Drumuri Arce Lungimi
of 5
description
arce
Transcript of Drumuri Arce Lungimi
-
Drumuri, arce, lungimi Virgil-Mihail Zaharia
1
DRUMURI, ARCE I LUNGIMILE LOR
Funciile cu variaie mrginit au fost introduse de Jordan Camille (1838-1922) i utilizate de el cu ocazia studiului problemei rectificabilitii curbelor, adic a studiului condiilor n care se poate ataa unei curbe un numr pozitiv care s joace rolul unei lungimi. Vom face referiri la drumuri n spaiul plan euclidian. Definiie 1. Orice funcie f:[a,b]6R2, continu pe [a,b], a,b0R, a
-
Drumuri, arce, lungimi Virgil-Mihail Zaharia
2
are drept imagine grafic mulimea punctelor unui cerc cu centrul n origine i de raz 1. Sistemul acesta mpreun cu imaginea sa grafic reprezint un drum. Teorema 3. Fie f:[a,b]6R o funcie derivabil cu derivata continu pe [a,b].
Notm C={(x,y)0R2/a#x#b; y=f(x)}. Lungimea curbei C definit ca marginea superioar a mulimii perimetrilor "p" ale tuturor linilor nscrise n curb S=sup{p} este dat de
[ ]l C f x dxa
b
( ) '( )= + 12
.
Demonstraie: Fie =(x0,x1,...,xn) cu a=x0
-
Drumuri, arce, lungimi Virgil-Mihail Zaharia
3
l P d M M x x f x f x
f x x M x x M b a M
i ii
n
i i i ii
n
i i i i ii
n
i
n
( ) ( , ) ( ) [ ( ) ( )]
[ '( )] ( ) ( ) ( ) *.
= = + =
= + = =
=
=
==
11
12
12
1
21 1
111
Lungimea elementului de arc este dat de ds2=dx2+dy2. Exemplul 1. S se calculeze lungimea cercului de ecuaie (C): x2+y2=R2.
Rezult y= R x2 2 , x0[-R,R].
l C l f x dx
R
R xdx R
x
RR
AB
R
R R
( ) [ '( )]= = + =
=
= =
4 4 1
4 4 2
2
0
2 20 0
arctg
Deci l(C)=2R.
Exemplul 2. S se calculeze lungimea elipsei de ecuaie (E): x
a
y
b
2
2
2
21 0+ = .
Rezult x=acost; y=bsint; t0[0,2].
ds dx dy a t b tdt
a a b tdt
= + = + =
=
2 2 2 2 2
2 2 2 2
sin cos
( )cos
dt aa b
atdt a e t dt=
= 1 1
2 2
22 2 2cos ( cos ) , unde e
-
Drumuri, arce, lungimi Virgil-Mihail Zaharia
4
Datorit simetriei fa de Oy este suficient s calculm lungimea graficului restriciei f0 a lui f la [0,1]. Avem:
l f l f f x dx
x dx
( ) ( ) [ '( )]
( ) ln( ).
= = + =
= + = + +
2 2 1
2 1 2 2 5 2 5
02
0
1
2
0
1
Exemplul 4. S se calculeze lungimea astroidei de ecuaie x y a a2
3
2
3
2
3 0+ = >, . Prima bisectoare y=x intersecteaz astroida n punctul
M(2 23
2
3
2
a a, ). Datorit simetriei avem egalitiile:
l l lAM AMB astroidei= =1
2
1
8.
Deci, este suficient s calculm lungimea graficului funciei
f x a x x a a( ) ; ,=
2
3
2
3
3
2 3
22
Derivnd funcia f, obinem;
f x a x x
a x
x
'( ) =
=
3
2
2
3
2
3
2
3
1
2 1
3
2
3
2
3
1
2
1
3
1 12
2
3
2
3
1
3
2
2
3
1
3+ = +
=
=
[ '( )]f x
a x
x
a
x
a
x
3 3
32 22
22
31 1 1 1 232 3 3 3 3 3
3
22 2
2
3 3( ) 1 [ '( )]
2 2 42
3
a
a a
a aa
x al f f x dx a x dx a a a a
= + = = = =
Deci lungimea astroidei este 8 l(f)=6a.
Exemplul 5. Lungimea cicloidei. Cicloida este dat n coordonate polare de sistemul:
-
Drumuri, arce, lungimi Virgil-Mihail Zaharia
5
x a t t
y a t
=
=
( sin )
( cos )1, t0[0,2].
Cicloida este locul geometric descris de un punct de pe un cerc de raz dat a care se rostogolete fr alunecare pe o dreapt.
Lungimea unei bucle de cicloid este dat de:
l a t a tdt
a t dt at
dt
at
dt a
= + =
= = =
= =
2 2 2 2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
2 1 22
22
6
( cos ) sin
( cos ) sin
sin .
Spirale. Se numesc spirale curbele ale cror raze vectoare sunt funcii univoce de unghiul , r=f(), unde variaz ntre 0 sau -4 i +4, iar r() poate fi diferit de r(+2). De exemplu r=a sau r=aek. Exemplul 6. S se calculeze lungimea spiralei lui Arhimede. n coordonate polare
aceast spiral are ecuaia r=a. Distana dintre punctele P1,P2,... care se gsesc pe aceeai raz este constant i egal cu 2a deoarece r2=a(+2)=a+2a=r1+2a. Elementul de arc ds are valoarea
ds a d= +1 2 ; lungimea arcului va fi:
( )s a d a= + = + + + + 1 2 1 120 1 12
1 121
ln .
Pentru valori mari ale lui 1 rezult sa
2 1
2 .
Exemplul 7. S se calculeze lungimea spiralei logaritmice. n coordonate polare aceast spiral are ecuia r=aek, k>0. Pentru valori negative lae lui curba se nfoar tot mai strns, cu raza vectoare descresctoare, n jurul polului O. Lungimea arcului s se poate calcula astfel:
ds r r k d r k dk
k dr= + = + = +2 2 2 2 211
1 , r, raza de
curbur. ( )sk
k drk
k r rr
r
= + = + 1
11
12 2 2 11
2
.
2013-06-30T22:01:48+0300Virgil-Mihail ZahariaI am the author of this document
