Geometrie analitic a «©si diferent«©ial a 2014-06-20¢  Geometrie...

download Geometrie analitic a «©si diferent«©ial a 2014-06-20¢  Geometrie analitic a «©si diferent«©ial a asist

of 77

  • date post

    26-Dec-2019
  • Category

    Documents

  • view

    21
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Geometrie analitic a «©si diferent«©ial a 2014-06-20¢  Geometrie...

  • Geometrie analitică şi diferenţială

    asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică ”Gh. Asachi” Iaşi

    Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului

    2014

  • Cuprins

    1 Conice 3 1.1 Dreapta ı̂n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Conice pe ecuaţii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3 Schimbări de repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Rotaţia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Translaţia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4 Reducerea conicelor la forma canonică . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Invarianţii unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Forma canonică a conicelor cu centru . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Forma canonică a conicelor fără centru . . . . . . . . . 17

    1.5 Exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2 Cuadrice 26 2.1 Cuadrice pe ecuaţii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.1.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Hiperboloidul cu o pânză . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.4 Hiperboloidul cu două pânze . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.5 Conul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.6 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.7 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.8 Cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.9 Generatoare rectilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.2 Reducerea cuadricelor la forma canonică . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.3 Generări de suprafeţe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Suprafeţe cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    1

  • 2.3.2 Suprafeţe conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.3 Suprafeţe de rotaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.4 Exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3 Geometria diferenţială a curbelor şi suprafeţelor 50 3.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.2 Tangenta şi normala la o curbă plană . . . . . . . . . . 52 3.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane . . . . . . . . . . 54 3.1.4 Curbura unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.5 Înfăşurătoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . 57

    3.2 Curbe ı̂n spaţiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Reprezentări analitice. Puncte ordinare . . . . . . . . . 59 3.2.2 Triedrul Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.3 Elementul de arc. Curbură şi torsiune . . . . . . . . . . 63

    3.3 Suprafeţe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.1 Generalităţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.2 Plan tangent şi normală la o suprafaţă . . . . . . . . . 67 3.3.3 Prima formă fundamentală a unei suprafeţe . . . . . . 69

    3.4 Exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    2

  • Capitolul 1

    Conice

    1.1 Dreapta ı̂n plan

    Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper cartezian ortogonal ı̂n plan. Ecuaţia canonică a dreptei determinată de punctul M0(x0, y0) şi de vectorul director Ð→v = l Ð→ i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este

    x − x0 l

    = y − y0 m

    sau echivalent mx − ly −mx0 + ly0 = 0

    Notând a =m, b = −l şi c = −mx0 + ly0, obţinem ecuaţia

    ax + by + c = 0

    cu a2+b2 > 0, ecuaţie care se numeşte ecuaţia generală a dreptei ı̂n plan. Dacă egalăm rapoartele din ecuaţia dreptei cu λ:

    x − x0 l

    = y − y0 m

    = λ

    se obţin ecuaţiile parametrice ale dreptei:

    ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

    x = x0 + λl y = y0 + λm

    De asemenea ecuaţia canonică a dreptei determinată de două puncte M1(x1, y1) şi M2(x2, y2) este:

    x − x1 x2 − x1

    = y − y1 y2 − y1

    3

  • ecuaţie care se poate rescrie

    RRRRRRRRRRRRRR

    x y 1 x1 y1 1 x2 y2 1

    RRRRRRRRRRRRRR = 0

    Cazuri particulare

    Ecuaţia axei Ox: y = 0

    Ecuaţia unei drepte paralele cu Ox: y = y0

    Ecuaţia axei Oy: x = 0

    Ecuaţia unei drepte paralele cu Oy: x = x0

    Ecuaţia primei bisectoare: y = x

    Ecuaţia celei de-a doua bisectoare: y = −x

    Ecuaţia dreptei prin tăieturi: Fie o dreaptă care nu trece prin origine şi nu este paralelă cu axele de coordonate şi fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersecţie ale dreptei cu axele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obţinem:

    x − a 0 − a

    = y − 0 b − 0

    ⇔ bx + ay − ab = 0⇔ x a + y b − 1 = 0.

    Fie o dreaptă d de ecuaţie

    ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0

    Atunci şi λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuaţie a dreptei d, deci o dreaptă are o infinitate de ecuaţii. Două ecuaţii reprezintă aceeaşi dreaptă dacă şi numai dacă au coeficienţii proporţionali.

    Dacă dreapta d nu este paralelă cu Oy (deci b ≠ 0), ecuaţia dreptei se poate rescrie:

    y = −a b x − c

    b

    Notănd m = −a b , n = −c

    b obţinem

    y =mx + n

    care se numeşte ecuaţia explicită a dreptei d. Coeficientul m se numeşte panta dreptei, iar n este ordonata intersecţiei dreptei cu axa Oy.

    4

  • Fie A(xA, yA) şi B(xB, yB) două puncte distincte pe dreapta d. Dreapta nefiind paralelă cu Oy, avem că xA ≠ xB. Punând condiţia ca cele două puncte să verifice ecuaţia dreptei obţinem

    yA =mxA + n şi yB =mxB + n.

    Scăzând cele două ecuaţii obţinem

    yB − yA =m(xB − xA)⇒m = yB − yA xB − xA

    = tg θ

    unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitivă a axei Ox şi semidreapta de pe dreapta d situată deasupra axei Ox. Avem:

    m > 0⇔ θ unghi ascuţit

    m < 0⇔ θ unghi obtuz

    m = 0⇔ dreapta este paralelă cu Ox Observaţii

    1. Dreapta d care are ecuaţia explicită y = mx + n trece prin punctele de coordonate (0, n) şi (1,m + n), deci ecuaţia canonică a dreptei este x

    1 = y − n

    m , aşadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j

    2. O dreaptă este unic determinată de un punct M0(x0, y0) şi de panta m. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreaptă avem

    m = y − y0 x − x0

    ⇔ y − y0 =m(x − x0)

    3. Două drepte d1 şi d2 neparalele cu Oy având pantele m1 şi m2 sunt paralele dacă şi numai dacă m1 =m2.

    4. Două drepte d1 şi d2 neparalele cu Oy având pantele m1 şi m2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă m1 ⋅m2 = −1.

    1.2 Conice pe ecuaţii reduse

    Definiţia 1.1. Se numeşte conică o curbă plană definită ı̂n reperul cartezian

    ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al doilea de forma

    a11x 2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

    unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a212 + a222 > 0 (adică cel puţin unul dintre coeficienţii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo- natele euclidiene ı̂n reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.

    5

  • Conicele se mai numesc şi curbe de gradul al doilea. Exemple de conice: cercul, elipsa, hiperbola, parabola.

    1.2.1 Cercul

    Definiţia 1.2. Fie un punct fixat C(a, b) şi r > 0 un număr real fixat. Se numeşte cerc de centru C şi rază r este locul geometric al punctelor M(x, y) care satisfac egalitatea

    ∥ ÐÐ→ CM∥ = r. (1.1)

    Avem ÐÐ→ CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (1.1) se rescrie

    √ (x − a)2 + (y − b)2 = r

    sau echivalent (x − a)2 + (y − b)2 = r2 (1.2)

    care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru C(a, b) şi rază r.

    Efectuând calculele ı̂n ecuaţia (1.2) obţinem:

    x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.

    Notând m = −a, n = −b şi p = a2 + b2 − r2, ecuaţia se rescrie

    x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,

    care se numeşte ecuaţia generală a cercului . Ecuaţia (1.2) este de asemenea echivalentă cu ecuaţiile

    ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

    x = a + r cos t y = b + r sin t

    , t ∈ [0,2π)

    numite ecuaţiile parametrice ale cercului.

    1.2.2 Elipsa

    Definiţia 1.3. Fie F,F ′ două puncte ı̂n plan şi a > 0. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea

    MF +MF ′ = 2a

    se numeşte elipsă.

    6

  • Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei

    Dreapta FF ′ se numeşte axă focală.

    Distanţa dintre focar