frr llir i' ( . 1

It i

tfriI

t i lr l ,\L

lir

I$itt l' * ,

l;$i)1,t1

_ l,r!

. iI .

! ; li r i

,t1,

"41l l l ti ,

1 t

rlj

CUVINT /NA/NTE

Prezentc !ucrIre reprczintd cursul core se predd /d

lnstitutu! de Arhitecturd ,, lon Mtncu" pe parcursul

d trei semestre irisumind un numdr de 90 ore de curs'

Parteo I o lucrdrii obordeozd p.obleme de geometrre

descriptivd, reprezentdri l i rezolvdri in axanametrie,

rebrezentdri ole formelor canstructt ',/e poliedrole 9io!'e suprafelelor riglote, in portea a l l-q se studiozd

re'rezentdri in Derspectivo canicd cu studiul umbrelar

si onturojului. Cele trei t iPuri de reprezentdti de or'

hitecturd (dublo Draiectie, oxonametrio ,i perspectiva

conicd) sint prezentote in mod unitor' ca modalitdlde rebreTentore s obiecte/or dln spaliu prit l praieclieporaleld sou centrald pe plon Prtn continut si metadd 'prin opliQ,ti i le numeroose ti orientate spre domenrLl/'orhitecturi i,

ca ti prin intreoga so structurare, lucr1teo

es te o geomet r ie a reprezentdr i lo r de arh i tec tu re .

Lucrarea cuprinde otit elemente formative' necesore

dezvoltdtl i vederii I Eindirit in spaliu' cit t i elemente

informative, obso/ut necescre in octivitoteo de pra-

iectore ti in oJte domenii teofetlce tr opllcotlve ca.-

nexe. Ne-om propus sd ofertm un thld ccre sd irpermitd studentu/ui sd apereze cu uturir,td cu spoliu/

arhitectural (exterior si interior), si repreTtnte co'

rect, sd seclioneze ;i sd intersecteze vo/unle' sd r0-

teoscd, trcns/cteze fi sd desfdtoore oblecte 9i vo/ume

u , m i r d l o ! c a 2 : i ' d e o ' h - - c ' ' ' a

Studiu/ geometrrer descriptive ti o/ oxon0metr/ei se

bazeozd pe cunottrnte de geometrie pLand ;i in

spaliu. Dln geametrio Pland sint imPartante' in ocest

sens corlstrucli i le geometrice (repr' ezentareo gelne-

tricd a ropoortelor, rodicali lor €tc.) t i /ocurile geo-

metrice Plane care fundomenteozd corlstrucli//e geo-

metrice. Geamettio in spaliu cantribuie la studiu/

geometIei descr)ptive t1 cxonometrrei in spcci'1 ' l

oxionele ;i postu/ote/e so/c generc/e' cu stud;ui cOr-

purilar solide (cub, sferd, paliedre etc), precun li

cu problemele de tangenld si lacuri geametrice in

spatiu, lntrucit lucrareo se adreseozd unui audiiariu

foarte lc'2, c- d re'se r 'elrri de PregdL;F ncten,a-

Licd, ort f itrcJus i" ontxe o rc(aPit 'ore d Lror ee-

mente de geometrie in spoi,iu, lacuri geanetrice plon'

sl construcli i graftce uzuqte

A altd aisciPtind core fundomenteozd geometic .re-arezentdrilar de arhiteaturd este Seometria Proiec'' l iv|,

lo core focem opel in citeva rindurr in text (in

prezentoreo sistenle/or de proiectie' ' in copitalul de

oxonomett te etc. )in sfir5it, pentr! un ouditartu mci restrins, facem opel

in rcbitalul 7 la unele cunoitinle e/ementcre de 8eo-met r ie ana l i t l c i P ana i i in sPa l iu 6eomet r io ond-

lntcd oferd a metodd generold de rezolvcre o Prable-' i" i i , 'd" e"orrtrie' dar tocmai pentru cd aplicA .o

sinourd nZtoCd universold' se olunge adesea la cal'

cuie foorte camplicote (unele rczalvabile numat cu

masn' de ca'cuil Sp'e oeo'eb're de geane('o ara,-

t i t : rc , g .eaneL" io aes" 'P t : rd pe tmn ' reza l " /o r t mu l '

t i i t", eZ, nu intotdeauno usor de gdsit Am fdcut aPel

la citevo elemente de geametrie onolit icd pentru a

i"ioittt o mu lt itud i neJ aborddri lor i i rezolviri lor

unei Drableme de geometrie ti pentru d oferi o finali-

ta le aDl ;ca t i \ ,a u io r e /e rer re s tud o te i r : / ce ' t 1 '

cols.de,ole pdl teo'et ce. Treat e /e o'e'rerec' men-

,ioioi- footrlt cd, in cozul unar prableme foorte grele

i,1e "xe^plr,

impochetdri de volume)' simpla inruilte.

iaotiold n, este sutciettd pentru rezolvoreo lar' c!

t.ebuie campletctd cu o gindire onalit icd

Neresitcted extinderii occesibilttdli i damentulut stu-

(i iat lo un ouditoriu faarte lerg' cLt ntveluri de pregd'

tire diferite, a impus o prezentare a mojaritd't i i teme-

lor de la foarte simplu la faarte camplicat

S-a urmdrit o sinphficore c notoli i lar (printr-o inde.'

i i . ,o - , a " .o , r . i2 g"anet . " ce 'c ' ID-J \e , ,c /os e" )

D. . r . tu o L5- 'o c L 'P1 'e , : r ' l a : ) r ; t -e 'eqere ' r -o r -

. . . . , : t c - a : . ^ ' - . a . ' c ' . 4 0 ' a - t l ' a + e s ' l

DtezeatoLe in nd, rnulte sec!enle /d anJn e ca'-

, t . ,a1 t-o, nLne'ota'- I 1: le Pc"trr prec zo'eo crd r '

lor de canstrucl je

in citevo exempie se reolizeazd a iratot:e exhoustjvdo ut1ei. prable,me cie reprezertto re voi u metri cd pr tntr-asuccesiuie. de reprezentdrj plone (plan, elevatje,axonametrie, seclruni succeslye dup6 plane praiec_tonte, desfdturotd) si machetd, cdre cpor esie des_comPusd ,i analizotd pe campanente intr_a altd seriede reprezentdri plane,Fdrd o oveo pretenlia onalizei spc,tiului arhitectural,lucrorea oferd bazo geometricd o reprezentdrjiacestri

,spafiu (exterior sl interior), De exemplu,copitalul 8 ruprinde, intre o/te/e, e/emente de rebre-zentare a spoliului interiot in arhitecturd, core setefe,b ru n ryo lo sLct:u- \: ara.aneLr,. de t.pLnors/, (. s lo e,<erc:-:, ce reTatva,e. percept e ,.ape'o'e c^u sPali-l ;nLeriar gere-or de ,rr^.secfi devatune. De cserre4eo, lucra'eo cLDr.noe e/ener_e degeometne o reprezentdrilor struaturilar corstructlvelnglneregi, fdrd o aborda, desigur, princtpii le con-structiye si calculul acestar structuri (balti, cupalegeodezice, pinze subtriri etc.).Talodo'b. ford q sn;ts pra..et t; de stu6t]r.r ol fo,m(ia[,h.'.e(tutale, \ol-.rt l afetd Lre]e baze geometrt.ea te (anbczLe s i ceco.o t le r d . o ,n , tec"u ,Z (ap ' , . c_req teorlei Propatt ̂:, trosee geometrjce regutatoo.e,ecntDarttt| ftatje si spatrcle).Ap l i car i i le d r rec te 1 r p -o iecra"e cJp . ind rc eze ._-or t O<anAmet r . (e de taa te t :Dot i le . pa t . "d rc , , ec l ,_porti,t i . i spotiole cu oplicoti j la construcli i sezonierc,moo t la te , spoL iu eyDOzt lnna l s i r .aa . te r nodL,ar ,e (hpatL l : i p to re Cu a? : CaLt ! ta po .oas? l : s . . t "p -a [e |eoecarottve, structurl tr idimensionole, scdri elicoidale,sistemotlzdre ve rti co l d etc.lq p lus , po ' tea o 1 l o o luc rb( i i coa t ; / re ap j i car i i com-Ple te de Pe"spec l i v ; a unor vo lume de a-h . lec tJ r i ,

core in.ep cu alegereo punct,Jluj . je vedere, sirnulareapitn crachiuri o deplasdrii in jtLrul obiectului, con-struclta petsPectivei celei moi convenobile, constr!lreaoglindtri lo! si umbrelor si plasorea elementelor deantura|, lncercind, prin ocesteo, sd facem legdturocu perspectiva de abservolie .si prezentdr)ie de orhi_tectLtrd, sperdn tatodatd sd can,;ingem un lorg oudi-tariu cd portea ,,aridd" o perspectivei de orhltecturd,oceea

.c (o4 . t -u (L- i geor rs1r l66 0 D€/SpeCt r€ . €s .c

t -aL a t : de inpo,Lo t t t ca p rez tnrc teo , ,o r I .c .cdl . " .o ld ,s cd -e l . douo pd , l i ,1u paL f i sepo,a te dno (e a t rc .r - r c \ . t , . , o t p o C e i . l e p f e t . j / , i . a p l i c c t ; t p r e r c r _ta.,... r.?-cT.

-D.opLs so e. tdc^t;e.? ! :/e/ te/" c e(rJDt 'a .a , . t l . - .a1 tJ t2a goo-L t . r ( i4 donu.u l o t ! t_tecturi i, lntrucit este primo nocstrd incercore inocest sens, ovem canvingete1 cd multe capitaleoPItntti s- paL perfectia- j, se pot st,,t.tLrc noi l(p.cJt .t1oi ipchega st cd me.ol,co p,edd,, -,nostntfo"de Seorne- r "e d" :C. tF l ' \d s : pe , . . .e : : ,d Daote f i ;m_cunotaut-o.

Pentru colaborarea la realizoreomim arhitectului Emil ReteSon sitecfi Gelu Mdrcu,s, Ariel Bincd,Colatd, Stefon Rapileonu, Cristitlosi Valeriu Ciurescuin fnal, dorim sd sub/lnlem trodilia veche care existdin lnstitutul de Arhitedurd ,,lon Mincu" in predoreagecmetrlei descriptiyc ,si a perspectivei de orhjtecturd, ca elemente de bazd in formareo viitorilar or-hltec+i. Mul,tumtn prafesorului nastru Adrion Ghearghiucare ne-a tronsmis posluneo pentrLt oceostd disciplind.

oesenetort mul,tu-studenli lar ofti,lonel Pap, Silviu

Ciser, Felicia Pap

Autori i

CUPRINS

CurInt tnointe

0. Introducere. Tipuri d€ r€prez€htir i de arhitectur;

0.1. ReprezentSri de arhitecture. Sisteme dep o iecl ie

0 .2 . I a ' s f o rn "_ . geo re t . r ce0.3, Tipuri de repreze.rtarl de arhitectur:

Partea intll

REPREZENTARI DE ARHITECTURAiN cEoIYETRIA DEscRrPTlvA

I AXO \Ol ' /E]P rE

1 . E l " r "n t " de t coF re r r i e desc r i p t ; v i' . 1 . P - ' c r u J t i d r e a p r a .1 .2. Pla' l - l'1.3. Relal i e dintre drepte 9i plane

l '4etodele geometriei descript ive

2,1. luletoda schimb;rl planelor

2.2, l" letoda rotal iei ,2,3, l" letoda rabateri i

Reprezent;r i axonometrice . - ,

5 6 Cupole geodezice 9i

PJanc5.7. Supf3feie cuiate .

6, Supraf"g" r i t late

strr. tLrr i spatiale

1101 6

4 3

4 3495 5

6',]6 5

7 316

6 ,1 , De f i n l l i i . C las i f i c i r i6.2. Suprafeie conice $i ci l lndrice

6 .3 . Geomet r i a bo l l i l c r6 .4 . H lpe rbo lo i z i6 .5 . Pa rabo lo i z i h i pe rbo i i c i6.6, Suprafele el icoidale6 .7 . Cono i z i t l c l i nd ro i z l

8 .1 , RezoLva rea acoPer l 9u r r l o r ,

6.2 Sisle,- iat lzare vert icale

8 . 3 . T ' o - . - e a , n b r ' l o '

8 .4 . GeoLne t r i e i i comPcz i l i e

8.5. Reprezenteri Seometrlce ale spal lulu,

t e . , o -

Porlea o douo

REPREZ€NTARI DE ARHITECTURA

iN PERSPECTIVA

9, M ecanismu I persPectiYei

9 .1 , I n l r odL ( e re

9.2. Vederea umanE

a < q

1 t , )

11?

.t't <

19

1 93' l3 8

Rezolvarea problemelor de geometrie descript iv:

si axonometrie 180

7.1. Trc.erea datelor dln tr idjmensional in

b iC re^s ;o r , i l7.2. Rezolvarea problemelcr in axonometTie

7 .3 . Rezo l / a red p oo le_ e lo - ; r geoae r ' a de '

sc p t v i7 ,4 . Co s l r , r c l , 8eo - e t : i ce s i ocu - i 8eo -e t ' . e

P l t " c7 .5 Lo (u_ i geo_ ' L ' i ce : .D " ( i ,

Alte apl icai i i ale Seometriei descriPtive in arhi '

tecturi

2.de Pro rec l l e

180

185

1 8 6189

3.1. Introducere. Rezolv:r i intuit ive . .3,2. Proprietel i le axonometriei crtcgotale3.3. Tipuri le de reprezentari axono.netr ice

o r l oSo 'a l e

3.4. Reprezenteri axonometice obl ce

Cercul l i sfe.a

4 .1 . Ce rcu l

1 9 5

80

(-lj))

. 208

. 225t n -

. 230

237

231

234

3

$'i,l

I

ftri

5. Forme pol iedrale 85

5 .1 . Po l i ed re . Rep rezen ta re , sec t i un i $ i r n te r -sec l i i 86

5 .2 . Po l l ed re le regu la te $ l dL ra le l e l o r 935 3 . Po l l ed re le sem i regu la te t i d ra l e l e l o r 1445.4. Echipart i l i i plane 1175 .5 . Ech ipa r t i l i i spa l i a l e 128

lrlt i

9 .3 . Ceo -ne ' r i za ' ea s r r L . i ! ede - , .

9 .4 . C las ' i ( : r . r e pe -spec t \ e

9 ,5 . E lemen te le s i s temu lu i pe rspec t i v

9 .6 . l l e . a . r i sn - ! , pe -spe . t ' ve

9.7, Proprietet i le geometrice ale perspectivei

9 .8 . f l e rode .e de (one r r J ' i ' e a pe_specL ;ve iu d , , l - a . r - d L e r e - J J ' p e r s p e - -

t i /. l n -r v . r e r sP€c f l va dePerden ta Pe !ab rou ve r t ca l

10 . ' . Ce re ra t . ! d ! iI0.). Persoecti , 'a pi- nct - lL i10 .3 . Co rs t . r c ! i a vo lL - re l o_

I l . Pe rspec t va l i be ra pe t ab loJ ve r t i ca l

t r , r , u e I . e - a t , t a ! . , e l l r t l1 ' 1 ,2 . Punc tu l t i co rnpa ra t i a ve r t i ca e lo r . .11 .3 . D reap ta F i p l an ! l i n pe rspec t i ve11 .4 . D rep te con ru re i t e i n punc te i nacces iD i l e1 1 . 5 . D . , z i r n i p e r s p e ( L / e1 1 . 6 . P r ' c r e d e f r g ; .11 .7 . P - - cL , de mas - ra1 1 . 8 . P , r c t r l a e d i s r a r l e11.9. l 'a:r irea pe:spectivei d rect in tablou11.10. Cercui t i sfera in perspectlv:

12, Conrtru",t i" perspectiv€i de arhitectur:' 12 .1 . lYe tode uzua le Ce cons t r l c t e a pe rs -

Pec t t ve l12.2, Alegerea punctului de vedere ,12 .3 . Exemp lu p rac t i c de a lege re a punc tu lu i de

veCer e12 .4 . De rsoec , d l a do - i pL rnc te de . Lge cL

o r i 20 r tL l sLP-a : rd l l d r12,5. Perspectiva la doutr puncte de fugS la

q / e l u l o ' q i o r12,6. Perspectlva frontale de exterior la n velul

o (5 r o r12.7. Perspectlva frontald cu orizontul supra,

' r ; t l a r

12,8, Perspectiva de inter ior12.9. Perspectiva cu orizontul coborit12 .10 , Cons t ruc l i a pe rspec t i ve i po rn ind de l a

e lemen te f i xa te d i f ec t i n t a r l ou lde pe r -s P e c t i / i .

13. Resti tul ia perspectivi 316

13 .1 . Gene ra l i tS l i 316

13 2 l" letode de construcl ie a rest i tul iei per-spective 316

14. Perspectiva pe tablou in. l inat 318

'14 .1 . Ge fe ra l i t ; I i - . 318

142 T rece rea de l a pe rsPec t l va pe t ab loL rvert ical la Perspectiv; Pe tablou lncl inat 319

14.3. Configural ia punctelor de tug; $i der.esuri 319

14.4. Constructla perspectlvei petablou lncl inat 320

15. R"d"."" unot. ".pecte

naturale in perspeativi

15 1 Ge 'e -a ' r i i ,, 1 : ' C . , , : . a - . r r a . ' : - a - r n F . ' i v e i ,

1 5 . 3 0 8 l ' r d i ' i l e i r P A r ! P e c t v I

15.4. Trasarea umb.elor in perspect iv ;

1 5 . 5 . P e r - p e c t , , a a e ' i a r ;

. 2 5 3

256

- - 1

^ . 7

26)

264

27e28a282284

295

-100

303

104308311

321

323

340

16, P."r"nt"."" unei perspective de arhitecturi 347

'16. '1 , Ceneral i tal i 341

16.2. Pal lnzrea 9i I mitarea tabloul l i 347

16.3. Efecte negative in perspectlve ., 354

164 A egerea gi plasarea anturajel l i 158

16 .5 . Reda rea p ro funz im l i 360

1 A 1 A t \ a , n . A F . F n . a ' . ^ t ) . , h a . ( h e . + i F 3 4 4

Anexa .2 .

Anexa 3.

Anexa 5 .

B ib l i og ra f i e

. . * . " " 0

'

. u : o . . 3 " 9

Eiemente de Seometrie in spal iu 369

Prob leme de ocu r i geome t . i ce p lane 373

Construcl i i graf ice uzuale 377

Prob leme 5 i ap l i ca l i i de geome t r i edesc r i p t i ve t i axonomet r i e , , , 382

F " d . ^ + r

. l a r n t , / r i i n n a . ( n p . + v ,

de arh i tec tu re , . 396

402

t ' t ' o ' 6 [

prn| ' . t !qrD op lptueze/dgr eP l /ndl l 'gJarnportul

atbenJ4 ep uDlq lruJnu - aJ€luazaJdJJ ep lnueldad ales Jolal)und peJel)aroJd ulp pllnzer nrlpdsurp In ln l la rqo p gup ld €aJPluez3rdeu eun l l les ea)plnl-e] p-s arel el paJelrgdaP el eP r$ Prire]|P qnsl rArJd J P aP e l l !PUO] nr ' rn ln l la rqo

le lPnz ,^ Inuo ld rJd pup ld aunr l ras o -J lu l aur lqo es leaJ ln l )a rqo!i pl aurSeurl raeaalp q)npoJd ps a.rer u?ld Inuasac

lNvld nvs rlvNotsN "Icls l] lrYrNtzlldlt

' lr9-r)nl raluezaJd lnl)arqo IPJ nu eleu-orsueu l rp rJ l a l rJg luazaJdau ) la a . rPo ln l 'qJn lxa l' I le raP aP a lJJ reJrP PauauasP aP 'JPdP euJ :aJP l-n lourq l rJePaA ar iP . rS a lnur iqo . la l la l aP e ]ua ] rPrarj.ezuas plrJolep l€al rnlnllaiqo p pal nl p)rluaPla lsa nu la laq)pu . r e g lenzr^ Er idarJad 'q3un r i ! iue ]-s rP aP a l | | l rPuor P l lacsa l as puJr r r !n le J€ lq l'(rJleq)Dtu DJD)s alsa PrnsEU glsEalP) l€er Inl)a-lqo eP riPJ €laqr€Lll PsnPer tso] e aref, uJ qJnsgLU

lieaele uJ leai lnllarqo el Jole^rasqo pl ep piueisrpap giel psnpal ar] 9s arnqaJl Plaq)ei.! El Jole^Jesqoe l ap p iue ts rC 'qBun ra p iu? ts rp ap l l rpuo) a l rLU-nuP ellurldePUl arnqsJl 'slPlrlEaJ aP adPo.]de rPLr.i}J) eU qs Elenz!^ Prida):r3d el n]luad leer rnlnl)3-lqo IJadalJad JolPuPurese al.reo] Pour uJ rolPA-Jasqo allgl ap alnoarJa0 luJs rs sleqrDll] rsaulnuas are , ipds nps a lpLorsuaJrp t - l a lup tuarJ rda !

Stvrlvds nvs lrvNolsNlr^flcNt 31!Y1Nrz!!drr

' a u P l dnPs a jeuorsuauJ lPrq l6 o le l ieds nes J leLorsueurPrJ lrrnd l pnop ep tuJs Ern])aliLlJp ap a lr.]?tuaza.r dau

lf ltold lc ^l .sts'Y!nlf lLrHlv rc ruy_LNrzludSr 'r '0

a)arl eJe) alenzr^ razp.r " tr, ,"i1J g, t"'il5:ije l .aur lqo as nr ieds urp y rn ln t r .und e [6 . ] 1 , r re1cad erfraro.rd 'Dund t n ar5J pund 'nun i, i ja,o,d -

.sJenulluot uJ ele+-uazard 1u1s . ro11;1 :ago- id a l l iE le lJdoJd,are ln r r l redlJnzel uJ lS letlJed lJrap alellsgd 1u1s nu ruJlJpll lr i atu.rol .ro1 elaleJC^apV ,aueld r"rnBrl

"1 a1-npu1,

-npal 'ntlpds utp alallatqo pzeaurolap erf:aro.r3

uol Is O!J !. ltIY13t!d oud

-asap e ii.a,rrldr:rsap rarlauroa; rr"o'Ji;il jlll-oJo ap Crr Ise)V g)t)Dutl,) nps giarDr^d qLlpeu)as o4 :a 'o t4 r i a1a1e,ed lu ,s a lue l :e ro-d

" ,a rn , , " ,1

-enils Plseale ul 'a1tla/0-l4 aP ali)atjp o nl ltn)otur) lpPJd a lsa la

'p l iuUUr q lu€ ]s lp € l a r i ra rord aplnJlual !raplsuol as plec pJnl)alrLlle ap e,lt l :ads-Jad gTpelLeu.rEpJnl arltao-d ap d.1 1sa:y .p;rr,o:nes Qlulue) elsaulnu as Dt))a!oJ4 .el ,etlull

l luel-srp pl plle as arlrero.rd ap lnJluef f. i.g ern51 ul

alenzt.n r a r {d a:.rad 1 n r.rord rr".r,ffi ,?'Xtj';l|J-auroa8arfe:ado o alsa etl:aro:d oac ,(f

f,0 ^.Slt

ni

III ,

i,i

Yunlf,ll lHuv to ruytNtzSud3u 30 tundtl. .ttsfncotLNt '0

h

7

g^!trad3r3d i i P^! ld!rtsop alr laulooc

qu qu 8N gl,'l

€u eur vN vh' o r r ^ " r r n a t o , r n. 9 r c d P 4 t . + c v !

as 1 f0 PJrBU u l 'dJeru lo l a l l J fd n r iEC e ( l ruoLLJ

. Ie re tn l rod?r n is ) 1 . , t .odo. ,q gzp . . . r ; sqd as P lp , rua :p l )a lo rd , l (a , ' n . ) a1c t . ,a ) ra r : )aord a l i? )e t rda .d

'a1rm)arcJd aldarP )sauJ nu cs(p luapa:a . rd e . rnBr l u rp 3 €nz iA Jo laze- t a lua ie l- rq )a) r ( ) l$ .qO

'p ( t a la ldarC )qr (P) ruor ) 91e" r1ua:er l )a ro . rd aur iqo as ' [6 ] a r i :a to rd aP Inur ld ad (Jar l la ,o . /d Jp l ' r , r . Ja) J tD 39y l r " rqB- r r , r oJ ' l ) r lo ra

' [3 ] a ; i ra ro . ;d ap ur ld un -

: (J a ] )aoro aP nr lua) un -

r (9 ' tO 3 l , a tuaura la gnop urp t n lg r lp a lsa a t i :e t-o rC ap le . tua) l lLLJ ls rS D) uo) ̂ r . D la . )Ja) a t i a t-o -d o earp uo \ 'g ) 'u r r q - -? t : ro p l g l rp as e l )e ro-dap ln - rL ia r E ]PC a i )a rc a aP t ) r .D) lD ' . ]a fuJa ts ls

'a ira o.ld ap( : . rp r r , : ) ,a e ,ed l r . r . r t s s t i a r )u o rd dD ( ) ' -o l )

l e r + - d J l | . L ! o t - r > : e ' + - r r o r u o r o J D l s S ! " l o D ! 1 5 r x l

ar j ra lo. rd ap arua:s15

s t '0 '6 ! l

r ' t 0 Et t

a ldaJ P l3 r1 a la ) L l l Jd

l3 . t ] a - re l a len2rA JOlau€ ld e s l i . lasJa lu l aP e lceaJP

r lsa r l 6 e1 : r^ PZPU (c . 0 31) [6 ] a D^a ord ap

n i p c J P I r l ) - 1 d - - a - L J r l l o ) l u s ( L P ) l s ( " P ,/ t o ) , o r a i : e r o - c I l r : ) . d - e l - a ' ' l ) L o ) 1 J . si rJo t , tp 1 iq ) , i 126) 116) a la rdaro q)ec r r i tas

urp Jola]4up rlLra-rnluo, Qzouls?1 alttDataJd -

(l r. o 3u) [d] aLi:al-o ' ld ap ;nue ld n : n r ieds u lp e ld€erP u l rd snP ]uP}- :a ro- , j in ln je ld e t i :as .La lu r e1 aur iqo as q+dearp

glseary qldearp o ad lol alel1e ) Ls q '€ alal)lno

gdnp gzea l ra to td as (a re tu o l luJs )eP) n l lecs

u p ? ldeaJP o ad a len l rs ) l i g 'V a la l rund n l iDds

utp )apDund DalDtt)DtLtl lD DzDulsQq eltl l)atud -

']uoltato'td uold a1(au-rnu as gldea.Lp

u rd :a:tr ar alenzl^ .ro azer lnueld (Pleler€o ell lal-o rd u , ) a l :a to rd ap e i , :a - tp r ; I a lP iPd a lsJ n?s

(g lp . r t ra r e r i :a rord u1) a t i :a1o. ld aP l rJ lLa f u lJc

" r " r l " " g rnp '1 :und un e l a lnPa l as a lde lp taun

p i :a ,o - , ; i ( r , .0 3 r1) n eu- r - r .L t rd a : : l r a -e : (p )

" i o ' r - p ' o t i i ' 1 [ 7 , a r d a - p e [ 3 ] l r r e d a d e ' i r a o ' 3

'ue ld la re ad ra lda ;p Du l . ln + L r lnu l lund un- l lu !

ued un :dea iu ! -e1dea- lp o ' le . rauaB u ; 1a ourn

ttt.td. a:at] "rot

pido"tp o alsa alqa;P taun bti;atcL,1-

l

t t '0 '61,

{ i 9 . 0 . 1 . 6

E r 1 - ^ r r | ) ' i r - ' , . ) r o i e ( t . e i r e n L . " l c' l o a r e a u n r i b i r a -L P o r ! ! 1 6 i v 4

po .L es t c - e l se r JTe t 6 -opo l t o rmon c pe - r -Lca:

MA- NA I"TA NA

I,1B NB MB N8

Purcte le M 5 i N s i r t conjugate armonic fa t l den . r + a l a A . R . < i i n v p r <

r n 6 r ^ i ^ . r ) . ^ ^ 1 . ) l ) r l r e n : r e n : r : l e l o f i n < n : r i ,

se pro iecteaze dupd drepte concufente (cu excepl iar : z r r i i o r : r p d r p n r c l p n : r : p l p n i n < n : i i r ! < n r

p a - a l F l e c u p : - u l d e p r o ? c ; e f P ] ) . D e n ' o n s r r a t i ar - ^ . . - i ^ , ^ ^ . 6 , i . i , . . r - o - - , - - o t _ l 9 , c a r e e , _n l i , _ : m p r : n i < m n ^ r < n F . t , F i

Una d in ap l i ca l i i l e p ro ec l ie i cen t ra le o cons t i tu ef " + ^ - " - r - / r - n r a \

\ ' < r p m , t l r n r n l p l ( r . t n d r r \ r l a h t . F . 1 ^ n ^ . ^ . F ^ t . t I

, . 1 . - - n i - r - i e ca " ' t i

l r l i q - i - r i i q f . i t d e se t r ans_

lnlroducere, Tipuri de reprezenlir i de orhiteclurd

l o rmi in t r -c d i rec l ie de Pro iec l ie , ia r raze ie v l -

zua l - - dev n Para e le in t re e le S is temul Para le l de

prorec l le es te a c ; t ! i i d in doud e lemente :- o d r rec t ie de P io ec l ie (A) ;- un p lan de Pro iec l ie [P ] .Pro iec t ind t r iungh iu l ABC d in sPa l iu ' para le l cu

a . - F c t a ( l ) . p a p a - r a e P r o e c l e f P l s e o b t i n ep"o .er1 ,a pa-d le l ; abc . f .g 0 .1 o / D 'ep tere Aa 'Bb sl Cc se nu|.nesc i i ele drepte ProiectanteProprietd,ti le praiecliei porolele (ci/ indrrce) s' int ur

mi toare le :1 p ro i (c . ia pd 'ae ld se pas \ rcaze rcpa 'Lu l ' : ' 1p lJ

a t .e i p - -c Ie co l i l a -e . i . r f ' gura 0 1 10 se Doate

vedea cd i

AN am

M B t b

Rapor tu l s imp lu a t re i PUncte co l in ia re es te un

i rvar ian t a l p ro lec l ie i Para le le (c i l indr ice) .- in p ro iec l ia Para le ld d rePte le Para le le d rn spa l iuse pro iec teaz i d !P i d rePte para le le . Se spune c i

p ro iec la Para le l i Pds t reaz : Para le l i smul d rep te o r

c . P a r u .

Una d in ap l i ca i i l l e Pro iec l ie i Para le le o cons t tu re

troseul umbrelor lo socre $ig. A1.11)

{is. 0.1.8

1 i 9 . 0 . 1 . 9

f i s . 0 . l . I 0

l tr ' ,-r1;f ig .0 .2 . l

segment lA1 egal cu Al , Se obl ine s imetr icu l Aral punctului A fali de dreapta (A) (ftg, 0.2.2).Sinetrio fotd de un plon [P] (planul de simetrie).Simetr icu l punctu lu i A fa la de p lanul P se obl ineducind d in punctu l A o perpendiculard pe p lanul[P] ql luind de cealaltd parte a lul un segmentIA, egal cu Al . 5e obl ine s imetr icu l A, a l punt tu lu iA fali de planul [P] (fig, 0.2.3). Oricare ar fi aceastds imetr ie , s imet . icu l s imetr icL 'Lt este pufctJJ i ' t -' ! ra l ,

Doud f 'g- r r , s in t s imetr ice ra1; de Lr prnct , o ax6sau un plan, dace intre punctele lor se poate stabilio corespordenlS biunivocl, astfel ca punctele co-respunz;toare sd fie simetrice in raport cu unpunct , o axd sau un p lan.Aplicalie o trdnsforndrii prin simetrie. 5e di un te-t raedru regular ABCV (pol red-r cu patru fe let r iunghiu. i echi la te 'a le egale) reprezentat .n axo.nometrie. Aiezali pe felele sale laterale trei tetra-edrr rcent ic j ( f ig . 0 2.a) .Corsrder i rd fa la larera l5 BCV drept pa" de s: re-t r ie , se constru iet te s imetr icu l punctu lu i A fa! , ide acest plan. Punctul V, astfel determiiat estev i r fu l te t raedru lu i ident ic cu ABCV cu baza t r iun-ghiu l echi la tera l BCV ( f ig . 0 .2.5) . Const . , . rc i ia sebazeazA pe proprietatea inel!imii tetraedrului re-

Geometrie dercriptivi ti perspe.tivi

f i g . 0 . l . l I

0,2, TRANSFORMARI GEOMETRICE

Cele dou i t ip - - r de pro iec l i , s ta t la baza (e lo r douer lpJ f l ' u .da le ' t ra le de repreze. t tA- i p lane de ar_h t tec tu r i :

. reprezent ; r i le o r togona le S i axonome_rflce, pe de o parte, l l perspectiva de arhitecturi,pe de a l t i pa" te . Pent rL a in te ege mai b ine oro_pr ;e t : I ; re lo . . se vor a ra l j za un i le Drop" ie td i i s iaspecte suplimentare evidenliate de transfoimd-r r le Seomet - ice : t ra rs fo r rnarea pr in s imet r ie , t rans-la t re , ro ta t i .e , ro to t rans la ! e s j , in spec ia l , t rans_lormarea pfln omologie.

TRA NSFORHAREA PRIN STMETRIE

Srnet,:o fo! de n puncr C (cent.u, de si.net.ie).5 |met f l cu l pL lc ru lu j A ra rd de cent ru l de s imet r ieL se ob ! ,ne un ind puncrur A cu o lnc tu l C , i lu ind' r^Dre lungt re !1 segner t CA, ega l c r , segmer tu l^ l - . runcTUr At es te s r re t r .cu l lu , A fa ld ce C( f ig . 0 .2 .1 ) .S'.mett:o foto de o, dre-op-ti (A) (axa ce siretrie)5 , 'n , " i | cJ - l pLrc ru L i A fa l i de dreaora (A) se ob_l ,^1"" dy. i1,9 ^din .punctul A o pe"pendkura-; pe(A) in l s i lu - "d de cea la l td pa . te a d rep te ; (A) L - r

10

lig 0.2.2

f ig .0 .2 ,3

rl

fig. U,)a.O

Sula t de a cddea in cent ru l de greu ta te (a f la t lain te rsec t ia med lane lor ) a l t r iungh iu lu i ech i la te ra lde baz5. 5e pot imp;rl i laturi le in doui p5r1i egaled i rec t in axonomet r ie (pent r ! a cons t ru i med ia-ne le ) in t "u (^ t axonomel . ia esre o p ro iec l ie para-

lnlroducere. I ipuri de reprezentdri de qrhitecturi

i t l uA--

1 i9 .0 .2 ,6

lea s dec , p ; . t 'eaza cons tanr rapo ' t . r ' " ino lu ,in mod asemEn; to r se ob l in v i r fu r i le V , ; i V , a lece lo r la l l i do i te t raedr i regu la l i ( f ig . 0 ,2 ,6 ) , Pent ru

( i <a e .o7F ̂n r , r t re i te r raedr i idenr icpe fe le le AVV. , BVV, S i CVV, ( t ig .0 .2 .7 ) ,

TRANSFORMAREA PRIN TRAN SLATIE

Dreptungh iu l d in f igura 0 ,2 .8 es te t rans la ta t Pr indep lasarea para le l i , dupd d i rec l ia (A) , a f iecdru ipunc t a l d rep tungh u lu i . D in Poz i l ia in i l ia l i 0 ,d ' e p r r r g h ; u a r o s l l . a r s r a l a r s u c . e s ' v

' n p o l ' ! i l e1 2 s j 3 . P r r ' t ' a - s l a : e o f g r 1 6 P l a r a P o a l eSenera un corP so l id , dac i se re l in toa te Poz i l i l l ein te r r , ted ,a .e a le f ,g - r i in r sca"e . i ' aces t caz .

corpu l ge le ra t p ' in r rans la ! ie es :e o P 'sn"a .Apt.calie o (arslat:( '. Se Poate t 'alslata sr Ln corP

s o i d p ' i . r - d - s r a T i . o b t i - r d u - s e u n a t c o " D s o ' d

(dacA se e t r roa te poz i t i l e co 'p - i . i ^ "

n r5care)

F igur a 0 ,2 .9 ius t reaze t rans la l a unu l cub ( in re -

prezentarea axonomet r ice) , ia r so l idu l genera t p r in

t rans la l ie apare in f iSura 0 ,2 .10

1 1

-Xr1

4 --I

f i s .0 .2 .10

TRANSTORHAREA PR JN ROTATJE

3l : l : ' t : : " . , . "5 te . i - -uT, , , a \e , de ro rar ,e cu Jnanurn , t ungh i , a jL ,ng i , d i r poz ia 8 . . p , n r r , , r p

(ca l r roaLe.puncrele jnrern,eo,. ." ; i " " i t r -

r i , , r#

illi'i{il:J'tT;:J ?l"L iruTg:: i. {.""Tj:':11",,-ll qlalela c1axa dJ iotalie, ;.;;;;;:;[:ill"i'.:"[:ij'o'jft l*."i,i.I,?::lllf

"t

TRANSFORI'lAREA PRIN ROTOTRANSLATIE

Trans formarea pr rn .o to t "a ls la t te a r , " o aoro , . . ,uJ

i:j i i;ii:' [Tt t, i I i" : l'l,l:". I 1;;l;jtt;;:i:lf :ri i. *i. "'.il:"ii';,i.'.,: :i:i. t"";;i::::j,: ?;i,J" o*'T3,";;llJ' ;:'".1,1 g"iiro to t r "ns la - ie o supra fa la cu .bd r i s la t , i

TRANSFORMAREA PRIN OMOLOGiE

i:,lll "ii!"n ;:.i,','""J ;[",, i:Tl i, axo no n] etr i e o

* *lrj:, : tl I H',u1.#i'"1' ". "1'"",T, j:iiJtii, **;:i :.,"*f lu;,iil:H ,;;:l;l';::i: iJ [l!ii:j",?l i,;*l:l l:;l- ;; ;ll:; ::";:' ;:,;.:i"'i"":".'J :",'",'" i ol" "" .l#

l;xiJ :,',: "*:i1ilyn:iil:dt lnilcot^c- re^ te , - ourc t - l I . Ana j rz rnd p .oo f . i " p ro- i

i{i: i:.:iT?[]'l, oJi#J':.i,:'ii:ii,ii;! til,X9_ti^:tj".,

d^oui dr;J rrei drepls concurerter t . v . .1 . i ) r . rLnctu i de co.cJ.enu 1 se obt i re Ja

t ig. 0.2.1 1

, +*A1 i9 ,0 .2 .12

Geometrie descriptiv.i 9i persiectivi

I-il

t

'rJ' t

i'i

t2 lr

I

r-J

l ig.0,2.i

t

pJnlrolqrp oP lJPl!arald61 Op rrnd!I 'ora)nPoll t ' l€ I

' e8eo loL !o r - ln3rJ PnoP

.o lJ l ? Q iuaD Dcsuo ' ? lq 'D o eLndrsa d P 'So o tLO' f iu e ldea. p ' ze l l se) rc L , ) a ;o loLLo aP PIP o

: i -1 1n l r , - rd -P l l (a )e L l l a tSo.o t t 'o JP ̂ r lL ra l un' '

:a luaua la gnoP u lP

lrnlpll? a;sa a13o1ou:o ap /nLualsis ' lelaua8

InzPl ul

e lE l l ^ ! l )adsrad

'ea l rads . lad n : (1 1n1:und u l In i lua l n ) n r lsou

lnze: u1) ale.l]ual lati:a1o.td eaJallosP uiP aurA'o ro

"+" i ' , ' i r to , -d ap ea , tu ' r ' ' 6 a :o : ' , - : ;d - : "1

-p ' cs n ' ieds r : a So loLLo ao a . ie la l - l -PJP as (d -n

- i :as ap ln roSexa. l . s 9z !o aP ' l l o ;ev ; ! r ) c -Pod-r""q gnoi a'a; :, iods r,t, a' lo1owo - rd g>1''tau

-oa8 " . re , , - ro ls -e I r

aP leJaJaB rPu l la ) In l rze) JDU^d

-i"ro, .*"1qor6 91ts93 ea:e't loza't Lugla:dralu1 95' 0 . L Z O 3 : , ) e P t u e . l d u t - d

a leuo8e,aq I 'L - r , i les d l Jn lP l P- lJ ra lJo 'V s '€

' r . r n r , r ' i : Jd .a . , o l lu l 'eJPf ( !u l3Pd L ID ase l t

t iuno) s r i 9 g a la r : I ' rd u r lqo cs 5g e ldearp

n, n ' l r i t - i " iu , 'e | -

q , r 'o pzrq aP In l -uoEP/aq a r -

- r1e1 pu tB- '1a . t3 o lPLru lJa laP Jn lP aJsJ ea 1 i 1 '

",.1].iJ .,'ri Jr".,r sH nldti' 'o l"rn rL. :'lH s zls

ro la ldarp e t i las :a1u1 e1 eu t iqo 3s Z 9 iue ln f ,uo l aD

tn l run , l " , - " rn - , ,o1

r ldJ 'D la l l Pdro Er -oP J l r )

inoo " '1 "

rE arer as [g l |e ]uoz ' . 'o , r -e 'd '3 [21 ]^erarlet Inuptd

, [5] a-rr l :as ap trLetd 9Lz.po," :JJl t j r ;

p )u r J l 5d 1L ' ep 1 1n1 : ' r d - ' ' d ea r i a )a l t SH P l

-d " i , p g , a r l i es : t 111 . s r - 15 ro l a tda rD P r i ) as -o lu l

Inllvds Nl 3l9o'1ol^lo

' ( [5 ] r6 [g ] a lau-e d nr:sou lrze: - ) .8eo1or.uo e1 "n8t1 'L'i 'uo: ale:

ar lun c "

lp at l :as. la l , t ap e ldea-o arsa e 8olor 'uo

"b "iv ,rriinilj"dsLad ap pxa nes erSo/oti'ro aP PXD

"ii.rnu ot 6 1ue1.rodr.u1 lor un P)eo[ SH e]d€aJ6

ll'z'0'61

9t'z'o '6tt

t t '2 0 '6!,

fl.'z'0 6!t

I

p^lt'odsrad !3 p^!tdl,rrtop oHloruot0 9 l

,i

I.i

t.t1

i;

. D l i r r )_nc _ (y ) e rdea-p ad;e1;e 1:und un-JluJ alua:nruof, luJS rNrl^l

lS NN -1116 e ldea;p ad ten l rs g ;1e as rp -

:pu l l nun]€ arSo loruo ap r - la ls rs r ie la :eep p i€ l N t rn1 1n3o1ouro a lsa rg , (g ) a rBo loLuoap exp ap r( 6 atSololuo ap InJlua) ap 9le1 6 rnln1-:und ln3olou.ro elsa rN

Inllund q:pp ,arirurjab ui.rd'|,JCi eldparp ad tenlrs alle as ?s arnqaJl

1a 'q tn ln l rund 1n3o1o i . r :o a lsa 16 ln t :und g teq

,(g) erSolouro ap -pxe o _:(J arSoloLlo ap nJluaf, un _

:(5t z o 3!,a luau. i i ia gnop urp l rn lp ) le e lsa er3o lou . ro aplnr-ualsrs

'9ue1d arSolouLo ap leleua8 lnze: u1

uirurracYNVId lt9O-lOr{O

zL.t,o '6/.

,,r,€Jp alelr,r l:adstad ap exe !utut.tatrepa8eolotuo r.rn8r; pnop a;a: urJuo: eret [24] r( [16]a laup ld a . r lu rp e r i tasJe lu r ;e r 'n r ieds ur a rSo lou toaP lnJ lua) a lsa O ln l f ,und

' r ip+erd ie tu r a laqLUe u l'[ i6] :edo lnueld u1 qie:r1:erd 39y

g. - te1nrq3unu1 e1ue1 ur .Ld O q leo t l1Jp Eu luJn I apes.lns ep [?6] leluozr:o 1nueld ad gletun.te Furulnl apeled e: 1e1a;dralut tJ aleod r3rgry

lnrqSunr.t1 -l U I n l ) u n d u l p

91nzg, r ' [?6 ] le1uoz . ro lnue ld u rp r3 rgry rn ln rqBun

-!-r] p )gV eal+:edstad auriqo as e;e: ad gart:eds-Jed ap nolqpl e: 1e1a:dralur 1 aleod [16] lnue1d -

:91,,7,9 e: n3r1 u1 rre? le l ) l l l l l e 9u1un l e l ro laJqu. rn ?aJpseJ l r . t i ' pJnpe]-rLlJe ap e^i]ladsJad ut I i€lrlde a1se,l ate (ea]elr,rr1-:adsrad) nrieds u,y erSolou.Lo 'aiJlaLuouoxe uJ ]laJ-rp aLualqo:d aseotaLUnu e paJE^Jozal ap !relp ul'( l l iqtlr, lrrad s.rad) nfiods u1 tarSolowo a1o tjottl4y'(1

lnr:und 'zp) ts?)e u1) arSolouto ap lnJlual

uJ eluaJnruo) 1u1s a8eoloLuo IJnJJ lseun aJpla iJ tdarc (9 '$ S

' t e 1 1 a ;aDr ,nd J . zer l carp

u1) a tSo louo ap exe ad pnop a tJ ) pnop a luaJn l-uo f ] l r s ln8r l qnop ro la : a1e a8eo lomo a l r rn le - l

8 r '2 0 6 ! ,

6 t '2 0 5!,

rz'r'0 6u

il

Rezulte de aici c; dreapta MrN, este omoloagadreptei MN (fig, 0.2.20). in cazui omologiei a doiat r iunghiur i , se observA c i drepte le caTe unescvirfurl omoloage (MMr, NN1 si PPr) sint concu-re l te ; f Q, 11 t ;Tp ce larur 'e oro loage a ie ce lordoui t r iunghiur i se in t i lnesc doue c i te doud pe axade omologie [A] ( f ig .0.2.21) :

MN n MlNr .-, c(; MP n MrP, --r p; NP 0 NrP, -+ 1,.

Puncte le de in tersec. f ie obl inute s int a , p 9 i 1 . 1n ca-zul omologie i p lane genera le a doui t r iunghiur i seobl ine o conf igura l e ce 10 purr te (ce e gase v ' rfur i a le ce ior doui t r iunghiur i , puncte le a, p g i 1s: cenl ru l de oro logie f l ) , ca-e se nu neste ror f -guroflo Desargues.

OMOTETIE SAU ASEMANARE

Omotetia este un caz particular al omologiei gene-ra le care in terv ine atunci c ind d ispare axa de omo-logie (A), respectiv este aTuncati la infinit. Elemen-te le s is temulu i de omotet ie s in t :- r n . F ^ + r , r . l A ^ 6 ^ r A r i . n

^- o axd de omotetie aflatd la infinit.In cazu l omote t ie i a doud t r iungh iur i ( f ig , 0 .2 .22) ,se vede c i se ob l in doud t r iungh iur i asemenea,in t . r ,c i t la ru r i le o - lo roage cev in para ,e ,e ( " , p t i . , .l i i l d s i rua te pe axa de omole l ie care es te 'a i c ' in i t .se a f lS ; i e le la in f in i t ) .

OMOTETIE IN SPATIU

Mecar ,snu l perspec t ive i f ro r to le . Onore t ia : ' . spa-

Tr . r a e aceeas i con f igu 'a r ie de purc te . da ' 1 - ' r -o

in te rpre tare spa l ia l : . Un exemplu de ap l ca i iconstituie perspectiva frontali, ln care e emente e- i - r . r t : - r - - c r r r r - p i n " l ' - .

n a r a l e l e c u r a h l o t l. 1 A ^ A r . ^ o . r i , i c i ^ t r c a m a h a ) r . . p ^ . p 1 F . t t . l' - ' ' l ' _ _ ' - ' '

pe tab lou ( f ig . 0 ,2 .23) .

AFINITATE

Af ln i ta tea es te un caz par t i cu la r a l omolog ie i Sene-ra le care in te rv ine a t !nc i c ind d ispare cent ru i deomolog ie f ) (es te a runcat la in f in i t ) . E leme ' l r

s is temulJ i de a f in i ta te s n t dec i :- o d i rec f ie de a f in i ta te (p roven ind d in a runca-rea la in f in i t a cent ru lu i de omolog ie O) ;- o axe de afinitate (A).

i n c a z . r a ' , r i r a ! ' i a d o u d t r i u r g n i i r r i ( f i g . 0 . 2 . 2 a ) ,se ob l ine prac t ic o p ro iec l ie para le le duPd d i re . l iade a f in i ta te , la tu r i le a f ine a le ce lo r dou i t r iungh iur i' inti lnindu-se

doui cite doud pe axa de afinitate inpunc te ie c [ , p ; i T .Aplicl l ie o afinitdti l : construclio unei f iguri ofine.qF . l ; r r r - - ^ i .nnomet - :C; oarecare ,un pentagon regu la t ABCDE. Cunosc ind v i fu l A ,a l J -e r teTe pentdgora le iaer t i ce ad ,acente fe ie iABCDE dup i la tu ra DE, se cere sd se desenezeaceaste fale in intregime (fig. 0.2.25).

Iniroducere. Tipuri de reprezentiri de qrhitecturi l5

TabtouI deperspec i i ve

1 i 9 . 0 . 2 . 2 1

$Dreapta DE va t i axa _de af ln i ta te. Succesluneaoperal i i lor este cea d in f igura 0225.A"n;La e ; sDat - t L rD.6 t i oa"c n ro r ica t a p .e -cedente , pentagonu l regu la t ABCDE poate f i , deexemplu , una d in fe fe le unu i po l iedru regu la t cu12 fele_ pentagonale (dodecaedru regulat), tu aju-to ru l a f in l tAT i i in spa j iu se poate cons t ru i in t reg ! loocecaea,r!.O a l td ap l i ca l ie a a f in i td l i i i n spa l iu o cons t i tu iet rasarea umbre lo r Ja soare Cunosc ind umbra ld -sa t l de un punc t A a l une i desch ider i , se cere dese-narea umbre i iAsa te de in t regu l con tur ( f ig . 0 ,2 .27) .

Axa de a f i r i ta te es te d reapta de in te isec l ie d in t rep lanu l in care es te cupr inse desch iderea (usa cufereas t ra ) s i p lanu l pe care cade umbra . Rezo lvareaprob/emei es te da t i ?n f igura 0 .2 .28

0,3. TIPURI,DE REPREZENTARIDE ARHITECTURA

Tipo log ia reprezenter i lo r de arh i tec tu rd i r b id i -mensrona l corespunde t ipo log ie i s is temeJor depro iec l ie . As t fe l , i r a rh i tec tu r ; i i cons t ruc l i i sefo losesc doud t ipur i de desene, ca rezu l ta t a l s is -temulul Ce Droiectie foloslt (Cheorghiu, 1953), ; ia n u m e :

d e s e r u , p e r s p e c l . i \ , c a r e r e c d a s p e c -r -c e .d - s :aL . - r s fo ro-es :e p .o iecr ' , cer r -a ld (co-n tca) l

t i ' .0 .2 .27

Geomelrie descript ivi 9i perspectivd

iI

Ff ig.

*

t6

- d e s e n u l t e h n i c , c a r e r e d i l a s c a r d a d e -

vdra te le fo rme $ i m; r im i i i care fo lose t te Pro iec l iaDara le la (c i l i ro r .c ; ) o r toSona d : d i 'ec l a de pro iec-

i ie es te PerPena jcu la r ) PF P 'anu l de Pro iec l iebesenu l perspec t iv corespunde s i tua l ie i in care

obser a lo ru l (cer t ru l de pro iec l ie ) se a- i la o C s -

ta r ' ! ; f in iTE de ob iec t , in t i r 'p ce desenr l rehn ic

corespurde s i tJa l i c i l1 care observa tor " l (cen t rL l

de oroieclie) se afl i Ia o distan!d infinitd de obiect,p ro iec l .a ob ,ec t . - r lu i pe p l3 lL l l de p 'o iec l ie f i ind

astfel ParalelS.Desenu/ perspectlv, f i ind o proieclie dintr-un cen-t ru a f ta t la a 's ta - r ; f in 1 ; ( fg . 0 .31) , reda ob iec tL lmai aproape de PercePlia sa in realitate dec'itdesenu l tehn ic caTe es te mai , ,abs t rac t " d in aces tpurc t de rede 'e . AceasU ase*enare cJ rea l la lea( f i s . 0 ,3 .2 ) se face in dar r " re la l i r lo r ne t r i ce 1 l - rg .mi , supra fe le , u -gh i r r , ) care se de for *eazd,i ; c inC d i { rc :15 i Ie 'p re ta rea - ] . ^Tr 'c ; sau . - : sJ -

ra rea" ob iec tu lu i rePrezenta t in desen persPect iv .Rapo ' tu l a t -e ' Du ' tcLe co ' : ^ a re ru se Pes l r (a . ' ;in perspectivd.

Desenu/ tehnic, fiind o proieclie paraleld (de la dis-tanlA infinite), pistreazd paralelismul. dreptelor dinsoat i ' - s ; raDortu l a t re i puncte co l in iare, dar seinalp; r t taz: de pe"cepl ia v izuald a obiectu lu ' c innuture. El are un grad mai mare de abstractizareDeserul tehnic Prez intA doua t ipur i de rePrezen-T A T I :- r eD r e R nto rco (p r c' ecli o) o\ono?letricd, ob1'n LU

pr in p ro iec t ia ob iec tu lu i pe un p lan de pro ec l ie

ixonometric, afezat inclinat fald de axele de coor-

donate d in spa l iu ( f ig . 03 .3) :- re1rezentarea (proieclio) ortoSondld, oblinutA

Dr ;n p 'o iec l ia ob :ec t r , r i P : P la re para le 'e cu ave le

d e c o o r c o n a t e d 1 s P a l u 1 f , g 0 3 4 ) : d e o a r e c e

Dro iec t ia pe un s ingur P lan nu de termlne ob iec tu ld n spat iu (ea d i o imag ine ca l l ta t i ve de vo lum' darnu s i can t i ta t i ve mdsurab i ld , dec i t in anurn i te con-

d l t i i ) , se adaug; p ro iec l i i pe a l te p laneCea-mai s imp l i reprezentare or toSona la es te epurdde Eeametrie descriptivd a lui l longe' oblirute Princo l p ro 'ec1 i o ' to8o la le Pe doJa P id^c or logo-na.e , u maLe de rdoate 'ea -nu i pan pe ce ' i la l :

I

I '1I

Introdu.ere, l ipuri de reprezentiri de orhitecturE

l is ,0 .3. l

l 7

D,r ! 'e c - rc (ou ; r :pJ r , de repreze t ; r . a le desenu_,ur Ienn.c , rep .eze- ta rea a \onomerr , ( ; es te maiaproape de percep l la v izua l i a ob iec tu lu i d in na tur i ,o 'e r |nd o imag ine ca l , ta t i vb de vo lLm t f re .0 .3 .5 ) ;l :d i1s ; o p ro .ec t re pe Ln s . rgur [ ' r r , eanu permi te toa te t ipur i le de misur i to r i , De exem-pru , ce t t rapor tu l a t re i punc te co l in ia re ( rapor tu ls mp l - ) se p is t rea l ; , nu se p ls r reazA a , te reJar i ir -e l rce_ cur s i r r s_rpra ferc le s r u rg l^ iu r i ,e , ca ieapar delormate,Epur.a de geometrie descriptivd c lui Monge corec_teazA aceste defecte rnetrice, oferind doui Droiecti io r togo, r le .c r ( DAs|e l?5 loa te re d l , . le met r ;ce ,r n c r u s i v s L p r a ' . ' e 5 i r r g r i - r r e , f J p r e l r r e . n s ;

gradu cel mai inaJ: de abstractjzare djntre toatereprezeotar i le b id imens iona le s i se indep; r teazdce l ma j mu l t de percept ia v izua l i a ob iec tu lu j d innaturi, De;i sisiemul de cotare permite deterrni_narea met r ic5 a ob iec tu lu i d in dou i p ro lec t i i o r to_Sonale, de muJte ori este necesar; jntroducereaunei a -tr_-^ia _pro iecl i i pentru inlelegerea objectului(f ig, 0,3 5). Practic, un object de a;hitecture com-D, ica t neces ; ra ml r r ,p le reprezcntdr i : p lanur r , sec-lju ni, fatade etc,Reprezentiri le in proieclie ortolonale sint atit deprec ise inc i t permj t cons t ruc l ia ;b iec tu lu i de arh i_tec turd . P ianur i le ,de execu l ie po t f i : p lanur i de fun_dat i t , p lan . r r i le d l {e r i te lo r n ive , . t r i , p ranu. i de co f ra re ,sec ! ,un l carac ter is t i ce , p lanur i de ln ie l i toare de ta-li j ,de faladi, detali i de finisa.j etc, Datoritd graduluiridicat de abstractizare, aceste reprezentd-ri con_s t i tu ie un . l imba j spec i f i c de arh i tec t i ] ra g i cons t ruc_!i i si descifrarea si inleJegerea lor necesii; o pregd_t i re de spec la l i ta te .

l i9. 0.3.4

l i s . 0 . 3 . 6t i 9 . 0 . 3 , 5

Geometrie descriptivi ti perrpe.tivd

f i g . 0 , 3 . 3

t8

ia

I

I

REpREZENTAnI or ARHTTECTUnA iN GEoMETRTADFscRrPTrvA 5t nxoNoMETRrE

1"ELEMENTE DE GEOMETRIE DES,CRIPTIVA

1 .1 , PUNCTUL 9 I DREAPTA

SISTEMUL DE PROIECTIE DUBLU ORTOGONALMONGE

( i < t c m r , l d e n r n i c r t i c d r r h l r o r t o o n n : l / n r r n i t

f longe) este a l ( ;1 , : r d in CouI p la-e pe 'perd cL-lare fHl ;i [V] ca'e se nunesc p/one d" Proie.'.e- [H] este pianul orizontal de proieclie ti [V] esteplanul ver t ica l de pro iec l ie .

Dreapta de in tersecl ie OX dint re aceste do!aplane de pro icc l ie se 'u1 'es 'e / ,ne de Fdmint .Cele doud p lane de p 'o iecr e [H] s . [V] s in t ne l imi-tate gi impart spaliul in patrLr zone numlte diedre,C e l e D a t r J u n g n i , , r i d i e d r e s e n o L e a z ; d e l a l I alV ( f ig . 1 ,1.1, ) . Un punct A d in spal iu se va Pro iectape cele doui p la:e H s V i r doui DJrc le a i i a ' ,nunTi te pro iec l i i le punctu lu i A.

Partea inlii

AL TREILEA PLAN DE PROIECTIE

Per ' . , r red> 'c r r r i comole tE a fo rmei ob iec tu lu ireprezen la t , se i r l rocLrce un aJ t 'e Jea o l "n de pro-n r r i p n e r n e n r r r l > r n c r p l c l : l + p r o r r ; n l : n c J H I

. . f V l f l < e n r r m p . t e n l : n : l l , r t c ' > l - - ' ^ i - - r 6 < i

se noleaza iW] ( f rg , t .1 .2. ) . P,ar- l la te"a i de p 'o-lec l c _Wl esre pe.pe-d.cul " r pe I i^ ia de p)r in tOX. in aceastS reprezentare, orice obiect va aveatre i pro ec l , i : p 'o Fct a or i ro r ta la pe p lan- l fH] ,pro iec l ia ver t ica ia pe p lanul [V] , pro iec l ia la tera l5pe p lanul [W]. Se presupune un obiect in sPa] iu/ r l o p v e m n l I r . c . > n t r < c 7 : i . . i ^ f t - , , . . 4 1 7\ u ,

L / ! | ? ' J

Pro iecr inc f recare pu^c t a l ob iec t ' lu i respecr iv pe. . - + ' - ^ l ' . . . l ^ ^ ' ^ a r r ' a ( a ^ h t i n . a l F r f p ; n r . -

,e r t . . a e ob i -c tu l - i , Pc ' t ' J a { ; reprezer ta le indo,a d . r e rs iu - i , dec pe un p la r (o la r5erJ , tab l ; ,c " e t ) , ce le coua pro ecL i i pe pra , e le LH] . . [W]

-^if-.+I" , .1I -!'.

l i g . 1 ,1 .2

19

III,

)

t rebuie aduse in p lanul pro iec l ie i ver t ica le, res-pectiv in [V]. Astfel, panul [H] se rotegte in jurulliniei de.pimint OX pini cind-se suprapune pesteplanul [V], iar planul lW] se roteste in jurul axeiOZ pini cind se suprapune ti el peste planul [V](fig. 1.1.4.), Pe acelaSi plan se ob{in cele trei pio-ieclii (orizontalS,^ verticalS fi laterali) ale obiectu-lui reprezentat. In figura 1.1,4. se poate observacorespondenta ceJor t re i pro iect j i , Pr in in t rodu-cerea planului lateral de proieclie lW], spaliul numai este d iv izat in patru unghiur i d iedre, c i in 8urg l ' iu . i r , iedre ( f ig . 1 .1.5. ) . Cele opt t r jedre senoteazd de la I la Vl l l .

COORDONATELE DESCRIPTIVE

Pozi l .a unui purct A a in spal iu este deterr r i ra td detrej coordonate descriptive, abscisa, depertarea ticota. Absclso punctuluieste distanla lui faJd de planulIateral de proiecqie W] $i se m;soar5 pe axa OX.DepatLoreo punclu lL j este d;s tanla lu i de p laru lvenical de projeqie [V] $i se rnisoar5 pe ara Oy.cotc ounctL lu i este d is tanta l l i ce p lanl l or izon-ta l de.pro iec j ie [H] 9 i se m;soar i pe axa OZ.Punctu l O este or ig inea s is temul ! i OX, OY, OZ.P.r i r_ . r .acate 'ea (suprapunerea) p lanelor de pro ie. -1 ie [H] s , Wl pe p lanut ver t ica, de pro iec i ie [V]se obl ine o reprezentare b id imensionald [ in douEd ne 's iun,) a ou ' rc tuJu. A d,n spal iu . pr in ie te t re iq'9 g_.,ti, p. ptanele [H.J, t4 ri Ltry] in f,gurrle 1.1 .5t , l . l . / se v ;d segmente le de d-eapta care misoaraabscrsa, depdrtarea ti cota punctului A, sjtuaterespectiv pe axele OX, OY 1i OZ, intrucit celet .er p 'are de pro iec! ,e s inr perpencicu,are toateintre ele (formeazl un rrledrLr tttdr+t.nghic), ab-scrsa, depdrtarea $i cota punctelor din spaliu se potmasura in mai mul te fe lur i , ca in l igur i le 1.1.8,1.1.91i 1 .1.10. Corespondenle le respect ive in epurd(adic5, in t r ip l , i pro iecte orrogona. i ) se v6c s i e leIn ce le l re i cazur i (per r ru dbs(rsA. depS.Lare s;cote). Coordonatele unui punct sint scrise in pa-rantez i , in ord i rea p-ezentar ; ; aosc;sa, dep5. ta"e,cotA, de exemplu A (11,- -6,9) , Pentru un punctsrtuat in trledrul 1 (cel reprezentat in figurile 1.1.81.1,9 i i 1 .1.10) . roare coofdol rdre ie labsc- isa, depi r -tarea ;i cota) sint pozitlye. Aceste coordonate sem5soare pe axele OX, OY 1i OZ pornind de lapunctul O in direclio indicatd de sdge.ti.Coordonatele sint ,egofiye atunci cind sint situatedincolo de punctul O $j se nrdsoar; in sens. inverspe axele de coordonate, Punctele situate in cele-la l te t r iedre ( l l . . . V l l l ) au cel pu l in una d in coordo-nate negative. Reprezentarea punctelor din aceste

f ig. 1.1.3

t i g . 1 .1 . {

f l9 . t . t . )

20 Reprezentdri de qrhitecturd in geometrid dejcript iv6 5i orohonelr ie

o ' -

l,o

t,. "

f ig. I.1,6 fig. Ll.7

t ig . L t .8

t ' .edre d : rec t 'n

p 'o ec l ia t r io togona l ; es re ce /a- ) r . o r n ^ l r o o d e n r e l e d i n r r ec e e r i c i p - o . c c , i a e p u n c t u l u i s o ' r t r a ' p J t i n e . i -dente i de aceea, es te recomandab i le ana l i za maiin t i i a corespo-den ie .o r in spdf iu , f ie pe mache- . i ,f ,e oe . - \ ra n , ,on^Fot r i . ; . O asemenea ana l iz i

pentru toate situal lle este rePrezentatd in fiSu-' r i l e 1 , 1 . 1 1 . . . 1 . 1 . 1 8 . F i g u r i l e 1 1 , 1 9 . . 1 1 2 4 i l u s '

treazar Pazitri|c particulore ale PUnctelor din'spaJiu,respectjv pe axeJe de coordonaie OX, OY 5i OZ,at i i ̂ n po '1 L lea negaL v i , c i t l

'1 Po ' t iLrea Pozi -

tivi a acestor axe.

f is . L l .9 f i 9 . | , 1 .10

Elemente de geometrie

I 6

AL DOILEAT R I E O R U

I (40,-J0, 25)

c - , - -

A ( ] 0 ,25 , l 5 )

f i s . l . l . l I

A i TR!]LTAT R r S 0 R U

i c 5, -i0,-2 0 )

{ ig . l . l . l 3v

I i g . 1 .1 .14

,,)Reprerentiri de qrhitesturd in geomelrio delcriptivd i i oronometrie

AL CINTILEATR IE D].'U

e

E (-/-0, t0, 3sl

f i9 . L l , ' l s

AL $APTELEAI R I E O R U

j --i.

AL $ls tLEAT I ? ] I C R U

I?r.r'lK

:

j:

l .

:I

Ii

:l

I

6 (- 30, -2 5, -3s )

K ( - 4 0 , 2 5 , - 3 0 )f ig . 1 .1 .18

Elemente de geometrie delcriptivi

- - t ' . -

i ' .Il - /

{ ig . l . l . l 7

23

PUNCTUL PTOX POZITIV

o '

24 Reprezentiri de orhitectu16 in geometrio descriptivi t i qrongmetrie

PUN CIUI PI0z POz Tii

E ( 0 . 0 , 2 )

PlNtTUL PEOZ NESAT]V

fig.- 1.1.23 : l io . 1 .1 .24

A B s a r - r e : a b p r o i e c t j e o r i z o n t a l ; , a ' b ' -n r n i p n i e r p r r i r ; . : r " h " - n r n i p r t i e l e i e r a l l l "

f isura 1,1.26 se observA. cordsDondenta c€lor t re i. ; ^ , . . * i ^ ' . , ' . " ' . 1 , " : $ : A R h , E . r a n : . ' l a i c , , li -

v i ! ! , r ' t i

- . - ^ - " a . . 1 . " ! ; ; ^ i . " , ' l A i - + . a r e l a J r a i ^ l , h F

ae Dro iec l ie lH ] , VJ . iW] . ea se rumei le d reopL.oorecc 'e . l i carL l n "a gc-e-a l . p ro iec l r ie d rep te i( F n ^ r a , 7 i ( A \ t A ' < r a t l t , o 1 " a

\ v / \ s / l \ ! / \ ' 6 " r ' z l /

DREAPTA IN SISTEMUL DE PROIECTIE

Se presupune c; ex is td dou; puncte s i tuate in t r i -e d ' L I l : A ( 4 , 1 . 2 ) s i B ( , 3 4 ) a l e c a " o r p r o i e c l i ip e c e l e t r e i p a n u ' i d e p . o , e c ! . e s ' - l : a a ' , a ' l ib , b ' , b" ( f ig , 1 ,1.25.) . Unind a cu b, a 'cu b ' t i a"cu b" , se obI :n pro iect i ; le segne- t -J- i de dreapt i

{ is . 1 .1.25 . f i 9 . 1 . , | , 26

Elemente do geomekie desctipi iyi , . ,r , . ' . 25

l ig 1.1.27

s:$

f is . l . l ,3 l

f ig. L1.28

lig. t.t.29

lig. L1.30

i

T

itig. 1.1.32

Celor doui proieclii, orizontald si vertical5 (dd ' ) , le corespurde :ntotdeau' ra in mod b iunivoco dreaptd in spaliu pi reclproc, cu condiiia ca unuipunct dat i r p"o iec1,e or ;zonta ld pe (d) s i - i cores_pJrd: L1 pd-ct in p.o iec l ia ver t ica lap;(d, ) , ln { :gr ra'1 .1.28 cele doLe pro iec l r j nu indepl jnes i cor i i r iaenunlat ; a ' r rer ior , de aceea pro iec l i i le (d) 1 i (d ' )nu pot reprezenta o dreaptd in spaliu.Urmele dreptei pe cele trei plone de proiecfie. Pu nctelede in tersecl ie a le unei drepte cu p lanele de pro-leclle se numesc urmele dreptei. Urmele o.izontold,verticold ,i loterold ale dreptei sint de fapt puncteledreptei care au respectiv coto, depdrtoreo sau ab-sclso nule. Urmele dreptei se noteaze de obicei(h- n-), (v, v'), (w, w'.1 ca in frgrra 1 .1 .29. Figura1.1.30 reorez int i consrrLct ;a d i "ect in epui ; aurmelor drepte i AB, in s is temul de p io lec l iel'1onge (dublu ortogonal), cele dou; urme (h, h,)9 i (v , v ' ) a le unei drepte (d, d ' ) pe cele doui p lanide pro,ieclie tHl ' i tVl se oblin ca in figurile 1.1,31s i 1 . 1 . 3 2 .In epurd ( f ig . 1 .1.32) se observd c i urma or izonta l ;se detern" i rd nai in t i i pr in prorecT;a e i ver t ica ldh ' , in t imp ce urna ver t ica l : se determin: naiintii prin proiectia ei orizontale v. Celelalte pro-iect i i se obl in pr ln s impla coresponden' , b iu . ;vocda proiecliei punctelor, proprietatea de bazd a geo-metriei descriptive .

26 Roprerentdri de orhitecturd in geornetrio descriptiv6,i oronometrie

{ ig . l . l ,33

I is . 1 .1 .34

t t - ' r . n i n r t p n n - ^ A r F . ^ - n . t h , : h . . t . . . ^ t ^ . r - t t

Si se de tern ine pe dr -eora D (d , d ' ) u r p rnc t f1(m. m ' ) de co te 2 . Se obse. / ; c i pur ( rL . c iu l ' t re -zu r : d i - i r , :e rsec l ia d 'ep ter ca le c - , " p an or :zonta l de co te 2 ( f ig . 1 .1 ,33) . in epura '1 . i .34 se4 . c t ( r t - p - ' j r i | . i : c F n ] - - t O X I a c o t a 2 s ise 8 ;s : t re o 'o iec1 . n m ' , Aoo . o r 'n coresoonce l ld .s e d e L e i - i n A p o e ( ' i a o r i z o " t t a l e m a p L - c t L - :M c ;u ta t .De ' . ' ' n t ra -c pz o d reoc-d c u . - b . ' cL de C. l i t .to re C.LA. S i se Cerer r . re D. d redDla D 1d , d ' ,7 un^ ' , - . + N ! / ^ - ' \ - 1 ^ , - l ^ ^ \ , + - - ^ ' ) , f t - I 4 ) c \ A ^ - l ^ -, , / ! c u c p d , r d , c z 5 . , . . r J . / . ^ ] ] d r u t

r r r n - r h l . m : - - 6 - a r o . ' i i r ' p . . - - i i n d . ' l r c i n t : . r r i

cu ur p ian f rcn ta l de dep l r ta re 2 fa ld de p lanu l^ . - i - ' t " r . n i o . . - c F ̂ r , r - . r u - r : u i N c d J t a L .

ln epur i ( f ig , 1 .1 ,36) se duce o para le l i la l in ia dep;n :n t OX la d .D; r la rea 2 s i se g5s :s re p ro ec t an , Apo i , p r in coresponden lS, se de le rmind pro iec-. l ja ver t i ca l ; n 'a punc tu lu i N .

POZITI ILE CARACTERISTICE ALE DREPTEI

, - r s - . a ' . I

3 ' - ' r r - c . J a ' . p o z - ^ . a a 1 t e " : s l . _ _ ,

: l F . l r A h r F : < \ . c ^ . F a c ^ i r . c 2 l a r i n < i c t c r r r l r l p n r n -

i c r r i - r r a r t n o n r : l ( l i o 1 1 1 A e o \ P p n t r r r r n m -- " 5 " - \ " OD F r a r : a < a n ^ { r F v F l 6 a , 1 r e a " : O a r e C a r e A D . n

Elemente_de geometrie descripl iv ' i

{ ig . I .1 ,35

fis. 1.1.36

fis. I '1.37

(o-c -1 ie , d .eo te e oara ieJe cL , p l " -e 'e fH ] [V ] 1 :[W] s'int, re5pectiv, drccpto orizartald, frontold s1A e r : r n f , l e r r l r p n r p l e n e r n c n i i r , l : r c n e n l : n c l e

[H], [V] ;i [W] sint, respectiv, dreapto verticold,. l F . n n a t < i . c ) f i . n t . . ^ t , i 6 n t . / n A < : r r r m p < r p < i n -

27

l i g . 1 ,1 .38 , b

l i g . 1 .1 .38 , e

l i g . 1 .1 .38 , c

l i g . 1 .1 .39

tetizat in figura 1.1.39, dreptele fronto-orizontalesint in acelasi timp gi orizontale li frontale. Drep-te le de capEt s :nt s mul tan or izonra le 5 i de pror i l ,iar drepte le ver t ica le s in t in acelas i t inrp dreptefrontale $i drepte de profil. Pentru evitarea confu-z i i lor , drepte le or izonta le care nu s int n ic i decapit n ic i^ fron to-orizonta le pot fi n umite orlzontoleoorecare, ln mod similar, se pot numi frontale oa-recare; i drepte le de prof i l oarecare.

Iig. 1.1.38, s

POZI] IA RELATIVA A DOUA DREPTE

Drepte porolele. Condilia necesara ti suficienu cadoua drepte sd fie paralele in spaliu este ca pro-iec l i i le lor de acelagi nume s i f ie para le le. Apa cumse vede in f igura 1,1.40, ab este para le la cu cd9ia'b' este paraleld cu c'd'. Pentru ca enunl.ul sA fiecoTect , es le nec-sar ca f i ?n cea de a t re ia pro Fc l ,e(pe planul [W]), cele doui drepte sd fie paralele(ftg, 1.1 .41). Reciproca este adevdratA - proieclii lecelor doud drepte pe [H], tVl 9i twl nu pot fi doud

':

l.I

Ii.

I

Reprerentiri de qrhitecturd in geometrio descriptivd ' i oronometrie

-dr. de profi t

Y { l t v ){is. Ll.38, d

Y ( 1 H )

{ig. '1.1.38, I

OREPI 'FRONTO.OR ZON, 'Ai ,E

C r f r o n l o -- o r i z o n i o l a

( ! \ r )

f ig. 1.1.40

cite doue paralele decit dacd cele doud drepte sintpafa le le in spal iu ,Drepte concL/-ente. Cordilia necesard fi suficientica doui drepre se f.e co-curente in spatiu este caF . ^ : 6 . + i i 6 t ^ - ) 6 ^ . 6 t . . , ^ - 6 s A f j e c O n c u r e n t e

r c < h F . l ; v 1 n . l ^ , , i ^ , , n r + F < ; t r i r + a ^ a e r o o : c i I n p

ce ord ine perpe-drcula.5 pe OX. l ; { igur i le 1.1.42pi 1 .1.43, aceste doui4 p- l^cte, Iq i i ' , def inesc punctu lI d in soat i r . Co-d i1 ia este necesara pe ' r t rJ toatecele t rer p-o iecr i i a le drepte lor pe p l ;ne le [H] ,[v] ei [w].l r major i tarea cazur ; lo ' s i r r suf ic 'ente ce le doulpro iect i i or togonale in s is temul de pro jec l ie Monge.D t . . ] t c n c h n . . l . l ^ . i . F . ^ n . t , r r . ' a < ' n t a , r n t c l e : l e

caror pro iec l i i Tu sar srac n c cond: t ia de pa"a le-l ism s. n :c i cond. ; ia de coocurenle. E le s ' r I d f+reoorecore,Verificare1 concurenlei unor drepte se face ca inf igura 1.1.44. Pr in punctu l de concuren1d a l unor

' l ig. 1.1.44

p . o i e c ! i ( d e e ' e m D l r c c c v e f t . r l e ) s e d u c e oj in ie de ord -e perPe-drcJ la r ; pe OX Ddc; eai r t i lne i te pu"c ru l de concuren lE a l ce lo r la l te p ro iec-

1 i , d rep te le s in t concurente , dac i nu , e le s in toarecaTe una faIA de cealaltd.

fis. '1.'1.42

Elemente de geometrie des.i ipt ivi 29

{ ig . l . l .4 I

APLICATI I ALE TEOREI1EI UNGHILILUI DREPT

1) P"rpe-dicula,e p: drcprc orizoltole sat frotr 1",Teorento unghiului drepc: pentru ca un unghi drept' i ' o ' ^ in adevar , i l ; r : r imepe un p la r , es re sLr f i c en l ca Lna d .n l " u r . 'e .J rg \ iu -l r r i < ; f i p n r ' , 1 " 1 ; r "

" . " 1 n l e n R p r n r n r : r p a ' c m c ;

este: un unghi este drept dacd pro iecJ i i le or togo-n : l c e l o l : + ' / i l ^ . < r l a n p r n n l - - . . - - - - - ' r i ^

I r w . r o . ! P L

I t t , r r ; < i n + n e r n e n / i r r : r p

Dec i , in f igura 1 . '1 .45 , per L 'u a duce o perperd , -cu ar ; . pe dreap la o r i lo . ta la G (g , g ' ) o ' i r punc tu lA (a , a ' ) es te su / ic ien t s i se duc i in p ro cL t ie o r iTo ' -la l : r , o perperd icJ ld rA d .n a pe (8 ) . de tern in?na. . - r - l ^ - ^ - . r ; . ^ . i - ^ ^ + . r i t t t i a a r a r a _I L

r ! . - J

r F . i . i . l i . t r p A . F ^ d t 2 A a t A < , n c r o p n r l r l : r : r ;

ta t5 . R id ic ind o l in ie de ord ine se ob l lne i ' s iun i rd pe a ' cu i ' se ob l re (d ' ) . Perperd ic - r - la ra pcdreapta orizontale G (g, g') este D (d, d'). In figura1 .1 .46 , s -a dus pr in pL . rnc tu l a , a 'o d reaptd perpen-d icu la rd pe f ron ta la ( l f ) , fo 'os r d aceea) . teorema.lq p ro iec ! ie ver t i ca lE s -a dus perpe:d ic - le ra c in a 'pe ( f ' ) in i ' , s -a cobor iT o l r r e de ord i re pe ( f ) i -i f i s -a un i t a cu l , ob t in indu se pro iec l ia o r izon ta lda perpendicularei E (€,.- e') cdutare.

A 2) Perper .d ,cJa-a pe a d : -cDLo ocrc :o e . :n fgurai .1 .47 , s ; se dLca p- i r puncru A (a , a , , e^ te r ;o r d r e lte i D (d , d ' ) o d reapt i corcLrcnr ; s perpeFc:cu la r ;pe dreapta (D). Pentru aceasta prin punctLrlA se duc o o r izon ta l ; s i o f ron ta l i , concure f te inG p i F cu (D) . Se obL,^e asr 'e l t ' i u rgh i - l AGF.in care s -au cons t ru i t ina l l lm i le d in G t i d in Fd - c i r d C i r G p e r o e ^ c i c - l a ' a G G , p e f - o r a i s id in F perpend icu la ra FF, pe or izon ta ld , As t fe l s -a de-te rmina t o r tocent ru l M a l t r iungh iu lu i AGF. Un indA cu M se ie te rmin i cea de a t re ia ind l l ime a t r iun-ghiuluiAGF care este dc fapt perpenciculoro clruti,.

c n r \ , , . ,!-) 3) Adr.: 'oto [LnBi'!e o .,ru, segrner.t dp dreaDfiodrecore . Dac l Pr , . ex t rem: ta lea A a segmectu . rde dreaptd AB ( f ig . 1 ,1 .a8) se duce o para le lS 1aproiecTia orizontalS a segmentului AB (adici la ab),se ob l ine t r iungh iu l d rep tungh ic ABbr , a c ; ru l ipo-tenuzd es te de fap t adev i ra ta lung ime a segmentu lu ic iL ta t , l r aces t t r iu lgh ; d rep tungf ;c i -s5 , se curosc. a l p . l ^ l ; . r r F r F , , ^ r

zonta l : ab , ia r ceaJa l t i es re ega la cu d i ie re - , racore lo r pLncre lo r A s i B . Va loarea pr :n e i ca te teapare asadar in p lanu l o r izon ta l de pro iec l ie [H ] ,ia r d . fe renLa de co le d i r r :e A s i B se poare r r ;s - rain p ro iec t ie ver t i ca lS [V ] ( f ig . 1 .1 .49 . ) . T r iungh iu ld rep tungh ic se cons u ie t te ca in f igura 1 .1 .49 ,

Reprezentdri de arhitectdrd in geonetr iq deicripl i !d t i oxoiromctrie

f ig. LI.45

fig. 1,L46

li1. 1.1.47

difere nfoco f e lo r

difere nlodepdftori(of

f i s . 1 .1 .48

iar ipotenuza lui este adevArata lungime a segmen-tu lu i AB, in mod s imi lar se Poate constru i unt r iunghi dreptunghic ducind Pr in punctu l A oparaleli la proieclia verticald a'b'. Cele doua cateteale acestu i t r iunghi dreptunShic vor f i respect ivpro iec l ia ver t ica la a 'b ' a segmentu lu i ab 1 i d i ferentadepJrrar : lo ' ce lor co. , i puncre A s B. 5 i in acestcaz ( f ig , '1 . '1 .50) , ipotenuza t r iunghiu lu i drePtunghiceste adevi rata lungime a segmentu lu i AB d in spa-I i u ,

1 , 2 , P L A N U L

REPREZENTAREA P!-ANULUI

lJrmele unui plan pe cele trei plone de proieciie [H],[V], [W]. Daca punctul 9i dreapta Pot fi foarte binereprezentate in sistemul triortoSonal prin proiec-l i i ie lor pe cele t re i p lare de pro iec l ie , in cazulreprezentdrii unui Plan, Proieclii le acestuia PetHl, tVl li [W] sint, in cea mai mare Parte dincazuri, irelevante sau nesemnificative, intrucite le pot se acopere in in t regime unul , doue sau chiartoate cele trei plane de proieclie. Practic; singuramodal i ta te de a def in i sau reprezenta Pr in t r iP ldproieclie ortogonald un plan este aceea de a gis

9 i desena urmele sau td ietur i /e p lanuiu i resPect lvcu cele t re i p lane de pro ect ie ( f rg . 1 21l . p lanL, '

oarecare iP] din figura 1,2.2 are reorezentate in celet re i pro.ec l i i : ur r rasa pe p lanu. or .zonta l de pro 'ct ie (P) . urma pe p laru l ver t ,ca ' (P ' ) s ' u"ma pe p la-nul la tera l (P") .

l i g . 1 .1 .49 lig. 1.1.50

Elemente de geometrie de:criptivd 3l

l i 9 . 1 .2 .1

lig. 1.2.2,

DREAPTA CONTINUTA iN PLAN

A;a cum fezu l td g i d jn sch i ta axonomet r ic ;( t tg . 1 .2 .3 ) . co id t t io . lecesa |d l t | f , c ie^Ldper r rncaodr-eoptd sd opotliFd unui plon este co urmele otepteiso / e srluote pe urmele de ocela.ci nume (onorine)ole plonului. Dredpta VH (vh, v,h,) are urma sio r izon ta l5 (h , h ' ) i i ruau pe ur r .a o r izo i taA (p )a planu_lui,-iar urmiverticala (v, v') situati i pe ur-'raverticald (P') a planului.

l

Co rd i l i a 1sqs53p5 : i su f c i e . rE pe . I - J ca J l pLnc ts i f r . . s i t r r a t l r r - u . . p l an es te cd e t s ; ap , r l nd u -e id r e p t e a D l d r L l u . r ' i g u . a 1 . 2 . 4 . p u n c t u l M / m . m , )es. le .s ; tuat ' in p la i ' tu ' [P] , pe^t ru ca se af t i o- c"eapraHV (hv, h 'v ' ) ce apar l ine p lanulu i [p ] .

DEFINIREA PLANULU I

Un p lan poate f i def in i t pr in :a) doui d repte para le le;h\ l ^ i . l /ah+a

c) un. punct f i o dreapt i ,

a) S i se constru iasca u-re e (P) ' i (P ' ) a ,e oran. l lu idefinit prin dreptele plaralele D (d, d') ;i A (3, 3')(fig. 1.2.5). Se gdsesc mai intii urmele orizontalehh' 9i hrhj ;i urmele verticale vv', si vrvl ale celordoui drepte. Unind h cu h l se dbTine urn ' ra or izon-ta lA (P) a p lanulu i , Unind v 'cu v i se obt ine urmaverticald (P') a planului. Ca verificare, urmele(P) s i (P ' ) r rebui? .b se i r l i l reasc i pe OX ; r aceJat ;pu nct P, .

b) Sd se corst rL ascd L 'mele (P) s ; (P ' ) a le p lan- lu ic e l i r i r p ' i r a - e D t F ' e D ( d , d ' ) s i A ( 3 , 8 ' ) c o r c u r e r l ein punctu I Y (flg. 1 ,2.6). ProbJema se rezolv5 asemt-n i tor . Se af lS urmele drepte lor t i se determind ur-mele p lanulu i in pro iec l ie or . izonta ld (P) t i in pro iec-

li1. 1.2.5.

Repre!entir i de drhi iqcturd in gegmgtrio de5cript ivd t i oronomeir ie

{ig. 1.2.3

1 .2 .6f ig. I

li

c) S ; se cons t ru iasca urmele (P) t i (P ' ) a le unu ip la ' r de ' rn ic p r in DUnctL , l A (a , a '7 s i d reaptaA ( 8 3 ' ) ( t i g . 1 . 7 . 7 ) . P r i n p r - n c t u l A s e d L C e o p a . , r l e l Sl, d-c)a'A (A) si se oroceJeazi a5e.n51ator cuce le doue Prob leme Precedente .

DREPTELE IMPORTANTE ALE PLAN ULUI

Drepte le impor tan te a le p lanu lu i s in t o r izon ta le le ,f ro - ra le le s i l i n i i Je de cea mai mare panr i a le p laru lu i in raoor t cu p 'a ru l o r izon la l sar - cu o .anu lver t i ca l de pro iec l ie . l r . sch i t r axo-o i re r r i cd d . rf igura 1 ,2 ,8 5 i in f .gura 1 .2 .9 s in t reprezenta tedouE d iep te a ' :za tLGl^ a lc o la ruru i oa"ecare [P ] .Pro iec l i i l e lo r o r izon ta le s in t para le le cu u imior izon ta ld (P) a p lanu l r ' l i . in f igura '1 ,2 ,10 s in t re -

/

prezentate citeva crizontale ale planului oarecare[P] . ln schi la axonometr ic ; ( f ig . 1 .2.11) l i in epurd( f ig . 1 .2. '2) s i r t reDrere^Lale doJa drepte f ronta leale p lanulu i oarecare [P] . Pro iec] i i le lor ver t ica les int para le le cu urma ver t ica lS (P ' ) a p lanulu i .ln schi la axonometr ice ( f ig . 1 .2,13) ; i in epurA(fil.1,2.14) sint reprezentate doud drepte de ceo moimare far tLd, i1 rapor t cu p laru l or izonta l de pro-iec l ie [H] , a le p lanulu i oarecare [P] , Pro iec l i i le or i -zontale ale dreptelor de cea mai rnare pante in ra-n n r + r r n l : n r r l ^ . i 7 ^ ^ + r l < i n r h p t h , . A ; . t l n t p ^ F

ur ra o r i lon ta l i (P) a p 'a -u ' - r i . P ldn- l p -o iec tan t(vertical) in care se afld situata o astfel de dreaptdde cea ra fnare par t ; es te pe 'pe . ,d icu la r pe urmaor izon ta ld (P) a p lanu lu i - oarecare (v , t r iungh iu lhas t 'a t d in ' ;g . 1 .2 .13) . ln aces t p lan ver t i ca l sen ^ i t c . i t i r r n o h i r I n n r a r c i l l a c '. . . _ . e p t a n u r o r . e c a ' .

[P ] c r p la -u1 o ' .zon ta l de pro iec t ie [H ] .

I ig. 1.2.9

i. .itI

:l

a

P t

0

lig. 1.2,7 Iig 1.2.8

/ l

/ - lq\ :ip',/ z/

./ , ' , '/ / /

^ . / / /x f ,,/ ,t 2

\

\'

{ ig. L2.10

I, Elemente de geometrie descript ivd

18

l ig, 1,2,11 {.is, |,2.r2

- ' I -

'it

$

{

l*:\t_.4

FIl

''

.iY

,t ...!: !.

:

Linic Ce cea ne.i nare pantd a urtui pici ' , deterniraenp le t P ianu l . in f i6ura 1 .2 .15 , au fos t de termina teurmele (P) 9 i (P ' ) ae p lanub i care con l ine dreaPtade cea mai mare pantd D (d , d ) . Urma or izon ta l i(P) a p lanu lu i t fece pr in u rnra h a l jn ie i de cea maim r r . n r n : - . i , . r . r r r n a n l . , ! l ' n c h ^ i p . r r

or izon taa (d ) . Se ob i ine P" 9 i apo i lP ' ) , care i rece

P n n v .

l ig. 1.2.14 iig. r,2'r5

POZITI ILE PARTICULARE ALE PLANULUI IN RAPORT

CU PLAN ELE DE PROIECTIE

Aceste pozl l i l s in t u rmetoar€ ie:= p laru l de n ive l (para le l cu [H] - f ig . 1 '216) : . l

" i ,Lp lanul f ronta l (para le l cu [V] - f i8 12.17) t L t i ' ) -

[ . . i ' l ce Prof ' . foa 'a e cu [w] - ' r9 1 218) ; ; ' , ^ .

il

I.N

J

.2.17 l i ' 1'2'1E

de orhitect!rd in geometrid descripti!6 l i oxonometrie

{ i9 . 1 .2 .13 l i g , 1 ,2 .15

f ig. 1.2.17

34 Reprezentdri

c) Sd se cons t ru iascd urmele (P) 9 i (P ' ) a le unu ip la r de ' rn i t p r in ounc t r , l A (a , a ' ) s i d reaptaA ( D 8 ' ) ( f i g . 1 . 2 . 7 ) . P r i n p u n c t u l A s e d u c e o p " ' ; r e l ala dreapta (A) qi se procedeazi asemAnitor cuce le dou i p rob leme precedente .

DREPTELE II4PORTANTE ALE PLAN ULUI

Drepte le impor tan te a le p lanu lu i s in t o r izon ta le le ,f ron ta le le s i l i n i i le de cea mai mare pant i a le p la -ru lu i in raoor t cu p lanu l o r izon ta l saL cu o lan . lver t i ca l de pro iec t ie . l r sch i ! r axo^on-e t - i c i d i rf igura 1 .2 ,8 g i in f igura 1 .2 .9 s in t reprezenta tedoud drepte orizantole ale planului oarecare [p].Pro iec l i i l e lo r o r izon ta le -s in t para te le cu urmaor izon ta lA (P) a p lanu lu i . 1n f igura 1 ,2 .10 s in t re -

/

prezentate citeva crizontale ale planului oarecare[P]. ln schila axonometrica (fig. 1.7.11) ti in epurd(fig. 1..2.12) sint reprezentate doua drepte frontaleale p lanulu i oarecare [P] . Pro iec l i i le lor ver t ica les int para le le cu uTma ver t ica lS (P ' ) a p lanulu i ,ln schi la axonometr icd ( f ig . 1 .2.13) 9 i in epura(fig. 1.2,14) sint reprezentate daue drepte de ce1 moimore pantd, in raport cu planul orizontal de pro-ieclie [H], ale planului oarecare [P]. Proiec]iile orj-zontale ale dreotelor de cea mai rnare pantdin ra-Por t cu P 'a1ul o" i . ,onta l s^ l t pe 'Pendi .u lote Peu-na or izonla la (P) a p laru lu i . P lanul pro iectant(ver t ca l ) in care se af l i s i tuat i o ast fe l de dreapt ir l e r c : m : m , r F h , h l j p c r c n e r n e r r l i r l : r n c r r r m r

or izon la 'a (P) a p 'a "u lu i - oarecare (v . t r iungh iu lfa iu ra t d in f 'g . 1 .2 .13) , 1n aces t p lan verL ica l sen ^ r r p . i l i r r n o h i r l n e e > r c i l f a r '_ - _ . . . _ - 3 p r a n u ' o r r e c a r f[P ] cu p lanu/ o r izon ta l de pro iec ]e [H] .

f ig. 1.2.9lig, 1.2,7

i

,

Pr

/ - lq\ i:/

,,,/ z/./ . ' ,t

, / a /x P,,/ -/ ^,/

\

\-1P

t ig. 1.2.10

l. Elemente de geometrie der.f ipt iv;

l 8

, is. 1,2,11 l ig . | .2 .12

/ _ - - - \ ,

i_-T

ll

f i s . '1 .? .19Y/

l is. 1.2.20 l ig. 1.2.2r

PLANE PARALETE

P l r n e l " n , n l c l p : r , r r m p l p A r ' ̂ - - - '

In cazu l p lane lo" para 'e le lP l ; i [Q] . u rn 'a (P) ap lanu lu i pe p lanL l o r :zor ta l de pro tecg ie es te para-le lS cu urma (Q) a p lanu l r i [Q] o" acc 'as i p lan depro ;ec l ie . S imi la r . u rma (P ' ) es te oara le 'A cu u 'n 'a(Q'), 9i urma (P") este paraleld cu urma (Q")(f ig. 1,2.72, a 1t b).

- p lanui ver t ica l (perpendicular pe [H] - f ig .1 .1,19)l- p lanul de capbt (perpendicular pe [V] - f ig .1 .2.20):* p lanul f ronto-or izonta l (perpendicular pe [W]- fig. 1,2.21),

1.2,72, o

Elemente de geometrie detcript ivi

i---;'1--'l, - / - : - -_o _ - i

l ig. 1.2.22, b

DREPTE SI PLANE PARALELE

iJ,"1' i 3;'i;'1', ; ; i f ,i?,'":.,i,: ; i,i :. j.f i?se cuca pnn A o dreapG para le ld cu p lanu l . Se ia

i lJ,;i!ll,3i!:'!:"0t.9 of,l gf;.1"1 1) "'?l::ltu la , o , ta ea . p rob lena are o in f in i ta te de so lu t i j .Aceasta dreapti va {j paralel; cu pranul [pl, deoa-

i""'Llitj,#'"'''' cu o dreaPu a (8 8J conlinut;

',1,":r:::!;l^:\rl:":'i,;i:.::":i,o;:.:i.l.;,;?-1r l l l " - : " ! i

ptar, [p] care trece pr,r purct .r l AU,_"r,.".p".i:,"

(L dreapta (Dj, prin punctul A (a,a,).

: ii, 6i''" ;:, ;# ?o') 0"1: :':*, !'' n t ?,' i, I €i'"':B I :; :; ::i:' ::,:' :11.,5 i.":'"* H ;"'o

r u, i " a-p ro-

INTERSECIII DE PLANE

iL' l, 5;i' "**. i:'i:T:, j:';:;) "::. j"o,?

"o ;;n f l i r te -sec f ja u"melor lo r \e r t i ca le in v , s^n t

: :i';' ;, i# "F. j,!lf ;: o'o'/. 3;"",' "' " ̂ e c l i e a ce i o r

;,.1" i a^"-" ic r. *" ". : ri o i. i ii i ll : :,#i: lT'jr". " :!i1,i;6"(iliii,.'::"".i:.*::i'l;:i""ixi"?i5:';l l"-

,j:], (v/. rezLtt nd puncrul h, jar urma verti_

:'1 : ;: l. I : l'Ji 1 :' lli, "" S3' T:'J|X', i?, HlSll::il]:- !r*qt" de inrersec.lie HV (hv, h,v,.1.

,,i"tr'i1ff 'S!11','J.:,J"lil:;.,ilJ,:"r;"'::,,rJl,,lmn, m'n ' este o dreapr6 or jzonta lA .o, . ,1 inut : i .

.lig. 1.2.24

p la ru l , [P . ] ,Ea ,esre .or jzon tara p lanu lu i [p ] s , tua t i lacota pla-.r ut!;. lHi: in epuri (f ig. 1.2.29),-i; proiectjeverLcak {Hif inrersecteaze urma (p), rezultindpunctLr l m ' . l r p ro iec t ie o r i to , t ta le ie 'observ i c I ,c r rc rnd r rn punc lu l m (de pe OX) o para le l ; laurma (P) , rezu lT : mn, m,n , _ d reapta de jn te rsec_Iie ceutata,

Ir

.$

*s

lig. 1.2.23

lis, 1.2.25 lig. 1,2.2b

Reprerentdri de orhiteclu.i in

.l ig. 1.2,27

9eometrio de!cfiptivi t i oxonometrie36

E

f is. 1,2.29

lnterseclio unui plan verticol cu un plan de nivelDreapta de interseclie este evident o orizontaldsituat; la cota planului de nivel (f ig. 1.2.79) Pro-iec l ;a o r izon ta l ; a d rep te i de in te rsec i ie se con-fundd cu urma or izon ta ld a p lanu lu i ver t i ca l , ia rp"o iec t ia ver t i ca lS a d repre i de i r te rsec t ie se co ' ] -iund i cu urma ver t i ca le a P lanu lu i o r izon ta(f ig. 1,2,30), n

\-.t

'2s {i9' l '2 30

lnterseclio unui plan vetticol cu un plon de copdt'Dreacta de interseclie este o dreaPte oarecare ac i re i pro iect ie or izonta ld se confundd cu urmaor izonia ld a Planulu i ver t ica l , in t imp ce pro iec l iaver t ica l ; se confundi cu urma ver t ica ld a p lanulu ide capdt (fig, 1 2.31, 1 .2.32)Plane date prin alte elemente Seometrice. 5d secete,.mine intersecflo dintre daud pldci Plone doteDrin braiectiile ior si sd se studieze vizibilitoteoccesiel lrtersec{ii in roport cu planele de Proieclie.Exst ; doub p l :c i t r iunBhiu lare ' ABC 9i MNP(f ig . '1 ,2.33) , Se duc doui p lane auxi l iare ver t ica le

{ig. 1.2.32 fig, 1.2.33

l€lemente dc g!omelrie

fig. 1.2.31

y,,1,,, jj1l, of'ujr : ;.- :"'i'd ". T ), ; ;; l:' I ;[ :piit[1,: ru m i'ril,tr tl?!j'I! r . cdpr .d rz . tnLr re l te la lL ra l , lN , la tUrd Dr ,1 cdr€a Tos t dLs p ld ' ru t [Vr ] in p : : rc :_ t R . ,n mod asemi_

gi:.J.q i;',',#: llx:';:' ":i.ii:'l! i'",.,"#tjv MN. 5e observi, de asemenea, ci aceasta drlap-

t i 34 v t . i - r i j - j la tura BC f larur j pr in carc s .a cJusDla. rLt IV2J, i r punctu l S. Un,nd cele doud punctei: -f1

.j. ::9.?1 ","

inrersecr;a dintre pllcile triungh u_rare da-te 0ig. 1, 2. 14). Vjzibiiirated interseclEl se,.],:o-,:-r1 ;" pro:eclie o-;zontal5, analizind diferenla: : :o lu . . pu^_cte lor , iar in pro iec i ie .ver t ica l l corn-par ind depdr t ; r i le puncte ldr . '

11. :e-detefl./re-pia;ecd,le dreptei oe t,ltersccr;e c?!o,nrrt date f.iecare prir cite oaud dtepte porckt(

i;, : i:, R:, : "ii 'i ii I iT;.lt.: i ;:.rjl J .1 ; rJj lnele date dupi c ; te o or izo. ta ld. Ceredou, ior jzonia lese inr i l .e :c i r purctu j J0, j , ) , care esre ast fe l puncrcor ' ]un celo. doL; p lane cate in i ! ia i . p lanul lHj l in-tersecreaz; s i e l ce le dot i p lane aLpa dou; Lr iTon_1a,e care se in t i lnesc in puncrut | ( i , i , ) . in t ruc i t s iP- ! : , : l ! l | ( i , i ) . este, punct comun cetor 'douE p lanern,irate, rezutti -c.a dreaq]a de intersecl;e u .celtoraesre dreapta U (i j, i, i,).

1,3, RELATIILE DINTRE DREPTE SI PLANE

INTERSECTII DINTRE DREPTE $I PLANE

1,2,34f iq.

1turc.:ecl.o^dr Lrc o d,eaptcj vetti(old si u1 blaiooreco le , l - rob len a se rcduce la de le rmrnarea unu ii_11:l l"

sr,prafara DJd.r_ulJi, care sA aparlinl inlce .as l , t rnp $ j C fepr ( r . Ver r ica la esLe iocr , l !eome_r r ic a i tu t r l ro r punc te lo r de absc isd g i de ia r ta reconstante ;r de cotd variabiJd. pe acest loc geome_t f rc t rebu ie de terminata co ta punc tu lu i ia re seaf ia De supra fa la p lanu lu i ( f ig , i . : . t ; . n "n . t r f j ", - re , jec l .e ._ ;_ la r s . .a gas i dec i la in te rsec t iall I : :: l ic.al4

d1l; t o c'capri oarecare conlir urd' I p ta ' rL I ,da t , ln f igura 1 .3 .2 , s_a a les d reap l3 63rqse spr1rn ; p_e v i r fu l M1m, m, ) p i pe urma o i i zon ta l ia p raru tu , (P) s ' ca-e es te concurentA cu ve" t rca la inpunctul. l( i, f), Cota punctului l( i, i ,) este astfeide termjnate in p ro iec{ ia ver t j ca l ; . punc tu l de in_tersec ! ,e d in t .e d reapta vcr r i ca le 5 i p lanu l oarecarepoate . r r de ter .n j . la t 5 i cu a ju roru l une i d reDtelrontale sau orizontale care se sprij ini pe verticalad .a t i . s i apar r ine p lanu lu i [p ] ( f ig , i .3 ,3 g i .1 .3 .4 ) .

lns , r r i , t , se na i poate fo los i g i o d reapte de cea maimare pdnt i ap lanu lu i in rapor t cu p tanu l o r izon ta lde Dro iec l ie [H ] ( f ig . 1 .3 .5 p i 1 ,3 .5 ) ,lctersect;a.d,irtte o d.eopLd de caDfu si u,1 plon otre-( : -e L -a

i r ta dFeapta ye . t ;ca l i , In te r5ec t ia d i " t re od r e a P U , d e c a p S l i i u n p l a - o r r . : . r - e s . r e J u c , .ra p roDiema determi -5 r r i unL l punc t pc s r -1 -a fa tapraru tu t . L r 'eapta de cap5t esre Jocu l geomet r . ,c a ltL tu ror punc te lo f ce co tE s i absc is i i ions tar te s i

lis. 1.2.35

38 Reprerentdri de orhitecturd in geonehiq d66(iptiv6,i oronqmotris

f i s . 1 .3 .1

de dep i r ta re va ' iab ' l i i . Se \a de tLr r i r . dec i d^o i 't a r e , r p u r c t u ' J i d e p e d r e a p r r d e c a ) ; 1 , c o ' s es i tueaz i in p lanu l da t . Punc tu l Ce in te rsec l ie cauta t se poate de termina s i iu indu- Pe o dreaPt ;carac ter is t l c ; a p lanu lu i (o r izon ta ld , Ion ta l ; saude cea n" i na 'e pdnta fa .d de D lanu lve : cd dc p 'o -

iec t le [V ] ) . in f igur i le 1 ,1 .7 , 1 .3 .8 , in te rsec l la d in t rep l a n u ' [ P ] ; i d r e a p L a d e c a D E t e " l c ' e z o \ a : 5 ( u a u 'to ru l o r izon ta le i p lanu lu i care se spr i j in i ; i Pedreapta de capit.

/ntersectid dintre o dreoPtd odreaore ;l un plan aore-cor.e. Se conside,tl dreapta oarecare (D) 9i planuloarecare [P ] ( f ;g . 1 .3 .9 ) . Pr in d reapta (D) se dJCe E4p lan aux i l ia ' , ce capbt lCJ . Ce le dou i D an ' . [P lgi [C], se intersecteaze duPi o dreaptd HV (hv, h'v')

Dreapta D(d , d ' ) es te con l inu td 1n p ianu l [C ]( f ig . t .3 .19 ; , D 'eapt r HV (hv , h 'v ' ) es :e conL i r u ta a t i rin"ptunur ic1 cir s i ln

'p,ar- l [P; . i - r . rc: t an-bele

drepte sint conl inute in planul auxi l iar [C], e lesevor in te rsec ta . Punc tJ l lo r de in rersec l re l ( i . i ' )

este punctul de interseclie dintre dreapta oarecare

{ig. L3.4

( D ) s p l . r r u o l c c , r e [ P ] i r ' ' ; - e - ' l s i l r " 2

ic -ezo r : r ; r - 'pas P ob le r i ddc rd , de d" -daceas ta , p r iN dreapta (D) , un p lan aux i l ia r ver -t i ca l . Se ln te r -sec teaz ; p l , rnu l ver t i ca l cu p lanr ] lo ec" r 'e [P ] . i r r d rcar i " loJ de l r te -secT e 'a l i i aC r e o p L a ( D t . r L ' - c r L I c r e e , L c c h : a r P - c t J I

de in te r ie i l c d i r t re d feaPta (D) s i p lanu l [P ] ,

O b s e r v a 1 i e . i n c a z u l i n t e r s e c l l e i u n u i p l a n

cu o dreapt i oarecare , p anu l aux l l a r caTe 5e ducepr in acea i r i c edpt ; e ,Le rn p lon d . copdc sar unp lan ver t i ca l , ; i nu un p lan carecare , P laneJe de

caD; i 5 i ce le re r r ' ca 'e , ' i .nd P 'c .e p !a :2L torLe ' au

urmele ver t j ca le , respec t iv o r izon ta le , iden t ice cupra iec t i i l e lo r ver t i ca le , resPect iv o r izon ta le . D in

aceas ta cauz i , punc te le Io r de in te rsec l ie cu or ice

d ,eapt " :e cere n i r i ined " t . in t ruc iL o ro iec ; i i l e

l o r \ . r l i c d ' e " e a ' , d p ^ r r r a v e ' t c a "

a g r a - u l u i

( ' i n ca :u l p lanu lu i de cap i t ) sau pro iec l i i l e lo r o r i -

zon ta le se a f ld pe urma or izon ta ld a p lanu lu i ( in

cazu l p lanu lu i ver t i ca l )

f is. 1.3.3 {is. 1.3.5

_ilrn 0\ l 1 1

M;"\

{;s. 1.3.5

Elemente de geometrie descriptivE 39

l i g . 1 .3 .2

- a

*$

$I

lt

{is, 1.3.7 fis. 1.3.9 I is . 1 .3.11

l ig. 1.3.12fig. 1.3'8 ris. l.3.ro

I 5A ,u dererm re praieclii le

$rid$m,,',il.n,*':iiiil 1,'::::J;:,?;i,,?' t:;:?Ji g 1';{, :.j"1:!; if " i',: lJ :l nl;,, i .; ltii,i,i;?i;", ":'. "*.:l.tij ij::";:":::'"J.t;:'ect ie !';zortd ; ., u ri'i" J Jirui

_ -.neu,in j - o"plr;j.id i,,.i,"rli.iiT:i". *"',.,r,-,fdtffiu|ik}i#;diffi;"ilj"Ii; ? :iJili #:..3::::.+lllliii"]jdh;,!)l"#r:i:f ifu l*i ::m : r;;:,.".ri::r?#;{mff i#,h:::::"i:1i.t",,;(.,i,,{

II

iIl

t ig. 1.3.13

Rep.elentdri de orhiteqturd in geonekio descriptivd,i oronorretrie

iH .

A(3, E ' ) Dreapta G(g ' g ' ) se obi lne, ur ind pe-A

l;i,"i";'*:"'1",;:,':'*l;.;'i! :,:'3:::1,:proo ' ie te "sre dreapra G/s s ) ca 'e t re ' ' Pr l r

i u n c t L , ' A i i s e s p - . i r i " p e - b r e p t e l e D ( d d )

si A (3, )').

DREPTE $I PLANE PERPENDICULARE

DreaDtd perpendiculard pe un p/on -Teore-maI

" - ' o " r . p e r d i c u l a r i l a t e a r i ' n 5 c i o

' I r - "uoio p" ip" ,a cu lar : Pe u- p lan a-e pro iect r :

berpe-c l iu l "e resPec! / oo Lrnele de a: ( s l

t i i " i" o'".rr" i- [ 'g r :1ol s" ia a-eapta lD-^oi7oe=d

cuferrpt- -i l t iul -[P]

Plaru l ei. pro' ec Ldl L

i h a ; u r a l i n f g u r i ) e s - e p e r P e l d ; ' L a ' a t t p e E r - : u l

i p t , c ' t > ; p e - p r a r r - l [ H ] d e c i e ' t e P e r D e n d ' * l , r ' , : l

o " d ' " "p t , loa de ie te rsec l , ie ' u rmd or lzor ld la ( r r

! p l a . u i r i U r n a ( P 7 f n d p e r p e - d c L t a ' a P l D L l l f l

o lo iec tanr ' es te pe"Perc icL arE Pe o 'ce d 'e2Dra

d i n a c e s r p l a r , d c c , i m p c ' r ' s i D e p ' o e c ! a o r L -

zonta la (d ) a o rep te i (D) ( f 'g 1 3 17) l r f rod -asenanEtor se de"non i t reaTa PerPend i 'u 'a l la tea ln Dro-

iec l ie ver t i ca lA .

f ig . 1 .3 .14

Elemenle de geomelr ie descript ivi

Plan a . Dend ic - la r pe a ( 'eo f 'd Sa se de te-mine

. . . u 1 " i P ) s ( P ' ) a l e p a r l l u i c a ' e t r e ( e ) ' r . P u r c -

b1, ;.c, i.i, i,"":':"ff :r ;J::ilJ l?":"1 :l?qi!h' :.u";;ll".ii.'ili3l"ur"" ,:',1 :":' ';'iiii

l ig. 1.3'17

4l

{ is . 1 .3.16

f ig. 1.3.18l is . 1 .3. i5

xt

{ is . 1 .3.19

dusd pr in punctu l A(a, a, ) , ast fe l inc i t D s i f ie per-pendiculard pe (d) , arb urma ver t jca jd v , , perpendi_culara dusd .in v' p-e (d,) este uTma verticaie (p,)a p lanulu i cdutat , Rezute px, pr in care se duceL " r " ' rd or izonla lS (P) pararerd c .L (D) . pranul (pp) ,dv,nd urne. te sa 'e perperd icu lare, respecr iv oeDrorec l te de aceJasj nume are d-cpLci (D) . va f rperpendicular pe dreapta (D) .

;$reopr,i peif)endiculad pe o dreaptd. Si se constru-iasc; pro iec l i l le unei perpendiculare A (3, D,) peo._dr 'eapLe oarecare D(d, d ) dusE d;nt r_ua n-- : r1"1(m, m') er ter ior e i . in f igu ja 1.3.19 se drc. pr npunctu l M un p lan perpendicular pe dre. rpta iD) ,pe care o va intersccta in p^un_r". L Dreapta ll,1esre ne pe-drcutara c ;LtarE 1. [ rgu, .a i 3 20. p.o_

{ig. 1.3.20

blema se va rezolva astfel; cu ajutorul frontaleiF i t f ' ) , se duce pr in p ; rc t r - l M(m, m, ) p lan l l (pp , )o-e-pendicular pe dreapra oati D(d, d,j. Acest pla;'PP ' )

es te i r te "sec :ar ce dreapra D(d , d ; in pun i tu ll ( i i ) , c a ' e s e o b t i . e c - a j J t o , u l p l a r u ' r r a u x , l i a rde capat (QQ) du : p . in l . sap1. , 'D) . Perpenc icu-la ra A(0 , 3 ) es te de tc r r . ; .d rd o r i l p "oec l r redrep te i M l (mi , m ' i ' ) . Ca; i la p rob lema p iecedentd ,urmele p lanu lu i (PP ' ) se pu teau ob l ine ; i cu a ju -to ru l une i o r izon ta le duse pr in ounc tu l M(m, m) .

42 Reprerenldri de sihitecturd in geonetriq descriptivd,i qronometrie

I

"t

2.METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

P e D r ( : - r - a - . a i i o i c i e c ' i e a r o l l n e i o r d ; n s p i t r use fac . c . r a jL to 'u l u ror corsTruc l i geomet . ;ce ,cons t ruc l i i caTe nu se po t rea l i za dacd nu se cunoscadevara te le mer in r i t i ung l r iu r i a le u r ' ro r e iementep lane a le aces tor vo lume,c o - r i , l 6 t ^ - 6 " . a . + i i - a . i t : . i - , J e d e r O J U r e C e r

anumite transformdri ale proieclii lor, astfel incit' sd se obl ine unele e lemente s i f igur i p lane in adevd-rat l r '5r ine, DelL 'u a se obr ine acesL l lc ru estenecesa- s : se aduci f .gura p land para le 'a cu un, l. _ .1 : - ^ r , - - ' ^ - r - h . ^ i 6 . r i - v - . ^ . 1 - l e de t - ans [Orn ]a rea pro iec! i i lor s ' in t :- r re loda scFimb5r i i p lane or de pro ect ;e;

- metoda rota! ie i ;- metoda rabater i i .

2 ,1, METODA SCHIMBARII PLANELORDE PROIECTJE

Aceastd nretodi este i lust rat i in schi la arc-ome,-t r ica d in f igura 2. '1 .1. De exemplu, p€ntrL, ob; l -r c r e a ( ' . i d ! - i : r ' t g r : ( p o . : c i . t ) a u n J r o b . e c tsau vol ' ,m c i f spal iu se poate efectua o schimboreC e ' / . , , e ' t - o / , J e b 0 , . ' : . a , l f e l , t n l o c d e a p l oiec*a ob ecr- l pe p anr l r . r ' - rca l de pro iec l e [V j ,se \d p o ie. :a pe J r p ,dn r . . t ica l oarecare [Vr ]

. ) : . , . . , ^ " . - - , r ^ , r , t , , ; t A - - . . " , _

plu d l rec l ia D) , ln i lgu i "a 2.1.7 in cazul schimbir i ip l a n L - ' u . , e ' L i c r l d " p r ' o i e c g i c . p r o i e c f a o " - ) ' : r i

a obiectu lu i sau volumulu i r5mine aceea5i , r . 1 i f i -c indu-se numai pro iec l ia ver t ica l ; . ln fu : r , : t ' i icpozi ; ia noulu i p lan ver l ica l de pro.ec"e [Vr ] 'ezult; o nouE linie de pimint, care se va nota O1X1.

1i9.2.1.2{ ig . 2 .1 .1i '

Melodelo geomehiei de:criptive 43

9 0 '

' rD

SCHIM BAREA DE PLANDE PROIECTIE PENTRU

Secons iderd spal iu .Pdstrind5e cons tdera un punc t A ?n spa l iu . Pds t r ind p lanu lo . i zor ta l [H ] se ia un a l t p lan ver t i car [Vr ] , care va,n te rse( ta p la ru l [H ] dupE noua Ln ie de p lmin tOrX, (f ig. 2.1.3). Se observA ce, in schimbarea deplan vertical de proiec!ie, rAmin invariante cotopunctului ti proieclio lui orizontald 9i se schimbddepertarea punctului ti proieclia lui verticald(fis. u,r.SCHIMBAREA DE PLAN ORIZONTALDE PROIECTIE PENTRU UN PUNCT

Se cons iderd un punc t B in spa l iu . Pds t r ind p lanu lver t i ca l de pro iec l ie [V ] , se ia un a l t p 'a r o r .zon ta lde pro 'ec l ;e [Hr ] ca .e va in te rsecra p tanu l [V ] dup inoca. l in ie de p imrn t O,X, ( f ig . 2 ,1 ,5 ) .5e observ i c ; in sch imba"ea de p lan o" izon ta l depro iec t ie r : -n in inva . ia r re ( f tg . 2 .1 .6 \ depdnareopuhctJ lL i s , p to iec l ia I r i ver t i co ld $ i se sc l imb l co top)nc tu l t ; l i p ro iec l io lu i o . i zon to lA .

SCHIMBAREA DE PLAN VERTICALDE PROIECTIE PENTRU O DREAPTA

5e d ; segmenlJ l de dreaptJ A (a , a ' ) ; i B (b , b ) .5_e alege_un -ou plan vertica' de proieclie [Vrl( f ig . ! l .T ) No i le p ro iec l i i ver r i ca le a le puncr ; to ;A gi B vor fi aj 9i bi. Se obline astfel noua projecliever t i ca ld a segmentu lu i AB.

SCHI14SAREA DE PLAN ORIZONTALDE PRO|ECT|E PENTRU O DREAPTA

5e procedeazi analog cu cazui precedent li se ob-llle -noga proieclie orizontalS a dreptei arb,( f ig .7.1.8) .Tronsformoreo unei drepte oorecore in dreoptd fron-tc l r i se poate obl ine Dr in schinbarea p laru lu i ver-t ica l de pro iec l ie ( l :g , 2 .1.9) . Noua I i r ie de pemintOrX, trebuie si fie astfel aleasd, incit sd fie paralelicu pro:ec l ia or izonta l i ab a drepte i .

VERTICALUN PUNCI

l n

II

I

f i g . 2 . l . 3 f i g . 2 . l . 5

Reprerentdri de orhitecturd in geometrio d.icriptivd ti orongmetrie

bofis. 2 .1 .6

44

O =O1

{L

!

Tronsfornorea uei trepr.e aotecarc in dreopLd ati-zon to ld se ob l ine pr in sch imbarea de P lanor izon-ta l de pro iec l ie ( f ig , 2 .1 ,10) . Noua l in ie de pSmin tOrXl ,trebuie sd fie astfel aleasi incit sd fie paralelicu p ro iec l ia ver t i ca ld a 'b ' a d rep te i . Ungh iu l ppe care dreapta orizontali i l face cu planul verticalde pro iec ! ie apare in adev i ra tE mar ime,Transformareo unei d/ePre ooreca-e it drcapLd uetti-cdid, Pentru aceaste transformare sint necesaredoud sch imbi r i de p lan ( f ig . 2 ,1 ,11) ; p r in t r -o sch im-

lig. 2.1.7

fig. 2.1.8

bare de plan vertical [Vr], dreaPta oarecare devinedreaptd frontald. Urmeazi a doua schjmbare deplan orizontal IHJ prin care dreaPta frontalddevine dreapt5 verticald,Tronsformareo unei drepte oorecore ln dreoptd decobdt, La aceastd transformare sint necesare doudr . i ' i rber i de p lan ( f ig . 2 .1 . '12) : p r in t r -o sch imbarede plan orizontal [Hr], dreapta oarecaTe de;inedreaptd or izon ta ld , ia r la a doua sch lmbare de p lanvertical [Vr], se transforma in dfeaPt; de caPit

f i s . 2 . l . I 0

o a = f , 1

{ ig . 2 , l . l l

l is . 2 .1.12

Meiodele geomelriei descriptive 45

0 E O 1

r.'- {

qaq.t

l is. 2.1.9

L) D is fon lo de lo un p t " . t lo a d 'eaPtd . Se dr l punc lLM (m m' ) 1 i d reapta AB (ab , a 'b ' ) . P . r s : l - i r rbarede p lan ver t i ca l de p .o iecr ie ( f ig . 2 . " .13) , se aducedreapta in poz i l ie f ron ta lS . Se duce perpend icu la ra

SCITIM BAREA DE PLAN VERTICALDE PROIECTTE PENTRU UN PIAN

Se d; un plan oarecare (PP"P'). reprezentat pr' inurme ( f ig . 2 .1 .15) . Se a lege un rou pra ' t ver t i ca lde pro iec l ie [V l , noua l in je de p imin t f i ind O1X1,Urma o f izon ta ld a p lanu lu i (P) va rdmine aceea5 i .

mjp i pe noua p fo :pc i i r ' ver t i .a la s se ob l i r p ro .ec-. ! i i l e segmentu lu i ( ' , tp . r 'p ' ) care rnasoarA d is tan lade la punc t la d reaptd . Pr i r l t r -o a do la sch imbare den l r n n r i z n n + : l . l a h ' ^ i . . + i F r a l l + i, . - . . . f f i zp :a : f i zDz dCe-\ i ra ta ' rd r " r ' ro a segrentu lL : i ca .e miso3re d is tan lade la punc tu l M la d reaptd .Dlstonld dirtrc doud drepte parole/e, Se dau dreptelepara le le D (d , d ' ) s i A (8 , 8 ' ) . ( f ig .2 .1 ,14) . Se facdoud sch imb; r i de p lan de pro i€c1 ie , in a ta fe l inc i tse aduc ce e C ' .E drepLe para le le "n poz i l ie f ro r -ta l i , ia r apo i in poz i l ie ver t i ca lS . Adevera ta mer imea d is tan le i d in t re ce le dou i d rep te se misoar i inno!a proieclie orizontalS, a?b2 c2(!,

f i g . 2 . 1 . 1 4

| i 9 . 2 . 1 , 1 5

46

l i g . 2 .1 .16

lig' 2.1.17

Reprezentdri de orhitecturd in geometrio descriptivd ti oronometria

I

N

l is. 2,'1.13

Urmaverticarii,',s5sevac"b1i,rernild.:,:l ' l i loii li"%;::i:'l l lT!:ti::;"i::,::::;t:J;"ttFi;t{'"o."t":.ffi:""1[';,l:,.|.i[t:')o':;"i"r,;;;;,"';i,1 de,sc]himbare 1";JJil.::l';;:i.i:.i',".';:t;.:lireiza ;i pe noua !,.11 ,y.!:i:ji:pill.,::,';: ^:li:,itfriliili*ij:xli:#i1101,r,i,);,,,.",

|ilii]#{* a,iftiJ!:*:.r::ii:h[ri: #t*1i"6.; #i,.,u!"'ii"n 'r z'n'la ie pr.::#T*1;i,r sil'lHiiiill*;h!i;[,rs i",'i: ;!"FJ:..;ffJ:';""l'#"":iil::hTTI:iJlB:"o"+,.':.'",::,1:'i,':j: !11;:;:*:, il$:: i'E;::::l::1::::::,,,p1,0:,:,0.j,;;.", j,fl:"9:".,j:'i"-o"uiin" n"'u ur-mi verticali

i"l'#i"(i!; * :;t:::'::;:i incit noua linie de pdmi'rt o'X' si rie

ig:Ji3l,il ;::i:i*"$:"il:iie a unui pran oare- p.e rpenarcurara" p" -u.'"

oii'.in,ari a ' ianu u

:,:j.",$?;f ,,,1" J;,,,),t"ifu-"^,',,t..1,u,;;,!i,-'ii'?1f inr::ii,i! 5,:^,,,i1,..i1",?,{';:cT.r: :r1l:!ltu lu i l ( i , i ' )

t rans formi J r .n1 i r in p lan de cap i t lu ind noua

SCHIMBAREA DE PLAN ORIZONTAL l in ie de p in r in t OrX, perpend icu la r ; Pe !_ r n . ra o r l -

DE pRotEcTtE PENTRU UN PLAN zonta l i a . p lanu lu i . -Noua pro icc t ie ver t i ca l ; a punc-

li"l"",ii1"il ?6!l?J-"'!1:.,'J;J;o[T',il;JJii J,lX, t"iiL,,"t,i"'"o;iJ""Jti"]1"'i;jt: o;'l"'liJ c p r - o " i t i e [ H r ] , r o u a ' i i c c e P a m : n r

- : C O , X , c s t a n t a d e l a p u - r c l l a p a -

f i g . 2 . l . l 9

lig. 2.1,22

lis. 2.1'20

l i g . 2 , 1 . 2 3f i g . 2 . l ' 2 ' l

Melodele geomelr iei dercriPtive

f ig . 2 .1 .18

47

!. ACeu1.rota mdrime o unei f iguri pione. Se d; un tri_Lrnghr

.oarecare ABC ( f ig . 2 .1 ,24) . p r in t r_o sch im_Dare de ,p lan ver t i ca l de pro iec t ie , se poate t rans_ror f ]a p lanu l aces tu i t r iungh j ?n t r_un p lan de caDdt .t -e r t r " aceas ta se dLce o or :zo- t taJA a r . iunsh,u l - iCf'1 (cm. c'm) p-in v.rir.r, C (c. c ) ;; ,. .t.g! no";r r r re de pdn inL O,X, perperd .c r .L rar , i p - p io iecr iao . ,zon ta lS a o r izon ta te i CM. in acesL {e ' , p r i r sch im_barea de p lan ver t ,ca l de pro iec t e . o - , ron , " l " J ._! , n e d r e a p t ; , d e c a p i t i a . p r " - - . t . : u n g h i _ ' u ldevrne p lan de capet . p r i r t r o ro_ ; sch , r rb i re cep lan or ,zonra l de pro ie . t ie , se acuc" p l . r ru ' t , ,ung h i u l u i i n r - u r p l a n o - i z o n t a t . i r p r o i " , t i a o - i z o r _ta lS se poate c i t i t r iungh iu l in adevdra ta m: r lme.

l-r) Perpendiculotc camund a doud drepr:e ocrecore. Cele-" dou; drepte oarecare sint D (d, d,) ; l A (S, S,)( f ie 21 25) Se a lege un punc t A arb i t ra r pe dreapt i(D) 5i se duce o paraleli (Ar) la dreapta (A). Se alegeun p_unct oarecare B pe (A) gi se duce perpendiculaiad in B pe p lanu l de termina tde dreapte le iD) , i (aJ .Trans la t ind aceas td perpend icu la ra dupe 'd i r ;c t , radreptei (A) pind atinge dreapta (D), se obline perpen_

diculara_cornuna a celor doue drepte (D) 9i (A). inepurd (fig..71.26), plaaul determinai ie dieptele(O) si (A) se iraniformd intr-un Dlan de caDit.Punc tu ' oarecare B (bb) de pe c reapta (A j set r " .s 'o -m; i1 Br (b r , b i ) , unde br :6 . perpend icu la ra

: l . j

9 " :e g 'n b i pe (P i ) es te perpend icu la .a corur i .rac ,1c sa ,_arunece segrentL l bc p in5 c ind i r t . lnes tedreapta . (D) , se ob t in p"o iec t i le (mn, m,n , ) a le pe- -perd icLra-e i MN con ur j d rep te lo r (D) i (A)

lig, 2.1.24

lig. 2.1.25

liq. 2.1.26

' +ig. 2.1.27

Reprerentdri de orhitecturd in geometrio descriptjvd gi oronometrie48

-

li

l

i

I;J

itI

{ig, 2.1.28

Ap l ica l ie a sch imb i r i i de p lan , Se dd un cub sec l io -h r + . , " , r , r " . 1 1 a . 7 - - 6 - - . - - n l : n I n . : ^ ^ r , ld ) c l d r P r y c _ i v r . r L . , - d

. l e n r o , P . t F S P . e r e q j p l r "

r r ' h

i de ' t ' c , asL [e l i rc i r ce le doJa t . iu ' rgh 'u . i dc sec ; iI r6 ( ; qp c In " r .L^ i ^ . - lp - ! . rq - p fecrueaz i o scn im.bare de p lan de pro iec l ie , a leg indu-se noua l in ie depdmin t O lXr as t feJ inc i t p lanu l t r lungh iu lu i de sec-l r n F ( i . l F v i n ; n l ) n d c . r h ; f ( e f n l a c e c r c : n a :

r " ; n . f n - - i : r - a n " r . -F r . i o . . rS t r_ ndJ -Se S i rne -t r i c l l c t - bu l l i r r l i a l f aT : ae p la^u ce sec t . L - . e .l n t r c i t r q t p o q r h i m h : r c . l c n ) n ; c h . ^ i F . r ; c( F . , ; ( l r a ) 7 ; i . ) . i , n i F r a r e l e n , n r r e n r

I ia or izonta ld a vo lumulu i , 1n t ransformarea pr ins imetr ie s-au d!s s imetr ice le tu turor v i r fur i iorvo lumulu i dat . ln t ruc ' i t p lanul de s imetr ie a deveni th , n . l p . : h i t n r n h e m r < : r r : n < f n r m r t ; ^ ^ r ^ h l A -

.nd p lan ; , ln p ro ecr e ver t i cad , s : , . re t . : cu , vo lu -m r r l r r i c p h n , t c ^ h t : ^ p d r e r r a r i a d e r ; l r t t a

l { ig . 2 .1.28.) . S -er- icu ast fet ob; nLr se cobodr t: n n i ? n n : a l e r t i e n r i r n n i : l i c c e alazo aPor .n P'o-i ec l i a i n i l i a l d a cubu lu i .

2.2. METODA ROTATiEI

Spre deoseo i re de metoca schrmba ' i . p a rF lo r deo r o ; F . r i p i n r . r r c U n r r l r J i n n l : n c l a d p n r n i e r t i e i < i

modificd pozilia, in metoda rotaliei sistemul de pro-iec l ie r In ' re pe loc, :ar vo ' -TL st ,d iat is sch nbd^pozi t ia , ro t indu se in juru l unei axe de rota l ie .i n : . e ( r l F , < c m n a i f r : r m h p l e n r n : e r r | : l p a l r -

mului , nu numai una d int re e le (ca la rnetodaschlm-ba' i i pra 'u . r i ae pro;eLl e / . A\e 'e ce rorar e f r lo-s i t c s i n t f . o n p r n p n r l i r r r l : r e f e n r r : J p l e r r r n r a n c l p- j ' - ' ' : " :oe Prorec l .e .

F IROTATIA DE NIVEL A PUNCTULU.I. I,f

.?' , f

Se numel te rota l ie de n ive l , ro ta l . ia in juru l ' rde iaxe ver tca le ( f ig .2.7.1) . ln rota l ia de n ive l , cote/epuncte/or rAmin invariante, iar prcieclio oriTontoIdi5, past ,eozd fo.mo, modi ' ic i rdu- t i doar Poz:1 la( i ig .2.2.7) , De asemenea, se observa ce:- or ice punct descr ie pr in ro ia l ia in juru l unei .aYe -n ceTc: ,- p lanul cerculu i este perPendicular pe axdl- centru l cerculu i se af le la in tersecl ia axei cuDIanul cercu lu i ;- raza cerculu i este d is tanla.de la Punct la centru lcerculu i (in adeveratd mirin'le).n cdz. l de na. sJs, axa f l rd verr ica l i , ro ta l iapunctu lu i se face in t r -un Plan de n ive l

ROTATIA DE FRONT A PUNCTUI-UI

Sc numette rota l ie de f ront rota l ia ?n juru l uneiave ae cap; t ( "g.2.2.3) . l r acest caz, ro laf ia DUnc-tu ui A in spa;iu se efectueazi intl-un plan de front

lF. l s i tua: la Cep; ' tarea pu^ctu u i A faf i de p laru l\ e - r i : a l . C : / c - , , . r - - 1 1 . 3 " / o : . ! e s e P r o . e c r e a z ain ader i rata lor ndr ine pe Pla 'u vcr t ica l de Pro-iec l ie . Pfo iec l la or izonta la a se deplaseazd Pe o

l ig. 2.2.1

|9. t .I

Melodele geomelr iei descript ive

l

I

d -xS = : -

-Afr"-

,i)lis. 2.2,5

il

para- le la la l in ia de p im"nt OX ( f ig .2.2.4) . in rota l iade lront r5min invariante depdrtdrile pttnctelar, iarptaieclia vetticaId ili pdstreozd foralc, modificin-du-se doar pozilia.Rotolio puncLului ostfe/ incir sd se s,tueze pe odreopld, Se efectlleazA o rotar:e de nivel a punctJIJiA (a, a'), ln figura 2,2,5, pentru a determina poziliaaxei de rota l ie , t rebLie s i se duci un par ce n ive lPr in punctu l A 5 i s i se g;seasci inrersecl ia Ar(ar, a'r) a dreptei cu planJl de nivel, Peni'u cjprnctLr l A pr .n rotat .e s i a j rngi pe dreapra D(d, d ' ) , axa de rota l ie ver t icae t rebu:e a leasi pemediatoarea segmentului AA1 (oriunde pe aceastSmediatoare, inclusiv in mijlocul lui {.{).Rotolio punctului ostfel i;cit sd se situeze intr-unp/dn. Se efectueaz; o rotalie de nivel a punctuluiA (a, a'). in figura 2.2.6, cele doud solulii ale pro-b lemei se g isesc la in tersecl ia cerculu l descr isdepunctu l A cu or izonta la p lanulu i D (d, d ' ) care seafld la cota Dunctului A.

li1. 2.?-4ROTATIA DE NIVEL A DREPTEI

Se duce perpendiculara wa pe proieclia orizontald(d) a dreptei ti cu raza wa se descrie arcul de cercaal co-espunTator unghiu lu i a ( f ig . 2 .2.7) . Tangentain a, la acest cerc este proieclia orizontalS rotite(d) a dreptei D (d, d'). Proieclia a'descrie o para-lela la OX ;i intilnegte in ai linia de ordine ridicatdin a1. Pentru a fixa proieclia vefticali rotiti (di)a dreptei (d), se ma; roteSte punctul B (b, b) alesarbitrar pe dreapta (D). 5e remarcd faptul cd unobservator care prlveste din w spre punctul a,vede fn stinga sa proiec1ia b. Analog, prjvind sprea,, acest observator d;n w va trebui sa vadt tot insi"nga sa proieclia rotitA br. in figura 2.2.8 se poatevedea c5, dacd axa de rotalie ?ntilnette dreapta datd,este suf ic ient se se roteasce un s ingur punct a ldreptei, deoarece existd un alt Dunct care riminepropr iu l s iu rot i t (punctu l de in tersecl ie d int redreapte ti axe),

tis. 2.2.7 lig, 2.2.8

Repferentdri de o.hitecturd in geometrio de5criptivi ti qrgnometrie

lig. 2.2.6

50

lig. 2.2,3

a-:'r-

{is. 2.2.10 l ig. 2.2.11

Ratolio dreptei astfel incir so devird parcleli cu t",Ll/ n tlanelc y'p ^:F.ti. Se rer4 5i Se roteascAdreapta D (d, d'), astfel incit sa devjne paralelS cuunl r l d ;n p lanele de pro ect ie . O rotd l ie dc n. /e / adreptei (D) o transforme 'intr-o dreaptd frontald,dac5 se va ror i p .o iec l ia or i to l ta la (d) ad-epte,(D) , p in5 c ind devine para le ld cu l in ia de p im?ntOX (fig. 2.2.9). O rotol/e de fro.-r a dreptei (D) otransform; intr-o dreaptd orizcnl:old, dac; se varoti proieclia verticald (d') a dreptei (D) pind cinddevine para le lS cu l in ia de pdmint OX ( f ig .2.7.10) .Ratolio dreptei dst&l incit sd devind perpendiculardpe unul di,1 plonele de lroieclie. Prirrr-o rofdli.a denive/, se aduce dreapta D(dd') in pozilie frontold,iar apoi printr-o rotalle de front, se aduc€-ditaptafrontald intr-o pozilie verticolI (fig. 7.2.11), inmod analog, printr-o rotbilie-d€-froit l in jurul'uneiaxe de capdt) se poate aduce dreapta (D) in pozilieorizontold, Dentru ca aDoi sd se efectueze o rotatje

de n ive l ( in juru l unei axe ver t ica le) , care aducedreapta orizontali in pozllie de copdt (1i8. 2.212),Rotdlio dreptei astfel incit sd se sltueze intr-un PIondot prin urme. Fie dreapta D (d, d') 5i planul (PP'P')( { ig , 2 ,213) . Se determin i mai in t i i pro iec l i l lepunctu lu i I ( i , i ' ) de ln tersecl ie d int re dreapta (D)5 i p lanul [P] , u t l iz ind p lanul de capdt [Q] dus pr in(D). Se alege axa vertical; de rotalie, astfel incits ; r reac; p. ;n pu.( -u i I , care der ,ne propr ,u l s iurot i t . Pentru gdsi rea unui a l do i lea punct comunintre (D) ;i [P], se rote$te urrna orizontald (h) adreptei (D), pind cind se afaza in (ht) pe urmaor izonta la a p lahulu i [P] . Segmentu l hrw determinaprorec l ia or izorra id ror i t i (dr ) a drepte i (d) , Pro-ieclia vert;cale rotita di este determinata de hii ', Pro-b lema mai admite o so lu. ! ie pr in pro iec{ ia (hf .

;

Melodele geometriei dercriprive 51

lig. 2.2.12 Iig. 2.2.13

RoTAT|A DE NtvEL A PLANULU| 5e rotegte odati cu pjanul [p]; se ob.flne pozil ia sa

tn rigura2.2.14 se duce perpendicurara wa pe i:ltii3r':#'ff,"r"?llff': ili*ui;'.'no" "" t"'"urma or izon ta lS (P) a p lanu lu i 5 i cu raza wa sede-sCrre rrcul de cerc aar .or"rp,-L.iioi ,lng;;i,i l; ' 'Eotalio, p,tonului astfel

. i!:i!, td, d:y::.u-. fo'o'' l

rotarle dorit. lanpenta .n ", "rt?

u.n,',"irirontuti t, uFul d.n plonele de proietle. in figur-a 2.7.19,

- t i t l 1e, j a p iuni f " i a" , i 'n t ruc i t punciu i l ( i , i , ; Pr in t r -o. ro ta l ie ce n ive l 5 i una de f ror t ' se

este propriul sau rotit, ," pout" oOin. ,rr.tu"ri adu-ce planul oarecare [P] mai.?ntij ?n. Pozjlie de

t :ca l ; ro t i ta , agezind punctu l I pe o or izonta l i a caPat , , iar apoi in p: i i ! i . ,1 . " . p lante n ive l P ioble-

il.f.|.ll1=b^i1 -]ii. R:t{":; p.6ur"'.i '" ii'pri ma admite doua solulii: (Pi) ri (Pl) in moc ase-uL ,v ,6 r ,L . . a iege ch ia r in iLanut

m;ndtor , in f igu 'a 2 .? . )0 , se e fec tueaz i ma i inT : i

verticar de proieclie (rig. z.2.ig). :0",';X1""rii,rf:,""1:.:1""0,?i i"'::;li:"oi.,li5!, Rotor;o, ptonutui o.stfet incic sd aj.unsd perp^endtcutor ;il)';r';Joi i" ;;r;* ir#i.rr'1eii-i'riur".r" uo-' pe unul din plonele de proiec{,e, I.r ligura_2,2.15, se m'ie'5i io ulia 1er).e fectueazi o rota l ie de n ive l a p larutu i iP l in iuru l f t

a,.ei vert;cale (w, w'), astfel lnclt po)iiia rotir:Vlder droro mdrime a ur ftEui plone. Se cere derer-(P) a urmei or izonta le a p lanuiu i [P] sE f ie perpen- minata adeverata mer ime a t r luns.h iuJui ABC, ut i -d ; iu lar l pe l in ia de p i r i r t ; rez-u l i i Pr , . Punctu l l iz ind metoda rotar e i ( f ig 2221) Se duce pr in| (i, i '), unde axa (w, w') intersecteazd ilanul dat, punctul A (a, a') o axd verticali de. rotalie W(w,w')rdm' ine in rota1ie 'prop; iu l sdu rot i t . br izonta la i i se rotet te or lzonta la G (g, g ' ) a t r iunghiu lu i ,D (d, d') corespunzdtoare punctului I devine dupi astfel incit si devinl dreapti de caPet G(8r, 8i)rot i l ie i reapta de capi t t ! , (dr , d i l . Puncte le d" Puncte le B 5 i C se rotesc in B, F i Cr , pro iec l i j lep i d i :v l determinA urmi 'v i r t i la la rot i te (Pl ) lor ver t jca le b i 9 i c j f i ind co l in iare cu a ' . P lanuli p laru lu i -dat , care ast fe l esre l ransfo.mat in Plan l r iunghiu l - i a deven; t ast fe l p lan de caPSt O rota-de capdt. lie de front in jurul ax.ei & (*t wi) dusi prinin { igura 2.2,17, rota! ia de f ror t a p lanulu i [P] in pr ,nctu l A aduce p lanul de caP; t a l t r iurghi r - l - ijurui- axei de capdt W (ww') aduce planul [-{ in in pozilie de nivel, Adevirata merime a triunghiu-pozilia (PrPilPi), de plan proiectant fala de plinul --lui este abzc2n r i z a n r : l r { c n r n i e r + i e f

3.1',8"Y'l ',,';

i',,i":,':1",*rl^1':'--Lil-,'l- l-:':: ptanete ;e; ii tal 1tis 2'222) Planct [Q] se rote5rePdJdrcr ,LU

r r " r rd ' Lc Pdr r r r ' r ! ' uec l ' perPenc lcu la r Pe ae n ive i . l s r fe l inc i i u rma ia o r izon ta .d s ; dev i i ;

lTy].it-ti:1,:",1t-"l.t-.j-t'^'i..i".91: ::-:"::ll]:' oara'e'5 cu Lrma orizontale a planului lPl. in nouao a y a V e r t l c a l a c e r o t a 1 | e Y Y ( w ' w ) 5 | 5 e e l e c t U -;.;;

';;i i" je-

"r""i '" prilri"i ril: ";;"t

l;.1 pozirie,,, plarele se inrersecteaz; dLp; or zonla'a

urma orizoritali (P) sa ocupe poziliale;, paralela A (8, d'). Se alege o a doua axd de rotalie Paraleldcu l in ia de pEn- in i . 'Se ia c leapta 1b) , co-n l inute in cu aceasl ; or ;zonta l ; 5 i se roret te p lanul [Q] i rp lanul lP] f i concurente cu axa de rota l ie in l , t i juru e i p ind devine para le l cu p lanul [P]

lig. 2.2,15 1i9,2.2.16

Reprezentdri de orhitecturi in geometrio dercript ivi l i oronomet. ie

$I

j

lis. 2.2.20

l is .2.2.18

:M€lodele goomelriei dexriptive

lis. 2.2.22

53

lig. 2,2.2r

hg. 2.2.1i

A p l j c a f i e . C u b u l c i r { i g t r a 2 2 2 3 a s u r e r : t o r o t a f ede f ror t l iapo; o rota l e de n ive l . [ fectua1, 'nc i orotalie de front, astfel incit se situali cubul cu unsingur v i r f pe p lanul or izonta l de pro iec l ie .Doud rotatij asem6natoaTe au fost aplicate pris-mei d in f gu"a 7.224, deci o ro la l ie de f .o^L s i apo 'o rotatie de nivel. Ef€ctuali inci o rotalie de front,ast fe l :nc: t pr isr ra se f ie a iezar i cu un s i 'gLr v i r fpe p lanul or izonta l de pro iec l ie .Figura 2.2.25 reprezinte rotalia de front $i rotaliade r ive l a unei p i rarr ice d 'epte patrace, iar f rgr ra2.7.75 reprezintd. rotalia de front 9i de nivel a unuicon.

nvAp l ica ; ie . Se cere sa se e fec tueze sec l , i ' rea :n t ' -o

p i ramidd ob l i c i dupd un p lan oarecare ( f ig .2 ,2 '27)Se l rans lo rmE p ld rL l oarecare i r p lan de caP; tPurc re le de ;n te rseL l ie se de term,n i in P 'o iec l iaor i lon ta l ; ro t i rd t i se t .ancpL- apo i :n p ro iec , t i i l ein i ! ia le a le p i ram ide i .

(\\Aplicalie 55 se aleze o p ran idi dreapti hexaSo-

nald astfel lncit sd aibi baza intr-un plan oarecare(PP* P') (f ig. 2.2.28). Se transforrnd planul in Plande capat . 5e asaz i p i ra r r ida pe e ' , p r in t r o ro ta l ieie f "o r t ; i apo i se asazS pe un p la l oarecare(PP-P ' ) p r in t r -o ro ta t ie de n ive l ,

b '

lis. 2.2.23

b c '

54

lis. 2.2.24

..Repr€rent6ri de grhilecturd in geomehiq descriptivd gi gronomatrE

iJI 'l

.Metod€le geomelriei dettriptiye ,

lig. 2.2.20

lig. 2.2.2r

lig. 2.2.17

Iig. 2.2.20

Iig. 2.2.18

Metodele geometriei dexriptive

lig. 2.2.2r

lig. 2.2.19

53

Apl ica l ie . Ccbu l c i - f ig . t ,a 2 .2 .23 a sure . i t o ro la l ede f ro r t t ;apo o ro ta l ie ce n ive l . E fecr rag . " rc i orota]ie de front, astfel incit se situali cubul cu uns i t gur v i r I pe p 'a ru l o r ,zon ta l de pro ec l ie .Dou; rotati i asernenAtoare a.L fosr ap',cate pris-ne i d i r f igura 2 .2 )4 , dec i o ro ta t ie de f ron t ; i aoo io rotatie de nivej. Ef,"ctuati :nc; o roLalie de fronl,astfel incit prisma si f ie agezatd cu un singur virfpe p lanu l o r lzon ta l de pro lec l ie .F igura 2 .2 .25 reprez in ta ro ta l ia de f -o r t t i ro ld l rade n ve l a une i p r re r ide d 'epre pdr ra re . ia r f rgura) ' ) 16 -enre- in t i . c -a -

" d - f r r - r 5 d6 n , \e l a UnU;co | .

d ' b '

{ " 1v A " t r . . t i o ( F . F r F ( ; < . c f . . t t e a 1 < F . + i - a , r i n t . - n

piramidd obl ic ; dupi un p lan oarecare ( f ig .2.2 '27)( a f . r ^ . f ^ r m : n l , " ' I n r r e r : r a i n n l : n d e r a n i r

T * i ^ - - r - -

P-nc te le de in te rsec l ie se de term.n : in P 'o iec l iaoTr lonLa a .o t i ra s i se l ranspun aPo i

'n Dro iec l i i l ein l l ia le a le p i ramide i ,

{\Yp l i ca ! ie S i se aSeze o p i ramid l d reapte he \ago-

nald astfel inc'it sE aibE baza intr-un plan oarecare(PP" P') (f lg, 2.2.28). Se transformi planul in plande capat . 5e asaz i p i ramida pe er , p . in t r -o ro ta t iede fro^t si apoi se asazi pe u.r pla' oarecare(PP"P ' ) p r in t r -o ro ta l ie de n ive l ,

b '

54

fis. 2.2,23

lis. 2.2.24

Reprerentdri.de srhilecturd in geometrio descriptiyi ti 0xonometrie

ll

c.!

.lot

t\

ol..tqt

2,3, METODA RABATERII

l ' letoda rabaterii este un coz porticulor ol metodeirotollel gi ulmdregte aflarea unor adev;rate merimi(d i<1ante , ungh iur i ) , p r in ro ta l a u ru i p ta r i r ju ru 'unei.axe frantole sau arizantole (ax6 de rabatere),astfel . incit planul sd deviri i conlinut in (sau pari-le l cu) p lane le de pro iec t ie . Rabaterea unu i punc tsau. a une i d rep te es te de fap t rabaterea p lanu lu ide f in i t de punc t (sau dreapt i ) s i axa de r iba tere ,

RABATEREA UNUI PLAN OARECARE.PE PLANUL ORIZONTAL DE PROIECTIE

i r scn , ta a 'o romet - ic ; d ,n { ,gura 2 3 . ' , se a -aurabatarea p lanu lu i oarecare [P ] , da t p r jn u rme(P, P'), in jurul urmei orizont;l; (P), care in acest

caz este axa de rabatere. Problema 5e reduce larabaterea unui punct V (v , v ' ) , ce apar l ine p lanu-lu i , in juru l axei de rabatere (P) . Pentru s impl i f i -carea rezolvar i j , s-a a les punctu l V (v , v ' ) ch iar peurma verticald (P') a planului. Acest punct va de-scTre un cerc perpe-c, . l lar pe a>a (P) , a . i - .d cen-t ru l w ( la in tersecl ia axei (P) cu p lanul cerculu i ) ; iraza v'w, C?nd punctul V (v, v') va ajunge in planulorizontal [H], raza cercu ui se va a;terne pe [H],in adevarate mdrime. Se noteaza cu vo pozilia rabe-t u t d a p u n c t u l u i V ( v , v ' ) p e p l a n u l [ H ] ; i , u n i n dacest punct cu Px, se afl; urma (Po), deci planul/PP,P ) dat a fost 'aoat ,J t pe pJarL l or ; /or ta LH] .Se observE cd p la-uJ per perd icu la- pe a^a ce rabatere, dus D" 'n V (v , v ' ) , dererm'ne :n spat iL T. iur -ghiu l vv 'w, t r iunghi dreptunghic cu unghiu l drepti r v ; i a , " ; ^ d c a t e t e l e v v ' s j v w c u n o s c u t e ; i p o -t eTLZa W v ' eS le raza de raOa te r - a r r r l . l t J r IV(v v ' ) ?n juru l urmei (P) .

fiq. 2.3.3.

Reprezentdri de qrhitecturd

fis. 2.3.4

in geometriq descript iv6t i oxonomelrie

f ig .2 .3 . l

f tg . 1 ,5 .4

55

in epura 2.3.2, acest t r iunghi afostasternut in Dlanulo- izo- t " l de pro ecr ie lHl , D ' i1 rdbaterea p l rc tu u i'V (v , v ' ) in juru l ca iete i vw. Tr iunghiu l vwv' ob l i -nut este in adevdrata mdr ime f i se nume9te t rFungh: de pozi l ie . Per t ru a a ' la oLnclLJ v{ , , rao; IUt- .punctu lu j V. (v , v ' ) in juru l urmei (P) (axa de raba-

..tere) pe planul [H], se intersecteaz; arcul de cercde raz i wvr ; i centru w cu pre lungi rea perpendicu- 'lare j wv dusi pe urma [P] , sau d. rect , iErEaj - toru lt r iurgh:u u ' de pol ! 'e , sa ; ' tersecteaTe pre lu-r -g i rea perpendiculare i vw pe r rma [P] cu cerculde raze P*v' li centru P*. Aceast; construc1ie seu a / ' d t d P <

P , v ' a l u r m e i v e r l i c d e a p l a n u l u s e v e d e p e p l 6 6 u '[H] in adevi ratd mdr ime. In f ina l , se unegte P, cuvo ; i se obl ine urma (P 'o) rabdtute a.p lanulu i .F igrr i 'e 2.3,3 5 2.3.4 reprez rL i rabaterea p la-u-lu i .PP"P' in juru l urmei (P) , fo los ind de aceastedate rabaterea dreptei orizontale D(d,d') dusdpr in punctu l A g i apar l in ind p lanulu i (PP*Pl) . Seobserv i cd rabare.ea unei drepre o ' izonta 'e aplanulu i r imine para le l i cu-urma or izonta ld (P) .Dreapta (do) se poate obline, fie folosind metoda.t r iunghiuru i de pozi l iew, aar , f ie d i rect pr in raba-terea punctu 'LJ i v ' in vo. ducind apoi pr in vo sauao o para le ld la urma or izonta lE a p lanulu i (P) .

RABATEREA UNEI FIGURI PLANE SITUATEINTR.UN PLAN DAT PRIN URHE

Tr iunghiu l AB€ ( f ig ; 2 .3.5) conf inut in ' p lanul(PP,P) se poate rabate i r p 'anul o ' izonta l [H] ,

rab; t ind urma ver t ica la (P ' ) a p lanulu i in (P, i ) , lu-i ' d (P ) ca axa do ' aDa te ' e . Se ' dba t t o l oda l ; $ lor izon ia le le p lanu lu i care t rec Pr in pLrnc te leA,.B si C, Dacd se.foloseSte relotio de ofinitote difttre proieclia orizontala abc Fi rabaterea aoboco,este suficient se se duc6 o singurd crizontalA inrabatere pi sd se foloseascd oxo ce ofinitate (trma(P))

RIDICAREA RASATERII

Rldicarea rabaterii este oPelclid irversd rabaterii,in f iguru 2 ,3 ,6 , au fos t de ter rn jna te u rmele (P)

1 i ( P ' j a e u r u i o l a t , c u i o s c : - r c P r o i e c l i i e P - r ( 1 u -iu i M(m, m ' ) d in p lan g i rabaterea mo a aces tu lpLrc r pe p lanu l [H ] . S ' de tern i '5 w pe red iaioarea segr rqn t - lu i moml (u . de rnmr esTe co la l J iM) 5 i se duce pr i r w urma (P) perpend icu la r :5 .pem m , . . U r m a l P ' l s e o b t . e - r . n a P , c L v ' ( u r r aver t l ca la a d r ip ie o r izon ta le A(8 , 3 ' ) ce t rece p- npunc tu l M f i apar l ine p lanu lu i PP*P '

RABATEREA PE UN PLAN DE NIVEL

Distofto de lo un punct Io a dreoptd Rabatind pe unp lar de r i ve l ( i i nu oe p lanu l o r izo- ta l de pro iec l i c

fH l ) , se reduc d iners 'u r iJe t r i Jngh iuJ- i de 'aba-

tere, ceea ce face ca operali i le Srafice sd se reducds . e le . in f ieura 2 .3 .7 , se cere d .s tan Ia de la unpuncr |1 (m, "m ' ) la < j a reapt i oarecare A18, I ) p r 'nn e tod" i .ba te i ' i . Se duce pr i r purc tu l M(m' m ' ) .unjlah de-nivel (H') i i se rabate dreaPta A(8, 8') Pe

l is. ?.3.5

Malodel€ geomelriei dercriptive

{ i9 .2 .3 .7

lcer t .P ldn i . t ju"u l or izonra le i AM(am, a 'm), urde (A) . Urgh,u l c iu tat este unghiu l conplementa. :A este in tersecf ia dreore i (A) cu p laru l de n ive l . 7 tSe ia un punct arb i t rar Bib i b ' ) 'pe dreapta (AJ, " : ; *p

af la t in adevi rata m;r ime in Planulcare se rabate in bo pe p larL l de n,vet cu a jutor j l ,1 . . i ,t r iunghiu lu i de pozi i i " wbb, . Se obl ine ast f re l (g . ) , o \e n lver 'rabaterea pe planul de nivel a dreptei (A) pe iaie '4nghiul dintre doud plone. Av'ind planele oarecarese duce apoi perperd icu lara mono. SegmentuJ mon' tp ] - i i ta ] , ur^ghiu l d i r t re ce le dou! p lane se poaterePrezjnte adevarata mirime a distantei de la punc- itla pfin- doul metode. Dihtr-un punct oarecaretL l M la dreapta (A) . 5e in toarce punctu l no d in M(m, 'm,) d i r spal iu ( f ig . 2 .3,11) . se 'duc normaleterabatere ' Pentru determinarea pro iec l i i ior or izon- (pe rpen d icu lare le) pe ie le doud p lane. Se rabateta le t i ver t ica le a le perpendicuiare i . iun i tu l M pe un 'p i .n oarecare de n ive l (H ' ) 9 i se

, , . Adevdrato md, im- .o ungt ,u lu i c , t l . - . - . ;nue dotJd ob1ine adev;ratd r i r ;mp a ungh'u lu i p cupr i rsi drepte corcrre l le . ln . ;g-ura 2,3.8, se co-s l ru ier te l1 l l " r . " l "

douE no 'male Unghi .L l c iu tat c d int re' ur r iu o i i ro iLu J r r l

" p iunrru i formar de cele do ' r5 : . - - ' : , ;q ' i

p lare P ; Q se obl ine lu ind supl imentu l

!19n1. oqa, d) rr ̂ (; ;t';' ;; ;'".";,i";;:: [::':1.,j $ou. ,"tod: esre reprezentati ir risu"aa/e de rabarere. Se rabate pu^ct r l M(m, m,)de in_ iT1r"tersecl ie a ce lor doui aruot" in m^ oe o lanul or i - t - ra- , -P1in .Punctu l .M(m' m') , s i tuat pe dreaptazontat de pro iec l ie ( rabatJ.e"a, ; '8 . ' " ; : ; ; ; ; ; ; ; ; 1 ,q ' ' '3)

de i r tersecl ie .dhtre ce le doud p lane [P]triunghiur de pozijie *.;i

- u"'n ;; ;;; iij?l r'6r::::il

oJ:"(|}l B:.!:[.J;]i"i nrJ?l;l:in t re. (50) 5 i (do) se obgi -e ast fe l in ade",arata m;r i - i r j rbnrr , " ma i i mb a le drepte lor de r r tersecl reme. Aceea;i rezolvare se poate vedea si in figura oiniie ptanut i cu fiecare din planeie tpl fi tal.2.3.9, cu diferenla ce rabaterea se face intr-un

-plan Unghiui ct cuprins intre aceste jrepte de intirsec_

de nivel (H') Triunghiul de pozilie va fi mai m]c gi 1ie'este unghiul ceutat 9i se obline in adeverate^

rezolvarea ocuPd mai pulin spaliu. mirime prin rabaterea punctului M pe.planul ori-

i lJnghiul dintre o dreoptd ti un plan. pentru a afla zontal de Proieclie, luind ca axi de rabatere urma- -,' adev5rata m:rime a unghiului cuprins intre dreapls .,-orizontal5 [R]

A (8,8) f i p lanul [P] , dat pr in urme ( f ,S.2. j . i0) , . - ,Adevdraro mdt ime o unei f ryur i p /one. per t ru a af lase duce pr in t r -un punct oarecare M(m, m,) , s i tu ; t adevi rata mer ime a t r iunghiu lu i ABC ( f ig .2.3,13)Pe dreapta (A), o perpendicularE (ma, m,a) pe prin metoda rabaterji, se ia o orizontali a triun-planul dat, Se rabate punctul M pe un plan de nivel ghiului (cea care trece prin B(b, b,)) ,i se rabate(H') in jurul axei AB(ab, a' b') situatd in acelagi iriunghiul in jurul ei, pine cind ajunge in planurplan (H') Se obtine in adevdrate mtrime unghiul de nivel respectiv (H'). Se obline iabo:terea aoboco,cupr ins in t re perpendiculara dusi d in M $ i dreapta adevdrata mir ime a t r iunghiu lu i ABc.

fig 23J

Repretentdri de orhitectu.i in

{ i9 .2.3.10

geon€ttlo descriptivd ti oxonomebie58

flg. rJ.t

l rg. zJ. | | fig. 2.3.13

RABATEREA PLANELOR PROIECTANTE

Pentru a af la adevi rata mer ime a unui t r iunShiABC ( f '9 . 2 .3,14) s i tuat i r t r -un p la- prorecta ' r t(vertical), se rabate planul vertical pe cele douaplane de pro iec l ie , or izonta l 9 i ver t ica l . Rabatereape p lanul ver t ica l de pro iec l ie este o s impl ; ro ta-1 ie de n ive l in juru l axei v€r t ica le (P ' ) , Rabatereain planul orizontal de proieclie se face ducind per-pendiculare le d in a, b ; i c ; i lu ind cote le puncte lora ' , b ' , c ' . AdevSrata m;r ime a t r iunghiu iu i ABCse obl ;ne at i t pe p 'anul or izo- ta l de pro iec1ie, c i tg i pe cel ver t ica l .

Aplical i i . le rabateri i

1, Si se aseze un patrat de la turA dat i in p la-u loarecare PP,P' (fig. 2.3.15). Se efectueazd raba-terea p lanuiu i oarecaTe pe p lanul or izonta l de pro-ieclie. ln rabate.e se corstrL:etre in adevE.atemerime pitratul dat. Prin ridicoreo robotefll se aducepetratul mai intii in proiectie orizontald. Pentruaceast4 este suficient se se ridice din rabatere unsinSur virf al pitratului (a5ezindu-l pe o orizontalisau frontold a planului) ti apoi se se utiJizeze afini-tatea, Se propune sd se foloseasc5 relalia de afini-tate ca verificare a construcliei. Proieclia verticalSa p:tratului a fost oblinutd aiez?nd v?rfurile sale pefrontole ale planu lu i.

2 . 5d se a:eze Lr cerc de raz i datb 'n p 'aru l oare-care (PP,P) (fig. 2.3,16). Se efectueaze rabatereape planul orizontal de proiecTie. ln rabatere se

fig. 2.3.14

lig, 2'3.12

construieste in adevArati mdrime cercul dat Prinridicarea rabaterii se aduce cercul nTai intii in Pro-ieclie orizontald ti apoi in proieclie vertical5,Punctele de pe cerc aJ fost astfel alese, inc;t s:permite construclia elipselor dir cele doud proiec-1ii cu ajutorul oxelor elipselor. In proieclie orizon-tal; aceste axe ale elipsei sint o dreaPt5 orizontalS5i o dreapte de cea mai mare Panta fald de..planulor izonta l [H] (deci pe 'oendic- ,arE pe ea) , ia ' 'nproieclia verticald ele sint o frontale 9i o dreaptede cea mai mare pante fald de planul vertical[V]

l4erodele geometriei.dercriplive 59

K:Ni="l.1i-

v'ti

; {

C.

f ig .2 .3 ,15

l is 2.3,15

(deci perpendiiulard pe frontali). O constructiemai precise se poate obline ducind elipsa prin optpuncte,3. 'n f igura 2,3,17. s-a ateza[ u. t con c rcu lar creorpe un o lan oarecrre PP,p ' , pr in r id ,ca"ea rabarer i i .1n f igura.2.3.18, s-a afezat un cui : .de.muchle dat i ,pe un ptan oarecare (PP*p,), prin ridicarea raba_te r i i .

l

60 Reprezentdri de drhitectu.d in geomehio. derciiptivi si dronometrie

3.REPREZE NTARIAXONOMETRICE

3,1, INTRODUCERE, REZOLVARI INTUITIVE

R F ^ r F 7 F . l i r " p - 1 . ( . - i r . r ' . 6 2 F ^ b i - . 1 - l o r . L s te e - p ) - ; d i n + r . o l , . j - a o i . i . 2 - e s i ) . o b i e c . e a s a

cum se v id l i pentru acesi mot lv se recurge 1ar F ^ . p 2 F ^ + ) t a ) l ^ F ; ^ ^ . ' . - . . f " ' l

l rE . J , r . I

l ig. 3.1.2. ,

Naramet r ic es te o persPect iva convcn l iona ld ,deoarece ea admi te para le i smul raze lo r v lzuaJe 'dec i s i tuarea la in f i f i t a punc tu lu i de vedere Fa l ide reprezent i r i le in dub lu o r togona l , reprezen-ta rea axonomet r icd es te mai aproape de percePl iav izua l i a ob iec tu lu i d ln na tur ; , o fe r ind o imag ineca l i ta t i vd de vo lum. F lgura 3 ,1 . ' l reprez in td axono-rne t r ia i zomet f i ca a une i scer i s t ruc tu ra te d indoud ra inpe. P lanu l s r l r i i es te ce l d in f igura 3 ,1 ,2i n b r o . o r e t r i e , c e s i r a , o o r l l l a t r e i p l r c t e c o r -

n ia re ( raPor tu l s imp lu) se pes t reazS, nu se Pes-t reaz ; a l te re la : . met ' i cc , cu 'n s ' r ^ l sJPrare le e !ungh iur i ie , care aPar de forn ' ra te . In axonomet r iaizomet r ic ; . de e .enp ' . r . segmente le de dreap- i sepot mAsura 5 i compara d rec t numai daca s in tcon l inu te in (sau para le le cu) una d in ce le t re j axede coordonate ( f ig . 3 .1 .3 ) . Un segment o r ien ta ldupd or ice a l tS d i rec l je d in spa1 iu nu rna i Poate 1 imSsura l lmed ia t ; c i p r in metode pe care le vomprezenta in cursul acestui caPitol,

f i9 .3.1.3

Reprerentdri oronomehice 61

._..1

f iq. 3.1.4 t ia

l lulte probleme de pozilie se pot rezolva djrectin axonometr ie , fo los indu-se m€tode in tu i t ivebazate pe elemente de geometrie in spaliu: pro-b leme de.secJiuni p lane,- in terseci i i de c6rpui i 9 ich lar unele probleme de unghiur i . 5e vor 'exem-plifica citeva asemenea met;de de rezoJvare di-recti in axonometrie, folosind axonometria izo-metrjci, a cirei proprietate distinctiva este aceeacd uni t i l i le de mdsurd pe cele t rer axe de coordo_nate sint identice.Apllcalle. Un cub a;ezat cu o falb in planul orizon-tal de proieclie este reprezentat in axonometriaizometrica (fig. 3.1.4). Sd se deseneze direct in axo_nometr ie .sec l iunea pr in cub determinat ; de p lanulcare coni ine puncte le A, B 5 i D.Dor i d in la tur i le po ' igonulu i de secl ;une s inr ev i -dente: AB s i AD, Planr l ce sec! ;u^e LSI ta ;efe1eles.uperioard gi inferioard ale cubului- iupa dbuadrepte para le le, Pr in urmare, se duce pr in D oparaleli la_ AB, oblinind astfel pe C, cel de-al pa_tru lea,v i . f a l po ' igonutu i de secl iune ( f jg . 3 ,1.5) .uaca_calere probtemei sht put in mai compl icate( f ig . .3 .1.6) ,_se poate fo los i in tersecl ia p lanulu i desecl iune [S] cu p lanul or izonta l de pr ; iec] ie IH] .

Dreapta de in tersect ie t rece pr in punctu l E. Un a ld o : l e a p J n c L a l e i s e o b l i r e g d i n d u r m a h 3 j r s p l g ;A,C (conlinule in planul [5]) pe orarul [H]. Dreaptarh permte s; se g iseasce v i r f l l D a l po l ,gor- lu ide secl iune. LatLrd AB se ob1i .e ; t i ind i I estepara le l ; cu ED ( f ;9 . 3 .1 8) . Acest caz nu este dr f ic i l ,eI,.putindu-s-e .rezolva, ca si primul caz, prin para-lelism (fig. 3.'1.9),Cel de-a l t re i lea caz este mai compl icat ( f ig .3,1. ,10) ,in t ruc i t ce le t re i puncte care def jnesc i lanul a isec i rure nu se afJ ; s .TUate pe muchi i le cubulu i ,ci pe cele trei fe{e vizibile aJe sale. Se g:sertedreapta de in tersec! ie d int re praru, de sect iLrne

Reprerentdri d€ orhitect!rd in

{is. 3.1.6

{ig, 3.1.9

geomekio descriptiv6 ti

3 . I .5

{i9. 3.1.7

62 oronomeuie

l is. 3.1.8

___4**

fis. 3.1.10 fig.

ti planul orizontal de proieclie. Se cautd deci ur-mele or izonta ie hr ; i h , a le drepte lor 13, respect iv12, con! i ' ru te in p lanul de secl iure. Cele dou;urme h, g i ha se obl in la in tersecl ia drepte lor '13

5i 12 cu pro iec l i i le lor o ' izonta le ( f ig . 3 ,1.11) .Dreapta hrh, permite sA se Sdseascd primele doudvi r fur i a le pol igonulu i de secJiune: A ; i B. V i r -fur i le C 9 i F se obl in imediat , un ind pe B cu 3 5 ipe A cu 2 (fig. 3.1.12). Ultimele doui virfuri, D; i E, se ob1,n f ie ducind pr in 1 o para le l i la AB,f ie ducind d in C ; i d in F para le le la AF, respect ivBC.

3. l . l l { ig . 3 .1.12

Not i . $ i in u l t imul caz. ca; i i r ce le la l te , se ob '^r . ipos io i l i ta tea de rezolnre pe cdi nu l t ip le a pr- jmei . 5e poate deci rer i f tca utor corect tud neasolu l ie i propuse,

Aplicatie. Desenafi direct in axonometrie izome-t r ic i inrersecl ia ce lor doui p i ram de drepte p i -t ra te d in f iSura 3.1.13, t t l ind c5 au axele ver i . i ,confu ndate.Axul vertical comun inJeape cele doui pdtrate inpuncte le 1; i 2 ( f ig . 3 .1.14) . Secl iun i le pr in p i ra-mide la cote ie 1; i 2 s in t doui pdtra ie mai ' r ic i

f i 9 . 3 . 1 . 1 3

Reorezentdri oronometrice 63

Il

{ i9 .3 .1 . I2

\]/

\t

f i g , 3 . I J 4

dec ' r bazere . As fc l s au 6 l r i1 , r p - r re lc co . r ;po l igoane a le in te rsec f ie i . Po l igonu l s t r imb cen-t ra l a l in te rsec l ie i ce lo r doud p i ramtde se ob l ingpr in p ropr ie td l i le de s imet r ie a le ansamblu lu i . Pr i -mul sdu virf aflat la cota 3 se obline intersectind

loc ! a VzH. cJ med;ard VrM a fe te i V 'AD( ' i B . 3 . 4 . 1 5 ) . ' r n o d s i r i r a - p r i r r ' , . v ? r r a l p o l i g o . u ' u i

strimb aflat la cota 4 se obfine intersectind muchiaVrA cu mediana VrN a felei %HE, Poligonul strimbr p n r " : l d c i , r , A r c F - + p p . r - 1 4 ? 4 ? 4 3 .

Apl ica l ie , Cubul d in f igura 3.1.16 este a:ezat cu ofat l i r p lanul or izonta l de pro iec l ;e , A ieza! i pesteel un a l t cub ident ic , cu un v i r f in punctu l A g icu o muchie or izonta l i dupd d i rec l ia drepte i (A)conl inut i ?n fa la super ioar ; a cubuiu i dat ,

Apl ica! la a 'ost areasi pentru.a i lust ra Lnl re le rezolvdr i lor in tu j t ive in axonometr ie (ch iar atuncicind este vorba de axonometrie izometricd).Se descompure apl ica l ia in e lape de re lo lvat .Trebuie a;ezat pe fa{a super ioard a cubulu i unD;t rat ider t ic cJ aceasla, dar or ientat dupAdireclia (A), Problemele de rezolvat sint:1) constu i rea in p lanul fe le i super ioare a cubulu ia unei dreple perpendiculare in A pe (A) ;2) determinarea pe (A) 9i pe perpendiculara in An . / \ ) : r ' - ^ " F o ' l - . u m L c h i a c u b u l u i(respectiv cu latura patfatului),Ambele prob leme s in t met r i ce , re fe r indu-se lamasJ 'A tor ; de r ,ngh lu r i s i segner te . i r t ' uc : tp r ima prob lemE es te un caz par t i cu la r (cons t ruc i iauru i rngh ' de 90" in A ; , se poate rezo lva pr . r ob-ser \a t re d r rec t : ; i p r i l ap l i ca"ea prop . ie t , i l . ja ronon 'e t . ie i de a p is r ra rSsura seS r - re r te o r ped l rec l i i para le le cu axe le de coordonate .Se noteazi fala superioari a cubului cu MNPQ(f ig . 3 .1 .17) . Pre lung ind dreapta (A) se ob l inpunc te le 1 i i 2 pe much i i le c - 'ubu lu i Dacdse iauseSme4teJe M3 : N1 ; i Q2 P4 c -erp ta 34 va f rperpend icu la re pe (A) . Demonst ra t ia es te imed ia td ;dac5 repet im opera1 i i le in p lan ( f ig . 3 .1 .18) , seobservd ca ce le dou i t rapeze ident ice N12 l " l 9 iM34Q au la t - r i le do ' r ; c " le coLe pe 'p -nd cu 'a"e ,

l i s . 3 , l . I 8l i s . 3 . l . l 7

Reprerentdri de qrhitecturi in

- F .

- ' / , ' ' ' ' .

64 geomet!io de5criptivd ti sxonornetrie

{ i s . 3 . 1 . 1 5

f i g , J . t . t o

strimb aflat la cota 4 se obline intersectind muchiaVrA cu mediana VrN a fefe i VrHE. Pol igonul s t r imb. 6 - . n t sa ^ , c -< - . r i a F . - - ?434343 .

f ( ,y ' Apl icagle. Cubul d in f igura 3.1.16 este acezat cu of r , ; i n n l r n r l a r i r n n r : l d F n r ^ i p . i i F A < F 7 . r t i n F c i c

el un a l t cub ident ic , cu un v i r f in punctu l A t icu o muchie o ' izontara dupE d i rec l ia d.epte. (A)

a cu b-r l r I dat .L ' - ' ' ! ' r L U r d i , , , d t d > u P c , , v d , d

{ i g . 3 . 1 . 1 5

dec "L baze e . As t ; c l s -au ob l i n . . - . . r - l a . r ^ t

;;-;";'"1: '";;:,.+;: "P"; ;;;"i ;i.r." ;;:

t ra l a ,n rersecL ie i ce lo r dou; p ra -n de se ob t i ' t - -p ' . 1 p r o p r : e t ; l i i e C e s r e r r ' e a l e a n s a m b l u l u . P r i .mu l s i , r l r f a f 'a - la co a 3 se ob t ; -e ' l re rsec t : tdmuchia VrH cu mediana VrM a f--lei V'AD( l ;9 . 3 .1 15) n n"od s in ' i la r , p r inu l , . i r fa l po l ;gonu]L i

- - - ' - l i l J s t r a L n ' t e l e ' e -. 1 P " r d ! , d d L u ) L d , c d r d P c , , r r u . (

zolv i r i lor in tu i t ive in axonometr ie (ch iar atuncic i r d e, te r o .br de aronometr ;e izometr .c l ) .q . ? 1 . . . ^ m ^ ' . ^ a . n l i / : r i r : ^ a J r n a , . 1 p r A , ^ l v ) r

TrpS ' i ^ : . . ' : - ne f> ' : < r rne r 931 i a c l bu lu i un)a t ra t i de r t i c ( u aceas ta . da r o r j en ta t dup ;/ ; r F - , i , / \ \ p r o F l - r p t - . ' - , p z o l v a t s . n t :1) constru i rea in p lanul fe le i super ioare a cubulu ia u^ei drepre pe"pend'cu lare in A pe (A) :2) derermi 'area oe (A) 5 i pe perpe^dicr lara in Ape (A) a unor segmente egale cu muchia cubulu i( respect iv cu la tu ra pat"aTUIui ) .Am- .J - ^ - ^ l l o r - ( i ^ f - . + . i ce , r e fe r i r du -se l a

mdsurdtor i de unghiur i F i segmente. ln t ruc i tprima problemi este un caz particular (construclia' , " ' , ' ^ d h i , . 1 - a A o i " A r < o n n ,. / , , - r - t 1 e r e Z o l v a P r r l O o< ^ . - ) r i F A i r a r s ) ( ; h r i ^ t h ' . r . a : n r ^ n . ; F r i r i i

a " o n o m e t - i e i d e a p a 5 1 r d m e < L r a s e g t - t e l . t e l O r p e

/ 1 6 . r i - ) - ) r F l a r t t a v c t e d . f o o r d o - a t e .( a n ^ t . r , i f ' + : < r ' a F r i r ) r i , c t b u l u : c L , M N P Q

( f ig , 3 .1.17) . Pre lungind dreapta (A) se ob1inn r , - - t F r p 1 < i ? n p n r . r r h i r , e c , r " l l D a c d s e i : u

segme' r te le M3 : N1 f i Q2 . P4 c rerp ta 34 .a ' r

pe"pe ' rd icL la rS pe ( l ) . Demors t ra i ra es te i -ned ia tS :aace "eperam opera ! . le , . r p r r - l f ig 3 . ' .18) , seooserv , c ; ce le dou i t rapeze ident ice N12M ; :M34Q au la tu r iJe dou i c i te dou; perpend icu la re .

64

f is .3 . l . I7

Reprerentdri de orhitecturd in

f i s . 3 . I . l 8

geometrio desqriptiv6 ti sxonometrie

t t g . J . t . r o

Pentru construc i ia perpendiculare i in A pe (A) , sd5 e 8 d < ' a : c a o ; - a f e z o r v a T o - I 1 - r i \ 4 .

Co' rs u i rea p- (A) > , pe o- .pe-C cu la ra ' r A pe

' \ ) 2 ' - o - c o o r e - . 4

" t h , a c _ b r - l u n -

se ma poatc fa -e p r in ne o e in t i - t i ve , c ' ' teces i iA

u n s l u c i u n a i a p : o ' . - d a r d D - o p r - t ; r ' o - a y o n o -' n e t r i e i . S e \ r ' c z o : . a p r o b l e n : d u p d a c . l - r u l a r e :e lemente lo r necesare .

3.2, PROPRIETATILE AXA\]OMETRIEIORTOGONALE

Prin repr€zentore oxonar,etricd se inielege figura

un p lan inc l r fa t fa la de ce le t re i axe de coordonate ,Aces t p an inc l ina t se nurnes ie p /o r axanamet r ic .D : e o r c l e d e i - t e - s e c r . e d n r r e p ' a . r u l a ^ o 1 o r e : T . c51 p lane le fe le lo r t r iedru lu i t r ld rep tungh ic de refe r in l i OXYZ fo rmeazd un t r iungh i ABC, numi ttriunghi oxonomctric (f ig. 3.2.1). ln oxanametriaa .agat a tc d . -e - l a p .o .ecT i ,n r . o " es te 1 - lo tdea-r n : h a r ^ F . . l i . l : r i r o n l : n I- . , . - . . I v o . ] o T e - " r C ( . Fs p L - e c E d r e - L ' a d e f - c ( \ t L c s T e o r t o g o r ' a l ; ) ,

PROPRIETATILE TRIU N GH IULU I AXONOI'{ETRIC

ln axonometTta or togona l : , t r rungh iu l axonofne t r ce s t e i r " o t d e a u . 1 c l ' - - 8 5 . a . - L ! , L r g f , . S e p ' s ; . , -redz ; . logo- . pe p rnu l a ,onore t r i c in Oo r i g i n e a c o m u n i O a m u c h i l l o r t r i e d r u l u i t r i -d rep tL . rngh ic de re fe r in l ; ( ig . 3 .2 .2 ) . Prc iec l i i l em' rch i i lo r s in t d rep te e O 'A, O 'B s i O 'C s l senumesc 6xe oxananeirice sau axe-lmdglre, PunctulO ' es te o r tocen i r ! l t r iungh iu lu i axonomet r ic(punc tu l de in te r5ec l ie a in i l l im i lo r ) , ia r axe le -i m a g i n e s i n t i n A l t i n i e t r i u n g h i u l u i a x o n o m e t r i c- i h c . . ' n ' - F e 1 r i r . . o - . , r : ^ . - i - A B Ct gu 'a 3.2.3 deror sr reazi c i o ice r . ,ungl . i a_-cui i t -unghl poate f i a les t lungl r i axonornetr ic ,Ast fe l , puncte le A ' , B ' ; i C ' se obl in ducind ind l -l imi e ' in t r iunghiu l ABC, La in tersecl ia ina l t imi le fr o - . l + i ̂ - ^ a . - - . \ ' r . - - r . r , , i o P e n t r l a o b _l ine ade.erara r ra r i r re a seg len tL , lu i OO'se con-s t ru ies te pe CC' , p r in inscr ie re ln t r -un semiceTc,raba la rea O.CC' a t . . -ngh i r r , , d repru-gh ic OCC'/ , , l i - a - \

\ v . I . - 1 r . : e 8 - e 1 r r t U u U ' : t . J c e . : . a r : .r ime a segmentu iu i OO' d in spal iu , Pr in rabatareatr iunghi . r u i OAB in O"AB ( f ig . 3 .2.3) , se obl ineadevArata mer ime OoC' a segmentu lu i d in spal iuOC' (Botez ;i Mirescu, '1970).

l i g . 3 . 2 . 1

{ig.

Reprezentdri oxonometrice o5

l ig. 3.2.2

rREE

r #\ l i#

tr\

( ' , -

. - - , '

coEFtCt rNTl DE REDUCERE $ t SCARI

Dac i a , p ; i 1s ' in t ungh iur i le pe care le fac axe le jma-gme cu much i i le t r iedru lu i de re fe r in ld , 9 i dac5 secons ider ; o un i ta te de misur l u pe much i i le t r ie ,d ru l . i . ce re fe r i r l ; r $ i se pro ie ( teaze o . togona l peax . e tmag 'ne , se ob t in t re r segr ren te u , u , s i u ,(f ig, 3.2.a) astfel incit:

u x : u c o s a : u r : u c O S p ; u : : U C O S y .

Segmente le u , u r g i u , s ln t ma i mlc i dec i t u , ia rcos d,^cos p gi ccs v se numesc caeficienli de redu_cere . Re la t ia f i rnCamenta ld d in t re e i es te :

cos2a | cos2 p i cos21 : l .

Segmentele u,, u, si u, se numesc uniti l i_imoginepentru ttecare ax.Scdrile axonometrice sint tocrnai axele-imagine divi-za te ;n . p5 f ! i ega le c l lu rg ,m, le u r , r i t . ro :_ imag. rerespec t ive . Cons l ruc t ,a s ( ; r i ,o . a \o loTet r i .e ;s tei lus t rd t ; i r f gu"a 3 .2 .5 . Ca s tn f igura 3 .2 .3 , seIorosesc rabdte . i e L r u rgh iu r i lo r OCC, s , OAB.re- Cate te le aces tor L r , l rgh iu r , Se iaJ r aJe !AraUnar ,me unt ta l i le de m5sura de pe ce ie t .e . c^ . cecoordora te . Toate accs te un t l l i a - ace- s , tL -g . -u , Un i te r i le de mesJr ; se pro iecraaze pe , ,e . " . i - . -g rne (p r in r id rcarea rabater i i ) s i se ob ! in unr rd t t /eImog lne u , , uy $ i u . (care in cazu l genera l de axoncmetrie sint diferite ura de celelirre;.

RELATIA FUNDAI.1ENTAIA A AXONOMETRI EIORTOGONALE

Dac5_se noteaz: < O,OX : ar, * O,Oy : gl 5i+O'OZ : y r , cos nusur i le ace i to r ungh iur i ' ' dau

direc1ia proiectantelor in raport cu axele carte-ziene (fig, 3.2.5). intre ace;te cosinusuri exjstdreta l ta cu noscutA:

cos2 a, f cosz p, + cos? yr : 1.

De aici se poate deduce expresia:

s in 'a - l - . s inrp * s in2 y : .1 .

AceastE expresie se mai poate scrie:

c o s z a f c o s 2 p * c o s z 1 : 2 ,

sau

} ' ' ? + P ' + ' / 2 : 2

Deci , suma pEr-are lor coe. ic ier t iJor de reducereeste constantd si egali cu 2.

coNSTRUCT|A lt'4AGrNlLoR AxoNoMETRTC.ORTO.GONALF

lmag inea axonomet r jcd a une j d rep te es te i lus t ra t ;i n f i g u r l l e 3 . 7 . 7 . . , . 3 . 2 . 9 .D 'eap 'd oorecare 1 t :g . 3 .27) . D .eapra s i p ro iecr iae i pe p lanu l o r jzon ta l de pro iec t ie cons t i tu ie jma-gr^ . d co- " rp le t5 a d rep te i s i pe baza to r se po tce ' - r , -a toa te u rne le d .ep te i : u "ma u , pe [H] ;urnna u: pe [W]; urma u, pe [V]. proiecii j le tntipu^c : de pe d .eaptA se ob l in d_c ind para te le laa{^ l - . : r rag ine (Dro ;ec1 , i le lu r m* pe [U] , tWl l i[V] sint respectiv m1, m2 li mr).

66 Reprerenl6. i de qrhitectur6 in

[is. 3.2.5

geometrio descriptiv6 ti orononetrie

lig, 3.2.4

1

lis, 3,2,9

{ig.

Dreoptd perpendiculord pe unul din plonele reperulut( f ig . 3 ,2.8) , Pro iec l ia pe p lanul respect iv este red!sela un punct , iar pro iect i i le pe cele a re pta.e a lereperu lu i s?nt para le le cu axa care ind ic i d i rect iaperpendicular : pe p lanul considerat .DreoPtd poroleld cu unul din planele reperului1 ' tg 329) . D 'eap'a s5 '6 Da.a le; cp la 'u l reperuJur cu care dreapla este prra le lE.Pozilia relativA a doud drepte este ilustratA inf i g u r i l e 3 , 2 . 1 0 . . . 3 , 2 , 1 1 .

Drepte concufer te ( f lg 1.2.10) . Doui drepte s int( o . : L - e - t e C a - i o - o t . c ' : - l o r p ? 9 r : r z r g c . - p l a -r c e r e p e . - : , r ( : n : ( o - c L ' e n t e i a r L n r

' e d e g r d i r e

coresDUnz i toare p !nc tu lu i de n te rsec t ie s in trespec t iv para le le cu axe le imag ine . in f igura3 .2 .10 s in t reprezenta te in axonomet r ie douddrepte concurente in punc tu l l .

Reprerentdri qronometricc

{ i9 .3 .2 .10

i . : . , ; , ' i g . r . . . ' 1 r i r u c i o o i ^ , I r . D d ;

e l ' ) P ' o ' . c e p a - a i o t a : , e , : . p r - a , e l - s t , r F " r o -/ : t e . € o J ; : - r . e i p e e c l , d e c . e o - e D J , . - - . D u _

c l C l , ! e o - d i r e p a - " i - r , : d . o , e _ r r . g i - , S cp o . L e o b t n e p o z i l r a . , i t s o a : u , C e . r p t p : r , e c i rlP D/e lu l a onorer r i c ) a ceJor doLIA Cr - [ -eReprezentarea p lanu lu i in axoromet . le es te i lus -t ra tA in f igur i le 3 .2 .12 .3 .2 .14 .flan oarecare ({ig. 3.2.17). Un plan oafecare estedep l rn reprezenta t p r i .n doud urme sau pr i ; r doU;pro iec l i i a le e lemente lc r care i l de termi r : (douecrepte

^cop ana.e , c reapt ; $ i , lunc i , f rg r . t : ; geomet r ic i ) in f tgura 32 .12 , p ianu l lP l es te . j i p r i r

' r a _ P , i D - o : r r r " - u

p , . - : M r . L c c r r rm* s r m2. Pent ru a cons t ru i u rma [P . ] a p anu u i ,se de ter r . tnb in t i i mr , apc i se c lce pr i r (m ' r , mr )o , d reaptd arb i t ra rA con l inu t i in p lanu l da t[P ] Pr in u rma ver " t ca le u3 va t rece urma (pr ) .Plon -perpendtcular pe unLtl din plonele reper"ulLi( :

d . 3 . ) . ' 3 \ . O - . c e D l o r p c - p e - d . c - r l " - p e u r u ' c np tane le reperu lu j caT iez ian aTe dou i d in u rmeles ! ' r : r a l , C L a / J c - 5 e o p L . - F ' a r U l u i . e p e . - l u i .

1 . _ ' , e - ; . - r " : . p 1 a - u ' P , p r f , o ^ p . - - d c . ' a r p c

X Z t t a c . " a p t 1 D c o - r i r J . i i r : . - s r p r r

. , - t t- , _--: ]----_*,}

P,1,,.-----r--- )j'*.-'---- P,/x'

S t ' J o t i . i n s : h i l e l e a x o n o m e t r i r e f c i o s i t e a b L r n d e n tr t e . a , c ' r : e r e . e . L e l e d 1 s o _ , , L f p L , c L F g i C - e o t e .

cu ca_aateie mar. 1. acest caprto l , aceleaSi e lemente s intnotate cLr caractere n ai insoi 1e Ce aster isc, pentru a led . : - - e d . e r ^ c , . . . . - p - o , . . . _ ? . s . ( i s p a , ; S : ; r e L , - c C :C - ' o t . t " i - a c e s . e L c c S i J . - p ' e s r l p , . i e . i D e p a r

Reprezentir i de qrhjte.tur, i in geometrio descript;vd t i c|xonometrie

t i ^ 1 , 1 ' '

68.

j

it

{ i 9 . 3 . ? . 1 i

I i9 .3 .2 .13

| ig .3 .2 .14

Plct pcrciel cu unul din plonele retelt lLri (f ig. 3 2.1a).Urmele (Pr ) ; (Pr ) a le p lanu l r i para le l cu YZ s in tpara le le c i r O 'Z ' s t Q 'Y ' , Dcu i c re Dte con l in ! :ein t r -L l i t D an pa la le l cu unu l C in p lane e rcpcru l l ra . r p ro ec ! l : : p r in : ip : le s i do ! i C in t re p ro i : : c l i i l e

_ - f u ' a : " .

I o - : . ' , . " . . " d c c - t p l d d . c ' r/ u s t r a t ; i n f i E u r i l e 3 . 2 . ' 1 5 . , . 3 , 2 . 1 8

Prcre i r i c i r le ( : rg . 3 .2 15) . D ; .c :L dcu i p a r re [P ]t l [Q] s in l pa a l : le , u rmele ic : pe ce e t r ; i p ianed o r o e r - - ' t ) e - a . , - : c , - c e . i . : : J 1 | L n c t

M(m' i , m, ) !n p lan tQJ.par "a le l cu p lanu l [P ] da tpr - i i - r ce e t re u in ' te a ie s " ie . 5e cons t ru les te in[P] o drea2ti ori-ecare (uru., ulu, t i se duce prinp , . r ,c tu l l ' 1 o d reapt : para le l i la ea , Dou i c in l r -rn : ie ac :s te Crepte !o r f i v , s v r . Drepte le (Q) , (Pr )5 i 1Qr) (F3) care t :ec p r in v1 , respec t iv p r in v3 ,s in t L rne c p : r ru iu i cdu ta t .

D . a r ( c , . . ' . ' t r . D a ( . : d c - i p c s i r L c o n c L ' e ' 1 . ,ce l p i - r l in o eerec l ' re Ce urme de ace la ; i nume s in tc o l c i ' : : e . r i g r r a - " a s i - . t d t c d o u i p . ^ .

[P] l; tal ale ciro: ufm: ccncurente ir (3r) s?nt(Pr ) ; i (Q3) . i t ruc i t (P , ,1 i (QJ 9 i (P) r l (Q) rczu i tdc ; ( l r lp i i io r de i i te rsec t ie 3* es te perpend icu-la , - i p ,c o lanr l XZ, Dac i do ' . ld p lane au numal dcr -

Perac i r ce urme conaL i_er - r tc , ce3 ce a tae a L 'e l 'ec fede ur r ie se compune d n Cor i d r , :p ' ie para lee ,1n f igura 3 .2 . '17 se dau p lane le lP l 9 i [Q] a ie c i ro rurme (Pr).; i {Qr) 5i rcspectlv (F? ti (OJ sint con-

i . o . : ' 1 ( F 1 . - ) . 6 ; - . t e r S e C r , e 3 + . s t e

deter r . r l ' a ia de urn : e u , g i u r , . a f la te la in te f -sec l ia u rmelor (Pr ) cu (Q) 5 i (Pr ) cu (Qr ) . in f igur i

r ' t r e ' ' i r ' ' . F l . -

Cea de a i re i i . u rmi ' se . r f a la r f in i i , de unde' :z r l i ; . . : r rn ' : e IP3) , .1 (QJ s in t para le le1 : genera l acJ i p i l -9 c ! :curen te au u lme]e or

. - o : - S ( ' . a l a C c u ip .ne co raJ .c r . te es te JSt r -a t in f ig - ra 3 2 .18 .F e p la : e le [ ' ] s ; [Q] ccnc ! re i te . Ce e t re i punc teur u2 s i u j cere rezu l i : la i . ie rsec t ; : u rmelor deace las i nu . le a le ce ic r dcu i p an- - , s in t ccncu len te ,Dr : : r ta c : r - : le u 'cs i : r .5 te d r :ap ta de ln i :e fsec l iea c : lo r daLr : p a rc ' - ro icc l ia d rep te de i r te rsec-; ' P e | - - c - , : - : ' e . - L r u y

47j -

{ ig. 3.2.16 1 i9 ,3 .2 ,17

Reprezentir i qxc[iomctf ice 69

Pozilia relativd a unei drepte fa15 de un plan inreprezentare axonornetrica este ilustrata in figura3.2.19.Dreoptd poroleld cu un plan. O dreaptb este paralelacu un p lan daci este para le l i cu o dreapta a p lanulu i(neilustrat).Dreoptd ca'.curentd cu Ln plon (f;g. 3.2,19). F,e p'a-nu' [P] si dreapra A (E*, 8r). Se duce prin dreaptiun plan vertical care se intersecteazi cu [P];la inter-seclia ei cu 8+ rezulu punctul | (t*, iJ c5utat.

PROBLEI'lE METRICE (Botez ti MirescLr. 1970)

Determ )orco l,t 'g,mit u^u, segment de dreopti.Se jlut_5 adeverata lungime a segmentuluiMN(m+n*, mrnr) d in f igura 3.2.20.Se construiette un plan axonometric ABC gi seintersecteaze cu pJanul vertical care proiecteazdsegn entu l pe p lar- l XY ( f rg. 3 ,2.21) . Acest p lantaie planuJ axonometric dupa dreapta v1v!, careeste ti axa de afinitate.Se rabate p lanul ver t ica l ce conl ine segnentu lnNpe p lanul axonometr ic . Se va rabate in t i i t r iunghiu lvrQrv, (fig. 3,2,22), Se construie$te transformatulaf in a l punctu lu i Qr . Tr iunghiu l vrQy v2 este drept-unghic in Q, deci se duce semicercul pe vrvr.Dreanra vzQ! este tra-sformata af'ni a d'eptei

QrvrlSrmr ll nrn+. Adevirata Iu nSime a segmentu luidat MN este segmentul M"N", aflat in relalie de

lis'

3,2,20l ig.

3.2.19

afinitate cu m*n* (unde axa de afinitate este vryz,iar direclia de afinitate este QrQ0).Robotereo unui plon oorecore pe plonul oxonometric,F,e ABC planul axonoretr ic s i PrP, ur p lan oa 'e-care dat pr in urme ( f ig . 3 .2,23) . Rabaterea p lanulu ieste determinati dacd se cunoalte rabaterea unuis ingu r punct a l s5u,Se ia punctul P| Axa de rabatere (afinitate) estev1vz. Dis tanla de la P, la p lanui ABC se obt ine Pr inrabaterea p lanulu i ZY pe p lanul ABC, in juru laxei O'Y' (fig. 3.2.74). 5e construiegte semicerculde diametru BB'. Se obline O"B care este rabate-Tea semiaxei OY, iar d is tanla D a Punctu lu i Pr laplanul ABC este P, Pi'.in f igura 3,2,25 se constru ie l te rabaterea punctu lu i. : , , r - + p a . F : , o 1 6 : . c 1 6 p 0 < ; < a d i s e l r e p e p e r p e n _- _ . , . y y , _ - 6

diculara dusd din P, pe vrv, (axa de afinitate).Adeverata mirime a distanlei de la P, Ia axa vrv,este ipotenuza unui t r iunghi drePt !nghic a le c ; ru icatete s int PrE t i d ls tanla PrP" de la P, la p lanul

axonometr ic ABC. Deci rabaterea t r iunghiu lu iPrvrv, din planul PrP, pe planul axonometric estet r iunghiu l P;Y1Ye,

70 Repferent6ri de qrhitecturd in geometrio deicript ivd l i otongm€lr ie

3.2,t8

lig. 3.2.21

f ig. 3.2.24

t is .3 ,2 ,22

Detetminoreo perpendiculcrei pe a drcoptd cuprjnsd;nU- , . )1u l

. o .n . p - lo , e le .epe r l J , I e c -eap la (D7in p lanu l XY ( f ig . 3 ,2 .26) . Se duce d in o r ig inea Oo perperd jcurar i i pe (D) . Se rabare pranu i Xy pep ia 'u t axoromet r |c . co . ls t -u ind sen icercur pe AB(!ig. Z Z.Z!. Prin afinitate se construiette rabatereadrepte i lD) 1 i se duce d in O" o perpend icu la r l peea. 5e intoarce din rabatere aceasii perpendicu-la " i ' i se oor ine oerperd ,c . ta ra pe dreaoLa (D; ., . \ cu i se d spune de tod te e ? -en te e necesatepent ru a rezo lva prob lema Cin f lgura 3 .1 .16 . Serabate . t r iungh iL l MPQ in MPQo s i r iungh r . : r MpNin MPNo (f;g, 3,2.28). Segnenir., l 12 se rabate n

Reprerenti. i qxonometrice7t

l ig 3.2,25

1o20, iar punctul A se raba.te in An, practic se ob_l ine pro iec t ia o r lzon ta l t a fe te i supenoare a cubu_rur sup. rapusa pes te imag inea axonomet r cA. Se!9 . t r - . ! ' ! l ! " o pe-DF^d icLJar ; in An p : 1 "2^\ r8 , 5 . ,1 l y ) s ' !e n r :soa . ; pe ea s i pe4010 seg*er t iega le cu la tu"a D: r ra t - lu : (ce exenprc , Meo) .

- e o b c i r v i ' f ' - r ' e B . s D o c a . e s e a c t - i - a / o r o r r e -t r i e i n B s i D .P r r o a - a l e l r s - s e o b L ' ^ e a l p a t - J ' - a \ . r J C a , ' e t e i, - ' e r o a r e a c L b - ' L : : _ o e i o r ( f g . 3 . 2 3 0 ) . 5 e c o rs t r u E s i e c , b L - i - r t r e g i r e , s t ; - d c ;

' - i ' 1 . n - e a s a

es te ,d61t : . ; (L in ; - -ea p , imu - i cub .

tis.3.2.26

Iis.3.2.2?

lig. 3.2.28 f ig.

Reprerentdri de qrhitecturd in geomelric {es;riptiv6 l i oxonqnqit;c

3.3. T iFURILE DE REPREZENTARIAXONOMETRICE ORTOGONALE

A XONOI'lETRIA IZOM ETRIC,'.

Re ia ! ia carac ter is t i c ; a a ; ionc f |e t r ie i i zcnre t f l ceeSie :

- - - o , ^ .' r ' r '

T r " iungn iu l axonomet r ic es te ech / /d te rc l , la r a ) ie leimag ine (axonomet ' ce) I ; c in t t -e e ie ungn ur ide 120" ( f ig . 3 .3 . '1 ) . Ce le t .e i axe- i rx :g ine au aceeas iscar i comund ( i ig . 3 .12) . Coef lc ien tu de reC, rcerepent ru f iecare C i r ce l , - t re l d i r -ec i i es te c 'e aprc :< imat iv 0 ,82 , Invers , reprezer ta r i : t a \o r ,omet : tc ;

t . - . . i r i " r , . : ^ : - . . - l a r " [ o : , d e

d imens iun iJe sa le rea le de 1 ,274 or i . Dec i , u r curse cons t ru ies te lu ' ind much ia cuuqu lu i redus i la 0 ,82s r - z , . d . o D e C e e T . e i d a e , r a g e I , g , 3 . : . r .l ^ - - . . - i 1 l - - - F r - - a F . - ) ' . T C r : C L I C e - C - r i

i r ( : . ^ . f , t . : 6 : l - c _ n

a x o n o m e l r .i 7 ^ 6 1 t ' . ) : n r r p n c c c r > 1 p

Axo5omet r ia i zomet r ic i es ie cea r ra i s imp lS d :

v d > \ ( ' / | .

t o r ' - / - e - ; i a . . e ) . d a - i r . E . - a o L : ' - r ' ,

l ". o - ) . 1 - . - a ' / - a - - e d i r . ' " - i ' e

c a . - - - - r r ̂ r , l ; L . t c r C o - c ; _. s r p a : L o a r e . ' n . . u l c - o . . u , , e . v e r o l - .t r e r d i n t re p ane le d i ago ra le a l e aces tu ia a? . i 1naxo iome t r i a i zo e t r i c i sL "b i o fma u fo r seg i i en iec-- d -ea:ta,

D

f i g . 3 . 3 . 1

{ is .3.3.a

RePrerent;ri qrancmetri.c

' 'a--' i '--

" ^ /

/ t /\ - l l , /

-.'i'i -._. / t n

,/ t j/

{ig.

AxoNonETRtA o lv t rRtcA

- - ^ - ̂ m e t r i e i d i m e t ' i c e, \ c r d ! r r r d , d L ( c r r :

este:

a:g * . r

Tr iungh iu i axonomet r ic es te i sosce/ , ia r dou i d inr -gh iu ' r le oe care le [ "c axcre- i rnag i re i r r re e les ' r t ega le ( i ' g . 3 .3 .5 ) . Do-d axe- imag ne au aceea! ;scarA.Canstructia oxelor ' in oxanonetrio dimetricd. Dtnrelalia fundamentalA a axonometriei ortogonale seD o t d e d J c e u r g t ' u - i l e d n t r e a < e ' e - i n a g i - e ra v ^ - r - . ' " i r , a 6 a . i . i / 1 . r I K \ l - n n c t r r r r r i :

n r r . 1 i . i < c l a c e . t , l t . n d d , . i z i r r n e o : l o n e : , o

n F r n A - - r ' - , l a - ^ / c - i r i o ' , - ; \ ? . t f e J r e z u l r a d i r e c t

urgh iu l i le cduta :e . Se ia r sp 'e d 'eap[a 8 d iv iz u r ip o : l c n c n r z o n - : l ; < . r n ) n p v a r r i . , l ; i : . < n r a

s t inga 8 d iv iz iun i eSa le pe or izon ta l i g i 7 d iv lz iun ipe verticali,

. . r i . , r , : n 4 v ^ n . - . . i e c ; n . e t r l ( c e S T e' r i - : I 1 m u c n i r l e c u b r l u ir 6 u r d J . J , i . e w q d q ' /

au d imensiuni egale, in t imp ce a t re ia muchie aparede lungine jumdtate. Pe fe le le cubulu i au fost' r - -

rF r ra 6 - t l r d cc rCu r i l e i nsc . iSe iTpat ra te .

AXONOI''I ETRIA ANIZO14 ETRICA

Relar a ca 'ac te r s t c ; a axono-e t i e : d ' r i zoTet 'ceeSte :

e+p+r- - l c . r l ' e ' . y o ^ o r - t . t . c e c r - s C / e , r r c C d r € A u da e a l i ; s , d ; i a r o r rocc . r " r ' O ' ocup i o po l l i co d - c c a - p ; r . r ' . . r . o r - l t " i u ^ g h c l . i A B C . S e p o a t co ' . r r o , r ,

" ^ i ' o m e l r i c ; d a c : s ealeg in t re axele imagine ungh ur i le de 105", 120"9i 135 ' ( f ig . 3 .3 8) . Acestcr va lor i le corespund uni -td l i le imagi ie u* , u , ; i u" reduse aprox imat iv in. . n ^ , 1 r - l - p ' n 6 i O - e c n e r t i v 9 ; 1 0 .

. . i - , , f - - , - - : , ^ i _ 1 o i n c r n n c i . l c r . n . l

J c P U u u , - ) , E ' o , , 1s is temul ce axe da t F i un i ta tea rea a u d in spa l iu .)e .aDl c \ t ' 8 . s .3 ,>) r4 uo 5r u0 Pe pra lu axo lo -- 6 ' t - i - - - - - " - - r ' ' l o r t r i e d r u l u r d e

' - L ' r ' - - ^ - n u ( h i : l o T u r i t a t e a5 : d ) d z o P cr a r i , , r i r l i . ^ , . - + . ' - , , 0 , , 0 u f , B e v e - i - c d i rr : h : t p . o ( p n h t i r n a r v p r n : t , r F . i | : r p l t r o ? ? 9 )

U - " r e , e r p l l , p e r L r r a l : r c o r d : a - ' t r , u i g h r -t t , i ) / - - . f p ' . . . p c ' . d p r i r ' " . a ? . 1 . 1 0 ,Const ruc i ra unu i cub in axonomet r - ie an izomet r ica.6 .L+ i -a l ; | ^d r ' r rL i r '6 r . / r . . co^ lo rm ce lo r demai sus , F iecare much ie apare de a l t i d imens iune.

fig. 3.3.5

fis.3.3.7

Y

74 Reprezentdri de orhitecturi in geornetr io descript ivd l i oxonometrie

in f lgura 3,3.1 '1 , pe fe le le cubulu i au fos i inscr isecercuri, care apar in axonometrie elipse.

f i9 .3 .3 .9

1 )- - L - . :

7.

. ( i

in f igur i le 3.3.12 9 i 3 ,3.13 s int i lust rate doud rasteresau gr ; la .e axoIoret r :ce, ca"e pot f i fo los i iepentru construc l ia d i rect i a unor vo lume in axc-nometr ie izometr ic l ( f ig , 3 .3,12) sau in axonometr ieanizomeft ic; (fig. 3.3.1 3),

.r<

Roprercnt6ri gronomoli ice / 3

l is .3 .3. l l

f ig, 3.3.12

{ i 9 . 3 . 3 . 1 3

-t

] 4 RTPRETENTARI IxoNovsrRIcE oB. l IcE

. in .axonomet r ia ob l i c i d i rec l ia p rorec tan . te to r nL l

mai este ortogona)d, ci oorecart. Axele_imagine srun i td l i le , imag ine po t f i a lese arb i t ra r pe p lanu laxoramet.ic, Ceoarece conform teoremei lui pahlke,t re i segmente oarecare s i tua te pe p ianu l axoro ,rne t r i c , por -n ind d in a ,ce lag i p !nc t comur de in te r_sec ! re , po t f i in to tdeauna cons idera te ca pro iec l i ipara e te a t re i segmente ega le pur ta te pe ce ie t re imuch i i a le unu i t r iedru t r id rep tungh ic .

Tecrcm; r lu i Po : lke are consec in le foa t - te in te re_sante pent ru axonomet r /a ob i i ca . S i p resupLrnemcd v re ,T t sd reprezentdm i l axoromet r ie un cub,in a,sa fel^incit ura din ietele sale j i apari un pitratpefleci, ln axcrcfietria artaganald acest lucru nues te pos ib i l dec i t dac i fa ta respec t iv i a cubu lu ies te para le l i cu p lanu l a ro omet r ic ia r d i rec t iag - D . : i : c

: e 5 , e c e - p c r c r . - . a ) e . " 1 . c . r , . , ! - ,l | t J ' , , ) .

' ] e 7 " r J i c r - . i r d - a , o . - r : : r i e e s t e

para le l i cu pa t ru much i i a le cubu lu i , ia r imag ineac d r e 5 e o r ' ; - e " t e o o r ' t F ' - e . t . a c e ^ a d . . l r ' - ( r - -3 . 4 . 2 . d e , . ; ( J o ! e c c . e c - t o g o " ' . c r b . r ,a feza t pe p tanu l o r izc r ta i de pro iec l ie )ln axonofftetria obllcd, conditia sLtfici€ntA ca uf.a Cirrf - t e ' e c . j ' : - u s d a . t f i _ r p i r . a - p . ;

" - t a . , " a u

la ta respec t v ; s i f ie para le l i cu p lanut axonorne i r |cA q C D i 1 ; > o - o r r e r r ' c a d : p , o ; c L l ; e A , . s r cob i i cd fa ! ; de p lanu l uxo .omet . i c ( f ig , 3 .4 .3 ) , ia rrmag inea axonomerr icd ce se cb i i le es te cea c l i l' ; g - . . 4 1 C L c t d . e . ' a . o - o r ^ L - i c j c . p o' ' 1 . f ) : e . e L - L - g l T , - c (

l . r r - a cncmet r ic ABC ( f ig 3 .a .5 ) , cu a t i t imag nea axcno-nre t i c i ob l i c ; cb l inuU es t . ma l , , c le fo imat5 ' , ad icAmai dep i r ta t i de pe i cep l ia v izua i i L rn a r i ( i ig . 3 .4 .6 ) .lmagrn i le axc lon-e t r j ce ab ; inu ie p r - jn p fo lec l iepe p lanu l a roromet r ic ABC s lb un ungh i mic se? 5 ? a n . . d e e . r r ' - . . - L t - t c . l e ' l s i , - - p - l a -min i de ob iec te sau persona je in lu r r ina soare lu ila as f in t i t .

{ig. 3.4;3

R3prerentdri de crhitectu16 in Eecmet. iq de5..:r : iN6 si orongne{ric

ixI i 3 . 3 . 4 . 1

1 n 4figf ig.

I_t

AXONOI l ; tR lA oB i l : ' A \ lZOl lcTRlC/ i

Axe le - r rag lne s in t a es : a r -b i ' i ra i s u i r i t :L I i ie imag i n e ; ' i n t t o a t e d i f e r i t e : u . + u y + u , ( f i 3 . 3 4 7 ) .

AXONOMETRIA OBLICA DI iYETRICA OARECARE

Pe axe e imag lne a fb i : ra -e se a leg doua unr t : ! i - imag i re ega le . Vor f i t re s i tua . f i i pos ib i le ( f i9 34 .8) r

U r : U y i U * : U z l ( l / - . _ u z

Cozur i ie por t i cu la re a l . : ? .ces tu t iP de axoncmet r ieob l i c ; s in t axonomet r ia ob l i ca d lme l , r l cA or lzo ' ta l is i axoncmet r ia ob l i ca ( j in re t r i cd f ron ta l i .

Axorcnetria cblrcd difiettlcd otrT.niaid Axele <lX

; oY s in t perpendrcu are , axa oZ se a ege de o5 i -

ce i ver t i ca l i , ia . un i ta l le imaSjnes in t u ' : uy # u r' ! . . 2 . ' P e - o o : r ' r e a ' n e ' d s e - r ' c d a - -

"ometri i se fo ose;te dlrect p/c,ru/ conslrucli€i '

care rimine nedefornrat (f ig 3 4.10) .Se r€conand;

ca pe axa c lZ s i se a leag i o !n ta te magrne u '

ma i micd c iec i t ce le la l te .Aces t t rp de axonomet r ie ob l l cd se numei te ico t ,c l re rd $ i a re o la rgS u t i i zare in a rh i tec iu rAF isura -? 4 .11 reprez in ta o axono i re t r ie cava l ie ra

: une i iocu in le dupd indepS ta rea acooer i5u ' l i '

Axoncr ie t r ia permi :e red . ' - rea ^spa i iu u i ln te r o r

s i a e l e n l e n t e l o r d e m o b l i e r . i r l i g u r i e 3 ' i 1 2

s i 3 .4 ,13 s -a s tud ia t t recerea c ie a o perspec t ' raaiicnoTj'reirlce cavolierd la una !dreatie (Tdndsescu,19r '5 ) . Cea de-a co la axonon 'a ' : r le sc Poate ob l ine

{ i g . 3.4.7

l i : .3 .4 .9f i s . 3 ' 4 . 5

ReprlrentEri oronometrice. 77

din pr ima pr in cobor i rea p lanulu i construc l ie icu aJutoru l unor l in i i de ord ine, a legerea uneiuni t ; l i - jmagine u" d i fer i te ; i schimbarea unghiu-fl lof drnjre axe.Axonametrio oblicd dimetricd frontold. 5j aceastireprezentare poartA numele de perspectivd covo-i rerd, - ln acest caz, tab loul de perspect iv i este unadi r fe !e le ver t ica le a le t r iedru lu i t r idreptungh cde referinl;. Axele irragine <oY gi <oZ sint perpen-d icu lare, iar uni te l i le- imagine u, : u . s :ntd i fer i tede u, (fig. 3.4.14). in arhiticturE, pentiu construcliaunei astfel de axonometrii se foloseite dj.ect fdtodoconstru4iei. in figura 3.4.15 este reprezeniai5 oconstruclie in perspectivd cavalieri frontali.

{is. 3.4.10

78

l ig. 3.4.1I

Reprerentdri de qrhilecturd in geoinetrio deirriptivd ti oronometrie

{ i9 .3 .4 .12

i i9 . 3 .4 .15

AXoNoMETRIA oBLICA lzoMETRlcA oARECARE sint: oxononietrls ablicd izametricd orizantold, lacare axele coX s i<, tY s int oeroendiculare, iar axa (0Z

Arele- i r ragi re s in t a lesc a Lrr rar , da 'un ' r5 ' i c- ra- csre r ,e f t ,cat5( f ,g . 3 .4,1 / ) s i oxononetr io obl icd i7 . -Sine sint esale ui : uy : u, (fig. 3.4.16). net cd frantold,la care axele oY ;i <oZ sint perpen-Cozurile particulore ale acestui tip de reprezentare drculare, iar axa <oX este aleasS arbitrar (fig. 3.a,18).

f ig. 3.4.18

Reprerentdri oronomehice 79

l

f ig. 3.4.'13

7

{ i g . 3 . 4 . 1 6

fig. 3.4.14

4.CERCUL SI Si:[RA

4.1. CERCi. iL

CERCUL iN PLAN DE N lVrL

Cer t ru l cer "cu l l i es te ww' , ia r raza sa es te iw( t ' " . 4 . . i . P . . r - - i e n - . n - - " j I r a . c l , - s i F f a l q -v e ' a ' n n ; ' r e . i 1 t ; . , . c e p ' o ' 6 c t ; : \ e r " , . d a e , l (un segnent c le d reapt i a 'b ' , L rnde A s l B s in i p , . rn . -r e l c d 1 e ) - - ' . i r g i s 6 - r F T a d , p - . " 1 .cercu lu i . Un pUJtc t oa .ecare da t Fr in p ro ec l i as a v ( - . - a l i l ) " - : c r ' 1 . c c ' e . p o 1 a e t . . i p a -dar i p ro lec l i i o r i zon ta le , 1 ; i 2 .

CERCUL iN PLAN FRONTAL

Acev- ra ia mdr imr i cercu lu i apare de da ta ace ls i ; rin p rc iec ta ver t rca l ; ( i ig . 4 .1 .2 ) . Prc iec i ia o1 ]zcr :- . . . ( ' : L r s e g - - t e r l c e a e l o - a a l r e g I i r l - - g m .cu d ia ine t ru l cercu u l , Un punc t oarecare da i p f inpro iec- ro sa or .7o :d . ; /1 a re c l eo : co : -espoFnet 'cdou i p ro t :c . ! i vc r t i ca le , 1 ' s i 2 ' .

CONSTRUCTIA AXELOR ELIFSELOR DUPA CARESE PROIECTEAZA UN CERC SITUAT INTR,UNPLAN [P] DAT PRIN URME

Foos in raba ie rea PP"P ja p lanu u i cercu lu i (PP,P ' )p e p . 2 L c ' , : c - : a i c . p : o F c 1 e ( f ' g . 4 1 . r ) . E r e

w , v ' C r ' t r L I c r ' _ - U i ( w o ; ' r a i e r e a _ r : e p l a nt . - ^ ' . ) / ' ^ r - r . - - t , - . a b s i c e s e o b l nr ic ic lnd d n rabatere c ' ramet ru l o r izor ta l aob0) l . E . . t l i c i . l i r m F r r l - o n e r- L 1 r r - p e 1 l c u l : ' D c e

' - - , 1 . - - n r : r l a . - m , m : . - _ : ^ ^ l ' - ' , \

Are le p ro ec ! e i ver i i ca ie s in t y 'e ' ; a 'p ' , E le seobt in r id ic inC d in rabatere d iamet fu l f ron ta l loena l ce ru lu i g i d lamet ru l c .cp , . perpend icLr l i r pe c l .

CONsTRUCTIA EL 'PSE1 PRlN OPT PUNCTE( in avonoDet i re i :or .etr lc ; )

P - c r e . . 1 . 2 3 i 4 - , o a c " l e l a ' r r : o ' D ; -t ra tu u i reprezenta t in axonomet r re i zomet r ic l

( f iE . 4 .1 .4 ) , Se co :s t ru ieSte rapor tu l f t Pe juma-ta tea d iagonae i . Se ob l ine r ra i i ' . r1^ i Pu fc tu l 5

. I i9 .4 .1 . ' l

- j:o-- '-*'* b-f"fl,---l is. 4.1'2

Repre!entdri de orhi lecturd in geomelr io c!45cript ivr i si 61o4crvt" ' tr ie80

$

{ig. 4.1.3

Iig. 4.1.4

pe d iaSonala AB, pr in rabaterea lu i M pe d iago-1al t . Pulcre le 5, 7 ; 8 se obl i r pr in para le le duse

, 1 l :la la t r - r i le perratJ lu i , Rapor tu l /2 se poate constr . r ;i i pe jumi tatea la tur j i CB, obl in indu-se punctu l 6 ,pr in rabaterea lu i N ; i deplasarea para le l i cu la-tura AC,

4,2. SFERA

S{era este locul geometr ic a l puncte lor d in spa} iueSal ciepdrtate de un punct fix numit centru/ sfcreit { - a 1 . \ p - - . . , . . 6 ? ^ t \ , : " - : ^ , o b l e m e l o r c U s f e r e

c ( + F n p r p c r r ; F r : , 1 c 1 + i e . F p n e s f e T d a u n o r l i n : i

caracteristice, gi anume; cercuri[e m0ri ale sfereit - - , " r ^ . . 1 ma" : ,1 ,aArA F ' . \ (e rcu . i ma i m,c i(paraleli i p.a.). Cantururile 6pore,"rte ale sferei inproiecli j le orizontal5 ti vefticald sint cercuri marjale sferei.

PUNCTE PE SFERA

in f tgura 4 .2 .2 s "1 l ce le rmina te o ser ie de punc teo \czo t? t .e s lb rc "o ta s fe te . fo los indu se I in i i le carac-1er ;s t i ce a 'e acesre ia As t fe l . pu" ,c te le A(a , a ' ) 9 iBqb, b ' ) se a ' la s i t ra re pe ecuator . Per t ru a ob l inepro iec l i i i e ver I i ca le a le purc te lo r D, 9 i D . , a c ; ro rp"o iec l e o r izon ta la es te d , se sec ! ionedT: s fe 'acu ur p lan f ro r ta l ; aces ta deTermi . ra ;n P" t ' iec f iever t i ca ld un cerc , iden t i f i ca t cu a ju^ to ru l punc-tu lu i C(c , c ' ) a f la t pe ecuatoru l s fe re i . ln mod s imi -lar, daci se d; proiectia verticala f ' a punctelor

Iis, 4,2.2lig, 4.2.1 4.2.3lig.

Cercul gi slero 81.

I

{L

fr,-fi Fe; -cele d.oud P roiecl i i -ori11nt3]e ! ti f, se schimbarea de plan, se oblin aceste puncte in celedetermjnd seclionind sfera cu, un pran

-de. niver aoui p/oieclii - orizoniut! ;i v"rti.rti. cere dou;

:11:^1.. ." pr in f , , . Cu ajutorut punctutui-E(e, e,) ' .puncte de intersecf ie , i " i ! . , ! i Ol t '

s , tuat pe conturul apa"ent vert ical a. sfere. s iAobline in- Pro:ec!;e orizontala cercul care dq1g"- .. l i tersecl;o, unei sfere c"r o dreoprd odrecore (a'r; me-m nd pe fl ii L '

:?::|,1::i-fl1J3(::ii:tjHi"5,ffT,T#y(",jfl\ rNrrnsrclre uNEr SFERE cu o DREAPTA i: if:,:"":Xi'.:il,',"j'Ji1i:1..",'Jill jiii,';jiii,"' ln ,,grru 4.2,3 s-a. efecruar o ,seclionare, a sferei cu :;*"ili"

t':j,oltt"'?i: ;ntilJil:l f :ilr"X

:,. -l]11,d" liy"l (dererrninindr-se asdel un para'er in proiecria

"".t;iru ii ,i" ."r". ' o-"rr".it. oour;

1 "7.._::,1 P.nal, a-se €asi punctele de inrefseclre c.r cercul se rabate ii dreapta (D), oblinind prorec_o sle.e, cu a dreaprd or;zontard. Tra verticarS rabatuti (di). La infersectia c.: cerc.Ll

intersecl/o unet s/bre cu o dreoptd oorecc.e. pentru llb:lu], t"^?rtil PUnctele de interseitie rabitute

interseilia sferei'c,r o ar."p,i6ir"i.r.', i.r;;f.. "j ; '1,^:i qt'" irtoarcerea dir rabateie, se ob] r

tuate _o schimbare de plai vertical de proiectie, ll i:t: '-?^ ot Intersectie dintre dreaPta oarecare

in asa fel ircil dreap,. ,JJ""ini ;;;.;;,i;;;;i l (D) f; sle".a in cere doua proieclii oriogonare.( ig . 4 .2.4) . Ducindu-se o secl iune dupl un o 'anfrontal, se determina un cerc frontal pe sfera ii se CONSTRUCTIA UNEI FRONTALE TANGENTEobl in puncte le de in te-secl ie a t fu . . i i cu d." .p i . iNTR-uN PUNCTLAstERAIn noua Pro lect re ver t ica l i . Pr in revenj rea d jn in . f igura 4- .2,5 sedau sfera de centru ww,; i puncrur

A(a, a ' ) , Se duce pr in punctu l A un p lan f ronra lcare secJioneaza slera dupi un cerc. Tangentain punctui A Ia acest cerc este frontala cdutati.

j

,1.

4.2.4fig. f ig.

82 Reprerenl ir i de orhitecturd in geometrio descript ivd si dxonometrie

H

PLAN TANGENT SFEREI INTR.UN PUNCT

;+ PE SUPRAFATAl l

: : . : 'Se consrru e l te p larr l rangent ld s fe"A in punctL lM(m, m') ( f ig . 4 .2.7) . Ptaru l tangerr cdutaT esreperpendicular pe raza (wm, w'm') , Or izonta la(mv, m'v ' ) apar t ; re p lanu 'J i de tanger tA c;utaT,deoarece projeclia ei orizontalS my este perpendi-culard pe proieclia orizontald wm a razei sferei in

l ig. 4,2.6

punctu I M, Urmat r e c e p r i n v ' l i v a

TANGENTPRIN URI,1E

Ne propunem sa ducem p.]anele tangente la sferadin f igura 4.2.8 para le le cu p lanul lP l dat -pr inurme, Prin centful sf€rei se duce dreapta D(il,. d')perpendrcular i i pe p arrJ [P] , Acea.U dreapt ;In te-secTeaz; s fer" in p. rcre le (a, . a ' ) i i (8 , B ) .PJanele ta"Ser te la s 'erd in aceste pJncle s i l lplarelr TT' s. TrTi cd-ta'.e, Urrra or;zo^ta . T,, c ) c u , , , , 6 u r d .

:

SECTIUNE PRINTR.UN PLAN PROTECTANT IN SFERA

in lEu-a 4 ,2 .9 au fosc dererminare pro iec l , ie cu ibe i, . i . - 6 . - A - + ^ / - + . a ^ c t o . ; c i u - p l a n d e c a p 5 t ,

tangenta in t r -un punc t curer i t M(m, m ' ) a l cL ' i re i

de secr - re ; i a re le sec t iun . : , Pro iec l ia o r .zo ' ia ' . ;

a .e "cJ . - , es re o e .ps ; (o -s ( ru i ld a . ra log ce lo ' d inf igura 41 , ,? . Tangenta in punc tu M es te d re ) t i ll . : n r - . c o . + . - . n t . F ^ l ) ^ , I r r n o c n r l r < f e r ; i n

r r . l n ^ r c i n l ' " r < e r : n t

P d ! , ! , r d , , ) i c r L

f l perpendicular ; pe w'm' .

PARILEL CU UN PLA-N DAT.I ]

{is.

Cercul 9i slero 83

rlL

SECTIONAREA UNEI SFERE CU UN PLAN OARECARE

in figura 4.2.10 se dau sfera de centru (w, w'),5iDlanil oarecare dat prin urme PP' P'. Pentru ob-i inerea curbei de secl iune a s fere i cu acest Plan,se efectueazd o schimbare de plan vertical de pro-ieclie, luindu-se noua Iinie de P5mint OrXt in a9afel incit planul [P] si devinA Plan de caPdt. Se aPlicdconstruct ia d 'n f igura Preceden 9 i se obt in doudaxe (d iametre perpe nd ic , : lare) a le cercu 'u i de sec-t iJne. Pr in i ' t loarcerea d in schimoa'ea de p lanver t ica l de pro iec l ie se obl in ce le doua d iametreperpendiculare a le cerculu i de secl iune in ce le doudDroiect i i or togora le. Pentru mai mul tE prec iz iein trasarea elilselor, se poate folosi o constr-cTiea Ior or in opt puncte, lu lndu-se incd doue d iametreperpendiculare (construc l ie nei lust ratd a ic i ) .

APLICATII (rdndsescu, 1975)

Sferd Lanlenfi unar canuri, Se dau trei conur: cir-cu lare d iepte cu bazele s : tuate in p lanul or izonta lde proieclie (lig. a.2'"1). Se cere sa se aleze o sferide razd data in1;a fel incit sd fie tangenta simultancelor t re i conur i .Se a;azd cele trei conuri in Plan astfel incit verti-cala oe care se va situa centrul sferei cautate sef ie in 'acelas i p lan f ronta l cu centru l unuia d in conur i 'in acest fel, conturul aParent al sferei ' in proieclieverticald va fi tangent la Seneratoarea de contura conulu i , Constr ic l ia se obl ine s implu, ducindo DaraleJa la aceastS Peneratoare la dista'r1a egalacu raza sferei date Au fost figu"ate 5i sferele deraze maximi ;i minimd care indePlinesc aceastecondi l ie .Sfere tdngente exterior. Sd se aieze ,Pe lrei sfereesale de

-razi date, situate pe planul orizontal de

oToiectie si langente i^tre ele doua cire dor'5b u pui." ifera di razi dubla (fig 4212)'

Centrul sferei ceutate se ProiecteazA orizontalin cent .u l de greutate a l t r iunghiu lu i a lcatu i t de

centrele celor -t'ei

sfere egale' Se alege pozil a

acestora in plan in a;a fel incit verticala Pe care se

vi afla cenirul sferei ceutate si fie cuPrinse in

aielasi plan frontal cu centrul uneia din cele trei

sfere' egale. ln acest fel, contururile aparenteverticalE ale celor doui sfere vor fi tangente( f ig . 4 .2.12) : s-a obt i r r - l t acest lucru Pr i - t r -o schim-

la i .Oe pt in ve ' t ica l de Pro iec i ie ' Se obl ine ast fe l

cotd centrului sferei ciutate li se traseazd aceasta

sfer5,

E4, Repr€zenfdri .de orhitecturd in geometf iq descript iv6 t i qxonometrie

hS. e9

tis. r2t0

lig. L2-12

flg. 4.2.1I

Sfere tongente interiar. Se consideri o sferdtransparentd de grosime neglijabii:, de razd dati,a fezat i pe p laru l or izonta l de pro iect ie ( f ig . a .2.13) .In aceasta slera se vor aJeza trei sfere egale, deraza datd, tangente intre ele dou5 cite loue sjta ' rgente in ter ior s fe.e i date. Sa se determinesferele tangente interior sferei. mari ti, simultan,tangente exter ior ce lor t re i s fere mic i .Rezolvarea este asemindtoare celor douE rezol-vAr i precedente, Pr in obl inerea unor conruruf laparente verticale ale sferelor, se transforrndpractjc problema de geometrie in spaliu in proble-md de geometrie pland. Se cere rezolvati deci oproblemi de tangenld interioard gi exterioaraintre cercuri de raze diferite sau chiar necunoscu.le,Figura 4.),13 cuprinde rezolvarea. ldentificali ope-ralii le efectuate.

CercUl +i llero

fb. 4.213

:ts

5.FOR}4E POLIEDRALE

5 1 . P O L I E D R E , R E P R E Z E N T A R EsEcTruNf 5r |NTERSECTTI

' i ,

; 'Un pal iedru este un iorp 'geometr ic mirg in i t defe le p lane, Fs le le sa le s in t po l igoane cu un anumitnumir de la . tur i . Latur i le pol igoanelor const i tu ie, r .uchl , ie po ' ied. r - l r . , i s i rezt l l i d ' . i l tersec! .a adod6 fele a Aturate ale sale, l '1ai multe muchii aleunui pol iedru s inJ concurente in t r -un punct numitv i r f a l po l 'ed ' r l r i , (are es le to todarE puncl co nJ.n c n t - . F l h r i . r r - i f p r p . . 1 " n o l i e d r u l u i .Poliedrele pot f i coivexb .siiu concove. Poliedreleconveve s ln t ace le po l iedre care nu po t f r sec f o .na te de p la -ere prop ' i i l o r lo ' fe le , Po ' red 'e le po tf j c las i f . ca te fn regu/ore S i ne 'eg t lo ' : . Po l red-e leregu la te vor f i s tud ia te in subcap i to lu l 52 .

RE PREZENTAREA FOLIEDRELOR- .

i - f igJ ra 5 .1 .1 es te reprezenta tS i r ce le doua p .o-iecli i ortogonalb o piramjda oarecare. Vizibil i toteoin proiecJia orizontald se studiaze comparind cote/e

{ ig . :5 .1 .1

.86 .".,.

{is. 5,r.2

f ig 5.1.3

.-. .-. Jgruelgni,fii- de..crhitecturi . in geemettiq . dgtcriptivd ti qrononetrie

I

djverselor puncte a le p i ramidei , iar v iz ib i l j ta teain proieclie verticale se studiazd comparind de-pdrtdrlle punctelor. Avind m' proieclia verticald.a unui prnca siluaL pe suptofola Diro"4idei, se potg is i doud pro iec l i ior izonta le, una pe fa la ABS s iuna pe fala BCS a piramidei (m, 9i respectiv mr),

Construclio praieclii lar unei tiromide pentaganole.regulote. 5e cere se se construiascd proieclii le uneip i ranide per tagonale regulare, cunosc 'nd fa la la-Xterali SAB cu care este aSezati pe planu orizon-r : l d e n r n i p r t c q F . ^ . < i . l i a ( r F i n . ) h r + . 1 6 ^ -

IH] pentagonul regulat inscris in cerc (fig. 5,1.2).Cota ddla v i r fu lu i D(d, d ' ) se obl ine consider ind

$' aI

fi$fl

^ ' ^ . + ' , I

14 t lrezul tadreaPla

d, de intersectie a arcelor de cerc de razdsbo, ia i co ta mc : H i a punc te lo r C 5 i Ed i r i r re -sec l ia a rcu 'u i de raz i Kmo cuRE

SECTIUNI PLANE iN PoLIEDRE

S2cl iun i p n p lone p,6 ipq1o'1. - : r f .6ura 5.1,3. sec-l ionarea p i ramidei dupb un p lan de capdt se obl inecobor i -d puncte le de in tersecl e a le p lanulu; cumuchi i le p i ramidei d in pro iec l ia ver t ica ld in pro-ieclia orizontalA, pSstrind corespondenla muchli-lor , AdevErata mer ime a secl iLr i (notate cuaopoyoSo) se oDli're printr.o rabatere a plarulu,de secl iune (p lan de capi t ) pe p lanul or izonta l depro iec l ie , in juru l urmei or izonta le (P) .

Secliurti prin plone oorecare. DacI planul de secfiuneeste oarecare, se efectueaz5 o schimbare de plande p,oieclie (:n a(esr caz, olanil [V]), 1n a:afelincit sd se tTansforme planul de sec1iune in planpro iectant ( f ig , 5 .1.4) . P i ramida se obl ine in nouaproiect ie ver t rca la a;ez 'nd v i r f l r v i la cota curos-cul i d i r vec lea pro iecr ie ver t ica id. O apl icagieasem:n;toare a fost prezentata la meioda rotaliei.De a l t fe l , 9 i in cazul p i ramidei d in f igura 5.1.4 sepoate folosi deopotrivi metoda rotaliei (aducin-du-se planul oarecare in pozilie de plan proiectant).

i*rr^rrar,^ DINTRE o DREAITA tt uN poltEDRU

PX

{is. 5.1.a

f ig' 5.I.5

DESFA$URATE DE POIIEDRE

A ) - , t - . - - - . r r i n a l ; a l . r i n -^ ! c J , d ; u , d r u P , d d ! d , d r c , d , d

< A r h . j , r A . F + ^ ^ r p f p r o l e < : J c ' ^ - - - . . i ^ r ' -

, \ ! ! i - J L ' ! i r r d t s r d l I P d i .

Pentru obl inerea desfdsurate i p i ramidei d in f igura5.'1.6, s-au determinat in adeviratd marime toatemuchi i le sa le, Ast fe l , muchia SA f i ind f ronta l i ,

Se duce .pr in dreaptd un p lan pro iectant ( in acestcaz,_rn plan de capat) si se sec!ioneaze polii:drul cue l ( f l g . 5 . 1 . 5 ) . L r i r r e , s e c t i a d r n r . e o " e . r p t d i i p o l i -go! -u l de sect i - re rezul ra ce 'e doL,a purcte deIntersecl ie d int re dreaptd s i po l iedru.

Forme poliedro!e 87

apare in proieclia verticali in adeverati mirime.Much i i le SB t i SC se ro tesc p ina c ind a jung in poz i -' ! ie f ron ta la . Pro iec l i i l e lo r ver tca le vor deven is 'b i 1 i s ' c i . Des ' i ;u ra ta p i ra rn .de i se co 'npure d i r -t r -o succes lune de t r iungh iur i a ieza te in P lanu lf ron ta l a l much ie i SA.Pr isma d in f igura 5 ,1 .7 se poate de asemenea des-fd 'u ra p r in ob l inerea m!ch i i lo r in adev i ra t ; m; -r lme. Se rabat much i i le pe p lanu l o r izon ta l de pro-iec l ie [H ] . Sec l iunea t ransversa ld perpend icu la rApe muchii poate fi aflat; in adev;rate m;rime tot

printr-o rabatere de plan proiectant (de caPat)pe p lanul or izonta l de pro iec l ie .Se nunresc tronsfo'note ptin desfA.su'Jre ale Puncte-lor s ' in i i lo ' l rasale pe sLPrdia1a Lru i po l ied 'Lpuncte le f i l in i i ie corespunzdtoare d in f igura ob-

] inut i pr in desfdsurarea pol ledru lu i resPect iv .P " p c I r n : r d . ; i r , < n a a . . F ( A . t i o n a t i d e u r p l a n

oafecare (secliunea hagurati), traseul secliuniipoate fi oblinut in desfdguratd, urmdrind Pozil iapunc te lo r a f la te pe f iecare d in rnuch i i ( f ig , 518)Desfa;urateJe poliedrelor pot f i foiosite $.j p€ntrualte probleme de acest t ip, ca, de exemp u, deter-minorca t roseu lu i ce l mo i scur t d in t re doue PUnctes i tua te pe fe le d i fe r i te a le unu i po l iedru e tc .

INTERSECI I I DE POLIEDRE

A r r+F.qF. r , 1o ; no l ' -d -e i - . .amnE a dererminapuncte le in care much i i le unu i po l iedru in t i lnescfe le le ce lu i la l t po l iedru f i rec ip roc , Dac i in te rsec-

l ia genereaz ; un s ingur .po l igon p lan sau s t f imb,se spune c5 este o interseclie de 8en rupere Dac:apar dou; po l igoane (unu l de in t ra re t i unu l de

88

l is. 5.1.9

Rtpfarant6ti d€ orhitectutd in g€omehiq dercriptiY6 ti oronometie

fig. 5.1.6

fig. 5.1.7

seal iunea

f ig. 5.1.8

ietireJ,, interseclia este de gen patrut.,dere. parteacor rJ - ; a cou i por iedre ca ie se i - t . . sccreaza -cnumet te .corp comun sau so l id comun. /n ie rsec t ia acoUa po l edre 5e oL ne cJ a ;L rorJ r _^or D/L , . teo - \ . / o r e d L J s F p - i n _ u c n r . l e p o l r e d - e l o r .

{ - 'e ser t_o_g, d_og . - } t ro r r ,de . per r -J :1 le . , -c t ,a ?ur rud P ' ran- de 5e duC Dlane gs-1 . ,u " " care cont tn

Pe " ,nd nu :h , /e - l :o ' iedre lo - s ; u f t o o . rc - .a f l e! : :? l " l , * * .unes t " c -e ,e oor , i t r i r f " " i 1 - " rp . . , , )l r : : : : l l

d - f i g u r a , 5 . ' . 9 ) . U - a s * . . e c e p r a - c o - : . "o muchte

.a unu ia d in po l iedre ; i . i l , sec i ioneaz i ' pe:-el; lalt

dupe daud generotoore. lnterseclia dintremuch le . $ r genera toare de terminA punc te le de in_t ra re t i i€ t i re a much ie i p r imu lu i po l iedru in ce lde-a l do i lea po l ied ru .

?" , : : .1 "z . : " p i -amidetor se a f la s , r r ,a . .e in p t rne

: i ' ._ " ,1 " : : vor fo 'o5 i de asere- ,ea p ia ro care - ._ec

.? . . " ; I l : ! l l " , po l iedre 'o r s ,o r in d re .p la ce L ines levr - IU _ e ,o . . In acesr caz se fo losesc Lrne ,c aces lc r

prane pe dmbe/e p/cne ale bazelor deci fascjculeo€ c .ep te cdTe t rec p - i1 purc te ,e I , respecr ,v j( f i8 . 5 . r '0J . P la r . l r l Ja conr .ne , . t .1_chrd V,A a D i fa_J 'o i ;

u l . t .generaroare le Vr , l ; Vr r a le -p i ramid . i]1 . , l ]u , . ' ,_ "

rn le rcep leara ce le co_a 6e^era toa-e ;npu lc te le 1 . ! 2 , care s inL p lnc te le -de i - te r :ecr rea , mLcr ' re r V2A cJ D i -d r . ida V, . in n -od s . r i ra r seobf rn Duncre le 3_s i 4 d , - ,n ,e r iec t ie a much ie VrBcJ p , ra -n tda Vr , F igu"a 5 .1 .10 i , . s t reaz j rezo t ra - ia'n avo ' lOre t r ;e a In le .Sec l ie i c in t re CeJe doLdp i ram lde .

in f igura ,5 .1 ,11 es te rezo lva t ; fn dub ld p ro iec t jeor rogona la i . re rsec t ia d i r t re o p i ra r . id l cu bazar DIanJ t o r jzonra l de pro .ecr ie $ i o p : -a r id I c_oaTa In t r -u r t p lan ver t i ra l oaTecare . UTr re te D,ane.i o r a u \ r t r a - e c o n r e r g i n p L r c t _ l i d i n p a n u l f H ls r , " ou . ' t c tJ t j ' d ,n p la r t r ver r i ca l da t . Esre s tud iaufJ v iz lDJ l t ta tea ,

Dac i p : ro r ide te s -1r pa" t i cJ la re (p , ra - Ce areDrecU Daze le po l iSoan- -egJ .a te e tc . ) . rezo tvarea . "_TeTSect le r se s impJt f rce , ;n t r ,c i t se ,o tosesc p .9p1; .

T_" I ' " o : s rmer r ;e . In f ;gura 5 . i ,12 , ce ,e doL, ; p . ro_

: lo : " , . " l ] o . r . l : pEr r . re . s i r t o ra r , r rce drep te i i a_

ace ias l ax \e - t i (a r ; ?n aces t (az s r r t su f j c ;e" te ooUE

l : i :1 "_ d : in te rsec l ie .pent ru a de t . . rm i fa in t regu l

q i 9 : l

d . ;nTe"sec l re a , ce lo r dou i p rami le .L^er .e /a l te sase

.punc te aJ ace 'eas i core ca pr in e leooua,s i aceeas i poz i t je pe fe le re p i -3mi js l9 r , psn_t " l

.dere^r r r ina .ea D. j rne 'o r cou ; punc le ce In te r_: l f l I

.T t . s l f i c ien te doua sec l lun i ver r i ca te p r in

c e l e d o J ; p , . a n i d e , c u s e p r i n p u : - : e l e a s i b r e s .pec t rv e t i f .

l i g . 5 .1 . I0

forrne poliedrole '89

f is. 5.1'.1I

f i g . 5 . t . l 4

t iE. 5,1,12

I ntetseclilt .{:4tt9,a prismd si o -p-ilamidri. pentru re_zorvarea, jn te rsec l ie i d in t re o p r ismi g i o p i ra rn id i ,losctctlul ploneIor ouxil ldre trebuie sA treaci prinoreapta care <ontine virful pi.anidei $i este para_

le l i cu_muchi i le pr ismei , respect iv dreapta (D) infigura 5.1.13. gi in acest caz, fiecare plin auxiliarconl ine o muchie a unuia d in pol iedre 5 i i l sec l io-neazd pe cel de-al doilea dupi doud generatoare(care sinl .concurente in LV] in cazrl iiramidei gis in t para le le cu muchi r ,e in cazul pr isnei ) . In tersec-l ia muchie i cu ce le doud generatoare determjnecele doud puncte de interseilie a poliedrului res-

t i g . 5 . 1 . 1 3

Reprc4ntd d€ orhltectsrd in

f i g , 5 , 1 . | 5

geonetrio descriptivd li oronom€trie90

1

pect iv cu muchia ce lu l a l t po l ieCf ! . Ev ident , incazur i le de tangenfd, ce le dou: puncte seconfundA( p u r c L u | 3 ) .l - r e . s e c ; d d i r f r g u r a 5 . 1 . ' 1 4 e s t e - n c a z r a s i n r p u ,dator i tA faptu lu i cd. ; i p i ramida ; i pr isma au bazelep;trate, sint amindoud .drepte ;i au axa vertlcalicornund, Puncte le pol lgonulu i de in tersecf ie sedetermine d i rect d in p io iec l ia _or izonta la g i se r i -d ' :e aDoi ; r p .o iect a /er r 'ca E. ln a.est cdz p-ac1icnu este nevole de p lane auxi l iare./ l r te fsccr io d . rL"e dcL i Df .s?e . Per l ru rezo lJa edl r t e " s e c : e l d l ^ 1 r e d o u ; p - ! r r e . s a d u c p l o r e a : , _ : -/ id re para le le cu much i r ie ce lo r Coud pr isme. lnaces t 'e l , f iecare pra d .s p r i ' r t . ruc l^ ra u re i o . i ncva sec l i04a ceara l l ; p r i s r r ; dup i dou l gereraroa e ,pe care se de termind ce le doua punc te de in te rsec-1 i e . . 1 f r g J r a 5 . 1 . 1 5 . i n r r u c ' t c e l e d o u ; p r . s r e s i -

p r ; s m e d - e D t e , p ' a - e l e a - r i l i a r e s i - t p e r p e r d . c - r -la re s i pe [H] : r oe lV l (s n r dec i , p ia -e ae pro f r l r .

in cozL ' l genera t a l ,nor p . i s r re ob lce . d i 'e - - t t , u r -

' ' r .e lo ' t la .e la ' ou) . / o e sp deLe-nr i r i d lc ' rd p r ln -t ' u r puncr oareLdre d : - spa l ;J doud drep te concu-ren te ( f iecare d in e le para le ld cu much i i leUne iad in t re p r isne) s i de termih ind urmele p lanu lu i da-recare de f in i t de ce le dou i d rep te concurente( f rg . 5 1 .15) , Drc ' rd u - fasc icu l de d .ep te pa .a 'c le. t . ) . r . t c r rn -p r r i r t t - .a r - v ' t f a ' baze lo - ce lo rCoua pr is re . se poa le de te"n ina / ,m ' to in te"sec t ie ic : n L r e c e r c d o u i p ' s r e . A s t f e l , l i m i t a t r i u n g h i u l u il -a iJ ra t repr .1 :n rd l i r , ra de la care incepe i - r te f -recr d . Ur r e le (o r izo ' ra la 1 i re r t i ca ld ) p lanu lu 'pa ia le l c - m-cL , ' le ce or Co- i p r isme s 'n t (P) s i(P ' r . f ' e au fos t oc t : i r ' -e duc ind p- r1 t r u r puncroa.eca-e d in spa. 'u l ( i i ' ) o d - "a )u para le r i curuc f ' ,e r . . rne i p ime s i o a l la d reaDU pa 'a 'e l5 cu- . l . i i 6 . . l o l : r r a ^ r i < m F a a l a A ^ t t \ A r a ^ + o A * F r -

mind p lanul PP"P' . V iz ib i l i ta tea in tersecl ie i se poate's tudia in pro iec l ia or izonta l ; , compar ind cote le

puncte lor , iar . in pro iec l ia ver t ica le, cqmpar indceF; ' ta - i le ouncteJor .

' . i

f iE. 5.1.1.5

iornn poliedrole 9 l

in figura 5.1 .17 este ilustrat cozul generol al inter-sec l ie i a dou5 pr isme t r iunghiu lare obl ice in axo-

. nometr ie . Se pot vedea urmele p lanelor auxi l iarepara le le cu muchi i le ambelor pr lsme, ln acest caz,e le s in t p lane oarecare. in t ruc i t t r iunghiur i le halu-rare care dat / i .n i te /e i . l tersec! e i s in t p lasateamindoui pe baza aceleia5i prisme, va fi o inter-seclie de gen penetro,tie.ln sfirsit, in figura 5.1.18 este ilustratd intersecllodintre o prismd ti a pironid1, ambele avind ansmitepdr t cu lJr i t i4 t i . AsLfe l , p i ram'da este d-eapt5 t i c , lbaza in p lanul or izonta l de pro iec l ie , in t imp cepr isma are muchi i le or izonta le, Din acest mot iv ,rezolvarea este simplifjcat:. Se poate efectua oschimbore de plon vettical de proieclie, in a9a felincit felele prismei sd devind pJane de capdt, inaceste condilii, interseclia acestor fele cu muchiilep l ramidei se obl ine imediat , Se rev ine apoi Ia pro-iec l i i le or togonale in i l ia le ,

92

l i g . 5 . I . l 7

l ig .5 . l . l8

Repreuertdri de qrhile(turi in geomelrio dercriptivd / otOnOmeltie

I

I)

'$..,t\t.

5.2. pot IEDRELE REGULATE $l DUALELE LOR

Pol iedre le regulate au urmatoare le Propr ie tAl i :- 1o" [e rete le lo- s i - t po '8oane regLlate eSale:- v : r fu . i le lor s in t urgh,u. i so l iCe regJ 'atc eSare:- s in t inscr ip t ib i le in s ferd;

. i - F , ^ < - n ^ . r F : ' . c . . i F ^ < r F - ; .

Cele cinci poliedr"" regulote sint:- Letraedrul regL/at (T) care a e oatT- feTe triu'l-gh iur i ech i la tera le ( f ig , 5 ,2.1) ;- cub,/ (C), care are gase fete p;trate (fig. 5.2.2);- . octoedtu l reg,- r i o t (O) , ca ie are op: fe :e r - :u-8 ' i -gh iur i echi la tera le ( f ig . 5 .2.3) ;- dodecoedrul regulat (D), caregoane regulate (fig. 5,2,4);-'icasaedrul reguiot (l), care areechilaterale (fig. 5,2.5).Formulq lui Eu/er. Dacd V esteM este numiru l de muchi i , iarfe le a le unui pol iedru regulat ,re lal ia:

v - .M+F:2

Rela l ia se poate urmir i t i in tabelu l urmetor :

Tetraedrul regulat(I)Cubul (C)Octaedrul regulat (O)Dodecaedrul regulat (D)lcosaedrul regulat (J)

486

2012

612173030 IL

REPREZENTAREA TETRAEDRULUI REGULAT

Prin observalie directd se constate ce triunghiulV1C este isoscel ( f ig , 5 .2.6) : V l :1C ( ind l l jmeafe le i t r iunghi echi la tera l ) . Se va lua deci s is temulde pro iec l ie ast fe l fnc i t t r iunghiu l V lCsi f ie in po-zi!ie frontald, implicit fala ABV va fi conlinutaintr-un plan de capat, Se deseneazd deci proiecliaor ; ronta ld ABC, se r id ic i drepte de ord i re ; i se iain tompas d in punctu l c lunglmea muchie i (11 :: ac), oblinind pe v', Tetraedrul astfel rePrezen-tat este agezat cu o fali in planul orizontal de pro-ieclie (fig. 5.2.7).Reprezentarea tetraedrului regulat atezat cu ofa ld or izonta le p i cu un v i r f in p lanul or izonta l deproleclie este ilustratd in figura 5.2.8, in figura5.2.9 esre reprezentat ret.aedr-r reg- lat a;ezatpe o muchie. in t ruc i t doui muchi i opuse a le unui

lig. 5.2.5

reraedru re6L, aT s:1t drepte perperd:culare i . lspal iu , muchia opusd muchie i s i tuate in p lanul

l i l l se po:re desena imeoiat 'n Prorec l ie or izc l -

ia l i ; ea este in adev;rat6 mi ' ime l i se in jumatS-

let te cu muchia d in p lanul [H] '

l is. 5.?.1

{ i9 .5 .2 .3

li1, 5,2.2

r r p 1 ) f e t c n c n i : -

20 fe le t r iunghiur i

numarul 6e vt r lur l ,F este numSrul deatu nci se verifici

e . . !

ol_tr\, I J

Tetraedru

Octaedrul

Forme poliedrole 93

ffi

@

1 i9 .5 .2 .8

lig. 5.2.12

Reprerentdri de orhitecturi

f ig . 5 .2 .10

in geometrid

5.2.7f ig. lis. 5.2.9

REPREZENTAREA CU B ULUI

i n { i o ' r r r \ f 1 n F ( + a . a ^ . a ? . . i = r- _ - . . _ _ u r c J D s c i T o f a tcu un plan astfel incit secliunea este un hexagonregulat. Prln rotali i de nivel sau de front, se potob l ine reprezent i r i dub lu o r togona ie a le cubu luin d iver :e poz i l i i : cu o fa l ; in p lanu l o r izon ta l

[ t ! ( rg . S .Z . t t " i 5 .2 1?) , cu o m-c l - ,e ;n IH ] ( f ,8 ,5 .2 .13) sar cu ur v^ r f 1n [H] . in caz- l o n ; ,gura

5 .2 . '14 , cubu l a re o d iagona l i in te r ioar i in po i i l i ever t i caJS, ia r con turu l aparent o r izon ta l es te unhexagon regulat,

0

.x

f ig . 5 .2 .11 l is. 5.2.13

descriptivd ti oxonomelrie94

1i9.5,2.14

REPREZENTAREA OCTAEDRULUI REGULAT

in cazul poziliei ,,pe un virf" a octaedr.rlui reSulat( f ig . 5 .2,15) , se poate observa cI patru muchi i a l -cituiesc un pdtrat ABCD asezat orizontal, ceea cepermi te rep"ezel tdrea ucoa"; in d"b l ,1 pro iec l ieortogonad (fig. 5.2.16). Din aceastd reprezentarese t -ece in reprezenta.ea d. ' r f igJra 5,2.17,p. in t r -oschimbare de p lan ver t ica l ae pro;ec l ie sar pr intr-o totolie de nivel,Pr ;n /o tof ; ; de f ront se obr in pozig i i le d in f igura5.2.'18 (octaedrul regllat este atezat pe o muchie)fi din figura 5,2,19 (octaedrul regulat este atezatpe o fale). ln figura 5.2.'19, deoarece doui fete opuseale unui octaedru regulat sint paralele, apar inp lan doud t r iunghiur i echi la tera le egale, d ispuserotjt unul fald de celdlalt $i avind aceJati centru;conturul aparent orizontal este un hexagon re-8u lat.

l ig. 5.2.15

{is. 5.2.156,/""r>,.,|/

l is. 5.2.17

Forme poliedrole 95

!

I

J

tI

Fit

l

J

fi9. 5.2.18

REPREZENTAREA DODECAEDRULUI REGULAT

Cons ider ind dodecaecru l "eg l la t asezat pe o fa rAse poate desena imediat in plan fata sa superioare(de asen e ' rea or izonra la ) ABCDE ( i p .o :e -T lemuch i i lo r care p leace d in A , B , C, D 9 i E ( f ig .5 ,2 ,20) . Av ind punc te le a , b , c , d , e ; i o ( f ig . 5 .2 ,21)9 i ; t i i nd cd d iagona le le para le le a le pentagoane lors in t ega le , se ob t in punc te le c . g i e r , Punc tu l d , se

5.?.I9 l ig. 5.2.20

: f t J r 'nq r . l d - oara le l i sm d in t re od ,agonar l , a L1 . i penraSo eg- ld I s i Ja tJ "a opuse.r . r p ro iec ! ra ver t i ca l ; se de tc rn n : pa 'e re le

IH i ] s if t - t , l

q F . ^ m n l c f c , 7 ; : n n n r n i e , ' i ) n . i 7 n n f r l . i f n r : n

< : - a ' r r - ) q ( ' r i . l . i ' \ r n . - a c a s r t e l o b t i n . r [ e i n

p/o .ec l ia \ e rT ica la ( f ig . 5 ) .D, o r i - ra rcL i ' de { ro r t^ r t n ^ d l . a l . 1 . t I ' < c u r t n c r n v r f

T - ' ' ,

, f ; d q t ) ? < : h p ^ m , r h e l f , o \ ) ) 4 \\ " ' J ' " - " /

{ ig.

H;

ri

l is 5.2.21 lis. 5,2.22 lig. 5.2.23

Repretenldri de othitecturd in geomelr io descript ivd t i oxonometrie

\

96

l i1.5,2.22

i

!'

1.-l

REPREZENTAREA ICOSAEDRULUI REGULAT

Con, .ce d . : se u ' . co ,aec-u regu la t a :e a t pcun virf, se observa seciiunea orlzontala Pe1liaSo-na l ; ABCDE, care se Poate rePrezenta imed a tin p la r ( t ,g . 5 .2 .25) , O a coua sec l -ne oT iTo ' td aes te to t ; Pe- tagon re8 i a f , a ieza l ro t t fa re den r i m I S e o e s e n e J z i d e . i i n D r o e c L i e o r z o n L a i; i; i,;.;;, u'.- i-,-" . ' i " 1r:1. ! zze1. in o'oi".,.ver t i ca ld se ob t ine v i r fu l v ' ; i pa l ie re le tH{ l 5 i tU j ] .R^p-eze" t r rea co ; r .D le l ; e - le cea c ^ f igura 5227.Prin ratclri de frcrt se reprezintd icosaedrul regu-Ia t a ieza t cu o fa l ;

' i n p lanu l o r izon ta l de pro iec l ie( f ig , 5 .2 .28) t i cu o much ie in p lanu i o t^ izon ta l deproic:1ie (fig. 5,2.29),

1 i9 ,5 .2 .25

l ig .5 .2 .27

lig. 5.2.2a

lig. 5.2.26

H;

H,2

.:sForme poliedrole 97

lig. 5.2.28

REPREZENTAREA POLIEDRELOR REGULATEPRIN INSCRIERE iN CUB

Tetraedrul regulot. 5e pot inscrie doi tetraedrj re_8 u ' a t i 1 d - c d ' : c u b t f , g . 5 . 7 . 3 0 ) . R e l a r i a d n r r emJch ia te r -aedrJ u (L r ) s i n -_ch , " c r ,bJr - r (Ls)es te .p F igura 5 .2 31 i lus t reaz i s i tua l ia in carecubu l a re dou i fe te o r izon ta le , ia r f igura 5 .2 .32

reprez in t ; s l tuaL la in care te t raedru l a re o fa t ;o r izor ta lA ( ia r cubu l a re o d iagona lS in te r ioar i inpoz i ; ' c ' , e r r ' ca la ) .Actoedrul regulot. Se poate obtine un octaedru re-gu la t p f i r un i rea cent re lo r fe le lo r unu i cub ( f lg .5 .2 .33) . Re la l la d in t re much ia oc taedru lu i (Lo) s imuch ia cubu iu i (1 " ) es te J ,Q2. F igura 5 .2 .34 i lust reaze s r tua t ta in care cubu are doua fe te o r izon-

I ig. 5.2.29

in gegmetrio descript ivd t i qxonometl ie

f ig .5 .? .30 I i9 .5.2.31

Repretenldri de qrhitecturd

5.2.32{ig.

98

I

r a l e . ; r r { e J r a 5 ? ) 5 r e D r e z i ' t e s . 1 - a t a ' n c a r e

cubu l a re o d iagona l ; in te r ioarS in poz i l ie ver t i -. r l i i p r o . 'aF ,a . I e -c dd t i te ' - o r izonra le .

Do lecced 'u l regr , /o r . Docecaed" r l reg" la t se poaLei n c r r i e l n l h n n r n : n r l d c l , r r c i n p r c r h i d c c e o

mente e8a le ; i para le le , p lasa te pe cent re le fe te lo f

cubu lu i ( f jg .5 .2 .36) . Va lo . r 'e r segna ' ie lo r sc poa 'e

ob, t ine d :n t r -o cons- rL r ( t ,e I a f r ( ; ,e core .purCe1 - - , - , .re la l ie i LD Lc (3 - I 5)2 t e 5 7 37, Se oDr ' r

ce le doui pro iec l i l d in f igura 5.2.38.

[ i s .5 .2 .34

I a ;cec ' ,1 res- ] /c : . l cosaedr - l f (E- d l sc inscr 'e 'n

c u b p r . r r r o c o r s t r u . l i - a s e - ; - a t o a - e t f g , 5 2 . 3 9 ) '

Va lo r i le segmenie lo r para le e se ob i n d rn aceeag i

f igurA (5 .2 37) , rnde se Poate observa c t Lo + Lr :

Re la i ia es te : L r : Lc ( l i t 1 ) /2 . Se ob l in ce le

d o u i p r o i e c i l i d n f i g u r a 5 2 4 0 .

F igura 5 .2 .41 i ius l reazA mat r icea in te r - re la l l i l o r

d n t re ce le c inc i Po l iedre reguJate (Cr l tch low,

196t .

f is .5 .2.33

.{

1 ig .5 .2 .37

Forme poliedrole 99

f i s . 5 . 2 . 3 5

I ig .5 .2 .38 1 i9 .5 .2 .39

ANALIZA POLIEDRELOR REGULATE

Se poa le e fcc t - ia o a la l iTa a po l iedre lo r reg- la tepr .n sec ' jo ra .ea cu p a ' re e / lder l ie rea unor p lanerned iane, d iagona le e tc . Ana l iza es te i lus t ra iSprintr-un icosoedru regulot inscris intr-un cub(.f )9. 5.7.47).

fig. 5.2.42

|is. 5.2.40

Flgur i le 5 ,2 ,43 , , .5 ,2 .45 ev iden l laz ; p iane le de ter -r ' i ra t . Ce Derec l ' i ' e de n Lch , t opuse a le i cosa-edru lu i , cons t ru i te ca scSmente ega le ; i para le le ,c i . , . . - ^ - , o - , - 6 r F ' o ' a

a e c u b u l u i .

l i g .5 .2 .43 li9. 5,2,M

100

1i9.5.2.4s

Reprerentdri de orhilecturd

li1. 5.2.45

in geometrio descaiptivd ti dlonometrie

l-ml\r,lmffil

( J l

[-1 |rr/ |

al

lw@lo@@@ffiI

lffi@ffi@ffi#ffiffi@@@

€ € € € €

4A4ffiffi>ffiv u-v

F \ J O - 1

Forme poliedrole 1 0 1

Exis t i 15 asemenea drep tunSh iur i in t r -un icosa-edru regu la t ; i la tu r i le lo r se a f l i in rapor tu l de aur(111,618) , F igur i le 5 .2 ,47 . , .5 ,2 ,50 ev iden l iaz iperech i de fe le ad iacen ie a le i cosaedru lu i regu la t .Tr iu rgh u" r ' - ras- ra re d i r f ,gura 5 2 .50 po t co ls -titui, dace suferi o usoard transformaTe de pozi1le,fe le le t r iungh iu la r 'e a le unu i cuboc taedru (po l i -edru sem,reg r la t ) .

Andlizo configuro1iei i iosaeCrale prin impochetdride s /b ,e . Se poate ob t i re o co t f 'gLra ' ie i cosaecra l ;p - i r i r roache area a 12 : 'e "e . i r var .an ta | ( f ' g .5 ) < ' \ , . l c 1 ? . ' e - p ' ^ - / l r ^ . e C d d o u i c o l . e r ei . . 6 . r o J : 1 r o ) a . . a . t ^ - i - r - - - ^ J u s O s f e r i . n v . . f' t " -

"s i o s fe " i l a baza . l . r va r i dn ta a l l - a ( f i g , 5 .2 .52 ) ce le' 1 1

< f c r e < i n r ^ . d ^ n ? t F . : , , n n i / h- . . r . . . r e t c e n t r a l d e t a s esfere plus dou; grupdri de cite trei sfere (o gruparet r v t f l s t una ra Da , /d pacneTU.J . ce r t r a l J .

1i9.5.2.47

lig. 5.2.49

I is .5 .2.52

to2

@f is .5 .2,5

{ i 9 . 5 . 2 . 5 3 lis. 5,2.54

Iig. 5,2.55

P- - . , * r t , I aL . - . aq . r - - 1 . ,< : n a , rbe le \ va r ; an te .a / - - .Fn -F - , ^ re vede r r a l e ce lo r

J2 s fe "e t r ev i den laza s .me t r , r l e con f i gu ra i i e i i co -saeo ra te .

Reprerentdri de orhitecturd in gegnetr io de!cript iyd $i qrongnetr ie

lig. 5.2.48

'|g, r.z.)u

t

b-

1i9,5.2,571i9..5.2.56 f ig.

DUALELE POL IEDRELOR REGU LATE

Dac j se u -e )L ce t . e l e r , t L .o r f e l e l o - - - l Dc e -

d - - ' e g u a . . . : o L - i ' r 1 . d : : u , ' s " u r e - o , . . , , - " \

seu . Rezu t : d i n aceas t ; co rs i r uc l i e c ; dua lu l u rL r ipo ' ed ru ua avea nu . ) -a ' L l dc ' r ' - . t j 8 " ( L - " r ; -

. l . 6 r o - o . - n ^ - , i r 1 . . r . . . ' . - t | ^ U C t T , n a -r l l d . . t e t "

" 1 . 1 . I s ' . 1 i e s r . . p a i c - ] - m a . , . l d . \ : r -

| - . , - ^ , - . - - - r ' r i . p o . r r . . . . , / e a s T e T L t a c ar r - , ^ A - t t . ^ o , ' t p < - e / r ' , : j b J l - i 5 i n r . r .

( f ig .5 .2 .s6 r i s .2 .5D.i n mod asem;ne ioT, deoarece numdruJ de fe le a led o l e . . - 1 " t . ' , . F o , , 2 " p < . 6 o o : t J - _ m ; , _ d e , r -

f r - r . ' e . o , " d - t ' u r - p u l a ' . r e Z L U C j . C o - a e J - u

57 iig. 5.?.58

'e8- a t es te duaru l dodecaedru l - i reg-131 5 i invgr5( f ig . 5 .2 .58 9 i 5 .259) . Dua lu l te t raedru lu i regu la tes te e l insu t l , deoarece te i raedru l a re ace la ; i nur r5 rde fe le s i de v i r fu r l (4 ) , in f igura 5 .2 .60 s a ob l in r lc : ' - - - . 1 a ] . I , r . c ' ' - ^ - i - u n . " c a C e n t r e l o rfef e or sale.U r ' r e a C . n t r e J o r f e t e o r u r t i p O l ' e d r - r U e s t e. 1 - . 2 1 - ' 1 - f r - 1 2 r C - a . C D C r n i t e C O n S t r U T e a O L a -

lu lu i s iu . Se poate ver i f ica in toate f igur i le de mai< ( . : . : ' . . 1 - ' - i ' : - 6 . l e r - ^ i n e r e a d U a l u l U i o

co fs t i tu ie cons t ru i rea in f iecare v i r f a l po l iedru lu i

regulat respectiv a unui plan egal inclinat faiA a'e

felele care se inti nesc in acel virf. Inters!'. i '

P ane lo r de f ine i te dua lu l .

lis. 5.2.59 | is .5,2.6 'J

Forme pol iedrole 103

5,3, POLIEDRELE SE14]REGUIATE ' I DUALELELOR

i . f i " ' . - S ' 1 1 < i n t r p n r e z c n ' a t c r e l e 1 7 t a l p r l r c

. - ^ . - - , t - t - - i ^ , , " - . ] a f a + a A i ^ t) ( r J e a L r r - L c . L , / ' r r . , j L E r L . c J , . ' ( a r e s e c O l l P U n l ln ' m ; " ' I 1 6 . 6 - ^ A i ^ f ' . r ' . e + i n i n n : . + a P n l ; o . l . a l a

seF: -egJ dre s : r t po l iedre convexe cJ feLe po l i -goane regu la te de mai mu l te t ipur i 5 i ungh iur i le< - l : - o o o . d / F ^ . F 1 r < : . i n l " - l 6 f j e c a r e v l r f s e

sucLed i rd r - re r t de sens . to ta l i ta ted t pLr , o - defe le a le po l iedru lu i .o . - , . ' . . . . t ) . t - r e . P o l i e d r e l e s e _rr' l iregu late au urTndtoarele Proprleteti;* t . , ' c f F r p l c n n l , c a r p l n r ( r m i r c o . l , r r F ( ' n t n ^ l i -

goane regu la te ;toa te much i i le l c r s in l ega le ;

- ' - e d r e l o r s e m i r e -t s , ! , r < > u , , u q d c P U

t ! r d L c 5 , r c 8 d c i

ffiH'Y\5"-

ffi\Vzffi'

ffi {qHvw

@@,flfrCY)\er'

]t O SAE DRULTRUNCHlAT

ICOSDOOETAEDRULTRUNTHIAT

r1l-\ rr| 20 l \ 12 i 130 |\-,,' \-,,/

LJ

]t O SOOD EtAI DRUL'TRUNTHIAT

000 [TAEDRUL T t$ rT

AtrQ*m@,trF-=$@

104 Reprerenldri de qrhitecturi in geomettis descriptivi t i qxonometrie

n. /20 \ \12 / l30 l

1---J - \ I | |

ROI,I8]I OSD ODt tAE t]R UL

DODTTAEDRUL TRUNTHIAT{ i9 .5 .3 .1

- po l iedre le semiregulate s int i r :scr ip t ib i le insfe ri;- po l iedre le semireguiate nu se Po1 c i rcumscr ieunei sfere.

OBTINEREA POLIEDRELOR SEMIREGULATE

Pol ecre l " sen reg- lare se pot obl rne pr in : t 'un-c h i e r e , i n j L - a t a ! i r e a r L c h , i l o r s ' t e g i r e .Trurichiere. Trunchierea presuPUne teierea virfu-r i lo ; - po l ,edre o ' 'egulate a. t fe l : rc i t fe te le aces-tora se i5 i dubeze numErul de muchi i ( t r iunghiu lechilateral devine hexagon r€8ulat, patratul devine6ctogon regulat, pentaSonul regulat devine deca-gon regulat , iar hexagonul regulat devi fe dode-cagon regulat),

I nlunltdti rea muchii lor. Un ind mi j loacele muchl i lor

r . , iu i po l eCru 'eEU d t se ob- i ^e un po l cd-u s " r ' -

resu l i r . 5 . ob t in -asr fe l ,u6o17s2d ' ' r l (P ' 1 in , -n ; ld -

t i iea much j l lo r cubu lu i sau Pr in in jumatS l i rea mu-

ch i i lo r oc taedru lu i ) ; i i cosdodecocdru / (p r in in ju -

mEt ; l i rea nuch ' r lo r i cosaecr . - r lu i sa l Pr i r in ;un ; -

td t i rea much i i lo r dodecaedru lu i ) Aces t luc ru se

exp l icE pr in fap tu l c ; a t i t cub '1 , c l t ; i cc taed- r 'au ace las i numdr de much l i , f i i nd dua le Ace la ;

luc ru es ie va lab l Pent r ! i cosaedru 5 i dodecaedru ,

Tesire. Aceastd oPera!le mai comPlicata Permiteoblinerea cubului telt , i a dadecaedrului teiitTe l i reo much i i io r . Pr in teS i rea much i i lo r cuboc ta-edru lu i sau icosdodecaedru lu i se ob l in rombcuboc-taedrul 5i rombicosdodecoedrul .N o t i , V o m n o t a f e l e l e p o i e d r e l o r c u F u ' F n , F ,

; i F r , dupd cum s in i t r iungh iur i , Pd t ra te , PentaSoanesau hexaSoane regu late.

CuoctaedrL l , a lcAtL i t d ' r ;ase fe le p: t rate $r oPtf " re t r iurg^ u" i ecr i ,aLera le (6F4 - r 8Fr) , se obl inep - i r i ^ i u m i t a l i r e a r r u c h ' l o r c u b u u i ( f g . 5 3 2 )i "u p i i r ic .umi t i . i rea mrc l r i i lor octaedru luregulat ( f ig . 5 .3.3) .

lcosdodecoed rul, compus din 20 fele triunghiuriechi la tera le s i 12 fete PentaSoale re8Jrate(20F. - r '12F.) , se oo! i1e pr in in ju ' l rAt5! i 'ea muchrr ''or

1o6" . "s i 'L lur reguat ( f ig . 534) sar , pr i r rn-

jum:td l i rea muchi i lo i icosaedru u i regulat ( f ig

f i s . 5 . 3 . 4

{ i9 .5 .3 .2

{ i9 .5 .3 .3

Forme poliedrole

It OSD OO ICAE DR

. 7 < - \

TUEOTTAEDRUL

TUBOiTAE OR

TOSD( ]D I IAEDRU

f is .5 .3.5

105

TETRAEOR!LIRUNCHIAT

f i g . 5 . 3 . 6

I l r m ; r n e r c l c c l a r t a p a t e

prir trunchiere. Practic, in aazul tetraedrului trun-chist (f ig. 5.3.6) 9i octoedrului t l jnchiat (f ig. 5.3.|,much i i le po l iedre lo r regu la te respec t ive se im-o a r t

- n t ' e i s e g m e ^ l - e g a ' e o b t r : n d J . s e a ' t f c l

t rans formarea d in t r iungh ech i la te ra l in hexagonregu la t . Ace laF i luc ru es te va lab i l in cazu l i cas1edru-lui trunchiot (f ig. J.3.8).

in cazul cubului trunchiat (f ig, 5,3,9), raportul incare se i rnpar t much i i le cubu lu i es te : 1 , f -2 ;1 , ia rla do4e.o"o 'u l t t Jqch ' l : (F ig . 5 .3 . '0 . a .e : t .apo re s t e : ' . l l 5 1 ) / 7 . 1 . S - o o , r t . o D - . a e . r I c o c e ( d801 reSLr a ' p i d in t r -u r pe ' t iago . 'eg , a ' rCe r c s i( . 1 ' P a ' - ( ? . c 7 : f - . t t / ' ' i l e e r m t l .

Rambcubactoedtul (fig. 5.3.11) se prezinti ca un cubr , m r r c h i r l c f p < i i e , < t f F l i n . r < i - - ^ - -

d P d L . r c ! c P d ( d . c

iCer r ice cu oEr rare le ce pe fege le cub l lu r . i r c rep-tu l ce lo r oo t v l r fu " i a le cu5u u apar op i feTe t - -ungh iur i ech i la te ra le , Fe1e le pe t ra te s in t ' in nunr : r

f i g . 5 3 8

de 18 : 5ase d in e le corespund fe le lo r cubu lu i in i -

l ia l , ia r a l te 12 corespund much i jJor aces tu i cub .Construclia ranbaboctqedrului se face inscriind Pefe le le unu i cub pe t ia te i " r raPof tu l d iN f igura 5 311.

Rombicosdodecaedrul (f ig, 5.3.12) se prezintd ca undodecaedru cu much i i le te f i te . E l se comPune Crn

2 fe e p : " r .goare regu a le (coresDLnT; "oa 'e 'e l3

lo r dodecaedru lu i in i l ia ) , 20 fe le t r iungh i i r r ech i -la te ra le (co res pu nzd toare v i r fu r i l c r dodecaedru lu jin i f a l ) 5 i 30 fe le pe t ra te (coresPunzatoare much i -j c r dodecaedru l t i ln i l ia l ) . Cons t ruc l ia ro rnb icos-dodecaedru lu i se face inscr i ind Pe fe . !e le unu i dode-caedru l regu a t pentaSoane regu a te in raPer tu lc r ' ' g u ' a 5 3 . 1 2 .

lig. 5.3,7

106 Reprerentdri de orhitecluri in geomeir io descriPtivd t i oxonomekie

OTTAEDRULTRU N t HIAT

T U B J L : - I R U N I H I A

f is .5.3.9

Procedeu l d . r .u r ,c l - - -e se podLe 2p ca ' J rLn . ip o r , c d r e l o ' r e g . r ' a r e c i $ u r o r o o ' . e q - e r e m : ' s u -

ia te , rezu l t ind c / te po l iedre seml regu la te : c r : ,boc-toedrul trunchiot (f ig. 5 3.13) 9 icosdodecceirult runch io t ( f ig . 5 .3 .14) . Const ruc l ia aces tor dou;po .ecre sen i resJ ;a te se podte face aP,c 'nd Pemuch ia cubr lu i , respec l v a docecaedru lu i regu a t .rapoar te le d in f igur i le 5 .3 , '13 ; i 5 3 ,14 ,

Cubu l te t i t se poate cons t ru i porn ind de Ia un cub,pe fe le le cd 'u a se ?rscr iu pd t ra te cor fo rn f .gu ' i t

{ i s . 5 . 3 . 1 0

f i9 .5 .3 .12

5 3,15, Pe f iecare la tL ' ; a P; l ra ' - lu ' s ' ia l segnerreDropor l ionale cu numerele: 470, 456' ' 124 ( f ig5,3. i5) . . Pr in uni rea v ' i r fu i i lor P: t rate lor inscr isepe fefe le cubulu i re iu l td fe le le t r iunghiu lare a lec , b u l J i t e g t ,

Construc!ia dadecaedrului te;lt este asemAnatoarecu cea a cubulu i te t i t ( f i8 . 53.18) Se inscr iu pefelele dodecaedrului regulat PentaSoane regulate,in tocmai ca in f lgura 5.3.19, lu ind Pe la tur i segmentep r o p o r l i o n a l e c u n u m e T e e : 1 1 6 , 9 1 , 4 3 l m a g i n e a

f is . 5 .3.1I

l ig. 5.3,13

Forme poliedrole r07

ROI,IBi U B O tTA E DRDODECAEDRULTRUNCHIAT

t U BOt TAE DRU LTRUNT H IAT

R0M Bl t 0s000 t -

CAE DRU t

I(OSDOO: IAE OR ULTRU NCH IAT

'x'

fis. 5.3.'14

Repr€rentdri de orhitecturd in

fig. 5.3.15

f ig .5 .3 , '17

1 i 9 . 5 . 3 . 1 9

geometriq delcriptiv6 ti oronometlie

{ i s . 5 . 3 . 1 5f ina ld car .e se obl ine este, ca g i Ia cubul te t i t , o su i t ide _fe!e mai mari (pentagoane regr,late) nlrgiritede. le je ,mai micr , 1r iung5,u 'are ( f rg . 5 .3,17) . NumI-ru l de 80 fe le t - iurghiu lare a le dodecaedrul r , i teg i trezul t i d in 12 pachete de c i te 5 t r iunghiur i ad ia-cente la tur i lor ce lor 1Z fe le pentagonale ( in to ta l60 fele), plus 20 fele rr-iunghiula-re corespunzd-toare v i r fu r i lor dodecaedrulu i in i l ia l ,Desfd;urotele celor 13 poliedre semiregllcte sinti lust rate in f igur i le 5,3,20-5.3.32.

108

OODECA€DRULTEtr r

Sintezo trarslormd,:lor p,in care se obt',r pol,eCr-1,semiregulote. Figura 5,3,33. i lustreaza transform;-r i ' e p r in care se ob l in po l iedre le sen regr la tc ,porn ind de la po l iedre le regu la te , Se contureaz laaLd fom' l t : , una bazate pe cub s oc taedru , cea-

f io . 5 .3 .18 .

TITRAEDRULTRUNIHIAT

{ i 9 . 5 . 3 . 2 1

I c 0s D0Dtt A t 0RiiL

1 i9 .5 .3 .22

I C O S A T O R U LI R U N C H I A T

f i s . 5 . 3 . 2 3

{is. s.3.20

DODECAEORU LT R U N T H ] A T

f i9 .5 .3 .24

k '01 '1BI t0s-DCDT(A E O R IJL

f i9 .5 .3 .25

Fotme pol iedrole 109

IUBOTTAEDRUL

l a l ta bazatA pe icosaedru ; i dodecaedru . D in ce ledoud perech i de dua le se ob l in cuboc taedr l r l s ilCoscodecaedrui, care genereazi rnai departe fie_care a l te dou i po l iedre semi regu la te .

TUBULTRUNl :H IAT

f i9 .5 .3 .28

D0DEtAEDRUTT F ( I T

li1. 5.3.29

i '

1 1 0

g. J.J.JU { i9 .5 .3 .31 1is.5.3.32

Reprerentdri de orhitecturd in geometrio descriptivd 5i oronometrie

ICOSDOOETAE t]RU LTRUNCHiAT

1i9.5.3.27l |g . ) .J . lo

ORUL t UBUL TEttT

, , i_ :rsFgY=-n

l-

dFi

- : )- -

)CYc

HA

i z .

/t,,,s\

-6it. (w

-- <

r l - J( : ]g- F -

=z:)dF

O

at / )O

=

f i <<-{ -f- i-

6 z

L - J F

\w

- - )

.,@-

cl

c < r tL ! I

t 1 zF =LrJ C(F F

---J l-f <

; L J=<c ) F

F

=! yco ::)

O6) ---J= -(J O(

: u rP3

Forme poliedrole 1 1 1I

-dc t _

< N1- l \- t /d ) v- l -

I

v

ANALIZA POLIEDRELOR SE MIREGU LATE

Ca exemplif icare, s-a efectuat o analizi a structuri icubocraedru lu i ( f rg . 5 .1 .34) . In f igur i le 5 .3 .35 . . ,

( ? ? A . i ^ + a , / i , l - ^ + i . + c f a + F l F. . - . - . _ O p U s e a l e C . r b o c -

taedru lu i ( fe le le t r iunghiu lare) , iar in f igur i le5.3.39. . .5 ,3.42 s int desenate secl iun i le hexago-nale pr ln cuboctaedru, Schi le le ev ideni iaz i o pro-pr ie tate s t ructura l5 deosebl t de importanta a cu-h a . t a . ) . . . r . ; . 6 . ^ - . r i \ , " / p - ,

- i m L c h . a S a e S t e

ega le cu raza s fe re i c i rcumscr ise cuboc taedru lu i .D n aceas t i p ropr ,e ta te re . ,L i r ; c ; d .s tanre le de acent ru l cuboc taedru lu i Ia toa te v i r fu r l le sa le s in lega le cu much ia , cee : ce cor fe r i accsru po ieo ' . rsemiregulat proprieti.t i de izotropie ti o mare sta-b i l i ta te s t ruc tu ra ld .

y'irtol i zo canfigu rIllei cubactoe;d role p rin i mpocheilr ide sfere, Se poate obline o configuralie cuboctae-drali prin impachetarea a 13 sfere, Cele 13 sfereega le s in t d ispuse sub fo rma unu i co l ie r de 5 s fe re?n ju ru l une i s feTe-nuc leu (N) , la care se adaugd unr : e h p r d - . r a i < . . r - . . 6 ? . . - i ^ I i . { < , r n n : r h c t r { e, ' ' ' ' ' ' i ' "trei sfere a;ezate la bazd (fig. 5.3.43), Figurile5.3,44. . .5 .3.46 reprez i . r t ; vec. . i a le ce lor I r s 'ereFi ev idenl iazz s jmetr i i le cont igurar ie i cuboctae-c ra le.

{ i9 .5.3.3s f lg . ) . J ,JO

{ i s . 5 . 3 . 3 9 I i9 .5 .3 .40

lt2

{ ig. 5.J .J+

I is .5 .3.37

1is .5.3,41 { i s . 5 . 3 . 4 2

Repferentdri de qrhitectu.d in geometrio descript ivd t i oronomelr ie

lf

i

t

j, j '., l t i ' l t

{ is .5.3.38

&$

DUALELE POLIEDRELOR SEMTREGULATE

Ca g i po l iedre le regu a te , po l iedre le semi regLr la teau duole sau reciproce. Aceste poliedre topologi:dua le nu se mai inscr iu in s fe r i , ia r fe le le lo r s ' in ts t r ipbe . To tu ; i , mu l te d in t re e le s in t impor tan te 'a t ' t p r .n p 'opr ieL ig i le lo r cors t -ucr i , /e , c ' I 5 j p r 'npropr ie ta tea de a un 'p le sPar iuJ (ech iPa ' t i l :e sPa '

l ia id ) , impreun i cu a l te pc l iedre regu la te ; i semi -regulate.T [ns formarea cea mai ob iSnu i ta p r in care se ob l indua le le po l iedre lo r semi regu la te es te cons t ru i reaif f iecare v?rf al acestora a unui plan eSal ?nciinatfa!a de felele care concura in acel v' irf Aceastacons t ruc l ie es te exemPl i f i ca tA Pe dou; Po l iedresemireSulatei cubactoedtul (f ig, 5 l.af t i actoedrultrunchict (f ig. 5,3,48).

Ar/

f i9 .5 .3 .44

Forme poliedrole

1 i9 .5 .3 .43

1 i9 .5 .3 .46

m\7 i

{ i9 .5 .3 .45

trg.

fis. 5.3'48

tOOOEIAIDRUL

( d ! a l L r L c L r b 'o c t a e d f u l L l i )

TETRAKISHEXAi

113

TTTRAKlSI ] IEDR.JL

.

1

f i9 .5 .3 .49

e a n ^ , ^ ^ t , a t ) l a ^ 6 ^ i F i . o , r c a m o n a r \ r , , r a l p

n h r i n r a n r ^ r . r ^ ( t ^ . - ' . p : A F \ . . < , F F c ; n r p v A m -

n l i f i c : r e i n f o r r r \ l 1 9 r : n d e m r , r : 1 6 a - r ' 6 r - ' i' 6 - * -

semi repJ la r se in te .sec teara cL ce le a le C-a lL J i< ; , c i i - , ro r rz I ? (n i - . . r ,6 i . ] "e rsec l a oc :oedr_-l u i t r u r c l - . a t c u d u a r L l s i J r u e s t ( o p e r a t d .q ^ 1 6 - - ^ . 6 h i . 6 , - l - - , , . - l o ^ ^ j , . . l . o l ^ " ' , . " ' l r r e

L1. ea cer l re o ' re le o r Po ed . 'e o" sc ' r - r reSL a lc.u gerereara d-a le i r r f .g . ra 5 J . r1 , de erc ' l ' rL . ,

(i9. s.3.s2

{ i9 .5,3.5s

lt4

o asemenea oPeral ie aPl lcat i octaedru lu i t run-cn at genereaza Jn dotecoed"L' roAbic (care esredualu l cuboctaed ru lu i ) ,Construc1ia ce lor 13 duale a le pol ieCrelor semire-pulate depeseste cadru l acestu l vo lum f i P6ate f iExersat i ca teme s!p l imentarS, Pentru fac i l i tareaexerc i ! iu lu i s in t date unele ind lca l i i cu pr iv i re laconstruc l ia fe je lor ce lor 13 duale ( f ig . 5 3 52. .. . .5 . ) .64) . Dcspr e s1- t erecuta ic la scara. to lJ ' i ,

f is .5 .3.50 1 i 9 . 5 . 3 . 5 1

f is .5 .3.5a

{ i 9 . 5 . 3 . 5 5

i ; ' . t0 NTta c i t L RCItsIa

f i g .5 .3 .57

Reprerentdri de qrhitecturd in geometrio descriptivd ti qxgnometrie

112'S-r

TR IAK IST E IR AE lR LJ L O I C i T A E D R L ] i R C H P I C

H i X A ( i S i : T A i D R U L ; t N t t f l s J t ! t t / :

H E X A K I S I t O S A E D R I ] L l : cs I ETR, ' . i tFt i r ! r . l IA:af iAL J t O : T ' 1 R J : : R J . : ; A ; i Z O I D A L

f i s .5 .3 .58

f i9 .5 .3 .61

Trldk istetroedru/ (f ig. 5.3.52)Iet/dkishexoedrir/ (f ig 5.3.53)Pentok,sCodecoedrul (f ig. 5.3.56 )Dodecaedrul rombic (fig, 5.3.54)'lriocontaedrul

rornbic (fig, 5,3,57)Hexdkisoctoedrul (fig. 5.3.55)Hexdkisicoscedr!l (fig. 5,3.58)lcoste tr6edr! / pen tdgono / (f ig. 5.3.59)HexacantaedrD! pentcgonol (fig. 5,3 62)lcostetroed.ul troDezoiCol (f ig. 5.3.6C)He xa.anloeCr u l trapezoid,r/ ( f ig. 5,3.53)Ttiakisactaedrul (f ig. 5.1.61)frokisi ccsoedrul (f ig. 5.3.64)

p e l t r u p r e c : z ; r ( o ' r s ' " L ( : e i d - a i c l o . - , : : r i ' d . a .

ungh iur i le po l igoane lor^ fe le lo r , p recum 5 i ungh ur iJe d , -d re d in r re fe te . ln aces l fe l . se Dor cons l . . l ide i 'a .u r r re le dca e lo r s i .g 6 ' e q , ' a6- - - f .

Denunrirea dua ului

Pent ru cons t ruc l ia aes fe iu ra te lo r dua le io r pc :d re o r semi regu la te s in t u t i le da te le ce mal los ,! 'e fe r l ioare la numi ru l de fe le , much i i ; i v i r fu r ia lelo r .

PcliedrLr semireg!lat

f i9 .5 .3 .59

{ i9 .5 .3 .52

f ig .5 .3 .50

f i9 .5 .3 .63

Te t raed ru l t r unch la tOc taed ru l t r unch ia tlcosaedrul tru nch iatCuboctaedrullcosdode.aedr!Cubcctaedr! tr !nchiatlcoldodecaedrul trunchiatCirrLr I tegi ' ,Dodecaedrul tet tRombcubcctaecfulRcmblcosdodecaedrulCubu l t r unch ia tDodeaaedrul tru nch lat

814321132266738

7667

32

Forme poliedrole 115

r ixAtcf irA::R!, ?:: ,r ;A:: ' {A:T R I A K ] 5 O I T ; . E D R J L .

i.246017304B'120746014507450

18l590746077

1€060

15043

1203690

1 i9 .5 .3 .54

DEL1AEDAI

Figur i le 5.3.65, . ,5 .3.69 reprez in iS c inc i d in ce iopt deltaedri (poliedre ale ciror fele sint triun-ghiur i echi la tera le) 9 i desf{urate le lor . Pr imi i t re idel taedr i , care nu s int iJust raTi a ic i , s in t : te t raedru lregulat, octaedrul regulat ;i icosaedrul regulat.AsTfel, figura 5.3.55 reprezirta hexodeltoedrcl, careare 6 fe ' . : f igr ra 5.3.66 'eprez nt ; decadel t .oed t u l ,care are 10 fele, figura 5.3.67 reprezintd tetrokor-decaCeltcedrul (trigonoldeltoedrul), care are 14 fele;figura 5.3.68 reprezjntd doCecodeltoed rul , care are12 fe.!e, jar figura 5.3.69 reprezintd cubicontipris-m:cCeltoedt ,l (t:ralecodeltoedrul), care are 16fele.

Pr imi i t re i de l taedr i i lust rat i s in t foar te utor deconstru i l . Dint re ce. 'a 1 i do i , cubicant ipr ismic-del taedru l se constru ieFte porn ind de la ant ipr ismadin f igura 5.3.69, a lcetu i te d in doue fe le pdtrate $ iR {c te ' r Ind \ i r - i p / - i , , ' .F r : ' . Docecade l taedr - l

( f ;g .5 .3 .68) es te ce l ma; g reu de copsr ru i t p i repre-ao1t . ' (a cwpr r i . i r r dps .na+ i doJA veder ; o r to -

gonae ae sa le dJpS ce a ' i s tud ia t Prob len 'a Pernacheti.

f ig .5 .3 .59

de5criptivi t i oxonometrie

k#r-.Jf i9 .5 .3 .65 { i9 .5 .3 .55

wlis. 5.3.67 { i9 .5 .3 .68

Reprerentdri de orhitecturi in geometrio116

l4.-.*.:

5.4. ECHTPARTITI I PLANE

Echipar t i l l ie p ane au fost denumite g i mozaicur i ,gr i le , Ia l ice sau re le le. Pentru ca un numir de Pol -goi 'e reper '1 , /e s ; acoperc comPlet o suPrafa. t i

P lan; , t rebu;e sa f ie sat is fEcute unele condi l i i legatede v i r fu r i le pol igoanelor ,\e propunem s i a 'ope ' im o suP'afa l i i P la lE cJpol igoane ident ice, regulate $ i cu un numir n delatur l . Unghiur i le la v i r f a le f iecdru i po l igon regu-la t vor f i (n -2) /n 180' , Numdrul de pol igoanecare se intilnesc in fiecare virf va fi egal cu:

n - I n I

(n , ' 2 4

n , j+ n ' j ) reo ' : :eo ' ,\ n r n z n s l

de unde rezul t6 :

1 1 1 1

n r n r n " 2

in mod asemdndtor, in cazul a Patru Pol Soane regu-la te aFezate in juru l unui v i r i numlru l Ce combi-nal i i este dat de ecuat ia in numere in t regj :

1 1 , 1 , 1 _ .It flz [3 n,t

in cazul combinal i or de c inc i , resPect iv Fase Pol i -goane regulate in iuru l acelu ias i v i r f ' ecuai i i le inn u mere in t regi s in t :

1 1 1 , 1 , 1 3f - : - ,

nr n, o3 flU n" 7

1 ' 1 1 , ' ^ , 1 1

i - - T - - _ T - - T - - : '

Dt nl na ni os [e

Rezul t i 17 sol r . :1 i in nurnere in t regi , d in care.3s i ' t c \ ia ' ce e t - . ' ec l 'oarr ' I i i regu a 'e ( t 'L po ' i -poa-e resulate d ' ace a ' i t 'p) : K ' P $ i 5 d:n tabelu li - na i io 's . AI tesa-econDi .a l i i (A ' B C' D F s i J)pot fi ei minate din discu-tie, deoarece satlsfac con-d i l ia impusi doar in t r -unul d in v i r fur i t i nu Potgenera o re lea care se acoPere comPlet Planul

360'(n-2) /n.180"

i n . . , , - i - . . i - - " n i o . - . - " h , . . . : a . b i u n n L r n a r c ela :u - i n -a i m: .e dec i r 2 , va lo r i e ca 'e rez : ' : i pen-tru n sint 3, 4 gi 6. Prin urmare, triunghiul echila-te ro / (3 la t r r ) , p iuo tu l (4 la tu r i ) s : h ( .4 - . r / rF2 . -/o t (5 la tu r i ) s in t s ingure le po l igoane reSu ia te care^ ^ t . i : . ^ h a r a r a m n l e + p l e/ u - 5 d d l u J J c , c \ ! , r ' P , L . i L L r , 6 u ' c i e r ! P d L d r d

n l r n : F l e . l , t ' n , < r c r l 5 . " 1 . r t r p p . h i h n ' ! i t t h l 1 ' c

Dac i ne propunem s i acoper im un p la l r cu o com-b ina l ie de po l igoane regu la te , so lu l i i l e s in i ma irLmeToase. Dar rumi ru l max ' r ' de po ' igoane ' - " -

i n i r - r ' u r u i \ " - [ e s t e 5 .P . n

" r m : . c . ^ < i h i l , f ; t i l a A a : < p t " - c , i r c ^ ' . :

' r . r s . n o l i o o r r e r e p . l l a t " i r i u r u l a c e l t i a s v i ' fs ' .1 da te de ec- " } ia i r nurere i rL -eg :

Cele opt combinal i i care rdmin vor f i numerotatede la 1 la 8. E le s ' in t ce le care dau na; tere unuinLfa5r de 8 e(hipattil i i pla'.e sem,regulote cu unsingur tip de nod pi 14 echipartil i l plane semiregulate

cu moi multe tip'-)ri de r,aduri. Princombina! i i rePrezlnt i pos ib i l i td l i lema r't u to. pol goare regulare i"virf sau nod, Prezentate in tabelul

urmare, ce le 8. 1 " , . c ) : r p a

luru l acelu ia; iu rm ato r,

Forme poliedrole 117

Combi- Tipul pol igoanelor Comb l - T ipu l po l i goane lo r

n 6 n" n 3

BcDEFG

l

33333

5

7I9

101756I5

14

1 5122A128

10

KL

N

aRs

6333

333

6334

333

6

644333 il'

Numeru Ide o rd ine

Ti oane lo r ( f un r i r u l de l a tu r iCodul dat

n 1 n : rl3 n5

1234567

t4NaGREHL

333433

3

6

l

312I3

36

123

17

643

3

12

4

6

- ech ipar i i l i a p lan i cu t r iungh iur j ech i la te ra le( f ig. s.4.1);- echiparti l ia pland cu hexagoane regulate(fig s.4.2):- echipart i l ia plane cu petrate ( f ig. 5.a3).Pr in t rans form: r i ma i s imp le sau mai compl ica tea le ech ipa" t r l i i l o r p lane regu la re se po t ob t i repanouri sau pardoseli decorative, motive decora-tive etc. Principiul de baz5 al acestor transformirieste acelaal ob{inerii unor elemente repetit ive iden-t i ce , respec t iv de un s ingur t ip . Aces te e lementenu vor ma i f i po l igoane reguJate , c i po l igoane nere-gu la te sau ch ia r fo rme curbe. Tehn ica moza icu lu ia cunoscut o ampl i dezvo l ta re a aces tor t ipur i deacoDer i .e a s ;o - : fp , . ln . n . r -o o r i , t t ranSfOrmi r ia le re le le lo r sau ech ipar t i l i i l o r p lane, F igur i le5 .4 .4 , . .5 ,4 .7 i lus t reaza c i teva t rans formEr i pos i -b i le pe o ech ipar t i l i e p lan ; cu pa t ra te .

ECHIPARTITIILE PLANE REGULATE

C e J e t r e i e c h i p a r t i l i il a t e s ' i n t ;

fiE. t.q. I

1is.5.4.4

p l a n e r e g u -

liI

1 1 8

I is .5.4.2

l ig. 5.4.5

Reprerentdri de orhitecluri in

?rg. t , . r .J

lis. 5.4.6

geometrio descriptivi ti oronomelrie

l

i'i

ECHIPARTITIILE SE I'4IREGULATECU UN SINGUR TIP DE NOD

Acc( lc op l ech :pa ' t i t i co-espurd ce lc ' oo t co^r -b ina{ i i de po l igoane regu la te a ;eza te in iu r ! l ace-lu ia ;1 v i r f sau nod ( f ig . 5 ,4 .8 . . .5 .4 .15) . Apar dor iv a . a r r L e Q , s i Q . ( f r g . 5 . 1 . 1 0 s i 5 . 4 . 1 3 ) , c a - e : r e z i : "a c e i a ; r ' u - l a r d e p o { i g o a . e r e g L ' d r " , d - - a - - z a r ei - o .d re d r fe r i r i i ; J , 3 . 4 , 3 . I rcsp"c t , 3 . 3 . I r ' 4 .I i - < c . - . . . r h - ' - r . P f ) - , ' - . * : , l a b a z a u r e e c l -

Da i L I | sen "e t ! a IC cu rna i n 'u , Ie I PU" t c l? oc .Pe ce le op t f igur i s in t no ta te t p ! r l e ie nodur ir ) r c a p n e - F 2 a t F r h h ) . : r . r f r , . r , ' , .

h , m i . , , l . l a l . + ' . i . l - h ^ l i . ^ 1 . F- f o - - . o r c _ " e c o - \ o " 5in no r i r I r p<n . r r i v \

f ig .5 .4 .9

{ i s . 5 . 4 . 1 0

f i g . 5 . 4 . l l

l ig. 5.4.12

fid. s.4,r3

Forme poliedrole 119

f i9 .5 .4 .7

1 i9 .5 .4 .15

ECHIPARTITIttE SEHTREGULATECU MAI MULTE TIPURI DE NODURI

Ex is t i 14 ech ipar t i l i i sau re le le p lane semi regu la tecu mai mu l te t ipur i de nodur i . Demonst ia t i jematemattce depitesc cadrul acestei lucriri(Critchlbw, 1965), in care sint preze,.rtate nurnalg ra f i c ce le 14 ech ipar t i l i i men! ionate , ev iden. ! i indde f iecare da t i (p r in desen) t ipur le de nodur i pet rgur l le respec t ive ( f ig , 5 ,4 ,16 . . .5a .Z9) .

f i s .5 .4 . I4

l ig . 5 ,4 .16

Reprerentdri de qrhitecturi in

figt 5.4.17

fis. 5.4.18

f is .5 .4.19

geomelric de5(riptivi ti crgngmetrie120

Iis. 5.4.22

1i9.5.4.24

I i9 .5 .4 .25

Forme poliedrolet2 l

Iis. 5.4.26

lis, 5.4.27

{ig. 5.4.28

lis. 5.4.29

5e poate vedea c i i ec \ ipa- l , i i , ,e s in t s " rucru-are pebaza mai mu l to r t ipur i de po l igoane regu la te careconverg in nodur i le re te le i t i ca nodur i le s in t demai mu l te t ipur j :- doLr i t iDJr i de nodur i in echrpar t i l , , ie p raresemi regu la te 1 , 2 , 4 , 6 , 7 ,9 , 10 , 13 S i 14 ;- t fe l t ipur i de nodur i in ech ipar t i l i i l e 3 , 5 , 8 ,1 1 9 t 1 2 .

DUALETE ECHIPARTITIILOR PLANE REGULATE$IA CELOR SEI4 IREGULATE CU UN SINGUR TIP DE NOD

D L a l . r e p - L o a r l ; , r . o - o l a r e s e o b t i n l n i n d c e n -t re le po l igoane lor care a lc i tu iesc ech ipar t i J i i l e in i -

r ^ i ' o n ' l o r i n i t , d l - d c v i n, ' r f , - i / - . , r - / . , r l - " . h i . , . - i i e d u a l e .q F n ^ : r F ^ h < F . v : . ; e r h , n . r r t i r i l c n . : n p r p o , , r , r F

s . : r p ' o p - i e l o r d - a e ; A t ' , t e d . a a l u 8 , B e s t e

CJa 'a l - i A ia r C esre p 'opra sa dua l ; ( r rg , 5 .4 .30) .D u a l e l e e c h i p a ' L r ' i l o ' s e m - e g - l a t e c u u ' r s i ' r g J -r i n ' l o ^ ^ , 1 < : ^ + < r n , . r ' , r : i F A i ^ h ^ l ; d ^ . h a n e r o a , t l n t a

t r iungh iu la re , pentagona le sau rombice ( f ig . 5 .4 .31) .

DUALELE ECHIPARTITI ILOR SEMIREGULATECU MAI MULTE TIPURI DE NODURI

' " f i g : r . l e 5 . a . 3 2 . . . 5 . 4 . 4 5 s ' - t r e p ' e r e n L a t e d L a l e l e

ce lo r 14 ech ipar t i l i i p lane semi regu la te cu mai

r L r e t p u r i d e r o d - r ' . i r f e c a ' e c a z ' r i a r i e , e . t e

prezenta t haqura t po l igonu l dua le i 5 i s in t ind ica te

t ipu r i le de nodu r i .

Reprezentir i de ofhitecturd in geomett io desctipt ivi l i qrgnometrie122

I

I

{ig. 5.4.3{,

f ig .5 .4 .31

Forme poliedrole 123

f is .5 .4.32

f ig .5 .4 .33

f is .5 .4.34

124

{ i9 .5 .4 .38

Iis.5.4.40

1 i 9 . 5 . 4 . 4 1

Forme poliedrole

II

I

EXEMPLE DE APUCAT DECORATTVEALE ECHIPARTITIII-OR PLANE

Pos ib i l ; t , t f j l e deco-ar ive ca .e decr , .o - i " . ^ r ' - " - - .5i transbrna.ea e.r-' prJ,,r"i

'irri.""..gj;;: :r:semi regJJate .

_s 'n t - p racr ic ne t im i ta re . D-e p i l c i .t igur i te 5 .4 .46 . . .5 .4 .18 reprez i r t ; mot ive decora tve ob , t i ' tu re p r i r i ^c l - iderea J -or I i . , po l igona le in ech ipar t i l i i l e p lane semi regu la te cu maimu l te t ipur i c le nodur i .

| is.5.4.45

F igur i le 5 .4 .49 . . .5 ,4 .51 i lus t reazd t ra te r i pos ib i leale echipartit iei plane regulate (Critchlow, 1965).La tur i le po i igoane lor IegLr la te s in t in locu i te cucurbe astfel incit f igurile plane sa fie echivalente(sd a ibS aceeas i a r ie ) 9 i l i n i i le s i t reacd pr in nodur i lerelelei, Uneori curbele pot f i foarte curioase (fig.5 .4 .52) . d ind naFrere unLr e .cTe- i repet i t ; v la G lCe curios (fig. 5.4.53).

A l teor i , t rans formdr i le opera te cu ab i l i ta te pe ech i -par t i l i i l e p lane cap5t i va len te p las t i ce deoseb i te

lig. 5.4.45 lis. 5.4.47

126

lis, 5,4.48

Reprezeni6ri de orhltecturi in geometriq .lelcriptivd si oronomet.ie

lig, 5.4.44

{ig. 5.4.49 {ig. 5.4.50

ca, de p i ldd , mot ive le f lo ra le t i an in ra l ie re d in g ra-f i ca lu i Escher . Compoz l l i i l e d in f igur i le 5 .4 .54 ; i5 . 4 . 5 5 s i n t r e l a t i v u s o r a e , , c i t i L ' , r o c i u r i , e r e ' e . i< r l p p , l e d - . o n - D r ' r p . e f , i - d d e q t u l d e r i z i b r e i n_ - r ' ' ' 'a "1be e cazur i . l r cercar , pent ru a -nLTar ren l sLdescoper i r i acesre leg i i . r caz ' l .onpo. i1 ,e i cu c " ,i r c i l A ' e l , d , r g ' a . u r a l - i E s c r e r 1 1 u , . 3 ; " [ g r r a5 ,4 .56 .

{ )

li1. 5.4.52

r rg. ) .4.J I

1 i9 .5 .4 .54

Forme poliedrole r27

{ig. 5.4,53

l | q . t .q . ) )

55. ECHlPARTITII sPATIALE

Ech ipar t i J i i l e spa l ia le s in t ana loage ech ipar t i l i i i o rp la re , in sersu l cd s in r der in i te (a unp le 'e o sPa l :u -i u l cu po l iedre regu la te , po l iedre semi regu la te saucorb :na l i i a 'e lo r . Ca i i la re leJe le p la re , vom ara-I i za umplerea spa l iu lu l s i cu a ju to ru l dua le lo r po l i -edre lo r ser ' ' -g r l i re , a r ce l taed. i lo ' , a l p r ismelorcirverse etc,Cea mai s imp l i ech ipar t i t ie spa! ia ld es te re teoud. t \ : .4 ,h i , | i - i | - mn,c l . . . ; . ; ' de Cubur i , carer o - r p ? i a + i i - . r ( i . i d p - , . r . 1 r r - ? i a n d e c o o r d o n a t e^ - r ^ d ^ n r l a r r m A r / i \ / ^ m ^ . a 7 a ^ f t

posib i l i t ; l i de urnplere a spal iu lu i cu d iverse fami-t i : . l F h d t i e , . t . F r n n < r t c r i n d r r _ t p i n < n e r i : t n c > c e t e :

care a . s :nn . f i ca ; i i p i apr ica l i i in a 'h i tec tu rS.

{

lj

l1

I

i

Tl.'$

lI

s.s. EcHrPARTrTrr SPATTALE

Ecn ipar t i l i l e soa t .aJe s 'n t a1d 'oa8e ech.ParL i i , i l o rp ane, i r sersu l ca s in r de t 'n ; te (a umple 'e o spo l u -i i J / cu po l iedre regu la te , po l iedre semi regu la te saucombina l i i a le io r , Ca g i la re le le le p lane, vom ana-l l za umplerea spa l iu lu i t i cu a ju to ru l dua le lo r po l i -edreror ser i ' cg , r re , a l dc l taed ' , o " , a l p r ismelorciiverse etc.Cea r -a i s imp.5 ec- 'Da. t , l i e spa t ia lA es te re ledudcub icd , a lce tu iu d in , , impacheter i " de cubur i , carereprez in te in^su t i s is temui car tez ian de coordonateor logofa le , ln ce le ce urn"ea15, vom P 'ezentapos ib i l i te l i de unrp le re a spaf iu lu i cu d iverse fami -l i . a . po l ied 'e , cons jder indu- te in spec ia l pe ace lea

" - a -h i tec tL r ; .i , , , 1 ! d l i , ? d y , i ! d ! , / , , 1

{ i9 .5 .4 .55

I

I

l

' . 1

J

1 2 8 -

{ i9 .5 .4 .56

Reprezentdri de orhitecturd in geometriq descriptivd ti oxonornetde

,............|-_\3

*t ))ql,qar^ar

] A

E--'\u2?

/9..

F#.r+tt * t - '

Vmffr]1\A./vt A/

5,.G\

W

r???'r\aoo/

lis- 5 5-2 f i s .5 .5 .3

Din [an , ! ,a b ' :snE lo ' d rcD-e fac p : r te re "

r re i po i -d re reprezenta te in f igur i le 5 .5 .1 . . ,5 .5 ,3 ; i carepot , f iecare d in e le , s i umpie per f . . c t spa l iu l . Sepoate ob5erva c ; , de 'dpL, acesLe -e :e '? spat a les - T e ^ L e n s ; i l e c e o - t . e ' r e t e l e p l a ' e r s g L l 3 . e ,P o ' i e l r c l c 1 A , 2 4 " i 3 A s ' r t v r : i a ^ r : p e a c e e a q :reIea.

Po l ied 'u l 4 se nures tc te t racC:u -e , 1 r g . 5 .5 .4 , ;

poate sd . imp le s inB, j - spa t rL (p r i r , t r rapunere) .-e t raedr " l tes i r se obre p- in ad i . :ga-ea , pe f ie -

care fa te t r iungh iu la r5 a te t raedru lu i t runch ia t ,a c i te une i p i ramide t r iungh iu ia re ,

Poliedrul 5 este octoedrlrl tru,rchlot (fig. 5 5.5) tipoate sA unrp le s ingur spal iu l (Pr in juxtaPUnere) .Octaedrul trunchiat se numefte ,i Paliedtul KelvinPol iedre le 6, . .8 s in t dodecaedr i , Pol iedru l 6(1r3.5.5.5) esre coceccec ' r / romb'- (d ,Ja lL l cubocra-edru lu i ) . Pol iedru l 7 este un dodecaedru rombicr r ' . . t a l , . p ( - < - f a r c . ^ m h i . F < ( : < F f c r c t r z n e -

zo ida le ( f ie . 5 ,5 .D,Po. ecru l 6 esre dode.ceoru i rombex: e l a re op t fe leromc ice 1 i pa t ru fe le hexagona le ( f ig , 5 ,5 ,8 ) . 5ubi ieca .e po l iedru i l - s ra t es le f iSL 'd te re leauasPa-

J ia ; ' care rezu l ta p r in jux tapunerea mai n ru l to rasemenea po l iedre pent ru umplerea sPa l iu lu i .

1 i9 .5 .5 .4 {is. 5.5.5

ffil@

1 i 9 . 5 . 5 . 6 lig. 5.5.7

Forme poliedrole t29

ry@'W

E8{ i9 .5 .5 .9 {is. 5,5,10 rg. ),), | |

l is. 5.5.15

{ is .5.5.12

{ is .5.5.15fis. 5,5.14

pnsme pentaga-generind retele

15I

^'4\

@ffi)%

zul t5 .Pol iedruJproiec.liePentru afdsuclt; gispaliale.

{i9. 5.5.13

Figur i le 5.5.9. . ,5 .5.11 i lust reaz6nole care pot s5. umple spat iu l ,spatiale: sint indicate ti retelele

din figura 5.5,'12 poate fi interpretat cd oa tetraedrului tesit, care se poate gruparezulta o voriontd o dodecoedrului rombicin acest caz esle figJratA proiecria relelei

Poliedrul din figura 5.513 este o proiectie d octo-edrului trunchiot tratate la fel ca in figura 5.5.12, Re-Jeaua de octogoane $i pdtrate care rezultd este unadin ceJe B ,ech;pa. t i r J pra le semiregutare c l uns lngu r t tP de nod.Poliedrul din figura 5,5,14 este a odoptore o dode-coedrului rombic, care poate fi asimilatd crl un

- ' - ' ' - te de oc taedru Ia! u L , r c u l u i , r d r dpartea superioari. respectiv la partea inferioard.Poliedrul din figura 5.5,15 este o odoptorc a dode-coeC-ul - i ronb;c rdsuci t , iar po l iedru l d j ' r r igLra5.5.'15 este a adoptore o dodecoedrLlci fombex. Rele.lele respective sint figurate sub fiecare schild volu-metricd.Unplereo spoliul"i ct' deltoeori. Cei opt deltaedris?nt poliedre care pot s5. umple perfect spa!ju-|, darnu s ingure, c i in combinal ie cu a l l i de l taedr i . ln t ru-cit machetele deltaedrilor sint foarte u;or de exe-cutat (v. subcapitolul 5,3), se recomandi confeclio-narea unui numer de machete de del tae 'dr i s i s tu-d ierea posib i l iu f i ,or de umplere a spal iu tu i cu com-binal i i de del taedr i , precum ; i cu combina! i i dedeltaedri 9i alte poliedr:e.

130 Reprezentdri de orhitectu16 in geomet.io descriptivd Si oxonometrie

'11

€>ltilt-T-!

.{.>\l n l

rftaQ=r-<rY Hral,

1 4

W@

16

------

Ur.p l , . rea sy c ' . t l c : cu t t ' f .o t ( : t . rc e ep 'e7 : tJo atronzt+ie intre cub ' i dodecaedrul rombic. Poliedrule s t e r e p - e z - - r a t ' r f r g u r a 5 . 5 . 1 7 . . n [ r g r r " 5 5 . 1 8< F n ^ : i c \ . F . l F , . , , m , . p . f n n l i o ; r r r < c n ^ r r F f m h :

. h e t , l . l . r h i c r < p . l i . F . r ; i f d , , r : \ \ 1 g r F h r F T ; n r :

modul de asamblare a po ' .ed .e lo r dup i d i -ecr ' i l eOx, Oy ; i Oz , ia r f igura 5 .5 .20 i lus t reazd oSruparede t .e i asenerea po ' :ecre (a ,e 'o rmeaz i u r , , co l tde c "b" . l igura 5 .5 . )1 repr "z tn ra o g -up1-e pe ce 'etase d j rec l i i . L in i i le punc ta te de f jnesc un dodeca-edru rombic , Propr ie ta tea de umplere a spa l iu lu icu po l iedru l s tud ia t es te i lus t ra t ; in f igura 5 .5 ,22 .

{ig. 5.5.17 { i 9 . 5 . 5 . I 9

1 i9 .5 .5 .20

{ i9 .5 .5 .21

ffim%ffi

poliedrole

n-Av-

PRISM ATRIUNGHIUTARA

.F-t*r--_-T\>>>*Y4v4>

ru8

{ i9 .5 .5 .23 f i9 .5 .5 .24 { is .5.s .?5

SINTEZA ECHJPARTITIILOR SPATIALE

in ce le ce u 'q 'eaza s :n t Prezenta te s in te t :c po l ie -dre le care po t s5 umPle spa l iu l (s ingure sau incombina l ie cu a l tec) . S in t f igura ' re Toate des fSsu-ra te le , p recum g i reprezentdr i le axonomet r ice a lerelelelor spaliale care rezulta.

Existe opt t ipur i des inSure spal iu l (pr inin t re i fami l i i :

Umplereo spoliului .u un singur tip de Poliedru.pol iedre care pot se unrPle

juxtapunere) t e le s in t gruPate

- fami l ia pr ismei ( f ig . 5 .5 23. .5 5.25) ;- fami l ia pol iedre lor t runchiate ( f ig , 5 5,26 ,

- f a m i l j a d o d e c a e d r u l u i ( f i g . 5 , 5 2 8 , . 5 , 5 3 0 )estelJmplerea spoliului cr doud tipur: & paltedre

reDrezentat ; de t re i fami l i i de pol iedre:- f a m i l i a o c t a e d r u l u i ( f i g . 5 . 5 3 ' 1 . , 5 . 5 3 3 ) ;- fami l ia pr ismei ( ig 5.5,34 5 5 38) .

| is .5,5.26 l ig.5.5.27

- fami l ia pol iedre lo i . t runchiate ( f ig , 5 5,39 ' .

lJmplereo spaliului cu trei tipuri de poliedre se reali-zeaza cu t re i fami l i i de Pol iedre:- faml l ia te t raedru lu i t runchiat ( f ig 5,5 41 . . .

q q 4 ? \ .

- fami l ia cubuju i ( f ig . 5 5 43. . 5 5 45) ;- famlL ia pr ismei ( f ig 5.5.45 ,5 5 48)

R€prerentdri de orhiiecturd in geometrio destriptird ;i oronornetriel3z -

P R iSI',14HEXAGONALA

]ETRAEDRUTE$rr OTTAEORU

TRUNCHIAT

l,ir.i

(r.|=ctoao

=

=CYcl Lr i-

3 E : );i;t<A - dO

o

oa

;

=o

o4

\

f

- x

U 'rrr oooaO-

fCTQ L J

<1 d)' r :r ! oo o aOO

l

ar<tr-r=

o 2 z

] F

B + NF=;R= d

tn

uiv;

k;

tt)

f-n\ , F- !

I

! rt T ' -

frn !'- T---r-! I l-,- \

t t l_\ ,,,

A1 -N= o

(!; oY-l r--* :

,.i

0

134 Repreuentdfi de qrhitecturd in geomett io desctipt ivd l i oronomett ie

zC]Lf

L4o+Clcto-

e=5; F T

f .2 -o - <

><;

I i IRAEDRU

TETRAEDRUTRUNIH]AT

{ i9 .5 .5 .39

f is .5 .5.41

IU8 CU I" iUtHiI IETA] AT E

{ ig .5 .5 .40

TETRAEDRUTRUNTHIA ]

OITATDRUTRUNCHIAI

tUEOtTAEDRU

TETRAEt]RUTRUNTHIAT

IUBOITAEDRUTRUNTHIAT

Fornre poliedrole 135

-.f-"ftr

A

TETRAEORU

R 0l'18t u B -OTTAEDRU

fig. 5.5,43 fis. 5.5,4a f ig .5 .5 .45

-* Repretent6ri de orhit€(tuld in geonr€trio descriptivd ti orononEtrie136

IUBOCTAEORU

ROIYB tUB .OTTAEORU

Ot TAE D RiJTRUNIH IAT

t UEOt TAE ORUTRUNIH lA I

PRI S14 ATRIUN6HIULARA

PRISMAHTXAGONALA

T RIUN6H I ULARA

PR ISH AOOOTIAGONALA

PRI SI'.,14! O O T I A G O N A L A

lorme policdrole

fig. 15.46 f ig .5 .5 ,47 f ig .5 .5 .48

137

f ig. 5.5.49

F igura 5 .5 .49 prez in td re la ! i i l e spa l ia le d in . ! re te -traedrul reguiat si alte poliedre regulate si senrire-gu la te , Te t raea"J l regu la t d in f ig -u ra es ie d ,v iz " tln pa t "u tc t raedr j reg- la l av i rd nuc f ie ju - r i ra ted in mlch ia te t raedr . .J ' - i m: re . in t re i c t n : rpc f tasint inscr ise r re i po l ,edre: un r . iu"aru r . i "1" iun tet raedru t runchiat t i un cuboctaedru.

5.6, CUPOLE GEODEZICE SI STRUCTURISPATIALE PLANE

CUPOLE GEODEZICE

Sistemele curbe de acoper i re a spa{ iu lu i au evoluatin decursul t impulu i de la bol l i le masive s i greoaieale antichitelii la bolli le gotjce in fetea, ajungin_du-se la un sistem nervurat in piatri, bazat pe o

stereotolnie a pietrei dusd ia apogeu. O preocuparePernaner tA in corcepr ia s : tereJor ce acoper i rea spat iu lu i a const i tu i t -o uSurarea loT cont inua,atit prin form;, cit fj prin materialele folosite,Astfel s'a fecut trecerea de la grinzile cu zdbrele( f ig . 5 .6.1) Ia bol ta d in ' ferme meta l ice sau pe ner-vuri merjdjane cu zdbrele (fig, 5.6.2). AvantajeJeo.er l te ce s is tenele spa! ia le a.catu; te d i1 bare t inoduri au dus cdtre un studlu a/ paliedrelar reguloteti semiregulote folosite ca bozd de plecore in opra-ximoreo cit moi exoctd d sferel. Proprietalile geo-metrice spaliale ale polled relo f r,i3u fost stud-iates i just : f icare d inamic ce c6tre BJckTinster Ful ler(incd din 191f ti de cetre William Bragg (din 1924),Buckminster Ful ler a a iuns la . poncluz ia cd, in t r -ostruciurd sau relea geometricA, eforturile tinci sdse t ransmitd pe drumul ce l rnai scut t , 'Tet'aedrul, o-'aedrul s. icosoedrdl (avirc felelerr i r rg f iur i ecf la ter ere) s in t s i rgJre le care sat is lac

. condi ! ia de indeformabi l i ta te geometr ica; e le s in t

138 Reptezentdri de orhilecturd in geometrio delcriptivd i exonometrie

f ig .5 .6 .1

{ig. 5.6.2

stdt ic der : "m rate, Tet .aed 'u l , octaed' "1 i i ;co-saedru l pot f i subimPe4i te ' in t r iunShiur i care,proiectate spre exterior Pe sfera circumscrise lof,duc la obl inerea unor s t ructur i t r iangulate cu mi-n m de efor t t ; nax;n de rez is ter t i , run; te s l 'u . -turile geodezice ole lui Buckmlnster Fuller (figs,6,).Aprox imarea s fe re i cu po l iedre regu la te 5 i semi -regu la te la care s i .ezu l te un s rgL t t P de bd 'e 5 ;de- noduri, nu se poate face la orice dlametru albo l l i i s fe r ice de acoper i re . Penf fu o minu i re u toaraa bare lo r la montare i i demontare , e le nu po t f in ic i p rea lung i g i n ic i p rea gre le , as t fe l cd razas fere i es te l im l ta td . De €xemPlu , Pent ru o lunS r reopt i , r ; a bare i de 2- 3 m, i cosaedrur (a reLpc Pa: -e . ln t i . fL . : - l l t . . , ^ ra , ; a , {e re i de c ' rca 1 ,9p in i la 2 ,8 m. Pent ru a rea l i za cupo le de desch ider inar i (p lec i^d de la ce le 5 po ' iedre regu la te s i ce le13 po l iedre semi regu la te ) , t rebu ie sd se a lb i invedere ca , p r in mu l t ip l i carea much i lo r , fq le io r 9 iv i r fu r i lo r , sd se ob l jn i :- c i t ma i mu l te much i i ega le , resPect iv c i t ma ipu l ine t ipur i de bare :

c i t ma i mu l te ungh ur i so l ide ident ice , resPect ivc i t ma i pu l ine t ipur i de nodur i ,T . - h , , i a r i . - ^ l - . a i n c n e r i : l a c l r n n l . c d r p l c r c o t t .' _ r " ' ' " ' ' _ ' 6 _

late tj semiregulate indeformabile sau cu cit maimul te fe le t r iunghiu lare

fi9 5.5.3

MODALITATI DE APROXIMARE A SFEREI (GfiCOTghiU

5i Drogcmir, 1968)

Existe patru modal i t i !1 de aprox imare a s fere i :pr in dedublare, pr in maclare, pr in d iv iz iune t ipr ln p i ramidare.

Agraxlmoreo sferei prin Cedublore se realizeazi prinD.o.e( ta 'ea pe s{era c rc lmscr is i Pol iedr l l . r ' rc-qL a l , c ,n cer t 'J l e i . a n i l loaceJor rnuchi i lo ' po l ie-Z r u l r i . O d a t i c u d u b l a " e a n u r i r u ' u i d e m u c h i ia c ool edrr lu i se adauga a f iecare r i r f inc; a t l tea- ' ,uahi i a , " fe fe corcu- 'au in acel v^r f Apl icareasuccesiv i a aceste i oPeral i i asuPra unui pol iedruduce la un ;ir de Po i€dre cvasiregulate care' odaticu n!mdrul dedubldr i lor , aProximeaz5 d in ce ince mai b ine sfera. Dedubldr i le succesive a le te t ra-edru lu i , octaedru lu i 9 i icosaedrulu i aprox imeazisfera suficient de bine, atit Seometric cii l i vizual'

ch iar de la Pr imele dedubldr i Tetraedru l , octa-edru l t i icosaedru l , av ind exc lus iv fe le t r iunghiur iechiiaterae, duc la rele/e triunghiulare sferice.

Exemplu. La pr ima dedublare a icosaedrulu i regulatse obi in dou; t iPur i de fe le ( f ig 5 5 4) : t r iu .nghiur iechi la tera le (BBB) s i t r iunghiur i isoscele (ABB) '

in .mod asemdndtor se efectueaza a doua dedublare( f ig , 5 .6.5) t i a t re ia dedublare ( f ig 5,65)

Forme poliadrolo r39

{ is .5.6.4 { i9 .5 .6 .5

f is .5 .6.5

Aprcximarea sferei prin moclore se realjzeaz; Drinpfoieciarea pe sfera circumscrisd poliedrului' re_8-u lat , d in centru l e i , a centre lor fe fe ior pol iedru lu i .Construclia introduce poliedrul reciproc sau dualinscris ,in -aceeapi. sfer-i, rezuJtind o penetralie aceio i doui pol iedre ( f ig . 5 .6, f ,ApJ.cat i la cub, construc! ia in t roduce un ocTa_edru i ' tsc is i r dceeas, s fera. ur ;nd r , , . fur i le ceIor .do- i oo l icd 'e : .actare. se obf in douj pol ,ed.eCraS reC- a te :' - - L in c i tb p i ramidat Convek, pr in aet inerea muth i i_lor cuburu i ( f rg . 5 .6 8) :

fis. 5.5 7

-un octaedru p i r imidat concav, pr in re l inereamuchi i lbr octaedru lu i ( f ig . 5 .6,9) .

Aproximoreo sferei prin diviziune se realizeaza prinimpir t i rea in p; r l i egale a arcelor de cerc mare a lesfere i c i rcLmscr ;se sLb"nt ;nse de nrr rh i r '^ r r l .o-Jr"ro.. i-pi.t i .* :n do;i-prri i

"t i" "-..1"i,o'arce coinc ide cu o dedublare,

Aproximoreo sferei prin piramidore se realizeazipr i ' o i ram darea fe le lor -et r ,urghiu lare a le pol re-dre lor ; se apl icd in specia l po l ledre lor semiregulate,

140 Reprerontiri de qrhitecturi in geometriq descriptiv6 ti '?rxondhi:kie

fig. 5.6.8

f i 9 . 5 . 6 . 1 0

Pi ramida.ea ap l :ca t6 la cJb s ; la docecaedru l reg l r la td r r r c dc f : n r l a n m : r l : r p P r ;n n r :m in r re nn l i c -A - . o - . a t r - a l r . ^ 1 . , ^ ^ - ' i . ! . e n e d e . o r m a o i l e .T1 . [ 1 :p p -g - - i 6 a r f aD lL l . ; . n6n tTd O rna i bUnA- n r . r n - r e : , - r r i n r o r p r l p c l e r l p < r r i c F < F , h l : . ;

Fi conb. la ie in t re eJe ; ru - ' ta dedut l i .ea s i p i rd -m i . l : r F , n o t f i : n l i r - r + c < r r r r c < l i ,

Forme poliedrole

I i s . 5 . 6 . l l

CUPOLE GEODEZICE iN DUBLU STRAT

Od: ' ; < - . . r i t - re tF IF le t r ;u rp l^ . J la "e s fe r ice i r -t r -un s ingur s t ra t , e le se po t combina c i te doua sauc i te t re : pe dor i sa- t re i s fe 'e co 'ce ' t r , .e , 'eg i r '

du-se in t re e le p r in rnontan . f i sau d iaSona le ; as t [e l. . ^ h -

" ' - r a l . r a < n : r i , l e m r r l t i d i r e r t ; - n , l F < f c . i . o

, . r " . " " , , rp . r ' l o . r ) re - le " [ " r i ce co icent r 'Ce rJ

pot f i asemenea (ad lc i de ace la t i t iP ) . Asemdnareaa" ducc la n o l ia . ] t . rad a l i , dar in ace las i t i - : s ila rodur i cu foar te mu l te bare conce ' t t r i ce ( r '8 .s.6.10).S : L : . - d o - ; 4 : g - 1 p r - 1 g f i L l ' 3 - e I e C J . - r < f e r e

conaer t r i ce , Pe raza s fe re i ce t rece pr in cent ru lfetei retelci interioare se ia virful re.lelei reciPr-oce,care se Jne l te cu \ i r f J r i re 'e le le i ex te ' ioa 'e . Re-

zuli.a cupola geadezicd in dublu strct. (f ig. 5.6 11)

{ i9 .5 .6 ,9

t4l

142

1 i9 .5 .6 .12

f id . t ,o . t . l

Reprerentiri de orhitecturd in geometriq descriptivi l i otonomek'e

i n r r o r i ^ i r 2 -a<+ r i 1 d6 - ' - ) . r ' r r ez , l t : d n a . t n ' lblarea exc lus iv a unor te t raedr i . ln f igura 5.6.12p c + F r e - ) r e p - r 1 - i o . r a ^ l i o F o d e Z i c i l n d l b l ; i

pro iec t -e o rLogonaa. l ' r c i rcarea cLpo le i es te Drel -a r ; l J baz ; ce gr inz i oe be ton arna t p lasa te pecontur care t ransn. l e fo r t r r i le Jnu i num;r Ce?o ( r i la f -F" : - C , r^ l ' p< p l ^ . - ina t ; UnL i acvdr .ud in Tokyo ( japor ia ) . F igu .a 5 .5 .13 reprez ;1ra p .o iec-r " l r r n c i l n l i n i e r e , l ' 7 : r p i n F r : n ' : ( , n r : f p + e l e

n [ ^ . + r + F r F n r e T i n t : . , n r r { a r a : _ - . - l ^ - : ^ + _

A i n f i o | r a \ A 1 4 F < r e ^ r r : r ) . e m , i I L o - i . . r . + i ., , u c , 6 d : P d ! , 1

l ' , i n r i n r n m n ' v n " m o

n n l p . { . r l e

r p - l i z : t p d i n f c t c r r i r ' n o h r l ; r p S c n r m c c l c . 2 ( :

! : m - . . ' ( : , , F a r \ i t e L t L l L i p a - lAl ' ^ \ ^^ . r

STRUCTURI SPATIALE PLANE

Greutarea propr ie nare a eJcne" rLe lo r moro , , te( i t s : eco ' roma dc mate ' ia au d-s la apa ' iT ra s ll - - . . ^ ' + r - a a + . a - + ) + i , < 1 , . - , , . i l o r f o T m a l e c , n

bare , nun i te s rLCru / ; (L zdDr . l ' . La incep. . : r s aA n ^ l t , t d r i ^ A ^ . , r ; h r ^ 1 a ^ 1 , . ;

' n l ^ . r r l n o n + . r

arLmi te desc l - .dcr , F i inc r rc ; r i pc ced cJ i r r r ;n t : - i ( ^ , , r i r . ' . 1 c < . a - a l - . r r s r r u c t , e f o r r a l ed in g r inz i cu zabre le p lane r ig id iza te cu cont ra -

v?ntu i r i s-au t ransformat in s t ructur i cu zAbrelespal ia le .Plaryeele cu zdbrele sint structurile cu dbrele spa-l ia le a lc : tu i te d in bare d ispuse dupd doud re le len l ,

" c n : r : l n l e l F o - r . : n t . F ( u u r d 6 e r r d r c ) l

a J c i t u i r d u n s i - L e m ; - d e f o ' m a b i l i n s p a i i J . S p r cJ . ^ . - h i . o . l A ( + r , , r t , r l l o r t r t c / c :. . _ - - . . _ \ . r r e s e P o t r e a t . . lp ine la o anumit ; deschidere i i in t r -Ln s ingur s t f r tdator i td curbur l i care contr ibu ie la s tabi l i ta te) ,s t ru( t r r . le p lJ ' re n,J Dot ' i a lc i tu i te dec: t ce l Put inin dublu s t rat . At"c bare le, c iL t i nodur ; le ,e le l ' it rebule s i rezul te ?ntr -un numer c i t mai redus det i ^ ,

" i p 6 n + . ' . . a ) < 1 ) . F l e , - l ^ r ; r a r a l e h l r n c

parale le a le p lan;eulu i t rebuie impar i i te in pol i -goane regulate de acela; i fe l . Dupe t iPUl pol igoane-lor regulate, re le le le rezul t i f i e le de mai mul1.feiuri (6heorghiu :) Drcgomir, 1968):Releoud spdflo/d plonar-pdtratd. Aceasta relea estepl r rp.u i cu z ;b 'ere format d i r doua rete le Pldr cor ; ror lae suo ' -np;r t i te in p; l -a te egale $ i leSateint re e le pr in bare d iagonale ( f ig .5,6,15) . V i r fur i lep; t "ate lo ' Lnc i re le le d i r t r -un p lan coresprrd p.\ e ' r ;ca l6 cu cer TreJe pat 'a te lor ce le i la l te re le lea r panJl pdra le ' . Cele aou; re le le Pot f i consi -deiate duale sau rezul ta te una d in ceala l ta Pr in t f c 't rars la l ie dupa o anunr i t ; d i rec l ie , Bare le de leg il u r i r t e c e c c o i i l t ' r t \ r ' i s ' n t o b J , c e i i e 8 a l eint re e ie,

i!r

- '-t,

Lo

Forms poliedrole

{ig. 5.6.13

l ig. 5.5.18 f ig .5 .6 .19

{iq. 5.6.20 fig. 5.6.21

Caracteristjci le relelei spatiale planar-pdtrate sintu rmdtoarele:- re leaJa Drez i r tA doue t ip r r . ; de ba"e (ce le d . ' rre le le le p lane 1 i d iagona le le de leg i tu rE) care ,pent ru o anumi t i in : l l ime de p lanSeu, po t f i ega le ;- toa te nodur i le s in t de aceat i t ip ( in t r -un nodse in t i lnesc 4 bare o f i zon ta le s l . l d iagona le d is -PUse s imet r ic ) .P lan leu l in re lea P; t ra rA poare f , cercompus int : . - n : ) - . 4 d . . t - t d - . r - _ . ^ , _ . - r e c e a i t e r n e a z i( t t ' F t r aad . i r ad t l . t : ( ' t a 5 f l 6 \ Te t raed rJ l f i i ndnede fo rmab i J r i g i d i ze . r z ; p i . a i n i de le pa t ra te , ca resint deformabile,

Releduo spol;d/d blaror-t, unghiulard. AceastS reTease obline ?ntr-o priflri varianti (fig, 5.6,17) printr-ot ransla l ie obl icS, ast fe l inc i t t r iunghiur i le echi la-terale ale unei relele plane s; aibd virf!rile pe ver-t ica leJe ce se r id icd d in centre le t r iunghiur i lor echi -la tera le a le ce le i ia l te 'e le le p la-e ( f rg . 5 .6. '182.Caracter is t .c i le .e le 'e i 5pal iae p lana-- t r iJ lg l . iu-lare s int :- re feaua prez intd doua t ipur i de bare (bare le d incele douA re le le p lane $ i d iagonale le de legdtur i ) ,care pot f j egale pentru o anumitd in5 l l ime de p lan-; e u ;- + ^ r f F n ^ . 1 ! , r i l F < i . r . l A , . a l , < i i r- - - - - - - - , .P .5e obse . i c5 p l , r - ieJ l esLe fo f r ra r d in cou l L ipur ' rde poliedre regulate nedeformabile: tetraedri re-gu la l i ; i oc taedr i regu la ' ! i ( f i9 .5 .6 .19) . Nea junsu l

Reprerent6ri de qrhite(turd in geometrio d€tcripiiyd ti oronomrtri.

f is .5 .6.15

{ i 9 . 5 . 6 . 1 5

f is .5 .6.17

144

t i , , " " , , " i , , , i

lis. 5.6.22

lig. 5.6.24

acesTL. t ip de rc : : .1 es te c ; ea nJ poare acope ' idec i t a r i i t r iungh iur i ech i la te ra le sau hexagoane. . . l - . , . t r J i n , . p c t ^ . , ^ . t A e t - - - , -

^ . , l ^ . , . , , - - l r - + : : r F f F l p i c n r f i , l pd v d , L d l u d ) 4

p larar - ' r iungh i r la 'e . in care ce le doJ i re le le p a re<. ^ \ . - r ,ne . l r : - : n - i r - . -n . rans la t ie Ver t i ca ;(fls. s.6,20),l r ce l na , bun caz rez- l ta dou i lung in ce barE(fig 5.6.21):- mo. r ta l l i i ver i : cd l i ega l i c r bare l : re le le i p iane:- ! , d t u f l d r e , c u c , c t d , u , d .

Rereaua se poate adapta $ i pe ' r t r - Jcoper i rea ure iar l i p ; t ra te sau dreptunghiu lare, necesi t ind atuncit ipur i de bare supl imentare pe contur ( f ig . 5 .6.72) .Reteo -a spoliald plano'-hexagonalo. Aceasl; relear c ; r r l r i n n . l ^ r i r F l F l F n l e n c n o - o ' ^ , o 1 . 1 - < ' - -

r - - - ' "5 "

. . ^ . t . | . f i i q < l ? \ a - " + . I

f . , : , h 6 " , " ^ ^ a , . r ' c h Fr " " ' ' , ' _ver t i ca la unu i v i r f de hexagon d in cea de a douarF, "a P : -n lF dp lco . i - . r . j ' n r . -

ce le dou; . re te e

1i9.5.5.25

p lane s 'n t de io r i t iD ' r - nor ta r r i verL ica l sdragona e .Ca iac ter is t i c i le re le le i spa l ia le p lanar -hexagona lesint:- re teaua prez n t i doua t ipur i de bare , dac i mortan l i i ver t i ca l i s in t ega l i cu la tu r j le hexagoane lor ;- p rez in tE doud t ipur i de nodur i curen te i- a re inco tven ie r rJ l ca reces tA t PUr i de bare l ;

de nodur i sup l imentare Pe contur .

Aces t t ip de p langeu es te a lcd tu i t d in p i ramidehexagonale 9i tetraedri care nu sint regulali (f ig.

5.5.24). Se poate observa acest lucru separ?nd dinp lanser ro lumul e lenenta ' ca .e esre o Dr ismEirUli ia cu bazele hexagoane regulate (fig. 5.6,25).

Vo lu rnu l es te fo rmat d ln doud p i ramide hexago-

na le f i pa i ru te t raedr i iden tc i (EFcd, AFed, ABab

; i BCbQ.

i i " r r . ! .g .Zg reprez in ta o ha l i indus t r ia ld a 'c i rc i

stiucturd de rezistenla este real zate dintr-o relea

spa l ia l i cu e lemente meta l i ce

Iis,5,5.23

Forme policdrole

21

145

146

lig. 5.6.25

Reprerentdri de orhite.turd in geomelrio descriptivd ti oronometrie

I

l

5,7, SUPRAFETE CUTATE

Supra fe fe le cu ta te au avanta je tehn ico ,economices,r estetlce deosebite 5i sint des foloslte in arhi_

l - . t ^y ? : . s rp .a 'e te au t^por ta r re de acoper i re s :

ce lncn tdere a spat iu lu i .S-pra fe le le cJ ra te s in t s lp ra fe re po edra le . Dac ita s t .ucJLr , le sDat ia le s_aJ f ;cJ t re .e r : " i i r a l .e lL ,_r e a / o r l a - u c f , i ( b a r e ) p i v i r f u r r ( r o c u r . ) l a s u p r aleTete Do, .d ra le se f ;c re .e r , r i la {e !e . Cea ra is r ,Tp 5_sLD-" fa t i cu ta se ob , . ne pr in cJ ta rFa u-_ ,p r a r - ( C h 0 - o i . s D a ; o - . r . 1 9 6 9 j . ' - , t r , T : . ,

o f r i e

: : l i ' : : . q 1 , - r e - d t a 5 e i r c o , o a . e . r o o - o p . e

e l g reu ta :e ( f ;g . 5 .7 . ' ) : oac i esLe pr .a t ; ( (J rd ra) ,e a d e . , n e a u t o p o r : a - t ; l l . g . 5 . 7 . 2 ) , a , ; n c c h ; a -capac . ta te . por tan t ; ( . .9 . 5 .7 .3 ) . La o sLpra .nc : -_care , cu te le sc de ,c l - .d ( { :g . 57 .a) .

T impane le f ron ta le r ig id izeaz ; cu te le , i m; resccapac i ta te por ranr ; ( f ig .5 7 .5 ) . Asezar i ven ica l ,toa ia de h^- t ie nu are s taDi , ra te , car dacd es te cL-tat5, ea capdtA stabil itate ti este autoportanta(fig. s.7.6).Din cutarea planului de-a lungul unor drepte aletu l , para le te , concurente sau tangente la o curbd ,se ob l in supra fe le cu ta te : p lane, c l l jndr ice , con jceetc .

_ [ ig i , ra 5 ;7 7 . i l -51rq ;z i o supra [ar ; cura t i c i ' :n -c r ' ca . 5UPra le te le cL ta te COn.ce (L l p ;s l ra -ea Unorgerera toare -o r jzo- -a e s , - t reprezer ta te in f igur , le5 .1 .8 s i 5 .7 .9 . FrgL a 5 7 . r0 , us r rc "z , i o s rp ia fa l jcu tau con jc i genera l i , ia r - f igura 5 .7 .11 reprez jn tdo suprafala cutat; conic; cu cuteje tangente Jd oalt; suprafal:.Suprafele cutate pianare se mai oblin 1i prin diver-se pr ramid ; r i in t re dou i p lane para le le (o r izon ta lsau ver t i ca) , ca in i igura 5 .7 .12 , Cute le sub fo rmade t runch i de p i ramidA, d ispuse in ce le dou i sensur i

l is .3 ,7. l

lig. 5.7.2

lig. 5.7.4

l is. 5.7,5

lis. 5.7.5f ig. 5.73

Forme poliedtole747

-

t i g .5 .7 .7

lis, 5,7,8

lig. 5.7,9

148

{ is .5.7.10

Reprerentdri de qrhitectu16 in geomekio descriptivd pi oronometrie

f is, 5.7,11

Iis. 5.7,12

l ig. 5.7.13

lig. 5.7.14 f is .5 .7 .15

perpendicular Pe reazemul- t i rnPan, au ro lu l unor! r inz i cu console ( f ig 57,13) . Dac; se cuteaz; un"p.ar uerr 'ca, cLte e caPdta ro lJ l L"or s t i 'P i . co1-iraforli sau plcioare de cadru (fig 5714 Si 5.7.15)'

O suprafala de rotalie Poate fi cutate 9i de-a lungulmer id ianelor , De exemplu, cut ind un c i l indru derota l ie in lungul cercur i lor para le le echid is tante,

rezultd o relea sPa.!ial: de triunghiuri (fig 5,7 16).

in acest caz, cutarea ia aspectul unei foletdri (fig.

57. i t71. Daci se u"esc r ,^r fur i le de aceea; i cot i a le

por goare or rezul ta te, d in doui in doud (deci de-a

lungul generatoare lor c i l indru lu i ) , suPrafa la acestu i

c i l indru apare st ructurat ; d in te t raedr i egal i

( f ig . 5 .7.18 1 i 5719) .

Din numeroasele exemple de suPrafe le .cutateapl icate in arh i tectur i s-a aTes pentru i lust rare

piala acoperiti din Caracas (Venezuela), ilustratd

ln figura 5.7.20,

Forme poliedrole 149

| is .5 .7. I5

lig. 5.7.17

fig. 5.7.19

f i g , 5 . 7 . 1 8

lig. 5,7.20

Reprerentdri de qrhitecturd in geonelriq descriptivi t i qxonometrie150

6.SUPRAFETE RIGLATE

6.1, DEFtNrTrr, CLASTFICARI '

Suprafala riglate este suprafala generat; de o dreapu(D1 ( ,gcr . . 'ocoo,eo s rpra 'e le r ,g la te ) ca 'e se so ' i -j : ra pe r "e i cuTDe oare(aTe d tn s , ta ; ru ( f1 ) , ( f "1 ,(fr), numite directoore.

DacE una din directoare, de exemplu curba (fr)esre "n locu . r I p ' in t . -o supra fa la S , la care : i [ retangenti suprafala riglatd, aceasta suPrafald S se

h . n f n . r - : r \ . . - . r ' r n u c / e u . D a c d , n rr i . I r - - + ^ ) - p - c t o . r r F . i - i a r J t c a l a l a i ' f : r ' T ,

atunci genera ioare le suprafe le i r iS late s int para le lecu ur p lan f . . rL-n t Dla l dr rccLar . Dace Pr nt r -J1pu^cr ' iv oa 'ecare se drc p; 'a le le e la toate ge.e 'a-toarele suprafelei riglate, se obiine conul d,rectoral acelei suprafe!e, Conul director Poate degeneraint r -u n p lan d i rector ,

Suprafelele riglate se pot impir!i in doue cateSorii:desfdgurab le 1i nedesfS;u rabile,\ t u . F A | A t a , i 6 l ^ t . A r < f a . t f . A , , F < ' n t < r n r : f c t e l e

r ig la re care se po t des f ; iu 'a pe L^ P lan , fE '5 cdp; ' ! i a . r p : r ra lo r s i se suprapur ; sau s ; se ruPe

Aceste sup 'a fe te s i r t (0 . - . / 5 i c r l .nc 'u i . Ur p lan

tafgent intr-un punct la suprafala riglatd desf5'u-

rab iJ ; cor ' J ;ne Sece-a toarea are ie ' suPra 'e te .

Suprafelele riglote nedesfdturabile sint s!prafele care

nu se pot desfdgura pe un plan. Ele se caracterizeaze

p. in va ' ;a1 :a p la^u lu i ra rgenr la s "prd fa td rS lau- - d c i ) ^ d c n i ; n p

generatoare; deci , la f iecare pozi l ie a punctu lu i detangenla pe Seneratoare corespunde un nou plartangent ia suprafald, Suprafetele rig ate nedesfd-

lurabi le s i r t gc ' lcraLe de o dreapLa care se spr i rd

1) t re i d i rec toare curbe ( f i8 . 61 , '1 ) ;2) doui directoare ti o su Prafald'sim bu re i3) doua directoare fi este Paraleli cu SeneratoareJeunu i con d i rec to r ;4) doud curbe ti o dreapt5 directoare - cil indroid( ' s . 6 .1 .2 ) ; d 'eapta d i rec toare la d is ta l t l f in i td -

c i l ld 'o dJ l genera ' s : d reapt i d i rec toa-e Ia in f in i t- c l l lndro idu l cu p lan d i rec to r ;5 ) o d . rec toare curb i 5 : dou i d rePte d . rec toare -

co-o id ( f rq . 5 .1 .3 ) : ce le doua d '€Pte Ia d is ta r l , if , ' i ra - c6no idr l gere .a l : una d i r o reDte la i r f rn t- cono idu l cu p lan d l rec to r ; ce le doud drePte Iai n f l n i t - c i l i n d r u l ;o ) I 'e i d rep te d re , o . 'e toa 'e la d is la^ i ; f rn iU-h i p e r b o l o i d r l s e l e ' a ( { 8 6 1 4 ) t o d r e a P t E d i r e c -toare la i r f n 'L - p " - ibo lo :d t l l ^ 'oerbo l i c ( ' i g

6.1,s).

5uprotele riglote

f i g . 5 . I . l

151

.. ,-ul'

l i g . 5 .1 .2 f i s . 6 .1 ,3

f i g . 6 . t . 4

6,2. SUPRAFETE CONTCE tt ctLtNDRICE

CIL IN DRU L

Cili.ndru! de rotatie rezultd din rota.!ia unei dreptein ju ru l u re ' a lLe d .ep te pora l - le cu ed . Lar " de . i rea , a c ' l r - d r u l r ' ( ' , g . 6 . 2 . 1 ) . 5 . c L r r - r i I e o r a . e p r , nc i l jndru ca i -e nu t rec p r in genera toare le lu i s in te l ipse , Sec t iun i le p lane perpend icu la re pe axa g igenera toare le c j l indru l ! i s in t cercur j . Sec l iun i le

t i g . 6 .1 .5

p lane ce t rec p r in axa c i l indr l lu i sau s in t para le lecu ea se ob l in dupe genera toare le c l l indru lu i .Curbe le geodez ice a le c i l lndru lu i , in a fa ra genera-toare lo" , s i r t e / i ce , ia r la c . ndru l de ro ta f ie s in telice circulate.C l i rd ,u l po 'oLo 'c es te ger e -dr de o d"eapu ce ses o ' i , - a p e o p a ' a b o a s i r ; - ' n e p e r p e r c r c L l a r d p ep la r ,u ' aces te i parebore ( f ig . 6 .2 .2 ) .C l i , d -L t s " . t :o Co l e . re genera t de o d .eapt ; ce scspr i j in i pe o s inuso id i ; i r im ine to tdeauna perpen-d icu la rd pe p lanu l e i ( f ig .5 .2 .3 ) .

152 Reprerentir i de qrhitecturd in geonetr io descript ivd l i oronometrie

l i l . 6 . 2 .1

l i g .6 .2 .3

i ig. 6.2.2

C O N U L

\ . , n f n ' a r n a h F . i c o 6 ^ F r ) t ; A e a A r e a * t r ' r a

. t . a . e n . l ^ t r - . r i . . ^ . . i , . r . , - .

. - ^ c r , - 6 / . l . ^ r i r : , se dezvo l t a as t f eJ' ' ) | ' ' '^ c nDI :1 i r t r1a tZ n ie to

p a n + . , , ^ ( ' , n . r { : f i . l F ^ - / l n , i I < . h ^ r r c " l a d a

? . -

to tdeauna ca d i rec toare un cerc , Rezu l t l conu lde ra to l ie ( f ig .6 .2 .4 ) . Pro iec l i i l e v i r fu lu i t i a le curbe ic t e ! loa 'e s l r t s , f - ;eqre

Pe ' r t 'u -ePrere . l td rea

c c s c r , p ; v d a L . - . c o n c e o r c i n L 2 ( l ' 9 . 6 2 . 5 ) .Conturu l aparent a conu lu i es te de termlnat de- . ^ ^ ' . . r , ' r h p i n n ' c ' i ^ r r . ; . . - a < c n r . c . l p a t t

r ^ , t A . , n . , F I a < r n r : f e r c , / D - ' ^ i a . t i -r u o r r f v r r ! ' ! y " P " , . '

" , ^ . + - ; , f a ' i r ? n { r r n r + : c r l e n : n c l c r ' 1 p n r o i e r r i c

_-+--.-\

, / , t - r \| | r - \ \-1t . t r '7T-\ ' . /

/'-Yi i 9 . 6 . 2 . 5t i s .6 .2 .4

Suprofele riglqte 153

1i9.6,2,7

1 i9 .6 .2 .8

Toate aces ie e len e l tc ren 'n

varab"e s i pent .ureprezentarea supfa fe le l c i l indr ice , cons ider indv i r fu l conu lu i a runcat la in f in i t ,Tccrpmq I,t i n4.,.rFl n Sp.i l np, efect-aT: cJ Lnp lan in t r -un con es te e l ipsa ( ig . 6 .7 .6 ) , h iperbo l i( f i9 ,6 .2 ,7 ) sau parabo le ( f ig . 6 .2 ,8 ) , dup i cum p la -nu l de sec t iune ta ie o s ingur i p inza a conu lu i ,anbe le o 'nze a le conu lu i sa l es te para leL cu unplan tangent la con.Secliuneo elipticd In con ti cilindru. Secon doud sfere tangente, respectiv'in F1

lig' 6 2.9

par te 5 i de a i ta a p lanulu i de secl iune, Puncte leF, s Fo s ' " t ch.a ' foca 'e le e l .psei . Acela5i lJcrL es lev ! l " o r l - s i - c a z u l s e c t i u . e r i p l r c e i n t ' - L n c : l i r c r u1"g. 6.2.91. Secr iurea e l 'PLic ; in t r -Lr con lhcuta(u-u1 p lo l de caPAL este | -s l ra td in l ig ' ra 6.2 '10,Axa mare a elipsei apare in adevdratd mirime inpro iec! ia ver t ica l6 (p 'a ' ) , iar in Pro iec l ia or izonta ldeste dreapra f "o^ta '5 care r rece Pr , l pro iecf ia

v i r lu lu i conulu i (pc) . Axa micd a e l ipsei de secl iune

apare in pro iec l ie ver t ica la un PUnct m' , la rn i j locul

lui ap, c'p'; ea se gesette pe cercul de nivel Ia cota

pu'cru lu i m' , ln pro iecqia or 'zor ta la ta lSe-r ta la

e l ipsa de secl iune i i tangenta la cercul de bazd

de orhitecturd in geometrio dessriptivd ti oronometrie154

i nscr iu in

l i F2 de o

Reprezentdri

f i 9 . 6 . 2 . 1 0

a ' c o - L l - i s ' 1 [ c o n C U r e n l e i n L r - u T n . r - + . i - " : ' n ^L r ra o r r zo r ta 5 a p d ru lL d " , " . 1 I i . .

' " ' ' " - ' " '

I t f ' g u c a 6 . 2 . 1 1 , s e o L c e o : ( ( t i L n e e p r i c d ; r c o rcu un p lan oarecare. Se duce pr- in v i r fu l conulu i un

1 i 9 . 6 2 1 2

r l , - f . r r r . ^a i - . . " - e . . ca - i n l anu l oa reCare de< o r r

" - ) . ^ i ^ r l . F r ^ + r 1 / ^ n r : l . i F \ / r ' r ' \ A ' ^ ' _ ' rL ! . ' - , l l s r . q

l / ^ L c d ) r d

/ . p 1 - ' . , . r . t f A A : - . . , , - - ^ r t ) a " a c o - L J i i n a c e _

l a - i p r r c t ( a , a ' ) p r r r c d ' e t ' e c e l i a > " n a r e a e l i p -c - c a < o . - . r - a i 1 - - . - : - ; - c r i z O n t " l i a x a T a . e a

e l pse ; e ,Le pe 'pe :6 icL la r : oe ur ra D lan- 'J i dec F , r F c i n r ^ i - - r i , v r f u l u i c o n - l u .A .a ra re es te s i d reapra de cea ma, ra re pa ' rua . ,n l l , i l p .F . t r ^ T) . r - ; <c sec t ioneaz i cor L lcu u^ p lan ver t i ca l cc l rece or i '1 a ' .a r r ra re a e l iose , ,rezu l te doud genera toare de sec l iune in p ro iec l leve r cd .d . In le -sec t ind pre iqq l 2 ver ' i ca l5 a d 'ePte iA e r . - m , i h r r a h ) ^ r i f , n j : n , l , i d c < p c t r n c i

cu ce le dou i genera toare se de termina pro ec l iaver t i ca l ; a axe i mar i a e l lpse i . Axa mic ; a e l iPse ie s l - o a ' p d p t i d e r ' v e l c e l ' e c e p ' n m i j o c L l a \ e ir , ra r - i . Duc ind p{anu l de n ive l p r in ea , se de terminec e r c , . d e ' , , e . c u a j u t c l l c ; r u a s e a ' l a p r o i e c l : ao r i z o n t a l i a a x e i m i c i . I n p u n c t e l e 1 ' ; i 2 ' s e s c h i m b iv z .b iJ ra re r e . pse ; Ce sec i J ' e . [ ' iPsa es te 1ar -

SenU Ia genera toare le de contur aPaTent a l conu u li n a c e s t e p u n c t e 1 ' t i 2 ' .

Secy c'e.o L perbolico ('9. 6.2.17). 5e secl o^ea7iu ' t con c , rcu .ar c rePr cJ u r o la r de cdP; t fP ] ,as t fe l ca aces t p lan sd ta ie ambele p inzea le conu lu i .V f r f r r i ' e (1 , 1 ' ) s i (2 , 2 ) a le secT i 'n i i h iperbb l cerezuitd din intersec.fia Seneratoarelor de front aleconu lu i cu p lanu l de sec l iune. Pent ru de terminareaas in"p lo teor h iperoo le i de sec l iu re . se duce Pr in

i ig .6 .2 .11

Suprofele riglote

(fig. 6.7.13), Punctele parabolei de secliune se obtinsecl ion ind conul cu p lane de n ive l (p lanele [H]9 i [Hr ] ) . in f igura 6.2. '14 se obl ine o sec] iune para-bol icd, sec l ion ind conul cu un p lan oarecare para-le l cu o generatoare; decj , pJanul de secl iune esteparalel cu un plan tangent la con. Axa paraboleieste dreapta de cea mai mare pantd a planului desecl iune t i t rece pr in axa coru l . r i ,

DESFA9URATELE SUPRAFETELOR CONICE$t c tLtNDRtcE

Cilindrul circulor drept are ca desf;surate un drept-unghi care are ca la tur i inSl ! imea c i l indru lu i g ilungimea cercului de bad (fig. 6.2.15).Desfd;uroto canului circulor drept este un sector decerc caTe are lungimea arculu i egald cu lungimeacercului de bazi al conului ii ca razd lungimea ge-neratoare lor conulu i ( f ig . 5 .2.16) . NumErul gradeioracestui sector de cerc este dat de formula n':

360" x r , unde r este raza cercului de bazd

; i G, generatoarea conulu i ,

1 i 9 . 6 . 2 . 1 3i]

l i1 ,6.2,11

vi r fu l S (s , s ' ) a l conulu i un p lan para le l cu p lanulf P l A c i m n t n t o l a h ; ^ 6 . h ^ 1 6 ; . 1 . c, - -ect ,u ' te se Inter-secteazd in punctu l M(m, m') , care este centru lsec l iun i i (a f ia t la mi j iocul segmentu lu i AB).Sec+iLneo porabolicd. Se seclioneaze conul cu unplan de capdt paralel cu o generatoare frontale

Raprez6nt6ri

? i \ R X N ' ? t X G X n OI - de unde 2rr :

156

180" '180"

Dacd se seciioneazd conul circular drept cu unplan [P], desf,ipuroto trunchiului de con care rezultdse obline construind desfdgurata curbei de se4iuneprin puncte aflate pe Seneratoarele conului( f is .6.2.17) .

Desfdyroto trunchiului de cilindri, ce rezulte prinsecl ionarea cu un p lan [P] a unui c i l indru c i rcu lardrept, se obtine in mod asem;nitor, construinddeslEpurata curbei de secl iL le pr ; ' r pJ lc te af ia tepe generatoare le c i l indru lu i ( f ig . 6 ,2.18) . Aceastedesfaturate a curbei de secl iune este o s inusoid; .

Desfd5uroto cilindrului oblic frontol este adtati inf igura 6.2,19. Se desf igoar ; un c i l indru a cdru i curb idirectoare este un cerc situat in planul orizontalde proiecJie li are generatoarele frontale. Se sec-l ioneazi acest c i l indru cu un p lan de capi t perpen-d icu lar pe generatoare le lu i . Rezulu un t runchi decilindru a cdrul desfaluratd se obline ca in exemplulprecedent. In proieclia verticald se g;sesc adeva-rate le mer imi a le generatoare lor c i l indru l ! i .

Pentru desfSgurarea unui cilindru oarec'are, acestal .eouie adus in t r -o pozi l ie par t icu lar i (ver t ica lsau frontal), printr-o schimbare de plan de proiec-1 e .

de qrhitecturd in geomqtrio dercriptivi 9i oronomctrie

l i s .6 .2 .15

1 i9 ,6 ,2 .16 l i g .6 .2 .17

Suprqlele riglqt€

f i 9 . 6 . 2 . 1 8

157

f is. 6.2,191 b

f i 9 . 6 . 3 , 1

t ig. 6.3,2, o

l ig. 6.3,2, b

l ig, 6.2,19, o

f i 9 . 6 . 3 , 4

de orhitecturd in geometrio descript iv6 t i oxonoftetf ie158 Repretentiri

-t.

I

6.3 . GEOf .1ETRIA BOLTTLOR

is tor lc . Vech i ie bo l t i - as l ro -ca ldeanS, romand l ib izan t inA - e rau cons t ru i te d in mase de z iddr ied in cdrdmid i sau p ia t rd , ce erau l im i ta te in t re douasupra fe le ( f ig . 6 .3 .1 ) :- . v i z b i l S d i n i n t e r i o r u l s p a l ; J J - : a c o p e r i t - i n -trodasull- vizibild din exterior - extrodosul.Datorit i grosimii variabile a boll i i de Ia cheie cdtrereazem, intradosul qi extradosul diferi intre ele,Bo l l i l e de desch ider i m ic i (c i l indr ice 1 i s fe r ice)aveau o structur: unifcrrnd for, 'nat: din elementede ace las i o rd in de mdr ime - caremiz i sau bo l la r ide piatri, Deschiderile mai mari au fost acoperitecu boll i structu rate neTVUrat.In arhitectura bizantlnd se inti lne;te bolta sfericdde mic i desch ider i , s t ruc tu ra t l d in a rce in t re te -jate, p;strind suprafata sferei sau formind muchiide-a lungu l mer id iane lo r , ce aveau ro l de nervur i( f ig . 6 .3 .2 ) Arh i tec tu ra romanic ; a lunges te spa l iu lde acoper i t , acoper ind ,< i spa t i i d rep tungh iu la re ,Se in t rodJce pe l i rg i bo l r i le c r indr ice ; r s fe r .ce ,ba lLa cu m, . tch i i ies i re (spre i r re r io r ) , tod te d ;nbo l ta r i de p ia t rS pe arce dub lour i g i nervur j de-alu rgu l _much i i lo r i cs te , fo rminc s r ruc tu . i spar 'ae(fig. 6.3 3).Arh i tec tu ra go t icd acopere t rave i d rep tungh iu la re< , r r h ; t r : r A . " { r i ' , r i . l ^ a 1 1 Z - - , ^ ^ l . i . l - iL u u v r t r o r ! 6 -

t - iLe d in saructur i nervurate 1f .g . 6 .3.1) . Apar arceleint ret i ia te d in p iat r i care, as igur ind echi l ibru l s ta l ic ,pre iau t i impinger i le unei umplutur i , de aseme-nea, d in p iat ra (arce d iagonale in p l in centru) ,

f ig .6 .3 .5

P . t ! , 1 . 1 - h i t ^ - a - r ' 1 , l l ^ . 1 , . ^ : i r : r < p ^ ^ r r F

acoper j pr in in tersec, t ia a doi c i l indr i de aceeagirazi, rezult' ind o penetralie bitangenlialS in punctulT ( f ig . 6 .3.5) , Rezul tS doui curbe de in tersecl ie(elipse) care se proiecteazl pe planul orizontal(p lanul de naptere a l bo l l i i ) , dupd d iagonale le pd-t ratu lu i , Din aceastd in tersecl ie rezul tA douit ipur i de bol l i :- bo l to cu mucht i t . t ra te ( f ig . 5 .3.6) : dac i se re1,nesol idu l comun se obl ine bol ta cu muchi i in t rate(pr iv ind d i r in ter ior ) ; ea este rezemata pe celepatru laturj;' b ! :o cr nu<t ' t , ! t :< ' .= ( l 'g . 6 .3. \ : dac i se "er inesol idu i rest , se obl jne bol ta cu muchi i ie t i te ( ininterior), rezemind in patru puncte.Luneta cilindricd este bolta ce rezulta din inter-sec l ia a doi semic i l indr i cu axele in p lanul de na; tere(o la^- l or izonra) f i de raze inegale care acooerdun dreptunghi ; ex is td doua t ipur i de lunete c i l in-c T t ce :- cu muchi i ieSi te ( f ig . 6 .3.8) , la care s-a re l inutsol id ! | rest l- cu muchl i in t rate ( f ig . 6 .3.9) , la care s-a re l inutsol id u I comu n.

' ' ^ ' - ^ e : i t i , n t e ' s e c r l n d

patru c i indr i ( f ig , 6 .3.10) . Arh i tectura bol l i i rezu t5pis t r?nd sol idu l coTrun sau sol idu l rest .

f i q . 6 .3 .6

f i9 .6 .3 ,7

Suprolele .iglote 159

1 i9 .5 .3 .8 tig. 6.3.,|0, o

r i I f i g . 6 ,3 .10 , b

.1 .,- |.

Bo/ to sen ' is fer icd cJ pondant / i . Acest r ip de bo tdeste rezul ta tu l sec l ionAr j i unei semisfere, av indecuatoru l c i rcumscr is unui P i t ra t , cu Planele ver-t i c a e d e a l L r " g u l I a t u ' i l o " a c e s t u a . R e T u l t a r i s ' "t r iunghiur i s fer ice numite pandant iv i ( f ig . 63,11)De remarcat ce bolta semisferic: cu Pandantivire l ine d in semisferd o ca lote cu o deschidere cores-p-nz i toare unu' urg l t i de 45" fa t ; de ax5, deci r 'ar ' r 'c cec i t ungl ' iu l adnis de 51"49 ' , ca"e I .n : tea- ;ca lota de zona cu tensiuni ine lare.

Bolto moldovene,rscd, Arhitectura veche moldove-neascd a folosit o construclie prin care se trece de

, , ^ , ^ \ , . - r c i r n a t n n n ,r d r J r P r d q L ! , y r L , 4 L ? i a P v r u L r : u u

160 Reprezentiri

la .n p 'a r c i rcu la ' de razE 'na i m ic i Cu a-L toru la pa t 'u , a rce p iez ise" 9 i a l pa"dant iv i lo r d i r t reaces tea se mic to reazd succes iv sPa l iu l de acoPer i t ,Arce le p iez i ;e s in t PorT iun i le d in c i l indru l ce re -zu l t i d in in te rsec t ia a do i semic i l indr i o r izon ta l ib j ra rge l t i cu o ca lo [5 s fe r icd s i cu un c i l indru ver -

t ca l -c i rc .msc- ,s

p ;L ra tu lu i ce t rebu:e acoPe ' ;L( l e .63 j2 ) .c.o1:nd co. lst ' .ct ia cu 45'rezul t l o Peretra! ie de8 arce piezi5e cu aParilia a 8 pandantivi, ficindu-seastfel trecerea de la cerc la un octogon regulats i apoi iar la cerc. Se indePerteaze d in arcele p iez i ;epor i iun i le de deasupra pandant iv ; lor ( f ig . 6 3.13, a

; i 6 . 3 . 1 3 , b ) .

de orhitectu16 in geometrio descript ivi t i olonomelr ie

f i g . 6 .3 .11

f ig .6 .3 .12

fig. 6.3.13, o

t

l ig, 6.3.t3, b

6.4 , HJPERBOLOIZI

HIPERSOLOIDUL DE ROTATIE CU O PINZA

Def n - ; - ( n ra . l - r l . , i . i H in^ r bo lo idJ l de ro ta l :ecu o p inz , es te o s -pra fa l ; aub u r iS le : ; de gradu la do lea , generau de o d reap (D) , ca 'e se ro {es tein jurul altei drepte (W) (ca axi), nesituatS'in acelaslp lan cu dreapta (D) ( f ig ,6 .4 .1 , a ) , H iperbo lo idu lde ro ta t ie cJ o p -A poare r i

Senera l p r ; r , ro ta t :a

une i h iperbo le in ju ru l axe i sa le ne t ransversa le(l)g. 6.4.1, b). Fiecare PUnct al generatoarei descriepr in ro ta l ie un cerc para le l a l supra fe !e i . Para le lu lA , - ? . . - r m i ( p n | r r o ( . . F . ( ( o l e t . C e . c u l c o l i e rc o ' r s 1 . t r ' e c o r t L r L i a p a r e n r o ' z o n T a . a . f i P e r b o l o -

dDeoarec : e ' i s ' i dou - d "epre ca 'e po t 8e ' le ra aceea5 i supra fa ld , h iperbo lo idu l de ro ta ! ie cu o p inz ;este o suprafald dublu riglatd. Cele doud dreptefac parte din doud sisteme de generatoare (fig6.4.3). Generatoarele frontale se numesc genero-

f i 9 . 6 . 4 . 1 , s

, i9 .6 .4 .3

{ i g , 6 . { . 1 , b

f i 9 .6 .4 .4

Reprezentdri de orhitccluri

1 i 9 ,6 .4 .2

f i 9 .6 .4 .5

descript iv6 l i oxonometrie162 in geometrio

IERCUT

toare pr inc ipo le . Pro iec l i ie ver t i ca le a le aces torSeneratoare principale sint confundate doua citedoui gi afcdtuesc conturul aparent al conulLti osimp-tatol ol suprofelei. Conul asirnptot al suprafelei (f ig.6 ,4 ,4 ) es te couu l cu v i r fu l in cent ru l co l je ru lu i s igenera toare le , Iu i se ob t in duc ' ind C in cent ru l co l ie -ru lu i toa tepara le le le la genera toare le h iperbo lo i -du lu i . La or ice genera toare de h iperbo lo id cores-punde o gcnera toare para le la pe coru l a " i rp ro ti i f iecere i ge ' l c ra tooa-e de pe coru l as ,mpLor i ,corespund doud generatoare paralele, de sistemdicer i t , pe supra la la h iperbo lo idu lu i .

sec+iuni in hiperboloidul de rotalie. Sectionind cuun p lan h iperbo o idu l de ro ta l le se ob l in u rmAtoa-r e l r ' s e c t i u n i i- sectlune e/ipt,cd, daci planul de secliune taie os ingur i p inzS a co 'u l . : as .mpLot , dec i sec t )nea l :o s ingurA da tA h iperbo lo idu l de ro ta t ie ;- sec l l rne h lperbo l cd . dac6. p la ru l de sec l iuneta ie ambele p inze a le conu lu i .as i f l rp to t , dec i ta iede doud or i p i rza l - .pe .bo o idu lu i ;- secllure porabalicd, dacd planul de secliune estepara ie l cu o genera toare a conu lu i as i rnp to t , dec ita ie o s ingure da td p inza h iperbo lo idu lu l .

Hiperbololdul de rotoiie fofetct. Daci se c!c sd F ^ c r a + ^ r r F l a r o l i r t e r r l a i l o : < S l e m ' s ' e d e ( ie le fo rmeaz6, :np 'eu .a c r ge . le ra toa fe le p i r rL :u :

s is tem, po l igoane s t r imbe in t re tA lndu-se pe e leinse le , Se ob l in in t re ta ie r i de la tu r - i fo rmate de

1 i9 ,6 ,4 .6

gencro loa F d in s j ' ten 'e d [e r ] re . Aceas ta duce Jara l i za .ea unu i po l iedrJ i rsc r is ; i c i rcJ rsc . :sace lu iag i h iperbc i lo id de ro ta l ie , numi t h iperbo lo i -du l de ro 'a "e fa te ta t ( f i c .64 . \ ) .

H IPEREOLOIDUL GENERAL

H . n c r h n l n d , r l o p n c r r l F ( r e < , r - - r ' ' , 6 ' d L d E e --e -a t5 de o d reapLA care se spr i - in i to t t .npu ia - ? r F ; r ' - F 1 r - r ' - - . , 1 , . - n o n " l a l q l g c t a c e l a s i

: r " , (C .c re op a- a . e ) . Hrperoo lo idJ . gen. ra lL - i? o suD. d [ , ] ; Je g 'aou l a l do i lea ana loag i h .per -b o d - l - de "o ra i e cL o s ingure p i rz i (1 r9 . 6 .4 ,5 ) .Dac i dou i d in ce le t re i d j rec toare s in t cop lanare ,. -o "a ia ra se reduc . ta u r s isLem de dou i p lane.

' . ) . - 1 . - - - i ) . p - t - , , t a d r e r r e s i ' r t o a r a l e l e c . tace las i p la r .up- . ' J ;a de \ 'ne parabo io d h iperbo l ,c .D, , r ) r . r ^ d . r - r -^ , .e s in t co-curer lei - " - ' p . ( t , s - p r d ' d l a e s t e r e d e t e r r : r a . i .

5 .5 , PARABOLOIZI HIPERBOLICI

D- : .1 o r Cr , i i - c ro i : e . ; c s . ,p "a fa ta r g la t r de' d r e > n : a r ̂ r e < -

c r r ' l - i ^ 6 1 . , , , d - . , : . - - p d . F D l e s , j T n c T O TI ' r r ^ |

" 2 r ' . 1 : . , a n r . n . l . e : L o - . E l s e c o n _

f r , I F ( r F o F n e . , ; ^ :

t i n d r a r < r r t r c r i ^ h i o p r r n l o , l , r l r i o p a c r a e c a a c - z

r . p , . l r a - ^ - , . f " , , - - , . . c - - 2 - r . n c d t a l a i o r r n r 5 .e s t e i r ' o c L : t a i r a c : s r . a z d e u r p l a r d i r e c t o r , l a. r ' c . ; m r n : r : l r l e o c n e r : , n : r F l F < n r : t p r F i

Pa "bo o c r , l h per bo i c esre o s . rp ro lo ld s r r imb ir . - t I i r ' - ' . . i c

6 - - i L . v e \

cdre Do l ge le ra ace las i p l rabo lo ic ̂ perbo l i c . Pr i -T a [am.J ie de gca : r . ] roa 'e esre a lc ; r . . t i c ,n ge 'e ra-r ^ : . A n r . r l A l . . , n . - i ' n n l t a A i . a r t ^ . / f d r . q . 1 l

Ceala l td fami l ie Ce genera toare es te a lc i tu i ta d ingenera toare para le le cu a l do i lea p lan d i rec to r ,A l do i lea p lan d i rec to r es te para le l cu c t le douAd i recroa-e drep te ( f ) p i ( f r ) oe care se spr i - .n iSerera tod .e le d 'n p ' , -na fam. l ,e ( f ig 5 .5 .2 ) . As t fe l ,genera toare le d in p r ima fami l ie po t deven i C i rec-toare pent ru ce le d in a doua fami l ie ; i invers . Para-bo lo idu l h iperbo l i c es te s ingura supra fa l ; - r lg la t ;. l ; ^ , ' i ^ 1 , ^ a A r o r r a ' t a

^ . . . . - t - . r , , . - . ' - - 6l e u L P ' 1 ' c

l a re , a rJ rc i pdrabo io .dL ( oe 'bo l ,c e iLe e6h /o, - - . _ , ^ | - r r , , , J f a m i l , i . e t a r e

r n : r c < ' r h : r e l : < i , r c n i / f ; o A 5 l r D n r , ; o c n e r : -

toare d in aceea5 i fami l ie nu s in t concurente , f i j nd

Suprqfele riglote

@163

< i , : r e i n n l r n e h , r - l c l e l ) o r i o r n p r : , n r r c / , n

fami l i i . d i fe r i te s in t to tdeauna concurente in t r -unpJ ' rc t pe 5Jpra fara parabo lo idu lu i h iperbo l ,c , determin ind p lanu l tangent la parabo lo idu l h iperbo l i cin ace l punc t . Genera toare le parabo lo idu lu i h iper -

l ig .6 .5 . l

bol ic para le le cu p l3nul d i rector determind pe dreptele directoare rapoarte egale,Un oa 'abolo id h iDerbol ic poate f ; def in t i cLaj - toru, Lnui pouuloter sr r imb ABCD ( f ig . 55 3)

IJn Datrulater strimb detetmind un porobolaid hiper-bolic ti numai unul, Axo paraboloidului hiperbollceste dreapta paralelS cti dreapta de intersecliea celor doua Plane d i rectoare; ea se af lS unindmi j loacele d iaSonale lor patru lateru lu i s t r imb ABCDVifu l parabolo idulu i h iperbol ic este PUnctu l depe sLpra{ata lu i in care PlanLl tanSent in ,acelpLiLt e) le perpendicular Pe ava Parabolo lCulu lh iperbol ic . Cele doui Seneratoare care t rec Pr lnv i r fu l parabolo idulu i h iPerbol ic se numesc gene-rotoore pr inc iPale, Generatoare le pr inc ipale s intd i a p o n . ' e e u n u p a ' a l e l o P - o n ' c e s e o b : r n e L r ' - cn i jLacele la t r r i lor Patr i la teru lu i s t r inb AbCd'

Seclibni ptane ln poroboloidul hiPetbol c' Jipul curbeide secl iune esLe dat de Poz l ia Planulu: de secl iu lefa ld de axa parabolo idulu i h iperbol ic ( f ig . 65 '4) ;- Da f ia la , cacd p lanul de secl iure este Para le lsau cont ine axa parabolo idulu i h iperbol ic (deexemplu, sec l iun i ln parabolo idul h iperbol ic cuplane de prof i l g i f ronta le) ;- hiperbald, dacd planul de secliune nu este Para-le l cu axa paraboio idulu i h iperbol ic (de exemplu,secl iun i in parabolo idul h iperbol ic cu p lane or izon-ta le) ,

9 e o e r q l o o f ep I n c l p q { e

1 9 . 6 . 5 . 2

ReDrerentdri de orhitecturd

|Js .6 .5 .3

in geometrio descriptivd tj oxonometlie

h i p e r b o l d

p c r o b oh i p e r b o t i

1 i 9 . 6 . 5 , 4

PARABOLOIDUL HIPERBOLIC CA SUPRAFATADE TRANSLATIE

Parabo lo idu l h iperbo l i c poate f i genera t 5 i Ce o, ^ - ^ ^ 1 . . ^ . - r ^ . , 1 - l . ^ i . . \ . ,

P d d u u d L d

s p r j i . - c - - s e i - r t r - u a l r n e p u r c t a e i . d e . a l , - g r l. l ' " - , . ' h a l e , " ' , , , c l c n : r r l p l c < i i n I r e n i - e

' . s e n s - r i c o L ' a r i i , A c e . r l u c - u r e e ' e s i d i n P Jn e l e a " e ! d e n , i a s e c l i u ' l o ' P d - a b o l , c e i l P a r a -A ^ l ^ i , l , , l h ' ^ - , h ^ l . , f , d f , q q

1 is .6 .5 .6

|is. 6.5 5

PARABOLOIDUL HIPERBOLIC CA SISTEM DE ACOPERIRE

Parabolo idul h iperbol ic are mul te aPl ica l i i , in . con-st ruct i i s i arh i tecturd, la constru i rea d i fer i te lortipuri de plnze subliri folosite ca sisteme de acope-r i re a spat iu lu i s is temul de acoPer i re ce are labazi para6olo idul h iperbol ic Poate f i r€zematcont inuu ( in urgul unei generatoare) sau in PUncte

lig. 6.5,7

Suprqlele r iglqte 165

( la in tersecl ia a doue generatoare) pe conturu l ar ie ide acoper i t , care poate f i po l igonal , curb sau mixt .Aceast; arie poate fi acoperjt5 de unul sau de ocombinal le de mai mul l i parabolo iz l h iperbol ic i ,Acet t i parabolo iz i h iperbol ic i se pot combina pr inadiocenld (de-a lungul unor generatoate comune)satj prin interseclll (dupd curbe de gradul 4,, 3 sauparabole 5i hiperbole).Po,,b,lital.lc & ocaD-r:re cu porcbolaizi tiperbolici. t r . r t .h t . fq t . (p : r i r r ^ /p rp u -n t r tOare le Cr ite r i i :. f n r m : < r r n r : { e r o r n o r r a n e r i +

- numi ru l de parabo lo iz i h iperbo l i c i d in care es tecomPUs acoPer i iu l i- m n r l f l a e r c n m > r c ( n p l r + r ; ( : . ' ^

h ' ^ . r - )

- l r n n l : n ^ ; r ' , r < c r . . h F r ; . r t - - _ L - ' - : r L :. ! r F d c u u u i u r r -

p e r b o l i c e c h i a i e ' . i n f , g J r a 6 5 . 6 e s t e " e P ' e 7 e ^ -laTe dJbla pro 'ect ie or toSona i a aceste i suP'o-fefe.Un parabolo id h iperbol ic def in i t rde pat [u lateru ls t r imb ABCD intersectat cu un c i l indru e l iPt icpoate acoperi un plon de formd eliPticd (fig. 6.5.1.- Un p lar t ' :ungFiu lsr poare f r acoDer. t cu urs ingur parabolo id h iperbol ic av ind doud d in la tu-r i le patru lateru lu i s t r imb d in spal iu in t r -un Plan\ e r t i c a , d e c i p ' o i e c t a t e d L p a o I a l L " ; a t ' i u ' r g h u -lu i de acoper i t ( ig . 6 .5.8) . Acelagi p lan t r iunghiu-Ia. poate f ; acope- i t de do sau ra i - . ru l1: parabo-lo iz i h iperbol ic i pr in adiacenla ( f ig . 6 ,5.9) ,* - | l ^ ^ l - n n ) + r l , t p r < F t . ^ ^ F r ; '- - - . l u u r s l n S u r o a ' 4 "bo 'o id f ,perbo l c cons ider ind acesr pa t rL a te -

l i g , 6 . 5 . 1 0

Reprezentir i de orhitecluri in geometaio descriptivd ti oronometrie

l i s '

l . c ^ t r - . ^ . - 1 , - - . r - . t i , . - , ' - 1 , - e r _ ' _ s r r ' : bd i n s p a : i u A B C D ( f , 9 . 6 5 ' 0 ) . A c c ' . p a : u . - . :r . ^ , r c f r . ^ n r . ; r . t t 4 . , < "

hiperbol ic i - pr ln in tersecl ie ( f ig . 6 5.11) sau pr nadiacenla (fig, 6.5.1 2).n . : c - : - r - . . - . - F - . . - r . i I - r L o l c z - D - . : t ; , c i. * . r r : ' i I . d . , i n ) - , . . r t F r o < : r i - b C - . : : - l a

9 0 u n u i f . ; d e c e l i l a l t 1 ' ; 9 . 6 . 5 . ' i , - / - : i r o .

farmote atn porobalaizi hiperbalici lrteisectri i:- bo l l i cu much i i jn t ra te ( f ig , 6 .5 .14) ;- bo l l i cu much i i ieg i te ( f ig . 6 .5 .15) .

l i g . 6 .5 .12

f ig. 6,5.13

6,5. r 1

- Un p lan p i t ra t Poaief i acoper i t cu un parabolo idhiperbol lc echi la ter i ' : .^ is in cubul ce are ca bazip; t ratu l dat ( . f ig . 65.16) Cenl ru l cubulu l 0 r , : tev i r fu l paraboiokulu i h perbol ic Axa ver t ica ld acubu ! i este axa parabclo idulu i h iperbol lc ' iar< i repte le ce unesc centre le fe le lor oPuse s intgeneratoare le pr inc ipale a le parabolo idulu i h iper-5ol ic . Pre lungind generatoare le p ' ind la p iarr '

o ' i -crL. se 6b1ine- l^ 'perbola ce t rece Pr in PJtul b Daca se unesc succesiv, dar in sens contrar'are leagr d iv iz iun i de pe d iagonale le fe le lor Ad

f i 9 . 6 . 5 , 1 4

l i 9 . 6 , 5 . 1 5

Suprofete riglote 167

ll

t i 9 . 6 . 5 . , | 6

168

f i g . 6 . 5 . 1 7

Reprerentdri de qrhitecturd in geometrio descriptivd ti qxonomelrie

f ig .6 .s . l8

Suprofele riglote 169

f is .6 .5.23

c ' o L , 5 e o o - r ' 1 6 - ' t p o d o o o c r p F r b o ( ! r . _ F a c o -per : t r ungh iur le cobc 5 i coda ( f ig , 6 5 .17) , F gura( q 1 R i 1 l < r . c : r ; : l r p n ^ ( i h i l i i f i d c e c a a e r ' r e e

pa 'abo lo iz i h perbr l c a ace - a - i p a - D; r . t .

f i9 .6 .5 .25

- L . ' o . - i e a ; o - : s e P o a L e l c o l c r c - t ' e r s ; ,'esp 'c l i v . sa5e Da-dbo 'o iz i h 'oe 'bo c . .p ' . - ad ia -c e n l ; ( f i g . 6 , 5 . 1 9 ) .-To t p r in ad iacen lA se Poate acoPef i un panoctogona cu op t Parabo lo iz i h iperbo l i c l ( f ig . 6 ,5 .20) .

Reprerentdri de qrhi lecturd in geometrjq descripi ivd f i qxonometrie170

| 9 . 6 . 5 , 2 6

Diuro t :ve co 's t ru . t /e v?r fu r ; ' . la robo 'o i -: l n r h i n e r h n l i r i r r , r ' t n r , . ^ l - "

( f ig .6 .5 .21) . ln f igura 65 ,72 , es te i lus t ra t !n s is ien . lC . acooe ' i ' e fo r ra r d ' r p?-?bo.orz i h perbo l c iintersectaji la 90'.Exemple de ap l i care a pararo lo iz i l c r h iperbo l i c i i ra rh i tec tu re s in t : Arena Ra le igh c in Caro l lna deNo 'd . S U.A. ( l i1 6 5 .23) . la c . " - s rp ra i ta Ce eco.o e r i r e a r e z u l r a r d r i ' : e - s . r l a L - u i p a r a b o o i dh iperbo l i c cu do i semic i l indr i ver tca l i ; Tes tauTan-tu l Long Beach, S .U.A, ( { ig . 6 .5 .2a) , la care urq n : t i . h e . r ; o o r , l : l ' n . ' r - n n e r - r r r r r c n : r - h n l n : ih : ^ 6 - ! , - . - . c . t ^ a - - - - . - t - . ) t - B C . ' r - _ d c v e . l

( f ig . 6 .5 .25) t C i rcu l de Sta t d in BLrcure ; t i ( f ig .6.5.26), care are o cupole formatd djn 16 elementen : r : h n i r c . ^ r t i . , , t F n r i a r t A r a

6.6, SUPRAFETE ELTCOTDALE

ELICEA CIL INDRICA

El icea c i l i rd r icE esre cLrba t -asaU pe sLpra fa launr i c i indru . care face u" t u : rg \ i co-s ran t cu ge-e-.a to , r .e le c i l i rd ru lJ i . D is ta r !a in t .e doL. : i pu- r r -

F q i a h . c I ^ l i ' ' l t n c h ; I p l l r p i p < t e

unghiu l pe care i i face tangenta Ia e l ice cu p lanulperpendicUlar pe generatoare le c i l indru lu i . Arar r l i r ' y ' . r r r r r i F < F . ^ f , n . e v ^ c l i r c i D c < f a < , t r n t a

e l :ce i c , l ' ndr :ce esre o l in .e d reapU, deoarece eaface acela5i unghi cu toate generaioarele, cares in t para le le ( f ig . 6 .6 .1 ) . Pro iec l ia ver t i ca l i a e l i ce iF , 6 . . r - . ' - ^ : . 1 : i , - ^ . . - . 1 i 2 . a o . ; Z o n t a l ; e s t ece 'c r ' scc ' i - : , i i perperd icL t - p : g . -e :a :oare ' :c i l i n d r u l u i .

E l i cea con ic i . Un t ip de e l i ce coNica es te cLr rbai d a L ; p e . - p r a ' a l a u r u : c o r c i - c t l a r d - c p -

r A A - . < t t . n r i + : r - : q r ) c r , r h i . ; r p n r F l , n 1 " . 1 ; c -' . r ' l r . r i , ; r L - e C o L E p - - c r e C e p ? ( o r , ( a r e n J. I t i . ' a r - , - p - . - - i o 6 : F - . . - T e . D a c i : e d e . 1 - ; -, ' r ' . co -u l . . ' ; . L .a rd acec re . - l c - es ie o l : n i e. . a : r ' ) | < n e < r n r : ' : t r

s ie |e , r ezu l t i r d e l t cea s l c r i cd .

SUPRAFETE EL ICOIDALE, CLASIF ICARE

( r ' : l ' c t c l e e l n r - c ( n r . l p . l . l . . . . I f l l r , S ' a l u i e :

- e l i c o i z i c u c n d r u - s i m b u r e e l i c o i d u l c u p l a nc r r c c t o " , e l i - o C - s - r ' - b , e r c o i d J ' d e s ' a u ' a b i :- e l i co j z i fa r l c i l l nd ru -s i r , . rbure , e l j co idL i s i r i r , rb i- e l i c o i d u l d r e p t .EJ ico iz i i cu c i i lndru s imbure s in t genera l i de o, - - - - + i + - - - - - - i , - - l i - r - n , n / r a l a a F r , . -

genTa descr i ind o e l ice pe c i l indru. Cind genera-roa.e le s i " r pa 'a ' - le cu u ' pran (acest p lar . l poaief i dec i t pe 'pe-c 'c . lar pe ara c i ' i -aru l - s i rnbu 'e) .

A:ft. t^., AcesIa esre folo_

" - t - - ^ - - ' - - .

" . . i - ' ^ - i n r l r , r | r r l pr 5 t u L l r d i

Cind genera toare le e l i co iCu lu l fac un ungh i con-. + r . r - - - - - " . ^ " . - 6 - . . t . , i r . s i n b u - e , r e z u l r i

eli.aidul strinb, iar dac; generatoarele elicojdului

- i r t ta 'gente la e ce : d . ec toa 'e . se ob ! ine e / l co l -a , A . < B < r r h , l n c r i p l i r n d r r l r , r n l , a n d i . e . f o rT _ - ' - _ -

t j e , ico;auJ desfd lurao s in+ calL ' i Pa 'L icu lare a le

el ico idulu i sLr imb cu c i l indru-s imbure Reducindci l indru l -s imbure la axa lu i , seobl ine o a l t i fami l ie

de elicoizi - elicoizii fdrd cilindri'simbure (e)icoizii

cu axi djrectoare), Ace;tla sint generali de o clreapti

5uFrofele rigldte t77

f i 9 . 6 .6 ,1

l i 9 .6 ,6 .3 f i g . 6 .6 4

Reprerentdri de orhitecturi in geometrio descriPtivd t i oxonometrie172

I

c a r e s e s l r ; , i 1 : p c o F l : c e : ' a r e a - e a - a - . . u n g L .cu axa d i rec toare , Se mai numesc J i e l i co iz i s t r imb i .C ind ungh iu l genera toare i cu axa d i rec toare es tede 90" , rezu l td cazLr l par t i cu la r a l e l i co iz l lo r fe r ;c i l indru-s imbure cu un p lan d i rec to r . Ace; t ia se'1uresc e /co ; l ; d /ep l ; , DLC: -d in t r -u1 pu lc t peax para le le la genera toare le e l i co idu lu i s t r imb, seoo l i le cor - l lu l d i rec to ' ( f ig . 5 6 .1 ) . Aces t cord i rec to r av ind dou i p?nze, rezu l te c ; e l i co idu l. ' . ^ rF : -p c i F I d^ ' , : n : - -e l - 'e r5g61 in l ce le doudh ^ ? a , l a p l ; r n i d r r l r i < r r i m h < - ^ h t ; - - < . , A r

r r . u ^ g \ i " ' c - . I n . a z u l e i r o C u l u i c i r e p t , c o n - lr c A r c z n l t . l u 1 r e r r a r F l r a l d I A t r t

a r e a p l i c d l r i r t e l ' r ' c 5 ( i - " u b J l p : r : r a t ) i i i n a ' \ i -+ . . + , t . t / . . : , r i l i o i r n l : l a \

ELICOIDUL DREPT CU PLAN DIRECTOR

F l i . ^ . l r I l r p n t . . , n l ) n . l ; . p r r ^ r F { r d l r i \ F r - r . 1 . ^

. l r p " h i i . , r p < p r l p n l : < c : u ; < n ' i i n i n r i t

el ice c iL indr ic i ; i pe axa c i l indruJui , rAminind per-pendicular5 pe aceaste axe ( ig . 6 .6.4) . P lanul d -. . - t r r r F q . F d 6 . i n : . t , t L , - c i c l j n d r u i u i d e r o : a l e ,

t . ) t l ) t . , y ' , . - ' 1 - b , , t 2 o . - L . ( a . c o. , t r , t ^ n / i t . . t ^ t n : . i ( . ' . 1 ^ . '

o c : e . 1 , p : n ' : n r o r -

t o a r e ( a ' a c ; l . n d ' u l u i ) c - u ' c i r - C u d i r e - r o r , l ccaTe gerera toare le e l .co id - l - s n l L . r ' r8ent - s i de-scr iu pe e l o e l ips ; , rezu l t i e l i ca tdu l cu c t l indrN-simbure cu plon directar,

SCARI ELICOIDALE

Sc i - i le e l i co ida le s ' . r t ap l ;ca ! i i r (o r s l ' . r . i i l i a r -h i tec tL r i a le supra fe te lo r e l i co :da e cJ p l " ' r d , recr^ r nAr r ,d - - r i / , ,1 , r 1a r " . 6 l , .a r d : rec toare Pantascdr i i es te da t i de ungh iu l e l i ce i d i rec toare pe l in iapasu lu i . 14uch i i le t rep te lo r s in t sec l iun i in supra-fd la e l i co ida a dJse dLp i p 'a -e perpend.cL 'a re p :axa , Aceas td supra ta ld e l .co toa a cu Pr t l c . lec roror izon ta l es te sec l lonate cu un c i l indru care areaceea;i axd ca l i elicea directoare, Cercul de bazia l aces t . r i c j l i ndru poate consL i tL p ro iec l ' d o r i ;on-ta ld a scSf i i e l i co ida le .

Scdri elicoidole cil indri.e cu o axd directoarc s:.rtsc ; r i le pe care p lane le cont ra t rep te lo r se in te r -:ec tear i Pe a>a c iL ;ndr ca . Pcr t r - a r o ' - [

-c .+ r "n -p i l . c t oncdz : S :a .a . IL n c i l : 1 d r - c o n c e n t T c c a r e i n c r p a r t e - . ' r I n -pasL 'u i de axa sc in i AcesL c i ro r - po3Te f , n "a :erializat sau nu, rezultind:

f i 9 . 6 . 6 . 5

- scar ; e l i co ida . ld cu rampd iber i ( f ig . 5 .6 .5 ) ;scar i e l i co ida ld cu ramP; inaas t ra te in t r un

c i ndru cent ra l ( f ig .6 .6 .6 ) .Scara e l co ida l ) se cons t r - ie ! te as 'Fe l : s : l f i 'Par lFp fo iec l ia o r izon ta la a scer i i in t r^ un numdr detrepte, astfel ca s6 se resPecte formula dc con-s t ruc t ie a sc ; r i i pe l in ia Pasu lu i ( la 60 cm de cercu le , L ' o r . S e o b + i i l e ' L n ; r - l d e t r e p t e l d o r o t a l i eco-p erd a s - i ' . i . Se ve- i f rc ; to :odaI5 dace es terespec la rd

' ra l mea Loere adm;s ; (h . - 2 m) la o

rc ta l ie comple te a scar i i . Apo i se impar te d i fe ren lace r i ve l la i f ; l l i n rea une i con t ra t rep te t i se a f l5 nu-r i ) . r ! de t rep te necesare , dec i t i numd|u l de , ro ta l i i .O . i i i s tab l r i nurndru de t reP ie in p lan , sb p :c -i l c t raz i f iecare t reaptd d in P lan i r vcdere , lu indu-sei i r ccns ider -a ] ie f i g ros lmi le cons t 'uc t l ve necesare .

Suprolele riglote 173

-\_

.o

oF

9

.d'

Reprezentiri de orhitecturd in Eeomelfic desctiptivd ti oxonometrie

iii

: l

\,\

: :

- t ' r i \/ / l \

1 i g . 6 . 6 . 8

u > - d d q r u l a , d ( u v d . t- ^ ^ - - - . , , - - - - A - . I . n ; f n r r : r . a n _

P c , L U r d ! L , / _j 6 l ^ r i i r f l o l - , r A z t h i " ' < . r . i o s c a r . r e l i c o i d , l dcu vanSur | ta le ra le .Scord elicoidold cu .i l indru simbure-dlrector. Suprafa ta e l i co ida ld cu c l indru-s imbure es te fo los i t i lasc ; ' .1 : a 'ca tL l t . d in t rep te p re fa5r ica te , ca"e .nc i ,d( n . r r i r n F : d F . ; l i . . i - : f e r o n r i f F . i . F : - . - n -

P " i ^ < , n - : . r ^ r - 6 F t r . ) ^ l ^ r ^ - e f a O r . - a : e r e l _ L an < r : . ; p l i r r : d > r r l - . 6 - t 6 i - , S : r a t t n a c e s t c i -l lndru-s imbure ( f ig . 6 .6.8) .Ranpele elicaiCale sint folosite la garaje etajate saula urcarea unor d i feren- te de n ive l ce nu permi tdezvol tarea in p lan a unor rampe l in iare ( f ig . 5 ,6.9) ,

6.7, CONOIZT 9r CTLtNDRO|ZI

CONOIDUL

a ^ - ^ ) , t - ^ ^ ^ . ^ lr : L c r u P d l J i t i r L

d i r e c t o a " e $ i d o u d d r e F t - d i r e c r o a ' : a r l r e c i .d is tan l ; f in i t i ( f ig . 67 .1) Dac i una d n d rep te l td i rec toare es le a rL-ca-d a ' - - n . o '

, 1 , 1 c , . " - . . ' . t I . :a - - . : ) . t 2 . ^ - r , - , - - - - ; - ? C i ; e ( . C t . . e ld r p . _ ) l i r F r n 6 r ' l : - t 2 - i n a a 2 - . q i - e C : O r . I n C a :. ^ 1 - - 2 - c ' q r a ' , t e - - . , t - ' . ' . . . a L l : .

| i g . 6 . 6 . 9

5a s ruc . . r ca lu p1- t -L a - a . l - - cono:d d ep ' ' "

p an d i rec to r care are drePt cu .ba a l rec toare lnc ' rc . ca d-ea ; r i q ecTod 'e o d i :a - 'a o ' "de 'A - -p lanu i cercu lu i ia r ca p lan d i recTor un P lan per -peund icu la r pe dreaPta d l rec toare ( i g . 6 .7 '2 ) . ) t( i s u r " 6 . 7 . 3 e s t e r e p ' e r e n l a t d d u b l - p ' o i c c t e o ' : - .g o r a i a u - - c o r l . c d r e P t . C e e d o ) p ' : z e . '

co o .du . r i s? - . - : ec l 'a7 ; dLDi d r .L 'oa f (a C ' .aP-te caTe se nume; te l in ie de s t r i c l iu re a s r Pra fe{e i .

(A

t ig . 6 .7 ,1

5!rprofele r iglote 1 7 5

t i ,6,7.2

Aceas: ; d eap:E c ; cea mai scJ ' ta d i5 lan t i d i i ' t ' edoud generatoare ale suprafelei.S e c l i u n i p l a n e i n c o n o i z i . l v l a j o r i t a t e asec l iun i io I p lane f :cu te in t r -un cono id s in t curbede gradul 4, aceasta suprafali f i ind ea insiSi de gra-du l 4 , dar o r ice p lan para le l cu cercu l d i rec to r sec-

! ioneaz ; cono idu l dupd o e l ipsS, ia r o r ice p lan para-

le l cu p lanu l d i rec to r sec l ioneazd cono jdu l duP:dou i d rep te (genera toare le cono idu lu i )Conoidul lui P/i icker este un conoid drePt generatas t fe l ( f ig . 6 .7 .4 s i 67 .5) :- p lanu l d i rec to r es te P lanL l o r izon ta l de p 'c iec-

l i e ;- d . rec toarea dreaPt ; es te verL ica l ;9 i es le una

d n genera loare le unu i c i l indru c i rcu ia r ver t l ca l ;'- directoarea curba este clipsa sa de secliune,facu ta in aces t c i l i t td ru cu un P lan de caPat dus Pr inp lc io ru l d rep te i d i rec toare .Conoidul lui kuper este conoidul oblic care Poate figenerat astfel (f ig. 6,7.6):- d l rec toarea curb ; es te un cerc in p lanu l o r jzon-Tr l , tanger r la p lanu l ve ' t i :a de Pro ;ec l ie fn h ;- d 'eiLoa"ea dreapu esre ve'ricala 1D) aflard in

p lanu l ver t l ca l de Pro iec l le , r id ica td in Punctu l de

tanpen!a h i-

-olanul director este un plan care face acelagi

L 1 e : r i i i c u F , a - a ' r c ' t r i 5 c u p l a ' u l v e ' t i c a l d epro- ie4 ie (ungh i de 45" ) .

f i 9 . 6 " 7 . 3 lig. 6.7.4 liE, 6,7,5

Reprezentdri de orhi leclurd in geometrio descriPtivd t i qronomelr ie176

l ig. 6.7.6

lig. 6.7.7

l ig. 6.7.9

t ig. 6.7.8

- Apl ica l i i le ?n construc l i iidu lu i s?nt : bo l ta conodai ;p e r i r e g i l e d u r i l e .1) Bolta conoidald intr-uq zid drcpt a:e directoareal r . . n - i v ^ r t i . , l t p . t - 1 te : j r . , r bd i r f o rmd de

semice rc f r on t L ' . r a ' p JnL d i r qq lg r 6q1 -a p13nJ '

o r i zon ta l de p ro iec l i e ; as i ze le cd rAm z i l o r s l n t

or izon ta le $ i u rm: resc d i rec l ia genera toare lo r co-noidului (f ig. 6.7,7). ln cazul ball i i conaidole'intr-urzid curb, generatoarele orizontale se sPrii ini pedou; curbe de sec f iune cu dub ld curburS, rezu l ta ted in in te rsec l ia cono idu l ! i d rePt cu ce i do i c l indr iver t i ca l i da l i de fe le le z id i r ie i ( f ig . 6 .7 .8 ) .2) Pinza subr,ire de ocoPerire este un conold cu os i ' r u s o i d i c i r e . - o . . - t . g . 6 , 7 . 9 ) . l n p r o i e c l i e \ e r t ica ld , punc tu l de mrn im a l une i s inuso ide cores-punde cu punc tu l de nTax im a l ce le i la l te s inuso ide3) $edurlle. La construclia gedurilor se folosesccono iz i d ispu5 i in succes iune care permi t i lumi -narea pr in p la fon (de exemplu a ha le lo r indus t r i -a le - f ig . 6 ,7 .10 , 6 .7 .11) .

CIL INDROIDUL

Ci l indro idu l es te supra fa la r ig la td de Sradu l 4 cudou i curbe d i rec toare 5 i o d reaptd d i rec toareDreapta d i rec toare poate f i \ f ig . 6 .7 .12 5 i 6713) :- la d ls tan ld fLn t i - c i l i ndro du l cu ax i ;- la d ls tan ia in f in i t i - c i indro idu l cu P lan d j -TecloT.

t i arh i tectura a le cono-^ ? ^ 7 r ( h r r e A e z r a -

Suprolele riglole 177

' \ , i It

,t,a ,./4( . , ' t

t i 9 . 6 . 7 , 1 0 | i 9 .6 .7 .1 , |

f ig. 6.7.12

\ :

:d<d ' i

III

l i9. 6.7.t 3 f i g . 6 . 7 . l {

Reprezentdri de orhitecturd in geometrio deicript ivd si oronohetr ie178

l i g . 6 .7 .15

l i g ,6 ,7 .16

l iE, 6,7,19

Ci l indro iz i i s in t cunoscul j incd de la , ,s tereotomiapietrei", reaperind li astezi ca suprafele sub!irisau bol l i suspendate pe cablur i .Bolto ,,orribre-voussure" este un cillndroid cu axi,avind curbele directoare plane ti simetrice faldd . r r r n l , ' n . 2 - o / ^ - . r n 6 < i r l r o , f t a d . r e c t o a , e n u .mitA oxa ball i i (f ig, 6.7.14), Se observi ci acest t ipde boltd face trecerea de la o deschidere mare launa mai miiS in aceeas j grosime de zid (fig. 6.7.15).

i ig, 6,7,17

l ig, 6.7.18

Un c i l indro id cu axd se poate cons t ru i f i Iu ind drep tcurbe d i rec toare o e l lps i g i un arc de s inuso idd inp lane perpend icu la re , ia r ca ax ; o d reaPte perPen-d icu la r i pe p lanu l s inuso ide i $ i s i tua te sub n ive l l - re l ipse i ( f ig , 6 .7 .16) . Dacd axa c i l indro idu lu i (cadreaptd directoafe) este aruncati la infinit, rezultaun c i l indro id cu p lan d i rec to r ( f ig . 6 ,7 .17) .

Suprofola ,,biois pdss6" (pcsoju/ stfimb) este suPra-

fa la s r r inb i SeneraG de dreapta care se sPr i j ,n ;n o r l n r r i c c m r a r r t t r i A . F . t ^ a r F c o ) l c < i r r r t F i n

p,d ' .e pa .a le 'p (ca"e n- a - ace lds i ce ' f .u in Pro iec-'! ie verticale), l i pe o dreapt5 djrectoare PerPen-c :cu la rA pe p lane le ce lo r douS sen ' i cercur i

( f ig .6 .1 .18) . Dreapta d i rec toare es te denumi td axa

s! prafelei.

De-a lungu t lmpu lu i , in a rh i tec tu rd , supr4 fe le le

, ,a r r id re-voussure ' 5 l , ,b ia is pass6 ' i l -au SAs i t ap l i -

ca i l i la acoper i rea unor desch ider i $ i la cons t ru i rea

d i fe r i te lo r t ipur i de podur i ( f ig . 6 ,7 .19) .

Suprqlele riglote r79

7.REZOLVAREA PROBLET,lELORDF GEOMETRIE DESCRIPTIVA;r AXONOMETRTE

Prob lemele de compunere , sec j ionare $ i in te rsec l iede vo lumein spa l iu se po t in le lege uneor i ma i d i rec t5 i ma i repede pr in s tud iu l pe machete , ins i o rezo l -vare riguroasi necesiti reprezentarea lor in pro-iecli i ortogonale ti in axonometrie. Prin rezolvoreI tgJ roasd se i r te lege de ter r r rna-ea foar re p rec ts ;a punc te lo r de tangenTS, ungh iur i lo r , d rep te lo rsau curbe lo r de sec l iune e tc , Toate aces te e lementese obtin prin trecereo dotelor din spatiu in plon,respec t iv d in t r id imens iona l in b id imens iona l , Dee,emplu , p rob lemele de ta rgenTa d i r t .e s fe re s ip la ' re oa"eca"e se reduc la p roo lenc de tange. ) taintre cercuri gi drepte. in aceastd situalie, pible-mele se rezolv; prin metodele geometriei plane gip r in cons t ruc ! i i geomet r ice cu r ig la t i compasu l ,caracteristice geornetriei descriptive,

7 .1 , TRECEREA DATELOR DIN TRIDIMENSIONALiN BIDIMENSIoNAL

ina in te de a exp lo ra esenta cons t ruc t i i l o r geome-t r i ce , t rebu ie Frec za t c i t recerea da te lo r d in spa-1 iu ?n p lan repr 'ez i f tA o s imp l i f rcare subs tan l ia ld s i ,ln moc inev tab l l , imp l icd o p ie rdere de in fo rno l ieasupra ob iec tu lu i s tud a t . De a l t fe l , reprezentareavo lumelor d in spa l iu in t r -o : ing ! rd p ro iec l ie p lan6es te nedeterminatA s i s in t necesare ce l pu l in doudprOrec l r i , per t ru a de termi f ta r iguros vo lumele d insPa! ru .Din aceaste cauzd, reprezentdrile oxanometrice auun grad mai scdzut de de ternr ina .e . Pent ru de ter -n r^arer r . tu -oas ; a u ro . vorJ -^ -eprezentare inavorose l r e ( -e .pecr iv roa te re a : ; : le ae pozr ! 'e$ i metnce) , s in t necesare doue cond i t i i :- de f in i rba c la rda t ipu lu l de axonomet r ie u t i l i za t ;

- ex is tenta unei a doua Pro iec l i i (pe p lanul or i -zontal de proie4ie, pe Planul vertical de Proiecliesau pe orice alt plan) pentru fiecare element (punctsau dreaptd) al volumului reprezentat.Cea de a doua condilie este satisfacute nu prine\ ,s ter ta unei a doua pro iec l i i , c j pr in prec izar icare perrnit, daci se dovedeite necesare, construc-I ia un€i a doua pro ieqi i . Exemple de asemenea pTe-cizari sintr ,,baza piramidei se afla tntr-un plan denive l " sau , ,axele ce lor doud p i ramide coinc id" sauchiar lnd ica l i i metr ice, de exemplu: , ,d i ferenlade cot5 d int re bazele ce lor doua Pi ramide este de2 cm" ; .a .m.d. Volumele reprezentate axonome-tric in figura 7.1.1 potfi interpretate oricum dacdnu se precizeaz5 cd este vorba de o axonometrieizometricA. intr-adei'dr, intr-o axonometrie orto-gonal i oarecare, bazele p i ramideor pot f I para le-lograme de orice fel (singura condilie care se Pis-l reaz; esLe parael 'sru l la tur i lor ) . ia- dacl se accepte li posibjlitatea unei axonometrii oblice, gra-dul de nedetermrnare es le r ru l t mai mare.Pract ic , p i ramidele pot avea or ice formi 9 i inc l i -nare, cu s ingura condi l ie ca la tur i le bazelor sd f ieDaralele. DacA se Drecizeazd cA este o axonometrieizometr icd g i c i bazele ce lor doua Pj ramide se af l isituate in plane de nivel, se poate verifica faPtul cabazele s?nt patrate ti orientate la 45' una fa15 deceala l te . Pozi t i i le v i r fur i lor ce lor doui p i ramidesint insa in continuare nedetermlnate. Dacd seaf i rmE cI p i ramidele s int drePte. e le s in t Per fectdeterminate ca volume indiv iduale, dar nu 5 j inrear a d i r i ro e le. i - t r -ader i r , e le pot f t completdespr inse una de ceala l t ; , ca in f igur i le 7.1.2; i/ .1 . .1 , sa- pot s i a iod o in f r r i ta te de pozi t , i de in-tefsec l ie , exempl i f icate Pr in ce le t re i s i tua l i i d inf igur i le 7,1.4. , ,7 .1.6. Pozi l ia d in f igura 7.1.5 poate

de orhitecturd in geomet.iq descriptiYi ti otonometrie180 Reprezentdri

l iE, 7.1.1 f ig.

t i . - a . 1 e . i n - i . - . - ^ i . l l r : r c < r p i n e n t a . ; , a c t - aT ' , ' "cd axe le ce lo r dou i p i ramide drep te co inc id .Dupi cr,- se vede, p e'dereo de ,rfolardf;e conD ic;mu l t p rob lemele de axonomet r ie g i de termlnarear iguroasd a vo lumelor reprezenta te nu se poate'a te '3 ' i n to n t l ie sup l n : t J 'd , l ' r ' o rmat 'a sup i -T t : . r ra .a s : .eFr r ; i ' i : Ia re lo t de paz ' \ 'e . f e la 'e o -

l i i met i i ce , f ie la ambe le . in exemple le descr ises-au da t p rec izer i suP l lmentare de na turA Poz i l io -na ld . 1n mod asem;n i to r se de termind r iSurospoz i l ia p i ramide lo r d in f igura 71 7 p r in ind icareapun i tu lu i in care axa une ia d jn ce le doud P i ramidedrepte pe t ra te in leap i baza ce le i la l te p i ramide.F iecare d in ce le t re var ia r te (punc te le A B ; i C)

va avea o a l i ; so lu i ie ,

1 i 9 . 7 . 1 , 3

f ig. 7.1.6

Rerolvoreq problemelor de gegmekie desctiPtivd l i oxonomelr ie 181

i i 9 . 7 . 1 . 1 1 i 9 . 7 . 1 . 5

1 i9 ,7 ,1 .7

ln f igura 7.1.8, ln schimb, in forma! ia supl imentar iconline f rclolii meu;ce. Astfel, se PrecizeaTi drfe-renla de co$ d i r t re baza p i ram der ; i ia la rnfer i -oara a pr ismei (ambele s i t la te in p lane de n ive l ) ,ln funciie de viloarea diferenlei de coti se oblind iverse pozi l i i a le ce lor doutr vo lun 'e 9 i d ive 'se< a l , r + i i : l o ; h r a F . a . + i A i l ^ .i " - ' _ _

ln geametrio descriptivd ,Monge, prin prezenla adoui proieclli ortogonale, volumele sint rigurosdeterminate, dar existe incd pierdere de informa-! ie , in par t icu lar in p lanele de prof i l . ln capi to lu l 1 ,s-a ar i tar c5, pentru rezolvarea Lnor i r tersecl i iin p lanele de prof i l , se face apel la consl ruc l i i supl i -mentare sau, pur g i s implu, la un nou p/an de pro-ieclie, planul lateral [W], De altfel, volumele arhi-tectura le complexe s i r t reprczentate pr in t r -omul t i tud ine de pro 'ecTi i : p lacu" i . fa lade, secf iun i ,detalii etc.

f i 9 . 7 . 1 . 8

Apl ica l ie , Pent ru a i lus t ra P ie rderea de in fo rmal ieln dub lu o r togona l , se cons iderd un caz ex t rem des rp lJ F i c i rec t : s ; PresuPunem c ; se ce .e sd :e

E7seascd proiec|a o'izontold o celcr doud slere re-

Drezentote :n proieclie ve(ttcald in figura71 9, desprecaTe se lt ie cd sint tangente. 5e Pot determinaimedat p ro iec t i i l e ver t i ca le a le cent re lo r ce lo rdoui sfere, Se cunosc, de asemenea, valori le celordou i raze , Pro iec l i i l e o r izon ta le a le cent re lo r sea f l i oe l in i l le de ord ine respec t ive , Dar unde? Seobseivd sdricia de informalie Pe care o oferl doudpro iec l i i p lane a le vo lumelor t r id imens iona le . Osferd apare pur 5i simplu ca doud cercuri care nusint altceva decit contururlle opdrente ale sferei incele doue proiecli i . Oricare alt PUnct al sferei trebu le de terminat (cu mai mu l td sau mai PUl int rud : ) . 5e observe ce in f tg t ra 7 ' 9 ru se Poatde termina imed ia t n ic i p ro iec l ia PUnctu lu i de tan-

t ig ,7 .1 ,9 l i 9 . 7 .1 ,10 f i 9 . 7 , 1 . 1 1

Roprerentdd de orhitecturd in geometriq delc. ipt iYd t i oxonometrie

8en1d a celor doui sfere. Daci cele doui sfere sinttangente, punctuJ lor de tangen!5 se va af la pe seg-r r .n - , .1 do d .a1- : l+ ; (A .^ r r r - . tF ce le doUi cent re(fig. 7.1,10). Segmentul qO? fi ind ?nclinat fali den l : r " l ' c - r . , 1 . l - ^ - ^ i - - - i F . . ' r e m a i m i c d e c i t:n rea l i ta re . Purc rur ce tangen ld T se poate de ter -

m ra " ' r r ruc" t i -par fe segrentu l Op. i - -aoor r - lQ . D t A - ^ ' " ^ . b - ^ . 1 6 n " ^ ; a . 1 ; c n ' r , l a l i < F ^ i ( .

t reaze rapor tu l s implu) , Construc! ia d in f igura7 . ' . ' 1 0 e s t e n r m a . u r a d i c c o T t u c r i i l e p o s b l e .UrmEr ind var ia l ia pozi l ie i punctu lu i de tangenl6intr-o unicd proieclie, sc observi ci el se afla intot-deouno in t re O, q Or, cazur i le l imi t i f i i rd ce le d inf igur i le 7.1. '1 '1 1 i 7 .1.12. Cazur i le l iml iE reprez int ipoz i l i i le I imi td a le segmentu lu i OrO2, resPect iv- - - i r i - . - ^ - + 1 r i ' . r ' ^ ' , r \ 7 6 . r i - ) l ; a n . ^ -P U Z ' { d L ' u L i ' d d \ P 4 ' d E ' ! u P a " u L

iec l ie) 5 i poz i i ia de cap; t (perper 'd icr 'ar re praru l, , - * i r ' l A e n r n i a r t i o \ h n ^ / i ) r ' - - '

F ' w \ L t - / r J u i r d i ) c 6 c r r -

[ i g . 7 .1 .12

f i 9 . 7 . 1 . 1 3

Rezolvqreo problemelor de geometrie descriptivd ti

tul Op, se vede ln odevdratd mdrlme, resPectiv

oF, : Rr + R2. Este o Pozilie ParticularS foarteimportant5, care permiie rezolvorea in plan o pra-blemelar spoliale de tangenld de sfere 5i se Poategeneraliza astfel: doud sfere tangente apor litr-o-proieclie

paroleld co daud cercuri tongente, do'dsegmentu/ de dreoptd ce une;te certre/e sfere/or este

Porolel cu Plonul de Proieclie.Aceastd proPrietate Permite sE se rezolve tl Pro-b lemadinf igura 7. '1 .9. Se efectueazd o schimbared"plan orizon"tal de proieclie, astfel incit seSmentul

O'o, s i aoa ' i i or iz , - r " l ( f 8 71 131 c noua P'o-iec l ie or izonta l i . ce e doJa sfere apar cd doJe ce ' -cur i tanqente, Construc l ia Permi te se se deter-mine d i fJrenta depdr t i r i lor ce lor doud centre (A)

l i se se obf l . ra so lu l ia Problemei in p lanul or izon-ta l in i l ia l ,

7,2, REZOLVAREA PROBLEMELORiN nxoNotqrtnte

in axorometr ia izometr icd d in f igura 7 21 ' se ceresr: se irtersecteze pircmido dreoptd pdtrotd cu dreaPtoco e-o 'e 3) . Rezolvarea problemei se Poate t rars-fera d in t r id imensional in b i r j lmensional pr in in t ro-ducerea unui p lan auxi l iar . Deoarece dreapta (A)

l ig. 7 .2.1

oxonomehie 183

o :

al.;g,l ,,

( s t e r i s J r o s d e t e . r r ; r d U p " i n p . o ' . . , " e i o - i z o r -ta ld (8 ) , se va fo los i ca p lan aux i l ia r ch ia r p lanu lp ro iec tan t a l d rep te i , respec tv p la |u l [V ] . 5ec1 i -unea pr in p i ramid i dupd p lanu l [V ] va f i un po l goncare , ln te rsec ta t cu dreapta (A) , va de termina punc-te le de in te rsec t ie c ;u1are (d i l t re c reapt i s i p i ra -m dA) . Per t ru a g is i po l 'go 'u l de sec t i - re a p i ra -n de droa p lanu ' [V ] , se co ls t ru :e$re sec ] iu reaver t ca l i p r in p i ramid i para le l ; cu p lanu l [V ] 9 icare con l rne in ; l t imea p i ramide i . Aceas td sec l iuneesre u1 t . i -ngh i ,sosce l a le cA.J i la tL r i s i r t pa .a-le le cu la tu r i le po l igo fu lu i de sec l iune pr in p lanu l[V ] . La in te rsec ] ia d rep te i (A) cu po l igonu l de sec-l iune se ob l in punc te le I t i 2 c iu ta te ( f ig . 7 ,2 .2 ) .De5 i in t roducerea unu i p lan aux i l ia r compl icd apa-"er t re lo va-ea prob e-e i , se observ i ( i ea permi tereducerea prob lemei spat ia le la o p rob lemd p lan ; .l - r o d s ' m : l a - , i r t e - ) - ! , , d J r c d " e p t e c u o s f e r d< p r e d . F l > , n r p r < c r r i r r n c . d ' e r r e . t t r ^ . a . . A . . i

s : d "ce pr in d reapt , u r p lan aux i l ia r (a -e ta iesfera dup; un cerc. f letoda rimine valabil i pentrui r t e ' \ e ! r i a u r e i d . e p t e . r o . i c e c o r p s a u s J p r a r a l i(s rp ra 'e te c i l .ndr ice i i co r ;ce , supra fe te - 'g la :e

e tc ) . Aces ta es te no t vL l pent ru care in geo 'ne t . iadescr ip t i ve se s tud iazd mai in t i i sec j iun i le p lane; iapo i in te rsec l i i l e cu drep te (v , anexa 4) .l r te r se( ! . e de po l ,edre , la r indu l lo r , se t "a rs -fo rme in in te rsec j i i de f igur i in p lan , De exemplu ,

l ig,7,2,2

184 Reprerenldri

in tersecl ia d int re pr isma 9 i p i ramida d in f igura72.3 sc poate ob1 ̂e sec l ior ind amb" 'e corpur idupd p lanele de n ive l [H. ] s i [HJ. La n ive lu l [Hr ]< F . t i r n e : h r ' n ^ i E m , . l r p . r a r n ^ : r r , t i r . < p . t i -

unea pr in p r lsmd se confundd cu fa la e i super ioarS.PAtratul t i dreptunghiul se intersecteazS in punc-te le 1 t i 2 , La n ive lu l [Hr ] , p i t ra tu l ; i d rep tungh iu lse i r te rsec teazd in punc tere 3 ,4 , 5 ; i 6 . Toateaces te punc te s i r l p r rc te con.Lne p , "amdei 5 in r icn-p i dpc nr r " r ' c : lp in t . r .eCt ie ; . PL tCte le 7s i 8 a le i l re rsec l ,e i se po t oL : r ine . f ie duc :nd pa .a 'le le d in 5 la 31 9 i d in 6 la 42 , f ie sec l ion ind ansam-

" " care conr ine fa tau ( d r L Y r l ,

Cazu aJes.eprez ' r td u- ca, , pa. t ,cu la. , in t ruc: tfe le le or isr re s i - l a5e?aTe i poz i t i i par t icu ldre,Dace in tersecl i i le de pol iedre s int rnai compl icate,se poate recurge la p lane auxi l iare duse pr in unelemuchj i a le pol iedre lor sau, in cazul ce l mai genera l ,toate puncrere inre 'sec l ie i se obl in cu a jutoru 'unor plane auxiliare conform metodei prezentatei . c ' h . r h i i ^ l ' l q I A . + { o l h - ^ -r_ , tTJ In te rsec t a adoud p i ramide se duc p lane aux i i ia re car€ con l inpe r ind much i i le po l iedre lo r $ i d reapta care unet tev i r fu r i le p i ramide lo r . Un as t fe l de p lan con l ine ornuch ie a unu ia d in po l iedre t i i i sec t ioneaz ; pe ce ide-a l do i lea dup i doud genera toare . In te rsec l iad in t re much ie i i genera toare de termin i punc te lede in t ra re s i i . s i re a muc\ je i p ' i lu 'u i po i iedr . - r ince l de-a l do i lea po .ed . r (v . f rg . 5 .1 .10) S i i r ace :L caz .prob lema d in spa l iu se reCuce la o p rob lemd p lan i

lig' 7 2.3

de orhitecturd in geometriq descriptivd ti otonometrie

de i1 ' - "c . - . : i . l ^ 1 -^nr^ ( - nodte Ver . [ t ca aCeS._p r i n c r D i J s , : a ( d / u l i ' r t . r s e c l c C r n L r e o p ' r - n as i o p - d n . d ; ( r , f , g . 5 . 1 . ' 3 ) : , a l i n L c - : e c l i ed in t re douA pr isme (v . f ig , 5 ,1 ,15) .

7 ,3 , REZOLVAREA PROBLEME LOR

lN GEOMETR|A DEscRtPTtvA

In rezo / i ' , ' e de geore ' .e d :sc r ip t i v i i , red . l .o rcad lmens iona l i td l i i p rob lemelor apare mai c la r dec i ti ^ axono-net r ie , ln t r l c i r se r j s f r?no- s i , , . r . r r . ,e 'emente lo r d in spa l iu fa r "p , " . p " - " , f :g t ' ;1 ,DrePte/e sr plor'elp pa'Liulare C,r g-o-ner.ia d-scr ;p r i , id nu fac a l tceva dec" t s i s r rp i f rce rezo l r r -rea problemelor, de;i pierd informalie referitoarela e lemente le d in spa l iu .D,ep te le Dor t ,c r t lo re lperpend icu la re pe J -u o i -p lane le de p .o ie ( t ie ) i s i p ie "d ' - p :o iecr id respec-t i . , i d imens iu ' rea , reduc indu-se la u ; r purc r : ceaceea, interseclia lor cu plane, suprafele curbe saucorpur i d in spa l iu se ob l ine lmed ia t , av?nd una d inp-orec t i u ' t i c derer r nar i , Ce le la l -e p ro iecr i .a le punc tu lu i de in te rsec l ie se ob l in p r in p ropr i -e ta tea purc ru lu i oe ;n te rsecr ie de a se a f 'a oe s - -Dra la ta corpL lu i resp-c t i r (o rob e .nd , ic i asa r u -nT i te , ,purc t pe supra fa !d" ) . Ca exemplu , in f igura4 ,2 .2 , d in cap i to lu l 4 , s in t de termina te o ser ie deDUncLe a 'e>ate pe suprara ld s 'e re . fo lo : . d t ,se | - icarac ter is t i ce a le aces tera , Asr 'e l se po : ob l ine i " -

l ig. 7.2,4

Rerolvdreo problemelor de geometrie descript ivd gi

r e r s e c t i i J e c . l o s ' e r i a l ? u ' o - d ' e p l c v e r t ( d l a s d rde cap; t .

in mod s imi la r , p lone le por t : .u la rc (perpend icu la repe !nu l d in p lane le de pro iec l ie ) ig i p ie rd o d lmen-s iune, p ro iec t indu se pe p lanu l resPect iv duD; oCr^apr " . Aces ta es te rno t i , /u l per t r ' t ca 'e secr un i ledupd plcne praiectonte in plane, suprafele curbe saucorpur i d n spa l iu se so lu l ioneaz i imed ia t . Un

< a . r ; , , n F , h r ; n i . - ' n h l : n . J e . - n : iJ - - . ' - " _ - r . , , , , r _

i n s fe rd (v . f ig .4 .2 .9 ) . Pro iec l ia o r izon ta lS a cercu lu ia - scc l ,L " esre o e l psd . r r f igura 5 .1 .3 , d ' - cap 'o' - '

5 , e c T e : i u s l r d l ; c o - s t r J c l ; a s e c l i u ' i i i - l ' - o p ; - 6mid i dup i un p lan de caPat . in mod asemin ; to rse ob t i ' r sec lu - i le , cu p lane ve ' l i ca ie saL de caP: tin suora fe le c i l inCr ice g i con ice , in suPra fe le r i 'glate etc.

Canstructia unor onsombluri Prin JiPirca unor vo-lume pe fe le le a l to r vo lume se rezo lv : , de aseme-nea, f ; c ind ! -se ape l la P lane Par t i cu la re . De exem-p lu , pent ru a a5eza Pe o la la a une i p l ramlde o P i -ranc i iden t ic i . e5 te -ecesar sa se adJc ; P ld ' lu lfetei respective in pozilte porticulard (de exemplu,p lan de capdt ) , Odatd redus p lanu l la o d reapt i ,c J r ) t u c l : a s . - e t c L L P ' d r a e i f a l a d e - n p a rse .edr . ' ' a p :ob l " . .a P l r ra de cons l - , . i c t ie a s i -e -t r i cu lu i unu i t r " iungh i fa ie de o d reapt i Un a l texemplu i cons t i tu ie ce l d in f igura 2 .1 .27 d in sub-cap i to lu l 2 .1 . in aces t caz apare c la r avanta ju l u t i l i -z i r r l i ma i mu l to r p ro ec j i i e lemente le ob l inu te innoua pro iec ! ie ver t l ca la se t .ans fera in Pro lec l ieor izon ta l i , permi i ind as t fe l cons t ruc ! ia ansamblu-lu i r p ro iecr te o - . lo , r td l i . To l p " in corespo 'der t "p ro iec l i i l o r se t rans fer ; e lemente le ob l inu te t i invechea pro lec l ie ver t i ca ld , ob l in indu-se as t fe l ima-g inea f ina ld a ansamb u lu i .

De fapt, insi; i catlstrttctttc uriar volume tt .carpurtgeometrice face apel la plane pa-ticulare ln sub-cap ro ' - 5 : re 'e - lo r la po l iedre le regJ ld te : tb ios i te p 'a -e ce caD' i1 i i coresPonden la Pro ec t ilor, pentru a se construi tetrdedrul regulot (v. f i8 5 Z 6si 5.2,7), dodecae-drul regulet (v. f ig 5 2.20. 5 2 22)

5i lcosoedru/ regulot (v. f|g. 57.25.. 5777)

Problemele de tangenli se Pot rezolva, de asemenea,in mare par te p r in reducerea Prob lemei in sPa l iula o p rob leml p lan i t de exemplu , tangen la d in t reun p lan ; i o s fe rd se reduce la tangen la d in t re oCreapta 5 i un ccrc . De asemenea, tangen la d n t reo s fe rd 5 i ma l mu l te conur i ega le se poate rezo lvapr in t r -c poz i l ionare care s I reduc i p roo lema atangenta d in t re un cerc 5 i o d reaPt ; , in anumi te.on? i1 i i i .pus" cent ru u i cercu lu i (v f tg 47 .11) .

orgnometrie 185

}ir ' ' l

-.L- . l

Metcdel e geometriei descriptive (metoda schimbiri ip lanulu i de pro iec l ie , metoda rota i ie i $ i nretodarabaterii) nu fac altceva decit se aduci unele drepte

i i p ane oarecare in Pozi l i i Par t icu lare, in scopulrezolvdrii problemelor propuse. lYetoda rabateriipermi te, ,desfEsurarea" unoT p lane, , in teresante" ,adicd plane care conljn elemente li figuri necesarerezolvdrii problemei resPective Prin rabaterea pla-n- l - i se past 'eaza toate e leme' le le l ; re la t i ie me-t r iqe d in e, iar f igur i le conl inute apar nedefor-mate. Oper ind cu aceste f iSur i se obl in Puncte deinterseclie, de tangenl5 etc , care se readuc inpro iec l i l ie in i l ia le pr in r id icarea rabater i i . Un ast -fel de exemplu il constituie interseclia unei sferecu o dreapta oarecare, efectuatd prin metoda djnfigura 4.7.5.

7.4, CONSTRUCTII GEOMETRICE

$I LOCURI GEOMETRICE PLANE

lr r " lo re r rmp:7; !a face aoel la ure le e lementede geomet. ie anar i t ic l p lan i i i in sPat iu , De1t"u aint roduce mai mulu r igoare ln g indi rea log ic i inspal iu , Para le la cu geometr ia anal i t icd permi te odef in i re mai prec is i a problemelor g i condi l i i lorimpuse in probleme, precum 5i o genera l izare maiu ioar i a rezul ta te lor g i concluz i i lor la care s-aaju ns,Aia cr r r s-a constatat i - sFCt:J- i lF o 'ecedente a leacestL i capro, log 'ca tczo v i

" oroblenelor de

georetr e descr ip t ive 5 i axonomerr ie o const i tL iei i -p r ; .ur"u p 'oblemei . S impl i f icarea se ob! i rcpr in reducerea d imensional i t ; l i i , dar ev ident p ier-zind o cantltate de informalie lnformalia pierdutdnu este insi esenliald in momentul rezolvirii pro-blemei qi se poate oricind reveni la ea, daci estenecesar, Reducerea problemelor din spaliu la pro-b leme in p lan presupune o rezolvare a lor pr incanstruclii geometrice in plan. Practic, toate con-struclii le geometrice sint i/lterseclii de locuri geame-trice plone. Un loc geometric este totalitatea Punc-telor care se bucurl dq o aceeaSi ProprietatelYodul de rezolvare a locur i lor Seometr ice $ ipro-b leme cu locur j g€ornetr ice s int conl inute in anexa2in ceie ce !rm"eazi se va discuta numai interPre-tarea lor: analitici ti util itatea locurjlor Seometricein gisirea soluliei pe calea construclii lor grafice.

Apl ica l ie , Penl lu o Cemorst"a c i , de fapt , co ls t ruc-l i i le geometr ice s int locur i Seometr ice p lane, secere sd se construiascd un cerc de razd R? tangentla o dreaptd (A) 9i la un cerc de raze R. Cerculcdutat trebuie sd indeplineascd doud condtlii:

D_

|.

t ig, 7.4.1

, ' - - - - - l t r - - - - - - - t ' -

II

I

186 Reprerentdride orhitecturi

1i9,7,4,2

lig. 7't'4

in geometrio deicriptivd ti oxonomeirie

1) tangenla la o dreapti;2) tangenla la un cerc.Sd examin im ce je doud cond i l i i pe r ind ,'1) Dacii ur cerc de razi Rz este tangent la o dreapte(A) , a tunc i cer r ru l s iu sc va g i ; , i r to rdeat ra pe od 'eapr5 (D) par r le rE cu dreapra (A) s s ;TJar i ladistanla R, de aceasta (fig.7'a1). Dreapta (D) esteun loc geomet r ic F i es t? a lcd tu i te d in t r -o in f in i -td le de DUnc- . ceea ce l t s?am-5 c ; p -ob lena e<1enedetermine. t i dacd ne l im i ta r r la aceas t i cond i t ie .2 ) Da-b r r ce c d . r "z i R2 es le td^gcnt la u - cercdc raz i Rr , a tu r .c i cen t ru l sdu se va ges i in to tdea i lnape un cerc de raz i Rr t R2, co t ice l t t . c cu cerc l ide raza Rr $ig.7.1.2). Cercu de razd Rr+ R2 este unloc geometric ; i este alcituit dintr-o infinirate depuncte , ceea ce inseamnd cd prob lema es te nedeter -mina t i , daca ne l im i tdm la aceas td cond i t ie .De fapt, in problenra enunlati, cercul cdutat tre-buie sd satisfaci slmu/ton cele douA conditi i , Centruls;u va trebui deci sd aparlini ambelor I 'ocuri geo-rnetrice; centrul se va a{la, prin Urmare, la inter-sec l io ce lo r dou i 'occr i georn . r r i ce . .espec t iv lainterseclia dreptei (D) cu cercul de razi R1 * fu( f ig . 7 .a . \ . Ce 'e doua so ur i a e p"ob lemJ i s : r icercur i le cu cer t re le in punc :ere 1 s i , respec t iv , 2 .In t ranscr ie re ana l i t i c i , ce le doue cond i l i i pen t rucent ru l cercu lu i c iu ta t s in t u rm; toare le t

1) Ax { By + c :0 i2) (x - a): + (y - b), : (R1 + Rrr.Aleg ind cazu l ce l ma i genera l (s is temul de coor -do-nate este in afara dreftei (A);i a cercului de razdRt - l Rr \ , se obse 'v ; c ; p . i -a ec :aT e rep-eznT ie c u a ' a 8 e n e . a 5 a u r e d r e p t : o a . e . a - e d r p a - ,ja r cea de-a doua ecua l ie reprez in ia ecua l ia cerc ! -lu i de razd R, = R, i r ce- r r l l de coorconare (a b ; .

Sat is facerea s imul tan5 a ce lor do, . r i conCi ! i i presu-oune rez: lva 'ea s. ' :e*- rL ' dc rcr -c t j . , So ur i 'e rearepot f r in numdr de zero, una sau doui , in funct iede valo ' i le pe care le 'a

" cons13n1q' . . Se poare ve- i -fica ;i grafic cd exist; o singuri solulie, atunci c?ndcercul de raz5 Rl se afle situat la diitanla zRz dedreapta (A), conform figurii 7.4,4, sau zero soluliiatunci cind distanla este mai rnare decit 2R, (fig.7.4.s).Aplicalle. Sd presupunem ci avem in plan douAdrepte perpend icu la re concurente in Ip i se cerese glsim iocul geometric al punctelor pentru caresu i ra d rs ian te lo r la ce le co- i d -eore es te egard cuo cons tan td K. , ia r suma pet ra te lo r d is tan le lo r laceie dou; drepte este egald cu o alt i constant; Ke.Ce le dou i locur i geomei r i ce care sa t is fac ce le doudcond i l i i impuse in p rob lemi s in t d in nou o dreaptdt i un cerc . Cond i l i i l e s in t :

1 ) d 1 ] d r - K " ;

2 ) d i+d ; :Ke ,

P r j m a e c r a t i e d . ' i r e s t e o r l - e : n t 5 6 a p s 1 6 i € , q s l q

d o , r r ' d r e n r e o e r n e n d r r l : r n l : / , < r : n t ; L / p ^ ' , ^ . -r " , T - ' , - " "t J f o i - + A ' q a . , : 6 i ' r e , r ' ^ a r l a o c e , > : i c A p ( i .

d c f i a ) I K . i . F h + r , , l i " ^ , " / r ' , 1

|" ' " _ _ I ' ' P

SoJur . le po t f i 5 . de Cata aceas ta , i . run i r d= zero ,, ' a s a , d o u a . V a r ' a : t a c u d o " a s o ' L t i e s t e i l l s -Lrate - ltgLra 7.4 6.

Ap l ica t ie . S : se g ;seascd pun: t - e ta , dep5- ta t der ' a i / . a ^ + a n e n ; r : o p I n n l ' "

Se noreaz i ce le 1 -e i d - :J te (Dr ) . (D , : (DJ . Con.d ' T ; a p - o b ' e n e e s l e d e c i ; d r - d ! - d lS e p o a t e o b s e r , a c a s - I d - i p r t r e i r o - d i r ' d r n. A . F 1 , . t ) ( i c , a r c e c o m h n : ; i c l < n r < : { i r ' ^ n t a

1 i9 .7 ,4 , tf ig, 7.4,5 . tig. 't,4.6

Rezolvoreo problemelor de geometrie dcscriptivi t i oronometrie 187

IIL

1 ) d r : d r ;

2) d, : d"1

3) dl : d3.

Dacd se expr imi in ecual i i pr imele doud condi l i i ,ele vor defini bisectoarele unghiurilor formate dedreptele (Dr) ;i (Dr), respectiv (Dr) 9i (Dr).Rezolvarea s is temulu i de ecual i i determinA coor-do-are le x s i y a le pJ-cru 'u i M de in te lsec l ie acelor doui bisectoare (fig. 7.4.7). Dupi cum re-zul ta g l d ln scr ierea condi l i i lor problemei , cea dea t re ia ec"a l ie sat is face i ed s 's lemul de ecual i i ,f i ind ver i f jcata de valor i le coordonate lor punctu lu iM; deci , cea de-a t re ia b isectoare a t r iunghiu lu iformat de dreptele (DJ, (OJ 9i (OJ trece 9i ea prinpunctu l M,

Aplicaiie, Asezati pe planul orizontal de proieclietrei sfere de raze Rr, R" 9i R3 respectiv, tangentedole cite dou; intre ele.Dace se agaza sferele de raze Rtgi Rr, astfel incitcenrre le lor sa se a ' le : r t ' -un p la l f ror ta l , a tuncicontururile aparente in proieclie verticalS sintdoui cercuri tangente (fig. 7,4.8), Proieclia orizon-ta lS a ce lor douE sfere se obl ine imediat . O a l tasolulie (sfera de razd R, desenatd cu llnie intre-ruptd) se poate obline luind sfera R, in stingasferei Rr. Atunci cind sfera & circula in jurul sfereiR, centrul ei O, descrie ca loc Seometric cercul11 situat in planul de nivel [H1]. Cunoscird loculgeometr ic , se poate determina or ic ind c- prec izeorice pozilie intermediara a sferei tangente.

Reprezentiri de

Folosind acela5i procedeu, se a;azi sfera Rs tangentdla sfera R, (fig.7.a.9). Dacd se rotette sfera R, iniuru l s ferer R, p^^d c 'nd devine tangente la s ferai1, . , se obr ine io lu l ia problemei ' Centru l s fere i \se va af la pe cercul I r . Condi ; ia de tangenle a sa cusfera R" nr este ilsd exprimalS Precis. De aceea,se apazi sfera & tangent5 la sfera R. ;i se determinEcercul f . . care este locu ' geometr ic a l centru lu isferei R,-atunci cind acesta ,,circuli" in jJrul sfereiRs( f ig .7.4.10) . Cele doui cercur i l , 9 i f , se af l i

X

l ' !

. . t--r

iI

l ig. 7.1.10

qrhitectu16 in geometrio descript ivd l i qxonometrie

si tuate in p lanul de n ive l [Hr ] , Penvu ca sfera R2si f ie s imul tan tangent : s lere lor R, g l R. , centru lt rebuie sd se af le s imul tan pe cele doua cercur l , dec ila in terseqia lor . Problema are doua solu l i i : punc-te le I s i 2 .

7,5. LOCURI GEOT,IETRICE lN SPATIU

Aplicalie. Agezali peste cele trei sfere din problemap'eceder t i o a porrd s 'er l ce raz l R. , , ast fe l inc i t5 d , c L d , , 6 c

Penl ru a rezo lva aceas ta p 'ob lemE, t rebL ie s ; sere in te rpre teze prob lema precedenU pr in Pr ismalocur i lo r geomet r ice in spa l iu . Locu geomet r ic a lcentrului unel slere de rozd R tongente Io un plon

[P] i l cons t i tu ie doud p lane Para le le cu p lanu l [P ]F i s : tua te la o o is tanr i de aces ta e5a l ; c . raza R( f 'g .7 .5 .1 ) , Loc ' , geor ' : ' 6 o l cerL 'u l ' i " re i s fe rc derozd R, tc rgcr 'e l - o a l td s re 'd c : 'oz i Rr l / co ' t -

tLre o sfe'd de 'czd (Rr l- R.) concert'cd c,, sferode rozd F2 $ig.7.5.7).

Condi l i i le problemei precedente reformulates inturn'rAtoarele:

1) sfera Rr, tg. Ia [H];

2) sfera \, tg. la [H];

3) sfera Rr, tg. la [H];

4) sfera Rr, tg. Ia sfera Rr;

5) sfera Rr, tg. la sfera Rr;

6) sfera F", tg. la sfera Rr'

Din acest moment , problema permi te mai mul teaborddr i . Abordarea d in f igur i le 748. ' 7410 afost aceea a sat ,s face i i ma; ; ' t i i ^a condi l i i lo" deta lEer t6 a s 'e 'e o" la p lar . l l [H] ln t r o a l te reTol -var i , locul geometr ic a l centru lu is fere i Rz, tangentas imul tan ia s fere ie R, l i R3, este in tersecl ia a doudsfere cu razele (Rr * RJ ti resPectiv (& + R.)( f ig . 7 ,5.3) . In Ie 'secr a ce lor doui s fere es lei " - c" tc .ur" in -aoarerea d in dreapta f igur i ieste notat cu lo

| i 9 , 7 . 5 . 1

, i ^ r < ?

Rerolvoreq problernelor de geomelr ie der. r ipt iv6 l i otononl ! t f ie

I

\

189

P e n l r u a s a t i . f a c e c o - d i ! i l e a e t a - 8 e ' l d . d p r ' - ,fH l a ce lo r t -F i < / - -F c - n r . re l " tzd as t le l : se c l -ep la rL ' tdngent a s fe -e le R, s i Rr i i se no tear ; [H ] .So lu l ia p rob lemei se a f le la in te rsec l ia cercu lu i Icu planul [Hr], paralel cu lHl t i aflat la distanla R2de aces ta ( f ig . 7 ,5 ,4 ) . Pent ru aob l ine ce le doud so-lu t r i 1 s 2 a le ce- t .u lu i s fe 'e . Rz i r o ro iec l ie o ' i -zontalS, se uti l izeaz; rabaterea fo a locului geo-mer r ic a l cen t r r lu i . Se i r d is t , - ta C ( 'oar te p r t inmai mic ; dec l t d iamet ru l cercu . - ) c , r rabaterea\ . . < i ( . - r , r ( a r n ^ - . l o n t a l ; .

A c p z r . e : r , n e i r n a f r ) ( f a r F r l e r r : i R ^ p ( r a . F l F

. r e i . i - - o r : n o e n r - n I r 1 i r . - - ; l l d d . . c , l : a L d e

. r t n . c n t r F . i . r - - . l c d p < c n r r r p < c r n m n l i r .

ceva mai mu l t , Cond i l i i l e s in t :

1 \ < f F r r R + d l , . f . ' , R

2) sfera Rr, tg. la slera Rr;

? \ . f 6 ' . P + d l r . { 6 , . e

F c r > r c A n . ^ n . l ; r i i < a r r : l , r r c n r n r c q r r ' . t i l . ,

r e n + r | < f c r c i R < i < c r f / c < r , , 1 n c ^ < l c t > A c r a z ;

(Rt J- RJ, (R, + RJ si, respectiv (Rr * RJ. Ana-l i t ic , u t l i iz ind ecuat ia pr in coordonate a s fere i , seva rezolva s is temul de ecual i i :

190 --

1) (x - a) '+ (y - bJ'* (z - c ' )e : (Rl +R/2) (x - a")'* (y - bJ' + (r - cr)' : (Rr+RJ'

3) (x - ar)'+ (y - br)t + (z - ca)' : (R3+Rt'!

e F l e r r F < { c r e l o r r r i o e n m c r r i r c < F i n { e r q F - i e : i

in ze 'o, ur - sa- do" : PUrcte ca 'c rePreTi l ta so lu '

! ia problernei , Dace se in t roduc in exPresi i le_anal i -t lce i i condi l i i le de tangen1d rec iproca a s lere lorin i l ia le R1, Rr ; i Rr , se e l imind cazur i le cu zero sauo solulie Fi vor exista dou; solulii. Grafic, acestedoua solu l i i se obl in in f igur i le 7.5,4 9 i 7 .5.5. Sfe-rele locuri geometrice de raze (R1 + R) 9i (R, fRJse intersecteaza dupd un cerc situat intr-un Plande capet. Rabaterea acestui cerceste Io (fig 7.54)'Sfera de raz5 (R, * RJ se construiegte in Planul derabatere, util izind depdrtarea I luatd din proiecliaorizo.tal6 (fig. 7.5.5). Ea se intersecteaza cu fo

in doua puncte care reprez inte so lu l ia Problemei .Cele doud puncte se in torc d in rabatere in 1 9 i 2 ,

se utilizeazA doar punctul 1, intrucit Punctul 2 se

af l i s i tuat sub p lanul lHl . Pro iec l ia or izonta la a

sferei Ra se obline preluind din rabatere dePdrtaread1 a centru lu i s fere i g i u t i l iz ind-o in p lan.

f i 9 . 7 .5 .4

Reprerentdri Ce arhi lecluri in geometriq descript iv6 t i qlono|hetr ie

t i9 .7 ,5 .5

SFERE iN POLIEDRE

Loc- l geonet r i c a l cen t ru lu i u re i s re -e tange. t les i - - l tan Ja Ca td p lane coacurcn te es-e p la 'u . b sec-to r a l aces tora ( f ig ,7 .5 .6 ) . Se observd c i s fe ra a reraza var iab i l i .Loc . l Secm. t r :c a l cenLru ' - r i une i s fc .e ta rgentes imuJtan la l re i p lone co |cure : te es te d reapta ega ldepAr ta t i de ce le L .e i p 'a^e ( f i9 . 7 .5 .7 ) . Des gu" ,p lane le f i ind in f i r ^ te , Jocu. i le geomei r i (e se pre-l l r n o e ( . < i d c r c . r l : l t i n r r r c a d r p n r p i ( r o < n a r t t

punctu lu i ) de in tersect ie a p lanelor , Drepre le egalr t en ) " r r - c do + "a 1 -e r t e Se ODt in , ai n l c r < p . r ; r n r i r ; r e i n e r a r h , z ] a- - . , . , - P l a r e D l s 6 C t O d r e .Es le i . te resant c : in t r -o p .o :ec t ie aLp: d -e : r ia

aces le . d rep te ( :n care dreap*d apare Ln p- rc t ) .p lane le b isec toa 'e se DTo iec led l ; r l r i " . , . l - - - - -l -r on . r r r cn tp i n , . p l n , r . . r f f , d 7 q R \ ( o nh r i no n ' , -' i - . o 1 < - r . . : r ^ l : i ; : , - - - - , I c - - c t l l i i n s c r , ;

i ^ + - , , ^ + -I n r r - u 1 T _ r u 1 8 - . 1 o a t e c a _ e , c l L . u _ : . 1 t e r s e . ,

b ,sec toa e lo r , cL cond i r .d cd r ' : , -B" l - . reteaz; planele Pr, P, gi P, sd fie s ti.rat inir,un plann E . n a . , l i . , , r . ^ - . 1 , 6 r ^ + r / \ )

Re;olvoreo problenrelor de gcomeir ie descript ivd l i orononlctr ic

t i s . 7 . 5 , 6

I ig. 7.5.7

191

Yi{,2

i n cazuL tangen le i s imu l tane a une l s fe re la pa t ru

p lane concu ien ie , nu mai avem un lo t Seomet r ici i o so lu t ie un ic ; , 5 i anume, cent ru l s fe re i inscr ise

in te t rae ; ru l ac i tu i t de ce le pa t ru p lane Cent ru lsferei se obtine intersectind trei din cele Patrup lane b lsec toare a le te t raedru lu i . Pent ru ver i f i -

care, cel de-al patrulea plan bisector va trece l i el

Dr in cent ru l s fe re i . Deg i concePtua l Prob lema se

rezolvi relativ ugor, in cazul reprezentiri i in dublu

ortogonal a sferei inscrise intr-ur teiraecru oare-care- rezo lvarea es te des tu l de incomodA t i nece '

s i td c i teva sch i rnbar i de p lan ver t i ca de Pro iec l ie(pent ru a t rans forma p lane le b isec toare in p lane

de cap: t ) ,

Ap l i ca l ie . Deser a1 i s 'e ra c 'a na i na 'e c ' l re i - l ' ;

co : " tp leL "n - r -u^ p r taedr l (oo l reo"u cu c ' ' c i fe le )

oaTecare,Prob lema se reduce la tangen la s imu l tan i a une is fe re la c inc i p lane concurente . in cazu l genera l ,s e a e q p a t r u d : r c e e c i r c i p l a r e ' i s e d e t e r m i r i(ca in -exemp u l p receder r ) s fe ra inscr isd i r te t ra -J d r u l a l c ; t r i t d e c e l e p a r i u P r a n e ( f 1 8 7 5 9 ) S ' n t

figurate ti cele Patru puncte de tangenld a sferei

la felele tetraedru lui.

Daca se in t roa rce ur a l c i -c lea P an Dot s ; apa ' it re i s i tua l i i :

1 , P lanu l Pu es te f ie l tangent s fe re i ( f ig . 7 .5 .10) inaces te cond i l i l , pen taedru i es te c i rcurnscr iP t lb i l une isfere. Problema este deci rezolvate

2. Planul P. este exterior sferei (f ig 7.511) inacest caz s-ai putease exlste o sfer5 mai mare cal-es ; in t re comple t in pentaedru ( in func l ie de inc i -natia si pozil ia felelor). Se comPari sfera inil laldcu sfera inscrisd in tetraedrul alcdtuit dln alta com-b ina l ie de p lane Pr , Pr , Pr , Pu. Se cont inud opera l iaa leg indu-se numai combina l t i le de p lane careinch id spa l iu l . S fera cea mai mare es te so lu l ia Pro-b lemei ,

3, Planul Pu seclioneazd sfera (fig, 7,5,12). ln acestcaz, sfera cea mai mare care intra in Pentaedruvafi in mod cert o sfere mai micd decit sfera jnil iald

5i aceasrl sferi va fi tangen$. la olanul Pu. Este, deasemenea, evident faptul ca sfera nu va fi tangenula toate cele patru plane Pr, Pr Pr ;i Pn, ci numai lat re i d in t re e le . Se vor ana l i za cornb ina l i i l e de pa t rup lane lua te c : te r re i , ds t fe l i - c i I , i rp 'euna cu P5,< i i n n i r { l < n : r ; r r l D i n r r e . f c r c l e

' n q r r c e . e ; c o -

cea mai mare. lntr-o aplicalie cotcret;, rezolvarease s imp l i f i c i p r in observa l ie d i rec ta .

192 Reprerentdri de

tig, 7.5-E

lig, 7.5'9

f i 9 . 7 . 5 . 1 0

drhitecturi in geometrio descriptlv6 l i qxonometrie

I

t i g , 7 .5 .11

f ig 7 ,5 .13

S FERE iN CUB

Rezo ra .ea pJobrene o c l s fe re l c ' .8e ' :e se s . -p l i ' ' c i n - r o ' i ^ oa . r c r " ' i 7a e . De ' /e | fP J ' " -

no -c ' . do .o s rere egoJ" ,a -e . t . ' d ca- ' le t , : : t ' -cub da t ocup i , , t r iedre le

' coresPUnz i toare a Co 'Jav i r fu r i d amet ra l opuse a1e cubNl 'J i , ia r cen t re lelo r se a fd pe d iagona la in te r ioard care une5te ce ledoud v i r fu r . S fere le s in t tangente in t re e e ch ia r inc e n t r u I c u b u l u i ( f i g . 7 . 5 . 1 3 ) .Ce lc .1c i rc t pa t r , s fe te ega lecc e . ud conD]e t: n L - . . . - a ' o : s i - : c , s p . r ' c . p i o c o . B . : d . eT e L ' d ' c r d , j I g . / . 5 ' 4 \ ' . P o b l ' r a d i r ' o a ' i , 'reduce a ic i la p rob lema p lan i a in t roducer i i ce lo r.na i na" i do- ; cercu" i ega lc : ' t r -u . l Pa l a t da : .

Rezolvoreo problernelor de geometrie descript ivd t i oxonometrie

l i g . 5 . 1 {

Foarte interesant; este problem0 celar mai nlari

trei s/bre ego/e care intrd camplet i ' ' tr un cub dat

Dac i se rev lne 1a prob lema cu ce le mai mar i Pa t rus fere ega le cupr inse in cub t se ex t rage una d jn

e le , se ions ta t i cu surpr indere cace le la l te t re is fe rer in in imob i l i za te in cont lnuare . EJe nu au n ic i un

, ,g rad de lber ta te" de mi ;care , ceea ce inseamnd

ct nu se pot gdsi trei sfere egale ;i mai marl decii

aces tea caTe i ; r t re comple t in cubu l da t Pr in

urmare , ce le ma i mar i t re i s fe re ega le care in t ra

in t r -un cub da t , au aceea: i d imens iL lne cu ce le mal

mari Datru sfere egale care intre in acel cub

Toate prob lemele de , , impachetare" neces l t i un

s tud iu a l l lber te t i de n- igcare a vo lumelor impa-

cheta te . Daca exs ta cea mai mic i pos ib l i ta te de

dep lasare in in te r io r , , ,amba la iu l ' es te Prea mare '

l ig. 7.5.12

193

i n anexa 4 s in t ProPUSe prob leme care so l i c i tdg is i rea ce lo r ma i mar i cubur i ega le care in t re com-plet intr-o sferi (respectiv 2, 3, 4, 5 9i 6 cuburi)Rezo lvarea prob le re lo r nu es te u toa ' ; .

SFERE TANGENTE LA SUPRAFETE CURBE

in cazul sfereior tdngente /a conuri (v problemeledin anexa 4), rezolvarea se simplif icd mult daca seobservd cd locu l geomet r ic a l cen t ru lu i une i s fe retangente Ia un con c i rcu la r es te un a l t con c i rcu la rmai mare . D i fe ren la d in t re ce le doud conur i (m i -suratd pe o perpendiculard comuni Pe suPrafala)A c r p A d , l ; r r r a z a < f p r e i

i n mo i asemdndtor , locu l geomet r ic a l cen t ru luunei sfere tcngente /o un cil indru circulcr este unc i l i rd rLr ma i na"e . Pr in u rmare , p 'ob lemele detangenla dintre o sferd fi citeva conuri sau cil ivac i l .ndr i se rezo lva pr 'n in te rsec t i r de suD'a 'e le co-n ice 5 i c i l indr ice .Locul geometric al centrului unei sfere tdngente ioo dreaptd es te c i l indr r , c i rc ' la . de raz ; ega l ; cu

raza sferei 5i care are drePt axa dreaPta data'

Ta-ger ta s 'e .e. la C-eaPt i aPare mascate uneor i

; . p"-Uf*"" p ' in cord ' i r r oe genul ce lor d in apl l -

ca i i i le 5.14 ; i 515 d in anexa 4 '

+ +

Avantajele interPretiri j cu aiutorul locLlri lor 8eo-met r ice a p rob lene lo r ce Seore t r ie descr ip t i id 5 ia .o ron-e t r ie s i ' l t , in Pr in 'J l r ind o 'dororeo e /e -

i"rri lo, ,"r"tor, rczalvdrii prablene/or 5i, in al

doilea rind, posibi/ itateo rezolvdrilar rrtult iple care

oermi t t ra ta iea exhaust iva a Prob lemelor ' Se Potpas i as t fe l ce le ma i rap ice t ma i s imPle rezo lv ; ' i

Z in p"ncr ce rede 'e g ra fc As t fe l , se recomand;

sd se caute intotdeauni rezolviri care si sefinali-

zeze pr in in te rsec l i i de locur i geomet r ice de t iP

dreaptt-dreaPt5, dreaPtS-cerc' 9i cerc-cerc Punc-

tele determinate Srafic la interseciia unei drePte

cu o elipsi, paraboli sau hiperbola sint imPrecise

dator i tA imprec iz ie i cons t ruc i ie i curbe lo r ca a ta re '

194 Repre:entdri de orhitesturd in geometrio de5cript ivi t i oronometrie

8.ALTE APLtCATil ALE GEOMETRIEIDESCRIPTIVE iN ARHITECTURA

8.1, REZOLVAREA ACOPERT;URtLOR

t ) n n , n . r I d e ' . e d e r e . l d F . m c r . c i r l c < r r i n r ; . e

. 6 i - a f e . e a - ; - u ' 1 - r . J . c . a . . r ' p ^ n - - . r ( o l c c o D e t .

s L r ' j o n - - o c - D - a c ; c c - C o n s r ' L ( t ? a l o rf < r r n ; n r : i n e l t o : r c e t r ) A < r f e r r n n e r i < r r i l p < c

n n : n c n r l n : ' e n r m i r p n n o

A- . , , : - p t " 6 - / l r J rF se r+ - r se6LeaZ ; ' T l r e

e e/ l l n i . l r F n F . : . a . ^ n ( + i r , e m r l , t p . ^ ^ a r ; . t , 1 , .

M r r h i l e - f l - e i n n l r n r I o e h > z : ; l : a n e r i < r , r ,/ ( l - e s - r l e \ s " ' c e f a : l - n c l a D d ' e o r i n . l i n a L e/ : n p o r ) n e n l - n I r l e 6 : t i a r t a n t a

t u l u l .f l 1 r - 1 i l p " . 1 1 . ; . '

' - . c ' r t . r e - - p i f e l - r r ;

_ - r a a n a r , , , > a n r n t . _ ? t r / i n i n 6 ^ r - i - - - - ^ ^ - . : ^

r m a l a ^ : r : l c l a

- . t e < t F - 4 2 . ; ' r n . l c n l : n c l n r / < t r c c i n i l c ) t : r

' ^ , . ^ t i m r h i . . l o l e n J

d c . , . d a : ; L ' r e l e p l a n ' o r ' a c u r u n g h i r a imare de 180 ' .

[ . 9 - r i e 8 . 1 i : , 8 ' 2 i r - s l r e a z ; r e z o ' , a ' e d : t p l d ' r: r n r i n , n n , | < , n n ' t t a n p ( p o h c p r ; 6 ( . r L r n F

. ' l n n t n t a n r i r r r n n c r i < d r < ; r r n r r n r r r r p l n r

f ig ,6 ,1 .1

Alte oplicofi i .t le geometriei descriptive in orhitecturi

A ,i C. Adevdrota md me o unei cpe (sau versarrr.)s e p o d f e o b t i n e p ' i n r a b a l e - e d e i P e P l a n J ' o r i z o ' 'r " l d " Daza a l acoper is , l J i . Rabate 'ea PL ' l c te lo :B , C s i D dep inde de pdntc acoPef i tu lu i , ad ic i ( l

ungh iu l pe care i l face P anu i inc l na t c ! P lanu lo r izon ta l .

T IPURI DE ACOPE RI9U RI

F igura 8 .1 ,3 reprez in ta in p lan , vedere t i axonome-t r ie !n ocoper l t in , joud ope. Sdge l i le rePrez in t ;d i rec l ia de scurgere a aPe lor t j aceas t ; d i rec ! iees le d /aop:d de c"a na i ra 'e pa t . td d p ra^e or inc l i -

laLe 'espec t : /e . Fa e>te i '1 to rdeaJra PerPe-d icd-la rd pe s t rea t ind (pe urma p lanu lu i ) .t .g " 'a 8 .1 .4 reprer i . l l ; u1 o ope ' ; ) ;n po l tu cpe (eponte inegole. Versanll i de cap;t au Panta mai maredec?t ce i la l l i do i versan l i ,

f i9. t. l .2

195

-

moffi

nm

ffm

offi

f i 9 . 8 .1 .6 f ig 8.1.7f i s . 8 . t . 3 f i g . 8 . 1 . 4

Acoperigul in doui ape poate si se prezinte subd iverse fo rme, de exemplu , cu te t i tu r i pe t impane( f ig . 8 .1 ,5 ) sau cu rupere de pant ; ( f ig . 8 .1 .5 ) . Ru-pe" i de panr ) ase r . ran ; lod-e ooate s ; Drez in te t iacope. iF , r l i r pa t rJ aDe ( f .9 . 8 .1 .7 ) . Ya n r l tdec l tr r i r r ' ' n A r a r l o ^ ) n f 5 < F . ^ , r c ^ r ^ . 1 , . e < i n r i ng ! , r i I v y ! ' s q

r rJCh i i in r ra te , nJ ru r la : Pr in ' r - (h i i ie ; i te . ca i r

f i 9 . 8 . 1 . 8

| i 9 . 8 . 1 . 9

Acoper! in darJd ape cu palctd. Polata rePrezint; opre ung i re in jos (sub P lanu l o r izon ta l de bazd a lacoPer i$u lu i ) a aPe i sau versantu lu i resPect iv( f ig . 8 .1 .8 ) . Po a ta a re ca scoP acoper i rea une i par ! lma i joase a c ;d i r i i , a une i in t r5 r l e ic .Acoper$ in patru ope cu palot1. La acoPeritul inpa t ru ape po la ta a re , ce ob ice l , p lane inc ina tela te ra le , ev ident de aceea5 i pontd cu D lane le acoper i ;u lu i . in f iSura 8 .1 .9 , una d in ape le corPu lu i . de. ldd i . " secun iu t a re s t rea t ina mal r id ica ta (d in

mot ive func l iona le ) .Acaberis in Dotru aDe cu ttmDon verticol Un alt

exemplu (d in mu l ie le pos ib i le ) de acoper i l in

pa t ru ape es te ce l d in f igura 8110, unde apare un

timpan vertical in faladd,

8 . 1 . 1 0

Reprezentdride orhi lecturi in geometrio descript ivd t i oxonometrie

wf ig.

196

f i 9 . 8 . 1 . 5

REZOLVAREA ACOPERISURILOR

Rezo lvarea acoper i ;u r i lo r (sau t raseu l lo r geome-r r r \ < p n n - r e f r e A : r e c t i n a l r r ! ' - '. ! / - r ' ! - . r d r d t c d P - d

e l c n r t i r : . a . " " ^ r

d p < e n : r r l t c r i n r f f , o F 1 ' 1 I \

Vom rczo l ra '1

ce le mai r . r - lLe c . . ' : , J ' )p ( :u . ii , pa l tu ape.L !e rsd ' t l , de pc ' te ego l : ,O h < . . . ' i , a c - - r l i a l i . ) . p n 6 - + r t e r e z o l / a r c a d i

" . . + . n l r n r : . F < i ^ r i ^ , , r ' . l a , _ ^ h p r < r . r i a < r F

aceea (5 o ' rce m-c \ tp o ocaPer .sL lu , (d /eaPU de i1 -. l ^ r i h , n F

' n . l , . , r p \ ( F ^ t n ; F . t F n a a i .

^ t - . - - . r ' aL . l t : f . t na t de , e l c Co td. t f t o t - ' - a - : 1 ' \ . i a ^ - r - . 1 : . l r c : : , - l ' - m e -

l o r para e le . coan2 a 'zor :a la se pro :ec l .ec la dupd' - - - ' ' ) d i s r a n t e d e e l e ,u P d J d c d , d u , , c , ) , r u d r d , d c 5 d

A A . ' " , 1 . ^ t - " . 1 ^ , ) a n i , t o l p c h ' , ' a h . " . , , r r i a n ' " -

. a A r ^ t a . . n ^ : r c i n . , n , . c t ^ l ' . ^ )

. t ) v r r .nn t i Ae rna te aca la a<+h '

1 ) s e d - c b i s e c t o a r e l e t - t L I o r L n 8 \ i J r , ' o - d r p a rt t i d o ' 1 1 1 \ ' p , - r - n - a - ' j ^ - r ' p - r i l e m L c l . j i r o r d e

i n t p r < c r r i e : l e n l : n e l n r : n - F . n , r c : l F : . 6 n c ' < | i

luate doui c i te doua;

f i 9 . 8 . 1 . , | 1

Alte oplicofi i ole

f iE . 8 .1 .12

geomelr iei descript ive in orhitecluri

2 ) se unesc b isec toareJe de co ta cea mai mic i ; seduce p ' . - pu" lc ru de 6e13 rscpe6 l i . i un p lan den i ' . p l : l : e n n o r l c r l i ' . a , 1 ^ - - - ' ^ r - IL " . / d l L ( P d i d e , E r Jr r r m e : r l i r : f r e n + e n r i z n n r , l o \

3) se -sp .15 ope 'a t ia se d lc b isec toare le ungh iu-r r l . r , : <F r '1e \ . d i . 1n . , h < . r inare le de Cota Ceam r , m i r ) < c d t t . F ^ n . . r i < c . r ; I n a r r r r r n n l : n d e

n ive l ; aceas ta sec j L rne es te rna i s imp ld dec i t p r ima(are ce{ pu l in cu o la tu re mai pu l in ) ;

l \ c F r c n F r , i . 1 . - r , l a n . - i ( : ' . r l s e i n t e f . e c t e a T i

l o d l ^ b i < - t . 2 ' e l - c b ' i n ' n / r , r < . t a c L e m u c h i i l 2 o C a .

p ' - u . ' . \ o 1 s r " u : : d e s r e l J s t ' a r i i n f , g - r a 8 . 1 . 1 3 .

Ye ioda p l3 e lo r de . . \e l es te va lab i le s i in cazu la . ^ t F t , < . r t l . . . , r F r < . n t ; d F h a n t c : t F a . l F l . , . p \ l

caz , p ro ec l ia -n -ch i i io ' ru se face aupd b isec toare leungh iLr r i lo r , c i sc poate ob l ine duc ind drep te le decea rd i c a .e pa ' l I i p . r r .u respec t ive le p lane ca 'ese i r re 'sec te6 l ; , PanreJe ' , 1d d i fe r i re . Ln punc tr . . a . 2 - a ) F n 6 ^ , n i a . - i ) . " i . ^ n - r l a a n u c h i e i v a f l

s r J a t l a c i s t a n ! e d . ' e r . r e d e u r m e ' e p i a - e l o r : d i s -tdnTee aces led se po t ob l i . le ca i r f :gura 8 . ' .14 .

Dupd ce au fos t duse pro iec l i i l e o r izon ta le a le in -r e r 5 e c ! . l o ' l J t J r o - p l a - e l o r i n c , r o t e a d i a c e r r e ,se co :s : .u iesc rea t iv s imPl , r secLun, le p r ;n p l : ' , cde r i rc l q 'se rezo l \A a(oper ; )u l ca t i in p r i r f J l caz( f i g , 8 . 1 , 1 s ) .

f i g . 8 . 1 . 1 3

f i s . 8 . l . l 4

r97

t i 9 . 8 . 1 . 1 s

Rezolvoreo ocoperi,surilor pert:ru clddiri cu curtti in-te r iaore . In cazu l p lanur i lo r cu cur t i in te r ioare ,rezo lvarea acoper i ;u lu i se poate s imp l i f i ca p r in'rtrasarea,

dupi ducerea bisectoarelor, a coameloro t tzan lo le o le co .ocr i lo r de c ,ec t re : d .ep tere 12 . 34 ,56, 78 etc. (f ig. 8,1,16). Se afl i inrerseclia acestor

coa, ; ' re cu b sec loo : - c ce le mar "p .qp i31^ , -69 5qident i f i c ; p ane le care se in te rsec teaz ; in cont in J a r e 5 s e o b ' . r r _ r t . e r e s o e ( L , e d u D i J s e ( -toarea ungh iu lu i fo rmat de urme. In exemplu ld les es te F i8 . rdU, i r d ia " : ae 'e lo , /a re r i . p la ' t aacoperitului, secl/uned trorsyersc/d A-A ;i raba-te rea unu i versant pe p lanu l o r izon ta l de baz ; .

Rezolvdri de acaPerituri in T. Rezolvarea acestoracoper i ;u r i d i fe r i in func t ie de re la l ia d in t re i i l i -m i le d ; i 3 a le ceJor dou i corpur i de c l :d i re ; aces tel a - i - i d e t e r r i r a c o i e l e c o a - e . o r - c s p e c t i . ^ r .f igur i le 8 .1 .17 . . I 1 .21 s iNt r lus t ra te p r inc i ra le les i tua l i i ' i n t i ln i te .

La lS i im i d i fe r i te de cor .pur i der i i d i . c < ^ r n ' . \ . ; . . . 1 r - F , , . e e a s C O t ; d a c a S efo lose"c par :e d , 'e . i re ( ' ' g 8 .1 .22) .

r - i r c : c , p m n l p d c r e t a , t r i n n : r n n p r ' < . r i i n

h r r . | , n c r r e r < : n i . F n ) . r - F o i l F < ; n t 6 . c ? a n -

ta te in f igur i le 8.1 .23 . . .8 .1 ,76.

t i 9 . 8 , 1 . 1 6

Reprerentiri de orhitecturd in geometfio descriptivd l i qxonometrie198

rE....---*--

d.. d

l A]+__. d _{_

f i 9 . 0 . 1 . 1 8

i,{n

d __*_+tis. 8 1.22

t is .8 ,1 ,23

Alte oplicofi i qle geometriei dexriptive in orhitecturd

ACOPERISURI DENIVELATE CU VERSANTIDE PANTE EGALE

Pent ru rezoLvarea aces tor acoPer i tu r i ( I ig 8127. , ,8 .1 ,28) es te necesar s ; se cunoasc ; de f ive ; -r r e c a r e , ' d e o b ' c e i . s e n d t c i p e e e r a t ' i r a c o p e -r i iu l d n f igura 8 .1 .29 , aces te c jen lveJar l s in t da te( h i a " i r p l a - . D r i - o . - ( t e ' e i l c a ' e p e n e l . e a z ;par tea supra i fA l la td a acoPer 9u u i : punc te le ' l g i2 , Se p 'e ' r , r igesc !e rsant i ; pa ' r i sLrP-d in i l fa 'e aacoper igu u i p inA la co ta P lanu lu l o r izon ta l de bazAa l aeopergu lu i . Se rezo lvd prob lema ca t i c ind nuar ex is ta den ive lSr i . Se re i ine d in rezo lvare numaipar tea care in te reseazS (p in i la conturu l ex te r lo ra acoper i ;u lu l supra in i l la t ) * f ig . 8 .1 .30 .

ACOPERI$URI CARE , ,BAT" iNTR.U NUL

SAU MAI MULTE CORPURI DE CLADIRE( a c o p e r i . u r i i r c a l c a n )

i n f igur i le 8 . '1 .31 . 81 ,40 s in t exempl l f ca te o ser ie

de as t fe l de acoper igur i . Rezo lvarea lo r se lace In

mod asemdni to r cL l rezo lvarea acoPer i iu r l o r ob i i -

nu i te in pa t ru ape cu versan l i de pante ega le ,

5 t i i n d c d p r o e c t l i e o r i z o n t a l e a e m u c h i i c r d e

in te rsec l ie a ie d l fe r i te lo r P lane s in . i b sec toare le

uTme oT aces io r p lane 5e vor ident l f i ca dec i , in -

frecare cau ' in parte, urnle/e plarelor care se intersec

teaz i T rebu ie l inJ t seama de fap tu l c i p lane e caTe

, ,ba t " in ca lcan t rebu ie sa f ie perPend icu la re Peacesta, in a5a fel incit apa de ploaie si se scurgi de-a

lungu l ca lcan ' . t lu i s l re s t re i Ln I

Pent ru o r ien tare in rezo lvarea aces tu i t P de aco-

per i l ! r i se Pot fo los sdge i r dup i d rec l ia d rePte lo r

l i s .8 .1 .27

1 i 9 . 8 . 1 . 3 1 1 i 9 . 8 . 1 , 3 2 t i 9 . 8 . 1 . 3 3

f i 9 . 8 , 1 . 3 6f i g . 8 . 1 . 2 9 f i g . 8 .1 .34 l i s . 8 . 1 , 3 5

f i g . 8 .1 .37

Reprezentdri de qrhiteqturd in

1 i 9 . 8 . 1 . 3 8

geometrio detcript ivd t i oxgnomelr ie200

.z_\,I_ _ _ _ _ - - J

l i g , E .1 ,39 l i g . 8 . l . 4 l

/ r F r ) : : - ^ ' , - . i o r ' r c t n a - e c e , e

se i f te rsec teazd, DUpa cun arn mal p rec iza t ina-jnte, nr!chirle ocape;isului nu pot f dec'it de treif e l u r :

- rccme ar izor ' t t j l e i sdge i i le s in t i r p re lung i re( f i s . 8 .1 .41 ) ;- c res te i sege i i e s in t d ivergente ( f ig , 8 .1 .42) ;- do i i r ; s ;ge i i le s in t converSente ( f ig , 8 .1 .a3) .n - . r . - ' . . ^ r - - r l l r n F i r l a n l n r : c r l e

pe acoper ,5 ra f , recesar ca p 'ane le d ' ve( i rA ta t "a

l i g . 8 .1 .42 f i g . 8 .1 .43

c , l c a , . r ' . r f r e o e r p - - - c i r a . . f o - F q f a . n a r . q - c

r r - . . 1 , - - r - h : ' - . i : - r , , l d a . e s t e t r ) - - ir l p > r n n c r i < t t u a r f d r r n . i h l c ,. - - - - - . _ i c t o d " e r c u ' ) g " l t ur i lo r , ce ie d in f igura 8 .1 ,44 , ln cont inuare , rezo l -

I F,t . . i . .--r; '1i todre CJ cca az , c ^ . - - t r ) n - n h i c r . ' - l - r : o . ' - i | e 8 . 1 . 1 5 . . 8 ' . 1 (

- - . . . t . A e , . n o e r i s u r i m a i ( o m _n r : r p t l e , : r r . l p . i < c . r j i r n : l p ^ . n , F < r F , . ^ h F r : -

s . - i o ' e ' i o . - n a o : - a i c a ' e a r e - o l r i r i , l o r .

| i s . 8 . 1 . 4 4

Rezolvqreq

f i g . 8 . 1 . 4 0

f i g , 8 , 1 . 4 5

problernelor de geonretr ie dercript ivE 201

l i g . 8 . 1 . 4 2

q-

f i 9 . 8 .1 .46

f lec tL : l co l -a e lo r as . p .o t '7a1 ,a- L L i o a le ' - .' n l i p s a c r l c r r e l o c . o 2 e ; s r l " ' . I g - r t 8 . 4 / s e' 6 - n l , 5 . ^ { . r - - ^ , 1 / 1 . ' ' a ? o - 1 r a r e . l . r o T l " t -

tu i - t roduce" i a c jo - l c l ; id r i ra i ' ra l te ,

acope ' i .. l - + , , , 1 : - + + - ^ - , ^ . : A - + r r r r ^| - l 5 - J q d L ! r e - L , e s u . . O d L r l 1 C a C a n e p a C e S I O r

c lSd i r i ( f ig , 8 .1 .48) . Una d n g rege l i le curen te lar ^ J ^ l \ t ) . o a i . . c + ^ F + i ^ t t ) . l F ) . t- - J P e r \ u - l P r o ' / 1 e

202

d n cons i ruc l ia , ,mecan ic5" a b isec toare lo r d in toa teungh iur i le s t res ln i i . De fap t , in momentu l in t rodu-c - i i , a , - a - c ' : - . b . e c t o a r e l e d u s e c , r p u n c t e l el '1 , N , P , Q, R 5 i S nu mai au n ic i o semni f j ca l i .Toate accste puncte se vor afla situate rnult dea-supra p lanu lu i de baz i a l acoper i ;u lu i 5 i nu vor f is i tua te pe muchr i le acoper i tu lu i dec i t d i r pur6co inc iden l ; .

| i s . 8 . 1 , 4 7

1 i s . 8 . 1 . 4 8

Reprezentdri de orhitecturd in geometriq descriplivi t i oxpnom6trie

L

l/7

. t .

iL ,f,1 'r'l-.. ',,1

KFO

Acoper is ! l se rezo lv i in mod ob i5nu i t , i i . cep indcu rezo lvarea ape lor care , ,ba t ' in ca lcane, respec-t i v cons t ru ind much i l le d in punc te le A , B , C 9 i D( f ig .8 .1 .aB) . Much l i le duse d in A s i B se in te rsec-t e a z e c u m u c h l i l e d i n E ; i F , i a r m u c h l i l e d u s e C i n

G ; r H s r in te ! ' sec teaz i i r t r -un punc t de unde por -fe , te o coam; or izor ta ; ce se in te rsec teaz i cumuch ia cusa drn C. Rezo ivarea acoper isu lu i es te; Js r l c : . i - ' g ' . t " " 8 . ' .49 A oa ce o oa - cs te co le ( -ta t ; in cu . tea in te r loarS s i ia s t res in i le ex te r ioare ,

f i 9 . 8 . 1 , 4 9

f i s . 8 . 1 , 5 0

Alte opliccr!i i ole geometriei descriprive in orhitecturi l 203

L

C , , - . r , . p r F n - : o \ ' u - a L d c c l i d i r i l eiralte, cu atit rezolvarea este funciional mai in-comodi, acoperiqul ajungind la cote foarte inalte,1 p - 6 " : r a . . l F , i - r r , ' ' e d i n V F - ; i l a l e "

ca lcanu lu i s i ad !cer i i e i in c ! r tea in te r ioar ; . Deexemplu , in f igur -a 8 .1 .50 zona cea mai ina l td a

acoper igu lu i es te much a or izon ta la RS. in aseme-

nea s l tua l i i (des tu l de ra re , de a t fe l ) , rezo lvareafuncL iun l lo r cons t iuc t ie i neces tA in t roducereauno; cu . t i de lumin i ( i ig . 8 .1 .51) ln mod automat ,apa de p loa ie es te d i r i ia td sPre aces te cur l l In te -. ioa . " , ceea ce scade co ta max im; a acoper i ;u lu i ,

I i g . 8 . 1 . 5 1

8.2, SISTEMATIZARE VERTICALA

A l i F , h l ; . " r ' i , < F d . i n i t ^ : . c r . / ^ 1 . ; r i : . ^ h F . i ( . r -

ri lor sint lucrdrile de sistematizore verticald, adiceI r r t r i e , l p . ^ ^ ( t / , i r p ) r l e n l : + f n r m p

a r i r n n t : l e < ; n : r , , . ; c , , - ^ 1 ' r ' , - . l a n . m ' n , r ' l -

zu" e 'c . Toate a !e - re ap car i in te 'v i r in p 'ob 'e -mele de amena jare a unor te renur i den ive la te ,- n

h ) n r i , . ^ ^ ^ c . F < r - | - - ^ ' - , - . . ^ ) ^

ob iec te de arh i t€c tu rd .

SUPRAFETE TOPOGRAFICE

P ^ i - - ; - ' c l a a a . c , 1 , . t , r i a . d e s s r e m a t i l d r e' ede"e J l t rdse - l - .a u , i ! , r i P U L l u l u c v

geometric), este necesar sd studieze mai inti i re-i n n l : n r < , r n a { c i c l a r r a n n o r : f , r p

Reprerentdri

Terenul natural poate avea forme de relief variatePent r , eprezenta 'ed Jor , se F 'ec 'Jea l : sec ! L rnar izon to le p r in te ren . Curbe le dupd care aces tep lane or izon ta le sec l ioneaz ; te renu l se numesc' 'b2 de i ' /e l Toa le purc te le de pe o curb i de n : -vel au aceeati cot6, Curbele de nlvel sint asemdnd-to r re d rep-e lo ' o r ' ro .1 ta re t rasa te pe D la '1e inc i i -na te .Reprezentarea in pTan a curbe lo r de n ive l face ape la e lemen le a le unu i caP i to l d in geomet r ia des-( p l vd 1- . r t p 'a e ( t : coLate As t fe . ' r o la l aPa 'epro iec l ia o r izon ta ld a aces tor curbe t i co td /o fD is tan ta d in t re P lane le de n ive l cu care a fos t sec-

tionat terenul se numette echidistanlo curbelor den ive / . in exemple le u rmatoaTe, ech id is tan la curbe-lo r de n lve l es te de 10 m.in f igura 8 .2 . '1 , punc te le A ; i B reprez in t i doudvirfu,i de deol $l pufctu C rePrezint5 a cdldare,ia ' ' - ' gu 'a 82 .2 . s -a reDreze l la t a 'o ldo 'e (de-

de orhitecturd in geometrio descriptivd l i oxonometrie204

1 i9 .8 .2 .1

l is. a.2,2

1 i9 .8 .2 .3

pres iune incon ju ra t i de zone mai ina l te ) .Reprezentarea un ! i deo/ (mov i le ) a l caru i v?r f seafle la cota de 70 m este datd in figufa 8.2,3, ceaa u-e i ve-so- t 1c Cto l a c i r " i pdn t ; es le mar scaz- taspre poa le se vede in f igura 8 .2 .4 , ia r a unu i a l tversont de deol, care preztnte o pantA mai accen-T . d r ; s p r e . , b o i u l " s a u . , n ' J c h i a " d e a ' c ' . i : ' j g - r a

8 .2 .5 . t l r . ,bo : de cea l " de par td re a t ' , cor , tan tS.a caTLr c redsro es te l SLra ld P , fc la t , es te rep"eTen-ta t in f igura 8 .2 .6 ; s ige l i le ind icd d i rec l i i e de cobo-rire (de curgere a apelor),l - f igu 'a 8 .2 .7 e ) te rcp 'e le r r r t l o ! - e , a ca ie te re-n r l c a h n : r r < n r e r l r p - n r : a e c e r r l , l i ^ ) ^ , ' n . t ' r :

/ ' a r c a r n t . d n . a / n t - i a 1 , . , , . , A i . . . t ' ^ . ^' T " '

r n : l ; r J p r - r r r o c r e : : n e i ) C p i e l : l r c i n i i n , n r r : r e

r p r , r c T i ^ r A r l r F . l , . F . r i i r l e < r r , r o p r e : a n p i r l c n l n : p

Ahe qpl i .dl i i ole geometriei descript ive in orhitecturd

lis. 8.2'6

Frgu 'a 8 2 .8 . reDrez i r ' - ; o : rd , aa 'ca o su f r - ra ! ;topograficd caracterizatd de ?nti lnirea a doui

, ,bo tur i de dea l " 9 i a dou: va l . L in i le punc ta tereprezintA o suPrafal; de aceeaSi cot;ln f ig - "a 8 .2 ,9 es te rePrezer ta ta se( ' J i ec t rd r< \n ' 'so /a lduo i Ln p ia r !e r t ,cd ) i ^ t r -o suP 'a 'a tA toPo 'g ra f i c i . Pent ru ob l inerea sec l lun i i in t re PUncte leA s B se r iC ic i P .nc t€ le c ie i r te rsec i ie ?n p lancL curbe le de n i ,e l la co te le 'espec t ve ' re lL l t ' -das t fe l curba de sec l iune a te renu lu i Pent ru t rons-

fcrmorea unui teren cu o suPrafali neregulatd in-tT-u- D ar i . c '1 ' l t se re r l z^az , i seDl lJ r :

^n zone lemai f ld ica le t l ump u tur i ?n zonee rna i cobor i teut" t"r ."uiul l r ig. 8.z.ro; . Noi le , ,curbe de'nlvel"vor f i d rep te le o r izon ta le a le P lanu lu i , de co te d in1 0 i n 1 0 m .

f i 9 . 8 . 2 . 4

f i g , 8 . 2 . 5

205

t i g . 8 .2 .7

t ig 8.2.8

coNsrRucTlt DE PLATFORI,jE

in f igura 8 .2 .11 es te l l ! , s t ra td cons t ruc t ia une i p /6 r -forme orizontole cu drtim de occes Terenul estl unp lan i rc l ina t , lua t in aces t caz , per t ru s imp l i i i ca re ,per tec t regu la t , Or izon ta /a mn se a f l i s r tua tA ch ia rla co ta te renu lu l . Zona mabn a p la t fo rmei se ob t ineO. ;nL .

,o :apAr -a I es -e m; -g r . ta ce te -er -u lra lL r ra l p r ln D ia .e saU ta rL l - . i C . dF5 r - , a - ; -o rinc l inare es te da td de ungh iu d in f igur : Zonamdcn es te despdr l i t i de te reru l nJ tu ra l p r inta luzur i , de ro rnb leu (umpiu tur i ) . D in mi j locu ia " i J r l l , d c p o . - e s 1 - o . a r f b C , o : - : s f r . - g . dp in ; la te .e | u I na tura l .Prob lema care ,se pune in rezo lvarea ac€s te i p la t_rorme o lzonta le es te aceea a ducer i i p r in d rep te lema, .ab ;1 bn a unor p lane inc l ina te , i a g5s i r i i i n te r_s e < l i i l o r d i r t - e , ̂ ' e l , p " " - l P a l r e i e r . ' ; i c a -prn o |zonta le le dc n ive l ) .Se cons ider i p lanu l taJuzu lu i care t rece pr in ab ,Se iau punc te le de in t i in i r e aJe or izon ta le lo r decote .7 9 i 8

.a le .p lane lo r p ( te renu l ) t i e (p lanu l

care t rece pr in ab) ; se ob f ine in te rsec l ia zp a a ies to rp lane. Se procedeaz i la fe s i Dent ru ce le la l te s i_t!a.!i j . Daca taluzurile. au pante egale, dreaptade In te rsec l ie a p lane lo r inc l ina te apare in p lanca brsec toarea ungh iu lu fo rmat de ce le doua urmea ie ,p lane lo r pe p lanu l o r izon ta l de baz i ( in tocmaica la acoperiluri).

1 i9 .8 ,2 .9

f i g . 8 . 2 , 1 0

t ig .8.2.11

in f igura 8.2.12 este iust fa ta in axcnometr le opera-!la de i'rivelare (orizontalizare) a troseuluj unui drunpr in sepeturd (debleu) ; i umpJuturd ( rambleu) ,

Reprerehtdri de orhitecturd in geometrio descript jvd si dxonometric

Se observ i regular izarea curbelcr de n iVel pe ia lu-

zu n.

F igura 8,2.13 i lust reazi o a l td apl ica i ie u t ] t t "Tu;

tizin i verticale, pe u n caz aserndndtor' I erenu I

"r" J" tit"

"i"uJt a o rLtpere de pantd la cora 70'

Este necesar deci sa se intersecteze taluzurile (toate

de aceea5i pante) cu doui inclindri diferite ale

terenulu i . Dio " . " r t

mot iv , se observa cd ta luzur i le

prez inta o rupere in p lan, in dreptu l cote i 20 '

ln tersect ia p lanelor ta luzur i lor cu terenul se ob-, , ^ ^ - j - L r c r : c t i l e c o : e

l - . p 2 - i ^ ' . ' . r i r " - c ,

'

( f i g . 8 , 2 . 1 4 ) .

IT

-r-

t i s .8 ,2 ,14

f i s . 8 . 2 . 1 3

Alte oplicoli i ole geomelriei descriptive in orhilecturd 207

io- U-.)2 ,,tS

f i 9 , 8 , 3 . 1

l ig. 82"l2

8.3, TRASAREA UMBRELOR

Una d in ap l i ca{ i i le Seomet r ie i descr ip t i ve in a r -h tec tu re o cons t i tu ie tTasarea umbTelor vo ume-ror de arh i :ecrLr ; . s r -d J L rb 'e lo ' in sch i le sa . lp 'o iec te de a j h i te ( lL , ; s : s ;sLe-naLrTa e are scoPLJde a pune in ev iden l ; fo rmele ; i ProPor l i le vo lu -

melor g i a le de ta l i o r Pro iec ta te . Umbre le cont r j -bu ie la c rearea impres ie i de re l ie f a ob iec te lo rreDr"ezenta te , D ln punc tu l de vedere a l Seomet r ie idescriptive, traseul umbrelor canstd in deterninareoliniei care separd porteI luminotd de ceo umbritd

5r rsa de un ' r i e . re ce do- i t Pur i :- lunind ortif iciolri ( luminare, bec etc.); sursa

luminoasi este situati la distanl; f i ir i tei razele de

lumind fo rmeaz i un fasc icu l de drePte concurente ;

fe -one- . . se as iT i ea la cL Pro iec : a ccnr rd e saL

conlcd; este caz,Jl amalagiei in care centru de

omclog ie es te sursa de lumin i , ia r axa de omo oSle

es te in le rsec t a d in t re P lanu l d rep te i de separare

in t re umbra g i lumine $ i P lanu l u rnbre l ;- lumi r 'd no turo ld (soare sau lund) ; sursa luminoas ies te s i tua i i p rac t ic 1a in f in i t ; raze le de umind

formeazd un fasc icu l de drep te para le le l fenomenu lse as imi leaza cu pro iec l ia paraee sa ! c l rndr ic i ;

es te caz i r l a f tn i td t t i i r care raze le de lumin i s in tpara le le cu d l rec t a de a f n i ta teUmb|ee s ln t de doua ca tegor i i : umbre propr l i 5 iumbre Durtate. {JnDrele praprtt sint umbrele aflatepe supra fa ia !nu i corP exPus la lumjn ; a r t i f i c ia l ;

iau na tura la in t imp ce rnbre le pur to te s inL un- rbre le

aTuncate sau lasati de corPUl resPectiv pe alte

supra fe ie sau corPur i d ln aproP erea sa .

l ig 8 3'2

UI',ISRE PROPRII

L in ia curbE sau f r in td de Pe suPra fa la unLr i corP

exDUs la lu rn in ; caTe despar te zone le lum nate .ce

zo le le de umbre proPr i i se nunnet te sepdrd t r i ce

T .sa 'ea sepa 'a t r ce i 1 ' cazr ' ' l Po l iec i :e o ' es l^ o

oDera ! re re la t i v s iTP l i n t 'Lc :L scPardr r cea es te o

l - e p o l q o r a l i a l c a T U i t e d ; ^ n J c \ i i a e p o r e c ' - u i

. " . " . . t i " " O fa t , a u rL i po eo ' - e ' lP 's l ' l - - -a

. l ' po . , " f i cec L lu - i ^a ia sa- c - r ' i p 'oo- ie

nr - i " i ,uouru t r i . "a cubu lu i susPenda i d rn { igura

b . i . i " t i " ' Jca t . . l ta

d in much i le care separa fe le le

i r t i . " t " f f l de ie le le a f a te ' in umbr i p ropr ie (U) '

e t i r i t inO \ lu t . t "u umbre lo r la soare cu o p ro iec l ie

Dara le lA dup; d i rec t ia (A) ' se cons ta ta ca ' i ' p lo lec-

f . . O. ,pa C i r . . , . -A) ' sepa 'a i r cea se co" 'u rd i c ' ' r

. o n L - t r L ) c ' n n a l c L b L ' L i ' f g . 8 3 . ? l

Trasarea sepafa t r i ce i in cazu l suP-a fe ie lo r .curbe es te

. . * " t r , i i impf i cu id , in t 'L rc i t PUncte le sePara t r i ce i

, n , ou"a , " de co- racr a le 'az : 'o ' de lLm ra ta - -

g . r tJ l , t "P* f .1a De eze-p 'u ' - tazu - 'e s fe"e

de qrhitecturd in geometrio descriptivd ti oxonomelneReprezentdri208

e,N\-.-X4d

"-,rgdlAS

f i g , 8 , 3 . 1

1i9. 82. ' t2

8,3 , TRASAREA UMBRELOR

Una d in ap l i ca ! i i l e Seomet r le i descr iP t ive in a r -h tec tu r ; o cons t i tu ie t rasarea umbre lo r vo lu rne-lo r de a .h i :ec tu rd . SLud u l . -b re 'o " ,n sch i te sa . lp ro iec te de arh i tec tu r ; s i s is temat izare are scoPu lde a pune in ev iden l ; fo rmele ; i p ropor l i le vo lu -meo i g i a le de ta l i i l o r p ro iec ta te Umbre le cont r i -bu ie la c rearea impres ie i de re l ie f a ob iec te lo rreprezenta te . D in punc tu l de vedere a l geomet r ie idescriptive, traseul umbrelor canstd in determinoreoliniei care sepatd portea luminatd de cea umbritd

SJrsa de lLn i l : r e ( -^ dF doua t iPur i :- lumind ortif iciold ( uminare' bec etc ); sursa

luminoasd es te s i tua te la d is tan lS f in i t i ; raze le de

lun ' i r - i fo r re "u i r - r r fasc ic l l de drep te concure- tefencmenu l se as im eazd cu Pro iec l ia cent ra ld sau

conici; este cazul omo/oglei ' in care centrul de

omolog e es te sursa de um nd, ia r axa de omolog iees te in le rsec l ia d in t re p lanu l d rep te i de separarei n t r e u m b r i s r L t m i n A g p l a n u l u m b r e ;- Iumind no turo ld (soare sau lun i ) l sursa luminoas ies te s r t !aU Prac t ic la in f ln i t ; raze le Ce lun . l in ;

fo rmeazd un fasc icu l de drep te para le le ; fenomenu l

se as imi leaz i cu Pro tec i la para le i sau c i l indr ic i ;este cazul ofinitd{i i^ care razele de lumini sint

para e le cu d i rec l ia de a f in l ta te .Umbre le s in t de douA ca teSor i I umbre ProPr l l tumbTe purtate. lJmbrele proDrli sint umbrele aflatepe sup ia fa ia unu l corD expus la rmind ar t i f c ia l i

sau na tura lA , in t imp ce umbre le purLate s in i umbre le

aruncate sau l;sate de corPUJ resPectiv Pe alte

supra fe le sau corpur i d in aProP erea sa .

f ig 8 .3 2

UI'IBRE PROPRII

L in ia curb i sau f r in t5 de Pe suPra fa la unu corP

e x D L s l a u r i l a c a ' e C e s p a r t e o l e e ' ! T ^ ? t e . c e

z o n e l e o e - - ' r b ' e p ' c ; ' i i s e ' - r ' e t t e s - l o r I l - r c e '

Trus . r .u ,eput " t r i ce i in cazu l Po l ieCreor es ie o

ope_aT e _e a t v 5 n l a inTruc : l seDa dT ' i cea esre , o

l ; 1 r e p o i g o l a r e a c i T u - : d i n m " c h r a l e P o e o " u l u l

. . : " . . r , ' o f a r i a u r - p o l i e d ' - e r p u s 1 ' ' ' 1 r i ' i

^ " - p " " , " f ; d e i i t - n i n a L ; s a u r u r o l P " o p ' i eA s t f e , s e p a r o r c e a c ' o l l - i s - s p e , . d a L d - ' 8 u ' a'g . i . l -

! r i " 'u t .a tu 1 ; 61n 6ruqh i i le care separa fe le l€

irri."t. fLl de fefele aflate in umbri proprie (U)

,q t i r i i i na i lu tu r "u umbre lo r la soare cu o Pro iec l ie

o"i"Lli; arpa dlrectla (A)' se constat; c: if Proiec-

i a c "p ; o i 'ec t a lA) sepa" ' iL :cea se cor ' - -d i ce

cor ' r 'o l apa en t a c 'oL lL i f ' rg 8 3 u \

Trasarea separatricei' in cazu I suPrafelelor.cur"be este

. . . r - t " i i " l ( a ' , - L ( - ! - - t e c ( F P d r a : - ' e i

, i . ouna "

de co l tacr a l ' ta7?ar de lu r n i ta " -

g . . ,J l . , r ! - f "14 De exemplu , in cazu l une i s fe re

de qrhitecturd in geometrio descriptiv6 ti oxonometrieReprezenl6ri208

f i9 .8 .3 .3

l i 9 , 8 .3 .4

suspendate (fig. 8.3.3), separatricea este un cercmaie a l s fere l t i rePrezintd curba de tangenla lasfere a unui c i l indru or ientat d !Pd d i rec l ia (A)

; i c i rcumscr is s fere i . Ea se Poate obl ine secl ion indsfera dupd un p lan [P] caTe t rece pr in centru l .W?l s 'ere i i : e5:c Pe.Peld icu lar De d 'ec! a (A) arazelor de lumin i ( f ig . 8 .3.4) $ i in acest exemPluse poate verifica ce separatricea se confundd cuconturul oplrent al sferei intr-o Proieclie Paraleldcu d i rec{ ia (A)Dai i sup 'afata cu"b; este mai comol icaLa constr -c-t ;a separatr lce i ca loc geometr ic a l puncte lor decontact ale tangentelor 1a .suprafaid dupA direclia1A) e. : : ' ru I na i d i f :c i l i , I une e cdTur sePa a-iricea se poale cbline cuDi canstruirco umb.elpur tdte a vo lumulu i respect iv , a ia cum se in t imPlScu umbra propr ie a conulu ( f ig , 8 3 5) Ast fe l 'umbra pur tat ; pe p lanul orzonta l [H] a lv i r fu lu i V

Alte opl icol i i ole geomelr iei .descriPl ive in orhi letturi

o \ t

f i9 .8.3.6

al conulu l este punctu l %; ducind d in Vo doudtansente la cercul de bazi a l conulu i ' se obl in

or , i t . " 1 . i 2 DrePte le Vol s i Vo2 del imi teazl'Lnaro DLrtcLd a conr lu i pe p lanul o f izo l la l lH l

in t inp ce gene.atoare le Vr 5 i V" -eDrezi l tE sePara-

r r jcea c; l t i re : e le sepa'E zona de lumin i de zona

de umbrS ProPr ie a conulu l .l ' fuLte ap i ia l i i de umbre care Par foar te s i r ip le . t iin ,u i t iud t in i ingelatoare Un asemenea exemplu1l consr i r r ie r tperea tmbrt praP' f t ' " ' l i : l r ' )pe cor ( f ig . 8 .3 6) P--cLele 1 ; i 2 se obt in ca in

h-'--\

I

exemplu l precedeni , iar puncte le 3 i i 4 s in t PUncte lede contact a le tangente lor la c i l indru para le le cuI , i rF . r i . t \ ) (cn , : , . -p r rnmun i ce lo r dou lcorpur i oe ro ta l i c sa con-pune dec i d i ' l Pa t 'u se8-mente de dreaptd i i doui arce de cerc.

Dacd conul este asezat c- vi ' ful ir jos, zona d-umbri proprie de pe suprafaia sa laterali va fi maii r r l rsd dec i r zona Ium:na1e ( f .g .8 1 .7 ) . Cor .s t ru ( t iaseparatricei se poate face proiectfnd dup; direclia(A) a raze lo r de lumind cercu l de baze a l conu lu ipe p lanu l [H ] a l v : . fu lu i sEr . DL,c rd d i ' V ta rgen 'et ' , - . r ' , 1 A t n - n c r t i p < p , h r ' n a , n . f p e ' 1 ( i ,

care se reproiecteaz; pe cercul de bazi in punctele1 9i 2. Dreptele Vl ; i V2 sint separatricea cautatd,l n - r o c + p r n n , J i t i i < e n n r t p : f i r m : . ; < a n ) r r r . i . a :

volumulu l d in f igura 8.3,8, compus d int r r rn c i l in-l - r , s i d n ' r 5 r r - r . i n ' p c e 1 ^ - - . 3 - t L i t i v e ,

\

UMBRE PURTATE

Da.d t ra5a 'ea separa t r ; re ; perLru cors t ruc l ia um-brelor proprii este o problemd de tongentd,trasare; umbrelor purtate este o problemd de sec-l tu ' ; P Iane saJ in te rsec{ j ' de corpur t . A , t ie l , umbrapJr ta t ; de r - " vo l , -n pe u ' r p la l se ob t i re p r in. " r ' j ^ r : . p . r t a ^ ' - ) > - : r i l ' - , l r u l u i s a u C o f . ' - i( in cazu l lumin i l a r t i f i c ia le ) de lumin i care imbracdv r l r ' r ' r p < n e r ' . . . ' . - ' . - . a 1 - c i l i n d r u J u i s a Lconu lu i s in t razeJe de lumin ; care pornesc d in sursaluminoasa ia r d i re t tooreo c i l indru lu l sau conu iu io ( o . ( r i t L i e i ' l i s s e p a - o t r i c e a , c , ' e p o - e ' r o r i c i rde cornplrcatS,

Rep.ezenl6ri de drhitecturi in

1 i 9 . 8 . 3 , 1 0

geometrio descriptiv6 ti dronometrie

t i9 .8 .3 .7

1 is .8 ,3 .8

210

f i9 .8 .3 .9

' r caz- unbrc pu tdte pe - r p l . r [H] dc o >fe- i .dupe o d i rec l ie (A) obl ice fa ia de p lanul [H] , unbrava fi o elipsi al cirei centru W0 este proiecliadupi d i rect ia (A) a centru lu i s fere i pe p lanul [H] ,F l ipsa se obl ine secl iont 'nd cu p lanul [H] c i l indru lde iumind c i rcumscr is s fere i ( f ig . 8 .3.9) , Dacd se-parat r icea este o l in ie pol isonalA, ca in cazul cubu-lu i suspendat (un heragon st r imb in spal iu) , umbrapJ- tat ; pe ur p lan [H] se obl ;1e sect lon ind cuplanul [H] pr isma de lumin i dusd pr in separatr ice(fig. 8,3.10). Umbra purtatd este Lrn hexagon cul r t r l A . . 1 ^ r ) . i r F , 1 ^ ' t n : r : l e l e

TRASAREA U I' lBRELOR iN AXONOMETRIE

ln f ;o . . - , lF 1 -prp ; l - 1c . / n ( - . - r ie umore lo r a {oStcxenp l i ' , ca tJ i1 sch i te a \o . tomet r ce ap .ox i - ta -r i , , , o i i r d ; r c . : , 1 r a z e l a r A e l r r m i n ; : t o s r

ta ta de Ln s ingur segmer t ce a-eapre - c i re . r d(A). Pentru construclia riguroasi a umbrelor inaxonomet r ie se a lege o d i rec t ie de lumind (A) inspat iu s i p ro iec l ia sa (8 ) pe p lanu l o r izon ta l ( f ig .8 .3 ,11) . Drepte /e yer t l co le a runce pe p lanu l o r izon-ra l u r ro 'e d r r : ja te o -D; d recr a 18) . A-e : re un 'b rese fring eventual pe planele verticale sau oarecarep c c a ' e I e i n r i l ' e s c . P e r r r - c e l e l a l t e t . p u r i c eC.epte se consLr - re ic r , rL .e le lo r p . n t r -un nu-f t , t - - : t . i a t r r l o n r ' , , _ ' - 1 e , r l - ' ; ,

Constructio umbrelor lo a sursd Punctuald de lumirdn r t , f . r i a l i (

" c , . l p l r m i n l f , n , 1

' 1 . t , . - ^ t t I : - 1 . '

ea apare in axonometr ie t i se noteazi (1 , l ) . Umbrapunctu lu i este ch iar urma pe p lanul or izonta l araze ' dc lumrnE ce t r .ce pr ;n punct ( f ig . 8 .3.12-) .

Alte oplicoli i ole

. f i 9 . 8 . 3 . 1 1

geometriei dercript ive in qrhi lecturi

C o n s t . r , c ! r a u r b r e i l L J , n i n i a r t i f , c i a l i a - u . c r t tde o piramidd dreapti pe planul orizontal [XOy]ti pe planul vertical [ZOY] este ilustrati ?n fjgura8.3 13, ln tersect ia razei de lumrr i ce t rece pr i rL cu p lanul la tera l [ZOY] se face fo los ind cr p l r rauxi l iar p lanul pro iectant a l razei de JuminiUmbra purtati se fringe pe planul lateral de pro-ieclie [ZOY],ConstrucTia umbie i la lumin; ar t i f ic ia ld pur tatepe pianul orizontal de proieclie de c;tre un cubeste jlustrat5 in figura 8.3.14. Umbra purtate seobl ine ur ind in p lanr ' o" izonta l unbre e pu-cte lc .B, C 9i E. Observind figura, se observi cI umbfeleb p I n n i r n a a r e c a r p a l c r n 6 . . l . c h i c n , r : l F l o . , i

ace l p 'an s in t para l " le c r d rep te le re .pccr ,ve , As t -fe l , segme- tu l de u-5 ' ; p . , . e , te pa-a 'e l c r BC.

1 i9 .6 .3 .12

f i9 .8 .3 .13

2rl

f i 9 . 8 .3 .16

f i9. 8.3.17

Regu/i/e de bozd in construclia in axonometrie au m o . e l o - p L r t a : e a l e v o l u m e l o r p r : , r a l i c e s i n l :

- - umbra unu i punc t pe un p lan se ob l ine in te r -sec t inc p lanu l r r r aza de lJ rn jn ; ce t rece Dr ;npurc lu i respecr v ; se foJoses te ca pJar a" r :1 a rp lanu l p ro iec tan t a l raze i ;- daca un segment de dreaptd es te Para le l cu unp lan , umbra sa pe ace l P lan es te Para le le t i ega lacu

"egr re r ru l d ' d rea ,J ta 'esFect iv ;

' d a c i o c , e a p t d n L e , l e P a r a r e l S ' a " , n 0 . " 4 , , *p o a t e o b l i - e u n p u n c t d e u m b r ; p e a c e l p l a n p ' e 'lung ind dreapta p ind c ind in te rsec teazd p lanu lda t ;ace i t punc t se rL res te o r ig : reo ur rb re i d 'ep te i pep lan ( f lE . 8 ,3 .17) ; pent ru a ob l ine umbra drep te les te su f ic ien ta umbra incd a unu i p !nc t a l d rep te l( in cazu l a les , punc tu l M) .

Pent ru a cons t ru i umbre le pur ta te a le vo lume ord r l t g - r a 8 . 3 . 1 8 , s e . \ . a e r l i a z ; s u p r a [ e ' e . ' a f l a r e

i n u - - r " p ' o p ' i e s s e c o r s : ' u r e s t e s - " P j ' d t r . c e a .

Umbra ver t i ca le i AB pe p lanu or izon ta l de Pro iec-

1 je IH ] es te Ab. Segmenr . l BC, ' i i nd o ' i zon ta l ,

de ofhiteclurd in gegrnetrio descriptivd ti oronometrie

f i 9 . 8 .3 .15

Umbrele Io soote in oxonometrie. Sursa de luminAfiind la infinit,- existe o direclie de Iumine (A)$ i pro iec l ia e i (8) . in f ig- ra 8.3.15 s i r t .ep.ezenrateumbra punctu lu i ; i a drepte i .In cazul unor corpurigeometrice agezate pe planulorizontal de proieclie, trebuie mai intii pusd inevidenl; separatricea, intrucit seporcrr.ceo esteceo core aruncd corLuru l umbre; pu- ,d^e pe p lanulor izonta l . Pentru c , rbul d in f ig . r ra 8.3.16, sepa.a-t r icea este l in ia pol igonald ABCDE, iar umbrapur tat ; pe p lanul or izonta l de pro iec l ie rezul t iimed.iat. ldentificarea separatricei nu mai este atade ! imp15 la vo lume compuser care Iasd umbrepu' ta te unele pe cele la l te s ' pe nai mr l te p lane.

Reprerentdri

c

A

\

f i 9 . 8 .3 .20

t

f i 9 . 8 .3 .18

t ig . a .3 .19

va lSsa pe p lanu l o r izon ta l de pro iec{ ie o umbrEpa a e l ; s r ega l ; cL e l (segnenru l bc) . in 'n 'od s imi 'a rse cons t ru ie t te umbra pur ta td pe p lanu l o r izon ta l

iH l ce s rgne" re le DE ; i EF. Segmentu l GF la :5unbrS pe p lanu i [H ] in t r -o zon i inv iz ib i l i i n axono-met r ia a leas i .Umbra ver t i ca le i MN se ob l ine in te rsec t ind razade lumin i dusa pr in punc tu l N cu p lanu l ver t i ca l

[V ] . Se ob t re p r rc t , r n ( f ig . 8 .3 .19) . SegnenruNO are ca or ig ine a umbre i pe p lanu l [V ] ch ia rpunc tu l O; umbra lu i va f i dec l On. Pent ru con-s t ruc l ia umbre i punc t ! lu i P se cons t ru ie t te in t i ip ro iec l ia aces tu ia pe p lanu l o r izon ta l de pro iec l ie .Umbra lu i P pe p lanu l [Vr ] es te p . Umbra much ie iPK pe p lanu l [ \ ] a re ca or ig lne punc tu l I de in te r -s e L ! i e d m L C h i e i c L D l a L l . J n b r a e . s : o b l i n c t r i r dlcu p . l ' l uch ia PR f i ind para le l6 cu p lanu l [ \ ] ,umbra e i pe [V l va f i para le l i 51 ega ld , Se observ iins i ca punc tu l R nu las i umbrd pe p lanu l [V l .Pent ru a JaTUr i na b .ne r l c .u r iJe , se fo lose ; re ometodd de ana l iz i ma i de ta l la t ; a umbre lo r vo lu -- - : . - - i ,e r .e . Dac i se

. u d i c L d r c r L r > P d ! I

c c " c r d : d u L / d r o P c l r r P d , c \ r 5 - d

^ . ^ . - - n a r r l e n r ; h , , n ' v ^ . i : r . r r c n r n r r e l e d r p n r c iu ! w L J P v i ' s !

(curbei ) E i puncte le umbrel pur tate ( f ig . 8 ,3,20) .

Alte oplicofii dle geometriei descriptive in qrhiledurd

l ig. I321

l - ) a : r e e : n p n t r r r r . l c - - . t ' ' . r ' l r 4 . l

umbre pur tate, se poate determina P! . tu l de Peseparatr ice care las i umbra respect ive, ducind orozd inversd. De exemplu, umbra in i , este pur tatdde punctu l lv1 de pe segmentu l AB,Cu a j . , lor l l metodei razelor i lverse se Pot ver i ' icafoar te exact segmente le care lasd umbr i Pe d iversesuprafe le 5 i se pot rezolva u$or umbrele caTe , 'saT"de pe un p lan pe at p lan Cont inu ind t raseul um-b-e or

' r e lerap j c les, se duce o 'azA in !ersddin punctu l J 9 i se obl ine Punctu l I ( ig . 8321) .Seg-rerr r l P j la : i umbra pe Planul LVr] , dar nu St infnco unde Jasi umbra segreatu l JR Se observ i cdumbra punctu lu i J cade in j pe muchia MN ; i apoi, ,sare" pe p lanul or izonta l de pro iec l ie in PUnctu ljo . Segmentu l JR f i ind or izonta l , va lesa umbra jorDarale l ; s i ePal ; cu e l .in cont inuarE umbra este lesat ; de rnuchia ver t i -ca la RS, care arLrce o ur :5 '5 or enta la duPS di rec-t id (3) . Unbra se rupe in l , drpd ca 'e cont nudp" i , tunu verL; :a l [V] cu un segr 'ent ver t ica l ls

213

Daca se duce rd l t l ver sa lL . s : ob f i -e purc r l l L .l J rh - . ' I c p< . - / ^ . i n , r r r t i la LS. in cont n la reaIJ s , Lnbrd esre pLr la t i oe p 'anc ' [V ] de muc l - iaS T . D i r e c r a u r b . c , s e o b 1 , r e u s o r . t i l i z i r d p u ' r c -tu i I r de or ig ine a umbrc i lu i ST pe p lanu l f f i .Este momentul sd se fac: o coreclie separ-atriceii r ' i i a r de ' in i te Se ob .e . 'o c i sesD"cnte le iN s iNO nu fun{lioneazd ca separatrice, iar umbralSsat i de e le (segner te le j ,n s nO) ps te i .g lobaUin umbra cubu lu i , Cu c i t vo lumele s in t ma i com-o ica le . c . r a t i t ,o 'ec r i i le oo oarcL-s s "nr ma, nu .n'reroase. PunctuJ j0 sc numegte pt)tlci de pierderede spe lo i 5 i es te de f in i t ca p lnc t in care dou i l ln i i. c , : m ^ r i 6 r . r : r : . . . , . - - - - . - - - a P e a ( e e a s r s L P " a -

- - - n r r l ; a n . a i . r r a lr d . d \ r r d L c > l

Pulc 'e l^dcp;erde 'L d r spe lo / / s t r pu ' tc re lede in tc - -( F . r : A / t ' 1 r r c . l t - i ^ / t . n \ . ) n J r t a l a S r O I t n i e C e

umbfe propr ie ,Construc l ia umbrej se incheie in f igura 8.3.22.l ' luchia ST las i pe p lanele or izonta le tHl ; i tH l< p d m F n i F d p r m h r ; n r r : l c l p r r e : i : r n o n l r a r , l- - - T - ' -

. - r r - a l l V " ] J i < i o J r n D , a ' n - l - ] r i c J o i i S r ' e d 1 r

p , - n , r - l T . i l s ' i r , r . | r u - , . d T U o o a r a p e p l a -

[Hr] o umbri para elA cu ea.

F igur i le 8 .3 .23 t i 8 .3 ,24 i lus t reaz i t raseu l umbre lo ri , a l te dou" e^empre de vo lJ*e LonpLse, ia 'f r g ' r a 8 . 3 . 2 5 p r e z i l t ; c o r s t r J C r : a J r b . e ; . ' t a t ea unu i ParaPet pe t fePte .

in genera l , pent ru cons t ruc l ia umbre lo r sce f j lo r ,se s tab i le t te ma i in t i l unde cade umbra PUnctu lu iA , Apo i se cons t ru ie i te umbra l reapta cu t reaPtal ' r te rsec t i -d p la lu \ e - I ' (a l a : con t ra t reDte i cLp ia ' ru l ver t i ca l a l oaraper r r . i ' czu l td p rn ' tu l deor ig ine a umbre i g i d i rec l ia umbre i pe cont ra -treapte. Dacd paraPetul este inclinat f i urmeazipanra sc ; r i i ( f i8 . 8 .3 .26) , unbre le lasa te de e l pei rep te ( .espec t / con t ra l .ePte) vo" f i Para le le s iegal depertate de parapet, In acest caz, in caTe

construclia se repete de mai mu te ori, se pot folosi

pu-c teJe de or igne a rmo|e i 111. 12 5 i 13) ; raze le

inverse,

lis, 8.3,22

f ig ,8 .3 .2 r

214 Repretentdri

t i9 .8 .3 .25

de qrhitecturi in geometrio detcriptivi t i oronometrie

Fisur l le 8.3.27 s i 8 .1.28 i lust reazd construc l la un ' l -br :e i pur tate de un caPi te l pe o.co loani , iar f igura8,3.29 reprez intd t raseul umbrel une case cu aco-perig in patru aPe.

lJnbro sferei in oxancnetrie izonetricd Pentru aconstrui o sfere in axonoinetrie izon'retric; se con-5truieste

'intii ecuatorul ei care aPare ca o elipsi( f .g . 8 ,3.30) . Const ' r ,c t .a e l ipsel se {a-e r r in in-i . i , " r " 'n

PEtrat f '1 i . , rce le la lur i o ' p : t r? ' r 'J lu i( D u n c t e e 1 , 2 3 5 i 4 ) ' r t

P r r c r c a l e e l i p ' e P u r r -ie le de pe d iagonal" se cnnst 'ue,c obt in -d ra 'intii punctul 5

-care imparte segmentul AO in ra-

oortul l,Z Raza sferei are lungimea 05''Se conslderi sfera a5ezatd pe planul orizontal de

p r o e c t i e [ H ] . S e o b l i n e p u n c r l S d e s p r i j i n p e

olanul [Hl - constru ind uru l d i r ce 'cur i le mer id ianeale s f " ie i - ( f 'e , 8 .3.3 ' ) , Mi j loacc le la t - r ; lor suPe" ' -oari s inferi"oari ale pet-atului in care este inscriscercui mer id ian s int ch iar polu l nord ; i po lu l sudal sferei.

f i 9 . 8 . 3 . 2 6

Alte opl icof i i ole geomelr iei descript ive in qrhitecluri

t i 9 . 8 . 3 . 3 0

' l ig. 8.3.27

f i s . f i 9 . 8 . 3 . 3 1

215

1-

i i s .8 .3 .29

Dacd se alege o direclie de unlbri in axonornetfle/ \ A l i r : < F , , 1 ' , d h r F i n r ^ ^ r i ; ( p ^ . t i ^ a : m F . i ) r

( f ,g . B 3 ,32) . Ce"cr , l n ra re a r s 'e re care de l 'T teazdr r m h r : n r n n r i a e c t p n p r n c n r l r , l r r n p r , - : l o l ' -

m . ) . a - . . 6 | < .p -e i Pcn t r l cons t r r - c- i ' r rmh rp F r r t , - a <F r , . n l ec - -azA c -n i r - l O a lsferei dupe direclia de umbri (A; 8) 5i se obllnein [H] centru l Oo a l e l ipsei de umbrd. Umbrele10 20, 30 s: 40 lesate de puncte le 1, 2 ,3 Si 4 aecF'c- l r ; de urb i p 'opr ie se obl in '1 .1od a,e-m - r ; r . - c l i r < ) d F , r ^ 1 h . ; i , ' " . : - a s e c o n s T r J ; e s t ecL a jJ to ru l aces to- pa t ru PUncte sau pr in op tPUncLe, Fer t ru a obr ine o cons t ruc f ie ma i e^ac t :Se observd ca in exemplu l a les , d i rec t ia de umbr i/ A A \ : r e o n o z r r i c n , . 1 . r l : r ; l . . . , , , r . . . , l\- ",/

t i9 .8 .3 .32

2t6

a l une i d i rec l l i de umbr i oarecaTe, se in te rsec teazdmai in t i i s fe ra cu Taza de luminE dus i p r in cent ru le i , ia r apo i se seq ioneaza s fe ra dupd p lanu l perPen-dicular pe aceastd raz6, oblinifdu-se cercul de umbr;p ropr ie .F igura 8 .3 .33 i lus t reaz i t raseu l in axonomet r ie a lu r ib re lo r unoT vo lume as t fe l compuse inc i t s icupr ind ; c i teva d in exerc i l i i i e PrecedeNte

U14BRELE VOLUMELOR DE ARHITECTURAiN DU BLA PRotEcTtE oRTocoNALA

in dub lS pro iec ! ie o r togona la , d i rec l ia de lumin ise alege in mod convenllora/ la 45', atit in proiec-

lie vertjcald, cit i i in pro ec!ie orizontali (f ig8 .3 ,34) . D i rec f ia de luml rb es te dec l d lsgono ldlntetiaard o unui cub care are felele confundatecu ce le t re i p lane de pro lec l ie . Ungh iu l Pe care i l' dce c ,dSora l r cubu - cJ fe 'e .e sa le e ' rP , i <pa l iu ,

de 35 '16 ' ( f ig . 8 ,3 .35) . D i rec l ia ! rnbre lo r conven-

l iona le la 45" es te aceeag i cu C l rec l la axonomet r ie itzomet lce .

Umbre le t rasa te la 45" reproduc in une iecazur ifo r ra s c r re r : ' rn i le vo lun e lo ' P 'o :ec la .e s :reda! ad inc imi le d i fe r i te lo r p lane f ron ta le . T raseuumbreor la 45" face pos ib i le cons t ruc t la umbre id i rec t pe o fa ladd ( f ; rd u t i l i za rea P la ru lu i ) sau d i rec tin plan (folosind numai cotele)

Reprerentdri de orhitecturd in geometrio descriptivd ti oronometrie

f i 9 . 8 .3 .33

Unbrc pun. tL i lu i ; i c d rep te i , Drep" te le 15 ; t , ,U ' ,s in t p ro iec l i i l e d i rec f ie i raze lo r de umind ( f ig8 .3 .36) . Para le le le la aceas ta d rec l e duse pr aex t renr ta i i e segn. ten tu lu i au u fmele or izon ta lein a ; i B (u rnbre le ex t remi id l i lo r segnrer tu lu i ) .Ur rc ra segmentu lu i de drea l t i Pc P la r ! o r lzon-r a e s t e o ? . i n t u a ' r p t u i l r . ' L c . ' e s : e o t d 'aceasu umbra se fringe in k pe axa OX ti va tr€.epr in u rma ver t i ca l i p ' , Um'c ra segmentu l i c ledreaptd pe ce ie dou i P lane de Pro lec l ie es ie dec il in ia f r in ta akg ' .Umbra u fu i scgment AB Pe un par oarecare PP 'se a f ia in t l -sea i ind para le e l : la d i rec i ia razc orC e u m i n i ( d u s e p r i r A 5 i B ) c u p a n u l d a t P P '( , , s . 8 . J . / ) . D a c i n L a . e / . > . d P t " l P P . u r b - "i c g n e n r u l r . p e p l a r L . r ' e r t : c a l a c I o . p . D . u r o r asegmeniu lu i AB se f r inge in r ' .

Umbra unei drepte PerPendiculare pe unul d inplanele de pro iect ie ie i raseazi dupi d i rec l ia la45". AceastA Proprletate permite enunlarea ur-r'r;foarelor dotd reguli suplimentore in trasareau mb re lor convenl ionale la 45"1- umbra unei d iepte de copdt pc or ice prof i l (suc-cesiune de suprafele plane sau curbe) apare.i'rproie.lla verticold ia o dreapte incl nati la 45';aceastS. proprietate se Poate verlfica in figurilea ? ? c < i 9 1 1 9- ;;d;.';;;i drepte verticole pe orice profil apa-ein proieclio orizoniold ca o dreapti inclinatd la 45';aceastd propfietate se Poate verifica in figurileB.3.40 ; i 8 ,3.41.Aceste doul regu i ' ad;ugate ce lor t re ; regul i dcbaza er- - ta te 1n subcapi to lut re fer i tor la t raseulumbrelor in axonometr ie , Perrn i t rezolvarea t ra-

Alte opl icdl i i ole geometriei descripl ive in srhiteclord 2r7

s i r i i umbre lo r con , , ,en l i cna le la 45" in p ro iec l iedub lu o r togona l i .C o - s , r u c i ' a u m b ' e . o r 1 - - c p r : i i P J r r a t e d l e u ' l F lpiramide triunghiuldre este i lustrataii, f igura 8.3.42D a c " r u a . f r p l a n L , l r ^ r t i r a l c e p ' o i e ( l ' e , r , ' n b r aDU' rd la pe p anu o ' ro r . la i a " a jJ l8e D 1d .n pu" lctu l v l .Canstrucl,io umbrei certului este i lustrata in treif igur i . in f igura 8 .3 .43 es tc cons t ru i td umbra unu iccrc de r i ve l car e apa 'c dc rap t c : i r te "sec l ia u ru ic i l i r c . r o b l i c c L o a ' r e ' a d e p - o i e . t i e

' n f i g L r aA ) / 4 - 6 - . - . . . ^ n ( . . , i . o 1 - \ . " u n u i c c r c [ r o n _t : l < . n l n

' n p v i r i - n t i r p l e c a t t . J ' , m c f . c . n n i I l -

l i 9 , 8 . 3 . 3 4

f i s .8 .3 .35

gate; i in f igura 8.3. '15 este constr ! i t i umbra unuicerc Ce prof i l .Unb-a " , t t t ' s ,1 v ' l l s l e5 te de faP i o I t c rsec t 'ed- co - i u r r : re pur ra re (J . ,9 . 8 .3 .15) :- umbra lSsat ; de sem cercu l mare cu ce l t ru l-1

(oA:- umb.a l i sau de semrcercu l m ic cu cent ru l

.a t t

O t ;- l rb ra segre . ' . ; u i de c "p i ' mn (sePd 'a t r i ce) 'care es te locu l unde razee de luminA s in t tan-gente la cerc .

Reprerentdri de qrhitecturd

f i s .8 .3 .36

f lq , b ,5 .J /

in geometrid desqript ivd t i oxonometr 'e218

f i s .8 .3 .39

0

Ic"

I

/g

f i9 ,0 .3 .13

1 i9 .8 ,3 .14fis, t.3.r2

Ahe oplicolii ole geometriei dercriptive ?n orhitecturd 219

t ig .8 .3 .a t

I

lr

0

f i 9 . 8 .3 .47

1 i9 .8 .3 .45

f i 9 . 8 . 3 . 4 6

Trosqrea unbrela, converil iaiale o/e scdri/of Se vora n a : z a C o J A T i P . ; - . d e s c ; - i ia ) cu Parapet de capdt ; aoar c ioLa s i t -a l i , - c " ldL-nbra p-ncLJ . A(a a '7 cade oe t reaD- , r / f ,8 .

8 .3 .4 f sau pe cont ra t reapta ( f ig . 8 .348) Umbree

220

scariJor se construiesc treaPtd cu treaPtd' fdcindr . , - . .11 qg,6;pordenta p an-vecere Ve' t tca a are

c a u m o r ; p e l : P l e o l i r i e c o n t i n u d l a 4 5 " , i n d i ' e -r-ent de cota lcr' Dr"eapta de capet lasa Pe contratreP-te o umbre sub forrna unei drePte conl inue inc l lnateL 45 ' , ind i f " , "nt de pro lunzimea lor ' Umbra unei

in t r : r l cu co)er t in i t l scar : este i lust ratd in { igura

8 . 3 . 4 9 .b) u poropet cb i ic (Ce prof i l ) l Pentru determrrareaumbrei pe co:tratrePte' se foloseSte meto'Ja rozelar

inlerse in proieclia laterale (fig 8 3 50)

Renrezentdri de.qthitecturd in geolnetr iq descript ivd t i qronometrie

fis. 8.3.50

Ahe opl icdl i i qle geometriei descript ive in orhitecruri 221

, ig, t.3.51

1-

f i9 .8.3.52

Umbrele pe o.operit. Se vor analiza umbra cotului,umbrele acoper i tur i lor denive late f i umbrele lu-carneior . 'a) Umbro cotuiui. in exemplul din figura 8.3,51 s-autilizat proieclia iaterald. Se observi ce verticalele

fig. E.3.53

arunca, in pro iec. l ia ver t ica l i , umbre inc l inate subacela; i unghi 0, care este de f rPt Pa- ta .acoPer ilu lu i . Acest lucru face posib i ld construc l ia umbreiin pro iec l ie ver t ica l i i , far ; a ut i l iza Pro iec l a or i -zontala sau cea laterali, folosindu-ne de ungl'.u' tl

.r11 Reprerentdri de orhile(turd in geometrio descriptivd ti olonom.trie

I ig. 8.3.5.1 fig.

( p a n l a a c o p e r i s - r l . ' ) . . . C o ; t r u . L : : 1 - ( ? e . - p u n c -lu l 6 ( f i ! . 8 .3 .52) .

- ., F . 1 - ,D) UmDreie acoPet ,.rt . lc - c- , , r l-o 56 cc -- esccur ,osc ind pro funz imea fa lade i in raDor t cu co f f i sa

p - n c r e l c 1 s : 4 ( f i g . 8 . 3 . 5 3 ) ,

c ) Umbre le lucarne lo r se cors t ru lesc cu a ju to ru lungh iu lu i 0 (panta acoper i t ! lu i ) , Cons t ruc t ia? n c e p e d i n p u n c t e l e 1 ; 2 ( f l g , 8 . 3 . 5 4 , . . 8 . 3 . 5 6 ) .Umbre le pe co lco d s in t ana l rza te in t re i s tua l i i :- cb6ca cu rrLtchii de co,pdt (f ig. 8 3.5f, in care,s L o b - e r . a c : . - L c h i a d e c r p a t l a ; j F ? c o ' c a r ; oumbr i inc l ina t i la 45" -p 'a ' , Punc tu l s ' es ie6 r . . + . J a . i F r . l F . F l a < n c r . I

n g . o , J . t /

Alte oplicoli i ole geometriei descriptive in orhitectur6

8.3.55 f ig. 8.3.56

- umbro abccei pe plon verticcl (fig' 8.3 58);- aboco rat i t i cu 45 ' ( f ig . 8 .3.59) , la care s a fo lcs i tmetoda raze]or inverse.

Flgura 8.3.50 i lusLreazd construc l ia umbrei ba lco 'nului pe o fa1add, iar f gura 8.3,6'1 rePrezinta umbreleorcadelor taritale, Se intersecteazb urnbrele semi-cercur i or de centre 1 F l 2 . Se poate constru i d i rectcu compasul t ras ' i rd umbrele 1 s i 2 a lc centre lor ,F igura 8,3.62 iJust reaz; umbrele unof n i te s fer icein i r -un exemplu mai complex ( f ig , 8 ,3,63) s in tj lust rate umbrele convenl ionale in Pro iecf ie dLr-b lu or togonald a le vo lumelor TePrezentate inaxonomelr ia d in f igura 8.3.33,

f i 9 . 8 .3 .58

223

1 i 9 . 8 . 3 . 6 1

L

224

t i9 .8 .3 .63

Reprezentdri de crhitectu16 in geometrio descriptivd si oxonometri€

l

I',l :

I

1 i9 . 8 .3 60

84, GEOMETRIE 9l COMPOZITIE

CONCEPTUL DE PROPORTIE

Teore t ic ien i i de arh i tec tu r '5 ! i a r t5 s in t de p i re re

ce 'n rcnpoz i ' , ie concePtJ l ce l mJ i r rPo i ia l t es l . '

conceptul de proparlie, f ie ce este uti l izat in mod

con i t ien t , f ie c .1 se ap l i c i in mod incont t ien t

fitte oplicoli i ole geomelriei des.i iptiYe in orhilecturi

l l' i

i li _ - " - - , - - , - - - - , - - - , , - - - - - - - - , . )

f i g , 8 . 3 . 6 2

Din punct de vedere matemat ic , ProPor l ia estee?Jr . la i6 o caud rcpoc!Le, De erenplu ' l . l sesmenlcdi dreaprS, ropor tu l a-ve do '5 scgn'er te AB

; i BC se scr ie AB/BC sau a/b, dacd AB : a ; i BC :: b , Fropor l ia geometr ica se numette d iscont l -nL,rd, ln cazul gene'a l in care cei paL 'u termenis 'n t d . 'cr i ! , ad ic ; a /b . c /d, ; i cor t io t ,d ' ;n cazulin care doj d int re ce i patru termeni s in t ident ic i ,ad icd a/b : b /c . ProporJ i i le Seornetr ice, cont inuesau discontinue, pot avea oriciii termeni, ca inexem ple le de mai , jos:

alb - cld = e/f : g/h :

sau

a l 6 : b l c : c / d = d / e :

in ambele cazuri existi o permar'enld o unui ropartcorccteristic, De aceea, conceptul de ProPorliein t roduce, in afara unei s jmPle masurdr i t i com'Darat i i , ideea unei ca l i ta l i Permanente t ransmis;de la rn raoort la altul; acest inv1riont analogic stA'

la baza unui principiu de ordonare (Ghyk'o ' 1.981)'Din ounctu l de vedere a1 propor l ie i , cea mai im-Dortantd f isufe p lani este drePtunghiu Caracte-i ' ls t ica cea i ra i important i a unui drePtunghi esteropo ' rL . . r , . ra : - ̂' i s ' : ( rapo" d t L 'e La tJ 'd

L n s ; s i l a - u - a < c J r L t l o o t e o r e p L u ^ g r i u r i e c a r e

, r . . , o " -e o r . ' "Po t - : ' r : : ' r ; sL a s l r t o^ - lo t ' - i ce Aces t

raoort a/b ooate fi un numdr ralional sau iralional'

Mat l lo Ghyko numel te d rePtungh iur iLe care au un

)t1

f i g , E .3 .59

raport ralionai ' intre laturi - dreptunghiuri sto-tlce, iar dreptunghiurile caracterizate de un raporti ra l ional *dreptunghiur i d inomice. Dreptunghiu-riie dinamice permit o flexibilitate ti o diversitatemul t mai mar i dec i t dreptunghiur i le s tat ice, inspecial in compozilii le de arhitectur; ti arte.

SECTIUNEA DE AUR

Sec! iunea de aur este cea mai s inp ld propor t ieasimetricd oblinutd atunci cind se incearcd sa sereduci ce i t re i termeni a i unei propor l i i geometr icecont inue a/b : b /c la doi termeni . Cea mai s impl imodal i ta te de a real iza acest lLcrr r p<ip de : nrp-sJpune ce c - a + b; in u..r, ."r,

-pijor,J; ;";i;

alb: bl(^ f b) sau b/a : (a f b)/b. Raportut ca-racteristic care trebuie calculat este b/a (unde beste mai mare decit a) ti se obline astfel;

( b / a ) r - b l a - 1 : 0

R5dacina pozitivd a acestei ecualii este:

b/a :1 }5a \12 :1 ,616 . . ,

Acest raport caracteristic a fost numlt de greci, ,sect iune" . In anul 1509, Luca Pacio l i l -a n imi t,,propo4ia divin5", iar incepind cu Leonardo daVinc i se numegte , ,sect iunea de aur" . Numdrul( [ i +1) t2:1,618 . , . s imbol izat pr in l i tera 8re-ceascd O, are proprietdli aritmetice, algebrice pigeometrice cu totul remarcabilet astfel se poateverifica c5:o :1 ,618 . . .1 ta :0 ,618 . , .(D2 :2 ,618 . , .D in exp res ia (b /a ) r -b /a -1 :0 sautD'-r :O +1, se obl ine (mult ip l ic ind ambi i ter-menicuOdeoricenumArde or i ) O' :On-t + Oi-r ,ceea ce se exprimS,astfel: in orice progresle sauserie avind ralia O, fiecare termen este eqil cu sumacelor doi termeni precedenl i . Aceast i 6rop.1q161qpermi te o construc l ie geoTetr ic i i r red ia i j a ser ie i ;avind doi termenj succesivi, se pot construi toticeilalli termeni cu ajutorul compasului.Construc l ia rapor tu lu i O - ( /9+ DIZ = 1,618 . . .este cunoscute din subcapitolul 5.2 referjtor lapoliedrele regulate; este chiar raportul dintrediagonala gi latura unui pentagon regulat si inter-v ine in major i ta tea re la! i i lor po igoa^eJor regulatet t semtregutate. Lonstruc l ia rapor tu lL i este amintitein figura 8,4.1, unde AC/AB : (],5+ 1y2 : O,

t''g' 8 4 3

Daca se d; un segmelt d-e dreapta AB' se poate

r:l[l :i il,ru;:,:,.';[:';tT'13f,3;lg'io-

"T*, divlzit dupa'secliurea de aur'-Drept-

, ' noh iu l EFCD es te u1 dreDtungh l ce aur (u \ - /EL ' / ' :

;"Hr"l -f

rul*Xm';: ili "' d rePtunghi

n.p"i',ii a ",.i *.- lny- -lli'. i;,li;::i" :;Ti:;nuiui inscr is este @ RaPortut ot

i;.:;;;';i"iJ;l 'aza cercului circumscris este de

asemenea @.

t i g . 8 . 4 . l

l ig. 8,1.2

226 Reprezentiri de orhitecturd in geomelrio descriptivd ti oxonomelrie

",ti t

I| , 'i . - "

iI

t

8.3.62

D:n pLncl de vederc rat :mat ic , ProPo'1 i l estetpat . o ' - , o caud tcpac ' tP, De exemplu, la scgmertcd! drerprd, rapot tu l a ' | re do-a srgmerre AB

; i B€ se scr ie AB/BC sau a/b, daci AB : a ; i BC :: b , Propor l ia geometr ica se nume;te d iscot t / -nud, in cazul general in care cei patru termenisint dlferili, adici a/b : c/d, ti continud, in cazulin care doi d int re ce i Patru termeni s ' in t ident ic i ,ad ic i a /b: b /c , Propor l i i le Seometr ice, cont lnuesau d iscont inue, pot avea or ic i l i te imeni , ca inexem ple le de mai jos:

f ig.

a lb : c l d .e i f : g / h : . .

a lb : b lc: c/d = d/e : ,

f ig. 8 3.60

8.4 . GEOMETRIE ; l COMPCZITIE

CONCEPTUL DE PROPORTIE

Teore t ic ien i i de arh i tec tu r ; t a r i i s in t de p i re rec j in conpo l ; l c concePtu l ce ' 'n : I i iTDor lan t es te

canceptul de propotlie, fie cd este r.ltllizat in modcont t ien t , f ie c i se aP l ice in mod incont t ien i .

Ahe qplicdli i ole geonielriei desciiptive in orhilecturi

in ambele cazuri exlsta o Permanenti a unui rapartcaracteristic. De aceea, concePtul de proporliein t roduce, in afara ure i s imPle misurar i t i com'parat i i , ideea { rnei ca l i tAf i permanente t ransmisade la un raDort la altull acest invariont on1lagic slt!a baza unui pr inc ip iu de ordonare (Ghyko, 1981) 'Din ounctu l de vedere a l ProPor l ie i ' cea mai im-por tant i f isuf ; p lani este drePtunghiu l ' Caracte-i i . - . .0 . " , -na i importa- : ; a J-u ' drePTJ-ghi ester d D o f r , l ; . . - ' l c - . ' ; - L i c ( - d P o r t L l d - f r e l a t J r a

l - ^ p i s l a ' - ' - s ' u r t i ) T o a l e d r e p t r r g f i u r l s c a r e

r , " l e i . s ' a ) o . L c 1 ' l . L c ' i s t i c ' " - t o n o i c l i : e A c e s t

raocr t a ib Doate f i un num5r ra l iona l sau i ra l iona l '

Mot i la Ghyka numel te d rePtungh iur i le care au un

225

lapor t ra l ional tn t re la tur i -dreptunghiur i s to-tlce, iar dreptunghiurile caracterizate de un raporti ra l ional * dreptunghiur i d nomice. Dreptunghiu-r i le d inamice permi t o f lex ib i l i ta te l i o d ivers i ta temult mai mari decit dreptunghiurile statice, inspecia l in compozi t i i le de arh i tectura $ i ar td,

SECTIUNEA DE AUR

Secl iunea de aur este cea mai s impl ; propor i ieasimetrica oblinut5 atunci cind se incearci sd sereduca cei r re i termen. a i unei propor f i i geonctr ;cecont inLe a/b - b /c la doi rermen; . Ced r ra i s i rnp lamodal i ta te de a real iza acest lLcru este de a nrc.sJ lune ce c : a + b j in u. " r t .u . , p- iJr ,J ; ; . : ; ;alb: blg f b) sau b/a : (a f b)/b, Raportul ca_racteristic care trebuie calculat este b/a (unde beste mai mafe decit a) gi se obline astfelr

( b / a ) r - b l a - 1 : 0

Rddecina pozitive a acestei ecuatii este:

b ia : ( l /5+ 1) /2 :1 ,618 . , .

Acest raport caracteristic a fost numit de preci, ,sect iune" . In anul 1509, Luca Pacio l i l -a n imi t, ,propoqia d iv in i " , iar incepi rd cu Leonardo daVinc i se nume;te , .sec l iunea de a l r " . Numiru l(Vl 1 t112: 1,618 . . . s imbot izat pr in l i tera gre_ceascd (D, are proprietdli aritmetjce, algebrici gigeometrice cu totul remarcabile; astfel se poateverifica ci:o - 1 , 6 1 8 . . .1 / O : 0 , 6 1 8 . , ,a 2 : 2 , 6 1 8 . . .D i n e x p r e s i a ( b / a ) r - b / a - 1 = 0 s a uOn-r : O + 1, se obl ine (mul i ip i ic l rd ambi i ter -menicuo de or ice nurner de of i ) On: O"- I + O.- r ,ceeace-se exprimA-astfel: in orice progresle sauserie avind rajia O, fiecare termen este egal cu sumacelor.doi termeni pr€cedenli. Aceast5 !ropri"t"t"permite o construcjie geornetricd imediaid i seriei;avind doi termeni succesivi, se pot construi totice i la l l i termeni cu a jutoru l compasulu i .Construc l ia rapor tu lu i O : ( /5+ , lZ :1 ,618 . . .este cunoscutd din subcapitolul 5,2 referitor lapol iedre le. regulate; este ch iar rapor tu l d in t rediagora la p i la tura uru i pentagon reguJat s i in ter-v lne ln majo ta tea reta l lor po, igoaneJor repulategi semiregulate. ConstrJc l ia rapoi tu lu i esre"amjn_titain figura 8.4.1, unde AC/AB : (1,6+ 1)/2 : O.

f i g 81 '3

Daca se da -n segrnent d€ creapTe AB' se PoateJai i - . ' rn uf t re ; lea PUncl c ast ler " rc i t -AB/BC:

" j ' r i ie i :o ( f ie l 842) in f igu 'a 843 o; t ratu l

ngCDt ' " f * , d u) , i t dupe' t t t l iunea de aur ' D 'ept-

i ̂ ?i, irtb "t"

L.,n dieptungt'i de arr (DC/ED-:-"oi. r", a..pirnen;ul ABFE-ttr" ur drepturgLi^^-.i^"., tlr

'tadici AB/AE : ol

n""oti"i 'at,.i:

taza unui cerc si 'a;ura decago-

nuiu i inscr is esLe O Raportu l d 1"e laTUTa untr l

#;;;-;i;i.i;l raza ceicului circumscris este de

asemenea o.

t i g , 8 . t . 1

tlg, 8.1.2

II

iI

226 Repreterlir i de orhitectu16 in Eeometrio deJcriptivd l i otononelrie

,]

SIMETRIE DINAMICA

Pr in s in re t r le , a .h l tea l i i g rec l 1 i roman i (ca s i ce igo t ic i , dea r fe l ) , i r le legeau , ,concdJ 'aTed" sauiepa.ea ru 'u ro . e l^ r ren te lo r u -u i a^sanb . t p 'e ;s ' '

ta i in t r - -un se t de proPor l i i tn rud i te . V i t ruv iuafirm: in tratatul siu de arhitecturi ca, at!.. lnci cind

se as igura s imet r ia sau cornodu larea in t re e emente

s i i - t i e c l e - c ' ^ r e s a ^ s i r r o l - , s e o b l i n c , e u ' i t -

m i e " .

S im. t t ia d incn lcd sau s imet r ia de gradu l do i (ba-za td pe rapoar te cu va lo r i nun- rere i ra i iona ie )

inseamne cA, de? i e lemente le l in ia re (segmente lede dreapt i ) u t iL lza te i r conrPoz l l ie au va lo r i i ra -t iona le ( incomensurab i le ) , supra fe lee cons t ru i tepe a .es te segnenLp po ' { . corers - 'a5 i le ( ' rdiega le p ' i ' ' ,a lo r i ra l io ra le ) . De e . " -P l r ' s . o r " -

fe ;e le p l t 'a te lo r de ld tJ r . P 'opo ' l ,o r r l ' cu /7s i

' /3 se vo . a f la in rapor tu l 2 i 3 .

S i m c t , a c i n a m ' c ; s e o b l i r e r t | : ' r I ' ' c o n P o 7 ; t : ed . e p t u . g h i u r i d i r a n i c e d c e e r n p i . d r e o t - 5 L i , r

rile cu rapcrtul laturiior egal ,t't lT, li, 1,5 0','|,6i i @ 2 , X a t i l a G h y k a c o n s i d e r a d r e p t u n S h i u r i l e c urapor tu r l . t tu r . lo ' egr l c r , 1 (Pat ra l - l ) s i 2 (dor5p ; t ra te aa ia .e ; r te ) ca ' r i -d a { r s ra l i c^ ' c " i s ; d 'n : -m c e 1 6 \ y l a ,

' l a J i ) . l T P o r l a n t a , g r a l u l u i d e r ; 'd e n . e ' ' d , n r e d : e P r L - 8 r . J i i p r ' o r " d r L ' o l c g cde compcz i l ie ment ionata de Leon Bat t i s ta A lber t i: : recescoper . r i de 1ay H"orb idge s i a u ' rc " leg ; :neamestec i r i i p ropor f i i l o r sau temelc r in t r -oc o n p o . i t i c p l a n i , i - t ' o r e . : e ' r e l c o - n p o z i l ct febu ie fo los tc nurna i raPoaf te sau teme in rud i te

De p i lC ; , d rep iungh iur i le de rapo t r l r ' O '? , l ' 6 S i

l ' / i s in t in rud tc in t re e le dar nu se in rudesc cu

! reptunghiur i le de raportJ 'Tsl ' f 'T eropor; la l , ' 'O :- ' 2 1 3 . . . . - o a - L - n : l - P o ' t a r I l . 1 r : r - c i :

sc i r i imp l ; ca mr l ie Tan^re de tab lour j s i a ib i aceas-

t; pi 'oporlie. Seur-at a Ioiosii r:PortLrl I ' IO in majo-r i ta tea co inpoz l l i i l o r sa lc .

Pr in compuner i s i descornp!ner l ce e lemen ie ca-i l - ' e r ' l d L ' o e : a P o - l J ( t r r a - a : - . : o r t c l - t u d t e '- - r r P c t o r i - l i r - . r - r r r a t e a l z , . - : , , c o r p - z ; i 'aTrnon ice" . F igura 8 .4 .4 rePrez n t i o aseTneneac o - p o z : t c r e . : ' , z r ' i d c D . W c n : r D e o r ' ' e a d erapoar - te aTT, ' ron ice rea l i za ie pe un drcp tungh i dea u r d e d i m c n s i u n i 1 m / 6 1 , 8 c m .

APLICATJILE SEC TIUNI I DE AURiN ARHiTEcTURA

A n a l i z a c u a j u l o r u l , , s u b d i v i z i r , n i l o r a r m o n i c e "e fec tua t i de Hambidge asuP|a P la rur i lo r temPje-lo r q reces t i , a vase or 5 i e lemente lo r decora t lve ,conf i rm i in te rpre tarea lu i V i t r !v iu p r iv i toare la

, , s i r n e t r i e " g i , , e u r i t m i e . F i g u r . r 8 4 5 l l u s i r e a z iana l i za fa lade i Par thenonu lu i de c ; t re Hambidge

5 i ev idenf laz i p rez . 'n fa d rePtungh iur i lo r de t ip

, ,d inamic" , Toate co te le rea ]e g is i te in monu-mente le g recet t i d in peroada c las ic i se incadreaz ;in s is temul sec l iun i i de a ! r , a t i t in ceea ce

"p r ve i te

compoz i l ia ansamblu u i , c i t t i de ta l i le l i r t reagaa- rh i iec tu r i g receascd c las ic i es te modu la td 1 i con-figurati dupi regula prin excelelr 'f; orgai.rici a

se l t iun i i de aur (Rod lcn , 198 '1 ) .

, Cr . tc r p 'opor l i lo ' 1 ts . R RcC: "

fd tL - ra "e -r i , : i ' r -e .

'198 ' ) l ra teara :n d r t r l I ap l ca l i ' e

sec-

t iun i de ar , r in a rh i tec tu ra tu tu l -o r t imPUr i lo r ,

incep ind cu Or ien tu l an t ic , Eg ip tu l , Grec ia ; iRoma antc i , con tnu ind c . ] Evu l l ' ' l ed iu 5 i Rena; -

te rea s i inche ind cu epoca modern i t i con temPo-

ran i . S in i s tud ia ie leg i ie compoz i l ie i pune iea i r

pfoporli.:, traseele r. 'sLllatoare (ca trasee Seome-

t r l ce de compu;1ere a fa lade lc r ob iec te lo r defi9. 8.4.4

Alrc opJicoli i ole geomelriei dercriptive in drhile.lufi1 1 1

'>4\=*-

_1 Lti

\

I

i

f i s . 8 .4 .6

f i 9 . 8 . 4 . 5

arhi . tecture) ; i , dupd o incercare de s i r tezd, s informulate citeva recomand:ri refer roare ra compozilie.

l i e a c ldd i f i lo r es te , in a rh i tec tu ra contemporanajocu l d in t re p l inur i ; i go lu r i . De asenrenea, n tmu larh i iec tu ra l poate cont r ibu i g i e l la o bunE punerein p roporJ ie , ia r modu larea , ch ia r ; i cea impusdde indus t r iaJ izarea cons t ruc t i i l o r , nu cons t i tu ie op i , - J cA, der " p rodrce eu" . t "n .e lRcd or , 1981) .I S T . : . t ' , ' T e D L . e p : r , r t e 5 t . u o o a r e c a r F r e z e r ! j

s F l e c a L I : e a p ' - . 1 , j e s e c t : u r ' , d e a u r s i a l e c o m -por , t , io - , ,a -To ' . ' ce" in a rh i tec t , - - j . Pr 'na obser -vaJie este aceea cd multe trasee regulatoare apli-ca te n ronurnente lo r de arh i tec i ! re s in t cons t ru i tedes tu l de arb i t ra r , fapoar te le t i p ropor l i i l e teore-t i ce spr i j in indu,se de n- r ! l te o r i pe e lemente s ide ta l i i secundare g i nu neap; ra t pe e iemente les t ruc tu ra le s i compoz i l ionaJe impor tan te . in a ldo i lea r i rd , p r in compl icarea or icEr .e i compoz i l i i ,p robab iL i ta tea de apar i t ie a sec i iun i i de aur c re t tefoar te muh, De exemplu , rn s i rgur d rep tungh i5 c l i o n a : d c o r ' : ' s r ^ . s a l a s i o l o . g , L u C i n a r d d inaSt€ |e unu i numer de 9 d rep tungh iur i . Pr in in -t roducerea a pa t ru sau c inc i a l te d rep te , numi ru ld rep tungh iur i lo r se r id icd la c i teva su te , ia r p ro-bab j l i ta tea de apar i l ie , , spontana" a sec l iun i i deaur (s t . r a unor r l lo i i foar te apr9p,31- - ) es te loar temare . De aceea, o regu l i empi r l cd mai s imp ld acompoz i l ie i a ih i tec tu ra le , ,curen te" , rezu l ta td d jnstl 'rdii teoretice gi aplicali i practice, este aceea aa p l i c ; r ' i s e c l i u n i , , l a o t r e i m e ' . D c e . e r p r , s e c -r L ' r i i e ' t : p , n L s e c L D J e 3 z ) ; n g e n e r i , , l d j _ n ; t d L e ,c i , , la o t re ime" sau , , ia dou i t re i rn i " 'd in lA t imeat ronso lu u i . rJ l raDJr ,e rea , , 'a o L .e i -nc a t ronsot -re lo . ao-oy i reazS va loa .ea secp i . l r , i de aur , ra -fo r tu l

r i -d 1 ,666 fa t i de 1 ,6 '8 . . .

Astfel, se recomandd sa se evite greseala sivirsitdf recvent de a se anal iza propor i i i le edi f ic iu lu i nu-mai pe pro iec j i i le sa le or togonale. O c lbdi re t re-buie pusi in propor t ie in spal iu , anal iz ind volumelei i percepl ia e i in perspect ivd, Eseni ia le s i . t l i pro-por ! i i le s i rapoar te le spal iu lu i in ter ior , care ingeneral au fost nTai negl i ja te de pro iectanl i i i iteoret ic ien i i de arh i tectura, Asemenea propor t i is in t ev idenl ia te de exemplu in f igura 8.4.6, careeste gravura intocmita de arhitectul Fiano Ambre-sino-(apiruG in '1592) reieritoare la biserica goticdSl Petroniu din Bologna. Un fapt interesani esteacela ce, degi Ambresino a propus real izarea b ise-r :c i i dupA t r iargular .a a/J , au.or i t i t i le a- te"r r r r redi f ic iu l .dupd t r iang. la ' ia ; r /4 , : .pecr . . l f , r : . a tDrsencl l Ind, de aceea, nereusi t .De asemenea, o c lSdi re nu t rebuie pusd in pro-por l ie izo lat , independent , c i numai i rcadra l j inantura ju l e : a- f tecrura l s i narura l . i r t rege. ansan-b lu t rebuie se f ie pus in propor l ie uni tar , farA a seamesteca propor l i i s t r : ine. Un facto- (are poalecontr ibu i ?n mod substar t ia ' ra p. inerea i^ propo-

228 Reprerent6ri de orhitecturd in geomEtrio descripiivd si dronometric

SERIALIZARE

in cond i l i l l e a rh i tec tu r i i ser ia l i za te p i a le sec t iun i -lo r - t ip , respec tarea unoT asen]enea regu l i e rnP i r i ce

Doate sd o fe re , dacd nu ra f inamentu l unor subd i -v iz iun i a rmon ice bazate pe sec l iunea de aur , ce ipu l i r cer t i {Ld ined e , ' i t : " ; i unor ega ' i r )1 P i o ro '

Dorti i suPdrdtoare.!a incercdm o ap l i ca l ie de ser ja l i zare s imp l i , in -t f -o compoTi t ie dc cuour i a :e la te pe t re i r . 'e lu r ' .

care prez in i : p rob leme de compoz i l ie q i p rob lemede s ta t i cA, in t ruc i l cubur i le de la e ta je le super ioaret rebu ie s ; s tea in ech l l ib ru s tab i l pe cubur i le des u D e t e .

Ap l ica l l c . Desena i i r ^ a .o -one l ' i e i zomet r ;c i ocor poz : r ie de 24 cuour i ega le asezate pe t re in ive iu r i , as t fe l : 9 cubur i la p r imu l n ive l , 8 cubur ila a l do i lea n ive l ; i 7 cubur i la a l t re i lea n ive l 'Cubur i le vor f i a leza te in doud var ian te :

I

I i 9 . 8 . 4 , 7

f i9 .8 .4 .8

Alte oplicoli i olc geometriei des*iptive in qrhitecturd 229

II;

Ii

IlIt

- toa te cubur iJe s in t a leza te dup i d i rec f i t le axe lo rOX ; i OY;- cubur i le de la a do i lea n ive l s in t asezate ro t i tla 45" fa ld de cubur i le de la ce le la l te dou i n ive lu r i .Regu l i le de compoz i l ie s i i t l- toa te c rbu , - i le de pe r r n rve s ' - lega te inT 'e

- legJru-a or se poafe face n- -a , . .n o r re :mes a u , , l a d o u d t r e i m i " ;

. n r \ F : . . F n i 5 , r h r r i i r . t : n r c a r n l + l , . a l t , '- n . F ( . - v n ^ q i F , r ' - 2 1 i . r i ^ e r [ e c L d o _ i c u b u r ,s . tua ' - Io doL i r /e - r i ad .acenre (Der l "u d pAs l rd; d ' - - , l d r e a c - o : ' i l : r , a e l e n - r e r ' - . - r - ^ i .

1 , c ) :- cubur i le de la un n ive l super io r t rebu e s i s teai r c r : . 1 , b ' r s r a b i l p e c - b l " , i e D e c d - r s e s p .

- i r , i

(de Ia n ive lu l rned ia ' . in fe l o r ) .F igur i le 8 .1 7 . B 4 .8 usLre :2" o .ezo v" e pos :b ' ipen t ru ce le dorA var ian te ( inc lus iv umbre le p ro-r ' r ' s : p u r ; a i e a c t r : a r . : l - l u i ) . C o - p o z i r ' , l c s . a urea l i za t pe un ras te f p i t ra t de d imens iune 1 /3d i r r - c L a l u . l u l " ' . R e g u l e c e c o r p o z , r . e s i tastfel precizate incit se pot introduce intr-unprogram de calculator, oferind un num:r foafie| "d"e de so l - t ' i SorLa-ea so 'u1 i lo r se poare facedLpb a l te c . rc . i i , care r .ebu e s . e e p , -ec i la re€xac t , de exemplu fo rma genera l i a .ansamblu lu i ,l i n ia f ron tur i lo r ob l inu te e tc .

8.5. REPREZENTARI GEOMETRICEALE SPATIULUt tNTERIOR

Ne prop l fcm s i 3 is i r ma i in t i i o metode de ima-8 n l c s i " c D F . r r - - ^ a s D d L J . i i r r e - i o r p o r " t r " t dde la fo -ne po l i "d r . . . rp e . 1^ an i r Coua ap ,cd-. f i i i e care u in reazd se vor - ana l i za in t i i go lu r i le cat i cum ar f i vo l rme p l ine s i , odat i per fec t in fe lesese vcr repTezen la ca gc lu r i .Ap l i cag ,c . Se cd ur .ub dc m-c l ie 9 cn- a .cza t cuo fa ld in p lanu l o r izon ta l de pro iec i ie . Un cub demuch le 3 cm es te asez t t concent r i c cu e l ; i a remuch i i le para le le cu much i i le sa le , Pat ru d in t rev i r fu r i le c rbu lu i de muc l r ie 3 cm (care s in t v i r fu r i leL ; rL : Le t " lec , - - -gu ar ) S 'n t Ce t ,e 'e a pdr r . LUbLr ide much ie 4 cm, care au la r indu l lo r much i i lepara le le cu much i le p r imLr lu i cub . Cubu l de much ie9 cm es te p l in , ia r ce le pa t ru cubur i de much ie 4 cms in t goa le . Sec l iona! i c l lbu l cu go lu l d in e i dup iun p lan d iagona l vc r t i ca l 5 i desena l i axonomet r iaizomet r ic i dup i ce a l i indep; r ta t una d in jumd-t ; l j , Apo i desena l i desGsura ta vo lu rnu lu i as t fe lrezuitat (jumdtatea reprezentate in axonon'.retrie)t i cons t ru i l i o macheta d in h i r t ie ,

f ig .0 .5 . t

f ig .8 .5 ,2

Reprereht6fi de qrhitecturd in geomelrio descriptiv6 ti oxonomet.ie230

l i 9 .8 .5 .3

Se studiaz i in t i i ansamblu l ce lor patru cubur i demuchie 4 cm, ca q i c ind ar f i vo lume p l ine Ansam'b r u i a r e o c o n f r g . l r a l i e t e t r a e c ' a ; : d u b ' : p r o e c l i eor togoro lJ ecte iea d i - f iSura 8 51 iar a>onomeLr idizomi l r icd aoa'e in f iRur 'a 8.52 Dacb se secr io-neazi ansambl , r l ce lor- patru cubur i cu un p l "nmedian diagonal, se obiine un volum rePrezentatin dou; pozi l i i i lust rate in f igur i le 853; i 8 .5,4.Dacd cele patru cubur i se t ransforme in golur i ,l in i i le punctate (af la te in sPate) d in f igur i le 8 5 3s l 8 ,5,4 vor deveni i in l i p l ine, iar rePrezentareaspal iu lu i in tef ior este foar te d i rect ; Cele douiimagin i f ina le s in t prezentate in f igur i le 8.5.5 1 i8.5,6,Apl ica l ie . Patru cubur i in t rePdtrunse de muchie9 cr a r r . .ch ' i le pa 'a 'e le, i r r cer t re le lor de g"e. . r -ta te se af l i s i tuate in patru d in v i r fur i le unui cubc e r - c l r i e 3 c m , i r a l o f e ; - c ' t a c e s l e P d t ' - \ i r -fur i formeazi un tet raedru re8Ulat F iecare d in

. . l A r , + r r l r . t s ' : , t " a r ̂ o n l i n ' r " i o r d e f o r m a u r u !o c t a e d r u r e 8 - l a t . o L r ' i n u r p r i r u r ' T e d c e n t T e o rfe le lor sa le. Desenal i ansamblu l in axonor i le t r ieizometr ic ; , dupa ce s-a sect ionat cu un Plan vqr t ica ld iagonal a l cubulu i mic 9 i s-a indepi r ta t jumdtateadinspre observator . 5e cere in p lus desfE;uratavolumulu i g i macheta d in h i r t ie5e studiazd in t i i ansamblu l ce lor Patru octaedr i ca

Fi cum ar { i voTume pl ine. Construcf ia Ior se obl inedin f igura 8.5.7, pr in ' inscr iere in cub. Se obl ine ocon-figu ratie tetraedrala rePrezentat;in Proieclie dubluoi togonald in f igura 8.5.8 Se observd cdf iecaredin

li9. 8.5.1

tis. 1.5,6

Alte oplicolii ole geomefriei dercriplive in orhileclvr6 231

f i9 .8 .5 .7

( c P a t u f i ' a l c - ' : . ' r b u l u ( c o r ' e s 1 L 1 l . : o cc e o T p o L r J f o l e a . t - - r e r o , l - , a ' e f o n t u r - if runze de i r i fo i . Axonomei r ia i zomet rcd a ce lo r 'pa t .u ocraed. i reg- la ; e5 te cea d n f ,g ra 8 5 .9 .Sec t ion l rd ansa lo 'u l c - - r t p la r d iagora ' , se ob t i rdou5 rep 'ezer rdr i in ayor omet ' ie (ce le d i r f lgur i le8 .5 . '10 s i 8 .5 11) . D . . i c i i r acesre fep 'e /enUr i ser . , c o , : i l . i i F ^ , n . + ) t F / d , n < h : t p l r r l ' n c o r n r < i_ " " " _ 6 - _ ' , _

co i ' r t inu i , se ob f i re in ra t inea So lu lu i in te r io r (des-

tu l de compl ica t ) de fo rma in te fsec l ie i ie oc taedr i ,Ce le doud f rg r r corespunzdtoare s in t 8 512 9 i8 .5 .1 3 ,S e o o a ' e s - u d . a t ' 6 ' 3 - i 3 r L d " a p l r c a l i e i i r c a r egol - ' le , r ' , : ' 'oare 5 'nt octaec i regu 'a l l de ru.cn l :9 cr r , c spus ' cu nucf . , le PdTe'e e cL l . lLchl leoctaedr i lor i rscr ig i (d in vers iunea in i l ia le) ,

sEcTluNl AXoNo14ETRrcESecl iun i le axonometr ice s int o modal i ta te , ,c las icd"de reprezentare a spal iu lu i in ter ior . in vo lumele:a le de is tor ia arh i tectur i i , AuSuste Chois/ rePre-z int ; monumente le de arh i tectur ; porn ind de lap lanui construc l ie i ; i constru ind o axofometr iea spal iu lu i in ter ior v izut de ios in sus (Chois/ ,1929) . Aceste reprezentdr i au deveni t a t i t depopulare, inc i t e le se numesc astdz i secf iun i axo-nonretr ice , ,de t ip Choisy" . Axononetr i i le Choisys int iJust rate pr in axonornetr ia izon. lc t r ic i a cate-

1 i 9 . 8 . 5 . 8

((s.8.5,9

l i g . E .5 .10

(19' t'5'11

Repretentdri de qrhitecturd in geomgtrio descriptivd ti qronometriez3z

d ra le i S r . So f i a d n Cons ia r t i nopc r i ( f i g . 8 .5 .11 ' )

$ i a x o n o m e t r i a c a v a l i e r d a P a r : h e o n u i u i d r P a - i s

r J n : r , r - ^ , < ^ " - i _ i | , . - r ; o r e . _r e l A , n t o r r P \ ' 1 ( n . . r . c < e . r il , l e ' ^ l i : e : z ; l r r n i n : r n n r l i c i p l n i - "- - t * T " '

Ia te ra l ( le p ro iec t ;e (axo"cn . r . t f ia apar t ine luP r l r { r r d o r a , : ) | L r l t . L l . ) c a ' c r r p i , - c e - e p c -_ - t r i - . . o - , o n e t - . : - . - a i l u s L . a t u n a l t t p J :

: c n r + , , ' l i , . 1 a r i ^ r. - - . . - , t e s P A ( t o t / J -- o - e I ' . e ( a . a . . e i . L - , d p l a - e . _ i , c - s r a t u ldir in ter ior pe.ceput de sus in jos (v . f ig , 3 .4.11) .

f i9. 8.5.12

| i 9 , 8 . 5 . 1 3

AIte oplicofil ote

ZE

geomelriei descript ive in qrhitecturE 233

I i 9 . 8 . 5 . 1 {

214

1 i9 .8 .5 ,15

Reprezentdri de qrhitectu16 in geometrio descriptivi t i qronom€ttie

1 i9 .8 .5 .16

Alte oplicoli i ole geometriei descriptire in orhitecturi 295