*Curs de fiabilitate 1Elemente de baz ale fiabilitii instalaiilor

Cristina MOHORA

*IntroducereFiabilitatea i mentenabilitatea, ca discipline inginereti, sunt relativ noi.De-a lungul anilor s-au dezvoltat ncontinuu, motivate de o serie de factori importani, grupai astfel:factori tehnico-economici,factori care privesc protecia muncii i sigurana funcionrii sistemelor,factori care in de protecia mediului nconjurtor.Studierea fiabilitii i a mentenabilitii a fost necesar deoarece sistemele tehnice au devenit din ce n ce mai complexe i mai sofisticate, a crescut cerina din partea utilizatorilor pentru calitate i performan, s-a mrit rspunderea n faa legii a productorilor pentru garantarea produselor lor, s-au stipulat n contracte cerine ferme privind aspectele de fiabilitate i mentenabilitate, etc.ntr-un sondaj Gallup, dat publicitii n anul 1985, n legtur cu atributele pe care trebuie s le aibe un produs, intervievaii au menionat n ordine descresctoare urmtoarele: performana, fiabilitatea, exploatarea (operarea), mentenabilitatea, garania, etc.

*Capitolul 1Elemente de baz ale teoriei fiabilitii instalaiilor industrialeFiabilitatea (reliability) este un domeniu interdisciplinar al ingineriei care studiaz legile degradrii (deprecierii) n timp a elementelor componente ale unei instalaii industriale sau ale unui sistem tehnic.Cu toate c fenomenele de degradare i de apariie a defeciunilor sistemelor au stat dintotdeauna n atenia oamenilor, constituirea fiabilitii, ca teorie i domeniu distinct de cercetare, s-a realizat n urm cu numai cincizeci de ani.Aeronautica i, n special, expediiile de cercetare spaial, precum i construcia reactoarelor nucleare pentru producerea de electricitate cu ajutorul energiei nucleare au impulsionat mbogirea conceptului de fiabilitate, adugnd noi aspecte, ca: securitatea (security), sigurana (safety), disponibilitatea (availability) i dependabilitatea (dependability). ntr-o form empiric, noiunea de siguran a aprut din cele mai vechi timpuri, mai ales n domeniul construciilor.Cea mai veche legislaie cunoscut, care reglementa n scris responsabilitatea constructorului pentru cazurile n care o construcie se prbuea i aveau loc pierderi de viei omeneti este Codul lui Hamurabi (ctre 1750 .H.), care prevedea: Dac un constructor construiete o cas pentru un om i dac nu face aceast construcie solid i casa pe care a construit-o se surp i provoac moartea proprietarului casei, constructorul va fi omort.

*Dac provoac moartea fiului proprietarului, va fi omort un fiu al constructorului. Dac provoac moartea unui sclav al proprietarului casei, va trebui s dea proprietarului un sclav de aceeai valoare. Dac distruge proprietatea, va trebui s restituie ceea ce a distrus i pentru c nu a fcut solid casa pe care a construit-o, i s-a surpat, el trebuie s reconstruiasc casa care s-a surpat pe propria lui cheltuial. Dac un constructor a cldit o cas pentru cineva i construcia nu a corespuns cerinelor i un zid a czut, acel constructor va trebui s ntreasc zidul pe propria cheltuial.

Obiectivele fiabilitii sunt:studierea defeciunilor (cauzele apariiei i dezvoltrii defeciunilor, metodele de combatere a defeciunilor),aprecierea cantitativ a comportrii n timp a echipamentelor, lundu-se n consideraie influena pe care o exercit asupra acestora factorii interni i externi,determinarea modelelor i metodelor de calcul i de prognoz a fiabilitii, pe baza ncercrilor specifice i a urmririi comportrii n exploatare a echipamentelor,analiza defeciunilor din punct de vedere fizic, mecanic i chimic,stabilirea metodelor constructive, tehnologice i de exploatare pentru a asigura, menine i crete fiabilitatea echipamentelor,stabilirea metodelor de selectare i de prelucrare a datelor privind fiabilitatea echipamentelor.

*Fiabilitatea, ca principal parametru al calitii, comport dou aspecte:aspectul calitativ, reprezint capacitatea unui echipament (sistem tehnic), de a funciona fr defeciuni n decursul unui anumit interval de timp i n condiii date,aspectul cantitativ, reprezint probabilitatea ca un echipament (sistem tehnic) s-i ndeplineasc funciile cu anumite performane i fr defeciuni, n decursul unui anumit interval de timp i n condiii date.

Calitatea unui sistem tehnic este dat n procent de 28-32% de calitatea soluiei constructive (proiectat) adoptat, de 8-12% de calitatea materialelor folosite la execuie i de 56-64% de tehnologiile de fabricaie folosite.

*1.2. Noiuni privind fiabilitatea, mentenabilitatea i disponibilitatea echipamentelor

Fiabilitatea (Reliability)

Conform Dicionarului de Neologisme (editura Academiei, Bucureti, 1978), fiabilitatea este:totalitatea calitilor unui sistem tehnic, care determin capacitatea acestuia de a funciona fr defeciuni ntr-un interval de timp, n anumite condiii date,mrimea care caracterizeaz sigurana n funcionare a unui sistem tehnic n conformitate cu normele prescrise.Conform STAS 8174/1 - 1977, Fiabilitate, mentenabilitate i disponibilitate. Terminologie, fiabilitatea este nsuirea unui dispozitiv de a-i ndeplini funcia specific, n condiii date de-a lungul unei durate date.Termenii folosii n teoria fiabilitii sunt:T timpul pn la prima defectare (sau ntre dou defectri). Prin timp de funcionare se nelege perioada de funcionare efectiv, eliminndu-se perioada de ntrerupere deliberat. T este o funcie de timp T(t), t 0, mai precis o variabil aleatoare de tip continuu,(t) rata defectrilor.

*

Definiie. Se numete fiabilitate, se noteaz cu R[1](t) - funcia de fiabilitate (sau funcia de siguran) i reprezint probabilitatea ca elementul (sistemul) s fie n stare de funcionare la momentul t (sau s funcioneze fr s se defecteze un timp mai lung dect t).Acest eveniment se scrie simbolic {T t}.Deci, Definiie. Se numete funcia de defectare (sau defiabilitatea) sau funcia de repartiie a variabilei aleatoare t, se noteaz cu F[2](t) i reprezint probabilitatea de defectare a sistemului la momentul t. Deci, Funcia de fiabilitate R(t) se folosete atunci cnd se dorete determinarea fiabilitii sistemului, adic a probabilitii ca sistemul s funcioneze la momentul de timp t, iar funcia de repartiie F(t) se folosete atunci cnd se dorete determinarea probabilitii ca sistemul s se defecteze n intervalul de timp (0, t). Presupunem c funcia de repartiie F(t) este derivabil n orice punct t 0 i notm cu f(t) derivata sa, adic . f(t) densitatea de probabilitate sau de repartiie a variabilei aleatoare T.

[1] R (reliability) fiabilitate.[2] F (failure) defectare, cdere.

*innd seama c evenimentele {T t} i {T < t} sunt evenimente contrare unul altuia, obinem: ntre funcia de fiabilitate i funcia de defectare exist ntotdeauna relaia:

De remarcat faptul c att funcia de repartiie F(t), ct i funcia de fiabilitate R(t), se refer la evenimente care se produc sau care nu se produc n intervalul de timp (0, t), adic n intervalul de timp scurs de la punerea n funciune a sistemului (momentul iniial t=0) pn la momentul t, i nu la evenimente care se produc exact n momentul t, aa cum ar putea lsa impresia notaia folosit F(t), respectiv R(t).Proprietile funciei de fiabilitateFuncia[1] de fiabilitate are urmtoarele proprieti:R(t) este o funcie continu n raport cu timpul, pentru orice t0,R(0)=1, aceasta nsemnnd c la momentul iniial, cnd elementul (sistemul) este pus n funcie, acesta funcioneaz n mod sigur, deci probabilitatea evenimentului {T0} este egal cu unu, dac timpul de funcionare crete foarte mult, atunci fiabilitatea elementului tinde ctre 0. Cu alte cuvinte, probabilitatea ca un element s funcioneze dup o perioad infinit de timp este egal cu 0.

[1] Funcia - Definiie. Fie A i B dou mulimi nevide. Se spune c am definit o funcie pe mulimea A cu valori n mulimea B, dac printr-un procedeu oarecare facem ca fiecrui element x care aparine lui A s-i corespund un element y care aparine lui B. Funcia se noteaz simbolic f: AB (citim f definit pe A cu valori n B). x se numete argument al funciei (variabil independent) iar y este imaginea elementului x din A sau valoarea funciei f n x.

*Mentenabilitatea (Maintainability)

Conform Marelui Dicionar de Neologisme (editura Saeculum, 2000), mentenabilitatea este proprietatea unui produs de a fi ntreinut i reparat cu uurin. Conform STAS 8174/1 - 1977, Fiabilitate, mentenabilitate i disponibilitate. Terminologie, mentenabilitatea este proprietatea ca o operaiune dat de mentenana activ s fie executat ntr-un interval de timp dat, asupra unei entiti date, utilizat n condiii de exploatare date.Mentenana, potrivit aceluiai STAS, este ansamblul aciunilor tehnice i organizatorice asociate, care sunt efectuate n scopul meninerii sau restabilirii unui dispozitiv n starea de a-i ndeplini funciile specificate. Teoria mentenabilitii pune accentul pe conceperea, proiectarea i realizarea unor sisteme tehnice, capabile s asigure o rapid demontare, nlocuirea componentei (componentelor) defecte i remontarea, n vederea restabilirii parametrilor iniiali de funcionare a sistemului. Termenii folosii n teoria mentenabilitii sunt:t timpul de restabilire a funciilor sistemului,(t) rata reparaiilor,M(t) funcia de mentenabilitate sau funcia reparrii la timp a sistemului este probabilitatea de restabilire complet a funciilor sistemului la momentul t. Are expresia matematic: (1.2.2)M(t) reprezint probabilitatea ca sistemul s fie reparat n intervalul de timp (0, t).

*Disponibilitatea (Availability)

Conform Dicionarului romn-englez Fiabilitate, mentenabilitate, mentenan: termeni i expresii uzuale (editura Standardizarea, Bucureti, 2008), disponibilitatea este aptitudinea unei entiti de a ndeplini o funcie cerut n condiii precizate, la un moment dat sau ntr-un interval de timp dat, presupunnd c resursele necesare sunt asigurate.Conform STAS 8174/1 - 1977, Fiabilitate, mentenabilitate i disponibilitate. Terminologie disponibilitatea este capacitatea unui dispozitiv sub aspectele combinate de fiabilitate, mentenabilitate i de organizare a aciunilor de mentenan de a-i ndeplini funcia specificat la un moment dat sau ntr-un interval de timp dat.Disponibilitatea depinde aadar de fiabilitate, de mentenabilitate i de logistica de mentenan.Disponibilitatea - A[1] - unui sistem tehnic este definit intuitiv, prin raportul dintre timpul de funcionare a sistemului (tf) i suma timpilor de funcionare (tf) i de ntrerupere (ti).Astfel, (1.2.3)Disponibilitatea este, ca i fiabilitatea i mentenabilitatea, o probabilitate i din acest motiv toate legile teoriei probabilitilor i sunt aplicabile.

[1] A (Availability) disponibilitate.

*Se pot defini urmtoarele tipuri de disponibiliti:Disponibilitatea instantanee sau punctual, notat A(t), este probabilitatea ca instalaia s fie disponibil pentru utilizare la momentul t, dup punerea sa n funciune.Disponibilitatea permanent, notat As, este probabilitatea ca instalaia s fie disponibil pentru utilizare la un moment de timp t foarte ndeprtat de momentul punerii sale n funciune, adic pentru t. (1.2.4)n graficul de mai jos sunt ilustrate tipurile de disponibiliti, disponibilitatea punctual, disponibilitatea medie i disponibilitatea permanent (Fig. 1.2.1).

Fig.1.2.1. Reprezentarea grafic a disponibilitii punctuale, medii i permanente

*1.3. Noiuni elementare de teoria probabilitilor i statistic matematic

n practica activitii industriale, trebuie s cunoatem de cte ori se produce un anumit eveniment. Repetarea de mai multe ori a unui anumit experiment n condiii identice pune n eviden o anumit frecven de apariie a unui eveniment, care este caracterizat de raportul dintre numrul experimentelor n care apare acest rezultat i numrul tuturor experimentelor efectuate. Acest raport are n general o anumit valoare constant care poate caracteriza msura realizrii acestui eveniment sau probabilitatea realizrii evenimentului respectiv. Statistica matematic, metodele furnizate de aceasta, s-au implantat puternic n metodologia de lucru a diferitelor domenii particulare, inclusiv n domeniul fiabilitii.Recurgerea la metodele specifice statisticii matematice se face n principal din dou motive:existena variabilitii naturale a fenomenelor, proceselor, caracteristicilor, etc., luate sub observaie,necesitatea lurii unor decizii asupra acestor fenomene, procese sau caracteristici.Statistica matematic, sintetiznd o informaie, de cele mai multe ori parial, asupra procesului investigat, poate furniza baza metodologic pentru adoptarea anumitor decizii n condiii specifice de incertitudine. Statistica i-a dezvoltat trei direcii necesare studiului: principiile, modelele i metodele.Statistica matematic opereaz cu dou concepte de baz:populaia, reprezentat prin mulimea valorilor pe care le poate lua o caracteristic de calitate a unui anumit produs, mulimea produselor rezultate n urma unui proces tehnologic, etc.,eantionul, este acea parte a populaiei asupra creia experimentatorul aplic metodele statistice propriu-zise, pentru a putea trage concluzii asupra populaiei.

*1.3.1. Noiunea de eveniment. Operaii cu evenimente. Cmp de evenimenteEvenimente Noiunea de eveniment este legat de producerea unui anumit fenomen n cadrul unei experiene.n cazul fiabilitii i a mentenabiliti, evenimentul cu care se opereaz este defeciunea.Efectuarea unei experiene nseamn a alege, printr-un procedeu susceptibil de a fi repetat, un element dintr-o mulime dat.Fiecare repetare a experienei se numete prob. Orice prob atrage dup sine realizarea sau nerealizarea oricrui eveniment legat de experiena considerat.Mulimea tuturor cazurilor posibile care se pot produce n cadrul unei experiene este notat cu . Mulimea cazurilor favorabile producerii unui eveniment este o submulime a mulimii .Evenimentul sigur este acela care se produce cu certitudine la orice efectuare a experienei. Evenimentul sigur va fi notat cu .Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la nici o efectuare a experienei i va fi notat cu , adic simbolul mulimii vide.Eveniment implicat de un alt eveniment. Se spune c evenimentul A implic evenimentul B i se noteaz, dac realizarea lui A atrage dup sine realizarea lui B.Evenimente incompatibile. Dou sau mai multe evenimente se numesc incompatibile dac nu se pot realiza simultan la nici o efectuare a experienei. n caz contrar ele se numesc compatibile.ntre evenimentul A i evenimentul contrar au loc relaiile:A U = , eveniment sigur,A = .

*Operaii cu evenimenteDac avem dou evenimente A i B, legate de o experien, putem defini evenimente noi:evenimentul A sau B, notat A U B, este evenimentul a crei realizare nseamn realizarea a cel puin unuia dintre cele dou evenimente,evenimentul A i B, notat A B, este evenimentul a crei realizare nseamn realizarea simultan a ambelor evenimente A i B,evenimentul non A, evenimentul contrar evenimentului A, notat , este evenimentul a crei realizare const n nerealizarea evenimentului A. Mulimea cazurilor favorabile lui , este format din toate cazurile nefavorabile lui A.

Cmp de evenimenteFie o mulime nevid, numit de regul, mulimea evenimentelor elementare. Notm cu K o familie (nevid) de submulimi ale lui . De regul, K nu este mulimea tuturor submulimilor lui . Elementele lui K vor fi numite evenimente i vor fi notate cu A, B, C,...

Definiie. Mulimea K se numete cmp de evenimente dac satisface condiiile:dac , atunci K,dac , atunci i.e., evenimentul sigur i evenimentul imposibil aparin cmpului K,dac atunci

*Dualitatea de limbaj

Exist o dualitate de limbaj ntre limbajul evenimentelor folosit n teoria probabilitilor i cel folosit n teoria mulimilor.

limbajul evenimentelorlimbajul mulimilor(folosit n teoria probabilitilor)(folosit n teoria mulimilor)

evenimentsubmulime a lui eveniment sigurmulime (total) eveniment imposibilmulime A implic BA B A sau BA B A i BAB eveniment contrar lui A eveniment elementar ,

*

1.3.2. Variabile aleatoare

Variabila aleatoare X, este o funcie X : R, definit pe mulimea tuturor elementelor () cu valori n mulimea numerelor reale (R).n funcie de tipul de valori pe care le iau variabilele aleatoare acestea se mpart n:variabile aleatoare discrete, cnd domeniul valorilor este o mulime finit sau numrabil de numere reale,variabile aleatoare de tip continuu, cnd domeniul valorilor este un interval (a, b) al axei reale R, unde eventual a= sau/i b= + .Variabila aleatoare continu X este caracterizat de faptul c poate lua orice valoare n intervalul (x, x+dx) al dreptei reale. Spre deosebire de variabila discret, unde se asociaz probabiliti punctuale evenimentului X ia valoarea xi, adic , cu proprietile: pi 0, oricare ar fi i i pi, pentru variabila continu X se definete o funcie real pozitiv fx(x) 0, numit densitate de repartiie sau densitate de probabilitate, astfel c fx(x)dx reprezint posibilitatea ca X s ia valori n intervalul (x, x+dx).Vom avea:(1.3.1)dac x este definit pe toat dreapta real.Grafic, relaia de mai sus este reprezentat n Fig. 1.3.1.

*

Fig. 1.3.1. Reprezentarea grafic a densitii de probabilitate n cazul variabilei continuen cazul particular din domeniul fiabilitii, variabilele aleatoare cu care se lucreaz sunt pozitive i, prin urmare, relaia (1.3.1) se poate scrie:

(1.3.2)iar reprezentarea grafic este dat n figura 1.3.2.Fig. 1.3.2. Reprezentarea grafic a densitii de probabilitate n cazul particular al fiabilitii

*n majoritatea experimentelor, rezultatele msurtorilor diferitelor carecteristici se exprim prin numere, astfel:

dimensiunile unui lot de piese identice,procentele diferitelor elemente chimice aflate n aliaje,duritatea metalelor,temperaturile la care se desfoar anumite procese termce,duratele de funcionare ale unor instalaii pn la prima defectare.Aceste valori ale msurtorilor sunt diferite chiar i pentru acelai material, considerat ns c se afl n condiii variate.Mrimea caracteristicilor are un caracter aleatoriu i, prin urmare, valorile acestor msurri nu au un caracter determinist.Principala caracteristic a acestor msurri este aceea c dei valorile mrimilor msurate reprezint o anumit regularitate, totui nu se poate tii dinainte valoarea unei probe particulare, adic a unei msurri particulare.

Exemplu:Au fost msurate diametrele exterioare a unui lot de 50 de axe.Rezultatele n urma efecturii msurtorilor sunt grupate pentru acelai diametru msurat, astfel:

*

diametrul exterior msuratnumrul axelor cu acelai diametru40,002140,003140,004240,005240,006540,007940,0081040,009340,010540,011340,012240,013140,014140,0155total axe msurate50

*Analiznd rezultatele din tabel, se poate stabili c ntr-un anumit procent de cazuri, diametrul axelor variaz ntre anumite limite.Valorile pe care le are diametrul axelor sunt considerate a fi valorile unei funcii reale, definite pe baza mulimii evenimentelor unui experiment.n cazul de fa, variabila aleatoare este valoare msurat a diametrului axei.Ca i n cazul msurtorilor efectuate, pe baza datelor din tabel, se poate afla pentru orice valoare, probabilitatea ca lund la ntmplare o ax, ea s aibe dmensiunea cuprins ntre anumite limite a i b, probabilitate care este estimat prin frecvena relativ corespunztoare valorilor diametrului ce variaz ntre limitele a i b.Pentru a caracteriza o variabil aleatorie este necesar s se cunoasc mai nti ce valori poate lua aceasta, adic mulimea valorilor posibile i porbabilitile corespunztoare.n acest caz, variabila aleatorie poate lua un numr finit de valori i, prin urmare, aceast variabil aleatorie poate fi caracterizat prin valorile ei i prin probabilitile corespunztoare (aproximate prin frecvene).Fie x1, x2, ..., xn valorile unei anumite variabile aleatorii i p1, p2,...,pn probabilitile corepunztoare, astfel nct p1+p2+..+pn=1.Se numete tabel de repartiie a variabilei i se noteaz cu (X) un tabel care cuprinde pe o linie valorile variabile aleatorii i pe cea de a doua linie valorile probabilitilor corespunztoare:

pi (i=1,2,.....n) este probabilitatea evenimentului notat prin X, astfel nct variabila aleatoare s ia valoarea xi, adic pi = p (X=xi).

*Din tabel, probabilitile pot fi exprimate prin frecvene i astfel vom avea:

*1.3.3. Funcia de repartiieFuncia de repartiie. Fie X : R o variabil aleatoare de tip continuu. Pentru fiecare numr real x se consider evenimentul {X < x}.Se noteaz cu F(x) probabilitatea evenimentului {X < x}, X ia valori mai mici dect x, adic: (1.3.3)Funcia F(x) asociat evenimentului X se numete funcia de repartiie a variabilei X i este o probabilitate.Legtura dintre Fx(x) i fx(x) este dat de relaia: n ipoteza c se opereaz cu variabile aleatoare, definite pe intervalul Proprietile funciei de repartiie sunt uor de dedus, deoarece sunt o consecin direct a proprietilor integralei.Graficul funciei de repartiie este o variabil aleatoare continu i este redat n figura 1.3.3.Fig. 1.3.3. Graficul funciei de repartiie pentru o variabil aleatoare continu

*n legtur cu funcia de repartiie, prezint interes practic evaluarea urmtoarelor probabiliti:a) P (u X < v)b) P (X x)c) P (X < x)

i relaia , care exprim probabilitatea ca o variabil X s ia valori ntre dou limite fixate.

reprezint probabilitatea ca variabila X s ia cel puin valoarea x i, printr-o interpretare ceva mai particular, aceasta poate fi considerat ca probabilitatea ca un anumit produs s funcioneze cel puin x ore.n cazul particular al fiabilitii, funcia F : R [0, 1], definit prin formula de mai sus, se numete funcia de repartiie sau funcia de distribuie a variabilei aleatoare X, i este deci o probabilitate.

Proprietile funciei de repartiieFuncia de repartiie F : R [0, 1], definit prin formula (1.3.3) are urmtoarele proprieti:a. , i.e.[1] funcia de repartiie are valori pozitive subunitare,

b. F(x) este o funcie nedescresctoare pe R,

c. i ,

d. F(x) este o funcie continu la stnga, ceea ce nseamn c n orice punct are loc egalitatea:

[1] i.e. id est, adic.

*Variabilele aleatoare care se folosesc n mod obinuit n practic au funcia de repartiie continu pe R.Dac variabila aleatoare X ia valori discrete, adic dac ia un numr finit de valori x1, x2,...,xn, avnd probabilitile p1, p2,...,pn, atunci:

unde pi = P (X = xi), p 0, i = 1,2,...,n.

Funia de repartiie este unde xi < x, adic suma se face pentru toate valorile xi mai mici ca x.n cazul n care probabilitile sunt estimate prin frecvene absolute, atunci funcia de repartiie se obine cumulnd valorile frecvenelor relative pentru toate valorile xi < x.Din tabelul cu dimensiunile msurate ale diametrelor axelor, vom avea urmtoarele funcii de repartiie:

....Funcia de repartiie este n acest caz o funcie n scar, deoarece ia valori constante pe intervalele [xi-1, xi].

*1.3.4. Densitatea de repartiie (de probabilitate)

Variabila X are o densitate de repartiie (sau de probabilitate), dac exist o funcie f : R [0, ), astfel nct: (1.3.4)unde:F(x) este funcia de repartiie a variabilei aleatoare X,f(t) se numete densitate de repartiie sau densitate de probabilitate, real pozitiv.Dac n formula de definiie a densitii de repartiie se face x i se ine cont c F(+) = 1, atunci se obine: (1.3.5)Funcia continu f(t), definit f : R R, este o densitate de repartiie a unei variabile aleatoare X, dac ndeplinete condiiile:f(x) 0, pentru orice

1.3.5. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatorii

Repartiia unei variabile aleatorii X ne arat ce valori x1, x2,,xn poate lua o variabil aleatorie i cu ce probabilitate p1, p2,,pn.Avem, pi 0 i

*n practic, este suficient s cunoatem numai anumite valori caracteristice, cum ar fi, de exemplu, numrul mediu de maini unelte (strunguri, maini de frezat), care efectueaz anumite lucrri sau timpul mediu de funcionare al unei maini.

1. Valoarea medie a unei variabile aleatorii sau momentul de ordinul 1, care se mai noteaz m1, este una dintre valorile tipice cele mai frecvent folosite.Valoarea medie a unei variabile aleatorii X este urmtoarea:

adic este suma produselor valorilor variabilei cu probabilitile lor.Ilustrarea calculului valorilor mediiFie variabila aleatorie X dat de tabelul urmtor de repartiie a mainilor unelte, care efectueaz anumite lucrari,

unde: xi = 1, x2 = 2, x3 = 3 i

Avem n acest cazNumrul mediu de maini unelte care funcioneaz este n acest caz egal cu 2,1.

2. Momentul de ordinul al doilea al unei variabile aleatoare X este dat de expresia:sau

n cazul unei variabile continue.

*n cazul analizat, cu variabila aleatorie (X) dat devom avea momentul de ordinul al doilea:

1.3.6. Elemente de teoria eantionrii, estimaiei i verificrii ipotezelor statistice

Observaia asupra unui anumit obiect (fenomen, proces sau caracteristic) nseamn:fie efectuarea unor experimente speciale asupra obiectului de studiat,fie urmrirea sa direct n desfurarea sa natural.De regul, rezultatele acestor experiene speciale sau uzuale, se materializeaz ntr-o informaie de msurare primar, constituit din valori de msurare (date numerice).Mulimea datelor numerice obinute n urma unor operaii de msurare poart numele de eantion asupra populaiei respective. Pe baza acestei mulimi constituite se evalueaz indicatorii statistici ai eantionului, care sunt aproximri ale indicatorilor teoretici.Dac notm valorile obinute prin msurare sau orice alt procedeu asupra unei caracteristici simbolizate de variabila aleatoare X, prin x1, x2,...,xn,valorile tipice ale principalilor indicatori au expresiile:

*media:

dispersia: sau

abaterea standard:

mediana:

unde x(1) x(2) ... x(n) este o secven ordonat a valorilor eantionului,

amplitudinea:

De fapt, eantionul este un fel de populaie miniatural. Aceasta nseamn n primul rnd c extragerea din populaia {X}, modelat de Fx(x ; ), a valorilor {xi}1 i n s fie aleatoare (ntmpltoare).Numrul n, care arat cte valori efective conine eantionul avut la dispoziie, se numete volumul eantionului.Este evident faptul c dac se dispune de un volum mare al eantionului, concluziile finale vor fi mai apropiate de situaia real.

*n practic, se realizeaz dou tipuri de experimente:experimente cenzurate, n cadrul crora se supun testrii n elemente, experimentul considerndu-se ncheiat dup observarea doar a r (r < n) elemente; n cazul acestui tip de experiment, elementele aleatoare sunt durata experimentului i valorile observate,experimente trunchiate, n cadrul crora se supun testrii n elemente, experimentul considerndu-se ncheiat la consumarea unui timp dinainte fixat T. n cazul acestui tip de experiment, elementele aleatoare sunt numrul elementelor czute i valorile msurate ale caracteristicii investigate.1.3.7. Legi clasice de distribuien teoria fiabilitii se opereaz cu legi clasice de distribuie, printre cele mai des folosite fiind: distribuia Poisson, distribuia exponenial, distribuia Weibull, distribuia normal.1.3.7.1. Distribuia PoissonSe spune c variabila aleatoare discret X are distribuie Poisson de parametru > 0, dac poate lua orice valoare cu probabilitatea:(1.3.6)ExempluFie variabila aleatoare discret X, care reprezint cderile unei instalaii ntr-o perioad de un an. Se face presupunerea c variabila X are o distribuie dup legea Poisson cu = 2 cderi pe an.

*Probabilitatea de a se produce nu mai mult de o cdere a instalaiei ntr-o perioad de un an de zile este:

(1.3.7)1.3.7.2. Distribuia exponenialDistribuia (repartiia) exponenial a unei variabile aleatoare X, de parametru , are densitatea sa de repartiie, dat de formula:(1.3.8)

n fig. 1.3.4. (a, b, c) este reprezentat grafic distribuia exponenial.

Fig. 1.3.4. (a) Funcia de fiabilitate exponenial

*Fig. 1.3.4. (b) Distribuia exponenial a funciei de fiabilitateFig. 1.3.4. (c) Densitatea de probabilitate

*1.3.7.3. Distribuia WeibullDistribuia (repartiia) Weibull a unei variabile aleatoare X, notat , de parametri , , , are formula densitii de distribuie (repartiie): (1.3.9)

n general = 0, i > 0, > 0.Parametrii au urmtoarea semnificaie: este un parametru de timp, este un parametru de form, este un parametru de scar a timpului, denumit i durata de via caracteristic.Depinznd de trei parametri, legea Weibull este mai general dect legea exponenial i poate cuprinde un numr mai mare de cazuri concrete. Legea Weibull este adecvat unei clase largi de fenomene, de la cel al ruperii materialelor metalice, fiabilitate i durabilitate i pn la cel al polurii atmosferei.

1.3.7.4. Distribuia normal (Gauss Laplace)Variabila aleatoare de tip continuu X are o distribuie normal sau urmeaz o lege de repartiie normal, de parametri i , notat pe scurt N (t; , ), dat de formula:

(1.3.10)

*Graficul funciei f (t; , ) are forma unui clopot (clopotul lui Gauss), care este simetric fa de dreapta t = i are punctele de inflexiune , i (Fig. 1.3.5).

Fig. 1.3.5. Graficul densitii repartiiei normale N (, )

O variabil aleatoare X, care urmeaz distribuia normal N (t ; , ), are valoarea medie i dispersia date de formulele:(1.3.11)

Abaterea standard este Dac m = = 0 i = 1, se spune c variabila aleatoare X are repartiia normal standard (sau redus), notat N (t ; 0, 1). n acest caz, densitatea de repartiie este dat de formula:(1.3.12)

*Graficul curbei densitii normale standard, numit i clopotul lui Gauss, are urmtoarele proprieti (Fig. 1.3.6):este simetric fa de axa Oy,

are valoarea maxim , care se obine pentru cazul cnd t = 0,

curba are form concav pe intervalul ( 1, +1) i convex n afara acestuia,aria cuprins ntre graficul curbei i axa Ox este egal cu 1.

Fig. 1.3.6. Graficul densitii repartiiei normale standard N (0, 1)

*O variabil aleatoare X, cu distribuie normal N (t; , ), are urmtoarele proprieti:68,26% din valorile lui X cad n intervalul (m , m + ),95,45% din valorile lui X cad n intervalul (m 2, m + 2),99,73%, adic practic aproape toate valorile lui X cad n intervalul (m 3, m + 3), centrat n jurul valorii medii m = . Aceast proprietate se numete regula celor ase sigma.

Repartiia normal rezult din aplicarea principiilor probabilistice unei populaii statistice infinite.Rezistena mecanic a unui oel poate fi considerat distribuit normal orict de numeroi sunt factorii care o afecteaz i oricare ar fi distribuia acestora.n general, aria care se afl sub curba densitii de probabilitate este o msur pentru probabilitatea de defectare.Repartiia normal reflect comportarea multor elemente componente sau instalaii, supuse fenomenelor de uzare, repartiia valorilor unor caracteristici de rezisten ale materialelor folosite n fabricarea instalaiilor.

*