Integrarea numerică. Metoda dreptunghiurilor pentru calculul

aproximativ al integralei definite. Formula trapezelor.

Elaborat de: Mustea Ecaterina

Metoda dreptunghiurilor pentru culculul aproximativ al integralei definite

Eroarea metodei dreptunghiului Algoritmizarea metodei dreptunghiului Formula trapezelor Eroarea metodei Algoritmizarea metodei

Cuprins

Se aplică formula: I=h+ih+), unde:n-numărul de divizări ale segmentului inițialh-lungimea segmentului elementar i- valoarea calculată a integralei Calculul integralei se transformă în calcul valorii unei

expresii aritmetice care depinde doar de numărul de diviziuni ale segmentului de integrale și de valoare funcției la punctele de mijloc ale segmentelor elementare.

Metoda care reduce calculul integralei la calculul unei sume de arii a dreptunghiurilor este numită metoda dreptunghiurilor.

Metoda dreptunghiului pentru calculul aproximativ al integralei definite

Valoarea calculată a integralei este de cele mai multe ori diferită de valoarea exactă, calculată analitic. Eroarea apare din motivul aproximării pe fiecare segment elementar a funcției f(x) cu o funcție constantă g, iar mărirea erorii este determinată de integrala erorii de aproximare.

Eroarea metodei

Deoarece în cazul calculelor cu o eroare ce nu depășeste valoarea prestabilită ε numărul necesar de divizări poate fi stabilit apriori, este suficient să se realizeze un singur algoritm- pentru un număr fixat de divizări n: Pasul 1. Inițializare: se întroduc valorile extremităților

segmentului de integrare a,b și numărul de divizări n, Pasul 2. se calculează lungimea segmentului elementar Pasul 3. pentru toți i de la 0 la n-1:a. Se calculează valorile zb. Se calculează aria dreptunghiului elementarc. Aria calculatăse sumează cu ariile precedente Pasul 4. se afiseaza aria totala calculată S. SFÎRȘIT.

Algoritmizarea metodei

Aria trapezului elementar determinat de punctele Xi si Xi+1 va fi calculată după

formula:

Itr =h

Prin urmare, pe [a,b] valoarea calculată a integralei va fi:

Itr =

Formula trapezelor

La fel ca și în cazul formulei dreptunghiurilor, eroarea de calcul de integrare va fi cercetată ca suma integralelor erorilor de aproximare a funcției f(x) printr-o funcție liniară pe fiecare segment elementar.

Eroarea de integrare a segmentului [a,b] este considerată ca fiind suma erorilor de integrare pe segmentele elementare

Eroarea metodei

Pasul 1. Inițializare. Se întroduc valorile extremităților segmenului de integrare a,b și numărul de divizări n.

Pasul 2. se calculează lungimea segmentului elementar.

Pasul 3. Pentru toți I de la 0 la n-1:a) Se calculează valorile xi.b) Se calculează aria trapezului.c) Aria calculată se sumează cu ariiile precedente.

Algoritmizarea metodei