Culese de eleva NadiaCulese de eleva Nadia si asi aşşternute de Bternute de Bîtculescu Andrei...îtculescu Andrei...

Clasa a XIII-a A Clasa a XIII-a A ruta progresivaruta progresiva

• Indianul Brahmagupta din Ujain (598 - 660) a scris o lucrare care contine remarcabile cercetari asupra ecuatiilor diofantice.• Indienii folosesc regula lui 9 (daca numerele naturale se aduna, se scad, se înmultesc sau se împart fara rest, rezultatul este congruent modulo 9 cu numarul obtinut prin adunarea, scaderea, înmultirea sau împartirea resturilor împartirii la 9 a numerelor date) pentru verificarea corectitudinii operatiilor aritmetice.• În anul 1100 d. Hr. Jia Xien stabileste o metoda de constructie a triunghiului de numere numit mai târziu triunghiul lui Pascal.

• În anul 1200 d. Hr. Leonardo Pisano cunoscut sub numele de Fibonacci scrie lucrarea "Liber abaci", considerata timp de doua secole cea mai competenta sursa de cunostinte în teoria numerelor. Sunt prezentate criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9.• Leonardo da Vinci (15.04.1452 - 2.05.1519) anticipeaza construirea ceasului cu pendul, al carui mecanism utilizeaza principii de divizibilitate.• În anul 1536 d. Hr. într-o lucrare de aritmetica a matematicianului Regius apare al cincilea numar perfect cunoscut: 33 350 336.

În anul 1575 d. Hr. într-o lucrare de aritmetica este inclus primul rezultat cunoscut obtinut prin inductie matematica: suma primelor numere impare este egala cu n la puterea 2.• În anul 1603 d. Hr. sunt gasite al saselea si al saptelea numar perfect. • În anul 1621 d. Hr. aparitia în editie bilingva greaca – latina a "Aritmeticii lui Difante",reînvie studiul teoriei numerelor.• În anul 1623 d. Hr. Wilhelm Schickardt construieste prima masina de calculat capabila sa faca adunari si scaderi, iar ajutata de operator - înmultiri si împartiri. Visul matematicienilor de a putea utiliza o masina pentru efectuarea calculelor se apropie de realitate.• În anul 1635 d. Hr. Rene Descartes (31.05.1596 - 11.02.1650) descopera teorema, numita de urmasi a lui Euler, conform careia între numarul vârfurilor, muchiilor si fetelor unui poliedru convex trebuie sa existe relatia: V - M + F = 2, unde V = numarul vârfurilor M = numarul muchiilor F = numarul fetelor.

Aceasta relatie leaga proprietatile unui corp de o relatie numerica.

• În anul 1640 d. Hr. Fermat formuleaza "mica teorema" a numerelor: "Daca p este un numar prim, atunci orice numar intreg a numarul a p - a se divide cu p".

• În anul 1642 d. Hr. pe o manseta a unei lucrari de Diofante (325 - 409), Fermat afirma ca: "Pentru toti intregii n mai mari decât 2, nu putem gasi trei intregi x, y, z astfel incat xn+ yn = zn". Continua Fermat: "Am descoperit o demonstratie remarcabila a acestei propozitii, dar nu-mi ajunge o singura pagina". Astfel s-a nascut cojectura care avea sa framante cele mai stralucite mintii ale matematicii, timp de mai multe secole.

• În anul 1656 d. Hr. studiile lui Hugens asupra cicloidei duc la crearea unui ceas precis si a unui cronometru.

• Apare lucrarea lui Blaise Pascal (19.06.1623 - 19.08.1662) "Tratat despre triunghiul aritmetic" urmare a careia triunghiul cu proprietatile cunoscute de multi înaintasi va purta numele lui Pascal.

• Isaac Newton (25.12.1643 - 31.11.1727) descopera teorema generala a dezvoltarii binomului.

• În anul 1671 d. Hr. Wilhelm Gottfried Leibnitz (1.071696 - 14.11.1716) concepe o masina de calcul care poate efectua operatii de înmultire si împartire.• În anul 1676 d. Hr. este data o solutie la marea teorema al lui Fermat, pentru n=4.

1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 = 98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 98765123456 x 8 + 6 = 9876541234567 x 8 + 7 = 987654312345678 x 8 + 8 = 98765432123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 +10 = 1111111111

1 x 1 = 11 x 1 = 1 11 x 11 = 12111 x 11 = 121 111 x 111 = 12321111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 12343211111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 12345432111111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 12345676543211111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 12345678765432111111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 111111111 x 111111111 =

1234567898765432112345678987654321

Primul “calculator” apare în 1623 si este realizat de Wilhelm Schickard?

Masina este denumita Speeding Clock si putea face singura adunari si scaderi dar numai cu numere compuse din maxim 6 cifre.

Prima masina de calcul care poate realiza operatii de împartire si înmultire apare în 1671 si este realizata de Wilhelm Gottfried Leibnitz?

Calculatorul electronic apare în 1946? Acesta a fost folosit înca de la început pentru calcularea numerelor prime.

Pentru n > 5, între numerele naturale n si 2n avem cel putin doua numere prime?

“Sinus” si “cosinus” au fost introdusi în limba româna în 1820 de catre matematicianul Gheorghe Lazar?

În plan, dintre toate figurile geometrice cu acelasi perimetru, cercul are aria cea mai mare?

O placinta se poate taia în 8 bucati din 3 miscari?

Pentru a dovedi faptul ca zecimalele lui PI nu se repeta reprezinta un progres pentru teoria numerelor. Ar putea ajuta si la construirea unor coduri imposibil de descifrat bazate pe secvente de cifre aleatorii. Valoarea lui PI este cunoscuta pâna la a 10^12-a zecimala si nu s-a gasit nici un tipar. Este posibil ca acesta sa nu poata fi gasit niciodata.

PI reprezinta raportul dintre circumferinta unui cerc si diametrul acestuia. De mii de ani i-a fascinat pe greci, unii dintre ei chiar intemeind o religie pe baza numarului. Valoarea lui este de multe ori aproximata la 3.14159 însa numarul de zecimale poate fi calculat pâna la sfarsitul timpului caci nu se vor termina niciodata. În programare, cu cât se foloseste o valoare mai exacta a lui PI, cu atât cercul obtinut va fi mai "fin", mai curbat. Grafic vorbind, nu exista un cerc perfect. Cu cât ne apropiem mai mult de un arc aleator al cercului, cu atât vom observa mici imperfectiuni.Revenind, toate numerele cu acelasi numar de cifre sunt repartizate egal în interiorul lui. Tinând cont de acest lucru, am putea spune despre PI ca se comporta normal (si nu haotic). Pe aceleasi considerente am putea considera si radical din doi, si numarul e ca fiind normale. În ciuda respectarii regulii enuntate mai sus, înca nu s-a demonstrat cum ca aceste numere s-ar comporta normal.

FractaliUn fractal este o forma geometrica fragmentata cu proprietatea ca orice parte a acestuia reprezinta o copie mai mica a întregului. Termenul a fost adoptat de catre Benoit Mandelbrot (lat. fractus)

Caracteristici:• nu poate fi descris în geometria Euclidiana• este definit recursiv• desi principiul de constructie e simplu, are o structura foarte complexa.

Putina istorie (Thales din Milet)Thales din Milet (c. 635 i.Hr. - c. 543 i.Hr.) a fost un filozof grec presocratic care a contribuit la dezvoltarea matematicii, astronomiei, filozofiei. Este considerat parintele stiintelor.

Contributii în domeniul matematicii:

În domeniu matematicii, Thales a adus geometria în Grecia, familiarizându-se cu ea în timpul calatoriilor sale în Egipt si dezvoltand-o ulterior. Teoremele geometrice elaborate de el au constituit temelia matematicii grecesti. Thales a demonstrat ca:1. un cerc este împartit în doua parti egale de diametru2. unghiurile bazei unui triunghi isoscel sunt egale3. unghiurile opuse la vâf sunt egale4. un triunghi este determinat daca sunt date o latura si unghiurile adiacente ei. 5. unghiul înscris într-un semicerc este unghi drept.Teorema patru este asociata cu realizarea practica a masurarii distantei dintre vasele de pe mare. Hieronymus din Rhodos ne povesteste cum a masurat Thales piramidele din Egipt folosind umbrele (a determinat momentul zilei în care umbra noastra.este egala cu înaltimea). Diogenius Laertius, în cartea "Vietile si opiniile marilor filozofi" ne spune ca "Thales a fost primul care a determinat cursa soarelui de la un solstitiu la celalalt si a declarat ca marimea soarelui ar fi a 720-a parte din cercul solar, si marimea lunii ar fi aceeasi fractie din cercul lunar. Se spune ca el a descoperit cele patru anotimpuri ale anului si l-a împartit în 365 de zile".

Perceptia în epoca

Era nominalizat în toate listele traditionale ale celor "Sapte Întelepti", inclusiv în cea a lui Platon. Avea o reputatie de priceput om politic iar istoria relatata de Herodot despre deturnarea cursului râului Halys atesta reputatia si capacitatea sa de inginer. Thales si-a pus întrebari despre natura universului si a dat raspunsuri care nu au luat în considerarezeii si demonii. Renuntarea la mitologie a fost un pas crucial în gândirea stiintifica si a condus la o explozie intelectuala care a durat sute de ani. Se pare ca este primul care a rupt traditia gândirii dependente de supranatural, trecând la real. Thales a fost fondatorulfilosofiei grecesti si a Scolii Milesiene a cosmologistilor. A fost contemporan cu Solon si Cresus. Pentru ca nu cauta întotdeauna raspunsuri la probleme practice, Thales era vazut de unii oameni ca un om întelept dar imprudent: o scriere a lui Platon (Theaitetos) ni-l prezinta cazând într-o fântâna pentru ca era prea ocupat sa studieze stelele. Totusi, aceastaaparent imprudenta observare a stelelor a condus la aplicatii practice în navigatie: el a studiat miscarea stelelor din Carul Mic dupa care navigau fenicienii, dupa cum relateaza Callimachos în Pfeiffer. În plus, el a demonstrat caracterul practic al filozofiei sale când si-a folosit cunostintele ca sa prezica o recolta bogata de masline si sa puna monopol pepresele de ulei de masline (cf. Aristotel, Politica). Thales a calatorit foarte mult fiind implicat si în comert. În timpul calatoriilor sale, a adunat o multime de cunostinte pe care le-a dat lumii grecesti. De exemplu, Herodot povesteste cum a prezis eclipsa de soare din 584 i.Hr. folosind cercetarile si cunostintele dobândite de la preotii babilonieni.

Thales a fost unul dintre cei mai importanti oameni ai timpului sau, atât ca filozof si om de stiinta cât si ca om de stat si legiuitor prin maximele si zicerile sale. Ca drept dovada a acestui lucru sta marturie Plutarch care povesteste ca niste pescari au gasit un tripod care ar fi apartinut Elenei din Troia. Mergând la templul din Delphi,preoteasa pythiana a lui Apollo le-a spus pescarilor sa dea tripodul celui mai întelept om. Acestia i-au dat tripodul lui Thales. Avea orgolii temperate ironic. Se zice ca obisnuia sa spuna ca multumeste soartei pentru trei binefaceri: "Mult, pentru ca m-am nascut om, si nu animal, apoi, pentru ca-s barbat, si nu femeie, si al treilea, pentru ca sunt grec, si nu barbar".