FRAGILITĂŢI SEISMICE MULTIMODALE

MULTIMODE SEISMIC FRAGILITIES

FLORIN KÖPE1

Rezumat: Colapsul unui sistem structural este un fenomen complex şi nu întotdeauna poate fi caracterizat complet printr-un singur mod de cedare. În practică apar situaţii în care diverse moduri de cedare (încovoiere, forfecare, deformaţie specifică, deplasarea relativă de nivel, etc) având contribuţii apropiate de acelaşi ordin de mărime la evaluarea frecvenţei medii anuale de cedare (risc) a sistemului analizat, guvernează colapsul general, şi mai mult, acesta poate fi iniţiat simultan în diferite elemente ale structurii. Articolul prezintă o metodă practică pentru determinarea fragilităţilor sistemelor structurale cu moduri de cedare multiple (fragilitate multimodală). Procedura propusă utilizează calculul biografic multimodal în locul analizei dinamice neliniare, pentru determinarea cerinţei. Metoda are avantajul posibilităţii de reutilizare a aceloraşi curbe de pushover pentru diferite niveluri ale cerinţei de deplasare la nivelul acoperişului. Astfel, se poate determina într-un mod eficient împrăştierea statistică a răspunsului exprimat prin eforturi şi deformaţii.

Cuvinte cheie: fragilităţi seismice, fiabilitate, calcul biografic multimodal

Abstract: The performance of a structural system may not necessarily be controlled by a single failure mode. In such cases, various failure modes (such as shear, compressive strain, ultimate curvature, drift etc) governing building collapse, occur with close contribution to the mean annual frequency of failure. This paper introduces a practical approach to assess the seismic fragilities of structures characterized by different failure modes (multimode seismic fragilities). The procedure relies on multimodal pushover analysis instead of response history analysis in order to determine the demand. The method is appealing as it is less time consuming since the same pushover curves are involved throughout the entire range of various scaling factors applied to hazard parameter. The chosen demand is thus determined by selecting the result quantity corresponding to the scaled roof displacement in order to further characterize the variability of response.

Keywords: seismic fragilities, reliability, multimodal pushover analysis

1. Introducere

Fragilitatea seismică este definită ca fiind probabilitatea de depăşire a unei anumite stări de performanţă structurală (denumită probabilitate de cedare, notată P[F] = Pf) funcţie de un parametru (acceleraţia de vârf a terenului, acceleraţie spectrală, viteza de vârf, etc.) ales convenabil pentru caracterizarea intensităţii mişcării seismice. Determinarea fragilităţilor seismice pentru structurile şi echipamentele centralelor nucleare a fost realizată în mod tradiţional în baza recomandărilor [1] şi a fost aplicată în cadrul a peste 50 de analize probabilistice de evaluare a riscului (SPRA) [2]. Din punct de vedere al metodologiei este esenţială doar păstrarea compatibilităţii între formularea hazardului şi a fragilitaţii seismice prin perspectiva consecvenţei utilizării aceluiaşi parametru de hazard (acceleraţia de vârf a terenului, acceleraţie spectrală, viteza de vârf, etc.). Metodologia de determinare a fragilităţilor conform [1] are la bază un model simplu, întrucât dezvoltarea unei familii de curbe de fragililtate, fiecare cu o distribuţie probabilistică particulară, utilizând diferite moduri de cedare şi parametrii pentru un mare număr de componente, nu este practică pentru utillizare în cadrul unei analize SPRA.

Un procedeu simplu prin care se poate ilustra determinarea fragilităţilor pentru sisteme structurale cu moduri de cedare multiple (fragilitate multimodală) se poate obţine prin extensia metodologiei de determinare a fragilităţii (EFA) prezentată în [3]. Astfel, considerănd cele “e” evenimente (moduri de cedare) ca fiind independente şi înseriate (iniţierea oricărui mod de cedare “i” conduce la colapsul

1 Ing., (Eng.), Antiseismic Structural Engineering – Bucureşti; email: kope@antiseismic.com

general al sistemului structural), atunci probabilitatea de cedare a sistemului are expresia (1), evaluată cu ajutorul regulii de combinare de’Morgan [4] a evenimentelor.

,,1 11

1 1 1 1 ( )j

i

i ik

e e eAi ik f ik C ikf k

i iiP C D

P P C D P F D

(1)

Unde Ci reprezintă capacitatea asociată criteriului de performanţă “i", iar Dik reprezintă cerinţa corespunzătoare aceluiaşi mod de cedare “i”, maximă obţinută din analiza structurală cu accelerograma “k”. Indicele i poate reprezenta atât criteriul de performanţă (cedare prin încovoiere, forfecare, capacitate de rotire, etc) sau un element structural în cadrul sistemului.

Fig. 1 – Determinarea riscului seismic al unui sistem structural cu multiple moduri de cedare.

Prin reluarea analizei pentru toate cele m-accelerograme, probabilitatea de cedare necondiţionată raportată la întreg câmpul de evenimente reprezentat de cele m excitaţii asociate aceluiaşi nivel al intensităţii mişcârii seismice Aj este [5]:

Capacitate (Ci)

Curba de Fragilitate Pf(a)

Risc Seismic

Criteriul de performanţǎ

i

Cerinţǎ (Di)

FEM

FEM

Analiza de sensibilitate

FORM

Varianta 2(Analiza Stochasticǎ cu Element Finit)

Varianta 1(MPA + EFA)

Simulare Monte-CarloAproximare FORM

bimodalǎ

Funcţia de performanţǎ

Analiza de sensibilitate

Dependenţa de variabilele de

referinţǎ:

Variabilitate asociatǎ excitaţiei

Probabilitatea totalǎ decedare a sistemului

Excitaţia (Ek)

[k-accelerograme]

Selectarea niveluluiparametrului de hazard

(Ao)

Hazard SeismicH(a)

Variabile aleatoare dereferinţǎ (X

i)

Calcul dinamicneliniar (RHA)

-modal (MPA)(DD)

( )Di D D Di i$f n f=

( , ) ( )C X Xi C C Ci i$f n f=

| |P F A P F Ao1 f f6 6@ @

( )( )

( )P Fa

H aP a a

dd

df

0

$=

3

#

( ) ( ), ( )g g C DX X Xi i i i= 6 @

( )g Xi4

1 ( )P ,i f i i"b bU= -

( , ) ( , )P P C DX X,f o i C i Di CSj

CS

1 j

#f f=!=

* 4('

xD

m xD1

j

i

j

ik

k

m

12

2

2

2=

=

/

( , )

( )

D

DxD

x

Xi D

ij

ij x

jDX

j i

X

2

2

f

n n f

=

+ -n^ h= G/

SFEM EFA

,

1

1j j

mA A

f f kk

P Pm

(2)

Calculând această probabilitate de cedare pentru un număr convenabil de mărimi Aj se obţine funcţia de fragilitate. Prin convoluţia acestei fragilităţi cu hazardul seismic, se obţine mai departe valoarea riscului seismic care de această dată include contribuţia tuturor modurilor de cedare semnificative. Însă, cazul particular al modurilor de cedare înseriate (apariţia oricărui eveniment conduce la colaps) nu acoperă toate situaţiile întâlnite în practică, dar oferă prin aproximări raţionale estimări acceptabile asupra riscului.

Determinarea fragilităţii seismice pentru un sistem general este prezentată în [6]. Dezavantajul metodei îl reprezintă însă efortul mare de calcul necesar pentru realizarea unui număr important de analize dinamice neliniare în vederea caracterizării satisfăcătoare a variabilităţii cerinţei (D).

Metoda de calcul a fragilităţilor propusă în articol este ilustrată în varianta 1 din Fig. 1; (varianta 2 din aceeaşi figură reprezintă o altă alternativă elegantă de extensie a metodei EFA [3] prin utilizarea analizei stochastice cu metoda elementului finit (SFEM) [7]). Metoda propusă înlocuieşte analiza dinamică neliniară printr-un calcul static neliniar multimodal [8]. Procedura este atractivă în principal din perspectiva posibilităţii de reutilizare a curbei biografice pentru diferite trepte de scalare ale parametrului de hazard, întrucât distribuţia de forţe laterale rămâne invariantă în raport cu nivelul de deformaţie plastică înregistrată. Astfel cerinţa (D) poate fi determinată prin selectarea pasului de încărcare corespunzător defomaţiei Dn,SDF care reflectă treapta de scalare corespunzătoare parametrului de hazard, de pe aceeaşi curbă biografică (pushover).

2. Determinarea cerinţei

Analiza dinamică neliniară (RHA) reprezintă soluţia optimă din punct de vedere conceptual privind descrierea acţiunii seismice în vederea determinării răspunsului dinamic al unui sistem structural şi este considerată în mod evident soluţie de referinţă, dar este recomandată totuşi doar în cazurile în care efortul de calcul nu este prohibitiv. Cerinţa poate fi de asemenea determinată prin alte câteva metode de analiză static neliniară având la bază procedee de calcul cu distribuţie invariantă de forţe laterale. Aceste procedee sunt atractive din punct de vedere ingineresc întrucât rezolvarea dificultăţilor de convergenţă este avantajoasă iar efortul de calcul este redus semnificativ.

Calculul static neliniar cu distribuţie invariantă de forţe laterale este utilizat în aplicaţii practice în diverse forme, dintre care cele mai uzuale conţin determinarea răspunsului structural prin modelul structurii substituente (DD) introdus iniţial prin [9] sau analiză biografică multimodală (MPA) [8].

În formularea iniţială metoda structurii substituente simula răspunsul maxim al unui sistem histeretic neliniar prin răspunsul maxim al unui sistem liniar echivalent având rigiditate redusă şi amortizare mărită, determinate funcţie de deformaţia liniară. Conceptul a fost preluat cu success în [10] şi utiliza conversia curbei forţă-deplasare (obţinută în urma unui calcul biografic pe un model având aplicate forţe proporţionale cu primul mod de vibraţie) în spectru de capacitate şi identificarea ulterioară a punctului de performanţă prin intersecţia cu spectrul de răspuns în format acceleraţie-deplasare (ADRS). Metoda a fost îmbunătăţită ulterior prin diferite revizii ale aceluiaşi ghid [11]. O abordare uşor diferită [12] dar utilizând aceaşi concept al structurii substituente, porneşte de la stabilirea unei deplasări ţintă iar amortizarea echivalentă este mai apoi determinată presupunând că deformaţia de curgere nu depinde de excitaţie ci este caracteristică sistemului structural ales. Aproximarea asumată printr-un profil de deplasare laterală predefinit, utilizarea primului mod de vibraţie inelastic pentru distribuţia proporţională a forţei tăietoare de bază la nivelul gradelor de libertate dinamică, reprezentarea excitaţiei prin intermediul spectrului deplasare scalat cu amortizarea echivalentă, adaugă incertitudine modelării şi ca urmare face metoda mai puţin atractivă pentru aplicare în vederea determinării fragilităţii unei structuri.

Calculul biografic multimodal [13] prezintă avantajul simplităţii de aplicare a procedurilor cu distribuţie invariabilă de forţe laterale. Includerea modurilor superioare în analiză indică posibilitatea asigurării unui nivel superior de acurateţe în determinarea cerinţei seismice. Procedura este prezentată schematizat în Fig. 2.

Fig. 2 – Calcul static neliniar multimodal. Conversia curbei biografice pentru modul n.

Procedura MPA a fost evaluată prin comparaţie cu analiza dinamic neliniară “exactă” în [14], unde sunt prezentate mediana şi abaterea standard. Se menţionează că în cazul clădirilor care sunt solicitate puternic în domeniul inelastic cu degradare rapidă a capacităţii de rezistenţă laterală se recomandă abandonarea procedurilor de calcul static neliniar indiferent de metodologie şi utilizarea metodei de calcul dinamic neliniar (RHA). Abaterea standard logaritmică a driftului exprimată procentual dedusă prin MPA măsurată prin comparaţie cu RHA este de aproximativ 0.2.

3. Fiabilitatea sistemului

Pentru determinarea probabilităţii de cedare a sistemului considerând moduri de cedare multiple este necesară combinarea probabilităţilor individuale. Deşi cedarea sistemelor reprezentată prin componente înseriate acoperă un mare număr de cazuri întâlnite în practică, configuraţia generală poate include şi componente redundante (aranjate în paralel).

m j

1

ngDn

u *n

urn uD

rnn rn n{C=

u jn

qD

un

nn

nn

n{

{C

==

A s,P n jn

A s,P n rn

A D,P n n n2

~=A

s,

Pn

n

; ; qm k f ku un n n n n n n n2

{ { {~ = = =

( , ) ( )u tmu cu f u u ms gk+ + =-p o o p

m s m m mnn

N

n nn

N

nT

nT

n nn

N

1 1 1

&k { { k { {C C= = == = =

/ / /

M M

mm

nn

nT

n

j jnj

r

1&

{ k{

C = ==

/m Mj jn

j

r

n n1

{ C==

/

; ( , )q D F f u un n n sn nT

s{C= = o

urn u*n Dn

Du

nn rn

rn

{C=

fjn

M *n

kM

FD1

,sec secn n

sn

nn2

~C

= =c m

Df mn n n n n2

{~ C=

V f m Dbn jnj

r

n j jnj

r

s M

n n1 1

2

*

jnj

r

n1

${ ~C= == =

==

e o1 2 3444 444

/ /

/

m

VD1

,secn

n j jnj

rbn

n

2

1

~

{C

=

=

e o/

( ) 2 ( ) ( )D t D tM

Fu tn n n n

n n

sngg ~

C+ + =-p p p

( ) ( ) ( , ) ( )M q t C q t M u tf u un n n n nT

s n n g{ C+ + =-p o o p

MF

n n

sn

C

111M

FD1

,secn

n n

sn

n

2~

C

=

c m

MF

D1

,secnn n

sn

n

2~

C= c m

/

k M

V u,* *

,*

sec secn n n

bn n

2~=

=

/k V u,secn bn rn=

V f M D*

~

bn jnj

r

n n n

A1

2

,P n

$~= == S/

Vbn Vbn

FV

snn

bn

C=

Vbn

Mbn

,,secn n~ g

pentru sisteme liniar elastice. Altfel, reprezintǎ fact.

de multiplicare pentru sn corespunzǎtor deplas ţintǎ urn.

Pentru a determina dependenţa cerinţei de variabilele aleatoare de referinţă Xj, se utilizează dezvoltarea în serie Taylor (4) considerând variaţia acestora ca fiind liniară în jurul mediei X . Aceasta implică

calculul derivatelor parţiale de ordin I funcţie de Xj în medie X . Aceste sensibilităţi pot fi calculate similar SFEM [7] prin repetarea analizei pentru valori perturbate ale parametrilor. Sensibilităţile

/i jD x se calculează astfel [5]:

1 1

1 1m mi ik

ikj j jk k

D DD

x x m m x

(3)

Cu alte cuvinte selectând o variabilă de bază se calculează întâi sensibilitatea corespunzătoare fiecărei excitaţii apoi se mediază pe întreg câmpul de evenimente considerate. Dependenţa cerinţei D în modul de cedare i de variabilele aleatoare de referinţă este:

( ) ( )j

ii i j x

jj

DD D x

x

X

XX (4)

Probabilitatea de cedare a unui sistem general (nu neapărat înseriat) este [6]:

1

( , ) ( , )i i

j

CS

f i C i Dj i CS

P P C D

X X (5)

Unde CS reprezintă numărul total de seturi coincidente (en: cut-sets) identificate pentru sistemul structural analizat, iar CSj reprezintă un set coincident care conţine modurile de cedare i corespunzătoare. Relaţia (5) (reprezentarea prin seturi coincidente minimale (înserierea unor subsisteme paralele)) poate fi privită ca o extindere a regulii de’Morgan în care evenimentele elementare înseriate în formularea originală, constituie la rândul lor subsisteme redundante (în paralel) minimale CSj. Expresia (5) poate fi evaluată eficient prin simulare Monte-Carlo întrucât nu necesită reluarea analizei structurale. Metodele analitice pentru evaluarea fiabilitaţii unui sistem general aproximează oricum rezultatul final prin intermediul furnizării a două limite (superioară şi inferioară) [5]

4. Exemplu de calcul

Procedura prezentată anterior pentru determinarea fragilităţilor este ilustrată prin exemplul unei clădiri D+P+14, cu o înălţime totală a suprastructurii de 67m (1*4.06+15*4.16) (vezi Fig. 3). Fragilităţile sunt determinate aplicând metoda prezentată în Fig. 1 utilizând MPA şi EFA.

Fig. 3 – Nivel curent structură D+P+14. Dispunerea elementelor structurale.

S-au folosit următoarele materiale: C35/45 pentru elementele de beton armat, S500 pentru armătura, S355 pentru elementele metalice. Variabilităţile mărimilor implicate în analiza de sensibilitate sunt

X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17

Y3Y4

Y5Y6

X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17

Y3Y4

Y5Y6

221 222

223 (46.93, 11.59)Nucleu BA Nucleu BA

Stalpi MetaliciImbinari articulate

Grinzi Compozite

Axa-X

Axa-

Y

Contur Placa

Grinzi BA

Cadr

u m

etal

ic ne

cont

rava

ntui

t

prezentate în Tabelul 1 (toate variabilele aleatoare prezentate în Tabelul 1 au fost considerate repartizate lognormal şi statistic independente). Coeficientul de variaţie pentru deformaţia specifică maximă a fost considerat pe baza rezultatelor experimentale [15].

Tabelul 1 Caracterizarea variabilelor aleatoare de referinţă

Variabila Aleatoare, X Valoare medie, Coeficientul de variaţie,

X1 = fc (35+8) = 43 MPa 0.20 X2 = fy (500*1.1)=550 MPa 0.20 X3 = cu 0.01 0.39

Pentru determinarea cerinţelor necesare analizei de fragilitate s-a utilizat procedeul static neliniar MPA. Analiza a fost efectuată utilizând modelul neliniar de material pentru beton elaborat în [16].

Fig. 4 – Starea de fisurare în nucleul de BA (coresp. deplasării la vârf de 1m (stânga). Curba biografică (dreapta)

Pentru determinarea deplasării la nivelul acoperişului s-au considerat 7 accelerograme (vezi Tabelul 2) având aproximativ aceeaşi valoare a acceleraţiei spectrale în jurul perioadei proprii a modului fundamental de aprox. 3 sec. Au fost selectate 5 accelerograme din baza de date [17] astfel încât să corespundă spectrului de proiectare. Accelerogramele au fost alese astfel încât să corespundă unei scalări minime pentru un spectru ţintă ancorat la aprox. 0.3g PGA. S-a urmărit o corespondenţă rezonabilă în domeniul de perioade 0.5-3sec, prin specificarea unei ponderi de 1 în criteriul de selecţie disponibil în aplicaţia PEER. S-a considerat doar componenta orizontală dominantă. Suplimentar s-a utilizat şi o accelererogramă artificial generată compatibilă cu acelaşi spectru cât şi înregistrarea NS pentru Vrancea 1977 staţia Incerc.

Tabelul 2

Înregistrări selectate pentru analiză [17]

Eveniment Notatie Data Staţia de înregistrare Magnitudine

1 Northridge N 1994 Newhall – E Pico Canyon Rd. 6.7 2 Vrancea, Romania V 1977 Incerc 7 3 Kocaeli, Turkey K 1999 Iznik 7.51 4 Chi-Chi, Taiwan C 1999 CHY070 6.30 5 Landers L 1992 San Gabriel - E Grand Ave 7.28 6 Denali, Alaska D 2002 Valdez – Valdez Dock Company 7.90 7 * Acc Sintetic S n/a n/a n/a

Criteriile de perfomanţă considerate pentru determinarea fragilităţii sunt asociate: - Depăşirii capacităţii la forţă tăietoare verificată la baza nucleelor, Vb. Pentru calculul capacităţii la

forţă tăietoare al nucleului de beton armat se foloseşte modelul UCSD [18] care deşi calibrat pentru stâlpi circulari este deseori extins şi la elemente cu secţiuni transversale rectangulare [12], iar comparaţia cu rezultatele experimentale indică o bună corespondenţă [19]

- Depăşirii deformaţiei specifice maxime de compresiune a betonului cu la baza nucleelor. Deformaţia specifică maximă de compresiune la baza nucleului de beton armat este obţinută utilizând

recomandările [12]. Coeficientul de variaţie considerat pentru deformaţia specifică maximă la compresiune a betonului este de 0.39 [15].

- Depăşirii capacităţii de deformaţie a grinzilor adiacente nucleelor de beton armat prin ductilitatea de curbură = u/y urmărită la capătul conectat cu nucleul. Grinzile sunt modelate prin intermediul elementului finit de tip beam având definită o relaţie neliniară între efortul secţional şi defomaţia specifică corespunzătoare. Astfel, momentul de încovoiere rezultant la capătul barei dinspre nucleul de beton este determinat funcţie de curbură utilizând o relaţie biliniară fără consolidare (elastic-perfect-plastic) M-.

Pentru caracterizarea cerinţei se utilizează relaţiile (3) în vederea determinării sensibilităţilor funcţie de fy şi fc şi (4) pentru liniarizarea în jurul mediei. Fig. 5 (stânga) prezintă variabilitatea (media şi +/- 1 abatere standard) deformaţiei specifice maxime de compresiune rezultată la baza nucleului de beton armat.

Pentru determinarea fiabilitaţii s-a efectuat câte o analiză Monte Carlo pentru fiecare mod de cedare în parte, caracterizat prin funcţia de perfomanţă ( , ) ( , ) ( , )

i ii i C i Dg C D X X X . S-au realizat 15000 de

experimente pentru fiecare mod de cedare în parte. Curba de fragilitate totală cât si separat pe componente este prezentată în Fig. 5 (dreapta).

Fig. 5 – Variabilitatea deformaţiei specifice maxime de compresiune în nucleul de beton armat (stânga). Curbele de fragilitate (dreapta).

Se observă contribuţia majoră a forţei tăietoare în prima parte după care aportul acesteia la probabilitatea totală de cedare se plafonează întrucât armătura longitudinală de la baza tubului întră in curgere corespunzător atingerii momentului capabil. Contribuţia majoră la probabilitatea de cedare după atingerea momentului capabil revine deformaţiei specifice de compresiune în beton, care în final guvernează cedarea globală a sistemului pentru acceleraţii spectrale mai mari de 0.3g.

5. Concluzii

Metoda propusă se bazează pe determinarea cerinţei printr-un calcul static neliniar biografic multimodal (MPA) cu considerarea torsiunii generale. Variabilitatea cerinţei este introdusă prin reluarea analizei pentru un număr de accelerograme selectate din baza de date [17] pe criteriul conţinutului de frecvenţe similar în domeniul de interes delimitat de modurile proprii considerate. Modurile de cedare sunt caracterizate prin intermediul unui număr redus de variabile aleatoare de referinţă comune atât cerinţei cât şi capacitaţii asociate. Cerinţa este aproximată prin liniarizare (dezvoltare în serie Taylor) în jurul valorii medii, iar fragilitatea este calculată prin simulare Monte Carlo. Procedura este exemplificată printr-un exemplu de calcul al unei clădiri D+P+14E care manifestă torsiune generală. Modurile de cedare sunt exprimate prin intermediul forţei tăietoare, deformaţiei specifice maxime în beton şi capacităţii de rotire a grinzilor de beton armat. Repartiţiile statistice ale tuturor variabilelor aleatoare de referinţă implicate în analiză au fost considerate lognormale.

Procedura propusă este eficientă în primul rând prin reducerea efortului de analiză rezultat din utilizarea calcului biografic în locul unei analize dinamice neliniare. În al doilea rând, este avantajoasă şi ca urmare

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 0.2 0.4 0.6

Def

orm

atie

spe

cifi

ca m

ax. b

eton

Sa [unitati g]

N

V

K

C

L

D

S

ave

+1sig

-1sig

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55

Pf

Sa [unitati g]

Deformatie specifica

Curbura

Probab. totalade cedare

FortaTaietoare

a posibilităţii de reutilizare a aceloraşi curbe de pushover pentru diferite niveluri ale cerinţei de deplasare la nivelul acoperişului în vederea stabilirii parametrilor de împrăştiere statistică a răspunsului exprimat prin eforturi şi deformaţii. Utilizarea simulării Monte-Carlo pentru determinarea fiabilităţii în locul metodelor analitice este de asemenea extrem de eficientă întrucât odată definte funcţiile de performanţă, combinarea acestora pe baza teoriei seturilor se poate face uşor iar simularea nu implică reluarea analizei structurale.

Prin combinarea analizei structurale şi a fiabilităţii într-o singură aplicaţie integrată se obţine analiza stochastică cu element finit, care reprezintă un instrument puternic şi sofisticat pentru determinarea riscului asociat sistemelor structurale şi poate fi folosită atât pentru funcţii de performanţă implicite cât şi explicite [7]. Beneficiile unui sistem integrat de calcul al fiabilităţii sunt multiple şi ar permite proiectantului să răspundă investitorului în multe situaţii în care apar întrebări de natură economică sau legate de eficienţa tehnică a soluţiei alese. Însă, conceptul care stă la baza acestei metode prin care se îmbină analiza cu element finit şi fiabilitatea este relativ nou, dar reprezintă cu certitudine o direcţie utilă pentru dezvoltare având nenumărate posibilităţi de aplicaţie practică.

Bibliografie

[1] EPRI – Methodology for Developing Seismic Fragillity. Research Project. Palo Alto (California): Electric Power Research Institute; 1994. TR-103959.

[2] EPRI – Seismic Fragility Application Guide. Guide. Palo Alto (California): Electric Power Research Institute; 2002. 1002988.

[3] Giannini R, Felice G – A probabilistic approach for seismic assessment of R.C. structures. I Theory. In: 13th World Conference on Earthquake Engineering; 2004; Vancouver, B.C., Canada. p. Paper No. 2600.

[4] Haldar A, Mahadevan S.– Probability, Reliability and Statistical Methods in Engineering Design. First Edition ed. New York: John Wiley & Sons; 2000.

[5] Pinto PE, Giannini R, Franchin P. – Seismic Reliability Analysis of Structures. Pavia, Italy: IUSS Press; 2004.

[6] Lupoi G, Franchin P, Lupoi A, Pinto PE. – Seismic Fragility Analysis of Structural Systems. In: 13th World Conference on Earthquake Engineering; 2004; Vancouver, B.C., Canada.

[7] Haldar A, Mahadevan S. – Reliability Assessement using Stochastic Finite Element Analysis. First Edition ed. New York: John Wiley and Sons, Inc; 2000.

[8] Chopra AK, Goel RK. – A modal pushover analysis procedure to estimate seismic demands for unsymmetric-plan buildings. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2004;33(8):903-927.

[9] Shibata A, Sozen M. – Substitute Structure Method for Seismic Design in Reinforced Concrete. ASCE Journal of Structural Engineering. 1976;102(1):1-18.

[10] ATC – Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings. Redwood, CA: California Seismic Safety Commission; 1996 Applied Technology Council. ATC-40 / SSC96-01.

[11] ATC – Improvement of nonlinear static seismic analysis procedures. Applied Technology Council; 2005. FEMA-440 (ATC-55).

[12] Priestley MJN, Calvi GM, Kowalski MJ. – Displacement-Based Seismic Design of Structures. Pavia, Italy: IUSS Press; 2007.

[13] Chopra AK, Goel RK. – A modal pushover analysis procedure to estimate seismic demands for buildings: Theory and Preliminary Evaluation. California, Berkeley: Pacific Earthquake Engineering Research Center; 2001. PEER Report 2001/03.

[14] Goel KR, Chopra AK. – Evaluation of Modal and FEMA Pushover: SAC Buildings. Earthquake Spectra. 2004;20(1):225-254.

[15] Kappos AJ, Chryssanthopoulos MK, Dymiotis C. – Probabilistic assessment of european seismic design practice for confined members. European Earthquake Engineering. 1998;XII(3):38-51.

[16] Bathe KJ, Walczak J, Welch A, Mistry N. – Nonlinear analysis of concrete structures. Computers and Structures. 1989;32(3/4):563-590.

[17] PEER. – PEER Ground Motion Database - PEER Center. [Internet]. 2013 [citat 2013 iulie 29]. Disponibil la: http://peer.berkeley.edu/peer_ground_motion_database.

[18] Kowalsky MJ, Priestley MJ. – Improved analytical model for shear strength of circular reinforced concrete columns in seismic regions. ACI Structural Journal. 2000;97(3):388-397.

[19] Fardis MN. – Seismic Design, Assessment and Retrofitting of Concrete Buildings based on Eurocode 8. Heidelberg: Springer Science; 2009.