fizica matematica

8/13/2019 fizica matematica

1/8

Fizic-Matematic 13

UTILIZAREA INTEGRALELOR I FUNCIILOR ELIPTICE NSTUDIUL MICRII PENDULULUI GRAVITAIONAL

NELINIAR

1. Integralele elipticeFunciile eliptice au fost denumite astfel pentru c acest tip de funcii este legat cu

integrala de determinare a perimetrului elipsei. Aceste funcii satisfac ecuaiile diferenialeneliniare de ordinul doi i au o multitudine de aplicaii n fizic.

Vom examina integrala

,))(,( dxxPxR(1.1)unde (x, !) este o funcie raional de argument, iar "(x) # un polinom. $ac "(x) este

un polinom de ordinul doi, atunci integrala (1.1) se exprim prin funcii elementare. %n cazul

c&nd "(x) este o funcie de ordinul trei sau patru, integrala (1.1) se numete integral eliptici, n general, nu poate fi dat n form finit. %n cazurile excepionale, c&nd integrala (1.1)poate fi exprimat prin funcii elementare, aceasta se numete integral pseudoeliptic.

"roprietile funciilor i integralelor eliptice sunt elucidate n lucrri de specialitate[ ]'1 .

enionm c integralele eliptice care conin polinoame de ordinul trei sau patru nu sedeoseesc n mod principial, deoarece prin sustituia *ariailei de integrare se poate reduceun caz la cellalt [ ]*.+ .

"resupunem c "(x) este un polinom de ordinul trei. %n acest caz integrala eliptic (1.1)se reduce la integralele de forma

)(xPdx

-integrala eliptic de ordinul nt&i (1,/)

)(xP

xdx

- integrala eliptic de ordinul doi (1.0)

)()( xPax

dx

-integrala eliptic de ordinul trei. (1.)

%n aplicaiile de mai departe se *or utiliza doar integralele eliptice de ordinul nt&i."entru concretee, *om considera c

"(x) 2 Ax03 4x/35x 3 $, (1.+)unde A, 4, 5 i $ sunt coeficieni reali, iar"(x) 2 x0 3 x/ 3 cx 3 d, (1.')

unde A 6 7, 2 48A, c 2 58A, d 2 $8A.dcinile polinomuluix03 x/3 cx 3 d 2 7 (1.9)sunt egale cux12 08bBA + ,

x/20//

bBAi

BA

+

+ ,

x02 - (A 34)8/-i (A - 4) :0 8/- 80, (1.;)

0 ,/

Qq

A += 0 ,/

Qq

B =

Q = (p/3)3+ (q/2)2,

p = - b2/3 + c, q = 2 (b/3)3- bc/3 + d.

$ac ecuaia cuic (1.9) este real, atunci ea are fie o rdcin real i dou rdcini

FIZICA I TEHNOLOGIILE MOE!NE" #$l. 1" nr.1" %&&'


2/8

14 Fizic-Matematic

complex-con


3/8

Fizic-Matematic 15

x$

d$%

x

arcsin17

/=

= . (/.1)

Valoarea integralei (/.1) este o funcie de limita superioar a acesteia. $ac *omexamina limita superioarxca funcie de *alorile integralei %, cu alte cu*inte, funcia in*ers,

*om oine o funcie omogen, regulat i periodic %x sin= . (/./)%n acest caz funciaxca limita de sus se oine n urma in*ersiunii integralei (/.1).Funciile eliptice, n general, sunt similare cu funciile trigonometrice i sunt o

generalizare a acestora. =ntroducem o nou *ariail& = sin. (/.0)%n consecin, integrala eliptic (1.1) ia forma

.)1)(1(

),(

sin

7///

==

&k&

d&'k" .

(/.)

"rin analogie cu (/.1), in*ers&nd integrala (/.) oinem).,(sin ksn"sn'( === (/.+)

xaminm limita superioar a integralei (1.1)

==

7// sin1

),(k

dk"' (/.')

i utiliz&nd relaia,amW= (/.9)

*om numi limita superioar a*pi&din, iar mrimea G - a*n&' 2 arg .(/.;)Astfel, integralele (/.) i (/.') genereaz dou funcii eliptice

2 a*G (/.?)i = sin = sina* ' = sn ' .(/.17)Funciase numete sinusul amplitudinii sau sinusul eliptic. xist nc dou funcii

elipticea*'cn' === coscos , (/.11)

d'

dkdn'

==== // sin1 , (/.1/)

care se numesc cosinusul amplitudinii sau cosinusul eliptic i, respecti*, deltaamplitudine. Aceste funcii au fost introduse de ctre Hacoi i i poart numele.

Funciile Hacoi pot fi prezentate su form de iruri de putere

,!

)(

!

)(

!

)(

!

+++

+++

+

+=

?'//

9//

+//

0/

?

7;?1/'

9

1'

+

0

xkkkk

x

kkk

x

kk

x

k

xamx (/.10)

,

D?

11/;+9;1//;1

D9

10+10+1

D+

11

D0

1sn

?;'/

9'/

+/

0/

++++

+

++++

++

++

=

xkkkk

xkkk

xkk

xk

xx

(/.1)

++++

++

+

+=

;

'/

'/

/

/

D;'?1/7;1

D'

1'1

D

1

D/

11cn

xkkk

xkk

xk

xx

(/.1+)



4/8

16 Fizic-Matematic

+++

+

+++

+

+=

;'//

'//

//

//

D;

)7;?1/'(

D'

)1'(

D

)(

D/1dn

xkkkk

xkkk

xkk

xk

x

(/.1')

$in relaiile (/.+) - (/.1/) este e*ident csn 7 2 7, sn 1)( =kK ,cn 7 2 1, cn 7)( =kK ,dn 7 2 1, dn =)(kK IJ,IJ 2 /1 k ."entru I 7 funcia snx = cosx, iar dnx2 1. "entru I 2 1 a*em snx2 tCx, cnx2 dn

x2 secCx.ai menionm c funciile Hacoi sunt funcii ioperiodice cu perioad primiti* sn x

are perioadele egale cu K(I) i /iKJ(I), cCx- K(I) i /K(I) 3 /iKJ(I), iar dnx - /K(I) i iKJ(I), unde KJ(I) 2 K(IJ).

%n continuare, pentru a exemplifica utilizarea funciilor i integralelor eliptice, *omexamina dou tipuri de oscilatori neliniari cu un singur grad de liertate pendululgra*itaional (matematic) neliniar i oscilatorul anarmonic.

'. *en+(l(l gra#ita)i$nal neliniarxaminm un pendul gra*itaional de mas *i de lungime care oscileaz n


5/8

Fizic-Matematic 17

$eri*m n raport cu timpul ,&-c = &-c /= (0.?)i sustituim (0.;) - (0.?) n ecuaia (0.9). educ&nd expresia prin factorul comun &c- ,

oinem ecuaia caracteristic pentru

7/

7

/

= , (0.17)soluiile creia sunt

.7/

71

i

i

=

= (0.11)

Astfel, oinem dou soluii particulare ,1

11

&-c

= &-c ///

= . (0.1/)Eoluia general a ecuaiei (0.9) ia forma

&i&i-c-c& 77 /1)(

+= .(0.10)

u&nd n consideraie condiiile iniiale, pentru c1i c2oinemc1= c2= c, ,/7 c= de unde

/

7=c , (0.1)

iar pentru )(& din (0.10) gsim && 77cos)( = . (0.1+)Astfel, la *alori mici ale lui , n *ecintatea poziiei de ecCiliru, pendulul

gra*itaional liniar efectueaz o micare oscilatorie armonic cu perioada

/

+2

/

/

7

== . (0.1')

%n general, pentru alte condiii iniiale, constantele c1 i c2 pot fi mrimi complexe.

$eoarece este o mrime real, ca soluie general pentru (0.9) se *a lua partea real asumei soluiilor particulare independente 1i / &i&i

-c-c& 77 /1e)(

+= . (0.19)

Vom examina n continuaremicarea pendulului gra*itaionalneliniar. $in ecuaia (0.+) pentru gsim

,cos/ /7

/

/ 3d&

d+=

=

(0.1;)

unde

+

/=/7 ,

= /7/ //

*+

#3

(0.1?)icarea pendulului gra*itaional neliniar se recomand s fie

studiat cu a


6/8

18 Fizic-Matematic

starea instail de sus. ai


7/8

Fig.

Fig. 0

Fizic-Matematic 19

poziia 50

==2

d2d&

7 7 77

7

coscos/

. (0./;)

Oin&nd cont de relaia (0.//), pentru perioada oscilaiilor oinem

),(

sin1

7

/

7//

7

kk

d2 K

=

= (0./?)

unde K(I) este integrala eliptic total de ordinul nt&i.$up cum am mai suliniat, K(I) poate fi reprezentat su forma

./

sin/

01

/sin

/

11

/

/

01

/

11

/)(

7

/

7

/

/

/

/

+

+

+=

=

+

+

+=

kkkK

(0.07)

"entru *alori mici ale lui 50 a*em/

7k i

corespunztor

.17/

?

1'

11

/)( 7

/

7

+++=

kK (0.01)

"entru ungCiurile mici de de*iaie (P7MM1) K(I) 2 B8/ iatunci pentru perioad oinem expresia ine cunoscut aaproximaiei liniare

.//

7 /

+2

== (0.0/)

$ac 1k , adic dac amplitudinea oscilaiilor pendulului tinde spre B (/

sin 7

=k ),

atunci din (0.07) rezult c funcia K(I) tinde ctre infinit. $ependena integralei elipticetotale Kde argumentul keste reprezentat n fig. 0. Astfel, pentru 1k perioada oscilaiilortinde ctre infinit. Aceast soluie corespunde micrii pendulului pe separatoare. $up cumam menionat mai sus, micarea pe separatoare are loc c&nd energia total 2 2 /mgl, iarconstanta ./ /7=3 %n acest caz din (0.1;) a*em

.cos1/ 7

+=d&

d (0.00)

Oin&nd cont de faptul c/

cos/cos1 /

=+ ix 2 P8/ , (0.0)

dup integrare, din (0.00) oinem

= xdx

&cos

1

7 (0.0+)

sau ,/

ln7

+=

x&/&

(0.0')

,/7&

-x

&/

=

+ (0.09)



8/8

20 Fizic-Matematic

&a.c&/-x

7

/

=+ , (0.0;)

.)( 7 = &a.c&/-& (0.0?)

cuaia (0.0?) se numete ecuaia separatoarei. A doua ramur se oine prin sustituia

lui & cu - &n (0.0?).xpresia pentru *iteza ungCiular se oine prin deri*area ecuaiei (0.0?) n raport cu

timpul

,sec//

)(77

7

77

77

&0&c0--

&&&

==

+==

(0.7)

unde/

77

7

&&--

&c0

+= este cosinusul Ciperolic. Eoluia (0.7) se numete soliton.

%n fig. este reprezentat dependena de timp a *itezei ungCiulare. $in figur se oser* c,pentru t 2 7, *aloarea maxim a solitonului este /N7, iar pentru t 2 Q R *iteza ungCiular

tinde exponenial ctre zero. Astfel, micarea pe separatoare se caracterizeaz prin micorarea

*itezei ungCiulare, adic pendulul gra*itaional neliniar se mic cu acceleraia ungCiular ( ) ,sec/ 777 &&0&0

d&

d' =

= (0.1)

unde

&&--&c0

&077

/1sec

7

7

+== , .

77

77

7 &&

&

--

&--&&0

+

= (0./)

,ili$graie1. Sranino A. Torn, UCeresa . Torn, atCematical andooI for Ecientists and

ngineers. $efinitions, tCeorems and formulas for reference and re*ieW, cSAG-=

4XXT 5X"AKY, =K5, KeW YorI Uoronto ondon, 1?'1./. Z. [\] , _. `b , _. ^, ^hjk\^ \]hh (j, qh]h,

jh), ], 1?'.0. v. w^^\, _. `b^\, yh^ \^\b^\\^ \]hh { ^| |, . 0.

`jjhh}^]h^ h {\^ \]hh, \]hh ^ h ~k^, ~w, ].. arold Heffre!s, 4ertCa EWirles, etCods of atCematical "C!sics, 5amridge,

5amridge @ni*ersit! "ress, 1?''.+. y..h\{, {^ ^h]h, 0, }k {, b^jk{

], ~]{, 1?9.'. .., ..j, h}^] q\hh ]h\{ h h]h\{

{ j{b\h]|, hh\, hh\, 1??7.Dr. habil.Anatol Rotaru,

Dr. IuliaMalcociConsiliul Suprem pentru tiin i Dezvoltare Tehnologic


fizica matematica

Documents

Transcript of fizica matematica