4. ELECTRODINAMICAElectrodinamica studiaz strileelectrice i magneticevariabilentimp; n continuare se va studia cu precdere cmpul magnetic.4.1. Cmpul magneticStarea fizic n care ntre anumite corpuri,sau minereuri,se exercit fore i cupluri se numete stare de magnetizare; corpurile se numesc magnetizate, iar sistemul fizic din vecintatea corpurilor magnetizate se numete cmp magnetic.Cmpul magnetic mai poate fi produs i de ctre corpurile parcurse de curent electric de conducie, de micarea corpurilor electrizate i de variaia n timp a cmpului electric. Cmpul magnetic exercit asupra corpurilor magnetizate sau parcurse de curent, ori asupra corpurilor electrizate, aflate n micare, fore i cupluri magnetice.ForaLorentzceacioneazasupraunui corpncrcat cusarcinaq, carese mic n vid cu vitezavn cmpul magnetic vB :vB v q F ,(4.1)n care vB este vectorul induciei magnetice n vid, care n SI are unitatea de msur Tesla: m ANT1 111 .Cuplul exercitat asupra unui corpaflat nvid, ncmpul magneticvB , depinde de momentul magnetic permanent pm:v pB m C .(4.2)Fora Laplace care deviaz un conductor filiform, parcurs de curentul i i aflat n cmpul magnetic vBeste:vB l i F ,(4.3)n care lungimea orientatl are sensul curentului electric.Momentul magnetic permanent pm al unei bucle mici, cu suprafaa dat, A, orientat dup direcia indicat de regula burghiului drept i parcurs de curentul i este:A i mp .(4.4)ninteriorul corpurilor omogene i izotrope, fr magnetizaiepermanent, inducia magnetic este:H H Br 0 ,(4.5)n care: r 0 este permeabilitatea mediului respectiv;7010 4 , [H/m], permeabilitatea vidului;H intensitatea cmpului magnetic, cu unitatea de msur n SI: [H]SI = 1A/1m.nmedii omogenei izotrope, cmpul magnetical conductoarelor filiforme parcurse de curent continuu este dat de legea lui Biot Savart - Laplace:r s driH d 34.(4.6)Sensul cmpului magnetic se asociaz cu sensul curentului din conductor dup regula burghiului drept.4.2. Materiale magneticeStarea local de magnetizare este caracterizat de magnetizaia M, definit ca fiind:VmMVlim0 , (4.7)n care:m - momentul magnetic;V - volumul elementar din corpul magnetizat.noricepunct al corpului, ntreinduciaB, intensitateacmpuluiHi magnetizaia M, exist relaia:) (0M H B + ,(4.8)care reprezint legea legturii ntre B, H i M.Magnetizaia Ma unui corp poate avea dou componente, una permanent pMiar alta temporar tM :t pM M M + . (4.9)Magnetizaia permanent este independent de intensitatea cmpului magnetic, iar magnetizaia temporar depinde de cmpul magnetit conform relaiei:t m tH M ,(4.10)numit i legea magnetizaiei temporare, relaie n caremeste susceptivitatea magnetic.Prin nlocuirea relaiilor (4.9) i (4.10) n (4.8) se obine: p p m m pM H M H H M H B0 0 0 0) 1 ( ) ( + + + + + . (4.11)Mrimear m + 1reprezint permeabilitatea magnetic relativ i r 0- permeabilitatea magnetic a mediului respectiv. Pentru situaiile n care 0 pM, se regsete relaia (4.5).Dup modalitatea ncare corpurile se magnetizeaz, acestea se mpart n: diamagnetice, paramagnetice, feromagnetice i ferimagnetice.Corpurilediamagneticese caracterizeaz prin susceptivitate magnetic constant, foarte mic, negativ 0 mi 1 r . Exemple: oxigen, platin, aluminiu, mangan.Corpurileferomagneticese caracterizeaz prin permeabiliti relative i susceptiviti magnetice pozitive, de valori foarte mari, (102105), dependente de intensitateacmpuluimagnetic,iardepirea uneianumitetemperaturicritice,numit temperatur Curie, determin pierderea proprietilor feromagnetice.La temperaturi mai mici dect pragul Curie, corpurile feromagnetice sunt mprite n domenii Weiss, cu dimensiuni micronice, fiind considerate uniform i total magnetizate, (toate momentele magnetice moleculare i ale particulelor elementare sunt omoparalele). nabsena unui cmpmagnetic extern, direciile de magnetizare ale domeniilor elementare sunt orientate haotic i dau o magnetizaie macroscopic nul. n prezena unui cmp magnetic extern, domeniile se orienteaz, rezultnd o magnetizaie a crei intensitate crete o dat cu H, pn la obinerea fenomenului de saturaie.Dependenainduciei magneticeBdeintensitateacmpului magneticH pentru un material feromagnetic este redat n figura 4.1.Presupunem c iniial corpul este demagnetizati treptat intensitatea cmpului magnetic crete; inducia magnetic va avea i ea ocretere dup caracteristica 0 1, numit i curba de prim magnetizare. Prinvariereacmpului magneticntre Hmi Hm, se obine parcurgerea complet a cicluluihisterezis, cuprins ntre punctele specifice: - 1 i 4 - corespunztoare induciei Bm maxime sau cmpului Hm maxim, de sens direct sau invers;- 2 i 5 - corespunztoare induciei Br remanente, cnd cmpul H este nul;-3i 6-corespunztoareinduciei nule, B=0, cnd cmpul Hc, este unul coercitiv.Suprafaanchisdeconturul format depunctele1234561 corespunde energiei nmagazinate sub form de cmp magnetic. n funcie de mrimea ariei cuprinse, materialele magnetice se mpart n:-materiale magnetice moi, caracterizate printr-un ciclu histerezis ngust i un cmpcoercitivmic, utilizatepentrurealizareacircuitelor magneticealemainilor i aparatelor electrice. Exemple: oelul electrotehnic, cuunconinut ridicat desiliciu, cuprins ntre (2 i 4)% Si, permalloy-ul, dynamax-ul, fonta i altele;-materialemagneticedure, caracterizateprintr-uncicluhisterezislargi un cmpcoercitivmare, utilizatepentrurealizareamagneilor permaneni ai excitaiilor unor maini electrice, sau a circuitelor magnetice din unele aparate electrice. Exemple: oelul carbon clit, oeluri AlNi, AlNiCo i altele;-materiale ferimagnetice, denumite i ferite, care prezint o structur asemntoare cu materialele feromagnetice moi sau dure, dar care sunt materiale semiconductoare caracterizate prin rezistivitate mare i care prezint caracteristici asemntoare materialelor magnetice moi sau dure, cu utilizri multiple n informatic, transformatoare de nalt frecven, micromotoare, relee, microgeneratoare, etc.43Figura 4.2. Explicativ la calculul fluxului magnetic.Figura 4.3. Explicativ la calculul tensiunii magnetice.Figura4.4. Explicativla legea circuitului magnetic.4.3. Fluxul i tensiunea magneticPe osuprafa dat S, senumeteflux magnetic, integrala de suprafa a induciei magnetice prin suprafaa dat, S, (figura 4.2): SSA d B ,(4.12)iar pentru o suprafa nchis se obinelegea fluxului magnetic:0 A d B. (4.13)Toatesuprafeelecaresesprijinpeacelai contur auacelai fluxmagnetic, iarliniiledecmpale induciei magnetice sunt nchise i un fascicol de linii decmpaleinduciei sprijinitepeunconturnchis formeaz un tub de flux n care fluxul magnetic are aceeai valoare.Se definetetensiune magneticintegrala de linie a intensitii cmpului magnetic, de-a lungul segmentului de curb cMN, (figura 4.3):MNcms d H U.(4.14)Tensiunea magnetic exprimat de-a lungul unei curbe nchise se numete tensiune magnetomotoare: s d H Umm. (4.15)UnitiledemsurnSI alefluxului magnetici aletensiunii magnetice, respectiv,magnetomotoare sunt: [ ]SI: 1 Wb, (Weber); [Um;Umm]SI: 1 A, sau 1 Asp., (Amper sau Amperspir).Experimental s-a constat c tensiunea electromotoare prin orice curb nchis esteegalcucurentul electricprinsuprafaadeschisSsprijinitpecurba , (figura 4.4): SS mmA d J i s d H U,(4.16)relaie care reprezint teorema lui Ampere, valabil n regim staionar.Integrala pe suprafaa S din teorema lui Ampere se numete i solenaie: SA d J.(4.17)Teorema lui Ampere este un caz particular alegii circuitului magnetic, exprimat sub forma:44Figura4.5. Exempludecalcul a unui circuit magnetic. + SA d Ddtds d H, (4.18)n care:Deste vectorul induciei magnetice; SA d Ddtdreprezint curentul de deplasare la frecvene mari.n regimcvasistaionar legea circuitului magnetic se poate exprima prin intermediul teoremei lui Ampere, dup convenirea ca suprafaa de calcul a solenaiei Ss nu treac prin dielectricul condensatoarelor.4.4. Circuite magneticePentru maini, echipamente i aparate electrice se utilizeaz miezuri fero-, sau ferimagnetice.Aceste miezuri, mpreun cu eventualele ntrefieruri,(discontinuiti cu aer sau alte materiale dia- sau paramagnetice), formeaz circuite magnetice. ntre rezolvareacircuitelor magneticeesteoanumitsimilitudinecurezolvareacircuitelor electrice. De exemplu, fie circuitul magnetic din figura 4.5, a unui aparat electric care posed o bobin cu solenaia Ni, n poriuni feromagnetice cu lungimi medii lk i seciuni transversale Ak, precum i un ntrefier de mrime , cu seciune transversal A. Pentru fiecare seciune n parte, conform legii fluxului magnetic, fluxul fascicular va fi:k k fA B A B , cu k = 1, 2, , n.(4.19)Prin aplicarea teoremei lui Ampere pe linia mediedecmp, reprezentatprinliniantrerupt, rezult:+ nkk kH l H Ni1. (4.20)Pentru un flux util dat, cu relaia (4.19) se determin induciileBkpe diferitele poriuni ale circuitului magnetic, iar din caracteristicile de magnetizareBk(Hk)ale poriunilor de circuit se determin intensitile corespunztoare ale cmpului magnetic Hk. Dar cum B H01, cu relaia (4.20) se determin solenaia . Iar n situaia n care se d solenaiaNi , fluxul fascicular util se determin prin ncercri sau prin elaborarea caracteristiciif( ). Pentru poriunile din circuitul magnetic, caracterizate prin permeabiliti magnetice constante k, se obine solenaia:

,`

.|+ nk k kkfAlA1 0 .(4.21)ntrecircuitelemagneticeiceleelectriceexistoanalogiedeplin(Tabelul 4.1.). Astfel, fie o poriune de circuit magnetic, strbtut de fluxul magnetic , uniform repartizat pe seciunea transversal A, (figura 4.6):45Figura 4.6. Poriune dintr-un circuit magnetic. SHA BA A d B .(4.22)Tensiunea magnetic de-a lungul axei curbei cMN, a poriunii de circuit magnetic (figura 4.6), va fi: MN MN MNc c cMN MNRAdsHds s d H U, (4.23)n carereprezint reluctana magnetic, similar rezistenei electrice din cadrul circuitelor electrice, iar relaia obinut: MN MNR U constituie legea luiOhm aferent circuitelor magnetice.Unitatea de msur n SI a reluctanei magnetice este A / Wb, (Amper / Weber), sauH-1,(1 /Henry).Inversulreluctaneimagneticese numete permeanmagnetic, notat cu P sau i are unitatea de msur n SI - H, (Henry).Legea fluxului magnetic aplicat suprafeelor nchise , care conin orice nod a unui circuit magnetic: 0k,(4.24)se mai numete i teorema I a lui Kirchhoff, iar teorema lui Ampere: k k k MkR U.(4.25)aplicat ochiurilor independente ale circuitelor magnetice este cunoscut ca teorema a II-a a lui Kirchhoff.Pentru exemplificare se va lua n considerare circuitul magnetic al unui transformator monofazat n manta, (figura 4.7. a), cruia i se stabilete circuitul electric echivalent, (figura 4.7. b), iar pentru simplificare se consider c exist numai o singur nfurare. Circuitului magnetic i se pot scrie ecuaiile:a. b.Figura 4.7. Circuitul magnetic al unui transformator i circuitul electric echivalent.1 111AlR,2 222AlR,3 333AlR,2 2 2i N 46MNcMNRAds' + + 2 3 3 2 22 2 2 1 13 2 10R RR R.Dup rezolvarea ultimului sistem de ecuaii se vor obine fluxurile:3 13 1222R RR RR++ ;23 131+ R RR;23 113+ R RR.Tabelul 4.1. Analogia ntre circuitele electrice i magnetice, (cu unitile de msur, n SI).Circuite electrice Circuite magneticeTensiunea electric:12cfs d E u, [V]Tensiunea magnetic:MNcms d H U, [A], [A sp.]Tensiunea electromotoare:12ci is d E e, [V]Tensiunea magnetomotoare: s d H Ummi, [A], [A sp.]Curentul electric: A d J is, [A]Fluxul magnetic: ssA d B, [Wb]Rezistena electric:AlAdsRc 12, [ ]Reluctana magnetic: MNcMNAlAdsR , [H-1]Conductana electric:RG1 , [S]Permeana magnetic:MNR1 , [H]Legea lui Ohm:Ri ub Teorema lui Ampere: MN mR UPrima teorem a lui Kirchhoff:N kkI 0Legea fluxului magnetic: N kk0A doua teorem a lui Kirchhoff: O kkO kkE UTeorema lui Ampere: O kkO kk MNkRObservaiilelegatedeaplicareateoremelorlui Kirchhoffncazul circuitelor electrice, rmn valabile i n cazul celormagnetice.47SA dtB4.5. Legea induciei electromagneticeFenomenul de producere a unui cmp electric prin variaia cmpului magnetic se numeteinducie electromagnetic; a fost pus n eviden n mod experimental, de ctre Faraday n 1831 i a constat n obinerea de tensiuni electromotoare prin variaia fluxului magnetic care nlnuie un circuit electric. Aceste tensiuni electromotoare pot fi indusentr-obucldecircuit electricprinapropierea/ deprtarealongitudinalsau transversal a unui magnet permanent, ori a altui circuit strbtut de curent continuu, sau de curent variabil - situaie n care respectivul circuit este imobil.n baza acestor experimente s-a stabilitlegea induciei electromagnetice, exprimat prin relaia:dtde ,(4.26)tensiunea electromotoare e , indus ntr-un circuit electric de contur nchis , este dat de viteza de scdere a fluxului magnetic prin conturul respectiv.Tensiuneaelectromotoarepoatefi obinutprinvariaiafluxului electricsau magnetic, care poate fi exprimat n funcie de intensitatea cmpului magnetic: SA d Bdtddtds d E e. (4.27)Sensul curentului electric indus se determin cu regula lui Lentz: ntotdeauna curentul indus se opune cauzei care l produce. Faptul trebuie interpretat prin aceea c acest curent indus, produce un cmp magnetic de sens opus cmpului magnetic care l-a generat.PentruobobincuNspireapropiate, fiecarespirestestrbtutdefluxulfascicular f, fluxul total va fi: fN , iar legea induciei electromagnetice va dobndi forma:dtdN ef . (4.28)Variaia fluxului magnetic care strbate circuitul electric poate fi obinut prin variaia induciei magnetice (tB ), sau prin variaia deplasrii, (deformrii), circuitului, considernd inducia constant:( ) ( ) s d B v dt v s d BdtdA d Bdtdconst BSconst B . .. (4.29)Cu acestea, legea induciei electromagnetice devine:( ) + Ss d B v A dtBs d E e, (4.30)48Figura 4.8. Aplicaie la generarea t. e. m. alternative.n care termenul - reprezint t. e. m. de pulsaie sau de transformare, iar termenulpoate fi considerat t. e. m. de deplasare.Aplicaiile fundamentale ale legii induciei electromagnetice, prin prisma celor doi termeni obinui, se refer la transformatoare i maini electrice.Aplicaie.Pentruproducereatensiunii sinusoidalealternative, considermo bobin format dintr-un mnunchi de N spire, compactate ntr-un contur dreptunghiular, care se rotete cu o vitez unghiular , ntr-un cmp magnetic uniform i constant, (figura 4.8). Fluxulfascicularvafi: sin ABf , iarunghiul depindedevitezaunghiular:0 + t;0 fiind poziia unghiular iniial a bobinei.Fluxul total depinde de numrul de spire a bobinei i de fluxul fascicular: ( ) ( )0 0sin sin + + t t NAB Nm f, n care NABm .T. e. m. sinusoidal indus prin rotirea bobinei va fi:( )0cos + tdtdem, de amplitudinem mE i pulsaie .4.6. InductivitiSe numeteinductivitate proprieL11, raportul dintre fluxul magnetic11 generat de un circuit 1, compus dintr-o bobin care are N1 spire i curentul i1 pe care l strbate acest circuit:111 111111iNiLf, (4.31)ncare11poart denumirea deflux magnetic propriu, iarf11-flux magnetic fascicular propriu al bobinei.Dac n vecintatea circuitului 1 se afl un alt circuit 2, format din bobina 2, cmpul magnetical primei bobinevadeterminaprinbobinaa2-aunfluxmagnetic mutual 21, (figura 4.9), cu inductivitatea mutual:121 212121iNiLf , (4.32)49( ) +Ss d B v A dtBunde f21 fluxul magnetic fascicular mutualdat de cmpul magnetic al circuitului 1, prin spira medie a bobinei 2, care are N2 spire.Dac ambele circuite sunt parcurse de cureni, fluxul magnetical fiecrui circuit vafi sumafluxurilor proprii i mutuale:12 11 1 + 21 22 2 + . (4.33)n general exist relaia de reciprocitate: L12 = L21.Figura 4.9. Circuite cuplate magnetic. Pentru o bobin cu Nspire, strbtut de curentuli, dintr-un circuit magnetic nchis care are reluctana magnetic Rm, fluxul magnetic fascicular va fi:m mfRNiR ,iar inductivitatea proprie a bobinei:mfRNiNL2 .Similar, inductivitile mutuale a dou nfurri cu N1iN2spire, dispuse pe acelai circuit magnetic i parcurse de acelai flux magnetic fascicular:mRN NL L2 121 12 .n SI unitatea de msur a inductivitilor este Henry, [H]. ntotdeauna inductivitile proprii sunt pozitive, dar inductivitile mutuale pot fi pozitive sau negative, n funcie de sensurile de parcurgere ale circuitelor.Raportul:2112L LLk (4.34)se numete factor de cuplaj magnetic al circuitelor i are valoarea cuprins ntre 0 i 1. Pentru k = 0 circuitele nu sunt cuplate magnetic, iar pentru k = 1 circuitele sunt perfect cuplate, deci nu exist dispersie magnetic.Prin exprimarea tensiunilor electromotoare induse n circuite, utiliznd inductivitile proprii i mutuale, pentru dou circuite cuplate magnetic, se obine:( )dtdLidtdiLdtdLidtdiL i L i Ldtddtde122212111111 2 12 1 1111 + , (4.35)cu semnificaiile:dtdiL111este tensiunea electromotoate de autoinducie;dtdLi111i dtdLi122sunt tensiunile electromotoare de micare;50Figura 4.10. Explicativ la legea induciei electromagnetice.dtdiL212este tensiunea electromotoare de transformare, sau de inducie mutual.4.7. Energia i forele cmpului magneticO bobin, de rezistena R i inductivitate L, alimentat cu tensiunea la borne ub, va produce un flux , datorat curentuluii. Prin aplicarea legii induciei electromagnetice respectivului circuit, (figura 4.10), se va obine: dtde u u s d Eb f, (4.36)care dup aplicarea legii conduciei electrice uf = R i i ei = 0, devine:dtdRi e u uf b+ . (4.37)n conformitate cu legea conservrii energiei, energia primit de sistem din exterior dW = ub i dt va fi egal cu energia cheltuit:mdW L Q dW + + ,n care: dt Ri Q2 - energia transformat n cldur;L - lucrul mecanic efectuat de sistem; dWm variaia energiei magnetice a sistemului,relaia (4.38) devine:dWm L dt Ri idt ub+ + 2.(4.39)Relaia (4.37) se nmulete cu idt, se compar cu (4.39) i rezult: + id dW Lm.(4.40)Pentrudeterminareaenergiei magnetice, seconsidersistemul imobil, (fr efectuare de lucru mecanic0 L ): 0id Wm.(4.40)n cazul particular al bobinei de inductivitate L, energia magnetic va fi:Li Li Wm22212121 .(4.41)Energia magnetic a circuitelor cuplate magnetic va fi: kknkmid W01, sau nkk k md i dW1,(4.42)n care k este fluxul magnetic total al circuitului strabtut de curentul ik.Densitatea de volumwm0a energiei cmpului magnetic, localizat n tot domeniul de cmp al unui tor, de lungime l i seciune A, este:51HdBNAdlNiAldWdwmm

,`

.| 0,sau sub form integral:BmHdB w00, (4.43)iar pentru medii liniare: H B i 2 20212121B H HB wm .Energia magnetic poate fi determinat ca fiind integrala de volum a densitii de volum wm0, extins la volumul V ocupat de cmp:Vm mdW w W0.(4.44)Lucrul mecanicdLefectuat de fora generalizatf, pentru deplasarea generalizat dn sistem este: fd L , iar relaia de bilan energetic devine: + id dW fdm.(4.45)Pentruvariaii nulealefluxurilor (d =0) peduratadeplasrii, seobine prima teorem a forelor generalizate n cmp magnetic:. constmWf

,`

.| .(4.46)A doua teorem a forelor generalizate n cmp magneticse obine pornind de la relaia (4.41), n care nu are loc nici o variaie a curentului electric (di = 0): id dWconst im21., sau .2const imdW id ,iar cumulat cu (4.45) se obine:. const imWf

,`

.| .(4.47)Forele calculate cu cele dou teoreme sunt egale.4.8. Probleme rezolvate524.9. Probleme propuse5354