Curs2 Structuri Avansate Pentru Cautare

Curs 2

Structuri de date avansate pentru cautare2-3 arboriB-arboriarbori bicoloriTabele hashArbori digitali

2-3-arbori: definitie

orice nod intern v are 2 copii (este de aritate 2) sau 3 copii (este de aritate 3)

valStg valStg valMij

subarbore

stanga

subarbore

mijlociu

subarbore

dreapta

p->stg p->drpp->mij

2-3-arbori : definitie

pentru orice nod v de aritate 2, valorile memorate in subarborele stinga < vvalStg < valorile memorate in subarborele mijlociu

valStg

x < valStg valStg < y


pentru orice nod v de aritate 3, valorile memorate in subarborele stinga < vvalStg < valorile memorate in subarborele mijlociu < vvalMijl < valorile memorate in subarborele dreapta

valStg valMij

x< valStg

valStg<

y <

valMijvalMij<z


toate nodurile de pe frontiera au acelasi nivel

h

h

cautare in 2-3-arbore

function poz23Arb(t, a)

begin

p twhile (p != NULL) do

switch(cmp(a, p))

case 1: p p->stg; break;case 2: p p->mij; break; case 3: p p->drp; break;case 4: return p;

return p

end

inserare in 2-3-arbore

35

10; 20 40; 50 70; 90; 110; 120

30; 60 100;

80;

50; 35; 10; 20 70; 90; 110; 120

30; 60 100;

80;

40

50; 35;

inserare 2-3-arbore (continuare)

40; 80

10; 20 50; 70; 90; 110; 12035;

100; 60; 30;

60; 30;

10; 20 50; 70; 90; 110; 12035;

100;

80;

40


subprograme necesareradNoua(t, x, q)

• creeaza o noua radacina cu cheia xt: intrare – rad subarb. stg. iesire – noua rad.q rad. subarb. drp

poz23ArbMod(t, x, s)• memoreaza drumul de la radacina la x in stiva s

insInNod(p, x, q)• insereaza x innodul p

parametri sunt similari subprogramului radNoua()imparte(p, x, q)

• sparge un nodparametri sunt similari subprogramului insInNod()


procedure ins23Arb(t, x)begin if (t == NULL) then radNoua(t, x, NULL) else p = poz23ArbMod(t, x, s) if (p == NULL) then throw ”x in t” else q NULL while(true) do if (p->valMij = ) then insInNod(p, x, q); break imparte(p, x, q) if (p = t) then radNoua(t, x, q); break;

else p = top(s); pop(s);end

stergere 2-3-arbore

daca elemntul sters nu se afla intr-un de pe frontiera, atunci se poate interschimba cu un vecin aflat pe frontiera

vecinul cu care face interschimbarea se poate face ca la arborii binari de cautare

asa ca putem considera numai cazul cand elementul care se sterge se afla pe frontiera

stergere 2-3-arbore

70; 10; 20 50; 90; 110; 12035;

100; 60; 30;

40; 80

50; 6010; 20 90; 110; 12035;

100; 30;

40; 80

stergere 2-3-arbore: combinare

30; 40

80;

10; 20 35; 50; 60 90; 110; 120

100;

50; 6010; 20 90; 110; 12035;

100; 30;

40; 80

combina

stergere 2-3-arbore: rotatie

100; ; 30; 40

50; 80

100; 50; 30;

40; 80

60

roteste dreapta

stergere 2-3-arbore

modifica p atat timp cat p are zero elemente && p nu e radacina

fie r radacina lui pfie q fratele lui p (stg. sau drp. dupa caz)daca q este de aritate 3

atunci roteste

altfel combina

r devine p

Exercitiu: Sa se scrie procedura de stergere

Teorema

Clasa 2-3-arborilor este O(log n)-stabila.

2-3-4-arbori

sunt generalizari ale 2-3 arborilorun nod intern poate avea 2, 3 sau 4 copiiun nod cu 4 copiii va memora 3 cheise mentin proprietatile de arbore de cautare si aceeasi inltime

pentru toate nodurile de pe frontiera ca si in cazul celorlalti abori de cautare, exista doua moduri de

implementare:elementele multimii memorate in nodurile interne (si frunze)elementele multimii doar in nodurile frunza (pe frontiera)

inserarea se face tot prin spargerea nodurilorla momentul inserarii si propgarea spre radacinasau in timpul cautarii, fiecare nod plin este spart in doua

Arbori de cautare pe M-cai

generalizare de la 2-3 si 2-3-4 la M un nod poate avea n copii cu 2 <= n <= M numarul de chei memorate intr-un nod este n-1; cheile k1,..., kn-1

sunt ordonate crescator are proprietatea de arbore de cautare:

elementele memorate in subarborele Ti sunt mai mici decat cheia ki

elementele memorate in subarborele Ti+1 sunt mai mari decat cheia ki

B-arbori - motivatie

Un index ordonat este un fisier secvential. Pe masura ce dimensiunea acestuia creste, cresc si dificultatile de administrare

un acces la disc este mult mai scump decat executia unei instructiuni ( 200,000 instructiuni)

memoria secundara (discul) este divizata in blocuri egale (512, 1024, 2048 etc)

o operatie I/O transfera un bloc scopul este de a minimiza numarul de accesari ale discului Solutia: indexarea pe mai multe nivele .

un posibil instrument : B arborii (arbori de cautare multicai)

Organizarea pe nivele a indexului

B-arbori

sunt arbori de cautare pe M-cai cu proprietatipresupunem ca M = 2f

• f = factorul de minimizare

• ordinul arborelui este 2f-1fiecare nod intern are cel putin un numar de f-1 chei (f fii) si

cel mult 2f-1 chei (2f fii)doar radacina poate avea mai putin de f fiilungimea oricarui drum de la radacina la o frunza trebuie sa

fie aceeasi (generalizeza 2-3 si 2-3-4 arborii)

B-arbore: structura unui nod

Optimizarea accesului la disc

Daca fiecare nod necesita accesarea discului atunci B-arborii vor necesita numar minim de astfel de accesari

Factorul de minimizare va fi ales astfel incat dimensiunea unui nod sa corespunda unui multiplu de blocuri ale dispozitivului de memorare

Aceasta alegere optimizeaza accesarea discului

Inaltimea h a unui B-arbore cu n > 0 chei si f > 1 este

h <= logf[(n+1)/2]

B-arbori: cautarea

function B-Tree-Search(v, k)

i 0;

while (i < v->nrChei k > v->cheie[i]) do i i + 1

if (i <= v->nrChei k = v->cheie[i] ) then return (v, i)

if (v->tipNod = frunza) then return NULL

citesteDisk(v->fiu[i])

return B-Tree-Search(v->fiu[i], k)

end

B-arbori: insertia

Pentru a efectua o insertie intr-un B-arbore trebuie intai gasit nodul in care urmeaza a se face insertia. Pentru aceasta se aplica un algoritm similar cu BTree-

Search. Apoi cheia urmeaza a fi inserata

Daca nodul determinat anterior contine mai putin de 2f-1chei se face inserarea

Daca acest nod contine 2f-1 chei urmeaza spargerea acestuia• Procesul de spargere poate continua pana in radacina • Pentru a evita doua citiri de pe disc ale aceluiasi nod,

algoritmul sparge fiecare nod plin (2f-1 chei) intalnit la parcurgea top-down in procesul de cautare a nodului in care urmeaza a se face inserarea

Timpul de spargere a unui nod este O(f) Rezulta pentru insertia complexitatea timp O(f log n)

B-arbori: eliminarea

daca nodul gazda a cheii ce urmeaza a fi stearsa nu este frunza, atunci se efectueaza o interschimbare intre acesta si succesorul sau in ordinea naturala a cheilor. Se repeta operatia pana se ajunge intr-o frunza, care devine nod curent;

se sterge intrarea corespunzatoare cheii; daca nodul curent contine cel putin f-1 chei, operatia de stergere

se considera terminata; daca nodul curent contine mai putin decat f-1 chei se considera

fratii vecini; daca unul din fratii vecin are mai mult decat f-1 chei, atunci se

redistribuie una dintre intrarile acestui frate in nodul parinte si una din intrarile din nodul parinte se redistribuie nodului curent (deficitar);

daca ambii fratii au exact f-1 chei, atunci se uneste nodul curent cu unul dintre fratii vecini si cu o intrare din parinte;

daca nodul parinte devine deficitar (contine mai putin decat f-1 chei) acesta devine nod curent si se reiau pasii 5-6.

Arbori bicolori

un arbore bicolor este caracterizat de urmatoarele proprietati:sint arbori binari de cautare in care nodurile pendante

(coresp. intervalelor) fac parte din structurafiecare nod este colorat cu negru sau rosutoate nodurile de pe frontiera sint negredaca un nod este rosu atunci ambii fii ai acelui nod sint

negripentru orice nod v, toate drumurile simple care pleaca din

acel nod si se opresc intr-un nod de pe frontiera, au acelasi numar de noduri negre

Exemplu de arbore bicolor

70

40

20 60

50

100

80

90

110

arbori bicolori - proprietati

Notatiebh(x) = numarul de noduri negre aflate pe un drum din x pe

frontiera (x nu se considera)bh(x) nu depinde de drum (ultima conditie)

12 )( xbh

Lema

Subarborele cu radacina in x contine cel putin

noduri interne.

TeoremaInaltimea unui arbore bicolor este cel mult 2log(n + 1).

TeoremaArborii bicolori sint echilibrati.

arbori bicolori - inserare

2

1

14

11

7

8

15

4

5

x

y

unchiul lui x

recolorare


unchiul lui x

roteste stanga

2

1

14

11

7

8

15

4

5

x

y


7

1

14

11

2 8 15

4

5

x

y

unchiul lui x

roteste dreapta


7

1 14

11 2

8

15 4

5

recoloreaza


7

1 14

11 2

8

15 4

5

Hashing (dispersie) Tipul de data abstract TabelaDeSimboluri

entitati de tip data: o colectie de perechi (nume, atribute) in care numele identifica unic perechea

operatii:• Atribut(TS, nume) – cauta numele in tabela TS

numele nume si intoarce atributele acestuia (daca il gaseste)

• Insereaza(TS, nume, atribut)- insereaza in tabela TS perechea (nume, atribut)

• Elimina(TS,nume) – cauta in tabela TS numele nume si daca-l gaseste il elimina impreuna cu atributele sale.

Hashing (dispersie)

Implementarea prin tehnica dispersieistructura de date

• o tabela (hash sau de dispersie) T[0..p-1] cu p numar prim de obicei

• o functie hash h: mult. numelor [0..p-1]

Hashing (continuare I)

operatii• cautarea

i = h(nume)if (T[i] )then return T[i]->atrib

• inserareai = h(nume)if (T[i] )then throw “ERR: coliziune”else T[i]->atrib atribut

• eliminareai = h(nume)if (T[i] )then T[i]

Hashing (continuare II)

Alegerea functiei hash h(x) = x % p h(64747488289) = (647+4748+8289)%p daca x este sir:

unsigned hashVal=0;

while (*x != ‘\0’)

hashVal = (hashVal << 5) + *x++;

return hashVal % p

Hashing (continuare III)

coliziuneainlantuire

• numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor cu succes = 1 + b/2, unde b = #S/p este factorul de incarcare al tabelei

adresare deschisa liniara

• se cerceteaza pe rind pozitiile

h(x,i), i = 0,1,2, ...

unde h(x,i) =(h1(x)+i) % p• numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor

FARA succes = 1/(1-b)

• numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor CU succes = ½(1 + 1/(1-b))

Arbori digitali - I

Cazul cheilor de aceeasi lungimeS = {102, 120, 121, 210, 211, 212}

Arbori digitali - II

algoritmul de cautare

function poz(a, m, t)

i 0 p t while ((p != NUL) && (i<m)) do

p succ[a[i]] i i+1 return p

end

Arbori digitali - III

Cazul cheilor de lungime diferita

Arbori digitali - IV

compactarea lanturilor

Arbori digitali - V

Inserarea lui 0111 in structura compactata

Arbori digitali - VI

Eliminarea lui 1011 in structura compactata

Curs2 Structuri Avansate Pentru Cautare

Documents

Transcript of Curs2 Structuri Avansate Pentru Cautare