www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Ecuatia dreptei intr-un reper ortogonal O dreapta din plan, intr-un reper ortogonal, este determinata in urmatoarele doua situatii:

a) Se cunosc un punct al dreptei si directia dreptei sau b) Se cunosc doua puncte ale dreptei.

Analizam fiecare caz in parte: a) Ecuatia dreptei cand cunoastem un punct si directia.

1. Dreapta d care trece prin punctul A(x 0 , y 0 ) si are directia vectorului u (a, b), a 0, b 0

sau u = a i

+b j

are ecuatia : b

yya

xx 00

(1)

Daca a = 0 ecuatia dreptei d este: x = x 0 . Daca b = 0 ecuatia dreptei d este: y = y 0 . Exemplu: Daca se cunosc A(1, -3) si vectorul u (2, 5) atunci ecuatia dreptei d, care

trece prin punctul A si are directia data de u , este: 5

3y2

1x

.

2. Dreapta d care trece prin A(x 0 , y 0 ) si panta m are ecuatia:

y y 0 = m(x x 0 ) (2)

Exemplu: Daca se cunosc A(2, 3) si panta m = - 3, atunci ecuatia dreptei d, care trece prin punctul A si are panta m, este: y 3 = -3(x 3).

3. Dreapta d care trece prin A(x 0 , y 0 ) si este paralela cu dreapta d': ax + by + c = 0.

Panta dreptei d' este md = - ba . Din d || d md = md. Deci md = - b

a si d are ecuatia:

y y 0 = - ba (x x 0 ) (3)

Exemplu: Daca se cunosc A(2, 3) si d': 2x y + 5 = 0 atunci ecuatia dreptei d care trece

prin punctul A si este paralela cu d', este d: y 3 = - 1

2

(x - 2) d: y 3 = 2(x - 2).

4. Dreapta d trece prin A (x 0 , y 0 ) si este perpendiculara pe dreapta d' de panta md.

In acest caz : md = - 'dm

1 si folosim formula (2)

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Exemplu: Daca se cunosc A(2, 3) si dreapta d': 2x y +5 = 0, d' d , atunci ecuatia dreptei d care trece prin punctul A si este perpendiculara pe d', este d: y 3 = md (x - 2).

md = - ba = -

12

= 2 md = - 'dm

1 = - 21 d: y 3 = -

21 (x - 2).

5. Dreapta d care trece prin A(x 0 , y 0 ) si este perpendiculara pe directia vectorului u

(a, b), a 0, b 0 sau u = a i

+b j

are ecuatia:

ayy

bxx 00

(4)

Exemplu: Daca se cunosc A(1, -3) si vectorul u (2, 5) atunci ecuatia dreptei d, care

trece prin punctul A si este perpendiculara pe directia vectorului u , este 2

3y51x

.

b) Ecuatia dreptei cand cunoastem doua puncte A(x 1 , y 1 ) si B (x 2 , y 2 ) cu: x 1 x 2 si y 1 y 2 situate pe dreapta.

Dreapta AB are ecuatia:

1. 12

1

12

1

xxxx

yyyy

(5)

sau

2. 1yx1yx1yx

22

11 = 0 (6)

Exemplu: Ecuatia dreptei AB unde A (2 , 3) si B (-1, 4) este :

21

2x343y

-3(y 3) = x 2 - 3y + 9 = x - 2 x + 3y 11 = 0 sau

1411321yx

= 0 3x + 8 y + 3 -4x 2 y = 0 -x 3y + 11 = 0 x +3y -11 = 0.