Curs 8

Sisteme de ecuatii diferentiale omogene, liniare, de

ordinul ^nta^i, cu coecienti constanti

(Continuare)

3. Ecuatia caracteristica are si radacini reale si radacini complexedistincte

I^n aceasta situatie se aplica metoda corespunzatoare situatiei ^n care radacinile ecuatieicaracteristice sunt reale si distincte pentru radacinile reale si metoda corespunzatoare situatiei^n care radacinile ecuatiei caracteristice sunt complexe si distincte pentru radacinile complexe.

Exemplu

Sa se rezolve sistemul de ecuatii diferentiale8

cu solutia 1 2 R, 2 = 1, 3 = 21. Considera^nd 1 = 1, obtinem r1 =0@ 11

2

1A, deciXr1 =

0@ 1 e0t1 e0t2 e0t

1A =0@ 11

2

1A.Pentru r2 = 1 + i, sistemul (1) devine8

Rezolvare

Cautam solutii de forma

x1 = 1ert; x2 = 2e

rt; x3 = 3ert:

Atunci sistemul din care obtinem ecuatia caracteristica devine8

=0@ c1e2t c2et c3etc1e2t + c2etc1e

2t + c3et

1Adeci solutia sistemului este

x1 = c1e2t c2et c3et

x2 = c1e2t + c2e

t

x3 = c1e2t + c3e

t

4b) Radacinile reale multiple nu determina solutii liniar independente

Exemplu

Sa se rezolve sistemul de ecuatii diferentiale8

Pentru r2 = 3, sistemul (4) devine8>>>>>>>>>:

3A2 = A2 +B23B2 = B2 + 4C23C2 = A2 C2A2 3A1 = A1 +B1B2 3B1 = B1 + 4C1C2 3C1 = A1 4C1

Din primele trei ecuatii obtinem

A2 2 R; B2 = 2A2; C2 = A2;iar din ultimele trei ecuatii

A1 2 R; B1 = A2 2A1; C1 = A1 C2:Pentru A1 = 0 si A2 = 1, obtinem B2 = 2; C2 = 1; B1 = 1; C1 = 1, deci

x1 = te3t

x2 = e3t 2te3t

x3 = e3t + te3t:

Obtinem

Xr2 =

0@ 0e3te3t

1A ; Xr3 =0@ te3t2te3t

te3t

1A5

Atunci solutia generala a sistemului este

X = c1Xr1 + c2Xr2 + c3Xr3 =

0@ 4c14c1c1

1A+0@ 0c2e3t

c2e3t

1A+0@ c3te3t2c3te3t

c3te3t

1A

=

0@ 4c1 + c3te3t4c1 + c2e3t 2c3te3tc1 c2e3t + c3te3t

1Adeci solutia sistemului este

x1 = 4c1 + c3te3t

x2 = 4c1 + c2e3t 2c3te3t

x3 = c1 c2e3t + c3te3t

6