7/25/2019 CURS 2. Curgerea peste o sfera rigida - Calculul cimpului de viteze

1/4

CURS 2. Curgerea peste o sfera rigida - Calculul cimpului de viteze

Consideram curgerea unui fluid Newtonian peste o sfera rigida. Parametrul care

defineste regimul de curgere este numarul Reynolds (Re) definit prin:

dURe 0= .

In relatia de definire a numarului Reynolds, U0este vitea fluidului nepertur!ata de preenta

sferei, d este diametrul sferei, este viscoitatea dinamica a fluidului iar este densitatea

fluidului. "unctie de valoarea numaruluiRe, regimul de curgere peste o sfera rigida este:

(i) laminar, stationar si a#isimetric dacaRe$ %00&

(ii) laminar, stationar si tri'dimensional daca %0 $Re$ %0&

(iii) laminar si tranitoriu daca *00 $Re+ 000&

(iv) regim Newton dacaRe 000.

Comparativ cu alte cauri de curgere (curgerea prin conducte, de e#emplu), in caul

curgerii peste o sfera rigida, tranitia laminar - tur!ulent si regimul de curgere tur!ulenta nu

sunt definite cu aceiasi preciie.

Curgerea peste o sfera rigida are solutie analitica doar pentru caul laminar, stationar,

a#isimetric, incompresi!il la numereRe++ (curgere to/es). odelul matematic al curgerii

laminare, stationare, a#isimetrice, incompresi!ile a unui fluid Newtonian cu vitea

superficiala U0peste o sp1ere rigida de raa a 2 d3 %, este format din (modelul este preentat

in forma adimensionala - raa sferei a este lungimea caracteristica iar U0 este vitea

caracteristica):

' ecuatia de continuitate0= V ()

' ecuatia de !ilant de moment

VPVVRe %

%+= (%)

In relatiile () si (%) Veste vectorul viteelor adimensionale, V2 (VR, V), iarPeste presiunea

dinamica adimensionala. 4rmatoarele ipotee suplimentare:

' volumul si forma sferei sunt constante&

' efectele tensiunii superficiale sunt negli5a!ile&

7/25/2019 CURS 2. Curgerea peste o sfera rigida - Calculul cimpului de viteze

2/4

' proprietatile fiice ale sferei si fluidului sunt uniforme, isotrope si constante&

' nu apar sc1im!ari de faa,

au fost considerate adevarate in scrierea ecuatiilor modelului matematic.

6efinim functia de curent, , prin relatiile,

rsinr

V,sinr

VR

=

=

((

% . (*)

7ste evident faptul ca functia de curent verifica ecuatia de continuitate (). In caul curgerii

a#isimetrice, vectorul vorticitate

V=

are un singur component nenul,

r

VV

rr

V R

+

= ( . (8)

7liminind VRand Vdin (*) si (8), se o!tine ecuatia pentru functia de curent (in sistemul de

coordinate sferice (r, )),

( ) sinrE =% (9)

In relatia (9), operatorul to/esE%, in sistemul de coordinate sferice (r, ), are e#presia

+

=

sinr

sin

rE

(

%%

%%

.

"olosind relatiile

( ) ( )VVV,VVV

VV == %%

%,

ecuatia de !ilant de moment (%) se rescrie,

=

PV

VRe

%%

%

()

;plicind operatorul rotor ecuatiei () si tinind cont ca,

,

V

,P 0

%0

%

==

reulta, in sistemul de coordinate sferice (r, ),

( ) ( )

+

+

+

=

+

+

%%

%

%%

%(%(

% sinctg

rrrrr

VV

rV

r

Re RR

()

In caul curgerii to/es, mem!rul sting al ecuatiei () este negli5a!il. In aceste conditii, relatia

() devine

%

7/25/2019 CURS 2. Curgerea peste o sfera rigida - Calculul cimpului de viteze

3/4

0(%

%%

%

%%

%

=

+

+

+

sinctg

rrrr ( ?, curgerea este nepertur!ata de preenta sferei&

%%%

(sinr= . (%)

Relatia (%) sugereaa e#istenta unei solutii de forma:

( ) %sinrf= . (*)

Inlocuind e#presia functiei de curent (*) in relatia (0), reulta

.f

rrd

d

rrd

d0

%%

%%

%

%%

%

=

. (8)

olutia ecuatiei (8) este de forma

( ) .rCrf n= (9)

Inlocuind (9) in (8) o!tinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 08(%*%%*%( 8888 =+ nnnn rCrnnCrnnCrnnnnC

()

olutiile ecuatiei () sunt: n2 ', , %, 8. 7#presia reultata pentru functiafeste:

( ) .rCrCrCr

Crf

8

8

%

*%

( +++= ()

Conditia la limita (%) implica:

.C,C 0%

(8*

== (

7/25/2019 CURS 2. Curgerea peste o sfera rigida - Calculul cimpului de viteze

4/4

0%

(

%(( =+=

= CCf r (=a)

0(%(

(

=+=

=

CCrd

fd

r

(=!)

olutia sistemului (=) este:

.C;C8

*

8

(

%( == (%0)

7#presia o!tinuta pentru functia de current este:

( ) .sinrrr

,r %%%

(

8

*

8

(

+= (%)

Componentele vectorului vitea se calculeaa conform relatiei (*). 7#presiile reultate sunt:

( ) ,cosrr,rVR

+= *%(

%

*(

(%%a)

( ) .sinrr

,rV

=

*8

(

8

*( (%%!)

Bibliografie

@.;. Ao1nson, B.C. Patel, "low past a sp1ere up to a Reynolds num!er of *00, A. "luid ec1.

*