1 5. Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

Capitolul

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE

CURS 10 - 11 04.05.2020 + 11.05.2020

1. Definiţii

În calculele de rezistenţă ale pieselor - organe de maşini, sau ale elementelor

de structură sunt necesare determinarea unor caracteristici geometrice ale

suprafeţelor plane – practic secţiunea barei.

Fig. 1 Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

● Aria secţiunii: se calculează pe baza relaţiilor din geometria plană,

dimensional L2, [mm

2, cm

2];

● Momentul static în raport cu o axă este suma produselor dintre elementul

de arie: dA şi distanţa până la axa respectivă, calculat pe întreaga arie a secţiunii,

dimensional L3, [mm

3, cm

3], conform relaţiilor (vz.fig.1):

- momentul static în raport cu axa: OY:

A

y dAzS ;

- momentul static în raport cu axa: OZ:

A

z dAyS .

Momentul static permite determinarea coordonatelor centrului de greutate al

secţiunii, conform relaţiilor (vz.fig.1):

2 Rezistenţa materialelor I – Note de curs 10-11

A

Sy z

G ; A

Sz

yG .

Observaţii:

Momentul static în raport cu o axa care trece prin centrul de greutate este nul.

Sistemul de axe de coordonate care are originea în centrul de greutate al

secţiunii se numeşte sistem de axe central.

În cazul unor secţiuni cu formă complexă, acestea se descompun în arii

geometrice simple: Ai, având faţă de sistemul de axe considerat, coordonatele

centrului de greutate: (YGi, ZGi), ceea ce permite calculul momentelor statice ale

secţiunii complexe:

iGiy AzS ; iGiz AyS ;

respectiv coordonatele centrului de greutate ale secţiunii complexe:

i

iGizG

A

Ay

A

Sy ;

i

iGiy

GA

Az

A

Sz .

2. Momente de inerţie

● Momentul de inerţie axial (în raport cu o axă) este suma produselor dintre

elementul de arie: dA şi pătratul distanţei până la axa respectivă, calculat pe întreaga

arie a secţiunii, dimensional L4, [mm

4, cm

4], conform relaţiilor (vz. fig. 1):

- momentul de inerţie în raport cu axa: OY:

A

2y dAzI ;

- momentul de inerţie în raport cu axa: OZ:

A

2z dAyI .

Observaţie:

Momentul de inerţie axial este întotdeauna pozitiv.

● Momentul de inerţie centrifugal este suma produselor dintre elementul de

arie: dA şi distanţele la cele două axe, calculat pe întreaga arie a secţiunii,

dimensional L4, [mm

4, cm

4], conform relaţiilor (vz. fig. 1):

A

y z dAyzI .

Observaţii:

Momentul de inerţie centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau nul.

3 5. Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

În cazul unei secţiuni care are o axă de simetrie, momentul de inerţie

centrifugal este nul.

Fie secţiunea din fig. 2, care are axa de simetrie – axa: OZ. Corespunzător

elementului de arie: dA situat în cadranul I, este un element de arie simetric amplasat

în cadranul II, în consecinţă: 0dAz)y(dAzy → integrala este nulă, deci şi

momentul de inerţie centrifugal este nul.

Fig. 2 Momentul de inerţie centrifugal pentru secţiuni simetrice

● Momentul de inerţie polar (în raport cu un pol) este suma produselor

dintre elementul de arie: dA şi pătratul distanţei până la polul respectiv, calculat pe

întreaga arie a secţiunii, dimensional L4, [mm

4, cm

4], conform relaţiilor (vz. fig. 1):

A

2P dArI ;

pe baza teoremei lui Pitagora:

yz

A

2

A

2

A

22

A

2P IIdAzdAydA)zy(dArI .

Observaţie:

Momentul de inerţie polar este întotdeauna pozitiv.

Momentul de inerţie polar are aceeaşi valoare indiferent de orientarea

sistemului de axe.

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie axiale

calculate în raport cu un sistem de axe normale care are originea în polul respectiv.

Suma momentelor de inerţie axiale este un invariant (constantă) în raport cu

rotirea sistemului de axe.

4 Rezistenţa materialelor I – Note de curs 10-11

● Raza de inerţie (în raport cu o axă) este mărimea convenţional definită ca

radical din raportul dintre momentul de inerţie axial şi aria secţiunii, dimensional L,

[mm, cm], conform relaţiilor:

- raza de inerţie în raport cu axa: OY: A

Ii

yy ;

- raza de inerţie în raport cu axa: OZ: A

Ii zz .

Ca sens fizic, raza de inerţie este distanţa faţă de axă a unui punct, în care

dacă ar fi concentrată întreaga arie a secţiunii, se obţine acelaşi moment de inerţie în

raport cu axa respectivă.

3. Variaţia momentelor de inerţie

3.1. Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele –Teorema lui Steiner

Fie secţiunea oarecare din fig. 3, având aria: A, care în raport cu sistemul de

axe: YOZ, are următoarele momente de inerţie:

Fig. 3 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

- momentul de inerţie în raport cu axa: OY:

A

2y dAzI ;

- momentul de inerţie în raport cu axa: OZ:

A

2z dAyI ;

- momentul de inerţie centrifugal:

A

y z dAyzI .

5 5. Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

Se consideră sistemul de axe: Y1O1Z1, având axele paralele cu sistemul de

referinţă.

Se pune problema determinării momentelor de inerţie în raport cu noul sistem

de axe de coordonate:

● momentul de inerţie în raport cu axa: O1Y1:

Corespunzător axei: O1Y1, coordonata elementului de arie este: azz1 ;

Momentul de inerţie în raport cu axa: O1Y1, este:

A

2

AA

2

A

22

A

2

A

21y dAadAza2dAzdA)aaz2z(dA)az(dAzI

1

AaSa2II 2yyy1

. (1)

● momentul de inerţie în raport cu axa: O1Z1:

Corespunzător axei: O1Z1, coordonata elementului de arie este: byy1 ;

Momentul de inerţie în raport cu axa: O1Z1, este:

A

2

AA

2

A

22

A

2

A

21z dAbdAyb2dAydA)bby2y(dA)by(dAyI

1

AbSb2II 2zzz1

. (2)

● momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe: Y1O1Z1:

Corespunzător sistemului: Y1O1Z1, coordonata elementului de arie sunt: byy1 ,

azz1 .

Momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe: Y1O1Z1, este:

AAA

11zy dA)bayabzyz(dA)by()az(dAyzI11

AA AA

dAbadAyadAzbdAyz

AbaSaSbII zyyzzy 11 . (3)

Dacă sistemul de referinţă este un sistem de axe central (are originea în

centrul de greutate), momentele statice sunt nule şi în consecinţă momentele de

inerţie devin:

6 Rezistenţa materialelor I – Note de curs 10-11

AaII 2y Gy1

; (4)

AbII 2zGz1

; (5)

AbaII y zzy 11 . (6)

Pe baza acestor relaţii se poate enunţa Teorema lui Steiner:

Momentul de inerţie axial în raport cu o axă oarecare este egal cu suma dintre

momentul de inerţie în raport cu o axă paralelă care trece prin centrul de greutate şi

produsul dintre aria secţiunii şi pătratul distanţei dintre cele două axe.

Observaţie:

Momentul de inerţie axial în raport cu o axă care trece prin centrul de greutate

se numeşte moment de inerţie axial central.

3.2. Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe concurente

Fie secţiunea oarecare din fig. 4, având aria: A, care în raport cu sistemul de

axe: YOZ, are următoarele momente de inerţie:

A

2y dAzI ;

A

2z dAyI ;

A

y z dAyzI .

Fig. 4 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe concurente

7 5. Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

Se consideră sistemul de axe: Y1OZ1, având axele rotite cu unghiul: faţă de

sistemul de referinţă. În consecinţă, coordonatele elementului de arie în raport cu

sistemul de axe: Y1OZ1 sunt:

● abscisa în raport cu axa: OY1:

sinzcosyEFOCCBOCOBy1 ;

● ordonata în raport cu axa: OZ1:

sinycoszCGFGFCz1 .

Se pune problema determinării momentelor de inerţie în raport cu noul sistem

de axe de coordonate:

● momentul de inerţie în raport cu axa: OY1:

A

2222

A

2

A

21y dA)sinycossinyz2cosz(dA)sinycosz(dAzI

1

A A

22

A

22 dAysindAyzcossin2dAzcos

2sinIsinIcosII y z2

z2

yy1 . (7)

● momentul de inerţie în raport cu axa: OZ1:

A

2222

A

2

A

21z dA)sinzcossinyz2cosy(dA)sinzcosy(dAyI

1

A A

22

A

22 dAzsindAyzcossin2dAycos

2sinIsinIcosII y z2

y2

zz1 . (8)

● momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe: Y1OZ1:

AA

11zy dA)sinzcosy()sinycosz(dAyzI11

A

2222 dA)sinyzcossinycossinzcosyz(

A A

2

A

22

A

2 dAyzsindAycossindAzcossindAyzcos

8 Rezistenţa materialelor I – Note de curs 10-11

zy22

y zzy IcossinIcossin)sin(cosII11

2

2sin)II(2cosII zyy zzy 11

. (9)

Observaţie:

Pe baza relaţiilor (7) şi (8) se demonstrează că suma momentelor de inerţie

axiale este constantă în raport cu rotirea sistemului de axe.

Însumând rel. (7) şi (8), se obţine:

2sinIsinIcosI2sinIsinIcosIII y z2

y2

zy z2

z2

yzy 11

)cos(sinI)sin(cosIII 22z

22yzy 11

zyzy IIII11

.

3.3. Momente de inerţie principale, direcţii principale

La rotirea axelor de coordonate, pe baza relaţiilor (7), (8) şi (9), se observă că

mărimea momentelor de inerţie este funcţie de valoarea unghiului de rotire: .

Se pune problema determinării valoriilor unghiului de rotire: , pentru care

momentele de inerţie au valori extreme: maxim şi minim.

Pentru determinarea valorii unghiului: , pentru care momentul de inerţie: Iy1,

are un extrem, se va anula derivata momentului de inerţie (rel. 7):

2cos2Icossin2Isincos2Id

dIy zzy

y1

2cos2I2sinI2sinId

dIy zzy

y1

2cos2I2sin)II(d

dIy zzy

y1

zy

y zy zzy

y

II

I22tg2cos2I2sin)II(0

d

dI1

(10)

2II

I2arctg

2

1

II

I2arctg

2

1

nII

I2arctg2

II

I22tg

yz

y z2

yz

y z1

yz

y z

yz

y z

(11)

9 5. Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

Acelaşi rezultat se obţine şi prin anularea derivatei momentului de inerţie: Iz1

(rel. 8).

Direcţiile pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme se numesc

direcţii principale, iar axele axe principale. În aplicaţii sunt importante momentele

de inerţie centrale principale care corespund axelor principale care au originea în

centrul de greutate al secţiunii.

Concluzii:

1. Pe baza rel. (11) se observă că axele principale sunt perpendiculare.

2. În raport cu axele principale de inerţie, momentele de inerţie axiale au

valori extreme: maxim sau minim.

3. Pe baza rel. (10) se observă că în raport cu axele principale momentul de

inerţie centrifugal este nul (dacă axa OY1 este axă principală → 1 = 0 →

Iyz = 0 ).

4. În cazul secţiunilor cu două axe de simetrie, acestea sunt şi axe principale.

5. În cazul secţiunilor cu o axă de simetrie, aceasta este şi axă principală, a

doua axă principală este axa perpendiculară în centrul de greutate.

4. Momentele de inerţie ale unor suprafeţe simple

În general, secţiunile pieselor sau a elementelor de structură sunt fie formate

din secţiuni simple, fie pot fi descompuse în figuri geometrice simple: dreptunghi,

pătrat, triunghi, secţiuni circulare.

● Dreptunghi

Fie dreptunghiul din fig. 5, şi sistemul de axe centrale principale: YOZ:

- momentul de inerţie în raport cu axa: OY:

12

hb

3

zbdzzbdzbzdAzI

32

h

2

h

32

h

2

h

2

A

2

A

2y

;

10 Rezistenţa materialelor I – Note de curs 10-11

Fig. 5 Calculul momentelor de inerţie - dreptunghi

- momentul de inerţie în raport cu axa: OZ:

12

bh

3

yhdyyhdyhydAyI

32

b

2

b

32

b

2

b

2

A

2

A

'2z

.

● Pătrat – este un caz particular al dreptunghiului având laturile egale: b=h=a,

în consecinţă datorită simetriei, momentele de inerţie axiale sunt egale:

12

aII

4

zy .

● Triunghi dreptunghic

Fie triunghiul dreptunghic din fig. 6.a, şi sistemul de axe: Y1O1Z1, respectiv

sistemul de axe central principale: YOZ:

11 5. Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

a - triunghi dreptunghic b – pe baza unui dreptunghi

Fig. 6 Calculul momentelor de inerţie – triunghi dreptunghic

- momentul de inerţie în raport cu axa: O1Y1:

h0

41

31

h

0

131

2111

h

0

21

A

11z21

A

211y )

4

z

3

zh(

h

bdz)zzh(

h

bdz)zh(

h

bzdzbzdAzI

12

hb

4

h

3

h

h

b 344

;

în care: bz1 rezultă din raportul de asemănare a triunghiurilor dreptunghice →

h

zh

b

b 11z ;

- momentul de inerţie în raport cu axa centrală: OY, se obţine pe baza teoremei

lui Steiner rel. (4), în care distanţa dintre axele paralele: OY şi O1Y1, este: 3

ha ,

centrul de greutate este la intersecţia medianelor, la: 3

2 de la vârf, respectiv, la:

3

1 de

la bază:

12 Rezistenţa materialelor I – Note de curs 10-11

36

hb

2

hb

3

h

12

hbAaII

3232

1yy G

.

- similar momentul de inerţie în raport cu axa: O1Z1: 12

bhI

3

1z

, respectiv în

raport cu axa centrală: OZ, este: 36

bhI

3

zG

.

O altă metodă se bazează pe faptul că un triunghi dreptunghic este jumătate

dintr-un dreptunghi, conform fig. 6.b.

Momentul de inerţie în raport cu axa: OY1 (axă centrală pentru dreptunghi),

este: 12

hbI

3

1y

respectiv, triunghiul dreptunghic are momentul de inerţie pe jumătate:

24

hbI

3

1y

.

- momentul de inerţie în raport cu axa centrală: OY, se obţine pe baza teoremei

lui Steiner, în care distanţa dintre axele paralele: OY şi O1Y1, este: 6

h

3

h

2

ha ,

rezultă:

36

hb

2

hb

6

h

24

hbAaII

3232

1yy G

;

similar se obţine momentul de inerţie în raport cu axa centrală: OZ:

36

bhI

3

zG

.

● Cerc

În cazul cercului, datorită simetriei, momentele de inerţie axiale sunt egale: Iy =

Iz. Pe de altă parte, ţinând cont de proprietăţile momentului de inerţie polar, se obţine:

2

IIII2IIII

pzyypzyp .

13 5. Caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane

a - secţiune circulară b - secţiune inelară

Fig. 7 Calculul momentelor de inerţie – secţiune circulară şi inelară

Calculul momentului de inerţie polar, conform fig. 7.a, se face în coordonate

polare:

64

DII

32

D

4

r2drr2drr2rdArI

4

zy

42

D

0

42

D

0

32

D

0

2

A

2p

.

Similar, în cazul unei secţiuni inelare, conform fig. 7.b, momentele de inerţie

sunt:

- momentului de inerţie polar:

32

)dD(

4

r2drr2drr2rdArI

442

D

2

d

42

D

2

d

32

D

2

d

2

A

2p

;

- momentului de inerţie axial:

64

)dD(II

44

zy

.

5. Momentele de inerţie ale unor suprafeţe complexe

Secţiunile complexe se descompun în figuri geometrice simple, pentru care

sunt cunoscute poziţia centrului de greutate – coordonatele, şi momentele de inerţie.

14 Rezistenţa materialelor I – Note de curs 10-11

Calculul momentului de inerţie al suprafeţei complexe constă din următoarele

etape:

1 – Figura geometrică complexă se descompune în figuri geometrice simple,

pentru care sunt cunoscute: aria – Ai, poziţia centrului de greutate – coordonatele: yGi,

zGi, şi momentele de inerţie în raport cu axele centrale proprii: Iyi şi Izi. Dacă o anumită

porţiune a secţiunii este considerată lipsă (goluri), termenul corespunzător se scade.

2 - Se determină centrul de greutate al secţiunii compuse:

i

GiizG

A

yA

A

Sy ;

i

GiiyG

A

zA

A

Sz .

3 – pentru fiecare figură geometrică simplă se calculează, pe baza teoremei lui

Steiner, momentele de inerţie în raport cu axele centrale ale secţiunii compuse:

A)zz(II 2

GGiyiyGi ;

A)yy(II 2

GGizizGi .

4 – momentele de inerţie ale secţiunii compuse sunt egale cu suma

momentelor de inerţie ale figurilor geometrice simple pentru (dacă o anumită porţiune

a secţiunii este considerată lipsă (goluri), momentele de inerţie corespunzătoare se

scad):

yGiy IIG

;

zGiz IIG

.