EXPRESIA ANALITICA A UNUI VECTOR

n conformitate cu regula conturului poligonal de adunare a vectorilor, vectorul AB reprezint suma proieciilor sale pe axele de coordonate

dar aceti vectori , i sunt proieciile pe axele de coordonate ale vectorului AB.

Axele de coordonate admit ca versori urmtorii vectori: pentru axa ox versorul pentru axa oy versorul ,iar pentru axa oz versorul . Aceti versori sunt perpendiculari ntre ei; se poate scrie deci:

= rx+ry+rzAceast ultim relaie se numete expresia analitic a unui vector.

OPERATORI DIFERENTIALI

Operatori difereniali

Pentru scrierea prescurtat a unor relaii care caracterizeaz unele fenomene fizice (dar i din alte ramuri tehnice) se folosesc aa numiii operatori, operatorul este un simbol care indic ce operaie matematic trebuie efectuat. ntr-un sens mai larg semnul + dintre dou mrimi indic operatorul de adunare.

Se folosesc urmtorii operatori difereniali (pentru c asupra mrimii fizice crora se aplic se fac nite operaii de derivare-difereniere):

1. gradient simbol grad

2. divergen simbol div3. rotor simbol rot

4. laplacian simbolul ( ( operatorul lui Laplace)

5. dAlambertian ( ( operatorul lui dAlambert )

Aceti operatori sunt definii cu ajutorul altui operator numit operator nabla simbol (Operatorul nabla are urmtoarea expresie:

(=

se vede c are dimensiunea unui vector.

1. Fie un scalar S de coordonate Sx, Sy i Sz. Aplicnd acestui scalar operatorul nabla se obine:

(S== grad S

deci o mrime vectorial, cu alte cuvinte acest operator ( a transformat un scalar ntr-un vector, grad S este gradientul lui S

2. Fie un vector , aplicnd acestui vector scalar operatorul nabla:

(=()()=

= = div

Se vede c div este un scalar.

3. Dac aplicm operatorul ( vectorial vectorului , adic:

(x== rot

Se vede c rot este un vector.

4. Dac aplicm de dou ori scalar operatorul nabla scalarului S de coordonate Sx,Sy i Sz obinem

( (S=

EMBED Equation.2 (Sx+Sy+Sz) =

== (S

unde (S este operatorul lui Laplace, care este un scalar. Un astfel de operator va fi prezentat la ecuaia diferenial de propagare a undelor elastice.

5. operatorul dAlambert ( .n teoria relativitii se folosesc patru axe de coordonate cu versorii pentru axa ox notat x1, pentru axa oy notat x2, pentru axa oz notat x3 i pentru a patra dimensiune legat de timp notat x4, unde , iar c este viteza luminii, t este timpul. Cu aceste notaii operatorul dAlambert aplicat funciei ( are expresia:

(

EMBED Equation.3 .

EFECTUL DOPPLER

Efectul Doppler const n modificarea frecvenei ( lungimii de und) recepionate de un observator aflat n micare relativ n raport cu o surs de oscilaii de frecven constant.

Fie o surs S de oscilaii de frecven constant i un observator O. n acest fenomen nu intervin dect componentele longitudinale, ale vitezelor de propagare a oscilaiilor, pe direcia surs receptor i nu cele transversale pe aceast direcie .

Vitezele se consider pozitive atunci cnd sursa sau receptorul se apropie ntre ele.

ct1

VST

ct2

VST

O

O

S

S

VRT

Notm cu c viteza de propagare a oscilaiilor (a sunetului n aer), cu VS viteza de deplasare a sursei de oscilaii i cu VR viteaza de deplasare a observatorului.

Dac primul maxim al sunetului emis de surs n poziia S ajunge la receptor n poziia R dup timpul

cel de al doilea maxim va fi emis de sursa aflat n punctul S, dup timpul , unde ( este frecvena sunetului emis , cu SS=VST i ajunge la receptor aflat n poziia R , dup timpul

sau la momentul T+t2 socotit de la emiterea primului maxim . Diferena (T + t2) - t1 , dintre sosirile celor dou maxime succesive ale sunetului nregistrat de receptor, este tocmai perioada T nregistrat de receptor, deci :

T + t2 - t1 = T i OO=VRT

Din figura de mai sus rezult :

VST + VRT= c (t1-t2 ) = c(T-T)

sau T(VR+c) = T(c-VS) sau adic:

relaie care reprezint formula efectului Doppler n cazul n care i sursa i receptorul se apropie pe direcia care le unete.

Dac sursa sau receptorul se apropie, unul de cellalt frecvena recepionat de observator ( > ( .

Dac sursa sau receptorul se deprteaz, unul de cellalt frecvena recepionat de observator ( < ( .

n cazul efectului Doppler distingem mai multe situaii :

1. surs mobil , observator fix

2. surs fix , observator mobil

3. surs mobil , observator mobil

Cazul 1.Surs mobil observator fix:

R

(S

S

S

VS

Unghiul (S reprezint unghiul fcut de direcia de deplasare a sursei cu observatorul R la momentul iniial t1 n acest caz frecvena recepionat de observator va avea expresia

Cazul 2.Surs fix observator mobil:

Cazul 3.Surs mobil observator mobil:

VRS VR VS (R (S R

S

Efect Doppler n cazul surs mobil observator mobil.

Ecuatii diferentiale de propagare a undelor elasticeEcuaia diferenial de propagare a undelor admite ca soluie chiar ecuaia undei plane, astfel dac ecuaia undei plane este scris sub forma unde u este elongaia, x este distana de la sursa de oscilaii pn n punctul n care a ajuns oscilaia dup timpul t, iar i derivm de dou ori ecuaia undei plane n raport cu timpul i apoi de dou ori n raport cu distana x se obine:

din care rezult

(1)

Facem derivata de ordin unu n raport cu distana x :

iar derivata de ordin doi n raport cu distana x va fi:

din care rezult

(2)

Egalnd relaiile (1) i (2) obinem:

dar

iar

deci

simplificnd se obine:

(3)

Ecuaia (3) reprezint ecuaia diferenial de propagare a undelor de-a lungul axei ox. De menionat c n aceast relaie u reprezint elongaia, iar x este direcia de propagare.

n cazul propagrii undelor n spaiu, pentru a nu confunda elongaia cu coordonata oy, vom nota elongaia cu u care se numete funcie de und, iar axele de coordonate vor fi x, y, respectiv z, deci ecuaia diferenial de propagare a undelor elastice n spaiu cu trei dimensiuni va fi:

(4)

innd cont de definiia operatorilor difereniali, aceast ecuaie se mai poate scrie:

(5)

unde

(6)

n care este operatorul diferenial Laplace.

R

_1385184535.unknown

_1385228074.unknown

_1385279635.unknown

_1385279675.unknown

_1385279691.unknown

_1385279698.unknown

_1385279741.unknown

_1385279684.unknown

_1385279650.unknown

_1385279658.unknown

_1385279641.unknown

_1385279621.unknown

_1385279628.unknown

_1385228290.unknown

_1385228828.unknown

_1385228093.unknown

_1385226417.unknown

_1385227849.unknown

_1385227905.unknown

_1385226432.unknown

_1385184550.unknown

_1385184600.unknown

_1385226411.unknown

_1385184543.unknown

_1382941293.unknown

_1383056239.unknown

_1383058972.unknown

_1383059005.unknown

_1383059026.unknown

_1385111349.unknown

_1383059031.unknown

_1383059013.unknown

_1383058977.unknown

_1383056269.unknown

_1383058961.unknown

_1383056254.unknown

_1382941350.unknown

_1382944978.unknown

_1382945028.unknown

_1382941401.unknown

_1382941434.unknown

_1382941459.unknown

_1382941416.unknown

_1382941359.unknown

_1382941323.unknown

_1382941340.unknown

_1382941305.unknown

_1036315746.unknown

_1036315819.unknown

_1036318048.unknown

_1036318150.unknown

_1036318037.unknown

_1036315792.unknown

_1036315810.unknown

_1036315772.unknown

_1036314418.unknown

_1036315186.unknown

_1036315711.unknown

_1036315076.unknown

_1036235450.unknown

_1036314111.unknown

_1036314264.unknown

_1036235693.unknown

_1036235751.unknown

_1036236084.unknown

_1036235661.unknown

_1036232285.unknown

_1036232313.unknown

_1035097576.unknown