ELECTRODINAMICA

4.1. Câmp magnetic în vid. Inducţia magnetică.

Asupra corpurilor se pot exercita forţe şi cupluri de natură diferită de a celor

termodinamice sau electrice, numite forţe şi cupluri magnetice.

Aceste interacţiuni sunt de trei tipuri: magnetostatice, dintre doi magneţi;

electromagnetice, dintre un magnet şi un curent; electrodinamice, dintre doua conductoare

parcurse de curent.

Interacţiunea exercitându-se la distanţă, în spaţiu se manifestă un câmp de forţă, numit

câmp magnetic, care reprezintă forma de manifestare materială a câmpului general

electromagnetic. Pentru punerea în evidenţă şi exploatarea câmpului magnetic, se utilizează un

corp de probă, numit buclă de curent – o spiră foarte subţire străbătută de curentul i (fig. 4.1).

Figura 4.1. a) – bucla de curent; b) – momentul buclei

O mărime specifică buclei de curent este momentul buclei:

(4.1)

unde: - este suprafaţa buclei, iar este versorul normalei la planul buclei care se asociază

acesteia cu legea burghiului drept.

Asupra buclei de curent, aflată în câmp magnetic, se exercită un cuplu de forţe:

(4.2)

unde: este vectorul inducţie magnetică care descrie câmpul magnetic si care în Sistemul

Internaţional [SI] se masoară în:

33

[tesla]

Practic, câmpul magnetic se poate pune în evidentă cu pilitura de fier care se aranjează

după liniile de câmp, iar mărimea vectorială , intensitatea câmpului magnetic – este tangenta

la liniile de câmp (fig. 4.2), sensul acestui vector fiind stabilit de asemeni cu regula burghiului

drept (se roteşte burghiul drept, astfel încât acesta să înainteze în sensul curentului i, iar un

punct de pe generatoarea lui, indică sensul câmpului magnetic ).

Spectrul liniilor de câmp magnetic într-un plan (P), perpendicular pe un conductor filiform

străbătut de curentul i se prezinta in fig. 4.2. În cazul unui solenoid (bobina), sensul liniilor de

câmp se stabileşte tot cu regula burghiului drept (fig.4.3), liniile ies din bobină în partea de sus

şi intră în bobină în partea de jos.

În interiorul bobinei se poate spune că avem un câmp magnetic omogen , liniile fiind

paralele şi intensitatea câmpului constantă.

Figura 4.2. Figura 4.3.

4.2. Intensitatea câmpului magnetic în vid. Formula lui Biot-Savart-Laplace.

Fie un conductor filiform străbătut de curentul i (fig. 4.4). Într-un punct P situat la

distanţa de conductorul , în vid, intensitatea câmpului magnetic se calculează cu relaţia:

(4.3)

unde: este elementul de lungime orientat dupa sensul curentului i.

34

Figura 4.4. Campul magnetic în jurul unui conductor filiform parcurs de curentul electric i.

Sensul vectorului câmp magnetic este dat de regula burghiului drept, sau produsul

vectorial .

Intensitatea câmpului magnetic este o marime derivată a mărimii fundamentale –

inducţia câmpului magnetic şi se determină cu relaţia:

(4.4)

unde: , o constantă universală numită permeabilitate magnetică a vidului.

Deci este un vector coliniar cu , dar având alt modul.

În [SI] unitatea de masură a intensităţii câmpului magnetic este;

(4.5)

4.3. Tensiunea magnetomotoare. Solenaţie. Formula lui Ampère.

Se numeste tensiune magnetică, integrala de linie a intensităţii câmpului magnetic.

(4.6)

Prin analogie cu t.e.m. (relatia 2.2), se poate defini şi o tensiune magnetomotoare

(t.m.m.) ca fiind tensiunea magnetică de-a lungul unei curbe închise:

(4.7)

Unitatea de masură în [SI] a tensiunii magnetice şi a t.m.m. este amperul [A] sau

amperspira [A∙spire].

35

Ampère făcând un experiment în c.c. a constatat ca t.m.m. pe orice curbă închisă ( ),

este egală cu suma algebrică a tuturor curenţilor ce trec printr-o suprafaţă ce se sprijină pe

curba ( ) (fig. 4.5).

(4.8)

unde: se mai numeşte şi solenaţie.

Sensul solenaţiei se determină cu regula burghiului, iar suma algebrică pentru exemplul

considerat (fig. 4.5) este:

(4.9)

Figura 4.6. Calculul t.m.m. (solenatiei)

In cazul unei bobine cu N spire strabatute de curentul I, vom avea:

(4.10)

4.4. Câmp magnetic în substanţă

În afară de cazul corpurilor străbătute de curenţi, în jurul cărora, aşa cum s-a văzut, ia

naştere un câmp magnetic, există şi corpuri în jurul cărora, deşi nu sunt parcurse de curenţi

macroscopici, întâlnim cămp magnetic. Aceste corpuri (substanţe) vom spune că prezintă

starea de magnetizare. Starea de magnetizare este produsă de mici bucle de curenţi, generaţi

de mişcarea orbitală şi de spin a electronilor.

Aceşti curenţi microscopici produc în spaţiul din jur, câmpuri magnetice care pot fi

descrise prin momentele magnetice m ale acestora (fig. 4.6).

36

Figura 4.6. Momente magnetice ale microcurenţilor

În substanţele obişnuite, mulţimea de momente magnetice ale microcurenţilor este

răspandită haotic, datorită agitaţiei termice, astfel incat la nivelul întregii substanţe, statistic,

rezultanta câmpului magnetic este nula.

În cazul general, momentul magnetic poate avea o componentă permanentă p

independentă de câmpul exterior şi una temporară t dependentă de câmpul exterior şi

anulându-se odată cu acesta.

(4.11)

Sub acţiunea unui câmp magnetic exterior (de inductie magnetica ), momentele

magnetice elementare sunt supuse la cupluri de forţe: , care tind să le rotească până

când ; deci să fie paralel cu ( // ) (fig. 4.7).

Figura 4.7. Magnetizarea substanţelor

Aşadar stările de magnetizaţie ale corpurilor pot fi permanente, când nu depind de

campul magnetic exterior sau temporare, cand depind de campul exterior.

Câmpul magnetic propriu pe care-l capată substanţa când se magnetizează poate fi

descris de o mărime numită magnetizaţie sau intensitate de magnetizare (M).

Magnetizaţia sau vectorul magnetizaţie se poate defini cu relaţia:

(4.12)

37

unde: este un volum oricât de mic din substanţa, iar suma momentelor magnetice

elementare din volumul .

Magnetizaţia ( ) descrie în fiecare punct al substanţei câmpul magnetic propriu obţinut

prin orientarea momentelor magnetice elementare.

4.4.1. Legea magnetizaţiei temporare

În substanţele magnetice se poate enunţa o lege numită legea magnetizaţiei temporare

care defineşte variaţia liniară a magnetizaţiei ( ) cu intensitatea câmpului magnetic ( ) care

a produs-o:

(4.13)

unde: - o constantă de material numită susceptibilitate magnetică.

Funcţie de valorile pe care le poate lua constanta , din punct de vedere magnetic

substanţele se împart în cinci grupe: diamagnetice, paramagnetice, feromagnetice,

ferimagnetice si antiferomagnetice

Materialele diamagnetice sunt caracterizate prin susceptivităţi magnetice < 0.

Susceptivitatea lor magnetică este constantă, negativă şi în valoare absolută foarte mică. Ca

exemplu: bismutul are =-170 x10-6; argintul are =-19 x10-6; cuprul are =-10 x10-6.

Materialele paramagnetice sunt caracterizate prin susceptivitate magnetică > 0.

Susceptivitatea lor magnetică este pozitivă, foarte mică şi scade cu temperatura. Ca exemplu:

manganul are =3600 x10-6; platina are =330 x10-6; aluminiu are = 22 x10-6.

Materialele feromagnetice sunt caracterizate prin susceptivităţi magnetice foarte mari

(102.....105) şi dependente de intensitatea câmpului magnetic. La aceste materiale există o

temperatură critică (numită temperatura Curie), care dacă este depăşita, materialele magnetice

îşi pierd proprietăţile feromagnetice. Sub temperatura Curie, aceste materiale sunt împărţite în

domenii de structură Weiss cu dimensiuni de ordinul 10-3mm (fig. 4.8). În absenţa unui câmp

magnetic exterior, direcţiile de magnetizare ale domeniilor sunt orientate haotic şi dau o

magnetizaţie macroscopică nulă. În prezenţa unui câmp magnetic domeniile se orientează în

sensul câmpului, obtinandu-se o magnetizaţie macroscopică rezultantă, care creşte odată cu

38

intensitatea câmpului magnetic , pâna la alinierea omoparalela cu , a momentelor

magnetice ale tuturor domeniilor. Se obţine astfel magnetizaţia de saturaţie .

Fig. 4.8. Domeniile Weiss si momentele magnetice orientate ale acestora

Dependenţa inducţiei magnetice de intensitatea câmpului magnetic este reprezentată

sub forma unui ciclu de histerezis în fig. 4.9. Presupunand că iniţial materialul este

demagnetizat, la aplicarea unui câmp magnetic a cărui intensitate H creste de la 0 la Hm,

inducţia magnetică B va creşte după curba OM1 (denumită curba de primă magnetizare).

Figura 4.9. Curba de primă

magnetizare şi ciclul de histerezis al unui

material feromagnetic; -Hc, +Hc intensităţile

câmpului magnetic coercitiv; -Br, +Br

inducţiile magnetice remanente; M1, M2 –

puncte de saturaţie magnetică.

Punctul M1, în care valorile intensităţii câmpului magnetic şi inducţiei magnetice sunt

maxime (Hm,Bm) se numeşte punct de saturaţie magnetică. Apoi, valorile intensităţilor câmpului

magnetic şi inducţiei scad pâna la punctul M2, după care aceste valori parcurg curba M2M1,

formându-se astfel un contur inchis numit ciclul de histerezis magnetic. Suprafaţa ciclului de

histerezis corespunde unei energii, care se transformă în căldură, la fiecare parcurgere a

ciclului.

La magnetizarea în câmp alternativ, a materialelor feromagnetice se produc deci pierderi

de putere prin histerezis, care sunt proporţionale cu numărul de magnetizări în unitatea de timp,

respectiv cu frecvenţa curentului alternativ.

Punctele cardinale ale ciclului de histerezis din fig. 4.9 sunt: punctele de saturaţie

magnetică (M1 si M2); câmpurile magnetice coercitive (Hc si –Hc); inducţiile magnetice

39

remanente (Br si –Br). În aplicaţiile electrotehnice se utilizează, de regulă, curba geometrică a

vârfurilor ciclului de histerezis, numită curba de magnetizare (fig. 4.10).

Figura 4.10. Curba de magnetizare a unui material magnetic

După forma ciclului de histerezis, materialele feromagnetice se clasifică în materiale

magnetice moi şi materiale magnetice dure.

Materialele magnetice moi au un ciclu de histerezis îngust şi o intensitate mică a

câmpului magnetic coercitiv (Hc), de ordinul zecilor de A/m. Aceste materiale se magnetizează

şi se demagnetizează relativ uşor şi se utilizează pentru realizarea circuitelor magnetice ale

maşinilor şi aparatelor electrice. Cele mai frecvent folosite materiale magnetice moi sunt: oţelul

electrotehnic (Hc=40 A/m, Br=0,8T, μr max.=7000), permalloy-ul (78% Ni; 23% Fe, Hc=5A/m,

Br=0,6T, μr max=50000), fonta şi altele.

Materialele magnetice dure au un ciclu de histerezis lat, cu intensitate mare a câmpului

magnetic coercitiv (peste sute de A/m). Aceste materiale se magnetizează şi se

demagnetizează relativ greu. Ele folosesc pentru realizarea magneţilor permanenţi. Printre

aceste materiale menţionam: oţelul carbon călit (circa 0,8% C, Hc=5000 A/m, Br=0,7 T), oţelurile

Alni şi Alnico (Fe, Al, Ni, Co cu Hc= 34000...55000 A/m, Br= 4T) si altele.

Pe lângă materialele feromagnetice, în aplicaţiile tehnice, se utilizează şi materiale

ferimagnetice, numite generic ferite.

Feritele sunt materiale semiconductoare, având rezistivităţi mari (104,.....106 Ω.m.), fiind

compuse din pulberi de nichel, mangan, zinc, cupru, cobalt, bariu şi oxid de fier. Feritele se

folosesc la execuţia antenelor magnetice, memoriile calculatoarelor, miezurilor magnetice ale

transformatoarelor, releelor, microgeneratoarelor, micromotoarelor şi altor echipamente

electrotehnice şi electronice.

4.4.2. Legea legăturii între

După cum s-a văzut mai sus, câmpul magnetic în substanţă se poate descrie prin doua

mărimi primitive între acestea existând o relaţie dată de legea legăturii dintre :

40

(4.14)

Pentru substanţele cu magnetizare temporară, expresia de mai sus devine:

(4.15)

sau

(4.16)

Se noteaza cu:

(4.17)

unde: μ – permiabilitatea absolută a mediului, iar - permiabilitatea relativă a mediului.

Relaţia (4.16) se mai poate scrie:

(4.18)

Dacă substanţa prezintă şi magnetizare permanentă atunci vectorul magnetizatie are

două componente:

(4.19)

unde: este magnetizaţia temporară dependentă de intensitatea câmpului magnetic (

), iar , este magnetizaţia permanentă independentă de intensitatea câmpului magnetic

exterior ( ).

4.5. Legea fluxului magnetic

Atât în vid cât şi în mediile omogene se poate enunţa legea fluxului magnetic în mod

asemanator câmpului electric (fig. 4.11):

(4.20)

41

Figura 4.11. Fluxul magnetic printr-o suprafata deschisa

Pentru suprafeţele închise ( ) având în vedere continuitatea liniilor de câmp magnetic

acest flux este identic nul (câte linii de câmp ies din suprafaţa, atâtea linii de câmp intră):

(4.21)

Expresia (4.21), reprezintă legea fluxului magnetic forma integrală. Pentru a obţine

forma locala a acestei legi se transformă integrala dubla (4.21) folosind teorema lui Gauss-

Ostrogradski:

(4.22)

unde: este volumul închis de suprafaţa Σ.

Deci:

(4.23)

Relaţia (4.23) ne arată că în câmpurile magnetice nu sunt sarcini (izvoare) şi că

liniile acestuia nu sunt linii deschise.

4.6. Circuite magnetice

4.6.1. Definiţii şi convenţii

Circuitele magnetice sunt constituite din miezuri feromagnetice sau ferimagnetice

împreună cu eventuale întrefieruri (întreruperi scurte ale miezurilor, umplute cu aer sau

materiale nemagnetice), care au proprietatea de a conduce fluxul magnetic. Ca exemplu în fig.

4.12. se dă un circuit magnetic al unui transformator monofazat. Porţiunile circuitului magnetic

42

pe care se asează bobinele se numesc coloane, iar restul circuitului magnetic este închis de

juguri şi întrefieruri. Porţiunile mobile (deplasabile) ale circuitului magnetic se numesc armături.

De o parte şi de alta a întrefierului iau naştere polii magnetici. Se consideră convenţional

ca fiind poli nord (N), cei din care ies liniile de câmp magnetic şi poli sud (S), cei in care intră

liniile de câmp.

Liniile inducţiei câmpului magnetic care se închid prin miezul feromagnetic şi prin

întrefieruri se numesc linii principale sau utile şi le corespunde fluxul magnetic principal sau util.

Liniile inducţiei câmpului magnetic care se închid prin aer, între porţiuni ale circuitului

magnetic se numesc linii de dispersie şi le corespunde fluxul magnetic de dispersie.

Figura 4.12. Circuitul magnetic al unui

transformator electric monofazat: 1- jug; 2-

bobine; 3- coloana.

4.6.2. Calculul circuitelor magnetice

Calculul circuitelor magnetice de configuraţie dată constă în determinarea fluxurilor

magnetice utile şi de dispersie la o anumită distribuţie a solenaţiilor, fie în determinarea

solenaţiilor la un flux magnetic util dat. Calculul se poate efectua fie direct, plecând de la legile

câmpului magnetic, fie utilizând o analogie între circuitele magnetice şi cele electrice.

Pentru efectuarea calculului circuitelor magnetice se fac aproximaţiile: inducţia

magnetică se consideră constantă în toate punctele unei secţiuni transversale; se neglijează

fluxul de dispersie.

Metoda directă. Această metodă de calcul este exemplificată utilizând fig. 4.13. Circuitul

magnetic posedă o bobina cu solenaţie N∙i, cu secţiuni ale miezului magnetic A1, A2, ......, An şi

lungimi l1, l2, ....., ln, precum şi întrefierul .

Fluxul magnetic util al circuitului magnetic, pentru orice secţiune, conform legii fluxului

magnetic este egal cu:

(4.24)

respectiv:

; pentru k=1,2,3,.....n (4.24`)

Aplicând legea circuitului magnetic pe linia de câmp mediană (reprezentată cu linia

întreruptă în fig. 4.13) se obţine:

43

(4.25)

Figura 4.13. Circuitul magnetic pentru demonstrarea metodei directe de calcul a

acestuia

Cunoscând fluxul magnetic util , se determină inducţia magnetică pe o porţiune şi

intensităţile câmpurilor magnetice corespunzatoare .

Dacă se da solenaţia , fluxul magnetic util , se determină prin încercări sau

construind curba .

Metoda analogiei cu circuitele electrice.

Prin analogie avem urmatoarea corespondenţă duală:

tensiunea electrică U – tensiunea magnetică UM;

tensiunea electromotoare E – tensiunea magnetomotoare UM sau solenaţia ;

intensitatea curentului electric I – flux fascicular ;

rezistenţa electrică R – reluctanţa magnetică RM;

conductanţa electrică G – permeantă .

4.7. Legea inducţiei electromagnetice

Experienţa pune în evidentă ca variaţia în timp a câmpului magnetic produce un câmp

electric. Acest fenomen se numeşte inducţie electromagnetică şi a fost descoperit, pentru prima

oara, de fizicianul englez Michel Faraday în anul 1831.

M. Faraday a constatat că prin variaţia fluxului magnetic al unui circuit electric se

produce o tensiune electromotoare. Astfel, dacă se ia un circuit electric filiform închis la

apropierea lui de polul nord (N) al unui magnet, în circuit apare un curent i, al cărui sens se

44

asociază cu vectorul vitezei de apropiere , dupa regula burghiului drept (fig. 4.14). La

îndepartarea circuitului (fig. 4.14.b) sensul curentului i se schimbă, dar regula de asociere a

sensurilor curentului i şi viteza , se menţine. Repetând experimentul în apropierea polului sud

(S), conform fig. 4.14.c şi fig. 4.14.d, sensurile curentului indus i şi al vitezei , se asociază

după regula burghiului stâng.

Figura 4.14. Producerea unei

tensiuni electromotoare, respectiv a unui

curent electric indus într-un circuit electric

care se deplasează în câmpul magnetic al

unui magnet N-S; v – viteza de deplasare a

circuitului; i – curentul electric indus; a, b, c,

d – modalităţi de asociere a sensurilor

câmpului magnetic al magnetului N-S,

vectorul a vitezei de deplasare şi

curentului electric i.

Pe baza constatărilor de mai sus a fost formulată legea inducţiei electromagnetice cu

expresia:

(4.26)

în care: , este tensiunea electromotoare indusă în circuitul electric închis ( ), iar ,

suprafaţa delimitată de conturul ( ).

Expresia (4.26) pune în evidentă că tensiunea electromotoare indusă ( ) în circuitul (

) este egală cu viteza de scădere a fluxului magnetic total ( ) prin conturul ( ).

Exprimând tensiunea electromotoare în funcţie de intensitatea câmpului electric ,

relaţia (2.2) iar fluxul magnetic în funcţie de inducţia magnetică , relaţia (4.20), relaţia

(4.26) devine:

45

(4.27)

ceea ce reprezintă legea inducţiei electromagnetice scrisă sub forma integrală.

In membrul doi al relaţiei (4.27) atât cît şi pot varia în timp; variabil în timp se

obţine prin mişcare (fig. 4.15).

Figura 4.15. T.e.m. obţinută prin deplasarea conturului în câmpul magnetic constant .

Deci:

(4.28)

Dar:

(4.29)

Sau:

(4.29`)

Dezvoltând diferenţial, din membrul drept al relaţiei (4.27) se obţin:

(4.30)

sau:

(4.31)

sau:

(4.32)

Relaţia (4.32) pune în evidenţă că tensiunea electromotoare indusă are două

componente:

46

o componentă , care se numeşte tensiunea electromotoare

de transformare, preponderentă în aparate electrice statice (transformatoare, relee ş.a.);

o componentă numită tensiunea electromotoare de mişcare,

preponderentă în maşini electrice rotative.

4.7.1 Curenţi turbionari

Un caz de manifestare a fenomenului de inducţie electromagnetică foarte întalnit în

aplicaţiile practice din electrotehnică îl reprezintă curenţii induşi în circuite magnetice masive cu

secţiuni mari (miezurile transformatoarelor şi ale maşinilor electrice). Aceste miezuri (circuite

magnetice) sunt parcurse de câmpuri magnetice variabile în timp (fig. 4.16).

Figura 4.16. Curenţi turbionari

Conform legii inducţiei electromagnetice şi a celei de-a doua ecuaţii a lui Maxwell,

câmpul magnetic variabil (t) generează un câmp electric ale carui linii se închid prin circuitul

magnetic, circuit constrit din materiale care sunt şi bune conducătoare de electricitate.

Deci, în miezul circuitului magnetic se induce componenta de transformare a t.e.m.

(4.33)

care la rândul ei generează curenţi induşi în circuitele ce se formează prin masa miezului.

Aceşti curenţi care se mai numesc şi curenţi turbionari generează o pierdere de energie

electrică sub formă de caldură care se disipă în masa circuitului magnetic. Pentru a diminua

curenţii, miezurile din fier ale transformatoarelor şi maşinilor electrice se construiesc din tole (foi

de tablă din oţel aliat cu siliciu şi carbon) izolate electric între ele, cu un lac electroizolant, în aşa

fel încât să se mărească rezistenţa electrică întâmpinată de curenţii induşi (turbionari).

Pierderile în fier datorate curenţilor turbionari se calculează cu relaţia:

(4.34)

47

unde: pF – pierderile specifice: f – frecvenţa de variaţie a inducţiei magnetice B; σ –

conductivitatea care se reduce prin adaos de siliciu care să crească rezistivitatea electrica; Δ –

grosimea materialului motiv pentru care miezurile magnetice ale transformatoarelor şi maşinilor

electrice se divizează în tole de grosimi 0,05...0,5mm; γ – densitatea volumetrica a materialului.

4.8. Forţa Lorentz.

Este forta care se exercită de un câmp magnetic asupra unui mic corp încărcat cu

sarcina electrică Δq şi care se deplasează cu o viteză în câmpul magnetic (fig. 4.17).

Figura 4.17. Forţa Lorentz.

Pornind de la expresia fortei electromagnetice în care se înlocuieste , rezultă:

(4.35)

Dacă în spaţiul unde se produce deplasarea există şi un câmp electric apare şi o forţă

electrică asupra purtatorului de sarcină Δq:

(4.36)

Această forţă are importantă în accelerarea particulelor încărcate

cu sarcina electrică.

4.9. Efectul Hall

Asupra unei sarcini electrice dq care se deplasează cu viteza , într-un câmp magnetic

de inducţie se exercită o forţă , calculată de Lorentz:

(4.37)

48

Considerând o placuţă semiconductoare (în care se manifestă cel mai puternic efectul

Hall) cu dimensiunile din fig. 4.18, situată într-un câmp magnetic şi fiind strabatută de un

curent i, între feţele laterale, se constată apariţia unei tensiuni electromotoare eH numită

tensiune Hall.

Figura 4.18. Efectul Hall

Utilizând expresia (4.37) rezultă că asupra unei sarcini în mişcare aflate într-un câmp

magnetic , acţionează un câmp neelectric (imprimat) dat de relaţia:

(4.38)

Considerând o distribuţie uniformă a sarcinii din placuţa ( ), prin placuţă va circula un

curent de convecţie a carui densitate este:

(4.39)

Relaţia (4.38) devine;

(4.40)

Dar , iar , rezultă:

(4.41)

Tensiunea electromotoare Hall între punctele M şi N va fi:

(4.42)

unde KH este constanta Hall.

49

Efectul Hall este specific conductoarelor şi semiconductoarelor, fiind utilizat în realizarea

unor convertoare sau aparate de masură, cum ar fi de exemplu, wattmetrul Hall.

50