Curs Matematica Si Statistica
-
Upload
rotarparaschiva -
Category
Documents
-
view
132 -
download
9
Transcript of Curs Matematica Si Statistica
3
Cuprins Cursul 1 FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ 5
Cursul 2 ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE 13
Cursul 3 FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE
REALE
21
Cursul 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I 35
Cursul 5 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 43
Cursul 6 SISTEME DE COORDONATE ÎN PLAN 53
Cursul 7 ALGEBRĂ VECTORIALĂ 57
Cursul 8 DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU 65
Cursul 9 CALCUL INTEGRAL (I) 79
Cursul 10 CALCUL INTEGRAL (II) 85
Cursul 11 EVENIMENTE. PROBABILITĂŢI 93
Cursul 12 VARIABILE ALEATOARE 99
Cursul 13 PRELUCRAREA STATISTICĂ A DATELOR
EXPERIMENTALE
111
Cursul 14 TEORIA SELECŢIEI 127
Bibliografie 137
4
5
Cursul 1
FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ
Cuvinte cheie: Derivata şi diferenţiala, Formulele lui Taylor şi Mac-Laurin
FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ
A.
Derivata şi diferenţiala de ordinul I şi superior pentru funcţii reale de o
variabilă reală. Formulele lui Taylor şi Mac-Laurin
Funcţii derivabile
Definiţie Fie f: I→R o funcţie reală definită pe un interval din R şi x0∈I. Funcţia
f este derivabilă în x0 dacă raportul ( ) ( )0
0
xxxfxf
−− are în x0 limită finită. Această
limită se numeşte derivata funcţiei în punctul x0 şi avem notaţia:
( ) ( ) ( )0
0
xx0 xxxfxflimxf
0 −−
=′→
Observaţie Pentru f '(x0) mai avem următoarele notaţii:
dx)x(df 0 , Df(x0), fx(x0).
Teoremă Dacă f : I→R este derivabilă în x0∈I atunci ea este continuă în x0.
Demonstraţie Avem egalitatea :
f (x) = f (x0) + ( ) ( )0
0
xxxfxf
−− (x-x0)
în care aplicăm limx x→ 0
, ∀ x∈I, x ≠ x0 şi avem:
)x(f)x(flim 0xx 0
=→
deoarece f'(x0)(x-x0) x x→ →0
0,
deci funcţia f este continuă în x0∈I.
6
Operaţii cu funcţii derivabile
Teoremă Dacă f,g:I→R sunt derivabile în x0∈I atunci şi suma f + g este
derivabilă în x0∈I şi ∀ x∈I avem relaţia:
[ ]f x g x( ) ( )+ ' x = x0 = f'(x0) + g'(x0)
Teoremă Dacă f, g sunt derivabile în x0∈I, atunci f⋅g este derivabilă în x0∈I şi
avem pentru x∈I, [ ] 0xx)x(g)x(f =′⋅ = f ' (x0)⋅g(x0) + f(x0)⋅g'(x0)
Demonstraţie Fie h(x) = f(x) ⋅ g(x). Avem:
=−−
+−−
=
=−
⋅−⋅=
−−
=′
→→
→→
)x(fxx
)x(g)x(glim)x(g
xx)x(f)x(f
lim
xx)x(g)x(f)x(g)x(flim
xx)x(h)x(hlim)x(h
00
0
xx0
0
xx
0
00
xx0
0
xx0
00
00
= f '(x0)g(x0) + f(x0)g '(x0)
rezultat obţinut adunând şi scăzând f(x0) g(x). Generalizarea este următoarea :
[ ])x(f).....x(f)x(f n21 ⋅⋅ 'x=x0 =
k
n
=∑
1f1(x0)...fk-1(x0)f 'k(x0)fk+1(x0)...fn(x0)
Teoremă Dacă f,g sunt derivabile în x0∈I şi g(x0)≠0 atunci:
)x(g
)x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f
02
0000'
xx 0
′−′=
=
Derivatele funcţiilor elementare
a) f(x) = c (constantă). Folosind definiţia, pentru x0∈R şi x ≠ x0 vom
avea:
⇒=−
=−−
=−−
=′→
0xx
0xxcc
xx)x(f)x(flim)x(f
000
0
xx00
f '(x) = 0, ∀ x∈R
b) f(x) = xn, x∈R, n∈N, x0∈R
0
2n0
1n0
xx0
n0
n
xx0
0
xx0 xx)xxx)(xx(
limxxxx
limxx
)x(f)x(flim)x(f
000 −++−
=−−
=−−
=′−−
→→→
K
7
= limx x→ 0
(xn-1+ xoxn-2 +... +xx02n− + x0
1n− ) = n x01n−
în consecinţă f' (x) = nxn-1, ∀ x∈R.
c) f(x) = cos x
00
0
0
xx0
00
xx
0
0
xx0
0
xx0
xsin2xx
sin
2xx2xxsin
limxx
2xxsin
2xxsin2
lim
xx)xcos()xcos(lim
xx)x(f)x(flim)x(f
00
00
−=+
−
−
−=−
+−−
=
=−−
=−−
=′
→→
→→
în consecinţă (cos x)' = -sin x.
Diferenţiala
Dacă f:I→R, x0∈I, deoarece
)x(fxx
)x(f)x(flim 00
0
xx 0
′=−−
→
vom putea scrie egalitatea )x()x(fxx
)x(f)x(f0
0
0 α+′=−− cu 0)x(lim
0xx=α
→;
egalitatea se mai scrie:
f(x) - f(x0) = (f '(x0) +α(x)) (x -x0) sau
f(x) - f(x0) = f '(x0) (x-x0) + α(x) (x-x0) deci
putem scrie f(x) - f(x0) ≅ f '(x0) (x-x0) şi dacă notăm x - x0 = h sau x = x0
+ h
vom avea
f(x0 + h) - f(x0) ≅ hf '(x0).
Definiţie Funcţia hf '(x0) care este o funcţie liniară de h, se numeşte diferenţiala
funcţiei f în x0 şi se notează df(x0) = hf '(x0), sau putem scrie
df(x) = hf '(x); ∀ x∈R.
Regulile de diferenţiere sunt la fel ca şi regulile de derivare, dar mai întâi facem:
8
Observaţie Dacă f(x) = x; avem df(x) = h⋅1 = dx, deci h = dx, în consecinţă
df(x) = f '(x)dx
d (f±g) = df ± dg
d (fg) = g df + f dg
2gfdggdf
gfd −
=
iar pentru funcţia compusă f(u(x)) avem
d(u(x)) = (f (u(x)))'dx = f '(u)⋅u'(x)dx = =f '(u)du.
Demonstrăm pentru raportul f/g şi vom avea
d (fg-1)(x) = (fg-1(x))'dx =
=f '(x)g-1(x)dx - f(x) g-2(x) g '(x)dx = [g(x) df(x) - f(x) dg(x)]/g2(x)
Formula lui Leibniz
Teoremă Dacă f, g derivabile de n ori pe I atuci f⋅g derivabilă de n ori pe I şi
vom avea
(f.g)(n) =∑=
−n
0k
)k()kn(kn gfC
numită formula lui Leibniz.
Demonstraţie Demonstraţia o facem prin inducţia după n∈R. Deci pentru n = 1
avem :
( ) gfCgfC'gf 11
01 ′+′=⋅ deci (fg)' = f 'g + fg '
Presupunem formula adevărată pentru n-1 şi avem:
(fg)(n-1) = C 01n− f(n-1)g + C 1
1n− f(n-2)g'+...+C 1n1n
−− f⋅g(n-1)
relaţie pe care dacă o derivăm o dată va rezulta:
9
( )
∑=
−−−
−
−−
−−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−−
=+′′+′+=
=+′′+′++=
=+′′+′+′+=
=+′′+′+′+=⋅
n
0k
)k()kn(kn
)2n(21n
)1n(1n
)n(
)2n(11n
)1n(11n
01n
)n(
)2n(11n
)1n(11n
)1n(01n
)n(
)2n(11n
)1n(11n
)1n(01n
)n(01n
)n(
gfC...gfCgfCgf
...gfCgf)CC(gf
...gfCgfCgfCgf...gfCgfCgfCgfCgf
am ţinut cont de formula: kn
1k1n
k1n CCC =+ −
−− şi deci: 1n
11n
01n CCC =+ −− etc.
Formulele lui Taylor şi Mac-Laurin
Fie f: I→R derivabilă de n ori în a∈I, pentru această funcţie definim
polinomul lui Taylor:
)a(f!n
)ax()a(f!1ax)a(f)x(T )n(
n
n−
++′−+= K
gradul polinomului fiind n.
Notăm Rn(x) = f(x) -Tn(x) şi vom avea
f(x) = Tn(x)+Rn(x) numită formula lui Taylor pentru funcţia f în punctul
a∈I, unde Rn(x) = )()!1(
)( 1
ξ+
− +
fn
ax n
cu ξ∈(a, x), ξ = a + θ(x-a), θ∈(0,1) şi f
derivabilă de n+1 ori pe I. Dacă a = 0 vom avea:
)()!1(
)0(!
)0(!1
)0()( )1(1
)( xfnxf
nxfxfxf n
nn
n
θ+
+++′+= ++
K
numită formula lui Mac Laurin.
Aceste formule au aplicaţii la aproximarea funcţiilor sau la calculul unor
limite de funcţii cu nedeterminări.
B.
1. Să se calculeze derivata funcţiei ( )xx3x2)x(f
2
+= .
10
Rezolvare Pentru început vom studia derivabilitatea funcţiei. Observăm că este
suficient să studiem derivabilitatea funcţiei xx)x(g 2= în origine.
0xxlimxxlim0x0x
0x0x
== → →><
adică:
00x
)0(g)x(glim0x
)0(g)x(glim0x0x
0x0x
=−−
=−−
→ →><
Explicitînd modulul obţinem:
<−≥
=0x.pt,x
0x.pt,xxx 3
32
şi
=<−
≥= xx3
0x.pt,x30x.pt,x3
)xx( 2
22 .
Deci
22 )xx(xx2x2)x(f +=+=′ .
2. Să se calculeze derivata de ordinul n pentru funcţia f(x)=ln(1+x).
Rezolvare Derivăm succesiv funcţia f:
f ' (x) =(1+x)-1
f ''(x) =(-1)(1+x)-2
f'''(x) =(-1)(-2)(1+x)-3
…
f(n)(x) =(-1)n-1(n-1)! (1+x)-n,
expresie ce urmează a fi demonstrată prin inducţie după n∈N. Presupunem
adevărată relaţia
f(k)(x) =(-1)k-1(k-1)! (1+x)-k
Vom avea:
f (k+1)(x)= [ f (k+1)]'(x) = (-1)k k!(1+x)-k-1
deci rezultatul verifică axioma inducţiei.
Aplicând formula lui Mac-Laurin obţinem:
11
1n
1nn
n1n
32
)x1(1
)1n(x)1(
nx)1(...
3x
2x
1x)x(f +
+−
θ++−+−+−+−=
3. Să se calculeze după definiţie dervata funcţiei f(x) = cos x2 în punctul x =
x0.
Rezolvare Conform definiţiei şi a proprietăţilor funcţiilor trigonometrice avem:
0
20
220
2
xx0
20
2
xxo xx2xx
sin2xx
sin2lim
xxxcosxcos
lim)x('f00 −
+−−
=−−
=→→
=
+−
+−−
=→
0
20
2
20
220
2
xx
xx2
2xx
2xxsin
2xxsin2
lim0
=2xx
2xx
sinlim2 02
02
xx 0
++−
→= -2 x0 sin x0
2
4. Fie u şi v două funcţii derivabile. Să se calculeze df(x) unde
)x(v)x(uarctg)x(f = .
Rezolvare .dxv
'uvv'uvu
vdxvu
vu1
1dx'fdf 222
2
2
2
−+
=′
+==
Dar
u'dx = du şi v'dx = dv
şi vom avea :
dxvuudvvdudf 22 +
−= .
5. Să se calculeze derivata de ordinul n a funcţiei: f(x) = ex sin x, utilizînd
formula lui Leibniz.
Rezolvare Avem:
)n(nn
)1n(1n
)n(0n
n uvC...vuCvuC)uv( ++′+= − =∑=
−n
0k
k)kn(kn gfC
În cazul de faţă, notând u(x) = ex şi v(x) = sinx avem:
u(n) (x) = ex ;
12
v '(x) = cos x = sin(x+ π/2)
v ''(x) = -sin x = sin(x+2π/2)
v '''(x) = -cos x = sin(x+3π/2) ...
Să demonstrăm folosind metoda inducţiei că:
v(n)(x) = sin(x+nπ/2).
Vom presupune că egalitatea este adevărată pentru k∈R adică:
v(k)(x) = sin(x+kπ/2).
Avem:
v(k+1) (x) = [v(k) (x)]' = cos(x + kπ/2) = sin[x + (k+1)π/2]
deci inducţia este completă.
Aplicând formula lui Leibniz obţinem:
=π+= ∑=
)2/kxsin(eC)x(f xn
0k
kn )]2/sin(...)2/sin(sin[ 10 π+++π++ nxCxCxCe n
nnnx
Întrebări
1. Folosind regulile de derivare, să se calculeze derivatele funcţiilor:
a) x1sin
e)x(f = b) f (x) = etg x
2. Să se scrie derivatele de ordinul n pentru următoarele funcţii şii apoi să se
scrie pentru ele formula lui Mac-Laurin:
a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x
3. Să se calculeze df pentru funcţia xxe)x(f =
4. Fie funcţiile 2ee)x(sh,
2ee)x(ch
xxxx −− −=
+=
numite funcţii hiperbolice. Să se demonstreze formulele:
ch2(x) -sh2(x) =1, ch '(x) = sh(x), sh '(x) = ch(x)
5. Să se calculeze derivatele de ordinul n pentru funcţiile:
xxln)x(f)a = xcose)x(f)b x=
13
Cursul 2 ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
Cuvinte cheie: Şiruri, serii, criterii de convergenţă
Şiruri şi serii de numere reale
Şiruri de numere reale
Definiţie Se numeşte şir de numere reale o funcţie f: N→R care f : n∈N→ f(n) =
an∈R sau o familie (submulţime) (an)n∈N de numere reale.
Definiţie Şirul de numere reale (an)n∈N este convergent dacă există a∈R, astfel
încât pentru orice ε > 0, există N(ε) > 0 astfel încât pentru orice n > N(ε) să
avem an - a < ε şi se scrie a = limn na
→∞, sau în afara oricărei vecinătăţi a lui "a"
se află un număr finit de termeni.
Teoremă (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy). Şirul (an) este
convergent dacă şi numai dacă este fundamental, adică pentru orice ε > 0, există
N(ε), astfel încât pentru orice n > N(ε) şi p∈N, p ≥ 1 avem:an+p - an < ε.
Demonstraţie
Necesitatea: Deci (an) convergent şi limn na
→∞= a deci ∀ ε > 0, ∃ N(ε), astfel încât,
∀ n > N(ε)
să rezulte an - a < ε2 şi an+p - an <
ε2 , ∀ p ≥ 1 deoarece n + p > N(ε), să
calculăm:
an+p - an= (an+p - an) + a - an≤ an+p - an+an - a< ε2 +
ε2 = ε.
Suficienţa: Dacă n = N fixat, atunci aN+p - aN< ε, p ≥ 1 cu excepţia termenilor
a1, a2, ..., aN-1 deci toţi termenii aN+1, aN+2, ... se află în intervalul (aN - ε, aN + ε)
deci conform definiţiei şirul (an) este convergent.
14
Definiţii
Definiţie Fie şirul de numere reale
u1, u2, ... , un, ... , n∈N.
Cu ajutorul şirului (un)n∈N formăm şirul:
s1 = u1, s2 = u1 + u2, ..., sn = u1 + u2 + ... + un.
Şirul (sn)n∈N se numeşte şirul sumelor parţiale.
Definiţie Se numeşte serie de numere expresia
s = unn=
∞∑
1,
unde s este suma seriei, un termenul general iar u1, u2, ... , un, ... termenii seriei.
Definiţie Seria ∑∞
=1nnu este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale
(sn) este convergent.
Definiţie Seria ∑∞
=1nnu este cu termeni pozitivi dacă există un rang N astfel ca
pentru n > N să avem un > 0. Considerăm în continuare seriile de la acest punct
serii cu termeni pozitivi.
Criterii de convergenţă
Teoremă (Criteriul monotoniei). Dacă şirul sumelor parţiale (sn) pentru seria
∑∞
=1nnu este mărginit atunci seria ∑
∞
=1nnu este convergentă iar dacă este nemărginit
este divergentă.
Demonstraţie: Şirul (sn) este mărginit, dar el este şir de numere pozitive, deci
este crescător, deci este convergent în cazul când şirul este nemărginit seria este
divergentă.
15
Teoremă (Criteriul I al comparaţiei). Fie ∑∞
=1nnu , ∑
∞
=1nnv serii cu termeni pozitivi.
Dacă există N∈N astfel ca
un < vn pentru orice n ≥ N atunci avem:
a) Dacă seria ∑∞
=1nnv este convergentă atunci seria ∑
∞
=1nnu este convergentă.
b) Dacă seria ∑∞
=1nnu este divergentă atunci seria ∑
∞
=1nnv este divergentă.
Demonstraţie
a) Fie n ≥ 1, dacă vnn=
∞
∑1
este convergentă atunci:
sn = v1 + v2 + ...+ vn < M,
deci
σn < sn < M
unde
σn = u1 + u2 + ... + un
deoarece un < vn şi deci (σn)n∈N şirul sumelor parţiale ale seriei ∑∞
=1nnu este
mărginit şi deci ∑∞
=1nnu este convergentă.
b) Dacă seria ∑∞
=1nnu , rezultă că (σn)n∈N este crescător şi nemărginit, dar sn
≥ σn, deci şirul (sn)n∈N este nemărginit, deci seria ∑∞
=1nnv este divergentă.
Observaţie Enunţăm pentru serii cu termeni pozitivi următoarele criterii:
Corolar Criteriul rãdãcinii(Cauchy) Fie ∑un o serie cu termeni pozitivi. Dacã (∃) n0 Є N astfel încât ∀ n≥ n0:
• 1qunn <≤ , seria e convergentã.
• 1qunn >≥ , seria e divergentã.
16
• λ=∞→
n nn
ulim , atunci pentru λ<1 seria e convergentã ºi pentru λ>1 e
divergentã. Corolar Criteriul lui Raabe-Duhamel Fie
1∑
∞
=n
nu o serie cu termeni pozitivi. Dacã (∃) n0 Є N astfel incât ∀ n>n0 :
• 1L1uu
n1n
n >≥
−
+
, atunci seria este convergentã.
• 1L1uu
n1n
n <≤
−
+
, atunci seria este divergentã.
• λ=
−
+∞→
1uun
1n
n
nlim şi λ>1 seria este convergentã, iar pentru λ<1 este
divergentã. Corolar Criteriul raportului(D’Alambert)
Fie 1
∑∞
=n
nu o serie cu termeni pozitivi. Dacã (∃) n0 Є N astfel încât (∀) n>n0
sã avem: • 1q
uu
n
1n<≤
+ atunci 1
∑∞
=nnu este convergentã.
• 1qu
un
1n>≥
+ atunci 1
∑∞
=nnu este divergentã.
• Lu
un
n
n=+
∞→
1lim şi L < 1 seria e convergentã iar dacã L > 1 este
divergentã. Observaţie În cazul L = 1 se aplicã criteriul Raabe-Duhamel.
Serii de puteri
Definiţie Se numeşte serie de puteri o serie de forma:
∑∞
=0n
nnxa = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ... , x∈R
Definiţie Fie x0∈R, x0 se numeşte punct de covergenţă pentru seria de puteri
∑∞
=0n
nnxa dacă seria numerică ∑
∞
=0n
n0nxa este convergentă. Mulţimea punctelor de
convergenţă se numeşte mulţime de convergenţă. Pentru seriile de puteri există
17
R care se numeşte rază de convergenţă, existenţa şi calculul ei fiind dat de două
teoreme, date fără demonstraţie.
Teoremă Pentru seria de puteri a xnn
n=
∞
∑0
, există un număr R ≥ 0 finit sau infinit
astfel că:
a) Pentru x∈(-R,R) seria de puteri este absolut convergentă.
b) Pentru x> R seria de puteri este divergentă.
Teoremă Pentru seria de puteri a xnn
n=
∞
∑0
raza de convergenţă se calculează
astfel:
R = 1n
n
n aalim
+∞→
, sau R = n
nn a
1lim→∞
care poate să fie finită, infinită sau zero.
În cazul în care x∈(-R,R) adică seria de puteri este convergentă S(x) =
∑∞
=0n
nnxa se numeşte suma seriei de puteri.
Teoremă Fie seria de puteri ∑∞
=0n
nnxa convergentă pe (-R,R). Seria ∑
∞
=
−
1n
1nnxna
formată cu derivatele seriei date are acelaşi interval de convergenţă cu seria dată.
Demonstraţie Fie R1 raza de convergenţă pentru seria ∑∞
=
−
1n
1nnxna atunci dacă
notăm un-1 = n⋅an avem: R1 = Raalim
aalim
aa
2n1nlim
uulim
1n
n
n2n
1n
n2n
1n
n1n
n
n===
++
=+
→∞+
+
→∞+
+
→∞+
→∞. Deci
R1 = R şi teorema este demonstrată.
Consecinţă Dacă S(x) = a xnn
n=
∞
∑0
şi f(x) = na xnn
n
−
=
∞
∑ 1
1 atunci pentru x∈(-R,R)
avem
S'(x) = f(x).
18
B.
1. Să se arate că şirul an = 1 + 12
1+ +K n este divergent.
Rezolvare Deoarece an+p - an= = 211
21
11
=+
>+
>+
+++
++ pp
ppn
ppnnn
K
pentru p ≥ n condiţia din Criteriul lui Cauchy nu este îndeplinită şi deci şirul (an)
nu este convergent.
2. Fie ∑∞
=α
1n n1 seria armonică generalizată. Să se studieze natura sa, utilizând
criteriul monotoniei.
Rezolvare Să arătăm că pentru α > 1 şirul sumelor parţiale este mărginit deci
convergent şi în acest caz seria este convergentă.
Deci:
=+++++=∑∞
=
...1...31
2111
1αααα nnn
...)12(
1)12(
1)2(
1...71
61
51
41
31
211 1 +
−
++
+++
++++
++= + ααααααααα mmm
Fie sp cu p = 2m+1 – 1. Vom avea:
M
211
12
12
12
12
11)2(
2)2(
2221s
10m
)1(m
)1(m)1(21m
m
2
2
p
=−
=<
<++++=+++++<
−α
∞
=−α
−α−α−αααα
∑
KKK
Rezultă sp < M adică şirul sumelor parţiale ale seriei este mărginit şi deci
convergent pentru
q = 121
−α < 1 ⇒ 1 < 2α-1
deci 0 < α-1 şi α > 1 în concluzie seria ∑∞
=α
1n n1 este convergentă pentru α > 1 şi
divergentă pentru α≤1.
19
2. Folosind criteriul I al comparaţiei să se arate că seria 1
1nnα
=
∞
∑ este divergentă
pentru α < 1.
Rezolvare Deoarece nn11
>α
deci n > nα şi α < 1, ştiind că 1
1nn=
∞
∑ este divergentă,
rezultă că ∑∞
=1
1n nα
este divergentă conform cazului b) din criteriul I al comparaţiei
şi în concluzie seria ∑∞
=1
1n nα
este divergentă pentru α ≤ 1 şi convergentă pentru
α > 1.
3. Sã se afle raza de convergenţã al seriilor de puteri
a) ( )−
=
∞
∑ 11
n n
n
xn!
.
Rezolvare ( )
( )n
n
n n
n n
n nn
aa
xn
nx
nnx→∞ + →∞
+ +→∞
=−
⋅+
−=
+=lim lim lim
11 1
1 11
11
b) xn
n
n
=
∞
∑1
Rezolvare Ra x
n
nxn
nn n n
nn
= =
= = ∞→∞ →∞ →∞
lim lim lim1 1
4. Fie seria s1= ( )− +
+
=
∞
∑ 1 1
1
0
nn
n
xn . Să se arate că raza sa coincide cu raza seriei s2
formată cu derivatele seriei date.
Rezolvare R1 = lim lim( )( )n
n
n n
n
na
an
n→∞ + →∞
−=
−−
+=
1
111
11 şi
s2(x) = ( )−=
∞
∑ 10
n n
nx cu R2 = R1
)1()1(lim 1n
n
n==
−−
+→∞1
20
Întrebări 1. Sa se studieze convergenţa seriilor:
)1n(n1un+
= ,
)1n(n1un+
=
2. Sã se afle raza de convergenţă a seriilor de puteri:
a) ∑∞
=
−
1n
nn
nx)1( b) ∑
∞
= +1nn
4
2)1n(
x
3. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a lui eαx să se deducă formulele lui Euler:
i2eexsin,
2eecos
ixixixix −− −=
+= .
4. Sã se studieze natura seriei: ∑∞
=
>1n
n
0)(a , !n
a
5. Sã se studieze natura seriilor: ∑∞
=
⋅
1nn
n
n!n3
21
Cursul 3 FUNCŢII REALE DE
MAI MULTE VARIABILE REALE
Cuvinte cheie: Funcţii reale, derivata, diferenţiala
FUNCŢII REALE DE
MAI MULTE VARIABILE REALE
A.
Derivata parţială şi diferenţiala
Derivata şi diferenţiala. Funcţii compuse
Fie f : A ⊂ Rn → R şi (x0,y0) ∈ A (în particular n=2). Spunem că funcţia
f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu variabila x, în punctul (x0,y0) dacă
există
0
000
xx xx)y,x(f)y,x(f
lim0 −
−→
şi este finită. Această limită se va nota f 'x(x0,y0) sau )y,x( 00 xf
∂∂ .
Dacă f 'x şi f 'y sunt derivabile parţial în raport cu x şi y atunci derivarele parţiale
ale acestora se numesc de ordinul doi şi se notează astfel:
( ) 2
2
xxx
fxx
ff 2 x
f ∂
∂=
∂∂
∂∂
=′′=′′ ; xy f
xf
y )f(f
2
yxxy ∂∂∂
=
∂∂
∂∂
=′′=′′
y x
fyf
x)f(f
2
xyyx ∂∂∂
=
∂∂
∂∂
=′′=′′ ; 2
2
yyy y f
yf
y )f(f 2
∂∂
=
∂∂
∂∂
=′′=′′
Fie f(x,y) o funcţie derivabilă parţial pe un interval A⊂R2, şi (x0,y0)∈A un punct
în care f 'x şi f 'y sunt continue. Funcţia:
hf 'x(x0,y0) + kf 'y(x0,y0)
unde h = x-x0, k = y-y0 se numeşte diferenţiala funcţiei f(x,y) şi se notează
22
df(x,y)= hf 'x(x0,y0) + kf 'y(x0,y0)= f 'x(x0,y0) dx + f 'y(x0,y0) dy
sau ∀ (x,y)∈A avem: dyyfdx
xfdf
∂∂
+∂∂
=
Diferenţiind succesiv funcţia df obţinem:
22
222
2
22 dy
y fdxdy
y xf2dx
xffd
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
= .
Dacă funcţiile u(x) şi v(x) definite pe aceeaşi mulţime A⊂R au derivate continue
pe A şi dacă funcţia f(u,v) definită pe B⊂R2 are derivate parţiale continue pe B,
atunci funcţia F(x) = f( u(x),v(x) ) are derivata continuă pe A şi:
.dxdv
vf
dxdu
u f
dxdF
∂∂
+∂∂
=
De aici deducem expresia diferenţialei funcţiei F:
.dv vf du
u f dF
∂∂
+∂∂
=
Diferenţiala de ordinul doi a lui F(x) este:
f)vd v
udu
(f)dv v
duu
(fd 22)2(2
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
În cazul funcţiei ( ) ( )( )F x y f u x y v x y( , ) , , ,= , unde u,v : A → R şi f : B → R sunt
funcţii având derivate parţiale continue,derivatele parţiale sunt date de
expresiile:
dxdv
vf
dxdu
u f
xF
∂∂
+∂∂
=∂∂ ;
dydv
vf
dydu
u f
yF
∂∂
+∂∂
=∂∂
iar diferenţialele de ordinul I şi II:
dyy F dx
xF dF
∂∂
+∂∂
= ; 22
222
2
22 dy
y Fdxdy
y xF2dx
xFFd
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=
Funcţii omogene
Definiţie Funcţia f:A⊂Rn→R se numeşte omogenă de gradul m dacă
f(tx1, tx2,…, txn )=tn f(tx1, tx2,…, txn ).
Fie (1) F(x)=f(u1(x), u2(x),…, un(x)),
23
Dacă
u1(t)=tx1, u2(t)=tx2,…, un(t)=txn avem F(t)= f(tx1, tx2,…, txn ).
Dacă f este omogenă de grad m, atunci derivând în raport cu t relaţia (1) avem:
)x,...,x,x(fmtdt
duuf...
dtdu
uf
dtdu
uf
n211mn
n
2
2
1
1
−=∂∂
++∂∂
+∂∂
şi dacă facem t = 1 rezultă:
)1(),...,,(... 212
21
1 nn
n xxxmfxfx
xfx
xfx =
∂∂
++∂∂
+∂∂
relaţia (1) se numeşte formula lui Euler.
Funcţii implicite de una şi două variabile
Funcţii implicite de o variabilă
Fie F: A⊂R2→R. Funcţia y = f(x), f: B⊂R→R astfel încât pentru orice
x∈B, (x, f(x))∈A se numeşte soluţie în raport cu y a ecuaţiei F(x,y) = 0
pe mulţimea B dacă avem:
F(x, f(x)) ≡ 0 pentru orice x∈B.
Funcţiile y = f(x) definite cu ajutorul ecuaţiei F(x,y) = 0 se numesc funcţii
implicite sau funcţii definite implicit.
Observaţie Pentru calculul derivatelor funcţiei y = f(x) folosim regulile de
derivare de la funcţiile compuse :
Fie F(x,y) = 0, y = f(x), rezultă F(x, f(x)) = 0, derivăm în raport cu x şi
rezultă:
0dxdy
yF
dxdx
xF
=∂∂
+∂∂
sau
F'x + y'F'y = 0
24
deci y
x
FFy
′′
−=′ . Pentru derivata de ordinul al doilea a lui y vom
0FyFyFyFyF 22 y2
xyyxyx=′′′+′′′+′′′+′′′+′′ ⇒ yy
2xyx
FyFyFy2F 22 ′′′−=′′′+′′′+′′
şi dacă înlocuim pe
y
x
FFy
′′
−=′ , 3y
y2
xxyyx2yx
F
FFFFF2'FFy
222
′
′′′+′′′′−′′−=′′ .
Funcţii implicite de două variabile
Pentru funcţiile implicite definite de ecuaţia F(x,y,z) = 0 sau funcţii
implicite de două variabile în condiţiile teoremei de existenţă şi unicitate adică
în cazul existenţei funcţiei z = f(x,y) şi F'z ≠ 0 vom calcula derivatele funcţiei z
în raport cu x şi y şi derivând funcţia F(x,y,z) considerând-o ca funcţie compusă
şi avem:
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
0yz
zF
yy
yF
yx
xF
0xz
zF
xy
yF
xx
xF
derivatele s-au făcut funcţie de variabilele x şi y iar 0xy,0
yx
=∂∂
=∂∂ şi avem:
=∂∂′+′
=∂∂′+′
0yzFF
0xzFF
zy
zx şi deci
′
′−=
∂∂
′′
−=∂∂
z
y
z
x
FF
yz
FF
xz
.
25
Extremele funcţiilor reale de mai multe variabile reale
Extremele funcţiilor reale de două variabile reale
Fie f(x,y) o funcţie reală de două variabile reale, definită pe A ⊂R2. Un
punct (a,b)∈A se numeşte punct de minim (maxim) al funcţiei f(x,y) dacă există
o vecinătate V a lui (a,b) astfel pentru orice (x,y) ∈ A ∩V să avem:
( ))b,a(f)y,x(f)b,a(f)y,x(f ≤≥ .
Maximele sau minimele unei funcţii se mai numesc extreme relative. Pentru
determinarea acestora procedăm după cum urmează:
Fie (a,b) o soluţie a sistemului
=∂∂
=∂∂
0
0
y f
xf
.
Punctul (a,b) se numeşte punct staţionar şi este un posibil punct de extrem.
Facem notaţiile:
)b,a(y x
fs )b,a(y ft )b,a(
xfr
2
2
2
2
2
∂∂∂
=∂∂
=∂∂
=
1o Dacă rt-s2 > 0, (a,b) este punct de extrem şi anume:
dacă r > 0, (a,b) punct de minim;
dacă r < 0, (a,b) punct de maxim.
2o Dacă rt-s2 < 0, (a,b) nu este punct de extrem şi în acest caz se numeşte punct
şa.
Extremele funcţiilor de 3 variabile
Fie f : A ⊂ R3→ R, (x,y,z)∈A şi a∈A un punct staţionar al său, adică o
soluţie a sistemului:
0,0,0 =∂∂
=∂∂
=∂∂
z f
y f
xf .
26
Extremele lui f se găsesc printre punctele staţionare şi se determină astfel:
Calculăm:
111 AD =
2221
12112 AA
AAD
=
333231
232221
131211
A A AA A AA A A
Dn =
unde
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
2
33
2
32
2
31
2
23
2
22
2
21
2
13
2
12
2
11
az fAa
y z fAa
xzfA
az y
fAay fAa
xy fA
az x
fAay x
fAa x
fA
2
2
2
∂∂
=∂∂
∂=
∂∂∂
=
∂∂∂
=∂∂
=∂∂
∂=
∂∂∂
=∂∂
∂=
∂∂
=
1o Dacă D1,D2,D3 sunt pozitivi atunci a∈A este un punct de minim;
2o Dacă -D1,D2,-D3 sunt pozitivi atunci a∈A este un punct de maxim.
Extremele funcţiilor implicite
Considerăm o funcţie implicită definită de ecuaţia:
F(x,y) = 0, y= y(x).
Pentru a determina extremele unei astfel de funcţii parcurgem următoarele etape:
- se rezolvă sistemul de ecuaţii
=′=
0)y,x(F0)y,x(F
x
iar dintre soluţiile acestuia se aleg cele care verifică 0)y,x(Fy ≠′ .
Fie (x0,y0) o astfel de soluţie.
- dacă y''(x0)>0 atunci y0 are valoare minimă;
27
- dacă y''(x0)<0 atunci y0 are valoare maximă.
Pentru funcţiile de tipul F(x,y,z) = 0, z = z(x,y) (funcţii implicite de două
variabile) rezolvăm sistemul:
=′=′
=
0)z,y,x(F0)z,y,x(F
0)z,y,x(F
y
x
şi alegem soluţiile care verifică .0)z,y,x(Fz ≠′ Fie M0(x0,y0,z0) una dintre aceste
soluţii.
Facem notaţiile:
.sy x
z,ty z,r
xz
000 M
2
M2
2
M2
2
=∂∂
∂=
∂∂
=∂∂
1o Dacă rt-s2 > 0, atunci M0 este punct de extrem şi anume:
dacă r > 0, punct de minim;
dacă r < 0, punct de maxim.
2o Dacă rt-s2 < 0, nu este punct de extrem.
B.
1. Să se verifice egalitatea xy f
y xf 22
∂∂∂
=∂∂
∂ pentru funcţia
f(x,y) = x2 ln (1+xy).
Rezolvare Calculăm mai întâi derivatele parţiale de ordinul I.
xy1yx)xy1ln(x2
x f 2
+++=
∂∂
xy1x
y f 3
+=
∂∂
Derivatele parţiale de ordinul doi se obţin derivând în raport cu x respectiv y,
expresiile de mai sus.
2
322
)xy1(yx2x3
y xy xf
++
=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂ 2
322
)xy1(yx2x3
xf
y xy f
++
=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂
28
2. Să se calculeze d2F pentru funcţia F (x,y) = f (x+y).
Rezolvare Notăm u(x,y) = x+y . Derivând obţinem 1y u
xu
=∂∂
=∂∂ .
Expresia diferenţialei de ordinul doi este:
22
222
2
22 dy
y Fdxdy
y xF2dx
xFFd
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=
Calculăm apoi derivatele parţiale de ordinul doi:
2
2
2
2
2
2
dufd
xu
dufd
dudf
x xF
x xF
=∂∂
=
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
2
2
2
2
2
2
dufd
y u
dufd
dudf
y y F
y y F
=∂∂
=
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
2
22
dufd
y F
xy xF
=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂
Deci
( ) .dydxdu
fdFd 22
22 +=
3. Să se calculeze d2F pentru F(x,y) = f(x+y,x-y).
Rezolvare Notăm u(x,y) = x+y, v(x,y) = x-y.
Atunci avem :
1y
v,1y u ,1
x v,1
xu
−=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂ .
Calculăm derivatele parţiale de ordinul I ale lui F(x,y):
vf
u f
xv
vf
xu
u f
xF
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ ;
vf
u f
dydv
vf
dydu
u f
yF
∂∂
−∂∂
=∂∂
+∂∂
=∂∂
Derivatele parţiale de ordinul doi vor fi:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2 F x x
f u
f v x
f u x
f v2 = +
=
+
=
x v
vf
xu
u vf
x v
vu f
xu
u f
2
222
2
2
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
= =
2
22
2
2
vf
vu f2
u f
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=
29
Analog se calculează şi celelalte derivate:
=
∂∂
∂∂
−
∂∂
∂∂
=
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
vf
y u f
y vf
u f
y y F
2
2
2
22
2
2
vf
vu f2
u f
∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂∂
∂ vf
y u f
y xy F2
y v
vf
y u
u vf
y v
vu f
y u
u f
2
222
2
2
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂ = 2
2
2
2
vf
u f
∂∂
−∂∂
Înlocuind în expresia lui d2 F obţinem:
22
2 2
2
2
2
2
2
22
2
2 2
2
22
dy v
f vu f 2
u f
dxdy v
f u
f 2dx v
f vu f 2
u f Fd
∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
+
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=
( ) ( ) ( )22
222
22
2
22 dydx
vfdydx
vu f2dydx
u fFd −
∂∂
+−∂∂
∂++
∂∂
=
4. Să se arate că funcţia de mai jos verifică relaţia lui Euler (pentru funcţii
omogene):
xylnyx)y,x(f 22 += .
Rezolvare Relaţia lui Euler pentru funcţii de două variabile este:
nfy f y
xf x =
∂∂
+∂∂
2
22
22
22
22
yyxx
xyln
yx
yy f
yyx
xyln
yxx
xf
++
+=
∂∂
+−
+=
∂∂
.fxylnyx
yyxx
xyln
yxy
yyxx
xyln
yxx
y f y
xf x
22
22
22
222
22
2
=+=
++
++
+−
+=
=∂∂
+∂∂
Observăm că n = 1 adică funcţia este omogenă de gradul 1.
30
5. Să se afle valorile extreme ale funcţiilor:
a) f(x,y)=x3+y3-3xy
Rezolvare Să calculăm mai întâi derivatele parţiale de ordin întâi şi doi ale lui
f(x,y):
x3y3)y,x(y f y3x3)y,x(
xf 22 −=
∂∂
−=∂∂
Pentru determinarea punctelor staţionare rezolvăm sistemul:
3x3y
2
2
− =− =
3 03 0
yx
iar soluţiile acestuia vor fi (0,0) şi (1,1). Calculăm valorile derivatelor parţiale de
odinul doi în aceste puncte şi obţinem:
6)1,1(y f t 0)0,0(
y f t
6)1,1( x
f r 0)0,0( x
f r
2
2
22
2
1
2
2
22
2
1
=∂∂
==∂∂
=
=∂∂
==∂∂
=
3)1,1(y x
f s 3)0,0(y x
f s2
2
2
1 −=∂∂
∂=−=
∂∂∂
=
Observãm că 09str 2111 <−=− deci (0,0) nu este punct de extrem.
Pentru cea de-a doua soluţie avem:
027str 2222 >=− şi r2 > 0;
Deci f(1,1) = -1 este o valoare minimă pentru funcţia f.
b) )0z,0y,0x( z2
yz
x4yx)z,y,x(f
22
>>>+++=
Rezolvare Derivatele parţiale de ordinul I şi II ale lui f sunt:
22
2
2
2
z2
yz2)z,y,x(
z f ;
yz
2xyz)y,(x,
y f ;
4xy1z)y,(x,
xf
−=∂∂
−=∂∂
−=∂∂
z4
y2)z.y,x(
z f ;
y2z+
x21)z,y,x(
y f ;
x2y)z,y,x(
xf
32
2
3
2
2
2
3
2
2
2
+=∂∂
=∂∂
=∂∂
22 yz2)z,y,x(
z y f ; 0z)y,(x,
z xf ;
2xyz)y,(x,
y xf
−=∂∂
∂=
∂∂∂
−=∂∂
∂
31
Rezolvând sistemul:
14
0
20
2 20
2
2
2
2
2
− =
− =
− =
yx
yx
zy
zy z
şi ţinând cont de condiţiile din enunţ obţinem:
( , , ) ( , , )x y z a= =12
11
Calculăm următoarele expresii:
( ) ( ) ( ) 0azx
fA ,2ayxfA ,4a
xfA
2
13
2
122
2
11 =∂∂
∂=−=
∂∂∂
==∂∂
=
( ) ( ) 2)a(zyfA,3a
yfA,2a
xyfA
2
232
2
22
2
21 −=∂∂
∂==
∂∂
=−=∂∂
∂=
( ) ( ) ( ) 6azfA,2a
yzfA,0a
xzfA 2
2
33
2
32
2
31 =∂∂
=−=∂∂
∂==
∂∂∂
=
4AD 111 ==
DA AA A2
11 12
21 22
4 22 3
16= =−
−=
DA A AA A AA A A
3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
4 2 02 3 2
0 2 672 16 24 32= =
−− −
−= − − =
Observăm că : Di ≥ 0 , i = 1,..,3 deci funcţia are un minim
4)1,1,21(ffmin ==
6. Să se afle extremele funcţiilor definite implicit:
a) x y xy x y2 22 2 4 6 0+ − + − + =
Rezolvare Fie F(x,y)= x y xy x y2 22 2 4 6+ − + − +
32
În urma rezolvării sistemului
( )( )
==0y,xF
0y,xF x'
=+−+−+
=+−⇔
06yx4xy2y2x04y2x2
22
şi punând condiţia ca ( )′ ≠F x yy , 0 adică 4x-2y-1≠0 obţinem următoarele
soluţii:
( ) ( ) ( ) ( )2,4y,xsi1,3y,x 2211 −−=−−=
Pentru calculul derivatei de ordinul doi a funcţiei y=y(x) vom deriva succesiv
succesiv în raport cu y iar y este o funcţie de x).
2x+4yy'-2y-2xy'+4-y'=0
1x2y44x2y2y
−−−−
=′
0yyx2y2y2yy4)y(42 2 =′′−′′−′−′−′′+′+ .
1x2y4
2y4)y(4y2
−−−′+′−
=′′
Observăm că ′ − = ′ − =y y( ) ( )3 0 4 0 si deci:
y''(-3) = -2 < 0 deci ymax= -1
y''(-4) = 2/3 > 0 deci ymin= -2.
b) x y z x y2 2 2 2 2 7 0+ + − − − =
Rezolvare
z2)z,y,x(F 2y2)z,y,x(F 2x2)z,y,x(F
z
y
x
=′
−=′−=′
În urma rezolvării sistemului:
=−−−++=−=−
07y2x2zyx02y202x2
222
şi alegând soluţiile care verifică
′ ≠ ⇔ ≠F x y z( , ) 0 0
obţinem punctele staţionare:
33
).3,1,1()z,yx( si )3,1,1()z,y,x( 22,2111 −==
Pentru a calcula derivatele parţiale de ordinul II şi mixte ale lui z = z(x,y)
derivăm parţial în raport cu x, respectiv în raport cu y expresia iniţilă, ţinând
cont că
z = z(x,y):
zx1
xz 02
xz 2zx2 −
=∂∂
⇒=−∂∂
+
zy1
y z 02
xz 2zy2 −
=∂∂
⇒=−∂∂
+
Observăm că pentru x=1 şi y=1 derivatele de mai sus sunt nule. În urma încă
unei derivări a expresiilor de mai sus vom avea:
z
1 xz
xz0
xzz
xz1
2
2
2
2
22
2
2 −
∂∂
−=
∂∂
⇒=∂∂
+
∂∂
+
y z
xz
21
y xz si
z
1y z
y z 2
2
2
2
∂∂
∂∂
−=∂∂
∂−
∂∂
−=
∂∂
Notãm:
.sy x
z,ty z,r
xz
1M
2
1M2
2
1M2
2
111=
∂∂∂
=∂∂
=∂∂
.sy x
z,ty z,r
xz
2M
2
2M2
2
2M2
2
222=
∂∂∂
=∂∂
=∂∂
unde M1 şi M2 reprezintă cele două puncte staţionare. Astfel avem:
0s31t31r
0s31t31r
2
2
2
1
1
1
=
=
=
=
−=
−=
Deci: 3z unde de ,0r si 91str max1
2111 =<=−
3z unde de ,0r si 91str min2
2222 −=>=−
34
Întrebări
1. Să se arate că funcţia f(x,y) = ln(x2 + y2) verifică relaţia:
0y f
xf
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂ .
2. Să se arate că funcţia f(x,y,z) = (x2 + y2 +z2)-1/2 verifică relaţia:
0z f
y f
xf
2
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂ .
3. Să se arate că funcţia f(x,y,z) = (x2 + y2 +z2)1/2 verifică egalitetea:
.0f)z z
y y
x x( )2( =
∂∂
+∂∂
+∂∂
4. Să se afle valorile extreme ale funcţiilor:
yx2yxyx)y,x(f)by6x6y5xy2x2)y,x(f)a
22
22
−−++=
++−+−=
5. Să se afle extremele funcţiilor implicite definite de ecuaţiile:
03yx3yx)b03x4yx2y)a
233
22
=−−+
=−−−
35
Cursul 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I
Cuvinte cheie: Ecuaţii diferenţiale, Bernoulli, Ricatti, Lagrange, Clairaut
ECUAŢII DIFERENŢIALE
Ecuaţii diferenţiale de ordinul I
Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile
Ecuaţia P(x)dx = Q(y)dy este o ecuaţie cu variabile separabile şi soluţia
generală a ei se obţine prin integrare: ∫ ∫= dy)y(Qdx)x(P ⇒ y = ϕ(x,c) soluţie
generală.
Ecuaţia diferenţială omogenă
Forma generală a ecuaţie omogene este y' = f
xy , pentru integrare se
face schimbarea de funcţie y = tx, apoi y' = t'x + t şi t'x = f(t) - t deci prin
separarea variabilelor avem:
∫ −=⇒=
− t)t(fdtxln
xdx
t)t(fdt
şi revenim, t = yx , în final soluţia generală va fi y = ϕ(x,c).
Ecuaţia diferenţială liniară de ordinul I neomogenă
Forma generală a acestei ecuaţii este y' + P(x)y = Q(x), unde funcţiile P(x)
şi Q(x) sunt continue pentru x∈[a,b], ecuaţia fiind liniară în y şi y'.
Pentru integrarea ei se rezolvă mai întâi ecuaţia omogenă, y' + P(x)y = 0.
36
Avem deci y' + P(x)y = 0 sau dxdy = - P(x)y, deci
ydy = - P(x)dx apoi
clnelnylndx)x(P
+∫=− şi în final y0 = c ∫− dx)x(P
e , care reprezintă soluţia generală a
ecuaţiei omogene. În continuare se foloseşte metoda variaţiei constantei a lui
Lagrange, metoda constă în a propune pentru ecuaţia liniară şi neomogenă,
soluţia ∫=− dx)x(P
e)x(cy , deci constanta de integrare se consideră o funcţie de x.
Avem deci y' = c'(x) ∫− dx)x(Pe + c(x)(-P(x)) ∫− dx)x(P
e , deci prin înlocuire în
ecuaţia neomogenă avem:
c'(x) ∫− dx)x(Pe - c(x)P(x) ∫− dx)x(P
e + P(x)c(x) ∫− dx)x(Pe = Q(x),
apoi
c'(x) ∫− dx)x(Pe = Q(x) sau c'(x) = Q(x) ∫ dx)x(P
e
şi în final:
c(x) = Q x e dx kP x( ) ( )∫ +∫
iar prin înlocuire în soluţia propusă rezultă:
y = ∫− dx)x(Pe ∫ ∫ dxe)x(Q
dx)x(P + k ∫− dx)x(Pe ,
deci se observă că soluţia generală a ecuaţiei neomogene este suma dintre soluţia
generală a ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene, care
este:
yp = ∫− dx)x(Pe ∫ ∫ dxe)x(Q
dx)x(P .
Ecuaţia lui Bernoulli
Ecuaţia lui Bernoulli este de forma: y' + P(x)y = Q(x)yα unde P(x), Q(x)
sunt continue pentru x∈[a,b] iar α∈ℜ-{1}.
Teoremă Dacă se face schimbarea de variabilă z = y1-α ecuaţia Bernoulli se
reduce la o ecuaţie liniară de ordinul I.
37
Demonstraţie Se derivează relaţia de substituţie şi avem: z' = (1-α)y-αy' iar prin
împărţirea ecuaţiei Bernoulli cu yα rezultă:
)x(Qy
)x(Pyy
1 =+′
−αα sau y-αy' + y1-αP(x) = Q(x), dar y-αy' = α−′
1z deci în final
avem:
z' + (1-α)P(x)z = (1-α)Q(x) iar dacă notăm (1-α)P(x) = P1(x) şi (1-α)Q(x) =
Q1(x) rezultă ecuaţia liniară de ordinul I în necunoscuta z şi variabila
independentă x sub forma:
z' + P1(x)z = Q1(x)
Ecuaţia lui Riccati
y' = P(x)y2 + Q(x)y + R(x) unde funcţiile P(x), Q(x), R(x) sunt funcţii
continue pentru x∈[a,b].
Teoremă Dacă se cunoaşte o soluţie particulară y1 a ecuaţiei lui Riccati atunci
prin schimbarea de funcţie y = y1 + 1z ecuaţia se reduce la o ecuaţie liniară de
ordinul I.
Demonstraţie Prin derivarea substituţiei avem:
y' = y'1 - ′z
z2
şi prin înlocuire în ecuaţia Riccati rezultă:
z)x(Q
zy2
z1)x(P)x(Ry)x(Qy)x(P
zzy 1
212121 +
++++=
′−′
Se înmulţeşte relaţia cu z2 şi deoarece y1 este soluţie particulară pentru ecuaţia
Riccati avem
y1' = P(x)y12 + Q(x)y1 + R(x) ,
deci în final rezultă:
z' + (2y1P(x) + Q(x))z = - P(x)
38
Ecuaţia lui Lagrange
Ecuaţia lui Lagrange este de forma:
A(y')y + B(y')x + C(y') = 0
sau dacă A(y') ≠ 0 atunci forma ecuaţiei Lagrange este:
y = x f(y') + g(y')
Se face următoarea notaţie: y' = p, evident p va fi o funcţie de x, ecuaţia în
acest caz devine y = x f(p) + g(p). Se derivează în continuare în raport cu x şi
avem:
y' = f(p) + x f'(p)⋅p'(x) + g'(p)⋅p'(x) sau: p'(x f'(p) + g'(p)) = p - f(p) ,
dar p' = dxdp rezultă
dxdp (x f'(p) + g'(p)) = p - f(p).
Prin înmulţire formală cu dxdp schimbăm rolul lui p cu x şi în acest caz x devine o
funcţie de p, deci:
(p - f(p)) dxdp = x f'(p) + g'(p) sau x' +
)p(fp)p(gx
p)p(f)p(f
−′
=−
′ şi dacă notăm
Q(p) =p)p(f
)p(f−
′ ,R(p) = )p(fp
)p(g−′
atunci avem ecuaţia liniară de ordinul I cu necunoscuta x şi variabila p:
x' + Q(p)x = R(p) .
Ecuaţia lui Clairaut
Ecuaţia lui Clairaut este de forma: y = xy' + g(y') fiind caz particular a
ecuaţiei lui Lagrange, cu f(y') = y'. Cu aceeaşi substituţie y' = p ecuaţia Clairaut
devine y = xp + g(p) şi prin derivare în raport cu x avem:
p = p + xp' + g'(p)⋅p'(x) deci dxdp (x + g'(p)) = 0
şi avem cazurile:
39
1. dxdp = 0 deci p = c şi y = cx + g(c) care reprezintă soluţia generală a
ecuaţiei lui Clairaut şi
2. x + g'(p) = 0 deci
+′−=
′−=)p(g)p(gpy
)p(gx care reprezintă soluţia singulară a
ecuaţiei Clairaut.
B.
1. Să se integreze ecuaţiile:
a) x(y2+1)dx=y(x2+1)dy
Rezolvare: Ecuaţia este cu variabile separabile iar în urma separării acestore
devine:
dy1y
ydx1x
x22 +
=+
Integrăm şi obţinem:
∫∫ +=
+dy
1yydx
1xx
22 , ln(x2+1)=ln(y2+1) +C1
ln(x2+1)=ln(y2+1) +ln eC1, ln(x2+1)=ln(y2+1)C2, unde C2= eC
1
Deci soluţia ecuaţiei este:
x2+1=C2(y2+1), C2>0.
b) x2dy-xydx=(x2+y2)dx
Rezolvare: Ecuaţia este omogenă şi în urma împărţirii la x2dx obţinem:
2
2
xy1
xy
dxdy
+=−
Facem schimbarea de funcţie y=tx şi avem:
2
2
t1txtt1ttx
ttxtxdxdt
dxdyy
+=′
++=+′
+′=+==′
40
deci o ecuaţie cu variabile separabile. Avem atunci: 2t1dt
xdx
+= , iar în urma
integrării: ln|x|a=arctg t. Revenim la funcţia iniţiala prin înlocuirea lui t cu y/x:
xyarctgCxln =⋅ ⇒ y=x tg(lnC|x|)
c) yxyx4`y =− , y>0, x≠0.
Rezolvare: Ecuaţia diferenţială este de tip Bernoulli, iar prin schimbarea de
funcţie z=y1-α, unde 21
=α , adică yz = , se reduce la o ecuaţie liniară de ordinul
I:
y2`y`z = şi avem:
2xz
x2`zsau xzz
x4`zz2 2 =−=− ,
adică o ecuaţie liniară.
După rezolvarea ecuaţiei 0zx2`z =− , a cărei soluţie este 2Cxz = , aplicăm metoda
variaţiei constantelor, adică căutăm o solutie de tipul z=C(x)x2.
x21)x(Csau ,
2xx)x(C
x2)x(xC2x)x(C 22 =′=−+′ , de unde, prin integrare,
kxln)x(C +=
Soluţia ecuaţiei liniare va fi: 2x)kx(lnz += , deci 42 x)kx(lny += .
d) xy`+y2-4y+3=0, ştiind că are soluţia particulară yp=1.
Rezolvare Ecuaţia este de tip Riccati, iar în urma substituţiei z11y += vom avea
2zzz′
−=′ , şi ecuaţia devine:
03)311(4
z11z
zx 2
2 =++−
++′− , adică ,0
x1z
x2z =−+′
41
deci o ecuaţie omogenă. Rezolvarea se face după modul cunoscut, iar în final,
solutia generală a ecuatiei iniţiale este:
C2xx21y 2
2
++= .
e) y=x(y`)2+(y`)2
Rezolvare Ecuaţia este de tip Lagrange, prin urmare în urma substituţiei y`=p(x)
obţinem:
y=p2x+p2 saudxdpp2p
dxdppx2p 2 ++= ,
în urma derivării. Înmultim formal cu dpdx şi avem:
p12x
1p2
dpdx
−=
−+ (1),
deci o ecuaţie liniara de ordinul I cu necunoscuta x şi variabila p. După
rezolvarea ecuatiei omogene ataşate xp1
2dpdx
−= aplicăm metoda variaţiei
constantelor, adică propunem o solutie de tipul 1)1p()p(Cx 2 −
−= . După înlocuirea în
(1) se determină prin integrare C(p) şi astfel vom avea:
1)1p(
Cx 2 −−
= şi 2
2
)1p(Cpy−
=
f) y=xy`+(y`)2
Rezolvare Observăm că ecuaţia este de tip Clairaut, deci facem substituţia
y`=p(x). Înlocuim şi derivăm ecuaţia iniţială:
0)p2x(dxdp
dxdpp2p
dxdpxp pxpy 2 =+⇔++=⇔+=
Soluţia generală a ecuaţiei este
y=Cx+C2,
iar soluţia singulară:
x=-2p şi y=-p2, sau4
xy2
−= .
42
Întrebări
1. Să se rezolve ecuaţia diferenţială cu variabile separabile:
2
2
1)1(
xyxy
++
−=′
2. Să se rezolve ecuaţiile diferenţiale omogene:
a) x
yxyy
22 ++=′ b)
xyln
xyy =′
3. Să se rezolve ecuaţiile liniare şi neomogene:
a) 2x2y’+xy=x2+1 b) xy1x
xy 2 =−
−′
4. Să se integreze ecuaţiile Bernoulli:
a) 3yxxlny
x2y =+′ b) y’+y tg x=y2
5. Să se integreze ecuaţiile Clairaut:
a) y=xy’+y’ b) y=xy’+cos y’
43
Cursul 5 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR
Cuvinte cheie: Ecuaţii diferenţiale de ordin superior, Ecuaţia Euler 3.2. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
A.
Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare şi neomogene
cu coeficienţi constanţi
Fie ecuaţia:
(1) a0y(n) + a1y(n-1) + ... + an-1y' + y = f(x)
ecuaţie neomogenă cu coeficienţi ai∈R, i = 1,n , iar dacă f(x) = 0 atunci ecuaţia
se numeşte omogenă.
Fie operatorul n1n1n
1n
1n
n
0n adxda...
dxda
dxdaL ++++= −−
−
atunci ecuaţia (1) se
scrie Ln(y) = f(x).
Teoremă Dacă ecuaţia Ln(y) = 0 are soluţiile y1,y2, ... ,yn atunci
y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn unde ci∈R, i = 1,n este soluţie a ecuaţiei.
Demonstraţie Ln(y) = Ln(c1y1 + c2y2 + ... + cnyn) =
= ∑=
−
−n
0iin
in
i dxda (c1y1 + c2y2 + ... + cnyn)=∑
=−
−
−
−
++
n
0innin
in
11in
in
i )yc(dxd...)yc(
dxda =
= ∑ ∑= =
−
−
−
−
++n
0i
n
0innin
in
11in
in
i )yc(dxd...)yc(
dxda = )y(
dxdac...)y(
dxdac nin
inn
0iin1in
inn
0ii1 −
−
=−
−
=∑∑ ++ =
= c1Ln(y1) + ... + cnLn(yn) = 0 deoarece Ln(y1) = 0,... , Ln(yn) = 0;
y1,y2, ... ,yn fiind soluţiile pentru ecuaţia Ln(y) = 0 deci
Ln(c1y1 + c2y2 + ... + cnyn) = 0 şi deci y = c yi ii
n
=∑
1 este soluţie pentru ecuaţia
omogenă.
44
Determinantul lui Wronski (Wronskian)
Definiţie Fie funcţiile yi(x); i = 1,n derivabile până la ordinul n-1 în intervalul
[a,b], atunci determinantul:
W(y1,y2, ... ,yn) = )1n(
n)1n(
2)1n(
1
n21
n21
yyy...
yyyy...yy
−−−
′′′
se numeşte wronskianul funcţiilor y1,y2, ... ,yn.
Teoremă Dacă funcţiile yi(x) au derivate continue până la ordinul (n-1) pentru
x∈[a,b] şi sunt liniar independente pe acest inteval atunci:
W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0 pentru orice x∈[a,b].
Demonstraţie Deoarece yi(x) sunt liniare independente atunci relaţia
(2) λ1y1 + λ2y2 + ... + λnyn = 0
are loc dacă λ1 = λ2 = ... = λn = 0. Derivând relaţia (2) de n ori avem sistemul:
=λ++λ+λ
=′λ++′λ+′λ=λ++λ+λ
−−− 0......
0...0...
)1()1(22
)1(11
2211
2211
nnn
nn
nn
nn
yyy
yyyyyy
cu necunoscutele λ1,λ2, ... ,λn, admite doar soluţia banală λ1 = λ2 = ... = λn = 0
deci determinantul sistemului W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0; q.e.d.
Definiţie Sistemul de soluţii y1,y2, ... , yn pentru care W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0 se
numeşte sistem fundamental de soluţii.
Problema Cauchy
Următoarea teoremă dă rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţia
(3) Ln(y) = 0.
Teoremă Fie ecuaţia omogenă Ln(y) = 0 şi y1,y2, ... , yn un sistem fundamental de
soluţii al ecuaţiei pentru x∈[a,b].
45
Fiind date numerele y0,y1, ... ,yn-1 există o singură soluţie y a ecuaţiei (3)
care satisface pentru x = x0∈[a,b] condiţiile iniţiale:
(4) y(x0) = y0; y'(x0) = y1, ... ,y(n-1)(x0) = yn-1.
Demonstraţie Soluţia generală pentru ecuaţia (3) este de forma
y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn constantele c1,c2,...,cn se determină din sistemul
Cramer:
=+++
=′++′+′
=+++
−=
−−−
=
=
1nxx
)1n(nn
)2n(22
)1n(11
1xxnn2211
0xxnn2211
yycycyc
...........................................
yycycyc
yycycyc
0
0
0
K
K
K
obţinut din condiţiile iniţiale (4). Deoarece y1,y2, ... ,yn este sistem fundamental
de soluţii pentru ecuaţia (3) rezultă că W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0 care este tocmai
determinantul sistemului Cramer cu o soluţie unică c1,c2,...,cn deci soluţia
ecuaţiei forma y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn este unică; q.e.d.
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene
Să considerăm ecuaţia (1) şi o soluţie particulară yp a ei, atunci:
Teoremă Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) Ln(y) = f(x) este suma dintre
soluţia generală a ecuaţiei omogene Ln(y) = 0 şi o soluţie particulară a ecuaţiei
neomogene pentru x∈[a,b].
Demonstraţie Avem Ln(y) = f(x) ecuaţia neomogenă şi yp o soluţie a ei, atunci
Ln(yp) = f(x), x∈[a,b]. Facem schimbarea de funcţie y = yp + u şi avem:
Ln(y) = Ln(yp + u) = Ln(yp) + Ln(u) = f(x)
Dar Ln(yp) = f(x), rezultă Ln(u) = 0 deci u este soluţia generală pentru ecuaţia
omogenă; q.e.d.
46
Integrarea ecuaţiei diferenţiale de ordinal n cu
coeficienţi constanţii omogenă – caz I
Fie (1) Ln(y) = 0 pentru care căutăm soluţii de forma y = erx. Prin derivare
se obţine y' = rerx, y" = r2erx, ... , y(n) = rnerx şi înlocuind în (2) obţinem:
erx(a0rn + a1rn-1 + ... + an-1r + an) = 0 sau erx⋅E(r) = 0
de unde E(r) = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică pentru (1).
Teoremă Dacă E(r) = 0 are rădăcini simple distincte atunci yi = er xi , i = 1,n
formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (1).
Demonstraţie Calculăm:
W(y1,y2, ... ,yn) =
xr1nn
xr1n2
xr1n1
xrn
xr2
xr1
xrxrxr
n21
n21
n21
ererer...
ererere...ee
−−−
=
= xn21 )r...rr(e +++ ⋅
1nn
1n2
1n1
n21
rrr...
rrr1...11
−−−
≠ 0
deoarece avem determinantul Vandermonde care este nenul pentru rădăcini
distincte.
Deci { }xrxrxr n21 e,...,e,e formează un sistem fundamental de soluţii pentru
ecuaţia (1); q.e.d.
Integrarea ecuaţiei diferenţiale de ordinal n cu
coeficienţi constanţii omogenă – caz II
Teoremă Dacă E(r) = 0 are rădăcinile complexe distincte rk = αk + iβk; r k = αk -
iβk; k = 1,m, atunci funcţiile yk = e k xα cosβkx, y k = e k xα sinβkx, k = 1,m pentru n
= 2m formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (1).
Demonstraţie
47
Avem deci
==
==β+α
β+α
x)i(xrk
x)i(xrk
kkk
kkk
eey
eey şi folosind formulele lui Euler avem:
β−β=
β+β=α
α
)xsinix(cosey
)xsinix(cosey
kkx
k
kkx
k
k
k
k = m,1
Dar şi combinaţii liniare de yk şi y k sunt soluţii pentru ecuaţia (1), deci avem:
β=−
=
β=+
=
α
α
xsine2
yyY
xcose2
yyY
kxkk
k
kxkk
k
k
k
k = m,1
deci { }xsine,xcose kx
kx kk ββ αα k = m,1 formează un sistem fundamental de soluţii
pentru ecuaţia (1); q.e.d.
Observaţii
Observaţie Dacă α∈R este rădăcină multiplă de ordinul p pentru E(r)=0 atunci
sistemul fundamental de soluţii va fi: {eαx, xeαx, ... , xp-1eαx}, iar dacă α∈C
atunci avem următorul sistem fundamental de soluţii:
{eαxcosβx, xeαxcosβx, ... , xp-1eαxcosβx, eαxsinβx, ... , xp-1eαxsinβx}.
Pentru aflarea unei soluţii particulare pentru ecuaţia (2) Ln(y) = f(x) se
foloseşte metoda coeficienţilor nedeterminaţi, care are două cazuri mai des
întâlnite.
a) Dacă f(x) = eαxPn(x) şi α nu este rădăcină pentru E(r) = 0 atunci yp este
de forma funcţiei f(x), în caz contrar yp = xkeαxQn(x) unde k este ordinul de
multiplicitate pentru rădăcina α iar Pn(x), Qn(x) sunt două polinoame de grad n.
b) Dacă f(x) = eαx[Pn(x)cosβx + Qn(x)sinβx] şi r = α + iβ nu este rădăcină
pentru E(r) = 0 atunci yp are forma membrului drept, în caz contrar
yp = xkeαx[Pn*(x)cosβx + Qn*(x)sinβx], k fiind ordinul de multiplicitate al
rădăcinii iar Pn*(x), Qn*(x) sunt polinoame de acelaşi grad cu Pn(x) şi Qn(x).
48
Ecuaţia Euler
Este de forma:
(1) a0xny(n) + a1xn-1y(n-1) + ... + an-1xy' + any = f(x), ai∈R, i = 1,n ,
f(x) continuă pentru x∈[a,b]⊂R.
Teoremă Ecuaţia Euler (1) prin schimbarea de variabilă x = et se transformă într-
o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi în variabila t.
Demonstraţie Avem succesiv: x1
dtdy
dxdt
dtdy
dxdyy ⋅=⋅==′ deoarece t = ln x, apoi,
−=⋅+−=
=
==′′
dtdy
dtyd
x1
dxdt
dtyd
x1
x1
dtdy
x1
dxd
dxdy
dxd
dxydy 2
2
22
2
22
2
;
se observă că ordinul de derivare nu se schimbă dar se fac simplificări de felul:
dtdy
dtyd
dxydx,
dtdy
dxdyx 2
2
2
22 −== şi în final obţinem:
)t(gybdtdyb
dtydb
dtydb n1n1n
1n
1n
n
0 =++++ −−
−
L ; q.e.d.
B.
1. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale cu coeficienti constanţi, omogene :
a) 064 =−′+′′+′′′ yyyy
Rezolvare Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale iniţiale este :
064 23 =−++ rrr .
În urma rezolvării obţinem următoarele soluţii reale şi distincte :
1r1 = , 2r2 −= , 3r3 −= .
Deci avem : xxr1 eey 1 ==
x2xr2 eey 21 −==
x3xr3 eey 31 −==
Soluţia generală a ecuaţiei este :
49
332211 ycycycy ++=
x33
x22
x1 ecececy −− ++= .
b) 0yyy2yy IV =+′+′′+′′′+
Rezolvare Ecuaţia caracteristică este :
01rr2rr 234 =++++ sau ( )( ) 01rr1r 22 =+++ .
Soluţiile sunt ir1 = , ir1 −= , i23
21r2 +−= , i
23
21r2 −−= , deci complexe
distincte , de forma jjj ir β⋅±α= , 2,1j = .
Avem atunci 01 =α , 11 =β , 21
2 −=α , 23
2 −=β
xcosxcosey 1x
11 =β= α
xsinxsiney 1x
11 =β= α
x23cosexcosey
x21
2x
22
−α =β=
x23siney
x21
2
−=
Soluţia generală este dată de relaţia:
x23sinecx
23cosecxsincxcoscy
x21
4
x21
321
−−+++=
c) 0168 =+′′+ yyy IV .
Rezolvare ( ) 0401682224 =+⇔=++ rrr .
Soluţiile sunt ir 22,1 ±= , adică complexe şi multiple cu 2=k . Atunci 0=α ,
2=β .
x2cosxcosey x1 =β= α
x2sinxsiney x1 =β= α
x2cosxxcosxey x2 =β= α
x2sinxxsinxey x2 =β= α
Soluţia generală este :
50
x2sinxcx2cosxcx2sincx2coscy 4321 +++=
2. Să se integreze ecuaţia diferenţiala cu coeficienţi constanţi neomogenă :
xcos10y5y2y =+′−′′ .
Rezolvare Pentru determinarea lui Hy rezolvăm ecuaţia 0y5y2y =+′−′′ . Ecuaţia
caracteristică este 05r2r2 =+− , iar soluţiile sale irir 21,21 −=+= . Atunci
x2sinecx2cosecy x2
x1H += . Membrul drept este de tipul
( ) ( )[ ]xsinxQxcosxPe 00x +α , cu ( ) ( ) 0xQ,1xP,1,0 00 ===β=α .
iir =β+α= nu este soluţie pentru ecuaţia caracteristică deci Py are forma
membrului drept. xsinkxcosky 21P += unde 21 , kk sunt polinoame de gradul
zero (constante).
Derivând şi înlocuind în ecuaţia iniţială obţinem :
( ) xsin2xcosxsin2Cxcos1Cey x +−+=
3. Să se rezolve problema Cauchy :
xsin2ey2yy2y x ++=−′−′′+′′′ cu condiţiile iniţiale ( ) ( ) ( ) 00y,00y,00y =′′=′= .
Rezolvare
Ecuaţia caracteristică este : ( )( )( ) 02p1p1p02rr2r 23 =++−⇔=−−+ .
Deci x23
x2
x1H ecececy −− ++= .
Pentru determinarea lui Py se aplică metoda coeficienţilor nedeteminaţi astfel :
se caută yp1 soluţie particulară a ecuaţiei :
xey2yy2y =−′−′′+′′′ , apoi
2Py soluţie particulară a ecuaţiei 2y2yy2y =−′−′′+′′′ şi 3Py soluţie particulară a
ecuaţiei
xsiny2yy2y =−′−′′+′′′ , în final 3P2P1PP yyyy ++= .
Însumând cele trei soluţii particulare determinate obţinem :
xsin51xcos
1011e
6xy x
P −+−= .
Soluţia generală a ecuaţiei este :
51
x23
x2
x1 ecececy −− ++= xsin
51xcos
1011e
6x x −+−+ .
Pentru a determina o soluţie particulară impunem de condiţiile initiale şi
obţinem :
=−−++
=−−−+−
=+−++
01011ccc4
0511ccc2
01011ccc
213
213
321
=
−=
=
151c
41c
1213c
3
2
1
Deci x2xx0 e
151e
41e
1213y −− +−= xsin
51xcos
1011e
6x x −+−+
4. Să se integreze ecuaţia Euler : xyyxyx 2 =+′+′′ .
Rezolvare În urma schimbării de variabilă tex = sau tx =ln avem :
−=′′=′
dtdy
dtyd
x1y,
dtdy
x1y 2
2
2 .
Ecuaţia devine :
⋅2x t2
2
2 eydtdy
x1x
dtdy
dtyd
x1
=+⋅+
−
Folosind notaţiile •
= ydtdy şi
..
2
2
ydt
yd= avem:
(1) t..
eyy =+ deci o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi neomogenă.
Ecuaţia caracteristică este 01r2 =+ iar soluţiile ir,ir −== . Deci
tsinctcoscy 21H += .
Membrul drept are forma ( )tPe 0t ⋅α , unde ( ) 1tP,1 0 ==α ; 1=α nu e rădăcină pentru
ecuaţia caracteristică deci : key tP ⋅= . Înlocuim în ecuaţia (1) şi obţinem :
21kekeke ttt =⇒=+ .
Deci tP e
21y = . Soluţia generală a ecuaţiei este :
t21 e
21tsinctcoscy ++=
52
sau
( ) ( ) x21xlnsincxlncoscy 21 ++=
Întrebări
Să se integreze ecuaţiile diferenţiale cu coeficienţi constanţi omogene şi
neomogene:
1. 0y6y5y =+′−′′
2. 0y16y8y =+′−′′
3. 0yyy =+′−′′
4. 0y12y13y =′+′′−′′′
5. Să se integreze ecuaţia de tip Euler :
( )xlnsin2yyxyx 2 =+′+′′
53
Cursul 6 SISTEME DE COORDONATE ÎN PLAN
Cuvinte cheie: Coordonate carteziene, polare
GEOMETRIE ANALITICĂ
Sisteme de coordonate în plan
A.
a) Coordonate carteziene
Mulţimea punctelor ordonate (x,y)∈R2, unde x∈R, y∈R se numeşte plan, deci
orice punct M(x,y) are două coordonate şi anume abscisa x şi ordonata yastfel ca
drteptele Ox şi Oy, Ox⊥Oy, se numesc dreapta absciselor respectiv dreapta
ordonatelor şi el formează un sistem cartezian rectangular în plan, notat xOy.
b) Coordonate polare
Dacă avem M(x,y) şi sistemul xOy, cu unghiul θ pe care îl face axa Ox cu OM,
şi ρ=OM,atunci punctul M poate fi determinat de (ρ,θ) care se numesc
coordonate polare. Din figura de mai jos avem:
x=ρcosθ, y=ρsinθ
Rezolvând sistemul de două ecuaţii de mai sus se obţine
xyarctg
yx 22
=θ
+=ρ
iar pentru determinarea lui θ se alege acea valoare corespunzătoare cadranului în
care se află punctul M.
54
B.
1. Să se afle coordonatele carteziene ale punctelor:
A(2,-π2
) ;B(- 24
,π ) ; C(2,-π
6)
Rezolvare Avem xA=2cos(-π2
)=0, yA=2sin(-π2
)=-2 adică A(0,-2). La fel
procedăm şi pentru celelalte două puncte:
xB=− 2 cosπ4
=-1, yB=- 2 sinπ4
=-1
xC=2⋅3
2= 3 , yC=-2⋅
12
=-1
2. Să se afle coordonatele polare ale punctului A(-2 3 ,2).
Rezolvare Trecerea la coordonate polare se face după relaţia : 22 yx +=ρ
θ=arctg yx
Avem atunci:
ρ= ( )− +2 3 22 2 =4 şi
θ=arctg −
13
Ţinînd cont de faptul că punctul A este situat în al doilea cadran vom avea:
65π
=θ ; deci A(4,6
5π )
55
Întrebări
Să se construiască punctele date prin coordonate polare şi să se afle coordonatele
carteziene ale acestora:
1. )2,4
(A π ;
2. )22,4
7(D);3,4
7(C);4,(B ππ−π ;
3. ).2,4
(F);5,4
3(E −π
−π
Să se afle coordonatele polare ale punctelor:
4. A(2,-2)
5. B( 3 1 3 1+ −, ).
56
57
Cursul 7 ALGEBRĂ VECTORIALĂ
Cuvinte cheie: Vectori, operaţii cu vectori
Algebră vectorială
A.
Vectori în plan
Un vector în plan se caracterizează prin doi parametri directori care
reprezintă proiecţiile vectorului pe cele două axe de coordonate.
v
p
q
j
i
(P)
x
y
Din figură se observă deci că v (p,q).
Definiţie Fie 1v (p1,q1), 2v (p2,q2), atunci:
1v + 2v = (p1+p2, q1+q2), λv = v λ = (λp, λq)
Observaţie Adunarea vectorilor din plan se face cu regula paralelogramului,
conform figurii .
2v
1v
v1
v2 v1+v2
Deci suma celor doi vectori reprezintă diagonala paralelogramului construit cu
cei doi vectori după ce au fost aduşi în acelaşi punct de aplicaţie.
58
Observaţie Regula paralelogramului dă descompunerea vectorului v (p,q) astfel:
v =p i +q j , unde i şi j , sunt versorii axelor Ox respectiv Oy.
Vectori în spaţiu
Fie sistemul cartezian Oxyz şi v un vector liber cu parametrii directori
(proiecţiile pe axele de coordonate) p, q, r, deci v (p,q,r).
Observaţie Adunarea vectorilor din spaţiu se face după regula paralelipipedului,
adică suma a trei vectori necoplanari este vectorul diagonală a paralelipipedului
construit cu cei trei vectori.
v
v1
v2v3
a
Avem vvvvavapoiavv =++=+=+ 321321 , .
4.2.1.1. Produsul scalar a doi vectori în spaţiu
Fie kzjyixv 1111 ++= şi kzjyixv 2222 ++= şi
∠( 1v , 2v ) = ϕ ; 0 ≤ ϕ < π.
Definiţie Produsul scalar al vectorilor 21 vsiv se defineşte astfel:
212121 1cos vprovvvvv v==⋅ ϕ
Proprietate: 21212121 zzyyxxvv ++=⋅
Demonstraţie
1vr ⋅ rv2 = (x1ri + y1
rj +z1
rk ) (x2
ri + y2
rj +z2
rk ) =
59
= x1x2ri ⋅
ri +x1y2
ri ⋅
rj + x1
ri ⋅
rk + y1
rj ⋅
ri + y1y2
rj ⋅
rj + y1z2
rj ⋅
rk + z1x2
rk ⋅
ri +
z1y2rk ⋅
rj + z1z2
rk ⋅
rk = x1x2 + y1y2 + z1z2
deoarece conform definiţiei avem:
ri ⋅
ri =
ri ⋅
ri cos(
ri ⋅
ri ) = 1
ri ⋅
rj =
ri ⋅
rj cos(
ri ⋅
rj ) = 0 =
rj ⋅
ri
ri ⋅
rk =
ri ⋅
rk cos(
ri ⋅
rk ) = 0 =
rk ⋅
ri
rj ⋅
rj =
rj ⋅
rj cos(
rj ⋅
rj ) = 1
rj ⋅
rk =
rj ⋅
rk cos(
rj ⋅
rk ) = 0 =
rk ⋅
rj
rk ⋅
rk =
rk ⋅
rk cos(
rk ⋅
rk ) = 1
Consecinţa 1 Fie rv = ari + b
rj +c
rk şi
rv ⋅rv = rv ⋅
rv cos( rv , rv ) = v⋅v = v2 = a2 + b2 + c2 deci
v = a b c2 2 2+ +
Consecinţa 2
rv1 ⋅ rv2 = rv1 ⋅ rv2cos( rv1, rv2) = v1v2 cosϕ
deci
cosϕ = r rv vv v
x x y y z zx y z x y z
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
12
12
12
22
22
22
⋅⋅ =
+ +
+ + + +
Produsul vectorial a doi vectori în spaţiu
Presupunem că avem rv1, rv2 doi vectori necoliniari.
Definiţie Produsul vectorial a doi vectori rv1 şi rv2 este un vector rv = rv1×
rv2, rv = rv1⋅rv2⋅
rusinϕ, având direcţia normalei la planul ( rv1, rv2) şi
sensul dat de regula burghiului, rv = v⋅ru , ru= 1.
Proprietate rv1×rv2 =
r r ri j kx y zx y z
1 1 1
2 2 2
unde
60
rv1= x1ri + y1
rj +z1
rk , rv2= x2
ri + y2
rj +z2
rk
Demonstraţie
Avem rv1×
rv2 = (x1ri + y1
rj +z1
rk ) × (x2
ri + y2
rj +z2
rk ) =
= x1x2ri ×
ri + x1y2
ri ×
rj + x1z2
ri ×
rk + y1x2
rj ×
ri + y1y2
rj ×
rj + y1z2
rj ×
rk +
z1x2rk ×
ri + z1y2
rk ×
rj + z1z2
rk ×
rk = x1y2
rk + (-x1z2
rj ) + (-y1x2
rk ) + y1z2
ri +
z1x2rj + (-z1y2
ri ) = x1y2
rk + y1z2
ri - y1x2
rk - x1z2
rj + z1x2
rj - z1y2
ri =
= r r ri j kx y zx y z
1 1 1
2 2 2
determinant care se calculează cu formula triunghiului şi se obţine acelaşi
rezultat folosind înmulţirea versorilor ri ,
rj ,
rk cu regula burghiului şi anume:
ri ×
rj =
rk ;
rj ×
ri = -
rk ;
rk ×
ri =
rj ;
ri ×
rk = -
rj ;
rj ×
rk =
ri ;
rk ×
rj = -
ri .
şi ri ×
ri =
rj ×
rj =
rk ×
rk = 0 deoarece sunt coliniari şi sinϕ = 0 din definiţie.
x
y
z
i j
k
Produsul mixt a trei vectori în spaţiu
Fie 321 ,, vvv vectori în spatiu. Definim produsul mixt al celor trei vectori ca
fiind )( 321 vvv ×⋅ care se mai notează si ),,( 321 vvv .
Proprietate ),,( 321 vvv =V, volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori.
Demonstraţie Avem
61
VABBvvBB
vvvvvv
AADD =⋅=×=
=×=×⋅
''32
321321
""
cos)( ϕ
deoarece conform figurii de mai jos avem
∠( r r rv v v1 2 3, × ) = ϕ şi cosϕ = BBv
"r1
în triunghiul dreptunghic ABD şi deci:
BB" = rv1cosϕ
B
C
C'
B'
D'
DB"
A'
A
v3
v2
v1
ϕ
.
Proprietate 333
222
111
321 )(zyxzyxzyx
vvv =×⋅rrr
kzjyixvkzjyixvrrrrrrrr
22221111 , ++=++=
Demonstraţie r r rv v v1 2 3⋅ ×( ) = ( )x i y j z k1 1 1r r
+ +
r r ri j kx y zx y z
1 1 1
2 2 2
= ( )x i y j z k1 1 1r r
+ +
+−
22
11
22
11
22
11
yxyx
kzxzx
jzyzy
irrr
=
= xy zy z y
x zx z z
x yx y1
1 1
2 21
1 1
2 21
1 1
2 2− + =
x y zx y zx y z
1 1 1
2 2 2
3 3 3
determinantul fiind
dezvoltat după prima linie.
62
B.
1. Se dau vectorii jiarrr
−= 2 , kjibrrrr
λ+−= 3 . Să se determine λ astfel încât
unghiul celor doi vectori să fie o60 .
Rezolvare
21cos =
⋅
⋅=
babarr
rr
ϕ Deci ( )( )( ) ( ) 2
1
3112
0311222222
=+−+−+
⋅+−−+⋅
λ
λ ,
de unde se determină 10±=λ .
2. Să se arate că punctele A(2,1,-1), B(4,3,-2), C(6,2,0), D(4,0,1) sunt vârfurile
unui pătrat.
Rezolvare Vom arăta că laturile, respectiv diagonalele sunt egale. Aplicând
formula ce dă distanţa între două puncte obţinem: 3, ==== ABDACDBCAB şi
23, == ACDCAC .
3. Se dau punctele A(1,-2,1), B(2,1,-1), C(3,2,-6) şi se cere:
a) Produsul vectorial al vectorilor →
AB şi →
AC
b)Aria triunghiului ABC
Rezolvare a) Determinăm mai întâi expresiile vectorilor →
AB şi →
AC :
( ) ( ) ( ) kjikjiABrrrrrr
23112112 −++=−−+++−=→
,
( ) ( ) ( ) kjikjiACrrrrrr
742162213 −++=−−+++−=→
.
Deci
kjikji
ACABrrr
rrr
2313742231 −+−=
−−=×
→→
.
63
b) Aria triunghiului ABC este jumătate din aria paralelogramului construit pe →
AB şi →
AC
arie ce este dată de: →→
× ACAB . Deci
( ) ( )2
1822
23132
222
=−++−
=×
=
→→
ACABAABC
4. Să se determine λ astfel ca vectorii: ( ) kjiarrrr
+++= 22 λ , kjibrrrr
−+= λ ,
kjcrrr
+= 4 să se fie coplanari.
Rezolvare Condiţia ca vectorii să fie coplanari este ca volumul paralelipipedului
construit pe cei trei vectori să fie nul, adică
( ) 0,, =cba rrr , 024011
122=−
+λ
λ de unde 4−=λ .
5. Să se afle înălţimea paralelipipedului construit pe vectorii:
kjiarrrr
−+= , kjibrrrr
+−= , kjicrrrr
++−=
considerând vectorii barr, ca bază.
Rezolvare Înălţimea este dată de raportul dintre volumul paralelipipedului şi
aria bazei acestuia, adică, ( )bacbah rr
rrr
×=
,, , ( ) 4111111111
,, =−
−−
=cba rrr ; 22=× barr Deci
h = 2 .
64
Întrebări
1. Se consideră doi vectori necoplanari cOCbOBaOA rrr===
→→→
,, . Să se exprime în
funcţie de ei diagonalele feţei şi diagonalele paralelipipedului construit pe ei.
2. Să se exprime cu ajutorul laturilor unui triunghi vectorii mediană şi înălţime
ai triunghiului..
3. Să se demonstreze că triunghiul format de punctele A(1,-1,0), B(4,3,5),
C(3,0,-2)
este dreptunghic.
4. Se dau punctele A(1,-1,1), B(1,2,3), C(0,1,-1). Să se afle volumul
paralelipipedului construit pe OA, OB, OC ca muchii.
5. Se dau vectorii: kjiarrrr
+−= 32 , kjibrrrr
2−+= , jicrrr 2+= λ . Să se determine
λ astfel ca volumul paralelipipedului construit pe aceşti vectori să fie egali cu 5.
65
Cursul 8 DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU
Cuvinte cheie: Dreapta, planul, ecuaţiile dreptei, ecuaţia planului
Dreapta şi planul în spaţiu
Ecuaţiile unei drepte ce trece printr-un punct şi este paralelã
cu o direcţie dată
Din figura 1 avem (1) vrr rrrλ+= 0 care rezultã din ∆OMM0 astfel:
vMM
rMMrr
rr
λ=
=+→
→
0
00 .
M0
M
r
z
y
x
r0
Figura 1
Proiectând pe axe formula (1), vom avea ecuaţiile:
(2) x x ly y mz z n
= += += +
0
0
0
λλλ
care reprezintã ecuaţiile parametrice ale dreptei (d), parametrul fiind λ∈R. Din
ecuaţiile (2) rezultã ecuaţiile
(3) x xl
y ym
z zn
−=
−=
−0 0 0 care reprezintã ecuaţiile unei drepte ce trece
printr-un punct M0(x0,y0,z0) şi paralelã cu direcţia rv (l,m,n).
66
Ecuaţiile dreptei prin două puncte
Dacã în figura 1, M0 = M1, M1(x1,y1,z1) şi M = M2, M2(x2,y2,z2),
M M v1 2
→= λ
r , din ∆OMM0 rezultã r r rr r v= +1 λ şi din figura 2, r r rr v r1 2+ = , atunci
(4) r r r rr r r r= + −1 2 1λ( )
z
y
x
r1v
M1
M2
(d)O r2
Figura 2
Proiectând ecuaţiile (4) pe axele de coordonate vom avea ecuaţiile dreptei
(d) prin douã puncte.
x x x xy y y yz z z z
= + −= + −= + −
1 2 1
1 2 1
1 2 1
λλλ
( )( )( )
sau x xx x
y yy y
z zz z
−− =
−− =
−−
1
2 1
1
2 1
1
2 1 (5).
Distanţa de la un punct la o dreaptã
Pentru calculul distanţei d de la dreapta (D) la punctul M1 avem: aria
paralelogramului format de M M r r0 1 1 0
→= −
r r şi rv (l,m,n) este:
A = rv ⋅d = M M v0 1
→×
r= ( )r r rr r v1 0− ×
de unde dr r v
v=
− ×( )r r r
r1 0 (conform figurii 3).
67
M1(x1,y1,z1)
r1
v(l,m,n) (D)
r0
M0(x0,y0,z0)
d
O Figura 3
Ecuaţia generalã a planului
Fie M0(x0,y0,z0) şi rv (A,B,C) şi planul (P) care conţine vectorul M M0
→, M(x,y,z)
şi rv ⊥(P), atunci M M0
→⋅rv = 0 sau ( )r r rr r v− =0 0. Dacã facem produsul scalar vom
avea:
(1) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)
deoarece
r r r r rr r x x i y y j z z k− = − + − + −0 0 0 0( ) ( ) ( ) şi
r r r rv Ai Bj Ck= + +
Ecuaţia (1) devine Ax + By + Cz + D = 0 (2)
unde D = -(Ax0 + By0 + Cz0).
M
M0r1
r0
(P)
v(A,B,C)
x
y
z (D)
O
Figura 4
68
Unghiul a douã plane
Fie planele (P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
şi normalele rN1(A1,B1,C1),
rN2(A2,B2,C2), calculãm
cosθ = 22
22
22
21
21
21
212121
21
21
CBACBACCBBAA
NNNN
++⋅++
++=
rr
şi avem condiţia de perpendicularitate: A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 deoarece θ = 2π
sau condiţia de paralelism care rezultã din r rN N1 2= λ adicã A
ABB
CC
1
2
1
2
1
2= = = λ.
Ecuaţia planului paralel cu douã direcţii r rv v1 2, şi care trece prin M0(x0,y0,z0)
Fie r rv M M v M M1 0 1 2 0 2= =→ →
, , M M r r M M r r M M r r0 0 0 1 1 0 0 2 2 0
→ → →= − = − = −
r r r r r r, ,
M0
M
v1
v2
M2
M1
(P) Figura 5
Din figura 5 rezultã cã cele trei direcţii M M v v0 1 2
→, ,r r sunt coplanare, deci
produsul lor mixt este nul, ( M Mv v0 1 2
→, ,r r ) = 0, sau
x x y y z zx x y y z zx x y y z z
− − −− − −− − −
0 0 0
1 0 1 0 1 0
2 0 2 0 2 0
= 0 dacă
M M x x i y y j z z kv x x i y y j z z kv x x i y y j z z k
0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 0
2 2 0 2 0 2 0
→= − + − + −
= − + − + −= − + − + −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
r r r
r r r r
r r r r
unde M0(x0,y0,z0), M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2).
69
Fascicole de plane
Fie planele (P1) şi (P2) de ecuaţii:
(P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Ecuaţia fascicolului de plane care trec prin dreapta de intersecţie dintre
planele (P1) şi (P2) este P1 + λP2 = 0, λ∈R.
Intersecţia unei drepte cu un plan
Fie dreapta (d) x xl
y ym
z zn
−=
−=
−0 0 0 şi
planul (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Ecuaţiile parametrice ale dreptei (d) sunt:
x x ly y mz z n
= += += +
0
0
0
λλ
λ
care înlocuite în ecuaţia planului (P) dau relaţia:
Ax0 + By0 + Cz0 + D + (Al + Bm + Cn)λ = 0 sau
λ= −+ + +
+ + =Ax By Cz D
Al Bm Cnab
0 0 0 şi avem cazurile:
1) b ≠ 0 atunci dreapta înţeapă planul într-un punct.
2) b = 0 şi a = 0 atunci dreapta este conţinută în plan.
3) b = 0 şi a ≠ 0 atunci dreapta este paralelă cu planul.
70
Unghiul dintre o dreaptă şi un plan
Din figura 6, se observă că unghiul
dintre dreapta (d) şi planul (P) este ϕ.
Fie (d) şi
(P) de ecuaţii:
(d) x x
ly y
mz z
n−
=−
=−0 0 0 şi
(P): Ax + By + Cz + D = 0.
Avem
cosθ =+ +
+ + + +
Al Bm CnA B C l m n2 2 2 2 2 2
,
cosθ = cosπ
ϕ2 −
= sinϕ , astfel că unghiul căutat este:
sinϕ =+ +
+ + + +
Al Bm CnA B C l m n2 2 2 2 2 2
Simetricul unui punct faţă de un plan
Fie un punct M0(x0,y0,z0) şi M1(x1,y1,z1) simetricul său faţă de planul
(P) Ax + By +Cz + D = 0. Fie o dreaptă d astfel ca M0∈d şi d ⊥ P.
Atunci:
( )dx x
Ay y
Bz z
C−
=−
=−0 0 0
Din intersecţia între dreapta d şi planul P se determină coordonatele (a,b,c) ale
punctului B. Din condiţia ca punctul B să fie situat la mijlocul segmentului
M1M2 avem:
θϕ
N(A,B,C) (d)
(p)
Figura 6
71
ax x
by y
cz z
x a xy b yz c z
=+
=+
=+
⇔= −= −= −
0 1
0 1
0 1
1 0
1 0
1 0
2
2
2
222
Simetricul unui punct faţă de o dreaptă
Fie un punct M0(x0,y0,z0) şi M1(x1,y1,z1) simetricul său faţă de dreapta
( )dx x
ly y
mz z
n−
=−
=−0 0 0
Fie un plan P astfel ca M0∈P şi d ⊥ P. Atunci:
(P) l(x-x0) + m(y-y0) + n(z-z0) = 0
La fel ca în problena precedentă vom determina intersecţia între dreapta d şi
planul P adică coordonatele (a,b,c) ale punctului B. Din condiţia ca punctul B să
fie situat la mijlocul segmentului M1M2 avem:
ax x
by y
cz z
x a xy b yz c z
=+
=+
=+
⇔= −= −= −
0 1
0 1
0 1
1 0
1 0
1 0
2
2
2
222
B.
1. Să se scrie ecuaţiile dreptei D ce trece prin punctul A(1,2,3) şi are vectorul
director ( )1,2,3vr .
Rezolvare Există mai multe modalităţi de a reprezenta o dreaptă şi anume:
→−
=−
=−
13
22
31 zyx ecuaţii parametrice
→
−=−=
4283
zyzx ecuaţii explicite
72
→
+=+=+=
32213
λλλ
zyx
ecuaţii parametrice.
2. Să se scrie ecuaţiile canonice ale dreptei :
( )D
=−−+=−+−
03220132
zyxzyx
Rezolvare
Trecerea la ecuaţiile canonice ale dreptei se face căutând două puncte care
aparţin dreptei (care verifică ecuaţia dreptei), iar apoi scriind ecuaţia dreptei ce
trece prin cele două puncte. Pentru aceasta vom da lui x valori particulare iar
apoi vom rezolva sistemul de ecuaţii obţinut
Pentru x=1 avem :
=−=+−
12032
zyzy
deci ( ) ( )DP ∈−− 2,3,11 La fel procedăm şi pentru x=3 şi
obţinem ( )8,13,32P .
Deci ecuaţia dreptei ce trece prin 1P şi 2P este :
( )D 10
216
32
1 +=
+=
− zyx sau ( )D 5
28
31
1 +=
+=
− zyx
3. Să se scrie ecuaţia planului determinat de punctul ( )3,2,11 −P şi de dreapta
( )D 1
32
23
1 +=
−=
+ zyx
Rezolvare Căutăm două puncte 2P şi 3P ce aparţin dreptei ( )D iar apoi vom scrie
ecuaţia planului ce trece prin cele trei puncte . Dăm valori particulare lui x şi
obţinem : ( ) ( )DP ∈−− 3,2,12 , ( ) ( )DP ∈0,8,83 . Atunci vom avea:
03107642321
=−−−−+− zyx
Dezvoltând determinantul avem: 0=−− zyx .
73
4. Să se afle parametrul real λ astfel ca planele :
( )1P 032 =+++ zyxλ
( )2P ( ) 021 =+++++ λλλ zyx
să fie perpendiculare.
Rezolvare Fie ( )2,1,1 λvr un vector perpendicular pe planul ( )1P . Un vector
perpendicular pe planul ( )2P va fi ( )1,,12 +λλvr cele două plane sunt
perpendiculare doar dacă cei doi vectori vor fi perpendiculari, adică :
02
cos),(cos 21 ==πvv rr
p
Deci vom avea :
00 2121
21 =⋅⇔=⋅⋅ vv
vvvv rrrr
rr
.
Deci condiţia ca două plane (doi vectori ) să fie perpendiculare este :
021 =⋅ vv rr .
( ) 24121121 +=++⋅+⋅=⋅ λλλλvv rr
de unde vom avea 21
−=λ .
5. Să se afle unghiul ϕ format de dreapta
(D) 3
121
232
34 +=
+=
+ zyx şi planul
(P) 045 =++− zyx .
Rezolvare
Unghiul format de o dreaptă cu un plan
este unghiul format de dreaptă cu proiecţia
(D’) pe plan (sau complementul unghiului
format de dreaptă cu normala (N) la plan )
Direcţia normalei la plan (un vector
perpendicular pe plan ) este :
( )1,5,1 −Nr
iar direcţia dreptei ( )3,1,2vr . Vom avea
vr
ϕϕ−o90
(D)( )Nr
(P) (D’)
74
( ) 090cos =⋅
⋅=−
vNvNorr
rrϕ
adică ( ) oo 9090 =−ϕ , sau 0=ϕ , deci dreapta este paralelă cu planul.
Să se afle coordonatele simetricului punctului A(-1,2,2) faţă de planul
(P) 032 =++ zyx .
Rezolvare Fie ( )γβα ,,A′ simetricul căutat. Acesta se găseşte pe dreapta (D) ce
trece prin A şi este perpendiculară pe planul P (normala la plan), de cealaltă
parte a planului la egală distanţă faţă de aceasta ca şi punctul A
Ecuaţia dreptei (N) este : 3
21
22
1 −=
−=
+ zyx sau parametric
+=+=−=
23212
λλλ
zyx
( )γβα ,,A′
( )000 ,, zyxB
A(-1,2,2)
(P)(D)
Astfel vom avea :
−
75,
711,
713B
Vom pune apoi condiţia ca punctul B să fie situat la mijlocul segmentului AA’ :
+=
+=
+−=−
22
75
22
711
21
713
γ
β
α
de unde :
−−′
74,
78,
719A
7. Să se afle coordonatele simetricului punctului A(2,-1,-1) faţă de dreapta
Coordonatele punctului B,
de intersecţie al dreptei N
cu planul se determină
rezolvând sistemul :
==++=
+=−=
03223
212
zyxzyx
λλλ
75
(D) 13
12
1 zyx=
+=
− .
Rezolvare Ecuaţia unui plan (P) ce trece prin A şi este perpendicular pe dreapta
(D) este:
(P) ( ) ( ) ( ) 0111322 =++++− zyx
sau
(P) 032 =++ zyx
( )γβα ,,A′
( )000 ,, zyxB
A(2,-1,-1)
(P)
(D)
Simetricul ( )γβα ,,A′ se găseşte punând condiţia ca punctul B să fie situat la
jumătatea segmentului AA’:
+−=
+−=−
+=
21
141
21
1411
22
78
γ
β
α
deci punctul căutat va fi
−′
78,
74,
72A
8. Să se calculeze distanţa de la punctul A(3,-2,1) la dreapta (D)
33
22
11 −
=−+
=− zyx .
Rezolvare
Notăm cu B punctul de intersecţie al planului (P) ce trece prin A şi este
perpendicular pe (D) cu dreapta (D). Distanţa căutată este AB.
Coordonatele punctului B de intersecţie al dreptei (D) cu planul (P) sunt soluţiile sistemului :
=++=
−=+=
032
1312
zyxzyx
λλλ
adică:
−
141,
1411,
78B
76
Ecuaţia planului (P) este :
(P) 01032 =−+− zyx .
Rezolvând sistemul :
=−+−+=
−−=+=
0103233
221
zyxzyx
λλ
λ
Obţinem coordonatele punctului B şi anume :
7
15,7
10,75
=−== BBB zyx .
Astfel vom avea :
7214
7151
7102
753
222
=
−+
+−+
−=AB
9. Să se scrie ecuaţia planului care trece prin dreapta
(D)
=+−+=−++
01320232
zyxzyx
şi este perpendicular pe planul
(P) 0223 =++− zyx .
Rezolvare Ecuaţia fasciculului de plane ce trece prin dreapta (D) este :
( ) 0132232 =+−++−++ zyxzyx λ sau
( ) ( ) ( ) 0231322 =−+−++++ λλλλ zyx .
Planul ( )1P căutat se găseşte în acest fascicol şi se determină impunând condiţia
ca vectorii perpendiculari pe planele ( )1P respectiv ( )P notaţi cu 1vr şi 2vr să fie
perpendiculari, adică produsul scalar să fie nul.
( ) ( ) ( ) 10312322321 =⇒=−++−+=⋅ λλλλvv rr .
Ecuaţia planului căutat se obţine înlocuind valoarea obţinută pentru λ în
fascicolul de plane:
( )1P 01253 =−−+ zyx .
77
Întrebări
1. Se dau punctele A(-1,-1,5) , B(1,1,1) , C(3,-1,1)
a) Să se scrie ecuaţiile dreptelor AB,BC,CA precum şi ecuaţia planului ce
trece prin punctele A,B şi C.
b) Să se scrie ecuaţiile medianei , înălţimii şi bisectoarei corespunzătoare
lui A în triunghiul ABC
2. Fiind date dreptele
( )1D : 2
21
32
1 +=
−=
− zyx şi
( )2D 2
942
11 −
=−+
=− zyx
să se găsească : a) Unghiul dintre 1D şi 2D , b) Distanţa dintre 1D şi 2D .
3. Să se calculeze distanţa de la punctul ( )2,1,31 −M la dreapta (d)
=+−+=+−
0102
zyxzyx
şi să se determine simetricul sau faţă de aceasta.
4. Să se determine coordonatele simetricului punctului A(-1,0,3) faţă de
planul:
(P) 022 =−−− zyx .
5. Să se determine unghiul planelor:
( )1P 07 =+− zy şi ( )2P 06 =−+ yx .
78
79
Cursul 9 CALCUL INTEGRAL (I)
Cuvinte cheie: Integrala în R, Funcţiile Γ(α) şi β(p,q) ale lui Euler, Leibniz –
Newton
CALCUL INTEGRAL
A.
Integrala în R. Funcţiile Γ(α) şi β(p,q) ale lui Euler
Primitive. Formula Leibniz – Newton
Definiţie Fie f:I→R. O funcţie F definită şi derivabilã pe I, astfel ca
F`(x)=f(x), ∀x∈I se numeşte primitivã a lui f.
Definiţie Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii continue f(x), se numeşte
integrala nedefinită a funcţiei f , şi notăm: ( )∫ dxxf .
Observaţie Dacã F e o primitivã a lui f, atunci şi F+C, C= constant, este o
primitivã a lui f.
Formula lui Leibniz – Newton
Fie F(x) o primitivã a funcţiei f(x), definitã şi continuã pe [a,b]. Atunci avem:
)a(F)b(Fdx)x(fb
a
−=∫
Relaţia de mai sus poartã numele de formula lui Leibnitz-Newton şi face
legãtura între integrala definită şi nedefinită.
Definiţia funcţiilor Γ şi β
Funcţiile Γ şi β sunt definite astfel:
(1) Γ(α) = dxex x
0
1 −∞
−α∫ , α>0
80
(2) β(p,q) = ( ) dxx1x 1q1
0
1p −− −∫ , p,q >0
(3) β(p,q) = ( ) ( )( )qp
qp+ΓΓΓ
Avem următoarele proprietăţi, prezentate mai jos.
Proprietăţi
P1) π=
Γ
21
Demonstraţie Din (3) avem
( ) ,121
21,
21
2
Γ
Γ
=
β
dar
(4) ( ) ( ) ( ) 1101e1ee
0edxe1 0x
0
x =−−=
−−=−−=
∞−==Γ ∞
∞−−∞
−∫
Γ=
⇒
21
21,
21 2β
Dar
( )
π=π
+π
==
−
=
==−===−
=
−−
=−
=−
=−=
β
−−
−−
∫
∫ ∫∫∫
22t2arcsin
t21
dt21t,1x,
21t,0x,t
21x
21x
41
dx
xx
dxx1x
dxdxx1x21,
21
21
21
21
21
2
2
1
0
1
0 22
1
0211
021
π=
Γ⇒π=
Γ⇒
21
212
P2) ( ) ( )ααα Γ=+Γ 1
Demonstraţie
( ) ( ) ( )αΓα=+αΓ⇒α=α+−==+αΓ −∞
−α−∞
−α∞
α−α−∞
α ∫∫∫ 1dxexdxexexdxex1 x
0
1x
0
1
0
x
0
81
P3) ( ) αα =+Γ 1 !
Demonstraţie Fie:
( ) ( )ααα Γ=+Γ 1
α=1⇒Γ(2)=1⋅Γ(1)⇒Γ(2)=1⋅1=1!
α=2⇒Γ(3)=2⋅Γ(2)⇒Γ(3)=2⋅1=2!
α=3⇒Γ(4)=1⋅Γ(3)⇒Γ(4)=3⋅2⋅1=3!
⇒ ( ) αα =+Γ 1 !
Calculul integralei lui Gauss
Consecinţă
∫∞
− π=
0
x
2dxe
2
Demonstraţie Din
∫∞
−−π=⇒π=
Γ
0
x21
dxex21
∫∫∫∞
−∞
−−∞
− π=⇒π=⇒=⇒=
0
t
0
tt
0
12
2dtee2xtdtet2tx
222
Integrala curbilinie în raport cu coordonatele
Definiţie Se numeşte integrală curbilinie pe arcul (AB)⊂(C), lucrul mecanic
efectuat de forţa variabilă rF când punctul său de aplicaţie M descrie arcul de
curbă (AB), dat prin ecuaţiile:
(1) ( )( )( ) [ ]
∈===
b,at,tzztyytxx
deci:
L = ∫ABrdF rr
, cu dzkdyjdxird,kzjyixrrrrrrrrr
++=++= sau
82
(2) L = ∫ ++AB
dz)z,y,x(Rdy)z,y,x(Qdx)z,y,x(P .
Dacă arcul de curbă (AB) este dat de ecuaţiile parametrice (1), atunci
avem următorul mod de calcul pentru integrala (2).
Din (1) avem dx = f'(t)dt, dy = g'(t)dt, dz = h'(t)dt, t∈[a,b], atunci (2) se
transformă într-o integrală Riemann.
(3) dt)]t('h))t(h),t(g),t(f(R)t('g))t(h),t(g),t(f(Q)t('f))t(h),t(g),t(f(P[Lb
a++= ∫
Deci
∫∫ =++b
aABdt)t(HRdzQdyPdx
sau
∫∫ =b
aABdt)t(HrdF
rr
de unde rezultă proprietăţile:
P1) ∫∫ −=BAAB
rdFrdF rrrr
P2) Dacă 21 FFFrrr
+= atunci:r r r r r rFdr F dr F dr
AB AB AB∫ ∫ ∫= +1 2
P3) ∫∫ λ=λABAB
rdFrdF rrrr
P4) ∫∫∫ +=CBACAB
rdFrdFrdF rrrrrr unde C∈(AB)
5.3. Integrala curbilinie în raport cu arcul de curbă
Definiţie Se numeşte integrală curbilinie în raport cu arcul de curbă pentru
funcţia F continuă pe D⊂R3 care conţine arcul de curbă (AB) integrala:
(1) ∫ABds)M(F unde M(x,y,z)∈D,
ds este elementul de arc şi ds are expresia
ds = 222 dzdydx ++ , iar dacă x = f(t),y = g(t),z = h(t), t∈[a,b] sunt ecuaţiile
parametrice ale arcului de curbă (AB) atunci
ds = dt)t(h)t(g)t(f 222 ′+′+′ şi înlocuind în (1) se obţine:
83
(2) dt)t(h)t(g)t(f))t(h),t(g),t(f(Fds)z,y,x(Fb
a
222
AB ∫∫ ′+′+′=
care reprezintă modul de calcul al integralei curbilinii în raport cu arcul.
B.
1. Să se calculeze:
∫ −=C
dyx2y
dxI
(C) fiind semicercul x2 + y2 - 2x = 0 ,y ≥ 0
Rezolvare Reprezentarea parametrică a semicercului este:
x = 1 + cos t, y = sin t, t ∈ [0,π]
Prin diferenţiere avem:
dx = - sin t dt, dy = cos t dt
iar comform reguli de calcul a integralei curbilinii:
4dt2tcos2t
dt2tcos221dt)tcos1(2
tsintsin
00
0
2
0
−π−=−−=
=
−−=
+−−
∫
∫∫π
π
ππ
2. Să se calculeze:
I = ∫ +C
22 ds)yx(
unde (C) este segmentul AB, A(a,a) şi B(b,b), b>a.
Rezolvare Segmentul AB aparţine primei bisectoare de ecuaţie y = x. Deci
reprezentarea parametrică este :
AB: x = t, y = t, t ∈ [a,b]
dx = dt, dy = dt ⇒ ds = 2 dt.
∫ −==b
a
332 )ab(3
22dtt22I
84
Întrebări
Să se calculeze:
1. ∫ ++C
dy x dx y) (1
(C) x = t, y = t, t ∈ [0,1]
2. ∫ +C
dy dy xy
(C) x = 9 cos t,y =9 sin t ,t ∈ [0,2π]
3. Să se calculeze: I = ∫C
xyzds ,unde
(C): x = t ; 3t232y = ; 2t2
1z = , t∈[0,1]
4. I = ∫C
2dsx
unde (C) este arcul de cerc definit prin intersecţia sferei
x2 + y2 + z2 = a2 cu planul
y = x parcurs de la punctul A(0,0,-a) la B(0,0,a).
5. Utilizând integrala curbilinie să se calculeze lungimea unui arc de cerc.
85
Cursul 10 CALCUL INTEGRAL (II)
Cuvinte cheie: Integrala dublă, formula lui Green
5.4. Integrala dublă
5.4.1. Definiţie. Proprietăţi
Fie f(x,y) o funcţie definită şi mărginită pe un domeniu plan D, deci m ≤
f(x,y) ≤ M, pentru orice (x,y)∈D⊂R2.
Presupunem că domeniul D este închis şi mărginit deci interior unui
interval bidimensional I = {(x,y)a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} şi că funcţia f(x,y) este
pozitivă pe D, f(x,y) ≥ 0, pentru orice (x,y)∈D.
Datorită faptului că f(x,y) ≥ 0 pe D, deducem că graficul funcţiei
z = f(x,y), (x,y)∈D,
D
CD
A B
a b xO
c
d
y
Figura 1.
Definiţie Se numeşte integrală dublă a funcţiei f:D⊂R2→R, funcţia fiind
mărginită şi integrabilă pe D, numărul I = ∫∫Ddxdy)y,x(f , unde dxdy se numeşte
element de arie iar D domeniu de integrare.Vom avea:
P1) Dacă f integrabilă pe D şi λf este integrabilă pe D, pentru orice λ∈R
şi avem:
∫∫∫∫ λ=λDD
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
reprezintă o suprafaţă
situată în întregime
deasupra planului xOy şi
care are ca proiecţie pe
planul xOy domeniul D
(vezi figura 1).
86
P2) Dacă f,g sunt integrabile pe D atunci f ± g sunt integrabile pe D şi
avem:
∫∫ ∫∫∫∫ +=±D DD
dxdy)y,x(gdxdy)y,x(fdxdy)]y,x(g)y,x(f[
P3) Dacă f este integrabilă pe D şi domeniul D este împărţit în două
subdomenii D1 şi D2 printr-o curbă (C), atunci f este integrabilă pe domeniile D1
şi D2 şi avem
∫∫ ∫∫∫∫ +=1 2D DD
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
P4) Dacă f este integrabilă pe D, atunci feste integrabilă pe D şi:
∫∫∫∫ ≤DD
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
P5) Dacă f este mărginită şi integrabilă pe D; deci: m ≤ f(x,y) ≤ M,
(x,y)∈D atunci există µ∈(m,M) astfel încât: ∫∫Ddxdy)y,x(f = µ⋅A, unde A=
aria(D).
P6) Dacă f este continuă pe D atunci există (ξ,η)∈D astfel ca să avem:
∫∫Ddxdy)y,x(f = A⋅f(ξ,η),
proprietatea se numeşte formula mediei pentru integrala dublă.
Calculul integralei duble
Cazul domeniului dreptunghiular
D
a b xO
c
d
y
Figura 2.
Fie D = {(x,y)a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d}
şi f integrabilă pe D şi
mărginită, atunci dacă: pentru
orice x∈[a,b] există integrala
F(x)= dy)y,x(fd
c∫ şi F(x) este
integrabilă pe [a,b] atunci:
87
∫∫ ∫∫∫ =
=
b
a
b
a
d
cDdx)x(Fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
sau dacă: pentru orice y∈[c,d] există integrala
F(y) = dx)y,x(fb
a∫
şi F(y) este integrabilă pe intervalul [c,d] atunci:
∫∫ ∫∫∫ =
=
d
c
d
c
b
aDdy)y(Fdydx)y,x(fdxdy)y,x(f
Observaţie Dacă f este integrabilă în raport cu x∈[a,b] pentru orice y∈[c,d] şi
invers, atunci avem formula:
∫ ∫∫ ∫∫∫
=
=
d
c
b
a
b
a
d
cDdydx)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
şi se mai folosesc şi notaţiile:
∫ ∫∫ ∫ =
b
a
d
c
b
a
d
cdy)y,x(fdxdxdy)y,x(f
şi
∫ ∫∫ ∫ =
d
c
b
a
d
c
b
adx)y,x(fdydydx)y,x(f
Cazul domeniului oarecare
y
d
c
O a b x
C
B
QP F
D
E
D
Γ
A
Figura 3.
Teoremă Fie funcţia f:D⊂R2→R mărginită şi integrabilă pe D; dacă există
integrala:
Fie punctele A, B de
abscise extreme a, b
şi C, D de coodonate
extreme c, d (vezi
figura 3), atunci avem
teorema (dată fără
demonstraţie):
88
F(x) = ∫)x(f
)x(f
2
1
dy)y,x(f ,
pentru orice x∈[a,b] şi dacă F(x) este integrabilă pe [a,b] atunci:
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fb
a
)x(f
)x(fD
2
1∫ ∫∫∫
= , unde
y = f1(x), a ≤ x ≤ b este ecuaţia arcului ACB şi y = f2(x) ecuaţia arcului ADB al
curbei Γ care mărgineşte domeniul D şi dacă x = g1(y), c ≤ y ≤ d, x = g2(y) fiind
ecuaţiile arcelor CAD şi respectiv CDB şi funcţia:
F(y) = ∫)y(g
)y(g
2
1
dx)y,x(f
există şi este integrabilă pentru y∈[c,d] atunci avem:
dydx)y,x(fdxdy)y,x(fd
c
)y(g
)y(gD
2
1∫ ∫∫∫
= iar o paralelă la axa Ox taie conturul
curbei Γ numai în două puncte.
Formula lui Green
Legătura între integrala curbilinie din plan şi integrala dublă este dată de
formula lui Green. Fie domeniul D simplu în raport cu ambele axe, mărginit de
curba Γ, atunci avem:
Teoremă Fie P(x,y), Q(x,y) două funcţii continue şi derivabile parţial în D cu
derivatele xQ,
yP
∂∂
∂∂ continue pe D atunci avem:
∫∫∫
∂∂
−∂∂
=+Γ
Ddxdy
yP
xQdy)y,x(Qdx)y,x(P
numită formula lui Green, curba Γ este parcursă direct şi mărgineşte domeniul D
(figura 4).
Demonstraţie
89
D
a b xO
c
d
y
D
BA
C
Γ
Figura 4
)1(dx)y,x(P
dx)y,x(Pdx)y,x(Pdx))x(f,x(Pdx))x(f,x(P
dx)y,x(PdyyPdxdxdy
yP
ACB
b
a BDA1
b
a 2
)x(f
)x(f
b
a
b
a
)x(f
)x(fD
2
1
2
1
∫∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫
Γ
=
=+=+−=
=−=∂∂
−=∂∂
−
Apoi dacă x = g1(y), c ≤ y ≤ d este ecuaţia arcului CAD şi x = g2(y) ecuaţia
arcului CBD atunci avem asemănător:
)2(dy)y,x(Qdy)y,x(Qdy)y,x(Q
dy)y),y(g(Qdy)y,x(Qdy)y),y(g(Qdy)y),x(g(Q
dy)y,x(QdxxQ
dydxdyyQ
DACCBD
c
d 1
b
a CBD1
d
c 2
)y(g
)y(g
d
c
d
c
)y(g
)y(gD
2
1
2
1
∫∫∫∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫
Γ
=+=
=+=−=
==∂∂
=∂∂
Din (1) şi (2) rezultă formula integrală a lui Green:
∫∫∫
∂∂
−∂∂
=+Γ
Ddxdy
yP
xQdy)y,x(Qdx)y,x(P
Aplicaţie O aplicaţie a formulei lui Green este formula pentru calculul
domeniului:
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
−=
∂−∂
−∂
∂=
=
∂∂
−∂∂
=−−==
CD
DDDD
ydxxdy21dxdy
y)y(
x)x(
21
dxdyyR
xQ
21dxdy)]1(1[
21dxdyA
B.
1. Să se calculeze integrala:
Fie A, B cu abscisele extreme a, b
şi C, D cu ordonatele extreme c,
d. Dacă y = f1(x), a ≤ x ≤ b, este
ecuaţia arcului ACB şi y = f2(x),
c ≤ y ≤ d ecuaţia arcului ADB
atunci se poate scrie:
90
I = ( )∫∫++D
32y2x1
xdxdy
unde D este dreptunghiul [1,2]x[1,2].
Rezolvare I= ∫∫ ∫ =
++
2
1
2
1
2
1322
dy)y(Fdydx)yx1(
x unde:
∫++
=2
1322
dx)yx1(
x)y(F
Facem schimbarea de variabilă tyx1 22 =++
F(y)= ∫+
+
5y
2y2
2
2 tdt =
5y1
2y1
t1
22
5y
2y
2
2 +−
+=−
+
+
I= ∫
+−
+
2
122
dy5y
12y
1 =2
12
2
5yy
2yyln
++
++
2. Să se calculeze:
I= ∫∫D
xydxdy
unde (D) este limitat de curbele: (C1) xy=1, (C2) x+y=5/2
Rezolvare
I = ∫ ∫
−2
21
x25
x1
dxxydy = ∫2
21
F(y)dy
F(y) =x
25
x1
2y2x −
I = ∫ −−2
21
22 ]dx
x1)x
25([
2x =
128165 –ln 2
3. Utilizând aplicaţia formulei lui Green să se calculeze aria elipsei:
1by
ax
2
2
2
2
=+ .
91
Rezolvare Reprezentarea parametricã a elipsei este:
==
tsinbytcosax , [ ]π∈ 2,0t
∫ ∫ π=+=−=π
C
22
0
2D abdt)tsinabtcosab(
21ydxxdy
21A
Întrebări
1. Să se calculeze
∫∫ +=D
y)dxdyln(xI ,unde D = [1,2]x[0,1]
2. Să se calculeze
∫∫=D
dxdyyxI 32 ,unde D = [1,3]x[0,2]
3. Să se calculeze
( )∫∫ +=D
dxdyyxI 2 ,unde D = [1,2]x[1,2]
4. Să se calculeze
∫∫=D
xydxdyI ,
unde D este domeniul limitat de curbele y= x2 şi y =2x+ 3.
5. Să se calculeze
( )∫∫ +=D
dxdyyxI ,
unde D este domeniul limitat de curbele y= x2 şi y =5x- 6.
92
93
Cursul 11 EVENIMENTE. PROBABILITĂŢI
Cuvinte cheie: Evenimente aleatoare, probabilităţi
STATISTICĂ ECONOMICĂ
Evenimente. Probabilităţi
A.
a) Se numeşte eveniment, rezultatul obţinut în urma efectuării unei
experienţe, rezultat despre care putem spune cu certitudine că s-a produs numai
după efectuarea experienţei.
b) Numim eveniment sigur, evenimentul care se realizează cu certitudine
şi eveniment imposibil, evenimentul care nu poate fi realizat la nici o efectuare a
experienţei.
c) Fie un eveniment A. Atunci vom nota cu __
A evenimentul contrar lui A,
care constă în nerealizarea lui A.
Definiţie Se numeşte probabilitatea de apariţie a unui eveniment A, notată P(A),
valoarea dată de raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării
evenimentului A şi numărul cazurilor posibile realizării lui. Dacă notăm cu „m”
numărul cazurilor favorabile şi cu „n” numărul cazurilor posibile, atunci
( )nmAP = .
Observaţie În practică apare necesitatea introducerii operaţiilor cu evenimente,
iar pentru reprezentarea acestora pot fi folosite simboluri din teoria mulţimilor:
• eveniment sigur: E
• eveniment imposibil: φ
• eveniment contrar lui A: CAA__
=
• apariţia evenimentului A sau B: BA ∪
• apariţia evenimentului A şi B: BA ∩
94
Definiţie Evenimentele A şi B se numesc incompatibile dacă φ=∩ BA .
Definiţie Definim PA(B), ca fiind probabilitatea de apariţie a evenimentului B
ştiind că a apărut evenimentul A. (condiţionată de apariţia evenimentului A).
Definiţie Evenimentele A şi B sunt independente dacă: PA(B) = P(B), PB(A) =
P(A).
Observaţie
• ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ , dacă φ≠∩ BA
• ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪ , dacă φ=∩ BA
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPAPBPBAP BA ⋅=⋅=∩
• ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ , dacă A şi B sunt independente
Observaţie
• ( ) 0P =φ , ( ) 1EP =
• ( )AP1AP___
−=
B.
1. Să se determine probabilitatea de apariţie a feţei cu numărul „2” la
aruncarea unui zar.
Rezolvare Fie A, evenimentul: „apariţia feţei 2”.
Toate evenimentele posibile sunt corespunzătoare apariţiei feţelor: „1”,
„2”, „3”, „4”, „5”, „6”, deci în număr de 6. Numărul cazurilor favorabile este 1,
corespunzător apariţiei feţei „2”. Deci ( )61
=AP (sau exprimat în procente:
16.7 %).
2. Să se determine probabilitatea de apariţie a unui număr par la aruncarea
unui zar.
Rezolvare
Cazurile favorabile sunt: „2”, „4”, „6”, deci 3 evenimente favorabile.
Cazurile posibile sunt: „1”, „2”, „3”, ..., „6”, deci 6.
95
Deci 21
63
==P .
3. Să se determine probabilitatea de apariţie a unei duble la aruncarea a
două zaruri.
Rezolvare
Cazurile favorabile sunt: „1,1”; „2,2”; „3,3”; „4,4”; „5,5”; „6,6”, deci 6
evenimente. Cazurile posibile sunt: „1,1”; „1,2”; „1,3”, ...”1,6”, ...”6,6”, deci 36
de evenimente. Avem deci 61
366
==P .
4. Se cunoaşte că într-un lot de 10 produse alimentare două corespund
standardelor de calitate. Se cere probabilitatea ca în urma extragerii fără revenire
a două produse din lot să obţinem cele două produse necorespunzătoare.
Rezolvare Fie:
A evenimentul: „la prima extragere să obţinem un produs
necorespunzător”;
B evenimentul: „la a doua extragere să obţinem un produs
necorespunzător, ştiind că s-a produs evenimentul A”.
Atunci evenimentul cerut este BA ∩ . Avem: ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩
Avem: ( )102AP = (două cazuri favorabile şi 10 posibile), iar ( )
91
=BP ,
deoarece după prima extragere a rămas un produs necorespunzător din 9
produse.
Deci ( )902
91
102BAP =⋅=∩
5. Dintr-un lot de 100 de mere, 10 sunt stricate. Care este probabilitatea ca
scoţând 5 la întâmplare să scoatem şi stricate.
Rezolvare
Fie evenimentul: A: „din 5 extrageri să scoatem şi mere stricate”. Atunci: __
A : „din 5 extrageri să scoatem doare mere bune”
96
Atunci ( )
−=
__
AP1AP . Pentru apariţia lui __
A numărul cazurilor posibile este 5100C ,
iar a celor favorabile 590C . Deci 5
100
590
__
CC
AP =
şi ( ) 5
100
590
CC
1AP −= .
Întrebări
1. Care este probabilitatea ca în urma aruncării a două zaruri să obţinem:
a) suma punctelor egală cu 8; b) faţa 6:6; c) suma punctelor un număr prim.
R: a) 5/36; b) 1/36; c) 7/18.
2. Două magazine alimentare livrează fiecare acelaşi produs.
Probabilitatea ca un produs din primul magazin să fie alterat este 0,03, respectiv
0,04. Se ia câte un produs din fiecare magazin. Se cere probabilitatea de apariţie
a evenimentelor:
a) ambele să fie alterate;
b) ambele să fie bune;
c) unul să fie alterat şi unul nu.
R: a) 0,0012; b) 0,9312; c) 0,066
3. Două magazine alimentare ale aceleaşi societăţi vând acelaşi produs şi
deţin şi unele mărfuri necorespunzătoare din punct de vedere al calităţii. Astfel,
în cazul primului magazin din 100 de produse 5 sunt necorespunzătoare, iar la al
doilea din 50 de produse 2 sunt necorespunzătoare. Se cere probabilitatea ca în
cazul unui control privind calitatea produselor, efectuat la întâmplare într-unul
din magazine (care constă într-o singură extragere), să obţinem un produs
necorespunzător.
R: 0,045
4. O urnă conţine 5 bile albe şi 3 bile negre, iar alta 6 bile albe şi o bilă
neagră. Care este probabilitatea ca luând la întâmplare o bilă din una din urne să
obţinem o bilă albă?
97
R: 0,74.
5. Fie trei loturi de produse alimentare. Primul conţine 5 produse, dintre
care două sunt alterate. Al doilea 8 produse, din care două alterate, iar al treilea
10 produse din care 7 sunt necorespunzătoare. Care este probabilitatea ca
extrăgând la întâmplare câte un produs dintr-un lot, acesta să fie corespunzător?
R: 0,55.
98
99
Cursul 12 VARIABILE ALEATOARE
Cuvinte cheie: Variabile aleatoare discrete, media, dispersia
Variabile aleatoare
A.
Variabile aleatoare discrete (V.A.D.)
Definiţia V.A.D.
Să presupunem că valorile unei anumite variabile X reprezintă
evenimentele incompatibile X = xi, ___
,1 ni = . Fie pi, ___
,1 ni = probabilitatea de
apariţie a evenimentului X = xi, sau ( ) ii pxXP == . Schematic vom reprezenta:
n21
n21
p..ppx..xx
X
Observaţie Deoarece evenimentele sunt incompatibile,
( ) ( )Un
1iin21 xXE,1EPp....pp
=
====+++
Proprietăţi:
P1.
n21
n21
p..ppax..axax
aX , ∈a R.
P2. Fie
n21
n21
p..ppx..xx
X ,
m21
m21
q..qqy..yy
Y
Atunci:
100
++++=+
nmm11211
mnm12111
p..p.ppyx..yx.yxyx
YX
unde:
( ) ( )[ ]jiij yYxXPp =∩==
P3.
=
nmm11211
mnm12111
p..p.ppyx..yx.yxyx
XY
unde:
( ) ( )[ ]jiij yYxXPp =∩==
Observaţie Pentru ridicarea la putere a unei variabile aleatoare discrete, avem:
n21
rn
r2
r1r
p.ppx.xx
X
Definiţie Spunem că două variabile aleatoare discrete sunt independente dacă
toate evenimentele lor sunt independente.
( ) ( )[ ] ( ) ( ) jijijiij qpyYPxXPyYxXPp ⋅==⋅===∩==
şi deci:
++++
mn2211
mn2111
qp.qpqpyx.yxyx
YX
mn2211
mn2111
qp.qpqpyx.yxyx
XY
Media şi dispersia unei V.A.D.
Definiţie Vom numi medie a unei variabile aleatoare discrete X numărul:
( ) ∑=
=+++=n
1iiinn2211 xpxp...xpxpXM
Proprietăţi
a) ( ) ( )XMaXaM +=+
101
b) ( ) ( )XMaaXM ⋅=
c) ( ) ( ) ( )YMXMYXM ±=±
d) ( ) ( ) ( )YMXMXYM ⋅= , pentru X, Y, variabile independente.
Definiţii
a) Fie o variabilă aleatoare discretă X şi o constantă a. Se numeşte abatere
de la constanta „a” a variabilei aleatoare discrete X, variabila X – a.
b) Dacă ( )XMa = , se numeşte abaterea de la medie a variabilei aleatoare
discrete X, variabila X – M(X).
c) Se numeşte dispersie a unei variabile aleatoare X, numărul notat 2σ sau
( )XD a cărui valoare este:
( ) ( )( )[ ]22 XMXMXD −=σ=
d) Se numeşte abatere medie pătratică a variabilei aleatoare discrete X,
numărul:
( ) ( )( )[ ]22 XMXMXD −==σ
Proprietăţi
a) ( ) ( ) ( )XMXMXD 22 −=
b) ( ) ( )XDaaXD 2= ; ( ) ( )XDXaD =+
c) ( ) ( ) ( )YDXDYXD +=±
d) ( ) Ra,0aD ∈=
Variabile aleatoare continue (V.A.C.)
Definiţia V.A.C.
Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare continuă, o variabilă ce ia o infinitate
de valori şi care nu pot fi scrise într-un şir. Schematic se notează ( )
xf
xX , unde f
102
definită pe [ ]__
Rb,a ∈ reprezintă densitatea de repartiţie sau densitatea de
probabilitate a variabilei şi are proprietăţile:
( ) [ ]
=
∈∀≥
∫b
a
1dx)x(f.2
b,ax,0xf.1
Funcţia de repartiţie
Fie F(x) derivabilă [ ]b,ax ∈∀ astfel încât ( ) ( )xfxF ' = , atunci F(x) se
numeşte funcţie de repartiţie.
Observaţia 1 Pentru o variabilă aleatoare continuă X, probabilitatea ca X să ia
valoarea x este valoarea funcţiei [ ] Rb,a:f → în [ ]b,ax ∈ .
În cazul variabilei aleatoare X de mai sus, F se defineşte ca fiind:
( ) ( )xXPxF <=
Observaţia 2
( ) ( ) ( ) [ ]∫ ∈=−=<< 2
1
X
X 211221 b,ax,x;dx)x(fxFxFxXxP
Observaţia 3
( ) ( )∫=x
adyyfxF
Observaţia 4 Media şi dispersia unei variabile aleatoare continue sunt date de
relaţiile:
( ) ( )∫==b
adxxxfmXM ; ( ) ( ) ( )∫ −=σ=
b
a
22 dxxfmxXD
Repartiţia uniformă
Fie variabila aleatoare continuă
X
− ab1x
, x ∈ [a,b] deci densitatea de
Figura 1
103
probabilitate se defineşte astfel f(x) = [ ]
[ ]
∈−
∉
b,ax,ab
1b,ax,0
şi are graficul din figură.
Funcţia de repartiţie corespunzătoare va fi:
F(x) = ( )∫x
a
dxxf = =abaxx
ab1dx
ab1dx
ab1 x
a
x
a
x
a −−
=−
=−
=− ∫∫
şi are ca expresie: F(x) =
>
≤≤−−
<
bx,1
bxa,abax
ax,0
cu graficul de mai jos,
Figura 2
din care rezultă, 0 ≤ F(x) ≤ 1. Media şi dispersia variabilei aleatoare continue X
va fi:
M(X) = ( ) ( )( )=
−+−
=−−
=−
=−
=∫∫ ababab
21
abab
21
2x
ab1dx
ab1xdxxxf
22b
a
2b
a
b
a 2ba+ ,
deci, M(X) = 2
ba + .
D(X)= ( ) ( ) ( ) =−
+−=− ∫∫ dxab
1xxx2xdxxfxxb
a
222b
a
= ( )
++
+−
−
b
a
2b
a
2b
a
3
x4ba
2ba
2x2
3x
ab1 ⇒ ( ) ( )
12baXD
2−= .
Repartiţia normală (curba lui Gauss.
104
Fie X ( )xxϕ
x∈[a,b]; ( )ϕ x = n(x, m, σ).
Observaţie Foarte multe distribuţii din punct de vedere practic sunt apropiate de
această distribuţie zisă normală, cu funcţia de probabilitate ( )xϕ , unde:
( ) =xϕ n(x, m, σ) = 2mx
21
e2
1
σ−
−
πσ x∈R.
Se arată că
1°. n(x, m, σ) ≥ 0
2°. ( )n x, m, σ dx =−∞
∞
∫ 1
Pentru reprezentarea grafică avem:
( )lim , ,x
n x m→±∞
=σ 0
dndx
x me
x m
= −− −
−
σ πσ
3
12
2
2
; d ndx
e x mx m
2
2
12
3
2
2
21=
−
−
−−
σ
σ π σ; dn
dx= 0
⇒ x = m şi n(x, m, σ) = 12σ π
; d ndx
2
2 = 0 ⇒
x1,2 = m ± σ puncte de inflexiune, 0dx
nd2
2
≤ pentru [ ]σ+σ−∈ m,mx .
Figura 3. Graficul curbei lui Gauss
Să arătăm că M(X) = m şi ( )XD=σ
105
Pentru calculul lui M(X) avem:
M(X)= ( ) =σπσσ+
=πσ
=ϕ−
−∞
∞
σ−
−−∞
∞∫∫∫ dte
2tmdxe
2xdxxx
222
2tmx
21b
a
=π
σ+
π= ∫∫
∞
∞−
−−−∞
∞
dtte2
dte21m 2
t2t 222
m + =π
σ−=
−
πσ ∞
∞−
−∞
∞−
−
∫ 2t
2t 22
e2
mdte2
= ( ) mXMmm =⇒=+ 0
Observaţie
σ+=⇒=σ− tmxtmx şi dtdx σ=
( ) ( ) ( )
)X(Dsau)X(D
22
dte2
dteet2
dtet2
dxe2mxdxxxx)X(D
2
22
2t2
2t
2t2
2t
22mx
21b
a
22
2
=σσ=
⇒σ=ππ
σ=
πσ
=
+−
πσ
=
=π
σ=
πσ−
=ϕ−=
−∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
σ−
−∞
∞−
∫∫∫
∫∫ ∫
B.
1. Să se calculeze Z = X + Y şi T = XY, unde:
2,02,06,0
641Y,
5,03,02,0532
X
Rezolvare
10,016,004,006,034,018,012,0
11987643Z
10,010,006,010,004,030,018,012,0
302018128532T
2. Probabilitatea extragerii unui produs corespunzător dintr-un lot este p.
Din lot se fac 2 extrageri, punându-se înapoi produsul. Fie X1, X2 variabilele
106
corespunzătoare fiecărei extrageri. Să se determine suma şi produsul celor două
variabile.
Rezolvare
−
− p1p
01X,
p1p01
X 21
( ) ( ) ( )
−−−++++
+ 2221 p1pp1p1pp00100111
XX
( ) ( )
−−
+ 2221 p1p1p2p012
XX
( ) ( ) ( )
−−−⋅⋅⋅⋅
2221 p1pp1p1pp00100111
XX
( ) ( )
−+− 2221 p1p1p2p
01XX
3. Se dă variabila aleatoare:
1,02,02,03,02,0
54321X
Să se determine media, dispersia şi abaterea standard.
Rezolvare
Ştiind că: ( ) ∑ ⇒= ii pxXM
( ) 7,21,052,042,033,022,01XM =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
Pentru calculul lui ( )XD folosim formula:
( ) ( ) ( )XMXMXD 22 −=
Calculăm
( ) ∑= i2i
2 pxXM şi avem:
( ) 9,81,052,042,033,022,01XM 222222 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
( ) ( ) 29,77,2XM 22 ==
( ) 61,129,79,8XD =−=
( ) ( ) ( ) 27,1XXDX =σ⇒=σ
107
4. Se dau variabilele aleatoare:
3,05,02,0
321X şi
8,02,00
321Y
Să se calculeze ( )YXM + şi ( )YXD −
Rezolvare
Ştim că:
( ) ( ) ( )YMXMYXM +=+
( ) ∑=
=3
1iiipxXM ; ( ) ∑
=
⇒=3
1jjjqyYM
( ) 1,23,035,022,01XM =⋅+⋅+⋅=
( ) 8,28,032,0201YM =⋅+⋅+⋅=
( ) 9,48,21,2YXM =+=+
( ) ( ) ( )YDXDYXD +=−
( ) ( ) ( ) ( ) 49,01,23,035,022,01XMXMXD 222222 =−⋅+⋅+⋅=−=
( ) ( ) ( ) ( ) 16,08,28,032,0201YMYMYD 222222 =−⋅+⋅+⋅=−=
( ) 65,016,049,0YXD =+=−
5. Se dă variabila aleatoare
1,03,05,01,0
4321X
Să se calculeze variabila aleatoare normată.
Rezolvare
Calculăm valorile z pentru variabila aleatoare normată.
( )
i
i
xfz
Z unde σ−
=mx
z ii
Cum:
( ) 4,21,043,035,021,01XMm =⋅+⋅+⋅+⋅==
( ) ( ) 64,04,21,043,035,021,01XD 22222 =−⋅+⋅+⋅+⋅=
( ) 75,1mx
z8,0XD 11 −=
σ−
=⇒==σ ;
108
5,02 −=z ; 75,03 =z ; 24 =z ⇒
−−1,03,05,01,0
275,05,075,1Z .
6. Se dă funcţia ( )21 x
Axf−
= , ( )1,1−∈x . Să se determine valoarea lui A,
astfel încât f să fie densitate de probabilitate.
Rezolvare
π=⇒
=
≥⇒
=−
>⇒
=−
≥−
−−
∫∫
1A1/xarcsinA
0A1dx
x1AA
0A
1dxx1
A
0x1
A
112
1
1 2
2
7. Se dă funcţia ( ) xx eekxf −+
= , Rx ∈ . Să se determine k, astfel încât
funcţia f să fie densitate de probabilitate.
Rezolvare
∫∞+
∞− −=
+1dx
eek
xx
∫ ∫ ∫ =+
=+
=+ −
−
− teunde,
t1t
dtt1
kdxee
eekdxee
1k xxx
xx
xx
π=⇒=⇒==
+= ∞+
∞−∫2k1/earctgkearctgktarctgkdt
1tdtk xx
2
8. Variabila aleatoare X urmează o lege de distribuţie a cărei densitate de
probabilitate este dată în figura de mai jos:
Se cere: a) să se exprime densitatea de
probabilitate f(x); b) ( ) ( )XD;XM .
Rezolvare
109
( ) x2xf =
( )32dxx2xXM
1
0=⋅= ∫ ; ( ) ∫ =
−=
1
0
2
181dxx2
32xXD
9. Variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate:
( ) ( ) ( )
( )
−∉
−∈+π=
1,1x,0
1,1x,x1
1xf 2 . Să se calculeze ( )2XM .
Rezolvare
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+∞
∞− ∞−
∞=+==
1
1
2222 dxxfxdxxfxdxxfxXM
( )∫−−π=
+π⋅=
1
1 22 2/1/2dx
x11x
Întrebări
1. Să se determine variabila aleatoare nX unde:
−
21
21
11X .
R:
11
X n când n este număr par şi XX n = când n este număr impar.
2. Să se determine distribuţia variabilei X + Y, unde:
++
−2p12pq2
31
10aY,
31
31q
61p
101X 1,0 ≠≠ aa , iar X, Y sunt
independente.
3. Fie variabilele aleatoare independente X şi Y. Să se calculeze
( )Y4X2M + şi ( )Y4X2D + pentru:
2,01,07,0
421X ,
3,01,04,02,0
7641Y .
R: ( ) 4,21Y4X2M =+ ; ( ) 04,80Y4X2D =+
4. Se dă variabila aleatoare discretă
4,04,02,0
xx1X 21 . Să se determine x1
şi x2 dacă M(X) = 1,4 şi x2 = x1 + 1
110
R: x1 = 1; x2 = 2
5. Să se determine a, p1, p2 din variabila aleatoare discretă
21 ppa0
X ,
ştiind că ( )21XM = , ( )
21XM 2 =
R: 5,0,5,0,1 21 === ppa
111
Cursul 13 PRELUCRAREA STATISTICĂ A DATELOR
EXPERIMENTALE
Cuvinte cheie: date statistice, mărimi medii, mediană, modul
Prelucrarea statistică a datelor experimentale
A.
Date statistice. Mărimi medii. Mediană. Modul
Definiţie Se numeşte serie de date statistice şirul de valori ix ,
ni ,...,1= corespunzător observaţiilor cu numărul „i”. Vom nota { }n21 x...,,x,xX = .
Definiţie Se numeşte serie de distribuţii de frecvenţă perechile ( )ii y,x , ni ,...,1= ,
unde ix reprezintă valoarea variabilei şi iy frecvenţa de apariţie.
Definiţie
a) Se numeşte medie aritmetică a seriei X, numărul: ∑=
=n
1ii
__
xn1x
b) Se numeşte medie geometrică a seriei X, numărul: nn
1ii
__
g xx ∏=
=
c) Se numeşte medie armonică a seriei X, numărul: ∑
=
= n
1n i
__
a
x1
nx
Observaţie Dacă valorile ix apar cu ponderea ip , atunci media aritmetică se
calculează cu relaţia: n
pxx
n
1iii__
p
∑== .
Definiţie Fie { }n21 x...,,x,xX = o serie de date statistice ordonată crescător. Se
numeşte mediană a seriei x, valoarea mx care împarte seria în două părţi egale.
112
Observaţie Dacă n este impar, atunci 2
1xx n
m+
= . Dacă n este par, atunci
2
1xxx 2
n2n
m
++=
Definiţie Se numeşte modul (mod) al unei serii X, acea valoare ix care are
frecvenţa cea mai mare, notată Mx .
Parametrii variaţiei
Fie seria de date statistice { }n21 x...,,x,xX = . Dacă notăm cu supx , respectiv infx cea mai mare, respectiv cea mai mică valoare a seriei, atunci avem:
Definiţie
Se numeşte amplitudine absolută a seriei, numărul: infsup xxA −=
Se numeşte amplitudine relativă, numărul: 100x
A%A __ ×=
Definiţie Se numeşte abatere faţă de media aritmetică a unei valori ix numărul: __
i
__
i xxxa −=
. Media pătratelor acestor valori este:
∑=
−=σ
n
1i
2__
i2 xx
n1
şi se numeşte dispersie (varianţă), iar ∑=
−=σ
n
1i
2__
i xxn1 se numeşte abatere
standard.
Observaţie Dacă datele sunt împărţite în k grupe şi in reprezintă frecvenţa de
apariţie a fiecărei grupe, atunci ( ) i
k
1i
2__
i2 nxx
n1XD ⋅
−= ∑
=
113
Corelaţia între două variabile
Vom defini coeficientul de corelaţie a două variabile ca fiind o măsură a
gradului de dependenţă dintre două variabile. Astfel, dacă date sunt grupate sub
forma tabelului:
ix 1x 2x ... ... nx
iy 1y 2y ... ... ny
Atunci definim coeficientul de corelaţie ca fiind:
∑ ∑
∑
= =
=
−
−
−
−
=n
1i
2n
1i
__
i
2__
i
n
1i
__
i
__
i
yyxx
yyxxr
Valorile lui r sunt cuprinse în intervalul (-1, 1). Dacă 0r = , avem o lipsă
de dependenţă între cele două variabile, pe când, dacă 1r ±= corelaţia este totală.
Teoria regresiei
Regesia liniară
Teoria regresiei se ocupă cu aflarea legăturii dintre două serii de date
statistice şi anume a funcţiei care trece prin şi printre norul de puncte
reprezentate în planul xOy, puncte care rezultă din cele două serii statistice.
Dacă cele două serii de date statistice sunt date într-un tabel de forma:
x x1 x2 … xn …
y y1 y2 … yn …
atunci punctele Mi au coordonatele xi, yi, deci Mi (xi, yi).
114
În cazul regresiei liniare norul de puncte are forma unei benzi liniare, ca în
figura de mai jos. Fie y = ax+b dreapta de regresie, unde urmează să determinăm
pe a şi b astfel încât ea să treacă cât mai mult prin şi printre punctele norului.
Se foloseşte metoda celor mai mici
pătrate (m.c.m.m.p.), adică se
minimizează suma pătratelor
distanţelor pe ordonată dintre un
punct de pe dreaptă şi un punct din
nor.
Avem:
di = y yx x
ii=− ⇒ di = axi + b - yi.
Metoda celor mai mici pătrate constă în minimizarea funcţiei
( ) ∑=
=ϕn
1i
2idb,a deci
( ) ( )∑=
−+=ϕn
1i
2ii ybaxb,a .
Se rezolvă sistemul
(S)
=ϕ=ϕ
0'0'
b
a
sau
(S) ( )
( )
=⋅++
=⋅++
∑
∑
=
=n
1iii
n
1iiii
01ybax2
0xybax2
sau
(S)
=⋅+
=+
∑ ∑
∑ ∑∑
= =
= ==n
1i
n
1ii
2i
n
1ii
n
1ii
n
1ii
2i
ynbxa
yxxbxa.
115
Din rezolvarea sistemului (S) ⇒ a, b şi am aflat dreapta de regresie y = ax
+ b.
Observaţie Dacă în ultimul sistem (S) obţinut, împărţim ecuaţia a II-a cu “n”
vom avea:
bxayn
y
nnb
n
xa
n
1ii
n
1i
2i
+=⇒=+∑∑
== ,
deci dreapta de regresie trece tot timpul prin punctul de coordonate ( )x y, ,
rezultat care demonstrează că dreapta de regresie reprezintă cel mai bine
fenomenul studiat.
Regresia parabolică
Fie (1) y = ax2 + bx + c şi Mi (xi, yi). În cazul în care norul de puncte are o
formă parabolică ca în figură, se presupune ca funcţie de regresie funcţia (1)
adică parabola
y = ax2 + bx + c. Se formează funcţia ϕ (a, b, c) pentru a aplica m.c.m.c.p. :
( ) ( )2n
1iii
2i ycbxaxc,b,a ∑
=
−++=ϕ
apoi:
116
(S)
=ϕ=ϕ=ϕ
0'0'0'
c
b
a
sau
(S)
( )( )
( )
=−++
=−++
=−++
∑
∑
∑
=
=
=
0ycbxax2
0ycbxaxx2
0ycbxaxx2
n
1iii
2i
n
1iii
2ii
n
1iii
2i
2i
sau
(S)
=⋅++=++=++
∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑
ii2
i
iii2
i3
i
i2
i2
i3
i4
i
yncxbxayxaxcxbxayxaxcxbxa
care se rezolvă cu regula lui Cramer şi rezultă a, b, c care se înlocuiesc în y =
ax2 + bx + c şi avem funcţia de regresie căutată.
B.
1. În cazul unui experiment se obţin datele:
1,3,3,4,4,7,7,7,9,1,3,4,4,7,7,7,9,9.
a) Să se calculeze mediana şi modulul ( )Mm x,x ;
b) Să se determine media aritmetică a seriei;
c) Să se împartă seria în trei grupe (0, 3); (3, 6); (6, 9);
d) Să se calculeze media aritmetică a datelor grupate.
Rezolvare
a) 1,1,3,3,3,4,4,4,4,7,7,7,7,7,7,9,9,9.
5,52
742
109 =+
=+
=xxxm ; 7x M =
b) 3,51896
18px
x ii__
=== ∑
117
c) int pi
(0, 3) 5
(3, 6) 4
(6, 9) 9
d) 16,51893
185,67185,7
1895,745,455,1__
≅=++
=⋅+⋅+⋅
=x
2. Se fac 23 de observaţii privind calitatea unui sortiment de vin şi
observaţiile vor fi corespunzătoare unei scări de la 0 la 5. se obţin datele de mai
jos:
2,3,3,3,2,1,5,5,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,4,3,0,1,2.
a) Să se reprezinte seria sub forma unui tabel statistic, apoi să se
reprezinte grafic.
b) Să se împartă datele în trei intervale egale, apoi să se reprezinte
histograma corespunzătoare.
c) Să se calculeze media aritmetică a datelor de selecţie.
d) Să se calculeze media aritmetică a datelor de selecţie grupate în ambele
variante a) şi b).
Rezolvare
a)
Nota 0 1 2 3 4 5
Frecvenţa 1 2 3 9 6 2
118
b) nota pi
(0, 2) 3
(2, 4) 12
(4, 6) 8
c) 32369
23
xx
23
1ii__
===∑
=
d) 1. 32369
23296493322110__
==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=px
2. 43,32379
238512331__
≅=⋅+⋅+⋅
≅px
3. La eliminarea conţinutului de ulei din cadrul unei conserve de peşte s-
au obţinut următoarele rezultate exprimate în procente:
11, 10, 10,5 11,5, 9.
Să se determine media aritmetică, dispersia, abaterea standard şi
amplitudinea seriei.
Rezolvare
ix __
i xx − 2__
i xx
−
11 0,6 0,36
10 -0,4 0,16
119
10,5 0,1 0,01
11,5 1,1 1,21
9 -1,4 1,96
∑ 52
4,105
52x__
==
2
xx5
1i
2__
i2
∑=
−
=σ ; ( ) 407,1XD2 ==σ ; 5,295,11A =−= ;
%241004,105,2%A =⋅=
4. Considerăm seria de date statistice obţinute din datele furnizate de o
firmă de prelucrare a produselor cerealiere:
Număr lot Punct de fierbere
(0C)
1 68,8
2 68,8
3 68,8
4 68,95
5 68,9
6 68,95
7 68,8
8 68,8
9 68,8
10 68,85
Să se calculeze: media, dispersia şi abaterea medie pătratică.
Rezolvare
120
84,6810
85,68...8,68x__
=++
=
( ) ( ) ( )
( ) 06,0003,0X003,010
84,6885,68...84,688,6810
xxXD
22
10
1n
2__
i
≅=σ⇒=
−++−=
−
=∑
=
5. Dintr-un câmp de soia s-au extras săptămânal timp de 7 săptămâni câte
o probă aleatoare. Măsurând dimensiunea probelor s-au obţinut datele:
Săptămâna 1 2 3 4 5 6 7
Dimensiunea (mm) 5 13 16 23 33 38 40
Să se determine coeficientul de corelaţie al celor două serii.
∑ ∑
∑
= =
=
−
−
−
−
=n
1i
2n
1i
__
i
2__
i
n
1i
__
i
__
i
yyxx
yyxxr
Rezolvare Avem tabelul:
ix iy __
xxi − __
yyi −
−
−
____
yyxx ii 2__
− xxi
2__
− yyi
1 5 -3 -19 57 9 361
2 13 -2 -11 22 4 121
3 16 -1 -8 8 1 64
4 23 0 -1 -1 0 1
5 33 1 9 9 1 81
6 38 2 14 14 4 196
7 40 3 16 16 9 256
4__
=x 4__
=y 0 0 172 28 1080
989,0108028
172=
⋅=r
6. Datele experimentale sunt trecute în tabelul următor:
121
Intervalul (xi+1, xi) Frecvenţa (fi)
122-125 4
125-128 5
128-131 10
131-134 14
134-137 26
137-140 18
140-143 12
143-146 6
146-149 5
100
Să se determine mediana şi modului seriei asociate tabelului.
Rezolvare
Deoarece mediana unei serii statistice este valoarea care împarte volumul
populaţiei în două părţi egale, ea se calculează astfel: mediana se plasează în
intervalul 134 – 137 deoarece:
∑=
=+++=4
133141054
iif
∑=
=+++=9
641561218
iif
deci sumele frecvenţelor înaintea, respectiv după acest interval sunt cele
mai apropiate ca valoare.
Valoarea exactă a medianei se găseşte cu ajutorul relaţiei:
( ) 7,13526
1341373350134M e =−
⋅−+=
Modulul este abscisa pentru care valoarea frecvenţelor este maximă. În
cazul nostru obţinem un interval numit modal, adică:
[ )137,134M 0 =
122
7. Considerăm seria statistică obţinută din datele furnizate de o firmă de
prelucrare a produselor cerealiere:
Nr. crt. (lot) Punct de fierbere (0C)
1 68,8
2 68,8
3 68,8
4 68,95
5 68,9
6 68,95
7 68,8
8 68,8
9 68,8
10 68,85
Să se calculeze media, dispersia şi abaterea standard (abaterea medie
pătratică).
Rezolvare
84,6810
85,68....8,68x__
=++
=
Pentru calculul dispersiei avem:
( ) ( ) ( ) 003,010
85,6884,68...8,6884,68n
xXXD
22
n
1i
2
i
__
=−++−
=
−
=∑
=
şi
( ) ( ) ( ) 06,0XXDX ≅σ⇒=σ .
123
8. Fie seria statistică ce reprezintă producţia globală măsurată în anumite
unităţi pentru o anumită ramură a industriei din ţara noastră în perioada
1955 – 1960.
xi 1955 1956 1957 1958 1959 1960
yi 212 240 273 301 327 351
Să se afle ecuaţia dreptei de regresie.
Rezolvare
baxy += şi a şi b se determină din sistemul:
=⋅+
=+
∑∑
∑ ∑∑
==
= ==
n
1ii
n
1ii
n
1i
n
1iii
n
1ii
2i
ynbxa
yxxbxa
Întocmim tabelul:
ix iy 2ix ii yx
1955 212 3822025 414460
1956 240 3825936 469440
1957 273 3829849 534261
1958 301 3833764 589358
1959 327 3837681 640593
1960 351 3841600 687960
Total 11745 1704 22990855 3336072
Sistemul de mai sus devine:
=⋅+⋅=⋅+⋅
1704b6a117453336072b11745a22990855
cu soluţiile:
124
33,54741b
11,28a−=
=
9. S-au obţinut următoarele date experimentale:
xi 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,50 1,75
yi 1 1,6 2,1 2,2 1,9 1,6 0,9 0,2
Să se găsească dependenţa lui yi faţă de xi, ştiind că este de tip parabolic,
adică de forma cbxaxy 2 ++= (în urma reprezentării grafice a norului de puncte).
Rezolvare
Parametrii a, b şi c se găsesc din sistemul:
=++
=++
=++
∑ ∑∑
∑ ∑∑∑
∑ ∑∑∑
= ==
= ===
= ===
n
1i
n
1iii
n
1i
2i
n
1i
n
1iii
n
1ii
2i
n
1i
3i
n
1i
n
1ii
2i
n
1i
2i
3i
n
1i
4i
yncxbxa
yxXcxbxa
yxxcxbxa
unde:
∑ ∑ ∑∑= = ==
====8
1i
8
1i
8
1i
4i
3i
2i
8
1ii 27,18x,25,12x,75,8x,7x
∑ ∑∑= ==
===8
1i
8
1ii
2iii
8
1ii 9,8yx,25,10yx,5,11y
astfel sistemul devine:
=++=++
=++
5,11c8b7a75,87,8c7b75,8a25,12
9,8c75,8b25,12a27,18
Rezolvând sistemul cu regula lui Cramer se obţin soluţiile:
035,1c908,2b958,1a
==
−=
Ecuaţia este: 035,1908,2958,1 2 ++−= xxy
125
Întrebări
1. Se cunoaşte următoarea repartiţie a filatoarelor dintr-o secţie după
numărul de fuse deservite, repartiţie dată în tabelul următor:
Nr. de fuse
deservite de o
filatoare
1160 1230 1300 1340 1408 1448
Nr. filatoare 8 12 20 15 15 10
Să se găsească dispersia şi abaterea medie pătratică.
R: ( ) 29,86:937.446.7XD =σ=
2. Fie un eşantion de volum 20 ales dintr-o serie de date de observaţie a
cărei structură este dată în tabelul următor:
Nr. crt. xi ni
1 2,1 6
2 1,8 4
3 3,2 5
4 3,5 4
5 4,2 1
Să se calculeze media, dispersia şi abaterea medie pătratică.
R: ( ) ( ) 766,0;6,0XD;7,2XM =σ==
126
3. Dintr-un arboret echien s-au ales 12 arbori la care s-au măsurat
diametrul (x – cm) şi grosimea cojii (y – cm). Datele sunt prezentate în tabelul
următor:
Nr. crt. x y Nr. crt. x y
1 6,2 0,8 7 11,4 0,6
2 7,3 0,4 8 12,0 0,8
3 7,7 0,4 9 12,4 1,2
4 10,2 0,5 10 13,1 1
5 10,2 1 11 13,6 0,9
6 10,5 1 12 15,4 1,2
Să se calculeze coeficientul de corelaţie.
R: 667,0r =
4. Să se determine dreapta de regresie pentru datele experimentale de mai jos:
x 1 2 3 y 2 4 7
5. Să se determine parabola de regresie pentru datele experimentale de mai jos:
x 1 2 3 y 2 4 1
127
Cursul 14 TEORIA SELECŢIEI
Cuvinte cheie: testul ipotezei nule, compararea a două distribuţii de frecvenţă
Teoria selecţiei
A.
În numeroase situaţii în practică nu putem studia în întregime o anumită
populaţie. Prin urmare, variabila aleatoare globală este necunoscută. În acest caz
se va proceda prin efectuarea unei selecţii, aceasta conducând la o variabilă de
selecţie. Problemele care apar în continuare se referă la estimarea
caracteristicilor variabilei globale prin caracteristicile variabilei de selecţie, apoi
încrederea ce se poate acorda estimaţiei făcute. Aceste lucruri pot fi realizate
studiind diferenţele dintre caracteristicile a două loturi diferite, spre exemplu
diferenţele dintre medii, dispersii, abateri standard.
Testul ipotezei nule. Compararea a două medii
Fie x1 şi x2 două variabile de selecţie, __
1x , __
2x mediile lor şi fie ( )1xD şi
( )2xD dispersiile acestora.
În continuare vom prezenta pe scurt cadrul general al acestei probleme.
Fie __
2
__
1 xxd −= , diferenţă care poate fi privită ca o variabilă aleatoare. Se doreşte a
se verifica acum ipoteza ( ) 0dMxxM__
2
__
1 ==
− , adică media diferenţelor să fie
nulă. Fie ( )dd
cddMdt
σ=
σ−
= variabila aleatoare normată ataşată, unde
dσ reprezintă abaterea standard a lui d. Fie ( )tf legea de distribuţie a lui tc.
Atunci avem:
( ) ( )∫−∈=<<− 0
0
t
t 000 Rt,dttftttP .
128
Se pune problema ca dându-se o probabilitate α , să se determine 0t astfel
încât ( ) α−=<<− 1tttP 00
În continuare se calculează din datele experimentale valoarea lui ct şi se
studiază apartenenţa la intervalul ( )t,t 0− . Valoarea lui α se numeşte prag de
semnificaţie, iar pentru fiecare prag de semnificaţie în parte, dacă ct aparţine
interiorului intervalului de mai sus, spunem că 21d λ−λ= nu diferă în mod
semnificativ de zero, deci ipoteza nulă se acceptă; în caz contrar, ipoteza nulă se
respinge.
Referitor la valorile lui α prin convenţie s-au ales valorile 01,0=α şi
05,0=α . Astfel avem intervalele:
( ) ( )01,001,005,005,0 t,tt,t −− ⊂ , notate cu I1 şi I2..
Atunci avem:
- Dacă 1c It ⊂ ipoteza nulă se acceptă;
- Dacă 12c I\It ∈ nu se poate lua o hotărâre, urmând a se efectua cercetări
suplimentare;
- Dacă 2I\Rt ∈ atunci ipoteza nulă se respinge.
1c It ∈
12c I\It ∈
2c I\Rt ∈
Schematic putem avea reprezentarea:
Se respingeipoteza nulã Dubiu Se acceptã
ipoteza nulã Dubiu Se respingeipoteza nulã
01,0−t 01,0t05,0−t 05,0t Referitor la mărimea eşantioanelor precum şi la faptul că dispersiile sunt
cunoscute sau nu, avem următoarele:
a. ( )1xD , ( )2xD sunt cunoscute şi 1n , 30n 2 ≥
129
Atunci: d
__
2
__
1c
xxt
σ−
= , unde ( ) ( )2
2
1
1d n
xDnxD
+=σ . Dacă ct are o distribuţie
normală normată, atunci pentru 05,01 =α şi 01,02 =α avem ( )96,1,96,1I1 +−= şi
( )58,2,58,2I2 +−= .
b. Dacă ( )1xD şi ( )2xD sunt necunoscute şi 30, 21 ≥nn avem:
( )1n
xxxD
1
n
1i
2__
11i
1
1
−
−
=∑
= ; ( )1n
xxxD
2
n
1i
2__
22i
2
2
−
−
=∑
= şi atunci:
( ) ( )
2
2
1
1
__
2
__
1c
nxD
nxD
xxt+
−= adică:
( ) ( )1nn
xx
1nn
xx
xxt
22
n
1i
2__
22i
11
n
1i
2__
11i
__
2
__
1c
21
−
−
+−
−
−=
∑∑==
Variabila are o distribuţie normală, iar intervalele de siguranţă sunt cele
determinate.
c. Dacă ( )1xD şi ( )2xD sunt necunoscute şi 30n,n 21 < , variabila ct are o
distribuţie de tip Student şi testul se aplică în mod obişnuit:
21
21
__
2
__
1c nn
nnxxt+⋅
=σ−
= , unde:
2nn
xxxx
21
n
1i
2__
22i
n
1i
2__
11i
21
−+
−+
−
=σ∑∑
== cu 2nn.L.G 21 −+= grade de libertate.
Compararea a două distribuţii de frecvenţă. Testul 2χ
Fie două şiruri de frecvenţe: n21 f,...,f,f şi n21 ,...,, ϕϕϕ , primul fiind un şir
obţinut experimental, iar al doilea un şir teoretic.
În continuare vom studia următoarele cazuri:
a. testul de conformitate
130
Se calculează expresia ( )∑= ϕ
ϕ−=χ
n
1i i
2ii2 f , apoi numărul gradelor de libertate
după formula G.L. = n – k, unde k este numărul relaţiilor dintre frecvenţe. Din
tabelele următoare se află intervalele de siguranţă pentru cele două praguri de
semnificaţie %51 =α şi %12 =α şi vom aplica testul în mod obişnuit (ca şi în cazul
verificării ipotezei nule).
b. testul de omogenitate
Testul se aplică atunci când datele pot fi trecute într-un tabel de tipul:
Lotul Acţiunea a avut
efect
Acţiunea nu a avut
efect
Total
1 f1 N1 – f1 N1
2 f2 N2 – f2 N2
... ... ... ...
M fm Nm – fm Nm
TOTAL f N - f N
Calculăm ( )∑=
−=χ
m
1i i
2ii2
pqNpNf şi G.L. = m – 1
B.
1. Se studiază acţiunea unei substanţe menite să păstreze în formă
proaspătă cartofii recoltaţi. Asupra unui lot compus din 100n1 = cartofi se aplică
acest tratament, iar la sfârşitul perioadei de studiu s-a constatat că pierderile în
greutate au fost în medie %5,7m__
1 = . În cazul unui lot netratat, având 200n 2 = ,
pierderea medie a fost de %4,7m__
2 = . Se cunosc abaterile standard 101 =σ şi
131
82 =σ . Se cere a se determina dacă există diferenţe semnificative între pierderile
medii.
Rezolvare
301000n1 >=
30200n 2 >=
( ) ( ) 648xD,10010xD 22
21 ====
Avem:
d
__
2
__
1c
mmt
σ−
= , unde ( ) ( )2
2
1
1d n
xDnxD
+=σ
Atunci se obţine:
64,020064
1000100
d =+=σ ; 15,064,01,0t c ==
Se observă că
( )96,1,96,1 +−∈ct
corespunzător pragului de 5%. Deci ipoteza nulă se acceptă, prin urmare nu
există diferenţe semnificative între cele două medii, deci substanţa administrată
nu a fost eficientă.
2. Un analist cercetează un fenomen prin două metode diferite. Astfel,
prin metoda A, în urma a 101 =n observaţii se obţin datele:
A: 2, 2.5, 2.1, 3, 3.1, 2.2, 2.4, 2, 2.5, 2.6.
Aplicând metoda B în urma a 52 =n observaţii se obţine:
B: 2.1, 2.5, 3, 2.4, 2.
Să se studieze dacă între medii există diferenţe semnificative.
Rezolvare
30nn,4,2x,44,2x 21
__
2
__
1 <== iar ( )1xD şi ( )2xD sunt
necunoscute.
132
ix __
xxi − 2__
− xxi iy __
yyi − 2__
− yyi
2 -0,44 0,1936 2.1 -0.3 0.09
2,5 0,06 0,0036 2.5 0.1 0.01
2,1 -0,34 0,1156 3 0.6 0.36
3 0,56 0,3136 2.4 0 0
3,1 0,66 0,4356 2 -0.4 0.16
2,2 -0,24 0,0576
2,4 -0,04 0,0016
2 -0,44 0,1936
2,5 0,06 0,0034
2,6 0,16 0,0256
Total 1,344 0,62
3886,013964,1
251062,0344,1
==−+
+=σ
1878,08257,11029,0510510
3886,004,0
=⋅=+⋅
⋅=ct
Astfel ct are o distribuţie Student cu G.L. = 5 + 10 – 2 = 13
Pentru %5=α avem intervalul ( )16,2,16,2− , iar pentru %1=α intervalul
( )012,3,012,3−
-3,012 -2,16 2,16 3,012
I1
I2
1c It ∈ , deci ipoteza nulă se acceptă şi nu există diferenţe semnificative.
3. În urma aplicării a două tehnologii de producţie diferite (prima clasică
şi a doua nestudiată) s-au obţinut două şiruri de observaţii. Se cunosc mediile lor
ca fiind 0,2x__
1 = şi 4,2x__
2 = , iar în urma efectuării calculelor s-a obţinut:
133
∑=
=
−
1n
1i
2__
11i 5,1xx şi ∑
=
=
−
2n
1i
2__
22i 8,0xx
Se cunoaşte că numărul observaţiilor este 501 =n şi 402 =n . Să se
determine dacă există între medii diferenţe semnificative între valorile medii.
Rezolvare
( ) 03,0150
5,1xD 1 =−
=
( ) 02,0140
8,0xD 2 =−
=
Atunci:
12,12033,0
4,00011.0
4,00005.00006.0
4,0
4002,0
5003,0
4,22−=
−=
−=
+−
=+
−=ct
Atunci ( )58,2,58,212,12 2 −=∉− I , deci există diferenţe semnificative între
cele două medii.
4. Autofecundând o serie de plante hibride de mazăre din F1, rezultate din
încrucişarea unui soi de talie înaltă cu unul de talie mică s-au obţinut în F2: 520
plante înalte şi 152 plante cu talia mică. Să se stabilească dacă proporţia obţinută
experimental corespunde cu cea mendeliană teoretică 3:1.
Rezolvare
Se aplică testul de conformitate: 520f1 = ; 152f2 = şi
=⋅=ϕ=⋅=ϕ
⇒
⇒==+
=+
=+
ϕ+ϕ=
ϕ=
ϕ
16811685043168
1684
6724
1525204
ff1313
2
1
212121
Deci ( ) ( ) 03,2523,1507,0168
168152504
504520 222 =+=
−+
−=χ
( ) ( )58,2,96,196,1,58,2I\I03,2 122 ∪−−=∈=χ , deci nu se poate spune cu
certitudine dacă există diferenţe semnificative.
5. S-au aplicat patru tehnologii noi, diferite în scopul creării unui produs
alimentar. În final s-au obţinut datele de mai jos:
134
Tehnologia Produse
corespunzătoare
Produse
necorespunzătoare
Total
1 20 5 25
2 15 5 20
3 24 6 30
4 21 4 25
Total 80 20 100
Să se stabilească dacă există diferenţe semnificative între cele patru loturi.
Rezolvare
Se aplică testul de omogenitate:
Avem: 8,010080
==p , 2,0=q şi G.L. = 4 – 1 = 3. Atunci:
( ) ( ) ( )
( ) 5208,02083,03125,08,4
12,3
1302,08,0258,021
302,08,0308,024
202,08,0208,015
252,08,0258,020
2
2222
=+=+=⋅⋅⋅−
+
+⋅⋅⋅−
+⋅⋅⋅−
+⋅⋅⋅−
=χ
Din tabele se obţine:
( )81.7,01 =I şi ( )34.11,02 =I
02χ
7.81 11.34
I1
I2
Observăm că 15208,0 I∈ , deci nu există diferenţe semnificative.
135
Întrebări
1. Se aplică o nouă tehnologie de producţie (B) şi se doreşte a se observa dacă
există diferenţe semnificative între valorile medii obţinute prin vechea
tehnologie (A).
Valorile obţinute sunt prezentate mai jos:
Tehnologia Valoarea eşantion ( )in __
ix iσ
A 112 1900 350
B 122 3100 370
R: ( )58,2,58,2249,4
nn
xxt
2
22
1
21
__
2
__
1c +−∉−=
σ+
σ
−=
Se respinge ipoteza nulă, deci există diferenţe semnificative. În concluzie,
aplicarea tehnologiei noi este necesară.
2. Dintr-o populaţie normală cu 5=σ s-au extras două selecţii de volume
9nn 21 == . Selecţiile au dat respectiv 2x__
1 = şi 3x__
2 = . Să se testeze dacă există
diferenţe semnificative între medii.
R: 30nn 21 <=
42,0nnnnxxt
21
21
__
2
__
1c −=
+⋅
σ−
= . Nu există diferenţe semnificative.
3. Se efectuează 1021 == nn măsurători analitice prin două metode.
Rezultatele sunt cele de mai jos. Să se testeze dacă există diferenţe semnificative
între medii.
136
xi 58 58 56 38 70 38 42 75 68 67
yi 57 55 63 24 67 43 33 68 56 54
R: 18.L.G,796,0t c == nu există diferenţe semnificative
4. Într-o experienţă legată de încrucişarea a două specii de mazăre s-a obţinut
referitor la culoarea şi tipul mazărei următoarea împărţire:
Soiul 1 2 3 4
Observaţia 315 101 108 32
Să se verifice dacă frecvenţele obţinute verifică proporţiile mendeliene teoretice:
9:3:3:1.
R: 47,02 =χ , 81,747,0 < deci nu există diferenţe semnificative, astfel se
confirmă teoria lui Mendel.
5. Se controlează calitatea a două tipuri de produse şi se obţin datele de mai jos:
Produs Unităţi
cercetate
Cu defect Fără defect
1 21 18 3
2 27 22 5
Se cere a se determina dacă există diferenţe semnificative între produse.
R: 152,02 =χ , 84,3152,0 < pentru %5=α . Nu există diferenţe semnificative.
137
B I B L I O G R A F I E 1. ALLEN R.G.D.; Analiză matematică pentru economişti, Editura ştiinţifică,
Bucureşti, 1971 2. ANDREI T.,STANCU S.; Statistică. Teorie şi aplicaţii, Ed. All 1995 3. ANGHEL C., Curs de matematică şi statistică biologică, Lito Inst. Agr.
Timişoara, 1988 4. BARON T. & colab ; Statistică teoretică şi economică, E.D.P, 1996 5. BARON T., ANGHELACHE C., TIŢAN E. ; Statistică, Ed. Economică
1996 6. BIALES C.; L,analise statistique des donee, Chotard et associes Editeur,
Paris, 1988 7. BOURSIN I.L., Comprendre les statistique descriptive, Armand Colin
Editeur, Paris 1988 8. CERCHEZ M.; Aplicaţii ale matematicii în practică, E.D.P., Bucureşti,
1975 9. CHIRIŢĂ S., Probleme de matematici superioare, E.D.P. Bucureşti 1974 10. CIUCU GH., CRAIU V., ŞTEFĂNESCU A.; Statistică matematică şi
cercetări operaţionale, E.D.P., 1974 11. CIUCU GH., CRAIU V.,SĂCUIU I.; Probleme de statistică matematică,
Ed. Tehnică, Bucureşti, 1974 12. CRAIU V.,; Teoria probabilităţilor cu exemple şi probleme, Editura
“Fundaţia România de mâine”, 1997 13. CREŢ F., Elemente de modelare şi matematici speciale, Editura Mirton,
Timişoara 2000 14. CREŢ F., Curs de matematică, Lito USAMVBT, 1996 15. CREŢ F., RUJESCU C.; Capitole speciale de analiză matematică şi
geometrie analitică, Ed. Mirton, Timişoara 1999 16. CREŢ F., RUJESCU C., ROTARIU L., BOLDEA M., IVAN M.;
Elemente de matematici speciale. Teorie şi aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara 2000
17. CRIVEANU D., DAVID GH., FUCHS W., STANCIU P.; Culegere de probleme pentru cursul de matematică aplicată în economie, Tipografia Universităţii din Timişoara, 1971.
18. CONSTANTIN GH., SURULESCU N., ZAHARIE D.; Lecţii de statistică descriptivă I,II, Tipografia Universităţii de Vest, Timişoara, 1997
19. DINESCU C., SĂVULESCU B.; Metode de matematică modernă, E.D.P., Bucureşti 1975
20. DINESCU C.; Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme., Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti 1996
21. ENE D., Curs de matematică şi biometrie, Lito Inst. Agr. Bucureşti, 1979
138
22. FERŞEDI L.; Curs de matematică şi statistică biologică, Litografia Institutul Agronomic Cluj-Napoca, 1980.
23. FILIPESCU D., GRECU E., MEDINŢU R.; Matematici generale pentru subingineri, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979
24. FLONDOR D., DONCIU N.; Algebră şi analiză matematică, Culegere de probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
25. GOLEŢ I.; Statistică. Teorie şi aplicaţii în economie, Ed. Politehnica Timişoara, 1988
26. IANCU C., POP N., POP V.; Probabilităţi şi statistică. Teorie şi aplicaţii. Editura Servosat, 1996
27. ILIESCU D., VODĂ V.; Statistică şi toleranţe, Editura Tehnică, Bucureşti, 1977.
28. INTRILIGATOR M.D.; Mathematical Optimization and Theory, Pretince-Hall, INC, Eng. Cliffs N.J. 1971
29. IONESCU V., POPEEA C.; Optimizarea sistemelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.
30. IORGA V., JORA B.; Programare numerică, Editura Teora, 1996. 31. IOSIFESCU M.; Lanţuri Markov finite şi aplicaţii, Ed. Tehnică, Bucureşti,
1977 32. IVAN GH.; Bazele algebrei liniare şi aplicaţii, Ed. Mirton, Timişoara, 1996 33. IVAN GH, PUTA M.,; Elemente de algebră şi geometrie euclidiană 3-
dimensională, Tipo Universitatea de Vest, Timişoara, 1991 34. LABEUNE C.; Statistiques descriptives, Les edition d,organisation, Paris
1991 35. LANCASTER K.; Analiza economico-matematică, Editura ştiinţifică,
Bucureşti 1973 36. LUCA GH.; Probleme de operaţii şi utilaje în industria alimentară,
Editura Tehnică, Bucureşti, 1978. 37. MANSFIELD E.; Micro-Economics. Theory and Applications, Second
Edition, W.W. Norton, Company INC, New York,1974 38. MARIAN T.; Eficienţa economică a folosirii îngrăşămintelor chimice în
agricultură, Ed. Ceres, Bucureşti, 1970 39. MEGAN M., HIRIŞ V.; Analiza matematică în exerciţii şi probleme,
Fascicolul I şi II, Tipo Universitatea din Timişoara, 1972 40. MERCIA, E.; Culegere de probleme de matematică şi statistică biologică,
Litografia IAT Timişoara, 1980 41. MIHĂILĂ N., POPESCU O.; Matematici speciale aplicate în economie,
E.D.P., 1978 42. MIHOC GH., BERGTHALLER C., URSEANU V.; Procese
stohastice, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1978 43. MIHOC GH., MICU N.; Teoria probabilităţilor şi statistică matematică,
Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.
139
44. MOINEAGU C., NEGURĂ I., URSEANU V.; Statistică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1976
45. NĂDEJDE I., ZIDĂROIU C., BERGTHALLER C., SBURLAN S.; Probleme de cercetare operaţională, Editura Academiei, 1971
46. MOŢ G., PETRUŞEL A., Matematici superioare pentru ingineri şi economişti, Ed. Mirton, 1999
47. NICOLESCU M.; Analiză matematică, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971.
48. OBĂDEANU V., GROŞAN I.; Sisteme dinamice cu aplicaţii în biologie şi economie, Imprimeria Mirton, Timişoara, 1996
49. OPRESCU GH.; Matematici pentru economişti, Vol.I, Editura “Fundaţia România de mâine”, 1996
50. OTIMAN P.I.; Optimizarea producţiei agricole, Editura Facla, Timişoara, 1987.
51. OTIMAN P.I., CREŢ F. Elemente de matematici aplicate în economia agroalimentară, Ed. Agroprint 2002
52. OTIMAN P.I., RUSOVICI A., VREJBA S.; Funcţia de planificare, Editura Ceres, 1981
53. PĂDURARU I., DIMULESCU S.; Funcţiile de producţie în agricultură, Centrul de documentare agricolă, 1969
54. POPESCU O., BAZ D. şi colectivul; Matematici aplicate în economie, Culegere de probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1996.
55. POSTELNICU T., TĂUTU P.; Metode matematice în medicină şi biologie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1971.
56. PURCARU I.; Elemente de algebră şi programare liniară, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1982
57. PUTA M.; Statistică economică, probleme, Universitatea Europeană Drăgan, 1998.
58. REISCHER C., SÂMBOAN A.; Culegere de probleme de teoria probabilităţilor şi statistică matematică, E.D.P. 1972
59. RESA I.D., LIGHEZAN V.; Probleme de statistică, Tipografia Universităţii Timişoara 1982
60. ROŞCULEŢ M.; Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1984.
61. SICLOVAN I., MATEI I., POPESCU I., CREŢ F.; Culegere de de probleme de matematici speciale, Litografia IM Petroşani 1988
62. STAMATE I., DUCARU N. ; Curs de matematici superioare, Cluj-Napoca,
1976 63. STANCIU P., CRIVEANU D.,DAVID GH., FUCHS W.; Matematici
aplicate în economie, Ed. Facla, Timişoara,1981 64. STAVRE P., Matematici speciale cu aplicaţii în economie, Scrisul
românesc, 1982
140
65. ŞABAC GH.; Matematici speciale, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981
66. TUDOREL A., STANCU S.; Statistică, teorie şi aplicaţii, Editura ALL, Bucureşti, 1994.
67. VASILIU D.P.; Matematici economice, Ed. Eficient, Bucureşti, 1996. 68. VĂLEANU I., HÂNCU M.; Elemente de statistică generală, Ed. Litera,
Bucureşti, 1990 69. VREJBA S., RUSOVICI A., OTIMAN P.I.; Metode şi modele de
conducere a producţiei în agricultură, Editura Ceres, Bucureşti, 1975 70. WOINAROSKY A., MIHAI M., ISOPESCU R.; Optimizarea
proceselor din industria chimică, exemple şi aplicaţii, Editura Tehnică, Bucureşti, 1990.