DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALEDIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALEDefinitie: Definitie: Un numar natural Un numar natural aa este divizibileste divizibil cu un cu un

numar natural numar natural b, b, nenul, daca exista un numar nenul, daca exista un numar natural c astfel incat a = b*c.natural c astfel incat a = b*c.

Se mai spune “Se mai spune “ a se divide cu b a se divide cu b” , “” , “b divide pe b divide pe aa” sau ca” sau ca

“ “a este multiplu de ba este multiplu de b”.”.Notatie: b | aNotatie: b | a si se citeste “ b divide pe a”. si se citeste “ b divide pe a”.Exemple : 6 este divizibil cu 2, pentru ca exista 3 astfel incat Exemple : 6 este divizibil cu 2, pentru ca exista 3 astfel incat

6=2*36=2*3 12 este divizibil cu 2 , pentru ca exista 6 astfel 12 este divizibil cu 2 , pentru ca exista 6 astfel

incat 12=2*6.incat 12=2*6.

Definitie: Definitie: Un numar natural, nenul , bUn numar natural, nenul , b divide divide un un numar natural a daca exista un numar natural c numar natural a daca exista un numar natural c astfel incat b= a : c.astfel incat b= a : c.

Notatie: a :b .Notatie: a :b .

Definitie: Definitie: Toti divizorii unui numar natural poarta Toti divizorii unui numar natural poarta denumirea de denumirea de multimea divizorilor multimea divizorilor acelui numar natural.acelui numar natural.

Exemplu: Exemplu: Fie n=12 DFie n=12 D1212={1,2,3,4,6,12}={1,2,3,4,6,12}

Observatie: Observatie: Orice numar natural Orice numar natural mm are are divizorii improprii divizorii improprii 1 si 1 si m.Orice alt divizor este numit m.Orice alt divizor este numit divizor propriudivizor propriu..

Exemplu: divizorii 1 si 12 sunt divizori improprii, iar Exemplu: divizorii 1 si 12 sunt divizori improprii, iar numerele 2, 3, 4, 6 sunt divizori propriinumerele 2, 3, 4, 6 sunt divizori proprii

Definitie: Toti multipli unui numar formeaza multimea multiplilor acelui numar.Exemplu: Fie n = 5 M5 = {0, 5, 10, 15, 20, . . . . 5k . . } Observatie : Multimea multiplilor unui numar este o Observatie : Multimea multiplilor unui numar este o multime infinita , iar multimea divizorilor este finitamultime infinita , iar multimea divizorilor este finita

PROPRIETATI ALE DIVIZIBILITATII PROPRIETATI ALE DIVIZIBILITATII NUMERELOR NATURALE NUMERELOR NATURALE

1.1. Orice numar natural este divizibil cu 1.Orice numar natural este divizibil cu 1. Altfel: 1|a oricare ar fi a Altfel: 1|a oricare ar fi a єє NN

2. 0 este multiplu al oricarui numar natural.2. 0 este multiplu al oricarui numar natural. Altfel: a|0 oricare ar fi a Altfel: a|0 oricare ar fi a єє NN

3. Orice numar natural se divide cu el insusi.3. Orice numar natural se divide cu el insusi. Altfel: a|a oricare ar fi a Altfel: a|a oricare ar fi a єє NN

4. Daca4. Daca a a este divizibil cueste divizibil cu b b si si b b este divizibil cu este divizibil cu a a atunci atunci a=b.a=b.

Altfel: b | a si a | b atunci a = b 5. Fie 5. Fie a,b a,b sisi c c trei numere naturale.Daca trei numere naturale.Daca a a se divide cu se divide cu

b, b, iar iar b b sese divide cudivide cu c c atunci si atunci si a a se divide cu se divide cu c.c. b | a b | a c | b c | b c | ac | a

6.Daca un numar natural se divide cu un 6.Daca un numar natural se divide cu un numar natural, atunci primul se divide cu toti numar natural, atunci primul se divide cu toti divizorii celui de-al doilea.divizorii celui de-al doilea. Exemplu: Numarul 24 se divide cu toti divizorii lu 12 adica Exemplu: Numarul 24 se divide cu toti divizorii lu 12 adica 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12. 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12.

7.Daca fiecare termen al unei sume de doua 7.Daca fiecare termen al unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural , atunci numere naturale se divide cu un numar natural , atunci si suma lor se divide cu acel numar natural.si suma lor se divide cu acel numar natural. Daca m|a si m|b , atunci m|a + b oricare ar fi a, b,m Daca m|a si m|b , atunci m|a + b oricare ar fi a, b,m єє N.N.

Exemplu: 12 se divide cu 3;15 se divide cu 3.Exemplu: 12 se divide cu 3;15 se divide cu 3. 12 + 15 = 27 ,iar 27 se divide cu 3.12 + 15 = 27 ,iar 27 se divide cu 3.

8.Daca unul din termenii unei sume de 8.Daca unul din termenii unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar doua numere naturale se divide cu un numar natural , iar celalalt termen nu se divide cu acel natural , iar celalalt termen nu se divide cu acel numar natural atunci suma nu se divide cu acel numar natural atunci suma nu se divide cu acel numar natural.numar natural. Exemplu: Fie suma 4 + 3 . 4 se divide cu 2 , dar 3 nu se Exemplu: Fie suma 4 + 3 . 4 se divide cu 2 , dar 3 nu se divide cu 2 , deci 4 + 3 nu se divide cu 2.divide cu 2 , deci 4 + 3 nu se divide cu 2.

9.Fie 9.Fie a , b , m a , b , m numerele naturale , numerele naturale , a ≥ b.a ≥ b.Daca Daca a a se divide cu se divide cu m m si si b b se divide cuse divide cu m m atunci atunci a a si si a – a – b b se divide cu se divide cu mm.. Altfel: Daca m | a Altfel: Daca m | a m | b m | b m | a – b oricare ar fi a , b , m | a – b oricare ar fi a , b , m m єє N , a ≥ b. N , a ≥ b. Exemplu: Fie diferenta 10 - 4 , 10 ≥ 4 , 10 se Exemplu: Fie diferenta 10 - 4 , 10 ≥ 4 , 10 se divide cu 2 , si 4 se divide cu 2. divide cu 2 , si 4 se divide cu 2. Diferenta 10 – 4 = 6 se divide cu 2. Diferenta 10 – 4 = 6 se divide cu 2. 10.Daca un numar natural 10.Daca un numar natural a a se divide cu un se divide cu un numar natural numar natural m m , atunci produsul lui , atunci produsul lui a a cu orice cu orice numar natural se divide cu numar natural se divide cu m.m. Altfel: Daca m | a , atunci m | ab , oricare ar fi Altfel: Daca m | a , atunci m | ab , oricare ar fi a, b , m a, b , m єєN.N. Exemplu: 6 se divide cu 2 , 6 * 7 = 48 se divide Exemplu: 6 se divide cu 2 , 6 * 7 = 48 se divide cu 2.cu 2.

11. Daca11. Daca numarul natural anumarul natural a se divide cu d, atunci orice se divide cu d, atunci orice putere nenula a numarului a se divide cu d.putere nenula a numarului a se divide cu d. Altfel : d | a atunci d | a Altfel : d | a atunci d | ann oricare ar fi n numar oricare ar fi n numar natural nenulnatural nenul Exemplu: 3 | 6 Exemplu: 3 | 6 3 | 1296=6 3 | 1296=644

12. Daca un numar natural este divizibil cu doua 12. Daca un numar natural este divizibil cu doua numere prime intre ele atunci este divizibil cu produsul numere prime intre ele atunci este divizibil cu produsul lor.lor. Altfel: b | a si c | a Altfel: b | a si c | a b*c |a oricare ar fi a,b,c b*c |a oricare ar fi a,b,c (b, c) =1 (b, c) =1 nr.naturalenr.naturale Exemplu: 2|18 si 3|18 ; (2,3)=1 Exemplu: 2|18 si 3|18 ; (2,3)=1 6|18 6|18

13. Daca a si b sunt numere naturale prime intre ele si 13. Daca a si b sunt numere naturale prime intre ele si a divide produsul dintre b si un alt numar c atunci c a divide produsul dintre b si un alt numar c atunci c divide pe adivide pe a Altfel: (a, b) =1 Altfel: (a, b) =1

a | b*c a | b*c a | c a | c Exemplu: 2 divide 6*5=30 ; (5,2) =1 atunci 2 divide Exemplu: 2 divide 6*5=30 ; (5,2) =1 atunci 2 divide 66

CRITERIILE DE DIVIZIBILITATECRITERIILE DE DIVIZIBILITATE

I)I) Criterii care depind de ultima cifra a numaruluiCriterii care depind de ultima cifra a numarului

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 2CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 2

Un numar natural este Un numar natural este divizibil cu 2divizibil cu 2 daca si numai daca si numai daca ultima sa cifra este daca ultima sa cifra este { 0, 2, 4, 6, 8}{ 0, 2, 4, 6, 8}

EXEMPLU: numerele EXEMPLU: numerele 4422, 5, 544, 6, 688, 12, 1200 6 666

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 5CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 5

Un numar natural esteUn numar natural este divizibil cu 5divizibil cu 5 daca si numai daca si numai daca ultima sa cifra este daca ultima sa cifra este {0, 5}{0, 5}

EXEMPLU:numerele EXEMPLU:numerele 5500, 7, 755, 4, 400, 27, 2700, 507, 50755

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 10CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 10

Un numar natural esteUn numar natural este divizibil cu 10divizibil cu 10 daca si daca si numai daca ultima sa cifra estenumai daca ultima sa cifra este 0 0

EXEMPLU: numerele EXEMPLU: numerele 6600, 20, 2000, 134, 13400, 4589, 458900

II)II) Criterii care depind de ultimele doua cifre ale Criterii care depind de ultimele doua cifre ale numaruluinumarului

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 4CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 4

Un numar este Un numar este divizibil cu 4divizibil cu 4 daca si numai daca daca si numai daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar divizibil cu patrudivizibil cu patru

EXEMPLU: 2EXEMPLU: 24848 , 7, 76464

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 25CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 25

Un numar natural este Un numar natural este divizibil cu 25divizibil cu 25 daca si numai daca si numai daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar divizibil cu 25, adica 00, 25, 50, 75.numar divizibil cu 25, adica 00, 25, 50, 75.

EXEMPLU: 4EXEMPLU: 47575, 5, 52525, 8, 80000, 84, 845050

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 100CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 100

Un numar natural este Un numar natural este divizibil cu 100divizibil cu 100 daca daca ultimele doua cifre ale sale sunt 00.ultimele doua cifre ale sale sunt 00.

EXEMPLU: 3EXEMPLU: 30000 70700000

III) III) Criterii care depind de suma cifrelor numarului Criterii care depind de suma cifrelor numarului naturalnatural

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 3CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 3

Un numar este Un numar este divizibil cu treidivizibil cu trei daca si numai daca daca si numai daca suma cifrelor sale este un numar natural divizibil suma cifrelor sale este un numar natural divizibil cu trei.cu trei.

EXEMPLU : nr. 729 este divizibil cu 3 pt. ca ( 7+2+9) = 18 este EXEMPLU : nr. 729 este divizibil cu 3 pt. ca ( 7+2+9) = 18 este divizibil cu 3divizibil cu 3

nr. 14136 este divizibil cu 3 pt. ca ( 1+4+1+3+6)= nr. 14136 este divizibil cu 3 pt. ca ( 1+4+1+3+6)= 15 este divizibil cu 315 este divizibil cu 3

CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 9CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 9

Un numar este Un numar este divizibil cu 9divizibil cu 9 daca si numai daca daca si numai daca suma cifrelor sale este un numar divizibil cu 9suma cifrelor sale este un numar divizibil cu 9

EXEMPLU: nr. 108 este divizibil cu 9 pt. ca (1+0+8)=9 este EXEMPLU: nr. 108 este divizibil cu 9 pt. ca (1+0+8)=9 este divizibil cu 9divizibil cu 9

nr. 45639 este divizibil cu 9 pt. ca ( 4+5+6+3+9)=27 nr. 45639 este divizibil cu 9 pt. ca ( 4+5+6+3+9)=27 este divizibil cu 9 este divizibil cu 9

NUMERE PRIME, NUMERE COMPUSE, NUMERE PARE, NUMERE IMPARE

DEFINITIE: Se numeste numar prim orice numar natural , diferit de 1 , care are divizori numai pe 1 si pe el insusi.

Altfel spus se numeste numar prim acel numar natural care are numai doi divizori, adica Dn = {1, n}, oricare ar fi n numar natural, n≥ 2

EXEMPLU: Numerele prime mai mici decat 50 sunt:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

OBS. Numarul 1 nu are decat un divizor deci el nu este numar prim.

Numarul 2 este unicul numar prim si par.

DEFINITIE: Se numeste numar compus orice numar natural, care are cel putin trei divizori

EXEMPLU:Numerele : 4, 64, 75, 32, 87 etc.

REGULA: Pentru a stabili daca un numar natural este prim se imparte pe rand numarul dat la numerele prime in ordine crescatoare incepand cu 2 , pana se obtine un cat mai mic sau egal cu impartitorul. Daca nu se divide cu nici unul din numerele prime rerspective atunci numarul dat este prim

EXEMPLU: 103:2=51 rest 1 103:3=34 rest 1 103:5=20 rest 3 103:7=14 rest 5 103:11=9 rest 4 dar 9< 11 , deci 103 numar prim DEFINITIE : Numerele naturale divizibile cu 2 se mai numesc si numere pare : {2n / nєN } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, … …. }DEFINITIE : Numerele naturale care nu sunt pare se numesc impare: {2n +1 / nєN } = {1, 3, 5, 7, 9, 11, … …. }TEOREMA FUNDAMENTALA A ARITMETICII Orice numar natural nenul se poate scrie ca produs de numere prime ; descompunerea lui este unica n = p

1 x p2 yp3

z

Descompunerea unui numar natural nenul; in produs de factori primi ajuta la aflarea numarului de divizori ai numarului respectiv . card Dn = (x+1)(y+1)(z+1)

Divizori comuni a dou a sau mai multe numere naturale , numere prime intre ele, C. M. M. D. C.

Definitie: Cel mai mare divizor comun a doua numere naturale a si b este un numar natural d , care:

- divide pe a si pe b; - este divizibil cu orice divizor al lui a si al lui b Notatie: c.m.m.d.c. (a, b) = (a, b)Regula: Pentru a afla c.m.m.d.c. a doua sau mai multe numere naturale mai

mari decat 1 se procedeaza in felul urmator: - se descompun numerele in produs de puteri de numere prime; - se iau toti factorii primi comuni , o singura data , la puterea cea mai mica si

se inmultesc intre ei.

Exemplu: 420= 2 2 *3*5*7 (420, 504) = 22 *3*7 = 84 504= 23 * 32 *7 Spunem ca doua sau mai multe numere care au c.m.m.d.c. 1 sunt

prime intre eleExemplu: (4, 9) = 1 ; (24, 25) =1 ; (103, 75) =1.

Multiplii comuni a doua sau mai multe numere naturale ,

C. M. M. M. C.

Definitie: Cel mai mic multiplu comun a doua numere naturale a si b este un numar natural m care :

- este multiplu al lui a si a lui b

- orice alt multiplu al numerelor a si b se divide cu m.Notatie: c.m.m.m.c. (a, b) = [ a, b]

Regula: Pentru a afla c.m.m.m.c. a doua numere naturale se procedeaza astfel:

- se descompun numerele naturale in produs de puteri numere prime;

- se iau factorii primi comuni si necomuni , o singura data , la puterea cea mai mare si se inmultesc intre ei

Exemplu: 20= 22 *5; 18 = 2*32 ; 16 = 24 atunci [20, 18, 16] = 24 *32 *5 = 720

TEOREMA : Pentru orice numere reale a si b avem (a, b ) * [a, b ] = a*b Altfel spus, produsul a doua numere este egal cu

produsul dintre c.m.m.d.c. –ul si c.m.m.m.c. –ul lor

APLICATII ALE C.M.M.D.C. SI C.M.M.M.C.

Daca [a; b; c ] = m atuncia I m m Є Ma

b I m m Є Mb

c I m m Є Mc

Deci m Є Ma∩ Mb ∩ Mc adica

m este multiplu comun de a, b, cSi cel mai mic numar nenul cu

aceasta proprietate.

Relatia de apartenenta de mai sus este adevarata si invers:

m = a*xm = b*ym = c*zAtunci m este un multiplu

comun al numerelor a, b, c,

Daca (a,b) = d atunci

exista numerele naturale x si y prime intre ele astfel incat

a = d*x

b = d*y

Relatia este adevarata si invers

a = d*m

b = d*n

Atunci d este un divizor comun al numerelor a si b.