Curba lui KochCurba lui Koch

Echipa: Georgiu Andrei Echipa: Georgiu Andrei

Miklos Razvan Miklos Razvan

Malinas Andreea Malinas Andreea

..

Initiatorul este o dreapta. Concret, in acest caz legea

de transformare impune ca dreapta sa fie divizata in trei parti egale, sa fie inlaturata partea centrala si in locul ei sa se puna un triunghi echilateral fara baza.  

La fiecare iteratie se considera fiecare dreapta independenta si se aplica asupra ei legea de transformare.  

  

    In acest caz, cele 4 segmente devin, In acest caz, cele 4 segmente devin, fiecare in parte, un "nou" initiator, suportul a fiecare in parte, un "nou" initiator, suportul a 4 "imagini" micsorate si asezate dupa 4 "imagini" micsorate si asezate dupa aceeasi regula. Si asa mai departe... Sa nu aceeasi regula. Si asa mai departe... Sa nu uitam ca mintea noastra trebuie sa preia uitam ca mintea noastra trebuie sa preia esenta procesului si sa o continue la infinit, esenta procesului si sa o continue la infinit, caci doar dupa infinit de multi pasi se obtine caci doar dupa infinit de multi pasi se obtine ceea ce se numeste Fractalul lui Koch.   ceea ce se numeste Fractalul lui Koch.  

  Aceasta curba este de lungime infinita si are o dimensiune proprie intre 1 si 2. Este un

obiect "ciudat" pentru gandirea unui om neobisnuit sa lucreze in abstract. Este o curba continua,

nederivabila in nici un punct, care depaseste "natura" unei

linii, dar nu atinge calitatea de a fi suprafata. Dimensiunea

proprie, caracteristica curbei Koch este: 

  Df = Ln(4) / Ln(3) = 1.26185......

O explicatie mai concreta consta in faptul ca pentru O explicatie mai concreta consta in faptul ca pentru construirea acestei curbe, se incepe prin desenarea unei construirea acestei curbe, se incepe prin desenarea unei linii drepte(segmentul albastru din figura de mai jos). Apoi, linii drepte(segmentul albastru din figura de mai jos). Apoi, se imparte acest segment in trei parti egale  si segmentul se imparte acest segment in trei parti egale  si segmentul din mijloc se inlocuieste cu cele doua laturi ale unui triunghi din mijloc se inlocuieste cu cele doua laturi ale unui triunghi echilateral de aceleasi lungimi ca si lungimea segmentului echilateral de aceleasi lungimi ca si lungimea segmentului care se indeparteaza ( cele 2 segmente rosii din mijlocul care se indeparteaza ( cele 2 segmente rosii din mijlocul figurii). Acum se repeta, luand fiecare din cele 4 segmente figurii). Acum se repeta, luand fiecare din cele 4 segmente rezultate, impartindu-le in 3 parti egale si inlocuind fiecare rezultate, impartindu-le in 3 parti egale si inlocuind fiecare din segmentele din mijloc in 2 laturi ale unui triunghi din segmentele din mijloc in 2 laturi ale unui triunghi echilateral (segmentele  rosii din partea de jos a echilateral (segmentele  rosii din partea de jos a figurii).Apoi, se continua recursiv procedeul. figurii).Apoi, se continua recursiv procedeul.

Se obtineSe obtine

             

Prima iteratie pentru curba lui Koch consta Prima iteratie pentru curba lui Koch consta in faptul ca se iau 4 copii ale segmentului de in faptul ca se iau 4 copii ale segmentului de dreapta original, fiecare inmultit cu r =1/3. dreapta original, fiecare inmultit cu r =1/3. Doua segmente trebuie rotate cu 60°, unul Doua segmente trebuie rotate cu 60°, unul in sensul arcelor de ceasornic si unul invers. in sensul arcelor de ceasornic si unul invers.

Trei copii ale curbei koch puse impreuna in jurul laturilor unui triunghi Trei copii ale curbei koch puse impreuna in jurul laturilor unui triunghi echilateral formeaza o curba simpla inchisa, care constituie Flaconul lui echilateral formeaza o curba simpla inchisa, care constituie Flaconul lui Koch( "fulgul de zapada" al lui Koch)sau insula lui Koch(Koch Snowflake Koch( "fulgul de zapada" al lui Koch)sau insula lui Koch(Koch Snowflake

sau Koch Island).sau Koch Island). Un desen reprezentativUn desen reprezentativ

PerimetrePerimetre

perimetrul = 3 perimetrul = 4 perimetrul = 5.33 perimetrul = 7.11

Şi, continuând, perimetrul = infinit, pentru această figură geometrică inclusă într-o mulţime cu aria finită.

Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924) a construit Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924) a construit aceasta curba in 1904 ca si un exemplu de curba aceasta curba in 1904 ca si un exemplu de curba nediferentiabila, care este o curba continua care nu are nediferentiabila, care este o curba continua care nu are tangente in nici un punct al sau. Karl Weierstrass a tangente in nici un punct al sau. Karl Weierstrass a demonstrat primul existenta unei astfel de curbe in 1872. demonstrat primul existenta unei astfel de curbe in 1872. Lungimea curbei intermediare la iteratia a n-a a constructiei Lungimea curbei intermediare la iteratia a n-a a constructiei este (4/3)^n, unde n=0 denota lungimea originala a este (4/3)^n, unde n=0 denota lungimea originala a segmentului de dreapta. Totusi, lungimea curbei Koch este segmentului de dreapta. Totusi, lungimea curbei Koch este infinita. Mai mult, lungimea curbei intre oricare 2 puncte ale infinita. Mai mult, lungimea curbei intre oricare 2 puncte ale curbei este de asemenea infinita, existand o copie a curbei curbei este de asemenea infinita, existand o copie a curbei koch intre oricare 2 puncte ale sale. koch intre oricare 2 puncte ale sale.