Construcţii cu rigla şi compasul în gimnaziuConstrucţii cu rigla şi compasul în gimnaziu

Prof. Mariana RaduŞcoala Generala GHIMBAV-BRASOV

Motto:” Vă plictisiţi în timpul orelor de geometrie sau nu înţelegeţi nimic?Eu vă asigur totuşi că geometria este pasionantă şi că geometria este o manifestare inteligibilă”-E.FOURREY

Cele cinci construcţii fundamentale

1.Prin două puncte distincte se poate duce cu ajutorul unei rigle o singură dreaptă. (Postulatul lui Euclid ).

2. Cu centrul într-un punct oarecare şi cu o rază dată se poate construi un singur cerc.

3. Intersecţia a două drepte.4. Intersecţia unui cerc cu o dreaptă.5. Intersecţia a două cercuri.

Cele cinci construcţii fundamentale

A B O∙R a

b

A

A B

d A

B

Construcţia mediatoarei unui segment• se desenează un segment AB• trasăm un cerc sau un arc de cerc de rază mai mare decât jumătatea lungimii segmentului dat cu centru în punctul A.• cu aceeaşi deschizătură trasăm un cerc sau un arc de cerc de rază cu centru în punctul B.aceste arce de cerc se intersectează în punctele C şi D.• trasăm dreapta CD.Această dreaptă este mediatoarea segmentului AB.• punctul P , în care mediatoarea astfel construită taie segmentul AB, este mijlocul lui.

Construcţia mediatoarei unui segment

A B

d

C

D

P

Construcţia bisectoarei unui unghi:•se desenează un unghi xOy , de o măsură oarecare.

•trasăm un cerc sau un arc de cerc cu centrul O, în vârful unghiului dat.

•cercul taie laturile unghiului în punctele A şi B.cu aceeaşi deschidere a compasului trasăm arce de cerc cu centru în punctele A şi B, care se vor intersecta a doua oară

în punctul P.•semidreapta OP reprezintă bisectoarea unghiului xOy.

Construcţia bisectoarei unui unghi

x

y

O

A

B

P

Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat:

• desenam unghiul ABC.• construim un unghi cu vârful în punctul M şi cu o

latură MX, astfel să fie congruent cu unghiul ABC.• trasăm două cercuri de raze egale cu centrele în

punctele B şi M.• unghiul ABC determină pe cerc arcul PN.

• al doilea cerc taie MX în punctul D.• din punctul D desenăm arcul DE congruent cu arcul

PN•trasăm semidreapta ME .

•unghiul ABC este congruent cu unghiul DME.

Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat

A

B C

P

N

X

M E

D

Construcţia unei perpendiculare dintr-un punct exterior pe o dreaptă:• avem o dreaptă d şi un punct P exterior ei.

• desenăm un arc de cerc cu centrul în punctul P.• arcul de cerc taie dreapta în punctele M şi N.

• cu centrele punctele M şi N se desenează arce de cerc de raze egale.• aceste arce de cerc se intersectează în punctul Q.

• dreapta PQ este perpendiculară pe dreapta d= MN.

Construcţia unei perpendiculare dintr-un punct exterior pe o

dreaptă

P

dM N

Q

Construcţia unei perpendiculare pe o dreaptă într-un punct al ei:

• se desenează o dreaptă d şi un punct M situat pe ea.• se construieşte un cerc de centru M, care intersectează

dreapta d în punctele A şi B.• în punctele A şi B se desenează cu aceeaşi rază două arce

de cerc de o parte a dreptei d şi care se intersectează în punctul N.

• dreapta MN este perpendiculară pe dreapta d în punctul M.

Construcţia unei perpendiculare pe o dreaptă într-un punct al ei

d M A B

N

Construcţia tangentelor dintr-un punct exterior dat la un cerc dat:

• fie cercul C ( O , R) şi punctul A exterior lui.desenăm segmentul OA .

• desenăm M mijlocul segmentului OA.• construim cercul cu centrul în punctul M şi diametru OA.

• acest cerc taie cercul C ( O , R) în punctele T1 şi T2.• semidreptele AT1 şi AT2 sunt tangentele din punctul A

la cercul C ( O , R).

Construcţia tangentelor dintr-un punct exterior dat la un cerc dat

O

T1

T2

A

M

Construcţia cercului circumscris unui triunghi dat:

• construim mediatoarea laturii AC şi mediatoarea laturii BC.

• la intersecţia celor două mediatoare se găseşte centrul O al cercului circumscris ABC.

Construcţia cercului circumscris unui triunghi dat

A

B

C

O

Construcţia unui hexagon regulat înscris în cerc:• se construieşte un cerc de rază egală cu latura hexagonului regulat.

• se împarte cercul în 6 părţi congruente.

A

C E

B

D

F

Construcţia unui hexagon regulat

O

Construcţia unui triunghi echilateral înscris în cerc:• se construieşte un cerc de rază egală cu latura hexagonului regulat.

• se împarte cercul în 6 părţi congruente.• se unesc din 2 în 2 punctele de diviziune.

A

C E

B

D

F

Construcţia unui triunghi echilateral

O

Construcţia unui pătrat înscris în cerc:• se desenează un cerc de o anumită rază.

• se împarte cercul în 4 părţi congruente prin construirea a două diametre perpendiculare.

A

B

C

D

Construcţia unui pătrat

O

Construcţia unui octogon regulat înscris în cerc:

• se desenează un cerc de o anumită rază.• se împarte cercul în 4 părţi congruente prin construirea a două diametre perpendiculare.

•se desenează mediatoarea unei laturi a pătratului înscris în cerc.

• se desenează 8 părti egale.

A

B

C

D

M

NP

Q

Construcţia unui octogon regulat

O

Construcţia expresiei a + b:• fie a şi b două numere reale pozitive, a > b.

• se desenează două segmente de lungimi egale cu a şi b.

• se desenează o dreapta d şi se alege punctul O în care se desenează un cerc de rază egală cu a, care va

intersecta a doua oară dreapta d în punctul A.• în punctul A se desenează un cerc de rază egală cu b,

care va intersecta dreapta d în punctele B1 şi B2.• segmentul OB2 reprezintă expresia a + b.

a

b

a

bO

B1

AB2

a+b

d

Calculul sumei a+b

Construcţia mediei aritmetice:-fie a şi b două numere reale pozitive, a > b.-se desenează două segmente de lungimi egale cu a şi b.-construim segmentul AB care are lungimea egală cu a + b.-se desenează mediatoarea segmentului AB, care va împărţi segmentul în două segmente congruente care reprezintă numărul

2

ba

( care reprezintă media aritmetică a numerelor a şi b).

a

b

a b

d

(a+b)/2

Calculul mediei aritmetice a două numere a şi b

ABP

Construcţia mediei geometrice a numerelor a şi b:-fie a şi b două numere reale pozitive, a > b.-se desenează două segmente de lungimi egale cu a şi b.-construim segmentul AB care are lungimea egală cu a + b.-se construieşte semicercul de diametru AB.-în punctul C, AC = a, se duce o perpendiculara care intersectează semicercul în punctul D.-conform teoremei înălţimii în triunghiul dreptunghic DAB, DC2 = AC CB.Deci

ba

reprezintă media geometrică a numerelor a şi b.

a

b

a b

d

C

D

AB

Calculul mediei geometrice a două numere a şi b

ba