Elemente de calcul neliniar 1

7/30/2019 Elemente de calcul neliniar 1

1/10

1.MODELE SI METODE DE CALCUL N PROIECTAREACONSTRUCIILOR

1.1. INTRODUCERE

n limbajul uzual, prin construcie se nelege o cldire executat din zidrie, lemn, metal,beton, etc., pe baza unui proiect, care servete la adapostirea oamenilor, animalelor, obiectelor, etc. (1DEX). Terminologia tehnic defineste construcia ca structur sau sistem fizic, aflat n permanenaciune cu mediul inconjurtor. Intrrile in sistem sunt aciunile exercitate de mediu asupra structurii, iarrspunsul structurii la aceste aciuni constituie iesirile din sistem .

Orice construcie are un schelet sau o structur de rezisten, alctuit din elemente simplenumite elemente de construcii ( bare, plci, blocuri).

Avnd n vedere elementele care intr n componena structurilor de rezisten, acestea pot fi

grupate n:- structuri din bare (articulate sau legate rigid n noduri);- structuri alctuite din perei structurali (de zidrie portant, din beton turnatmonolit

sau n panouri prefabricate, din materiale compozite, etc.);- structuri mixte, alctuite din bare i perei structurali.

Proiectarea unei construcii este un proces complex n care ponderea cea mai mare o areanaliza i proiectarea structurii de rezisten ("structural analysis and design"). Prin aceast proiectarese urmrete realizarea unei structuri care s satisfac exigenele eseniale funcionale i economice, cuasigurarea cerinelor de rezisten, rigiditate, stabilitate i durabilitate, deci a siguranei in exploatare.

1.2. MODELAREA FIZIC A STRUCTURII, REAZEMELORIACIUNILOR

Avnd n vedere complexitatea de alctuire a strucurilor de rezisten, a legturilor interioarei exterioare (rezemrilor), precum i complexitatea ncrcrilor i a comportrii materialelorconstitutive, analiza i proiectarea structural se face pe un model structural simplificat (idealizat).Aceasta presupune schematizarea construciei i a elementelor de construcii componente ca form,dimensiuni geometrice, materiale constitutive i chiar neglijnd unele elemente neportante (cu rol decompartimentare, de izolare higrotermici acustic, decorativ etc.).

Similar, legturile exterioare ale structurii (reazemele) i cele interioare, dintre elemente, seidealizeaz reducndu-se la trei tipuri fundamentale: reazem simplu, articulaie, ncastrare.

Reazemele se difereniaz n cazul plan, respectiv spaial, prin numrul i direciagradelor de libertate blocate (total n cazul reazemelor fixe, parial n cazul reazemelor elastice).

ncrcrile (Aciunile ) pe care trebuie s le preia o construcie n decursul vieii sale suntfoarte variate ca natur, provenieni mod de manifestare. Ele se schematizeaz i se reduc la fore imomente concentrate, respectiv distribuite, deplasri impuse, variaii de temperatur. Clasificareaaciunilor se poate face dup mai multe criterii, cum ar fi:

- dup criteriul frecvenei de apariie la anumite intensiti (aciuni permanente - P,aciuni temporare - T, aciuni excepionale - E);d l l d li (f i d l i f d f ti


2/10

materialele constitutive. Caracteristicile fizico-mecanice i elastice ale materialelor se obin pe caleexperimental, prin ncercri pe probe standardizate, n urma crora se obin curbe caracteristicespecifice fiecrui material. Diversitatea de curbe caracteristice ale materialelor frecvent utilizate nconstrucii a impus schematizarea lor prin folosirea unor modele de deformare (reologice) simple,corespunztoare celor trei tipuri de deformaii elementare: elastice, plastice, vscoase. Din acest punct devedere exist trei categorii de materiale, dup cum urmeaz:

- materiale cu comportare elastic liniar, schematizeaz printr-un resort (modelulfundamental Hooke), avnd curba carasteristic din fig. 1.1.a; comportarea elastic liniar estedescris matematic n cazul unei solicitri uniaxiale de legea lui Hooke:

= Ee (1.1)unde E - constanta elastic a resortului este modulul de elasticitate longitudinal al materialului.La solicitri bi sau triaxiale legtura - este precizat de legea generalizat a lui Hooke;

- materiale cu comportare plastic, schematizeaz printr-o patin (modelul fundamental

Saint-Venant), curba caracteristic fiind cea din fig. 1.1.b; ecuaia de stare (reologic) la solicitareuniaxial este= c (1.2)

unde c- valoarea tensiunii la care este invins frecarea dintre patine (limita de curgere amaterialului); la solicitri bi sau triaxiale se utilizeaz criterii (teorii) de curgere;

- materiale cu comportare vscoas, la care viteza de deformare variaz liniar sau neliniarn raport cu tensiunea (beton, materiale plastice, etc.); modelul de deformare este schematizat printr-un piston (modelul fundamental Newton- fig. 1.1.c), iar ecua ia de stare care descrie comportarea

vscoas este= (1.3)

unde - caracteristica pistonului ( coeficientul de vscozitate al materialului), - viteza dedeformare.

Curbele caracteristice ale multor materiale cu comportare elastica sau vscoas sunt neliniaresau prezint poriuni neliniare. Un material cu comportare elastic pronunat neliniar este cauciucul (fig.1.1d).


3/10

solicitare, temperatur, etc.De aceea a fost necesar crearea de modele reologice compuse, obinute prin legarea n serie

sau n paralel a modelelor fundamentale, ecuaiile de stare obinndu-se similar, pe baza condiiilor deechilibru i de compatibilitate geometric a modelului compus.

Un astfel de model, prin care se aproximeaz comportarea elasto-plastic a oelului, esteobinut prin legarea n serie a unui resort cu o patin. Modelul elastic-perfect plastic obinut conduce lacurba caracteristic din figura 1.2 a, numiti curba Prandtl. Matematic, comportarea acestui model setraduce printr-o ecuaie de stare discontinu;

= E - pentru < e (< c) (1.4)= c-pentru > e unde e - deformaia specific la limita de

elasticitate a materialului.Curba caracteristic a oelului (fig. 1.2 b) poate fi aproximati mai bine printr-un model

elasto-plastic cu consolidare (fig. 1.2 c).

Fig. 1.2

n literatura de specialitate se ntlnesc i alte modele complexe de comportare a diverselor

materiale, crora le corespund curbe caracteristice specifice (modelul biliniar, modelul neliniar elasto-plastic, curba Ramberg-Osgood, etc.).Comportarea mecanic a materialelor de construcii care, aa cum s-a vzut, este de natur

experimental, se exprim mai general prin ecuaii reologice de forma:

f(, , , ,,t,T) = 0 (1.5)adic o funcie de tensiuni, deformaii specifice i derivatele lor n raport cu timpul, precum

i de timpul (t) i temperatura (T). n spaiul - - t ecuaia (1.5) reprezint o suprafa caracteristicavnd ca proiecii n fiecare plan curba caracteristic- i curba de fluaj sau curgere lent-t

Modelul structural obinut prin schematizarea construciei, la care se ataeaz modelelesimplificate ale legturilor, ncrcrilori ale comportrii materialelor constitutive formeazmodelulfizic al structurii reale.


4/10

Modelul fizic este ncercat pe baza unui program experimental,ob inndu-se valori aleparametrilor de rspuns, fie direct prin msurare, fie dup unele prelucrri, de obicei automate, bazate peteoria similitudinii.

Rezultatele obinute se folosesc la stabilirea modului de comportare a structurii reale, laconfruntarea cu rezultatele teoretice obinute prin analiza modelului structural de calcul i, pe aceste baze laluarea unor decizii de mbuntire a modelului structural de calcul i a proiectrii structurii reale.

n anumite situaii, costul mare i durata ndelungat a unui program experimental pot fi evitateprin nlocuirea cu un program de simulare numeric a experimentrilor.

1.5. MODELAREA MATEMATIC A COMPORTRIISTRUCTURILORI DETERMINAREA RSPUNSULUI1.5.1.Consideraii introductive

Comportarea sub aciuni a oricrei structuri de rezisten (reale sau model de calcul) este unproces a crui evaluare se face printr-o serie de parametri fizico-mecanici (variabile), X(x,y,z,t), care suntfuncii continue de coordonatele spaiale i de timp (procesul este staionar dac t=0, respectivnestaionar dac t0). Unele dintre aceste variabile, q, care constituie parametrii de intrare, n sistem iparametrii proprii ai sistemului, pot fi cunoscute sau stabilite apriori: aciunile (P), unele dimensiunigeometrice (L), caracteristicile fizico-mecanice ale materialului (E), condiiile la limit. Restul de uvariabile, reprezentnd parametrii de rspuns ai structurii, constituie necunoscutele problemei:deplasri, eforturi (tensiuni), temperaturi, viteze, etc. Prin urmare, parametrii de rspuns sau de ieire ai

structurii pot fi reprezentai prin funcii, n general continue, dependente de parametrii de intrare i deparametrii proprii ai sistemului:

Y=Y(x,y,z,t,P,L,E,T) (1.6)Determinarea parametrilor de rspuns necesit folosirea unui model matematic (analitic),

care se formuleaz pe baza a trei tipuri de condiii pe care trebuie s le ndeplineasc structura deformatsub aciuni:

- condiii de echilibru (static sau dinamic);- condiii de compatibilitate geometric;- condiii fizice (de comportare a materialelor constitutive).Corespunztor acestor condiii se stabilesc trei tipuri de ecuaii (ecuaii de echilibru, ecuaii

geometrice sau de deformaie i ecuaii fizice sau constitutive) care, mpreun cu condiiile la limiti cucele de continuitate a deformaiilor, permit determinarea variabilelor alese ca necunoscute.

Trebuie precizat c ntre diversele clase de parametri de rspuns exist relaii de legatura,meat pentru definirea complet a strii deformate a structurii este suficient s se determine numai

parametrii dintr-o anumit clas (de exemplu, a deplasrilor prin metoda matricei de rigiditate saumetoda deplasrilor, respectiv a eforturilor sau tensiunilor prin metoda forelor sau a matricei deflexibilitate).

n esen, formularea unui model matematic pentru orice sistem fizic rezid n a stabili orelaie matematic ntre parametrii u i q, prin aplicarea legilor fizice caracteristice sistemului. Aceastrelaie, numiti ecuaie operaional, este de natura unui sistem de ecuaii de definiie de forma:


5/10

frontier), iar operatorul C se poate nota Cf, n probleme nesta ionare sunt necesare i condiii iniialeQ la timpul de origine t0.

Ecuaiile de definiie (1.8) mpreun cu condiiile la limit (1.10) constituie ecuaiile deguvernare ale sistemului, care au soluii de forma

u = u(qi,q2, .......... ,qm) (1.11)

n ecuaiile de guvernare L i C sunt operatori liniari sau neliniari, q sunt parametrii proprii ide intrare ai sistemului, u sunt necunoscutele problemei, iar fvi fs sunt funcii date pe V respectiv S.Exemple de ecuaii de guvernare

a) Calculul deplasrilor w la ncovoierea barelor drepte (fig. 1.3. a)

Ecuaia operaional: ( operatorul L=d4/dx4 ; p(x) intensitatea ncrcrii;EI - rigiditatea seciunii la ncovoiere);

Condiii la limit:- pentru x = 0WA = w(0) = 0;- pentru x = l WB = w(l) = 0.b) Determinarea strii de tensiune la elemente structurale aflate n stare plan de tensiune (perei structurali, planeeacionate n planul lor etc.)

Ecuaia operaional:

Operatorul L=DD=D2

D

2

se aplic lui F(x,y)- funcia de tensiuni sau funcialui Airy;

Condiii la limit (pe contur) - sub forma analogiei de cadru:

Fig. 1.3


6/10

Condiii pe contur:

Mrimea unui parametru de rspuns (ca de exemplu deplasarea unui punct sau a unei

seciuni a structurii) poart numele de grad de libertate (GDL). ntruct aceti parametri de rspunssunt funcii continue de poziia punctului sau seciunii, rezult c structura are o infinitate de grade delibertate, care definesc starea deformat a acesteia. Din acest punct de vedere structurile reale ca iunele modele structurale de calcul pot fi considerate sisteme continue.

Adesea ns modelele structuralede calcul sunt prevzute cu un numr finit de grade delibertate (egal cu numrul n al parametrilor de rspuns necunoscui u), caz n care structura esteconsiderat un sistem fizic discret.

Problemele care apar la sistemele continue sau discrete se pot grupa n:

- probleme staionare (de echilibreu i de valori proprii);- probleme nestaionare (de propagare).Componena ecuaiilor de guvernare pentru fiecare tip de problem de mai sus este

precizat n tabelul 1.1.Tabel 1.1

Tipul problemei Ecuaiile de guvernare

Sisteme continue Sisteme discrete

ECHILIBRU Ecuaii difereniale ordinare sau cuderivate pariale cu condiii de margineimpuse

Sistem de ecuaii algebrice

VALORI PROPRII Ecuaii difereniale ordinare sau cuderivate pariale cu condiii de margineimpuse

Sistem de ecuaii algebricesau ecuaii diferenialeordinare reductibile la ecuaii

algebrice

PROPAGARE Ecuaii cu derivate pariale cu condiiiiniiale i de margine impuse

Sistem de ecuaii diferenialeordinare cu condiii iniialeimpuse


7/10

Exist mai multe posibiliti de analiz a comportrii unei structuri i de determinare arspunsului acesteia.

Astfel, pentru proiectare este obligatorie efectuarea unei analize printr-un calcul de ordinul Iliniar-elastic, care implic scrierea condiiei de echilibru static pe structura nedeformat (ipoteza micilordeplasri i a micilor deformaii), materialul avnd o comportare liniar-elastic.

La unele structuri ipoteza micilor deplasri nu mai este aplicabil,echilibrul trebuind s fiescris pe structura deformat (neliniaritate geometric), materialul avnd ns comportare liniar-elastic.Aceast analiz printr-un calcul de ordinul al II-lea liniar-elastic, este necesar la structuri cudeplasri mari (structuri suspendate pe cabluri, structuri cu deschideri mari, structuri nalte i svelte -probleme de stabilitate).

La construciile speciale, de importan deosebit, la expertizri ale construciilor existente,etc., pentru a stabili modul de cedare al structurii de rezisten, se apeleaz la un calcul de ordin superiorila analize mai sofisticate, dintre care enumerm :

analiza elasto-plasticprin calcul biografic, cnd echilibrul se scrie pe structuranedeformat, iar materialul are comportare elasto-plastic;analiza elasto-plasticbazat pe identificarea direct a mecanismului de cedare prin teoriaplastic simpl;analiza elasto-plasticbazat pe identificarea direct a mecanismului de cedare i luarean considerare a efectului forei axiale asupra formrii articulaiei plastice. analizaneliniar cu luarea n considerare a ambelor tipuri de neliniaritate (geometricifizic);

Fazele principale ale modelrii precum i legturile ntre parametrii implicai n procesul deproiectare sau expertizare a unei construcii se prezint n fig. 1.4.

1.6. METODE DE CALCUL PENTRU DETERMINAREARSPUNSULUI STRUCTURILOR

Determinarea parametrilor de rspuns, care s satisfac ecuaiile de guvernare ale unei

structuri (ecuaia operaionali condiiile la limit aferente), se poate face prin dou tipuri de metode:- metode analitice ("exacte"), care se bazeaz pe exprimarea variabilei de rspuns cutateprin funcii analitice, valabil pentru orice punct al cmpului (domeniului) care se refer. Ca soluiianalitice se pot folosi polinoamele algebrice, funciile transcendente elementare (trigonometrice,hiperbolice, etc.), seriile trigonometrice, seriile de puteri, funciile Bessel etc.

Gsirea unor soluii analitice ns, nu este posibil dect ntr-un numr redus de cazuriparticulare de geometrie, rezemare i ncrcare a structurii. Chiari n acele cazuri, calificativul desoluie "exact" nu i merit utilizarea pe deplin, deoarece modelul matematic pe care se opereaz are la

baz un model fizic obinut prin simplificri i idealizri ale structurii reale.- metode numerice (aproximative) care constau n determinarea unor valori alefunciilor necunoscute (parametri de rspuns) dintr-un numr finit de puncte ale modeluluistructural (considerat sistem discret), sau a unor funcii care s aproximeze soluiile exacte, adic ssatisfac, cu o eroare controlati acceptabil, ecuaiile de guvernare. Dac funciile aproximanteau ca domeniu de definiie ntregul model structural, atunci aceasta are o infinitate de GDL (este un


8/10

- metodele matriciale directe, care au la baz teoremele lucrului mecanic virtual;- metodele variaionale, care au la baz un criteriu de staionaritate impus energiei

poteniale a structurii;- metodele reziduale, care se bazeaz pe condiia de staionaritate a funciei reziduale

(funcia reziduu exprim diferena dintre soluia exacti soluia aproximativ aproblemei).

n cele ce urmeaz, se va aborda numai metoda elementelor finite (MEF), careactualmente este cea mai utilizat metod numeric, ntruct ofer cele mai mari posibiliti, referitoratt la modelarea fizic a structurilor, ct i la procedurile numerice folosite. Formularea MEF se poateface utiliznd oricare dintre criteriile considerate anterior n clasificarea metodelor numerice de calcul(fig. 1.5).


9/10

11

ACIUNEA MEDIULUI

Parametri de intrare

Fig.1.4

RSPUNSUL STRUCTURII

- Parametri de ieire

CONSTRUCIA -SISTEM FIZIC

-Proiectare sau expertizare

-Structura de rezisten

COMPORTAR

EPROTOTIP

MODELUL STRUCTURAL DE CALCUL

MODEL EXPERIMENTAL

-Teoria similitudinii*geometrie*legaturi

*material

*actiuni

-Program experimental

MODEL STRUCTURAL

-Schematizri prototip*elemente de construcii

*legaturi

*comportare material

MODEL DE INCARCARE

*Parametri de intrare(P)

-Proiectare:calcululderezistenta(stabilitate,etc.)

-Expertizar

e:comportare(consolidare

)prototip

MODEL MATEMATIC

- Grade de libertate*numar infinit (continuu)

*numar finit (discret)

- Parametri de intrare (P)- Parametri interni (K,F)

- Parametri de iesire (Y)

PROBLEMA MATEMATICA

- ecuatie operational ape structura :L(X,K,P,Y)=0- conditia de rezemare: Cf(K,P,Y)=0

- cond. initiala: Ci(K,P,Y)=0

CORP DEFORMABIL

- Conditia de echilibru- Conditia de compatibilitate

- Conditia fizicaPARAMETRI DE IESIRE

EXPERIMENTALI- masurati

- deteriminati prin identificare METODA DE REZOLVARE

- Parametri de iesire (Y)*deplasari(D)

*eforturi(S) sau tensiuni()

*acceleratii (D) etc.VALIDARE

MODEL STRUCTURAL

MODEL MATEMATICMETODA DE REZOLVARE


10/10

12

METODE DE ANALIZ A STRUCTURILOR

METODE NUMERICE

(APROXIMATIVE)

Integrale particulareSepararea variabilelor

Integrare prin parti

Transformari FourierTransformari Laplace

Functii generalizate

Fig. 1.5

METODE

ANALITICE

(EXACTE)

METODE DIRECTE

Metoda

fortelor

Metoda

deplasarilor

METODAELEMENTELOR

FINITE

(Metoda fasiilor finite)

METODE

VARIATIONALE

Diferente finite

Ritz

Kantorovici

Trefftz

METODA

ELEMENTELOR FINITE(Metoda fasiilor finite)

Metoda elementelor de

frontiera

METODE ENERGETICE

METODE

REZIDUALE

Erori absolute

ColocatieiSubdomeniului

Ortogonalizarii

Galerkin

Cele mai mici patrate

METODAELEMENTELOR

FINITE

Metoda elementelor de

frontiera

Elemente de calcul neliniar 1

Documents

Transcript of Elemente de calcul neliniar 1