5/26/2018 Concursul de Matematic Traian Lalescu-201 1

1/2

Concursul de matematic Traian Lalescu, etapa local, U.T.C.B.

16-04-2011

1) Fie funcia ( ) 3 3: , , 25F F x y x y xy = + .

a) Artai c ecuaia ( ), 0F x y = definete implicit ntr-o ecintate a punctului ( )1,3M pe y ca funcie de x .

!) "alculai ( )1y i ( )1y! i artai c 1x = e#te punct de e$trem local pentru ( )y y x= .

c) Fie #eria de funcii ( )1

1,0 2 1

n

n

F xn

=

+

. %#ii mulimea de coner&ent a #eriei.

2) Fie inte&rala

( )

22 1

2 10 co# ,

n

nI x dx n

+

+ = .

a) ' #e arate c 2 1 2 12

, 12 1

n n

nI I n

n+ = +

i # #e calcule(e 2011I .

!) ' #e calcule(e 2 1nI + .

c) ' #e calcule(e ( )1

2

1

1 ,n

nJ x dx n

= .

3) Fie ( ) ( )3 3: , , , 3 2 , 3 2 , 2 2T T x y z x y z x y z x y = + + + + i A matricea a#ociat lui

T n raport cu !a(a canonic a lui 3 .

a) ' #e dia&onali(e(e matricea A i # #e determine o !a( ortonormat { }1 2 3, ,f f f n raport

cu care #e face dia&onali(area.

!) ' #e ea#c coordonatele ectorului ( )1,1,1u= n raport cu !a(a { }1 2 3, ,f f f .

c) ' #e calcule(e ( ) 3* , , 2.n

A I n n

*) Fie dreapta ( )d de ecuaii2 2

3 2 1

x y z+ = = i punctul ( )3,0,1M .

a) ' #e determine coordonatele lui N = #imetricul lui M fa de dreapta ( )d .!) ' #e cercete(e dac dreptele de ecuaii

( )11

:1

y xd

z x

= =

( )23 +

:2

y xd

z x

= =

#unt concurente.

c) ' #e #crie ecuaiile dreptei care trece prin M i #e #priin pe dreptele ( )1d i ( )2d .

5/26/2018 Concursul de Matematic Traian Lalescu-201 1

2/2