Discrete

4 SISTEME DE REGLARE

CU ESANTIONARE

In general, prin eantionare se ntelege discretizarea n timp a unui semnal continuu. In majoritatea aplicaiilor practice, eantionarea este uniform (are loc la momente de timp echidistante), iar semnalele de timp discret obinute prin eantionare sunt si cuantificate(discretizate n valoare), fiind deci semnale de tip numeric. In cazul sistemelor cu eantionare multipl, care contin att elemente continue cu dinamic lent ct si elemente continue cu dinamic rapid, semnalele continue asociate acestor sisteme sunt discretizate cu perioade de esantionare diferite. Sistemele cu esantionare, numite si sisteme esantionate, sunt sisteme hibride care contin att subsisteme cu timp continuu (analogice), ct si subsisteme cu timp discret (discrete). Prezenta ambelor tipuri de subsisteme si de semnale (analogice si discrete) n cadrul aceluiasi sistem creaz o serie de dificultti n analiza si sinteza sistemelor cu esantionare, care pot fi ns depsite prin utilizarea formalismului matematic bazat pe transformarea Z. Sistemele cu esantionare pot valorifica ntr-un mod armonios avantajele rezultate din mbinarea caracterului intuitiv al conceptului analogic cu flexibilitatea si potentialul de calcul(caracterizat prin capacitatea de memorare, viteza si precizia de calcul) specifice sistemelor numerice.

4.1. EXEMPLE DE SISTEME CU ESANTIONARE

Un exemplu de sistem cu esantionare l constituie sistemul de reglare continu (cu regulator continuu) a concentratiei unui component ntr-un amestec, avnd ca traductor de concentratie un cromatograf de proces. Probele de analizat sunt prelevate periodic, la momentele de timp tk=kT, kZ, iar operatia de msurare a concentratiei componentului dureaz un anumit interval de timp W (considerat timp mort), mai mic sau cel mult egal cu perioada de esantionareT. Intre momentele de timp tk+W si tk+1+W, cromatograful genereaz un semnal constant, ce caracterizeaz concentratia la momentul tk. Sub aspect formal (matematic), sistemul de msurare este echivalent unei conexiuni serie de trei elemente (fig. 4.1): un element de ntrziere cu timpul mort W, un convertor analogic-discret CA-D cu perioada de esantionare T si un convertor discret-analogic CD-A.

SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 174

De remarcat faptul c prin efectuarea succesiv a conversiilor analogic-discret si discret-analogic, o functie de timp continuu este transformat tot ntr-o functie de timp continuu, dar de tip scar, iar cele dou functii tind s se identifice atunci cnd perioada de esantionare T tinde la zero. Sistemele de reglare a temperaturii de inflamabilitate, a temperaturii initiale si atemperaturii finale de fierbere ale unor produse petroliere sunt, de asemenea, sisteme cu msurare esantionat si ntrziat.

Fig. 4.1. Sistem de reglare automat cu msurare esantionat si ntrziat

Tipul de sistem cu esantionare cel mai reprezentativ este cel ntlnit la reglarea proceselor continue cu ajutorul unui calculator sau al unui regulator numeric (fig. 4.2). La fiecare moment de esantionare tk=kT, convertorul analogic-discret CA-D genereaz valoarea numeric mo(tk) a semnalului discret numeric mo, practic egal cu valoarea semnalului de timp continuu m(t) la momentul tk, iar blocul numeric BN calculez, prin procesarea convenabil a erorii eo(tk)=io(tk)mo(tk), valoarea numeric co(tk) a semnalului de comand. Pe durata intervalului de esantionare [tk,tk+1), convertorul discret-analogic CD-A mentine semnalul de comand de timp continuu c(t) la o valoare constant, egal cu co(tk). Deoarece toate semnalele discrete ale sistemului de reglare sunt de tip numeric (digital), fiind cuantificate ntr-un numr finit de valori, convertorul analogic-discret CA-D se numeste analogic-digital sau analogic-numeric (CA-N) iar convertorul discret-analogic CD-A se numeste digital-analogic sau numeric-analogic (CN-A). Deoarece contine suplimentar, ntre cele dou convertoare, blocul numeric de procesare a semnalului discret, structura sistemului de reglare cu algoritm de comand numeric este mai general dect cea a sistemului de reglare cu msurare esantionat.


Fig. 4.2. Sistem de reglare automat cu regulator numeric

4.2. CONVERSIE, MODULARE, EXTRAPOLARE

Prin conversie analogic-discret cu perioada T (numit si esantionare cu perioada T), o functie analogic (de timp continuu si cu valori finite) f(t) este transformat ntr-o functie de timp discret T-echivalent fo(t)={f(kT)}kN.

Pentru ca operatia de conversie s fie realizat fr pierdere de informatie este necesar ca pulsatia de esantionare (Zs=2S /T ) s fie mai mare cu dublul pulsatiei maxime Z0 a semnalului de esantionat (teorema de esantionare a lui Shannon). In conditiile precizate de teorema lui Shannon, functia de timp continuu f(t) poate fi reconstituit pe baza valorilor functiei discrete asociate fo(t)={f(kT)}kZ, cu relatia

f(t) =2

)( 2)(sin

)( kTtkTt

kTfk

Z

Z

f

f . (1)

Un exemplu edificator de nerespectare a regulei lui Shannon l constituie esantionarea cu pulsatia 2Z0 a unui semnal analogic pur sinusoidal, caracterizat prin pulsatia Z0 siamplitudinea A. Prin esantionare se obtine un semnal discret cu valoarea constant (cuprins n intervalul [A,A] ), din care, evident, nu se poate reconstitui semnalul sinusoidal.

In aplicatiile practice, pulsatia de esantionare se alege ns de circa 510 ori mai mare dect valoarea critic 2Z0. In plus, pentru ca semnalul analogic s nu fie contaminat de perturbatiile cu frecventa mai mare dect frecventa maxim initial prevzut Z0, n fata convertorului analogic-discret trebuie amplasat un filtru trece-jos care s blocheze frecventele superioare lui Z0. Prin conversie discret-analogic, o functie discret fo(t) cu perioada de discretizare T (t=kT, kZ) este transformat ntr-o functie analogic fa(t), tR.


Functiei de timp continuu f(t) si functiei de timp discret fo(t)={ f(kT) }kN li se asociaz functia de timp continuu tip distributie f*(t), definit astfel

f*(t) = f

G

0()(

kkT)tkTf , tR+ . (2)

Din examinarea relatiei (2) reiese c distributia f* (numit impropriu si functie esantionat) este o succesiune de impulsuri Dirac echidistante si modulate n amplitudine. Distributia f* (t) va fi reprezentat grafic prin segmente orientate, avnd aceeasi lungime ca la functia de timp discret fo(t) - fig. 4.3. In cele ce urmeaz vom considera c la momentul tk=kT, distributia f*(t)are valoarea de modulare

f*(tk)= f (tk) . (3)

Distributia f* contine aceeasi informatie ca functia discret fo, dar spre deosebire de aceasta, este compatibil cu formalismul matematic de tipul transformrii Laplace. Transfor-mata Laplace a distributiei f* are expresia

F*(s) =f

0)(

k

kTsekTf . (4)

Sub aspectul formalismului matematic, operatia de conversie discret-analogic poate fi descompus n dou suboperatii: una de modulare n impulsuri Dirac, cealalt de extrapolare (fig. 4.3). Prin modulare, semnalul discret de intrare fo este transformat ntr-un semnal tip distributie f*, iar prin extrapolare, semnalul tip distributie f* este transformat ntr-un semnal analogic fa. In cazul convertorului discret-analogic de ordinul zero, functia analogic de iesire faconserv valoarea functiei discrete de intrare fo pe durata intervalului de esantionare.

Fig. 4.3. Structura idealizat a convertorului discret-analogic CD-A: M - modulator n impulsuri Dirac, EX extrapolator (de ordinul zero).


Extrapolatorul de ordinul zero (numit holder n englez si bloquer n francez) genereaz o functie analogic avnd valoarea constant pe fiecare interval [tk, tk+1), egal cu valoarea de modulare a distributiei de intrare la momentul tk (fig. 4.4), adic:

fa(t) = f(tk) , t[tk, tk+1) . (5)

Fig. 4.4. Estimarea functiei analogice cu extrapolatorul de ordinul zero

Rspunsul extrapolatorului de ordinul zero la intrarea tip distributie f*(t)=G(t) este functia pondere

h0(t) =

f)[0)0[1

T,t,

T,t, . (6)

Scriind functia pondere sub forma

h0(t) = 1(t) 1(tT) , (7)

obtinem pentru extrapolatorul de ordinul zero urmtoarea functie de transfer

H0(s) =L [h0(t)] = se Ts1

. (8)

Extrapolatorul de ordinul unu (fig. 4.5) estimeaz functia analogic fa (t) pe intervalul[tk, tk+1) prin extrapolarea liniar a valorilor de modulare anterioare f(tk1) si f(tk) ale distributiei f*(t), dup relatia

)()()()()( k1kkka ttTtftftftf , t[tk, tk+1). (9)

Scriind functia pondere a extrapolatorului sub forma

h1(t) = (1+ tT )[1(t) 1(tT)] + (1tT )[1(tT) 1(t2T)] =


= (1+ tT )1(t) 2(1+t TT )1(tT) + (1+ T

Tt 2 )1(t2T) , (10)

rezult urmtoarea functie de transfer a extrapolatorului de ordinul unu

H1(s) = L [h1(t)] = T+Ts 1 2)1(

se Ts

. (11)

Fig. 4.5. Estimarea functiei analogice cu extrapolatorul de ordinul unu

Extrapolatorul cu ntrziere T (fig. 4.6) genereaz o functie analogic continu pe R si liniar pe fiecare interval [tk, tk+1], astfel nct fa(tk)=f(tk1) si fa(tk+1)=f(tk), adic

)()()()()( 11 kkkka ttTtftftftf , t[tk, tk+1]. (12)

Fig. 4.6. Estimarea functiei analogice cu extrapolatorul cu ntrziere T

Extrapolatorul are functia pondere


hT(t)= tT [1(t)1(tT)]+(2tT )[1(tT)1(tT)] =

tT 1(t)2

t TT 1(tT)

TTt 2 1(tT) (13)

si functia de transfer

HT (s) =L [hT (t)] = T1 2)(

se1 Ts

. (14)

Datorit simplittii si robustetii functionale, extrapolatorul de ordinul zero este preferat n majoritatea aplicatiilor practice.

4.3. METODA OPERATIONALA Z

Metoda operational de analiz si sintez a sistemelor cu esantionare apeleaz la transformarea liniar Z.

4.3.1. Transformarea Z

Functia analogic f(t), functia discret f0(t) si functia distributie asociat f*(t), toate cu valoarea nul pentru t


Z [ f(t) ] abz Z [F(s)] . (18)

Dintre propriettile transformrii Z valabile att pentru functiile de timp discret ct si pentru cele de timp continuu, mentionm:

x proprietatea de liniaritate

Z [k1f1(t) + k2f2(t)] = k1Z[f1(t)] + k2Z [f2(t)] , k1, k2 R ; (19) x proprietatea deplasrii n real

Z [f(tnT)] = znZ[f(t)] , Z [enTs F(s)] = znZ[f(t)] ; (20)

x proprietatea nmultirii n complex

Z [eat f(t)] = F(eaTz), Z [DtT f(t)] = F(Dz) ; (21)

x proprietatea derivrii n complex

Z [t f(t)] = T )(zF c (22)

x proprietatea valorii finale

)()(1)( 11

zFzlimnTflimzn

oof

, 1 (23)

valabil atunci cnd (1z1)F(z) are toti polii cu modulul subunitar; x proprietatea valorii initiale

f(0) = lim F zzof

( ) , (24)

valabil atunci cnd limita din dreapta egalului exist si este finit;

x proprietatea produsului de convolutie

Z [i

0

kh(kT iT)u(iT)] = H(z)U(z) . 2 (25)

1 (1z1)F(z) = Z [f(t)]Z [f (tT)] = Z [f (t) f (t T)] =f

0

)]1)(()([k

kzTkfkTf =

=

fo

n

k

k

nzTkfkTflim

0

)]1)(()([ = ])())(([1

0

1 nkk

nznTfzzkTfim

n

k

o

fl ,

deci

1oz

lim (1z1)F(z) = ])())(([1

0

1

1

nkk

znznTfzzkTflimlim

n

k

ofo

= )(nTflim

n fo.


Reamintim c functia pondere h0(t) a unui sistem discret, este rspunsul fortat la intrarea impuls unitar G0 ={1, 0, 0, }, iar functia indicial g(t) este rspunsul fortat la intrarea treapt unitar 10={1,0,0, }. Deoarece G 0(t)=10(t)10(tT), din principiul superpozitiei rezult

h(t)=g(t)g(tT) , (26) iar n urma aplicrii transformrii Z obtinem

Z[h(t)]= (1z1)Z [g(t)] . (27)

In conformitate cu principiul superpozitiei, rspunsul fortat al unui sistem discret cu functia pondere h(t) la o intrare arbitrar u(t) poate fi exprimat prin relatiile de convolutie

y(kT)=

k

0i

h(kT iT)u(iT) =

k

0i

h(iT)u(kT iT) =

k

0i

g(iT)[u(kT iT)u(kT iTT)] , (28)

Mai departe, introducnd notatia )(zHU pentru transformata Z a produsului de convolutie a functiilor de timp continuu h(t) si u(t), adic )(zHU

'Z[h(t)qu(t)], din proprietatea

(2.8) a produsului de convolutie rezult

)(zHU = Z [H(s)U(s)] . (29)

Cazuri particulare. a) Dac U*(s) este transformata Laplace a semnalului tip distributie u*(t), atunci

)(zHU * = H(z)U(z) . (30) Intr-adevr, avem

)(zHU * = Z [H(s)f

0)(

k

kTsekTu ] =f

0])([)(

k

kTsesHkTu Z =

=f

0)()(

k

k zHzkTu = H(z)f

0)(

k

kzkTu = H(z)U(z) .

b) Dac H0(s) este functia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero, atunci

)(0 zHH = (1z1)Z [ ssH )( ] . (31)

Avem

2Z [ )(

0

iTkThk

i

u(iT)]= Z [ )(0

iTkTh

i

f

u(iT)]=

f

0k[ )(

0

iTkTh

i

f

u(iT)] z

k=

= )(

0

iTu

if

)(

0

iTkTh

k

f

zk

= )(

0

iTu

if

zi

)(

0

iTkTh

k

f

zki)

= [ )(0

iTu

if

zi][ )(

0

jTh

j

f

zj]=

= U(z)H(z).


)(0 zHH = Z [sesH

Ts1)( ] = Z [ssH )( ] Z [

ssH

e Ts )( ] = (1z1)Z [ ssH )( ] .

c) Dac Usc (s) este transformata Laplace a semnalului analogic tip scar usc(t), adic

usc(t) = uk , t[tk, tk+1) , atunci

)(zHUsc = (1z1)Z [ ssH )( ] Usc(z) . (32)

Intr-adevr, din

usc(t) = [1(t)1(tT)]u0 + [1(tT)1(tT)]u1 + [1(tT)1(tT)]u2 + ... , rezult

Usc(s) = se Ts1 [u0 + u1eTs + u2eTs + ... ] ,

deci Usc(s) = H0 (s)Usc*(s) . (32)

Tinnd seama, pe rnd, de relatiile (32), (30) si (31), obtinem

)(zHUsc =Z [H(s)Usc(s)] = Z [H(s)H0 (s)Usc*(s)] = Z [H(s)H0(s)] Usc(z) =

= (1z1)Z [ ssH )( ] Usc(z) .

4.3.2. Calculul transformatei Z a unei functii analogice

Transformata Z a unei functii analogice f(t) poate fi calculat direct, cu relatia de definitie (15), sau indirect, pe baza transformatei Laplace F(s) a functiei f(t).

Metoda direct. Pentru _z _ >1, avem

Z [1(t)] = 1+z1+z2+z3+ ... = 111 z

si

Z [ t ] = 0+Tz1+2Tz2+3Tz3+ ... = Tz1 (1+ z1+z2+ ... ) + Tz (1+ z1+z2+ ... ) +

+ Tz (1+ z1+z2+ ... ) + ... = Tz1 (1+ z1+z2+ ... )2 = 21

1

)(1

zTz

,

iar pentru _z _ > eaT rezult

Z [eat ] = f

0k

kkaT ze = kaT zek

f

)(0

=

111

ze aT .

Prin urmare, avem


Z [1(t)] = 111 z

, Z [Tt ] =

21

1

)(1

zz

, Z [eat ] =11

1 ze aT

. (33)

Ultimele dou relatii (33) pot fi aduse usor la forma

Z [ tT +1] = 21)(11z

, Z [ TtD ] = 111

zD . (34)

De remarcat faptul c transformata Z a functie ramp poate fi obtinut din transformata Z a functiei treapt pe baza propriettii derivrii n complex (22).

Metoda indirect. In general, dac transformata Laplace F(s) a functiei f(t) este o rational strict proprie si are polii s1, s2, ... , sn, atunci transformata Z a functiei f(t) poate fi calculat cu formula3

F(z) =

n

k ze

sFrez

Ts1 11)(

s sk . (35)

Intr-adevr, din F*(s)=f

0

)(k

kTsektf si f(kT)= f

f

jcjc

kT deFj VVSV)(2

1 rezult

F*(s)= f

f

f

0

)(21

k

jcjc

kTskT deeFj VVSV

= f

f

fjc

jck

)kT( deFjs

0

])[(1 VVS

V2

= f

f

jcjc T dse

Fj s)(1

)(21

VV

S,

deci

F*(s)=

n

k kTsT see

Frez

1 1)(

VVV

, F(z)=ze

sFTs

)(* =

n

k kT sze

Frez

1 11)(

VVV

.

In cazul functiei f(t) = eat sinbt, cu transformata Laplace 22)()( basbsF

, avem

F(z )= Z [F(s)] = rez [11

1 ze sT

]s a bj + rez [ 1ze

sFsT 1)( ]

bjas =

=b

s a bj 111

ze sT+ b

s a-bj 111

ze sT bjas =

3 Reziduul functiei F (s) relativ la polul p cu ordinul de multiplicitate m, este dat de relatia

rezF (s)s p

=!1)(

1

m[(s-p)

mF (s) ] 1)( m

s p .


= j21 [

1)(11

ze Tbj+a

1)(11

ze Tbj+a] ,

de unde, cu substitutia eaT =D, rezult

Z [eat sinbt ] = Z [ 22)( basb

] =221

1

)2(1)(

DDD

zzbTcoszbTsin

. (36)

Procednd similar, obtinem

Z [eat cos bt ] = Z [ 22)(+

basas

] =221

1

)2(1)(1

DDD

zzbTcoszbTcos

. (37)

De asemenea, pe baza relatiei (35) pot fi obtinute imediat relatiile (33).

Observatie. Relatiile (36) si (37) pot fi obtinute, mai simplu, plecnd de la relatia

Z [ea+jb)t ] =1)(1

1 ze Tbj+a

,

scris pe baza ultimei relatii (33), si tinnd seama c

ea+jb)t

= eat (cosbt + jsinbt ) .

4.3.2. Transformarea invers Z1

Fiind dat transformata Z direct F(z), prin transformarea inversa Z1 se obtine functia discret f0(t)={kT} kN. Transformarea invers se poate realiza prin metoda dezvoltrii n fractii simple, prin metoda formulei de inversiune sau prin metoda seriilor de puteri.

Metoda dezvoltrii n fractii simple este similar celei de la transformarea Laplace. De exemplu, functia

F(z) = ))(1(1 111

bzazz

, a z b

se descompune n fractii simple sub forma

F(z) = )1

11

1(1 11 bzazba ,

iar din (34) rezult

f0(t) = )(1 TtTt baba , f(kT) = )(1 kk baba , kN.

S considerm acum functia


G(z) = ))(1(1 11

bzazz p

, pN , a z b .

Deoarece G(z)=z(p1)F(z), din proprietatea deplasrii n real rezult g0(t)= f0(t(p1)T), deci

g(kT) = )(ba1 11 +pk+pk ba

, kN.

Metoda formulei de inversiune

f(kT) dzzFzjk )(2

1 1 J

S , (38)

unde J este un cerc ce contine totii polii functiei zk1F(z), permite determinarea valorii f(kT) cu relatia practic

f(kT) =

n

rez1i

[zk1F(z)] z=zi

, (39)

unde z1, z2, ..., zn sunt polii functiei zk1F(z). De exemplu, n cazul functiei anterioare F(z), rezult

f(kT) = rez ))(( bzazzk

z a + rez ))(( bzaz

zk

z b =aa b

k

+ bb a

k

=

a ba bk k

.

Metoda seriilor de puteri presupune aducerea functiei F(z) la forma

F(z) = n

n

rr

za...zaza

zb...zbzbb

22

11

22

110

1 (40)

si efectuarea mprtirii, n vederea dezvoltrii lui F(z) n serie de puteri negative, adic

F(z) = c0 + c1z1 + c2z2 + ... . (41)

In conformitate cu (15), rezult f(kT)=ck, kN.

4.3.4. Functia de transfer n z

Prin definitie, functia de transfer H(z) a unui sistem liniar monovariabil este transformata Z a functiei pondere h(t) a sistemului. Reamintim c la sistemele cu intrarea de timp continuu, functia pondere este rspunsul fortat la intrarea impuls Dirac G(t), iar la sistemele cu intrarea de timp discret, functia pondere este rspunsul fortat la intrarea impuls unitar G0(t) = {1, 0, 0, }.


Dac la intrarea convertorului discret-analogic CD-A din figura 4.3, alctuit din modulatorul M si extrapolatorul EX, se aplic un semnal de tip impuls unitar, adic f 0(t)= G0(t),atunci la iesirea modulatorului se obtine un semnal de tip impuls Dirac, adic f*(t)=G(t).

Deoarece Z [f*(t) ]=1, rezult c modulatorul are functia de transfer n z egal cu 1. Mai departe, din faptul c functia pondere a extrapolatorului coincide cu functia pondere a convertorului discret-analogic, rezult c extrapolatorul si convertorul au aceeasi functie de transfer n z. Vom arta c extrapolatorul si convertorul discret-analogic de ordinul zero sau unu au functia de transfer n z egal cu 1, iar convertorul discret-analogic si extrapolatorul cu ntrziere T au functia de transfer egal cu z1. Astfel, n cazul extrapolatorului de ordinul zero, avem

H0(z) = Z [h0(t)] = Z [1(t) 1(tT)] = (1z1)Z [1(t)] = 1,

iar n cazul extrapolatorului cu ntrziere T, avem

HT(z) = Z [hT(t)] = Z [ tT 1(t) 2t TT 1(tT) + T

Tt 2 1(tT)] =

= (12z1+z2)Z [ tT 1(t) ] = (1z1)2 21

1

1 )z(z

= z1 .

Convertorului analogic-discret nu i se poate asocia o functie de transfer n z deoarece nu admite aplicarea la intrare a semnalului de tip Dirac.

Tinnd seama c transformata Laplace a functiei pondere h(t) a unui sistem cu timp continuu este chiar functia de transfer H(s) a sistemului, avem

H(z) ' Z [h(t)] abz Z [H(s)] , (42) iar din relatia (35) rezult c functia de transfer n z a unui sistem cu functia de transfer H(s)strict proprie poate fi calculat cu formula

H(z) =

n

k ze

sHrez

Ts1 11)(

s=sk, (43)

unde s1, s2, ... , sn sunt polii lui H(s).Relatia (43) evidentiaz faptul c polului sk al functiei de transfer H(s) i corespunde

polul zk= kTse al functiei de transfer H(z). Cu exceptia polului z=1 asociat polului s=0, ceilalti poli ai functiei H(z) sunt dependenti de perioada de esantionare T.

Aplicnd relatia (43) sau tinnd seama de (33), (36) si (37), rezult corespondenta

H(s) = s1

l H(z) = 111 z

, (44)

H(s) =2s

1 l H(z) =

21

1

1 )z(Tz

, (45)


H(s) = as

1 l H(z) = 11

1 ze aT

, (46)

H(s) = 22)( basb

l H(z) = 221

1

)2(1)(

zzbTcoszbTsin

DDD

, (47)

H(s) = 22)( basa+s

l H(z) = 221

1

)2(1)(1

zzbTcoszbTcosDD

D . (48)

unde D=eaT . Un sistem de tip integral are functia de transfer n z caracterizat prin polul z=1, iar un sistem cu timp mort multiplu de T (W=qT) are functia de transfer n z

Hm(z) = zq H(z) , (49)

unde H(z) este functia de transfer a sistemului considerat ns fr timp mort. Considernd c la intrarea unui sistem liniar cu intrarea de timp continuu se aplic semnalul distributie

u*(t) = u(0)G(t) + u(1)G(t1) +u(2)G(t2) + ... , (50) (cu perioada de esantionare T=1), n conformitate cu principiul superpozitiei rezult c valoarea iesirii fortate y la momentul k este egal de suma efectelor impulsurilor Dirac aplicate la momentele anterioare, adic

y(k) = u(0)h(k) + u(1)h(k1) + ... + u(k)h(0) =

k

ukh0

)()(i

ii , (51)

unde h reprezint functia pondere a sistemului. Relatia (51) este similar relatiei de convolutie a sistemelor liniare cu intrarea de timp discret. Tinnd seama de acest lucru, din proprietatea (25) a produsului de convolutie obtinem teorema functiei de transfer n z:

In cazul unui sistem liniar cu intrarea u(t) de tip discret sau de tip distributie, functia de transfer n z a sistemului este egal cu raportul dintre transformata Z a iesirii fortate y(t) si transformata Z a intrrii u(t), adic

H(z) = )()(

zUzY

. (52)

Desi relatia Y(z)=H(z)U(z) nu este valabil pentru sistemele cu intrarea de tip analogic, determinarea functiei de transfer este util si la aceste sisteme, n calculul rspunsului pondere (la impuls Dirac), n studiul stabilittii etc.

Relatia (52) confirm faptul c functia de transfer n z a convertorul discret-analogic (de ordinul zero sau unu) este egal cu 1. Intr-adevr, deoarece la orice moment de timp tk=kT,kN, iesirea y este egal cu intrarea u, rezult Y(z)=U(z) si deci H(z)=1. In cazul unui sistem discret cu modelul I-E sub forma ecuatiei cu diferente

y(k)+a1y(k1) + ... + any(kn) = b0u(k) + b1u(k1) + ... + bru(kr) , (53)


aplicnd transformarea Z ambilor membri si utiliznd proprietatea de liniaritate si proprietatea deplasrii n real, obtinem functia de transfer

H(z) = n

r

zaza

zbbbn

r

...1...z

11

110

. (54)

In mod similar, pentru sistemul discret cu modelul I-S-E

X(t+1) = AX(t) + BU(t), Y(t) = CX(t) + DU(t) (55)

rezult functia de transfer

H(z) = C(zIA)1B + D . (56)

4.3.5. Functia de transfer a sistemului discretizat

Discretizatul de ordinul zero 6o al sistemului continuu 6are functia de transfer4 n z

Ho(z) = )(0 zHH = (1z1)Z [ ssH )( ] , (57)

unde H(s) este functia de transfer a sistemului 6, iar H0(s) functia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero. Intr-adevr, avnd n vedere c 6o se obtine prin ncadrarea lui 6 ntre un convertor discret-analogic de ordinul zero si un convertor analogic-discret (fig. 4.7), prin aplicarea la intrarea lui 6o a semnalului impuls unitar u0(t)=G0(t) obtinem u*(t)=G(t) si ua(t)=h0(t),deci Y(s)=H(s)Ua(s)=H(s)H0(s) si, prin urmare, Y0(z)=Y(z)=Z [Y(s)]=Z [H(s)H0(s)]. Expresia functiei de transfer a discretizatului 6o al sistemului continuu 6se poate obtine, indirect, tinnd seama de faptul c functiile indiciale ale celor dou sisteme sunt T-echivalente. Astfel, notnd cele dou functii indiciale cu g0(t) si g(t), avem:

H0(z)=Z [h0(t)]=Z [g0(t)g0(tT)]= (1z1)Z [g0(t)] = (1z1)Z [g(t)]=(1z1)Z [ssH )( ].

De asemenea, considernd u0(t)=10(t), avem U0(z)= 111 z

si Y0(z)=Z[g0(t)]=Z[g(t)]=Z[ssH )( ],

iar din relatia Y0(z)=H0(z)U0(z) rezult imediat (57).

4 In cazul unui sistem continuu cu intrarea U(s), iesirea Y(s) si functia de transfer H(s), din relatiile

Y(z)= )(zHU si H0(z)= )(0 zHH rezult c functia de transfer a discretizatului de ordinul zero se obtine

prin nlocuirea lui U cu H0 n expresia care exprim dependenta n z dintre iesirea Y si intrarea U.

Aceast observatie rmne valabil si n cazul sistemelor esantionate cu intrare de timp continuu.


Fig. 4.7. Schema echivalent a discretizatului sistemului continuu 6

In continuare sunt prezentate functiile de transfer n z ale discretizatelor unor sisteme uzuale:

H(s) = Ts1

l H0(z)= 11

1

zz

, H0(z)= 111

z5 , (58)

H(s) = 221sT

l H0(z)=21

21

2(1 )zzz

, H0(z)=

21

1

)2(11

zz

, (59)

H(s) = 1

11 sT

l H0(z) = 11

1)(1

pzzp

, (60)

H(s) = 11

1

1

sTsW

l H0(z)= 11

11

11

1

)(1

pz

zpTTWW

, (61)

H(s) = 11 sTsTd

l H0(z)= 11

11

1

pzz

TTd

, (62)

H(s) = 21 1)(

1sT

l H0(z)=2)1

)11

11

1

(1(1

1)(1

pzzpz

T

pzzp

, (63)

unde p= 1TT

e

. Functiei de transfer

H(s) = 111

1)(1

1111

sTsTsTsT (64)

i corespunde

H0(z)= 11

11 1)(1

11

pzzp

zTT

, (65)

functiei de transfer

H(s) = 111

1

sTsT

sTsT d

i

i= 11)(1

1)(11

11

1

1

sT

sTTT

TT

sTTTT dd )(

iii

(66)

i corespunde

5 In majoritatea aplicatiilor practice, n locul ecuatiei cu timp discret de tip integral yk=yk1+Tuk1 este

preferat ecuatia yk=yk1+Tu k


H0(z)= 111

11

111)1)(1(

11)(1

pz

zTT

TT

zTT

TTT dd

iii

, (67)

iar functiei de transfer

H(s) = 1)(1)(121

sTsT

s= 1

11

112

2

121

1

sTTTT

sTTTT

2

(68)

i corespunde

H0(z)= 11

12

21

1

21

11

)(11

)(1

qzzq

TTT

pzzp

TTT

, (69)

unde q= 2TT

e

. De asemenea, are loc corespondenta

H(s) = 12

122

1

ss

sWW

W[

l H0(z) = 22121

2(1(1

zazcosa

)zcosa(a)zcosaa)D

DGDG. (70)

unde a= W[ T

e , D = 21 [WT

, G = DD[ W

WW

sin)(T 1 , 0 d [ d 1 .

Discretizatul de ordinul unu, realizat prin conectarea la intrarea sistemului 6 a unui convertor discret-analogic de ordinul unu, are functia de transfer

H 1(z) = )(1 zHH = (1z1)2 Z [ )(12 sHTs+Ts ] . (71)

Discretizatul cu ntrziere T, realizat prin conectarea la intrarea sistemului 6 a unui convertor discret-analogic cu ntrziere T, are functia de transfer

HT (z) = )(zHHT = (1z1)2 Z [ 2)(

TssH ] . (72)

Din (57), (71) si (72) reiese faptul c ntre polul sk al functiei de transfer H(s) si polul asociat zk al functiei de transfer H(z) exist relatia zk= kTse . Cu exceptia polului z=1 (asociat polului s=0), ceilalti poli ai functiei H(z) sunt dependenti de perioada de esantionare T.

In MATLAB, pentru calculul si reprezentarea grafic a rspunsului unui sistem discret respectiv la intrrile U=[1 1 ... 1] , U=[1 0 0 ... 0] si U=[U0 U1 ... UN1 ], exist functiile:

x function [Y,X] = dstep (num,den,N) ; x function [Y,X] = dimpulse (num,den,N) ; x function [Y,X] = dlsim (num,den,U) .

Argumentul de intrare N (optional) reprezint numrul de puncte luate n consideratie, iar argu-

mentul de intrare U al functiei dlsim este vectorul linie al unei secvente de valori de intrare alese.

Argumentele de intrare num si den sunt vectori linie avnd ca elemente coeficientii de la numrtorul si

numitorul functiei de transfer n z. In cazul functiei de transfer (54), cu rdn, avem num=[b0 b1 ... br] si den=[a0 a1 ... an]. In cazul r>n, vectorul den se scrie sub forma den=[a0 a1 ... an 0 ... 0], astfel nct s

aib aceeasi dimensiune ( r ) ca num.

Argumentele Y si X exprim secventele de valori ale iesirii si, respectiv, strii sistemului.

Vectorul Y are N elemente, iar matricea X are N linii si n coloane, unde n este numrul variabilelor de

stare.


Functia dimpulse calculeaz functia pondere a sistemului, adic transformata invers a functiei de

transfer H(z).

Remarc. Functiile dstep, dimpulse si dlsim permit, de asemenea, calculul rspunsului unui

sistem esantionat 6cu mrimea de intrare de tip analogic, respectiv la intrare tip treapt unitar, tip impuls unitar si tip scar. In acest caz, argumentele de intrare num si den trebuie s contin coeficientii de

la numrtorul si numitorul functiei de transfer H0(z) a discretizatului sistemului 6. Modelul discretiza-tului de ordinul zero (zoh) al unui sistem cu timp continuu 6se obtine cu functia

x [numd,dend]=c2dm(num,den,T,zoh) ,

unde num si den sunt vectorii linie ai coeficientilor polinoamelor de la numrtorul si numitorul functiei

de transfer n s a sistemului 6, T este perioada de esantionare, iar numd si dend sunt vectorii linie ai coeficientilor polinoamelor de la numrtorul si numitorul functiei de transfer n z a sistemului

discretizat.

Rspunsul indicial al sistemului 6poate fi calculat si cu functia dimpulse, dac argumentele de intrare num si den sunt asociate iesirii Y(z)= )(zHU corespunztoare intrrii U(s)=1/s.

4.3.6. Functia de transfer a regulatorului numeric PID

Mai nti vom determina ecuatia regulatorului numeric PID printr-o metod direct de discretizare a algoritmului de reglare continu PID, cu forma idealizat cunoscut

c = Kp [e + WW deTt

0)(1

i

+ Td dtde ] + c0 ,

Pentru t=kT si t=(k1)T, kN, avem

ck = Kp [ek + WW deTkT

0)(1

i + Td ek ] + c0 ,

ck1 = Kp [ek1 + WW deTTk

0)(1 1)(

idt + Td 1ke ] + c0 ,

unde ci=c(iT), ei=e(iT), )( Tee ii , iN. Din cele dou relatii rezult

ck = ck1 + Kp [ekek1 + dtteTkT

Tk)(1 )1( i + Td ( 1 kk ee

)] . (73)

Presupunnd dttekT

Tk)(

1)( #Tek, ke (ekek1)/T si 1ke =(ek1ek)/T, obtinem urm-toarea form recursiv a algoritmului numeric PID:

ck = ck1 + Kp(b0ek + b1ek1 +b2ek2 ) , (74)

unde


b0 = 1+TT

i

+TTd

, b1 = (1 + TTd2 ) , b2 = TT

d . (75)

Din (74) rezult c regulatorul numeric cu algoritmul de reglare obtinut prin discretizarea algoritmului continuu de reglare PID are functia de transfer

HPID (z) = 12

110

1)(

z

zbzbb 2pK . (76)

In continuare vom determina functia de transfer HPID(z) a regulatorului numeric, considernd c acesta este discretizatul regulatorului continuu cu functia de transfer n s

HPID (s) =Kp ( 111

1

sTsT

sTd

i) , (77)

unde Td reprezint constanta de timp derivativ, iar T1 constanta de timp de ntrziere a componentei derivative (de circa 3 ... 8 ori mai mic dect Td ). Avem

HPID (z) = Kp (1+ 111

z

ki + 11

11

zpzkd

d ) , (78)

unde ki=iT

T, kd=

1TTd

, pd = 1TT

e

. Functia de transfer a regulatorului numeric poate fi adus sub

forma

HPID (z) = 22

11

2110

1)(

zaza

zbzbb 2pK , (79)

unde

a1=1 pd, a2=pd, b0=1+ki+kd, b1= 1(ki +1)pd2kd, b2=kd +pd. (80)

In conformitate cu (78), modelul temporal al regulatorului poate fi scris astfel:

kkk

kkdpkdk

kkkpkk

DPc

eekKDpD

ekeeKPP

)(])([

11

11 i

, (81)

In continuare, vom determina functia de transfer n z a regulatorului numeric n ipoteza c acesta este discretizatul regulatorului continuu cu functia de transfer

HPID(s) = 111

1

sTsT

sTsTK dpi

i. (82)

Scriind functia de transfer sub forma

HPID(s) = )1( 11J

EDsT

sTTsKp ,


unde)1)(1(1 1

11

iii TT

TT

TT

TTT dd J E D ,, , (83)

rezult

HoPID (z) = )11

11( 1

1

1

JED zp

zz

Kdp 22

11

2110

1)(

zaza

zbzbb 2pK , (84)

unde: pd= 1TT

e

, a1=1 pd , a2=pd , b0=D+E+J, b1=D(1+pd)Epd2J, b2=Dpd + J.Din (84) rezult pentru regulator urmtorul model temporal:

J

ED

kkk

kkkdk

kkkkk

DPc

eeKDpD

eeeKPP

p

p

)()(

11

11 ][

. (85)

4.4. SISTEME ESANTIONATE DESCHISE

S considerm sistemul deschis din figura 4.8 cu intrarea u analogic si intrarea v0 numeric. Din relatiile

Y(s) = H3(s)H0(s)W*(s) , Y(z)= )(03 zHH W(z) , (86) U1(s) = H1(s)U(s) , U1(z)= )(1 zUH , (87) W(z)=V1(z)+U2(z) , W(z)= H4(z)V(z) + H2(z)U1(z) , (88)

se obtine urmtoarea relatie de corelatie intrare-iesire:

Y(z) = )(03 zHH H4(z) V(z) + )(03 zHH H2(z) )(1 zUH . (89) Din (89) rezult c pe canalul intrare numeric v 0 iesire analogic y, sistemul are functia de transfer n z

Hyv(z) = )(03 zHH H4(z) . (90)


Fig. 4.8. Sistem esantionat deschis cu intrare de timp continuu

Dac la intrarea analogic a sistemului se aplic un semnal tip impuls Dirac, adic u(t)=G(t), atunci

)(1 zUH =Z[H1(s)U(s)]=Z[H1(s)]=H1(z) ,

iar din (89) obtinem transformata Z a rspunsului pondere al sistemului, adic functia de transfer Hyu(z), sub forma

Hyu(z)= )(03 zHH H2(z)H1(z) . (91)

In general, functia de transfer a unui sistem esantionat cu intrarea u(t) analogic se obtine prin nlocuirea lui U cu 1 n relatia n z intrare-iesire. Operatia invers, de obtinere a relatiei intrare-iesire a sistemului pe baza functiei de transfer n z, nu este ns posibil. Pentru U(s)=

s1

, din (89) se obtine transformata Z a rspunsului indicial al sistemului, sub forma

Y(z)= (1z1)Z [s

sH )(3 ] H2(z)Z [ ssH )(1 ] . (92)

Tot din (89), prin nlocuirea lui U cu H0, obtinem functia de transfer a discretizatului de ordinul zero al sistemului esantionat cu intrarea analogic u si iesirea y, sub forma

)(zHyu0 = )(03 zHH H2(z) )(01 zHH = (1z1)2Z [ ssH )(3 ] H2(z)Z [ s

sH )(1 ]. (93)

i Aplicatia 4.1. Fie sistemul esantionat din figura 4.8, caracterizat prin

H1(s)=11

1

sTk

, H2(z) = k2 , H3(s)=13

3

sTk

.

a) S se afle rspunsul indicial al sistemului pentru u=1(t);

b) S se afle functia de transfer )(0 zH yu a discretizatului sistemului.

Rspuns. a) In conformitate cu relatia (92), calculm


Z [s

sH )(1 ]=Z [1)( 1

1

sTsk

] = k1Z (1+

1

1

1

sT

T

s ) = k1( 11

1 z

111

1 zp

) =))(1(1

)(11

11

111

zpz

zpk

si, similar

Z [s

sH )(3 ] = Z [1)( 3

3

sTsk

] =))(1(1

)(11

31

133

zpz

zpk ,

unde p1= 1e TT

, p3= 3e TT

. Rezult

Y(z) = (1z1)Z [s

sH )(3 ]H2(z)Z[s

sH )(1 ] =)z)(1z)(1z(1

z))(1(11

31

11

231321

pp

ppkkk ,

iar n urma descompunerii n fractii simple se obtine

Y(z) = k1k2k3( 11

1 z

1131

3

1

11

zppp

p 1

313

1

1

11

zppp

p) .

Prin urmare

y(kT) = k1k2k3(1 kppp

p1

31

31 kp

pp

p3

3

1

1

1

) .

b) Comparnd (92) si (93), rezult

)(0 zH yu = (1z1

)Y(z) = )z)(1z(1

z))(1(11

31

1

231321

pp

ppkkk .

i Aplicatia 4.2. Pentru v0=0(t), s se afle rspunsul (indicial) al sistemului esantionat din figura 4.8, stiind c

(64) v1(kT)+av1((k1)T) = bv((k1)T)

(63) T3 )(ty +y(t) = k3wa(tmT) , mN .

Rspuns. Avem

H4(z)= 1

1

1

azbz

si

H3(s)=13

3

sT

ek mTs ,

)(03 zHH = (1z1

)Z [1)( 3

3

sTs

ek mTs]= k3(1z1)zmZ [

1)(1

3 sTs]=

13

133

1

)(1

zp

zpk m ,

unde p3= 3e TT

. In conformitate cu (89), obtinem

Y(z)= )(03 zHH H4(z)V(z) = 13

133

1

)(1

zp

zpk m

1

1

1

az

bz11

1

z

=

= a

zbk m

13 (

11

1 z

13

3

1

11

azpa

p 1

33 1

11

zppaa

) ,

deci


y(kT) =a

bk

13 [1 mka

pa

p

)(1

3

3 mkppaa

33

1]1(km) .

4.5. SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE

S considerm sistemul de reglare cu msurare esantionat din figura 4.1, n ipoteza c timpul mort de ntrziere coincide cu perioada de esantionare, adic W=T. Avem

Y(s) = V(s) + HP(s)HE(s)HR(s)[ I(s) H0(s)W*(s)] , iar prin aplicarea transformrii Z, obtinem

Y(z) =V(z) + )(zHHH REP I )(zHHHH 0REP W(z) .Tinnd seama si de relatia W(z)=z1Y(z), rezultat din W(s)=eTsY(s), obtinem

)()(

)()(

z

zHHHz

zVzY REP

PP

I )( . (94) unde

)(1)( 01 zHHHHzz REP P . (95)Mai departe, din (94) si din

E(z) = I(z)Mz= I(z)H0(z)W(z) = I(z)W(z) = I(z)z1Y(z) , rezult

E(z) = I(z) )()(1

z

zHHHz REPP

I )()(1

z

zVzP

. (96)

Din (94) si (96), prin nlocuirea lui V cu 0 si a lui I cu 1, obtinem

Hyi (z) = )()(

z

zHHH REPP

, Hei (z) = 1 )()(1

z

zHHHz REPP

, (97)

iar prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu 1, obtinem

Hyv (z) = )(1zP

, Hev (z) = )(1

z

z

P

. (98)

Pe baza relatiilor (94) si (96) putem determina functiile de transfer ale discretizatului sistemului de reglare. Astefl, prin nlocuirea lui V cu 0 si a lui I cu H0, obtinem

)()()( 0

z

zHHHHzH REP0y

P i , )(

1z

zH0eP

)(i . (99)

iar prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu H0, obtinem

)(1)(z

zH0yvP

, )(z 1

zzH0ev

P

)( . (100)


Considerm acum sistemul de reglare numeric din figura 4.2. Din

E(z)=I(z)Z[HT (s)Y(s) ] , Y(s)=V(s) + Hp(s)HE(s)H0(s)C*(s) , rezult

E(z) = I(z) )(zVHT )()(0 zCzHHHH EPT , Tinnd seama de ecuatia n z a regulatorului numeric,

C(z) = HR(z)E(z) , obtinem

E(z) = )()(

)()(

z

zVHz

z TPP

I , (101) unde

)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P . (102)

Mai departe, din (101) si din

Y(z)= V(z) + )()(0 zCzHHH EP = V(z) + )()()(0 zEzHzHHH REP ,

rezult

Y(z)= V(z) )()()()(0

z

zVHzHzHHH TREPP )(

)()()(0z

zzHzHHH REPP

I. (103)

Din (101) si (103), prin nlocuirea lui V cu 0 si a lui I cu 1, obtinem

Hei (z) = )(1zP

, Hyi (z)= )()()(0

z

zHzHHH REPP

, (104)

iar prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu 1, obtinem

Hev (z) =)(z

zHTP

)(, Hyv (z) = )(

)()()(1 0z

zHzHzHHH TREPP

. (105)

Tot din (101) si (103), prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu H0, obtinem functiile de transfer ale discretizatului sistemului de reglare

)((z)0

z

HHzH T0ev

P

)( , )(

)()()(1)( 00z

zHHzHzHHHzH TREP0yv

P

. (106)

In cele ce urmeaz este prezentat n MATLAB un program pentru calculul si reprezentarea grafic a rspunsului unui sistem de reglare numeric la referint treapt si perturbatie treapt.

% function[] = stepsran(Kp,Ti,Td,T1,T,N)

% Reprezentarea grafic a functiilor indiciale ale unui SRA cu regulator numeric PID,

% format din regulator, proces (p), element de executie (e) si traductor (t)


% T - perioada de esantionare, N numarul perioadelor de esantionare

% Kp - factorul de proportionalitate al regulatorului, Ti - constanta de timp integral a regulatorului

% Td - constanta de timp derivativ, T1 constanta de timp de ntrziere a componentei derivative

% Regulatorul are functia de transfer Hr(z)=Kp(1+ 1z1

ki

+1

d

1

dzp1

z1k

), cu ki=

T

Ti,

1

dd

T

Tk , pd= 1T

T

e

;

% este discretizatul regulatorului analogic cu functia de transfer HPID (s)=Kp ( 111

1

sTsT

sTd

i) .

function[]=stepsran(Kp,Ti,Td,T1,T,N)

t=0:1:N1; % Regulator

ki=T/Ti;

if T1==0, kd=10; pd=0;

else kd=Td/T1; pd=exp(T/T1); end

a1=1Sd; a2=pd; b0=1+ki+kd; b1=-1(ki+1)*pd2*kd; b2=kd+pd; nr=Kp*[b0 b1 b2]; dr=[1 a1 a2];

% Parametrii procesului: K, t1, t2 si tm (tm - timp mort)

K=1; t1=50; t2=20; tm=30;

np=K; dp=[t1*t2 t1+t2 1];

% Parametrii elementului de executie: Ke, Te

Ke=1; te=5;

ne=Ke; de=[te 1];

% Parametrii traductorului: Kt, Tt

Kt=1; tt=10;

nt=Kt; dt=[tt 1];

% Hp*He(s)

[ns,ds]=series(np,dp,ne,de);

% HpHeHo(z), inclusiv timpul mort

[n,d]=c2dm(ns,ds,T,'zoh');

zmort=zeros(1,tm/T);

n=[zmort n];

while length(d)< length(n), d=[d 0];

end;

% Ht*Hp*He(s)

[ns1,ds1]=series(nt,dt,ns,ds);

% HtHpHeHo(z), inclusiv timpul mort

[n1,d1]=c2dm(ns1,ds1,T,'zoh');

n1=[zmort n1];

while length(d1)< length(n1), d1=[d1 0];

end;

% Hr(z)*HtHpHeHo(z)

[n0,d0]=series(nr,dr,n1,d1);

% eroarea pentru referinta treapta unitara

[neror,deror]= feedback(1,1,n0,d0,-1);

[neror,deror]=minreal(neror,deror);

clg; hold on;


e=dstep(neror,deror,N); plot(t,e,'w');

% comanda pentru referinta treapta unitara

[ncom,dcom]= series(nr,dr,neror,deror);

[ncom,dcom]=minreal(ncom,dcom);

dstep(ncom,dcom,N);

% iesirea pentru referinta treapta unitara

[nies,dies]=series(n,d,ncom,dcom);

[nies,dies]=minreal(nies,dies);

m=dstep(nies,dies,N); plot(t,m,'c');

title('EROAREA-W, IESIREA-C, COMANDA-Y pentru I=1(t)');

grid; pause;

% HtHo(z)

[n2,d2]=c2dm(-nt,dt,T,'zoh');

% eroarea pentru perturbatie treapta unitara

[neror1,deror1]= series(n2,d2,neror,deror);

[neror1,deror1]=minreal(neror1,deror1);

clg; hold on;

e=dstep(neror1,deror1,N); plot(t,e,'w');

% comanda pentru perturbatie treapta unitara

[ncom1,dcom1]= series(nr,dr,neror1,deror1);

[ncom1,dcom1]=minreal(ncom1,dcom1);

dstep(ncom1,dcom1,N);

% iesirea pentru perturbatie treapta unitara

[nies1,dies1]=series(n,d,ncom1,dcom1);

[nies1,dies1]=parallel(1,1,nies1,dies1);

[nies1,dies1]=minreal(nies1,dies1);

m=dstep(nies1,dies1,N); plot(t,m,'c');

title('EROAREA-W, IESIREA-C, COMANDA-Y pentru V=1(t)');

grid;

hold off;


Fig. 4.9. Rspunsul la referint treapt al unui SRA cu timp mort, obtinut prin apelarea functiei stepsran(1,80,16,8,5,81)

Fig. 4.10. Rspunsul la perturbatie treapt al unui SRA cu timp mort, obtinut prin apelarea functiei stepsran(1,80,16,8,5,81)


4.6. STABILITATEA SISTEMELOR DISCRETE

Cunoasterea functiilor de transfer n z ale unui sistem cu esantionare este deosebit de util n analiza stabilittii sistemului. Studiul stabilitattii sistemelor cu esantionare se face cu ajutorul teoremei de stabilitate (extern) a sistemelor cu esantionare, care are urmtorul enunt: Un sistem monovariabil cu esantionare este extern strict stabil dac si numai dac toti polii functiei de transfer H(z) a sistemului au modulul subunitar, adic sunt situati n interiorul cercului unitar (de raz 1) cu centrul n origine. Vom demonstra aceast teorem n cazul particular n care polinomul polilor sistemului are numai rdcini simple, adic

p(z) = (zp1)(z p 2) ... (z pn). (107)

Din forma descompus a functiei de transfer

H(z) = 1

1pz

a

+

2

2pz

a

+ ... +

az p

n

n = z1(

11

1

1 zpa

+ 1

2

2

1 zpa

+ ... + 11 zp

a

n

n ) ,

se obtine functia pondere

h(kT) = a1p1k1 + a2p2k1 + ... + anpnk1 , kN. (108)

De aici reiese c sistemul este extern strict stabil, adic f

1)(

kkTh < f, dac si numai dac

pi


Rspuns. a) In conformitate cu (94), avem )(

)()(

z

zHHHzY

IREPP

. Din

)(zHHH IREP Z[HP(s)HE(s)HR(s)s

1] Z[

1)(102

1

ss]

2

1Z[

1+10

101

ss ]

2

1 [11

1 z

110/1

1 ze T

]2

1 [11

1 z

134

4 z

])34)(1(2 11

1

zz

z ,

)(0 zHHHH REP (1z1)Z[

s

1HP(s)HE(s)HR(s)]

)34(2 1

1

z

z ,

P(z) 1+ z1 )(0 zHHHH REP )34(2

11

2

z

z

)34(2

)4)(2(1

11

z

zz ,

obtinem

Y(z)

)34(2

)4)(2(

)z34)(z1(2

z

1

11

11

1

z

zz ))(4)(2(1 111

1

zzzz

)3(1

11

z 12

1

z )3(4

21

z

.

Rezult

y(kT) = 3

11+2

1k

k46

1

, k = 0, 1, 2, ...

b) Tinnd seama de (94), avem

)(

)()(

z

zVzY

P

)34(2

)4)(2(z1

1

1

11

1

z

zz

))(4)(2(1

)34(2111

1

zzz

z

)3(1

21z 12

2

z )3(4

81

z

,

deci

y(kT) = 3

2k2

1k43

2

, k = 0, 1, 2, ...

c) In conformitate cu (99) si (100), avem:

)(

)()( 00

z

zHHHHzH REPyi

P

)34(2

)4)(2(

)z34(2

z

1

11

1

1

z

zz )4)(2(

z11

1

zz,

)(0 zHei)(

1)(0

zzH yv

P

)4)(2(

)34(211

1

zz

z,

)()(

10

z

zzHev

P

)4)(2(

)34(211

21

zz

zz.

Aplicatia 4.4. S se analizeze stabilitatea sistemului de reglare cu msurare esantionat de la

aplicatia anterioar, considernd acum HR(s)=Kp, KpR.


Rspuns. Formm ecuatia polilor P(z) 0, unde

P(z) 1+ z1 )(0 zHHHH REP 1 + z1

)34(4 1

1

z

zK p.

Obtinem polinomul polilor

p(z) = 16z2 12z + Kp ,

apoi formm ecuatia p(1

1

s

s) = 0, care are forma

(4+Kp)s2 + 2(16 Kp)s + Kp + 28 = 0 .

Rdcinile acestei ecuatii au partea real negativ atunci cnd coeficientii trinomului de gradul doi n s

din stnga semnului egal sunt strict pozitivi, adic atunci cnd Kp(4, 16). In acest caz sistemul este extern strict stabil, iar pentru Kp(f, 4)(16, f ) este instabil.

Aplicatia 4.5. Se consider sistemul de reglare numeric din figura 4.2, n care

T = 2,77 sec., HR(z) =2

1 , HE(s) =1 , HP(s) =

14

1

s , HT(s) = 1.

a) S se afle rspunsul indicial e(t) pentru i=1(t);

b) S se determine functiile de transfer ale discretizatului sistemului.

Rspuns. a) Utilizm relatia E(z) Hei(z)I(z), unde Hei(z) )(

1

zP. Avem

)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1+(1z1

)Z2

1]

1)(4

1[

ss 1

2

1 1 z Z [1+4

41

ss ]

12

1 1 z [11

1z

14/1

1 ze T

] = 12

1 1 z [11

1z

12

2 z

] =)(22

41

1

z

z ,

deci

E(z) = 1

1

4

)(22

z

z 11 z 1

=1

3(

11

2 z 14

4

z

) ,

si

e(t) = 1

3(2 + T/t4 ) , e(kT) =

1

3(2 + k4 ) .

b) In conformitate cu (106), avem:

)(

)()( 00

z

zHHzH Tev

P

)2(2

4

1

1

1

z

z 1

1

4

)2(2

z

z,

)(

)(()(1)( 000

z

zHHz)HzHHHzH TREPyv

P

)(

1

zP=

1

1

4

)2(2

z

z .

Aplicatia 4.6. S se studieze stabilitatea sistemului de reglare numeric precedent (de la aplicatia

4.5), n conditiile mai generale T>0 si HR(z)=Kp, Kp >0.


Rspuns. Formm ecuatia polilor P(z) 0, unde )()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P . Avem

P(z) 1+(1z1)Z pKss

]

1)(4

1[ 1 )1( 1zKp [ 11

1z

11

1 pz

] pz

KKpz pp

)1(

,

unde p 4/Te . Sistemul de reglare are un singur pol, anume z1= p(Kp +1)Kp. Sistemul este extern strict

stabil n cazurile: a) Kpd1; b) Kp >1 si T < 41

1ln

p

p

K

K.

Aplicatia 4.7. Se consider sistemul de reglare numeric din figura 4.2, n care

T = 2,77 sec., HR(z) = Kp , HE(s) =5 , HP(s) =s5

1 , HT(s) =

14

1

s .

a) S se studieze stabilitatea sistemului;

b) S se determine functiile de transfer ale discretizatului sistemului.

Rspuns. a) Avem

)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1 )1( 1zKp Z ]1)(41

[2 ss

)1(1 1zKp Z [ 1+41641

2 sss ]

)1(1 1zKp [ 211

)(1

zzT

11

4z

+14/1

4 ze T

] 1 + Kp[ 11

1

zzT 4 1

1

2

)1(8

z

z]

2121

32

1)(1,233)1,54(2

zz

zKzK pp

Obtinem polinomul polilor

p(z) 2z2 4Kpz 1,23Kp 1,

apoi formm ecuatia p(1

1

s

s) 0, care are forma

2,77Kp s2 + 2(11,23Kp s +60,31Kp 0 .

Rdcinile acestei ecuatii au partea real negativ, si deci sistemul este extern strict stabil, atunci cnd

coeficientii trinomului de gradul doi n s sunt strict pozitivi, adic atunci cnd Kp(0; 0,813). b) Vom utiliza formulele

)(

)()( 00

z

zHHzH Tev

P

,)(

)(()(1)( 000

z

zHHz)HzHHHzH TREPyv

P

.

Avem

)(0 zHHT (1z1)Z ]

1)(4

1[

ss=

)2)(1()1(

11

11

zz

zz 1

1

2

zz

,

de unde rezult

21

210

1)(1,233)1,54(2)(

zKzK

zzzH

ppev

Mai departe, avem


)(0 zHHH EP (1z1)Z ]

1[

2s=

21

11

)(1)(1

z

zTz =

1

1

1

zzT

=1

1

1

77,2

zz

,

si deci

)(

1)(()(1)( 00

0

zzHHz)HzHHHzH TREPyv

P

1

1

1

77,2

zz

Kp 1

1

2

zz

21

11

1)(1,233)(1,542

)2)(1(

zKzK

zz

pp

21

21

1)(1,233)(1,542

)1,541(3)(1,542

zKzK

zKzK

pp

pp

Aplicatia 4.8. S se calculeze rspunsul indicial y(t) pentru i 1(t) al unui sistem de reglare numeric cu timp mort, caracterizat prin

HR(z) 1, HP(s) s

s

4

e, HE(s) 1, HT(s) 1

si perioada de esantionare T 1 sec.

Rspuns. Avem

Y(z) )()(

)()(0 zz

zHzHHHIREP

P,

)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1 +

4

1 1zZ ]

e[

2

s

s

1 +

4

1 1z21

2

)(1

zTz

)4(1

)2(1

21

z

z ,

)(0 zHHH EP )(0 zHHHH EPT )(14 1

2

zz

,

Y(z)

)4(1

)2(

)z4(1

z

1

21

1

2

z

z

1

1 z 1

211

2

))(2(1

zzz

11

1 z 21)(2

4

z

11

1 z 21])(2[1

1

z

.

Tinnd seama de relatia Z [T

t+ 1]

21)(1

1

z si de proprietatea nmultirii (cu o constant) n complex,

obtinem

y(t) 1 (T

t+1) T/t2 1(t+1) t2 , tN.

Aplicatia 4.9. S se analizeze stabilitatea sistemului de reglare numeric cu timp mort de la

aplicatia 4.8, considernd perioada de esantionare T arbitrar pozitiv si HR(z) Kp , Kp >0.

Rspuns. Din

)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1 + )4(1 1

2

zTzKp

,

obtinem polinomul polilor p(z) = 4z2 4z + KpT si ecuatia asociat a polilor n s

KpT s2 + 2(4KpT)s + 8 + KpT 0 ,

de unde rezult c sistemul este strict stabil atunci cnd KpT< 4.

Discrete

Documents

Transcript of Discrete