ELEMENTE DE ALGEBRA MATRICEALA IN MATLAB

Comenzi de bază

ComandaComanda FuncFuncţţia executatia executatăă

invinv Calculeaza inversa unei matrice patratice nesingulareCalculeaza inversa unei matrice patratice nesingulare

pinvpinv Calculeaza pseudoinversa unei matriceCalculeaza pseudoinversa unei matrice

rankrank Calculeaza rangul unei matriceCalculeaza rangul unei matrice

condcond Estimeaza numarul de conditionare al matriceiEstimeaza numarul de conditionare al matricei

detdet Calculeaza determinantul unei matrice patraticeCalculeaza determinantul unei matrice patratice

tracetrace Calculeaza urma unei matriceCalculeaza urma unei matrice

condestcondest Estimeaza numarul de conditionare al matriceiEstimeaza numarul de conditionare al matricei

normnorm Calculeaza norma vectorului sau matriceiCalculeaza norma vectorului sau matricei

rcondrcond Estimeaza numarul de conditionare al matriceiEstimeaza numarul de conditionare al matricei

sizesize Returneaza dimensiunea unei matriceReturneaza dimensiunea unei matrice

lengthlength Returneaza lungimea unui vectorReturneaza lungimea unui vector

‘‘ Calculeaza transpusa unei matrice/vectorCalculeaza transpusa unei matrice/vector

diagdiag Extrage din matrice, matricea diagonalaExtrage din matrice, matricea diagonala

Raportul dintre cea mai mare valoare singulară nenulă şi cea mai mică valoare singulară nenulă ale matricei [A] se numeşte numărul de condiţionare în raport cu inversarea matricei [A].

Dimensiunea unei matrice este (n,m) in care n = numarul de linii, m = numarul de coloane

CURS 5

Pseudo-inversa matricei [A] este o matrice [B] de aceeaşi dimensiune ca şi [A]T, care îndeplineşte următoarele condiţii:

• A·B·A = A şi B·A·B = B,

• A·B şi B·A sunt matrice hermitiene.

O matrice hermitiană este o matrice pătratică cu proprietatea că ea coincide cu transpusa conjugatei sale.

APLICATIA 1

2 - 3 1

Se dau matricele: [A] = - 4 6 2 si vectorul [B] = [1 3 1]

1 2 3

Să se determine: a) size(A); b) length (B); c) rank(A); d) det(A); e) inv(A); f) cond(A);

g) trace(A); h) A’; B’; i) diag(A).

In urma lansarii comenzilor de mai sus, marcate cu culoare albastra, programul MATLAB va afisa urmatoarele rezultate:

REZULTATE OBTINUTE:

a) 3 3 ; b) 3; c) 3; d) -28; e) ; f) 9.0643; g) 11; h) ;

- 0.500 - 0.3929 0.4286

- 0.500 - 0.1786 0.2857

0.500 0.2500 02

6

3

i)

2 - 4 1

- 3 6 2

1 2 3

1

3

1

Puteri de matrice

Dacă [A] este o matrice pătratică şi p este un număr întreg pozitiv, atunci A^p multiplică pe A cu ea însăşi de p ori. Dacă [A] este pătratică şi nesingulară, atunci A^(-p) multiplică pe inv(A) cu ea însăşi de p ori.

APLICATIA 2

Se da matricea [A] = . Sa se calculeze A2 si A-2.

1 1 1

1 2 3

1 3 6

In MATLAB se lanseaza comanda A^2 si rezulta: 3 6 10 6 14 25 10 25 46

Daca se lanseaza comanda A^(-2) rezulta: 19.0000 -26.0000 10.0000 -26.0000 38.0000 -15.0000 10.0000 -15.0000 6.0000

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE SI NELINIARE

Se activeaza in MATLAB comanda fsolve pentru aflarea solutiilor reale ale unui sistem de ecuatii liniar sau neliniar. Cu ajutorul comenzii \ se rezolva, prin metoda pivotarii Gauss, sistemele de ecuatii liniare de forma A·X = B.

APLICATIA 2Sã se rezolve sistemul de ecuatii:

x + 2y + 3z = 1

4x + 5y + 6z = 2

7x + 8y + 5z = 3

COMANDA:

>> A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 5] ;

>> B = [1 2 3]’;

>> X = A\B sau X = inv(A)*B

REZULTATE OBTINUTE:

0.3333

0.6667

0

Programul determina mai intai:

det (A) = 12

[A]T = ; [A]* =

[A]-1 = 1det(A)

A*

1 4 72 5 83 6 5

- 23 14 - 3 22 - 16 6- 3 6 - 3

- 1.9167 1.1667 - 0.2500 [A]-1 = 1.8333 -1.3333 0.5000 - 0.2500 0.5000 - 0.2500

;

{X} = [A]-1·{B} =

0.3333

0.6667

0.0000

APLICATIA 3

a1 + a2 + a3 = 1

a1 + 1,21a2 + 1,4641a3 = 1,1

a1 + 1,44a2 + 2,0736a3 = 1,2

Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

COMANDA:

A = [1 1 1; 1 1.21 1.4641; 1 1.44 2.0736];B = [1; 1.1; 1.2];X = linsolve (A,B)

X = 0.4099 0.6842 - 0.0941

REZULTATE OBTINUTE:

APLICATIA 4

Sa se rezolve sistemul neliniar:

sin x + y2 + ln z = 7

3x + 2y – z3 = -1

x + y + z = 5

folosind functia fsolve, cu solutia de start x = 1, y = 1, z = 1.

Se creeaza un fisier cu extensia “.m”, spre exemplu, system.m

function q = f_name(p)

x = p(1) ; y = p(2); z = p(3);

q = zeros(3,1);

q(1) = sin(x) + y.^2 + log(z) – 7;

q(2) = 3*x + 2.^y – z.^3 +1;

q(3) = x + y + z – 5;

Se da apoi, in pagina principala, urmatoarea COMANDA: >> fsolve (‘system’, [1 1 1])%

0.5991 2.3959 2.0050REZULTATE OBTINUTE: