ELEMENTE FINITE ELEMENTE FINITE PLANE PLANE

PENTRU PENTRU PROBLEME DE PROBLEME DE

MECANICA MECANICA CONSTRUCTIILORCONSTRUCTIILOR

ABORDAREA PROBLEMELOR ABORDAREA PROBLEMELOR DE MECANICA DE MECANICA

CONSTRUCTIILORCONSTRUCTIILOR Funcţiile necunoscute în Funcţiile necunoscute în problemele de mecanica problemele de mecanica construcţiilor – deplasările construcţiilor – deplasările

Deplasările unui punct ce Deplasările unui punct ce aparţine elementului finit se aparţine elementului finit se exprimă în funcţie de exprimă în funcţie de deplasările nodale prin deplasările nodale prin intermediul matricei funcţiilor de intermediul matricei funcţiilor de formăformă [ [NN].].

Vectorul deformaţiilor specifice Vectorul deformaţiilor specifice se exprimă în funcţie de se exprimă în funcţie de vectorul deplasărilor cu ajutorul vectorul deplasărilor cu ajutorul matricei [B] - specifică pentru matricei [B] - specifică pentru fiecare tip de element finit şi fiecare tip de element finit şi pentru fiecare categorie de pentru fiecare categorie de problemă.problemă.

Pentru comportarea elastică Pentru comportarea elastică tensiunile se determină pe baza tensiunile se determină pe baza relaţiei lui Hooke relaţiei lui Hooke

ProblemeProbleme spaţiale tratate ca spaţiale tratate ca probleme plane → elemente probleme plane → elemente 2D2D

e

zx

yz

xy

z

y

x

dB

zu

xw

yw

zv

xv

yu

zwyvxu

][D

ELEMENT TRINGHIULAR CU 3 ELEMENT TRINGHIULAR CU 3 NODURINODURI

funcţia necunoscută - o mărime vectorială; pentru fiecare componentă există o funcţia necunoscută - o mărime vectorială; pentru fiecare componentă există o funcţie de aproximare de gradul întâi, de forma funcţie de aproximare de gradul întâi, de forma yx 321

~

x,u

y,v

j

k

ui vi

uj

vj

uk

vk

i

kkjjii

kkjjii

vNvNvNv

uNuNuNu

Deformatii Deformatii specifice pentru specifice pentru

starea planastarea plana

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0

x

y

xy

i

i

i j k j

i j k j

k

k

ux x

uvvy y

u vy x y x

uvx

N N N uN N N vy

uy x v

0 0 00

0 0 00 0 0 0

0 0 0

j ji

i j k ji k

i j k

j j ji i k

N NNx x xx

N N N NN NBN N Ny y y y

N N NN N Ny x y x y x y x

0 0 01 0 0 0

2

0 0 01 0 0 0

2

i j k

i j ke

i i j j k k

i k k i i j

k j i k j ie

k j i k k i i k i j j i

b b bB c c c

Ac b c b c b

y y y y y yx x x x x x

Ax x y y y y x x y y x x

1 1 1( ), ( ), ( )2 2 2 , ,

, ,

, ,

i i i i j j j j k k k ke e e

i j k k i i j k i k j

j k i i k j k i j i k

k i j j i k i j k j i

N a b x c y N a b x c y N a b x c yA A A

unde a x y x y b y y c x x

a x y x y b y y c x x

a x y x y b y y c x x

11 12

1

i i

e j j

k k

x yA x y

x y

Matricea B este alcatuita din constante, care sunt coordonatele nodurilorFunctii de forma liniare ->Derivatele functiilor de forma sint constante ->Utilizarea limitata la probleme de pentru care nu se cere C1.

Element patrulater Element patrulater liniarliniar

Principalul rol al functiei de interpolare – sa asigure Principalul rol al functiei de interpolare – sa asigure C0C0

Functie descrisa obligatoriu prin patru termeni → se Functie descrisa obligatoriu prin patru termeni → se introduce un al 4-lea termen ce introduce o variatie introduce un al 4-lea termen ce introduce o variatie parabolicaparabolica

1 2 3 4

1 2 3 4

x y xy

r s rs

x, u

1 2

3 4

x1,y1 -1,-1

x2,y2 1,-1

1,1 x3,y3

-1,1 x4,y4

y, v

r

s

1 2

3 4

1 1 1 1

4 41 1 1 1

4 4

r s r sN N

r s r sN N

Atât coordonatele globale Atât coordonatele globale x, yx, y, cât şi cîmpul deplasărilor nodale , cât şi cîmpul deplasărilor nodale u, vu, v pot fi pot fi exprimate cu ajutorul acestor funcţii de interpolare şi ca urmare şi despre acest exprimate cu ajutorul acestor funcţii de interpolare şi ca urmare şi despre acest element se poate afirma că este izoparametricelement se poate afirma că este izoparametric

1

1

2

1 2 3 4 2

1 2 3 4 3

3

4

4

0 0 0 00 0 0 0

xyx

N N N N yxN N N N xy

yxy

(a) (b)

Dezavantaje: •Laturile se menţin drepte şi după

deformare = un impediment pentru modelarea deformaţiei la încovoiere.

•Alt dezavantaj al acestui tip de element plan este legat de discretizarea structurilor

cu margini curbe.

Element finit cuadratic cu 8 noduri – Element finit cuadratic cu 8 noduri – funcfuncţii de formă în ţii de formă în coordonate coordonate

normalizatenormalizate

x

y

1 2

3

5 6 7

8 4

r

s

Pentru element finit de ordin superior, care are patru noduri în colţurile Pentru element finit de ordin superior, care are patru noduri în colţurile elementului şi patru la mijloacele laturilor:elementului şi patru la mijloacele laturilor:

pe pe o latură sunt trei noduri o latură sunt trei noduri funcţia de aproximare funcţia de aproximare polinom complet de gradul 2polinom complet de gradul 2

elementul are 8 noduri elementul are 8 noduri 8 8 termenitermeni

28

27

265

24321 rssrsrsrsr

aproximarea deplasărilor prin funcţii de grad superior celei pentru descrierea aproximarea deplasărilor prin funcţii de grad superior celei pentru descrierea geometrică – geometrică – elemente supraparametriceelemente supraparametrice element cu laturi rectilinii: pentru descrierea geometrică funcţie liniară, pentru o element cu laturi rectilinii: pentru descrierea geometrică funcţie liniară, pentru o

mai bună aproximare a deplasărilor funcţie pătraticămai bună aproximare a deplasărilor funcţie pătratică gradul funcţiei de interpolare pentru deplasări este mai mic decât gradul gradul funcţiei de interpolare pentru deplasări este mai mic decât gradul

funcţiei de formă folosit pentru aproximarea geometrică - funcţiei de formă folosit pentru aproximarea geometrică - elementeelemente subparametricesubparametrice funcţie de interpolare funcţie de interpolare ptr descriere deplasari ptr descriere deplasari liniară şi funcţie de formăliniară şi funcţie de formă ptr ptr

descriere geometrie descriere geometrie pătratică pătratică

)1)(1(21 ),1)(1(

21

)1)(1(21 ),1)(1(

21

)1)(1)(1(41 ),1)(1)(1(

41

)1)(1)(1(41 ),1)(1)(1(

41

28

27

26

25

43

21

srNsrN

srNsrN

srsrNsrsrN

srsrNsrsrN

8

1

8

1

, iiii yNyxNx 8

1

8

1

, iiii vNvuNu

Descrierea geometriei Aproximarea deplasărilor

funcţii de acelaşi ordin

element izoparametric

MODELAREA FOLOSIND MODELAREA FOLOSIND ELEMENTE PLANE SI LINIAREELEMENTE PLANE SI LINIARE

CONECTAREA CORECTA A CONECTAREA CORECTA A ELEMENTELOR FINITE DE TIP ELEMENTELOR FINITE DE TIP

DIFERITDIFERIT

APLICATIEAPLICATIE

Definirea unui rastru (INSTRUMENETE\LINII RASTRU) si activarea Definirea unui rastru (INSTRUMENETE\LINII RASTRU) si activarea acestuiaacestuia

Fundatie = radier general – placa pe mediu elastic →Fundatie = radier general – placa pe mediu elastic → activarea modul TEREN cu INTERACTIUNE SOL → activarea modul TEREN cu INTERACTIUNE SOL → Citire caracteristici sol din BAZA DE DATE sau completarea coeficientului Citire caracteristici sol din BAZA DE DATE sau completarea coeficientului

de tasare (k) (rigiditate)de tasare (k) (rigiditate) Aplicare Aplicare îîncncăărcari pe suprafata rcari pe suprafata si/si/sau liber sau liber Catalog sabloane si definire sectiuni cadru metalic - europrofileCatalog sabloane si definire sectiuni cadru metalic - europrofile COMPONENTE ELEMENTE 2D - NOD INTERIOR ÎN PUNCTELE DE COMPONENTE ELEMENTE 2D - NOD INTERIOR ÎN PUNCTELE DE

CONTACT DINTRE STALP SI RADIERCONTACT DINTRE STALP SI RADIER CONTROLUL RETELEI DE ELEMENTE FINITE pentru placaCONTROLUL RETELEI DE ELEMENTE FINITE pentru placa

GENERARE RETEA (PROIECT AVANSAT); GENERARE RETEA (PROIECT AVANSAT); pentru vizualizare reţea VIZUALIZARE/ SETARE AFISARE PARAMETRII pentru vizualizare reţea VIZUALIZARE/ SETARE AFISARE PARAMETRII EDITARE RETEA – îndesirea reţelei NUMAR DE EL. FIN. PENTRU UN EL. EDITARE RETEA – îndesirea reţelei NUMAR DE EL. FIN. PENTRU UN EL.

2D…. 2D…. Comparatie intre reteaua generata cu si fara sa se efectueze IMBINAREA Comparatie intre reteaua generata cu si fara sa se efectueze IMBINAREA

ELEMENTE/NODURIELEMENTE/NODURI Definirea unei noi placi + numai dupa definirea unui nou plan de lucru prin Definirea unei noi placi + numai dupa definirea unui nou plan de lucru prin

modificare UCS: INSTRUMENTE/COORDONATE LOCALE/MUTARE UCSmodificare UCS: INSTRUMENTE/COORDONATE LOCALE/MUTARE UCS conectarea placii cu grinzile se face numai de-a lungul marginilor. → conectarea placii cu grinzile se face numai de-a lungul marginilor. →

definirea unor “laturi interioare”: COMPONENTE ELEMENTE 2D/LATURA definirea unor “laturi interioare”: COMPONENTE ELEMENTE 2D/LATURA INTERNAINTERNA