Separarea tensiunilor principale la prelucrarea rezultatelor obinute prin fotoelasticimetrie

1. Recapitularea unor noiuni de baz din teoria fotoelasticitii

Evaluarea strii de tensiuni dintr-o structur prin metoda fotoelasticitii se bazeaz pe apariia fenomenului de birefringen temporar (accidental) la materiale transparente, optic active, atunci cnd sunt supuse unor solicitri mecanice. n stare netensionat materialul modelului este izotrop din punct de vedere optic, adic are acelai indice de refracie n0 n orice direcie.

Maxwell a formulat legea calitativ a fotoelasticitii conform creia axele optice principale dintr-un punct al modelului solicitat coincid cu direciile tensiunilor principale din acel punct.

Legea cantitativ a fotoelasticitii a fost formulat n 1853 tot de ctre Maxwell prin relaii ce leag starea de tensiuni din model (1 , 2) de efectul optic produs de solicitare

221101 CCnn = , (1)122102 CCnn = , (2)

unde n1 i n2 sunt indicii de refracie de-a lungul direciilor principale.Scznd membru cu membru relaiile de mai sus se obine legea efortului optic

C

nn 2121

= , (3)

n care 21 CCC += este coeficientul de efort optic al materialului fotoelastic.Unda electromagnetic luminoas cu perioada T se propag cu viteza =c 2,997108 m/s,

avnd lungimea de und cT= . (4)

Cnd unda intr n materialul optic activ, solicitat mecanic, este descompus (pe direciile principale) n dou componente care traverseaz grosimea h a modelului cu vitezele

11 n

c= ,

22 n

c= , (5)

adic n timpii

11

1 nchht ==

, 2

22 nc

hht ==

, (6)

Dup ieirea din model ntre cele dou componente exist o diferen de faz unghiular i o diferen de drum optic , care au expresiile

( ) ( )2121 22 nnhttT == pipi , (7)

( )212 nnh == pi . (8)

Din (3) i (8) rezult ( )21 = hC . (9)

n polariscopul circular, franjele de interferen numite izocromate sunt locuri geometrice ale punctelor n care diferena tensiunilor principale este constant. n punctele aparinnd izocromatei de ordin k este ndeplinit condiia de stingere

k= . (10)Din (9) i (10) se deduce ecuaia izocromatelor

021 =

=

khC

k , (11)

unde hC

=0 este constanta fotoelastic a modelului, care se msoar n N/mm2/franj.

Pentru compararea a dou materiale fotoelastice din punct de vedere al sensibilitii se utilizeaz constanta fotoelastic a materialului definit prin relaia

Ch == 00 . (12)

Valoarea contantei 0 este egal cu tensiunea necesar pentru modificarea ordinului de band cu o unitate ntr-un punct al unui model cu grosime egal cu unitatea.

Admind c exist relaii liniare ntre tensiunile i deformaiile modelului

( )2121 1 vvE

+

= , (13)

( )1222 1 vvE

+

= , (14)

relaia (9) se poate scrie i sub forma ( )21 = hC , (15)

Scznd (14) din (13) rezult

( )2121 1 += vE

. (16)

Din (9), (15) i (16) se deduce

vECC

+=

1

. (17)

Substituind (10) n (15) obinem ecuaia izocromatelor n deformaii specifice principale

021

khC

k == , (18)

unde 0 este constanta fotoelastic de deformaie modelului, iar 00 = h , constanta fotoelastic de deformaie a materialului fotoelastic.

ntre constantele de material 0 i 0 exist relaia( )E

v+=

100

. (19)

Prin tehnica fotoelasticitii bidimensionale se obin familii de curbe izocline i izocromate. Izoclinele reprezint locuri geometrice ale punctelor n care tensiunile principale sunt paralele cu axele polarizorului i analizorului. Dac polarizorul i analizorul sunt rotite simultan astfel ca axele lor s rmn perpendiculare, se obin noi familii de izocline.

Conform relaiei (11), izocromatele sunt locuri geometrice ale punctelor n care diferena tensiunilor principale este constant. Dac se cunoate valoarea constantei de efort 0 , dup

identificarea ordinelor de band ale izocromatelor, se pot determina imediat tensiunile tangeniale maxime de-a lungul acestor franje, deoarece max21 2 = .

2. Determinarea tensiunilor pe conturul nencrcat al unui model fotoelastic

Pentru c un contur nencrcat (fig. 1) este liber de tensiuni, adic 02 == , din (11) rezult c pe direcia tangentei la contur acioneaz tensiuni 1 ce se pot evalua cu ajutorul relaiei

01 k= , (20)n punctele n care izocromatele cu diferite ordine de band intersecteaz conturul.

Fig. 1

3. Separarea tensiunilor principale prin metoda Frocht

Dac forele masice (datorate gravitaiei sau ineriei) au efecte neglijabile ecuaiile difereniale de echilibru n cazul strii plane de tensiuni sunt

0=

+

yxxyx , (21)

0=

+

yxyyx . (22)

Determinarea tensiunilor principale pe direcia Ox se va face pe baza ecuaiei (21), pornind dintr-un punct n care sunt cunoscute (situat, de exemplu, pe conturul modelului). Ecuaia se scrie sub forma aproximativ

0=

+

== constx

xy

consty

xyx ,

sau xy constx

xyx

=

=

, (23)

care, pentru o pereche de puncte 0 i 1 situate pe axa Ox (fig. 2) se scrie sub forma

xy

bxyaxyxxx

==

,,0,1,10 .

Din aceast relaie deducem

( )bxyaxyxx yx

,,0,1,

= . (24)

ntre tensiunile principale i componentele i pe o direcie nclinat (fig. 3) exist relaiile

icos

++

= 222

2121 , (25)

isin

= 22

21 . (26)

ntr-un punct n care se intersecteaz o izocromat cu o izoclin se poate determina pentru c se cunoate diferena tensiunilor principale (conform ecuaiei (11) a izocromatelor) i este determinat parametrul izoclinei i .

Fig. 2 Fig. 3

Dac Ox este normal la contur, atunci 0002 == ,x, . Dac Oy face unghiul 0 cu tangenta la contur, atunci din (25) se deduce

( ) 020,10,100, sin2cos121 ==x , (27)

unde 01, are direcia tangentei la contur n originea sistemului xOy.Dup cum s-a artat mai sus variaia tensiunii tangeniale pe intervalul 0-1, adic

consty= 01 se determin la mijlocul intervalului. Se procedeaz similar pentru intervalul i-1 - i . Lund yx = , relaia de recuren de tipul (24) se poate generaliza sub forma simplificat

( )2

1 1 ii xxx)CD(,xy)AB(,xyi,xi,x+

=

= , (28)

( n,...,,i 21= ).Prin alegerea convenabil a pasului reelei yx = se poate plasa ultimul punct al seriei

(n) tot pe un contur al modelului unde se cunosc tensiunile i se poate efectua verificarea corectitudinii calculului.

Dac n (25) se nlocuiete cu x i se ine seam de faptul c suma tensiunilor normale ntr-un punct este un invariant, adic yx +=+ 21 se deduce

iyx

x cos

++

= 222

21 , (29)

Avnd n vedere aceast relaie i ecuaia izocromatelor 021 = k , se gsete formula cu care vor fi calculate tensiunile y (n puncte n care au fost deja determinate tensiunile x )

ixy cosk = 0 . (30)

Dac ntr-un punct au fost calculate tensiunile x i y i se cunoate ordinul de band al izocromatei care trece prin acel punct, atunci se pot determina tensiunile principale ca soluii ale sistemului de ecuaii

021 = k ,yx +=+ 21 ,

adic

( )01 21 ++= kyx , (31) ( )02 21 += kyx . (32)

Pentru c, de regul, izoclinele i izocromatele trec printre nodurile reelei cu pas yx = , calculul este destul de laborios i se bazeaz pe interpolare grafic pe o imagine n care

se suprapun cmpurile de izocromate i izocline.

Metoda lacurilor fotoelastice

Aceast metod, numit i fotoelasticitate prin reflexie, a fost folosit pentru prima dat de Mesnager n 1930. Piesa de studiat este pregtit prin curare i prin aplicarea unei vopsele reflectorizante n zona de interes. Ulterior se aplic un strat fotoelastic prin pulverizare sau sub form de folie din material fotoelastic ce se muleaz i se lipete pe pies.

Deformaiile datorate ncrcrilor se transmit de la pies la stratul fotoelastic. Imaginea izocromatelor se observ cu ajutorul unui polariscop special cu reflexie. Schema din figura 4 arata c acesta area aceleai componente ca i polariscopul plan dar este mult mai compact (fig. 5). La cele mai simple variante, razele incident i reflectat trec prin aceeai lentil, care are att rol de polarizor ct i de analizor, existnd o singur lam sfert de und (/4). Faptul c echipamentul este portabil este foarte convenabil, deoarece aplicaiile industriale presupun determinri pe componente de structuri i instalaii n condiii reale sau simulate de funcionare.

Fig. 4 Fig. 5

n funcie de nivelul deformaiilor, care vor aprea n piese, se utilizeaz una dintre tehnicile de aplicare a straturilor fotoelastice, descrise mai jos.

a) n cazul deforma iilor mari ( n piese din material cu modul de elasticitate sc zut sau piese deformate plastic), lacul se pulverizeaz pe piesa nclzit la 50100 o C p n ce se ob ine un strat cu grosime de 0,250,5 mm.

b) Dac defoma iile specifice n pies nu dep esc 3% i zona de interes are suprafa plan, se folosesc folii plane subiri din material fotoelastic din care se decupeaz poriuni de form i dimensiuni potrivite, care se lipesc pe pies cu adeziv reflectorizant.

c) Pentru acoperirea structurilor cu suprafe e curbe se toarn material fotoelastic ntr-o ram aezat pe o sticl plan orizontal. Se obine o folie care n stare semipolimerizat (la circa o or de la turnare, la temperatur ambiant) se desprinde uor de pe sticl i se poate mula pe pies pe care rmne pn la ntrire. Dup desprindere i degresare, folia curbat se lipete pe pies cu adeziv reflectorizant.

Dac aderena este bun i stratul fotoelastic foarte subire, se poate admite c deformaiile acestuia sunt egale cu cele din pies n puncte situate pe aceeai normal (la suprafaa piesei i la suprafaa stratului fotoelastic), adic

sl 11 = sl 22 = , (33)

unde ll 21 , i ss 21 , sunt deformaii specifice principale n lacul fotoelastic i n structur. n ecuaiile fizice ale elasticitii plane

( )lll

ll E 211

1 =

, ( )lll

ll E 122

1 =

, (34)

( )sss

ss E 211

1 =

, ( )sss

ss E 122

1 =

, (35)

intervin parametrii elastici ai lacului fotolelastic ( llE , ) i ai piesei ( ssE , ). Substituind (34) i (35) n (33) i rezolvnd sistemul obinut n raport cu l1 i l2 deducem

( ) ( ) ( )[ ]sslssllsl

l vvvvvEE

2121 11 +

=

, (36)

( ) ( ) ( )[ ]sslssllsl

l vvvvvEE

1222 11 +

=

, (37) Scznd (37) din (36) se obine

( )ss

l

s

s

lll v

vEE

2121 11

+

+=

. (38) Avnd n vedere c lumina traverseaz de dou ori stratul fotoelastic, grosimea acestuia trebuie dublat n ecuaia izocromatelor, care, lund n considerare relaia (12), va avea forma

hk

hCkll 22

021

=

=

. (39) Substituind (39) n (38) deducem o relaie de baz prelucrarea datelor obinute prin fotoelasticimetrie prin reflexie

k

hvv

EE

s

l

l

sss

+

+=

211 0

21. (40)

Conform acestei relaii diferena tensiunilor principale la suprafaa structurii se poate stabili dac s-a fcut etalonarea lacului (fig. 6), s-a identificat ordinul de band n punctul de interes (de exemplu, ntr-o zon de concentrare a tensiunilor ca n figura 7) i sunt cunoscui

parametrii elastici llE , , ssE , . Separarea tensiunilor se poate face prin metoda Frocht care a fost descris ntr-un paragraf anterior.

Fig. 6 Fig. 7

La calibrare se are n vedere faptul c n punctul vizat de polariscop pe poriunea de lac fotoelastic de grosime h depus pe lamela cu modul de rezisten la ncovoiere W (fig.6), predomin ntinderea cu o tensiune calcl ,1 ce se poate calcula aproximativ cu formula lui Navier, iar a doua tensiune principal este nul. Ca urmare, dac se nlocuiesc n (39)

WFlcalcll /,11 == i 02 = l , rezult succesiv

hkcalcl 2

0,1

=

, (41)din care se deduce constanta materialului fotoelastic

kh

calcl2

,10 = . (42)

La mrirea progresiv a forei aplicate, n punctul vizat de polariscop se produc iluminri i ntunecri succesive. Ordinul de band k asociat unei anumite valori a forei F se stabilete avnd n vedere c ntre dou ntunecri succesive ordinul de band al izocromatei crete cu o unitate. Dintre facilitile specifice oferite de metoda fotoelasticitii prin reflexie sunt de reinut:

- identificarea rapid a zonelor intens sau slab solicitate, - localizarea zonelor n care apar deforma ii plastice, - evidenierea efectelor unor schimb ri privind condiii le n care lucreaz structura

(ncrcri, rezemri),- nregistrarea evoluiei n timp a solicitrilor prin filmarea procesului de apari ie a

izocromatelor de ordin din ce n ce mai mare,- e valuarea tensiunilor reziduale dup descrcarea modelului.