II.3.IV.2. DREAPTA CONCURENTA CU PLAN

II.3.IV. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE UN PLAN

95

II.3.IV.2. DREAPTA CONCURENTA CU PLAN

II.3.IV.2.1. INTERSECTIA UNEI DREPTE OARECARE CU UN PLAN

OARECARE

D ∩ [P], D = oarecare şi [P] = oarecare

x

[H]

[V]

z

y

[W]

OI [P]

D

Fig.210

REZOLVARE

ETAPA I [Q] ⊃ D unde [Q] = plan proiectant pentru D

(vezi….)

1. [Q] ⊥ [H] ⇒ [Q] ≡ [P4] = vertical

2. [Q] ⊥ [V] ⇒ [Q] ≡ [P5] = de capăt

3. [Q] ⊥ [W]⇒ [Q] ≡ [P6] = fronto-orizontal.

(vezi II.3.II Plane particulare şi

II.3.II.3. Drepte în plane particulare)

ETAPA II [Q] ∩ [P] = E ⇒⇒⇒⇒ E ∈ [P]

ETAPA III E ∩ D = I ⇒⇒⇒⇒ I ∈ E ∈ [P]

I ∈ D

⇓

I = D ∩ [P] OBSERVAŢIE:

Rezolavrea este valabilă pentru orice traseu al dreptei D . Pentru claritatea

imaginilor s-a expus subiectul pentru D în triedrul 1, între H şi V.

Dacă D se află în triedrul 1 între H şi V, există două variante ale

traseului, în funcţie de coordonata “a” (abscisa) a punctelor H şi V.


96

VARIANTA A

y

V=v'

x

d'

h'

H=h

D

v

d

O

h"

d''

v"

z

Fig.211

h"

d

h

y

x h'

d'

v

v'v"

O

z

d"

d

h

y

xy h'

d'

v'

Ov

z

Fig.212a Fig.212b

Proiecţie ortogonală

VARIANTA B

y

d'

h'

xv

V=v'

d''

H=h

d

D O

h"

v"

z

Fig213

vd

h

y

v'

x

d'

h'

v"

O

z

d"

vd

h

y

yh" x

v'

d'

h'

z

O

Fig.214a Fig.214b



97

VARIANTA A

PLANELE PROIECTANTE ALE DREPTEI D = VH

+yx

-y

+z

V=v'

v

v"

h'h"

d

d'

d"

H=h

[Q]

wQ

vQ

hQ ,

D

[V]

[H]

[W]

O

Fig.215

A1.

[Q] = planul proiectant al dreptei D

faţă de [H]

[Q] = [P4]

(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de

proiecţie)

+y

-z[V]

x

[H]

-y

+z

[W]

V=v'

v

v"

h'h"

d

d'd"

H=h

[Q]

h

v

w

DO

Q

Q ,

Q

Fig.216

A2.


faţă de [V]

[Q] = [P5]


proiecţie)

+y

-z

[V]

x

[H]

-y

+z

[W]

V=v'

v

v"

h' h"

d

d'd"

H=h

vQ

hQ

wQ ,

[Q]

DO

Fig.217

A3.


faţă de [W]

[Q] = [P6]


proiecţie)


98

A1. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [H]

[Q] = [P4]

(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe planele de proiecţie)

ETAPA I

[Q] = planul proiectant al dreptei D , unde D = VH

[Q] ⊃ D

+yx

-y

+z

V=v'

v

v"

h'h"

d

d'

d"

H=h

[Q]

wQ

vQ

hQ ,

D[W]

[H]

[V]

O

Fig.218

x

y

y

z

d' d"

d

h

h' h"

v

v'v"

vQ

hQ =

wQ

x,Q

Q

x

y

z

v

v'

x,Q

vQ

d'

h

h'

dhQ =

y

O O

Fig.219a Fig.219b



99

ETAPA II

[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV

+y

x

-y

O

+z

V=v'v"

h'h"

e

e'

e"

H= h

[Q]wQ

vQhQ

vP

hP

wP

[P]

E

1 1

11

1 11

v1

Fig.220

x

y

O y

z

e' e"

=e

vQ

hQ

wQ

xQ

yQ

1v=

1v'

1v"

1h

1h' 1h"

vP

hP

wP

x

y

O

z

e'

xQ1

v=

1v'

1h

1h'

vQ

vP

hP =ehQ

Fig.221a Fig.221b



100

ETAPA III

D ∩ E = I

x

z

y

O

D

d'd''

d=e

H=h

h'

v=v

h"

V=v'

v"

1h'1h"

1

1v"

H

V

=h1 1

=v'1 1

E

e'

e''

I

i

i'

i"

Fig222

x

y

O y

z

d' d"

h

h'

h"

v=v

v' v"

1v"1v'

1h'1h"

1h

1

d=e

e' e''

x

y

O

z

d'

h

h' v=v

v'

1v'

1h'

1h

1

d=e

e'

i'i' i"

i i

Fig.223a Fig.223b



101

ETAPELE I + II + III

D ∩ [P] = I

x

+z

+y

wQ

vQ

hQ

vh

w

i

i'

i"

H=h

h'

h"

H=h1 1

1h'

1h"

V =v'

V=v'1 1

v"

1v"

v=v1

[H]

[V]

[W]

D

E

[P][Q]

O

I

P

PP

=d=e

e'

d'

e"

d"

Fig.224 = Fig.218+ Fig.220 + Fig.222

wQ

x

y

O y

z

d' d"

h

h'h"

v=v

v' v"1v"

1v'

1h'1h"

i' i"

i

1h

1

d=e=

e' e'' wP

x

y

z

d'

h

h' v=v

v'

1v'

1h'

i'

i

1h

1

d=e=

e'

vQ

hP

vP

hQ

vQ

hP

vP

hQ

O

Fig.225a Fig.225 = Fig.219 + Fig.221 + Fig.223 Fig.225b



102

A2. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [V]

[Q] = [P5]


ETAPA I


[Q] ⊃ D

[H]

[V]

[W]

d

d"

=d'vQ

hQ

wQ

H=h

V=v'

h'

h"

v

v"

O

D

[Q]

+y

+z

x

Fig.226

O

d"

d

h

h' h"

v

v'v"

=d'vQ

hQ

wQ

Oh'

d

h

v

v'

=d'vQ

hQ

z

y

x

z

y

y

x

Fig.227a Fig227b

Proiecţia ortogonală


103

ETAPA II

[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV

+z

+y

[H]

[V]

[W]

e

e"

hQ

wQ

O

E

H=h1 1

1h'

1h"

V =v'1 1

1v

1v"

hPvP

wP

Q ,ve'

x

[Q]

[P]

Fig.228

x

y

O y

z

h

vP

1h

1h'1h"

1v

1v'

1v"

e

=e'vQ

e"wP

h

wQ

x

y

O

z

1h

1h'

1v

1v'

e

=e'

hP

vP

vQ

hQ

P

Q

Fig.229a Fig.229b



104

ETAPA III

D ∩ E = I

x

z

y

O

D

E

e

d

d'=e'

e"

d"

H =h

H =h1 1

V =v'

V =v'1 1

h"

1h"v

1v

v"

1v"

h'=h'1

I

i

i'

i"

Fig.230

x

y

y

z

d"

e''

h

h'=h'1h"1h"

1h

v 1v

v'

1v' 1v"

v"

x

y

z

h

h'=h'1

1h

v 1v

v'

1v'

d'=e'

d

e

d'=e'

d

e i

i'

i

i' i"

OO

Fig.231a Fig.231b



105


D ∩ [P] = I

x

+z

+y

[H]

[V]

[W]

hQ

wQ

O

[Q]

[P]E

H =h1 1

1h"

V =v'1 1

1v

1v"

hP

vP

wP

H=h

h"

h'=h'1

D

d

V=v'

v

v"

d"

I

i

i'

i"e"

Qv=d'=e'e

Fig.232 = Fig.226 + Fig.228 + Fig.230

x

y

O y

z

hP

vP

1

h"1v

1

1v"

d

e" wP

hQ

wQ

d"

h

h"

i

i' i"

v

v' v"

e

1

=d'=e'vQx

y

O

z

1

v

1

h

i

i'

v

v'

1

=d'=e'

hP

vP

hQ

vQ

d

e

h'=h'

h

v'

1

h'=h'

v'

1

h

Fig.233a Fig.233 = Fig.227 + Fig.229 + Fig231 Fig.233b



106

A3. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [W]

[Q] = [P6]


ETAPA I


[Q] ⊃ D

[H]

[V]

[W]

OvQ

hQ

=d"wQ

[Q] Dd

d'

H=h

h'

h"

V=v'

v

v"

x

+z

+y

Fig.234

x

y

y

z

x

y

z

Q

O O

=d"

d

d'

h' v

v'v"

h'

v'vQ

Qh

h

v

h"

Qw

v

hQ

h

d'

d

Fig235a Fig.235b



107

ETAPA II

[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV

x

+z

+y

[H]

[V]

[W]

O

vQ

hQ

wQ

hP

vP

wP

[P]

[Q]

Ee

e'1h"

H=h1 1

1h'

1v"

V=v'1 1

1v

=e"

Fig.236

x

y

y x

y

O

z

e

e'

1

1

Q

Q

z

h'

v v'

v1

1h

Ph

Pv

h

P

Q

Q

1

1

1

1

1

h

v

w

h

w=e"

e

e'

h"

v"

h

v'

v

P

Q

O

v

P

1h'

Fig.237a Fig.237b



108

ETAPA III

D ∩ E = I

x

+z

+y

O

d"=e"

D

E

d

ed'

e'

I

i

i"

H =h

h'

1h"=h"

H =h1 1

1h'

V =v'

v

1v"=v"

V =v'1 1

1v

i'

Fig.238

x

y

y

z

d"=e"

1h"=h"

1v"=v"

e

e'

h 1h

h' 1h'v1v

1v' v'

x

y

z

d

e

d' e'

h 1h

h' 1h'v1v

1v' v'

d

d'OO

i'i' i"

ii

Fig.239a Fig.239b



109


D ∩ [P] = I

x

+z

+y

[H]

[V]

[W]

O

vQ

hQ

hP

vP wP[P]

[Q]

D

E

d

ed'

e'

I

i

i'

i"

H=h

h'

1h"=h"

H=h1 1

1h'

V=v'

v

1v"=v"

V=v'1 1

1v

=d"=e"Qw

Fig.240 = Fig.234 + Fig.236 + Fig.238

x

y

O y

hP

vP

wP

hQ

vQ=d"=e"wQ

1h"=h"

1v"=v"

d e

d'e'

h 1h

h' 1h'v1v

1v' v'

i

i'i"

x

y

O

d

e

d' e'

h 1h

h' 1h'v1v

1v' v'

i

i'

hP

vP

hQ

vQ




110

VARIANTA B

PLANELE PROIECTANTE ALE DREPTEI D = VH

=h

d"

[Q]

[V]

-z

x

-y

=d

[H]

hQ

v h'

H

=v'V

vQd'

DO

v"

[W]

+z

h"

+y

wQ

Fig.242

B1.

[Q] = planul proiectant al

dreptei D faţă de [H]

[Q] = [P4]

(vezi II.3.II.2 Plane ⊥ pe

planele de proiecţie)

+y

-z

x

O

+z

wQ

=d'vQ

=h

h"

h'

=v'

v"

vD

d

d"

hQ

[Q]

[W]

[H]

[V]

-y

H

V

Fig.243

B2.


dreptei D faţă de [V]

[Q] = [P5]



V

x

-y

[H]

[V]

-z

[Q]

=d"

hQ

d'v

d

h'

=hH

O h"

Q

=v'

D

v

Qw

v"

+y

[W]

+z

Fig.244

B3.


dreptei D faţă de [W]

[Q] = [P6]




111

B1. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [H]

[Q] = [P4]


ETAPA I

[Q] = planul proiectant al lui D , unde D = VH

[Q] ⊃ D

x

+z

+y

O

vQ

wQ

[Q]

D

d'

H=h

h'

h"

V=v'

v

v"

[V]

[W]

[H]

d"

d=Qh

Fig.245

x

y

O y

z

vQwQ

hQ

v' v"

h

h'

v

h"

x

y

O

z

vQ

hQ

v'

h

h'

v

d" d'

d=

d'

d=

Fig.246a Fig.246b



112

ETAPA II

[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV

x

+z

+y

O

vP

wP

[P]

hP

vQwQ

[Q]

hQ

Ee'

H=h1 1

1h'1h"

V=v'1 1

1v

1v"

[H]

[V]

[W]

e"

e=

Fig247

x

y

O

y

hP

vP

wPvQ wQ

hQ

1v' 1v"

1h

1h'1v

1h"

x

y

O

hP

vP

vQ

hQ

1v'

1h

1h'1v

e' e" e'

e=e=

Fig.248a Fig.248b



113

ETAPA III

D ∩ E = I

x

+z

+y

D

Ee'

d"

e"

I

i

i'

i"

H =h

H =h1 1h'

1h'

h" 1h"

V =v'

V =v'1 1

1v=v

v"

1v"

d'

d= e

O

Fig.249

x

y

y

z

d'

e'

d"

e"

v'

1v'

v"

1v"

h

1h

1h'h'1v=v

1h"h"

x

y

z

d'

e'

v'

1v'

h

1h

1h'h'1v=v

d=ed=e

i"i'

i

i'

i

O O

Fig.250a Fig.250b



114


D ∩ [P] = I

x

+z

+y

O

vP

wP

[P] hP

vQ

wQ

[Q]

hQ=

D

Ed'

e'

d"

e"

I

i

i'

i"

H=hH=h

1 1h'

1h'h" 1h"

V=v'

V=v'1 1

1v=v

v"

1v"

[H]

[W]

[V]

d=e

Fig.251 = Fig245 + Fig.247 + Fig.249

x

y

y

z

x

y

z

i'1v'

1h

1

vQv'

vP

v=v

Ph

d=

i

h' h'1

e=Qh

h

e'

P

d'

e'

e"

d'

i"i'1 1

1

1

1

wv w

OO

v'

v'

v"

v"

h

h"h"

QQ

Pv

v=v

d"

Ph ih

hQe=d=

1h'h'




115

B2. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [V]

[Q] = [P5]


ETAPA I


[Q] ⊃ D

x

+z

+y

h

dH

h'

h"

V=v'

v

v"

-z

[H]

[W]

[V]

D

[Q]

O

d"

=hQ

Qw

Qv =d'

Fig.251

x

y

O y

z

=d'vQ

h'

hQ

wQh

v' v"

d

d"

x

y

O

z

=d'

h'

h

d

vQ

hQ

v'

vh"v

Fig.252a Fig.252b



116

ETAPA II

[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV

x

+z

+y

O

vP

wP

hP

hQ

vQ

wQ

H =h1 1

1h'

1h"V=v'

1 1

1v

1v"

-z

[H]

[W]

[V]

[Q]

[P]

=e'

e

e"

E

Fig.253

x

y

O y

z

hP

vP

wP

=e'v

1h'

h

wQ

1h

1h"1v

1v' 1v"

e

e"

x

y

O

z

1h'

1h

1v

1v'

ehP

vP =e'vQ

hQ

Q

Q

Fig.254a Fig.254b



117

ETAPA III

D ∩ E = I

x

+z

+y

O

d'=e'

E

D

de

d"

e"

H =h

=h1 1

h'=h'

h"

1h"

V =v'

=v'1 1

v

1v

v"

1v"

I

i"

i

i'

H

V

1

Fig.255

x

y

y

z

d'=e'

1h

h

h" 1h"v 1v

v'

1v'

v"

1v"

d

e

d"

e"

x

y

z

d'=e'

1h

h

v 1v

v'

1v'

d

e

i'i"i'

i

h'=h'1 OO

i

h'=h'1

Fig.256a Fig.256b



118


D ∩ [P] = I

x

+z

+y

O

vP

wP[P]

hP

hQ

Q

E

D

wQ

[Q]

d

e

d"

e"

I

i

i'

i"

H=h H =h1 1

1h' =h'

h"1h"

V=v'

V=v'1

v

1v

v"

1v"

1

[H]

[W]

[V]

-z

=d'=

e'

v

Fig.257 = Fig.251 + Fig.253 + Fig.255

x

y

O y

z

hP

vP

wP

=d'=e'vQ

1h'=h'

hQ

wQ

i"i'

i

1h

h

h" 1h"

v'

1v'

v"

1v"

d

e

d"

e"x

y

O

z

1h'=h'

i'

i

1h

h

v'

1v'

d

ehP

vP

=d'=e'vQ

hQ

v v1 v v1




119

B3. [Q] = planul proiectant al dreptei D faţă de [W]

[Q] = [P6]


ETAPA I


[Q] ⊃ D

x

+z

+y

[H]

[V]

[W]

OvQ

hQ

=d"wQ[Q]

D

d

d'

H=h

h'

h"

V=v'

v

v"

Fig.259

x

y

O y

z

x

y

O

z

Q

d'

h

h' v

v'Qv

=d"w

h"v

v' v"

d'

h'

Q

Qv

h

h

Q

d d

h

Fig.260a Fig.260b



120

ETAPA II

[Q] ∩ [P] = E , unde E = 11HV

x

+z

+y

[H]

[V]

[W]

O

vQ

hQ

=e"w

Q

hP

vP

wP

[P][Q]E

e

e' 1h"H =h1 1

1h'

1v"

V =v'1 1

1v

Fig.261

x

y

O y

z

hP

vP

wP

hQ

vQ

=e"wQ

1h"

1v"

e

e'

1h

1h'1v

1v'

x

y

O

z

e

e'

1

1h'1v

1v'

hP

vP

hQ

vQ

h

Fig.262a Fig.262b



121

ETAPA III

D ∩ E = I

x

+z

+y

d"=e"

D

E

ed'

e'

H =h

h'

1h"=h"

H =h1 1

1h'

V =v'

v

1v"=v"

V =v'1 1

1v

i"

I

i'

d

i

O

Fig.263

x

y

O y

z

d"=e"

1h"=h"

1v"=v"

e

e'

h 1h

h' 1h'v1v

1v' v'

i

i'i"

x

y

O

z

d

e

d' e'

h 1h

h' 1h'v1v

1v' v'

i

i'

d

d'

Fig.264a Fig.264b



122


D ∩ [P] = I

x

+z

+y

[H]

[V]

[W]

OvQ

hQ

hP

vP

wP

[P][Q]

D

EI

i

i'

i"

H=h

h'

1h"=h"

H=h1

1

1h'

V=v'

v

1v"=v"

V=v'1 1

1v

=d"=e"

d

ed'

e'

Qw

Fig.265 = Fig.259 + Fig.261 + Fig.263

x

y

O y

z

hP

vP

wP

hQ

vQ=d"=e"

wQ

1h"=h"

1v"=v"

d

e

d'e'

h 1h

h' 1h'v1v

1v' v'

i

i'i"

x

y

O

z

d

e

d' e'

h 1h

h' 1h'v

1v

1v' v'

i

i'

hP

vP

hQ

vQ



II.3.IV.2. DREAPTA CONCURENTA CU PLAN

Documents

Transcript of II.3.IV.2. DREAPTA CONCURENTA CU PLAN