1

ENDOMORFISME(APLICAIILINIARE)ADJUNCTE,AUTOADJUNCTEPentruacestcapitolestenecesarcunoaterea(recapitularea)noiunilorde:aplicaieliniar(morfismdespaiivectoriale),endomorfism,matriceauneiaplicaiiliniarentrobazdat,produsscalaribazortonormat(imodalitateadedeterminareaacesteia).Definiie: Fie V un spaiu euclidian1 i :f V V un endomorfism. Se numete adjunctul lui f (i senoteaz *f )endomorfismul *:f V V cuproprietateac:

( ), , *( )f x y x f y ,pentru ,x y V Observaie:Adjunctulunuiendomorfismexistieunic.Proproziie:FieV unspaiueuclidian, B obazortonormataluiV i :f V V unendomorfism.Fie

Bf matriceaendomorfismului f nbaza B .Atuncimatriceaendomorfismuluiadjunct *:f V V este

egalcutranspusamatriceiendomorfismului f :

* TB Bf f Definiie: Fie V un spaiu euclidian i :f V V un endomorfism. Atunci f se numete endomorfismautoadjunctdac *f f .

Observaie: Pentru endomorfismele autoadjuncte, TB Bf f , adic matricea endomorfismului estesimetricpentrucazulreal).

CUMSEDETERMINEFECTIVADJUNCTULUNUIENDOMORFISM?

1) Severificdacbazacorespunztoarescrieriiendomorfismuluiesteortonormat:dacda,setrecela2),dacnu,seortonormeazbaza(cualgoritmulGrammSchmidt);

2) Se determin matricea endomorfismului n baza ortonormat, Bf , apoi se determin matriceaadjunctului: * TB Bf f isescrieendomorfismuladjunct(cuajutorulmatricei *Bf )

3) Dac,nplus, TB Bf f ,atunciendomorfismulesteautoadjunct(deci *f coincidecu f )

Exemplul1:Seconsiderendomorfismul 2 2:f ,K (corpulscalarilor)definitprin , 2 , 3f x y x y x y .Determinaiadjunctul *f ,relativlaprodusulscalareuclidian.

1Esteunspaiuvectorialfinitdimensionalpecaresadefinitunprodusscalarreal

2

Rezolvare:Deoarecenusespecificbazancareestedefinitendomorfismul,aceastaestebazacanonicdin2 : 1 2, 1,0 , 0,1B e e .Bazacanonicdin n esteortonormat.Matriceaendomorfismului f n

bazaortonormat B este 1 2( ) ( )Bf f e f e ,unde: 1( ) 1,0 2 1 0 ,1 3 0 2,1f e f irespectiv 2( ) 0,1 2 0 1, 0 3 1 1, 3f e f ,deci

2 11 3

Bf

.Matriceaendomorfismuluiadjunct *f este 1 2*( ) *( )Bf f e f e iconformteoriei, * 2 11 3TB Bf f ,deci 1 1 2*( ) 2 2 , 1f e e e i 2 1 2*( ) 3 1, 3f e e e .Forma

endomorfismuluiadjuncteste: 1 2* , *( ) *( ) 2, 1 1,3 2 , 3f x y x f e y f e x y x y x y .

Exemplul2:Seconsiderendomorfismul 3 3:f ,K (corpulscalarilor)definitprin , , 2 , ,f x y z x y z x y z x z .Determinaiadjunctul *f ,relativlaprodusulscalareuclidian.

Rezolvare:Deoarecenusespecificbazancareestedefinitendomorfismul,aceastaestebazacanonicdin3 : 1 2 3, , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1B e e e .Bazacanonicdin n esteortonormat.Matricea

endomorfismului f nbazaortonormat B este 1 2 3( ) ( ) ( )Bf f e f e f e ,unde: 1( ) 1,0,0 1 2 0 0 ,1 0 0 ,1 0 1,1,1f e f , 2( ) 0,1,0 0 2 1 0 , 0 1 0 , 0 0 2 , 1,0f e f i 3( ) 0,0,1 0 2 0 1, 0 0 1, 0 1 1,1,1f e f ,

deci1 2 11 1 11 0 1

Bf

.Matriceaendomorfismuluiadjunct *f este 1 2 3*( ) *( ) *( )Bf f e f e f e i

conformteoriei, *1 1 12 1 01 1 1

TB Bf f

,deci:

1 1 2 3*( ) 2 1,2 , 1f e e e e , 2 1 2 3*( ) 1 , 1 ,1f e e e e i 3 1 3*( ) 1 , 0 ,1f e e e .Formaendomorfismuluiadjuncteste:

1 2 3* , , *( ) *( ) *( )

1, 2, 1 1, 1,1 1,0,1 , 2 ,

f x y z x f e y f e z f e

x y z x y z x y x y z

3

Exemplul3:Fieendomorfismul 2 2:f P P ,definitprin: f P P P (amnotatcu 2P mulimeapolinoamelordegradcelmultdoi,cucoeficienirealiiar P esteunpolinomoarecaredin 2P )iK (corpulscalarilor).Considermpe 2P produsulscalar: 10, ( ) ( )P Q P x Q x dx .Determinaiadjunctullui f .

Rezolvare:Deoarecenusespecificbazancareestedefinitendomorfismul,aceastaestebazacanonicdin 2P : 21 2 3, , 1, ,B v v v x x .Bazacanonicdin 2P NUesteortonormat(nuesteniciortogonal

severificimediatc,deexemplu, 1 3, 0v v ,adic3 11 2

0 0

1 03 3xx dx ).Maintivomortonormabaza

21 2 3, , 1, ,B v v v x x folosindalgoritmulGrammSchmidt:1)Obinereabazeiortogonale 1 2 3, ,B u u u :

1 1 1u v ; 1

2 11

02 1 02 2 2 2 1 1 1

1 1 00

, 2 11, 21

u

xx dxv u

u v pr v v u x x xu u xdx

;

1 2

1 21 203 1 3 2 2 0

3 3 3 3 3 1 2 1 11 1 2 2

0 0

2

1, , 121

1, , 212

1(...)6

u u

x x dxx dxv u v uu v pr v pr v v u u x x

u u u u dx x dx

x x

Amobinutbazaortogonal: 21 2 3 1 1, , 1 , ,2 6B u u u x x x .

1)Obinereabazeiortonormate 1 2 3, ,B w w w :1

11

1uwu

; 2 22 212 2 2

0

12 (...) 3 2 1

, 12

xu uw xu u u

x dx

;

23 33 213 3 3 2

0

12 (...) 5 6 6 1

, 16

xu uw x xu u u

x x dx

.

Amobinutbazaortonormat 21 2 3, , 1 , 3 2 1 , 5 6 6 1B w w w x x x .Matriceaendomorfismului f nbazaortonormat B este 1 2 3( ) ( ) ( )Bf f w f w f w .Pentruacalcula

1 2 3( ) , ( ) , ( )f w f w f w folosimdefiniiaendomorfismului f dinenun: f P P P ,nlocuindpernd P cu 1 2,w w irespectiv 3w :

4

1 1 1 1( ) 1f w w w w , 2 2 2 1 2( ) 2 3 2 3 3 2 3 3 2 1 2 3f w w w x x w w i 2 23 3 3

2 3

( ) 12 5 6 5 6 5 6 5 5 6 5 2 1 5 6 6 1

2 15 5

f w w w x x x x x x

w w

deci1 2 3 0

0 1 2 150 0 1

Bf

.Matriceaendomorfismuluiadjunct *f este:

1 2 3*( ) *( ) *( )Bf f w f w f w iconformteoriei, *1 0 0

2 3 1 0

0 2 15 1

TB Bf f

,deci:

1 1 2*( ) 2 3 12 7f w w w x , 22 2 3*( ) 2 15 60 3 62 3 11 3f w w w x x i 23 3*( ) 5 6 6 1f w w x x .

Pentrudeterminareaformeiendomorfismuluiadjunct *f P procedmnfelulurmtor: 20 1 2* *f P f a a x a x iar 20 1 2 1 1 2 2 3 3a a x a x b w b w b w (combinaieliniarntreelementele

bazeiortonormate).Vremsexprimmcoeficienii 1 2,b b i 3b nfunciede 0 1,a a i 2a : 20 1 2 1 1 2 2 3 3a a x a x b w b w b w 2 20 1 2 1 2 33 2 1 5 6 6 1a a x a x b b x b x x

0 1 2 3

1 2 3

2 3

3 5

2 3 6 5

6 5

a b b b

a b b

a b

3 2

2 1 2

1 0 1 2

16 512 3

1 12 3

b a

b a a

b a a a

Asfel,formaendomorfismuluiadjunctvafi:

20 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

0 1 2 1 1 2 2 2 3

2 20 1 2 1 2 2

* * * * * *

1 1 1 1* * *2 3 2 3 6 51 1 1 112 7 60 3 62 3 11 3 5 6 6 12 3 2 3 6 5

f P f a a x a x f b w b w b w b f w b f w b f w

a a a f w a a f w a f w

a a a x a a x x a x x

20 1 2 1 2 1 219(...) 7 2 5 5 3 306a a a a a x a a x .