Curs Matematica Si Statistica

138
3 Cuprins Cursul 1 FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ 5 Cursul 2 ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE 13 Cursul 3 FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE 21 Cursul 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I 35 Cursul 5 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 43 Cursul 6 SISTEME DE COORDONATE ÎN PLAN 53 Cursul 7 ALGEBRĂ VECTORIALĂ 57 Cursul 8 DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU 65 Cursul 9 CALCUL INTEGRAL (I) 79 Cursul 10 CALCUL INTEGRAL (II) 85 Cursul 11 EVENIMENTE. PROBABILITĂŢI 93 Cursul 12 VARIABILE ALEATOARE 99 Cursul 13 PRELUCRAREA STATISTICĂ A DATELOR EXPERIMENTALE 111 Cursul 14 TEORIA SELECŢIEI 127 Bibliografie 137

Transcript of Curs Matematica Si Statistica

Page 1: Curs Matematica Si Statistica

3

Cuprins Cursul 1 FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ 5

Cursul 2 ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE 13

Cursul 3 FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE

REALE

21

Cursul 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I 35

Cursul 5 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 43

Cursul 6 SISTEME DE COORDONATE ÎN PLAN 53

Cursul 7 ALGEBRĂ VECTORIALĂ 57

Cursul 8 DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU 65

Cursul 9 CALCUL INTEGRAL (I) 79

Cursul 10 CALCUL INTEGRAL (II) 85

Cursul 11 EVENIMENTE. PROBABILITĂŢI 93

Cursul 12 VARIABILE ALEATOARE 99

Cursul 13 PRELUCRAREA STATISTICĂ A DATELOR

EXPERIMENTALE

111

Cursul 14 TEORIA SELECŢIEI 127

Bibliografie 137

Page 2: Curs Matematica Si Statistica

4

Page 3: Curs Matematica Si Statistica

5

Cursul 1

FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ

Cuvinte cheie: Derivata şi diferenţiala, Formulele lui Taylor şi Mac-Laurin

FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ

A.

Derivata şi diferenţiala de ordinul I şi superior pentru funcţii reale de o

variabilă reală. Formulele lui Taylor şi Mac-Laurin

Funcţii derivabile

Definiţie Fie f: I→R o funcţie reală definită pe un interval din R şi x0∈I. Funcţia

f este derivabilă în x0 dacă raportul ( ) ( )0

0

xxxfxf

−− are în x0 limită finită. Această

limită se numeşte derivata funcţiei în punctul x0 şi avem notaţia:

( ) ( ) ( )0

0

xx0 xxxfxflimxf

0 −−

=′→

Observaţie Pentru f '(x0) mai avem următoarele notaţii:

dx)x(df 0 , Df(x0), fx(x0).

Teoremă Dacă f : I→R este derivabilă în x0∈I atunci ea este continuă în x0.

Demonstraţie Avem egalitatea :

f (x) = f (x0) + ( ) ( )0

0

xxxfxf

−− (x-x0)

în care aplicăm limx x→ 0

, ∀ x∈I, x ≠ x0 şi avem:

)x(f)x(flim 0xx 0

=→

deoarece f'(x0)(x-x0) x x→ →0

0,

deci funcţia f este continuă în x0∈I.

Page 4: Curs Matematica Si Statistica

6

Operaţii cu funcţii derivabile

Teoremă Dacă f,g:I→R sunt derivabile în x0∈I atunci şi suma f + g este

derivabilă în x0∈I şi ∀ x∈I avem relaţia:

[ ]f x g x( ) ( )+ ' x = x0 = f'(x0) + g'(x0)

Teoremă Dacă f, g sunt derivabile în x0∈I, atunci f⋅g este derivabilă în x0∈I şi

avem pentru x∈I, [ ] 0xx)x(g)x(f =′⋅ = f ' (x0)⋅g(x0) + f(x0)⋅g'(x0)

Demonstraţie Fie h(x) = f(x) ⋅ g(x). Avem:

=−−

+−−

=

=−

⋅−⋅=

−−

=′

→→

→→

)x(fxx

)x(g)x(glim)x(g

xx)x(f)x(f

lim

xx)x(g)x(f)x(g)x(flim

xx)x(h)x(hlim)x(h

00

0

xx0

0

xx

0

00

xx0

0

xx0

00

00

= f '(x0)g(x0) + f(x0)g '(x0)

rezultat obţinut adunând şi scăzând f(x0) g(x). Generalizarea este următoarea :

[ ])x(f).....x(f)x(f n21 ⋅⋅ 'x=x0 =

k

n

=∑

1f1(x0)...fk-1(x0)f 'k(x0)fk+1(x0)...fn(x0)

Teoremă Dacă f,g sunt derivabile în x0∈I şi g(x0)≠0 atunci:

)x(g

)x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f

02

0000'

xx 0

′−′=

=

Derivatele funcţiilor elementare

a) f(x) = c (constantă). Folosind definiţia, pentru x0∈R şi x ≠ x0 vom

avea:

⇒=−

=−−

=−−

=′→

0xx

0xxcc

xx)x(f)x(flim)x(f

000

0

xx00

f '(x) = 0, ∀ x∈R

b) f(x) = xn, x∈R, n∈N, x0∈R

0

2n0

1n0

xx0

n0

n

xx0

0

xx0 xx)xxx)(xx(

limxxxx

limxx

)x(f)x(flim)x(f

000 −++−

=−−

=−−

=′−−

→→→

K

Page 5: Curs Matematica Si Statistica

7

= limx x→ 0

(xn-1+ xoxn-2 +... +xx02n− + x0

1n− ) = n x01n−

în consecinţă f' (x) = nxn-1, ∀ x∈R.

c) f(x) = cos x

00

0

0

xx0

00

xx

0

0

xx0

0

xx0

xsin2xx

sin

2xx2xxsin

limxx

2xxsin

2xxsin2

lim

xx)xcos()xcos(lim

xx)x(f)x(flim)x(f

00

00

−=+

−=−

+−−

=

=−−

=−−

=′

→→

→→

în consecinţă (cos x)' = -sin x.

Diferenţiala

Dacă f:I→R, x0∈I, deoarece

)x(fxx

)x(f)x(flim 00

0

xx 0

′=−−

vom putea scrie egalitatea )x()x(fxx

)x(f)x(f0

0

0 α+′=−− cu 0)x(lim

0xx=α

→;

egalitatea se mai scrie:

f(x) - f(x0) = (f '(x0) +α(x)) (x -x0) sau

f(x) - f(x0) = f '(x0) (x-x0) + α(x) (x-x0) deci

putem scrie f(x) - f(x0) ≅ f '(x0) (x-x0) şi dacă notăm x - x0 = h sau x = x0

+ h

vom avea

f(x0 + h) - f(x0) ≅ hf '(x0).

Definiţie Funcţia hf '(x0) care este o funcţie liniară de h, se numeşte diferenţiala

funcţiei f în x0 şi se notează df(x0) = hf '(x0), sau putem scrie

df(x) = hf '(x); ∀ x∈R.

Regulile de diferenţiere sunt la fel ca şi regulile de derivare, dar mai întâi facem:

Page 6: Curs Matematica Si Statistica

8

Observaţie Dacă f(x) = x; avem df(x) = h⋅1 = dx, deci h = dx, în consecinţă

df(x) = f '(x)dx

d (f±g) = df ± dg

d (fg) = g df + f dg

2gfdggdf

gfd −

=

iar pentru funcţia compusă f(u(x)) avem

d(u(x)) = (f (u(x)))'dx = f '(u)⋅u'(x)dx = =f '(u)du.

Demonstrăm pentru raportul f/g şi vom avea

d (fg-1)(x) = (fg-1(x))'dx =

=f '(x)g-1(x)dx - f(x) g-2(x) g '(x)dx = [g(x) df(x) - f(x) dg(x)]/g2(x)

Formula lui Leibniz

Teoremă Dacă f, g derivabile de n ori pe I atuci f⋅g derivabilă de n ori pe I şi

vom avea

(f.g)(n) =∑=

−n

0k

)k()kn(kn gfC

numită formula lui Leibniz.

Demonstraţie Demonstraţia o facem prin inducţia după n∈R. Deci pentru n = 1

avem :

( ) gfCgfC'gf 11

01 ′+′=⋅ deci (fg)' = f 'g + fg '

Presupunem formula adevărată pentru n-1 şi avem:

(fg)(n-1) = C 01n− f(n-1)g + C 1

1n− f(n-2)g'+...+C 1n1n

−− f⋅g(n-1)

relaţie pe care dacă o derivăm o dată va rezulta:

Page 7: Curs Matematica Si Statistica

9

( )

∑=

−−−

−−

−−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−−

=+′′+′+=

=+′′+′++=

=+′′+′+′+=

=+′′+′+′+=⋅

n

0k

)k()kn(kn

)2n(21n

)1n(1n

)n(

)2n(11n

)1n(11n

01n

)n(

)2n(11n

)1n(11n

)1n(01n

)n(

)2n(11n

)1n(11n

)1n(01n

)n(01n

)n(

gfC...gfCgfCgf

...gfCgf)CC(gf

...gfCgfCgfCgf...gfCgfCgfCgfCgf

am ţinut cont de formula: kn

1k1n

k1n CCC =+ −

−− şi deci: 1n

11n

01n CCC =+ −− etc.

Formulele lui Taylor şi Mac-Laurin

Fie f: I→R derivabilă de n ori în a∈I, pentru această funcţie definim

polinomul lui Taylor:

)a(f!n

)ax()a(f!1ax)a(f)x(T )n(

n

n−

++′−+= K

gradul polinomului fiind n.

Notăm Rn(x) = f(x) -Tn(x) şi vom avea

f(x) = Tn(x)+Rn(x) numită formula lui Taylor pentru funcţia f în punctul

a∈I, unde Rn(x) = )()!1(

)( 1

ξ+

− +

fn

ax n

cu ξ∈(a, x), ξ = a + θ(x-a), θ∈(0,1) şi f

derivabilă de n+1 ori pe I. Dacă a = 0 vom avea:

)()!1(

)0(!

)0(!1

)0()( )1(1

)( xfnxf

nxfxfxf n

nn

n

θ+

+++′+= ++

K

numită formula lui Mac Laurin.

Aceste formule au aplicaţii la aproximarea funcţiilor sau la calculul unor

limite de funcţii cu nedeterminări.

B.

1. Să se calculeze derivata funcţiei ( )xx3x2)x(f

2

+= .

Page 8: Curs Matematica Si Statistica

10

Rezolvare Pentru început vom studia derivabilitatea funcţiei. Observăm că este

suficient să studiem derivabilitatea funcţiei xx)x(g 2= în origine.

0xxlimxxlim0x0x

0x0x

== → →><

adică:

00x

)0(g)x(glim0x

)0(g)x(glim0x0x

0x0x

=−−

=−−

→ →><

Explicitînd modulul obţinem:

<−≥

=0x.pt,x

0x.pt,xxx 3

32

şi

=<−

≥= xx3

0x.pt,x30x.pt,x3

)xx( 2

22 .

Deci

22 )xx(xx2x2)x(f +=+=′ .

2. Să se calculeze derivata de ordinul n pentru funcţia f(x)=ln(1+x).

Rezolvare Derivăm succesiv funcţia f:

f ' (x) =(1+x)-1

f ''(x) =(-1)(1+x)-2

f'''(x) =(-1)(-2)(1+x)-3

f(n)(x) =(-1)n-1(n-1)! (1+x)-n,

expresie ce urmează a fi demonstrată prin inducţie după n∈N. Presupunem

adevărată relaţia

f(k)(x) =(-1)k-1(k-1)! (1+x)-k

Vom avea:

f (k+1)(x)= [ f (k+1)]'(x) = (-1)k k!(1+x)-k-1

deci rezultatul verifică axioma inducţiei.

Aplicând formula lui Mac-Laurin obţinem:

Page 9: Curs Matematica Si Statistica

11

1n

1nn

n1n

32

)x1(1

)1n(x)1(

nx)1(...

3x

2x

1x)x(f +

+−

θ++−+−+−+−=

3. Să se calculeze după definiţie dervata funcţiei f(x) = cos x2 în punctul x =

x0.

Rezolvare Conform definiţiei şi a proprietăţilor funcţiilor trigonometrice avem:

0

20

220

2

xx0

20

2

xxo xx2xx

sin2xx

sin2lim

xxxcosxcos

lim)x('f00 −

+−−

=−−

=→→

=

+−

+−−

=→

0

20

2

20

220

2

xx

xx2

2xx

2xxsin

2xxsin2

lim0

=2xx

2xx

sinlim2 02

02

xx 0

++−

→= -2 x0 sin x0

2

4. Fie u şi v două funcţii derivabile. Să se calculeze df(x) unde

)x(v)x(uarctg)x(f = .

Rezolvare .dxv

'uvv'uvu

vdxvu

vu1

1dx'fdf 222

2

2

2

−+

=′

+==

Dar

u'dx = du şi v'dx = dv

şi vom avea :

dxvuudvvdudf 22 +

−= .

5. Să se calculeze derivata de ordinul n a funcţiei: f(x) = ex sin x, utilizînd

formula lui Leibniz.

Rezolvare Avem:

)n(nn

)1n(1n

)n(0n

n uvC...vuCvuC)uv( ++′+= − =∑=

−n

0k

k)kn(kn gfC

În cazul de faţă, notând u(x) = ex şi v(x) = sinx avem:

u(n) (x) = ex ;

Page 10: Curs Matematica Si Statistica

12

v '(x) = cos x = sin(x+ π/2)

v ''(x) = -sin x = sin(x+2π/2)

v '''(x) = -cos x = sin(x+3π/2) ...

Să demonstrăm folosind metoda inducţiei că:

v(n)(x) = sin(x+nπ/2).

Vom presupune că egalitatea este adevărată pentru k∈R adică:

v(k)(x) = sin(x+kπ/2).

Avem:

v(k+1) (x) = [v(k) (x)]' = cos(x + kπ/2) = sin[x + (k+1)π/2]

deci inducţia este completă.

Aplicând formula lui Leibniz obţinem:

=π+= ∑=

)2/kxsin(eC)x(f xn

0k

kn )]2/sin(...)2/sin(sin[ 10 π+++π++ nxCxCxCe n

nnnx

Întrebări

1. Folosind regulile de derivare, să se calculeze derivatele funcţiilor:

a) x1sin

e)x(f = b) f (x) = etg x

2. Să se scrie derivatele de ordinul n pentru următoarele funcţii şii apoi să se

scrie pentru ele formula lui Mac-Laurin:

a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x

3. Să se calculeze df pentru funcţia xxe)x(f =

4. Fie funcţiile 2ee)x(sh,

2ee)x(ch

xxxx −− −=

+=

numite funcţii hiperbolice. Să se demonstreze formulele:

ch2(x) -sh2(x) =1, ch '(x) = sh(x), sh '(x) = ch(x)

5. Să se calculeze derivatele de ordinul n pentru funcţiile:

xxln)x(f)a = xcose)x(f)b x=

Page 11: Curs Matematica Si Statistica

13

Cursul 2 ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

Cuvinte cheie: Şiruri, serii, criterii de convergenţă

Şiruri şi serii de numere reale

Şiruri de numere reale

Definiţie Se numeşte şir de numere reale o funcţie f: N→R care f : n∈N→ f(n) =

an∈R sau o familie (submulţime) (an)n∈N de numere reale.

Definiţie Şirul de numere reale (an)n∈N este convergent dacă există a∈R, astfel

încât pentru orice ε > 0, există N(ε) > 0 astfel încât pentru orice n > N(ε) să

avem an - a < ε şi se scrie a = limn na

→∞, sau în afara oricărei vecinătăţi a lui "a"

se află un număr finit de termeni.

Teoremă (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy). Şirul (an) este

convergent dacă şi numai dacă este fundamental, adică pentru orice ε > 0, există

N(ε), astfel încât pentru orice n > N(ε) şi p∈N, p ≥ 1 avem:an+p - an < ε.

Demonstraţie

Necesitatea: Deci (an) convergent şi limn na

→∞= a deci ∀ ε > 0, ∃ N(ε), astfel încât,

∀ n > N(ε)

să rezulte an - a < ε2 şi an+p - an <

ε2 , ∀ p ≥ 1 deoarece n + p > N(ε), să

calculăm:

an+p - an= (an+p - an) + a - an≤ an+p - an+an - a< ε2 +

ε2 = ε.

Suficienţa: Dacă n = N fixat, atunci aN+p - aN< ε, p ≥ 1 cu excepţia termenilor

a1, a2, ..., aN-1 deci toţi termenii aN+1, aN+2, ... se află în intervalul (aN - ε, aN + ε)

deci conform definiţiei şirul (an) este convergent.

Page 12: Curs Matematica Si Statistica

14

Definiţii

Definiţie Fie şirul de numere reale

u1, u2, ... , un, ... , n∈N.

Cu ajutorul şirului (un)n∈N formăm şirul:

s1 = u1, s2 = u1 + u2, ..., sn = u1 + u2 + ... + un.

Şirul (sn)n∈N se numeşte şirul sumelor parţiale.

Definiţie Se numeşte serie de numere expresia

s = unn=

∞∑

1,

unde s este suma seriei, un termenul general iar u1, u2, ... , un, ... termenii seriei.

Definiţie Seria ∑∞

=1nnu este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale

(sn) este convergent.

Definiţie Seria ∑∞

=1nnu este cu termeni pozitivi dacă există un rang N astfel ca

pentru n > N să avem un > 0. Considerăm în continuare seriile de la acest punct

serii cu termeni pozitivi.

Criterii de convergenţă

Teoremă (Criteriul monotoniei). Dacă şirul sumelor parţiale (sn) pentru seria

∑∞

=1nnu este mărginit atunci seria ∑

=1nnu este convergentă iar dacă este nemărginit

este divergentă.

Demonstraţie: Şirul (sn) este mărginit, dar el este şir de numere pozitive, deci

este crescător, deci este convergent în cazul când şirul este nemărginit seria este

divergentă.

Page 13: Curs Matematica Si Statistica

15

Teoremă (Criteriul I al comparaţiei). Fie ∑∞

=1nnu , ∑

=1nnv serii cu termeni pozitivi.

Dacă există N∈N astfel ca

un < vn pentru orice n ≥ N atunci avem:

a) Dacă seria ∑∞

=1nnv este convergentă atunci seria ∑

=1nnu este convergentă.

b) Dacă seria ∑∞

=1nnu este divergentă atunci seria ∑

=1nnv este divergentă.

Demonstraţie

a) Fie n ≥ 1, dacă vnn=

∑1

este convergentă atunci:

sn = v1 + v2 + ...+ vn < M,

deci

σn < sn < M

unde

σn = u1 + u2 + ... + un

deoarece un < vn şi deci (σn)n∈N şirul sumelor parţiale ale seriei ∑∞

=1nnu este

mărginit şi deci ∑∞

=1nnu este convergentă.

b) Dacă seria ∑∞

=1nnu , rezultă că (σn)n∈N este crescător şi nemărginit, dar sn

≥ σn, deci şirul (sn)n∈N este nemărginit, deci seria ∑∞

=1nnv este divergentă.

Observaţie Enunţăm pentru serii cu termeni pozitivi următoarele criterii:

Corolar Criteriul rãdãcinii(Cauchy) Fie ∑un o serie cu termeni pozitivi. Dacã (∃) n0 Є N astfel încât ∀ n≥ n0:

• 1qunn <≤ , seria e convergentã.

• 1qunn >≥ , seria e divergentã.

Page 14: Curs Matematica Si Statistica

16

• λ=∞→

n nn

ulim , atunci pentru λ<1 seria e convergentã ºi pentru λ>1 e

divergentã. Corolar Criteriul lui Raabe-Duhamel Fie

1∑

=n

nu o serie cu termeni pozitivi. Dacã (∃) n0 Є N astfel incât ∀ n>n0 :

• 1L1uu

n1n

n >≥

+

, atunci seria este convergentã.

• 1L1uu

n1n

n <≤

+

, atunci seria este divergentã.

• λ=

+∞→

1uun

1n

n

nlim şi λ>1 seria este convergentã, iar pentru λ<1 este

divergentã. Corolar Criteriul raportului(D’Alambert)

Fie 1

∑∞

=n

nu o serie cu termeni pozitivi. Dacã (∃) n0 Є N astfel încât (∀) n>n0

sã avem: • 1q

uu

n

1n<≤

+ atunci 1

∑∞

=nnu este convergentã.

• 1qu

un

1n>≥

+ atunci 1

∑∞

=nnu este divergentã.

• Lu

un

n

n=+

∞→

1lim şi L < 1 seria e convergentã iar dacã L > 1 este

divergentã. Observaţie În cazul L = 1 se aplicã criteriul Raabe-Duhamel.

Serii de puteri

Definiţie Se numeşte serie de puteri o serie de forma:

∑∞

=0n

nnxa = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ... , x∈R

Definiţie Fie x0∈R, x0 se numeşte punct de covergenţă pentru seria de puteri

∑∞

=0n

nnxa dacă seria numerică ∑

=0n

n0nxa este convergentă. Mulţimea punctelor de

convergenţă se numeşte mulţime de convergenţă. Pentru seriile de puteri există

Page 15: Curs Matematica Si Statistica

17

R care se numeşte rază de convergenţă, existenţa şi calculul ei fiind dat de două

teoreme, date fără demonstraţie.

Teoremă Pentru seria de puteri a xnn

n=

∑0

, există un număr R ≥ 0 finit sau infinit

astfel că:

a) Pentru x∈(-R,R) seria de puteri este absolut convergentă.

b) Pentru x> R seria de puteri este divergentă.

Teoremă Pentru seria de puteri a xnn

n=

∑0

raza de convergenţă se calculează

astfel:

R = 1n

n

n aalim

+∞→

, sau R = n

nn a

1lim→∞

care poate să fie finită, infinită sau zero.

În cazul în care x∈(-R,R) adică seria de puteri este convergentă S(x) =

∑∞

=0n

nnxa se numeşte suma seriei de puteri.

Teoremă Fie seria de puteri ∑∞

=0n

nnxa convergentă pe (-R,R). Seria ∑

=

1n

1nnxna

formată cu derivatele seriei date are acelaşi interval de convergenţă cu seria dată.

Demonstraţie Fie R1 raza de convergenţă pentru seria ∑∞

=

1n

1nnxna atunci dacă

notăm un-1 = n⋅an avem: R1 = Raalim

aalim

aa

2n1nlim

uulim

1n

n

n2n

1n

n2n

1n

n1n

n

n===

++

=+

→∞+

+

→∞+

+

→∞+

→∞. Deci

R1 = R şi teorema este demonstrată.

Consecinţă Dacă S(x) = a xnn

n=

∑0

şi f(x) = na xnn

n

=

∑ 1

1 atunci pentru x∈(-R,R)

avem

S'(x) = f(x).

Page 16: Curs Matematica Si Statistica

18

B.

1. Să se arate că şirul an = 1 + 12

1+ +K n este divergent.

Rezolvare Deoarece an+p - an= = 211

21

11

=+

>+

>+

+++

++ pp

ppn

ppnnn

K

pentru p ≥ n condiţia din Criteriul lui Cauchy nu este îndeplinită şi deci şirul (an)

nu este convergent.

2. Fie ∑∞

1n n1 seria armonică generalizată. Să se studieze natura sa, utilizând

criteriul monotoniei.

Rezolvare Să arătăm că pentru α > 1 şirul sumelor parţiale este mărginit deci

convergent şi în acest caz seria este convergentă.

Deci:

=+++++=∑∞

=

...1...31

2111

1αααα nnn

...)12(

1)12(

1)2(

1...71

61

51

41

31

211 1 +

++

+++

++++

++= + ααααααααα mmm

Fie sp cu p = 2m+1 – 1. Vom avea:

M

211

12

12

12

12

11)2(

2)2(

2221s

10m

)1(m

)1(m)1(21m

m

2

2

p

=−

=<

<++++=+++++<

−α

=−α

−α−α−αααα

KKK

Rezultă sp < M adică şirul sumelor parţiale ale seriei este mărginit şi deci

convergent pentru

q = 121

−α < 1 ⇒ 1 < 2α-1

deci 0 < α-1 şi α > 1 în concluzie seria ∑∞

1n n1 este convergentă pentru α > 1 şi

divergentă pentru α≤1.

Page 17: Curs Matematica Si Statistica

19

2. Folosind criteriul I al comparaţiei să se arate că seria 1

1nnα

=

∑ este divergentă

pentru α < 1.

Rezolvare Deoarece nn11

deci n > nα şi α < 1, ştiind că 1

1nn=

∑ este divergentă,

rezultă că ∑∞

=1

1n nα

este divergentă conform cazului b) din criteriul I al comparaţiei

şi în concluzie seria ∑∞

=1

1n nα

este divergentă pentru α ≤ 1 şi convergentă pentru

α > 1.

3. Sã se afle raza de convergenţã al seriilor de puteri

a) ( )−

=

∑ 11

n n

n

xn!

.

Rezolvare ( )

( )n

n

n n

n n

n nn

aa

xn

nx

nnx→∞ + →∞

+ +→∞

=−

⋅+

−=

+=lim lim lim

11 1

1 11

11

b) xn

n

n

=

∑1

Rezolvare Ra x

n

nxn

nn n n

nn

= =

= = ∞→∞ →∞ →∞

lim lim lim1 1

4. Fie seria s1= ( )− +

+

=

∑ 1 1

1

0

nn

n

xn . Să se arate că raza sa coincide cu raza seriei s2

formată cu derivatele seriei date.

Rezolvare R1 = lim lim( )( )n

n

n n

n

na

an

n→∞ + →∞

−=

−−

+=

1

111

11 şi

s2(x) = ( )−=

∑ 10

n n

nx cu R2 = R1

)1()1(lim 1n

n

n==

−−

+→∞1

Page 18: Curs Matematica Si Statistica

20

Întrebări 1. Sa se studieze convergenţa seriilor:

)1n(n1un+

= ,

)1n(n1un+

=

2. Sã se afle raza de convergenţă a seriilor de puteri:

a) ∑∞

=

1n

nn

nx)1( b) ∑

= +1nn

4

2)1n(

x

3. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a lui eαx să se deducă formulele lui Euler:

i2eexsin,

2eecos

ixixixix −− −=

+= .

4. Sã se studieze natura seriei: ∑∞

=

>1n

n

0)(a , !n

a

5. Sã se studieze natura seriilor: ∑∞

=

1nn

n

n!n3

Page 19: Curs Matematica Si Statistica

21

Cursul 3 FUNCŢII REALE DE

MAI MULTE VARIABILE REALE

Cuvinte cheie: Funcţii reale, derivata, diferenţiala

FUNCŢII REALE DE

MAI MULTE VARIABILE REALE

A.

Derivata parţială şi diferenţiala

Derivata şi diferenţiala. Funcţii compuse

Fie f : A ⊂ Rn → R şi (x0,y0) ∈ A (în particular n=2). Spunem că funcţia

f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu variabila x, în punctul (x0,y0) dacă

există

0

000

xx xx)y,x(f)y,x(f

lim0 −

−→

şi este finită. Această limită se va nota f 'x(x0,y0) sau )y,x( 00 xf

∂∂ .

Dacă f 'x şi f 'y sunt derivabile parţial în raport cu x şi y atunci derivarele parţiale

ale acestora se numesc de ordinul doi şi se notează astfel:

( ) 2

2

xxx

fxx

ff 2 x

f ∂

∂=

∂∂

∂∂

=′′=′′ ; xy f

xf

y )f(f

2

yxxy ∂∂∂

=

∂∂

∂∂

=′′=′′

y x

fyf

x)f(f

2

xyyx ∂∂∂

=

∂∂

∂∂

=′′=′′ ; 2

2

yyy y f

yf

y )f(f 2

∂∂

=

∂∂

∂∂

=′′=′′

Fie f(x,y) o funcţie derivabilă parţial pe un interval A⊂R2, şi (x0,y0)∈A un punct

în care f 'x şi f 'y sunt continue. Funcţia:

hf 'x(x0,y0) + kf 'y(x0,y0)

unde h = x-x0, k = y-y0 se numeşte diferenţiala funcţiei f(x,y) şi se notează

Page 20: Curs Matematica Si Statistica

22

df(x,y)= hf 'x(x0,y0) + kf 'y(x0,y0)= f 'x(x0,y0) dx + f 'y(x0,y0) dy

sau ∀ (x,y)∈A avem: dyyfdx

xfdf

∂∂

+∂∂

=

Diferenţiind succesiv funcţia df obţinem:

22

222

2

22 dy

y fdxdy

y xf2dx

xffd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= .

Dacă funcţiile u(x) şi v(x) definite pe aceeaşi mulţime A⊂R au derivate continue

pe A şi dacă funcţia f(u,v) definită pe B⊂R2 are derivate parţiale continue pe B,

atunci funcţia F(x) = f( u(x),v(x) ) are derivata continuă pe A şi:

.dxdv

vf

dxdu

u f

dxdF

∂∂

+∂∂

=

De aici deducem expresia diferenţialei funcţiei F:

.dv vf du

u f dF

∂∂

+∂∂

=

Diferenţiala de ordinul doi a lui F(x) este:

f)vd v

udu

(f)dv v

duu

(fd 22)2(2

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

În cazul funcţiei ( ) ( )( )F x y f u x y v x y( , ) , , ,= , unde u,v : A → R şi f : B → R sunt

funcţii având derivate parţiale continue,derivatele parţiale sunt date de

expresiile:

dxdv

vf

dxdu

u f

xF

∂∂

+∂∂

=∂∂ ;

dydv

vf

dydu

u f

yF

∂∂

+∂∂

=∂∂

iar diferenţialele de ordinul I şi II:

dyy F dx

xF dF

∂∂

+∂∂

= ; 22

222

2

22 dy

y Fdxdy

y xF2dx

xFFd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

Funcţii omogene

Definiţie Funcţia f:A⊂Rn→R se numeşte omogenă de gradul m dacă

f(tx1, tx2,…, txn )=tn f(tx1, tx2,…, txn ).

Fie (1) F(x)=f(u1(x), u2(x),…, un(x)),

Page 21: Curs Matematica Si Statistica

23

Dacă

u1(t)=tx1, u2(t)=tx2,…, un(t)=txn avem F(t)= f(tx1, tx2,…, txn ).

Dacă f este omogenă de grad m, atunci derivând în raport cu t relaţia (1) avem:

)x,...,x,x(fmtdt

duuf...

dtdu

uf

dtdu

uf

n211mn

n

2

2

1

1

−=∂∂

++∂∂

+∂∂

şi dacă facem t = 1 rezultă:

)1(),...,,(... 212

21

1 nn

n xxxmfxfx

xfx

xfx =

∂∂

++∂∂

+∂∂

relaţia (1) se numeşte formula lui Euler.

Funcţii implicite de una şi două variabile

Funcţii implicite de o variabilă

Fie F: A⊂R2→R. Funcţia y = f(x), f: B⊂R→R astfel încât pentru orice

x∈B, (x, f(x))∈A se numeşte soluţie în raport cu y a ecuaţiei F(x,y) = 0

pe mulţimea B dacă avem:

F(x, f(x)) ≡ 0 pentru orice x∈B.

Funcţiile y = f(x) definite cu ajutorul ecuaţiei F(x,y) = 0 se numesc funcţii

implicite sau funcţii definite implicit.

Observaţie Pentru calculul derivatelor funcţiei y = f(x) folosim regulile de

derivare de la funcţiile compuse :

Fie F(x,y) = 0, y = f(x), rezultă F(x, f(x)) = 0, derivăm în raport cu x şi

rezultă:

0dxdy

yF

dxdx

xF

=∂∂

+∂∂

sau

F'x + y'F'y = 0

Page 22: Curs Matematica Si Statistica

24

deci y

x

FFy

′′

−=′ . Pentru derivata de ordinul al doilea a lui y vom

0FyFyFyFyF 22 y2

xyyxyx=′′′+′′′+′′′+′′′+′′ ⇒ yy

2xyx

FyFyFy2F 22 ′′′−=′′′+′′′+′′

şi dacă înlocuim pe

y

x

FFy

′′

−=′ , 3y

y2

xxyyx2yx

F

FFFFF2'FFy

222

′′′+′′′′−′′−=′′ .

Funcţii implicite de două variabile

Pentru funcţiile implicite definite de ecuaţia F(x,y,z) = 0 sau funcţii

implicite de două variabile în condiţiile teoremei de existenţă şi unicitate adică

în cazul existenţei funcţiei z = f(x,y) şi F'z ≠ 0 vom calcula derivatele funcţiei z

în raport cu x şi y şi derivând funcţia F(x,y,z) considerând-o ca funcţie compusă

şi avem:

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

0yz

zF

yy

yF

yx

xF

0xz

zF

xy

yF

xx

xF

derivatele s-au făcut funcţie de variabilele x şi y iar 0xy,0

yx

=∂∂

=∂∂ şi avem:

=∂∂′+′

=∂∂′+′

0yzFF

0xzFF

zy

zx şi deci

′−=

∂∂

′′

−=∂∂

z

y

z

x

FF

yz

FF

xz

.

Page 23: Curs Matematica Si Statistica

25

Extremele funcţiilor reale de mai multe variabile reale

Extremele funcţiilor reale de două variabile reale

Fie f(x,y) o funcţie reală de două variabile reale, definită pe A ⊂R2. Un

punct (a,b)∈A se numeşte punct de minim (maxim) al funcţiei f(x,y) dacă există

o vecinătate V a lui (a,b) astfel pentru orice (x,y) ∈ A ∩V să avem:

( ))b,a(f)y,x(f)b,a(f)y,x(f ≤≥ .

Maximele sau minimele unei funcţii se mai numesc extreme relative. Pentru

determinarea acestora procedăm după cum urmează:

Fie (a,b) o soluţie a sistemului

=∂∂

=∂∂

0

0

y f

xf

.

Punctul (a,b) se numeşte punct staţionar şi este un posibil punct de extrem.

Facem notaţiile:

)b,a(y x

fs )b,a(y ft )b,a(

xfr

2

2

2

2

2

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

=

1o Dacă rt-s2 > 0, (a,b) este punct de extrem şi anume:

dacă r > 0, (a,b) punct de minim;

dacă r < 0, (a,b) punct de maxim.

2o Dacă rt-s2 < 0, (a,b) nu este punct de extrem şi în acest caz se numeşte punct

şa.

Extremele funcţiilor de 3 variabile

Fie f : A ⊂ R3→ R, (x,y,z)∈A şi a∈A un punct staţionar al său, adică o

soluţie a sistemului:

0,0,0 =∂∂

=∂∂

=∂∂

z f

y f

xf .

Page 24: Curs Matematica Si Statistica

26

Extremele lui f se găsesc printre punctele staţionare şi se determină astfel:

Calculăm:

111 AD =

2221

12112 AA

AAD

=

333231

232221

131211

A A AA A AA A A

Dn =

unde

)(),(),(

)(),(),(

)(),(),(

2

33

2

32

2

31

2

23

2

22

2

21

2

13

2

12

2

11

az fAa

y z fAa

xzfA

az y

fAay fAa

xy fA

az x

fAay x

fAa x

fA

2

2

2

∂∂

=∂∂

∂=

∂∂∂

=

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

∂=

∂∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

=

1o Dacă D1,D2,D3 sunt pozitivi atunci a∈A este un punct de minim;

2o Dacă -D1,D2,-D3 sunt pozitivi atunci a∈A este un punct de maxim.

Extremele funcţiilor implicite

Considerăm o funcţie implicită definită de ecuaţia:

F(x,y) = 0, y= y(x).

Pentru a determina extremele unei astfel de funcţii parcurgem următoarele etape:

- se rezolvă sistemul de ecuaţii

=′=

0)y,x(F0)y,x(F

x

iar dintre soluţiile acestuia se aleg cele care verifică 0)y,x(Fy ≠′ .

Fie (x0,y0) o astfel de soluţie.

- dacă y''(x0)>0 atunci y0 are valoare minimă;

Page 25: Curs Matematica Si Statistica

27

- dacă y''(x0)<0 atunci y0 are valoare maximă.

Pentru funcţiile de tipul F(x,y,z) = 0, z = z(x,y) (funcţii implicite de două

variabile) rezolvăm sistemul:

=′=′

=

0)z,y,x(F0)z,y,x(F

0)z,y,x(F

y

x

şi alegem soluţiile care verifică .0)z,y,x(Fz ≠′ Fie M0(x0,y0,z0) una dintre aceste

soluţii.

Facem notaţiile:

.sy x

z,ty z,r

xz

000 M

2

M2

2

M2

2

=∂∂

∂=

∂∂

=∂∂

1o Dacă rt-s2 > 0, atunci M0 este punct de extrem şi anume:

dacă r > 0, punct de minim;

dacă r < 0, punct de maxim.

2o Dacă rt-s2 < 0, nu este punct de extrem.

B.

1. Să se verifice egalitatea xy f

y xf 22

∂∂∂

=∂∂

∂ pentru funcţia

f(x,y) = x2 ln (1+xy).

Rezolvare Calculăm mai întâi derivatele parţiale de ordinul I.

xy1yx)xy1ln(x2

x f 2

+++=

∂∂

xy1x

y f 3

+=

∂∂

Derivatele parţiale de ordinul doi se obţin derivând în raport cu x respectiv y,

expresiile de mai sus.

2

322

)xy1(yx2x3

y xy xf

++

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂ 2

322

)xy1(yx2x3

xf

y xy f

++

=

∂∂

∂∂

=∂∂

Page 26: Curs Matematica Si Statistica

28

2. Să se calculeze d2F pentru funcţia F (x,y) = f (x+y).

Rezolvare Notăm u(x,y) = x+y . Derivând obţinem 1y u

xu

=∂∂

=∂∂ .

Expresia diferenţialei de ordinul doi este:

22

222

2

22 dy

y Fdxdy

y xF2dx

xFFd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

Calculăm apoi derivatele parţiale de ordinul doi:

2

2

2

2

2

2

dufd

xu

dufd

dudf

x xF

x xF

=∂∂

=

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

dufd

y u

dufd

dudf

y y F

y y F

=∂∂

=

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

2

22

dufd

y F

xy xF

=

∂∂

∂∂

=∂∂

Deci

( ) .dydxdu

fdFd 22

22 +=

3. Să se calculeze d2F pentru F(x,y) = f(x+y,x-y).

Rezolvare Notăm u(x,y) = x+y, v(x,y) = x-y.

Atunci avem :

1y

v,1y u ,1

x v,1

xu

−=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂ .

Calculăm derivatele parţiale de ordinul I ale lui F(x,y):

vf

u f

xv

vf

xu

u f

xF

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ ;

vf

u f

dydv

vf

dydu

u f

yF

∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

Derivatele parţiale de ordinul doi vor fi:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2 F x x

f u

f v x

f u x

f v2 = +

=

+

=

x v

vf

xu

u vf

x v

vu f

xu

u f

2

222

2

2

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

= =

2

22

2

2

vf

vu f2

u f

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

Page 27: Curs Matematica Si Statistica

29

Analog se calculează şi celelalte derivate:

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

vf

y u f

y vf

u f

y y F

2

2

2

22

2

2

vf

vu f2

u f

∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂

∂ vf

y u f

y xy F2

y v

vf

y u

u vf

y v

vu f

y u

u f

2

222

2

2

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂ = 2

2

2

2

vf

u f

∂∂

−∂∂

Înlocuind în expresia lui d2 F obţinem:

22

2 2

2

2

2

2

2

22

2

2 2

2

22

dy v

f vu f 2

u f

dxdy v

f u

f 2dx v

f vu f 2

u f Fd

∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

+

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

( ) ( ) ( )22

222

22

2

22 dydx

vfdydx

vu f2dydx

u fFd −

∂∂

+−∂∂

∂++

∂∂

=

4. Să se arate că funcţia de mai jos verifică relaţia lui Euler (pentru funcţii

omogene):

xylnyx)y,x(f 22 += .

Rezolvare Relaţia lui Euler pentru funcţii de două variabile este:

nfy f y

xf x =

∂∂

+∂∂

2

22

22

22

22

yyxx

xyln

yx

yy f

yyx

xyln

yxx

xf

++

+=

∂∂

+−

+=

∂∂

.fxylnyx

yyxx

xyln

yxy

yyxx

xyln

yxx

y f y

xf x

22

22

22

222

22

2

=+=

++

++

+−

+=

=∂∂

+∂∂

Observăm că n = 1 adică funcţia este omogenă de gradul 1.

Page 28: Curs Matematica Si Statistica

30

5. Să se afle valorile extreme ale funcţiilor:

a) f(x,y)=x3+y3-3xy

Rezolvare Să calculăm mai întâi derivatele parţiale de ordin întâi şi doi ale lui

f(x,y):

x3y3)y,x(y f y3x3)y,x(

xf 22 −=

∂∂

−=∂∂

Pentru determinarea punctelor staţionare rezolvăm sistemul:

3x3y

2

2

− =− =

3 03 0

yx

iar soluţiile acestuia vor fi (0,0) şi (1,1). Calculăm valorile derivatelor parţiale de

odinul doi în aceste puncte şi obţinem:

6)1,1(y f t 0)0,0(

y f t

6)1,1( x

f r 0)0,0( x

f r

2

2

22

2

1

2

2

22

2

1

=∂∂

==∂∂

=

=∂∂

==∂∂

=

3)1,1(y x

f s 3)0,0(y x

f s2

2

2

1 −=∂∂

∂=−=

∂∂∂

=

Observãm că 09str 2111 <−=− deci (0,0) nu este punct de extrem.

Pentru cea de-a doua soluţie avem:

027str 2222 >=− şi r2 > 0;

Deci f(1,1) = -1 este o valoare minimă pentru funcţia f.

b) )0z,0y,0x( z2

yz

x4yx)z,y,x(f

22

>>>+++=

Rezolvare Derivatele parţiale de ordinul I şi II ale lui f sunt:

22

2

2

2

z2

yz2)z,y,x(

z f ;

yz

2xyz)y,(x,

y f ;

4xy1z)y,(x,

xf

−=∂∂

−=∂∂

−=∂∂

z4

y2)z.y,x(

z f ;

y2z+

x21)z,y,x(

y f ;

x2y)z,y,x(

xf

32

2

3

2

2

2

3

2

2

2

+=∂∂

=∂∂

=∂∂

22 yz2)z,y,x(

z y f ; 0z)y,(x,

z xf ;

2xyz)y,(x,

y xf

−=∂∂

∂=

∂∂∂

−=∂∂

Page 29: Curs Matematica Si Statistica

31

Rezolvând sistemul:

14

0

20

2 20

2

2

2

2

2

− =

− =

− =

yx

yx

zy

zy z

şi ţinând cont de condiţiile din enunţ obţinem:

( , , ) ( , , )x y z a= =12

11

Calculăm următoarele expresii:

( ) ( ) ( ) 0azx

fA ,2ayxfA ,4a

xfA

2

13

2

122

2

11 =∂∂

∂=−=

∂∂∂

==∂∂

=

( ) ( ) 2)a(zyfA,3a

yfA,2a

xyfA

2

232

2

22

2

21 −=∂∂

∂==

∂∂

=−=∂∂

∂=

( ) ( ) ( ) 6azfA,2a

yzfA,0a

xzfA 2

2

33

2

32

2

31 =∂∂

=−=∂∂

∂==

∂∂∂

=

4AD 111 ==

DA AA A2

11 12

21 22

4 22 3

16= =−

−=

DA A AA A AA A A

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

4 2 02 3 2

0 2 672 16 24 32= =

−− −

−= − − =

Observăm că : Di ≥ 0 , i = 1,..,3 deci funcţia are un minim

4)1,1,21(ffmin ==

6. Să se afle extremele funcţiilor definite implicit:

a) x y xy x y2 22 2 4 6 0+ − + − + =

Rezolvare Fie F(x,y)= x y xy x y2 22 2 4 6+ − + − +

Page 30: Curs Matematica Si Statistica

32

În urma rezolvării sistemului

( )( )

==0y,xF

0y,xF x'

=+−+−+

=+−⇔

06yx4xy2y2x04y2x2

22

şi punând condiţia ca ( )′ ≠F x yy , 0 adică 4x-2y-1≠0 obţinem următoarele

soluţii:

( ) ( ) ( ) ( )2,4y,xsi1,3y,x 2211 −−=−−=

Pentru calculul derivatei de ordinul doi a funcţiei y=y(x) vom deriva succesiv

succesiv în raport cu y iar y este o funcţie de x).

2x+4yy'-2y-2xy'+4-y'=0

1x2y44x2y2y

−−−−

=′

0yyx2y2y2yy4)y(42 2 =′′−′′−′−′−′′+′+ .

1x2y4

2y4)y(4y2

−−−′+′−

=′′

Observăm că ′ − = ′ − =y y( ) ( )3 0 4 0 si deci:

y''(-3) = -2 < 0 deci ymax= -1

y''(-4) = 2/3 > 0 deci ymin= -2.

b) x y z x y2 2 2 2 2 7 0+ + − − − =

Rezolvare

z2)z,y,x(F 2y2)z,y,x(F 2x2)z,y,x(F

z

y

x

=′

−=′−=′

În urma rezolvării sistemului:

=−−−++=−=−

07y2x2zyx02y202x2

222

şi alegând soluţiile care verifică

′ ≠ ⇔ ≠F x y z( , ) 0 0

obţinem punctele staţionare:

Page 31: Curs Matematica Si Statistica

33

).3,1,1()z,yx( si )3,1,1()z,y,x( 22,2111 −==

Pentru a calcula derivatele parţiale de ordinul II şi mixte ale lui z = z(x,y)

derivăm parţial în raport cu x, respectiv în raport cu y expresia iniţilă, ţinând

cont că

z = z(x,y):

zx1

xz 02

xz 2zx2 −

=∂∂

⇒=−∂∂

+

zy1

y z 02

xz 2zy2 −

=∂∂

⇒=−∂∂

+

Observăm că pentru x=1 şi y=1 derivatele de mai sus sunt nule. În urma încă

unei derivări a expresiilor de mai sus vom avea:

z

1 xz

xz0

xzz

xz1

2

2

2

2

22

2

2 −

∂∂

−=

∂∂

⇒=∂∂

+

∂∂

+

y z

xz

21

y xz si

z

1y z

y z 2

2

2

2

∂∂

∂∂

−=∂∂

∂−

∂∂

−=

∂∂

Notãm:

.sy x

z,ty z,r

xz

1M

2

1M2

2

1M2

2

111=

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

.sy x

z,ty z,r

xz

2M

2

2M2

2

2M2

2

222=

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

unde M1 şi M2 reprezintă cele două puncte staţionare. Astfel avem:

0s31t31r

0s31t31r

2

2

2

1

1

1

=

=

=

=

−=

−=

Deci: 3z unde de ,0r si 91str max1

2111 =<=−

3z unde de ,0r si 91str min2

2222 −=>=−

Page 32: Curs Matematica Si Statistica

34

Întrebări

1. Să se arate că funcţia f(x,y) = ln(x2 + y2) verifică relaţia:

0y f

xf

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂ .

2. Să se arate că funcţia f(x,y,z) = (x2 + y2 +z2)-1/2 verifică relaţia:

0z f

y f

xf

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂ .

3. Să se arate că funcţia f(x,y,z) = (x2 + y2 +z2)1/2 verifică egalitetea:

.0f)z z

y y

x x( )2( =

∂∂

+∂∂

+∂∂

4. Să se afle valorile extreme ale funcţiilor:

yx2yxyx)y,x(f)by6x6y5xy2x2)y,x(f)a

22

22

−−++=

++−+−=

5. Să se afle extremele funcţiilor implicite definite de ecuaţiile:

03yx3yx)b03x4yx2y)a

233

22

=−−+

=−−−

Page 33: Curs Matematica Si Statistica

35

Cursul 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I

Cuvinte cheie: Ecuaţii diferenţiale, Bernoulli, Ricatti, Lagrange, Clairaut

ECUAŢII DIFERENŢIALE

Ecuaţii diferenţiale de ordinul I

Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile

Ecuaţia P(x)dx = Q(y)dy este o ecuaţie cu variabile separabile şi soluţia

generală a ei se obţine prin integrare: ∫ ∫= dy)y(Qdx)x(P ⇒ y = ϕ(x,c) soluţie

generală.

Ecuaţia diferenţială omogenă

Forma generală a ecuaţie omogene este y' = f

xy , pentru integrare se

face schimbarea de funcţie y = tx, apoi y' = t'x + t şi t'x = f(t) - t deci prin

separarea variabilelor avem:

∫ −=⇒=

− t)t(fdtxln

xdx

t)t(fdt

şi revenim, t = yx , în final soluţia generală va fi y = ϕ(x,c).

Ecuaţia diferenţială liniară de ordinul I neomogenă

Forma generală a acestei ecuaţii este y' + P(x)y = Q(x), unde funcţiile P(x)

şi Q(x) sunt continue pentru x∈[a,b], ecuaţia fiind liniară în y şi y'.

Pentru integrarea ei se rezolvă mai întâi ecuaţia omogenă, y' + P(x)y = 0.

Page 34: Curs Matematica Si Statistica

36

Avem deci y' + P(x)y = 0 sau dxdy = - P(x)y, deci

ydy = - P(x)dx apoi

clnelnylndx)x(P

+∫=− şi în final y0 = c ∫− dx)x(P

e , care reprezintă soluţia generală a

ecuaţiei omogene. În continuare se foloseşte metoda variaţiei constantei a lui

Lagrange, metoda constă în a propune pentru ecuaţia liniară şi neomogenă,

soluţia ∫=− dx)x(P

e)x(cy , deci constanta de integrare se consideră o funcţie de x.

Avem deci y' = c'(x) ∫− dx)x(Pe + c(x)(-P(x)) ∫− dx)x(P

e , deci prin înlocuire în

ecuaţia neomogenă avem:

c'(x) ∫− dx)x(Pe - c(x)P(x) ∫− dx)x(P

e + P(x)c(x) ∫− dx)x(Pe = Q(x),

apoi

c'(x) ∫− dx)x(Pe = Q(x) sau c'(x) = Q(x) ∫ dx)x(P

e

şi în final:

c(x) = Q x e dx kP x( ) ( )∫ +∫

iar prin înlocuire în soluţia propusă rezultă:

y = ∫− dx)x(Pe ∫ ∫ dxe)x(Q

dx)x(P + k ∫− dx)x(Pe ,

deci se observă că soluţia generală a ecuaţiei neomogene este suma dintre soluţia

generală a ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene, care

este:

yp = ∫− dx)x(Pe ∫ ∫ dxe)x(Q

dx)x(P .

Ecuaţia lui Bernoulli

Ecuaţia lui Bernoulli este de forma: y' + P(x)y = Q(x)yα unde P(x), Q(x)

sunt continue pentru x∈[a,b] iar α∈ℜ-{1}.

Teoremă Dacă se face schimbarea de variabilă z = y1-α ecuaţia Bernoulli se

reduce la o ecuaţie liniară de ordinul I.

Page 35: Curs Matematica Si Statistica

37

Demonstraţie Se derivează relaţia de substituţie şi avem: z' = (1-α)y-αy' iar prin

împărţirea ecuaţiei Bernoulli cu yα rezultă:

)x(Qy

)x(Pyy

1 =+′

−αα sau y-αy' + y1-αP(x) = Q(x), dar y-αy' = α−′

1z deci în final

avem:

z' + (1-α)P(x)z = (1-α)Q(x) iar dacă notăm (1-α)P(x) = P1(x) şi (1-α)Q(x) =

Q1(x) rezultă ecuaţia liniară de ordinul I în necunoscuta z şi variabila

independentă x sub forma:

z' + P1(x)z = Q1(x)

Ecuaţia lui Riccati

y' = P(x)y2 + Q(x)y + R(x) unde funcţiile P(x), Q(x), R(x) sunt funcţii

continue pentru x∈[a,b].

Teoremă Dacă se cunoaşte o soluţie particulară y1 a ecuaţiei lui Riccati atunci

prin schimbarea de funcţie y = y1 + 1z ecuaţia se reduce la o ecuaţie liniară de

ordinul I.

Demonstraţie Prin derivarea substituţiei avem:

y' = y'1 - ′z

z2

şi prin înlocuire în ecuaţia Riccati rezultă:

z)x(Q

zy2

z1)x(P)x(Ry)x(Qy)x(P

zzy 1

212121 +

++++=

′−′

Se înmulţeşte relaţia cu z2 şi deoarece y1 este soluţie particulară pentru ecuaţia

Riccati avem

y1' = P(x)y12 + Q(x)y1 + R(x) ,

deci în final rezultă:

z' + (2y1P(x) + Q(x))z = - P(x)

Page 36: Curs Matematica Si Statistica

38

Ecuaţia lui Lagrange

Ecuaţia lui Lagrange este de forma:

A(y')y + B(y')x + C(y') = 0

sau dacă A(y') ≠ 0 atunci forma ecuaţiei Lagrange este:

y = x f(y') + g(y')

Se face următoarea notaţie: y' = p, evident p va fi o funcţie de x, ecuaţia în

acest caz devine y = x f(p) + g(p). Se derivează în continuare în raport cu x şi

avem:

y' = f(p) + x f'(p)⋅p'(x) + g'(p)⋅p'(x) sau: p'(x f'(p) + g'(p)) = p - f(p) ,

dar p' = dxdp rezultă

dxdp (x f'(p) + g'(p)) = p - f(p).

Prin înmulţire formală cu dxdp schimbăm rolul lui p cu x şi în acest caz x devine o

funcţie de p, deci:

(p - f(p)) dxdp = x f'(p) + g'(p) sau x' +

)p(fp)p(gx

p)p(f)p(f

−′

=−

′ şi dacă notăm

Q(p) =p)p(f

)p(f−

′ ,R(p) = )p(fp

)p(g−′

atunci avem ecuaţia liniară de ordinul I cu necunoscuta x şi variabila p:

x' + Q(p)x = R(p) .

Ecuaţia lui Clairaut

Ecuaţia lui Clairaut este de forma: y = xy' + g(y') fiind caz particular a

ecuaţiei lui Lagrange, cu f(y') = y'. Cu aceeaşi substituţie y' = p ecuaţia Clairaut

devine y = xp + g(p) şi prin derivare în raport cu x avem:

p = p + xp' + g'(p)⋅p'(x) deci dxdp (x + g'(p)) = 0

şi avem cazurile:

Page 37: Curs Matematica Si Statistica

39

1. dxdp = 0 deci p = c şi y = cx + g(c) care reprezintă soluţia generală a

ecuaţiei lui Clairaut şi

2. x + g'(p) = 0 deci

+′−=

′−=)p(g)p(gpy

)p(gx care reprezintă soluţia singulară a

ecuaţiei Clairaut.

B.

1. Să se integreze ecuaţiile:

a) x(y2+1)dx=y(x2+1)dy

Rezolvare: Ecuaţia este cu variabile separabile iar în urma separării acestore

devine:

dy1y

ydx1x

x22 +

=+

Integrăm şi obţinem:

∫∫ +=

+dy

1yydx

1xx

22 , ln(x2+1)=ln(y2+1) +C1

ln(x2+1)=ln(y2+1) +ln eC1, ln(x2+1)=ln(y2+1)C2, unde C2= eC

1

Deci soluţia ecuaţiei este:

x2+1=C2(y2+1), C2>0.

b) x2dy-xydx=(x2+y2)dx

Rezolvare: Ecuaţia este omogenă şi în urma împărţirii la x2dx obţinem:

2

2

xy1

xy

dxdy

+=−

Facem schimbarea de funcţie y=tx şi avem:

2

2

t1txtt1ttx

ttxtxdxdt

dxdyy

+=′

++=+′

+′=+==′

Page 38: Curs Matematica Si Statistica

40

deci o ecuaţie cu variabile separabile. Avem atunci: 2t1dt

xdx

+= , iar în urma

integrării: ln|x|a=arctg t. Revenim la funcţia iniţiala prin înlocuirea lui t cu y/x:

xyarctgCxln =⋅ ⇒ y=x tg(lnC|x|)

c) yxyx4`y =− , y>0, x≠0.

Rezolvare: Ecuaţia diferenţială este de tip Bernoulli, iar prin schimbarea de

funcţie z=y1-α, unde 21

=α , adică yz = , se reduce la o ecuaţie liniară de ordinul

I:

y2`y`z = şi avem:

2xz

x2`zsau xzz

x4`zz2 2 =−=− ,

adică o ecuaţie liniară.

După rezolvarea ecuaţiei 0zx2`z =− , a cărei soluţie este 2Cxz = , aplicăm metoda

variaţiei constantelor, adică căutăm o solutie de tipul z=C(x)x2.

x21)x(Csau ,

2xx)x(C

x2)x(xC2x)x(C 22 =′=−+′ , de unde, prin integrare,

kxln)x(C +=

Soluţia ecuaţiei liniare va fi: 2x)kx(lnz += , deci 42 x)kx(lny += .

d) xy`+y2-4y+3=0, ştiind că are soluţia particulară yp=1.

Rezolvare Ecuaţia este de tip Riccati, iar în urma substituţiei z11y += vom avea

2zzz′

−=′ , şi ecuaţia devine:

03)311(4

z11z

zx 2

2 =++−

++′− , adică ,0

x1z

x2z =−+′

Page 39: Curs Matematica Si Statistica

41

deci o ecuaţie omogenă. Rezolvarea se face după modul cunoscut, iar în final,

solutia generală a ecuatiei iniţiale este:

C2xx21y 2

2

++= .

e) y=x(y`)2+(y`)2

Rezolvare Ecuaţia este de tip Lagrange, prin urmare în urma substituţiei y`=p(x)

obţinem:

y=p2x+p2 saudxdpp2p

dxdppx2p 2 ++= ,

în urma derivării. Înmultim formal cu dpdx şi avem:

p12x

1p2

dpdx

−=

−+ (1),

deci o ecuaţie liniara de ordinul I cu necunoscuta x şi variabila p. După

rezolvarea ecuatiei omogene ataşate xp1

2dpdx

−= aplicăm metoda variaţiei

constantelor, adică propunem o solutie de tipul 1)1p()p(Cx 2 −

−= . După înlocuirea în

(1) se determină prin integrare C(p) şi astfel vom avea:

1)1p(

Cx 2 −−

= şi 2

2

)1p(Cpy−

=

f) y=xy`+(y`)2

Rezolvare Observăm că ecuaţia este de tip Clairaut, deci facem substituţia

y`=p(x). Înlocuim şi derivăm ecuaţia iniţială:

0)p2x(dxdp

dxdpp2p

dxdpxp pxpy 2 =+⇔++=⇔+=

Soluţia generală a ecuaţiei este

y=Cx+C2,

iar soluţia singulară:

x=-2p şi y=-p2, sau4

xy2

−= .

Page 40: Curs Matematica Si Statistica

42

Întrebări

1. Să se rezolve ecuaţia diferenţială cu variabile separabile:

2

2

1)1(

xyxy

++

−=′

2. Să se rezolve ecuaţiile diferenţiale omogene:

a) x

yxyy

22 ++=′ b)

xyln

xyy =′

3. Să se rezolve ecuaţiile liniare şi neomogene:

a) 2x2y’+xy=x2+1 b) xy1x

xy 2 =−

−′

4. Să se integreze ecuaţiile Bernoulli:

a) 3yxxlny

x2y =+′ b) y’+y tg x=y2

5. Să se integreze ecuaţiile Clairaut:

a) y=xy’+y’ b) y=xy’+cos y’

Page 41: Curs Matematica Si Statistica

43

Cursul 5 ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR

Cuvinte cheie: Ecuaţii diferenţiale de ordin superior, Ecuaţia Euler 3.2. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

A.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare şi neomogene

cu coeficienţi constanţi

Fie ecuaţia:

(1) a0y(n) + a1y(n-1) + ... + an-1y' + y = f(x)

ecuaţie neomogenă cu coeficienţi ai∈R, i = 1,n , iar dacă f(x) = 0 atunci ecuaţia

se numeşte omogenă.

Fie operatorul n1n1n

1n

1n

n

0n adxda...

dxda

dxdaL ++++= −−

atunci ecuaţia (1) se

scrie Ln(y) = f(x).

Teoremă Dacă ecuaţia Ln(y) = 0 are soluţiile y1,y2, ... ,yn atunci

y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn unde ci∈R, i = 1,n este soluţie a ecuaţiei.

Demonstraţie Ln(y) = Ln(c1y1 + c2y2 + ... + cnyn) =

= ∑=

−n

0iin

in

i dxda (c1y1 + c2y2 + ... + cnyn)=∑

=−

++

n

0innin

in

11in

in

i )yc(dxd...)yc(

dxda =

= ∑ ∑= =

++n

0i

n

0innin

in

11in

in

i )yc(dxd...)yc(

dxda = )y(

dxdac...)y(

dxdac nin

inn

0iin1in

inn

0ii1 −

=−

=∑∑ ++ =

= c1Ln(y1) + ... + cnLn(yn) = 0 deoarece Ln(y1) = 0,... , Ln(yn) = 0;

y1,y2, ... ,yn fiind soluţiile pentru ecuaţia Ln(y) = 0 deci

Ln(c1y1 + c2y2 + ... + cnyn) = 0 şi deci y = c yi ii

n

=∑

1 este soluţie pentru ecuaţia

omogenă.

Page 42: Curs Matematica Si Statistica

44

Determinantul lui Wronski (Wronskian)

Definiţie Fie funcţiile yi(x); i = 1,n derivabile până la ordinul n-1 în intervalul

[a,b], atunci determinantul:

W(y1,y2, ... ,yn) = )1n(

n)1n(

2)1n(

1

n21

n21

yyy...

yyyy...yy

−−−

′′′

se numeşte wronskianul funcţiilor y1,y2, ... ,yn.

Teoremă Dacă funcţiile yi(x) au derivate continue până la ordinul (n-1) pentru

x∈[a,b] şi sunt liniar independente pe acest inteval atunci:

W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0 pentru orice x∈[a,b].

Demonstraţie Deoarece yi(x) sunt liniare independente atunci relaţia

(2) λ1y1 + λ2y2 + ... + λnyn = 0

are loc dacă λ1 = λ2 = ... = λn = 0. Derivând relaţia (2) de n ori avem sistemul:

=λ++λ+λ

=′λ++′λ+′λ=λ++λ+λ

−−− 0......

0...0...

)1()1(22

)1(11

2211

2211

nnn

nn

nn

nn

yyy

yyyyyy

cu necunoscutele λ1,λ2, ... ,λn, admite doar soluţia banală λ1 = λ2 = ... = λn = 0

deci determinantul sistemului W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0; q.e.d.

Definiţie Sistemul de soluţii y1,y2, ... , yn pentru care W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0 se

numeşte sistem fundamental de soluţii.

Problema Cauchy

Următoarea teoremă dă rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţia

(3) Ln(y) = 0.

Teoremă Fie ecuaţia omogenă Ln(y) = 0 şi y1,y2, ... , yn un sistem fundamental de

soluţii al ecuaţiei pentru x∈[a,b].

Page 43: Curs Matematica Si Statistica

45

Fiind date numerele y0,y1, ... ,yn-1 există o singură soluţie y a ecuaţiei (3)

care satisface pentru x = x0∈[a,b] condiţiile iniţiale:

(4) y(x0) = y0; y'(x0) = y1, ... ,y(n-1)(x0) = yn-1.

Demonstraţie Soluţia generală pentru ecuaţia (3) este de forma

y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn constantele c1,c2,...,cn se determină din sistemul

Cramer:

=+++

=′++′+′

=+++

−=

−−−

=

=

1nxx

)1n(nn

)2n(22

)1n(11

1xxnn2211

0xxnn2211

yycycyc

...........................................

yycycyc

yycycyc

0

0

0

K

K

K

obţinut din condiţiile iniţiale (4). Deoarece y1,y2, ... ,yn este sistem fundamental

de soluţii pentru ecuaţia (3) rezultă că W(y1,y2, ... ,yn) ≠ 0 care este tocmai

determinantul sistemului Cramer cu o soluţie unică c1,c2,...,cn deci soluţia

ecuaţiei forma y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn este unică; q.e.d.

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene

Să considerăm ecuaţia (1) şi o soluţie particulară yp a ei, atunci:

Teoremă Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) Ln(y) = f(x) este suma dintre

soluţia generală a ecuaţiei omogene Ln(y) = 0 şi o soluţie particulară a ecuaţiei

neomogene pentru x∈[a,b].

Demonstraţie Avem Ln(y) = f(x) ecuaţia neomogenă şi yp o soluţie a ei, atunci

Ln(yp) = f(x), x∈[a,b]. Facem schimbarea de funcţie y = yp + u şi avem:

Ln(y) = Ln(yp + u) = Ln(yp) + Ln(u) = f(x)

Dar Ln(yp) = f(x), rezultă Ln(u) = 0 deci u este soluţia generală pentru ecuaţia

omogenă; q.e.d.

Page 44: Curs Matematica Si Statistica

46

Integrarea ecuaţiei diferenţiale de ordinal n cu

coeficienţi constanţii omogenă – caz I

Fie (1) Ln(y) = 0 pentru care căutăm soluţii de forma y = erx. Prin derivare

se obţine y' = rerx, y" = r2erx, ... , y(n) = rnerx şi înlocuind în (2) obţinem:

erx(a0rn + a1rn-1 + ... + an-1r + an) = 0 sau erx⋅E(r) = 0

de unde E(r) = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică pentru (1).

Teoremă Dacă E(r) = 0 are rădăcini simple distincte atunci yi = er xi , i = 1,n

formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (1).

Demonstraţie Calculăm:

W(y1,y2, ... ,yn) =

xr1nn

xr1n2

xr1n1

xrn

xr2

xr1

xrxrxr

n21

n21

n21

ererer...

ererere...ee

−−−

=

= xn21 )r...rr(e +++ ⋅

1nn

1n2

1n1

n21

rrr...

rrr1...11

−−−

≠ 0

deoarece avem determinantul Vandermonde care este nenul pentru rădăcini

distincte.

Deci { }xrxrxr n21 e,...,e,e formează un sistem fundamental de soluţii pentru

ecuaţia (1); q.e.d.

Integrarea ecuaţiei diferenţiale de ordinal n cu

coeficienţi constanţii omogenă – caz II

Teoremă Dacă E(r) = 0 are rădăcinile complexe distincte rk = αk + iβk; r k = αk -

iβk; k = 1,m, atunci funcţiile yk = e k xα cosβkx, y k = e k xα sinβkx, k = 1,m pentru n

= 2m formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (1).

Demonstraţie

Page 45: Curs Matematica Si Statistica

47

Avem deci

==

==β+α

β+α

x)i(xrk

x)i(xrk

kkk

kkk

eey

eey şi folosind formulele lui Euler avem:

β−β=

β+β=α

α

)xsinix(cosey

)xsinix(cosey

kkx

k

kkx

k

k

k

k = m,1

Dar şi combinaţii liniare de yk şi y k sunt soluţii pentru ecuaţia (1), deci avem:

β=−

=

β=+

=

α

α

xsine2

yyY

xcose2

yyY

kxkk

k

kxkk

k

k

k

k = m,1

deci { }xsine,xcose kx

kx kk ββ αα k = m,1 formează un sistem fundamental de soluţii

pentru ecuaţia (1); q.e.d.

Observaţii

Observaţie Dacă α∈R este rădăcină multiplă de ordinul p pentru E(r)=0 atunci

sistemul fundamental de soluţii va fi: {eαx, xeαx, ... , xp-1eαx}, iar dacă α∈C

atunci avem următorul sistem fundamental de soluţii:

{eαxcosβx, xeαxcosβx, ... , xp-1eαxcosβx, eαxsinβx, ... , xp-1eαxsinβx}.

Pentru aflarea unei soluţii particulare pentru ecuaţia (2) Ln(y) = f(x) se

foloseşte metoda coeficienţilor nedeterminaţi, care are două cazuri mai des

întâlnite.

a) Dacă f(x) = eαxPn(x) şi α nu este rădăcină pentru E(r) = 0 atunci yp este

de forma funcţiei f(x), în caz contrar yp = xkeαxQn(x) unde k este ordinul de

multiplicitate pentru rădăcina α iar Pn(x), Qn(x) sunt două polinoame de grad n.

b) Dacă f(x) = eαx[Pn(x)cosβx + Qn(x)sinβx] şi r = α + iβ nu este rădăcină

pentru E(r) = 0 atunci yp are forma membrului drept, în caz contrar

yp = xkeαx[Pn*(x)cosβx + Qn*(x)sinβx], k fiind ordinul de multiplicitate al

rădăcinii iar Pn*(x), Qn*(x) sunt polinoame de acelaşi grad cu Pn(x) şi Qn(x).

Page 46: Curs Matematica Si Statistica

48

Ecuaţia Euler

Este de forma:

(1) a0xny(n) + a1xn-1y(n-1) + ... + an-1xy' + any = f(x), ai∈R, i = 1,n ,

f(x) continuă pentru x∈[a,b]⊂R.

Teoremă Ecuaţia Euler (1) prin schimbarea de variabilă x = et se transformă într-

o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi în variabila t.

Demonstraţie Avem succesiv: x1

dtdy

dxdt

dtdy

dxdyy ⋅=⋅==′ deoarece t = ln x, apoi,

−=⋅+−=

=

==′′

dtdy

dtyd

x1

dxdt

dtyd

x1

x1

dtdy

x1

dxd

dxdy

dxd

dxydy 2

2

22

2

22

2

;

se observă că ordinul de derivare nu se schimbă dar se fac simplificări de felul:

dtdy

dtyd

dxydx,

dtdy

dxdyx 2

2

2

22 −== şi în final obţinem:

)t(gybdtdyb

dtydb

dtydb n1n1n

1n

1n

n

0 =++++ −−

L ; q.e.d.

B.

1. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale cu coeficienti constanţi, omogene :

a) 064 =−′+′′+′′′ yyyy

Rezolvare Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale iniţiale este :

064 23 =−++ rrr .

În urma rezolvării obţinem următoarele soluţii reale şi distincte :

1r1 = , 2r2 −= , 3r3 −= .

Deci avem : xxr1 eey 1 ==

x2xr2 eey 21 −==

x3xr3 eey 31 −==

Soluţia generală a ecuaţiei este :

Page 47: Curs Matematica Si Statistica

49

332211 ycycycy ++=

x33

x22

x1 ecececy −− ++= .

b) 0yyy2yy IV =+′+′′+′′′+

Rezolvare Ecuaţia caracteristică este :

01rr2rr 234 =++++ sau ( )( ) 01rr1r 22 =+++ .

Soluţiile sunt ir1 = , ir1 −= , i23

21r2 +−= , i

23

21r2 −−= , deci complexe

distincte , de forma jjj ir β⋅±α= , 2,1j = .

Avem atunci 01 =α , 11 =β , 21

2 −=α , 23

2 −=β

xcosxcosey 1x

11 =β= α

xsinxsiney 1x

11 =β= α

x23cosexcosey

x21

2x

22

−α =β=

x23siney

x21

2

−=

Soluţia generală este dată de relaţia:

x23sinecx

23cosecxsincxcoscy

x21

4

x21

321

−−+++=

c) 0168 =+′′+ yyy IV .

Rezolvare ( ) 0401682224 =+⇔=++ rrr .

Soluţiile sunt ir 22,1 ±= , adică complexe şi multiple cu 2=k . Atunci 0=α ,

2=β .

x2cosxcosey x1 =β= α

x2sinxsiney x1 =β= α

x2cosxxcosxey x2 =β= α

x2sinxxsinxey x2 =β= α

Soluţia generală este :

Page 48: Curs Matematica Si Statistica

50

x2sinxcx2cosxcx2sincx2coscy 4321 +++=

2. Să se integreze ecuaţia diferenţiala cu coeficienţi constanţi neomogenă :

xcos10y5y2y =+′−′′ .

Rezolvare Pentru determinarea lui Hy rezolvăm ecuaţia 0y5y2y =+′−′′ . Ecuaţia

caracteristică este 05r2r2 =+− , iar soluţiile sale irir 21,21 −=+= . Atunci

x2sinecx2cosecy x2

x1H += . Membrul drept este de tipul

( ) ( )[ ]xsinxQxcosxPe 00x +α , cu ( ) ( ) 0xQ,1xP,1,0 00 ===β=α .

iir =β+α= nu este soluţie pentru ecuaţia caracteristică deci Py are forma

membrului drept. xsinkxcosky 21P += unde 21 , kk sunt polinoame de gradul

zero (constante).

Derivând şi înlocuind în ecuaţia iniţială obţinem :

( ) xsin2xcosxsin2Cxcos1Cey x +−+=

3. Să se rezolve problema Cauchy :

xsin2ey2yy2y x ++=−′−′′+′′′ cu condiţiile iniţiale ( ) ( ) ( ) 00y,00y,00y =′′=′= .

Rezolvare

Ecuaţia caracteristică este : ( )( )( ) 02p1p1p02rr2r 23 =++−⇔=−−+ .

Deci x23

x2

x1H ecececy −− ++= .

Pentru determinarea lui Py se aplică metoda coeficienţilor nedeteminaţi astfel :

se caută yp1 soluţie particulară a ecuaţiei :

xey2yy2y =−′−′′+′′′ , apoi

2Py soluţie particulară a ecuaţiei 2y2yy2y =−′−′′+′′′ şi 3Py soluţie particulară a

ecuaţiei

xsiny2yy2y =−′−′′+′′′ , în final 3P2P1PP yyyy ++= .

Însumând cele trei soluţii particulare determinate obţinem :

xsin51xcos

1011e

6xy x

P −+−= .

Soluţia generală a ecuaţiei este :

Page 49: Curs Matematica Si Statistica

51

x23

x2

x1 ecececy −− ++= xsin

51xcos

1011e

6x x −+−+ .

Pentru a determina o soluţie particulară impunem de condiţiile initiale şi

obţinem :

=−−++

=−−−+−

=+−++

01011ccc4

0511ccc2

01011ccc

213

213

321

=

−=

=

151c

41c

1213c

3

2

1

Deci x2xx0 e

151e

41e

1213y −− +−= xsin

51xcos

1011e

6x x −+−+

4. Să se integreze ecuaţia Euler : xyyxyx 2 =+′+′′ .

Rezolvare În urma schimbării de variabilă tex = sau tx =ln avem :

−=′′=′

dtdy

dtyd

x1y,

dtdy

x1y 2

2

2 .

Ecuaţia devine :

⋅2x t2

2

2 eydtdy

x1x

dtdy

dtyd

x1

=+⋅+

Folosind notaţiile •

= ydtdy şi

..

2

2

ydt

yd= avem:

(1) t..

eyy =+ deci o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi neomogenă.

Ecuaţia caracteristică este 01r2 =+ iar soluţiile ir,ir −== . Deci

tsinctcoscy 21H += .

Membrul drept are forma ( )tPe 0t ⋅α , unde ( ) 1tP,1 0 ==α ; 1=α nu e rădăcină pentru

ecuaţia caracteristică deci : key tP ⋅= . Înlocuim în ecuaţia (1) şi obţinem :

21kekeke ttt =⇒=+ .

Deci tP e

21y = . Soluţia generală a ecuaţiei este :

t21 e

21tsinctcoscy ++=

Page 50: Curs Matematica Si Statistica

52

sau

( ) ( ) x21xlnsincxlncoscy 21 ++=

Întrebări

Să se integreze ecuaţiile diferenţiale cu coeficienţi constanţi omogene şi

neomogene:

1. 0y6y5y =+′−′′

2. 0y16y8y =+′−′′

3. 0yyy =+′−′′

4. 0y12y13y =′+′′−′′′

5. Să se integreze ecuaţia de tip Euler :

( )xlnsin2yyxyx 2 =+′+′′

Page 51: Curs Matematica Si Statistica

53

Cursul 6 SISTEME DE COORDONATE ÎN PLAN

Cuvinte cheie: Coordonate carteziene, polare

GEOMETRIE ANALITICĂ

Sisteme de coordonate în plan

A.

a) Coordonate carteziene

Mulţimea punctelor ordonate (x,y)∈R2, unde x∈R, y∈R se numeşte plan, deci

orice punct M(x,y) are două coordonate şi anume abscisa x şi ordonata yastfel ca

drteptele Ox şi Oy, Ox⊥Oy, se numesc dreapta absciselor respectiv dreapta

ordonatelor şi el formează un sistem cartezian rectangular în plan, notat xOy.

b) Coordonate polare

Dacă avem M(x,y) şi sistemul xOy, cu unghiul θ pe care îl face axa Ox cu OM,

şi ρ=OM,atunci punctul M poate fi determinat de (ρ,θ) care se numesc

coordonate polare. Din figura de mai jos avem:

x=ρcosθ, y=ρsinθ

Rezolvând sistemul de două ecuaţii de mai sus se obţine

xyarctg

yx 22

+=ρ

iar pentru determinarea lui θ se alege acea valoare corespunzătoare cadranului în

care se află punctul M.

Page 52: Curs Matematica Si Statistica

54

B.

1. Să se afle coordonatele carteziene ale punctelor:

A(2,-π2

) ;B(- 24

,π ) ; C(2,-π

6)

Rezolvare Avem xA=2cos(-π2

)=0, yA=2sin(-π2

)=-2 adică A(0,-2). La fel

procedăm şi pentru celelalte două puncte:

xB=− 2 cosπ4

=-1, yB=- 2 sinπ4

=-1

xC=2⋅3

2= 3 , yC=-2⋅

12

=-1

2. Să se afle coordonatele polare ale punctului A(-2 3 ,2).

Rezolvare Trecerea la coordonate polare se face după relaţia : 22 yx +=ρ

θ=arctg yx

Avem atunci:

ρ= ( )− +2 3 22 2 =4 şi

θ=arctg −

13

Ţinînd cont de faptul că punctul A este situat în al doilea cadran vom avea:

65π

=θ ; deci A(4,6

5π )

Page 53: Curs Matematica Si Statistica

55

Întrebări

Să se construiască punctele date prin coordonate polare şi să se afle coordonatele

carteziene ale acestora:

1. )2,4

(A π ;

2. )22,4

7(D);3,4

7(C);4,(B ππ−π ;

3. ).2,4

(F);5,4

3(E −π

−π

Să se afle coordonatele polare ale punctelor:

4. A(2,-2)

5. B( 3 1 3 1+ −, ).

Page 54: Curs Matematica Si Statistica

56

Page 55: Curs Matematica Si Statistica

57

Cursul 7 ALGEBRĂ VECTORIALĂ

Cuvinte cheie: Vectori, operaţii cu vectori

Algebră vectorială

A.

Vectori în plan

Un vector în plan se caracterizează prin doi parametri directori care

reprezintă proiecţiile vectorului pe cele două axe de coordonate.

v

p

q

j

i

(P)

x

y

Din figură se observă deci că v (p,q).

Definiţie Fie 1v (p1,q1), 2v (p2,q2), atunci:

1v + 2v = (p1+p2, q1+q2), λv = v λ = (λp, λq)

Observaţie Adunarea vectorilor din plan se face cu regula paralelogramului,

conform figurii .

2v

1v

v1

v2 v1+v2

Deci suma celor doi vectori reprezintă diagonala paralelogramului construit cu

cei doi vectori după ce au fost aduşi în acelaşi punct de aplicaţie.

Page 56: Curs Matematica Si Statistica

58

Observaţie Regula paralelogramului dă descompunerea vectorului v (p,q) astfel:

v =p i +q j , unde i şi j , sunt versorii axelor Ox respectiv Oy.

Vectori în spaţiu

Fie sistemul cartezian Oxyz şi v un vector liber cu parametrii directori

(proiecţiile pe axele de coordonate) p, q, r, deci v (p,q,r).

Observaţie Adunarea vectorilor din spaţiu se face după regula paralelipipedului,

adică suma a trei vectori necoplanari este vectorul diagonală a paralelipipedului

construit cu cei trei vectori.

v

v1

v2v3

a

Avem vvvvavapoiavv =++=+=+ 321321 , .

4.2.1.1. Produsul scalar a doi vectori în spaţiu

Fie kzjyixv 1111 ++= şi kzjyixv 2222 ++= şi

∠( 1v , 2v ) = ϕ ; 0 ≤ ϕ < π.

Definiţie Produsul scalar al vectorilor 21 vsiv se defineşte astfel:

212121 1cos vprovvvvv v==⋅ ϕ

Proprietate: 21212121 zzyyxxvv ++=⋅

Demonstraţie

1vr ⋅ rv2 = (x1ri + y1

rj +z1

rk ) (x2

ri + y2

rj +z2

rk ) =

Page 57: Curs Matematica Si Statistica

59

= x1x2ri ⋅

ri +x1y2

ri ⋅

rj + x1

ri ⋅

rk + y1

rj ⋅

ri + y1y2

rj ⋅

rj + y1z2

rj ⋅

rk + z1x2

rk ⋅

ri +

z1y2rk ⋅

rj + z1z2

rk ⋅

rk = x1x2 + y1y2 + z1z2

deoarece conform definiţiei avem:

ri ⋅

ri =

ri ⋅

ri cos(

ri ⋅

ri ) = 1

ri ⋅

rj =

ri ⋅

rj cos(

ri ⋅

rj ) = 0 =

rj ⋅

ri

ri ⋅

rk =

ri ⋅

rk cos(

ri ⋅

rk ) = 0 =

rk ⋅

ri

rj ⋅

rj =

rj ⋅

rj cos(

rj ⋅

rj ) = 1

rj ⋅

rk =

rj ⋅

rk cos(

rj ⋅

rk ) = 0 =

rk ⋅

rj

rk ⋅

rk =

rk ⋅

rk cos(

rk ⋅

rk ) = 1

Consecinţa 1 Fie rv = ari + b

rj +c

rk şi

rv ⋅rv = rv ⋅

rv cos( rv , rv ) = v⋅v = v2 = a2 + b2 + c2 deci

v = a b c2 2 2+ +

Consecinţa 2

rv1 ⋅ rv2 = rv1 ⋅ rv2cos( rv1, rv2) = v1v2 cosϕ

deci

cosϕ = r rv vv v

x x y y z zx y z x y z

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

12

12

12

22

22

22

⋅⋅ =

+ +

+ + + +

Produsul vectorial a doi vectori în spaţiu

Presupunem că avem rv1, rv2 doi vectori necoliniari.

Definiţie Produsul vectorial a doi vectori rv1 şi rv2 este un vector rv = rv1×

rv2, rv = rv1⋅rv2⋅

rusinϕ, având direcţia normalei la planul ( rv1, rv2) şi

sensul dat de regula burghiului, rv = v⋅ru , ru= 1.

Proprietate rv1×rv2 =

r r ri j kx y zx y z

1 1 1

2 2 2

unde

Page 58: Curs Matematica Si Statistica

60

rv1= x1ri + y1

rj +z1

rk , rv2= x2

ri + y2

rj +z2

rk

Demonstraţie

Avem rv1×

rv2 = (x1ri + y1

rj +z1

rk ) × (x2

ri + y2

rj +z2

rk ) =

= x1x2ri ×

ri + x1y2

ri ×

rj + x1z2

ri ×

rk + y1x2

rj ×

ri + y1y2

rj ×

rj + y1z2

rj ×

rk +

z1x2rk ×

ri + z1y2

rk ×

rj + z1z2

rk ×

rk = x1y2

rk + (-x1z2

rj ) + (-y1x2

rk ) + y1z2

ri +

z1x2rj + (-z1y2

ri ) = x1y2

rk + y1z2

ri - y1x2

rk - x1z2

rj + z1x2

rj - z1y2

ri =

= r r ri j kx y zx y z

1 1 1

2 2 2

determinant care se calculează cu formula triunghiului şi se obţine acelaşi

rezultat folosind înmulţirea versorilor ri ,

rj ,

rk cu regula burghiului şi anume:

ri ×

rj =

rk ;

rj ×

ri = -

rk ;

rk ×

ri =

rj ;

ri ×

rk = -

rj ;

rj ×

rk =

ri ;

rk ×

rj = -

ri .

şi ri ×

ri =

rj ×

rj =

rk ×

rk = 0 deoarece sunt coliniari şi sinϕ = 0 din definiţie.

x

y

z

i j

k

Produsul mixt a trei vectori în spaţiu

Fie 321 ,, vvv vectori în spatiu. Definim produsul mixt al celor trei vectori ca

fiind )( 321 vvv ×⋅ care se mai notează si ),,( 321 vvv .

Proprietate ),,( 321 vvv =V, volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori.

Demonstraţie Avem

Page 59: Curs Matematica Si Statistica

61

VABBvvBB

vvvvvv

AADD =⋅=×=

=×=×⋅

''32

321321

""

cos)( ϕ

deoarece conform figurii de mai jos avem

∠( r r rv v v1 2 3, × ) = ϕ şi cosϕ = BBv

"r1

în triunghiul dreptunghic ABD şi deci:

BB" = rv1cosϕ

B

C

C'

B'

D'

DB"

A'

A

v3

v2

v1

ϕ

.

Proprietate 333

222

111

321 )(zyxzyxzyx

vvv =×⋅rrr

kzjyixvkzjyixvrrrrrrrr

22221111 , ++=++=

Demonstraţie r r rv v v1 2 3⋅ ×( ) = ( )x i y j z k1 1 1r r

+ +

r r ri j kx y zx y z

1 1 1

2 2 2

= ( )x i y j z k1 1 1r r

+ +

+−

22

11

22

11

22

11

yxyx

kzxzx

jzyzy

irrr

=

= xy zy z y

x zx z z

x yx y1

1 1

2 21

1 1

2 21

1 1

2 2− + =

x y zx y zx y z

1 1 1

2 2 2

3 3 3

determinantul fiind

dezvoltat după prima linie.

Page 60: Curs Matematica Si Statistica

62

B.

1. Se dau vectorii jiarrr

−= 2 , kjibrrrr

λ+−= 3 . Să se determine λ astfel încât

unghiul celor doi vectori să fie o60 .

Rezolvare

21cos =

⋅=

babarr

rr

ϕ Deci ( )( )( ) ( ) 2

1

3112

0311222222

=+−+−+

⋅+−−+⋅

λ

λ ,

de unde se determină 10±=λ .

2. Să se arate că punctele A(2,1,-1), B(4,3,-2), C(6,2,0), D(4,0,1) sunt vârfurile

unui pătrat.

Rezolvare Vom arăta că laturile, respectiv diagonalele sunt egale. Aplicând

formula ce dă distanţa între două puncte obţinem: 3, ==== ABDACDBCAB şi

23, == ACDCAC .

3. Se dau punctele A(1,-2,1), B(2,1,-1), C(3,2,-6) şi se cere:

a) Produsul vectorial al vectorilor →

AB şi →

AC

b)Aria triunghiului ABC

Rezolvare a) Determinăm mai întâi expresiile vectorilor →

AB şi →

AC :

( ) ( ) ( ) kjikjiABrrrrrr

23112112 −++=−−+++−=→

,

( ) ( ) ( ) kjikjiACrrrrrr

742162213 −++=−−+++−=→

.

Deci

kjikji

ACABrrr

rrr

2313742231 −+−=

−−=×

→→

.

Page 61: Curs Matematica Si Statistica

63

b) Aria triunghiului ABC este jumătate din aria paralelogramului construit pe →

AB şi →

AC

arie ce este dată de: →→

× ACAB . Deci

( ) ( )2

1822

23132

222

=−++−

=

→→

ACABAABC

4. Să se determine λ astfel ca vectorii: ( ) kjiarrrr

+++= 22 λ , kjibrrrr

−+= λ ,

kjcrrr

+= 4 să se fie coplanari.

Rezolvare Condiţia ca vectorii să fie coplanari este ca volumul paralelipipedului

construit pe cei trei vectori să fie nul, adică

( ) 0,, =cba rrr , 024011

122=−

λ de unde 4−=λ .

5. Să se afle înălţimea paralelipipedului construit pe vectorii:

kjiarrrr

−+= , kjibrrrr

+−= , kjicrrrr

++−=

considerând vectorii barr, ca bază.

Rezolvare Înălţimea este dată de raportul dintre volumul paralelipipedului şi

aria bazei acestuia, adică, ( )bacbah rr

rrr

×=

,, , ( ) 4111111111

,, =−

−−

=cba rrr ; 22=× barr Deci

h = 2 .

Page 62: Curs Matematica Si Statistica

64

Întrebări

1. Se consideră doi vectori necoplanari cOCbOBaOA rrr===

→→→

,, . Să se exprime în

funcţie de ei diagonalele feţei şi diagonalele paralelipipedului construit pe ei.

2. Să se exprime cu ajutorul laturilor unui triunghi vectorii mediană şi înălţime

ai triunghiului..

3. Să se demonstreze că triunghiul format de punctele A(1,-1,0), B(4,3,5),

C(3,0,-2)

este dreptunghic.

4. Se dau punctele A(1,-1,1), B(1,2,3), C(0,1,-1). Să se afle volumul

paralelipipedului construit pe OA, OB, OC ca muchii.

5. Se dau vectorii: kjiarrrr

+−= 32 , kjibrrrr

2−+= , jicrrr 2+= λ . Să se determine

λ astfel ca volumul paralelipipedului construit pe aceşti vectori să fie egali cu 5.

Page 63: Curs Matematica Si Statistica

65

Cursul 8 DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU

Cuvinte cheie: Dreapta, planul, ecuaţiile dreptei, ecuaţia planului

Dreapta şi planul în spaţiu

Ecuaţiile unei drepte ce trece printr-un punct şi este paralelã

cu o direcţie dată

Din figura 1 avem (1) vrr rrrλ+= 0 care rezultã din ∆OMM0 astfel:

vMM

rMMrr

rr

λ=

=+→

0

00 .

M0

M

r

z

y

x

r0

Figura 1

Proiectând pe axe formula (1), vom avea ecuaţiile:

(2) x x ly y mz z n

= += += +

0

0

0

λλλ

care reprezintã ecuaţiile parametrice ale dreptei (d), parametrul fiind λ∈R. Din

ecuaţiile (2) rezultã ecuaţiile

(3) x xl

y ym

z zn

−=

−=

−0 0 0 care reprezintã ecuaţiile unei drepte ce trece

printr-un punct M0(x0,y0,z0) şi paralelã cu direcţia rv (l,m,n).

Page 64: Curs Matematica Si Statistica

66

Ecuaţiile dreptei prin două puncte

Dacã în figura 1, M0 = M1, M1(x1,y1,z1) şi M = M2, M2(x2,y2,z2),

M M v1 2

→= λ

r , din ∆OMM0 rezultã r r rr r v= +1 λ şi din figura 2, r r rr v r1 2+ = , atunci

(4) r r r rr r r r= + −1 2 1λ( )

z

y

x

r1v

M1

M2

(d)O r2

Figura 2

Proiectând ecuaţiile (4) pe axele de coordonate vom avea ecuaţiile dreptei

(d) prin douã puncte.

x x x xy y y yz z z z

= + −= + −= + −

1 2 1

1 2 1

1 2 1

λλλ

( )( )( )

sau x xx x

y yy y

z zz z

−− =

−− =

−−

1

2 1

1

2 1

1

2 1 (5).

Distanţa de la un punct la o dreaptã

Pentru calculul distanţei d de la dreapta (D) la punctul M1 avem: aria

paralelogramului format de M M r r0 1 1 0

→= −

r r şi rv (l,m,n) este:

A = rv ⋅d = M M v0 1

→×

r= ( )r r rr r v1 0− ×

de unde dr r v

v=

− ×( )r r r

r1 0 (conform figurii 3).

Page 65: Curs Matematica Si Statistica

67

M1(x1,y1,z1)

r1

v(l,m,n) (D)

r0

M0(x0,y0,z0)

d

O Figura 3

Ecuaţia generalã a planului

Fie M0(x0,y0,z0) şi rv (A,B,C) şi planul (P) care conţine vectorul M M0

→, M(x,y,z)

şi rv ⊥(P), atunci M M0

→⋅rv = 0 sau ( )r r rr r v− =0 0. Dacã facem produsul scalar vom

avea:

(1) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)

deoarece

r r r r rr r x x i y y j z z k− = − + − + −0 0 0 0( ) ( ) ( ) şi

r r r rv Ai Bj Ck= + +

Ecuaţia (1) devine Ax + By + Cz + D = 0 (2)

unde D = -(Ax0 + By0 + Cz0).

M

M0r1

r0

(P)

v(A,B,C)

x

y

z (D)

O

Figura 4

Page 66: Curs Matematica Si Statistica

68

Unghiul a douã plane

Fie planele (P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0

şi normalele rN1(A1,B1,C1),

rN2(A2,B2,C2), calculãm

cosθ = 22

22

22

21

21

21

212121

21

21

CBACBACCBBAA

NNNN

++⋅++

++=

rr

şi avem condiţia de perpendicularitate: A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 deoarece θ = 2π

sau condiţia de paralelism care rezultã din r rN N1 2= λ adicã A

ABB

CC

1

2

1

2

1

2= = = λ.

Ecuaţia planului paralel cu douã direcţii r rv v1 2, şi care trece prin M0(x0,y0,z0)

Fie r rv M M v M M1 0 1 2 0 2= =→ →

, , M M r r M M r r M M r r0 0 0 1 1 0 0 2 2 0

→ → →= − = − = −

r r r r r r, ,

M0

M

v1

v2

M2

M1

(P) Figura 5

Din figura 5 rezultã cã cele trei direcţii M M v v0 1 2

→, ,r r sunt coplanare, deci

produsul lor mixt este nul, ( M Mv v0 1 2

→, ,r r ) = 0, sau

x x y y z zx x y y z zx x y y z z

− − −− − −− − −

0 0 0

1 0 1 0 1 0

2 0 2 0 2 0

= 0 dacă

M M x x i y y j z z kv x x i y y j z z kv x x i y y j z z k

0 0 0 0

1 1 0 1 0 1 0

2 2 0 2 0 2 0

→= − + − + −

= − + − + −= − + − + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

r r r

r r r r

r r r r

unde M0(x0,y0,z0), M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2).

Page 67: Curs Matematica Si Statistica

69

Fascicole de plane

Fie planele (P1) şi (P2) de ecuaţii:

(P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Ecuaţia fascicolului de plane care trec prin dreapta de intersecţie dintre

planele (P1) şi (P2) este P1 + λP2 = 0, λ∈R.

Intersecţia unei drepte cu un plan

Fie dreapta (d) x xl

y ym

z zn

−=

−=

−0 0 0 şi

planul (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Ecuaţiile parametrice ale dreptei (d) sunt:

x x ly y mz z n

= += += +

0

0

0

λλ

λ

care înlocuite în ecuaţia planului (P) dau relaţia:

Ax0 + By0 + Cz0 + D + (Al + Bm + Cn)λ = 0 sau

λ= −+ + +

+ + =Ax By Cz D

Al Bm Cnab

0 0 0 şi avem cazurile:

1) b ≠ 0 atunci dreapta înţeapă planul într-un punct.

2) b = 0 şi a = 0 atunci dreapta este conţinută în plan.

3) b = 0 şi a ≠ 0 atunci dreapta este paralelă cu planul.

Page 68: Curs Matematica Si Statistica

70

Unghiul dintre o dreaptă şi un plan

Din figura 6, se observă că unghiul

dintre dreapta (d) şi planul (P) este ϕ.

Fie (d) şi

(P) de ecuaţii:

(d) x x

ly y

mz z

n−

=−

=−0 0 0 şi

(P): Ax + By + Cz + D = 0.

Avem

cosθ =+ +

+ + + +

Al Bm CnA B C l m n2 2 2 2 2 2

,

cosθ = cosπ

ϕ2 −

= sinϕ , astfel că unghiul căutat este:

sinϕ =+ +

+ + + +

Al Bm CnA B C l m n2 2 2 2 2 2

Simetricul unui punct faţă de un plan

Fie un punct M0(x0,y0,z0) şi M1(x1,y1,z1) simetricul său faţă de planul

(P) Ax + By +Cz + D = 0. Fie o dreaptă d astfel ca M0∈d şi d ⊥ P.

Atunci:

( )dx x

Ay y

Bz z

C−

=−

=−0 0 0

Din intersecţia între dreapta d şi planul P se determină coordonatele (a,b,c) ale

punctului B. Din condiţia ca punctul B să fie situat la mijlocul segmentului

M1M2 avem:

θϕ

N(A,B,C) (d)

(p)

Figura 6

Page 69: Curs Matematica Si Statistica

71

ax x

by y

cz z

x a xy b yz c z

=+

=+

=+

⇔= −= −= −

0 1

0 1

0 1

1 0

1 0

1 0

2

2

2

222

Simetricul unui punct faţă de o dreaptă

Fie un punct M0(x0,y0,z0) şi M1(x1,y1,z1) simetricul său faţă de dreapta

( )dx x

ly y

mz z

n−

=−

=−0 0 0

Fie un plan P astfel ca M0∈P şi d ⊥ P. Atunci:

(P) l(x-x0) + m(y-y0) + n(z-z0) = 0

La fel ca în problena precedentă vom determina intersecţia între dreapta d şi

planul P adică coordonatele (a,b,c) ale punctului B. Din condiţia ca punctul B să

fie situat la mijlocul segmentului M1M2 avem:

ax x

by y

cz z

x a xy b yz c z

=+

=+

=+

⇔= −= −= −

0 1

0 1

0 1

1 0

1 0

1 0

2

2

2

222

B.

1. Să se scrie ecuaţiile dreptei D ce trece prin punctul A(1,2,3) şi are vectorul

director ( )1,2,3vr .

Rezolvare Există mai multe modalităţi de a reprezenta o dreaptă şi anume:

→−

=−

=−

13

22

31 zyx ecuaţii parametrice

−=−=

4283

zyzx ecuaţii explicite

Page 70: Curs Matematica Si Statistica

72

+=+=+=

32213

λλλ

zyx

ecuaţii parametrice.

2. Să se scrie ecuaţiile canonice ale dreptei :

( )D

=−−+=−+−

03220132

zyxzyx

Rezolvare

Trecerea la ecuaţiile canonice ale dreptei se face căutând două puncte care

aparţin dreptei (care verifică ecuaţia dreptei), iar apoi scriind ecuaţia dreptei ce

trece prin cele două puncte. Pentru aceasta vom da lui x valori particulare iar

apoi vom rezolva sistemul de ecuaţii obţinut

Pentru x=1 avem :

=−=+−

12032

zyzy

deci ( ) ( )DP ∈−− 2,3,11 La fel procedăm şi pentru x=3 şi

obţinem ( )8,13,32P .

Deci ecuaţia dreptei ce trece prin 1P şi 2P este :

( )D 10

216

32

1 +=

+=

− zyx sau ( )D 5

28

31

1 +=

+=

− zyx

3. Să se scrie ecuaţia planului determinat de punctul ( )3,2,11 −P şi de dreapta

( )D 1

32

23

1 +=

−=

+ zyx

Rezolvare Căutăm două puncte 2P şi 3P ce aparţin dreptei ( )D iar apoi vom scrie

ecuaţia planului ce trece prin cele trei puncte . Dăm valori particulare lui x şi

obţinem : ( ) ( )DP ∈−− 3,2,12 , ( ) ( )DP ∈0,8,83 . Atunci vom avea:

03107642321

=−−−−+− zyx

Dezvoltând determinantul avem: 0=−− zyx .

Page 71: Curs Matematica Si Statistica

73

4. Să se afle parametrul real λ astfel ca planele :

( )1P 032 =+++ zyxλ

( )2P ( ) 021 =+++++ λλλ zyx

să fie perpendiculare.

Rezolvare Fie ( )2,1,1 λvr un vector perpendicular pe planul ( )1P . Un vector

perpendicular pe planul ( )2P va fi ( )1,,12 +λλvr cele două plane sunt

perpendiculare doar dacă cei doi vectori vor fi perpendiculari, adică :

02

cos),(cos 21 ==πvv rr

p

Deci vom avea :

00 2121

21 =⋅⇔=⋅⋅ vv

vvvv rrrr

rr

.

Deci condiţia ca două plane (doi vectori ) să fie perpendiculare este :

021 =⋅ vv rr .

( ) 24121121 +=++⋅+⋅=⋅ λλλλvv rr

de unde vom avea 21

−=λ .

5. Să se afle unghiul ϕ format de dreapta

(D) 3

121

232

34 +=

+=

+ zyx şi planul

(P) 045 =++− zyx .

Rezolvare

Unghiul format de o dreaptă cu un plan

este unghiul format de dreaptă cu proiecţia

(D’) pe plan (sau complementul unghiului

format de dreaptă cu normala (N) la plan )

Direcţia normalei la plan (un vector

perpendicular pe plan ) este :

( )1,5,1 −Nr

iar direcţia dreptei ( )3,1,2vr . Vom avea

vr

ϕϕ−o90

(D)( )Nr

(P) (D’)

Page 72: Curs Matematica Si Statistica

74

( ) 090cos =⋅

⋅=−

vNvNorr

rrϕ

adică ( ) oo 9090 =−ϕ , sau 0=ϕ , deci dreapta este paralelă cu planul.

Să se afle coordonatele simetricului punctului A(-1,2,2) faţă de planul

(P) 032 =++ zyx .

Rezolvare Fie ( )γβα ,,A′ simetricul căutat. Acesta se găseşte pe dreapta (D) ce

trece prin A şi este perpendiculară pe planul P (normala la plan), de cealaltă

parte a planului la egală distanţă faţă de aceasta ca şi punctul A

Ecuaţia dreptei (N) este : 3

21

22

1 −=

−=

+ zyx sau parametric

+=+=−=

23212

λλλ

zyx

( )γβα ,,A′

( )000 ,, zyxB

A(-1,2,2)

(P)(D)

Astfel vom avea :

75,

711,

713B

Vom pune apoi condiţia ca punctul B să fie situat la mijlocul segmentului AA’ :

+=

+=

+−=−

22

75

22

711

21

713

γ

β

α

de unde :

−−′

74,

78,

719A

7. Să se afle coordonatele simetricului punctului A(2,-1,-1) faţă de dreapta

Coordonatele punctului B,

de intersecţie al dreptei N

cu planul se determină

rezolvând sistemul :

==++=

+=−=

03223

212

zyxzyx

λλλ

Page 73: Curs Matematica Si Statistica

75

(D) 13

12

1 zyx=

+=

− .

Rezolvare Ecuaţia unui plan (P) ce trece prin A şi este perpendicular pe dreapta

(D) este:

(P) ( ) ( ) ( ) 0111322 =++++− zyx

sau

(P) 032 =++ zyx

( )γβα ,,A′

( )000 ,, zyxB

A(2,-1,-1)

(P)

(D)

Simetricul ( )γβα ,,A′ se găseşte punând condiţia ca punctul B să fie situat la

jumătatea segmentului AA’:

+−=

+−=−

+=

21

141

21

1411

22

78

γ

β

α

deci punctul căutat va fi

−′

78,

74,

72A

8. Să se calculeze distanţa de la punctul A(3,-2,1) la dreapta (D)

33

22

11 −

=−+

=− zyx .

Rezolvare

Notăm cu B punctul de intersecţie al planului (P) ce trece prin A şi este

perpendicular pe (D) cu dreapta (D). Distanţa căutată este AB.

Coordonatele punctului B de intersecţie al dreptei (D) cu planul (P) sunt soluţiile sistemului :

=++=

−=+=

032

1312

zyxzyx

λλλ

adică:

141,

1411,

78B

Page 74: Curs Matematica Si Statistica

76

Ecuaţia planului (P) este :

(P) 01032 =−+− zyx .

Rezolvând sistemul :

=−+−+=

−−=+=

0103233

221

zyxzyx

λλ

λ

Obţinem coordonatele punctului B şi anume :

7

15,7

10,75

=−== BBB zyx .

Astfel vom avea :

7214

7151

7102

753

222

=

−+

+−+

−=AB

9. Să se scrie ecuaţia planului care trece prin dreapta

(D)

=+−+=−++

01320232

zyxzyx

şi este perpendicular pe planul

(P) 0223 =++− zyx .

Rezolvare Ecuaţia fasciculului de plane ce trece prin dreapta (D) este :

( ) 0132232 =+−++−++ zyxzyx λ sau

( ) ( ) ( ) 0231322 =−+−++++ λλλλ zyx .

Planul ( )1P căutat se găseşte în acest fascicol şi se determină impunând condiţia

ca vectorii perpendiculari pe planele ( )1P respectiv ( )P notaţi cu 1vr şi 2vr să fie

perpendiculari, adică produsul scalar să fie nul.

( ) ( ) ( ) 10312322321 =⇒=−++−+=⋅ λλλλvv rr .

Ecuaţia planului căutat se obţine înlocuind valoarea obţinută pentru λ în

fascicolul de plane:

( )1P 01253 =−−+ zyx .

Page 75: Curs Matematica Si Statistica

77

Întrebări

1. Se dau punctele A(-1,-1,5) , B(1,1,1) , C(3,-1,1)

a) Să se scrie ecuaţiile dreptelor AB,BC,CA precum şi ecuaţia planului ce

trece prin punctele A,B şi C.

b) Să se scrie ecuaţiile medianei , înălţimii şi bisectoarei corespunzătoare

lui A în triunghiul ABC

2. Fiind date dreptele

( )1D : 2

21

32

1 +=

−=

− zyx şi

( )2D 2

942

11 −

=−+

=− zyx

să se găsească : a) Unghiul dintre 1D şi 2D , b) Distanţa dintre 1D şi 2D .

3. Să se calculeze distanţa de la punctul ( )2,1,31 −M la dreapta (d)

=+−+=+−

0102

zyxzyx

şi să se determine simetricul sau faţă de aceasta.

4. Să se determine coordonatele simetricului punctului A(-1,0,3) faţă de

planul:

(P) 022 =−−− zyx .

5. Să se determine unghiul planelor:

( )1P 07 =+− zy şi ( )2P 06 =−+ yx .

Page 76: Curs Matematica Si Statistica

78

Page 77: Curs Matematica Si Statistica

79

Cursul 9 CALCUL INTEGRAL (I)

Cuvinte cheie: Integrala în R, Funcţiile Γ(α) şi β(p,q) ale lui Euler, Leibniz –

Newton

CALCUL INTEGRAL

A.

Integrala în R. Funcţiile Γ(α) şi β(p,q) ale lui Euler

Primitive. Formula Leibniz – Newton

Definiţie Fie f:I→R. O funcţie F definită şi derivabilã pe I, astfel ca

F`(x)=f(x), ∀x∈I se numeşte primitivã a lui f.

Definiţie Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii continue f(x), se numeşte

integrala nedefinită a funcţiei f , şi notăm: ( )∫ dxxf .

Observaţie Dacã F e o primitivã a lui f, atunci şi F+C, C= constant, este o

primitivã a lui f.

Formula lui Leibniz – Newton

Fie F(x) o primitivã a funcţiei f(x), definitã şi continuã pe [a,b]. Atunci avem:

)a(F)b(Fdx)x(fb

a

−=∫

Relaţia de mai sus poartã numele de formula lui Leibnitz-Newton şi face

legãtura între integrala definită şi nedefinită.

Definiţia funcţiilor Γ şi β

Funcţiile Γ şi β sunt definite astfel:

(1) Γ(α) = dxex x

0

1 −∞

−α∫ , α>0

Page 78: Curs Matematica Si Statistica

80

(2) β(p,q) = ( ) dxx1x 1q1

0

1p −− −∫ , p,q >0

(3) β(p,q) = ( ) ( )( )qp

qp+ΓΓΓ

Avem următoarele proprietăţi, prezentate mai jos.

Proprietăţi

P1) π=

Γ

21

Demonstraţie Din (3) avem

( ) ,121

21,

21

2

Γ

Γ

=

β

dar

(4) ( ) ( ) ( ) 1101e1ee

0edxe1 0x

0

x =−−=

−−=−−=

∞−==Γ ∞

∞−−∞

−∫

Γ=

21

21,

21 2β

Dar

( )

π=π

==

=

==−===−

=

−−

=−

=−

=−=

β

−−

−−

∫ ∫∫∫

22t2arcsin

t21

dt21t,1x,

21t,0x,t

21x

21x

41

dx

xx

dxx1x

dxdxx1x21,

21

21

21

21

21

2

2

1

0

1

0 22

1

0211

021

π=

Γ⇒π=

Γ⇒

21

212

P2) ( ) ( )ααα Γ=+Γ 1

Demonstraţie

( ) ( ) ( )αΓα=+αΓ⇒α=α+−==+αΓ −∞

−α−∞

−α∞

α−α−∞

α ∫∫∫ 1dxexdxexexdxex1 x

0

1x

0

1

0

x

0

Page 79: Curs Matematica Si Statistica

81

P3) ( ) αα =+Γ 1 !

Demonstraţie Fie:

( ) ( )ααα Γ=+Γ 1

α=1⇒Γ(2)=1⋅Γ(1)⇒Γ(2)=1⋅1=1!

α=2⇒Γ(3)=2⋅Γ(2)⇒Γ(3)=2⋅1=2!

α=3⇒Γ(4)=1⋅Γ(3)⇒Γ(4)=3⋅2⋅1=3!

⇒ ( ) αα =+Γ 1 !

Calculul integralei lui Gauss

Consecinţă

∫∞

− π=

0

x

2dxe

2

Demonstraţie Din

∫∞

−−π=⇒π=

Γ

0

x21

dxex21

∫∫∫∞

−∞

−−∞

− π=⇒π=⇒=⇒=

0

t

0

tt

0

12

2dtee2xtdtet2tx

222

Integrala curbilinie în raport cu coordonatele

Definiţie Se numeşte integrală curbilinie pe arcul (AB)⊂(C), lucrul mecanic

efectuat de forţa variabilă rF când punctul său de aplicaţie M descrie arcul de

curbă (AB), dat prin ecuaţiile:

(1) ( )( )( ) [ ]

∈===

b,at,tzztyytxx

deci:

L = ∫ABrdF rr

, cu dzkdyjdxird,kzjyixrrrrrrrrr

++=++= sau

Page 80: Curs Matematica Si Statistica

82

(2) L = ∫ ++AB

dz)z,y,x(Rdy)z,y,x(Qdx)z,y,x(P .

Dacă arcul de curbă (AB) este dat de ecuaţiile parametrice (1), atunci

avem următorul mod de calcul pentru integrala (2).

Din (1) avem dx = f'(t)dt, dy = g'(t)dt, dz = h'(t)dt, t∈[a,b], atunci (2) se

transformă într-o integrală Riemann.

(3) dt)]t('h))t(h),t(g),t(f(R)t('g))t(h),t(g),t(f(Q)t('f))t(h),t(g),t(f(P[Lb

a++= ∫

Deci

∫∫ =++b

aABdt)t(HRdzQdyPdx

sau

∫∫ =b

aABdt)t(HrdF

rr

de unde rezultă proprietăţile:

P1) ∫∫ −=BAAB

rdFrdF rrrr

P2) Dacă 21 FFFrrr

+= atunci:r r r r r rFdr F dr F dr

AB AB AB∫ ∫ ∫= +1 2

P3) ∫∫ λ=λABAB

rdFrdF rrrr

P4) ∫∫∫ +=CBACAB

rdFrdFrdF rrrrrr unde C∈(AB)

5.3. Integrala curbilinie în raport cu arcul de curbă

Definiţie Se numeşte integrală curbilinie în raport cu arcul de curbă pentru

funcţia F continuă pe D⊂R3 care conţine arcul de curbă (AB) integrala:

(1) ∫ABds)M(F unde M(x,y,z)∈D,

ds este elementul de arc şi ds are expresia

ds = 222 dzdydx ++ , iar dacă x = f(t),y = g(t),z = h(t), t∈[a,b] sunt ecuaţiile

parametrice ale arcului de curbă (AB) atunci

ds = dt)t(h)t(g)t(f 222 ′+′+′ şi înlocuind în (1) se obţine:

Page 81: Curs Matematica Si Statistica

83

(2) dt)t(h)t(g)t(f))t(h),t(g),t(f(Fds)z,y,x(Fb

a

222

AB ∫∫ ′+′+′=

care reprezintă modul de calcul al integralei curbilinii în raport cu arcul.

B.

1. Să se calculeze:

∫ −=C

dyx2y

dxI

(C) fiind semicercul x2 + y2 - 2x = 0 ,y ≥ 0

Rezolvare Reprezentarea parametrică a semicercului este:

x = 1 + cos t, y = sin t, t ∈ [0,π]

Prin diferenţiere avem:

dx = - sin t dt, dy = cos t dt

iar comform reguli de calcul a integralei curbilinii:

4dt2tcos2t

dt2tcos221dt)tcos1(2

tsintsin

00

0

2

0

−π−=−−=

=

−−=

+−−

∫∫π

π

ππ

2. Să se calculeze:

I = ∫ +C

22 ds)yx(

unde (C) este segmentul AB, A(a,a) şi B(b,b), b>a.

Rezolvare Segmentul AB aparţine primei bisectoare de ecuaţie y = x. Deci

reprezentarea parametrică este :

AB: x = t, y = t, t ∈ [a,b]

dx = dt, dy = dt ⇒ ds = 2 dt.

∫ −==b

a

332 )ab(3

22dtt22I

Page 82: Curs Matematica Si Statistica

84

Întrebări

Să se calculeze:

1. ∫ ++C

dy x dx y) (1

(C) x = t, y = t, t ∈ [0,1]

2. ∫ +C

dy dy xy

(C) x = 9 cos t,y =9 sin t ,t ∈ [0,2π]

3. Să se calculeze: I = ∫C

xyzds ,unde

(C): x = t ; 3t232y = ; 2t2

1z = , t∈[0,1]

4. I = ∫C

2dsx

unde (C) este arcul de cerc definit prin intersecţia sferei

x2 + y2 + z2 = a2 cu planul

y = x parcurs de la punctul A(0,0,-a) la B(0,0,a).

5. Utilizând integrala curbilinie să se calculeze lungimea unui arc de cerc.

Page 83: Curs Matematica Si Statistica

85

Cursul 10 CALCUL INTEGRAL (II)

Cuvinte cheie: Integrala dublă, formula lui Green

5.4. Integrala dublă

5.4.1. Definiţie. Proprietăţi

Fie f(x,y) o funcţie definită şi mărginită pe un domeniu plan D, deci m ≤

f(x,y) ≤ M, pentru orice (x,y)∈D⊂R2.

Presupunem că domeniul D este închis şi mărginit deci interior unui

interval bidimensional I = {(x,y)a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} şi că funcţia f(x,y) este

pozitivă pe D, f(x,y) ≥ 0, pentru orice (x,y)∈D.

Datorită faptului că f(x,y) ≥ 0 pe D, deducem că graficul funcţiei

z = f(x,y), (x,y)∈D,

D

CD

A B

a b xO

c

d

y

Figura 1.

Definiţie Se numeşte integrală dublă a funcţiei f:D⊂R2→R, funcţia fiind

mărginită şi integrabilă pe D, numărul I = ∫∫Ddxdy)y,x(f , unde dxdy se numeşte

element de arie iar D domeniu de integrare.Vom avea:

P1) Dacă f integrabilă pe D şi λf este integrabilă pe D, pentru orice λ∈R

şi avem:

∫∫∫∫ λ=λDD

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

reprezintă o suprafaţă

situată în întregime

deasupra planului xOy şi

care are ca proiecţie pe

planul xOy domeniul D

(vezi figura 1).

Page 84: Curs Matematica Si Statistica

86

P2) Dacă f,g sunt integrabile pe D atunci f ± g sunt integrabile pe D şi

avem:

∫∫ ∫∫∫∫ +=±D DD

dxdy)y,x(gdxdy)y,x(fdxdy)]y,x(g)y,x(f[

P3) Dacă f este integrabilă pe D şi domeniul D este împărţit în două

subdomenii D1 şi D2 printr-o curbă (C), atunci f este integrabilă pe domeniile D1

şi D2 şi avem

∫∫ ∫∫∫∫ +=1 2D DD

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

P4) Dacă f este integrabilă pe D, atunci feste integrabilă pe D şi:

∫∫∫∫ ≤DD

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

P5) Dacă f este mărginită şi integrabilă pe D; deci: m ≤ f(x,y) ≤ M,

(x,y)∈D atunci există µ∈(m,M) astfel încât: ∫∫Ddxdy)y,x(f = µ⋅A, unde A=

aria(D).

P6) Dacă f este continuă pe D atunci există (ξ,η)∈D astfel ca să avem:

∫∫Ddxdy)y,x(f = A⋅f(ξ,η),

proprietatea se numeşte formula mediei pentru integrala dublă.

Calculul integralei duble

Cazul domeniului dreptunghiular

D

a b xO

c

d

y

Figura 2.

Fie D = {(x,y)a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d}

şi f integrabilă pe D şi

mărginită, atunci dacă: pentru

orice x∈[a,b] există integrala

F(x)= dy)y,x(fd

c∫ şi F(x) este

integrabilă pe [a,b] atunci:

Page 85: Curs Matematica Si Statistica

87

∫∫ ∫∫∫ =

=

b

a

b

a

d

cDdx)x(Fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

sau dacă: pentru orice y∈[c,d] există integrala

F(y) = dx)y,x(fb

a∫

şi F(y) este integrabilă pe intervalul [c,d] atunci:

∫∫ ∫∫∫ =

=

d

c

d

c

b

aDdy)y(Fdydx)y,x(fdxdy)y,x(f

Observaţie Dacă f este integrabilă în raport cu x∈[a,b] pentru orice y∈[c,d] şi

invers, atunci avem formula:

∫ ∫∫ ∫∫∫

=

=

d

c

b

a

b

a

d

cDdydx)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

şi se mai folosesc şi notaţiile:

∫ ∫∫ ∫ =

b

a

d

c

b

a

d

cdy)y,x(fdxdxdy)y,x(f

şi

∫ ∫∫ ∫ =

d

c

b

a

d

c

b

adx)y,x(fdydydx)y,x(f

Cazul domeniului oarecare

y

d

c

O a b x

C

B

QP F

D

E

D

Γ

A

Figura 3.

Teoremă Fie funcţia f:D⊂R2→R mărginită şi integrabilă pe D; dacă există

integrala:

Fie punctele A, B de

abscise extreme a, b

şi C, D de coodonate

extreme c, d (vezi

figura 3), atunci avem

teorema (dată fără

demonstraţie):

Page 86: Curs Matematica Si Statistica

88

F(x) = ∫)x(f

)x(f

2

1

dy)y,x(f ,

pentru orice x∈[a,b] şi dacă F(x) este integrabilă pe [a,b] atunci:

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fb

a

)x(f

)x(fD

2

1∫ ∫∫∫

= , unde

y = f1(x), a ≤ x ≤ b este ecuaţia arcului ACB şi y = f2(x) ecuaţia arcului ADB al

curbei Γ care mărgineşte domeniul D şi dacă x = g1(y), c ≤ y ≤ d, x = g2(y) fiind

ecuaţiile arcelor CAD şi respectiv CDB şi funcţia:

F(y) = ∫)y(g

)y(g

2

1

dx)y,x(f

există şi este integrabilă pentru y∈[c,d] atunci avem:

dydx)y,x(fdxdy)y,x(fd

c

)y(g

)y(gD

2

1∫ ∫∫∫

= iar o paralelă la axa Ox taie conturul

curbei Γ numai în două puncte.

Formula lui Green

Legătura între integrala curbilinie din plan şi integrala dublă este dată de

formula lui Green. Fie domeniul D simplu în raport cu ambele axe, mărginit de

curba Γ, atunci avem:

Teoremă Fie P(x,y), Q(x,y) două funcţii continue şi derivabile parţial în D cu

derivatele xQ,

yP

∂∂

∂∂ continue pe D atunci avem:

∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+Γ

Ddxdy

yP

xQdy)y,x(Qdx)y,x(P

numită formula lui Green, curba Γ este parcursă direct şi mărgineşte domeniul D

(figura 4).

Demonstraţie

Page 87: Curs Matematica Si Statistica

89

D

a b xO

c

d

y

D

BA

C

Γ

Figura 4

)1(dx)y,x(P

dx)y,x(Pdx)y,x(Pdx))x(f,x(Pdx))x(f,x(P

dx)y,x(PdyyPdxdxdy

yP

ACB

b

a BDA1

b

a 2

)x(f

)x(f

b

a

b

a

)x(f

)x(fD

2

1

2

1

∫∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫

Γ

=

=+=+−=

=−=∂∂

−=∂∂

Apoi dacă x = g1(y), c ≤ y ≤ d este ecuaţia arcului CAD şi x = g2(y) ecuaţia

arcului CBD atunci avem asemănător:

)2(dy)y,x(Qdy)y,x(Qdy)y,x(Q

dy)y),y(g(Qdy)y,x(Qdy)y),y(g(Qdy)y),x(g(Q

dy)y,x(QdxxQ

dydxdyyQ

DACCBD

c

d 1

b

a CBD1

d

c 2

)y(g

)y(g

d

c

d

c

)y(g

)y(gD

2

1

2

1

∫∫∫∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫

Γ

=+=

=+=−=

==∂∂

=∂∂

Din (1) şi (2) rezultă formula integrală a lui Green:

∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+Γ

Ddxdy

yP

xQdy)y,x(Qdx)y,x(P

Aplicaţie O aplicaţie a formulei lui Green este formula pentru calculul

domeniului:

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

−=

∂−∂

−∂

∂=

=

∂∂

−∂∂

=−−==

CD

DDDD

ydxxdy21dxdy

y)y(

x)x(

21

dxdyyR

xQ

21dxdy)]1(1[

21dxdyA

B.

1. Să se calculeze integrala:

Fie A, B cu abscisele extreme a, b

şi C, D cu ordonatele extreme c,

d. Dacă y = f1(x), a ≤ x ≤ b, este

ecuaţia arcului ACB şi y = f2(x),

c ≤ y ≤ d ecuaţia arcului ADB

atunci se poate scrie:

Page 88: Curs Matematica Si Statistica

90

I = ( )∫∫++D

32y2x1

xdxdy

unde D este dreptunghiul [1,2]x[1,2].

Rezolvare I= ∫∫ ∫ =

++

2

1

2

1

2

1322

dy)y(Fdydx)yx1(

x unde:

∫++

=2

1322

dx)yx1(

x)y(F

Facem schimbarea de variabilă tyx1 22 =++

F(y)= ∫+

+

5y

2y2

2

2 tdt =

5y1

2y1

t1

22

5y

2y

2

2 +−

+=−

+

+

I= ∫

+−

+

2

122

dy5y

12y

1 =2

12

2

5yy

2yyln

++

++

2. Să se calculeze:

I= ∫∫D

xydxdy

unde (D) este limitat de curbele: (C1) xy=1, (C2) x+y=5/2

Rezolvare

I = ∫ ∫

−2

21

x25

x1

dxxydy = ∫2

21

F(y)dy

F(y) =x

25

x1

2y2x −

I = ∫ −−2

21

22 ]dx

x1)x

25([

2x =

128165 –ln 2

3. Utilizând aplicaţia formulei lui Green să se calculeze aria elipsei:

1by

ax

2

2

2

2

=+ .

Page 89: Curs Matematica Si Statistica

91

Rezolvare Reprezentarea parametricã a elipsei este:

==

tsinbytcosax , [ ]π∈ 2,0t

∫ ∫ π=+=−=π

C

22

0

2D abdt)tsinabtcosab(

21ydxxdy

21A

Întrebări

1. Să se calculeze

∫∫ +=D

y)dxdyln(xI ,unde D = [1,2]x[0,1]

2. Să se calculeze

∫∫=D

dxdyyxI 32 ,unde D = [1,3]x[0,2]

3. Să se calculeze

( )∫∫ +=D

dxdyyxI 2 ,unde D = [1,2]x[1,2]

4. Să se calculeze

∫∫=D

xydxdyI ,

unde D este domeniul limitat de curbele y= x2 şi y =2x+ 3.

5. Să se calculeze

( )∫∫ +=D

dxdyyxI ,

unde D este domeniul limitat de curbele y= x2 şi y =5x- 6.

Page 90: Curs Matematica Si Statistica

92

Page 91: Curs Matematica Si Statistica

93

Cursul 11 EVENIMENTE. PROBABILITĂŢI

Cuvinte cheie: Evenimente aleatoare, probabilităţi

STATISTICĂ ECONOMICĂ

Evenimente. Probabilităţi

A.

a) Se numeşte eveniment, rezultatul obţinut în urma efectuării unei

experienţe, rezultat despre care putem spune cu certitudine că s-a produs numai

după efectuarea experienţei.

b) Numim eveniment sigur, evenimentul care se realizează cu certitudine

şi eveniment imposibil, evenimentul care nu poate fi realizat la nici o efectuare a

experienţei.

c) Fie un eveniment A. Atunci vom nota cu __

A evenimentul contrar lui A,

care constă în nerealizarea lui A.

Definiţie Se numeşte probabilitatea de apariţie a unui eveniment A, notată P(A),

valoarea dată de raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării

evenimentului A şi numărul cazurilor posibile realizării lui. Dacă notăm cu „m”

numărul cazurilor favorabile şi cu „n” numărul cazurilor posibile, atunci

( )nmAP = .

Observaţie În practică apare necesitatea introducerii operaţiilor cu evenimente,

iar pentru reprezentarea acestora pot fi folosite simboluri din teoria mulţimilor:

• eveniment sigur: E

• eveniment imposibil: φ

• eveniment contrar lui A: CAA__

=

• apariţia evenimentului A sau B: BA ∪

• apariţia evenimentului A şi B: BA ∩

Page 92: Curs Matematica Si Statistica

94

Definiţie Evenimentele A şi B se numesc incompatibile dacă φ=∩ BA .

Definiţie Definim PA(B), ca fiind probabilitatea de apariţie a evenimentului B

ştiind că a apărut evenimentul A. (condiţionată de apariţia evenimentului A).

Definiţie Evenimentele A şi B sunt independente dacă: PA(B) = P(B), PB(A) =

P(A).

Observaţie

• ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ , dacă φ≠∩ BA

• ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪ , dacă φ=∩ BA

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPAPBPBAP BA ⋅=⋅=∩

• ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ , dacă A şi B sunt independente

Observaţie

• ( ) 0P =φ , ( ) 1EP =

• ( )AP1AP___

−=

B.

1. Să se determine probabilitatea de apariţie a feţei cu numărul „2” la

aruncarea unui zar.

Rezolvare Fie A, evenimentul: „apariţia feţei 2”.

Toate evenimentele posibile sunt corespunzătoare apariţiei feţelor: „1”,

„2”, „3”, „4”, „5”, „6”, deci în număr de 6. Numărul cazurilor favorabile este 1,

corespunzător apariţiei feţei „2”. Deci ( )61

=AP (sau exprimat în procente:

16.7 %).

2. Să se determine probabilitatea de apariţie a unui număr par la aruncarea

unui zar.

Rezolvare

Cazurile favorabile sunt: „2”, „4”, „6”, deci 3 evenimente favorabile.

Cazurile posibile sunt: „1”, „2”, „3”, ..., „6”, deci 6.

Page 93: Curs Matematica Si Statistica

95

Deci 21

63

==P .

3. Să se determine probabilitatea de apariţie a unei duble la aruncarea a

două zaruri.

Rezolvare

Cazurile favorabile sunt: „1,1”; „2,2”; „3,3”; „4,4”; „5,5”; „6,6”, deci 6

evenimente. Cazurile posibile sunt: „1,1”; „1,2”; „1,3”, ...”1,6”, ...”6,6”, deci 36

de evenimente. Avem deci 61

366

==P .

4. Se cunoaşte că într-un lot de 10 produse alimentare două corespund

standardelor de calitate. Se cere probabilitatea ca în urma extragerii fără revenire

a două produse din lot să obţinem cele două produse necorespunzătoare.

Rezolvare Fie:

A evenimentul: „la prima extragere să obţinem un produs

necorespunzător”;

B evenimentul: „la a doua extragere să obţinem un produs

necorespunzător, ştiind că s-a produs evenimentul A”.

Atunci evenimentul cerut este BA ∩ . Avem: ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩

Avem: ( )102AP = (două cazuri favorabile şi 10 posibile), iar ( )

91

=BP ,

deoarece după prima extragere a rămas un produs necorespunzător din 9

produse.

Deci ( )902

91

102BAP =⋅=∩

5. Dintr-un lot de 100 de mere, 10 sunt stricate. Care este probabilitatea ca

scoţând 5 la întâmplare să scoatem şi stricate.

Rezolvare

Fie evenimentul: A: „din 5 extrageri să scoatem şi mere stricate”. Atunci: __

A : „din 5 extrageri să scoatem doare mere bune”

Page 94: Curs Matematica Si Statistica

96

Atunci ( )

−=

__

AP1AP . Pentru apariţia lui __

A numărul cazurilor posibile este 5100C ,

iar a celor favorabile 590C . Deci 5

100

590

__

CC

AP =

şi ( ) 5

100

590

CC

1AP −= .

Întrebări

1. Care este probabilitatea ca în urma aruncării a două zaruri să obţinem:

a) suma punctelor egală cu 8; b) faţa 6:6; c) suma punctelor un număr prim.

R: a) 5/36; b) 1/36; c) 7/18.

2. Două magazine alimentare livrează fiecare acelaşi produs.

Probabilitatea ca un produs din primul magazin să fie alterat este 0,03, respectiv

0,04. Se ia câte un produs din fiecare magazin. Se cere probabilitatea de apariţie

a evenimentelor:

a) ambele să fie alterate;

b) ambele să fie bune;

c) unul să fie alterat şi unul nu.

R: a) 0,0012; b) 0,9312; c) 0,066

3. Două magazine alimentare ale aceleaşi societăţi vând acelaşi produs şi

deţin şi unele mărfuri necorespunzătoare din punct de vedere al calităţii. Astfel,

în cazul primului magazin din 100 de produse 5 sunt necorespunzătoare, iar la al

doilea din 50 de produse 2 sunt necorespunzătoare. Se cere probabilitatea ca în

cazul unui control privind calitatea produselor, efectuat la întâmplare într-unul

din magazine (care constă într-o singură extragere), să obţinem un produs

necorespunzător.

R: 0,045

4. O urnă conţine 5 bile albe şi 3 bile negre, iar alta 6 bile albe şi o bilă

neagră. Care este probabilitatea ca luând la întâmplare o bilă din una din urne să

obţinem o bilă albă?

Page 95: Curs Matematica Si Statistica

97

R: 0,74.

5. Fie trei loturi de produse alimentare. Primul conţine 5 produse, dintre

care două sunt alterate. Al doilea 8 produse, din care două alterate, iar al treilea

10 produse din care 7 sunt necorespunzătoare. Care este probabilitatea ca

extrăgând la întâmplare câte un produs dintr-un lot, acesta să fie corespunzător?

R: 0,55.

Page 96: Curs Matematica Si Statistica

98

Page 97: Curs Matematica Si Statistica

99

Cursul 12 VARIABILE ALEATOARE

Cuvinte cheie: Variabile aleatoare discrete, media, dispersia

Variabile aleatoare

A.

Variabile aleatoare discrete (V.A.D.)

Definiţia V.A.D.

Să presupunem că valorile unei anumite variabile X reprezintă

evenimentele incompatibile X = xi, ___

,1 ni = . Fie pi, ___

,1 ni = probabilitatea de

apariţie a evenimentului X = xi, sau ( ) ii pxXP == . Schematic vom reprezenta:

n21

n21

p..ppx..xx

X

Observaţie Deoarece evenimentele sunt incompatibile,

( ) ( )Un

1iin21 xXE,1EPp....pp

=

====+++

Proprietăţi:

P1.

n21

n21

p..ppax..axax

aX , ∈a R.

P2. Fie

n21

n21

p..ppx..xx

X ,

m21

m21

q..qqy..yy

Y

Atunci:

Page 98: Curs Matematica Si Statistica

100

++++=+

nmm11211

mnm12111

p..p.ppyx..yx.yxyx

YX

unde:

( ) ( )[ ]jiij yYxXPp =∩==

P3.

=

nmm11211

mnm12111

p..p.ppyx..yx.yxyx

XY

unde:

( ) ( )[ ]jiij yYxXPp =∩==

Observaţie Pentru ridicarea la putere a unei variabile aleatoare discrete, avem:

n21

rn

r2

r1r

p.ppx.xx

X

Definiţie Spunem că două variabile aleatoare discrete sunt independente dacă

toate evenimentele lor sunt independente.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) jijijiij qpyYPxXPyYxXPp ⋅==⋅===∩==

şi deci:

++++

mn2211

mn2111

qp.qpqpyx.yxyx

YX

mn2211

mn2111

qp.qpqpyx.yxyx

XY

Media şi dispersia unei V.A.D.

Definiţie Vom numi medie a unei variabile aleatoare discrete X numărul:

( ) ∑=

=+++=n

1iiinn2211 xpxp...xpxpXM

Proprietăţi

a) ( ) ( )XMaXaM +=+

Page 99: Curs Matematica Si Statistica

101

b) ( ) ( )XMaaXM ⋅=

c) ( ) ( ) ( )YMXMYXM ±=±

d) ( ) ( ) ( )YMXMXYM ⋅= , pentru X, Y, variabile independente.

Definiţii

a) Fie o variabilă aleatoare discretă X şi o constantă a. Se numeşte abatere

de la constanta „a” a variabilei aleatoare discrete X, variabila X – a.

b) Dacă ( )XMa = , se numeşte abaterea de la medie a variabilei aleatoare

discrete X, variabila X – M(X).

c) Se numeşte dispersie a unei variabile aleatoare X, numărul notat 2σ sau

( )XD a cărui valoare este:

( ) ( )( )[ ]22 XMXMXD −=σ=

d) Se numeşte abatere medie pătratică a variabilei aleatoare discrete X,

numărul:

( ) ( )( )[ ]22 XMXMXD −==σ

Proprietăţi

a) ( ) ( ) ( )XMXMXD 22 −=

b) ( ) ( )XDaaXD 2= ; ( ) ( )XDXaD =+

c) ( ) ( ) ( )YDXDYXD +=±

d) ( ) Ra,0aD ∈=

Variabile aleatoare continue (V.A.C.)

Definiţia V.A.C.

Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare continuă, o variabilă ce ia o infinitate

de valori şi care nu pot fi scrise într-un şir. Schematic se notează ( )

xf

xX , unde f

Page 100: Curs Matematica Si Statistica

102

definită pe [ ]__

Rb,a ∈ reprezintă densitatea de repartiţie sau densitatea de

probabilitate a variabilei şi are proprietăţile:

( ) [ ]

=

∈∀≥

∫b

a

1dx)x(f.2

b,ax,0xf.1

Funcţia de repartiţie

Fie F(x) derivabilă [ ]b,ax ∈∀ astfel încât ( ) ( )xfxF ' = , atunci F(x) se

numeşte funcţie de repartiţie.

Observaţia 1 Pentru o variabilă aleatoare continuă X, probabilitatea ca X să ia

valoarea x este valoarea funcţiei [ ] Rb,a:f → în [ ]b,ax ∈ .

În cazul variabilei aleatoare X de mai sus, F se defineşte ca fiind:

( ) ( )xXPxF <=

Observaţia 2

( ) ( ) ( ) [ ]∫ ∈=−=<< 2

1

X

X 211221 b,ax,x;dx)x(fxFxFxXxP

Observaţia 3

( ) ( )∫=x

adyyfxF

Observaţia 4 Media şi dispersia unei variabile aleatoare continue sunt date de

relaţiile:

( ) ( )∫==b

adxxxfmXM ; ( ) ( ) ( )∫ −=σ=

b

a

22 dxxfmxXD

Repartiţia uniformă

Fie variabila aleatoare continuă

X

− ab1x

, x ∈ [a,b] deci densitatea de

Figura 1

Page 101: Curs Matematica Si Statistica

103

probabilitate se defineşte astfel f(x) = [ ]

[ ]

∈−

b,ax,ab

1b,ax,0

şi are graficul din figură.

Funcţia de repartiţie corespunzătoare va fi:

F(x) = ( )∫x

a

dxxf = =abaxx

ab1dx

ab1dx

ab1 x

a

x

a

x

a −−

=−

=−

=− ∫∫

şi are ca expresie: F(x) =

>

≤≤−−

<

bx,1

bxa,abax

ax,0

cu graficul de mai jos,

Figura 2

din care rezultă, 0 ≤ F(x) ≤ 1. Media şi dispersia variabilei aleatoare continue X

va fi:

M(X) = ( ) ( )( )=

−+−

=−−

=−

=−

=∫∫ ababab

21

abab

21

2x

ab1dx

ab1xdxxxf

22b

a

2b

a

b

a 2ba+ ,

deci, M(X) = 2

ba + .

D(X)= ( ) ( ) ( ) =−

+−=− ∫∫ dxab

1xxx2xdxxfxxb

a

222b

a

= ( )

++

+−

b

a

2b

a

2b

a

3

x4ba

2ba

2x2

3x

ab1 ⇒ ( ) ( )

12baXD

2−= .

Repartiţia normală (curba lui Gauss.

Page 102: Curs Matematica Si Statistica

104

Fie X ( )xxϕ

x∈[a,b]; ( )ϕ x = n(x, m, σ).

Observaţie Foarte multe distribuţii din punct de vedere practic sunt apropiate de

această distribuţie zisă normală, cu funcţia de probabilitate ( )xϕ , unde:

( ) =xϕ n(x, m, σ) = 2mx

21

e2

1

σ−

πσ x∈R.

Se arată că

1°. n(x, m, σ) ≥ 0

2°. ( )n x, m, σ dx =−∞

∫ 1

Pentru reprezentarea grafică avem:

( )lim , ,x

n x m→±∞

=σ 0

dndx

x me

x m

= −− −

σ πσ

3

12

2

2

; d ndx

e x mx m

2

2

12

3

2

2

21=

−−

σ

σ π σ; dn

dx= 0

⇒ x = m şi n(x, m, σ) = 12σ π

; d ndx

2

2 = 0 ⇒

x1,2 = m ± σ puncte de inflexiune, 0dx

nd2

2

≤ pentru [ ]σ+σ−∈ m,mx .

Figura 3. Graficul curbei lui Gauss

Să arătăm că M(X) = m şi ( )XD=σ

Page 103: Curs Matematica Si Statistica

105

Pentru calculul lui M(X) avem:

M(X)= ( ) =σπσσ+

=πσ

=ϕ−

−∞

σ−

−−∞

∞∫∫∫ dte

2tmdxe

2xdxxx

222

2tmx

21b

a

σ+

π= ∫∫

∞−

−−−∞

dtte2

dte21m 2

t2t 222

m + =π

σ−=

πσ ∞

∞−

−∞

∞−

∫ 2t

2t 22

e2

mdte2

= ( ) mXMmm =⇒=+ 0

Observaţie

σ+=⇒=σ− tmxtmx şi dtdx σ=

( ) ( ) ( )

)X(Dsau)X(D

22

dte2

dteet2

dtet2

dxe2mxdxxxx)X(D

2

22

2t2

2t

2t2

2t

22mx

21b

a

22

2

=σσ=

⇒σ=ππ

σ=

πσ

=

+−

πσ

=

σ=

πσ−

=ϕ−=

−∞

∞−

−∞

∞−

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

σ−

−∞

∞−

∫∫∫

∫∫ ∫

B.

1. Să se calculeze Z = X + Y şi T = XY, unde:

2,02,06,0

641Y,

5,03,02,0532

X

Rezolvare

10,016,004,006,034,018,012,0

11987643Z

10,010,006,010,004,030,018,012,0

302018128532T

2. Probabilitatea extragerii unui produs corespunzător dintr-un lot este p.

Din lot se fac 2 extrageri, punându-se înapoi produsul. Fie X1, X2 variabilele

Page 104: Curs Matematica Si Statistica

106

corespunzătoare fiecărei extrageri. Să se determine suma şi produsul celor două

variabile.

Rezolvare

− p1p

01X,

p1p01

X 21

( ) ( ) ( )

−−−++++

+ 2221 p1pp1p1pp00100111

XX

( ) ( )

−−

+ 2221 p1p1p2p012

XX

( ) ( ) ( )

−−−⋅⋅⋅⋅

2221 p1pp1p1pp00100111

XX

( ) ( )

−+− 2221 p1p1p2p

01XX

3. Se dă variabila aleatoare:

1,02,02,03,02,0

54321X

Să se determine media, dispersia şi abaterea standard.

Rezolvare

Ştiind că: ( ) ∑ ⇒= ii pxXM

( ) 7,21,052,042,033,022,01XM =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Pentru calculul lui ( )XD folosim formula:

( ) ( ) ( )XMXMXD 22 −=

Calculăm

( ) ∑= i2i

2 pxXM şi avem:

( ) 9,81,052,042,033,022,01XM 222222 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

( ) ( ) 29,77,2XM 22 ==

( ) 61,129,79,8XD =−=

( ) ( ) ( ) 27,1XXDX =σ⇒=σ

Page 105: Curs Matematica Si Statistica

107

4. Se dau variabilele aleatoare:

3,05,02,0

321X şi

8,02,00

321Y

Să se calculeze ( )YXM + şi ( )YXD −

Rezolvare

Ştim că:

( ) ( ) ( )YMXMYXM +=+

( ) ∑=

=3

1iiipxXM ; ( ) ∑

=

⇒=3

1jjjqyYM

( ) 1,23,035,022,01XM =⋅+⋅+⋅=

( ) 8,28,032,0201YM =⋅+⋅+⋅=

( ) 9,48,21,2YXM =+=+

( ) ( ) ( )YDXDYXD +=−

( ) ( ) ( ) ( ) 49,01,23,035,022,01XMXMXD 222222 =−⋅+⋅+⋅=−=

( ) ( ) ( ) ( ) 16,08,28,032,0201YMYMYD 222222 =−⋅+⋅+⋅=−=

( ) 65,016,049,0YXD =+=−

5. Se dă variabila aleatoare

1,03,05,01,0

4321X

Să se calculeze variabila aleatoare normată.

Rezolvare

Calculăm valorile z pentru variabila aleatoare normată.

( )

i

i

xfz

Z unde σ−

=mx

z ii

Cum:

( ) 4,21,043,035,021,01XMm =⋅+⋅+⋅+⋅==

( ) ( ) 64,04,21,043,035,021,01XD 22222 =−⋅+⋅+⋅+⋅=

( ) 75,1mx

z8,0XD 11 −=

σ−

=⇒==σ ;

Page 106: Curs Matematica Si Statistica

108

5,02 −=z ; 75,03 =z ; 24 =z ⇒

−−1,03,05,01,0

275,05,075,1Z .

6. Se dă funcţia ( )21 x

Axf−

= , ( )1,1−∈x . Să se determine valoarea lui A,

astfel încât f să fie densitate de probabilitate.

Rezolvare

π=⇒

=

≥⇒

=−

>⇒

=−

≥−

−−

∫∫

1A1/xarcsinA

0A1dx

x1AA

0A

1dxx1

A

0x1

A

112

1

1 2

2

7. Se dă funcţia ( ) xx eekxf −+

= , Rx ∈ . Să se determine k, astfel încât

funcţia f să fie densitate de probabilitate.

Rezolvare

∫∞+

∞− −=

+1dx

eek

xx

∫ ∫ ∫ =+

=+

=+ −

− teunde,

t1t

dtt1

kdxee

eekdxee

1k xxx

xx

xx

π=⇒=⇒==

+= ∞+

∞−∫2k1/earctgkearctgktarctgkdt

1tdtk xx

2

8. Variabila aleatoare X urmează o lege de distribuţie a cărei densitate de

probabilitate este dată în figura de mai jos:

Se cere: a) să se exprime densitatea de

probabilitate f(x); b) ( ) ( )XD;XM .

Rezolvare

Page 107: Curs Matematica Si Statistica

109

( ) x2xf =

( )32dxx2xXM

1

0=⋅= ∫ ; ( ) ∫ =

−=

1

0

2

181dxx2

32xXD

9. Variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate:

( ) ( ) ( )

( )

−∉

−∈+π=

1,1x,0

1,1x,x1

1xf 2 . Să se calculeze ( )2XM .

Rezolvare

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+∞

∞− ∞−

∞=+==

1

1

2222 dxxfxdxxfxdxxfxXM

( )∫−−π=

+π⋅=

1

1 22 2/1/2dx

x11x

Întrebări

1. Să se determine variabila aleatoare nX unde:

21

21

11X .

R:

11

X n când n este număr par şi XX n = când n este număr impar.

2. Să se determine distribuţia variabilei X + Y, unde:

++

−2p12pq2

31

10aY,

31

31q

61p

101X 1,0 ≠≠ aa , iar X, Y sunt

independente.

3. Fie variabilele aleatoare independente X şi Y. Să se calculeze

( )Y4X2M + şi ( )Y4X2D + pentru:

2,01,07,0

421X ,

3,01,04,02,0

7641Y .

R: ( ) 4,21Y4X2M =+ ; ( ) 04,80Y4X2D =+

4. Se dă variabila aleatoare discretă

4,04,02,0

xx1X 21 . Să se determine x1

şi x2 dacă M(X) = 1,4 şi x2 = x1 + 1

Page 108: Curs Matematica Si Statistica

110

R: x1 = 1; x2 = 2

5. Să se determine a, p1, p2 din variabila aleatoare discretă

21 ppa0

X ,

ştiind că ( )21XM = , ( )

21XM 2 =

R: 5,0,5,0,1 21 === ppa

Page 109: Curs Matematica Si Statistica

111

Cursul 13 PRELUCRAREA STATISTICĂ A DATELOR

EXPERIMENTALE

Cuvinte cheie: date statistice, mărimi medii, mediană, modul

Prelucrarea statistică a datelor experimentale

A.

Date statistice. Mărimi medii. Mediană. Modul

Definiţie Se numeşte serie de date statistice şirul de valori ix ,

ni ,...,1= corespunzător observaţiilor cu numărul „i”. Vom nota { }n21 x...,,x,xX = .

Definiţie Se numeşte serie de distribuţii de frecvenţă perechile ( )ii y,x , ni ,...,1= ,

unde ix reprezintă valoarea variabilei şi iy frecvenţa de apariţie.

Definiţie

a) Se numeşte medie aritmetică a seriei X, numărul: ∑=

=n

1ii

__

xn1x

b) Se numeşte medie geometrică a seriei X, numărul: nn

1ii

__

g xx ∏=

=

c) Se numeşte medie armonică a seriei X, numărul: ∑

=

= n

1n i

__

a

x1

nx

Observaţie Dacă valorile ix apar cu ponderea ip , atunci media aritmetică se

calculează cu relaţia: n

pxx

n

1iii__

p

∑== .

Definiţie Fie { }n21 x...,,x,xX = o serie de date statistice ordonată crescător. Se

numeşte mediană a seriei x, valoarea mx care împarte seria în două părţi egale.

Page 110: Curs Matematica Si Statistica

112

Observaţie Dacă n este impar, atunci 2

1xx n

m+

= . Dacă n este par, atunci

2

1xxx 2

n2n

m

++=

Definiţie Se numeşte modul (mod) al unei serii X, acea valoare ix care are

frecvenţa cea mai mare, notată Mx .

Parametrii variaţiei

Fie seria de date statistice { }n21 x...,,x,xX = . Dacă notăm cu supx , respectiv infx cea mai mare, respectiv cea mai mică valoare a seriei, atunci avem:

Definiţie

Se numeşte amplitudine absolută a seriei, numărul: infsup xxA −=

Se numeşte amplitudine relativă, numărul: 100x

A%A __ ×=

Definiţie Se numeşte abatere faţă de media aritmetică a unei valori ix numărul: __

i

__

i xxxa −=

. Media pătratelor acestor valori este:

∑=

−=σ

n

1i

2__

i2 xx

n1

şi se numeşte dispersie (varianţă), iar ∑=

−=σ

n

1i

2__

i xxn1 se numeşte abatere

standard.

Observaţie Dacă datele sunt împărţite în k grupe şi in reprezintă frecvenţa de

apariţie a fiecărei grupe, atunci ( ) i

k

1i

2__

i2 nxx

n1XD ⋅

−= ∑

=

Page 111: Curs Matematica Si Statistica

113

Corelaţia între două variabile

Vom defini coeficientul de corelaţie a două variabile ca fiind o măsură a

gradului de dependenţă dintre două variabile. Astfel, dacă date sunt grupate sub

forma tabelului:

ix 1x 2x ... ... nx

iy 1y 2y ... ... ny

Atunci definim coeficientul de corelaţie ca fiind:

∑ ∑

= =

=

=n

1i

2n

1i

__

i

2__

i

n

1i

__

i

__

i

yyxx

yyxxr

Valorile lui r sunt cuprinse în intervalul (-1, 1). Dacă 0r = , avem o lipsă

de dependenţă între cele două variabile, pe când, dacă 1r ±= corelaţia este totală.

Teoria regresiei

Regesia liniară

Teoria regresiei se ocupă cu aflarea legăturii dintre două serii de date

statistice şi anume a funcţiei care trece prin şi printre norul de puncte

reprezentate în planul xOy, puncte care rezultă din cele două serii statistice.

Dacă cele două serii de date statistice sunt date într-un tabel de forma:

x x1 x2 … xn …

y y1 y2 … yn …

atunci punctele Mi au coordonatele xi, yi, deci Mi (xi, yi).

Page 112: Curs Matematica Si Statistica

114

În cazul regresiei liniare norul de puncte are forma unei benzi liniare, ca în

figura de mai jos. Fie y = ax+b dreapta de regresie, unde urmează să determinăm

pe a şi b astfel încât ea să treacă cât mai mult prin şi printre punctele norului.

Se foloseşte metoda celor mai mici

pătrate (m.c.m.m.p.), adică se

minimizează suma pătratelor

distanţelor pe ordonată dintre un

punct de pe dreaptă şi un punct din

nor.

Avem:

di = y yx x

ii=− ⇒ di = axi + b - yi.

Metoda celor mai mici pătrate constă în minimizarea funcţiei

( ) ∑=

=ϕn

1i

2idb,a deci

( ) ( )∑=

−+=ϕn

1i

2ii ybaxb,a .

Se rezolvă sistemul

(S)

=ϕ=ϕ

0'0'

b

a

sau

(S) ( )

( )

=⋅++

=⋅++

=

=n

1iii

n

1iiii

01ybax2

0xybax2

sau

(S)

=⋅+

=+

∑ ∑

∑ ∑∑

= =

= ==n

1i

n

1ii

2i

n

1ii

n

1ii

n

1ii

2i

ynbxa

yxxbxa.

Page 113: Curs Matematica Si Statistica

115

Din rezolvarea sistemului (S) ⇒ a, b şi am aflat dreapta de regresie y = ax

+ b.

Observaţie Dacă în ultimul sistem (S) obţinut, împărţim ecuaţia a II-a cu “n”

vom avea:

bxayn

y

nnb

n

xa

n

1ii

n

1i

2i

+=⇒=+∑∑

== ,

deci dreapta de regresie trece tot timpul prin punctul de coordonate ( )x y, ,

rezultat care demonstrează că dreapta de regresie reprezintă cel mai bine

fenomenul studiat.

Regresia parabolică

Fie (1) y = ax2 + bx + c şi Mi (xi, yi). În cazul în care norul de puncte are o

formă parabolică ca în figură, se presupune ca funcţie de regresie funcţia (1)

adică parabola

y = ax2 + bx + c. Se formează funcţia ϕ (a, b, c) pentru a aplica m.c.m.c.p. :

( ) ( )2n

1iii

2i ycbxaxc,b,a ∑

=

−++=ϕ

apoi:

Page 114: Curs Matematica Si Statistica

116

(S)

=ϕ=ϕ=ϕ

0'0'0'

c

b

a

sau

(S)

( )( )

( )

=−++

=−++

=−++

=

=

=

0ycbxax2

0ycbxaxx2

0ycbxaxx2

n

1iii

2i

n

1iii

2ii

n

1iii

2i

2i

sau

(S)

=⋅++=++=++

∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑

ii2

i

iii2

i3

i

i2

i2

i3

i4

i

yncxbxayxaxcxbxayxaxcxbxa

care se rezolvă cu regula lui Cramer şi rezultă a, b, c care se înlocuiesc în y =

ax2 + bx + c şi avem funcţia de regresie căutată.

B.

1. În cazul unui experiment se obţin datele:

1,3,3,4,4,7,7,7,9,1,3,4,4,7,7,7,9,9.

a) Să se calculeze mediana şi modulul ( )Mm x,x ;

b) Să se determine media aritmetică a seriei;

c) Să se împartă seria în trei grupe (0, 3); (3, 6); (6, 9);

d) Să se calculeze media aritmetică a datelor grupate.

Rezolvare

a) 1,1,3,3,3,4,4,4,4,7,7,7,7,7,7,9,9,9.

5,52

742

109 =+

=+

=xxxm ; 7x M =

b) 3,51896

18px

x ii__

=== ∑

Page 115: Curs Matematica Si Statistica

117

c) int pi

(0, 3) 5

(3, 6) 4

(6, 9) 9

d) 16,51893

185,67185,7

1895,745,455,1__

≅=++

=⋅+⋅+⋅

=x

2. Se fac 23 de observaţii privind calitatea unui sortiment de vin şi

observaţiile vor fi corespunzătoare unei scări de la 0 la 5. se obţin datele de mai

jos:

2,3,3,3,2,1,5,5,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,4,3,0,1,2.

a) Să se reprezinte seria sub forma unui tabel statistic, apoi să se

reprezinte grafic.

b) Să se împartă datele în trei intervale egale, apoi să se reprezinte

histograma corespunzătoare.

c) Să se calculeze media aritmetică a datelor de selecţie.

d) Să se calculeze media aritmetică a datelor de selecţie grupate în ambele

variante a) şi b).

Rezolvare

a)

Nota 0 1 2 3 4 5

Frecvenţa 1 2 3 9 6 2

Page 116: Curs Matematica Si Statistica

118

b) nota pi

(0, 2) 3

(2, 4) 12

(4, 6) 8

c) 32369

23

xx

23

1ii__

===∑

=

d) 1. 32369

23296493322110__

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=px

2. 43,32379

238512331__

≅=⋅+⋅+⋅

≅px

3. La eliminarea conţinutului de ulei din cadrul unei conserve de peşte s-

au obţinut următoarele rezultate exprimate în procente:

11, 10, 10,5 11,5, 9.

Să se determine media aritmetică, dispersia, abaterea standard şi

amplitudinea seriei.

Rezolvare

ix __

i xx − 2__

i xx

11 0,6 0,36

10 -0,4 0,16

Page 117: Curs Matematica Si Statistica

119

10,5 0,1 0,01

11,5 1,1 1,21

9 -1,4 1,96

∑ 52

4,105

52x__

==

2

xx5

1i

2__

i2

∑=

=σ ; ( ) 407,1XD2 ==σ ; 5,295,11A =−= ;

%241004,105,2%A =⋅=

4. Considerăm seria de date statistice obţinute din datele furnizate de o

firmă de prelucrare a produselor cerealiere:

Număr lot Punct de fierbere

(0C)

1 68,8

2 68,8

3 68,8

4 68,95

5 68,9

6 68,95

7 68,8

8 68,8

9 68,8

10 68,85

Să se calculeze: media, dispersia şi abaterea medie pătratică.

Rezolvare

Page 118: Curs Matematica Si Statistica

120

84,6810

85,68...8,68x__

=++

=

( ) ( ) ( )

( ) 06,0003,0X003,010

84,6885,68...84,688,6810

xxXD

22

10

1n

2__

i

≅=σ⇒=

−++−=

=∑

=

5. Dintr-un câmp de soia s-au extras săptămânal timp de 7 săptămâni câte

o probă aleatoare. Măsurând dimensiunea probelor s-au obţinut datele:

Săptămâna 1 2 3 4 5 6 7

Dimensiunea (mm) 5 13 16 23 33 38 40

Să se determine coeficientul de corelaţie al celor două serii.

∑ ∑

= =

=

=n

1i

2n

1i

__

i

2__

i

n

1i

__

i

__

i

yyxx

yyxxr

Rezolvare Avem tabelul:

ix iy __

xxi − __

yyi −

____

yyxx ii 2__

− xxi

2__

− yyi

1 5 -3 -19 57 9 361

2 13 -2 -11 22 4 121

3 16 -1 -8 8 1 64

4 23 0 -1 -1 0 1

5 33 1 9 9 1 81

6 38 2 14 14 4 196

7 40 3 16 16 9 256

4__

=x 4__

=y 0 0 172 28 1080

989,0108028

172=

⋅=r

6. Datele experimentale sunt trecute în tabelul următor:

Page 119: Curs Matematica Si Statistica

121

Intervalul (xi+1, xi) Frecvenţa (fi)

122-125 4

125-128 5

128-131 10

131-134 14

134-137 26

137-140 18

140-143 12

143-146 6

146-149 5

100

Să se determine mediana şi modului seriei asociate tabelului.

Rezolvare

Deoarece mediana unei serii statistice este valoarea care împarte volumul

populaţiei în două părţi egale, ea se calculează astfel: mediana se plasează în

intervalul 134 – 137 deoarece:

∑=

=+++=4

133141054

iif

∑=

=+++=9

641561218

iif

deci sumele frecvenţelor înaintea, respectiv după acest interval sunt cele

mai apropiate ca valoare.

Valoarea exactă a medianei se găseşte cu ajutorul relaţiei:

( ) 7,13526

1341373350134M e =−

⋅−+=

Modulul este abscisa pentru care valoarea frecvenţelor este maximă. În

cazul nostru obţinem un interval numit modal, adică:

[ )137,134M 0 =

Page 120: Curs Matematica Si Statistica

122

7. Considerăm seria statistică obţinută din datele furnizate de o firmă de

prelucrare a produselor cerealiere:

Nr. crt. (lot) Punct de fierbere (0C)

1 68,8

2 68,8

3 68,8

4 68,95

5 68,9

6 68,95

7 68,8

8 68,8

9 68,8

10 68,85

Să se calculeze media, dispersia şi abaterea standard (abaterea medie

pătratică).

Rezolvare

84,6810

85,68....8,68x__

=++

=

Pentru calculul dispersiei avem:

( ) ( ) ( ) 003,010

85,6884,68...8,6884,68n

xXXD

22

n

1i

2

i

__

=−++−

=

=∑

=

şi

( ) ( ) ( ) 06,0XXDX ≅σ⇒=σ .

Page 121: Curs Matematica Si Statistica

123

8. Fie seria statistică ce reprezintă producţia globală măsurată în anumite

unităţi pentru o anumită ramură a industriei din ţara noastră în perioada

1955 – 1960.

xi 1955 1956 1957 1958 1959 1960

yi 212 240 273 301 327 351

Să se afle ecuaţia dreptei de regresie.

Rezolvare

baxy += şi a şi b se determină din sistemul:

=⋅+

=+

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

n

1ii

n

1ii

n

1i

n

1iii

n

1ii

2i

ynbxa

yxxbxa

Întocmim tabelul:

ix iy 2ix ii yx

1955 212 3822025 414460

1956 240 3825936 469440

1957 273 3829849 534261

1958 301 3833764 589358

1959 327 3837681 640593

1960 351 3841600 687960

Total 11745 1704 22990855 3336072

Sistemul de mai sus devine:

=⋅+⋅=⋅+⋅

1704b6a117453336072b11745a22990855

cu soluţiile:

Page 122: Curs Matematica Si Statistica

124

33,54741b

11,28a−=

=

9. S-au obţinut următoarele date experimentale:

xi 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,50 1,75

yi 1 1,6 2,1 2,2 1,9 1,6 0,9 0,2

Să se găsească dependenţa lui yi faţă de xi, ştiind că este de tip parabolic,

adică de forma cbxaxy 2 ++= (în urma reprezentării grafice a norului de puncte).

Rezolvare

Parametrii a, b şi c se găsesc din sistemul:

=++

=++

=++

∑ ∑∑

∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑

= ==

= ===

= ===

n

1i

n

1iii

n

1i

2i

n

1i

n

1iii

n

1ii

2i

n

1i

3i

n

1i

n

1ii

2i

n

1i

2i

3i

n

1i

4i

yncxbxa

yxXcxbxa

yxxcxbxa

unde:

∑ ∑ ∑∑= = ==

====8

1i

8

1i

8

1i

4i

3i

2i

8

1ii 27,18x,25,12x,75,8x,7x

∑ ∑∑= ==

===8

1i

8

1ii

2iii

8

1ii 9,8yx,25,10yx,5,11y

astfel sistemul devine:

=++=++

=++

5,11c8b7a75,87,8c7b75,8a25,12

9,8c75,8b25,12a27,18

Rezolvând sistemul cu regula lui Cramer se obţin soluţiile:

035,1c908,2b958,1a

==

−=

Ecuaţia este: 035,1908,2958,1 2 ++−= xxy

Page 123: Curs Matematica Si Statistica

125

Întrebări

1. Se cunoaşte următoarea repartiţie a filatoarelor dintr-o secţie după

numărul de fuse deservite, repartiţie dată în tabelul următor:

Nr. de fuse

deservite de o

filatoare

1160 1230 1300 1340 1408 1448

Nr. filatoare 8 12 20 15 15 10

Să se găsească dispersia şi abaterea medie pătratică.

R: ( ) 29,86:937.446.7XD =σ=

2. Fie un eşantion de volum 20 ales dintr-o serie de date de observaţie a

cărei structură este dată în tabelul următor:

Nr. crt. xi ni

1 2,1 6

2 1,8 4

3 3,2 5

4 3,5 4

5 4,2 1

Să se calculeze media, dispersia şi abaterea medie pătratică.

R: ( ) ( ) 766,0;6,0XD;7,2XM =σ==

Page 124: Curs Matematica Si Statistica

126

3. Dintr-un arboret echien s-au ales 12 arbori la care s-au măsurat

diametrul (x – cm) şi grosimea cojii (y – cm). Datele sunt prezentate în tabelul

următor:

Nr. crt. x y Nr. crt. x y

1 6,2 0,8 7 11,4 0,6

2 7,3 0,4 8 12,0 0,8

3 7,7 0,4 9 12,4 1,2

4 10,2 0,5 10 13,1 1

5 10,2 1 11 13,6 0,9

6 10,5 1 12 15,4 1,2

Să se calculeze coeficientul de corelaţie.

R: 667,0r =

4. Să se determine dreapta de regresie pentru datele experimentale de mai jos:

x 1 2 3 y 2 4 7

5. Să se determine parabola de regresie pentru datele experimentale de mai jos:

x 1 2 3 y 2 4 1

Page 125: Curs Matematica Si Statistica

127

Cursul 14 TEORIA SELECŢIEI

Cuvinte cheie: testul ipotezei nule, compararea a două distribuţii de frecvenţă

Teoria selecţiei

A.

În numeroase situaţii în practică nu putem studia în întregime o anumită

populaţie. Prin urmare, variabila aleatoare globală este necunoscută. În acest caz

se va proceda prin efectuarea unei selecţii, aceasta conducând la o variabilă de

selecţie. Problemele care apar în continuare se referă la estimarea

caracteristicilor variabilei globale prin caracteristicile variabilei de selecţie, apoi

încrederea ce se poate acorda estimaţiei făcute. Aceste lucruri pot fi realizate

studiind diferenţele dintre caracteristicile a două loturi diferite, spre exemplu

diferenţele dintre medii, dispersii, abateri standard.

Testul ipotezei nule. Compararea a două medii

Fie x1 şi x2 două variabile de selecţie, __

1x , __

2x mediile lor şi fie ( )1xD şi

( )2xD dispersiile acestora.

În continuare vom prezenta pe scurt cadrul general al acestei probleme.

Fie __

2

__

1 xxd −= , diferenţă care poate fi privită ca o variabilă aleatoare. Se doreşte a

se verifica acum ipoteza ( ) 0dMxxM__

2

__

1 ==

− , adică media diferenţelor să fie

nulă. Fie ( )dd

cddMdt

σ=

σ−

= variabila aleatoare normată ataşată, unde

dσ reprezintă abaterea standard a lui d. Fie ( )tf legea de distribuţie a lui tc.

Atunci avem:

( ) ( )∫−∈=<<− 0

0

t

t 000 Rt,dttftttP .

Page 126: Curs Matematica Si Statistica

128

Se pune problema ca dându-se o probabilitate α , să se determine 0t astfel

încât ( ) α−=<<− 1tttP 00

În continuare se calculează din datele experimentale valoarea lui ct şi se

studiază apartenenţa la intervalul ( )t,t 0− . Valoarea lui α se numeşte prag de

semnificaţie, iar pentru fiecare prag de semnificaţie în parte, dacă ct aparţine

interiorului intervalului de mai sus, spunem că 21d λ−λ= nu diferă în mod

semnificativ de zero, deci ipoteza nulă se acceptă; în caz contrar, ipoteza nulă se

respinge.

Referitor la valorile lui α prin convenţie s-au ales valorile 01,0=α şi

05,0=α . Astfel avem intervalele:

( ) ( )01,001,005,005,0 t,tt,t −− ⊂ , notate cu I1 şi I2..

Atunci avem:

- Dacă 1c It ⊂ ipoteza nulă se acceptă;

- Dacă 12c I\It ∈ nu se poate lua o hotărâre, urmând a se efectua cercetări

suplimentare;

- Dacă 2I\Rt ∈ atunci ipoteza nulă se respinge.

1c It ∈

12c I\It ∈

2c I\Rt ∈

Schematic putem avea reprezentarea:

Se respingeipoteza nulã Dubiu Se acceptã

ipoteza nulã Dubiu Se respingeipoteza nulã

01,0−t 01,0t05,0−t 05,0t Referitor la mărimea eşantioanelor precum şi la faptul că dispersiile sunt

cunoscute sau nu, avem următoarele:

a. ( )1xD , ( )2xD sunt cunoscute şi 1n , 30n 2 ≥

Page 127: Curs Matematica Si Statistica

129

Atunci: d

__

2

__

1c

xxt

σ−

= , unde ( ) ( )2

2

1

1d n

xDnxD

+=σ . Dacă ct are o distribuţie

normală normată, atunci pentru 05,01 =α şi 01,02 =α avem ( )96,1,96,1I1 +−= şi

( )58,2,58,2I2 +−= .

b. Dacă ( )1xD şi ( )2xD sunt necunoscute şi 30, 21 ≥nn avem:

( )1n

xxxD

1

n

1i

2__

11i

1

1

=∑

= ; ( )1n

xxxD

2

n

1i

2__

22i

2

2

=∑

= şi atunci:

( ) ( )

2

2

1

1

__

2

__

1c

nxD

nxD

xxt+

−= adică:

( ) ( )1nn

xx

1nn

xx

xxt

22

n

1i

2__

22i

11

n

1i

2__

11i

__

2

__

1c

21

+−

−=

∑∑==

Variabila are o distribuţie normală, iar intervalele de siguranţă sunt cele

determinate.

c. Dacă ( )1xD şi ( )2xD sunt necunoscute şi 30n,n 21 < , variabila ct are o

distribuţie de tip Student şi testul se aplică în mod obişnuit:

21

21

__

2

__

1c nn

nnxxt+⋅

=σ−

= , unde:

2nn

xxxx

21

n

1i

2__

22i

n

1i

2__

11i

21

−+

−+

=σ∑∑

== cu 2nn.L.G 21 −+= grade de libertate.

Compararea a două distribuţii de frecvenţă. Testul 2χ

Fie două şiruri de frecvenţe: n21 f,...,f,f şi n21 ,...,, ϕϕϕ , primul fiind un şir

obţinut experimental, iar al doilea un şir teoretic.

În continuare vom studia următoarele cazuri:

a. testul de conformitate

Page 128: Curs Matematica Si Statistica

130

Se calculează expresia ( )∑= ϕ

ϕ−=χ

n

1i i

2ii2 f , apoi numărul gradelor de libertate

după formula G.L. = n – k, unde k este numărul relaţiilor dintre frecvenţe. Din

tabelele următoare se află intervalele de siguranţă pentru cele două praguri de

semnificaţie %51 =α şi %12 =α şi vom aplica testul în mod obişnuit (ca şi în cazul

verificării ipotezei nule).

b. testul de omogenitate

Testul se aplică atunci când datele pot fi trecute într-un tabel de tipul:

Lotul Acţiunea a avut

efect

Acţiunea nu a avut

efect

Total

1 f1 N1 – f1 N1

2 f2 N2 – f2 N2

... ... ... ...

M fm Nm – fm Nm

TOTAL f N - f N

Calculăm ( )∑=

−=χ

m

1i i

2ii2

pqNpNf şi G.L. = m – 1

B.

1. Se studiază acţiunea unei substanţe menite să păstreze în formă

proaspătă cartofii recoltaţi. Asupra unui lot compus din 100n1 = cartofi se aplică

acest tratament, iar la sfârşitul perioadei de studiu s-a constatat că pierderile în

greutate au fost în medie %5,7m__

1 = . În cazul unui lot netratat, având 200n 2 = ,

pierderea medie a fost de %4,7m__

2 = . Se cunosc abaterile standard 101 =σ şi

Page 129: Curs Matematica Si Statistica

131

82 =σ . Se cere a se determina dacă există diferenţe semnificative între pierderile

medii.

Rezolvare

301000n1 >=

30200n 2 >=

( ) ( ) 648xD,10010xD 22

21 ====

Avem:

d

__

2

__

1c

mmt

σ−

= , unde ( ) ( )2

2

1

1d n

xDnxD

+=σ

Atunci se obţine:

64,020064

1000100

d =+=σ ; 15,064,01,0t c ==

Se observă că

( )96,1,96,1 +−∈ct

corespunzător pragului de 5%. Deci ipoteza nulă se acceptă, prin urmare nu

există diferenţe semnificative între cele două medii, deci substanţa administrată

nu a fost eficientă.

2. Un analist cercetează un fenomen prin două metode diferite. Astfel,

prin metoda A, în urma a 101 =n observaţii se obţin datele:

A: 2, 2.5, 2.1, 3, 3.1, 2.2, 2.4, 2, 2.5, 2.6.

Aplicând metoda B în urma a 52 =n observaţii se obţine:

B: 2.1, 2.5, 3, 2.4, 2.

Să se studieze dacă între medii există diferenţe semnificative.

Rezolvare

30nn,4,2x,44,2x 21

__

2

__

1 <== iar ( )1xD şi ( )2xD sunt

necunoscute.

Page 130: Curs Matematica Si Statistica

132

ix __

xxi − 2__

− xxi iy __

yyi − 2__

− yyi

2 -0,44 0,1936 2.1 -0.3 0.09

2,5 0,06 0,0036 2.5 0.1 0.01

2,1 -0,34 0,1156 3 0.6 0.36

3 0,56 0,3136 2.4 0 0

3,1 0,66 0,4356 2 -0.4 0.16

2,2 -0,24 0,0576

2,4 -0,04 0,0016

2 -0,44 0,1936

2,5 0,06 0,0034

2,6 0,16 0,0256

Total 1,344 0,62

3886,013964,1

251062,0344,1

==−+

+=σ

1878,08257,11029,0510510

3886,004,0

=⋅=+⋅

⋅=ct

Astfel ct are o distribuţie Student cu G.L. = 5 + 10 – 2 = 13

Pentru %5=α avem intervalul ( )16,2,16,2− , iar pentru %1=α intervalul

( )012,3,012,3−

-3,012 -2,16 2,16 3,012

I1

I2

1c It ∈ , deci ipoteza nulă se acceptă şi nu există diferenţe semnificative.

3. În urma aplicării a două tehnologii de producţie diferite (prima clasică

şi a doua nestudiată) s-au obţinut două şiruri de observaţii. Se cunosc mediile lor

ca fiind 0,2x__

1 = şi 4,2x__

2 = , iar în urma efectuării calculelor s-a obţinut:

Page 131: Curs Matematica Si Statistica

133

∑=

=

1n

1i

2__

11i 5,1xx şi ∑

=

=

2n

1i

2__

22i 8,0xx

Se cunoaşte că numărul observaţiilor este 501 =n şi 402 =n . Să se

determine dacă există între medii diferenţe semnificative între valorile medii.

Rezolvare

( ) 03,0150

5,1xD 1 =−

=

( ) 02,0140

8,0xD 2 =−

=

Atunci:

12,12033,0

4,00011.0

4,00005.00006.0

4,0

4002,0

5003,0

4,22−=

−=

−=

+−

=+

−=ct

Atunci ( )58,2,58,212,12 2 −=∉− I , deci există diferenţe semnificative între

cele două medii.

4. Autofecundând o serie de plante hibride de mazăre din F1, rezultate din

încrucişarea unui soi de talie înaltă cu unul de talie mică s-au obţinut în F2: 520

plante înalte şi 152 plante cu talia mică. Să se stabilească dacă proporţia obţinută

experimental corespunde cu cea mendeliană teoretică 3:1.

Rezolvare

Se aplică testul de conformitate: 520f1 = ; 152f2 = şi

=⋅=ϕ=⋅=ϕ

⇒==+

=+

=+

ϕ+ϕ=

ϕ=

ϕ

16811685043168

1684

6724

1525204

ff1313

2

1

212121

Deci ( ) ( ) 03,2523,1507,0168

168152504

504520 222 =+=

−+

−=χ

( ) ( )58,2,96,196,1,58,2I\I03,2 122 ∪−−=∈=χ , deci nu se poate spune cu

certitudine dacă există diferenţe semnificative.

5. S-au aplicat patru tehnologii noi, diferite în scopul creării unui produs

alimentar. În final s-au obţinut datele de mai jos:

Page 132: Curs Matematica Si Statistica

134

Tehnologia Produse

corespunzătoare

Produse

necorespunzătoare

Total

1 20 5 25

2 15 5 20

3 24 6 30

4 21 4 25

Total 80 20 100

Să se stabilească dacă există diferenţe semnificative între cele patru loturi.

Rezolvare

Se aplică testul de omogenitate:

Avem: 8,010080

==p , 2,0=q şi G.L. = 4 – 1 = 3. Atunci:

( ) ( ) ( )

( ) 5208,02083,03125,08,4

12,3

1302,08,0258,021

302,08,0308,024

202,08,0208,015

252,08,0258,020

2

2222

=+=+=⋅⋅⋅−

+

+⋅⋅⋅−

+⋅⋅⋅−

+⋅⋅⋅−

Din tabele se obţine:

( )81.7,01 =I şi ( )34.11,02 =I

02χ

7.81 11.34

I1

I2

Observăm că 15208,0 I∈ , deci nu există diferenţe semnificative.

Page 133: Curs Matematica Si Statistica

135

Întrebări

1. Se aplică o nouă tehnologie de producţie (B) şi se doreşte a se observa dacă

există diferenţe semnificative între valorile medii obţinute prin vechea

tehnologie (A).

Valorile obţinute sunt prezentate mai jos:

Tehnologia Valoarea eşantion ( )in __

ix iσ

A 112 1900 350

B 122 3100 370

R: ( )58,2,58,2249,4

nn

xxt

2

22

1

21

__

2

__

1c +−∉−=

σ+

σ

−=

Se respinge ipoteza nulă, deci există diferenţe semnificative. În concluzie,

aplicarea tehnologiei noi este necesară.

2. Dintr-o populaţie normală cu 5=σ s-au extras două selecţii de volume

9nn 21 == . Selecţiile au dat respectiv 2x__

1 = şi 3x__

2 = . Să se testeze dacă există

diferenţe semnificative între medii.

R: 30nn 21 <=

42,0nnnnxxt

21

21

__

2

__

1c −=

+⋅

σ−

= . Nu există diferenţe semnificative.

3. Se efectuează 1021 == nn măsurători analitice prin două metode.

Rezultatele sunt cele de mai jos. Să se testeze dacă există diferenţe semnificative

între medii.

Page 134: Curs Matematica Si Statistica

136

xi 58 58 56 38 70 38 42 75 68 67

yi 57 55 63 24 67 43 33 68 56 54

R: 18.L.G,796,0t c == nu există diferenţe semnificative

4. Într-o experienţă legată de încrucişarea a două specii de mazăre s-a obţinut

referitor la culoarea şi tipul mazărei următoarea împărţire:

Soiul 1 2 3 4

Observaţia 315 101 108 32

Să se verifice dacă frecvenţele obţinute verifică proporţiile mendeliene teoretice:

9:3:3:1.

R: 47,02 =χ , 81,747,0 < deci nu există diferenţe semnificative, astfel se

confirmă teoria lui Mendel.

5. Se controlează calitatea a două tipuri de produse şi se obţin datele de mai jos:

Produs Unităţi

cercetate

Cu defect Fără defect

1 21 18 3

2 27 22 5

Se cere a se determina dacă există diferenţe semnificative între produse.

R: 152,02 =χ , 84,3152,0 < pentru %5=α . Nu există diferenţe semnificative.

Page 135: Curs Matematica Si Statistica

137

B I B L I O G R A F I E 1. ALLEN R.G.D.; Analiză matematică pentru economişti, Editura ştiinţifică,

Bucureşti, 1971 2. ANDREI T.,STANCU S.; Statistică. Teorie şi aplicaţii, Ed. All 1995 3. ANGHEL C., Curs de matematică şi statistică biologică, Lito Inst. Agr.

Timişoara, 1988 4. BARON T. & colab ; Statistică teoretică şi economică, E.D.P, 1996 5. BARON T., ANGHELACHE C., TIŢAN E. ; Statistică, Ed. Economică

1996 6. BIALES C.; L,analise statistique des donee, Chotard et associes Editeur,

Paris, 1988 7. BOURSIN I.L., Comprendre les statistique descriptive, Armand Colin

Editeur, Paris 1988 8. CERCHEZ M.; Aplicaţii ale matematicii în practică, E.D.P., Bucureşti,

1975 9. CHIRIŢĂ S., Probleme de matematici superioare, E.D.P. Bucureşti 1974 10. CIUCU GH., CRAIU V., ŞTEFĂNESCU A.; Statistică matematică şi

cercetări operaţionale, E.D.P., 1974 11. CIUCU GH., CRAIU V.,SĂCUIU I.; Probleme de statistică matematică,

Ed. Tehnică, Bucureşti, 1974 12. CRAIU V.,; Teoria probabilităţilor cu exemple şi probleme, Editura

“Fundaţia România de mâine”, 1997 13. CREŢ F., Elemente de modelare şi matematici speciale, Editura Mirton,

Timişoara 2000 14. CREŢ F., Curs de matematică, Lito USAMVBT, 1996 15. CREŢ F., RUJESCU C.; Capitole speciale de analiză matematică şi

geometrie analitică, Ed. Mirton, Timişoara 1999 16. CREŢ F., RUJESCU C., ROTARIU L., BOLDEA M., IVAN M.;

Elemente de matematici speciale. Teorie şi aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara 2000

17. CRIVEANU D., DAVID GH., FUCHS W., STANCIU P.; Culegere de probleme pentru cursul de matematică aplicată în economie, Tipografia Universităţii din Timişoara, 1971.

18. CONSTANTIN GH., SURULESCU N., ZAHARIE D.; Lecţii de statistică descriptivă I,II, Tipografia Universităţii de Vest, Timişoara, 1997

19. DINESCU C., SĂVULESCU B.; Metode de matematică modernă, E.D.P., Bucureşti 1975

20. DINESCU C.; Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme., Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti 1996

21. ENE D., Curs de matematică şi biometrie, Lito Inst. Agr. Bucureşti, 1979

Page 136: Curs Matematica Si Statistica

138

22. FERŞEDI L.; Curs de matematică şi statistică biologică, Litografia Institutul Agronomic Cluj-Napoca, 1980.

23. FILIPESCU D., GRECU E., MEDINŢU R.; Matematici generale pentru subingineri, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979

24. FLONDOR D., DONCIU N.; Algebră şi analiză matematică, Culegere de probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.

25. GOLEŢ I.; Statistică. Teorie şi aplicaţii în economie, Ed. Politehnica Timişoara, 1988

26. IANCU C., POP N., POP V.; Probabilităţi şi statistică. Teorie şi aplicaţii. Editura Servosat, 1996

27. ILIESCU D., VODĂ V.; Statistică şi toleranţe, Editura Tehnică, Bucureşti, 1977.

28. INTRILIGATOR M.D.; Mathematical Optimization and Theory, Pretince-Hall, INC, Eng. Cliffs N.J. 1971

29. IONESCU V., POPEEA C.; Optimizarea sistemelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

30. IORGA V., JORA B.; Programare numerică, Editura Teora, 1996. 31. IOSIFESCU M.; Lanţuri Markov finite şi aplicaţii, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1977 32. IVAN GH.; Bazele algebrei liniare şi aplicaţii, Ed. Mirton, Timişoara, 1996 33. IVAN GH, PUTA M.,; Elemente de algebră şi geometrie euclidiană 3-

dimensională, Tipo Universitatea de Vest, Timişoara, 1991 34. LABEUNE C.; Statistiques descriptives, Les edition d,organisation, Paris

1991 35. LANCASTER K.; Analiza economico-matematică, Editura ştiinţifică,

Bucureşti 1973 36. LUCA GH.; Probleme de operaţii şi utilaje în industria alimentară,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1978. 37. MANSFIELD E.; Micro-Economics. Theory and Applications, Second

Edition, W.W. Norton, Company INC, New York,1974 38. MARIAN T.; Eficienţa economică a folosirii îngrăşămintelor chimice în

agricultură, Ed. Ceres, Bucureşti, 1970 39. MEGAN M., HIRIŞ V.; Analiza matematică în exerciţii şi probleme,

Fascicolul I şi II, Tipo Universitatea din Timişoara, 1972 40. MERCIA, E.; Culegere de probleme de matematică şi statistică biologică,

Litografia IAT Timişoara, 1980 41. MIHĂILĂ N., POPESCU O.; Matematici speciale aplicate în economie,

E.D.P., 1978 42. MIHOC GH., BERGTHALLER C., URSEANU V.; Procese

stohastice, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1978 43. MIHOC GH., MICU N.; Teoria probabilităţilor şi statistică matematică,

Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.

Page 137: Curs Matematica Si Statistica

139

44. MOINEAGU C., NEGURĂ I., URSEANU V.; Statistică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1976

45. NĂDEJDE I., ZIDĂROIU C., BERGTHALLER C., SBURLAN S.; Probleme de cercetare operaţională, Editura Academiei, 1971

46. MOŢ G., PETRUŞEL A., Matematici superioare pentru ingineri şi economişti, Ed. Mirton, 1999

47. NICOLESCU M.; Analiză matematică, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971.

48. OBĂDEANU V., GROŞAN I.; Sisteme dinamice cu aplicaţii în biologie şi economie, Imprimeria Mirton, Timişoara, 1996

49. OPRESCU GH.; Matematici pentru economişti, Vol.I, Editura “Fundaţia România de mâine”, 1996

50. OTIMAN P.I.; Optimizarea producţiei agricole, Editura Facla, Timişoara, 1987.

51. OTIMAN P.I., CREŢ F. Elemente de matematici aplicate în economia agroalimentară, Ed. Agroprint 2002

52. OTIMAN P.I., RUSOVICI A., VREJBA S.; Funcţia de planificare, Editura Ceres, 1981

53. PĂDURARU I., DIMULESCU S.; Funcţiile de producţie în agricultură, Centrul de documentare agricolă, 1969

54. POPESCU O., BAZ D. şi colectivul; Matematici aplicate în economie, Culegere de probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1996.

55. POSTELNICU T., TĂUTU P.; Metode matematice în medicină şi biologie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1971.

56. PURCARU I.; Elemente de algebră şi programare liniară, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1982

57. PUTA M.; Statistică economică, probleme, Universitatea Europeană Drăgan, 1998.

58. REISCHER C., SÂMBOAN A.; Culegere de probleme de teoria probabilităţilor şi statistică matematică, E.D.P. 1972

59. RESA I.D., LIGHEZAN V.; Probleme de statistică, Tipografia Universităţii Timişoara 1982

60. ROŞCULEŢ M.; Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1984.

61. SICLOVAN I., MATEI I., POPESCU I., CREŢ F.; Culegere de de probleme de matematici speciale, Litografia IM Petroşani 1988

62. STAMATE I., DUCARU N. ; Curs de matematici superioare, Cluj-Napoca,

1976 63. STANCIU P., CRIVEANU D.,DAVID GH., FUCHS W.; Matematici

aplicate în economie, Ed. Facla, Timişoara,1981 64. STAVRE P., Matematici speciale cu aplicaţii în economie, Scrisul

românesc, 1982

Page 138: Curs Matematica Si Statistica

140

65. ŞABAC GH.; Matematici speciale, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

66. TUDOREL A., STANCU S.; Statistică, teorie şi aplicaţii, Editura ALL, Bucureşti, 1994.

67. VASILIU D.P.; Matematici economice, Ed. Eficient, Bucureşti, 1996. 68. VĂLEANU I., HÂNCU M.; Elemente de statistică generală, Ed. Litera,

Bucureşti, 1990 69. VREJBA S., RUSOVICI A., OTIMAN P.I.; Metode şi modele de

conducere a producţiei în agricultură, Editura Ceres, Bucureşti, 1975 70. WOINAROSKY A., MIHAI M., ISOPESCU R.; Optimizarea

proceselor din industria chimică, exemple şi aplicaţii, Editura Tehnică, Bucureşti, 1990.