaliza n fre venta ei sunt fun tii omplexe de variabila reala: Zbb(!), Y aa(!), Aba(!),Bab(!), u parti reale si imaginare nenule, ara teristi i de fre venta ale elementuluiele tromagneti de ir uit. 125

Cunoasterea ara teristi elor de fre venta permite determinarea raspunsului ia; Vb; ge-nerat n onditii initiale nenule de o ex itatie arbitrara Va; ib:" iavb # = F1 "" Y aa(!) Bab(!)Aba(!) Zbb(!) # " V aIb ## : (11.2)Pentru analiza regimului tranzitoriu n sisteme liniare se utilizeaza o alta transformataintegrala, nrudita u transformata Fourier. A easta este transformata Lapla e si estedenita de relatia: X(s) = L[x(s) = Z 10 x(t)estdt;n are s 2 IC este o variabila omplexa simboli a, numita \fre venta omplexa".Transformata Lapla e are urmatoarele proprietati: L este inversabila si L1 are expresia:x(t) = L1[X(s) = Z j1 +j1 X(s)estds; L este un operator liniar:L[1x1(t) + 2x2(t) = 1L[x1(t) + 2L[x2(t); L transforma operatia de derivare n una algebri a:L[dxdt = sL[x(t) x(0)n are s-a notat u x(0) = limt!0t<0 x(t); onditia initiala, anterioara regimului tranzitoriu.Dupa apli area transformatei Lapla e, marimilor ara teristi e ampului se obtin urmatoarelefun tii omplexe de varaibila omplexa:D(r; s) = L[D(r; t) : IC! ICn;E(r; s) : IC! ICn;J(r; s) : IC! ICn;B(r; s) : IC! ICn;H(r; s) : IC! ICn;(r; s) : IC! IC:Prin transformari Lapla e e uatiile lui Maxwell apata forma:rotE = sB+B0;rotH = J+ sDD0;126

D = "B; B = H; J = E+ Ji:In onditii initiale nule, elementul liniar de ir uit ele tri este ara terizat de fun tiileoperationale de ir uitZ(s); Y (s); A(s) si (s), obtinute nlo uind variabila j! din fun tiileFourier u variabila s. Relatia onstitutiva a elementului ele tromagneti de ir uit mul-tipolar devine: " IaVb # = " Yaa BabAba Zbb # " VaIb # (11.3)n are V (s) = L[v(t) si I(s) = L[i(t): Se onstata a, spre deosebire de analizan domeniul timpului, n a est az onditiile initiale fa parte din e uatii si nu sunt im-puse separat. Pentru a satisfa e legile uxurilor va trebui totusi ndeplinite onditia divB0 = 0 iar = divD0 si reprezinta distributia initiala de sar ina. Teorema de uni itateeste similara u ea din domeniul timpului, u deosebirea a Et si Ht sunt nlo uite utransformatele Lapla e ale omponentelor tangentiale ale intensitatii ampului Et(r; s) sirespe tiv Ht(r; s):

127

128

Capitolul 12Formulari n potentiale pentrue uatiile ampului ele tromagneti 12.1 Potentialul s alar al ampurilor stati e si stationareirotationaleE uatiile regimurilor ele trostati , magentostati si ele tro ineti stationar sunt similare:divD = ;divB = 0;divJ = 0;rotE = 0;rotH = 0;rotE = 0;D = D(E);B = B(H);J = J(E);avand toate ampul u o intensitate irotationala. Se onstata a E este similar lui H iarD, B si J sunt similare. Deoare e divergenta indu tiei este nenul'e 6= 0 doar n regimele trostati , va analizat a est regim, rezultatele obtinute ind apoi parti ularizate n elelalte doua regimuri.Ori e amp irotational admite ntr-un domeniu simplu onex un potential s alarV : ! IR, astfel n at : E = gradV:Integrand a easta relatie pe o urba C, are n epe din pun tul r si se termina n pun tulr0 se obtine: V (r) = V (r0) + ZC Edr0:129

Potentialul s alar este denit pana la o onstanta aditiva C, urmand a V 0(r) = V (r)+Csa determine a easi amp E a si potentialul s alar V (r). O metoda de a xa a easta onstanta este de a alege un pun t r0, numit originea potentialului pentru are potentialulse onsidera onventional nul. Potentialul unui pun t este de i tensiunea ele tri a ntrea el pun t si pun tul de referinta. Tensiunea ele tri a este diferenta de potential:U12 = V1 V2;urmand a pe o urba in hisa a easta diferenta sa e nula.Cele doua ampuri ve toriale pot eliminate din e uatii prin exprimare n fun tie depotentialul V , obtinandu-se n nal e uatia diferentiala neliniara de ordinul doi satisfa utade potentialul s alar: divD(gradV ) = :Da a mediul are ara teristi a de material ana: D(E) = "E+Pp potentialul satisfa ee uatia Poisson generalizata: div("gradV ) = + divPpDa a mediul este omogen, e uatia satisfa uta de potential este ea Poisson lasi a:V = "1( divPp):Se onstata a p = divPp are a eeasi unitate de masura u , motiv pentru areeste numita densitate de volum a sar inii de polarizatie, urmand a sar ina totala sa et = + p; iar n medii izotrope sa se satisfa a e uatia Poisson:V = t=":Sar ina de polarizatie este o sar ina tiva, dar are are a elasi efe t asupra potentialului a si sar ina reala. Un orp polarizat permanent genereaza ntr-un mediu liniar u per-meabilitate " a elasi potential V; de i impli it a elasi amp E a si unul ele trizat u p;n s himb indu tiile sunt diferite: D = "E n primul az si D = "E+Pp n al doilea az.Da a mediul este neele trizat si da a polarizatia permanenta este nula, atun i potentialulV satisfa e e uatia Lapla e generalizata:div("gradV ) = 0:In azul mediilor omogene, la are " nu depinde de pun t, potentialul V satisfa e e uatiaLapla e: V = 0:In azul regimului magneti stationar se utilizeaza potentialul magneti s alar Vm denitastfel n at: H = gradVm;130

Vm(r) = ZCHdr:Prin utilizarea potentialului s alar problema fundamentala a ele trostati ii are distributiade sar ina totala t : ! IR unos uta, iar a ne unos uta ' ampul s alar V : ! IR.Dupa determinarea potentialului s alar intensitatea ampului ele tri si indu tia sa sedetermina prin relatiile: E = gradV;D = D(E):In medii liniare si izotrope densitatea de energie a ampului ele trostati are expresia:we = Z s0 EdD = DE2 = "E22 = "2(gradV )2 > 0;iar dublul energiei ele trostati e din domeniul este:2W = Z "(gradV )2dv = ZDgradV dv = Z gradV dv Z V DndA; al ulata prin utilizarea relatiei:div(DV ) = V divD+DgradV = V DE:In azul parti ular n are m orpuri ondu toare sunt s ufundate ntr-un diele tri nee-le trizat, innit extins, rezulta:W = 12 ZIR3 V dv = 12 mXk=1 Vk Zk SdA = mXk=1 qkVk2 ;n are qk si Vk sunt sar ina si respe tiv potentialul ondu torului k.Utilizand superpozitia, rezulta a sar ina unui ondu tor este o ombinatie liniara apotentialelor tuturor ondu toarelor:qk = mXj=1CkjUkj ;unde Ukj = Vk Vj , iar apa itatile partiale Ckj = kj pentru k 6= j, expresii unos utesub numele de relatiile lui Maxwell pentru apa itati.De obi ei ondu torul referinta de potential pentru are V = 0 este eliminat dintre orpurile onsiderate, astfel n at din ele m + 1 orpuri, doar m pot avea potential otant.Folosind relatia ve torial-matri eala : q = [q1; q2; : : : ; qmT 2 IRn; V = [V1; V2; : : : ; VmT 2IRn; C = [Ckj 2 IRmm; A = [kj 2 IRmm; q = Av, rezultaW = 12qTV = 12V TATV =12V T q = 12V TAV:Matri ele A si C sunt simetri e si pozitiv denite deoare e W > 0, ori are ar potentialele nenule ale ondu toarelor. 131

Teorema 12.1.1 (Teorema de uni itate pentru potentialul ele trostati .)Se onsidera domeniul Rn, n are diele tri ul are o ara teristi a DE monotonadata (n parti ular, n azul mediilor u ara teristi a diele tri a ana, tensorul " estestri t pozitiv si unos ut n ori e pun t din , iar Pp : ! IRn este o fun tie data).Frontiera este partitionata disjun t n = SD SSN , n are SD = Snk=1 Sk, uS1 6= .Da a sunt date urmatoarele onditii de frontiera: V (r) = Ck + fk(r) pentru r 2 Sk u fk : Sk ! IR fun tii date, C1 = 0 siC2; C3; : : : ; Cm onstante reale ne unos ute; RSk D(gradV )dA = k, pentru k = 2; 3; : : : ;m, n are k sunt onstante realedate; nD(gradV ) = g(r) pentru r 2 SN u g : SN ! IR fun tie data (n parti ular seda Vn = "1g(r)),atun i solutia e uatiilor pentru potentialul ele trostati este uni a .Teorema este o onse inta dire ta a teoremei de uni itate pentru ampul ele trosta-ti , unoasterea potentialului ( hiar si pana la o onstanta aditiva) pe SD permite al- ulul omponentei tangentiale a intensitatii ampului ele tri , iar unoasterea dervateipotentialului dupa normala la suprafata permite n medii liniare si izotrope al ulul om-ponentei normale a indu tiei.Da a E si D sunt nule, atun i V este determinat pana la o onstanta arbitrara a areivaloare rezulta din faptul a pe SD 6= exista el putin un pun t n are potentialul este unos ut. Conditia de frontiera satisfa uta de potential pe S1 SD se numeste onditieDiri hlet iar ea referitoare la derivata dupa normala a potentialului, se numeste onditieNeumann. Problema determinarii potentialului n onditii Neumann (SD = ; = SN )nu are solutie uni a. In azul a m ondu toare s ufundate ntr-un diele tri , unoastereapotentialelor pentru unele ondu toare si a sar inilor elorlalte ondu toare, permite de-terminarea univo a a ampul ele trostati . Potentialul ele trostati este determinat uni-vo doar da a valoarea sa este data (prin onditie de frontiera de tip Diri hlet) el putinntr-un pun t.E uatiile satisfa ute de potentialul magneti s alar Vm si de el ele tro ineti s alar Vau pentru diferite ategorii de medii formele: general: divB(gradVm) = 0, divJ(gradV ) = 0; an: divB(gradVm) = divIp, divJ(gradVm) = divJi; liniar si omogen: Vm = 1m; Vm = 1j; fara surse div(gradVm) = 0 , div(gradV ) = 0; liniare omogene si fara surse: Vm = 0 , V = 0:132

Se onstata a efe tul magnetizatiei permanenteMp, ara terizata prin ve toul polarizatieimagneti e permanente Ip = 0Mp; poate simulata din pun tul de vedere al potentialuluis alar Vm = 0 si al ampului H (dar nu si din el al indu tiei B = H+ Ip) u prezentaunor sar ini de polarizatie magneti a e au densitatea m = divIp = 0divMp.Efe tul ampului ele tri imprimat Ei, ara terizat de densitatea de urent ele tri im-primat Ji = Ei poate simulat, din pun t de vedere al potentialului ele tro ineti Vntr-un mediu liniar (dar nu si din el al densitatii de urent J = (E + Ei) = E+ Ji, are este un amp solenoidal) u prezenta unor sar ini ele tri e tive, e au densitateaj = divJi = div(Ei). In onse inta, toate proprietatile observate n regim ele -trostati (in lusiv teorema de uni itate) se transpun usor in regimurile magnetostati siele tro ineti . Da a mediul este liniar si izotrop, n regim magnetostati energia magne-ti a este Wm satisfa e relatia:2Wm = Z!BHdv = Z! (gradVm)2dv = Z!BgradVmdv = Z! VmBndA > 0iar puterea transferata de amp orpurilor n regim ele tro ineti este:P = Z! JEdv = Z! (gradV )2dv = Z! JgradV dv = Z! V JndA > 0:Da a vom onsidera un element de ir uit magneti , respe tiv ele tri , um+1 bornen regim stationar, atun i energia magneti a este:Wm = 12 Z! BHdv = 12 Z! VmBndA = 12 nXk=1 Vmk ZSk BndA = nXk=1 'kVmk2 ;respe tiv puterea transferata pe la borne este:P = Z! JEdv = Z! V JndA = nXk=1Vk ZSk JndA = nXk=1 Vkik:Da a sensurile de referinta pentru 'k si ik vor s himbate spre interior pentru a na ord u sensul onventional pentru putere, atun i :Wm =X 'kVmk2iar P =XVkik:Campul magneti (respe tiv el ele tri ) se obtin n mod univo , da a pentru e areborna este unos ut potentialul magneti (respe tiv ele tri ) sau uxul magneti (respe -tiv urentul). Ori are dintre a este doua marimi poate onsiderata ex itatie (sursa a ampului) iar elelalte rezulta prin rezolvarea problemei fundamentale, a raspuns.Apli and teorema superpozitiei rezulta: n magnetostati a: 'k = Pmj=1kjVj ! Vmj = Pmk=1Rmjk'k;133

n ele tro ineti a: ik =Pmj=1 CkjVj ! Vj =Pmk=1Rjkik;sau u notatiile matri al - ve toriale:' = Vm; Vm = Rm' ! Wm = 12V TmVm = 12'TRm';i = GV; V = Ri ! P = V TGV = iTRi,n are '; i; V si Vm sunt ve torii ux, urent, potential si potential magneti iar este matri ea permeantelor magneti e, Rm este matri ea relu tantelor, G este matri ea ondu tantelor si R este matri ea rezistentelor. Cele patru matri e sunt simetri e sipozitiv denite, iar pentru determinarea valorilor elementelor lor este ne esara rezolvareaproblemei de amp si apoi apli area relatiilor liniare sau a elor energeti e patrati e.12.2 Potentialul s alar pe suprafete de dis ontinui-tatePrezenta suprafetelor de dis ontinuitate n domeniu de al ul ne esita o tratare spe ialaa e uatiilor ampului prin intermediul onditiilor de tre ere pe suprafetele de dis ontinu-itate.Pentru n eput sa presupunem a Sd reprezinta suprafata de separatie dintre doua medii u permitivitatile "1 si respe tiv "2 (g.a). Da a se noteaza uD1, E1 siD2, E2; indu tiilesi ampurile din ele doua medii (limitele indu tiei ampului n pun te e apartin elordoua medii dar are tind atre un pun t omun de pe suprafeta frontiera \de separatie"Sd), si u n12 normala la Sd orientata atre mediul 2, atun i formele lo ale ale legilorindu tiei si uxului ele tri sunt:rotE = 0 ! n12 (E2 E1) = 0 ! Et2 = Et1;divsD = s ! n12 (D2 D1) = 0 ! Dn2 Dn1 = s:Deoare e Dn = "En = "Vn , rezulta urmatoarele onditii de tre ere pentru potential:"1V1n "2V2n = s;V1 = V2; ontinuitatea potentialului ind data de ontinuitatea omponentei tangentiale a ampului, u onditia a el putin ntr-un pun t V2 sa e egal u V1. A est lu ru se ntampla lafrontiera suprafetei Sd sau hiar si ntr-un pun t intern, deoare e:V1V2 = lima!0 ZC Edr = lim0gDn" dr = lima!0(Dn" )medg = (Dn1+ s2 )1":????V ezimanus risulDa a unul din medii, de exemplu 2 este ondu tor omogen (g b), u E2 = 0; atun iEt = 0 iar onditiile pe frontiera domeniului izolant sunt:"Vr = s; V = t;134

u valoare nula a potentialului onstant, atun i and ondu torul este referinta potentialului.Da a pun tul de referinta al potentialului nu se a a pe a el ondu tor, atun i el are unpotential otant ne unos ut. Spre deosebire de orpurile izolante la are s este dat,n azul orpurilor ondu toare s si D2 sunt ne unos ute, sar ina, s redistribuindu-seastfel n at orpul ondu tor sa e e hipotential.Da a vom onsidera o folie ondu toare omogena de grosime g foarte mi a (g b), atun ipe ele doua fete ale foliei ondu toare se vor separa sar ini u densitatile:s1 = "1V1n ; s2 = "2V2n ;de i u valoarea totala s = s1 + s2, iar potentialul va onstant pe toata suprafatafoliei ondu toare: V1 = V2 = t:Da a folia ondu toare urmareste forma unei suprafete initial e hipotentiala, atun is1 = s2 si s = 0; iar liniile de amp nu sunt perturbate n urma metalizarii suprafeteirespe tive.Mai mult, ampul exterior nu se modi a da a se metalizeaza tot domeniul uprinsntre doua suprafete e hipotentiale sau tot domeniul din interiorul unei e hipotentiale.Trebuie remar at a dublul strat de sar ina are efe t nul atun i and grosimea g ! 0 sigs1 ! 0, prezenta lui are rolul de a anula ampul n spatiul de grosime g si de a asigurae hipotentialitatea ntre ele doua fete.Exista totusi situatii n are potentialele elor doua fete ale foliei ondu toare nu suntegale. De exemplu, n azul n are folia este sediul unor ampuri imprimate orientatenormal Ein, atun i saltul de potential este:V2 V1 = ZC Edr = Eing 6= 0:Prezenta ampului orientat tangential fa e a diferite pun te ale foliei ondu toare saaiba potentiale diferite (dar egale de-o parte si de alta a foliei):V (r) = V (r0) = Z r0r Eidr:De exemplu, doua folii sudate de-a lungul unei mu hii omune si realizate din ondu -toare diferite au de-a lungul \liniei" de sudura C un amp imprimat orientat tangentialla suprafata foliei dar normal pe urba C, are fa e a ele doua ondu toare sa aibapotentiale diferite, multimea pun telor de dis ontinuitate al atuind urba C 2 Sd. Celedoua extremitati ale urbei C da a a easta este des hisa sunt pun te de dis ontinuitatemajora ( ampul este nemarginit).O alta situatie extrema are lo atun i and ntr-un diele tri este s ufundata o folie saueste pra ti ata o sura anele tri a. In a est az n interiorul surii D = 0, de i da a eanu este ele trizata rezulta a pe ambele fete Dn = 0 si impli it:V1n = 0; V2n = 0:135

Da a sura este orientata de-a lungul unei suprafete de amp, atun i aparitia ei nu per-turba ampul anterior si V1 = V2. In az ontrar, da a sura apare de-a lungul uneisuprafet'e e hipotentiale, modi area spe trului este majora, deoare e noile linii de ampvor o oli sura, iar V1 6= V2. Campul din sura reste invers proportional u grosimeaa esteia. Pentru a modela o folie diele tri a, purtatoare a unei panze de ux, vom apli alegea uxului ele tri pe o suprafata ilindri a de naltime g ! 0, = RDdA = RD divDdv = RD div2Ddv+RD nDn dv = RS gdiv2DdA+RS n R g0 Dn dA =RS[div2DS + n(D2 D1)dA = RS SdA.Relatia este valabila pentru ori e baza S a ilindrului de i:div2DS + divSD = Ssi tinand ont de relatiile de materialDS = "SEt+Pps, D1 = "1E1+Pp1, D2 = "2E2+Pp2,n are E = gradV , rezulta urmatoarea expresie a onditiei de tre ere:div2("Sgrad2V ) + n12 ("2V2n "1V1n ) = S + div2Pps + divSPps;n are indi ele 2 de la operatorii diferentiali div si grad indi a derivarea spatiala doar nplanul tangential al suprafetei Sd.Potentialul este ontinuu V1 = V2, da a polerizatia permanenta a foliei este orientataex lusiv tangential.Da a folia este polarizata permanent, u orientare normala, astfel n at Ppsn = ngPp 6=0 , atun i sar inile de polarizatie vor reea un strat dublu u densitatile de sar ina:S1 = divSPp = Pnp; S2 = S1 = Pnp; are vor genera ntre ele un amp u:Dn = S = "En;V2 V1 = Eng = S2g" = Pps" :In onse inta, saltul potentialului prin folie are valoarea:V2 V1 = Ppsn" :Da a n relatiile (...) si (....) se onsidera S si "!1, atun i se obtin relatiile de tre erespe i e foliei ondu toare:V1 = V2 si V = t (gradV = 0).Da a n s himb se presupune "! 0 din (..) se obtin relatiile de tre ere pe suprafetelededis ontinuitate e nu sunt panze de ux ( asi um "S = g" ! 0, se datoreaza limiteig ! 0 si nu "! 0).Da a se doreste modelarea unui r diele tri e urmareste urba C si este purtatorde ux, atun i legea uxului ele tri pe un ilindru e n onjoara un segment de r delungime l! 0 si are raza r ! 0 , rezulta: 136

= RDdA = RD divDdv = RD Dl tdv + RD div2Ddv = R l0ADl dr + RSl DdA =R l0 ldr; l + divlD = l;n are divergenta linei a are expresia:divlD = ZSl DdA:Tinand ont de relatiile de material din r: = "lEt + Ppl = "lVl + Pplsi din mediul diele tri n onjurator:D = "E = "gradV;rezulta relatia satisfa uta de potentialul pe r si n ve inatatea sa:l("lVl ) + ZSl "grad2V dA = l + Ppll ;n are s-a notat u "l = A", Ppl = PptA, iar grad2 reprezinta derivata spatiala n plannormal la r.Da a "l = 0 si l 6= 0 sau Ppl 6= t , atun i pe urba C atat ampul at si potentialul suntnemarginite. In s himb, da a rul este neele trizat si nepolarizat, dar poate transporta ux nenul el are potentialul marginit, astfel n at:l(("lVl ) + divl("gradV ) = 0:Pentru modelarea relor polarizate transversal u momentul dipolar linei :Pl = ZS PndAunde S este suprafata transversala a rului, se poate apli a modelul oulombian al sar i-nilor de polarizatie distribuite linei , sar ini avand densitatea linei a l si l, plasate ladistanta d! 0; astfel n at limd!0 ld = pl .Curba C este o urba de dis ontinuitate esentiala, pe are atat potentialul at si ampulsunt nemarginite. Energia ampului ele trostati W , ntr-un domeniu liniar u suprafetede dis ontinuitate Sd este :2W = ZSSdSCd DEdv = ZDEdv + ZSd DSEdA = Z V dv Z V DndA++ ZSd SV dA ZSd V DSndl;deoare e :ZSd DSEdA = ZSd DSgrad2V dA = ZSd V div2DSdA = ZSd V DSndl = ZSd SV dA ZSd V (Dn2 Dn1)dA ZSd V DSndl;urmand a integrala pe Sd din V Dn2 si V Dn1 sa se redu a u termenii orespunzatori dinintegrala produsului V Dn pe .A easta expresie a integralei de energie pune n evidenta sursele interne ale ampuluisi anume: 137

densitatea de volum a sar inii ; densitatea super iala de sar ina S ; densitatea linei a de sar ina l; sar inile orpurilor pun tiforme qkdar si onditiile de frontiera are asigura uni itatea potentialului; valoarea potentialului V sau a indu tiei normale Dn pe Sd; valoarea potentialului sau a uxului inje tat n Cd; potentialul orpurilor pun tiforme Vk, u onditia a potentialul sa e unos ut elputin ntr-un pun t.Pentru a potentialul orpurilor pun tiforme si al relor ele trizate sa e marginit (saaiba sens lasi ) a estea sunt onsiderate suprafete sferi e respe tiv ilindri e de razefoarte mi i (neglijabile dar nenule).Folosind similitudinea ntre ampurile ele trostati e si ele magneti e, respe tiv ele -tro ineti , rezultatele obtinute se transpun usor n elelalte doua regimuri.12.3 Potentialul ve tor al ampurilor stati e si stationaresolenoidaleE uatiile regimurilor magnetostati , ele tro ineti si magneti stationar sunt similare:8><>: divB = 0;rotH = 0;B = B(H); 8><>: divJ = 0;rotE = 0;J = J(E); 8><>: divB = 0;rotH = J;B = B(H);avand indu tia B si respe tiv densitatea de urent J solenoidale.Se onstata a B este similar lui J si E este similar lui H, u observatia a rotorulintensitatii ampului este nenul doar n regim magneti (J 6= 0).Din a est motiv vom analiza doar a est ultim regim, e uatiile elorlalte doua regimuriobtinandu-se prin parti ularizari.Indu tia magneti a B : ! IRn ind solenoidala, admite a potential ve tor: A : !IRm; n are:n = 3; m = 3 - n probleme bidimensionale;n = 2; m = 1 - n probleme bidimensionale (2D) u urent longitudinal (1D);n = 1; m = 2 - n probleme bidimensionale (2D) u amp magneti longitudinal (1D);n = 1; m = 1 - n probleme unidimensionale (1D).Trebuie remar at a A are a easi dimensiune ve toriala u J.138

Folosind potentialul ve tor, uxul magneti e strabate o suprafata se exprima a umprin integrare pe urba frontiera a suprafetei si nu prin integrala dubla:' = ZS BdA = ZS rotAds = ZS Adr:Potentialul magneti ve tor este denit pana la gradientul unei fun tii s adere arbitrare:A0 = A(r) + graddeterminand a eiasi indu tie a si A(r) deoare e rot(grad) = 0 pentru ori e . Ometoda de a xa fun tia este de a impune divergentei potentialului ve tor o valoare onventionala (printr-o relatie de etalonare), de exemplu :divA = 0; unos uta sub numele de onditie de etalonare Coulomb.In a est az, potentialul magneti ve tor este determinat pana la gradientul unei fun tiiarmoni e. A easta fun tie este univo determinata n , da a se impun onditiile defrontiera, de exemplu de tip Neumann, eea e este e hivalent u a impune omponentanormala An = nA a potentialului magneti ve tor pe . Conditia de tip Diri hlet estee hivalenta u a impune omponenta tangentiala At = n (A n) pe .Exprimand n e uatiile regimului B si H n fun tie de A se obtine e uatia diferentialade ordinul doi satisfa uta de potentialul magneti ve tor:rotH(rotA) = J;n are H : IRn ! IRn este inversa fun tiei: B = H1.In azul ara teristi ii de magnetizare de forma: B = H+ Ip u Ip = 0Mp; rezulta a atat B at si H sunt ane: H = (B Ip) = B+Mp;n are = 1; Hp = Ip = 01Hp: In a est az e uatia potentialului magneti ve tor este: rot(rotA) = J rotHpn are Jm = rotHp = 0rot(1Mp) este densitatea urentului e hivalent de mag-netizare. A esta este un urent virtual, dar are produ e a elasi efe t magneti a si el de ondu tie, astfel n at urentul total Jt = J + Jm se poate onsidera a sursa apotentialului ve tor.Da a mediul este omogen, atun i rot(rotA) = rotrotA = (graddivA A) =A, de i A = Jt;potentialul ve tor satisfa and e uatia Poisson ve toriala.In regim magnetostati si da a mediile nu sunt polarizate permanent, nu exista surseinterne de amp, iar potentialul satisfa e e uatia Lapla e ve toriala generalizata:rot(rotA) = 0;139

sau n azul mediilor omogene e uatia Lapla e:A = 0:In azul regimului ele tro ineti stationar, potentialul ve tor al densitatii de urent senoteaza de obi ei u T si J = rotT;i = ZS JdA = ZS Tdr;urmand a e uatiile sa aiba, n fun tie de tipul ondu torului una din urmatoarele forme: medii neliniare rotE(rotT ) = 0 mediu MANUSCRIS12.4 Potentialul ve tor pe suprafata de dis ontinui-tateSa onsideram suprafata de dis ontinuitate Sd, frontiera omuna a doua medii notate u1 si 2 si avand permeabilitatile magneti e 1 si respe tiv 2.Se va presupune a Sd nu este ni i panza de ux magneti ni i de urent, n sensul apentru ni i o suprafata S de arie A si diametru d are tinde atre o urba C Sd; limita:JS = limA!0 id = 0;n are i este urentul e strabate suprafata S.Da a se noteaza uB1,H1 siA1, respe tivB2,H2 siA2 indu tia, intensitatea ampuluisi potentialul ve tor n regim stationar, din ele doua medii (mai exa t limitele a estormarimi n pun te are apartin elor doua medii atre un pun t omun de pe suprafataSd), atun i formele lo ale ale legilor uxului magneti si ir uitului magneti sunt: divSB = 0 ! n12 (B2 B1) = 0 ! Bn1 = Bn2; rotSH = 0 ! n12 (H2 H1) = 0 ! Ht1 = Ht2:Deoare eB = nBn +Bt = n(rotAt) + (rotAt) = nrotAt + (rotAt;MANUSCRISsi H = B = rotA = nrotAt + (rotA)t u = 1=, rezulta: At1 = At2; 1(rotA1)t = 2(rotA2)t u observatia a da a At1 nu este egal u At2, atun i suprafata Sd este purtatoare de uxmagneti si a a doua onditie de tre ere este ndeplinita da a 1An1 = 2An2.140

Da a unul din medii, de exemplu 2 este feromagneti ideal, atun i 2 !1 si V2 = 0,de i: n (rotA n) = (rotA)t = 0:Alegand pentru etalonare An = 0 pe frontiera feromagneti a rezulta a si derivata dupanormala a omponentei tangentiale a potentialului ve tor este nula. In onse inta, suprafataunui mediu feromagneti se anuleaza nu numai Ht i si An = 0, Atn = 0.Da a n s himb unul din medii, de exemplu 2 este amagneti , atun i 2 ! 0 si 2 !1,de i B2 = 2H2 = 0 si rotA2 = 0.Componenta normala a indu tiei Bn = nrotAt = 0 si uxul pe ori e suprafata S Sd:' = ZS B dA = ZSAtdr = 0:A easta onditie este ndeplinita da a At este irotational, de exemplu onstant sau nul.

141