Integrale curbilinii

1. Drumuri si curbe n plan si n spatiu

Definitie: Numim drum n spatiu o functie continua f : [a, b] R3. f(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b]. Multimea punctelor decoordonate (x(t), y(t), z(t)), t [a, b] s.n. imaginea drumului.Drumul este nchis daca f(a) = f(b); drumul s.n. neted dacafunctiile x, y, z sunt derivabile, cu derivate continui pe [a, b] a.i.(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2 > 0, t [a, b].Fie = (a = t0 < t1 < ... < tn = b) o diviziune a intervalului [a, b] silinia poligonala corespunzatoare, de varfuri M0(x(t0), y(t0), z(t0)),M1(x(t1), y(t1), z(t1)), ..., Mn(x(tn), y(tn), z(tn)). Se noteaza cu

l() =

n1i=0

(x(ti+1) x(ti))2 + (y(ti+1) y(ti))2 + (z(ti+1) z(ti))2

Definitie: Spunem ca drumul este rectificabil (sau ca are lungime)daca multimea {l,diviziune a intervalului [a, b]} este majorata.Notam cu l(f) = sup {l,diviziune a intervalului [a, b]} lungimeadrumului.

Teorema: Un drum neted este rectificabil si lungimea sa este

l(f) = ba

(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2dt.

Definitie: Doua drumuri s.n. echivalente daca au aceeasi imagine.

Observatie: Un drum echivalent cu un drum rectificabil este rec-tificabil si are aceeasi lungime.

Definitie: S.n. curba o clasa de drumuri echivalente.

Observatie: Toate aceste notiuni sunt valabile, n particular, pen-tru curbe plane; lungimea unei curbe plane netede este

l(f) =

ba

(x(t))2 + (y(t))2dt.

Lungimea unei curbe plane n coordonate polare = (), [a, b]este

l(f) =

ba

(())2 + (())2d

Exemple: Determinati lungimea unei bucle a cicloidei si a eliceicilindrice.

2. Integrala curbilinie de primul tip

Definitie: Numim multime conexa o multime D pentru care nuexista doi deschisi D1, D2 a.i. D D1 D2, D D1 6= , D D2 6= si D D1 D2 = .Numim domeniu o multime deschisa si conexa.

Definitie: Fie D R3 un domeniu care contine imaginea curbeirectificabile data de (t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b].Fie f : D R. Intervalului [a, b] i asociem o diviziune , un s.p.i si suma

n1i=0

f (x(i), y(i), z(i)) lungimea curbei ntre ti si ti+1

adica

l(f,, ) =

n1i=0

f (x(i), y(i), z(i)) (l(ti+1) l(ti)).

Daca exista limita acestor sume cand 0, atunci spunem cafunctia f este integrabila de-a lungul curbei n raport cu elementulde arc dl.Notatie:

f(x, y, z)dl = limita sumelor integrale de mai sus.

Observatie: Integrabilitatea si valoarea integralei nu depind dedrumul ales ca reprezentant al curbei.

Teorema: Daca functia f este continua si este curba neteda,atunci

f(x, y, z)dl =

ba

f(x(t), y(t), z(t))

(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2dt.

Exemplu: Sa se calculezexyzdl, unde

:

{x(t) = acosty(t) = asintz(t) = bt

, t [0, pi]

Observatie: 1) In cazul plan,

f(x, y)dl =

ba

f(x(t), y(t))

(x(t))2 + (y(t))2dt.

2) In cazul unei curbe date explicit y = g(x), x [a, b],

f(x, y)dl =

ba

f(x, g(x))

1+ (g(x)2)dx.

Exemplu:xydl, unde :

{x(t) = acosty(t) = bsint , t [0, pi]

Interpretarea geometrica a integralei curbilinii de primul tip: aria uneisuprafete.

Aplicatii ale integralei curbilinii de primul tip:

1) lungimea curbei : l() =dl;

2) masa si coordonatele centrului de greutate ale unui fir de grosimeneglijabila, avand, n fiecare punct, densitatea (x, y, z):

M =(x, y, z)dl,

xG =1

M

x(x, y, z)dl, yG =1

M

y(x, y, z)dl, zG =1

M

z(x, y, z)dl.

2) n cazul particular al unui fir omogen (x, y, z) = :

M = l(), xG =1

l()

xdl, yG =1

l()

ydl, zG =1

l()

zdl.

Exemplu: Determinati masa si centrul de greutate al firului :{x(t) = acos3ty(t) = asin3t

, t [0, pi2] de densitate = 1.

3. Integrala curbilinie de al doilea tip

Definitie: Numim curba orientata o curba pe care se ia un sens deparcurgere.

Definitie: Fie o curba rectificabila data parametric de(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b] si V : R3 R3 un camp vec-torial. Integrala curbilinie de al doilea tip a functiei vectorialeV (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) de-a lungul curbei +:

+

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz =

=

ba

P (x(t), y(t), z(t))dx(t) +

ba

Q(x(t), y(t), z(t))dy(t)

+

ba

R(x(t), y(t), z(t))dz(t).

Observatie: Existenta si valoarea integralei nu depind de drumulales ca reprezentant al curbei.

Teorema: Daca este curba neteda, atunci+

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz =

=

ba

P (x(t), y(t), z(t))x(t) +

Q(x(t), y(t), z(t))y(t) +R(x(t), y(t), z(t))z(t)dt.

Analog n plan:+

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

ba

P (x(t), y(t))dx(t)+

ba

Q(x(t), y(t))dy(t).

Teorema: Daca este curba plana neteda, atunci+

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

=

ba

P (x(t), y(t))x(t) +Q(x(t), y(t))y(t)dt.

Echivalent: Fie r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k vectorul de pozitie al unuipunct de pe imaginea curbei. Atunci dr(t) = dx(t)i+dy(t)j+dz(t)ksi Pdx+Qdy+Rdz = V dr, deci integrala curbilinie de al doilea tip afunctiei vectoriale V de-a lungul curbei + poate fi scrisa

+V dr.

Interpretarea fizica: lucrul mecanic efectuat de forta data de vec-torul V (x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k asupra unuipunct material ce se deplaseaza pe curba .

Definitie: Integrala curbilinie de al doilea tip a functiei vectorialeV (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) de-a lungul curbei :

Pdx+Qdy+Rdz = +

Pdx+Qdy+Rdz.

Observatie: Pentru curbe nchise se foloseste notatia

Pdx+Qdy+Rdz.

4. Independenta de drum a integralei curlinii

Problema: n ce conditii integrala curbilinie nu depinde decat decapetele curbei, nu si de drumul dintre ele?

Definitie: 1) Un domeniu D din plan s.n. simplu conex daca acestacontine, odata cu orice curba simpla si nchisa din D, portiunea deplan delimitata de curba.2) Un domeniu D din spatiu s.n. simplu conex daca, pentru oricecurba simpla si nchisa din D, exista o suprafata continuta n Davand ca frontiera curba data.

Teorema: Fie (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) o functie vectorialade variabila vectoriala, definita pe un domeniu simplu conex. Atunci

interala curbilinie de al doilea tip BAP (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy +

R(x, y, z)dz este independenta de drum d.d. forma diferentialaP (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz este DTE.

Observatie: Conditia ca D sa fie domeniu simplu conex esteesentiala.

Exemplu: Fie D coroana circulara cuprinsa ntre cercurile centraten origine, de raze 1

2, resp. 2 si cercul unitate, care este curba

nchisa continuta n D. Fie de asemenea

V (x, y) = yx2 + y2

i+x

x2 + y2j,

care este continua.

Exemplu: Verificati independenta de drum si calculati valoarea in-tegralei curbilinii de al doilea tip (2,1,5)

(0,0,0)

x2dx+ydy zzdz.

Integrala dubla

Definitie: Fie D R2 un domeniu. Numim domeniu nchis undomeniu mpreuna cu frontiera sa. Un domeniu nchis care este simarginit s.n. domeniu compact.

Observatie: Un domeniu compact cu frontiera curba neteda peportiuni are arie.

Definitie: Fie D R2 un domeniu compact cu frontiera curbaneteda pe portiuni.

Numim diviziune a domeniului D o familie = (D1, ..., Dn) dedomenii compacte cu frontiere netede pe portiuni a caror reuni-une acopera domeniul D, avand interioarele disjuncte doua catedoua.

Numim norma diviziunii cel mai mare dintre diametrele multimilorD1,..., Dn.

Consideram = (1, ..., n) un s.p.i asociat diviziunii si sumaintegrala

(f,, ) =

ni=1

f(1i , 1i ) aria(Di).

Functia f s.n. integrabila pe domeniul D daca exista limita sumelorintegrale cand 0, independent de alegerea s.p.i. Se noteazacu

D

f(x, y)dxdy = lim0

(f,, ).

Interpretare geometrica: volumul unui corp cilindric n spatiu.

Teorema: O functie continua pe un domeniu compact cu frontieracurba neteda pe portiuni este integrabila.

Calculul integralei duble:

I. D = [a, b] [c, d] interval bidimensional:Teorema: Fie f : [a, b] [c, d] R o functie marginita. Daca:1) f este integrabila pe [a, b] [c, d];2) pentru orice x [a, b], exista

dcf(x, y)dy = F (x)

atunci F este integrabila pe [a, b] si ba

F (x)dx =

D

f(x, y)dxdy.

Observatie: 1) Teorema anterioara afirma caD

f(x, y)dxdy =

ba

( dc

f(x, y)dy

)dx.

2) Analog se demonstreaza ca, n conditii de integrabilitate,D

f(x, y)dxdy =

dc

( ba

f(x, y)dx

)dy.

3) In particular, daca f(x, y) = g(x) h(y), atunciD

f(x, y)dxdy =

ba

g(x)dx dc

h(y)dy.

Exemplu: Sa se calculeze volumul cilindrului care se sprijina pedomeniul D = [1,1] [0,1] din planul (xOy), marginit superior desuprafata de ecuatie z = x2 + y2.

II. D este domeniu simplu n raport cu una dintre axele de coordo-nate:

Definitie: Un domeniu plan este simplu n raport cu axa Oy dacaeste caracterizat de x [a, b], y [1(x), 2(x)], functiile 1, 2 fiindcontinui.

Teorema: Fie D un domeniu plan compact, simplu n raport cuaxa Oy, dat de x [a, b], y [1(x), 2(x)]. Fie f : D R marginita.Daca:1) f este integrabila pe D;

2) pentru orice x [a, b], exista 2(x)1(x)

f(x, y)dy = F (x)

atunci F este integrabila pe [a, b] si ba

F (x)dx =

D

f(x, y)dxdy.

Observatie: 1) Analog daca domeniul este simplu n raport cu axaOx, dat de y [c, d], x [1(y), 2(y)]:

D

f(x, y)dxdy =

dc

( 2(y)1(y)

f(x, y)dx

)dy.

2) Daca domeniul nu este simplu n raport cu nici una dintre axe,l putem descompune, prin paralele la axe, n domenii de aceastaforma.

Exemplu: Sa se calculeze

Dxydxdy, D fiind domeniul plan limitat

de parabola y = x2 si de dreapta y = 2x+3.

Formula Riemann-Greenstabileste o legatura ntre integrala dubla si integrala curbilinie.

Teorema: Fie P,Q : D R doua functii continui pe domeniul planD avand proprietatea ca derivatele partiale

P

ysiQ

xsunt continui.

Atunci

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

D

(Q

x Py

)dxdy,

unde curba nchisa este frontiera domeniului D.

Consecinta: Daca frontiera domeniului D este curba neteda peportiuni, atunci domeniul are arie si

aria(D) =

D

dxdy =

D

(1

2+

1

2

)dxdy =

1

2

xdy ydx.

Exemple: 1) Calculati aria elipsei.2) Calculati

xy2dx+ x2ydy.

Schimbarea de variabila n integrala dubla:

Consideram transformarea regulata a domeniului compact cu fron-tiera curba simpla, nchisa, neteda pe portiuni D n domeniul Ddata de

x = (u, v) y = (u, v), (u, v) D.

Transformarea este directa daca determinantul Jacobian D(,)D(u,v)

este

pozitiv si este o transformare inversa n caz contrar.

Teorema: Daca f : D R este continua, atunciD

f(x, y)dxdy =

Df((u, v), (u, v))

D(, )D(u, v)

dudv.Lema: Aria(D) =

D

dxdy =

D

D(, )D(u, v)

dudvExemplu: Calculati

D(x y)dxdy, D fiind domeniul plan definit

de:

{x2 + y2 1x2 + y2 4y x

.

Aplicatii ale integralei duble:

1) Aria unui domeniu plan: aria(D) =

Ddxdy.

2) Masa unei placi de grosime neglijabila: M =

D(x, y)dxdy

Coordonatele centrului sau de greutate:

xG =1

M

D

x(x, y)dxdy si yG =1

M

D

y(x, y)dxdy.

Observatie: Daca placa este omogena, atunci M = aria(D),xG =

1

aria(D)

D

xdxdy si yG =1

aria(D)

D

ydxdy.

Exemplu: Determinati masa si coordonatele centrului de greutate

al placii omogene data dex2

a2+y2

b2 1, y 0.