Test de evaluare - CLASA a-10-a (radicali; puteri cu exponent real; logaritmi) 1) Sa se calculeze:

a)

21 1

2 2a b

b)

8 6 22 2 6

2 2

3 3

2)

a) Scrieți cu ajutorul radicalilor, puterea cu exponent rațional

1

38

5

b) Comparați cu 1 numărul 3 1

5 1

3) Sa se rationalizeze numitorii:

a) 5 2

1

2 b)

3 3

1

4 2 2 4

4)

a) Determinați *n pentru care

1 1 1

64 162n .

b) Determinați x din egalitatea 3 3 3log 5 7 log 5 7 log 0x .

5) Sa se determine x pentru care expresiile următoare să aibă sens:

a) 2x b) 2 4log 2

x xx

6) Folosind proprietățile logaritmului unui nr. real pozitiv, să se scrie sub formă simplă expresiile:

a) 12 12log 576 log 4 b) 3 13 3

3 2

64log 27 log 27 log 27 log

27

7)

a) Să se calculeze 2 2 2 2log 1 log 2 log 3 ... log 10 .

b) Fie 2logA x și

2log 2xB . Verificaţi dacă 1

, 01

B xA

.

8) Sa se demonstreze egalitatea: 2 2 3 3

1 1 1... 1, 2

log 1 ... log log 1 ... log log 1 ... logn n

nn n n

1) Sa se calculeze:

a) 6

3 4 b) 3

12 27 320,2 25 :5 625

2)

a) Sa se introduca factorii sub radical: 33 2

b) Comparați numerele :

1,52

3

cu

1, 52

3

3) Sa se rationalizeze numitorii:

a) 5

1

3 b)

3

1

2 2

4) Rezolvati ecuatiile in :

a) 4log 64 x b) 3 3 1

2

1log ( 1) log log

64x

5) Sa se determine x pentru care expresiile următoare să aibă sens:

a) 3log (4 )x b)

2 9

x

x

6) Folosind proprietățile logaritmului unui nr. real pozitiv, să se scrie sub formă simplă expresiile:

a) 12 12log 288 log 2 b) 6log 128

49 4

4

log log 6

7)

a) Dacă 2 1a , calculați 6 4 2 în funcție de a .

b) Dacă 3log 2b , determinați 16log 24 în funcție de b .

8) Sa se demonstreze egalitatea: log

1 loglog

aa

ab

nb

n

Test de evaluare - CLASA a-10-a (numere complexe)

1) Să se determine opusul numărului complex 2 1 1z a a i pentru care Re Im 2z z

2) Fie 1 2 3

1 , 2 , 3 2z i z i z i Calculaţi:

c) 1 2 3z z z

d) 4 6

1 2z z

3)

a) Să se determine ,x y pentru care avem 3 2 5 2x i x y i yi .

b) Să se rezolve ecuaţia bipătrată 2 4 2 2 2 21 0b z a b z a

c) Să se determine rădăcina de ordinul 3 a numărului complex 1 3z i

4) Se consideră ecuaţia 2 1 0z z , cu

1z şi2z sunt rădăcini.

a) Să se calculeze 2 2

1 2z z

b) Arătaţi că 4

1 4

1

11z

z

5)

a) Să se reprezinte în planul complex mulţimea 1 Re 2A M z z .

b) Să se verifice dacă punctele 1 , 2 3 , 0A i B i O determină un triunghi. (folosind lungimile laturilor)

6) Fie , sin cos , ,2

z z i

. Să se scrie sub formă trigonometrică.

7) Să se determine opusul şi modulul numărului complex 5 2z i .

8) Calculaţi:

e) 2 3 100...i i i i

f) 1Re z , unde

1

1 3

1

iz

i

.

g) 12

3 i (folosind operaţiile cu numere complexe sub formă trigonometrică)

9) Rezolvati ecuatiile in :

a) 3 7z z iz (notând z a ib ).

b) 4 213 36 0z z

c) 4 1z i

10)

a) Construiţi ecuaţia de gradul al doilea, care admite rădăcina: 1

1 3z i

b) Calculaţi

2 2

1 2

1 25

z zE

z z

, unde

1z şi2z sunt rădăcinile ecuaţiei

2 3 6 0z z

11) Triunghiul ABC are afixele vârfurilor , 3 4 , 3 3 2A B C

z i z i z i .

a) Scrieţi imaginea geometrica a numărului complex 3 4B

z i .

b) Să se determine dacă triunghiul este dreptunghic.

12) Fie , cos sin , 0,2

z z i

. Să se calculeze 1z

Test de evaluare - CLASA a-10-a (funcţii injective, surjective, bijective; inversabile; compunerea funcţiilor)

1) Se consideră funcţia :f ,

4 1f x x .

a. Să se definească noţiunea de funcţie injectivă.

b. Să se studieze surjectivitatea funcţiei f .

c. Calculaţi 1f f .

2) Se dă funcţia 2 1

: \ 2 \ 2 ,2

xf f x

x

.

a. Aflaţi punctele de intersecţie dintre graficul funcţiei f şi axele de coordonate.

b. Arătaţi că funcţia este inversabilă.

c. Determinaţi 1f

.

3) Fie funcţiile 3 2 , 1

, : , ; 34 , 1

x xf g f x g x x

x x

.

a. Să se calculeze 0 0f f g g .

b. Arătaţi ca funcţia f este bijectivă.

c. Calculaţi f g .

4) Se consideră funcţia 2 , 1

: ,4 3 , 1

mx m xf f x

x m x

.

a. Pentru 2m arătaţi că funcţia este crescătoare.

b. Determinaţi m , pentru care funcţia este injectivă.

Test de evaluare - CLASA a-10-a (funcţii particulare; proprietăţi)

1) Deduceţi patru proprietăţi ale funcţiei putere 2: ,f D f x x .

2) Să se determine valoarea maximă a funcţiei 3: 0,3 , 1 2f f x x (justificaţi).

3) Să se afle x , pentru care are sens expresia 5log 2x .

4) Calculați 1

33

arctg arcctg

.

5) Să se verifice dacă funcția : , sin3 cos4

xf f x x este periodică de perioadă 8T .

6) Folosind monotonia funcției exponențiale, să se determine x care verifică inegalitatea 4 3 6 1

0,5 0,5x x

.

7) Folosind convexitatea funcţiei putere 3: ,f f x x arătaţi că 3

2 3 3 5 52 3 5

3 3

.

8) Să se calculeze: 1

cos2

arcctg

9) Determinaţi valoarea maxima a funcţiei : 0; , 2cos 22

f f x x

10) Să se determine x , pentru care avem 6

log 3 15 2x .

11) Să se determine x , pentru care are sens expresia arcsin 3 5x .

12) Calculați 109

6tg

.

13) Să se studieze imparitatea funcției 2: , cos sinf D f x x x .

14) Fie funcția exponențială : 0, , 7xf f x . Să se determine x astfel încât să aibă loc relația

22 3 2 ,f x a f x x x .

15) Folosind monotonia funcţiei radical să se rezolve inecuaţia:

210 3x x

16) Arătaţi că pentru , 0,1a b are loc egalitatea: 2 2arccos arccos arcsin 1 1a b b a a b

Test Evaluare - CLASA a-10-a (ecuații iraționale, ecuații exponențiale, ecuații logaritmice)

1) Să se rezolve ecuațiile iraționale :

a) 2 3 2x x .

b) xx 28

2) Să se rezolve ecuațiile exponențiale :

a) 12 3 3 7x x

b) 03349 xx

c) 2 25 10 4x x x

3) Să se rezolve ecuațiile logaritmice :

a) 1lg3lg 2 xx xx

b) 3 3 3log 2 log log 8x x

c) 117loglog 2

43 x

1) Să se rezolve ecuațiile iraționale :

a) 213 x

b) 3

11

4

42

4

4

x

x

x

x

2) Să se rezolve ecuațiile exponențiale :

a) 52 2

24 xx

b) 7332 1 xx

c) 2 1 32 5 3x x

3) Să se rezolve ecuațiile logaritmice :

a) 3log (10 ) 2x

b) 01lglg3 22 xx

c) 139loglog 2

34 x

Test Evaluare - CLASA a-10-a (ecuații trigonometrice)

1) Aflaţi soluţiile ecuaţie care aparţin intervalului 2;0 2 sin x + 3 = 0.

2) Rezolvaţi ecuaţia: 4 sin2

x = 3.

3) Rezolvaţi ecuaţia:sin x + sin( + x) 2cos

x

2

= 1.

4) Rezolvaţi ecuaţia:sin

x

2

= sin4

.

5) Rezolvaţi ecuaţia: 2cos2x cos x 1 = 0.

6) Rezolvaţi ecuaţia:cos2x = 1 + 4cos x.

7) Rezolvaţi ecuaţia:2cos24x6cos

22x + 1 = 0.

8) Rezolvaţi ecuaţia: 1 + sin3x =

2

2sin

2cos

xx.

9) Rezolvaţi ecuaţia:cos x cos 3x =sin 2x.

10) 1

cos 1 cos3 2

x x

11) 2 27sin 4sin cos cos 2x x x x

12) 2sin 3cos 3x x

13) 1

33

tg x

14) 2 8 7 0tg x tgx în 0,2

15) 22sin 5cos 2 0

2x x

16)

3 3 03

ctg x

în 0,1

Test de evaluare - CLASA a-10-a (elemente de combinatorică) 1)

a) Calculați

4

6A

b) Definiţi noţiunea de permutări.

2) Rezolvați :

a) 2 55x

xC

b)

1

1

10

5

3

y y

x x

y y

x x

A A

C C

3)

a) Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii 1,2,3,4,5A

b) Câte numere de cinci cifre, formate numai cu 0 şi 2 există?

4)

a) Să se dezvolte după formula lui Newton:

52a b

b) Găsiţi cel mai mare termen al dezvoltării

101 2

3 3

5) Se consideră dezvoltarea

12

3 1a

a

.Calculați:

a) Suma coeficienților binomiali. b) Numărul termenilor raționali.

6) Se dă dezvoltarea

43

33

yx

xy

.

a) Scrieți coeficientul binomial al celui de-al doilea termen. b) Determinați rangul termenului în care x şi y au puteri egale.

7)

a) Aflaţi coeficientul lui 5x din dezvoltarea

1022 x x .

b) Calculaţi suma coeficienţilor dezvoltării 100

23 2x x .

8)

a) Să se demonstreze egalitatea 1

k k

n n

nC C

n k

.

b) Calculate suma 0 1 10

10 10 102 6 ... 42S C C C .

Test de evaluare - CLASA a-10-a (probabilități) 1) Un elev are de rezolvat într-o săptămână 100 de probleme. În prima zi rezolvă 20% din probleme, în a doua zi 25% din rest.

Câte probleme a rezolvat în cele 2 zile şi câte mai are de rezolvat?

2) Un capital de 4500 u.m. este depus cu dobândă compusă şi va atinge valoarea de 6350 u.m. Dacă dobânda anuală este de 3%, atunci determinaţi durata depunerii.

3) Se consideră o urnă cu 5 bile albe și 7 negre. Se extrag succesiv 2 bile. Dacă notăm evenimentul A:”prima bilă este albă”, B:”a

doua bilă este neagră”. Folosind operațiile cu evenimente să se scrie evenimentul: “cel puțin o bilă este albă”. Calculaţi probabilitatea de a extrage cel puţin o bilă alba.

4) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din mulțimea 0,1,2,3,4,5,6,7,8A , acesta să verifice inegalitatea

! 120n .

5) Sa se calculeze probabilitatea ca un numar de trei cifre format cu 1,2,3 ,4 ,5 sa aiba cifrele egale .

6) Sa se calculeze probabilitatea ca o functie injectiva f :{1,2,3,4,5} →{3,5,7,9,11} sa fie surjectiva .

7) Se consideră urnele 1 2 33 ,4 ; 2 ,3 ; 4 ,4U a n U a n U a n . Din fiecare urnă se extrage căte o bilă. Care este probabilitatea ca

2 bile să fie albe şi una neagră.

8) Într-o urnă sunt 5 bile roşii, 6 bile albe şi 7 negre. Se extrag simultan din urnă 4 bile. Care este probabilitatea ca cel puţin 3 bile extrase sa fie albe?

Test de evaluare - CLASA a-10-a (elemente de geometrie)

1) Să se calculeze distanţa de la punctul 1,1A la dreapta :5 12 4 0d x y .

2) Să se determine m astfel încât dreptele 1 : 3 2 0d mx y şi

2 : 2 8 0d x y să fie concurente.

3) Se consideră punctele 2,3 ; 4, ; 2,2 ; ,5A B n C D m . Să se determine ,m n astfel încât patrulaterul ABCD să fie

paralelogram .

4) Să se determine m astfel încât punctele 3,3 ; 2,4 ; 2 ,1A B C m m să fie coliniare.

5) Se consideră punctul 1,2A şi dreapta de ecuaţie : 4 2 5 0d x y . Să se determine ecuaţia perpendicularei duse din punctul A pe

dreapta d .

6) Să se calculeze distanţa dintre dreptele paralele de ecuaţii 1 : 2 6d x y şi

2 : 2 4 11d x y

7) Să se determine ecuaţia medianei duse din vârful A al triunghiului ABC , unde 1,2 ; 2,3 ; 2 5A B C .

8) Să se determine ecuaţia medianei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că 2,2A şi ecuaţiile medianelor duse din B şi

C sunt 2 2 0x y , respectiv 2 0x y .

9) Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC , ştiind că 1,0 ; 0,2 ; 2, 1A B C .

10) În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 ; 1,1 ; 1,3 ; ,4A B C D a , a . Să se determine a

pentru care dreptele AB şi CD sunt perpendiculare.

11) Să se determine a pentru care punctele 1, 2 ; 4,1 ; 1,A B C a sunt coliniare.

12) În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele 2, 1 ; 1,1A B . Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin

originea axelor şi este paralelă cu dreapta AB.

13) Să se calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC , unde 2, 1 ; 2,0 ; 0,6A B C .

14) Să se determine ecuaţia simetricei dreptei : 2 3 1 0d x y faţă de punctul 3,4A .

15) Să se afle măsura celui mai mare unghi al triunghiului ABC ştiind că 2, 2 ; 2,3 ; 2,3A B C .

LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ PE SEMESTRUL I - clasa 10 –

SUBIECTUL I (30 puncte)

1. Raţionalizaţi 3

1

2 2.

2. Efectuaţi

5 2 7 105 7

2 10

3 3

3 3

.

3. Demosntraţi că 2 13

1 13

log 3 log 3

4. Arătaţi că dacă lg 2 a şi lg3 b atunci 72

2 3log 108

3 2

a b

a b

.

5. Aflaţi m ştiind că 1z i este soluţie pentru ecuaţia 2 2 0z mz .

6. Calculaţi

2013

cos sin2 2

i

SUBIECTUL II (30 puncte)

1) Fie

1

2 4

7 5 5 1a

şi 17 4 9 4 5b

a. Să se aducă numărul a la o formă mai simplă.

b. Să se arate că 5 2b .

c. Arătaţi că a b

2) Fie o funcţie : ff D data de legea lg 1f x x .

a. Să se determine x pentru care avem 1f x .

b. Să se calculeze 1 1 1 1

...2 3 4 1000

S f f f f

.

c. Demonstraţi că pentru fx D avem 210 3 6

f xx x .

SUBIECTUL III (30 puncte)

1) Fie 2 2 2 2z i .

a. Arătaţi că numărul

Im

Re

z

zeste subunitar.

b. Calculaţi 2013u z , unde u a reprezintă ultima cifră a numărului a .

c. Deduceţi că z z

zz , unde z este conjugatul numărului complex z .

2) Se consideră ecuaţiile 2 1 0z z cu soluţiile

1 2,z z şi 2 3 3 0z i cu soluţiile

3 4,z z .

a. Calculaţi 2013

1 2013

1

1z

z .

b. Calculaţi produsul soluţiilor celor două ecuaţii. c. Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe a doua ecuaţie.

LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ PE SEMESTRUL I - clasa 10 –

SUBIECTUL I (30 puncte)

1. Raţionalizaţi 3

1

2 2.

2. Efectuaţi

5 2 7 105 7

2 10

3 3

3 3

.

3. Demosntraţi că 2 13

1 13

log 3 log 3

4. Arătaţi că dacă lg 2 a şi lg3 b atunci 72

2 3log 108

3 2

a b

a b

.

5. Aflaţi m ştiind că 1z i este soluţie pentru ecuaţia 2 2 0z mz .

6. Calculaţi

2013

cos sin2 2

i

SUBIECTUL II (30 puncte)

1) Fie

1

2 4

7 5 5 1a

şi 17 4 9 4 5b

a. Să se aducă numărul a la o formă mai simplă.

b. Să se arate că 5 2b .

c. Arătaţi că a b

2) Fie o funcţie : ff D data de legea lg 1f x x .

a. Să se determine x pentru care avem 1f x .

b. Să se calculeze 1 1 1 1

...2 3 4 1000

S f f f f

.

c. Demonstraţi că pentru fx D avem 210 3 6

f xx x .

SUBIECTUL III (30 puncte)

1) Fie 2 2 2 2z i .

a. Arătaţi că numărul

Im

Re

z

zeste subunitar.

b. Calculaţi 2013u z , unde u a reprezintă ultima cifră a numărului a .

c. Deduceţi că z z

zz , unde z este conjugatul numărului complex z .

2) Se consideră ecuaţiile 2 1 0z z cu soluţiile

1 2,z z şi 2 3 3 0z i cu soluţiile

3 4,z z .

a. Calculaţi 2013

1 2013

1

1z

z .

b. Calculaţi produsul soluţiilor celor două ecuaţii. c. Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe a doua ecuaţie.

LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ PE SEMESTRUL II - clasa 10 –

SUBIECTUL I (30 puncte)

1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 1 2 0x .

2. Aflaţi x din ecuaţia 2 55x

xC .

3. Să se rezolve ecuaţia sin 2 sin3

x x

.

4. Câte submulţimi ordonate de cinci cifre distincte există?

5. Un frigider costă 1000 u.m.. Preţul frigiderului s-a micşorat cu 10% şi apoi a crescut cu10% . Cât a fost preţul frigiderului

după a doua modificare?

6. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3;4 ; 1;2A B . Să se calculeze distanţa de la B la A .

SUBIECTUL II (30 puncte)

1. Se consideră în reperul cartezian xOy punctele 4, 2 ; 8,0A B

a) Să se afle panta dreptei AB .

b) Să se determine coordonatele punctului C simetricul lui A faţă de B .

c) Să se scrie ecuația înalţimii OAB dusă din vârful O .

2. O urnă 1U are 11bile albe şi 7 bile negre, o urnă 2U are 3 bile albe şi 15 bile negre, iar o altă urnă 3U are 10 bile albe şi 8

bile negre. a) În căte moduri se poate alege o bilă albă extragând doar o bilă din fiecare urnă? b) În câte moduri se pot alege din prima urnă cel mult două bile albe? (extrăgând 4 bile odata)

c) Care este probabilitatea ca extăgând la întâmplare, din fiecare urnă câte o bilă, să fie 2 albe şi una neagră? SUBIECTUL III (30 puncte)

1) Se dă dezvoltarea

214

32

yx

y x

.

a. Să se afle suma coeficienţilor de rang impar. b. Să se determine termenul al 8-lea al dezvoltării.

c. Determinaţi termenul care conține pe 14y .

2) Rezolvaţi:

a. 2 1 2 1x x x .

b. 4 7 10 10 25 0x x x .

c. 3

2 2 2

3 1 3

9

5log 1 log 1 log 1

2x x x

LUCRARE SCRISĂ LA MATEMATICĂ PE SEMESTRUL II- clasa 10 –

SUBIECTUL I (30 puncte)

1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 1 2x x .

2. Aflaţi x din ecuaţia 3

1 60xA .

3. Să se rezolve ecuaţia co cos 23

x x

.

4. Câte submulţimi de cinci cifre distincte există?

5. Aflaţi rata dobânzii simple pe un an care la un capital iniţial de 5200 lei generează pe timp de 5 ani o dobândă de 1404 lei.

6. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3;4 ; 1;2A B . Să se scrie coordonatele vectorului AB .

SUBIECTUL II (30 puncte)

1. Se consideră în reperul cartezian xOy punctele 5,1 ; 5,2 ; 3, 4A B C

a) Să se afle panta dreptei BC .

b) Să se determine coordonatele punctului G , centrul de greutate al triunghiului ABC .

c) Să se scrie mediatoarei ABC dusă pe latura BC .

2. O urnă 1U are 10 bile albe şi 5 bile negre, o urnă 2U are 4 bile albe şi 11 bile negre, iar o altă urnă 3U are 8 bile albe şi 7

bile negre. a) În căte moduri se poate alege o bilă neagră extragând doar o bilă din fiecare urnă? b) În câte moduri se pot alege din prima urnă cel puţin 3 bile albe? (extrăgând 4 bile odata) c) Care este probabilitatea ca extăgând la întâmplare, din fiecare urnă câte o bilă, să fie una albă şi două neagre?

SUBIECTUL III (30 puncte)

1) Se dă dezvoltarea

13

3 2

5x x

x

.

a) Să se afle suma coeficienţilor de rang par. b) Să se determine termenul al 3-lea al dezvoltării. c) Determinaţi termenul care nu conține pe x .

2) Rezolvaţi:

a) 2 2 6 2x x x .

b) 7 4 5 14 2 49 0x x x .

c) 2 2 2

1 1 3

3 3

log 1 log 1 2 log 1x x x